Трехфазные цепи переменного тока. Трёхфазная электрическая система

Лекция 46 9 ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 9.1 Определение трехфазной системы. Получение 3фазного тока Трёхфазной электрической системой называется совокупность трёх электрически связанных однофазных систем, в которых с одинаковой частотой действуют одинаковые по величине ЭДС, сдвинутые относительно друг друга на 120 градусов и генерируемые одним генератором. Трехфазная система переменного тока была разработана, а затем практически освоена выдающимся русским инженером-электротехником М. О. Доливо-Добровольским (1862 — 1919) в 1891 г. Им были разработаны трехфазные генератор, трансформатор и асинхронный двигатель. Простое устройство, относительная дешевизна, высокая надежность в эксплуатации трехфазных генераторов, трансформаторов и двигателей, более экономичная передача энергии на расстояние по сравнению с однофазной системой способствовали широкому промышленному внедрению трехфазной системы переменного тока. Простейший трёхфазный генератор показан на рисунке 9.1, состоит из двух основных частей: статора и ротора. Рисунок 9.1- Простейший трёхфазный генератор. На статоре – неподвижная часть генератора, расположены три одинаковые обмотки, смещенные одна относительно другой на 120° по внутренней поверхности сердечника. Начала обмоток обозначают буквами А, В, С, а их концы — буквами X, Y, Z. Каждую обмотку генератора и её электрическую цепь называют фазой. Подвижная часть генератора — ротор — мощный электромагнит с обмоткой, получающей питание от источника постоянного тока. На практике все начала и концы фазных обмоток статора выводятся в коробку или на щиток выводов и расположены в порядке показанной на рисунке 9.2. Указанное расположение выводов на щитке, как будет показано ниже, удобно для включения обмоток заданным способом. А В С Z X Y Рисунок 9.2 - Щиток выводов обмоток статора Нужно заметить, что для удобства технического обслуживания и для маркировки на станциях и подстанциях электрические фазы имеют строгую расцветку. Цвета шин фаз стандартизированы: Ах- желтый, Ву – зелёный, Сz - красный. При вращении ротора будет вращаться и его магнитный поток. В результате этого, в каждой обмотке статора наводится синусоидальная ЭДС с максимальной амплитудой ЕmА , ЕmВ , ЕmС , следовательно считаем: ЕmА= ЕmВ= ЕmС = Еm Таким образом, амплитудные значения ЭДС всех фаз имеют одинаковые значения. Между ЭДС соседних фаз образуется угол сдвига по фазе относительно ЭДС соседней обмотки на 120°. Частота изменения ЭДС - f, пропорциональна скорости вращения ротора. Принимая за начало отсчета момент времени, когда ЭДС - ЕА ,в обмотке Ах равна нулю, то при вращении ротора против часовой стрелки уравнения ЭДС можно записать в следующем виде: ЭДС первой обмотки описывается уравнением: eА = Е sin 9.1 тогда ЭДС второй обмотки: eВ = Е sin( − 120) 9.2 а ЭДС третьей обмотки: eс = Е sin( −240°) 9.3 Этим уравнениям соответствуют векторная диаграмма и графики изменения ЭДС , изображенные на рисунках 9.3 и 9.4 Если принять за исходный вектор ЭДС ЕА, то ЭДС Ев отстает от ЕА, а ЭДС Ес отстает от Ев. Следовательно, максимальных значений ЭДС в фазах достигают в таком порядке: сначала в фазе А, затем в В и далее в С. Векторы ЭДС вращаются против часовой стрелки, а мимо неподвижной вертикальной оси они будут проходить в следующем порядке: Рисунок 9.3 – Векторная диаграмма ЭДС в обмотках статора Трехфазная симметричная систем ЭДС — это совокупность трех ЭДС имеющих одинаковую частоту и амплитуду, сдвинутых по фазе относительно друг друга на углы 120°. Рисунок 9.4 – Графики изменения ЭДС в фазных обмотках генератора Для расчетов, обычно, строят векторную диаграмму токов и напряжений изображая вектор напряжения на фазе А - ⃗А , направленным вертикально вверх. На рисунке 9.5 показаны: а — векторная диаграмма трехфазной симметричной системы ЭДС генератора, б — векторная диаграмма напряжений на равномерной нагрузке – трёхпалая звезда. а б Рисунок 9.5 - Векторная диаграмма ЭДС трехфазного генератора и напряжений на нагрузке ЭДС всех фаз трехфазного генератора принимают максимальные (амплитудные) значения в определенной последовательности. Рассмотренную последовательность А-В-С принято называть прямой последовательностью фаз ЭДС. Различают симметричный и несимметричный режимы работы трехфазной цепи. При симметричном режиме сопротивления трех фаз одинаковы и ЭДС образуют трехфазную симметричную систему. В этом случае токи фаз угол 120 градусов. а, в, с будут равны по величине и сдвинуты по При несимметричном (неравномерном) режиме комплексные сопротивления фаз не равны друг другу, токи и их фазные сдвиги при этом будут различными. Признаком не симметрии трехфазной системы ЭДС является неравенство амплитуд или неравенство углов сдвига фаз между каждой парой ЭДС. Основное свойство симметричных трехфазных систем синусоидальных величин заключается в том, что алгебраическая сумма мгновенных значений этих величин в любой момент времени равна нулю. Значит, при симметричной трехфазной системе ЭДС : еА + еВ + ес = 0 9.4 а при симметричной трехфазной системе токов : 9.5 А+ В+ С =0 9.2 Соединение обмоток генератора 9.2.1 Способы соединения обмоток Если к каждой обмотке генератора присоединить отдельную нагрузку с сопротивлениями ZA, ZB, Zc как показано на рисунке 9.1, то в результате образуются три самостоятельные однофазные электрические цепи с токами генерируемыми одним генератором рисунок 9.6. В такой несвязанной системе работают шесть проводов. Это экономически не выгодно и неэффективно. Рисунок 9.6 – Несвязанная трёхфазная цепь В несвязанной системе генератор с приемником энергии соединяется шестью проводами. Большое число соединительных проводов — основной недостаток несвязанных систем, которые поэтому и не применяются. Сокращение числа соединительных проводов достигается в связанных системах, где обмотки генератора, как и отдельные фазы приемника, электрически связаны между собой и образуют трехфазные цепи. Для этой цели выдающимся М.