Турбулентность

Лекция 7. Турбулентность. В.1. Ламинарное и турбулентное движение Представим себе стеклянную трубку, по которой движется жидкость, причем для того, чтобы это движение было видимым, в поток с помощью тонких насадок введены тонкие струйки подкрашивающей жидкости. Опыты показывают, что картина движения жидкости существенным образом зависит ср от величины отношения Re = где ср - средняя по сечению скорость потока, - кинематический коэффициент вязкости, d- диаметр трубы. Это отношение называется числом Рейнольдса 1 для трубы круглого сечения и обозначается символом Re. При малых значениях Re окрашенные струйки не размываются. Это значит, что обмен частиц между окрашенными струйками и остальной жидкостью отсутствует, жидкость движется отдельными параллельными струйками, не смешивающимися друг с другом. Такой режим называется ламинарным. Если же Re превысит некоторое критическое значение, например, в результате возрастания скорости, изменения вязкости жидкости или возрастания диаметра трубы, то картина движения меняется. Вся жидкость в трубе окрашенной, что соответствует тому, что траектории частиц не параллельны друг другу, а переплетаются и окрашенные частицы оказываются во всех частях трубы. Такой режим называется турбулентным. Таким образом, основное отличие турбулентного движения от ламинарного заключается в том, что в нем имеются компоненты, перпендикулярные к оси, что приводит к перемешиванию частиц жидкости. Другим отличием является то, что, если ламинарное движение может быть установившимся и неустановившемся, то турбулентное движение по своему 1 О́сборн Ре́ йнольдс (англ. Osborne Reynolds; 23 августа 1842, Белфаст — 21 февраля 1912, Уотчет), графство Сомерсет) — английский механик, физик и инженер, специалист в области гидромеханики и гидравлики. Член Лондонского королевского общества (1877)[ 1 существу является неустановившимся даже если жидкость движется по действием постоянной разности давлений на концах трубы. Скорость в каждой точке меняется как по модулю, так и по направлению. В.2. Понятие пульсации Успешный прогноз поведения какого-либо параметра движения жидкости возможен только тогда, когда временные или пространственные изменения параметра являются детерминированными. Детерминированный процесс характеризуется непрерывным изменением определяющих величин по вполне определенным закономерностям, при этом выходные величины однозначно определяются входными. Случайный (стохастический) процесс характеризуется беспорядочным, часто дискретным изменением определяющих величин, при этом значение выходной величины не находится в соответствии с входной. Турбулентное движение по своему существу является неустановившимся: в каждой зафиксированной точке потока имеет место весьма интенсивное изменение скорости и давления во времени, причем отклонения соответствующей величины от некоторого среднего значения представляются совершенно случайными, и могут достигать порядка 20— 30% от этого среднего. В этих условиях нахождение скорости и давления как функций времени является делом безнадежным. Однако в большинстве практических задач вовсе не требуется знания истинных значений величин в каждый момент времени; в расчетах используются средние по времени значения величин, которые мы будем называть осредненными. Движение, определяемое осредненным полем скорости, давления и других характеристик, будем называть осредненным движением. Если в зафиксированной точке потока эти величины сохраняют одно и то же значение во все моменты времени, т.е. не зависят от t , то осредненное движение называется установившимся, а турбулентное движение квазиустановившемся В общем случае любая осредненная величина зависит от времени и , в частности , оказывается различной для разных моментов интервала от − до + . Поэтому повторное осреднение уже осредненной величины приводит, строго говоря, к значению, отличному от , т.е. ≠ .Однако в том случае, когда осредненное значение является установившемся, т.е. во времени не меняется, повторное осреднение не меняет результата, т.е.. выполняется достаточно строго. 2 Тоже самое , очевидно, будет иметь место, если является линейной функцией от t, т.е. график представляет прямую линию. Если период осреднения Т достаточно мал, то в интервале времени от − до + . Это = изменение можно считать линейным и равенство достаточно строго. Отклонение истинного значения величины значения называется пульсацией данной величины = − = + выполняется от ее осредненного т.