Типовые динамические звенья

Презентация 3. Типовые динамические звенья 3.1 Понятие типовых динамических звеньев 2 3.2 Временные характеристики 6 3.2.1 Понятие временных характеристик 6 3.2.2 Переходная и импульсная переходная характеристики типовых динамических звеньев 7 3.2.3 Отыскание аналитических выражений временных характеристик сложных систем 10 3.3 Частотные характеристики 11 3.3.1 Понятие частотных характеристик 11 3.3.2 Частотные характеристики типовых динамических звеньев 13 3.3.3 Построение частотных характеристик сложных систем 19 3.1 Понятие типовых динамических звеньев Понятие типовых динамических звеньев (ТДЗ) связывают с типами корней полиномов числителя и знаменателя передаточной функции. Различные типы корней и ограничивают список так называемых типовых динамических звеньев, которые могут входить в состав той или иной передаточной функции системы (см. рисунок 3.1). Рис. 3.1 Рис. 3.1 (продолжение) Рис. 3.1 (продолжение) Рис. 3.1 (продолжение) 3.2 Временные характеристики 3.2.1 Понятие временных характеристик В теории автоматического управления под временными характеристиками понимают реакции динамических систем на некоторые типовые входные воздействия. Чаще всего в качестве типовых входных воздействий рассматривают следующие функции времени (см. рисунок 3.2): Рис. 3.2 Определения: Переходной характеристикой динамической системы называется ее реакция на единичный ступенчатый сигнал. Обозначим как h(t). Импульсной характеристикой динамической системы называется ее реакция на “дельта”-функцию. Обозначим как k(t). Примечание. Несложно доказать, что импульсная характеристика k(t) есть производная от переходной характеристики h(t). 3.2.2 Переходная и импульсная характеристики типовых динамических звеньев Далее приводятся реакции на единичный ступенчатый сигнал и дельта-функцию систем, представленными типовыми динамическими звеньями (рисунок 3.3). При этом рассматриваются лишь звенья, описываемые полиномом знаменателя передаточной функции. Здесь следует вспомнить, что порядок полинома числителя передаточной функции не может превышать порядок полинома знаменателя, и, следовательно, нет смысла рассматривать временные характеристики отдельно для дифференцирующих звеньев. Рис. 3.3 Рис. 3.3 (продолжение) Рис. 3.3 (продолжение) 3.2.3 Отыскание аналитических выражений временных характеристик сложных систем Для нахождения аналитических выражений временных характеристик систем, в составе передаточных функций которых находятся несколько типовых динамических звеньев, удобно воспользоваться принципом суперпозиции. Этот подход иллюстрирует рисунок 3.4 на примере сложной системы, заданной определенной передаточной функцией. Рис. 3.4 3.3 Частотные характеристики 3.3.1 Понятие частотных характеристик При исследовании частотных характеристик некоторой динамической системы предполагается, что на ее вход подается гармонический сигнал u(t) = Aвхsinωt. На выходе при этом по истечении определенного времени устанавливается сигнал yуст(t) = Aвыхsin(ωt + θ). Причем амплитуда и фаза установившегося гармонического сигнала по отношению к входному сигналу зависит от частоты ω. В связи с этим и вводят понятия частотных характеристик (рисунок 3.5). Рис. 3.5 Если известна передаточная функция W(s) некоторой исследуемой системы, то аналитические выражения ее частотных характеристик можно легко найти, используя замену s = jω. В результате получаем передаточную функцию в комплексной форме W(jω) = u(ω) + jv(ω), где u(ω) и v(ω) – действительная и мнимая части передаточной функции соответственно. При этом амплитудной частотной характеристикой будет являться модуль, а фазовой частотной характеристикой – фаза полученной комплексной передаточной функции (рисунок 3.6). Рис. 3.6 В теории автоматического управления частотные характеристики графически представляются, как правило, в виде так называемых годографа передаточной функции и логарифмических амплитудной и фазовой частотной характеристик (ЛАФЧХ). Определение. Амплитудно-фазовой частотной характеристикой или годографом передаточной функции называют траекторию, описываемую вектором передаточной функции W(jω) на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности. ЛАФЧХ предполагает построение амплитудной и фазовой частотных характеристик в логарифмическом масштабе, при этом руководствуются следующими правилами: • частота ω откладывается в логарифмическом масштабе, • амплитудная характеристика рассматривается в децибелах: L(ω) = 20lgH(ω). 