О.Доливо-Добровольским предложены две схемы соединения — звездой и треугольником, которые применяются и в настоящее время. При соединении звездой, концы обмоток статора соединяются в одной точке, называемой нулевой N, а начала обмоток выходят на линии электропередач рис. 9.7(а). При соединение треугольником конец одной обмотки статора соединяются с началом другой обмотки. Ответвления от начала обмоток выходят на линии электропередач рисунок 9.7(б). А А В С В С а б На рисунке 9.7 - Способы соединения обмоток генератора А В С Z X Y А В С Z X Y Рисунок 9.8 - Щиток выводов генератора, при разных способах соединения обмоток: а - соединение «звезда», б – соединение «треугольник» Вопросы для самоконтроля: 1. Что называется трёхфазной системой? 2. Чему равен сдвиг фаз между ЭДС соседних фаз? 3. 4. 5. 6. Кто изобрёл 3фазную систему? Что значит симметричный режим? Что значит несимметричный режим? Какая маркировка фазных шин принята на электростанциях и подстанциях? Лекция 47 9.2 Способы соединения обмоток трехфазного генератора 9.2.1 Соединение обмоток звездой - «Звезда с нулевым проводом» На электрической схеме (рисунок 9.9) обмотки статора трехфазного генератора располагают под углом 120°. При соединении обмоток звездой их концы X, Y и Z соединяют в одну точку 0, называемую нулевой точкой или нейтралью (N) генератора. От нулевой точки к потребителям энергии прокладывают нулевой или нейтральный провод. Кроме нулевого к потребителям энергии прокладывают три линейных провода, которые соединяются с началами обмоток А, В и С. Каждый линейный провод представляет собой отдельную фазу. Рисунок 9.9 – Линейные и фазные напряжения при соединении «Звезда с нулевым проводом» Полученная таким образом система называется звездой с нулевым проводом – четырёхпроводная линия. В случае отсутствия нулевого провода цепь получает название – «Трёхпроводная звезда». Фазные напряжения и токи Если от начала и конца обмотки (фазы генератора) перейти в линию электропередачи, то окажется, что фазное напряжение – это напряжение между линейным проводом (фазой) и нулевым проводом (нейтралью). Напряжения между началом и концом обмоток генератора называют фазными напряжениями и обозначают UА, Uв, Uc (в общем виде (Uф). При работе на нагрузку фазные напряжения отличаются от значения фазных ЭДС на величину потерь напряжения в обмотках (или внутреннего падения напряжения в обмотках). В режиме холостого хода фазное напряжение равно фазным ЭДС. При незначительных сопротивлениях обмоток и малых токах внутреннее падение напряжения можно не учитывать. При этом фазные напряжения будут мало отличаться от соответствующих ЭДС. Обратите внимание на стрелки (рисунке 9.9), указывающие положительное направление фазных напряжений. Токи в фазных обмотках генератора называются фазными токами А, В, С. Линейные напряжения и токи Напряжения между линейными проводами (т. е. между началами обмоток) называют линейными напряжениями и обозначают UAB, UВС, UCA (B общем виде Uл). Причем порядок индексов указывает положительное направление этих напряжений во внешней цепи, например UАВ направлено от А к В. Токи в линейных проводах называются линейными токами А , В , С .. Обмотки статора синхронного генератора выведены на шесть контактных зажимов. Соединение этих зажимов при включении обмоток звездой показано на рисунок 9.8а. Связь между линейными и фазными напряжениями На рисунке 9.10 показана векторная диаграмма фазных и линейных напряжений. Выясним связь между фазными и линейными напряжениями. Рисунок 9.10 – Векторная диаграмма линейных и фазных напряжений Рисунок 9.11.1 - Определение связи между л и ф Выделим из векторной диаграммы, показанной на рисунке 9.11.1 треугольник образуемый парой векторов фазных напряжений и вектором линейного напряжения. Выделенный треугольник – с тупым углом, мы не умеем решать такие треугольники, поэтому разделим его на два прямоугольных треугольника. Полученные прямоугольные треугольники образуются векторами одного фазного напряжения и половинкой вектора линейного напряжения. Кроме этого известны все его углы. Сейчас построить связь между фазным и линейным напряжениями очень просто, а именно следующим образом. По известным соотношениям прямоугольного треугольника, имеем: л sin 60 = ф л или cos 30 = ф 9.6 Так как: sin 60 = √3/2 , cos 30 = √3/2, тогда получим: √ л = = ф Умножим обе части равенства на 2, получаем: √3 = л или ф л 9.7 ф л = √3 ∙ ф 9.8 Что касается связи между линейными и фазными токами , то нетрудно заметить, что фазные токи протекающие по обмоткам генератора после выхода в ЛЭП (линию электропередачи) становятся линейными, то есть справедливо: 9.9 ф = л Полученные соотношения 9.8 и 9.9 справедливы для случая соединения обмоток генератора «звездой». Важно ! Особенностью трёхфазной системы с соединением «звезда» является возможность двух значений напряжения. Для «Звезды» справедливо: л = ∙ ф , ф = л На практике существуют стандартные значения номинального напряжения сети : 660/380 В; 380/220 В, 220/127 В. 9.2.2 Соединение обмоток трехфазного генератора треугольником Электрическая схема соединения обмоток генератора треугольником. Для соединения обмоток генератора треугольником (рисунок 9.12) конец первой обмотки X соединяют с началом второй обмотки В, конец второй обмотки Y с началом третьей обмотки С и конец третьей обмотки Z с началом первой обмотки А. От начала каждой обмотки А, В, С к потребителям энергии прокладывают линейный провод. Нулевой провод при этом соединении отсутствует. Таким образом, при соединении обмоток генератора треугольником получают трехпроводную, электрически связанную трехфазную систему. Рисунок 9.12 – Линейные и фазные напряжения при соединении «Треугольник» На рисунке 9.12 показаны напряжения, действующие в трёхфазной системе при соединении обмоток треугольником. Обозначим линейные напряжения генератора UАВ, UBC и UCA. Напомним, что фазное напряжение измеряется между началом