Теория систем. Основные положения

1. Теория систем. Основные положения Понятие «система» не имеет и по мнению некоторых авторов не может иметь исчерпывающего и однозначного определения. Это связано с первичностью, аксиоматическим характером понятия, поскольку понятие «системность» очень часто носит субъективный характер и оценивается через другие понятия, которые также являются первичными. Система — это объективное единство закономерно связанных друг с другом предметов, явлений, сведении, а также знаний о природе, обществе u m.п.. Блез Паскаль писал: «Я считаю, что познать части без знания целого так же невозможно, как познать целое без знания его частей». Выберем золотую середину и будем далее понимать термин система как совокупность (множество) отдельных объектов с неизбежными связями между ними. Если мы обнаруживаем хотя бы два таких объекта: учитель и ученик в процессе обучения, продавец и покупатель в торговле, телевизор и передающая станция в телевидении и т. д. — то это уже система. С некоторой претензией на высокопарность, можно считать системы способом существования окружающего нас мира. Важно понять преимущество взгляда на этот мир, в котором любой объект является либо составляющей другой, более крупной системы (надсистемы), либо состоящим из более мелких элементов связанных между собой – это возможность ставить и решать, по крайней мере, две задачи: • расширить и углубить собственные представления о “механизме” взаимодействий объектов в системе; изучить и, возможно, открыть новые её свойства; • повысить эффективность системы в том плане ее функционирования, который интересует нас больше всего. Эволюция системных представлений Надо сказать, что осознание системности мира и мышления всегда отставало от системности (эмпирической) человеческой практики. История развития системных представлений шла как бы по разным направлениям и с разных исходных позиций. С одной стороны к современному пониманию шла философия, с другой – конкретные науки. В своем движении к истине они неминуемо должны были сойтись, что, в сущности и происходит в настоящее время. Результаты философии относятся к множеству всех существующих и мыслимых систем, носят всеобщий характер. Чтобы применить их к конкретным ситуациям мы должны использовать дедуктивный метод. Конкретные науки большей частью придерживаются противоположного, индуктивного метода, т.е. от исследования реальных, конкретных систем к установлению общих закономерностей. Особый интерес представляют те моменты в истории, когда системность сама по себе становилась объектом исследования для естественных и технических наук. Рождение понятия "система" (2500-2000 г. до н.э). Слово "система" появилось в Древней Греции и означало "сочетание", "организм", "организация", "союз", а также "нечто, поставленное вместе, приведенное в порядок". Первая естественнонаучная (механическая) картина мира. Идеи Галилея (1564-1642) и И.Ньютона (1642-1727). Выработана определенная концепция системы с категориями: вещь и свойства, целое и часть. Немецкая классическая философия. Глубокая и основательная разработка идеи системной организации научного знания. Структура научного знания стала предметом специального философского анализа. Теоретическое естествознание XIX-XX вв. Различение объекта и предмета познания, повышение роли моделей в познании, исследование системообразующих принципов (порождение свойств целого из свойств элементов и свойств элементов из свойств целого). Кибернетика. В 1834 году знаменитый физик М.-А. Ампер опубликовал книгу, содержащую классификации всевозможных наук (в том числе и пока не существовавших). Среди них он выделил специальную науку об управлении государством и назвал ее кибернетикой (от слова kbervik, первоначально означавшего управление кораблем, а затем получившего у самих греков более широкое значение искусства управления вообще). В 1843 году появилась книга польского философа Б.Трентовского (по материалам курса лекций, который он читал ранее). Книга называлась «Отношение философии к кибернетике как к искусству управления народом». Это была попытка построения научных основ практической деятельности руководителя, которого он называл «кибернетом» (подробнее - в 1). Общество середины прошлого века было не готово воспринять идеи кибернетики. Практика управления тогда еще могла обходиться без науки управления. И кибернетика была забыта. В дальнейшем идеи системности появлялись и в других областях науки. Так, академик С. Федоров, исследуя явление кристаллизации веществ, установил некоторые закономерности развития систем, в частности, он указывал, что главным средством жизнеспособности и прогресса систем является не их приспособленность, а их способность к приспособлению, не стройность, а способность к повышению стройности. Тектология. Следующий крупный вклад в теорию систем был внесен А.А.Богдановым (Малиновским) – личностью талантливой, всесторонней, увлекающейся. (Это его, автора собственной философии – эмпириомонизма критиковал Ленин в книге «Материализм и эмпириокритицизм»). Он активно участвовал в политической деятельности, был в социально-демократической партии, затем вышел из нее, то после революции вошел в состав Коммунистической академии написал «Краткий курс политической экономии». Он, кроме того, является и автором нескольких научно-фактических произведений. Основной же его профессией была медицина. К 1925 г. он завершил свой трехтомный труд «Всеобщая организационная наука (тектология)». В его основу положена идея о том, что все существующие объекты и процессы имеют определенную степень, уровень организованности. В отличие от конкретных естественных наук, изучающих специфические особенности организации конкретных явлений, тектология должна изучать общие закономерности организации для всех уровней организованности. Все явление рассматриваются как непрерывные процессы организации и дезорганизации. Отмечается, что уровень организации тем выше, чем сильнее свойства целого отличаются от простой суммы свойств его частей. Основное внимание в тектологии Богданова уделяется закономерностям развития организации, рассмотрению соотношений устойчивого и изменчивого, значению обратных связей, учету собственных целей организации (которые могут как содействовать целям высшего уровня организации, так и противоречить им). Примеры: человеческое общество – экологический аспект, социально-экономический аспект, человеческий организм – иммунитет и т.п. Кроме того, Богданов подчеркивал роль моделирования и математики, как потенциальных методов решения задач тектологии. Таким образом он предвосхитил многие положения современных кибернетических и системных теорий. Став директором первого в мире института переливания крови (созданного по его же идее и при поддержке В.И.Ленина) он стал проверять некоторые выводы своей теории на примере кровеносной системы, проводя на себе рискованные опыты. Один из них завершился гибелью ученого. Тектология, также как и кибернетика в своем первом явлении миру, была на какое-то время забыта, и о ней вспомнили только тогда, когда и другие стали приходить к тем же результатам. Кибернетика Винера Можно сказать, что мир «созрел» для массового усвоения системных понятий и сознания системности мира к концу 40-х годов нашего века, когда в 1948 г. американский математик Н.Винер опубликовал книгу под названием «Кибернетика». Вначале он определил кибернетику как «науку об управлении и связи в животных и машинах». Однако уже в следующей своей книге «Кибернетика и общество» он расширяет это определение и анализирует с позиций кибернетики процессы, происходящие в обществе. В 1956 г. в париже состоялся Первый международный конгресс по кибернетике. «Кибернетика – это наука об оптимальном управлении сложными динамическими системами» (А.И.Берг). «Кибернетика – это наука о системах, воспринимающих, хранящих, перерабатывающих и использующих информацию» (А.Н.Колмогоров). Из этих определений видно, что предметом кибернетики является исследование систем, причем для кибернетики в принципе несущественно, какова природа этой системы, т.е. является ли она физической, биологической, экономической, организационной или даже воображаемой. Таким образом «кибернетика» вторгается в совершенно разнородные сферы. в [1] приводится такой аналог: мир может быть представлен как как «булка», каждая наука, изучающая мир, – «ломоть» поперек, а кибернетика – это «ломоть» вдоль. В рамках кибернетики Винера произошло дальнейшее развитие системных представлений, а именно: 1) типизация моделей систем; 2) выявление значения обратных связей в системе; 3) подчеркивание принципа оптимальности в управлении и синтезе систем; 4) понятие информации как всеобщего свойства материи, осознание возможности ее количественного описания; 5) развитие методологии моделирования вообще и в особенности машинного эксперимента, т.е. математическая экспертиза с помощью ЭВМ. Общая теория систем Л. Берталанфи. Общая теория систем – это как бы параллельный, независимый по отношению к кибернетике, подход к науке о системах. В 1950 г. австрийский биолог Л. Берталанфи опубликовал книгу «Основы общей теории систем». Берталанфи пытался отыскивать структурное сходство законов, установленных в различных дисциплинах и, обобщая их, выводить общесистемные закономерности. Если в кибернетике Винера изучались лишь внутрисистемные обратные связи, а функционирование систем рассматривалось как отклик на внешние воздействия, то Берталанфи, развивая идеи физика Шредингера, разработал концепцию организма как открытой системы и сформулировал программу построения общей теории систем. Синергетика Еще один подход к исследованию систем связан с так называемой бельгийской школой во главе с И. Пригожиным. Этот ученый занимался термодинамикой неравновесных физических систем (Нобелевская премия 1977 г.) и обнаружил, что выявленные им закономерности справедливы для систем любой природы. Он как бы заново открыл уже известные свойства систем, но, кроме этого, предложил новую теорию динамики систем. Суть его теории заключается в следующем. Так что же будет пониматься под термином «система»? Каждый объект, чтобы его можно было считать системой, должен обладать четырьмя основными свойствами или признаками (целостностью и делимостью, наличием устойчивых связей, организацией и эмерджентностью). : 1. Целостность и делимость Система воспринимается окружающей средой как единый элемент этой среды. Это означает, что, с одной стороны, система — целостное образование и, с другой — в ее составе можно выделить некоторые элементы, совокупность которых вместе с их взаимодействием и образует систему. При этом следует иметь в виду, что элементы существуют лишь в системе. Вне системы это в лучшем случае объекты, обладающие системно значимыми свойствами. При вхождении в систему элемент приобретает системно определенное свойство взамен системно значимого. Для системы первичным является признак целостности, т. е. она рассматривается как единое целое, состоящее из взаимодействующих частей, часто разнокачественных, но одновременно совместимых. 2. Эмерджентность Эмерджентность предполагает наличие таких качеств (свойств), которые присущи системе в целом, но не свойственны ни одному из ее элементов в отдельности. Наличие интегрированных качеств показывает, что свойства системы хотя и зависят от свойств элементов, но не определяются ими полностью Отсюда можно сделать выводы: 1) система не сводится к простой совокупности элементов; 2) расчленяя систему на отдельные части, изучая каждую из них в отдельности, нельзя познать все свойства системы в целом. Существенно, что это качество не может быть выявлено сколь угодно глубоким изучением свойств элементов. Например, команда (бригада) может выполнить задачи, которые члены команды (бригады) по отдельности выполнить не в состоянии. 