е. В.3. Характеристики степени турбулентности. Для оценки степени турбулентности движения используются следующие характеристики Средняя величина ̅= ∫ , или в цифровом виде ̅ = ∑ . При дискретизации процесса надо выбрать не меньше 3 точек на самый маленький период колебания. Среднеквадратичное отклонение. 3 Описывает среднюю амплитуду пульсаций = ∑ ( ) . В первом приближении процесс считается стационарным, если со временем не меняются среднее значение и среднеквадратичное отклонение (в пределах доверительных интервалов) . Радиус корреляции. Степень линейной связи (степень линейной похожести) колебаний принято оценивать с помощью коэффициента корреляции. Пусть есть два одинаковых по длительности отрезка записи скорости ветра ( )и ( ). Определим их пульсации как ′ ( )и ( ), а их среднеквадратичные отклонения через и . Тогда выражения для коэффициента корреляции можно записать в виде = ∑ . Очевидно, что если оба колебания полностью одинаковы по форме и амплитуде, то = 1. Если оба колебания одинаковы по форме, но одно из них больше по амплитуде, или имеет другое среднее значение, то при этом также = 1. Однако любое отклонение форм колебаний приведет к тому, что < 1. Пусть теперь имеем длинную запись ( ) , а ( ) есть начальный отрезок записи ( ) конечной длины. Совместим записи ( ) и ( ) на начальном отрезке времени. Очевидно, что расчеты покажут = 1. Затем запись ( ) начнем смещать на одну точку опроса относительно записи ( ) и рассчитывать . Очевидно, эта величина уже не будет равной единице. И чем больше мы будем сдвигать по времени записи, тем меньше они будут похожи и тем меньше будет величина . В результате зависимость от сдвига по времени между записями может принять вид 4 Максимальная величина при сдвиге η=0 равна единице, минимальная, в принципе может быть равной нулю. Можно выбрать порог = 0.5, при достижении которого определить η и считать эту величину радиусом корреляции. В случае «синусоидальных пульсаций» функция принимать как положительные, так и отрицательные значения. Масштаб турбулентности =∫ . линейные размеры области потока, в которой имеют одинаковый знак. ( ) может Характеризует собой турбулентные пульсации В.4. Постулаты осреднения Поскольку все величины в турбулентном потоке испытывают нерегулярные хаотические изменения, количественное описание всех процессов возможно лишь при переходе к осредненным характеристикам. При этом целесообразно, как в свое время предложил еще О. Рейнольдс, представлять интересующие нас гидродинамические величины в виде х = х + х . Здесь х = х + х соответственно мгновенные, осредненные и пульсационные значения величины x — унифицированное обозначение , , , Однако здесь встает вопрос о смысле получаемых средних и, следовательно, о принципах самого осреднения. Вообще говоря, поля всех гидродинамических элементов в турбулентном потоке являются случайными. Это означает, что в случае постановки ряда экспериментов при совершенно идентичных внешних условиях каждая реализация будет осуществляться с некоторой степенью вероятности. (Для сравнения вспомним, что в ламинарном потоке при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта результаты будут тождественны). Таким образом, в турбулентном потоке средним будет являться среднее по множеству реализаций, образующих статистический ансамбль. Иными словами, под средним значением следует понимать предел, к которому стремится та или иная пульсирующая величина, если внешние условия, соответствующие каждому отдельному случаю, остаются неизменными: Однако на практике его определение весьма затруднительно. Поэтому приходится прибегать к помощи эргодической теоремы. Она утверждает, что при определенных условиях возможна замена средних по множеству средними по времени или пространству. В частности, если процесс стационарен, то ̅ ( ) = lim ∫ → ( + ) = совпадает с средним по множеству. В общем случае поля гидродинамических элементов не являются эргодическими, ибо в большинстве случаев зависят от времени. Поэтому указанная замена средних служит лишь приближением к реальной ситуации. При этом вместо → ∞ мы выбираем некоторый конечный интервал осреднения, исходя из следующих соображений. Во-первых, 5 должно выполняться неравенство Т ≪ Т где Т2 характерный период турбулентных пульсаций. Во-вторых, период колебаний осредненного поля Т1 должен значительно превосходить Т (Т1 >>Т), т. е. в течение времени Т течение можно считать квазистационарным. При конечном периоде осреднения выражение для средних по времени величин будет иметь вид ̅ , , , , = 1 , , , , + . Постулаты осреднения ∑ =∑ (7.1) = (7.2) = (7.3) = + , , (7.4) Вывод осредненных уравнений Ограничимся случаем несжимаемой жидкости. При