и концом обмотки одной из фаз генератора, а линейные — между линейными проводами или началами двух фазных обмоток. Связь между фазными и линейными напряжениями, при этом способе соединения обмоток очевидна: укажем линейное напряжение – это напряжение между линейными проводами UAB, UВС, UCA . А сейчас проследим это напряжение двигаясь по линиям проводов к генератору. В результате указатели выведут к фазной обмотке – то есть линейное напряжение оказывается равным фазному напряжению, на выходе генератора. Каждая обмотка генератора выведена к соответствующим линейным проводам. Например, к линейным проводам А и В включена обмотка А — X, а к линейным проводам В и С — обмотка В — Y. Поэтому линейное напряжение в то же время является и фазным. Таким образом получена связь напряжений: 9.10 л = ф Связь между фазными и линейными токами можно выяснить, проанализировав их направления в некоторый момент времени рисунок 9.13 Рисунок 9.13 – Токи в трёхфазной системе при соединении обмоток генератора «треугольником» Построим уравнения, связывающие линейные и фазные токи применяя первый закон Кирхгофа для векторов токов в виде таблицы 9.1 Таблица 9.1 – Линейные и фазные токи в системе «Треугольник» ⃗ = А⃗ + СА . ⃗ А ⃗= АВ ⃗ = В⃗ + АВ . ⃗ В ⃗= ВС ⃗ = С⃗ + ВС . Узел А: АВ Узел В: ВС Узел С: СА ⃗ ⃗= С ⃗− СА . ⃗ 9.11 ⃗− АВ . ⃗ 9.12 ⃗− СА ⃗ ВС . 9.13 Построим векторную диаграмму токов и напряжений для соединения «треугольник». Рисунок 9.14- Векторная диаграмма токов и напряжений соединеник «Треугольник» Пусть токи совпадают по фазе с напряжением одноименных фаз. Вынесем вектора токов паралельно себе и преобразуем их в трёхпалую звезду фазных токов (рисунок 9.15). Рисунок 9.15 – Определение связи между линейными и фазными токами при соединении «Треугольник» После чего построим вектор любого линейного тока, например линейного тока проводе В) по уравнению В⃗ = ВС⃗ − АВ⃗, или В⃗ = ВС⃗ + (− АВ )⃗. В (в После выполнения указанных выше операций, получает треугольник, аналогич- ный треугольнику напряжений (рисунок 9.11.1) при исследовании соединения «звезда». Проведя аналогичные рассуждения по формулам 9.6-9.8. получим соотношение между фазными и линейными токами: л =√ ∙ ф 9.14 Важно ! Особенности трёхфазной системы «Треугольник»: – л = √ ∙ ф ; л = ф – соотношения для токов и напряжений. – В системе нет нулевого провода. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Вопросы для самоконтроля: Что называется фазным током? Что называется линейным током? Что называется фазным напряжением? Что называется линейным напряжением? Какая связь между фазными и линейными параметрами при соединениях «звездой» и «треугольником»? Что характерно для соединения обмоток генератора «звездой»? Что характерно для соединения обмоток генератора «треугольником»? Лекция 48 9.3 Нагрузка в трёхфазной системе Нагрузку в трёхфазной системе, равно как и обмотки генератора можно включить, соединяя звездой или треугольником. В зависимости от равномерности загрузки фаз, трёхфазная система может быть равномерной и неравномерной, симметричной и несимметричной. 9.3.1 Соединение нагрузки звездой Рассмотрим схему трёхфазной цепи при соединении потребителей звездой рисунок 9.16 Рисунок 9.16 - Схема соединения потребителей «звездой» А, В, С– фазные напряжения или напряжения на каждой фазе, (напряжения между началом и концом соответствующей фазы); А , В , С – фазные токи – токи в фазах приемника; – линейные или междуфазные напряжения (между двумя линейными АВ , ВС , СА проводами, напряжения между началами двух соседних фаз или совсем просто – между двумя фазами); А, В, – линейные токи – токи в линиях электропередачи. Для схемы соединения звездой (рисунок 9.16) очевидно равенство фазных и линейных токов. Независимо от характера нагрузки: ⃗Ал = ⃗Аф ; ⃗Вл = ⃗Вф , ⃗Сл = ⃗Сф , ⃗л = ⃗ф 9.15 С Нагрузка фаз может быть:  симметричной;  несимметричной. 9.3.2 Равномерная, симметричная нагрузка. Сопротивления всех фаз - одинаковы: ZA = Z B = ZC Тогда при равенстве фазных напряжений: А = В = С, Значение фазного тока определяется как: А = А А , = В В В 9.16 9.17 , С = С С . 9.18 Соответственно равны между собой и фазные (линейные) токи: А = В = С. В общем виде: ф = ф . 9.19 ф На рисунке 9.17 построена векторная диаграмма токов и напряжений для симметричной нагрузки, с активными потребителями на всех фазах: Рисунок 9.17- Векторная диаграмма фазных токов и напряжений при соединении потребителей «звездой» в симметричном режиме Воспользуемся этим построением для определения связи между фазными и линейными параметрами цепи при симметричной нагрузке. На рисунке 9.18 построим векторную диаграмму для всех действующих напряжений: а б в Рисунок 9.18 - Векторные диаграммы напряжений, определение связи между линейным и фазным напряжением л и ф По векторной диаграмме рисунок 9.18 можно записать соотношения фазных и линейных напряжений в векторном виде: ⃗АВ = ⃗А − ⃗В 9.20 ⃗ВС = ⃗В − ⃗С 9.21 ⃗СА = ⃗С − ⃗А 9.22 Токи всех фаз втекают в одну точку. Так как переменные токи, ЭДС и напряжения суммируются векторно, найдем результирующий ток . Векторное сложение векторов токов на рисунке 9.19.1 Рисунок 9.19.1 – Сумма токов при симметричной нагрузке Из векторной диаграммы (рисунок 9.19) при равномерной (симметричной) нагрузке очевидно соотношение для суммы токов: ⃗А + ⃗В + ⃗С = 0. а б 9.23 в Рисунок 9.19.2 – Сумма фазных напряжений при симметричной нагрузке: а- звезда напряжений, б – сумма векторов напряжения. После аналогичных операций с фазными и линейными напряжениями, получим: ⃗А + ⃗В + ⃗С = 0 ⃗АВ + ⃗ВС + ⃗СА = 0 9.24 9.25 Вопросы для самоконтроля 1 Какая нагрузка называется симметричной? 2. Какое соединение называется соединением звездой? 3. Как строится векторная диаграмма для токов и напряжений при соединении звездой? 