Тепловое излучение; закон Кирхгофа

Лекция 11. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ § 11.1. Основные понятия Как известно, макроскопическое тело обладает внутренней энергией, частью которой является тепловая энергия, то есть, энергия хаотического движения микрочастиц, составляющих макроскопическое тело. Если тело находится в тепловом равновесии, то тепловая энергия характеризуется температурой, через которую выражается средняя энергия теплового движения частиц. Многие из них несут на себе нескомпенсированный заряд. Движение частиц в замкнутом объёме, ограниченном стабильными границами макротела, неизбежно должно включать в себя ускорение. Неравномерно или непрямолинейно движущаяся заряженная частица, согласно законам электродинамики, должна испускать электромагнитные волны. Следовательно, тело, имеющее конечную температуру должно излучать. Электромагнитное излучение, возникающее за счёт теплового движения микрочастиц тела, находящегося в тепловом равновесии, называется тепловым излучением. Другими словами, тепловым является электромагнитное излучение тела, имеющего температуру. Световым потоком  через данную поверхность называется мощность излучения, падающая на данную поверхность со всех направлений или излучаемая поверхностью во все направления. Очевидно, что световой поток измеряется в ваттах. Мощность излучения, падающего на поверхность или уходящего с неё − это количество энергии, проходящей через эту поверхность в единицу времени, то есть это другое название потока энергии. Итак, световой поток, мощность излучения и поток световой энергии − это одно и то же. =P В данной теме будут рассматриваться световые потоки только теплового излучения. Плотность распределения мощности излучения по поверхности, то есть мощность излучения с единицы поверхности источника, называется энергетической светимостью источника. Энергетическую светимость будем обозначать M Вт/м2  . В соответствие с определением: dPизл . dS Очевидно, что электромагнитные волны могут не только излучаться с поверхности, но и попадать на неё. Плотность распределения мощности излучения, падающего на поверхность, то есть мощность излучения, падающего на единицу поверхности, называется освещённостью. Её будем обозначать E Вт/м2  . В M= соответствие с определением: dPпад . dS Часть падающего на поверхность излучения отражается, и только часть поглощается. Отношение мощности поглощённого излучения к мощности излучения падающего называется поглощающей способностью поверхности. Эту безразмерную характеристику поверхности будем обозначать А. d погл Eпогл  dS Eпогл A= = =  Eпогл = A  E d пад Eпад  dS Eпад E= § 11.2. Освещённость изотропным излучением Рассмотрим (рис. 11.1) малый участок dS поверхности, освещённой изотропным излучением.  d Рис. 11.1 Полный световой поток d , падающий на эту поверхность, складывается из более элементарных потоков d 2 , каждый из которых связан с излучением, приходящим с определённого  направления с . d =  d 2  , где d 2 = wc  c  dS = wc  c  cosθ  dS .  Здесь с − скорость света в данном направлении, wc − объёмная плотность энергии, связанная с этим направлением. Направление определяется телесным углом d , исходящим из места положения dS . По определению dw wc =  d , d где w − объёмная плотность энергии электромагнитного излучения. В случае изотропного излучения dw w w =  wc =  d . d  4π 4π Тогда w wc d  =   c  cosθ  d   dS = dS  cosθ  d  .  4π 4π по верхнему (полупространству) При вычислении интеграла, благодаря изотропии, элементарный телесный угол, привязанный к углу , удобнее брать в виде конусного слоя с вершиной в dS и с углом при вершине  (рис. 11.2). d  Рис. 11.2 Тогда d  = 2π  sinθ  dθ . Следовательно, π/2 π/2 wc wc wc d  = dS cosθ  2πsin θdθ = dS  2π  cosθsin θdθ = dS .  4π 0 4π 4 d Следовательно, освещённость поверхности E = равна dS wc . 