Трехфазные электрические цепи

Глава 6 ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ 6.1. Получение трехфазного переменного тока. Основные понятия и схемы соединений Трехфазная электрическая цепь – это совокупность трех электрических цепей, в которой действует источники синусоидальных э.д.с. одинаковой частоты, но отличающихся друг от друга по фазе. Впервые в 1891 году на французской выставке было произведено испытание трехфазной системы, содержащей источник, линию передач длиной 175 км от Лауфенского водопада до Франкфурта-на-Майне, напряжением 8500 В с КПД 77,4%. М.О. Доливо-Добровольскому (1889 г.) принадлежит честь разработки и создания всех звеньев передачи и преобразования энергии трехфазного тока (генераторы, трансформаторы, асинхронные двигатели). В современной технике в качестве источников переменного тока используются конструкции с различным принципом действия, имеющие широкий диапазон частот (от долей герца до миллиардов герц). В энергетических системах используются трехфазные генераторы промышленной частоты 50 Гц. Такие генераторы являются основными источниками систем электроснабжения предприятий. Трехфазный генератор как электрическая машина содержит неподвижную часть – статор с тремя обмотками, называемыми фазами, которые сдвинуты в пространстве на 120 относительно друг друга, и подвижную часть – ротор, представляющий собой электромагнит с обмоткой, питаемой от источника постоянного напряжения. Принцип работы такого генератора описан в параграфе 3.1. а) б) Рис. 6.1 При вращении ротора в обмотках статора индуктируются три фазные э.д.с. одинаковой частоты, сдвинутые друг относительно друга на 120 (рис.6.1, а). Их мгновенные значения и комплексы действующих значений определяются так: (6.1) Векторная диаграмма, соответствующая этим значениям, показана на рис. 6.1, б. Совокупность э.д.с., соответствующая уравнениям (6.1), образует симметричную систему прямого следования фаз. Симметричная трехфазная система э.д.с. обладает следующим свойством: алгебраическая сумма мгновенных значений э.д.с. в любой момент времени равна нулю, то есть . То же самое можно записать и для комплексов действующих значений э.д.с.: . Э.д.с. несимметричной системы могут отличаться друг от друга, как по амплитуде, так и по неравенству сдвигов фаз относительно друг друга. Работа трехфазных генераторов в несимметричном режиме не допускается по условиям эксплуатации. Трехфазные системы широко используются благодаря их преимуществам: 1) меньший расход цветного металла (на 25%) при одинаковой передаваемой мощности; 2) возможность получения двух рабочих напряжений (линейного и фазного); 3) возможность получения вращающегося магнитного поля неподвижной обмоткой генератора или двигателя. Рассматривая различные схемы соединений трехфазных источников и потребителей, покажем эти преимущества. 6.1.1. Соединение источника и потребителя в звезду Как и любая трехфазная система, трехфазная цепь может быть представлена как совокупность трех однофазных цепей, в которых действуют э.д.с., сдвинутые относительно друг друга на 120. Три независимых потребителя можно в принципе питать от каждой обмотки генератора. В таком случае имеем трехфазную несвязанную систему (рис. 6.2). Три провода , идущие от нагрузки к генератору, можно заменить одним, соединив соответствующие точки генератора и нагрузки. В результате получим связанную систему (рис. 6.3). Фактически это те же три фазы, соединенные в одну сложную разветвленную цепь. Точки соединения обмоток генератора или нагрузки называют нейтральными или нулевыми (0 и 0). Рис. 6.2 Рис. 6.3 Провод, соединяющий нейтральные точки генератора и нагрузки, называют нулевым или нейтральным проводом, остальные три провода – линейными. Начала обмоток фаз генератора принято обозначать буквами A, B, C, концы – буквами x, y, z . Концы фаз нагрузки обозначают буквами a, b, c. За начало фазы генератора принимается тот вывод, к которому направлена э.д.с. За положительное направление токов в линейных проводах принимается направление от источника к потребителю, в нулевом – от потребителя к источнику. Если в одну точку соединены начала или концы обмоток, то такое соединение называют соединением в звезду. Сравнивая трехфазные системы на рис. 6.2 и 6.3 можно заметить, что на рис. 6.3 уменьшилось количе- Рис. 6.4 ство проводов и, следовательно, уменьшится расход цветных металлов. Второе преимущество – получение двух рабочих напряжений. Это можно видеть на векторной диаграмме (рис. 6.4). Фазные напряжения – это напряжения на фазах генератора или нагрузки. Если внутреннее сопротивление генератора и сопротивления соединительных проводов равны нулю, то напряжения , , на фазах на- грузки совпадают с э.д.с. , , генератора (см. рис. 6.1, б). Линейные напряжения – это напряжения , , между линейными проводами (рис. 6.4). Аналогично определяются линейные и фазные токи. Линейные токи – это токи в линейных проводах, а фазные токи – это токи в фазах генератора или нагрузки. Токи , , , показанные на рис. 6.3, протекают и по линейным проводам и по фазам нагрузки и генератора. Это означает, что при соединении в звезду линейные и фазные токи совпадают. Ток в нулевом проводе . Трехфазную систему, изображенную на рис. 6.3, называют трехфазной системой с нулевым проводом. Если нулевой провод убрать, то получим трехфазную систему без нулевого провода, для которой . 6.1.2 Соединение треугольником Возможна другая система соединения обмоток, называемая треугольником, при которой начало одной фазы соединяется с концом предыдущей (рис. 6.5). При таком соединении источника и потребителя напряжения на фазах совпадают с напряжениями между соответствующими линейными проводами, то есть линейные напряжения совпадают с фазными и имеем одну систему напряжений. Для токов имеем две системы: фазные токи , , и линейные токи , , . Линейные и фазные токи связаны в соответствии с первым законом Кирхгофа равенствами: Рис. 6.5 Рис. 6.6 ; ; . В заключение отметим следующее. 1. При расчете трехфазных цепей, содержащих электрические машины (генераторы, двигатели), следует учитывать, что если режим работы цепи симметричный, то электрическую машину можно заменить эквивалентной схемой замещения, состоящей из трех одинаковых сопротивлений, соединенных в звезду или треугольник. При несимметричных режимах используют более сложные схемы замещения. Расчет несимметричных режимов при наличии вращающихся машин, которые относят к так называемой динамической нагрузке, производят специальным методом расчета – методом симметричных составляющих, который будет рассмотрен ниже. На данном этапе рассматриваются трехфазные цепи со статической нагрузкой. 2. В общем случае может встретиться любая комбинация соединения обмоток генератора и нагрузки (или соединения обмоток трехфазных трансформаторов):/, /, /, /. В любом случае лучи звезды и стороны треугольника называют фазами. Токи в них называют фазными токами, а напряжения – фазными напряжениями. Токи, протекающие по линейным проводам, и напряжения между линейными проводами называют линейными токами и напряжениями. 3. Так как трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, то и расчет и исследование процессов в них производят теми же методами, которые рассматривались ранее (метод контурных токов, метод узловых потенциалов и другие). В частности, широко используются символический метод, векторные и топографические диаграммы. 