4. Потренируйтесь в построении векторных диаграмм. Лекция 49 9.3.3 Неравномерная нагрузка Если нагрузка на фазах неодинакова : ZA  ZB  ZC, в 3-х фазной системе нарушается баланс токов. При неравномерной (несимметричной) нагрузке между точками 0 и 01 (рисунок 9.20) возникает напряжение несимметрии ⃗ = ⃗А ⃗В А А В В ⃗С С 9.26 С Рисунок 9.20 - Трёхпроводная схема (при отсутствии нулевого провода). Из – за этого нарушается «безусловное» равенство напряжений трехфазной системы т.е. напряжения фаз приемника неодинаковы по величине и по фазе, и определятся как: ⃗′А = ⃗А − ⃗ 9.27а ⃗′В = ⃗В − ⃗ ⃗′С = ⃗С − ⃗ 9.27б 9.27в Тогда фазные токи можно определить как: ⃗фА = ⃗А = ⃗А ⃗фВ = ⃗В = ⃗В ⃗фС = ⃗С = ⃗С А В С = ⃗А А ; 9.28 = ⃗В В 9.29 = ⃗С С 9.30 Рисунок 9.21 - Векторная диаграмма напряжений при несимметричной нагрузке. Смещение нейтральной точки На векторной диаграмме напряжений рисунке 9.21 показано, каким образом при несимметричной нагрузке происходит или смещение нейтральной точки – так называемый– «перекос фаз», или напряжение смещения . Для обеспечения симметричной системы напряжений во всех фазах и независимой работы отдельных приемников применяется схема звезды с нулевым проводом (рисунок 9.22) или четырехпроводная система. Рисунок 9.22 – Схема звезды с нулевым проводом или четырехпроводная система На схеме показаны условные направления токов в линейных и нулевом проводах. Ток в нулевом проводе можно определить, построив в масштабе векторную диаграмму токов и напряжений системы и выполнив построение суммарного вектора: Рисунок 9.23 - Векторная диаграмма Определение тока в нулевом проводе при неравномерной нагрузке ⃗А + ⃗В + ⃗С = ⃗ . 9.31 Поскольку узлы 001 соединены нулевым проводом, напряжение между ними (разность потенциалов) равно нулю, как и при симметричной нагрузке: ⃗ =0 9.32 Так, благодаря нейтрали при несимметричной нагрузке фазные и линейные напряжения остаются постоянными. А это обязательно по определению трёхфазной системы. 9.3.4 Роль нулевого провода Нулевой провод является уравнительным. Потенциалы нейтрали источника и приемника с помощью этого провода принудительно уравнены, а поэтому звезда векторов фазных напряжений приемника точно совпадает со звездой фазных напряжений источника. Четырехпроводная система применяется в электрических сетях с напряжением 380/220 В при электроснабжении от общего источника силовой (электродвигатели) и осветительной (электролампы) нагрузки (рисунок 9.24). Рисунок 9.24 – Включение нагрузки в четырёхпроводную сеть На нулевом проводе никогда не ставят выключателей и предохранителей. Необходимо чтобы он был всегда в готовности взять на себя неравномерность нагрузки фаз. Обрыв «нуля» считается аварийным режим. В четырёхжильном силовом кабеле, нулевой провод можно отличить от рабочих жил по цвету изоляции (голубая) или по сечению (площадь сечения нейтрали меньше чем сечение рабочих жил). Вопросы для самоконтроля: 1. 2. 3. 4. Что такое неравномерная нагрузка? Почему возникает перекос фаз? В чем заключается роль нулевого провода? Потренируйтесь в построении векторных диаграмм. Лекция 50 9.3.4 Аварийные режимы при включении нагрузки звездой Ранее были рассмотрены свойства трехфазной системы при соединении приемников энергии звездой. Относительно нулевого провода были сделаны следующие выводы: 1) при равномерной нагрузке этот провод к приемникам электрической энергии может не подключаться, так как ток в нем равен нулю; 2) при неравномерной нагрузке в нулевом проводе имеется некоторый ток Какие же изменения произойдут в фазах приемника при неравномерной нагрузке, если отключить нулевой провод? Для этого рассмотрим некоторые характерные неблагоприятные случаи неравномерной нагрузки. Обрыв фазы приемника при отключенном нулевом проводе При равномерной нагрузке, когда ZA = ZB = ZC, отсутствие нулевого провода не изменит режима работы электрической цепи. Векторы линейных напряжений UAB, UBC, UCА, образуют замкнутый треугольник, а векторы фазных напряжений приемника и генератора UА, Uв, UC образуя трёхпалую звезду, расходятся к вершинам А, В и С из нулевой точки 0, которая находится в центре треугольника. Такая диаграмма справедлива и для равномерной нагрузки с нулевым проводом. Векторная диаграмма для этого случая была показана на рисунке 9.10, Приведем этот рисунок ещё раз: Рисунок 9.24 – Векторная диаграмма линейных и фазных напряжений в симметричном режиме Чтобы создать неравномерную нагрузку (рисунок 9.25), отсоединим от генератора первую фазу приемника (для этого отключим рубильник Р). Рисунок 9.25 – Моделирование обрыва фазы При этом цепь с последовательным соединением двух равных сопротивлений ZB и ZC будет находиться под линейным напряжением Uвс . Падения напряжения на них будут одинаковы и равны половине напряжения Uвс. Следовательно, нулевая точка 0' окажется посредине отрезка ВС (рисунок 9.26). Рисунок 9.26 – Векторная диаграмма при обрыве 1 фазы Соединив точку 0' с вершинами треугольника А, В и С, получим векторы фазных напряжений U'A, U'в, U'c Важно! При обрыве одной фазы в трёхпроводной трехфазной цепи: напряжение на поврежденной фазе увеличивается до 0,5 л √ л (0,87 л ), а напряжения на здоровых фазах падает до Короткое замыкание фазы приемника при отключенном нулевом проводе Мы рассмотрели один из вариантов неравномерной нагрузки, когда происходит обрыв фазы А и А = ∞ , а В = С Рассмотрим неравномерную нагрузку в аварийном режиме, когда происходит короткое замыкание на одной и рабочих фаз, например на фазе А. (рисунок 9.27) Рисунок 9.27 – Моделирование короткого замыкания фазы А Для моделирования режима короткого замыкания, линейный провод А непосредственно соединяется с нулевой точкой приемника энергии. Сопротивление КЗ равно нулю т.е. ZAкз = 0. А сопротивления здоровых фаз остаются прежними, одинаковыми друг другу: ZB = ZC. Поэтому напряжение на первой фазе падает до нуля т.