3. Связи (отношения) Система, как правило, взаимодействует с другими системами (Fi, i=1,2,…), которые для нее являются внешней средой, связь осуществляется между некоторыми (или всеми) элементами, принадлежащими данной системе, и элементами других систем (см. рис. 1.1). Другие системы – это внешняя среда для системы S. Если взаимодействие системы S с внешней средой не рассматривается (в теоретических исследованиях, например), тогда система называется закрытой или автономной. Множество переменных (координат), через которые система S взаимодействует с внешней средой, часто разделяют на подмножества входных X={xi, i=1,2…} и выходных Y={yj; j=1,2…} координат системы. В реальном мире один и тот же элемент может входить в разные системы. Взаимодействие систем носит разноплановый характер, поэтому существенным вопросом является определение границ системы и выделение переменных Х,Y. Причем значение имеют только связи, определяющие интегративное качество, т.е. «имидж» системы. Связь подсистем количественно задается множеством характеристик связей В={bi, i=1,2,…}, к числу которых относится физическое наполнение (энергетическая, информационная, вещественная, механическая связь и т.д.), а также мощностью, направленностью и т.д. Система существует как некоторое целостное образование, когда мощность (сила) существенных связей между элементами системы на интервале времени, не равном нулю, больше, чем мощность связей этих же элементов с внешней средой. Для информационных связей оценкой потенциальной мощности может служить пропускная способность данной информационной системы, а реальной мощности — действительная величина потока информации. Однако в общем случае при оценке мощности информационных связей необходимо учитывать качественные характеристики передаваемой информации (ценность, полезность, достоверность и т. п.). Рис. 1.1 - Графическое представление системы и среды Формально связь может быть представлена отображением :Х при условии, что метрики множеств Х и связаны функцией f(b): . Метрика (мера, расстояние)– это способ измерения расстояния между элементами множеств а,b,сХ. Метрика должна удовлетворять некоторым определяющим свойствам: а)  ≥ 0 при любых а,b,c; б) (a,b) = 0 тогда и только тогда, когда a = b (аксиома идентичности); в) (a,b) = (b,a) (аксиома симметричности); г) (a,b)  (а,с) + (с,b) (аксиома треугольника). Пара (Х,Х) называется метрическим пространством. Примеры метрик: а) (а,b) = |a - b|; б) 2(a,b) = - евклидова метрика в евклидовом пространстве Rn, в) (а,b) =- чебышевская метрика; г) К(a,b) = - метрика Гельдера, К – целое. В общем случае – отношения бывают: унарные (самого с собой); бинарные (между двумя элементами); тернарные (между тремя элементами); вообще, - n-арные. 4. Организация Это свойство характеризуется наличием определенной структуры, что проявляется в снижении энтропии (степени неопределенности) системы H(S) по сравнению с энтропией системоформирующих факторов H(F), определяющих возможность создания системы. Введем в рассмотрение понятие «состояние» элемента или системы. Количество состояний (мощность множества состояний) может быть конечно, счетно (количество состояний измеряется дискретно, но их число бесконечно); мощности континуум (состояния изменяются непрерывно и число их бесконечно и несчетно). Состояния можно описать через переменные состояния. Если переменные – дискретные, то количество состояний может быть либо конечным, либо счетным. Если переменные – аналоговые (непрерывные), тогда - мощности континуум. Минимальное количество переменных, через которые может быть задано состояние, называется фазовым пространством. Изменение состояния системы отображается в фазовом пространстве фазовой траекторией. Уравнение состояния системы: Y = F(X, Z), (1.1) где Z – переменные состояния (вектор аналоговых или дискретных величин), Х – входные переменные, Y – выходные переменные системы. Одной из наиболее часто используемых характеристик организации является энтропия (поворот, превращение – греч.). Энтропия систем Степень организации элементов в системе связывается с изменением (снижением) энтропии системы по сравнению с суммарной энтропией элементов. Понятие энтропии введено Больцманом для термодинамических систем: (1.2) где - вероятность j-го состояния (в теории информации – события); m - возможное число состояний (событий). Например, два элемента А и В могут каждый принимать два равновероятных состояния: «0»и «1». Вероятность каждого состояния: Р1(А) = Р2(А) = Р1(В) = Р2(В) = 0,5. Для одного элемента энтропия составит Н(А) = Н(В) = -0,5 log20,5 - 0,5log20,5 = 1. Энтропия двух элементов: Н(А) + Н(В) = 1 + 1 = 2.  Допустим, что система S элементов А и В может принимать три состояния: «-1», «0», «1» с вероятностями Р1(S) = Р3(S) = 0,2; Р2 = 0,6. Тогда Н(S) = -2.0,2.log20,2 - 0,6.log20,6 = -0,4(-2,32) - 0,6(-0,737) = 1,37. Энтропия системы S меньше суммы энтропий элементов А и В на Н = Н(А) + Н(В) - Н(S) = 2 - 1,37 = 0,63.  Для расчета изменения энтропии системы через вероятности состояний очень часто используется метод Колмогорова. Допустим, дана структурная схема (граф) состояний подсистемы S (см. рис. 1.2). Исходным состоянием системы с равной степенью вероятности может быть одно из четырех состояний, т.е. Будем считать, что интенсивности переходов 21, 32, 43, 14, 24 заданы. Тогда можно показать, что скорости изменения вероятности нахождения системы в i-м состоянии определяются как , (1.3) где ; n – число узлов графа (количество состояний); j - интенсивности переходов по дугам, входящим в i-й узел; ri – число дуг, входящих в i-й узел; k - интенсивности переходов по дугам, исходящим из i-го узла; mi – число дуг, выходящих из i-го узла; Pi и Pj – вероятности нахождения системы в i-м и j-м состояниях соответственно. Заметим, что . Установившееся значение вероятности нахождения системы в i-м состоянии определяется из условия . Тогда для системы с n состояниями имеем систему из (n + 1) уравнений с n неизвестными: ; . (1.4) Одно из уравнений (1.4) можно отбросить, так как оно может быть получено из (n - 1) оставшихся. Пример. Примем 21 = 0,1, 32 = 0,2, 43 = 0,3, 14 = 0,4, 24 = 0,5. Тогда получаем: 14.Р4 - 21.Р1 = 0 21.Р1 + 24.Р4 - 32.Р2 = 0 32.Р2 - 43.Р3 = 0 43.Р3 – (14 + 24).Р4 = 0 Р1 + Р2 + Р3 + Р4 = 1. Из системы отбросим второе уравнение и получим: - 0,1.Р1 + 0.Р2 + 0.Р3 + 0.Р4 = 0 0.Р1 + 0,2.Р2 – 0,3.Р3 + 0.Р4 = 0 0.Р1 + 0.Р2 + 0,3.Р3 – 0,9.Р4 = 0 1.Р1 + 1.Р2 + 1.Р3 + 1.Р4 = 1. Решение полученной системы: Р1 = 0,32, Р2 = 0,36, Р3 = 0,24, Р4 = 0,08. Расчет энтропий ведется по формуле . Для исходного состояния Э0 = -4 . 0,25 . log20,25 = 2, для конечного состояния Эк = -(0,32 . log20,32 + 0,36 . log20,36 + 0,24 . log20,24 + 0,08 . log20,08) = 1,835. То есть, изменение энтропии составляет Э = Э0 – Эк = 2 – 1,835 = 0,165.  Существуют два основных подхода к расчету энтропий систем и ценности информации. Первый подход основан на декомпозиции исходной задачи на этапы вычисления вероятностей апостериорной и априорной вероятности элементарных событий. Методика расчета включает: - декомпозицию исходной задачи на последовательность таких элементарных событий, априорная вероятность которых известна, а апостериорная может быть легко рассчитана; - расчет энтропий (или ценности информации) каждого элементарного события; - вычисление изменения энтропии исходного состояния по отношению к конечному (или ценности информации) путем суммирования изменений энтропий элементарных этапов (переходов, событий). Данный подход позволяет избежать вычисление вероятности сложных событий. Второй подход основывается на использовании условных вероятностей событий. Последние иногда рассчитать довольно сложно. Таким образом, энтропия выступает в качестве меры хаоса, беспорядка и ее снижение означает увеличение организации. Для информационных систем степень организации очень часто зависит от количества информации, которая может быть использована для управления. Количество информации В теории информации количество информации часто измеряют в битах (binary digital), где бит определяется как ценность I информации об исходе двух равновероятных событий. Например, эта информация о том, что сейчас день, а не ночь. Вероятность каждого из событий Р(Д) = 0,5; Р(Н) = 0,5; I = log2, (1.5) где Р1(х) – апостериорная вероятность; Р2(х) – априорная вероятность. Для примера: Кроме битов (термин ввел Тьюки) используются «нат» и «дит» . Любой объект, который обладает всеми рассматриваемыми свойствами можно называть системой. Одни и те же элементы (в зависимости от принципа, используемого для их объединения в систему) могут образовывать различные по свойствам системы. Поэтому характеристики системы в целом определяются не только и не столько характеристиками составляющих ее элементов, сколько характеристиками связей между ними. Наличие взаимосвязей (взаимодействия) между элементами определяет особое свойство сложных систем - организованную сложность. Добавление элементов в систему не только вводит новые связи, но и изменяет характеристики многих или всех прежних взаимосвязей, приводит к исключению некоторых из них или появлению новых. С системой связан ряд часто используемых фундаментальных понятий: 1. цель – результат, достигаемый использованием системы; 2. элемент – простейшая часть системы, имеющая определенное функциональное назначение. Деление системы на элементы весьма условно; 3. подсистема – совокупность элементов, способная выполнить относительно независимые функции в составе системы и содействующая достижению общей стоящей перед системой цели; 4. связь – понятие, отражающее характер взаимодействия элементов друг с другом и с внешней средой; 5. структура – отражение наиболее существенных взаимоотношений между элементами и подсистемами; 6. состояние в момент t0 – минимальный набор сведений о системе, позволяющий вместе с некоторым возможным входным воздействием, заданным на временном отрезке , однозначно определить процесс на выходе системы для при ; 7. поведение – закономерность перехода из одного состояния в другое с учетом входов и выходов системы; 8. равновесие – способность системы сохранять свое состояние в отсутствие внешних воздействий; 9. устойчивость – способность системы возвращаться в состояние равновесия после того, как она была выведена внешними воздействиями из этого состояния, а затем эти воздействия исчезли. основные составляющие теории систем Теория систем изучает общие проблемы связи целого и его частей. Это разработка понятия организации, исследование различных форм и уровней организации, значения организации в развитии материального мира. В более узком понимании это вопросы связанные: - с определением содержания проблем; - назначением и (или) определением целей при принятии решений; - поиском путей решения проблем; - проектированием и (или) построением систем для достижения целей и т.