6.2. Расчет симметричных трехфазных цепей 6.2.1. Соединение нагрузки в звезду На рис 6.7 показана симметричная трехфазная цепь с нагрузкой, соединенной в звезду. Полагаем, что трехфазный источник также соединен в звезду и имеет симметричные фазные напряжения, действующие значения которых одинаковы: , где – фазное напряжение. Рис. 6.7 Комплексы напряжений сдвинуты друг относительно друга на 120: ; ; . Рассмотрим симметричный режим нагрузки, соединенной в звезду. При соединении в звезду положительные направления токов и напряжений принимают всегда такими, какие указаны на схеме рис. 6.7. Точки A, B и C схемы являются генераторными зажимами, a, b и c – зажимами нагрузки. В рассматриваемой схеме линейные провода Aa, Bb и Cc обладают сопротивлениями , а нулевой – сопротивлением . На рис. 6.8, а приведена топографическая векторная диаграмма напряжений. Из точки 0 расходятся векторы фазных напряжений , , , концы которых (A, B и C) замыкаются линейными напряжениями а) б) Рис. 6.8 , , . Треугольник соответствует второму закону Кирхгофа для соответствующего контура цепи на рис. 6.7. Следует отметить, что токи, протекающие по линейным проводам, протекают и в соответствующих фазах нагрузки, то есть при соединении в звезду линейные токи совпадают с фазными. Поскольку напряжения и нагрузки симметричны, то токи , , одинаковы по величине и сдвинуты по фазе относительно друг друга на 120 (рис. 6.8, б). В этом случае . Поскольку ток в нулевом проводе равен нулю, то падение напряжения в нулевом проводе равно нулю и потенциалы точек 0 и 0 одинаковы, тогда напряжения генератора и потребителя будут одинаковыми, то есть Рис. 6.9 ; ; . Сумма векторов линейных и фазных напряжений равна нулю: ; . Расчет фазных (линейных) токов можно проводить для каждой фазы отдельно. Выделив, например, фазу “A” (рис. 6.9), находим ток . Рис. 6.10 Напряжения на соответствующих элементах этой фазы: ; . Напряжения и токи фаз “B” и “C” можно определить аналогично, но если учесть, что рассматриваемая система симметрична, то соответствующие напряжения и токи фаз “B” и “C” будут совпадать с соответствующими напряжениями и токами фазы “A”, но сдвинуты на 120, то есть ; ; ; ; ; . Примерная векторная диаграмма симметричной цепи показана на рис. 6.10 для случая индуктивного характера сопротивления нагрузки и активного сопротивления линейных проводов. В качестве выводов отметим следующее: 1. Поскольку в симметричной цепи ток в нулевом проводе равен нулю, то сопротивление нулевого провода не имеет значения. В расчете оно не учитывается. Расчет цепи с нулевым проводом или без него ведется одинаково. 2. Величины линейных и фазных напряжений и токов связаны соотношениями и . В качестве номинальных рабочих напряжений (до 1000 В) приняты напряжения, отличающиеся в раз ( В, а В; В, а В). Пример 6.1. К симметричному трехфазному источнику с линейным напряжением В подключены 6 одинаковых лампочек, в каждой из которых выделяется мощность P = 100 Вт (рис. 6.11). Определить фазные токи и сопротивление лампочек. Рис. 6.11 Решение. Напряжение на каждой паре ламп будет фазным: В. Находим сопротивление лампочек, используя выражение мощности: , откуда Ом. Фазный ток А. 6.2.2. Соединение в треугольник На рис 6.12, а показана цепь, в которой к генератору присоединена нагрузка, соединенная в треугольник. Так как в линейных проводах отсутствует сопротивление, то каждое сопротивление нагрузки окажется подключенным на линейное напряжение источника: ; ; . а) б) Рис. 6.12 Токи в сопротивлениях нагрузки (фазные токи): ; ; . На векторной диаграмме (рис. 6.12, б) принято, что сопротивление нагрузки носит индуктивный характер. Линейные токи можно найти по первому закону Кирхгофа: ; ; . В соответствии с этими уравнениями построены линейные токи на векторной диаграмме (рис. 6.12, б). Аналогично фазным токам линейные токи связаны соотношениями: ; . По векторной диаграмме видим, что вектор тока больше вектора тока в раз и сдвинут на 30, то есть . Так как диаграмма симметрична, то суммы как линейных, так и фазных токов равны нулю: , . Из векторной диаграммы определяем также связь между величинами фазных и линейных токов . Соединение в треугольник можно преобразовать в звезду. В рассматриваемом симметричном случае сопротивления эквивалентной звезды в 3 раза меньше сопротивлений треугольника (). 6.2.3. Общий случай расчета симметричных трехфазных цепей Так как все нейтральные точки источника (0) и нагрузок (0 и 0) имеют одинаковый потенциал, то, не нарушая режима, можно соединить их проводом с нулевым сопротивлением (на рис. 6.13, а показан штриховой линией). После этого фазы не будут иметь никаких общих точек, кроме точек нулевого провода. В связи с этим они не будут оказывать влияния друг на друга и можно рассмотреть каждую фазу в отдельности. На рис 6.13, б показана схема фазы А. Для полученной схемы, используя законы Кирхгофа, находим соответствующие токи и напряжения: а) б) Рис. 6.13 ; ; ; ; . Токи и напряжения остальных фаз определяем с учетом сдвига фаз на 120. Построение векторных диаграмм, иллюстрирующих симметричный режим работы трехфазной цепи, удобно начинать с фазных напряжений нагрузки , соединенной в звезду , , . Векторы, соединяющие концы указанных векторов, дают напряжения на нагрузке, соединенной в треугольник. Добавив векторы на сопротивлениях , получим точки, соответствующие потенциалам входных зажимов A, B и C, которые позволяют построить векторы линейных напряжений , , (рис. 6.14, а). а) б) Рис. 6.14 Построение диаграммы токов (рис. 6.14, б) начинаем с фазных токов , , нагрузки, соединенной в треугольник. По ним строим линейные токи (левый заштрихованный треугольник), , . Добавляя к линейным токам первой нагрузки токи (правый заштрихованный треугольник), , второй нагрузки, получаем токи источника , , . При построении диаграммы токов нужно учитывать характер включенной нагрузки. Пример 6.2. Определить действующее значение напряжения на фазах треугольника (рис. 6.15) в симметричном режиме заданной схемы, если Ом, Ом, а линейное напряжение генератора В. 1. Чтобы развязать друг от друга фазы заданной схемы, нужно от треугольника перейти к звезде (рис. 6.16) и от линейных напряжений источника – к фазным напряжениям. Ом; Ом. Фазное напряжение В. Рис. 6.15 Рис. 6.16 2. Вводим нулевой провод и выделяем фазу А цепи. Принимаем начальную фазу напряжения равной нулю, то есть . 3. Расчет фазы (рис. 6.17): Рис. 6.17 Ом; А; В; В. На этом расчетная часть заканчивается. Искомыми величинами являются ток и напряжение . 4. Остальные соотношения записываются по соотношениям симметричного режима работы: А (см. векторные диаграммы на рис. 6.18). а) б) Рис. 6.18 a) б) Рис. 6.19 5. При построении топографической диаграммы напряжений показываются только векторы напряжений на элементах заданной схемы, напряжения промежуточных расчетных схем не изображаются (рис. 6.19). Продольные емкости линейных проводов увеличивают напряжения на индуктивной нагрузке. Пример 6.3. Определить линейное напряжение источника в симметричном режиме заданной схемы (рис. 6.20), если Ом, Ом, А. 1. Развязываем фазы цепи, преобразуя в . Ом. Рис. 6.20 2. Соединяем нулевые точки нагрузки и генератора (рис. 6.21) и выделяем фазу A (рис. 6.22). Рис. 6.21 3. Рассчитываем фазу A. Эквивалентное сопротивление фазы A В выделенной фазе преобразованной схемы наблюдается резонанс токов. В заданной цепи ток должен совпадать по фазе с напряжением . В; Рис. 6.22 ; . и являются искомыми при расчете заданной схемы. 4. По соотношениям симметричного режима определяем: а) б) Рис. 6.23 ; . 5. При формировании векторной диаграммы токов (рис. 6.23) исходной цепи сначала строится звезда фазных токов , , , которую замыкают линейные токи , , . Путем суммирования последних с токами , , по первому закону Кирхгофа для узлов a′, b′ и c′ строятся линейные токи генератора , , . 