3.3.2 Частотные характеристики типовых динамических звеньев Рис. 3.7 Рис. 3.7 (продолжение) Рис. 3.7 (продолжение) Рис. 3.7 (продолжение) Рис. 3.7 (продолжение) Рис. 3.7 (продолжение) 3.3.3 Построение частотных характеристик сложных систем Следующий рисунок на примере демонстрирует алгоритм нахождения аналитических выражений амплитудной и фазовой частотной характеристик сложной системы. Рис. 3.8 Для построения логарифмических частотных характеристик также можно воспользоваться таблицей типовых динамических звеньев. Для этого удобно использовать метод разбиения передаточной функции на простые множители, что означает представление ее в виде произведения типовых динамических звеньев. Рассмотрим пример системы на рисунке 3.9, заданной в виде произведения двух апериодических звеньев. Логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики получают путем суммирования соответственно амплитуд и фаз типовых динамических звеньев (рисунок 3.9 а). Годограф можно легко построить по полученным ЛАФЧХ (рисунок 3.9 б). Рис. 3.9 Презентация 4. Исследование устойчивости 4.1 Понятие устойчивости по Ляпунову 2 4.2 Прямой метод исследования устойчивости линейных систем 4 4.3 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица 5 4.4 Критерий устойчивости Найквиста-Михайлова. Понятие запасов устойчивости 6 4.1 Понятие устойчивости по Ляпунову Понятие устойчивости системы автоматического управления тесно связано с понятием устойчивости ее положения равновесия. Если говорить о линейной автономной (изолированной от внешних воздействий) системе, то ее положение равновесия всегда находится в нуле n-мерного пространства переменных состояния. Определение. Если траектория в n-мерном пространстве переменных состояния, начавшись в некоторой окрестности положения равновесия, с течением времени стремится к нему, то такое положение равновесия называется асимптотически устойчивым. Соответствующая система называется асимптотически устойчивой. Определение. Если траектория в n-мерном пространстве переменных состояния, начавшись в некоторой окрестности положения равновесия, с течением времени удаляется от него, то такое положение равновесия называется неустойчивым. Соответствующая система называется неустойчивой. Определение. Если траектория в n-мерном пространстве переменных состояния, начавшись в некоторой окрестности положения равновесия, с течением времени не стремится и не удаляется от него, то такое положение равновесия называется устойчивым. Соответствующая система называется устойчивой. Для системы второго порядка n-мерное пространство переменных состояния сводится к так называемой фазовой плоскости, где по оси абсцисс откладывается первая координата вектора состояния x1, в качестве которой выбираем выходной сигнал, а по оси ординат вторая координата x2 в виде ее скорости изменения. Общее решение уравнений состояния задает на фазовой плоскости фазовую траекторию, параметром вдоль которой является время. На рисунке 4.1 показаны четыре примера систем: неустойчивой (а), асимптотически устойчивой (в) и устойчивой (б, г). Рис. 4.1 4.2 Прямой метод исследования устойчивости линейных систем Об устойчивости можно судить по расположению полюсов (корней полинома знаменателя передаточной функции) системы на комплексной плоскости. • Если все полюса передаточной функции расположены в левой части комплексной плоскости, то соответствующая система является асимптотически устойчивой • Если среди всех полюсов передаточной функции есть хоть один полюс, расположенный в правой части комплексной плоскости, то соответствующая система является неустойчивой • Если помимо полюсов передаточной функции, располагаемых в левой части комплексной плоскости, есть один или несколько некратных полюсов на мнимой оси, то такая система является устойчивой. На рисунке 4.2 приведены примеры неустойчивой (а), асимптотически устойчивой (б) и устойчивой (в) систем. Рис. 4.2 4.3 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица Критерий