Типовые звенья и их частотные характеристики.

Лекция 3 Типовые звенья и их частотные характеристики. Поскольку различные характеристики системы определяются её передаточной функцией, состоящей из типовых звеньев, то становится понятной важность изучения характеристик отдельных типовых звеньев. Все звенья можно разделить на группы: безынерционные, инерционные, форсирующие. К первой названной группе звеньев относятся: пропорциональное, идеальное дифференцирующее, интегрирующее. Ко второй – апериодическое и колебательное. И последнюю группу образуют форсирующие звенья первого и второго порядков. Для анализа и синтеза систем широко применяются различные частотные характеристики: амплитудно-частотные (АЧХ), фазо-частотные (ФЧХ), амплитудно-фазо-частотные (АФЧХ), логарифмические амплитудно-частотные (ЛАЧХ) и логарифмические фазо-частотные (ЛФЧХ), представляющие зависимости амплитуды и фазы от частоты и строящиеся в различных координатах. Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называют зависимость отношения амплитуды выходной величины к амплитуде входного воздействия от частоты К(  )  a ВЫХ а ВХ (1) 0ω Фактически АЧХ определяет изменение амплитуды входного воздействия элементом или системой на соответствующей частоте и строится в координатах: по вертикали откладывается коэффициент передачи K(ω) (амплитуда), а по горизонтали – частота ω. Фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) называют зависимость разницы фаз выходного сигнала и входного воздействия от частоты поступающего сигнала.  ( )  ВЫХ ( )  ВХ ( ) 0     (2) Строится ФЧХ в координатах фазового сдвига φ(ω ) и частоты ω. Амплитудно-фазо-частотные характеристики (АФЧХ), позволяющие одновременно иметь представление об амплитуде и фазе на определенной частоте (Рис.1), строятся в координатах 1 действительной ReW(jω) = U(ω) и мнимой Im W(jω) = V(ω) частей частотной передаточной функции W(jω). Такую комплексную функцию можно получить, если в передаточной функции оператор s положить равным jω, а символу ω придать физический смысл круговой частоты: X(s) b0 s m  b1 s (m 1 )  b2 s (m  2 )  ...  b(m 1 ) s  bm W(s)  , (3)  G(s) a 0 s n  a1 s (n 1 )  a 2 s (n  2 )  ...  a (n 1 ) s  a n где a и b – постоянные коэффициенты; m и n целые числа, причем n ≥ m. Тогда выражение (3) примет вид: X (j  ) b0 (j  ) m  b1 (j  ) (m 1)  ...  b( m 1) (j  )  bm , W (j  )   (4) G (j  ) a 0 (j  ) n  a1 (j  ) (n 1)  ...  a (n 1) (j  )  a n Рис.1. Амплитудно-частотная характеристика Комплексная функция (4)может быть представлена в различных формах записи: а) алгебраической W(jω) = ReW(jω) + ImW(jω) = U(ω) + jV(ω); б) показательной W(jω) = K(ω)·ejφ(ω); в) тригонометрической. W(jω) =K(ω)·(cosφ + j·sinφ), где U(ω) и V(ω) соответственно действительная и мнимая части частотной передаточной функции; K(ω)=|W(jω)| — модуль частотной передаточной функции, а φ(ω) = arg W(jω) — аргумент частотной передаточной функции. Из рисунка 1 достаточно очевидны следующие соотношения для любого значения частоты: K()  U 2() V 2 () – амплитудно-частотная характеристика, 2  ( )  arc tg [V( )/U( )] – фазочастотная характеристика. В аналитических расчетах широко применяются логарифмические амплитудные и фазовые характеристики: ЛАЧХ и ЛФЧХ. При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают значения частот в логарифмическом масштабе (хотя пишут само значение частоты, а не lgω). Вся шкала частот разбивается на декады – интервалы частот, на которых частота изменяется в 10 раз (Рис.2). Слева на вертикальной оси откладывают значения амплитуд в децибелах, а справа – значения сдвига фазы в градусах. По оси ординат откладывают значение модуля частотной передаточной функции или просто амплитуды, выраженное в децибелах, то есть