6.3. Расчет несимметричных трехфазных цепей Как уже отмечалось при несоблюдении условий симметрии напряжений источника и (или) нагрузки трехфазная цепь будет несимметричной. Несимметрия напряжений на предприятиях вызывается подключением к сети мощных однофазных нагрузок, например, металлургических агрегатов. Несимметрия в нагрузке вызывается либо нормальными технологическими процессами, либо аварийными режимами (короткое замыкание, обрыв и т. д.). Не симметрия напряжений сильно сказывается на работе асинхронных двигателей, вызывая у них повышенный нагрев роторов, тем самым, сокращая срок их службы. Нагрев двигателей объясняется появлением двух вращающихся в противоположные стороны магнитных полей, которые наводят в роторе вихревые токи. Различают два типа несимметричных нагрузок: статические и динамические. Статические нагрузки характеризуются тем, что их сопротивление не зависит от характера несимметрии приложенного напряжения. Понятие динамической нагрузки связано в первую очередь с вращающимися машинами: двигателями и генераторами. Для расчета несимметричных цепей со статической нагрузкой могут использоваться все методы расчета, которые применялись для расчета однофазных цепей. Рассмотрим несколько примеров несимметричных трехфазных систем. 6.3.1. Соединение в звезду с нулевым проводом Рассмотрим схему на рис. 6.24, в которой несимметричная нагрузка (Za , Zb , Zc), соединенная звездой с нулевым проводом, питается от системы фазных напряжений источника. Требуется определить токи в фазах. Для определения токов в фазах нужно знать фазные напряжения на нагрузке , , . По этим напряжениям, пользуясь законом Ома, можно найти токи в фазах. На основании первого закона Кирхгофа запишем . (6.2) Рис. 6.24 Выразим эти токи через напряжения на участках и проводимости участков: (6.3) где ; ; ; . Подставив значения токов в уравнение (6.2), получим Из последнего равенства определяем напряжение : . (6.4) Используя найденное напряжение между нулевыми точками, находят фазные напряжения на нагрузке, а по ним – токи в ветвях на основании соотношений (6.3) Следует заметить, что, если в схеме на рис. 6.3 сопротивление или проводимость , то напряжение . В этом случае фазные напряжения источника и нагрузки равны друг другу: ; ; . Рассмотрим построение векторных диаграмм для частных случаев. 1. Короткое замыкание нагрузки фазы C ( или ) при наличии сопротивления в нулевом проводе. На практике такой случай возможен, например, когда из-за пробоя изоляции ввода в трансформатор фаза C оказывается замкнутой на нейтральный провод. В эквивалентной схеме на рис. 6.25, а потенциалы точек C, c и 0' одинаковы. Соответственно точка 0' топографической диаграммы напряжений (рис. 6.25 ,б) смещается в точку c, совпадающую с точкой C, потенциал которой задается генератором. Нулевая же точка 0 генератора лежит в центре равностороннего треугольника линейных напряжений. Векторы фазных напряжений генератора на топографической диаграмме показаны а) б) в) г) Рис. 6.25 пунктиром, а подписаны только те векторы напряжений, по которым рассчитываются и ориентируются векторы токов. Пусть , . На диаграмме токов (рис. 6.25,в) векторы токов фаз a и b параллельны соответствующим напряжениям и равны по величине. При формировании диаграммы сначала строится сумма . Затем из начала вектора первого слагаемого строится вектор тока в нулевом проводе . После этого в соответствии с уравнением по первому закону Кирхгофа вектор тока следует провести от конца вектора в конец вектора . Для рассматриваемого случая из геометрии диаграммы ток короткозамкнутой фазы , где . Аналогичен порядок построения диаграммы токов на рис. 6.25 , г для случая и , когда . Она сохраняет прежнюю структуру, только опережает напряжение на угол . Это приводит к изменению формы диаграммы, из геометрии которой следует, что . На практике нулевую точку нагрузки 0 присоединяют к корпусу электрооборудования. Если при симметричной нагрузке происходит замыкание фазы C на корпус и нулевой провод вследствие неисправности имеет сопротивление, то корпус электрооборудования оказывается под напряжением , недопустимое по технике безопасности. Две другие фазы окажутся также под повышенным напряжением (под линейным напряжением источника вместо фазного напряжения). Такой случай является на практике аварийным, и его выявляют путем регистрации тока в нулевом проводе, При нормальном режиме симметричной цепи ток в нулевом проводе отсутствует, а при аварийном имеет значительную величину (рис. 6.25 в, г). 2. Обрыв линейного провода одной фазы при соединении в звезду с нулевым проводом (рис. 6.26,а). Векторная диаграмма напряжений генератора в рассматриваемом случае симметрична. Напряжения по отношению к точке A генератора не подаются на схему и поэтому показаны на рис. 6.26, б пунктиром. Для определения токов нужна диаграмма напряжений на нагрузке, то есть на зажимах a, b и c схемы. Потенциалы точек A, B, и C (рис. 6.26, б) задаются симметричным генератором, поэтому на топографической диаграмме эти точки всегда лежат в вершинах правильного треугольника. Потенциалы точек B и b, C и с, а также 0 и 0' одинаковы, так как между этими точками нет сопротивлений. Поэтому на топографической диаграмме эти точки совпадают. Причем, точка 0' так же, как а) б) в) г) Рис. 6.26 и точка 0, оказываются в центре правильного треугольника. Здесь же оказывается и точка a, поскольку , соответственно и . Определив положение точек a, b, c, 0' на плоскости, остается соединить их векторами, сохранив структуру топографической диаграммы при соединении нагрузки в звезду. Векторы линейных напряжений и идут по векторам фазных напряжений и . При этом можно считать, что начало и конец вектора фазного напряжения находятся в одной точке , соответственно . Величина напряжения на обрыве определяется на топографической диаграмме длиной отрезка между точками A и a, то есть равна фазному напряжению генератора. Теперь строим диаграмму токов. Просуммировав векторы токов и по первому закону Кирхгофа, получим ток в нулевом проводе. Эго величина (длина вектора ) определяется геометрией диаграммы. Пусть . Тогда по диаграмме на рис. 6.26, в , где – величина фазного напряжения генератора. Пусть , , причем . Ориентируя слагаемые векторы соответствующим образом относительно фазных напряжений (рис. 6.26, г) из геометрии диаграммы получаем . Для того, чтобы записать результаты в виде комплексов нужно принять, например, что , то есть считаем, что вектор направлен вдоль оси действительных чисел. Относительно ориентированной таким образом координатной системы записываем комплексы токов и напряжений. Так, например, . 3. Рассмотрим схему на рис. 6.27, а, в которой нужно определить токи при обрыве фазы симметричного источника при В, r = 1 Ом. Проводимости фаз: ; . Фазные напряжения источника: ; ; . а) б) Рис. 6.27 Определяем напряжение В и напряжения на фазах нагрузки: токи: Векторные диаграммы приведены на рис. 6.27, б. 4. Определить ток короткого замыкания фазы в схеме на рис. 6.28,а с симметричным источником при В, r = 1 Ом. а) б) Рис. 6.28 Если закоротить фазу A, то потенциал точки 0' становится равным потенциалу точки A, который задается источником, поэтому точка 0' топографической диаграммы смещается в точку A (рис. 6.28,б). При этом напряжения составят: Токи: По первому закону Кирхгофа . 