д. Состав общей теории систем (как отрасль науки) может быть разделена на две, достаточно условные части (рис):  теоретическую: использующую такие отрасли как теория вероятностей, теория информации, теория игр, теория графов, теория расписаний, теория решений, топология, факторный анализ и др.;  прикладную, основанную на прикладной математической статистике, методах исследовании операций, системотехнике и т. п. Таким образом, ТС широко использует достижения многих отраслей науки и этот “захват” непрерывно расширяется. Современная методология системных исследований В теории систем имеется свое “ядро”, свой особый метод — системный подход к возникающим задачам. Появление этого понятия связано с развитием двух линий в истории науки: анализа и синтеза. Анализ – это разделение целого на части, представление сложного в виде совокупности более простых компонент. Чтобы понять целое, сложное, нужен и обратный процесс – синтез. Синтез – метод исследования, состоящий в познании изучаемого предмета, явления как единого целью, в единстве и взаимосвязи его частей. Системный подход базируется на целостном видении исследуемых объектов с точки зрения целей исследования. В отличие от «бытового» подхода (от простого к сложному, от элемента к системе), при решении задач он исходит из того, что исследование (или решение задачи) начинается с целей исследования, которые на основе анализа объекта исследования редуцируются до задач анализа и формирования моделей элементов (до решения подзадач) с учетом взаимосвязи элементов. При этом организуются два взаимодействующих по принципу обратной связи процесса: 1) декомпозиция исследования (задачи) на этапы (подзадачи); 2) разработка, выполнение этапов (решение подзадач) и интегрирование результатов, полученных на этапах, для достижения цели исследования (решения задачи). Сущность этого метода достаточно проста: все элементы системы и все операции в ней должны рассматриваться только как одно целое, только в совокупности, только во взаимосвязи друг с другом. Рис. Схема системного подхода к решению задач Как расширение системного подхода можно рассматривать синергетический (СгП) и информационный подходы (ИфП). Синергетический подход – метод учета и использования случайного фактора (хаоса) для организации систем и управления ими. Хаос выступает при этом не как дезорганизующий фактор, а как необходимое условие появления более сложной и организованной системы. Развитие и построение сложных самоорганизующихся систем, в том числе систем с искусственным интеллектом, связывается с синергетикой. В качестве примитивного примера СгП может служить решение задачи укладки множества гвоздей разного размера в банку. Обычный, детерминированный, подход сводится к тому, что гвозди надо отсортировать, рассчитать оптимальный способ укладки и произвести укладку. Синергетический подход - надо потрясти банку (внести фактор случайности) и они улягутся (самоорганизуются). Информационный подход– развитие СсП на информационные системные процессы, характерной особенностью которых является отсутствие закона сохранения энергии. Применение СсП к разрешению проблемы гармонии и дисгармонии приводит к принципам функционирования гомеостатических систем. Изучается управление, обеспечивающее существование систем в условиях антагонизма двух и более подсистем. Системный подход может рассматриваться как начальная фаза системного анализа, этап первоначального, качественного анализа проблемы и постановки задач 2. Системный анализ В современном понимании системный анализ – это синтетическая научная дисциплина, разрабатывающая способы исследования разнообразных сложных систем или ситуаций при нечетко поставленных критериях и принятия решений в условиях анализа большого количества информации различной природы. Эта дисциплина, является, прикладной, ориентированной на решение конкретных задач. Способы предполагают учет не только объективной, но и субъективной информации. Поэтому методами СА является как математический аппарат (теория принятия решений, теория игр, теория исследования операций), так и методы неформального анализа: - метод экспертиз; - метод опроса; - эвристические методы. Основные принципы системного анализа: 1. Выявить и четко формализовать основную цель, достигаемую в результате принятия решения; 2. Рассмотреть проблему как целое, как единую систему и выявить все возможные последствия и взаимосвязи каждого частного решения; 3. Выявить и проанализировать возможные альтернативные пути достижения цели; 4. Цели, стоящие перед отдельными частями системы (подсистемы), не должны вступать в конфликт с глобальной целью большой системы. Этапы системного анализа к решению сложных задач включает следующие основные этапы: 1. Формулировка проблемной ситуации; 2. Определение целей; 3. Определение критериев достижения целей; 4. Построение моделей для обоснования решений; 5. Формирование возможного перечня альтернатив и проверка их на модели; 6. Согласование полученных результатов и определение оптимального (допустимого) варианта. Принятие решения; 7. Реализация принятого решения и проверка его эффективности. Центральной проблемой системного анализа является проблема принятия решений и построение моделей. Моделирование как метод системного анализа Одной из проблем, с которой сталкиваются почти всегда при проведении системного анализа, является проблема эксперимента в системе или над системой. Очень редко это разрешено моральными законами или законами безопасности, но сплошь и рядом связано с материальными затратами и (или) значительными потерями информации. Опыт всей человеческой деятельности учит — в таких ситуациях надо экспериментировать не над объектом, интересующим нас предметом или системой, а над их моделями. Под этим термином надо понимать не обязательно модель физическую, т. е. копию объекта в уменьшенном или увеличенном виде. Физическое моделирование очень редко применимо в системах, хоть как то связанных с людьми. В частности в социальных системах (в том числе — экономических) приходится прибегать к математическому моделированию. Математическим моделированием мы овладеваем еще на школьной скамье. В самом деле, пусть требуется найти площадь прямоугольника со сторонами 2 и 8 метров. Измерение сторон произведено приближенно — других измерений расстояний не бывает! Как решить эту задачу? Конечно же — не путем рисования прямоугольника (даже в уменьшенном масштабе) и последующем разбиении его на квадратики с окончательным подсчетом их числа. Да, безусловно, мы знаем формулу S = BH и воспользуемся ею — применим математическую модель процесса определения площади. Возвращаясь к начатому ранее примеру системного анализа обучения, можно заметить, что там собственно нечего вычислять по формулам — где же их взять. Это так и есть, не существует методов расчета в такой сфере как “прием-передача” знаний и сомнительно, чтобы эти методы когда-либо появились. Но ведь не существует формулы пищеварения, а люди все таки едят, планируют процесс питания, управляют им и иногда даже успешно..... Так что же? Если нет математических моделей — не выдумывать же их самому? Ответ на этот вопрос самый простой: всем это уметь и делать — не обязательно, а вот тому, кто взялся решать задачи системного анализа — приходится и очень часто. Иногда здесь возможна подсказка природы, знание технологии системы; в ряде случаев может выручить эксперимент над реальной системой или ее элементами (т. н. методы планирования экспериментов) и, наконец, иногда приходится прибегать к методу “черного ящика”, предполагая некоторую статистическую связь между его входом и выходом. Конечно, возможны ситуации, когда все процессы в большой системе описываются известными законами природы и когда можно надеяться, что запись уравнений этих законов даст нам математическую модель хотя бы отдельных элементов или подсистем. Но и в этих, редких, случаях возникают проблемы не только в плане сложности уравнений, невозможности их аналитического решения (расчета по формулам). Дело в том, что в природе трудно обнаружить примеры “чистого” проявления ее отдельных законов — чаще всего сопутствующие явление факторы “смазывают” теоретическую картину. Еще одно важное обстоятельство приходится учитывать при математическом моделировании. Стремление к простым, элементарным моделям и вызванное этим игнорирование ряда факторов может сделать модель неадекватной реальному объекту, грубо говоря — сделать ее неправдивой. Снова таки, без активного взаимодействия с технологами, специалистами в области законов функционирования систем данного типа, при системном анализе не обойтись. В системах экономических, представляющих для вас основной интерес, приходится прибегать большей частью к математическому моделированию, правда в специфическом виде — с использованием не только количественных, но и качественных, а также логических показателей. • Из хорошо себя зарекомендовавших на практике можно упомянуть модели: межотраслевого баланса; роста; планирования экономики; прогностические; равновесия и ряд других. Завершая вопрос о моделировании при выполнении системного анализа, резонно поставить вопрос о соответствии используемых моделей реальности. Это соответствие или адекватность могут быть очевидными или даже экспериментально проверенными для отдельных элементов системы. Но уже для подсистем, а тем более системы в целом существует возможность серьезной методической ошибки, связанная с объективной невозможность оценить адекватность модели большой системы на логическом уровне. Иными словами — в реальных системах вполне возможно логическое обоснование моделей элементов. Эти модели мы как раз и стремимся строить минимально достаточными, простыми настолько, насколько это возможно без потери сущности процессов. Но логически осмыслить взаимодействие десятков, сотен элементов человек уже не в состоянии. И именно здесь может “сработать” известное в математике следствие из знаменитой теоремы Гёделя — в сложной системе, полностью изолированной от внешнего мира, могут существовать истины, положения, выводы вполне “допустимые” с позиций самой системы, но не имеющие никакого смысла вне этой системы. То есть, можно построить логически безупречную модель реальной системы с использованием моделей элементов и производить анализ такой модели. Выводы этого анализа будут справедливы для каждого элемента, но ведь система — это не простая сумма элементов, и ее свойства не просто сумма свойств элементов. Отсюда следует вывод — без учета внешней среды выводы о поведении системы, полученные на основе моделирования, могут быть вполне обоснованными при взгляде изнутри системы. Но не исключена и ситуация, когда эти выводы не имеют никакого отношения к системе — при взгляде на нее со стороны внешнего мира. Для пояснения вернемся к рассмотренному ранее примеру. В нем почти все элементы были построены на вполне оправданных логических постулатах (допущениях) типа: если студент Иванов получил оценку “знает” по некоторому предмету, и посетил все занятия по этому предмету, и управление его обучением было на уровне “Да” — то вероятность получения им оценки “знает” будет выше, чем при отсутствии хотя бы одного из этих условий. Но как на основании системного анализа такой модели ответить на простейший вопрос; каков вклад (хотя бы по шкале “больше-меньше”) каждой из подсистем в полученные фактические результаты сессии? А если есть числовые описания этих вкладов, то каково доверие к ним? Ведь управляющие воздействия на систему обучения часто можно производить только через семестр или год. Здесь приходит на помощь особый способ моделирования — метод статистических испытаний (Монте Карло). Суть этого метода проста — имитируется достаточно долгая “жизнь” модели, несколько сотен семестров для нашего примера. При этом моделируются и регистрируются случайно меняющиеся внешние (входные) воздействия на систему. Для каждой из ситуации по уравнениям модели просчитываются выходные (системные) показатели. Затем производится обратный расчет — по заданным выходным показателям производится расчет входных. Конечно, никаких совпадений мы не должны ожидать — каждый элемент системы при входе “Да” вовсе не обязательно будет “Да” на выходе. Но существующие современные методы математической статистики позволяют ответить на вопрос — а можно ли и, с каким доверием, использовать данные моделирования. Если эти показатели доверия для нас достаточны, мы можем использовать модель для ответа на поставленные выше вопросы. Общая схема принятия решений Простые целенаправленные и целеустремленные системы могут быть представлены не менее, чем двумя элементами: объектом и управляющим устройством (УУ). На рис. 3.4 изображена простейшая схема системы управления, где в качестве элемента принятия решений выступает УУ. В дальнейшем рассматриваются более сложные системы. Будем различать следующие ситуации: 1) когда цели и методы их достижения не формализованы (Мс и Мт не определены до моделей параметрического уровня определенности), т.е. имеется неопределенность, требующая при принятии решения элементов творчества – это проблема; 2) когда известна цель и возможные методы ее достижения, хотя четкого алгоритма решения может и не быть - это задача. Системный анализ необходим в первую очередь для разрешения проблем. Общая схема принятия решений приведена на рис. 5.1. Рис. 5.1. Общая схема принятия решений Во всех случаях, когда что-то не определено, возникает задача разработки модели принятия решений, включающих элементы, которые устанавливают пути устранения неопределенности. Как правило, это требует пополнения знаний (базы знаний) и в том или ином виде связано с необходимостью проведения экспериментов. Анализ схемы принятия решений позволяет выделить несколько вложенных циклов (контуров обратной связи), которым соответствуют типовые варианты принятия решений, рис. 5.2. Рис. 5.2 Контур I (1-2-3-4-5-1): на старых знаниях (с известными вариантами-альтернативами) с фиксированными целями и критериями производится выбор варианта. Контур II (5-6-8-7-1-2-3-4-5-6): старые знания, известные альтернативы, корректируются цели, критерии, модель принятия решений. Контур III (9-10-2-3-4-5-6-9): старые знания, новые альтернативы (новые пути, варианты), возможно, изменение целей, критериев и т.