4 Тогда поверхностная плотность поглощённого излучения wc Eпогл = A 4 В дальнейшем мы будем рассматривать только изотропное излучение. E= § 11.3. Закон Кирхгофа Если излучаемая мощность совпадает с поглощаемой мощностью излучения, то излучение находится в равновесии с телом. Используя стандартную терминологию, можно дать такое определение: тело и излучение находятся в равновесии друг с другом, если энергетическая светимость поверхности и поглощаемая освещённость равны: M = Епогл Так как Eпогл = A  E , то в случае изотропного излучения cw M = A E = A 4 В этой главе рассматривается только тепловое излучение. Значит, излучающее тело находится в тепловом равновесии. Тогда и излучение, равновесное с телом, должно находиться с ним в тепловом равновесии, то есть, иметь ту же температуру, что и тело. Поэтому cw(T ) M (T ) = A  , 4 где T − температура тела и излучения. Очевидным представляется утверждение, что свойства единицы объема равновесного с телом теплового излучения при данной температуре не зависят от тела, с которым излучение находится в равновесии. Какие бы тела не помещались в теплоизолированную полость с зеркальными стенками, все они со временем придут в равновесие с общим для них всех тепловым излучением. Таким образом, равновесное с телом тепловое излучение не должно зависеть от особенностей тел, а должно характеризоваться только температурой. Следовательно, объёмная плотность энергии равновесного с телом теплового излучения w(T ) является универсальной функцией температуры. Как правило, излучение представляет собой суперпозицию волн различных частот. Спектральной плотностью данной характеристики излучения называется отношение величины этой характеристики, связанной с диапазоном частот dω , к величине этого диапазона. В частности, спектральная плотность энергетической светимости: dM Mω = . dω В случае теплового излучения спектральная плотность светимости зависит от температуры, поскольку сама светимость зависит от температуры: dM = M ω (T ) . M = M (T )  dω Далее, спектральная плотность освещённости: dE Eω = . dω В случае освещённостью равновесным излучением cw (T ) dE c dw cwω (T ) =  =  Eω (T ) = ω . dω 4 dω 4 4 Здесь wω (T ) − спектральная плотность универсальной объёмной плотности энергии равновесного с телом теплового излучения, которая тоже является универсальной. Из опыта известно, что в случае теплового равновесия излучения с телом имеет место детальное равновесие по спектру, когда спектральная плотность энергетической светимости при определённой частоте совпадает со спектральной плотностью мощности поглощаемого излучения при той же частоте: M (T ) = A(T )  E (T )  M ω (T ) = Aω (T )  Eω (T ) . Здесь по определению введено выражение спектральной плотности поглощаемой мощности как произведение безразмерной спектральной поглощательной способности тела Aω (T ) на спектральную плотность Eω (T ) . освещённости Так как  M (T ) =  M ω (T )dω , то из детального равновесия по спектру следует   A (T )  E (T ) dω ω ω = A (T )  E (T ) . Отсюда можно получить выражение общей поглощательной способности тела через спектральную:   1 A (T ) =   Aω (T )  Eω (T ) dω = E 0  A ( T )  E ( T ) dω ω ω   E ( T ) dω ω . Подставив выражение спектральной плотности освещённости тепловым излучением, равновесным с телом, в принцип детального равновесия: M (T ) cwω (T ) cw (T ) = M (T ) = Aω (T )  ω  ω , Aω (T ) 4 4 мы получаем закон Кирхгофа: отношение спектральной плотности энергетической светимости нагретого тела к его спектральной поглощательной способности не зависит от свойств тела, а является универсальной функцией частоты и температуры. M (T ) Эта функция называется функцией Кирхгофа: K ( ω, T ) = ω . Из Aω (T ) предыдущего следует: cwω (T ) , 4 то есть, функция Кирхгофа равна спектральной плотности освещённости тела изотропным тепловым