6.3.2. Соединение в звезду без нулевого провода Рассмотрим случай, когда к трехфазной цепи, соединенной звездой без нулевого провода, приложена несимметричная система линейных напряжений , , (рис. 6.29). Требуется определить токи , , Рис. 6.29 . Очевидно, для их определения достаточно знать фазные напряжения нагрузки. Чтобы их определить, воспользуемся законами Кирхгофа: ; (6.4) из которых следует: (6.5) (6.6) По закону Ома с учетом уравнений (6.4), (6.5) фазные токи: (6.7) Подставив значения токов из (6.7) в уравнение (6.4), получим уравнение с одним неизвестным: , из которого находим . (6.8) Аналогичным образом можно получить другие фазные напряжения: ; , (6.9) хотя их проще найти по формулам (6.3) и (6.4). По фазным напряжениям легко определить токи. Нужно отметить, что линейные напряжения задают обычно только по величине (действующие значения). Для определения комплексных значений в этом случае треугольник линейных напряжений располагают на комплексной плоскости таким образом, чтобы один вектор был направлен по оси действительных чисел. После этого из анализа геометрии топографической векторной диаграммы определяют начальные фазы других линейных напряжений. На топографической диаграмме должно быть указано положение нейтральной точки 0'. Ее положение может быть определено по значению одного из фазных напряжений, например . Рассмотрим некоторые частные случаи. 1. Обрыв фазы в звезде без нулевого провода (рис. 6.30, а). В данном случае положение нулевой точки не определяется генератором, поэтому целесообразно вначале построить диаграмму токов. Поскольку , то . Фактически сопротивления и обтекаются одним током, но в соответствии с указанными положительными направлениями следует считать, что токи и находятся в противофазе. Их сумма равна нулю (диаграмма на рис. 6.30 , б). При этом . а) б) в) Рис. 6.30 Векторная диаграмма напряжений (рис. 6.30 , в)строится по известным линейным напряжениям и заданным проводимостям фаз. Если предположить, что или , то напряжения на фазах нагрузки составляет: ; . Напряжение на разомкнутых зажимах . 2. Рассмотрим другой пример, когда обрыв в фазе C (рис. 6.31,а), а нагрузка фаз имеет разный характер (активное сопротивление и емкость), причем r = xC = 1 Ом. Линейное напряжение симметричного источника В. Требуется определить фазные напряжения , , . а) б) Рис. 6.31 Примем, что вектор направлен по оси действительных чисел, то есть В, тогда В, В. Проводимости ветвей , , . Согласно формулам (6.6) и (6.7) фазные напряжения определяются выражениями: В; В; Напряжения можно определить из анализа геометрии топографической векторной диаграммы напряжений. Рассчитав сначала токи А, построим из точки 0' на плоскости векторы: В; В. Затем строим векторы линейных напряжений. Напряжение определяется как вектор, проведенный из точки 0' в точку C. Его аргумент равен 90, а модуль – сумме высот верхнего и нижнего треугольников. 3. Короткое замыкание в звезде без нулевого провода. Сначала рассмотрим цепь на рис. 6.32 и определим как изменятся токи симметричной звезды без нулевого провода при коротком замыкании фазы B0', если в симметричном режиме ток был равен I . Из схемы видно, что при коротком замыкании фазы B потенциал точки B симметричного генератора подается в точку 0' нагрузки. Напряжения других фаз A и B, а также токи в этих фазах увеличиваются в раз: . Ток короткого замыкания фазы можно определить по векторной диаграмме. Рис. 6.32 На диаграмме напряжений (рис. 6.33, а) точка 0' смещается в точку B, положение которой жестко задано симметричным источником. Угол между фазными напряжениями и равен 60º. Поскольку углы сдвига в фазах одинаковы, между токами и сохраняется тот же угол 60º (рис. 6.33, б). При сложении токов по первому закону Кирхгофа а) б) Рис. 6.33 вектор оказывается лежащим против угла 120º, поэтому он в раз больше двух других фазных токов: . a) б) в) Рис. 6.34 В несимметричной схеме (рис. 6.34, а) диаграмма напряжений (рис. 6.34, б) сохраняется, но соотношение токов изменится (рис. 6.34, в), при этом ток короткого замыкания оказывается равным по величине токам двух неповрежденных фаз. 6.3.3. Соединение треугольником Необходимо заметить, что обмотки генераторов не соединяются в треугольник, так как при таком соединении даже незначительная несимметрия фазных э.д.с. приводит к появлению значительных уравнительных токов, что не допустимо по условиям эксплуатации. В качестве источников, фазные э.д.с. которых соединены в треугольник, можно использовать трехфазный трансформатор с вторичной обмоткой, соединенной в треугольник. Трансформаторы в трехфазных цепях могут иметь не только одинаковые, но и разные схемы соединений магнитосвязанных обмоток. Разные схемы соединений позволяют согласовать между собой трехфазные системы с различными по величине или (и) фазе напряжениями. Трехфазная нагрузка, присоединенная к сети, также может быть соединена в треугольник. При несимметричных режимах работы приемника, соединенного в треугольник, фазные и соответственно линейные токи получаются неравными, однако при любой несимметрии сумма комплексных значений линейных токов равна нулю: . Задача расчета цепи при несимметричной нагрузке, соединенной в треугольник, решается просто, поскольку по известным линейным напряжениям можно найти фазные токи. После этого по первому закону Кирхгофа определяют линейные токи. Рассмотрим ряд частных случаев. 1.Обрыв фазы в треугольнике (рис. 6.35, а). Топографическая диаграмма напряжений в этом случае (рис. 6.35, б) не деформирована. Структура векторной диаграммы токов точно такая же, как и в симметричном а) б) в) г) Рис.6.35 режиме, деформирована лишь форма диаграммы. Из одной точки строится звезда фазных токов (рис. 6.35, в и г). Так как , можно считать, что конец и начало этого вектора находятся в одной точке, а именно в точке, где начинаются все фазные токи. Концы векторов этих фазных токов замыкаются линейными токами , и , направление ориентации которых известно (как в симметричном режиме). Ток направлен во всех вариантах (рис. 6.35, в и г) из конца вектора в конец вектора , ток – из конца вектора в точку расхождения фазных токов и , поскольку в этой точке начинается и заканчивается нулевой вектор тока . Из этой же точки начинается вектор , направленный в конец вектора . Комплексы токов и находятся в противофазе, хотя фактически это один и тот же ток. Это является результатом специфического выбора направлений токов в треугольнике. Токи и физически одинаковы (см. схему на рис. 6.35, а) и изображаются одинаковыми векторами, так как совпадают условные положительные направления токов. На рис. 6.35, в принято , тогда величина . Тупой угол треугольника равен 120, следовательно, . На рис. 6.35, г, когда , имеем правильный треугольник токов, все токи по величине равны . 2. Обрыв линейного провода в треугольнике (рис. 6.36, а). В данном случае расположение точек топографической диаграммы напряжений нагрузки не определяется генератором. Поэтому диаграммы напряжений и токов следует строить совместно. Порядок построения векторов указан на рис. 6.36, б. Из одной точки строят векторы токов . По ним ориентируются векторы и и определяется на топографической диаграмме положение точек a, A, b≡B и c. Точка C находится в вершине правильного треугольника ABC, векторы , и которого образуют систему прямого следования фаз. По вектору ориентируется ток , начинающийся в той же точке, что и два других фазных тока. Имея звезду фазных токов, вокруг ее концов замыкают линейные токи , и . Так как и концы этих векторов находятся в одной точке, ток оборванной линии на диаграмме равен нулю. а) б) в) г) Рис. 6.36 На рис. 6.36, в в таком порядке построены диаграммы для активной нагрузки . Здесь точка c лежит на середине вектора , так как . Величина равна высоте правильного треугольника генераторных напряжений. Величина в два раза меньше тока , линейные токи составляют . Один и тот же ток представлен на схеме цепи двумя условными положительными направлениями токов, соответственно на диаграмме рис. 6.36, в им соответствуют два вектора ( и ), которые находятся в противофазе. а) б) в) г) Рис. 6.37 На рис. 6.37, г построены диаграммы для случая, когда . 