Гурвица работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Определение. Характеристическим уравнением называется полином знаменателя передаточной функции, приравненный нулю. Пусть характеристическое уравнение некоторой исследуемой системы имеет вид: . • Необходимым условием критерия является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. • Достаточным условием асимптотической устойчивости является положительность всех диагональных миноров так называемой матрицы Гурвица (рисунок 4.3). Рис. 4.3 4.4 Критерий устойчивости Найквиста-Михайлова. Понятие запасов устойчивости Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по ее частотным характеристикам в разомкнутом состоянии (рисунок 4.4). Рис. 4.4 Существуют две формулировки критерия Найквиста: 1) для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, замкнутая система будет тоже устойчивой, если годограф передаточной функции разомкнутой системы не охватывает точку –1 на комплексной плоскости при изменении частоты ; 2) для системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии, замкнутая система будет устойчивой, если годограф передаточной функции разомкнутой системы охватывает точку –1 на комплексной плоскости в положительном направлении раз при изменении частоты , где mр – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы в правой полуплоскости. По годографу или соответствующим ЛАФЧХ разомкнутой системы вводится количественная мера устойчивости в виде запасов устойчивости по фазе и модулю. Запас по фазе определяют на частоте среза системы, когда амплитуды входного и выходного сигналов равны, а запас по модулю Hm на частоте , где фазовая частотная характеристика равна . На рисунке 4.5 показан пример системы, передаточная функция в разомкнутом состоянии которой содержит три устойчивых апериодических звеньев, содержащих две заданные постоянные времени и варьируемый коэффициент усиления K. Соответствующие запасы устойчивости показаны на годографе передаточной функции разомкнутой системы (рисунок 4.5, а) и ее ЛАФЧХ (рисунок 4.5, б). Рис. 4.5 Из рисунков видно, что с ростом коэффициента усиления K увеличивается частота среза и запасы устойчивости уменьшаются. Для предельного значения коэффициента усиления Kпр запасы устойчивости становятся нулевыми, а это означает, что система оказывается на границе области устойчивости, поскольку годограф проходит через точку -1 на частоте . Дальнейшее увеличение коэффициента усиления K > Kпр приводит к неустойчивости замкнутой системы, так как годограф будет охватывать точку -1. Презентация 5. Исследование качества и точности регулирования 5.1 Основные показатели качества регулирования 2 5.2 Понятие корневого годографа 4 5.3 Оценка качества регулирования с помощью корневого годографа 6 5.4 Исследование точности регулирования 8 5.1 Основные показатели качества регулирования Напомним, что о качестве регулирования судят по реакции системы на скачкообразное изменение входного сигнала. При этом, анализируя временные характеристики, можно выделить ряд так называемых показателей качества: • время регулирования, • максимальное перерегулирование, • число колебаний за время регулирования, • скорость нарастания сигнала на выходе и т.д. Причем среди основных показателей выделяют время регулирования и максимальное перерегулирование. Время регулирования определяют по пяти процентной зоне относительно установившегося значения выходного сигнала, а максимальное перерегулирование по максимальному выбросу за пределы установившегося уровня (рисунок 5.1). Рис. 5.1 5.2 Понятие корневого годографа Определение. Корневой годограф – траектории корней характеристического уравнения замкнутой системы на комплексной плоскости при изменении коэффициента усиления от нуля до бесконечности. Примечание. Рассматривается случай с отрицательной обратной связью. Корневой годограф предназначен для: • исследования устойчивости, • оценки характера переходных процессов. Корневой годограф можно легко получить, используя вычислительные средства, но качественно построить его можно и вручную с помощью правил построения корневых годографов. Ниже перечислены некоторые из них: • Количество траекторий корневого годографа равно порядку системы (порядку полинома