Теория системного анализа и принятия решений

Лекционные материалы по предмету «Теория системного анализа и принятия решений» Для студентов, обучающихся по направлению подготовки 280700.62 «Техносферная безопасность» Лекция 1. Основные принципы системного анализа 2 Лекция 2. Теория принятия решений – как элемент системного анализа. Методы, модели и задачи выбора 4 Лекция 3. Многокритериальные задачи выбора. Оптимизация на графах и сетях. 7 Лекция 4. Методы принятия решений в условиях определенности. Математическое программирование. 11 Лекция 5. Методы принятия решений в условиях риска. Статистические методы получения оценок. 17 Лекция 6. Методы принятия решений в условиях неопределенности. Основы теории игр. 26 Лекция 7. Методы принятия решений в условиях расплывчатой неопределенности. Нечеткие модели выбора. 32 Лекция 8. Экспертные методы принятия решений. 42 Лекция 1. Основные принципы системного анализа Введение. Области применения системного анализа. Определение системы. Методы и модели системного анализа. Уже в XIX веке стало увеличиваться число комплексных проектов, требующих участие специалистов различных областей. Появляется обобщающее направление, названное теория систем. Возникает также направление названное исследование операций, которое благодаря развитому математическому аппарату, базирующемуся на методах оптимизации, математического программирования и статистики. В 50-60-е годы XX века при постановке и исследовании сложных проблем проектирования и управления довольно широкое распространение получил термин системотехника. Для обобщения дисциплин, связанных с исследованием и проектированием сложных систем используется термин системные исследования. Наиболее конструктивным из прикладных направлений системных исследований в настоящее время считается системный анализ. Сначала работы по системному анализу базировались на идеях теории оптимизации и исследования операций. Затем в поисках конструктивных средств организации процесса принятия решений системный анализ начинают определять как «процесс последовательного разбиения изучаемого процесса на подпроцессы». Таким образом, под системным анализом понимают науку, занимающуюся проблемой принятия решения в условиях анализа большого количества информации различной природы. Определено два аспекта системного анализа. Системный анализ дает основу для сочетания знаний и опыта специалистов многих областей при нахождении решений, трудности которых не могут быть преодолены на основе суждений любого отдельного эксперта. Системный анализ должен обеспечивать «четкое понимание места и значение неопределенности в принятии решения» и создать для этого специальный аппарат. Таким образом, системный анализ: применяется для решения таких проблем, которые не могут быть поставлены и решены отдельными методами математики; использует не только формальные методы, но и методы качественного анализа (интуиции, опыта); объединяет разные методы с помощью единой методики; опирается на научное мировоззрение; дает возможность объединить знания, суждения и интуицию специалистов различных областей знаний; основное внимание уделяется целями единообразия. Определение системы Существует множество определений системы. В философском словаре система – совокупность элементов, находящихся в отношениях и связях между собой и образующих некоторое целостное единство. Символически одну из групп определений можно представить следующим образом. , где A = {ai} – множество элементов (компонентов, частей) системы; R = {ri} – множество связей (отношений) между элементами системы; Z – совокупность (или структура) целей; N – наблюдатель. Дадим определения понятиям, входящих в определение системы. Элемент – это предел членения системы с точки зрения аспекта рассмотрения системы, решения конкретной задачи, поставленной цели. Сложные системы принято вначале делить на подсистемы, а если последние также сразу трудно разделить на элементы, то составляющие промежуточных уровней (если неизвестен их характер) называют компонентами системы. Связь – это ограничение степени свободы элементов. Связи можно характеризовать направлением (направленные и ненаправленные), силой (сильные и слабые), характером (или видом) (связи подчинения, связи порождения, равноправные связи и связи управления). Связи также могут быть разделены по месту приложения (внутренние и внешние) и по направленности процессов (прямые и обратные). Цель – это заранее мыслимый результат сознательной деятельности человека. Наблюдатель – это лицо, представляющее объект или процесс в виде системы при исследовании или принятии решения Лекция 2. Теория принятия решений – как элемент системного анализа. Методы, модели и задачи выбора. Принятие решений. Классификация моделей, методов и задачи принятия решений. Задачи оптимизации. Целевая функция. Множество альтернатив. Критерии выбора. Под принятием решений понимается особый процесс человеческой деятельности, направленный на выбор наилучшего варианта действий. Как в жизни отдельного человека, так и в повседневной деятельности организаций принятие решений является важ­нейшим этапом, который определяет их будущее. Для подавляющего большинства человеческих решений нельзя точно рассчитать и оценить последствия. Можно лишь предполагать, что определенный вариант решения приведет к наилучшему результату. Однако такое предположение может оказаться ошибочным, потому что никто не может заглянуть в будущее и знать все наверняка. Поэтому человеческие решения являются исключительно важным для практики и интересным для науки объектом ис­следования. В принятии решений принято различать следующие персональные позиции людей: лицо, принимаемое решение (человек, осуществляющий выбор наилучшего варианта); владелец проблемы (человек, который по мнению окружающих принимает решение); активная группа (группа людей, имеющих общие решения); избиратель (выполняет голосование за личность); член группы, имеющий равные права в малой группе; эксперт (профессионал группы в какой-то области); консультант по принятию решения (осуществляет помощь лицу, принимающему решение). Очень большое значение имеет индивидуальный выбор. В группе обычно есть центральная фигура, определяющая курс, тактику и стратегию действий на предстоящий период. От прозорливости этого лидера, его личных качеств зависит очень многое. Варианты действий принято называть альтернативами. Альтернативы - неотъемлемая часть проблемы принятия реше­ний: если не из чего выбирать, то нет и выбора. Следовательно, для постановки задачи принятия решений необходимо иметь хотя бы две альтернативы. Альтернативы бывают независимыми и зависимыми. Неза­висимыми являются те альтернативы, любые действия с кото­рыми (удаление из рассмотрения, выделение в качестве единст­венно лучшей) не влияют на качество других альтернатив. При зависимых альтернативах оценки одних из них оказывают влияние на качество других. Критериями (признаками, факторами, атрибутами) оценки альтернатив называются показатели их привлекательности (или непривлекательности) для участников процесса выбора. В подавляющем большинстве задач выбора имеется достаточно много критериев оценок вариантов решений. Эти критерии могут быть незави­симыми или зависимыми. Зависимыми называются те крите­рии, при которых оценка альтернативы по одному из них опре­деляет (однозначно либо с большой степенью вероятности) оцен­ку по другому критерию. Зависимость между критериями приводит к появлению целост­ных образов альтернатив, которые имеют для каждого из участ­ников процесса выбора определенное смысловое содержание. На сложность задач принятия решений влияет также коли­чество критериев. При небольшом числе критериев (два-три) за­дача сравнения двух альтернатив достаточно проста и прозрачна. При большом числе критериев задача становится малообозримой. Но они обычно могут быть объединены в группы, имею­щие конкретное смысловое значение и название. Использование критериев для оценки альтернатив требует оп­ределения градаций качества: лучших, худших и промежуточных оценок. Существуют следующие шкалы оценок по критериям. Шкала порядка — оценки упорядочены по возрастанию или убыванию качества (например, очень чистый район; вполне удовлетворительный по чистоте; экологическое загрязнение велико). Шкала равных интервалов — интервальная шкала. Для этой шкалы имеются равные расстояния по изменению качест­ва между оценками (например, 1 млн., 2 млн., 3 млн. и т.д.). Для интервальной шкалы характерно, что начало отсчета выбирается произвольно, так же как и шаг (расстояние между оценками ) шкалы. Шкала пропорциональных оценок — идеальная шкала. В процессе принятия решений выделяются три этапа: Поиск информации (собирается вся доступная на момент при­нятия решения информация: фактические данные, мнение экс­пертов; там, где это возможно, строятся математические моде­ли; проводятся социологические опросы; определяются взгляды на проблему со стороны активных групп, влияющих на ее ре­шение). Поиск и нахождение альтернатив (определение того, что можно, а что нельзя делать в имеющейся ситуации, т.е. определение вариантов решений (альтернатив)). Выбор лучшей альтернативы (сравнение альтернатив и выбор наилучшего варианта (или вариантов) решения). Приведем пример. Супруги решают, куда отправиться в туристическое путешествие. При оценке альтернатив используются два критерия: стоимость и привлекательность. Варианты туров представлены в таблице (табл.1.1) и отображены графически (рис.1.1). Из рисунка очевидно, почему супруги пред­почитают тур в Свапландию: он не хуже по критериальным оценкам каждого из двух других туров, а по одному из критери­ев — явно лучше. Таблица 1.1 Альтернатива Критерий Стоимость Привлекательность, новые впечатления 1. Океанские острова Небольшая Малая 2. Скайландия Высокая Большая 3. Свапландия Небольшая Большая Рисунок 0.1. В современной науке о принятии решений центральное ме­сто занимают многокритериальные задачи выбора. Считается, что учет многих критериев приближает постановку задачи к реальной жизни. Традиционно принято различать три основные задачи принятия решений. Упорядочение альтернатив (например, руководители фирм упорядочивают по прибыльности объекты капиталовложений). Распределение альтернатив по классам решений (например, группы товаров различаются по качеству, абитуриент делит на группы вузы, в которые он стремится поступить). Выделение лучшей альтернативы (например, выбор одного предмета при по­купке, выбор места работы). Основные понятия исследования операций Операцией называется всякое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели. Цель исследования операций - предварительное количественное обоснование оптимальных решений. Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров называется решением. Оптимальным называются решения, по тем или другим признакам предпочтительные перед другими. Параметры, совокупность которых образует решение, называются элементами решения. Множеством допустимых решений называются заданные условия, которые фиксированы и не могут быть нарушены. Показатель эффективности - количественная мера, позволяющая сравнивать разные решения по эффективности. Задача называется статической, если принятие решения происходит в наперед известном и не изменяющемся информационном состоянии. Если информационное состояние в ходе принятия решения сменяют друг друга, то задача называется динамической. Лекция 3. Многокритериальные задачи выбора. Оптимизация на графах и сетях. Многокритериальная оптимизация. Принцип Парето. Лексикографическая оптимизация. Графическое представление задач выбора. Методы оптимизации на графах и сетях. Задача. Выявляется предпочтение покупателя между среди семи моделей однотипного товара, обозначенных как A,B,C,D,E,F,G. Эти модели оцениваются по четырем критериям p1,p2,p3,p4, измеряемым в пятибалльной шкале. Сравнение моделей задано таблицей балльных оценок (табл. 2.1). Используя свертку векторного критерия в скалярный суперкритерий, найти оптимальную альтернативу с учетом степени важности критериев α1=5, α2=2, α3=1, α4=3. Определить оптимальную альтернативу по матрице доминирования. Таблица 2.1 p1 p2 p3 р4 S(x) A 3 4 1 3 33 B 3 2 2 4 33 C 2 2 3 2 23 D 4 3 2 2 34 Оптимально E 2 4 2 4 32 F 2 3 1 5 32 G 3 1 3 3 29 Решение: Предположим, что производится выбор при покупке телевизора из семи моделей, отличающихся параметрами: p1-цена; р2 - размер экрана (диагональ, см); р3 – гарантийный срок; р4 – функциональность. Рассматриваемая задача выбора относится к классу задач принятия решений в условиях определенности, но является многокритериальной, где каждому оцениваемому параметру ставится в соответствие критерий оптимальности, определяемый из индивидуальных предпочтений покупателя и цели выбора. Математической моделью задачи принятия решений в условиях определенности с численной оценкой исходов является некоторая действительная функция, заданная на множестве альтернатив. Выбор оптимального решения для такой задачи равносилен поиску экстремума целевой функции. Как правило, оптимизация предусматривает достижение максимума или минимума значения критерия, согласно заданному предпочтению. Оценка альтернатив по каждому критерию подразумевает сопоставление им некоторого значения (количественного или порядкового) на заданной шкале, отражающего качественные предпочтения индивида. Если для многокритериальной задачи выбора отсутствует дополнительная информация о предпочтениях исходов, кроме их сравнения по каждому показателю в отдельности, то можно говорить лишь о множестве частных оптимальных решений. Выбор единственного оптимального решения в такой задаче можно произвести при наличии дополнительной информации о предпочтениях исходов в виде соотношения между показателями эффективности. Например, степень важности критериев выбора, заданная весовыми коэффициентами αi, определяется предпочтениями покупателя. Однако задание информации об альтернативах в виде таблицы показателей еще не определяет процедуру выбора. Для выявления оптимальной альтернативы необходимо задать систему решающих правил сравнения и отбора альтернатив. Единого, универсального решающего правила не существует; имеется много конкретных типов решающих правил. В каждом случае выбор решающего правила производится на основе содержательных соображений. Анализ таблицы балльных оценок в рассматриваемом примере показывает, что не существует альтернативы, лучшей сразу по всем четырем показателям (набравшей максимальные баллы по каждому из критериев). В то же время по отдельным критериям выявляются лучшие альтернативы: p1  D; p2  A и E; p3  C и G; p4  F. Здесь выбор лучшей альтернативы не очевиден. Рассмотрим несколько типовых правил отбора. 1) Свертка векторного критерия в скалярный. Решающее правило отбора имеет вид , (2.1) где S(x) – скалярный суперкритерий; αi- показатель степени важности i-го критерия; pi(x) – значение i-го критерия для альтернативы x. Результаты расчета суперкритерия приведены в последнем столбце таблицы 2.1. Выбор оптимальной альтернативы определяется по максимуму значения суперкритерия. В примере 2.1 оптимальной по суперкритерию является альтернатива D, которая также является оптимальной по первому самому значимому показателю. 