3. Короткое замыкание фазы в примыкающем линейном проводе. Положение всех точек схемы (рис. 6.37 , а) на топографической диаграмме задается напряжениями генератора (рис. 6.37 , б). Причем потенциалы точек C, c, a одинаковы. Диаграмма токов (рис. 6.37 , в) строится с соблюдением обычных правил, начиная с токов , , , которые могут быть рассчитаны и ориентированы по соответствующим напряжениям. Векторы и строятся из одной точки, а ток – так, чтобы его конец совпадал с концом вектора . Начало вектора определит положение конца вектора , а начало этого вектора совпадает с началом векторов и . Затем структура диаграммы дополняется недостающими токами и . Величины , и можно определить из геометрии диаграммы. На рис. 6.37, в построена диаграмма токов для . Здесь , . Величина может быть рассчитана по теореме косинусов или определяется длиной вектора диаграммы в соответствующем масштабе. Рассмотрим случай смешанной нагрузки. Пусть , , при . Из диаграммы на рис. 6.37, г, построенной в том же порядке, следует интересное заключение: вектор , находящийся между концами векторов и , равен нулю. Все остальные токи, кроме тока , по величине одинаковы: . Ток короткозамкнутой фазы находят по теореме косинусов. 4. Определить ток при обрыве линии в заданной схеме (рис. 6.38) с симметричным источником, если задано: ; Ом; . При принятых условных положительных направлениях по закону Ома Рис. 6.38 А, а А. По первому закону Кирхгофа находим токи: А. А. Рис. 6.39 Из диаграммы (рис. 6.39) следует: ; В. 5. Определить ток при обрыве фазы в заданной схеме (рис. 6.40) с симметричным источником, если задано: . По закону Ома находим токи: Рис. 6.40 А; А. По первому закону Кирхгофа , А. Рис. 6.41 Векторная диаграмма напряжений и токов показана на рис. 6.41. В приведенных примерах трехфазная цепь рассчитывается, как обыкновенная разветвленная схема. Особенность лишь в том, что используются общепринятые для трехфазных цепей условные положительные направления токов. Этим направлениям соответствует и структура векторных диаграмм. 6.3.4. Общий случай расчета несимметричных трехфазных цепей В общем случае при расчете несимметричных трехфазных цепей могут использоваться все известные методы расчета, применяемые для расчета однофазных цепей: метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора и т.д. Ниже рассмотрим примеры, в которых оказывается целесообразным использовать преобразования треугольника в звезду (или наоборот) и применять полученные выше формулы для определения напряжений при преобразовании соединения треугольником в эквивалентную звезду. 1. Рассмотрим цепь (рис. 6.42, а), в которой нагрузка, соединенная треугольником, питается от источника через соединяющую их линию электропередачи. На первом этапе целесообразно соединение треугольником преобразовать в эквивалентную звезду по формулам преобразования: ; ; . В результате получаем схему (рис. 6.42, б), от которой переходим к эквивалентной звезде с сопротивлениями: ; , – или проводимостями: ; ; , подключенной непосредственно к зажимам источника. а) б) Рис. 6.42 Фазные напряжения преобразованной схемы: ; ; . Токи в линейных проводах: ; ; . Рис. 6.43 Для определения токов треугольника в несимметричном режиме нужно в преобразованной схеме по второму закону Кирхгофа рассчитать линейные напряжения нагрузки: ; ; , а затем найти токи в исходной схеме: ; ; . Рис. 6.44 2. Схема со смешанным соединением участков трехфазной цепи (рис. 6.43). Расчет такой схемы целесообразно выполнять в такой последовательности: а) соединение в звезду преобразуем в эквивалентный треугольник, как показано на рис. 6.44 (преобразование треугольника в эквивалентную звезду не дает решения, так как потенциалы нулевых точек и нулевой точки эквивалентной звезды будут различны); б) полученные треугольники с параллельно соединенными сторонами объединяем в один эквивалентный, и полученная схема будет такой же, как на схеме рис. 6.42, а. Дальнейшее решение будет таким же, как и в предыдущей задаче. 6.4. Мощность в трехфазной системе и ее измерение 6.4.1. Система с нулевым проводом На рис. 6.47 показана схема трехфазной системы с нулевым проводом. Сначала рассмотрим случай симметричной трехфазной системы, когда напряжения и токи фаз образуют симметричные системы: Рис. 6.47 ; ; ; ; ; . Мгновенную мощность трехфазной системы определяем как сумму мгновенных мощностей фаз: , где ; ; . Мощность трехфазной системы . Мгновенная мощность каждой фазы содержит постоянную величину, представляющую собой активную мощность фазы: , (6.11) и синусоидальную составляющую двойной частоты. Суммарная трехфазная мощность содержит только постоянную составляющую , (6.12) представляющую собой активную мощность трехфазной системы. Сумма синусоидальных составляющих равна нулю, так как они одинаковы по амплитуде и сдвинуты относительно друг друга на 120. Таким образом, для симметричной трехфазной системы мгновенная мощность равна активной мощности (p = P) и является постоянной величиной. Такая система называется уравновешенной. В случае несимметричной системы напряжений и токов сумма синусоидальных составляющих мгновенной мощности отличается от нуля. Такая система носит название неуравновешенной. Эта переменная составляющая является нежелательной, так как вызывает пульсации крутящего момента двигателя и отрицательно сказывается на работе двигателей и генераторов. В симметричной трехфазной системе активные мощности фаз одинаковы и суммарная активная мощность трехфазной системы равна утроенной мощности одной фазы. Реактивная мощность одной фазы по аналогии с активной , (6.13) а для всей трехфазной системы . (6.14) Полная мощность фазы , а полная мощность трехфазной системы . (6.15) Подставляя соотношения между линейными и фазными величинами в симметричной системе, соединенной звездой: в формулы (6.12), (6.14) и (6.15), получаем: ; ; . Из соотношений (6.12), (6.14), (6.15) следует, что для измерения мощности в симметричной трехфазной системе достаточно одного ваттметра, включенного в одну из фаз. Активная мощность трехфазной системы в этом случае равна утроенному показанию ваттметра. В случае несимметричной трехфазной системы активные мощности фаз: ; ; – будут различны. Для измерения мощности трехфазной системы в этом случае потребуются три ваттметра, включенные как показано на рис. 6.47. Такая схема включения ваттметров носит название схемы трех ваттметров. Мощность трехфазной системы в этом случае будет равна сумме показаний ваттметров: . Аналогично определяем реактивную мощность фаз: ; ; . Реактивная мощность измеряется специальными приборами – варметрами, в которых напряжение, приложенное к прибору, сдвигается с помощью специальной схемы на 90. Мощность можно также определять в комплексной форме. Комплексная мощность трехфазной системы . Полная мощность . 6.4.2. Мощность в системе без нулевого провода Если цепь симметрична и нагрузка соединена в звезду, то будут справедливы все соотношения для мощностей, полученные для соединения симметричной системы в звезду с нулевым проводом, так как добавление нулевого провода в симметричной трехфазной системе не изменяет напряжений и токов. При соединении в треугольник мгновенная мощность . В случае симметричной трехфазной системы . Аналогично ; . Используя приведенные выражения, получаем формулы, аналогичные формулам для соединения в звезду. Активная мощность фазы . (6.16) Реактивная мощность . (6.17) Полная мощность . 