к.: 9.33 А = А кз × А кз = 0 А на второй и третьей фазах — увеличивается до линейного напряжения: U'A = 0; U'B = UAB ; U'C = UCA 9.34 Нулевая точка 0' при этом совпадает с вершиной А треугольника напряжений (рисунок 9.28) Рисунок 9.28 – Диаграмма напряжений при коротком замыкании на фазе А При переходе от первого варианта неравномерной нагрузки ко второму, т. е. при уменьшении сопротивления ZA от ∞ (обрыв фазы) до 0 (короткое замыкание фазы), нулевая точка будет перемещаться вверх по прямой линии (рисунки 9.26, 9.28) в точку А. При этом напряжение на первой фазе приемника будет уменьшаться от 0,86 Uл до 0, а на второй и третьей — увеличиваться от л до л. Определение фазных напряжений приемника. Для определения фазных напряжений приемника используется метод комплексных чисел. Сначала определяют напряжение между точками 0' и 0 (см. рисунок 9.21) называемое напряжением смещения нейтрали. Его комплексная величина определяется по методу узлового напряжения ⃗ = ⃗̇ А А А ⃗В В В С ⃗С С 9.35 где ⃗А , ⃗В , ⃗С— комплексы фазных напряжений генератора; YА, У в, Ус — комплексные проводимости фаз приемника; У0 — комплексная проводимость нулевого провода. При отключенном нулевом проводе У0=0. Комплексы фазных напряжений приемника: ̇ ′А = ̇ А − ̇ 9.36 ̇ ′В = ̇ В − ̇ 9.37 ̇ ′С = ̇ С − ̇ 9.38 Общий случай неравномерной нагрузки при отсутствии нулевого провода был рассмотрен выше. На рисунке 9.21 показана топографическая диаграмма трехфазной цепи при соединении приемников звездой и неравномерной нагрузке. Рисунок 9.28 – Перекос фаз Четырехпроводные трехфазные системы широко применяются для осветительной нагрузки. При этом номинальное напряжение ламп равно фазному напряжению сети. Во избежание разрыва цепи нулевого провода в нем не устанавливают предохранителей и выключателей. Важно !  При отсутствии нулевого провода, в случае КЗ на нагрузке одной из фаз, напряжение на поврежденной фазе падает до нуля , а на здоровых фазах увеличивается до линейного значения л .  При неравномерной нагрузке и отключенном нулевом проводе происходит смещение нулевой точки 0' приемника из центра треугольника линейных напряжений генератора.  В результате этого изменяются фазные напряжения приемника электрической энергии. Более загруженные фазы приемника (с меньшим общим сопротивлением) оказываются под меньшим фазным напряжением, а менее загруженные фазы приемника (с большим сопротивлением) — под большим фазным напряжением. Потренируйтесь в построении векторных диаграмм. 1. 2. 3. 4. 5. Вопросы для самоконтроля: Что происходит в цепи при коротком замыкании на одной фазе? Что происходит в цепи при обрыве одной фазы? Какую роль играет нулевой провод при аварийных режимах? Можно ли считать обрыв нуля аварийным режимом? Что такое «перекос фаз»? Лекция 51 9.3.5 Соединение нагрузки треугольником Рассмотрим схему соединения треугольником на рисунке 9.29. Рисунок 3.29 – Трехфазная система при включении нагрузки треугольником Из электрической схемы цепи очевидно: UфAB = UАВ ; UфBС = UВС ; Следовательно: Uф = Uл; Можно описать и линейные токи заданной системы: ⃗ ⃗ ⃗ А = АВ − СА ⃗ ⃗ ⃗ В = ВС − АВ ⃗ ⃗ ⃗ С = СА − ВС UфСA = UСА. Аналогичные уравнения были получены в § 9.2.2, формулы 9.11-9.13, Если сложить правые и левые части полученной системы уравнений, получим: ⃗А + ⃗В + ⃗С = АВ⃗ − СА⃗ + ВС⃗ − АВ⃗ + СА⃗ − ВС⃗ или ⃗А + ⃗В + ⃗С = 0 Связь между линейными и фазными токами по формуле 9.14: л = √ ∙ Векторные диаграммы на рисунке 9.30 подтверждают последнее. ф а б Рисунок 9.30- Векторные диаграммы при соединении нагрузки треугольником: а- Токи и напряжение, б- определение линейного тока 9.39 9.40 Случай неравномерной нагрузки при её включении треугольником. Если в каждую фазу включена разная нагрузка, то есть нагруочные сопротивления фаз не одинаковы, то система работает в неравномерном режиме. Пример такой нагрузки показан на рисунке 9.31. В этом случае в каждой фазе протекает ток, который можно определить как: ⃗= А ⃗А А , ⃗= В ⃗В В , ⃗= С ⃗С С 9.41 а б Рисунок 9.31 - Схема (а) и векторная диаграмма токов (б) при неравномерном треугольнике. Это неблагоприятный режим, обычно трехпроводная система с соединением нагрузки треугольником применяется для потребителей с равномерной нагрузкой фаз, например электродвигатель, обмотки статора которого при любом способе их соединения представляют собой равномерную нагрузку или другие потребители (рисунок 9.32) Рисунок 9.32 – Включение потребителей в трёхфазную сеть по схеме треугольника в режиме равномерной нагрузки а – трехфазный двигатель, б – осветительная установка. В трехфазных установках не редки случаи, когда одна часть нагрузок включена звездой, а другая часть — треугольником (рисунок 9.33). Например, в четырехпроводной системе с линейным напряжением Uл = 220 В, электрические лампы могут быть включены в треугольник на Uл = 220 В или звездой на фазное напряжение Uф = 127 В, а трехфазные электрические двигатели и нагревательные устройства — в треугольник на линейное напряжение Uл =220 В (рисунок 9.33). Рисунок 9.33 – Включение нагрузки звездой и треугольником в четырёхпроводную трехфазную систему. Возможность иметь в одной сети два различных по величине напряжения (Uл и Uф) является очень хорошим преимуществом трехфазной системы. Вопросы для самоконтроля: 1. Что характерно при включении нагрузки «треугольником»? 2. Когда применяется соединение нагрузки «треугольником»? 3. Применяется или нет соединение нагрузки «звездой» и «треугольником» в одну и туже 3фазную сеть? В каких случаях? 