излучением. Абсолютно чёрным телом (АЧТ) называется тело, у которого спектральная плотность поглощательной способности на M ω (T ) = K ( ω, T ) , а AωАЧТ (T ) = 1 , то всех частотах равна 1. Так как Aω (T ) K ( ω, T ) = M ωАЧТ Функция Кирхгофа равна спектральной АЧТ плотности энергетической светимости АЧТ. Абсолютно чёрное тело можно «изготовить». Им является поверхность малого отверстия в полости с неидеальными стенками (рис. 11.3). Рис. 11.3 Попадая в отверстие, электромагнитное излучение «запутывается» в полости и его энергия может выйти обратно только в виде теплового излучения полости. Не нужно ассоциировать термин АЧТ с цветом. Дверца погасшей печи является таким же абсолютно чёрным телом, как и дверца печи раскалённой. Солнце по своим свойствам близко к АЧТ. Короче, K ( ω, T ) = имея под руками АЧТ, функцию Кирхгофа можно измерить экспериментально. Её качественный вид для двух разных температур представлен на рисунке 11.4. T2>T1 T2 T1 max1 max2  Рис. 11.4 При выводе закона Кирхгофа предполагалось, что температура нагретого тела и равновесного излучения совпадают. Иными словами, излучение над поверхностью тела находится с этой поверхностью в тепловом равновесии. А в формулировке закона это условие отсутствует! Посмотрите, закон не упоминает свойств излучения над поверхностью нагретого тела, а сравнивает две характеристики излучающей поверхности. В результате, мы можем выразить спектральную плотность энергетической светимости нагретого тела через его спектральную поглощательную способность и универсальную функцию природы. То есть, логика здесь следующая: если при тепловом равновесии тела и излучения это выражение правильно, то и в произвольном случае теплового излучения оно будет тоже правильным. Вроде постулата получается. А какие могут быть произвольные случаи? Температура тела и теплового излучения над его поверхностью одна и та же, если тело находится в теплоизолированной полости (термосе). В этом случае температура тела будет неизменной. А если теплоизоляции тела и излучения нет, то поток энергии с поверхности тела будет, например, превышать обратный поток, и тело, если отсутствует источник пополнения его тепловой энергии, станет остывать. Или, если поток энергии от излучения к телу больше, − нагреваться. Иными словами, равновесия тела и теплового излучения не будет. Однако, закон Кирхгофа M ω (T ) = K ( ω, T ) Aω (T ) будет выполняться в любом случае. Это значит, что если тело, не находящееся в теплоизоляции, покрыть отражающей (зеркальной оболочкой), то оно, имея все остальные характеристики (в том числе и температуру) теми же, станет меньше излучать и, стало быть, медленнее остывать. Поэтому все правильные эмалированные чайники − белые (низкая поглощательная способность − слабое излучение − медленно остывают). А ручки у них − чёрные (всё наоборот). Но, раз формула спектральной энергетической светимости одна и для случая равновесия излучения с телом, и в его отсутствии, то спектрально-объёмная плотность энергии теплового излучения wω (T ) не зависит от того, является ли тепловое излучение равновесным с телом или не является. Значит, в любом случае тепловое излучение имеет температуру и характеризуется универсальными объёмной и спектрально-объёмной плотностями энергии теплового излучения. § 11.4. Спектрально-объёмная плотность волновых состояний Из определения функции Кирхгофа следует, что для расчёта спектральной энергетической светимости АЧТ нужно разобраться со спектрально-объёмной плотностью равновесного излучения wω (T ) . Очевидно, что форма полости пренебрежимо мало влияет на энергетическую объёмную плотность излучения в полости. Поэтому мы имеем право выбрать такую форму, которая наиболее проста для теоретического описания. Поскольку любая полость − это своего рода резонатор, то есть, излучение в ней можно представить как