6.18) Подставляя в полученные формулы (6.16)–(6.18) соотношения между линейными и фазными напряжениями и токами: , – получаем формулы, совпадающие с (6.12), (6.14), (6.15). В случае несимметричной трехфазной системы, соединенной в звезду, активная мощность . Аналогичное выражение для реактивной мощности. Для комплексной мощности . Учитывая, что по первому закону Кирхгофа , получаем . (6.19) Из выражения (6.19) находим . где ; (6.20) . (6.21) а) б) Рис. 6.48 Величина может быть замерена ваттметром , а величина – ваттметром , включенными, как показано на рис. 6.48, а. Такая схема включения ваттметров носит название схемы двух ваттметров. Из векторной диаграммы (рис. 6.48, б) следует, что для симметричной системы: ; . Легко проверить, что сумма дает величину . Разность , то есть реактивную мощность симметричной трехфазной системы можно определить через показания ваттметров: . Рис. 6.49 Для измерения реактивной мощности трехфазной системы можно также использовать ваттметры, включив их по схеме, показанной на рис 6.49. Для этой схемы показания ваттметров: ; . В результате получаем . Схема двух ваттметров (см. рис. 6.48) пригодна для измерения мощности в трехфазных системах без нулевого провода при любом соединении нагрузки. Следует отметить, что при изменении вида соединения приемника с треугольника на звезду в симметричном режиме мощность уменьшается в три раза. Это связано с тем, что эквивалентное сопротивление приемника уменьшается в три раза. Соответственно при переключении сопротивлений со звезды на треугольник мощность приемника увеличивается в три раза. 6.6. Метод симметричных составляющих 6.6.1. Симметричные составляющие трехфазной системы Рассмотренные ранее методы расчета трехфазных цепей применимы при отсутствии в них вращающихся машин (генераторов, двигателей). В генераторах и двигателях обмотки фаз статора и ротора индуктивно связаны между собой, и эта взаимосвязь зависит от положения ротора по отношению к статору, поэтому при появлении несимметрии в токах фаз говорить о сопротивлении фаз затруднительно. Рассмотрим, например, асинхронный двигатель, имеющий три обмотки фаз A, B, C на статоре, питаемые от фазных напряжений , , , и три короткозамкнутые обмотки на роторе (см. рис. 6.58, б). Напряжение, например, фазы A двигателя может быть определено, как , где , , – токи фаз статора; , , – токи фаз ротора. Так как ротор вращается и соответственно меняется взаимное расположение обмоток, то одновременно меняется во времени взаимная индуктивность фазы A с фазами ротора (, , ). При симметричном режиме работы по фазам протекают симметричные токи и можно найти эквивалентное сопротивление фаз и провести расчеты. При несимметричном режиме работы, как было отмечено выше, возникают два вращающихся поля (прямое и обратное) и каждому полю соответствуют свои сопротивления. Эквивалентное сопротивление фаз двигателя в этом случае будет зависеть от соотношения прямого и обратного полей и для разных характера и степени несимметрии будет различным, поэтому рассмотренные ранее методы в этом случае не применимы. Расчет несимметричных режимов работы трехфазной цепи при наличии в ней вращающихся электрических машин проводится с помощью метода симметричных составляющих. Идея метода симметричных составляющих заключается в том, что любую несимметричную трехфазную систему (э.д.с., токов, напряжений,…) можно представить в виде суммы трех симметричных составляющих: нулевой, прямой и обратной последовательностей. Каждая составляющая содержит три одинаковые по амплитуде и частоте величины. Рассмотрим для примера источник с несимметричными фазными э.д.с. , , . Ее можно представить в виде суммы трех симметричных составляющих, показанных на рис. 6.59, а: 1) системы прямого следования фаз (рис. 6.59, б); 2) системы обратного следования фаз (рис. 6.59, в); 3) системы нулевого следования фаз (рис. 6.59, г). Рис. 6.59 Система прямого следования фаз соответствует обычной симметричной системе с порядком следования фаз A, B, C (по часовой стрелке). Для системы обратного следования фаз векторы фаз A, B, C следуют друг за другом против часовой стрелки. В обеих системах векторы сдвинуты относительно друг друга на 120. Система нулевого следования фаз содержит три одинаковые по модулю и по направлению векторы. Векторы заданной системы , , получаем, складывая составляющие прямого, обратного и нулевого следования фаз для каждой фазы. Результаты показаны на рис. 6.59, г. Рис. 6.60 Разложение несимметричной системы э.д.с. можно рассматривать как замену несимметричного источника э.д.с. тремя симметричными источниками прямого, обратного и нулевого следования фаз, включенными последовательно (рис. 6.60). Комплексные составляющие э.д.с. фаз различных последовательностей связаны между собой соотношениями: (6.22) где введено обозначение . Соответственно , , . Взаимное расположение и величина векторов симметричных составляющих зависят от вида несимметрии. При этом заданные векторы несимметричной трехфазной системы могут быть выражены через векторы симметричных систем следующим образом: (6.23) Решая систему (6.23) относительно , , получаем (6.24) Таким образом, для получения составляющей нулевого следования фаз – нужно сложить все три заданные несимметричные векторные величины и взять одну треть от полученной суммы. Для нахождения составляющей прямого следования фаз нужно взять треть суммы, состоящей из вектора плюс вектора , повернутого против часовой стрелки на 120, и плюс вектора , повернутого на 120 по часовой стрелке. Для вычисления составляющей обратного следования фаз нужно взять треть суммы, состоящей из вектора плюс вектора , повернутого по часовой стрелке на 120, и плюс вектора , повернутого а) б) Рис. 6.61 на 120 против часовой стрелки. Ниже приведен пример, иллюстрирующий разложение несимметричной системы напряжений на симметричные составляющие. При соединении вторичных обмоток трансформатора допущена ошибка: перепутаны начало и конец фазы С (рис. 6.61, а). Определить симметричные составляющие получившейся несимметричной системы (рис. 6.61, б) фазных напряжений, если Uф = 300 В. Аналитическое разложение несимметричной системы: Рис. 6.62 ; В; В; Рис. 6.63 Графическое разложение по тем же формулам приведено на рис. 6.62. Изобразим три симметричные составляющие системы и произведем их сложение. Получится исходная несимметричная система векторов (рис. 6.63). 6.7. Некоторые свойства трехфазных цепей в отношении симметричных составляющих Рассмотрим некоторые свойства трехфазных цепей в отношении симметричных составляющих. 1. В трехфазной цепи без нулевого провода векторная сумма линейных токов равна нулю: . Произведя замену на симметричные составляющие, получаем откуда . Поэтому составляющие нулевой последовательности в системе токов равны нулю: . 2. В трехфазной системе с нулевым проводом (рис. 6.64) ток в нулевом проводе равен сумме линейных токов. Так как (см. рис. 6.64), то, произведя замену на симметричные составляющие, получаем . Отсюда следует, что ток в нулевом проводе равен утроенному току нулевой последовательности. Появление в нулевом проводе токов нулевой последовательности свидетельствует о несимметричном режиме работы трехфазной системы, который может появиться, скажем, вследствие короткого замыкания фаз Рис. 6.64 на землю, обрыва линейных проводов и т.д. Это обстоятельство используется для построения автоматики, фиксирующей появление аварийных режимов по величине тока в нулевом проводе. 3. В трехфазной системе сумма линейных напряжений всегда равна нулю, поэтому линейные напряжения не содержат составляющих нулевой последовательности, так как . В несимметричной трехфазной системе в линейных напряжениях будут составляющие прямой и обратной последовательностей: , . Отношение  позволяет судить об отклонении системы линейных напряжений от условий симметрии и называется коэффициентом несимметрии линейных напряжений. По правилам устройств энергетики при  система считается практически симметричной. 