4. Что происходит в системе при неравномерном «треугольнике»? Потренируйтесь в построении векторных диаграмм. Лекция 52 9.4 Мощность трехфазной системы В общем случае трехфазная мощность равна сумме мощностей всех фаз: = А+ В+ С 9.42 = А+ 9.43 В+ С Активная и реактивная мощности на одной фазе определяются по формуле: 9.44 ф = ф ф ∙ cos 9.45 ф = ф ф ∙ sin При симметричной нагрузке, когда нагрузка на всех фазах одинакова по характеру и значению, суммарная трёхфазная мощность определится как: Активная трёхфазная мощность: = 3 ф ф ∙ cos 9.46 Реактивная трёхфазная мощность: = 3 ф ф ∙ sin 9.47 Если учесть, что для схемы соединения «звездой»: л = √ ∙ а для схемы соединения «треугольником»: л = ф , л = √ ∙ ф, ф, л = ф, то трехфазную мощность при симметричной нагрузке можно определить как: = 3 ф ф ∙ cos = √3 л л ∙ cos = 3 ф ф ∙ sin = √3 л л ∙ sin Полная трёхфазная мощность: = + = √3 л ∙ л 9.5 Измерение мощности в трехфазной сети 9.48 9.49 9.50 В зависимости от величины и характера нагрузки фаз мощность в трёхфазной системе можно определить одним из следующих методов: – Метод одного ваттметра, – Метод двух ваттметров, – Метод трёх ваттметров. Метод одного ваттметра В случае равномерной нагрузке мощность, потребляемая от трехфазной системы, может быть определена одним однофазным ваттметром включенным по схеме на рисунке 9.34. В четырехпроводной системе (с нулевым проводом) токовая обмотка ваттметра включается последовательно в один из линейных проводов, а обмотка напряжения - между теми же линейным и нулевым проводами. Рисунок 9.34 - Метод одного ваттметра Общая мощность равна: Р= ×Р Метод трёх ваттметров При несимметричной нагрузке одного ваттметра для определения мощности трехфазной системы недостаточно. В четырехпроводной системе необходимо применение трех ваттметров (рисунок 9.35), обмотки напряжений которых включаются между нулевым и соответствующим линейным проводами. Каждый ваттметр измеряет мощность одной фазы. Мощность трехфазной системы равна сумме показаний трех ваттметров, т. е. P = P1 + P2 + P3 Рисунок 9.35 - Метод трёх ваттметров Метод двух ваттметров Но наиболее часто в трехпроводной системе при симметричной и несимметричной нагрузке наиболее часто используют схему двух ваттметров (рисунок 9.36), которая не может быть применена в четырехпроводной системе. Рисунок 9.36 - Метод двух ваттметров В схеме двух ваттметров обмотки напряжений каждого ваттметра соединены с входным зажимом обмотки тока и линейным проводом, оставшимся свободным. Полная мощность трехфазной системы равна сумме показаний ваттметров, т. е. P = P1 + P2. При больших углах сдвига фаз между напряжением и током показания одного из ваттметров могут оказаться отрицательными, и для измерения мощности следует изменить направление тока в обмотке, переключив ее. В этом случае суммарная мощность равна разности показаний ваттметров, т. е. Р = Р1 - Р2. 9.6 Измерение мощности в трехфазной сети Энергия в трехфазной системе измеряется как однофазными, так и трехфазными счетчиками электрической энергии. Однофазные счетчики включают в трехфазную сеть так же, как и ваттметры. Трехфазные счетчики составляются из двух или трех однофазных счетчиков, размещенных в одном корпусе и имеющих общий счетный механизм, и называются соответственно двухэлементными или трехэлементными. В трехпроводной системе (без нулевого провода) применяют двухэлементные, а в четырехпроводной системе (с нулевым проводом) - трехэлементные счетчики. Схема включения счетчика электрической энергии указывается на съемной крышке, которой закрывается панель зажимов. Метод двух ваттметров для измерения энергии однородной трехфазной нагрузки представлен на рисунке 9.37 Рисунок 9.37 - Схема измерения энергии в трёхфазной цепи методом двух ваттметров Вопросы для самоконтроля 1. Дайте определение трехфазной системы переменного тока. 2. Какое соединение называется соединением звездой? 3. Как строится векторная диаграмма для токов и напряжений при соединении звездой? 4. Какое соединение называется соединением треугольником? 5. Как строится векторная диаграмма для токов и напряжений при соединении треугольником? 6. В каком случае отсутствует ток в нулевом проводе? 7. Какова связь между линейными и фазными напряжениями при соединении звездой? 8. Какова связь между линейными и фазными токами при соединении треугольником? 9. Какие способы измерения мощности трехфазной системы вы знаете? 10. В каких случаях применяется каждый из них? 14.Какова связь между периодом и частотой? 15. Дайте определение трехфазной системы переменного тока. 16. Какое соединение называется звездой? 17. Какое соединение называется треугольником? 18. Какие способы измерения мощности трехфазной системы вы знаете? Лекция 53 11 ЦЕПИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА 11.1 Графики несинусоидальных токов Мы рассмотрели основные законы и особенности синусоидального переменного тока. В областях техники, таких, как автоматика, телемеханика и связь, в различной электронной и вычислительной техники широко используют несинусоидальные токи, т. е. токи, которые изменяются во времени не по синусоидальному закону. Рассмотрим кривые некоторых несинусоидальных токов. На рис. 11.1, а дана кривая несинусоидального тока, полученного при двухполупериодном выпрямлении. i i t t Рисунок 11.1- Токи на выходах выпрямителей Этот ток пульсирующий, он не меняет своего направления, но изменяется по величине, поэтому выпрямленные токи сглаживают (т. е. выравнивают их величину) при помощи фильтров и используют для питания потребителей постоянного тока. На рисунке 11.2 дан график несинусоидального тока, который проходит по проводам при передаче телеграфных сигналов. Это импульсный ток, он может быть изменятся по амплитуде и длительности импульса. i t Рисунок 11.2 - Ток телеграфной связи На рисунке 11.3 — график несинусоидального тока, используемый для управления объектами автоматики. i t Рисунок 11.3 – Ток для работы автоматических устройств На рисунке 11.4 показан график тока линейно-изменяющегося напряжения (пилообразного) ЛИН-генераторов i t Рисунок 11.4 – Ток на выходе ЛИН-генератора В телефонной связи передача звуковых колебаний связана с их превращением в электрические. Получаемые при этом переменные токи также имеют различную несинусоидальную форму. 