2) Определение матрицы доминирования. На основе таблицы балльных оценок зададим систему решающих правил: считаем, что альтернатива X доминирует (лучше, чем) альтернативу Y, если а) число показателей, по которым X строго лучше Y, больше, чем число показателей, по которым Y строго лучше X. б) для X ни один из показателей не принимает наихудших значений из всех возможных. С учетом заданных правил, матрица доминирования в рассматриваемом примере представлена в табл.2.2. Введем показатель доминирования альтернативы DV, как сумму значений по строке в матрице доминирования. Оптимальной считается альтернатива, имеющая наибольшее значение показателя доминирования (предпочтение по правилу большинства). Таблица 2.2 Матрица доминирования A B C D E F G DV A B 1 1 1 3 C D 1 1 1 3 E 1 1 1 1 4 Оптимально F G Таким образом, оптимальной по критерию доминирования является альтернатива E, которая по суперкритерию является также хорошей альтернативой. ОПТИМИЗАЦИЯ НА ГРАФАХ И СЕТЯХ Теория графов – раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между их элементами. Теория графов позволяет решать многие прикладные задачи, в которых данные представлены в виде графов. Примеры задач, решаемых методами теории графов: поиск кратчайшего пути, построение покрывающих деревьев, поиск паросочетаний, потоки в транспортной сети, задача почтальона, задача коммивояжера, поиск центра графа, задачи сетевого планирования, задачи теории электрических цепей и расчета водопроводных сетей и другие. Графом G=(V, R) называют совокупность двух конечных множеств: вершин V, дуг R, связывающих пары вершин графа. Вершины представляются узлами, а дуги – направленными стрелками. Две вершины являются смежными, если они соединяются дугой. Вершина, для которой не существует инцидентных ей ребер называется изолированной. Если направления стрелок не задаются, то граф является неориентированным. Неориентированные дуги называют рёбрами. Петлей графа называют дугу, у которой начальная и конечная вершины совпадают. Путь в графе образует последовательность (цепь) обхода вершин. Длина пути определяется числом (либо суммой длин) дуг, образующих путь. Контуром называют путь в графе, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине. Цепь – последовательность смежных вершин. Замкнутая цепь называется циклом. Подграфом называется часть графа, образованная подмножеством вершин вместе со всеми ребрами (дугами), соединяющими вершины из этого множества. Если из графа удалить часть ребер (дуг), то получим частичный граф. Деревом называется связный граф без простых циклов, имеющий не менее двух вершин. Способы задания графов: перечисление элементов множеств и их связей; графическое отображение на плоскости; описание с помощью матриц смежности и инцидентности. Определим матрицу смежности графа как квадратную матрицу n*n, элемент aij которой равен единице, если (i, j)V, и нулю, если (i, j) V, i, j X. Для неориентированного графа матрица смежности всегда симметрическая. Определим матрицу инциденций для ребер графа как прямоугольную матрицу n*m, элемент rij которой равен единице, если вершина i инцидентна ребру j, и нулю в противном случае, i =1,n, j=1,m . Аналогично определяется матрица инциденций для дуг графа – как прямоугольная матрицу m*n, элемент rij которой равен +1, если дуга Uj исходит из вершины i, и -1, если дуга Uj заходит в вершину i, и нулю в остальных случаях, i = 1,n , j = 1,m. Пример 1. «Нахождение минимального остовного дерева». Для заданного графа построить остовное дерево, где все вершины связаны и отсутствуют циклы. Решение. Согласно методу локального поиска, сначала сформируем начальное решение (рис.1) и применим к нему жадный алгоритм оптимизации. Жадный алгоритм сначала рассматривает все «свободные» дуги, выбирает дугу с минимальной стоимостью (a,d) и добавляет ее к остовному графу. При этом получается цикл acd. Затем просматривает все дуги, входящие в цикл, и убирает дугу с максимальной стоимостью (c,d). Цикл повторяется столько раз, сколько есть свободных дуг для начального решения задачи. Рис. 1 Начальное состояние Рис.2 Минимальное остовное дерево O={(b,c),(c,d),(a,c),(a,e)}; S0=7+4+4+5=20; O={(b,c),(a,d),(a,c),(a,e)}; S1=17; O={(a,b),(a,d),(a,c),(a,e)}; S2=16; O={(a,b),(a,d),(a,c),(b,e)}; S3=12. На четвертом шаге добавление ребра (e,d) образует цикл (e,b,a,d) из которого ребро (e,d) исключается как имеющее наибольший вес. Алгоритм останавливается (рис.2). Пример 2. Составление сетевого графика выполнения работ. Имеется комплекс взаимосвязанных работ N, представленный в виде графа, где узлы графа – это события окончания предшествующих работ, дуги – работы. Для каждой из работ задана трудоемкость выполнения Ri,j, которая характеризует затраты ресурсов на выполнение работы. Имеется К рабочих. Требуется распределить рабочих по операциям таким образом, чтобы длительность выполнения всего комплекса работ была минимальной. При этом не учитываются субъективные факторы, и невозможно перемещение рабочих с одной операции на другую в процессе выполнения. Рис. 3 L(0, М) – длительность выполнения работы. Эта величина определяется как совокупность возможных путей в графе {I1, I2, I3}. В данном примере есть 3 маршрута: I1={(0, 1); (1, 3); (3, 5)} =1+2+4=7 – «критический» путь Iкр. I2={(0, 1); (1, 4); (4, 5)} =1+2+1=4 I3={(0, 2); (2, 4); (4, 5)} =2+3+1=6 Необходимо расставить по операциям заданное число рабочих. Для случая, когда K=N задача является тривиальной. Для KN имеется N(K-N) возможных вариантов расстановки. Пусть N=7, К=10, тогда имеется 343 варианта размещения рабочих. Решение этой задачи методом полного перебора вариантов неэффективно. Используя метод «Разделяй и властвуй», разбивают исходную задачу на (К-N) последовательных подзадач. Затем решают вопрос о том, на какую операцию поставить первого свободного рабочего (для данного примера – 8-го рабочего). После этого размещают второго свободного рабочего, взяв за исходное ранее найденное решение и т.д. Каждая из этих подзадач может быть сформулирована следующим образом: необходимо принять решение о добавлении одного работника на одну из работ комплекса, чтобы полученная расстановка минимизировала “критический” путь . Свободного рабочего размещают на одну из работ, входящих в “критический” путь, желательно, наиболее трудоемкую (здесь – (3, 5)). Тогда получаем: I1’=1+2+4/2=5  I3=6  Iкр ; L(0, 5)=6. Поиск решения данным алгоритмом требует анализа не более N*(K-N) вариантов. Лекция 4. Методы принятия решений в условиях определенности. Математическое программирование. Постановка задачи линейного программирования. Методы решения задач линейного программирования: графический, симплекс – метод. Условия оптимальности. Линейным программированием называется раздел математики, в котором изучаются методы нахождения минимума или максимума линейной функции конечного числа переменных, причем переменные должны удовлетворять конечному числу дополнительных условий (ограничений), имеющих вид линейных уравнений или линейных неравенств. Задача линейного программирования состоит в следующем: максимизировать (минимизировать) линейную функцию , где при ограничениях (*) причем все Замечание. Неравенства могут быть и противоположного смысла. Умножением соответствующих неравенств на (-1) можно всегда получить систему вида (*). Если число переменных системы ограничений и целевой функции в математической модели задачи равно 2, то её можно решить графически. Итак, надо максимизировать функцию и удовлетворяющей системе ограничений. Обратимся к одному из неравенств системы ограничений. С геометрической точки зрения все точки, удовлетворяющие этому неравенству, должны либо лежать на прямой , либо принадлежать одной из полуплоскостей, на которые разбивается плоскость этой прямой. Для того, чтобы выяснить это, надо проверить какая из них содержит точку (). Замечание 2. Если , то проще взять точку (0;0). Условия неотрицательности также определяют полуплоскости соответственно с граничными прямыми . Будем считать, что система неравенств совместна, тогда полуплоскости, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты которых являются решением данной системы – это множество допустимых решений. Совокупность этих точек (решений) называется многоугольником решений. Он может быть точкой, лучом, многоугольником, неограниченной многоугольной областью. Таким образом, задача линейного программирования состоит в нахождении такой точки многоугольника решений, в которой целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение. Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нем целевая функция ограничена сверху (снизу). При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение. Для определения данной вершины построим прямую (где h – некоторая постоянная). Чаще всего берется прямая . Остается выяснить направление движения данной прямой. Это направление определяется градиентом (антиградиентом) целевой функции Вектор в каждой точке перпендикулярной прямой , поэтому значение f будет возрастать при перемещении прямой в направлении градиента (убывать в направлении антиградиента). Для этого параллельно прямой проводим прямые, смещаясь в направлении градиента (антиградиента). Эти построения будем продолжать до тех пор, пока прямая не пройдет через последнюю вершину многоугольника решений. Эта точка определяет оптимальное значение. Итак, нахождение решения задачи линейного программирования геометрическим методом включает следующие этапы: Строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств. Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи. Находят многоугольник решений. Строят вектор . Строят прямую . Строят параллельные прямые в направлении градиента или антиградиента, в результате чего находят точку, в которой функция принимает максимальное или минимальное значение, либо устанавливают неограниченность сверху (снизу) функции на допустимом множестве. Определяют координаты точки максимума (минимума) функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке. Пример Целевая функция имеет вид Надо найти при ограничениях: Возьмем прямую и начнем строить параллельные ей в направлении антиградиента, где . Последняя вершина многоугольника решений есть точка С, получаемая пересечением прямых (1) и (4). Решая, получим С (1;5). Итак, оптимальные значения будут следующими: , а общие затраты времени . Решение задач оптимизации симплекс-методом Существо симплекс-метода состоит в следующем. Прежде всего, находится какое-либо допустимое базисное решение. Его можно найти, приняв какие-либо n-m переменных за свободные, приравняв их нулю и решив полученную систему уравнений. Если при этом некоторые из базисных переменных окажутся отрицательными, то нужно выбрать другие свободные переменные, то есть перейти к новому базису. После того, как найдено допустимое базисное решение, проверяется, не достигнут ли уже максимум целевой функции. Если нет, то ищут новое допустимое базисное решение, но любое, а такое, которое увеличивает значение целевой функции. Затем процедура повторяется. Поскольку в качестве нового допустимого базисного решения выбирается лишь такое, которое увеличивает значение целевой функции, данный метод дает возможность рассматривать минимум допустимых базисных решений и довольно быстро приводит к цели. Пусть дана целевая функция и система неравенств: где n – число неравенств, m – число переменных (m<=n). Сформируем матрицу, имеющую нулевую строку и нулевой столбец . Алгоритм 1) Выбираем столбец (переменную) соответствующий наименьшему значению элемента в нулевой строке (коэффициента целевой функции) (т.е. наибольший отрицательный по модулю) . 2) Вычисляем отношения элементов нулевого столбца (свободных членов) к элементам выбранного столбца (коэффициентам при переменных): . 3) Выберем строку по минимальному отношению. . 4) Делим выбранную строку на выбранный элемент . . 5) Обнулим столбец (избавимся от перемененной во всех уравнениях кроме ). . 6) Если значение в выбранной строке и нулевом столбце (свободного члена) отрицательное (), то вернемся к шагу 1 и повторим все заново для другого столбца (переменной). 7) Если все коэффициенты в нулевой строке не отрицательны (), то оптимальное решение уже получено (это столбец свободных членов): , иначе вернемся к шагу 1. Пример Пусть задача ЛП дана в виде системы уравнений и целевой функции , которую надо максимизировать. Принимая и за свободные переменные, приведем эту систему уравнений и целевую функцию к виду Матрицу коэффициентов представим в виде таблицы с клетками достаточно крупного размера, в верхнем левом углу которых запишем коэффициенты уравнений. Проверим, не найдено ли уже оптимальное решение, условием которого является . Поскольку (коэффициент при – в выражении для ) отрицателен, то оптимальное решение не найдено и переменную следует сделать базисной. Выделим столбец, соответствующий переменной , жирными линиями. Если отрицательными окажутся коэффициенты при нескольких свободных переменных, то в базисную можно переводить любую из них. Таблица 1.1 – Последовательные преобразования таблиц коэффициентов при решении ЗЛП 1 1 1 2 -1 1 1 -2 2 1 1 -1/3 -1 1/3 3 2/3 1/3 2 4 -2 2 1 -4 6 3 2 -1 -3 1 x3 9 1 1 2 2 1 1 -2 -2 2 2 1 -2/3 -2 2/3 x1 4 1/3 2/3 5 -2 1 -1 1 2 3 1 -1 -1/3 3 1/3 x2 1 -1/3 1/3 а) б) в) Определим теперь, какую же из базисных переменных следует сделать свободной. Очевидно ту, которая быстрее обратится в нуль при увеличении . Это будет та базисная переменная , для которой коэффициент в отмеченном столбце и отношение наименьшее. Такой переменной является базисная переменная с и . Строку, соответствующую базисной переменной , также отмечаем жирной линией. Коэффициент , стоящий в левом верхнем углу клетки на пресечении отмеченных строки и столбца, назовем генеральным коэффициентом. В нашем случае (подчеркнут). Теперь следует заполнить нижние углы каждой клетки. Это сделаем по следующим правилам: в клетку на пересечении отмеченных строки и столбца записываем ; в клетках отмеченной строки записываем верхние коэффициенты, умноженные на (верхние коэффициенты за исключением генерального коэффициента выделены жирным шрифтом); в клетках отмеченного столбца записываем верхние коэффициенты, умноженные на (нижние коэффициенты за исключением генерального коэффициента выделены жирным шрифтом); в остальных клетках записываем произведение выделенных жирным шрифтом коэффициентов, на пересечении которых стоит данная клетка. Затем переходим к заполнению таблицы 1.1(б), которая отличается от таблицы 1.1(а) тем, что отмеченная свободная переменная x1 стала базисной, а отмеченная базисная переменная x4 стала свободной. Верхние левые углы клеток таблицы 1.1(б) заполняются по следующим правилам: 1) строка и столбец, соответствующие новым свободной и базисной переменным, заполняются нижними коэффициентами отмеченных строки и столбца таблицы 1.1(а); 2) в остальные клетки записываются суммы коэффициентов, стоящих в соответствующих клетках таблицы 1.1(а). Заполненная таким образом таблица 1.1(б) соответствует матрице коэффициентов при новом базисе . Далее вся процедура повторяется. Поскольку в таблице 1.1(б) коэффициент , то оптимальное решение не найдено. Следовательно, нужно согласно приведенным правилам заполнить нижние левые углы таблицы 1.1(б) и перейти к новой таблице 1.1(в), соответствующей базису . В этой таблице коэффициенты положительны, и она дает оптимальное решение задачи, которое находим по столбцу свободных членов: ; ; ; ; . Лекция 5. Методы принятия решений в условиях риска. Статистические методы получения оценок. Метод системных матриц описания задач принятия решений. Вероятностное описание ситуаций выбора. Статистические методы получения оптимизационных оценок. Функция риска. Функция максимального правдоподобия. Критерий Байеса-Лапласа. Статистические методы принятия решений (методы проверки гипотез, методы минимизации дисперсии). В зависимости от условий внешней среды и степени информативности лица принимающего решение (ЛПР) производится следующая классификация задач принятия решений: а) в условиях риска; б) в условиях неопределённости; в) в условиях конфликта или противодействия (активного противника). Принятие решений в условиях риска. Критерий ожидаемого значения. Использование критерия ожидаемого значения обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль (или минимизировать ожидаемые затраты). Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные расчётные формулы. Математически это выглядит так: пусть Х– случайная величина с математическим ожиданием MX и дисперсией DX. Если x1,x2,...,xn – значения случайной величины (с.в.) X, то среднее арифметическое их (выборочное среднее) значений имеет дисперсию . Таким образом, когда n    0 и  MX. Другими словами при достаточно большом объёме выборки разница между средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование критерия ожидаемое значение справедливо только в случае, когда одно и тоже решение приходится применять достаточно большое число раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам, для решений, которые приходится принимать небольшое число раз. Пример 1. Требуется принять решение о том, когда необходимо проводить профилактический ремонт ПЭВМ, чтобы минимизировать потери из-за неисправности. В случае если ремонт будет производится слишком часто, затраты на обслуживание будут большими при малых потерях из-за случайных поломок. Так как невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность, необходимо найти вероятность того, что ПЭВМ выйдет из строя в период времени t. В этом и состоит элемент ”риска”. Математически это выглядит так: ПЭВМ ремонтируется индивидуально, если она остановилась из-за поломки. Через T интервалов времени выполняется профилактический ремонт всех n ПЭВМ. Необходимо определить оптимальное значение Т, при котором минимизируются общие затраты на ремонт неисправных ПЭВМ и проведение профилактического ремонта в расчёте на один интервал времени. Пусть рt – вероятность выхода из строя одной ПЭВМ в момент t, а nt – случайная величина, равная числу всех вышедших из строя ПЭВМ в тот же момент. Пусть далее С1 – затраты на ремонт неисправной ПЭВМ и С2 – затраты на профилактический ремонт одной машины. Применение критерия ожидаемого значения в данном случае оправдано, если ПЭВМ работают в течение большого периода времени. При этом ожидаемые затраты на один интервал составят ОЗ = , где M(nt) – математическое ожидание числа вышедших из строя ПЭВМ в момент t. Так как nt имеет биномиальное распределение с параметрами (n, pt), то M(nt) = npt . Таким образом ОЗ = Необходимые условия оптимальности T* имеют вид: ОЗ (T*-1)  ОЗ (T*), ОЗ (T*+1)  ОЗ (T*). Следовательно, начиная с малого значения T, вычисляют ОЗ(T), пока не будут удовлетворены необходимые условия оптимальности. Пусть С1 = 100; С2 = 10; n = 50. Значения pt имеют вид: T рt ОЗ(Т) 1 0.05 2 0.07 0.05 375 3 0.10 0.12 366.7 4 0.13 0.22 400 5 0.18 0.35 450 T* 3 , ОЗ(Т*)  366.7 Следовательно профилактический ремонт необходимо делать через T*=3 интервала времени. Критерий “ожидаемое значение – дисперсия”. Критерий ожидаемого значения можно модифицировать так, что его можно будет применить и для редко повторяющихся ситуаций . Если х – с. в. с дисперсией DX, то среднее арифметическое имеет дисперсию , где n – число слогаемых в . Следовательно, если DX уменьшается, и вероятность того, что близко к MX, увеличивается. Следовательно, целесообразно ввести критерий, в котором максимизация ожидаемого значения прибыли сочетается с минимизацией её дисперсии. Пример 2. Применим критерий “ожидаемое значение – дисперсия” для примера 1. Для этого необходимо найти дисперсию затрат за один интервал времени, т.е. дисперсию зТ = Т.к. nt, t = – с.в., то зТ также с.в. С.в. nt имеет биномиальное распределение с M(nt) = npt и D(nt) = npt(1–pt). Следовательно, D(зТ) = D() = D() = = = = n {– }, где С2n = const. Из примера 1 следует, что М(зТ) = М(з(Т)). Следовательно искомым критерием будет минимум выражения М(з(Т)) + к D(зТ). Замечание. Константу “к” можно рассматривать как уровень не склонности к риску, т.к. “к” определяет “степень возможности” дисперсии Д(зТ) по отношению к математическому ожиданию. Например, если предприниматель, особенно остро реагирует на большие отрицательные отклонения прибыли вниз от М(з(Т)), то он может выбрать “к” много больше 1. Это придаёт больший вес дисперсии и приводит к решению, уменьшающему вероятность больших потерь прибыли. При к =1 получаем задачу По данным из примера 1 можно составить следующую таблицу Т pt pt2 М(з(Т))+D(з(Т)) 1 0.05 0.0025 500.00 2 0.07 0.0049 0.05 0.0025 6312.50 3 0.10 0.0100 0.12 0.0074 6622.22 4 0.13 0.0169 0.22 0.0174 6731.25 5 0.18 0.0324 0.35 0.0343 6764.00 Из таблицы видно, что профилактический ремонт необходимо делать в течение каждого интервала Т*=1. Критерий предельного уровня. Критерий предельного уровня не дает оптимального решения, максимизирующего, например, прибыль или минимизирующего затраты. Скорее он соответствует определению приемлемого способа действий. Пример 3. Предположим, что величина спроса x в единицу времени (интенсивность спроса) на некоторый товар задаётся непрерывной функцией распределения f(x). Если запасы в начальный момент невелики, в дальнейшем возможен дефицит товара. В противном случае к концу рассматриваемого периода запасы нереализованного товара могут оказаться очень большими. В обоих случаях возможны потери. Т.к. определить потери от дефицита очень трудно, ЛПР может установить необходимый уровень запасов таким образом, чтобы величина ожидаемого дефицита не превышала А1 единиц, а величина ожидаемых излишков не превышала А2 единиц. Иными словами, пусть I – искомый уровень запасов. Тогда ожидаемый дефицит = , ожидаемые излишки =. При произвольном выборе А1 и А2 указанные условия могут оказаться противоречивыми. В этом случае необходимо ослабить одно из ограничений, чтобы обеспечить допустимость. Пусть, например, Тогда = = 20(ln +– 1) = = 20(ln +– 1) Применение критерия предельного уровня приводит к неравенствам ln I –  ln 20 – – 1 = 1.996 – ln I –  ln 10 – – 1 = 1.302 – Предельные значения А1 и А2 должны быть выбраны так, что бы оба неравенства выполнялись хотя бы для одного значения I. Например, если А1 = 2 и А2 = 4, неравенства принимают вид ln I –  1.896 ln I –  1.102 Значение I должно находиться между 10 и 20, т.к. именно в этих пределах изменяется спрос. Из таблицы видно, что оба условия выполняются для I, из интервала (13,17) I 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ln I – 1.8 1.84 1.88 1.91 1.94 1.96 1.97 1.98 1.99 1.99 1.99 ln I – 1.3 1.29 1.28 1.26 1.24 1.21 1.17 1.13 1.09 1.04 0.99 Любое из этих значений удовлетворяет условиям задачи. Принятие решений в условиях неопределённости. Будем предполагать, что лицу, принимающему решение не противостоит разумный противник. Данные, необходимо для принятия решения в условии неопределенности, обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям, а столбцы – возможным состояниям системы. Пусть, например, из некоторого материала требуется изготовить изделие, долговечность которого при допустимых затратах невозможно определить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить, какие размеры должно иметь изделие из данного материала. Варианты решения таковы: Е1 – выбор размеров из соображений максимальной долговечности ; Еm– выбор размеров из соображений минимальной долговечности ; Ei – промежуточные решения. Условия требующие рассмотрения таковы : F1 – условия, обеспечивающие максимальной долговечность; Fn – условия, обеспечивающие min долговечность; Fi – промежуточные условия. Под результатом решения eij = е(Ei ; Fj ) здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту Ei и условиям Fj и характеризующие прибыль, полезность или надёжность. Обычно мы будем называть такой результат полезностью решения. Тогда семейство (матрица) решений имеет вид : F1 F2 . . . Fn E1 e11 e12 . . . e1n E2 e21 e22 . . . e2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Em em1 em2 . . . emn Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему варианту решению необходимо ввести оценочную (целевую) функцию. При этом матрица решений сводится к одному столбцу. Каждому варианту Ei приписывается, т.о., некоторый результат eir, характеризующий, в целом, все последствия этого решения. Такой результат мы будем в дальнейшем обозначать тем же символом eir. Классические критерии принятия решений . 1. Минимаксный критерий. Правило выбора решения в соответствии с минимаксным критерием (ММ-критерием) можно интерпретировать следующим образом: матрица решений дополняется ещё одним столбцом из наименьших результатов eir каждой строки. Необходимо выбрать те варианты в строках которых стоят наибольшее значение eir этого столбца. Выбранные т.о. варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Это свойство позволяет считать ММ-критерий одним из фундаментальных. Применение ММ-критерия бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение следующая: 1o. О возможности появления внешних состояний Fj ничего не известно; 2o. Приходится считаться с появлением различных внешних состояний Fj; 3o. Решение реализуется только один раз; 4o. Необходимо исключить какой бы то ни было риск. 2. Критерий Байеса – Лапласа. Обозначим через qi – вероятность появления внешнего состояния Fj. Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом: матрица решений дополняется ещё одним столбцом содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты, в строках которых стоит наибольшее значение eir этого столбца. При этом предполагается, что ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами: 1о. Вероятности появления состояния Fj известны и не зависят от времени. 2о. Решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз. 3о. Для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск. При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск практически исключён. Т.о. критерий Байеса-Лапласа (B-L-критерий) более оптимистичен, чем минимаксный критерий, однако он предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию. 3. Критерий Сэвиджа. Величину aij можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Fj вместо варианта Ei выбирать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Величину aij можно интерпретировать и как потери (штрафы) возникающие в состоянии Fj при замене оптимального для него варианта на вариант Ei. В последнем случае eir представляет собой максимально возможные (по всем внешним состояниям Fj , j =) потери в случае выбора варианта Ei. Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора теперь трактуется так: 1). Каждый элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата max eij соответствующего столбца. 2). Разности aij образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей eir. Выбирают те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение. Требования, предъявляемые к ситуации, в которой принимается решение, совпадают с требованием к ММ-критерию. 4. Критерий Гурвица. Стараясь занять наиболее уравновешенную позицию, Гурвиц предположил оценочную функцию, которая находится где-то между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма: eir = Ceij + (1- C) eij , где С– весовой множитель. Правило выбора согласно критерию Гурвица, формируется следующим образом: матрица решений дополняется столбцом, содержащим среднее взвешенное наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбираются только те варианты, в строках которых стоят наибольшие элементы eir этого столбца. При С=1 критерий Гурвица превращается в ММ-критерий. При С = 0 он превращается в критерий “азартного игрока” eir = eij , т.е. мы становимся на точку зрения азартного игрока, делающего ставку на то, что «выпадет» наивыгоднейший случай. В технических приложениях сложно выбрать весовой множитель С, т.к. трудно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Поэтому чаще всего С := 1/2. Критерий Гурвица применяется в случае, когда : о вероятностях появления состояния Fj ничего не известно; с появлением состояния Fj необходимо считаться; реализуется только малое количество решений; допускается некоторый риск. 5. Критерий Ходжа–Лемана. Этот критерий опирается одновременно на ММ-критерий и критерий Баеса-Лапласа. С помощью параметра  выражается степень доверия к используемому распределений вероятностей. Если доверие велико, то доминирует критерий Баеса-Лапласа, в противном случае – ММ-критерий, т.е. мы ищем eir =  + (1-) eir, 0    1. Правило выбора, соответствующее критерию Ходжа-Лемана формируется следующим образом: матрица решений дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с весом   const) математическое ожиданиями и наименьшего результата каждой строки (*). Отбираются те варианты решений в строках которого стоит набольшее значение этого столбца. При  = 1 критерий Ходжа-Лемана переходит в критерий Байеса-Лапласа, а при  = 0 становится минимаксным. Выбор  субъективен т. к. Степень достоверности какой-либо функции распределения – дело тёмное. Для применения критерия Ходжа-Лемана желательно, чтобы ситуация в которой принимается решение, удовлетворяла свойствам: вероятности появления состояния Fj неизвестны, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны; принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций; при малых числах реализации допускается некоторый риск. 6. Критерий Гермейера. Этот критерий ориентирован на величину потерь, т.е. на отрицательные значения всех eij. При этом eir = eij qj. Т.