знаменателя передаточной функции), • Все траектории корневого годографа непрерывны, • Комплексные части траекторий всегда сопряжены, • Траектории корневого годографа выходят из полюсов разомкнутой системы, • Траектории корневого годографа заканчиваются в нулях системы (корнях полинома числителя передаточной функции) или асимптотически уходят на бесконечность • Та часть действительной оси принадлежит корневому годографу, правее которой располагается нечетное количество нулей и полюсов разомкнутой системы. На рисунке 5.2 показан пример корневого годографа некоторой системы. Рис. 5.2 5.3 Оценка качества регулирования с помощью корневого годографа Как уже было сказано, корневой годограф позволяет проводить оценку характера переходных процессов в системе. Продемонстрируем на примере системы, показанной на рисунке 5.3. Рис. 5.3 Показатели качества регулирования оценим по корневому годографу, представленному на рисунке 5.4. В соответствии с расположением корней для семи значений коэффициента усиления K представлены переходные процессы на выходе системы. В случае а) передаточная функция замкнутой системы содержит два неустойчивых апериодических звена, из-за которых переходная характеристика неограниченно монотонно возрастает, тогда как в случае б) неустойчивость носит колебательный характер из-за пары комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частью. Случай в) соответствует предельному значению коэффициента усиления K3 = Kпр, когда система находится на границе области устойчивости и в ней возникают периодические колебания. На рисунке 5.4, г и д представлены устойчивые колебательные процессы, сильно отличающиеся качеством регулирования. Так, для K = K4 корни располагаются близко к мнимой оси и имеют небольшой коэффициент затухания, определяемый как , что порождает долго незатухающий процесс. А в случае K = K5 корни находятся на значительном расстоянии от мнимой оси и коэффициент затухания при этом увеличивается, что приводит к быстрому переходному процессу с малым числом колебаний. Для коэффициента усиления K6 корни становятся кратными действительными и с дальнейшим увеличением K один корень стремится к бесконечности по отрицательной части действительной оси, а другой движется к нулю в точке . В переходных процессах, показанных на рисунке 5.4, е для значений коэффициентов усиления K6 и K7 отсутствует колебательная составляющая, но перерегулирование возникает из-за доминирующего нуля передаточной функции. Анализ по корневому годографу показывает, что с увеличением коэффициента усиления показатели качества возрастают. Рис. 5.4 5.4 Исследование точности регулирования О точности регулирования судят по сигналу ошибки, т. е. разности входного и выходного сигналов. Анализ точности линейной системы проводят с помощью разложения в степенной ряд передаточной функции ошибки : где Этот ряд является сходящимся при s < 1, что во временной области означает t > tр. Переходя к сигналам во временной области, получим выражение установившейся ошибки Презентация 6. Применение среды MATLAB для анализа и проектирования систем автоматического управления 6.1 Способы задания передаточной функции 2 6.2 Функции реализации последовательного, параллельного и соединения с обратной связью 8 6.3 Анализ и проектирование динамических систем в среде MATLAB 9 6.3.1 Вычисление и отображение нулей и полюсов системы 9 6.3.2 Построение ЛАФЧХ и городгафа передаточной функции 10 6.3.3 Построение временных характеристик 13 6.3.4 Построение корневого годографа 14 6.1 Способы задания передаточной функции Пакет Control system toolbox для описания непрерывных и дискретных динамических моделей систем управления с постоянными параметрами использует либо tf-форму передаточной функции, либо zpk-форму нулей, полюсов и обобщенного коэффициента передачи, либо ss-форму пространства состояний. Передаточная функция описывается в виде отношения многочленов, которые задаются в виде векторов-строк, составленных из их коэффициентов. В zpk-форме корни многочленов числителя и знаменателя передаточной функции и обобщенного коэффициента передачи также задаются в виде одномерных массивов. Наиболее естественным для системы MATLAB является представление модели в пространстве состояний. Таким