д. Контур IV (11-9-…..-4-5-11): коренное отличие от предыдущих случаев в том, что используется возможность изменения базы знаний, а с ним и возможное изменение остальных элементов схемы. Принципиальной является также необходимость тесного взаимодействия со средой. Из рассмотрения схемы, представляющей собой иерархически вложенные контуры (цикл в цикле) процедур принятия решений, можно сделать вывод: наиболее мощные средства достижения целей доставляет внешний контур, т.е. контур, использующий возможности изменений баз знаний. Это и определяет роль информации в схемах принятия решений. Основные этапы приятия решений Рассмотрим основные этапы решения проблем методами СА, как их представляют С. Оптнер (идеолог разработки системы американских вооружений), С. Янг (теоретик организации банков), Н.П. Федоренко (специалист по планированию народного хозяйства экономико-математическими методами советского периода) и С.П. Никаноров (специалист в области автоматизированных систем управления (АСУ)) (см. табл. 5.1). Таблица 5.1 Оптнер Янг Федоренко Никаноров 1) идентификация симптомов 2) определение актуальности проблемы 3) определение целей 4) определение структуры системы 5) определение возможностей 6) определение альтернатив 7) оценка альтернатив 8) выработка решений 9) принятие решений 10) запуск процесса решения 11) управление процессом реализации решения 12) оценка реализации и ее последствий 1) определение цели организации 2) выработка проблемы 3) диагноз 4) поиск решения 5) выработка альтернатив 6) согласование решений (координация) 7) утверждение решений 8) подготовка к вводу в действие 9) управление решением 10) проверка эффективности 1) формулирование проблемы 2) определение целей 3) сбор информации 4) разработка альтернатив 5) построение модели 7) оценка затрат 8) испытание чувствительности решения 1) обнаружение проблемы 2) оценка актуальности проблемы 3) анализ ограничений 4) определение критериев 5) анализ системы 6) поиск альтернатив 7) выбор альтернатив 8) принятие решения 9) реализация решения 10) оценка результатов Общими для всех методик являются этапы: 1) постановка проблемы, 2) анализ ограничений, 3) разработка альтернатив, 4) выбор альтернативы, 5) разработка методов реализации, 6) реализация, 7) оценка эффективности. Перечисленные этапы и будем считать элементами методологии СА. Процессы принятия управляющих решений Пусть построена модель системы с соблюдением всех принципов системного подхода, разработаны и “обкатаны” алгоритмы необходимых расчетов, приготовлены варианты управляющих воздействий на систему. Надо понять, что эти воздействия не всегда заключаются в изменениях уровня некоторых входных параметров — это могут быть варианты структурных перестроек системы. Так вот — все это есть. И что же дальше? Пора и управлять, управлять с единой целью — повышения эффективности функционирования системы (однокритериальная задача) или с одновременным достижением нескольких целей (многокритериальная задача). Естественно, мы ставим вопрос: “А что будет, если …?” и ожидаем ответа. Но здесь не следует ожидать чуда, нельзя надеяться на однозначный ответ. Если к примеру, мы интересуемся вопросом — “к чему приведет увеличение на 20% закупок цемента?”, то мы должны не удивляться, получив ответ — “Это приведет к увеличению рентабельности производства кирпича на величину, которая с вероятностью 95% не будет ниже 6% и не будет выше 14%”. И это еще очень содержательный ответ, могут быть и более “расплывчатые”! Здесь уместно в последний раз обратиться к примеру с анализом системы обучения и ответить на возможный вопрос — а как же были использованы выводы системного анализа обучения? Ответ одного из соавторов системного анализа, пишущего эти строки, очень краткий — никак. Можно теперь открыть еще одну (не последнюю) тайну ТССА. Дело в том, что судьбу разработок по управлению большими системами должно решать только ЛПР, и только этот человек (или коллективный орган) решает вопрос дальнейшей судьбы итогов системного анализа. Важно отметить, что это правило никак не связано ни с “важностью” конкретной отрасли промышленности, торговли или образования, ни с политическими обстоятельствами, ни с государственным строем. Все намного проще — мудрость отцов-основателей ТССА проявилась, прежде всего, в том, что неполнота достоверности выводов системного анализа была ими заранее оговорена. Поэтому те, кто ведет системный анализ, не должны претендовать на обязательное использование своих разработок; факты отказа от их использования не есть показатель непригодности этих разработок. С другой стороны, те, кто принимают решения, должны столь же четко понимать, что расплывчатость выводов ТССА есть неизбежность, она может быть обусловлена не промахами анализа, а самой природой или ошибкой постановки задачи, например, попытки управлять такой гигантской системой, как экономика бывшего СССР. Этапы системного анализа В большинстве случаев практического применения системного анализа для исследования свойств и последующего оптимального управления системой можно выделить следующие основные этапы:  Содержательная постановка задачи  Построение модели изучаемой системы  Отыскание решения задачи с помощью модели  Проверка решения с помощью модели  Подстройка решения под внешние условия  Осуществление решения Остановимся вкратце на каждом из этих этапов. Будем выделять наиболее сложные в понимании этапы и пытаться усвоить методы их осуществления на конкретных примерах. Но уже сейчас отметим, что в каждом конкретном случае этапы системного занимают различный “удельный вес” в общем объеме работ по временным, затратным и интеллектуальным показателям. Очень часто трудно провести четкие границы — указать, где оканчивается данный этап и начинается очередной. Содержательная постановка задачи Уже упоминалось, что в постановке задачи системного анализа обязательно участие двух сторон: заказчика (ЛПР) и исполнителя данного системного проекта. При этом участие заказчика не ограничивается финансированием работы - от него требуется (для пользы дела) произвести анализ системы, которой он управляет, сформулированы цели и оговорены возможные варианты действий. Так, — в упомянутом ранее примере системы управления учебным процессом одной из причин тихой кончины ее была та, что одна из подсистем руководство Вузом практически не обладала свободой действий по отношению к подсистеме обучаемых. Конечно же, на этом этапе должны быть установлены и зафиксированы понятия эффективности деятельности системы. При этом в соответствии с принципами системного подхода необходимо учесть максимальное число связей как между элементами системы, так и по отношению к внешней среде. Ясно, что исполнитель-разработчик не всегда может, да и не должен иметь профессиональные знания именно тех процессов, которые имеют место в системе или, по крайней мере, являются главными. С другой стороны совершенно обязательно наличие таких знаний у заказчика — руководителя или администратора системы. Заказчик должен знать что надо сделать, а исполнитель — специалист в области системного анализа — как это сделать. Обращаясь к будущей вашей профессии можно понять, что вам надо научиться и тому и другому. Если вы окажетесь в роли администратора, то к профессиональным знаниям по учету и аудиту весьма уместно иметь знания в области системного анализа — грамотная постановка задачи, с учетом технологии решения на современном уровне будет гарантией успеха. Если же вы окажетесь в другой категории — разработчиков, то вам не обойтись без “технологических" знаний в области учета и аудита. Работа по системному анализу в экономических системах вряд ли окажется эффективной без специальных знаний в области экономики. Разумеется, наш курс затронет только одну сторону — как использовать системный подход в управлении экономикой. Построение модели изучаемой системы в общем случае Модель изучаемой системы в самом лаконичном виде можно представить в виде зависимости E = f(X,Y) {3 - 1} где: E — некоторый количественный показатель эффективности системы в плане достижения цели ее существования T, будем называть его — критерий эффективности. X — управляемые переменные системы — те, на которые мы можем воздействовать или управляющие воздействия; Y — неуправляемые, внешние по отношению к системе воздействия; их иногда называют состояниями природы. Заметим, прежде всего, что возможны ситуации, в которых нет никакой необходимости учитывать состояния природы. Так, например, решается стандартная задача размещения запасов нескольких видов продукции и при этом можем найти E вполне однозначно, если известны значения Xi и, кроме того, некоторая информация о свойствах анализируемой системы. В таком случае принято говорить о принятии управляющих решений или о стратегии управления в условиях определенности. Если же с воздействиями окружающей среды, с состояниями природы мы вынуждены считаться, то приходится управлять системой в условиях неопределенности или, еще хуже — при наличии противодействия. Все эти задачи являются оптимизационными задачами, когда требуется оптимизировать (минимизировать или максимизировать) некоторую функцию (называемую целевой функцией), характеризующую эффективность принимаемого решения, при наличии или отсутствии определенных ограничений. При построении математической модели к оптимизации прибегают для того, чтобы определить такую структуру и такие параметры модели, которые обеспечивали бы наилучшее согласование с реальностью. Традиционной областью применения оптимизации являются процедуры принятия решений, так как большинство из них нацелено именно на то, чтобы сделать "оптимальный" (в смысле - наилучший) выбор. Подобные задачи оптимизации, сформулированные математически, объединены под общим названием - задачи математического программирования. Термин "программирование" предложен потому, что в результате решения оптимизационной задачи вырабатывается программа действий, обеспечивающая оптимальное значение целевой функции. Основная задача математического программирования Математическое программирование - раздел теории оптимизации, занимающийся изучением задач отыскания экстремумов функций при наличии (или отсутствии) ограничений на переменные и разработкой методов решения этих задач. Постановка любой задачи оптимизации начинается с определения набора независимых переменных (x1 , x2, . . . xn) и обычно включает условия, которые характеризуют их допустимые значения. Эти условия называются ограничениями задачи. Еще одной обязательной компонентой описания является так называемая целевая функция, зависящая от указанных переменных и представляющая собой некоторый показатель эффективности системы (показатель боевых возможностей войск, эффективности боевых действий и т.