к. в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами, условие eij0 обычно выполняется. В случае же, когда среди величин eij встречаются и положительные значения, можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразования eij - a при подходящем образом подобранном a  0. При этом оптимальный вариант решения зависит от а. Правило выбора согласно критерию Гермейера формулируется следующим образом : матрица решений дополняется ещё одним столбцом содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состояния Fj. Выбираются те варианты в строках которых находится наибольшее значение eij этого столбца. В каком-то смысле критерий Гермейера обобщает ММ-критерий: в случае равномерного распределения qj = , j =, они становятся идентичными. Условия его применимости таковы : вероятности появления состояния Fj неизвестны; с появлением тех или иных состояний, отдельно или в комплексе, необходимо считаться; допускается некоторый риск; решение может реализоваться один или несколько раз. Если функция распределения известна не очень надёжно, а числа реализации малы, то, следуя критерию Гермейера, получают, вообще говоря, неоправданно большой риск. 7. BL (MM) - критерий. Стремление получить критерии, которые бы лучше приспосабливались к имеющейся ситуации, чем все до сих пор рассмотренные, привело к построению так называемых составных критериев. В качестве примера рассмотрим критерий, полученный путем объединения критериев Байеса-Лапласа и минимакса. Правило выбора для этого критерия формулируется следующим образом: матрица решений дополняется еще тремя столбцами. В первом из них записываются математические ожидания каждой из строк, во втором - разность между опорным значением и наименьшим значением соответствующей строки. В третьем столбце помещаются разности между наибольшим значением каждой строки и наибольшим значением той строки, в которой находится значение . Выбираются те варианты, строки которых (при соблюдении приводимых ниже соотношений между элементами второго и третьего столбцов) дают наибольшее математическое ожидание. А именно, соответствующее значение из второго столбца должно быть или равно некоторому заранее заданному уровню риска . Значение же из третьего столбца должно быть больше значения из второго столбца. Применение этого критерия обусловлено следующими признаками ситуации, в которой принимается решение: вероятности появления состояний Fj неизвестны, однако имеется некоторая априорная информация в пользу какого-либо определенного распределения; необходимо считаться с появлением различных состояний как по отдельности, так и в комплексе; допускается ограниченный риск; принятое решение реализуется один раз или многократно. BL(MM)-критерий хорошо приспособлен для построения практических решений прежде всего в области техники и может считаться достаточно надежным. Однако заданные границы риска и, соответственно, оценок риска не учитывает ни число применения решения, ни иную подобную информацию. Влияние субъективного фактора хотя и ослаблено, но не исключено полностью. Условие существенно в тех случаях, когда решение реализуется только один или малое число раз. В этих условиях недостаточно ориентироваться на риск, связанный только с невыгодными внешними состояниями и средними значениями. Из-за этого, правда, можно понести некоторые потери в удачных внешних состояниях. При большом числе реализаций это условие перестает быть таким уж важным. Оно даже допускает разумные альтернативы. При этом не известно, однако, четких количественных указаний, в каких случаях это условие следовало бы опускать. 8. Критерий произведений. eir: = eij Правило выбора в этом случае формулируется так : Матрица решений дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те варианты, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца. Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами : вероятности появления состояния Fj неизвестны; с появлением каждого из состояний Fj по отдельности необходимо считаться; критерий применим и при малом числе реализаций решения; некоторый риск допускается. Критерий произведений приспособлен в первую очередь для случаев, когда все eij положительны. Если условие положительности нарушается, то следует выполнять некоторый сдвиг eij + а с некоторой константой а > eij. Результат при этом будет, естественно зависеть от а. На практике чаще всего а := eij+1. Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то критерий произведений не применим. Лекция 6. Методы принятия решений в условиях неопределенности. Основы теории игр. Основные понятия теории игр. Связь между матричными играми и линейным программированием. Методы решения игр. Классификация моделей игр по различным признакам. Игра как модель конфликтной ситуации. Понятие стратегии. Формальное описание игры двух лиц. Верхняя и нижняя цены игры. Матричная игра двух игроков с нулевой суммой может рассматриваться как следующая абстрактная игра двух игроков. Первый игрок имеет m стратегий i = 1,2,...,m, второй имеет n стратегий j = 1,2,...,n. Каждой паре стратегий (i,j) поставлено в соответствие число аij, выражающее выигрыш игрока 1 за счёт игрока 2, если первый игрок примет свою i-ю стратегию, а 2 – свою j-ю стратегию. Каждый из игроков делает один ход: игрок 1 выбирает свою i-ю стратегию (i=), 2 – свою j-ю стратегию (j=), после чего игрок 1 получает выигрыш аij за счёт игрока 2 (если аij< 0, то это значит, что игрок 1 платит второму сумму | аij | ). На этом игра заканчивается. Каждая стратегия игрока i=; j = часто называется чистой стратегией. Если рассмотреть матрицу А = то проведение каждой партии матричной игры с матрицей А сводится к выбору игроком 1 i-й строки, а игроком 2 j-го столбца и получения игроком 1 (за счёт игрока 2) выигрыша аij. Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока. Исходя из этих позиций, игрок 1 исследует матрицу выигрышей А следующим образом: для каждого значения i (i =) определяется минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий игрока 2 аij (i = ) т.е. определяется минимальный выигрыш для игрока 1 при условии, что он примет свою i-ю чистую стратегию, затем из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия i = iо, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т.е. находится аij = = (1). Определение. Число , определённое по формуле (1) называется нижней чистой ценой игры и показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе игрок 1, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях игрока 2. Игрок 2 при оптимальном своём поведении должен стремится по возможности за счёт своих стратегий максимально уменьшить выигрыш игрока 1. Поэтому для игрока 2 отыскивается аij т.е. определяется max выигрыш игрока 1, при условии, что игрок 2 применит свою j-ю чистую стратегию, затем игрок 2 отыскивает такую свою j = j1 стратегию, при которой игрок 1 получит min выигрыш, т.е. находит aij = = (2). Определение. Число , определяемое по формуле (2), называется чистой верхней ценой игры и показывает, какой максимальный выигрыш за счёт своих стратегий может себе гарантировать игрок 1. Другими словами, применяя свои чистые стратегии игрок 1 может обеспечить себе выигрыш не меньше , а игрок 2 за счёт применения своих чистых стратегий может не допустить выигрыш игрока 1 больше, чем . Определение. Если в игре с матрицей А =, то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры  = =. Седловая точка – это пара чистых стратегий (iо,jо) соответственно игроков 1 и 2, при которых достигается равенство = . В это понятие вложен следующий смысл: если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке. Математически это можно записать и иначе: где i, j – любые чистые стратегии соответственно игроков 1 и 2; (iо,jо) – стратегии, образующие седловую точку. Таким образом, исходя из (3), седловой элемент является минимальным в iо-й строке и максимальным в jо-м столбце в матрице А. Отыскание седловой точки матрицы А происходит следующим образом: в матрице А последовательно в каждой строке находят минимальный элемент и проверяют, является ли этот элемент максимальным в своём столбце. Если да, то он и есть седловой элемент, а пара стратегий, ему соответствующая, образует седловую точку. Пара чистых стратегий (iо,jо) игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент , называется решением игры. При этом iо и jо называются оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков 1 и 2. Пример 1 Седловой точкой является пара (iо = 3; jо = 1), при которой  == = 2. Заметим, что хотя выигрыш в ситуации (3;3) также равен 2 ==, она не является седловой точкой, т.к. этот выигрыш не является максимальным среди выигрышей третьего столбца. Пример 2 Из анализа матрицы выигрышей видно, что , т.е. данная матрица не имеет седловой точки. Если игрок 1 выбирает свою чистую максиминную стратегию i = 2, то игрок 2, выбрав свою минимаксную j = 2, проиграет только 20. В этом случае игроку 1 выгодно выбрать стратегию i = 1, т.е. отклониться от своей чистой максиминной стратегии и выиграть 30. Тогда игроку 2 будет выгодно выбрать стратегию j = 1, т.е. отклониться от своей чистой минимаксной стратегии и проиграть 10. В свою очередь игрок 1 должен выбрать свою 2-ю стратегию, чтобы выиграть 40, а игрок 2 ответит выбором 2-й стратегии и т.д. СМЕШАННОЕ РАСШИРЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ. Исследование в матричных играх начинается с нахождения её седловой точки в чистых стратегиях. Если матричная игра имеет седловую точку в чистых стратегиях, то нахождением этой седловой точки заканчивается исследование игры. Если же в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший, чем верхняя цена игры, и может быть уверен в получении выигрыша не меньше нижней цены игры. Улучшение решений матричных игр следует искать в использовании секретности применения чистых стратегий и возможности многократного повторения игр в виде партии. Этот результат достигается путём применения чистых стратегий случайно, с определённой вероятностью. Определение. Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий. Таким образом, если игрок 1 имеет m чистых стратегий 1,2,...,m, то его смешанная стратегия x – это набор чисел x = (x1, ..., xm) удовлетворяющих соотношениям xi  0 (i = 1,m), = 1. Аналогично для игрока 2, который имеет n чистых стратегий, смешанная стратегия y – это набор чисел y = (y1, ..., yn), yj  0, (j = 1,n), = 1. Так как каждый раз применение игроком одной чистой стратегии исключает применение другой, то чистые стратегии являются несовместными событиями. Кроме того, они являются единственными возможными событиями. Чистая стратегия есть частный случай смешанной стратегии. Действительно, если в смешанной стратегии какая-либо i-я чистая стратегия применяется с вероятностью 1, то все остальные чистые стратегии не применяются. И эта i-я чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии. Для соблюдения секретности каждый игрок применяет свои стратегии независимо от выбора другого игрока. Определение. Средний выигрыш игрока 1 в матричной игре с матрицей А выражается в виде математического ожидания его выигрышей E (A, x, y) == x A yT Первый игрок имеет целью за счёт изменения своих смешанных стратегий х максимально увеличить свой средний выигрыш Е (А, х, y), а второй – за счёт своих смешанных стратегий стремится сделать Е (А, х, y) минимальным, т.е. для решения игры необходимо найти такие х и y, при которых достигается верхняя цена игры Е (А, х, y). Аналогичной должна быть ситуация и для игрока 2, т.е. нижняя цена игры должна быть Е (А, х, y). Подобно играм, имеющим седловые точки в чистых стратегиях, вводится следующее определение: оптимальными смешанными стратегиями игроков 1 и 2 называются такие наборы хо, уо соответственно, которые удовлетворяют равенству Е (А, х, y) = Е (А, х, y) = Е (А, хо, уо). Величина Е (А, хо ,уо) называется при этом ценой игры и обозначается через . Имеется и другое определение оптимальных смешанных стратегий: хо, уо называются оптимальными смешанными стратегиями соответственно игроков 1 и 2, если они образуют седловую точку: Е (А, х, уо)  Е (А, хо, уо)  Е (А, хо, у) Оптимальные смешанные стратегии и цена игры называются решением матричной игры. Основная теорема матричных игр имеет вид : Теорема (о минимаксе). Для матричной игры с любой матрицей А величины Е (А, х, y) и Е (А, х, y) существуют и равны между собой. СВЕДЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ К ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Предположим, что цена игры положительна ( > 0). Если это не так, то согласно свойству 6 всегда можно подобрать такое число с, прибавление которого ко всем элементам матрицы выигрышей даёт матрицу с положительными элементами, и следовательно, с положительным значением цены игры. При этом оптимальные смешанные стратегии обоих игроков не изменяются. Итак, пусть дана матричная игра с матрицей А порядка m х n. Согласно свойству 7 оптимальные смешанные стратегии х = (х1, ..., хm), y = (y1, ..., yn) соответственно игроков 1 и 2 и цена игры  должны удовлетворять соотношениям. Разделим все уравнения и неравенства в (1) и (2) на  (это можно сделать, т.к. по предположению  > 0) и введём обозначения : , , Тогда (1) и (2) перепишется в виде : , , , , , , , . Поскольку первый игрок стремится найти такие значения хi и, следовательно, pi , чтобы цена игры  была максимальной, то решение первой задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений pi , при которых , . Поскольку второй игрок стремится найти такие значения yj и, следовательно, qj, чтобы цена игры  была наименьшей, то решение второй задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений qj, , при которых , . Формулы (3) и (4) выражают двойственные друг другу задачи линейного программирования (ЛП). Решив эти задачи, получим значения pi , qj и .Тогда смешанные стратегии, т.е. xi и yj получаются по формулам : Пример. Найти решение игры, определяемой матрицей. Решение. При решении этой игры к каждому элементу матрицы А прибавим 1 и получим следующую матрицу Составим теперь пару взаимно-двойственных задач : Решим вторую из них Б.п. q1 q2 q3 q4 q5 q6 Решение  Отношение 1 1 1 3 q4 1 2 1 1 5 — q5 1 1 1 1 4 q6 2 1 1 1 5 — Б.п. q1 q2 q3 q4 q5 q6 Решение  Отношение 1 1 1 1 q4 1 2 1 1 5 q3 1 1 1 1 4 — q6 2 1 1 1 5 Б.п. q1 q2 q3 q4 q5 q6 Решение  Отношение 1 q2 1 q3 1 1 1 1 4 q6 1 Из оптимальной симплекс-таблицы следует, что (q1, q2, q3) = (0;; 1), а из соотношений двойственности следует, что ( p1, p2, p3) = (; 1; 0). Следовательно, цена игры с платёжной матрицей А1 равна . , а игры с платёжной матрицей А : . При этом оптимальные стратегии игроков имеют вид: Х = (х1, х2, х3) = (р1; р2; р3) = = Y = (y1, y2, y3) = (q1; q2; q3) = = . Лекция 7. Методы принятия решений в условиях расплывчатой неопределенности. Нечеткие модели выбора. Основы теории нечетких множеств. Нечеткие (лингвистические) переменные. Операции с нечеткими переменными. Нечеткая алгебра. Описание переменных в задачах принятия решений с помощью нечетких множеств. Нечеткий выбор. 7.1. Нечеткие множества Пусть A - некоторое множество. Подмножество B множества A характеризуется своей характеристической функцией   (1)  Что такое нечеткое множество? Обычно говорят, что нечеткое подмножество C множества A характеризуется своей функцией принадлежности  Значение функции принадлежности в точке х показывает степень принадлежности этой точки нечеткому множеству. Нечеткое множество описывает неопределенность, соответствующую точке х – она одновременно и входит, и не входит в нечеткое множество С. За вхождение -  шансов, за второе – (1-  ) шансов.  Если функция принадлежности   имеет вид (1) при некотором B, то C есть обычное (четкое) подмножество A. Таким образом, теория нечетких множество является не менее общей математической дисциплиной, чем обычная теория множеств, поскольку обычные множества – частный случай нечетких. Соответственно можно ожидать, что теория нечеткости как целое обобщает классическую математику. Однако позже мы увидим, что теория нечеткости в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым является частью классической математики. Другими словами, по степени общности обычная математика и нечеткая математика эквивалентны. Однако для практического применения в теории принятия решений описание и анализ неопределенностей с помощью теории нечетких множеств весьма плодотворны.  