суперпозицию стоячих волн, подходящих данной полости, то наиболее простая форма − прямоугольный параллелепипед (рис. 11.5). В нём очевиден признак выделения «правильных» волн: от одной до другой стенки резонатора должно укладываться целое число полудлин бегущих волн, образующих стоячую волну. Напомним, что стоячая волна является суперпозицией двух бегущих в противоположных направлениях волн одинаковой частоты, удовлетворяющих условию резонатора. y Ly x/2 z Lz  λ x Lx = 2 nx x Lx  λx =  Рис. 11.5 2 Ly 2 Lx 2L ; λy = ; λz = z , nx ny nz где nx , ny , nz − набор натуральных чисел, определяющих волновой вектор трёхмерной бегущей плоской волны, являющейся волновым состоянием или модой резонатора: 2  2π   2π   2π  k = k x2 + k y2 + k z2 =   +   +   =    λx   λ y   λz  2 2 2  π   π   π =  nx  +  n y  +  nz  .    Lx   Ly   Lz  Следовательно, в пространстве bx 1 k y волновых векторов  волновые by векторы тех бегущих волн, которые участвуют в возникновении стоячих волн kx резонатора, образуют трёхмерную Рис. 11.6 решётку (рис. 11.6) с параметрами π π π bx = ; by = ; bz = , Lx Ly Lz расположенную в первом октанте пространства, поскольку из-за натуральности nx , ny , nz kx , k y , kz  0 . 2  2  То есть, на одно волновое состояние резонатора должен приходиться объём пространства волновых векторов π3 π3 1 = bxby bz = = , Lx Ly Lz V где V − объём полости резонатора. Объём пространства волновых векторов, чей модуль близок к данному значению k, представляет собой один октант сферического слоя радиуса k, и толщиной dk (рис. 11.7). 1 πk 2 dk y 2 d  =  4πk dk = . dk 8 2 Количество мод резонатора в этом k x объёме d πk 2 dk k 2 dk dN = 2 =2 V = 2 V. 1 2π3 π Рис. 11.7 Множитель 2 появляется из-за того, что каждая бегущая волна представляется двумя взаимно перпендикулярными поляризациями. Дисперсионная зависимость для световых волн в вакууме ω ( k ) = ck . С её помощью перейдём в выражении dN от k к : ω dω ω2 dω V k = ; dk =  dN = 2 2  V  = 2 3 ω2 dω . с с πc c πc Спектральная плотность мод резонатора dN V Nω = = 2 3 ω2 . dω π c Спектрально-объёмная плотность волновых состояний резонатора Nω ω2 nω = = 2 3. V πc Тогда спектрально-объёмная плотность энергии wω = nω  ε ( ω,T ) , где ε ( ω,T ) − энергия, приходящаяся в среднем на одно волновое состояние резонатора данной частоты при данной температуре. Итак, ω2 wω = 2 3 ε ( ω, T ) . πc Тогда cwω (T ) ω2 K ( ω, T ) =  K ( , T ) = 2 2  ( ω, T ) . 4 4π c Подчеркнём, что это выражение функции Кирхгофа универсально, следовательно, и два сомножителя, входящие в её выражение, тоже являются универсальными: спектрально-объёмная плотность волновых состояний nω и средняя по времени энергии одного волнового состояния ε ( ω,T ) теплового излучения. То, что мы выводили nω для прямоугольного резонатора, не означает, что полученное выражение не подходит для всех остальных случаев теплового излучения, в том числе, и для неравновесного с телом. § 11.5 Классический подход к функции Кирхгофа Ясно, что вопрос упирается в выражение ε ( ω,T ) . Ясно, что эту величину нужно находить статистическими методами. Классическая статистика утверждает, что в состоянии теплового равновесия на одну степень свободы в среднем по времени приходится kT / 2 энергии теплового движения, где k = 1,38 10−23 Дж/К − постоянная Больцмана. Одна мода резонатора и есть одна степень свободы системы «излучение в резонаторе». Следовательно, с классической точки зрения kT ε ( ω, T ) = . 2 Тогда получается формула Рэлея-Джинса: ω2 kT . K ( ω, T ) = 2 2  4π c 2 Посмотрим, насколько адекватно отражает это выражение реальную физическую ситуацию. Полная энергия, идущая с единицы поверхности АЧТ в единицу времени:   kT M =  K ( ω, T ) dω = 2 2  ω2 dω =  . 