этом истинные (мгновенные) значения характеристик движения удовлетворяют системе + + + = − + + + + + + = − + + + + + + = − + + + ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ + + =0 ⎭ Преобразуем первое уравнение системы, для чего к его левой части прибавим выражение + + равное для несжимаемой жидкости нулю. Такое уравнение примет вид: ( + )+ + ( )= − 1 + ∆ Применим к обеим частям уравнения операцию осреднения. На основании постулатов осреднения будем иметь: + ( + , , )+ + 6 , , + ( + , , )= = − + ∆ или ( + Или )+ + , – , + + ( − , )= , − , (− + + ∆ , + ) Левая часть этого выражения может быть представлена как + + + + + + Но осредненное уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет вид: + + =0 (7.5) В конечном итоге осредненное уравнение движения в проекциях на ось Ох запишется в виде + − + ∆ + + , – , + + − , = , (− + , , ) (7.6) Аналогичным путем получаются уравнения движения в проекция на осях Оу и Оz + + + , − , + + − = , + − + ∆ + − ∆ + – , , , + (7.7) + – + , + , + + = − , , + (− , , ) (7.8) Уравнения, которыми связаны осредненные характеристики, подобны обычным уравнениям движения вязкой жидкости с той лишь разницей, что в правых частях уравнений фигурируют дополнительные слагаемые. Сравнение этих уравнений с уравнениями движения вязкой жидкости в напряжениях говорит о том, что величины – , , , − , , − , , , – , , , − , , , − , , , − , , , − , , , − , , играют роль дополнительных напряжений. которые должны быть прибавлены к напряжениям, имевшим бы место в ламинарном потоке, где распределение 7 скоростей совпадает турбулентном потоке. с распределением осредненных скоростей в Поставив задачей определение характеристик осредненного движения несжимаемой жидкости, мы имеем для ее решения три уравнения движения (7.6), (7.7), (7.8) и уравнение неразрывности (7.5), причем, кроме величин , , и – , неизвестными являются также дополнительные напряжения. Поскольку из 9 дополнительных напряжений независимыми являются только , , 6 (– , - , , , − , , , - , , , − , , , - , , ) то общее число неизвестных оказывается равным 10 , и система уравнений будет незамкнутой. В связи с этим возникает необходимость выразить дополнительные напряжения через остальные неизвестные, для чего имеется целый ряд гипотез, «полуэмпирических» теорий. а) общее касательное напряжение. В случае турбулентного потока, текущего вдоль плоской стенки так, что скорость имеет вид меняется только по нормали к стенке, мы можем вместо действительного напряжения рассматривать осредненное, полагая, что на горизонтальную площадку, кроме касательных напряжений молекулярной вязкости дополнительное касательное турбулентное напряжение − , = − , , действует , , , . Таким (7.9) б) выражение турбулентных напряжений с помощью коэффициента турбулентного обмена. запишем касательное турбулентное напряжение в виде Р турб =А , (7.10) где А- положительная величина, называемая коэффициентом турбулентного обмена. Очевидно, что А численно равен тому касательному турбулентному = 1. напряжению, которое возникает при А= (7.11) где l –путь перемешивания, Р = турб , = ∗ эта величина называется динамической скоростью (иногда скоростью трения) и обозначается ∗ . На достаточно малом расстоянии от стенки 8 обычно полагают Р турб , и, соответственно скорости потока. Вводя выражение ∗ = ∗ , возрастающими с ростом в 7.11, получаем А= ∗, а с учетом у ( коэффициент шероховатости) получаем А = ∗ (у + уо ) (7.12) (7.13) Это значит, что вблизи стенки коэффициент турбулентного обмена в отличие от : 1) меняется пропорционально плотности жидкости, 2) растет с ростом скорости потока, 3) растет при увеличении шероховатости поверхности стенки, 4) растет по мере удаления от стенки по линейному закону. Эта закономерность в изменении А приближенно выполняется в приземном слое атмосферы. Отношение коэффициента турбулентного обмена к плотности А жидкости. т.е. величина = , носит название коэффициент турбулентности. 3. Распределение скорости по сечению трубы или канала при турбулентном движении. При турбулентном режиме движения распределение скорости по сечению трубы или канала является гораздо более равномерным, чем при ламинарном. Это объясняется тем, что здесь происходит интенсивное перемешивание частей жидкости, находящихся на разных расстояниях от стенки, и вследствие этого осредненные скорости разных слоев выравниваются. При ламинарном движении при постепенном увеличении скорости внезапная смена режима будет сопровождаться неизменным секундным расходом, т.е. средней по сечению скоростью, но скорость теперь будет мало меняться. 9