Обычное подмножество можно было бы отождествить с его характеристической функцией. Этого математики не делают, поскольку для задания функции (в ныне принятом подходе) необходимо сначала задать множество. Нечеткое же подмножество с формальной точки зрения можно отождествить с его функцией принадлежности. Однако термин "нечеткое подмножество" предпочтительнее при построении математических моделей реальных явлений.  Теория нечеткости является обобщением интервальной математики. Действительно, функция принадлежности  задает интервальную неопределенность – про рассматриваемую величину известно лишь, что она лежит в заданном интервале [a,b]. Тем самым описание неопределенностей с помощью нечетких множеств является более общим, чем с помощью интервалов.  Начало современной теории нечеткости положено работой 1965 г. американского ученого азербайджанского происхождения Л.А.Заде. К настоящему времени по этой теории опубликованы тысячи книг и статей, издается несколько международных журналов, выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных работ. Первая книга российского автора по теории нечеткости вышла в 1980 г. [1].  Л.А. Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек. Его подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от "принадлежности" к "непринадлежности" не скачкообразен, а непрерывен. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении предприятием, качеством продукции и технологическими процессами.  Л.А. Заде использовал термин "fuzzy set" (нечеткое множество). На русский язык термин "fuzzy" переводили как нечеткий, размытый, расплывчатый, и даже как пушистый и туманный.   Аппарат теории нечеткости громоздок. В качестве примера дадим определения теоретико-множественных операций над нечеткими множествами. Пусть C и D- два нечетких подмножества A с функциями принадлежности  и соответственно. Пересечением  , произведением CD, объединением  , отрицанием  , суммой C+D называются нечеткие подмножества A с функциями принадлежности   соответственно.  Как уже отмечалось, теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории вероятностей, а именно, к теории случайных множеств. Соответствующий цикл теорем приведен ниже. Однако при решении прикладных задач вероятностно-статистические методы и методы теории нечеткости обычно рассматриваются как различные.  Для знакомства со спецификой нечетких множеств рассмотрим некоторые их свойства.   В дальнейшем считаем, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества Y.  Законы де Моргана для нечетких множеств. Как известно, законами же Моргана называются следующие тождества алгебры множеств  (2)  Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества  (3)  (4)  Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке справедливости соотношений (3) и (4) путем вычисления значений функций принадлежности участвующих в этих соотношениях нечетких множеств на основе определений, данных выше.  Тождества (3) и (4) назовем законами де Моргана для нечетких множеств. В отличие от классического случая соотношений (2), они состоят из четырех тождеств, одна пара которых относится к операциям объединения и пересечения, а вторая - к операциям произведения и суммы. Как и соотношение (2) в алгебре множеств, законы де Моргана в алгебре нечетких множеств позволяют преобразовывать выражения и формулы, в состав которых входят операции отрицания.  Дистрибутивный закон для нечетких множеств. Некоторые свойства операций над множествами не выполнены для нечетких множеств. Так,  за исключением случая, когда А - "четкое" множество (т.е. функция принадлежности принимает только значения 0 и 1). Верен ли дистрибутивный закон для нечетких множеств? В литературе иногда расплывчато утверждается, что "не всегда". Внесем полную ясность. Теорема 2. Для любых нечетких множеств А, В и С  (5) В то же время равенство  (6) справедливо тогда и только тогда, когда при всех   Доказательство. Фиксируем произвольный элемент  . Для сокращения записи обозначим Для доказательства тождества (5) необходимо показать, что  (7) Рассмотрим различные упорядочения трех чисел a, b, c. Пусть сначала  Тогда левая часть соотношения (7) есть а правая  т.е. равенство (7) справедливо. Пусть  Тогда в соотношении (7) слева стоит  а справа  т.е. соотношение (7) опять является равенством. Если  то в соотношении (7) слева стоит  а справа  т.е. обе части снова совпадают. Три остальные упорядочения чисел a, b, c разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (6) числа b и c входят симметрично. Тождество (5) доказано. Второе утверждение теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами  и Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда, когда  что и требовалось доказать.  Определение 1. Носителем нечеткого множества А называется совокупность всех точек  , для которых   Следствие теоремы 2. Если носители нечетких множеств В и С совпадают с У, то равенство (6) имеет место тогда и только тогда, когда А - "четкое" (т.е. обычное, классическое, не нечеткое) множество.  Доказательство. По условию  при всех  . Тогда из теоремы 2 следует, что  т.е. или  , что и означает, что А - четкое множество. 7.2. Пример описания неопределенности с помощью нечеткого множества   Понятие «богатый» часто используется при обсуждении социально-экономических проблем, в том числе и в связи с подготовкой и принятием решений. Однако очевидно, что разные лица вкладывают в это понятие различное содержание. Сотрудники Института высоких статистических технологий и эконометрики провели в 1996 г. социологическое исследование представления различных слоёв населения о понятии "богатый человек".   Мини-анкета опроса выглядела так: 1. При каком месячном доходе (в млн. руб. на одного человека) Вы считали бы себя богатым человеком? 2. Оценив свой сегодняшний доход, к какой из категорий Вы себя относите:   а) богатые;    б) достаток выше среднего;    в) достаток ниже среднего;   г) бедные;   д) за чертой бедности? (В дальнейшем вместо полного наименования категорий будем оперировать буквами, например "в" - категория, "б" - категория и т.д.) 3. Ваша профессия, специальность.   Всего было опрошено 74 человека, из них 40 - научные работники и преподаватели, 34 человека - не занятых в сфере науки и образования, в том числе 5 рабочих и 5 пенсионеров. Из всех опрошенных только один (!) считает себя богатым. Несколько типичных ответов научных работников и преподавателей приведено в табл.1, а аналогичные сведения для работников коммерческой сферы – в табл.2. Таблица 1. Типичные ответы научных работников и преподавателей Ответы на вопрос 3 Ответы на вопрос 1, млн. руб./чел. Ответы на вопрос 2 Пол   Кандидат наук 1 д Ж   Преподаватель 1 в Ж     Доцент 1 Б ж   Учитель 10 В м   Старший. научный сотрудник 10 Д м   Инженер-физик 24 Д ж   Программист 25 Г м   научный работник 45 Г м Таблица 2 Типичные ответы работников коммерческой сферы. Ответы на вопрос 3 Ответы на вопрос 1 Ответы на вопрос 2 Пол Вице-президент банка 100 а Ж Зам. директора банка 50 б Ж Начальник. кредитного отдела 50 б М Начальник отдела ценных бумаг 10 б М Главный бухгалтер 20 д Ж Бухгалтер 15 в Ж Менеджер банка 11 б м Начальник отдела проектирования 10 в ж   Разброс ответов на первый вопрос – от 1 до 100 млн. руб. в месяц на человека. Результаты опроса показывают, что критерий богатства у финансовых работников в целом несколько выше, чем у научных (см. гистограммы на рис.1 и рис.2 ниже).   Опрос показал, что выявить какое-нибудь конкретное значение суммы, которая необходима "для полного счастья", пусть даже с небольшим разбросом, нельзя, что вполне естественно. Как видно из таблиц 1 и 2, денежный эквивалент богатства колеблется от 1 до 100 миллионов рублей в месяц. Подтвердилось мнение, что работники сферы образования в подавляющем большинстве причисляют свой достаток к категории "в" и ниже (81% опрошенных), в том числе к категории "д" отнесли свой достаток 57%.   Со служащими коммерческих структур и бюджетных организаций иная картина: "г" - категория 1 человек (4%), "д" - категория 4 человека (17%), "б" - категория - 46% и 1 человек "а" - категория.   Пенсионеры, что не вызывает удивления, отнесли свой доход к категории "д" (4 человека), и лишь один человек указал "г" - категорию. Рабочие же ответили так: 4 человека - "в", и один человек - "б".   Для представления общей картины в табл.3 приведены данные об ответах работников других профессий. Таблица 3. Типичные ответы работников различных профессий. Ответы на вопрос 3 Ответы на вопрос 1 Ответы на вопрос 2 Пол Работник торговли 1 б ж Дворник 2 в ж Водитель 10 в м Военнослужащий 10 в м Владелец бензоколонки 20 б ж Пенсионер 6 д ж Начальник фабрики 20 б м Хирург 5 в м Домохозяйка 10 в ж Слесарь-механик 25 в м Юрист 10 б м Оператор ЭВМ 20 д м Работник собеса 3 д ж Архитектор 25 б ж   Прослеживается интересное явление: чем выше планка богатства для человека, тем к более низкой категории относительно этой планки он себя относит.   Для сводки данных естественно использовать гистограммы. Для этого необходимо сгруппировать ответы. Использовались 7 классов (интервалов): 1 – до 5 миллионов рублей в месяц на человека (включительно); 2 – от 5 до 10 миллионов; 3- от 10 до 15 миллионов; 4 – от 15 до 20 миллионов; 5 – от 20 до 25 миллионов; 6 – от 25 до 30 миллионов; 7 – более 30 миллионов. (Во всех интервалах левая граница исключена, а правая, наоборот – включена.)   Сводная информация представлена на рис.1 (для научных работников и преподавателей) и рис.2 (для всех остальных, т.е. для лиц, не занятых в сфере науки и образования - служащих иных бюджетных организаций, коммерческих структур, рабочих, пенсионеров).   Рис.1. Гистограмма ответов на вопрос 1 для научных работников и преподавателей (40 человек).   Рис.2. Гистограмма ответов на вопрос 1 для лиц, не занятых в сфере науки и образования (34 человека).     Для двух выделенных групп, а также для некоторых подгрупп второй группы рассчитаны сводные средние характеристики – выборочные средние арифметические, медианы, моды. При этом медиана группы - количество млн. руб., названное центральным по порядковому номеру опрашиваемым в возрастающем ряду ответов на вопрос 1, а мода группы - интервал, на котором столбик гистограммы - самый высокий, т.е. в него "попало" максимальное количество опрашиваемых. Результаты приведены в табл. 4. Таблица 4. Сводные средние характеристики ответов на вопрос 1 для различных групп (в млн. руб. в мес. на чел.). Группа опрошенных Среднее арифметическое медиана мода Научные работники и преподаватели 11,66 7,25 (5; 10) Лиц, не занятых в сфере науки и образования 14,4 20 (5; 10) Служащие коммерческих структур и бюджетных организаций 17,91 10 (5; 10) Рабочие 15 13 - Пенсионеры 10,3 10 -   Построим нечеткое множество, описывающее понятие «богатый человек» в соответствии с представлениями опрошенных. Для этого составим табл.5 на основе рис.1 и рис.2 с учетом размаха ответов на первый вопрос. Таблица 5. Число ответов, попавших в интервалы № Номер интервала 1 2 3 4 1 Интервал, млн. руб. в месяц  (0;1) [1;5] (5;10] (10;15] (15;20] 2 Число ответов в интервале 19 21 13 5 3 Доля ответов в интервале 0,257 0,284 0,176 0,068 4 Накопленное число ответов 19 40 53 58 5 Накопленная доля ответов 0,257 0,541 0,716 0,784 Продолжение табл.5. № Номер интервала 5 6 7 8 1 Интервал, млн. руб. в месяц (20;25] (25;30] (30;100) [100;+∞) 2 Число ответов в интервале 6 7 2 1 3 Доля ответов в интервале 0,081 0,095 0,027 0,013 4 Накопленное число ответов 64 71 73 74 5 Накопленная доля ответов 0,865 0,960 0,987 1,000   Пятая строка табл.5 задает функцию принадлежности нечеткого множества, выражающего понятие "богатый человек" в терминах его ежемесячного дохода. Это нечеткое множество является подмножеством множества из 9 интервалов, заданных в строке 2 табл.5. Или множества из 9 условных номеров {0, 1, 2, …, 8}. Эмпирическая функция распределения, построенная по выборке из ответов 74 опрошенных на первый вопрос мини-анкеты, описывает понятие "богатый человек" как нечеткое подмножество положительной полуоси. 7.3. О статистике нечетких множеств Нечеткие множества – частный вид объектов нечисловой природы. Статистические методы анализа объектов нечисловой природы описаны в [3]. В частности, среднее значение нечеткого множества можно определить по формуле:  , где  - функция принадлежности нечеткого множества A.  Как известно, методы статистики нечисловых данных базируются на использовании расстояний (или показателей различия) в соответствующих пространствах нечисловой природы. Расстояние между нечеткими подмножествами А и В множества Х = {x1, x2, …, xk} можно определить как где  - функция принадлежности нечеткого множества A, а  - функция принадлежности нечеткого множества B. Может использоваться и другое расстояние: (Примем это расстояние равным 0, если функции принадлежности тождественно равны 0.)  В соответствии с аксиоматическим подходом к выбору расстояний (метрик) в пространствах нечисловой природы разработан обширный набор систем аксиом, из которых выводится тот или иной вид расстояний (метрик) в конкретных пространствах [1, 3, 4]. При использовании вероятностных моделей расстояние между случайными нечеткими множествами само является случайной величиной, имеющей в ряде постановок асимптотически нормальное распределение [5]. 7.4. Нечеткие множества как проекции случайных множеств  С самого начала появления современной теории нечеткости в 1960-е годы началось обсуждение ее взаимоотношений с теорией вероятностей. Дело в том, что функция принадлежности нечеткого множества напоминает распределение вероятностей. Отличие только в том, что сумма вероятностей по всем возможным значениям случайной величины (или интеграл, если множество возможных значений несчетно) всегда равна 1, а сумма S значений функции принадлежности (в непрерывном случае - интеграл от функции принадлежности) может быть любым неотрицательным числом. Возникает искушение пронормировать функцию принадлежности, т.е. разделить все ее значения на S (при S  0), чтобы свести ее к распределению вероятностей (или к плотности вероятности). Однако специалисты по нечеткости справедливо возражают против такого "примитивного" сведения", поскольку оно проводится отдельно для каждой размытости (нечеткого множества), и определения обычных операций над нечеткими множествами с ним согласовать нельзя. Последнее утверждение означает следующее. Пусть указанным образом преобразованы функции принадлежности нечетких множеств А и В. Как при этом преобразуются функции принадлежности ? Установить это невозможно в принципе. Последнее утверждение становится совершенно ясным после рассмотрения нескольких примеров пар нечетких множеств с одними и теми же суммами значений функций принадлежности, но различными результатами теоретико-множественных операций над ними, причем и суммы значений соответствующих функций принадлежности для этих результатов теоретико-множественных операций, например, для пересечений множеств, также различны.  