д.). Решение оптимизационной задачи - это набор значений переменных, который удовлетворяет ограничениям задачи и которому соответствует оптимальное (максимальное или минимальное) значение целевой функции. Задачи математического программирования имеют большое разнообразие форм записи: переменные могут быть одноиндексными и многоиндексными; ограничения на переменные могут представлять из себя равенства, неравенства или быть комбинированными; целевая функция может максимизироваться или минимизироваться. Для удобства (а в некоторых случаях для применения соответствующего метода решения задачи) все формы записи могут быть сведены к единой канонической форме, которая носит название основной (общей) задачи математического программирования и имеет вид (1) (2) Коротко задача формулируется так: найти решение системы ограничений (2), обращающее в минимум целевую функцию (1). Множество Q точек X = (x1 , x2, . . . xn), удовлетворяющих системе ограничений (2), образует область допустимых решений (ОДР) задачи. Точка , в которой достигается минимум целевой функции (1), есть оптимальное решение задачи математического программирования. В классическом анализе задачу (1), (2) называют задачей условной минимизации функции многих переменных, а если ограничения (2) отсутствуют, то имеет место задача безусловной минимизации (1) Поскольку каждая из задач математического программирования имеет свои особенности, для сведения ее к общей задаче математического программирования необходимо использовать следующие рекомендации: От многоиндексных переменных всегда можно перейти к одноиндексным, если первые перенумеровать по порядку. Например, От ограничений в виде неравенств всегда можно перейти к равенствам путем введения дополнительных неотрицательных переменных Например, От задачи максимизации целевой функции всегда можно перейти к задаче минимизации либо изменением знака у целевой функции, либо переходом к другой целевой функции, связанной с исходной, но которую надо минимизировать. Например, вместо максимизации МОЖ числа уничтоженных целей можно минимизировать МОЖ числа прорвавшихся целей. Классификация и методы решения задач математического программирования Классификацию задач математического программирования проводят по различным признакам (рис.1). Наиболее существенные различия между задачами связаны с видом целевой функции и ограничений на переменные. Выделим наиболее важные для теории и приложений типы задач. Задача линейного программирования (ЛП) - целевая функция и функции ограничений на переменные являются линейными функциями. Следующая лекция будет посвящена задаче ЛП и методам ее решения. Задача нелинейного программирования (НЛП) - целевая функция (1) и (или) хотя бы одно из ограничений (2) есть нелинейная функция. Наиболее разработанную часть задач НЛП составляет класс задач выпуклого программирования. Задача выпуклого программирования - Область допустимых решений (ОДР) есть выпуклое множество, целевая функция- выпуклая на ОДР. Задачам выпуклого программирования будет посвящена отдельная лекция. Частный случай выпуклого программирования - квадратичное программирование. Рис.1 Классификация задач математического программирования Задача квадратичного программирования - целевая функция является квадратичной функцией переменных, а ограничения линейны или отсутствуют. По характеру переменных различают: задачи стохастического (статистического) программирования - некоторые из переменных являются случайными величинами; задачи детерминированного программирования- все переменные являются неслучайными величинами. По значениям переменных можно выделить: задачи дискретного (целочисленного) программирования - переменные могут принимать отдельные дискретные (целочисленные) значения; задачи непрерывного программирования - переменные могут принимать любые значения. Все методы математического программирования (рис.2) делятся на 2 класса: аналитические и численные методы. К аналитическим методам решения задач математического программирования относятся классический метод отыскания безусловного экстремума функции многих переменных - метод дифференциального исчисления и метод отыскания условного экстремума - метод неопределенных множителей Лагранжа. Достоинство аналитического решения оптимизационной задачи состоит в получении точного решения и возможности анализа влияния различных переменных на экстремум целевой функции. Однако, даже в тех случаях, когда условия применимости метода Лангранжа выполняются, аналитическое решение часто не может быть получено по чисто техническим трудностям, например, из-за неразрешимости системы уравнений выполнения необходимых условий экстремума. Возможности применения аналитических методов, разработанных в свое время в классическом математическом анализе, к задачам математического программирования крайне ограничены по разным причинам. Отсюда особое значение численных методов оптимизации, разработкой которых занимается современная теория оптимизации, т.е. создание эффективных вычислительных процедур поиска приближенного решения задачи. При решении практических задач во многих случаях численные методы оказываются единственно приемлемы­ми и обеспечивают требуемую точность и скорость решения задачи. Численные методы оптимизации крайне разнообразны, они приспособлены к конкретным классам задач и учитывают и характер целевой функции и характер ограничений. Рассмотрим кратко некоторые из наиболее распространенных методов. Для решения задач линейного программирования существует универсальный симплекс-метод, а для решения так называемых транспортных задач - венгерский метод. Подробно эти методы будут рассмотрены на последующих лекциях. Значительно более распространенными являются задачи нелинейного программирования, для решения которых разработаны соответствующие методы. Все численные методы базируются на общей идее поискового приближения к экстремуму целевой функции. Различие методов состоит в способах выбора направления очередного шага при движении к экстремуму. В градиентных методах каждый очередной шаг осуществляется в направлении градиента при максимизации (или в противоположном - при минимизации) целевой функции. Очевидно, что при движении в направлении градиента (или обратном) обеспечивается наискорейший поиск экстремума, т.е. минимальное число шагов. Эти методы также называют методами наискорейшего подъема или спуска. В методах покоординатного подъема или спуска каждый очередной шаг в сторону экстремума делается только по одной из переменных, т.е. по одной координате. Если при этом выбирается та координата, которая обеспечивает наиболее быстрое изменение целевой функции при очередном шаге, то приходят к методу максимального элемента. Очевидно, что эти методы менее эффективны, чем градиентные методы, но зато проще в реализации. В методе случайного поиска выбор направления движения осуществляется случайным образом. После каждого шага проверяется влияние очередного шага на значение целевой функции. Если очередной шаг сделан в сторону экстремума, то переходят к следующему шагу. В противном случае пробный шаг отменяется и осуществляется новый шаг в другом, например, противоположном направлении. Метод случайного поиска наиболее прост в реализации, т.к. не требуется вычисления производных целевой функции, а оперирует только ее значениями. Метод динамического программирования будет подробно рассмотрен на одной из последующих лекций. В зависимости от порядка производных целевой функции, которые используются при поиске экстремума в том или другом методе программирования, все методы делятся на три группы: - Методы нулевого порядка, в которых используются только значения целевой функции. К этой группе методов относится метод случайного поиска. - Методы первого порядка, в которых используются производные первого порядка целевой функции. Например, градиентный метод или метод покоординатного спуска являются методами первого порядка. - Методы второго порядка, в которых для поиска и установления экстремума целевой функции используются ее производные до второго порядка включительно. К методам второго порядка относятся аналитические методы. Моделирование в условиях определенности Классическим примером простейшей задачи системного анализа в условиях определенности может служить задача производства и поставок товара. Пусть некоторая фирма должна производить и поставлять продукцию клиентам равномерными партиями в количестве N =24000 единиц в год. Срыв поставок недопустим, так как штраф за это можно считать бесконечно большим. Запускать в производство приходится сразу всю партию, таковы условия технологии. Стоимость хранения единицы продукции Cx=10 у.е. в месяц, а стоимость запуска одной партии в производство (независимо от ее объема) составляет Cp =400 у.е. Таким образом, запускать в год много партий явно невыгодно, но невыгодно и выпустить всего 2 партии в год — слишком велики затраты на хранение! Где же “золотая середина”, сколько партий в год лучше всего выпускать? Будем строить модель такой системы. Обозначим через n размер партии и найдем количество партий за год — p = N / n 24000 / n. Получается, что интервал времени между партиями составляет t = 12 / p (месяцев), а средний запас изделий на складе — n/2 штук. Сколько же нам будет стоить выпуск партии в n штук за один раз? Сосчитать нетрудно — 0.1  12  n / 2 у.е. на складские расходы в год и 400p у.е. за запуск партий по n штук изделий в каждой. В общем виде годовые затраты составляют E = Tn / 2 + N / n {3 - 2} где T = 12 — полное время наблюдения в месяцах. Перед нами типичная вариационная задача: найти такое n0, при котором сумма E достигает минимума. Решение этой задачи найти совсем просто — надо взять производную по n и приравнять эту производную нулю. Это дает n0 = , {3 - 3} что для нашего примера составляет 4000 единиц в одной партии и соответствует интервалу выпуска партий величиной в 2 месяца. Затраты при этом минимальны и определяются как E0 = , {3 - 4} что для нашего примера составляет 4800 у.е в год. Сопоставим эту сумму с затратами при выпуске 2000 изделий в партии или выпуске партии один раз в месяц (в духе недобрых традиций социалистического планового хозяйства): E1 = 0.1122000/2 + 40024000/ 2000 = 6000 у.е. в год. Комментарии, как говорится, — излишни! Конечно, так просто решать задачи выработки оптимальных стратегий удается далеко не всегда, даже если речь идет о детерминированных данных для описания жизни системы — ее модели. Существует целый класс задач системного анализа и соответствующих им моделей систем, где речь идет о необходимости минимизировать одну функции многих переменных следующего типа: E = a1X1 + a2X2 + ..... anXn {3 - 5} где Xi — искомые переменные, ai — соответствующие им коэффициенты или “веса переменных” и при этом имеют место ограничения как на переменные, так и на их веса. Задачи такого класса достаточно хорошо исследованы в специальном разделе прикладной математики — линейном программировании. Еще в докомпьютерные времена были разработаны алгоритмы поиска экстремумов таких функций E = f(a,X), которые так и назвали — целевыми. Эти алгоритмы или приемы используются и сейчас — служат основой для разработки прикладных компьютерных программ системного анализа. Системный подход к решению практических задач управления экономикой, особенно для задач со многими десятками сотен или даже тысячами переменных привел к появлению специализированных, типовых направлений как в области теории анализа, так и в практике. Наиболее “старыми” и, следовательно, наиболее обкатанными являются методы решения специфичных задач, которые давно уже можно называть классическими. Специалистам в области ПИЭ надо знать эти задачи хотя бы на уровне постановки и, главное, в плане моделирования соответствующих систем.  Задачи управления запасами Первые задачи управления запасами были рассмотрены еще в 1915 году — задолго не только до появления компьютеров, но и до употребления термина “кибернетика”. Был обоснован метод решения простейшей задачи — минимизация затрат на заказ и хранение запасов при заданном спросе на данную продукцию и фиксированном уровне цен. Решение — размер оптимальной партии обеспечивало наименьшие суммарные затраты за заданный период времени. Несколько позже были построены алгоритмы решения задачи управления запасами при более сложных условиях — изменении уровня цен (наличие “скидок за качество” и / или “скидок за количество”); необходимости учета линейных ограничений на складские мощности и т. п.  Задачи распределения ресурсов В этих задачах объектом анализа являются системы, в которых приходится выполнять несколько операций с продукцией (при наличии нескольких способов выполнения этих операций) и, кроме того, не хватает ресурсов или оборудования для выполнения всех этих операций. Цель системного анализа — найти способ наиболее эффективного выполнения операций с учетом ограничений на ресурсы. Объединяет все такие задачи метод их решения — метод математического программирования, в частности, — линейного программирования. В самом общем виде задача линейного программирования формулируется так: требуется обеспечить минимум выражения (целевой функции) Z(X) = C1X1 + C2X2 + ......+ CiXi + ... CnXn {3 - 6} при следующих условиях: все Xi положительны и, кроме того, на все Xi налагаются m ограничений (m < n) A11X1 + A12X2 + ......