11.2 Причины возникновения несинусоидальных токов Несинусоидальные токи возникают по следующим причинам: 1) из-за наличия в электрической цепи несинусоидальной ЭДС; 2) из-за изменения параметров цепи — активного сопротивления, индуктивности или емкости с изменением тока или напряжения; Таким образом, несинусоидальный ток можно получить или от специального источника энергии с несинусоидальной ЭДС, или от уже рассмотренных источников энергии с постоянной или синусоидальной ЭДС, включая в электрическую цепь нелинейные элементы. Несинусоидальный ток может появится вследствие проникания в электрическую цепь высокочастотных импульсов и последующих за ними переходных процессов. Эти токи могут оказывать вредное действие и тогда их нужно отфильтровывать, а для этого необходимо изучать причину, и их характеристики, чтобы выставить защиту. С другой стороны, с помощью несинусоидальных токов проводят ряд исследований и на производстве, в космической и военной технике и в медицине. Простые примеры – вибродиагностика электрических машин, или ЭКГ – в медицине. 11.3 Изображение несинусоидальных токов и напряжений рядами Фурье 11.3.1 Сложение синусоидальных токов разной частоты. Часто для работы с современным оборудованием требуется рассчитывать цепи, в которых действуют несинусоидальные ЭДС, напряжения или токи. Для упрощения таких расчетов несинусоидальные величины изображают рядами Фурье. Предположим, что синусоидальный ток с частотой f складывается с синусоидальным током с частотой 2f (рисунок 11.5). Рисунок 11.5 - Образование несинусоидального тока Нетрудно заметить, что кривая результирующего тока i (на рисунке она показана линией красного цвета) имеет не синусоидальную форму. Следовательно, несинусоидальный ток можно разложить на синусоидальный ток с частотой f и синусоидальный ток с частотой 2f. Результирующую кривую можно выразить следующим уравнением: i = i1 + i2 = I1m sin ωt + I2m sin 2ωt .11.1 Первая составляющая тока i1 = I1m sin ωt называется гармоникой первого порядка, а вторая составляющая тока i2 = I2m sin 2ωt — гармоникой второго порядка. Какие токи называются несинусоидальными? Зарисуйте примеры формы несинусоидальных токов. Поясните причины и последствия появления несинусоидальных токов? Лекция 54 11.3.2 Разложение несинусоидальных кривых в ряд Фурье Если к двум синусоидальным токам и прибавить третий с частотой 3f, то получим новую несинусоидальную кривую, состоящую из трех гармоник: первого, второго и третьего порядков. Продолжая прибавлять синусоиды с частотами 4f, 5f и т. д., получим разнообразные несинусоидальные кривые. Их количество можно увеличить не только за счет количества суммируемых синусоидальных величин, но и за счет изменения их амплитуд и начальных фаз. Установлено, что любая периодическая несинусоидальная кривая тока, напряжения или ЭДС состоит из ряда синусоид (гармоник). Иногда несинусоидальиые кривые содержат не только синусоидальные, составляющие (гармоники), но и постоянную составляющую. На основании этого закон изменения периодического несинусоидального тока в общем виде можно выразить, называемым рядом Фурье: = о+ sin( + ) + sin(2 + ) + sin(3 + ) + ⋯ + sin( + ) 11.2 где I0 — постоянная составляющая тока (на графике изображается прямой линией, параллельной оси абсцисс); I1m, I2m, I3m — амплитуды первой, второй, третьей гармоник тока, a ψl, ψ2, ψ3, — их начальные фазы.Гармоники первого, третьего, пятого и т. д. порядка называются нечетными, а гармоники второго, четвертого, шестого и т. д, порядков — четными. Чем выше номер гармоники, тем меньше ее амплитуда. Поэтому при разложении несинусоидальных кривых гармоники высоких номеров можно не учитывать. Однако за счет резонансов амплитуды некоторых гармоник резко увеличиваются. Первая гармоника с частотой несинусоидального периодического тока называется основной гармоникой; остальные гармоники, частота которых в 2, 3, 4 и т. д. раза больше основной,— высшими. Несинусоидальное напряжение, как и ток, можно выразить рядом Фурье = о + sin( + )+ sin(2 + )+ sin(3 + ) +⋯+ sin( + ) 11.3 где и — мгновенное значение периодического несинусоидального напряжения; Uo — постоянная составляющая напряжения; U1m, U2m, U3m — амплитуда первой, второй, третьей гармоник напряжения; ψl, ψ2, ψ3, — начальные фазы гармоник напряжения. Форма ряда Фурье, представленная формулами (11.1) и (11.2), удобна для расчетов цепей несинусоидального тока. Для разложения несинусоидальных кривых на составляющие удобна вторая форма ряда Фурье. Она получается из первой путем разложения каждой гармоники на две составляющие: синусную и косинусную с нулевыми начальными фазами. При использовании второй формы ряда Фурье несинусоидальный ток = о+ ′ sin( + ) + ′ sin(2 + cos(3 + ) )+ ′ sin(3 + ) + ⋯+ cos( + )+ 11.4 cos(2 + )+ где I0 — постоянная составляющая I'1m, I'2m, I'3m — амплитуды синусных составляющих первой, второй и третьей гармоник тока; I"1m, I"2m, I"3m — амплитуды косинусных составляющих первой, второй и третьей гармоник тока. Несинусоидальные кривые тока, напряжения или ЭДС фотографируются с экрана осциллографа. Для разложения их в ряд Фурье используют аналитические, графические методы или специальные приборы. 11.4 Виды несинусоидальных кривых Кривые, симметричные относительно оси абсцисс. При разложении некоторых несинусоидальных токов или напряжений в рядах Фурье отсутствуют те или другие составляющие. Например, несинусоидальный ток i, график которого представлен на рисунке 11.2, раскладывается на основную гармонику и гармонику второго порядка. В нем отсутствуют гармоники третьего, четвертого и т. д. порядков, а также постоянная составляющая. В зависимости от формы несинусоидальные периодические кривые можно разделить на кривые симметричные: 1) относительно оси абсцисс; 2) относительно оси ординат и 3) относительно начала координат. Познакомимся с ними подробнее. Кривая будет симметрична относительно оси абсцисс, если её график подобно графику косинусоидальной функции, то есть: двум ее абсциссам, различающимся на половину периода, соответствуют равные по величине, но противоположные по знаку ординаты. Например, график на рисунке 11.3 Одна из таких кривых представлена на рисунке 11.3.. Она раскладывается в ряд Фурье следующего вида: = sin + sin 3 + sin 5 +⋯ 11.5 В этом ряду отсутствуют постоянная составляющая и гармоники четного порядка. Это правило относится ко всем кривым первой группы. Отсутствие постоянной составляющей объясняется тем, что среднее