8π c 0 Этот абсурдный теоретический результат Рэлей-Джинс в истории науки носит название «ультрафиолетовой эксперимент катастрофы». Катастрофа произошла  не с природой, а с классической теорией, Рис. 11.8 методы которой оказались неспособны описать функцию Кирхгофа. На рисунке 11.8 видно, что формула Рэлея-Джинса хорошо описывает функцию Кирхгофа только в области малых частот. § 11.6 Формула Планка Макс Планк в 1900 году после 10 лет напряжённых размышлений предложил формулу, основанную на дискретности энергии электромагнитного излучения данной частоты: она поглощается и испускается неделимыми порциями (квантами), и энергия одной порции прямо пропорциональна частоте излучения: εкв = ω .  =1,0510-34Джс − постоянная Планка. Классическая электромагнитная волна определённой частоты представляет собой совокупность огромного целого числа квантов энергии. Если излучение равновесное, то среднее по времени число квантов энергии, составляющих моду резонатора, то есть, волну данной частоты, как показал Планк, определяется температурой по следующей формуле (здесь без вывода): 1 .  ω exp   − 1  kT  Эта величина ещё называется числом заполнения моды. Через неё очевидным образом выражается средняя энергия моды. N ( ω, T ) = ε ( ω, T ) = ε кв  N ( ω, T ) = Тогда расчётная функция Кирхгофа ω  ω exp   − 1  kT  ω3 K ( ω, T ) = 2 2  4π c 1  ω exp   − 1  kT  совпадает с экспериментом. В то время, когда Планк мучительно раздумывал над выводом своей знаменитой формулы, другие учёные также бились над загадкой светимости АЧТ. Их усилия не увенчались таким успехом, как у Планка, потому что они не подходили к этой проблеме столь революционно. Но, исходя из термодинамики и классической электродинамики, некоторым из них удалось получить определённые результаты частного характера. Например, до вывода формулы Планка уже был известен закон Стефана-Больцмана, касающийся энергетической светимости АЧТ: интегральная (по всему спектру) светимость АЧТ пропорциональна четвёртой степени температуры.  M АЧТ =  K ( ω, T ) dω = σT 4 . Константа пропорциональности , называемая постоянной СтефанаБольцмана, была определена экспериментально: Вт σ = 5,7 10−8 2 4 мК Кроме этого, были сформулированы два закона Вина, касающиеся максимума спектра АЧТ. Первый закон Вина (закон смещения) описывает эволюцию положения максимума на шкале длин волн с изменением температуры: длина волны, соответствующая максимуму энергетической светимости, изменяется обратно пропорционально абсолютной температуре излучения. b . T Экспериментальное значение константы Вина b = 2,90 10−3 м  К . Второй закон Вина касается эволюции максимального значения функции Кирхгофа с изменением температуры: λ max = максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости АЧТ по шкале длин волн изменяется прямо пропорционально пятой степени температуры. K *max ( λ,T ) T 5 Здесь введено обозначение K * ( λ,T ) функции Кирхгофа в зависимости от длины волны теплового излучения. Эти законы сами по себе удобны, поскольку позволяют проводить быстрые численные оценки спектра АЧТ. Поэтому они используются в научной практике, но с выводом формулы Планка они оказались лишь её следствиями. 11.6.1. Вывод закон Стефана-Больцмана  M (T ) =  K ( ω, T ) dω = 3  ω 4    3 ω kT  kT   ω = 2 2 dω = 2 2       d  . 4π c 0 4π c   0 kT  ω  ω exp   − 1 exp   − 1    kT   kT  ω Обозначим ξ = . Тогда kT 4   k4  4 ξ3 ξ3  kT  M (T ) = 2 2   d ξ =  d ξ   T .   2 2 4  4π c  4π c expξ − 1  0 expξ − 1   Выражение в скобках не зависит от температуры и является постоянной Стефана-Больцмана. 