В работах по нечетким множествам довольно часто утверждается, что теория нечеткости является самостоятельным разделом прикладной математики и не имеет отношения к теории вероятностей (см., например, обзор литературы в монографиях [1,4]). Авторы, сравнивавшие теорию нечеткости и теорию вероятностей, обычно подчеркивали различие между этими областями теоретических и прикладных исследований. Обычно сравнивают аксиоматику и сравнивают области приложений. Надо сразу отметить, что аргументы при втором типе сравнений не имеют доказательной силы, поскольку по поводу границ применимости даже такой давно выделившейся научной области, как вероятностно-статистические методы, имеются различные мнения. Напомним, что итог рассуждений одного из наиболее известных французских математиков Анри Лебега по поводу границ применимости арифметики таков: "Арифметика применима тогда, когда она применима" (см. его монографию [6, с.21-22]).  При сравнении различных аксиоматик теории нечеткости и теории вероятностей нетрудно увидеть, что списки аксиом различаются. Из этого, однако, отнюдь не следует, что между указанными теориями нельзя установить связь, типа известного сведения евклидовой геометрии на плоскости к арифметике (точнее к теории числовой системы  - см., например, монографию [7]). Напомним, что эти две аксиоматики - евклидовой геометрии и арифметики - на первый взгляд весьма сильно различаются.  Можно понять желание энтузиастов нового направления подчеркнуть принципиальную новизну своего научного аппарата. Однако не менее важно установить связи нового подхода с ранее известными.  Как оказалось, теория нечетких множеств тесно связана с теорией случайных множеств. Еще в 1974 г. в работе [8] было показано, что нечеткие множества естественно рассматривать как "проекции" случайных множеств. Рассмотрим этот метод сведения теории нечетких множеств к теории случайных множеств.  Определение 2. Пусть   - случайное подмножество конечного множества У. Нечеткое множество В, определенное наУ, называется проекцией А и обозначается Proj A, если  (8) при всех   Очевидно, каждому случайному множеству А можно поставить в соответствие с помощью формулы (8) нечеткое множество В = Proj A. Оказывается, верно и обратное.  Теорема 3. Для любого нечеткого подмножества В конечного множества У существует случайное подмножество А множества Утакое, что В = Proj A.  Доказательство. Достаточно задать распределение случайного множества А. Пусть У1 - носитель В (см. определение 1 выше). Без ограничения общности можно считать, что  при некотором m и элементы У1 занумерованы в таком порядке, что Введем множества Положим Для всех остальных подмножеств Х множества У положим Р(А=Х)=0. Поскольку элемент yt входит во множества Y(1), Y(2),…, Y(t)и не входит во множества Y(t+1),…, Y(m), то из приведенных выше формул следует, что  Если  то, очевидно,  Теорема 3 доказана.  Распределение случайного множества с независимыми элементами, как следует из рассмотрений главы 8 монографии [3], полностью определяется его проекцией. Для конечного случайного множества общего вида это не так. Для уточнения сказанного понадобится следующая теорема.  Теорема 4. Для случайного подмножества А множества У из конечного числа элементов наборы чисел  и выражаются один через другой.  Доказательство. Второй набор выражается через первый следующим образом: Элементы первого набора выразить через второй можно с помощью формулы включений и исключений из формальной логики, в соответствии с которой  В этой формуле в первой сумме у пробегает все элементы множества Y\X, во второй сумме переменные суммирования у1 и у2 не совпадают и также пробегают это множество, и т.д. Ссылка на формулу включений и исключений завершает доказательство теоремы 4.  В соответствии с теоремой 4 случайное множество А можно характеризовать не только распределением, но и набором чисел В этом наборе  а других связей типа равенств нет. В этот набор входят числа следовательно, фиксация проекции случайного множества эквивалентна фиксации k = Card(Y) параметров из (2k-1) параметров, задающих распределение случайного множества А в общем случае.  Будет полезна следующая теорема.  Теорема 5. Если Proj A = B, то   Для доказательства достаточно воспользоваться тождеством из теории случайных множеств  формулой для вероятности накрытия   , определением отрицания нечеткого множества и тем, что сумма всех P(A=X) равна 1. При этом под формулой для вероятности накрытия имеется в виду следующее утверждение: чтобы найти вероятность накрытия фиксированного элемента q случайным подмножеством S конечного множества Q, достаточно вычислить где суммирование идет по всем подмножествам A множества Q, содержащим q. Литература 1. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. – М.: Знание, 1980. - 64 с. 2. Битюков П.В. Моделирование задач ценообразования на электронные обучающие курсы в области дистанционного обучения / Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук. – М.: Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2002. – 24 с. 3. Орлов А.И. Эконометрика. – М.: Экзамен, 2002. – 576 с. 4. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. – М.: Наука, 1979. -296 с. 5. Орлов А.И., Раушенбах Г.В. Метрика подобия: аксиоматическое введение, асимптотическая нормальность. - В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. - Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1986, с.148-157. 6. Лебег А. Об измерении величин. - М.: Учпедгиз, 1960. - 204 с. 7. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. - М.: ГИФМЛ, 1961. - 580 с. 8. Орлов А.И. Основания теории нечетких множеств (обобщение аппарата Заде). Случайные толерантности. – В сб.: Алгоритмы многомерного статистического анализа и их применения. - М.: Изд-во ЦЭМИ АН СССР, 1975. - С.169-175. 9. Goodman I.R. Fuzzy sets as equivalence classes of random sets // Fuzzy Set and Possibility Theory: Recent Developments. - New York-Oxford-Toronto-Sydney-Paris-Frankfurt, Pergamon Press, 1982. - P.327-343. (Перевод на русский язык: Гудмэн И. Нечеткие множества как классы эквивалентности случайных множеств. - В сб.: Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения. - М.: Радио и связь, 1986. - С. 241-264.) 10. Орлов А.И. Математика нечеткости. - Наука и жизнь. 1982. No.7. С.60-67. Лекция 8. Экспертные методы принятия решений. Групповые задачи выбора. Формирование экспертных групп. Экспертная оценка альтернатив. Основные идеи методов экспертных оценок Примеры методов экспертных оценок. Как будет изменяться экономическая обстановка с течением времени? Что будет с окружающей природной средой через десять лет? Как изменится экологическая обстановка? Будет ли обеспечена экологическая безопасность промышленных производств или же вокруг станет простираться рукотворная пустыня? Достаточно вдуматься в эти постановки естественных вопросов, проанализировать, как десять или тем более двадцать лет назад мы представляли себе сегодняшний день, чтобы понять, что стопроцентно надежных прогнозов просто не может быть. Вместо утверждений с конкретными числами можно ожидать лишь качественных оценок. Тем не менее мы, менеджеры, экономисты, инженеры, должны принимать решения, например, об экологических и иных проектах и инвестициях, последствия которых скажутся через десять, двадцать и т.д. лет. Как быть? Остается обратиться к методам экспертных оценок. Что это за методы?   Бесспорно совершенно, что для принятия обоснованных решений необходимо опираться на опыт, знания и интуицию специалистов. После второй мировой войны в рамках кибернетики, теории управления, менеджмента и исследования операций стала развиваться самостоятельная дисциплина - теория и практика экспертных оценок.  Методы экспертных оценок - это методы организации работы со специалистами-экспертами и обработки мнений экспертов. Эти мнения обычно выражены частично в количественной, частично в качественной форме. Экспертные исследования проводят с целью подготовки информации для принятия решений ЛПР (напомним, ЛПР – лицо принимающее решение). Для проведения работы по методу экспертных оценок создают Рабочую группу (сокращенно РГ), которая и организует по поручению ЛПР деятельность экспертов, объединенных (формально или по существу) в экспертную комиссию (ЭК).  Экспертные оценки бывают индивидуальные и коллективные. Индивидуальные оценки - это оценки одного специалиста. Например, преподаватель единолично ставит отметку студенту, а врач - диагноз больному. Но в сложных случаях заболевания или угрозе отчисления студента за плохую учебу обращаются к коллективному мнению - симпозиуму врачей или комиссии преподавателей. Аналогичная ситуация - в армии. Обычно командующий принимает решение единолично. Но в сложных и ответственных ситуациях проводят военный совет. Один из наиболее известных примеров такого рода - военный совет 1812 г. в Филях, на котором под председательством М.И. Кутузова решался вопрос: "Давать или не давать французам сражение под Москвой?"  Другой простейший пример экспертных оценок - оценка номеров в КВН. Каждый из членов жюри поднимают фанерку со своей оценкой, а технический работник вычисляет среднюю арифметическую оценку, которая и объявляется как коллективное мнение жюри (ниже увидим, что такой подход некорректен с точки зрения теории измерений). В фигурном катании процедура усложняется - перед усреднением отбрасываются самая большая и самая маленькая оценки. Это делается для того, чтобы не было соблазна завысить оценку одной спортсменке (например, соотечественнице) или занизить другой. Такие резко выделяющиеся из общего ряда оценки будут сразу отброшены.  Экспертные оценки часто используются при выборе, например:  - одного варианта технического устройства для запуска в серию из нескольких образцов,  - группы космонавтов из многих претендентов,  - набора проектов научно-исследовательских работ для финансирования из массы заявок,  - получателей экологических кредитов из многих желающих,  - при выборе инвестиционных проектов для реализации среди представленных, и т.д.  Существует масса методов получения экспертных оценок. В одних с каждым экспертом работают отдельно, он даже не знает, кто еще является экспертом, а потому высказывает свое мнение независимо от авторитетов. В других экспертов собирают вместе для подготовки материалов для ЛПР, при этом эксперты обсуждают проблему друг с другом, учатся друг у друга, и неверные мнения отбрасываются. В одних методах число экспертов фиксировано и таково, чтобы статистические методы проверки согласованности мнений и затем их усреднения позволяли принимать обоснованные решения. В других - число экспертов растет в процессе проведения экспертизы, например, при использовании метода "снежного кома" (о нем - дальше).  Не меньше существует и методов обработки ответов экспертов, в том числе весьма насыщенных математикой и компьютеризированных. Многие из них основаны на достижениях статистики объектов нечисловой природы и других современных методах прикладной статистики.  Один из наиболее известных методов экспертных оценок - это метод "Дельфи". Название дано по ассоциации с древним обычаем для получения поддержки при принятии решений обращаться в Дельфийский храм. Он был расположен у выхода ядовитых вулканических газов. Жрицы храма, надышавшись отравы, начинали пророчествовать, произнося непонятные слова. Специальные "переводчики" - жрецы храма толковали эти слова и отмечали на вопросы пришедших со своими проблемами паломников. По традиции говорят, что Дельфийский храм находился в Греции. Но там нет вулканов. Видимо, он был в Италии - у Везувия или Этны, а сами описанные предсказания происходили в XII-XIV вв. Это вытекает из высшего достижения современной исторической науки - новой статистической хронологии. В США в 1960-х годах методом Дельфи назвали экспертную процедуру прогнозирования научно-технического развития. В первом туре эксперты называли вероятные даты тех или иных будущих свершений. Во втором туре каждый эксперт знакомился с прогнозами всех остальных. Если его прогноз сильно отличался от прогнозов основной массы, его просили пояснить свою позицию, и часто он изменял свои оценки, приближаясь к средним значениям. Эти средние значения и выдавались заказчику как групповое мнение. Надо сказать, что реальные результаты исследования оказались довольно скромными - хотя дата высадки американцев на Луну была предсказана с точностью до месяца, все остальные прогнозы провалились - холодного термоядерного синтеза и средства от рака в ХХ в. человечество не дождалось. Однако сама методика оказалась популярной - за последующие годы она использовалась не менее 40 тыс. раз. Средняя стоимость экспертного исследования по методу Дельфи - 5 тыс. долларов США, но в ряде случаев приходилось расходовать и более крупные суммы - до 130 тыс. долларов. Несколько в стороне от основного русла экспертных оценок лежит метод сценариев, применяемый прежде всего для экспертного прогнозирования. Рассмотрим основные идеи технологии сценарных экспертных прогнозов. Экологическое или социально-экономическое прогнозирование, как и любое прогнозирование вообще, может быть успешным лишь при некоторой стабильности условий. Однако решения органов власти, отдельных лиц, иные события меняют условия, и события развиваются по-иному, чем ранее предполагалось. Вполне очевидно, что после первого тура президентских выборов 1996 г. о дальнейшем развитии событий можно было говорить лишь в терминах сценариев: если во втором туре победит Б.Н. Ельцин, то будет то-то и то-то, если же победит Г.А. Зюганов, то события пойдут так-то и так-то.   Метод сценариев необходим не только в социально-экономической или экологической области. Например, при разработке методологического, программного и информационного обеспечения анализа риска химико-технологических проектов необходимо составить детальный каталог сценариев аварий, связанных с утечками токсических химических веществ. Каждый из таких сценариев описывает аварию своего типа, со своим индивидуальным происхождением, развитием, последствиями, возможностями предупреждения.  Таким образом, метод сценариев - это метод декомпозиции задачи прогнозирования, предусматривающий выделение набора отдельных вариантов развития событий (сценариев), в совокупности охватывающих все возможные варианты развития. При этом каждый отдельный сценарий должен допускать возможность достаточно точного прогнозирования, а общее число сценариев должно быть обозримо.  Возможность подобной декомпозиции не очевидна. При применении метода сценариев необходимо осуществить два этапа исследования:  - построение исчерпывающего, но обозримого набора сценариев;  - прогнозирование в рамках каждого конкретного сценария с целью получения ответов на интересующие исследователя вопросы.  Каждый из этих этапов лишь частично формализуем. Существенная часть рассуждений проводится на качественном уровне, как это принято в общественно-экономических и гуманитарных науках. Одна из причин заключается в том, что стремление к излишней формализации и математизации приводит к искусственному внесению определенности там, где ее нет по существу, либо к использованию громоздкого математического аппарата. Так, рассуждения на словесном уровне считаются доказательными в большинстве ситуаций, в то время как попытка уточнить смысл используемых слов с помощью, например, теории нечетких множеств приводит к весьма громоздким математическим моделям.   