образом, математическую модель стационарной непрерывной системы можно задать следующими способами: 1) в tf-форме передаточной функции 2) в zpk-форме нулей, полюсов и коэффициента усиления Истинный коэффициент усиления такой системы 3) в ss-форме пространства состояний в виде четверки матриц A, B, C и D системы дифференциальных уравнений Передаточная функция задается многочленом числителя num и многочленом знаменателя den. В системе MATLAB многочлены представляются как векторы-строки, составленные из коэффициентов многочлена в порядке убывания степеней переменной. Например, вектор [1 3 5] соответствует многочлену . Если заданы векторы num и den, соответствующие многочленам числителя и знаменателя, то функция создает модель системы в виде передаточной функции . Пример. Функция w=tf([1 0],[1 2 10]) формирует передаточную функцию : >> w=tf([1 0],[1 2 10]) Transfer function: s -------------- s^2 + 2 s + 10 Пример .Передаточную функцию можно задать следующим образом: >> w=tf([2],[2 1])*tf([1],[1 3 1]) Transfer function: 2 ----------------------- 2 s^3 + 7 s^2 + 5 s + 1 zpk-модель тесно связана с формой представления объекта в виде передаточной функции: нули – это корни многочлена числителя, полюсы – корни многочлена знаменателя. Функция, предназначенная для формирования таких моделей, имеет вид , где z и p – векторы из нулей и полюсов, а k – обобщенный коэффициент усиления. Не забывайте, что коэффициент k следует задавать аккуратно, чтобы обеспечить истинный коэффициент усиления . Пример. Требуется задать передаточную функцию . Для этого необходимо найти все нули и полюса этой передаточной функции, составить из них вектора и задать функцию w=zpk([0],[1-j 1+j 2],-2): >> w=zpk([0],[1-j 1+j 2],-2) Zero/pole/gain: -2 s -------------------- (s-2) (s^2 - 2s + 2) Пример. Пусть требуется задать передаточную функцию . Обратите внимание, что истинный коэффициент усиления равен 1. Нули и полюса этой передаточной функции следующие: Воспользовавшись равенством получим: . Отсюда обобщенный коэффициент k=0.5 Тогда функция w=zpk([-1],[1 -0.5],0.5) обеспечит нам исходную передаточную функцию: >> w=zpk([-1],[1 -0.5],0.5) Zero/pole/gain: 0.5 (s+1) ------------- (s-1) (s+0.5) Если привести вид полученной передаточной функции к типовому, то можно убедиться, что истинный коэффициент усиления равен 1. Примечание. Если нули в передаточной функции отсутствуют, то соответствующий вектор следует задавать пустым, в виде пустых скобок []. Пример. Пусть требуется задать передаточную функцию Нули в данной системе отсутствуют, а полюса Тогда для задания передаточной функции следует воспользоваться записью w=zpk([],[-0.5 -0.25],0.125), где обобщенный коэффициент 0.125=0.5*0.25 обеспечивает истинный коэффициент, равный 1: >> w=zpk([],[-0.5 -0.25],0.5*0.25) Zero/pole/gain: 0.125 ---------------- (s+0.5) (s+0.25) Если известно описание системы в пространстве переменных состояний в виде матриц A, B, C и D, то задать эту систему в среде MATLAB можно с помощью функции ss: sys=ss(A,B,C,D), где sys – любое выбираемое пользователем имя системы. Пример. Пусть система описана в пространстве переменных состояний с помощью матриц , , , . Тогда для задания этой системы в среде MATLAB необходимо записать следующие строчки: >> A=[0 1;-5 -2]; >> B=[0;3]; >> C=[0 1]; >> D=0; >> sys=ss(A,B,C,D) a = x1 x2 x1 0 1 x2 -5 -2 b = u1 x1 0 x2 3 c = x1 x2 y1 0 1 d = u1 y1 0 6.2 Функции реализации последовательного, параллельного и соединения с обратной связью 1. Параллельное соединение Функция sys=parallel(sys1,sys2) реализует параллельное соединение двух систем. Эта функция эквивалентна операции сложения sys=sys1+sys2. 2. Последовательное соединение Функция sys=series(sys1,sys2) реализует последовательное соединение двух систем. Эта функция эквивалентна операции умножения систем sys=sys1*sys2. 3. Соединение с обратной связью Функция sys=feedback(sys1,sys2) возвращает систему sys, соответствующую соединению систем sys1 и sys2 в контур с отрицательной обратной связью. Причем система sys1 находится в прямой передаче, а система sys2 – в обратной связи. Чтобы замкнуть систему положительной обратной связью, следует использовать следующее обращение: sys=feedback(sys1,sys2,+1). Внимание! Очень частой ошибкой бывает использование следующей записи при построении соединения с обратной связью: . В данном случае операция замыкания контура обратной связью в среде MATLAB будет выполнена некорректно. Поэтому для реализации соединения с обратной связью необходимо использовать функцию feedback. 