L( )  20lg W ( j )  20 lg K ( ) дБ. Ось ординат при построении ЛАЧХ проводят через значение частоты, равное 1 с–1, а не через точку ω = 0, поскольку при   0 lg     , то есть в этом случае ось ординат пришлось бы проводить через бесконечно удаленную точку. Точные ЛАЧХ и ЛФЧХ строят с помощью компьютера, используя специальные программы (например, программный комплекс «Моделирование в технических устройствах» – ПК МВТУ) и располагают их на одном графике. Рис.2. Логарифмические амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики Пропорциональное звено: W(s) = к Частотная передаточная функция W(jω) = к 1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ): K()  W( j)  k . Характеристика не зависит от частоты. 3 Рис.3. 2. Фазочастотная характеристика (ФЧХ): φ(ω) = 0º, рис.4. То есть пропорциональное звено не вносит фазового cдвига. Рис.4. 3. Амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ): W(jω) = U(ω) + jV(ω) = K + j0. Вектор постоянной величины К лежит на положительной действительной полуоси, рис.5. Рис.5. 4. Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ), рис.6: Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) L (  )  20 lg W ( j  )  20 lg K (  )  20 lg K , дБ представляет собой прямую линию, проходящую на уровне 20lg к. При К =1 характеристика проходит по оси частот, так как L(ω) = 0 дБ. При К >1 ЛАЧХ идет горизонтально в области положительных значений дБ. При К < 1 ЛАЧХ идет горизонтально в области отрицательных значений дБ. Рис.6. Логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ), рис.6.  ( )  arctg (V / U )  arctg ( 0 / k )  0  Логарифмическая фазо-частотная характеристика есть прямая, идущая по оси частот (на рис.6 показана пунктирной линией). 4 Идеальное дифференцирующее звено: W(s) = s Частотная передаточная функция W(jω) = jω. 1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), рис. 7,а. K ()  W ( j )   2   – коэффициент передачи изменяется пропорционально частоте. а) б) Рис.7. 2. Фазо-частотная характеристика (ФЧХ), рис. 7,б.  ( )  arc tg  0  arc tg (   )    90  . 3. Амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ) рис.8. W ( j )  U ( )  jV ( ) , где U ( )  0 , а V ( )   . При изменении частоты от 0 до ∞ вектор АФЧХ будет нарастать вдоль мнимой оси от 0 до ∞. Фазовый сдвиг – постоянный – +90º во всем диапазоне частот. Рис. 8. 4. Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ): - логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) L( )  20 lg W ( j )  20 lg K ( )  20 lg  . При логарифмическом масштабе частоты характеристика представляет собой наклонную прямую линию с коэффициентом пропорциональности равном 20. Наклон определяется изменением амплитуды в дБ, приходящемся на декаду частоты. Для идеального дифференцирующего звена прирост амплитуды за декаду частоты составляет +20 дБ. - логарифмически фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ) – φ(ω). 5 Несмотря на логарифмический масштаб оси частот фазочастотная характеристика представляет собой постоянную величину равную +90˚(на рис.9 график фазо-частотной характеристики показан пунктирной линией на уровне +90º). Рис.9. Интегрирующее звено: W(s) = 1/s. Частотная передаточная функция интегрирующего звена 1  1  W ( j )   U ( )  jV ( )  0  j   j   1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), рис.10,а. 2 1   1 2 W( j) K()  0     – обратная функция частоты.   2. Фазо-частотная характеристика (ФЧХ), рис.10,б.  1     ( )  arc tg     arc tg (   )   90  представляет (  0) прямую горизонтальную линию, проходящую на уровне –90º. 6 а) б) Рис.10. 3. Амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ) строится в координатах действительной U(ω) и мнимой V(ω) частей частотной передаточной функции. Так как U(ω) = 0, то АФЧХ определяется мнимой частью. Рис.11. 4. Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ ) L( )  20 lg W ( j )  20 lg (1 /  )  20 lg  . График ЛАЧХ (рис.12) представляет наклонную прямую линию при логарифмическом масштабе частоты. Наклон ЛАЧХ определяется изменением амплитуды в дБ, приходящимся на декаду частоты. Это изменение в интегрирующем звене составляет –20 дБ. Логарифмическая фазо-частотная характеристика График ЛФЧХ – φ(ω), несмотря на логарифмический масштаб оси частот, представляет прямую горизонтальную линию на уровне – 90º. На рис.12 график представлен пунктирной линией. Отрицательный фазовый сдвиг говорит о том, что сигнал с выхода интегрирующего звена появляется с запаздыванием по фазе на 90º. 7 Рис.12. Перейдем к рассмотрению характеристик инерционных звеньев. Апериодическое звено: W(s) = 1/(Тs+1). Частотная передаточная функция W ( j )  U  1 Tj   1 1  U ( )  jV ( ), где V    T 1  T и 2 2 . 1 T 1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) есть модуль частотной передаточной функции: 1 W ( j)  K ()  U 2 V 2  . На рис.13 1  (T) 2 приведен график АЧХ апериодического звена. Рис.13. 2. Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) рис.14 представляет зависимость сдвига фазы выходного сигнала от частоты и определяется  U arctgT.. следующим равенством: () arctg V 8 Рис. 14. характеристика (АФЧХ), 3. Амплитудно-фазо-частотная строящаяся в координатах U и V является уравнением окружности со 2 1    V 2 U  смещенным центром:  2  2 1    . Но график АФЧХ рис.15 2 изображается только для положительных значений частоты ω. Рис.15. 4. Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) строится по уравнению  1 L( )  20 lg W ( j )  20lg   1  T 2      20lg 1  T 2 .   Но точное построение ЛАЧХ апериодического звена затруднено из-за суммы под знаком логарифма. Поэтому строят приближенную ЛАЧХ, разделив её построение по отдельным частотным диапазонам. Первый диапазон охватывает область частот от 0 до ω = 1/Т (эта частота называется частотой сопряжения и в дальнейшем будем обозначать её ωсопр). В области означенных частот можно считать, что 1 > Tω. Тогда ЛАЧХ будет описываться приближенным равенством: L ( )   20 lg 1  0 дБ . Это значит, что ЛАЧХ располагается на оси частот до ωсопр. Рассмотрим другой диапазон частот от ωсопр до ∞, в котором будет выполняться неравенство 1 < Tω или ω > ωсопр. В этом случае единицей можно пренебречь и получим приближенное выражение для ЛАЧХ: 9 L()   20lgT     20lgT  20lg  1  20lg  20lg  20lgсопр  20lg . сопр Первое слагаемое конечного результата есть некоторая постоянная величина, а второе представляет собой уравнение наклонной прямой с коэффициентом –20 в логарифмическом масштабе частоты. Наклонная часть ЛАЧХ для условленного диапазона будет начинаться с частоты ωсопр. Наклон определяется приращением амплитуды в дБ, приходящимся на изменение частоты на декаду, равным –20 дБ. Наклон равный –20 дБ/дек. просто называют наклон –1. Полная ЛАЧХ будет состоять из двух прямых, называемых асимптотами, горизонтальной и наклонной. Вид асимтотической (приближенной) и точной ЛАЧХ апериодического звена дан на рис. 16. Рис.16. Логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ) – φ(ω) определяет зависимость сдвига фазы от частоты:  ( )  arctg (  T   )   arctg T  и графически отображена на рис.16 в виде обратной тригонометрической функции тангенса. Колебательное звено: W(s) = 1/(Т2· s2 +2 d·Т s + 1). Частотная передаточная функция W ( j)  1 для  (T) 2  j2dT  1 удобства оперирования с комплексной функцией записывается в алгебраической форме 10 W ( j )  U ( )  jV ( ) , 1  (T  ) 2 ,а где U ( )  [ 1  (T  ) 2 ] 2  ( 2 dT  ) 2  2 dT  V ( )  . [ 1  (T  ) 2 ] 2  ( 2 dT  ) 2 1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) рассчитывается 1 W ( j)  К ()  U 2 V 2  из по формуле [ 1  (T) 2 ] 2  (2dT) 2 которой видно, что она зависит не только от частоты, но и от коэффициента демпфирования d. На рис.17 достаточно очевидно влияние коэффициента демпфирования, который изменяется от 0 до 1. Рис.17. 2. Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) строится по уравнению  ( )  arctg V U . Её значения выходят за пределы главного значения arc tg и поэтому она определяется для двух разных диапазонов частот: при ω < ωсопр= 1/Т фазовый сдвиг определяется по формуле  2 dT   (  )  arc tg ; 1  (T  ) 2 при ω > ωсопр= 1/Т фазовый сдвиг рассчитывается по формуле  2dT  ( )     arc tg . 1  (T  ) 2 Фазо-частотная характеристика, как и амплитудная, зависит от коэффициента демпфирования d и поэтому представляется множеством, представленным на рис.18. Следует заметить, что на 11 частоте сопряжения фазовый сдвиг имеет фиксированное значение , равное –90º, а предельный фазовый сдвиг составляет –180º. Рис.18. 3. Амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ) строится в координатах U(ω) и V(ω), а её характерный вид представлен на рис.19. Амплитудно-фазо-частотная характеристика начинается на действительной положительной полуоси (ω = 0). На частоте сопряжения (ωсопр = 1/Т) АФЧХ определяется только мнимой частью V(ωсопр) = –1/2d. При частоте стремящейся к ∞ U(∞) и V(∞) стремятся к 0. Рис.19. 4. Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) рассчитывается по формуле L()  20lgW ( j)  20lg 1 [ 1 (T) ]  (2dT) 2 2 2   20lg [ 1 (T)2 ] 2  (2dT)2 Из-за сложности точной формулы для построения ЛАЧХ применяется приближенное описание характеристики для отдельных частотных 12 диапазонов. Граничной частотой, разделяющей оба диапазона, служит частота сопряжения ωсопр. Для диапазона ω < ωсопр= 1/T L( )  20 lg1  0 дБ . Характеристика идет по оси частот до частоты ωсопр. В диапазоне ωсопр < ω < ∞ хорошо выполняются неравенства 2 (Тω) >>1 и [(Тω)2]2 >> (2dTω)2. При выполнении этого условия приближенное выражение ЛАЧХ будет иметь вид: L ( )  20 lg(T  ) 2   20 lg(T ) 2  20 lg( ) 2   40 lg T  40 lg  дБ.  1   40 lg  40 lg   40 lg  сопр  40 lg  .  сопр В этом приближенном равенстве первое слагаемое является постоянной величиной, а второе – определяет наклонную прямую с коэффициентом –40. Изменение амплитуды в децибелах, приходящееся на декаду и определяет наклон прямой. В данном случае он равен – 40 дБ/дек. или просто наклон –2. Таким образом, приближенная ЛАЧХ колебательного звена состоит из 2-х асимптот: горизонтальной, идущей до частоты ωсопр и наклонной (с наклоном –40 дБ/дек), начинающейся от ωсопр (рис.20). Рис.20. Логарифмическая фазо-частотная характеристика ЛФЧХ φ(ω) представляет собой семейство кривых полученных при различных значениях d и построенных в логарифмическом масштабе частот рис.21. Независимо от значения коэффициента демпфирования d колебательное звено на частоте сопряжения дает фиксированный 13 сдвиг, равный –90˚. Предельный фазовый сдвиг, вносимый колебательным звеном равен –180º. Рис.21. Форсирующие звенья Эти звенья вносят усиление, ускорение в протекание процесса управления, имеют вспомогательный характер, появляются в передаточных функциях корректирующих устройств. Различают два их вида: форсирующее (дифференцирующее) звено первого порядка, имеющее передаточную функцию W(s) = τs + 1 и форсирующее (дифференцирующее) звено второго порядка с передаточной функцией W ( )   Ф  s  2 d Ф   Ф  s  1 . 