Набор сценариев должен быть обозрим. Приходится исключать различные маловероятные события - прилет инопланетян, падение астероида, массовые эпидемии ранее неизвестных болезней, и т.д. Само по себе создание набора сценариев - предмет экспертного исследования. Кроме того, эксперты могут оценить вероятности реализации того или иного сценария.   Прогнозирование в рамках каждого конкретного сценария с целью получения ответов на интересующие исследователя вопросы также осуществляется в соответствии с описанной выше методологией прогнозирования. При стабильных условиях могут быть применены статистические методы прогнозирования временных рядов. Однако этому предшествует анализ с помощью экспертов, причем зачастую прогнозирование на словесном уровне является достаточным (для получения интересующих исследователя и ЛПР выводов) и не требующим количественного уточнения.  Как известно, при принятии решений на основе анализа ситуации (как говорят, при ситуационном анализе), в том числе анализе результатов прогнозных исследований, можно исходить из различных критериев. Так, можно ориентироваться на то, что ситуация сложится наихудшим, или наилучшим, или средним (в каком-либо смысле) образом. Можно попытаться наметить мероприятия, обеспечивающие минимально допустимые полезные результаты при любом варианте развития ситуации, и т.д.  Еще один вариант экспертного оценивания - мозговой штурм. Организуется он как собрание экспертов, на выступления которых наложено одно, но очень существенное ограничение - нельзя критиковать предложения других. Можно их развивать, можно высказывать свои идеи, но нельзя критиковать! В ходе заседания эксперты, "заражаясь" друг от друга, высказывают все более экстравагантные соображения. Часа через два записанное на магнитофон или видеокамеру заседание заканчивается, и начинается второй этап мозгового штурма - анализ высказанных идей. Обычно из 100 идей 30 заслуживают дальнейшей проработки, из 5-6 дают возможность сформулировать прикладные проекта, а 2-3 оказываются в итоге приносящими полезный эффект - прибыль, повышение экологической безопасности, оздоровление окружающей природной среды и т.п. При этом интерпретация идей - творческий процесс. Например, при обсуждении возможностей защиты кораблей от торпедной атаки была высказана идея: "Выстроить матросов вдоль борта и дуть на торпеду, чтобы изменить ее курс". После проработки эта идея привела к созданию специальных устройств, создающих волны, сбивающиеся торпеду с курса. Основные стадии экспертного опроса. Более подробно рассмотрим отдельные этапы экспертного исследования. Как показывает опыт, с точки зрения менеджера - организатора такого исследования целесообразно выделять следующие стадии проведения экспертного опроса.  1) Принятие решения о необходимости проведения экспертного опроса и формулировка Лицом, Принимающим Решения (ЛПР) его цели. Таким образом, инициатива должна исходить от руководства, что в дальнейшем обеспечит успешное решение организационных и финансовых проблем. Очевидно, что исходный толчок может быть дан докладной запиской одного из сотрудников или дискуссией на совещании, но реальное начало работы - решение ЛПР.   2) Подбор и назначение ЛПР основного состава Рабочей группы, сокращенно РГ (обычно - научного руководителя и секретаря). При этом научный руководитель отвечает за организацию и проведение экспертного исследования в целом, а также за анализ собранных материалов и формулировку заключения экспертной комиссии. Он участвует в формировании коллектива экспертов и выдаче задания каждому эксперту (вместе с ЛПР или его представителем). Он сам - высококвалифицированный эксперт и признаваемый другими экспертами формальный и неформальный руководитель экспертной комиссии. Дело секретаря - ведение документации экспертного опроса, решение организационных задач.  3) Разработка РГ (точнее, ее основным составом, прежде всего научным руководителем и секретарем) и утверждение у ЛПР технического задания на проведение экспертного опроса. На этой стадии решение о проведении экспертного опроса приобретает четкость во времени, финансовом, кадровом, материальном и организационном обеспечении. В частности, формируется Рабочая Группа, в РГ выделяются различные группы специалистов - аналитическая, эконометрическая (специалисты по методам), компьютерная, по работе с экспертами (например, интервьюеров), организационная. Очень важно для успеха, чтобы все эти позиции были утверждены ЛПР.  4) Разработка аналитической группой РГ подробного сценария (т.е. регламента) проведения сбора и анализа экспертных мнений (оценок). Сценарий включает в себя прежде всего  конкретный вид информации, которая будет получена от экспертов (например, слова, условные градации, числа, ранжировки, разбиения или иные виды объектов нечисловой природы). Например, довольно часто экспертов просят высказаться в свободной форме, ответив при этом на некоторые количество заранее сформулированных вопросов. Кроме того, их просят заполнить формальную карту, в каждом пункте выбрав одну из нескольких градаций. Сценарий должен содержать и конкретные методы анализа собранной информации. Например, вычисление медианы Кемени, статистический анализ люсианов, применение иных методов статистики объектов нечисловой природы и других разделов прикладной статистики (о некоторых из названных методов речь пойдет ниже). Эта работа ложится на эконометрическую и компьютерную группу РГ. Традиционная ошибка - сначала собрать информацию, а потом думать, что с ней делать. В результате, как показывает печальный опыт, информация используется не более чем на 1-2%.  5) Подбор экспертов в соответствии с их компетентностью. На этой стадии РГ составляет список возможных экспертов и оценивает степень их пригодности для планируемого исследования..  6) Формирование экспертной комиссии. На этой стадии РГ проводит переговоры с экспертами, получает их согласие на работу в экспертной комиссии (сокращенно ЭК). Возможно, часть намеченных РГ экспертов не может войти в экспертную комиссию (болезнь, отпуск, командировка и др.) или отказывается по тем или иным причинам (занятость, условия контракта и др.). ЛПР утверждает состав экспертной комиссии, возможно, вычеркнув или добавив часть экспертов к предложениям РГ. Проводится заключение договоров с экспертами об условиях их работы и ее оплаты.  7) Проведение сбора экспертной информации. Часто перед этим проводится набор и обучение интервьюеров - одной из групп, входящих в РГ.  8) Компьютерный анализ экспертной информации с помощью включенных в сценарий методов. Ему обычно предшествует введение информации в компьютеры.  9) При применении согласно сценарию экспертной процедуры из нескольких туров - повторение двух предыдущих этапов.  10) Итоговый анализ экспертных мнений, интерпретация полученных результатов аналитической группой РГ и подготовка заключительного документа ЭК для ЛПР.  11) Официальное окончание деятельности РГ, в том числе утверждение ЛПР заключительного документа ЭК, подготовка и утверждение научного и финансового отчетов РГ о проведении экспертного исследования, оплата труда экспертов и сотрудников РГ, официальное прекращение деятельности (роспуск) ЭК и РГ.  Разберем подробнее отдельные стадии экспертного исследования. Начнем с подбора экспертов: кадры решают все! Каковы эксперты - таково и качество заключения экспертной комиссии. Подбор экспертов. Проблема подбора экспертов является одной из наиболее сложных в теории и практике экспертных исследований. Очевидно, в качестве экспертов необходимо использовать тех людей, чьи суждения наиболее помогут принятию адекватного решения. Но как выделить, найти, подобрать таких людей? Надо прямо сказать, что нет методов подбора экспертов, наверняка обеспечивающих успех экспертизы. Сейчас мы не будем обсуждать проблему существования различных "партий" среди экспертов и обратим внимание на различные иные стороны процедур подбора экспертов.  В проблеме подбора экспертов можно выделить две составляющие - составление списка возможных экспертов и выбор из них экспертной комиссии в соответствии с компетентностью кандидатов.  Составление списка возможных экспертов облегчается тогда, когда рассматриваемый вид экспертизы проводится многократно. В таких ситуациях обычно ведется реестр возможных экспертов, например, в области государственной экологической экспертизы или судейства фигурного катания, из которого можно выбирать по различным критериям или с помощью датчика (или таблицы) псевдослучайных чисел.  Как быть, если экспертиза проводится впервые, устоявшиеся списки возможных экспертов отсутствуют? Однако и в этом случае у каждого конкретного специалиста есть некоторое представление о том, что требуется от эксперта в подобной ситуации. Для формирования списка есть полезный метод "снежного кома", при котором от каждого специалиста, привлекаемого в качестве эксперта, получают определенное количество (обычно 5 - 10) фамилий тех, кто может быть экспертом по рассматриваемой тематике. Очевидно, некоторые из этих фамилий встречались ранее в деятельности РГ, а некоторые - новые. Каждого вновь появившегося опрашивают по той же схеме. Процесс расширения списка останавливается, когда новые фамилии практически перестают встречаться. В результате получается достаточно обширный список возможных экспертов. Метод "снежного кома"имеет и недостатки. Число туров до остановки процесса наращивания кома нельзя заранее предсказать. Кроме того, ясно, что если на первом этапе все эксперты были из одного "клана", придерживались в чем-то близких взглядов или занимались сходной деятельностью, то и метод "снежного кома" даст, скорее всего, лиц из этого же "клана". Мнения и аргументы других "кланов" будут упущены. (Здесь речь идет о том, что сообщество специалистов реально разбито на группы, названные выше "кланами", и общение идет в основном внутри "кланов". Неформальная структура науки, к которой относятся "кланы", достаточно сложна для изучения. Отметим здесь, что "кланы" обычно образуются на основе крупных формальных центров (вузов, научных институтов), научных школ.)  Вопрос об оценке компетентности экспертов не менее сложен. Ясно, что успешность участия в предыдущих экспертизах - хороший критерий для деятельности дегустатора, врача, судьи в спортивных соревнованиях, т.е. таких экспертов, которые участвуют в длинных сериях однотипных экспертиз. Однако, увы, наиболее интересны и важны уникальные экспертизы больших проектов, не имеющих аналогов. Использование формальных показателей экспертов (должность, ученые степень и звание, стаж, число публикаций...), очевидно, в современных быстро меняющихся условиях может носить лишь вспомогательный характер, хотя подобные показатели проще всего применять.  Часто предлагают использовать методы самооценки и взаимооценки компетентности экспертов. Обсудим их, начав с метода самооценки, при котором эксперт сам дает информацию о том, в каких областях он компетентен, а в каких - нет. С одной стороны, кто лучше может знать возможности эксперта, чем он сам? С другой стороны, при самооценке компетентности скорее оценивается степень самоуверенности эксперта, чем его реальная компетентность. Тем более, что само понятие"компетентность" строго не определено. Можно его уточнять, выделяя составляющие, но при этом усложняется предварительная часть деятельности экспертной комиссии. Достаточно часто эксперт преувеличивает свою реальную компетентность. Например, большинство людей считают, что они хорошо разбираются в политике, экономике, проблемах образования и воспитания, семьи и медицины. На самом деле экспертов (и даже знающих людей) в этих областях весьма мало. Бывают уклонения и в другую сторону, излишне критичное отношение к своим возможностям.   При использовании метода взаимооценки, помимо возможности проявления личностных и групповых симпатий и антипатий, играет роль малая осведомленность экспертов о возможностях друг друга. В современных условиях достаточно хорошее знакомство с работами и возможностями друг друга может быть лишь у специалистов, много лет (не менее 3-4) работающих совместно, в одной комнате, над одной темой. Именно про такие пары можно сказать, что они "вместе пуд соли съели". Однако привлечение таких пар специалистов не очень-то целесообразно, поскольку их взгляды из-за схожести жизненного пути слишком похожи друг на друга.  Если процедура экспертного опроса предполагает непосредственное общение экспертов, необходимо учитывать еще ряд обстоятельств. Большое значение имеют их личностные (социально-психологические) качества. Так, один-единственный "говорун" может парализовать деятельность всей комиссии на совместном заседании. К срыву могут привести и неприязненные отношения членов комиссии, и сильно различающийся научный и должностной статус членов комиссии. В подобных случаях важно соблюдение регламента работы, разработанного РГ.  Необходимо подчеркнуть, что подбор экспертов – одна из основных функций Рабочей группы, и никакие методики подбора не снимают с нее ответственности. Другими словами, именно на Рабочей группе лежит ответственность за компетентность экспертов, за их принципиальную способность решить поставленную задачу. Важным является требование к ЛПР об утверждении списка экспертов. При этом ЛПР может как добавить в комиссию отдельных экспертов, так и вычеркнуть некоторых из них - по собственным соображениям, с которыми членам РГ и ЭК знакомиться нет необходимости.  Существует ряд нормативных документов, регулирующих деятельность экспертных комиссий в тех или иных областях. Примером является Закон Российской Федерации "Об экологической экспертизе" от 23 ноября 1995 г., в котором регламентируется процедура экспертизы "намечаемой хозяйственной или иной деятельности" с целью выявления возможного вреда, который может нанести рассматриваемая деятельность окружающей природной среде.  О разработке регламента проведения сбора и анализа экспертных мнений. Существует масса методов получения экспертных оценок. В одних с каждым экспертом работают отдельно, он даже не знает, кто еще является экспертом, а потому высказывает свое мнение независимо от авторитетов, "кланов" и отдельных коллег. В других экспертов собирают вместе для подготовки материалов для ЛПР, при этом эксперты обсуждают проблему друг с другом, принимают или отвергают аргументы друг друга, учатся друг у друга, и неверные или недостаточно обоснованные мнения отбрасываются. В одних методах число экспертов фиксировано и таково, чтобы статистические методы проверки согласованности мнений и затем (в случае достаточно хорошей согласованности мнений) их усреднения позволяли принимать обоснованные решения с точки зрения эконометрики. В других - число экспертов растет в процессе проведения экспертизы, например, при использовании метода "снежного кома" для формирования команды экспертов.   В настоящее время не существует общепринятой научно обоснованной классификации методов экспертных оценок и тем более - однозначных рекомендаций по их применению. Попытка силой утвердить одну из возможных точек зрения на классификацию методов экспертных оценок может принести лишь вред.  