4. В несимметричной трехфазной системе фазные напряжения содержат все симметричные составляющие. Векторная сумма фазных напряжений равна утроенному значению составляющей нулевой последовательности. На рис. 6.65 представлен фильтр напряжений нулевой последовательности, состоящий из трех однофазных трансформаторов напряжения, первичные обмотки которых включены на фазные напряжения, а вторичные – в разомкнутый треугольник, к зажимам которого подключен вольтметр. При коэффициенте трансформации трансформаторов , вольтметр покажет напряжение, определяемое формулой , где , то есть показания вольтметра пропорциональны напряжению нулевой последовательности. Рис. 6.65 5. Если в несимметричном режиме ток в одной или двух фазах цепи отсутствует, то сумма симметричных составляющих токов в этих фазах равна нулю. Например, в схеме на рис. 6.66, а фазы B и C разомкнуты, соответственно . Составляющие тока фазы A: а) б) в) г) Рис. 6.66 На рис. 6.66, б и в изображены ток фазы и его составляющие. На рис. 6.66, г показано геометрическое суммирование векторов симметричных составляющих в соответствии с равенствами: ; ; . 6.9. Расчет несимметричных режимов трехфазных цепей методом симметричных составляющих При расчете электрических цепей методом симметричных составляющих используют метод наложения. В соответствии с этим методом любую схему (с вращающимися машинами и без них) заменяют схемами прямой, обратной и нулевой последовательностей и ведут расчет симметричного режима для каждой схемы в отдельности. Для определения результирующих токов (напряжений) по методу наложения полученные токи (напряжения) суммируют. Как отмечалось выше, возможны два варианта задачи. 1. Расчет симметричной цепи при несимметричной системе приложенных напряжений. Примером может служить цепь с двигателями при питании цепи от несимметричной системы приложенных напряжений. В этом случае выполняют следующее: 1)разлагают несимметричную систему э.д.с. на симметричные составляющие; 2) рассчитывают схему прямого следования фаз при симметричной системе э.д.с. прямого следования фаз; 3) по полученным симметричным составляющим токов на основании принципа наложения находят искомые токи. 2. Расчет несимметричной цепи при симметричной системе приложенных напряжений. Метод симметричных составляющих получил применение для расчета аварийных режимов, когда в результате аварии нарушается симметрия трехфазной цепи при сохранении симметричности источников питания. Примером такой цепи может служить высоковольтная цепь при обрыве одного из ее проводов (продольная несимметрия). К продольной несимметрии относится также случай, когда в рассечку проводов (одной, двух или трех) включены различные дополнительные сопротивления. Если такие сопротивления включены между линейными и нулевым проводами ( между линейным проводом и землей), то имеем случай поперечной несимметрии. Рассмотрим порядок расчета несимметричного режима таких цепей на конкретных примерах. 6 6.9.1. Поперечная несимметрия В симметричной цепи, состоящей из генератора, линии передач и приемника, перед нагрузкой произошло замыкание одного из проводов линии на землю (рис. 6.69). Параметры прямой, обратной и нулевой последовательностей для данной цепи известны. Требуется рассчитать ток короткого замыкания и напряжения и в месте короткого замыкания. Решение целесообразно проводить в такой последовательности: 1. Несимметричный участок цепи заменим по теореме о компенсации тремя источниками, образующими несимметричный трехфазный источник. Режим цепи при этом не изменяется. Разложим несимметричную систему напряжений компенсирующего источника на симметричные составляющие. Результирующая расчетная схема представлена на рис. 6.70. Рис. 6.69 Рис. 6.70 2. На основании принципа наложения рассмотрим три режима В первом режиме действует только симметричная система напряжений прямого следования фаз (, , ). Система приложенных напряжений также симметрична, поэтому имеем симметричный режим (цепь и система приложенных напряжений симметричны). Для расчета такой цепи выделим одну фазу (удобно взять фазу C) и рассчитаем ее (рис. 6.71). Поскольку система приложенных напряжений симметрична, то , , . Расчет полученной схемы можно произвести на основании метода эквивалентного генератора. Для этого всю схему по отношению к зажимам ab заменим эквивалентным генератором с параметрами и (рис. 6.72). ; . Рис. 6.71 Рис. 6.72 На основании второго закона Кирхгофа . (6.30) Во втором режиме действует только э.д.с. обратной последовательности. Схема обратной последовательности для фазы представлена на рис. 6.73. Для этой схемы . Рис. 6.73 Расчетное уравнение для схемы обратной последовательности . (6.31) В третьем режиме действует только э.д.с. нулевой последовательности. В схеме нулевой последовательности (рис. 6.74) отсутствует сопротивление нулевой последовательности нагрузки, так как нагрузка соединена в звезду без нулевого провода и нет пути для замыкания токов нулевой последовательности через нагрузку. Иначе схему нулевой последовательности можно представить как соединение эквивалентного сопротивления нулевой последовательности и источника с напряжением (рис. 6.75), где . Рис. 6.74 Рис. 6.75 Этой схеме соответствует уравнение . (6.32) В результате разложения несимметричного режима на три симметричных получили три уравнения (6.30), (6.31), (6.32), связывающих напряжение и ток одноименной последовательности на несимметричном участке. Эти уравнения будут аналогичными и для других видов несимметрии (обрывы, другие виды к.з., просто несимметричный приемник). Эти три уравнения содержат 6 неизвестных , , , , , , для определения которых необходимы еще три уравнения, связывающие указанные величины. Такими уравнениями будут уравнения, соответствующие конкретному виду несимметрии. 3. Исходя из конкретного вида несимметрии (рис. 6.76), записываем три недостающие уравнения. Для данного аварийного режима имеем (к.з. фазы C); ; . Рис. 6.76 Выразим , , через составляющие фазы C: ; (6.33) ; (6.34) . (6.35) 4. Совместное решение уравнений (6.30) – (6.35) дает симметричные составляющие токов и напряжений фазы, принятой за основную для несимметричного участка. В данном примере вычтем выражение (6.35) из (6.34) и получим или . Подставляя в уравнение (6.34) или (6.35) и учитывая, что , будем иметь . Для дальнейшего решения заменим в уравнениях (6.31) и (6.32) и на , затем просуммируем выражения (6.30), (6.31), (6.32). С учетом уравнения (6.33) будем иметь: ; . Симметричные составляющие напряжений можно определить из уравнений (6.30), (6.31), (6.32): ; ; . 5. По вычисленным составляющим токов и напряжений несимметричного участка определим токи и напряжения во всех звеньях заданной схемы. Для этого сначала находим распределение токов и напряжений во всех элементах схем прямой, обратной и нулевой последовательностей фазы C из схем, показанных на рисунках 6.73, 6.74, 6.75: ; ; ; ; . Затем по составляющим токов фазы, принятой за основную, определяем токи во всех других фазах: ; ; . Аналогичные выражения для токов и напряжений можно записать и для других участков схемы. 