2 2 Рассмотрим лишь их логарифмические характеристики, которые чаще используются при синтезе корректирующих устройств методом логарифмических частотных характеристик. Обратим внимание на то, что передаточные функции выше представленных звеньев являются обратными звеньям соответственно апериодическому и колебательному. Если частоты сопряжения соответствующих звеньев, например апериодического и форсирующего 1-го порядка равны, то ЛАЧХ и ЛФЧХ этих звеньев будут симметричны относительно оси частот, что делает их построение простым делом. 14 Сводные сведения о частотных характеристиках типовых звеньев приводятся в таблице 1 приложения к лекции 3. Контрольные вопросы для самопроверки 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. Что такое частотная передаточная функция и как она получается? Назовите виды частотных характеристик, дайте им определение, в каких координатах строится каждая из них? Дайте оценку с точки зрения информативности, удобства пользования АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ. Что такое децибел? Что такое декада? Какие формы представления частотных передаточных функций вы знаете? Что называется звеном? Перечислите и воспроизведите для себя передаточные функции известных вам звеньев. Запишите уравнения АЧХ, ФЧХ и АФЧХ идеального дифференцирующего звена. Какой наклон имеет ЛАЧХ идеального дифференцирующего звена? Запишите уравнения АЧХ, ФЧХ и АФЧХ интегрирующего звена. С каким наклоном проводится ЛАЧХ интегрирующего звена? Что представляет собой геометрически АФЧХ апериодичского звена? Как выглядит асимптотическая ЛАЧХ апериодического звена? Какие фазовые сдвиги имеет апериодическое звено на ∞. частотах: а) ω = 0; б) ω = ω сопр; в) ω Какими параметрами характеризуется колебательное звено? Какой характерный вид имеет семейства АЧХ и ФЧХ колебательного звена при различных коэффициентах демпфирования d? Как строится асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена? Какие звенья называются форсирующими? 15 Приложение Частотные характеристики типовых звеньев САУ Таблица 1 Частотные характеристики Название звена и его частотная передаточная функция W(s)|s=jω = W(jω) амплитудночастотаня (АЧХ), A(ω)=|W(jω)|= фазо-частотная (ФЧХ), φ(ω)=arctg [V(ω)/U(ω)] амплитудно-фазочастотная (АФЧХ), W(jω) = U(ω) + jV(ω) логарифмическая амплитудночастотная (ЛАЧХ), L(ω)= 20lg|W(jω)|=20lgA(ω), дБ логарифмическая фазо-частотная (ЛФЧХ), φ(ω) = arctg [V(ω)/U(ω)], 0 A(ω) = k φ(ω) = arctg(0/к)=00 U(ω)=k, V(ω)=0 L(ω)=20·lg·к φ(ω)=0˚ A(ω)=к·ω φ(ω)=arctg ω/(→0)= =arctg(→∞)=+90˚ U(ω)=0, V(ω)=ω L(ω)=20lg к+20lg ω φ(ω)=+90˚ A(ω)=к/ω φ(ω)=arctg(–k/ω)/(→0) = = –arctg(→∞)= –90˚ U(ω)=0, V(ω)=(–k/ω) L(ω)=20lg к–20lg ω φ(ω)= –90˚ U2  V2 1, пропорциональное W(jω) = к 2, идеальное дифференцирующее звено W(jω) = кjω 3, интегрирующее W(jω) =k/jω Логарифмические характеристики U ( )  4, апериодическое W(jω) = k/(Tjω+1), ωсопр=1/Т 5, реальное дифференцирующее W(jω)=kjω /(Tjω+1), ωсопр=1/Т 6, колебательное W(jω)=k /(1–(Tω)2+ j2dTω), ωсопр=1/Т 7, форсирующее (дифференцирующее) звено 1-порядка W(jω) =τjω+1, ωсопр=1/τ A(ω)= к 1  ( T ) 2 А(ω)= 2 к  / (T )  1 A( )  2 2  ê / (1  (T ) )  ( 2 dT ) A(ω)= 1  ( ) 2 φ(ω)= –arctg(Tω/1) φ(ω)=90˚–arctg(Tω) При ω<ωсопр: φ(ω) = =–arctg2dTω/(1–(Tω)2); При ω > ωсопр: φ(ω) = = –π+arctg2dTω/(1–(Tω)2) φ(ω)=arctg(τω) V ( )  k 1  (T ) 2  kT 1  (T ) 2 U(ω)=Tkω2/(1+(Tω)2); V(ω)= kω/(1+(Tω)2) U(ω)=1–(Tω)2/([1– – (Tω) 2]2+j2dTω); V(ω)= –2dTω/([1– – (Tω) 2]2+j2dTω); U(ω)=1, V(ω)= τω 2 L(ω)=20lg к–20lg 1  ( T ) ; 1) При ω < ωсопр = 1/T L(ω)≈20lg к; 2)При ω > ωсопр,=1/T L(ω) ≈ 20lg к–20lg Тω L(ω)=20lg к+20lg ω– 2 20lg (T )  1 φ(ω)=90˚–arctg(Tω) L(ω)=20lg к– 2 2 2 –20lg ( 1  ( T ) )  ( 2dT ) ; При ω<ωсопр: L(ω) ≈ 20lg к–0; 2) ω>ωсопр: L(ω)≈ 20lg к–20 lg T2– –20 lg ω2=20lg к–40lg T–40lg ω L(ω)= 20lg 1  ( ) 2 φ(ω)= –arctg(Tω); φ(0)=0˚; φ(ωсопр)= –45˚; φ(∞) = –90˚ При ω<ωсопр:φ(ω) = =–arctg2dTω/(1– (Tω)2); При ω > ωсопр: φ(ω) = = –π+arctg2dTω/(1– (Tω)2) φ(ω)=arctg(τω) 16