Однако для рассказа о многообразии экспертных оценок необходима какая-либо рабочая классификация методов. Одну из таких возможных классификаций мы даем ниже, перечисляя основания, по которым мы делим экспертные оценки.  Один из основных вопросов - что именно должна представить экспертная комиссия в результате своей работы - информацию для принятия решения ЛПР или проект самого решения? От ответа на этот методологический вопрос зависит организация работы экспертной комиссии, и он служит первым основанием для разбиения методов. ЦЕЛЬ - СБОР ИНФОРМАЦИИ ДЛЯ ЛПР. Тогда Рабочая группа должна собрать возможно больше относящейся к делу информации, аргументов "за" и "против" определенных вариантов решений. Полезен следующий метод постепенного увеличения числа экспертов. Сначала первый эксперт приводит свои соображения по рассматриваемому вопросу. Составленный им материал передается второму эксперту, который добавляет свои аргументы. Накопленный материал поступает к следующему - третьему - эксперту... Процедура заканчивается, когда иссякает поток новых соображений.  Отметим, что эксперты в рассматриваемом методе только поставляют информацию, аргументы "за" и "против", но не вырабатывают согласованного проекта решения. Нет никакой необходимости стремиться к тому, чтобы экспертные мнения были согласованы между собой. Более того, наибольшую пользу приносят эксперты с мышлением, отклоняющимся от массового. Именно от них следует ожидать наиболее оригинальных аргументов. ЦЕЛЬ - ПОДГОТОВКА ПРОЕКТА РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЛПР. Математические методы в экспертных оценках применяются обычно именно для решения задач, связанных с подготовкой проекта решения. При этом зачастую некритически принимают догмы согласованности и одномерности. Эти догмы "кочуют" из одной публикации в другую, поэтому целесообразно их обсудить. ДОГМА СОГЛАСОВАННОСТИ. Часто без всяких оснований считается, что решение может быть принято лишь на основе согласованных мнений экспертов. Поэтому исключают из экспертной группы тех, чье мнение отличается от мнения большинства. При этом отсеиваются как неквалифицированные лица, попавшие в состав экспертной комиссии по недоразумению или по соображениям, не имеющим отношения к их профессиональному уровню, так и наиболее оригинальные мыслители, глубже проникшие в проблему, чем большинство. Следовало бы выяснить их аргументы, предоставить им возможность для обоснования их точек зрения. Вместо этого их мнением пренебрегают. Бывает и так, что эксперты делятся на две или более групп, имеющих единые групповые точки зрения. Так, известен пример деления специалистов при оценке результатов научно-исследовательских работ на две группы: "теоретиков", явно предпочитающих НИР, в которых получены теоретические результаты, и "практиков", выбирающих те НИР, которые позволяют получать непосредственные прикладные результаты (речь идет о конкурсе НИР в академическом Институте проблем управления (автоматики и телемеханики)).  Иногда заявляют, что в случае обнаружения двух или нескольких групп экспертов (вместо одной согласованной во мнениях) опрос не достиг цели. Это не так! Цель достигнута - установлено, что единого мнения нет. Это весьма важно. И ЛПР при принятии решений должен это учитывать. Стремление обеспечить согласованность мнений экспертов любой целой может приводить к сознательному одностороннему подбору экспертов, игнорированию всех точек зрения, кроме одной, наиболее полюбившейся Рабочей группе (или даже "подсказанной" ЛПР).  Часто не учитывают еще одного чисто эконометрического обстоятельства. Поскольку число экспертов обычно не превышает 20-30, то формальная статистическая согласованность мнений экспертов (установленная с помощью тех или иных критериев проверки статистических гипотез) может сочетаться с реально имеющимся разделением экспертов на группы, что делает дальнейшие расчеты не имеющими отношения к действительности. Для примера обратимся к конкретным методам расчетов с помощью коэффициентов конкордации (т.е. - в переводе - согласия) на основе коэффициентов ранговой корреляции Кендалла или Спирмена. Необходимо напомнить, что согласно эконометрической теории положительный результат проверки согласованности таким способом означает ни больше, ни меньше, как отклонение гипотезы о независимости и равномерной распределенности мнений экспертов на множестве всех ранжировок. Таким образом, проверяется нулевая гипотеза, согласно которой ранжировки, описывающие мнения экспертов, являются независимыми случайными бинарными отношениями, равномерно распределенными на множестве всех ранжировок. Отклонение этой нулевой гипотезы по дурной традиции толкуется как согласованность ответов экспертов. Другими словами, мы падаем жертвой заблуждений, вытекающих из своеобразного толкования слов: проверка согласованности в указанном математико-статистическом смысле вовсе не является проверкой согласованности в смысле практики экспертных оценок. (Именно ущербность рассматриваемых математико-статистических методов анализа ранжировок привела группу специалистов к разработке нового эконометрического аппарата для проверки согласованности - непараметрических методов, основанных на т.н. люсианах и входящих в современный раздел эконометрики - статистику нечисловых данных). Группы экспертов с близкими методами можно выделить эконометрическими методами кластер-анализа. МНЕНИЯ ДИССИДЕНТОВ. С целью искусственно добиться согласованности стараются уменьшить влияние мнений экспертов-диссидентов, т.е. инакомыслящих по сравнению с большинством. Жесткий способ борьбы с диссидентами состоит в игнорировании их мнений, т.е. фактически в их исключении из состава экспертной комиссии. Отбраковка экспертов, как и отбраковка резко выделяющихся результатов наблюдений (выбросов), приводит к процедурам, имеющим плохие или неизвестные статистические свойства. Так, известна крайняя неустойчивость классических методов отбраковки выбросов по отношению к отклонениям от предпосылок модели (см., например, учебное пособие [1]).  Мягкий способ борьбы с диссидентами состоит в применении робастных (устойчивых) статистических процедур. Простейший пример: если ответ эксперта - действительное число, то резко выделяющееся мнение диссидента сильно влияет на среднее арифметическое ответов экспертов и не влияет на их медиану. Поэтому разумно в качестве согласованного мнения рассматривать медиану. Однако при этом игнорируются (не достигают ЛПР) аргументы диссидентов.  В любом из двух способов борьбы с диссидентами ЛПР лишается информации, идущей от диссидентов, а потому может принять необоснованное решение, которое впоследствии приведет к отрицательным последствиям. С другой стороны, представление ЛПР всего набора мнений снимает часть ответственности и труда по подготовке окончательного решения с комиссии экспертов и рабочей группы по проведению экспертного опроса и перекладывает эти ответственность и труд на плечи ЛПР. ДОГМА ОДНОМЕРНОСТИ. В устаревшей, а иногда и в современной научно-технической литературе распространен довольно спорный подход так называемой "квалиметрии", согласно которому объект экспертизы всегда можно оценить одним числом. Странная идея! Оценивать человека одним числом приходило в голову лишь на невольничьих рынках. Вряд ли даже самые рьяные квалиметристы рассматривают книгу или картину как эквивалент числа - ее "рыночной стоимости". Практически все реальные объекты достаточно сложны, а потому сколько-нибудь точно описать их можно лишь с помощью многих и многих чисел, а также математических объектов нечисловой природы. Вместе с тем нельзя полностью отрицать саму идею поиска обобщенных показателей качества, технического уровня и аналогичных. Так, каждый объект можно оценивать по многим показателям качества. Например, легковой автомобиль можно оценивать по таким показателям:  расход бензина на 100 км пути (в среднем);  надежность (в том числе средняя стоимость ремонта за год);  экологическая безопасность, оцениваемая по содержанию вредных веществ в выхлопных газах;  маневренность (в том числе радиус поворота);  быстрота набора скорости 100 км/час после начала движения; максимальная достигаемая скорость;  длительность сохранения в салоне положительной температуры при низкой наружной температуре (например, минус пятьдесят градусов по Цельсию) и выключенном двигателе;  дизайн (привлекательность и "модность" внешнего вида и отделки салона);  вес, и т.д.  Можно ли свести оценки по этим показателям вместе? Ясно, что определяющей является конкретная ситуация, для которой выбирается автомашина. Максимально достигаемая скорость важна для гонщика, но, как нам представляется, не имеет большого практического значения для водителя рядовой частной машины, особенно в городе с суровым ограничением на максимальную скорость. Для такого водителя важнее расход бензина, маневренность и надежность. Для машин различных служб государственного управления, видимо, надежность важнее, чем для частника, а расход бензина - наоборот. Для районов Крайнего Севера важна теплоизоляция салона, а для южных районов - нет. И т.д.  Таким образом, важна конкретная (узкая) постановка задачи перед экспертами. Но такой постановки зачастую нет. А тогда "игры" по разработке обобщенного показателя качества - например, в виде линейной функции от перечисленных переменных - не могут дать объективных выводов. Альтернативой единственному обобщенному показателю является математический аппарат типамногокритериальной оптимизации - множества Парето и т.д.  В некоторых случаях все-таки можно глобально сравнить объекты - например, с помощью тех же экспертов получить упорядочение рассматриваемых объектов - изделий или проектов. Тогда можно ПОДОБРАТЬ коэффициенты при отдельных показателях так, чтобы упорядочение с помощью линейной функции возможно точнее соответствовало глобальному упорядочению (например, найти эти коэффициенты методом наименьших квадратов). Наоборот, в подобных случаях НЕ СЛЕДУЕТ оценивать указанные коэффициенты с помощью экспертов. Эта простая идея до сих пор не стала очевидной для отдельных составителей методик по проведению экспертных опросов и анализу их результатов. Они упорно стараются заставить экспертов делать то, что они выполнить не в состоянии - указывать веса, с которыми отдельные показатели качества должны входить в итоговый обобщенный показатель. Эксперты обычно могут сравнить объекты или проекты в целом, но не могут вычленить вклад отдельных факторов. Раз организаторы опроса спрашивают, эксперты отвечают, но эти ответы не несут в себе надежной информации о реальности... ВТОРОЕ ОСНОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИИ ЭКСПЕРТНЫХ ПРОЦЕДУР - ЧИСЛО ТУРОВ. Экспертизы могут включать один тур, некоторое фиксированное число туров (два, три,…) или неопределенное число туров. Чем больше туров, тем более тщательным является анализ ситуации, поскольку эксперты при этом обычно много раз возвращаются к рассмотрению предмета экспертизы. Но одновременно увеличивается общее время на экспертизу и возрастает ее стоимость. Можно уменьшить расходы, вводя в экспертизу не всех экспертов сразу, а постепенно. Так, например, если цель состоит в сборе аргументов "за" и "против", то первоначальный перечень аргументов может быть составлен одним экспертом. Второй добавит к нему свои аргументы. Суммарный материал поступит к первому и третьему, которые внесут свои аргументы и контраргументы. И так далее - добавляется по одному эксперту на каждый новый тур. Наибольшие сложности вызывают процедуры с заранее неопределенным числом туров, например, "снежный ком". Часто задают максимально возможное число туров, и тогда неопределенность сводится к тому, придется ли проводить это максимальное число туров или удастся ограничиться меньшим числом. ТРЕТЬЕ ОСНОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИИ ЭКСПЕРТНЫХ ПРОЦЕДУР - ОРГАНИЗАЦИЯ ОБЩЕНИЯ ЭКСПЕРТОВ. Рассмотрим достоинства и недостатки каждого из элементов шкалы: отсутствие общения - заочное анонимное общение - заочное общение без анонимности - очное общение с ограничениями - очное общение без ограничений. При отсутствии общенияэксперт высказывает свое мнение, ничего не зная о других экспертах и об их мнениях. Он полностью независим, что и хорошо, и плохо. Обычно такая ситуация соответствует однотуровой экспертизе. Заочное анонимное общение, например, как в методе Дельфи, означает, что эксперт знакомится с мнениями и аргументами других экспертов, но не знает, кто именно высказал то или иное положение. Следовательно, в экспертизе должно быть предусмотрено хотя бы два тура. Заочное общение без анонимностисоответствует, например, общению по Интернету. Все варианты заочной экспертизы хороши тем, что нет необходимости собирать экспертов вместе, следовательно, находить для этого удобное время и место. При очных экспертизах эксперты говорят, а не пишут, как при заочных, и потому успевают за то же время сказать существенно больше. Очная экспертиза с ограничениями весьма распространена. Это - собрание, идущее по фиксированному регламенту. Примером является военный совет в императорской русской армии, когда эксперты (офицеры и генералы) высказывались в порядке от младшего (по чину и должности) к старшему. Наконец, очная экспертиза без ограничений - это свободная дискуссия. Все очные экспертизы имеют недостатки, связанные с возможностями отрицательного влияния на их проведение социально-психологических свойств и клановых (партийных) пристрастий участников, а также неравенства их профессионального, должностного, научного статусов. Представьте себе, что соберутся вместе 5 лейтенантов и 3 генерала. Независимо от того, какая информация имеется у того или иного участника встречи, ход ее предсказать нетрудно: генералы будут беседовать, а лейтенанты - помалкивать. При этом вполне очевидно, что лейтенанты получили образование позже генералов, а потому обладают полезной информацией, которой нет у генералов. КОМБИНАЦИЯ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ЭКСПЕРТИЗЫ. Реальные экспертизы часто представляют собой комбинации различных описанных выше типов экспертиз. В качестве примера рассмотрим защиту студентом дипломного проекта. Сначала идет многотуровая очная экспертиза, проводимая научным руководителем и консультантами, в результате студент подготавливает проект к защите. Затем два эксперта работают заочно - это автор отзыва сторонней организации и заведующий кафедрой, допускающий работу к защите. Обратите внимание на различие задач этих экспертов и объемов выполняемой ими работы - один пишет подробный отзыв, второй росписью на титульном листе проекта разрешает его защиту. Наконец - очная экспертиза без ограничений (для членов ГАК - государственной аттестационной комиссии). Дипломный проект оценивается коллегиально, по большинству голосов, при этом один из экспертов (научный руководитель) знает работу подробно, а остальные - в основном лишь по докладу. Отметим, что мнения экспертов учитываются с весами, а именно, мнения членов ГАК - с весом 1, мнения всех остальных - с весом 0 (совещательный голос). Таким образом, имеем сочетание многотуровой и однотуровой, заочных и очных экспертиз. Подобные сочетания характерны для многих реально проводящихся экспертиз.