11.6.2. Вывод законов Вина Прежде всего, спектральную плотность нужно перевести из шкалы частот в шкалу длин волн. Дифференциал энергетической светимости при данной температуре, связанный с интервалом частот dω , имеет вид: dMT = K ( ω,T )  dω . Интервал частот dω связан с соответствующим интервалом длин волн dλ . Под последним здесь мы будем понимать элементарный отрезок спектральной меры, то есть, положительную величину. Тогда из соотношения ω= Следовательно, 2πс , λ следует dω = 2πc dλ . λ2  2πс  2πс dM T = K * ( λ, T )  dλ = K  , T   2 dλ . λ   λ Значит, dM T  2πс  2πс = K ,T   2 dλ λ   λ Из формулы Планка следует, что K * ( λ, T ) = ω3 K ( ω, T ) = 2 2  4π c 1 = ω3   ω exp   − 1  kT  ω f  . T  Тогда, переходя к шкале длин волн 3  2πс  2πс  2πс  K * ( λ, T ) = K  ,T   2 =     λ  λ  λ   2πс  2πс 1 f   2 = 5  φ ( λT ) . λ  λT  λ K * = 0. Максимум функции K * ( λ,T ) соответствует условию λ K *   1  =  5  φ ( λT )  = λ λ  λ  1 5 1 5  = 5 φ ( λT )  T − 6 φ ( λT ) = 5  φ ( λT )  T − φ ( λT )   λ λ λ  λ  5  φ ( λ maxT )  T − φ ( λ maxT ) = 0  λ max 5φ ( λ maxT ) 5  φ ( λ maxT )  T = φ ( λ maxT )  λ maxT − = 0. λ max φ ( λ maxT ) Введём обозначение: относительно b: b = λmaxT . b− Тогда имеем уравнение 5φ ( b ) = 0. φ ( b ) Сколько экстремумов у функции K * ( λ,T ) , столько корней у этого уравнения. Качественный вид функции K * ( λ,T ) можно получить из вида функции K ( ω, T ) инвертированием оси аргумента: там, где ω → 0 , λ →  ; там, где ω →  λ → 0 . Иными словами, у функции K * ( λ,T ) столько экстремумов, сколько и у K ( ω, T ) , то есть один (как следует из опыта). Значит, b, будучи единственным корнем непараметрического алгебраического уравнения, является определённым числом, не равным 0, что доказывает первый закон Вина. Стоит отметить, что положения максимумов функций K ( ω, T ) и K * ( λ,T ) : max и  max не пересчитываются друг в друга по формуле связи длины волны и циклической частоты, то есть 2πс ωmax  . λ max Второй закон Вина следует из выражения 1 K * ( λ, T ) = 5  φ ( λT ) . λ Максимум спектральной энергетической светимости по шкале длин волн φ (b) 1 T5 K *max = K * ( λ max , T ) = 5  φ ( λ maxT ) = 5  φ ( b ) = 5  T 5 . λ max b b Контрольные вопросы к главе 11 1. Как известно, Солнце с большой степенью точности можно считать абсолютно чёрным телом. Почему оно белое? (§§11.3,6) 2. Имеются две шаровые полости большого радиуса с малыми круглыми отверстиями одинаковых диаметров, равных 1 см, и абсолютно отражающими наружными поверхностями. Плоскости отверстий параллельны друг другу, и их центры лежат на прямой, перпендикулярных этим отверстиям. Расстояние между отверстиями 10 см. В одной из полостей поддерживается температура 2000 К. Чему равна установившаяся температура во второй полости? (Ответ: 595 К) (§§11.3,6) 3. В черный тонкостенный металлический сосуд, имеющий форму куба, налит 1 кг воды, нагретой до 50С. Чему равно время остывания сосуда до 10С, если он помещён в чёрную полость, температура стенок которой поддерживается около 0С, а вода заполняет весь объём сосуда? (Ответ: 5904 с) (§§11.3,6) 4. Чему равно число собственных колебаний струны длиной 1 м в интервале частот 10-3Гц. Линейная плотность струны равна 50 г/м, поперечное сечение 2 мм2, напряжение струны 108 Н/м2. Считать, что струна может колебаться лишь в одной плоскости. (Ответ: 3,210-4) (§ 11.4) 5. Излучение абсолютно чёрного тела, имеющего температуру 2400 К, падает на светофильтр, который пропускает длины волн от 500 до 400 нм. При этом в фильтре теряется 10 излучения в этом диапазоне. Какую долю полного падающего потока пропускает светофильтр? (Ответ: 0,2) (§ 11.6) 6. Плотность потока энергии солнечного излучения вне земной атмосферы на расстоянии, равном радиусу земной орбиты (1,5108 км) равна 1,4 кДж/(м2с). Угловой размер Солнца равен 32. Каковы энергетическая светимость и температура поверхности Солнца? (Ответ:64,7 МВт/м2; 5,8 кК) (§§11.3,6) 7. Вследствие изменения температуры чёрного тела максимум спектральной плотности сместился с длины волны, равной 2,4 мкм на длину 0,8 мкм. Как и во сколько раз изменились энергетическая светимость тела и максимальная спектральная плотность энергетической светимости? (Ответ: увеличились в 81 и 243 раза) (§ 11.6)