+ AijXj + ... A1nXn = B1; ..................................................................................... Ai1X1 + Ai2X2 + ......+ AijXj + ... AinXn = Bi; {3 - 7} ..................................................................................... Am1X1 + Am2X2 + .....+ AmjXj+ ... AmnXn = Bm . Начала теоретического обоснования и разработки практических методов решения задач линейного программирования были положены Д.Данцигом (по другой версии — Л.В.Канторовичем). . Пример постановки задачи оптимизации Для изготовления 3-х видов изделий А, В и С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия приведены в таблице. Тип оборудования Затраты времени (станко-ч.) на обработку одного изделия вида Общий фонд рабочего времени А В С Фрезерное 2 4 5 120 Токарное 1 8 6 280 Сварочное 7 4 5 240 Шлифовальное 4 6 7 360 Прибыль 10 14 12 Определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи. Решение. Пусть будет изготовлено Х1 единиц изделия А Х2 единиц изделия В Х3 единиц изделия С. Тогда при использовании фрезерного оборудования потребуется затратить 2Х1 + 4Х2 + 5Х3 станко-часов. Но по условию ограничения общего фонда времени 2Х1 + 4Х2 + 5Х3  120. Аналогично для токарного, сварочного и шлифовального оборудования: Х1 + 8Х2 + 6Х3  280 7Х1 + 4Х2 + 5Х3  240 4Х1 + 6Х2 + 7Х3  360 При этом, т.к. количество изготовляемых деталей не может быть отрицательным, то Х1  0, Х2  0, Х3  0. Далее, если будет изготовлено Х1 изделий А, Х2 изделий В и Х3 изделий С, то прибыль от их реализации составит F = 10Х1 + 14Х2 + 12Х3 Итак, мы получаем систему четырех линейных неравенств с тремя неизвестными (Xj (j = 1…3): 2Х1 + 4Х2 + 5Х3  120 Х1 + 8Х2 + 6Х3  280 7Х1 + 6Х2 + 7Х3  360 Х1  0, Х2  0, Х3  0. и линейную функцию F = 10Х1 + 14Х2 + 12Х3 относительно этих же переменных. Требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств найти такое, при котором целевая функция F принимает максимальное значение. Для большинства конкретных приложений универсальным считается т. н. симплекс-метод поиска цели, для него и смежных методов разработаны специальные пакеты прикладных программ (ППП) для компьютеров. Наличие нескольких целей — многокритериальность системы Весьма часто этап содержательной постановки задачи системного анализа приводит нас к выводу о наличии нескольких целей функционирования системы. В самом деле, если некоторая экономическая система может иметь “главную цель” — достижение максимальной прибыли, то почти всегда можно наблюдать ситуацию наличия ограничений или условий. Нарушение этих условий либо невозможно (тогда не будет самой системы), либо заведомо приводит к недопустимым последствиям для внешней cреды. Короче говоря, ситуация, когда цель всего одна и достичь ее требуется любой ценой, практически невероятна. Пусть имеется самая простая ситуация многокритериальности — существуют только две цели системы T1 и T2 и только две возможных стратегии S1, S2 . Пусть мы как-то оценили эффективность E11 стратегии S1 по отношению к T1 и эффективность эта оказалась равной 0.4 (по некоторой шкале 0..1). Проделав такую же оценку для всех стратегий и всех целей, мы получили табличку (матрицу эффективностей): Таблица 3.1 E T1 T2 S1 0.4 0.6 S2 0.7 0.3 Какую же из стратегий считать наилучшей? Пока мы не оговорим значимость каждой из целей, не укажем их веса, — спорить бесполезно! Вот если бы нам было известно, что первая цель, к примеру, в 3 раза важнее второй, то тогда можно учесть их относительные веса — скажем величинами 0.75 для первой и 0.25 для второй. При таких условиях суммарные эффективности стратегий (по отношению ко всем целям) составят: для первой E1 = 0.4  0.70 + 0.6  0.30 = 0.28 + 0.18 = 0.46; для второй E2 = 0.8  0.70 + 0.2  0.25 = 0.56 + 0.05 = 0.61; так что ответ на вопрос о выборе стратегии далеко не очевиден. Итак, критерий эффективности системы при наличии нескольких целей приходится выражать через эффективности отдельных стратегий виде: Es =  St  Ut {3 - 8} т. е. учитывать веса отдельных целей Ut. Если вы внимательно следили за рассуждениями при рассмотрении примера {3-2}, то сейчас можете сообразить, что по сути дела там речь шла о двух целях. С одной стороны, мы хотели бы иметь как можно меньшие партии — их дешевле хранить (мал срок хранения). с другой стороны, нам были желательны большие партии, поскольку при этом меньше затраты на запуск партий в производство. Если бы мы перебирали все 365 возможных стратегий (от смены партии каждый день до одной в год), то, конечно же, нашли бы оптимальную стратегию со сменой партий каждые два месяца. Другое дело, что в нашем распоряжении была аналитическая модель системы (формула суммарных затрат). Так вот — весовые коэффициенты целей в той модели были равными и мы их могли не замечать при поиске минимума затрат. Ну, а что делать, если “важность” целей приходится измерять не по шкале Int или Rel, т. е. в числовом виде, а по шкале Ord? Иными словами — откуда берутся весовые коэффициенты целей? Очень редко весовые коэффициенты определяются однозначно по “физическому смыслу” задачи системного анализа. Чаще же всего их отыскание можно называть “назначением”, “придумыванием”, “предсказанием” — т. е. никак не "научными" действиями. Иногда, как ни странно это звучит, весовые коэффициенты назначаются путем голосования — явного или тайного. Дело в том, что в ситуациях, когда нет числового метода оценки веса цели, реальным выходом из положения является использование накопленного опыта. Нередко задает весовые коэффициенты непосредственно ЛПР, но чаще его опыт управления подсказывает: одна голова — хорошо, а много умных голов — куда лучше. Принимается особое решение — использовать метод экспертных оценок. Суть этого метода достаточно проста. Требуется четко оговорить все цели функционирования системы и предложить группе лиц, высоко компетентных в данной отрасли (экспертов) хотя бы расположить все цели по значимости, по “призовым местам” или, на языке ТССА, по рангам. Высший ранг (обычно 1) означает наибольшую важность (вес) цели, следующий за ним — несколько меньший вес и т. д. Специальный раздел непараметрической статистики — теория ранговой корреляции, позволяет проверить гипотезы о значимости полученной от экспертов информации. Развитие ранговой корреляции, ее другой раздел, позволяет устанавливать согласие, согласованность мнений экспертов или ранговую конкордацию. Это особо важно в случаях, когда не только возникла нужда использовать мнения экспертов, но и существует сомнение в их компетентности. Экспертные оценки, ранговая корреляция и конкордация Пусть в процессе системного анализа нам пришлось учитывать некоторую величину U, измерение которой возможно лишь по порядковой шкале (Ord). Например, нам приходится учитывать 10 целей функционирования системы и требуется выяснить их относительную значимость, удельные веса. Если имеется группа лиц, компетентность которых в данной области не вызывает сомнений, то можно опросить каждого из экспертов, предложив им расположить цели по важности или “проранжировать” их. В простейшем случае можно не разрешать повторять ранги, хотя это не обязательно — повторение рангов всегда можно учесть. Результаты экспертной оценки в нашем примере представим таблицей рангов целей: Таблица 3.2 Эксперты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Сумма A 3 5 1 8 7 10 9 2 4 6 55 B 5 1 2 6 8 9 10 3 4 7 55 Сумма рангов 8 6 3 14 15 19 19 5 8 13 Суммарный ранг 4.5 3 1 7 8 9.5 9.5 2 4.5 6 55 Итак, для каждой из целей Ti мы можем найти сумму рангов, определенных экспертами, и затем суммарный или результирующий ранг цели Ri. Если суммы рангов совпадают — назначается среднее значение. Метод ранговой корреляции позволяет ответить на вопрос — насколько коррелированны, неслучайны ранжировки каждого из двух экспертов, а значит — насколько можно доверять результирующим рангам? Как обычно, выдвигается основная гипотеза — об отсутствии связи между ранжировками и устанавливается вероятность справедливости этой гипотезы. Для этого можно использовать два подхода: определение коэффициентов ранговой корреляции Спирмэна или Кендэлла. Более простым в реализации является первый — вычисляется значение коэффициента Спирмэна Rs = 1 - ; {3 - 9} где di определяются разностями рангов первой и второй ранжировок по n объектов в каждой. В нашем примере сумма квадратов разностей рангов составляет 30, а коэффициент корреляции Спирмэна около 0.8, что дает значение вероятности гипотезы о полной независимости двух ранжировок всего лишь 0.004. При небходимости можно воспользоваться услугами группы из m экспертов, установить результирующие ранги целей, но тогда возникнет вопрос о согласованности мнений этих экспертов или конкордации. Пусть у нас имеются ранжировки 4 экспертов по отношению к 6 факторам, которые определяют эффективность некоторой системы. Таблица 3.3 Факторы --> Эксперты 1 2 3 4 5 6 Сумма A 5 4 1 6 3 2 21 B 2 3 1 5 6 4 21 C 4 1 6 3 2 5 21 D 4 3 2 3 2 5 21 Сумма рангов Сум. ранг 15 4 11 2 10 1 19 6 12 3 17 5 84 Отклонение суммы от среднего +1 1 -3 9 -4 16 +5 25 -2 4 +3 9 64 Заметим, что полная сумма рангов составляет 84, что дает в среднем по 14 на фактор. Для общего случая n факторов и m экспертов среднее значение суммы рангов для любого фактора определится выражением  {3 - 10} Теперь можно оценить степень согласованности мнений экспертов по отношению к шести факторам. Для каждого из факторов наблюдается отклонение суммы рангов, указанных экспертами, от среднего значения такой суммы. Поскольку сумма этих отклонений всегда равна нулю, для их усреднения разумно использовать квадраты значений. В нашем случае сумма таких квадратов составит S= 64, а в общем случае эта сумма будет наибольшей только при полном совпадении мнений всех экспертов по отношению ко всем факторам: Smax {3 - 11} М. Кэндэллом предложен показатель согласованности или коэффициент конкордации, определяемый как {3 - 12} В нашем примере значение коэффициента конкордации составляет около 0.229, что при четырех экспертах и шести факторах достаточно, чтобы с вероятностью не более 0.05 считать мнения экспертов несогласованными. Дело в том, что как раз случайность ранжировок, их некоррелированность просчитывается достаточно просто. Так для нашего примера указанная вероятность соответствует сумме квадратов отклонений S= 143.3 , что намного больше 64. В заключение вопроса об особенностях метода экспертных оценок в системном анализе отметим еще два обстоятельства. В первом примере мы получили результирующие ранги 10 целей функционирования некоторой системы. Как воспользоваться этой результируюзей ранжировкой? Как перейти от ранговой (Ord) шкалы целей к шкале весовых коэффициентов — в диапазоне от 0 до 1? Здесь обычно используются элементарные приемы нормирования. Если цель 3 имеет ранг 1, цель 8 имеет ранг 2 и т. д., а сумма рангов составляет 55, то весовой коэффициент для цели 3 будет наибольшим и сумма весов всех 10 целей составит 1. Вес цели придется определять как (11-1) / 55 для 3 цели; (11-2) / 55 для 8 цели и т. д. При использовании групповой экспертной оценки можно не только выяснять мнение экспертов о показателях, необходимых для системного анализа. Очень часто в подобных ситуациях используют так называемый метод Дельфы (от легенды о дельфийском оракуле). Опрос экспертов проводят в несколько этапов, как правило — анонимно. После очередного этапа от эксперта требуется не просто ранжировка, но и ее обоснование. Эти обоснования сообщаются всем экспертам перед очередным этапом без указания авторов обоснований. Имеющийся опыт свидетельствует о возможностях существенно повысить представительность, обоснованность и, главное, достоверность суждений экспертов. В качестве “побочного эффекта” можно составить мнение о профессиональности каждого эксперта. Моделирование системы в условиях неопределенности Как уже отмечалось в первой части нашего курса, в большинстве реальных больших систем не обойтись без учета “состояний природы” — воздействий стохастического типа, случайных величин или случайных событий. Это могут быть не только внешние воздействия на систему в целом или на отдельные ее элементы. Очень часто и внутренние системные связи имеют такую же, “случайную” природу. Важно понять, что стохастичность связей между элементами системы и уж тем более внутри самого элемента (связь “вход-выход”) является основной причиной риска выполнить вместо системного анализа совершенно бессмысленную работу, получить в качестве рекомендаций по управлению системой заведомо непригодные решения. Выше уже оговаривалось, что в таких случаях вместо самой случайной величины X приходится использовать ее математическое ожи-дание Mx. Все вроде бы просто — не знаем, так ожидаем. Но насколько оправданы наши ожидания? Какова уверенность или какова вероятность ошибиться? Такие вопросы решаются, ответы на них получить можно — но для этого надо иметь информацию о законе распределения СВ. Вот и приходится на данном этапе системного анализа (этапе моделирования) заниматься статистического исследованиями, пытаться получить ответы на вопросы:  А не является ли данный элемент системы и производимые им операции “классическими”?  