6.3 Анализ и проектирование динамических систем в среде MATLAB 6.3.1 Вычисление и отображение нулей и полюсов системы Функция p=pole(sys) возвращает вектор p, состоящий из полюсов системы sys. Функция z=tzero(sys) возвращает вектор z, состоящий из нулей передаточной функции системы sys. Для отображения полюсов и нулей системы на комплексной плоскости следует использовать функцию pzmap(sys). Пример. Пусть задана система в виде некоторой передаточной функции W Тогда, воспользовавшись записью pzmap(W), получим следующий результат (рисунок 6.1). Рис. 6.1 6.3.2 Построение ЛАФЧХ и городгафа передаточной функции Функция bode(sys) предназначена для построения амплитудных и фазовых логарифмических частотных характеристик для динамических систем. Пример. Пусть требуется построить ЛАФЧХ для колебательного звена . Обращение bode(W) позволит получить график ЛАФЧХ (рисунок 6.2). Рис. 6.2 Функция nyquist(sys) предназначена для построения частотного годографа передаточной функции динамической системы. Пример. Пусть требуется построить годограф для колебательного звена из предыдущего примера. Обращение nyquist(W) позволит получить годограф (рис. 6.3). Рис. 6.3 Примечание. По умолчанию система MATLAB строит годограф для полного диапазона частот от до . Часть годографа, соответствующую отрицательным частотам легко убрать. Для этого необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши в области годографа, выбрать пункт меню Show и снять галочку с “Negative Frequencies”. С помощью ЛАФЧХ и годографа возможно исследовать запасы устойчивости системы. Рассмотрим на следующем примере. Пусть дана система в разомкнутом состоянии . Годограф этой системы будет иметь вид, показанный на рисунке 6.4. Щелкнув правой кнопкой мыши в области рисунка и выбрав пункт меню Characteristics->All Stability Margins, сможем увидеть запасы устойчивости по модулю и фазе. Рис. 6.4 Таким же образом запасы устойчивости можно увидеть и на ЛАФЧХ. 6.3.3 Построение временных характеристик Для построения переходной характеристики динамической системы предназначена функция step(W). Пример. Пусть дана система в виде колебательного звена . Тогда переходной процесс можно построить с помощью обращения step(W): Рис. 6.5 Для построения импульсной переходной характеристики динамической системы предназначена функция impulse(W). Примечание. Если дана система в разомкнутом состоянии, а требуется построить переходную или импульсную характеристику для замкнутой системы, то прежде чем использовать функцию step, сначала необходимо получить замкнутую систему с помощью функции feedback. 6.3.4 Построение корневого годографа При построении корневого годографа следует четко понимать, что исходными данными является разомкнутая система. А результатом построения корневого годографа является набор траекторий движения полюсов замкнутой системы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы от нуля до бесконечности. Рассмотрим построение корневого годографа на примере. Пусть задана разомкнутая система . Задавать передаточную функцию разомкнутой системы следует для K=1 (истинный коэффициент усиления равен 1): Сформируем заданную передаточную функцию, например, с помощью функции tf: >> W=tf([1 1],[1 -1 0]) Transfer function: s + 1 ------- s^2 – s Корневой годограф можно построить с помощью обращения rltool(W) (рисунок 6.6). Рис. 6.6 Квадратики, закрашенные красным цветом, показывают расположение полюсов замкнутой системы при том или ином значении коэффициента усиления разомкнутой системы. С помощью мыши можно перемещать эти полюса и следить за тем, как именно изменяется их расположение при изменении коэффициента усиления. Примечение. Инструмент rltool позволяет в онлайн режиме добавлять нули и полюса в систему и следить за тем, как при этом изменится вид корневого годографа. Кроме того, в рамках этого инструмента есть возможность исследовать частотные и временные характеристики замкнутой системы.