6.9.2. Продольная несимметрия Симметричный генератор с известными сопротивлениями , , питает симметричную нагрузку через линию передач с сопротивлениями , . Перед нагрузкой произошел обрыв провода фазы A (рис. 6.77). Определить токи и напряжения цепи. Рис. 6.77 В месте обрыва фазы A в цепи появился несимметричный участок, который по теореме о компенсации заменим тремя источниками неизвестных напряжений , , (рис. 6.78). Разложим неизвестные напряжения на симметричные составляющие , , и, приняв фазу A за основную, составим схемы прямой (рис. 6.79, а), обратной (рис. 6.79, б) и нулевой последовательностей (рис. 6.79, в). Рис. 6.78 Для схем (см. рис. 6.79) на основании законов Кирхгофа имеем: ; (6.36) ; (6.37) . (6.38) а) б) в) Рис. 6.79 Как и ранее, в трех уравнениях имеем 6 неизвестных. Нужны еще три дополнительные уравнения. Составим их исходя из конкретного вида несимметрии: ; (6.39) ; (6.40) . (6.41) Из совместного решения уравнений (6.40) и (6.41) получим . (6.42) Выразив из уравнения (6.39), подставим его в уравнение (6.38). Из совместного решения уравнений (6.36), (6.37), (6.38) с учетом (6.42) получим: ; ; , где ; ; ; . В заключение отметим, что расчет несимметричной цепи при любом виде несимметрии в симметричной системе приложенных напряжений по методу симметричных составляющих сводится к решению системы шести уравнений с шестью неизвестными симметричными составляющими напряжений и токов какой-либо фазы несимметричного участка. Три уравнения составляются на основании законов Кирхгофа и три –для несимметричного участка. Пример 6.5. Трехфазный двигатель питается несимметричной системой фазных напряжений (рис. 6.80): В, В, В. Сопротивления фазы двигателя для токов прямого, обратного и нулевого следования фаз соответственно составляют: Ом; Ом; Ом. Рассчитать фазные токи. Рис. 6.80 1. Несимметричная система э.д.с. раскладывается на три симметричных составляющих: В; В; В. Вместо несимметричного источника в схему включаются последовательно три трехфазные системы э.д.с. 2. Далее система рассчитывается по методу наложения, где в каждом накладываемом режиме действуют фазные э.д.с. одного порядка следования и в фазах расчетных схем включены сопротивления токам соответствующих последовательностей. 3. Симметричные режимы прямого и обратного следований фаз рассчитывают путем выделения фазы после добавления нулевого провода (рис. 6.82, а и б). В схеме нулевого следования фаз обычно учитывается утроенное сопротивление нулевого провода. В данном случае имеем разрыв между нулевыми точками и схема нулевой последовательности (рис. 6.82, в) не замкнута. Рис. 6.81 а) б) в) Рис. 6.82 Токи последовательностей: А; А; . В цепи без нулевого провода токи нулевого следования фаз отсутствуют. Между нулевыми точками трансформатора и нагрузки при отсутствии тока нулевого следования фаз наблюдается напряжение В. 4. По найденным симметричным составляющим тока фазы A записывают искомые фазные токи: А; = А; = А. Сложение составляющих в векторной форме показано на рис. 6.83. Рис. 6.83 5. Напряжения фаз нагрузки рассчитываются через симметричные составляющие: и так далее или по второму закону Кирхгофа для результирующих комплексов: ; ; . Пример 6.6. На зажимах генератора (рис. 6.84), работающего в режиме холостого хода, произошло короткое замыкание. Определить вид короткого замыкания по известным симметричным составляющим токов и напряжений: А; В; В; В. Рис. 6.84 Для ответа на поставленный вопрос нужно по известным симметричным составляющим определить фазные токи и напряжения. На рис. 6.85 приведено их графическое построение. Рис. 6.85 Численные значения токов и напряжений: ; А; ; А; ; А. Поскольку ток наблюдается только в фазе B (), а напряжение , следует заключить, что в цепи в режиме холостого хода произошло короткое замыкание фазы на землю. Рис. 6.86 Пример 6.7. Рассчитать симметричные составляющие токов , , и напряжений , , в цепи на рис. 6.87, если заданы э.д.с. генератора, сопротивления его фаз токам различных последовательностей и сопротивление нейтрали. Рис. 6.87 1. Сопротивления фазы в симметричных режимах различного следования фаз для схем на рис. 6.88: ; ; . 2. Система уравнений для симметричных составляющих различного следования фазы A: – уравнения равновесия выделенной фазы для трех симметричных режимов – дополнительные уравнения для несимметричного участка цепи 3. Решение системы. Из уравнений (6.47) и (6.48) имеем . Заменив и в уравнениях (6.44) и (6.45) на , найдем из этих уравнений токи: , , и подставим их в уравнение (6.46). Тогда , откуда . Рис. 6.88 Теперь из полученных соотношений находим , и . Дадим некоторые пояснения к приведенному выше решению. В симметричных режимах прямого и обратного следований фаз ток в нейтральном проводе отсутствует, а напряжение равно нулю, и для выделения фазы сопротивление можно заменить проводом с нулевым сопротивлением (рис. 6.88). Токи нулевого следования фаз, суммируясь в точке , образуют ток в нейтрали и создают на нейтральном проводе напряжение . Соответственно, в схеме замещения нулевой последовательности включаем сопротивление 3. Таким образом, сопротивления для разных последовательностей таковы: ; ; . Можно сформулировать общее положение. Сопротивление фазы токам прямого (обратного) следования фаз определяется как сумма сопротивлений прямого (обратного) следования участков выбранной фазы. Для токов нулевого следования фаз к сопротивлениям нулевого следования выбранной фазы добавляется утроенное сопротивление нулевого провода. Сопротивления участков со взаимной индуктивностью для токов различного следования фаз определяется индивидуально в зависимости от характера индуктивных связей. Контрольные вопросы 1. При каких условиях трехфазная система будет симметрична? 2. Что называется уравновешенной трехфазной системой и чему равна мгновенная мощность уравновешенной трехфазной системы? 3. Записать соотношения между линейными и фазными токами и напряжениями при соединении источника и нагрузки в треугольник и звезду в симметричном режиме. 4. Записать мощности в симметричном режиме через линейные и фазные напряжения и токи. 5. Как изменится активная мощность симметричной трехфазной системы, если соединение нагрузки в треугольник пересоединить в звезду? 6. Как изменится активная мощность трехфазной системы, если нагрузку из соединения в звезду пересоединить в треугольник? 7. Сделать развязку индуктивных связей между линейными проводами. 8. Осуществить развязку индуктивных связей при соединении нагрузки в треугольник. 9. Включить необходимое количество ваттметров для измерения активной мощности в трехпроводной трехфазной системе. 10. Включить необходимое количество ваттметров для определения активной мощности в симметричной и несимметричной трехфазной цепях. 11. Как включить один ваттметр для определения активной мощности в трехпроводной трехфазной цепи? 12. Каким образом с помощью двух ваттметров можно определить реактивную мощность в трехпроводной трехфазной цепи в симметричном режиме? 13. Порядок расчета симметричной трехфазной системы при смешанном соединении нагрузок. 14. Порядок расчета четырехпроводной несимметричной трехфазной системы. 15. Порядок расчета трехпроводной несимметричной трехфазной системы. 16. Объяснить назначение нулевого провода в несимметричной трехфазной цепи. 17. При какого типа несимметриях можно использовать метод симметричных составляющих? 18. Записать формулы для определения симметричных составляющих через несимметричную систему напряжений трехфазного источника. 19. Показать на примере графический способ определения симметричных составляющих при заданных несимметричных напряжениях. 20. Почему в трехфазной трехпроводной цепи в линейных токах и напряжениях отсутствуют составляющие нулевой последовательности? 21. Приведите схемы замещения для симметричных составляющих при продольной несимметрии, когда отсутствует и когда имеется нулевой провод. 22. Приведите схемы замещения для симметричных составляющих при поперечной несимметрии, когда отсутствует и когда имеется нулевой провод.