Нет ли оснований использовать теорию для определения типа распределения СВ (продукции, денег или информационных сообщений)? Если это так — можно надеяться на оценки ошибок при принятии решений, если же это не так, то приходится ставить вопрос иначе.  А нельзя ли получить искомое распределение интересующей нас СВ из данных эксперимента? Если этот эксперимент обойдется дорого или физически невозможен, или недопустим по моральным причинам, то может быть “для рагу из зайца использовать хотя бы кошку” — воспользоваться апостериорными данными, опытом прошлого или предсказаниями на будущее, экспертными оценками? Если и здесь нет оснований принимать положительное решение, то можно надеяться еще на один выход из положения. Не всегда, но все же возможно использовать текущее состояние уже действующей большой системы, ее реальную “жизнь” для получения глобальных показателей функционирования системы. Этой цели служат методы планирования эксперимента, теоретической и методологической основой которых является особая область системного анализа — т. н. факторный анализ, сущность которого будет освещена несколько позже. Моделирование систем массового обслуживания Достаточно часто при анализе экономических систем приходится решать т. н. задачи массового обслуживания, возникающие в следующей ситуации. Пусть анализируется система технического обслужи-вания автомобилей, состоящая из некоторого количества станций различной мощности. На каждой из станций (элементе системы) могут возникать, по крайней мере, две типичных ситуации:  число заявок слишком велико для данной мощности станции, возникают очереди и за задержки в обслуживании приходится платить;  на станцию поступает слишком мало заявок и теперь уже приходится учитывать потери, вызванные простоем станции. Ясно, что цель системного анализа в данном случае заключается в определении некоторого соотношения между потерями доходов по причине очередей и потерями по причине простоя станций. Такого соотношения, при котором математическое ожидание суммарных потерь окажется минимальным. Так вот, специальный раздел теории систем — теория массового обслуживания, позволяет  использовать методику определения средней длины очереди и среднего времени ожидания заказа в тех случаях, когда скорость поступления заказов и время их выполнения заданы;  найти оптимальное соотношение между издержками по причине ожидания в очереди и издержками простоя станций обслуживания;  установить оптимальные стратегии обслуживания. Обратим внимание на главную особенность такого подхода к задаче системного анализа — явную зависимость результатов анализа и получаемых рекомендаций от двух внешних факторов: частоты поступления и сложности заказов (а значит — времени их исполнения). Но это уже связи нашей системы с внешним миром и без учета этого факта нам не обойтись. Потребуется провести исследования потоков заявок по их численности и сложности, найти статистические показатели этих величин, выдвинуть и оценить достоверность гипотез о законах их распределения. Лишь после этого можно пытаться анализировать — а как будет вести себя система при таких внешних воздействиях, как будут меняться ее показатели (значение суммарных издержек) при разных управляющих воздействиях или стратегиях управления. Очень редко при этом используется сама система, производится натуральный эксперимент над ней. Чаще всего такой эксперимент связан с риском потерь заказчиков или неоправданными затратами на создание дополнительных станций обслуживания. Поэтому следует знать о таком особом подходе к вопросу моделирования систем как метод статистических испытаний или метод Монте Карло. Вернемся к примеру с анализом работы станций обслуживания. Пусть у нас всего лишь одна такая станция и заранее известны:  — средняя скорость поступления заказов и  — средняя скорость выполнения заказов (штук в единицу времени), и таким образом задана величина  =  /  — интенсивность нагрузки станции. Уже по этим данным оказывается возможным построить простейшую модель системы. Будем обозначать X число заказов, находящихся в очереди на обслуживании в единицу времени, и попытаемся построить схему случайных событий для определения вероятности P(X). Событие — в очереди находятся точно X заказов может наблюдаться в одной из четырех ситуаций.  В очереди было X заказов (A1), за это время не поступило ни одного нового заказа (A2) и за это же время не был выполнен ни один заказ из находящихся в работе (A3).  В очереди было X - 1 заказов (B1), за это время поступил один новый заказ (B2) и за это же время не был выполнен ни один заказ из находящихся в работе (B3).  В очереди было X + 1 заказов (C1), за это время не поступило ни одного нового заказа (C2) и за это же время был выполнен один заказ из находящихся в работе (C3).  В очереди было X заказов (D1), за это время поступил один новый заказа (D2) и за это же время был выполнен один заказ из находящихся в работе (D3). Такая схема событий предполагает особое свойство "технологии" нашей системы — вероятность поступления более одного заказа за рассматриваемую единицу времени и вероятность выполнения более одного заказа за то же время считаются равными 0. Это не такое уж "вольное" допущение — длительность отрезка времени всегда можно уменьшить до необходимых пределов. А далее все очень просто. Перемножая вероятности событий A1..3, B1..3, C1..3, D1..3, мы определим вероятности каждого из вариантов интересующего нас события — в течение заданного нами интервала времени длина очереди не поменялась. Несложные преобразования суммы вероятностей всех четырех вариантов такого события приведут нас к выражению для вероятности длины очереди в X заказов: P(X) = x  (1-), {3-13} а также для математического ожидания длины очереди: MX =  / (1-). {3-14} Оценить полезность такого моделирования позволят простые примеры. Пусть мы решили иметь всего лишь 50%-ю интенсивность нагрузки станции, то есть вдвое "завысили" ее пропускную способность по отношению к потоку заказов. Тогда для  = 0.5 имеем следующие данные: Таблица 3.4 Очередь 1 2 3 4 и более Вероятность 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 Обобщим полученные результаты:  вероятность отсутствия очереди оказалась точно такой же, как и ее наличия;  очередь в 4 и более заказа практически невероятна;  математическое ожидание очереди составляет ровно 1 заказ. Наше право (если мы и есть ЛПР!) — принять такую интенсивность или отказаться от нее, но все же у нас есть определенные показатели последствий такого решения. Полезно проанализировать ситуации с другими значениями интенсивности нагрузки станции. Таблица 3.5  1 / 2 3 / 4 7 / 8 15 / 16 Mx 1 3 7 15 Обратим теперь внимание еще на одно обстоятельство — мы полагали известной информацию только о средней скорости (ее математического ожидания) выполнения заказов. Иными словами, мы считали время выполнения очередного заказа независящим ни от его "содержания" (помыть автомобиль или ликвидировать следствия аварии), ни от числа заказов, "стоящих в очереди". В реальной жизни это далеко не всегда так и хотелось бы хоть как-то учесть такую зависимость. И здесь теория приходит на помощь (тому, кто понимает ее возможности). Если нам представляется возможность установить не только само  (среднюю или ожидаемую скорость обработки заказа), но и разброс этой величины D (дисперсию), то можно будет оценить среднее число заказов в очереди более надежно (именно так — не точнее, а надежнее!): Mx = 0.5  . {3 - 15} Моделирование в условиях противодействия, игровые модели Как уже неоднократно отмечалось, системный анализ невозможен без учета взаимодействий данной системы с внешней средой. Ранее упоминалась необходимость учитывать состояния природы — большей частью случайных, стохастических воздействий на систему. Конечно, природа не мешает (но и не помогает) процессам системы осознанно, злонамеренно или, наоборот, поощряюще. Поэтому учет внешних природных воздействий можно рассматривать как "игру с природой", но в этой игре природа — не противник, не оппонент, у нее нет цели существования вообще, а тем более — цели противодействия нашей системе. Совершенно иначе обстоит дело при учете взаимодействий данной системы с другими, аналогичными или близкими по целям своего функционирования. Как известно, такое взаимодействие называют конкуренцией и ситуации жизни больших систем-монополистов крайне редки, да и не вызывают особого интереса с позиций теории систем и системного анализа. Особый раздел науки — теория игр позволяет хотя бы частично разрешать затруднения, возникающие при системном анализе в условиях противодействия. Интересно отметить, что одна из первых монографий по этим вопросам называлась "Теория игр и экономического поведения" (авторы — Нейман и Моргенштерн, 1953 г., имеется перевод) и послужила своеобразным катализатором развития методов линейного программирования и теории статистических решений. В качестве простого примера использования методов теории игр в экономике рассмотрим следующую задачу. Пусть вы имеете всего три варианта стратегий в условиях конкуренции S1,S2 и S3 (например — выпускать в течение месяца один из 3 видов продукции). При этом ваш конкурент имеет всего два варианта стратегий C1 и C2 (выпускать один из 2 видов своей продукции, в каком то смысле заменяющей продукцию вашей фирмы). При этом менять вид продукции в течение месяца невозможно ни вам, ни вашему конкуренту. Пусть и вам, и вашему конкуренту достоверно известны последствия каждого из собственных вариантов поведения, описываемые следующей таблицей. Таблица 3.6 C1 C2 S1 -2000 + 2000 S2 -1000 +3000 S3 +1000 +2000 Цифры в таблице означают следующее:  вы несете убытки в 2000 у.е., а конкурент имеет ту же сумму прибыли, если вы приняли стратегию S1, а конкурент применил C1;  вы имеете прибыль в 2000 у.е., а конкурент теряет ту же сумму, если вы приняли S1 против C2;  вы несете убытки в сумме 1000 у.е., а конкурент получает такую прибыль, если ваш вариант S2 оказался против его варианта C1 , и так далее. Предполагается, что обе стороны имеют профессиональную подготовку в области ТССА и действуют разумно, соблюдая правила — вариант поведения принимают один раз на весь месяц, не зная, конечно, что предпринял на этот же месяц конкурент. По сути дела, в чисто житейском смысле — это обычная "азартная" игра, в которой существует конечный результат, цель игры — выигрыш. Этой цели добивается каждый игрок, но не каждый может ее добиться. Варианты поведения игроков можно считать ходами, а множество ходов — рассматривать как партию. Пусть партия состоит всего лишь из одного хода с каждой стороны. Попробуем найти этот наилучший ход сначала для вашего конкурента — порассуждаем за него. Так как таблица известна как вам, так и конкуренту, то его рассуждения можно промоделировать. Вашему конкуренту вариант C2 явно невыгоден — при любом вашем ходе вы будете в выигрыше, а конкурент в проигрыше. Следовательно, со стороны вашего противника будет, скорее всего, принят вариант C1, доставляющий ему минимум потерь. Теперь можно порассуждать за себя. Вроде бы вариант S2 принесет нам максимальный выигрыш в 3000 у.е., но это при условии выбора C2 вашим конкурентом, а он, скорее всего, выберет C1. Значит наилучшее, что мы можем предпринять — выбрать вариант S3, рассчитывая на наименьший из возможных выигрышей — в 1000 у.