значение указанных функций за период: =0 ∫ 11.6 Итак, кривые, симметричные относительно оси абсцисс, содержат только нечетные гармоники (первого, третьего, пятого порядков). Кривые, симметричные относительно оси ординат Кривая симметрична относительно оси ординат, в том случае, если двум ее равным по величине, но противоположным по знаку абсциссам соответствуют одинаковые по величине и знаку ординаты. К этой группе кривых относится кривая, изображенная на рисунке 11.6. Рисунок 11.6 – Кривая, симметрична относительно оси ординат При разложении в ряд Фурье подобные кривые могут содержать постоянную составляющую и ряд переменных составляющих, изменяющихся по закону косинуса. Значит, кривые подобные графику на рисунке 11.6 выразится следующим уравнением: = + cos + cos 2 + cos 3 +…+ cos 11.7 Кривые симметричные относительно начала координат. Несинусоидальная кривая называется симметричной относительно начала координат, если любым двум абсциссам, имеющим одинаковое значение, но разные знаки, соответствуют ординаты, равные по величине и обратные по знаку. Кривая такого типа показана на рисунке 16.7. Она раскладывается в ряд Фурье следующего вида: = sin + sin 2 + sin 3 + … + sin 11.8 Рисунок 11.7 - Кривая будет симметрична относительно оси ординат и начала координат Отмеченные закономерности справедливы для любых периодических несинусоидальных кривых (тока, напряжения или ЭДС). Вопросы для самоконтроля: Что такое ряд Фурье? Какое отношение он имеет к несинусоидальным токам? С какой целью несинусоидальный ток раскладывают в ряд Фурье? Лекция 55 11.5 Расчет электрической цепи при несинусоидальном напряжении Замена источника несинусоидального напряжения рядом последовательно соединенных источников. Рассмотрим методику расчета линейных электрических цепей, находящихся под несинусоидальным напряжением. Допустим, что к цепи, состоящей из последовательно соединенных активного сопротивления R, индуктивности L и емкости С (рисунок 11.8а), приложено несинусоидальное напряжение: = о+ sin( ) + sin(3 + ) + sin(5 + ) 11.9 Из уравнения видно, что данное несинусоидальное напряжение содержит соnst– составляющую и нечетные гармоники первого, третьего и пятого порядков (рисунок 11.8б). а б Рисунок 11.8 – Цепь с несинусоидальным напряжением (а), графики действующих гармоник (б). Известно, что напряжения источников энергии при их последовательном соединении складываются. Поэтому данный источник энергии с несинусоидальным напряжением можно заменить рядом последовательно соединенных источников (рисунок 11.9). Первый из них создает постоянное напряжение U0, а второй, третий и четвертый — синусоидальные напряжения с частотами и,3 и 5 . Каждой гармонике напряжения соответствует своя гармоника тока. Первая гармоника напряжения создает первую гармонику тока, третья гармоника напряжения — третью гармонику тока и т. д. Величина каждого тока зависит не только от величины соответствующего напряжения, но и от сопротивления цепи. Ток на каждом участке электрической цепи определяется по принципу наложения путем суммирования токов, создаваемых каждой из слагаемых напряжения в отдельности. Расчет сопротивлений для различных составляющих несинусоидального тока. Если пренебречь поверхностным эффектом и эффектом близости, то активное сопротивление цепи для всех гармоник можно считать постоянным и равным R. Зато индуктивное и емкостное сопротивления для разных гармоник различны. С увеличением частоты индуктивное сопротивление: Х = 2 — увеличивается, а емкостное сопротивление Хс = k-й гармоники индуктивное сопротивление и емкостное сопротивление определяются формулы: х = 11.10 С — уменьшается. х = Поэтому для 11.11 Пример 11.1 На рисунке 11.9 показана электрическая цепь в которой: индуктивность цепи: рад 0,0318Гн, емкость С = 31,8 мкФ, угловая частота: = 314 с Определить индуктивное и емкостное сопротивления для первой и третьей гармоник. = Рисунок 11.9 – Электрическая цепь, к примеру 11.1 Решение. Для первой гармоники =1 х =1∙ х = 1 = 314 ∙ 0,0318 = 10 Ом 10 = = 100 Ом 314 ∙ 31,8 Для третьей гармоники (k=3) х =3∙ х = 3 ∙ 314 ∙ 0,0318 = 30 Ом 1 10 = = = 33,3 Ом 3 3 ∙ 314 ∙ 31,8 Определим полное сопротивление цепи (рисунок 11.9) для каждой составляющей несинусоидального тока. Для постоянной составляющей: Хс = С = ∙ ∙С =∞ Поэтому постоянная составляющая напряжения U0 тока не создает. Полное сопротивление цепи для первой гармоники: = + − , − 11.12 для третьей и пятой: = + 3 = + 5 − 11.13 3. Действующие значения несинусоидального тока и напряжения. Активная мощность. Если задано уравнение несинусоидального напряжения и определены сопротивления, то по закону Ома можно определить амплитуды гармоник тока: = = ; = ; 11.14 Действующее значение любой гармоники тока равно амплитудному значению этой гармоники, деленному на √2 : = √ , = √ , = √ Зная действующие значения токов, можно подсчитать и активные мощности: = , = , = 11.15 11.16 Токи , , - являются составляющими общего несинусоидального тока в цепи. Выведем формулу действующего значения несинусоидального тока . Активная мощность несинусоидального тока Р=Рг, Эта же мощность равна сумме активных мощностей отдельных гармоник: = + + = + + 11.17 Приравнивая правыечасти полученных равенств, получим = + + 11.18 Отсюда действующее значение несинусоидального тока в цепи: = + + При наличии постоянной составляющей и других гармоник: = + + + + + + ⋯+ По аналогичной формуле определяется действующее значение несинусоидального напряжения: 11.19 11.20 приложенного = + + + + + ⋯+ 11.21 Активная мощность цепи при несинусоидальном токе в общем виде выражается формулой = + cos + cos + cos +⋯ 11.22 где , , — углы сдвига фаз между одноименными гармониками тока и напряжения. В сложных электрических цепях при расчете гармоник тока обычно пользуются символическим методом, в котором все необходимые электротехнические величины изображаются комплексными числами. Задание: Закончить решение задачи, используя значение напряжения указанного в вашем варианте.