Траектории и линии тока

ЛЕКЦИЯ 4 Траектории и линии тока Двум методам описания движения жидкости (метод Лагранжа и метод Эйлера) соответствуют и две геометрические характеристики описания потока жидкости: траектории и линии тока. Траектория - линия, по которой движется жидкая частица в течение некоторого отрезка времени (пространственный след, оставляемый жидкой частицей во времени). Если движение жидкости описывается в переменных Лагранжа: (1) где a, b, c – константы, то уравнения системы (1) представляют собою закон движения определенной частицы. Для нахождения уравнений траектории какой-либо определённой частицы жидкости достаточно из уравнений (1) исключить время t, при этом начальные координаты a,b,c нужно рассматривать как некоторые константы. Если же движение жидкости задано в переменных Эйлера: (2) то дифференциальные уравнения траекторий можно представить в виде: (3) В (3) записаны три дифференциальных уравнения. Интегрируя (3) и разрешая относительно x, y, z, получим: (4) где С1, С2, С3 - константы интегрирования, значения которых можно определить из заданных начальных условий. Исключая из последней системы уравнений (4) время t, найдем траекторию жидкой частицы. Часть жидкости, ограниченная траекториями точек замкнутого контура, не совпадающего ни с одной из них, называется струей. Для получения общей картины движения жидкости в данный момент времени используют понятие линии тока. Линия тока - линия, проведенная в жидкости в данный момент времени так, что скорости всех частиц, находящихся на этой линии, направлены по касательным к этой линии (рис.1). Из этого определения следует, что линия тока есть понятие чисто геометрическое, относящееся к данному моменту времени. Линии тока для различных моментов времени не совпадают. Линии тока для различных точек жидкости также не совпадают. Иначе говоря, линия тока – это мгновенная фотография движения. Таким образом, линии тока характеризуют картину движения в данный момент времени, а траектории – пространственный след движущейся частицы во времени. Рис.1. Линии тока Линии тока можно построить следующим образом. Рассмотрим в данный момент времени какую-нибудь точку 1 пространства, заполненного жидкостью. Пусть скорость находящейся в ней частицы жидкости изображается вектором . В этот же момент времени возьмём на векторе скорости точку 2 (бесконечно близкую к точке 1). В этой точке находится другая частица жидкости. Так как точка 2 имеет другие координаты, чем точка 1, то и скорость в ней будет другая, изображаемая вектором . В тот же момент возьмем на векторе скорости точку 3, бесконечно близкую к точке 2. В ней вектор скорости и т.д. В результате такого построения (в данный момент времени) получилась ломаная линия с условными отрезками 1,2,3,4,5,…., обладающая тем свойством, что вектор скорости, соответствующий начальной точке любого звена, направлен вдоль этого отрезка (звена). Будем неограниченно увеличивать число звеньев ломаной, устремляя к 0 длину каждого её звена. Тогда в пределе получится линия, называемая линией тока. В другой момент времени в общем случае линия тока будет уже другой: для того чтобы передвинуться в соседнюю близкую точку, нужно двигаться по новому направлению (изображён пунктирной линией). Линии тока зависят от закона распределения скоростей движения жидкости, и связь между ними может быть представлена в виде дифференциальных уравнений линий тока. Для получения этих уравнений воспользуемся тем, что скорость в какой-либо точке линии тока направлена по касательной к ней. Пусть в точке М(xyz) в данный момент времени проекции скорости на оси координат будут ; ; . Тогда косинусы углов между скоростью и осями координат будут: , , . Косинусы углов между касательной к линии тока в точке М с осями координат OX, OY, OZ, если – элемент дуги, будут иметь вид: ; ; . В силу совпадения касательной со скоростью на рассматриваемом участке соответствующие косинусы равны, а следовательно, ; ; или ; ; , откуда по условию совпадения направлений касательной к линии тока и вектора скорости в выбранной точке можно записать дифференциальные уравнения линий тока: . (5) Время t в (5) – фиксированный параметр. Таким образом, для линий тока мы получили систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Можно рассмотреть другой подход к получению дифференциальных уравнений линии тока. Воспользуемся тем, что скорость в какой-либо точке линии тока направлена по касательной к ней. Обозначим элемент дуги линии тока в этой точке через . Тогда =0 (т.к. угол между указанными векторами равен нулю, а потому синус этого угла равен нулю). Раскрывая, определитель третьего порядка и приравнивая компоненты векторного произведения нулю (векторное произведение двух векторов равно нулю, если все его компоненты равны нулю), получим дифференциальные уравнения линии тока: . Общий интеграл системы (5) может быть записан в виде: Легко видеть, что линии тока в общем случае не совпадают с траекториями, т.к. линии тока образуют семейство, зависящее от двух произвольных постоянных, а время t входит как параметр. Через каждую точку поля скоростей, в которой функции не обращаются в нуль, в данный момент времени проходит только одна линия тока. Исключение составляют точки, через которые проходит несколько и даже бесчисленное количество линий тока. Эти точки называются особенными. В качестве примера особых точек, где скорость равна нулю, можно указать на разветвления потока, охватывающего тело в его начале и конце. Эти точки называют критическими (рис.2). Другим примером особой точки является так называемый точечный источник (рис. 3 а) или точечный сток (рис. 3 б). Источником называется точка, из которой в каждый момент времени непрерывно и равномерно выделяется жидкость и растекается по радиусам во все стороны (см. рис. 3 а). Стоком называется точка, в которой жидкость в каждый момент времени непрерывно и равномерно поглощается одинаково по всем направлениям (см. рис. 3 б). Стрелки на линиях показывают направление течения жидкости. Рис. 2. Обтекание тела Рис. 3. Источник (а), сток (б): Совокупность линий тока образуют поверхность тока, а часть жидкости, выделенная из нее поверхностью тока, проведенной через замкнутый контур, называется трубкой тока (рис. 4). Рис. 4. Трубка тока Для стационарного (установившегося) движения линии тока совпадают с траекториями, а потому трубка тока совпадает со струей. В нестационарных течениях траектории отличаются от линий тока, а трубка тока – от струи. ПРИЛОЖЕНИЕ 4 (Вспомогательный материал) Формула конечных приращений (формула Лагранжа): Если функция дифференцируема в замкнутом промежутке , то отношение равно производной, вычисленной в некоторой внутренней точке х=с , лежащей внутри промежутка : . Теорема о среднем значении: Если функция непрерывна в интервале , то внутри интервала имеется по меньшей мере одно такое значение , для которого можно записать