е.. Ознакомимся с рядом общепринятых терминов теории игр:  поскольку в таблице игры наш возможный выигрыш всегда равен проигрышу конкурента и наоборот, то эту специфику отображают обычно в названии — игра с нулевой суммой;  варианты поведения игроков-конкурентов называют чистыми стратегиями игры, учитывая независимость их от поведения конкурента;  наилучшие стратегии для каждого из игроков называют решением игры;  результат игры, на который рассчитывают оба игрока (1000 у.е. прибыли для вас или столько же в виде проигрыша для конкурента) называют ценой игры; она в игре с нулевой суммой однакова для обеих сторон;  таблицу выигрышей (проигрышей) называют матрицей игры, в данном случае — прямоугольной. Рассмотренный выше ход рассуждений по поиску наилучшего плана игры в условиях конкуренции — не единственный способ решения задач. Очень часто намного короче и, главное, более логически стройным оказывается другой принцип поиска оптимальных игровых стратегий — принцип минимакса. Для иллюстрации этого метода рассмотрим предыдущий пример игры с несколько видоизмененной матрицей. Таблица 3.7 C1 C2 S1 -2000 - 4000 S2 -1000 +3000 S3 +1000 +2000 Повторим метод рассуждений, использованный для предыдущего примера.  Мы никогда не выберем стратегию S1, поскольку она при любом ответе конкурента принесет нам значительные убытки.  Из двух оставшихся разумнее выбрать S3, так как при любом ответе конкурента мы получим прибыль.  Выбираем в качестве оптимальной стратегии S3. Рассуждения нашего конкурента окажутся примерно такими же по смыслу. Понимая, что мы никогда не примем S1 и выберем, в конце концов, S3, он примет решение считать оптимальной для себя стратегию C1 — в этом случае он будет иметь наименьшие убытки. Можно применить и иной метод рассуждений, дающий, в конце концов, тот же результат. При выборе наилучшего плана игры для нас можно рассуждать так:  при стратегии S1 минимальный (min) "выигрыш" составит - 4000 у.е.;  при стратегии S2 минимальный (min) "выигрыш" составит - 1000 у.е.;  при стратегии S3 минимальный (min) выигрыш составит + 1000 у.е.. Выходит, что наибольший (max) из наименьших (min) выигрышей — это 1000 у.е. и сам бог велел полагать стратегию S3 оптимальной, с надеждой на ответный ход конкурента его стратегией C1. Такую стратегию и называют стратегией MaxiMin. Если теперь попробовать смоделировать поведение конкурента, то для него:  при стратегии C1 максимальный (max) проигрыш составит 1000 у.е.;  при стратегии C2 максимальный (max) проигрыш составит 2000 у.е.. Значит, наш конкурент, если он будет рассуждать здраво, выберет стратегию C1, поскольку именно она обеспечивает наименьший (min) из наибольших (max) проигрышей. Такую стратегию и называют стратегией MiniMax. Легко заметить, что это одно и то же — вы делаете ход S3 в расчете на ответ C1, а ваш конкурент — ход C1 в расчете на S3. Поэтому такие стратегии называют минимаксными — мы надеемся на минимум максимальных убытков или, что одно и то же, на максимум минимальной прибыли. В двух рассмотренных примерах оптимальные стратегии "противников" совпадали, принято говорить — они соответствовали седловой точке матрицы игры. Метод минимакса отличается от стандартного пути логических рассуждений таким важным показателем как алгоритмичность. В самом деле, можно доказать, что если седловая точка существует, то она находится на пересечении некоторой строки S и некоторого столбца C. Если число в этой точке самое большое для данной строки и, одновременно, самое малое в данном столбце, то это и есть седловая точка. Конечно, далеко не все игры обладают седловой точкой, но если она есть, то поиск ее при числе строк и столбцов в несколько десятков (а то и сотен) по стандартному логическому плану — дело практически безнадежное без использования компьютерных технологий. Но, даже при использовании компьютера, писать программу для реализации всех возможных If ... Then придется на специальных языках программирования (например — язык Prolog). Эти языки велико-лепны для решения логических задач, но практически непригодны для обычных вычислений. Если же использовать метод минимакса, то весь алгоритм поиска седловой точки займет на языке Pascal или C++ не более 5...10 строк программы. Рассмотрим еще один простой пример игры, но уже без седловой точки. Таблица 3.8 C1 C2 S1 -3000 +7000 S2 +6000 +1000 Задача в этом случае для нас (и для нашего разумного конкурента) будет заключаться в смене стратегий, в надежде найти такую их комбинацию, при которой математическое ожидание выигрыша или средний выигрыш за некоторое число ходов будет максимальным. Пусть мы приняли решение половину ходов в игре делать с использованием S1, а другую половину — с S2. Конечно, мы не можем знать, какую из своих двух стратегий будет применять конкурент, и поэтому придется рассматривать два крайних случая его поведения. Если наш конкурент все время будет применять C1, то для нас выигрыш составит 0.5(-3000)+0.5(+6000) = 1500 у.е.. Если же он все время будет применять C2, то на выигрыш составит 0.5(+7000)+0.5(+1000) = 4000 у.е.. Ну, это уже повод для размышлений, для анализа. В конце концов, можно прикинуть, а что мы будем иметь в случае применения конкурентом также смешанной стратегии? Ответ уже готов — мы будем иметь выигрыш не менее 1500 у.е., поскольку выполненные выше расчеты охватили все варианты смешанных стратегий конкурента. Поставим вопрос в более общем виде — а существует ли наилучшая смешанная стратегия (комбинация S1 и S2) для нас в условиях применения смешанных стратегий (комбинации C1 и C2) со стороны конкурента? Математическая теория игр позволяет ответить на этот вопрос утвердительно — оптимальная смешанная стратегия всегда существует, но она может гарантировать минимум математического ожидания выигрыша. Методы поиска таких стратегий хорошо разработаны и отражены в литературе. Таким образом, мы снова оказались в роли ЛПР — системный подход не может дать рецепта для безусловного получения выигрыша. Нам и только нам, решать — воспользоваться ли рекомендацией и применить оптимальную стратегию игры, но при этом считаться с риском возможного проигрыша (выигрыш окажется гарантированным лишь при очень большом числе ходов). Завершим рассмотрение последнего примера демонстрацией поиска наилучшей смешанной стратегии. Пусть мы применяем стратегию S1 с частотой , а стратегию S2 с частотой (1 - ). Тогда мы будем иметь выигрыш W(C1) =   (-3000) + (1-)  (+6000) = 6000 - 9000 при применении конкурентом стратегии C1 или будем иметь выигрыш W(C2) =   (+7000) + (1-)  (+1000) = 1000 + 6000 при применении конкурентом стратегии C2. Теория игр позволяет найти наилучшую стратегию для нас из условия W(C1) = W(C2); {3 - 16} что приводит к наилучшему значению =1/3 и математическому ожиданию выигрыша величиной в (-3000)(1/3)+(+6000)(2/3)=3000 у.е. Моделирование в условиях противодействия, модели торгов К этому классу относятся задачи анализа систем с противодействием (конкуренцией), также игровых по сути, но с одной особенностью — "правила игры" не постоянны в одном единственном пункте — цены за то, что продается. При небольшом числе участников торгов вполне пригодны описанные выше приемы теории игр, но когда число участников велико и, что еще хуже, заранее неизвестно, — приходится использовать несколько иные методы моделирования ситуаций в торгах. Наиболее часто встречаются два вида торгов:  закрытые торги, в которых два или более участников независимо друг от друга предлагают цены (ставки) за тот или иной объект; при этом участник имеет право лишь на одну ставку, а ведущий торги принимает высшую (или низшую) из предложенных;  открытые торги или аукционы, когда два или более участников подымают цены до тех пор, пока новой надбавки уже не предлагается. Рассмотрим вначале простейший пример закрытых торгов. Пусть мы (A) и наш конкурент (B) участвуем в закрытых торгах по двум объектам суммарной стоимости C1 + C2. Мы располагаем свободной суммой S и нам известно, что точно такой же суммой располагает наш конкурент. При этом S< C1 + C2, то есть купить оба объекта без торгов не удастся. Мы должны назначить свои цены A1, A2 за первый и второй объекты в тайне от конкурента, который предложит за них же свои цены B1, B2. После оглашения цен объект достанется предложившему большую цену, а если они совпали — по жребию. Предположим, что и мы и наш конкурент владеем методом выбора наилучшей стратегии (имеем соответствующее образование). Так вот — можно доказать, что при равных свободных суммах с нашей и с противоположной стороны существует одна, оптимальная для обеих сторон стратегия назначения цен. Сущность ее (скажем, для нас) определяется из следующих рассуждений. Если нам удастся купить первый объект, то наш доход составит (C1 - A1) или же, при покупке второго, мы будем иметь доход (C2 - A2). Значит, в среднем мы можем ожидать прибыль d = 0.5(C1 + C2 — A1 — A2) = 0.5(C1 + C2 — S). {3 - 17} Таким образом, нам выгоднее всего назначить цены A1 = C1 — d = 0.5  (C1 — C2 + S); A2 = C2 — d = 0.5  (C2 — C1 + S). {3 - 18} Если же одна из них по расчету окажется отрицательной — выставим ее нулевой и вложим все деньги в цену за другой объект. Но и наш конкурент, имея ту же свободную сумму и рассуждая точно так же, назначит за объекты точно такие же цены. Как говорится, боевая ничья! Ну, если конкурент не владеет профессиональными знаниями? Что ж, тем хуже для него — мы будем иметь доход больше, чем конкурент. Конкретный пример. Сумма свободных средств составляет по 10000 у.е. у каждого, цена первого объекта равна 7500, второго 10000 у.е.. Назначим цену за первый объект в 0.5(7500-10000+10000)=3750 у.е., а за второй 0.5(10000-7500+10000) = 6250 у.е.. Наш доход при выигрыше первого или второго объекта составит 3750 у.е.. Такой же доход ожидает и конкурента, если он выбрал такую же, оптимальную стратегию. Но, если он так не поступил и назначил цену за первый объект 3500, а за второй 6000 у.е. (пытаясь сэкономить!), то в таком случае мы можем выиграть торги по двум объектам сразу и будем иметь доход уже в 7500 у.е. — приобретая имущество общей стоимостью в 17500 за цену в 10000 у.е.! Конечно, если стартовые суммы участников торгов неодинаковы, число объектов велико и велико число участников, то задача поиска оптимальной стратегии становится более сложной, но все же имеет аналитическое решение. Рассмотрим теперь второй вид задачи — об открытых торгах (аукционах). Пусть все те же два объекта (с теми же стоимостями) продаются с аукциона, в котором участвуем мы и наш конкурент. В отличие от первой задачи свободные суммы различны и составляют SA и SB , причем каждая из них меньше (C1 + C2) и, кроме того, отношение нашей суммы к сумме конкурента более 0.5, но менее 2. Пусть мы знаем "толщину кошелька" конкурента и, поскольку ищем оптимальную стратегию для себя, нам безразлично — знает ли он то же о наших финансовых возможностях. Задача наша заключается в том, что мы должны знать — когда надо прекратить подымать цену за первый объект. Эту задачу не решить, если мы не определим цель своего участия в аукционе (системный подход, напомним, требует этого). Здесь возможны варианты:  мы хотим иметь максимальный доход;  мы стремимся минимизировать доход конкурента;  мы желаем максимизировать разницу в доходах — свой побольше, а конкурента поменьше. Наиболее интересен третий вариант ситуации — найти нашу стратегию, обеспечивающую DA — DB = Max. {3-19} Поскольку объектов всего два, то все решается в процессе торгов за первый объект. Будем рассматривать свой ход в ответ на очередное предложение цены X за этот объект со стороны конкурента. Мы можем использовать две стратегии поступить двумя способами:  стремиться уступить первый объект конкуренту — за наибольшую цену, надеясь купить второй;  стремиться купить первый объект — за минимальную цену, уступив конкуренту второй. Пусть конкурент назначил за первый объект очередную сумму X. Если мы не добавим небольшую сумму (минимальную надбавку ), то первый объект достанется конкуренту. При этом у конкурента в запасе останется сумма SB - X. Доход конкурента составит при этом (без учета ) DB = С1 - X. Мы наверняка купим второй объект, если у нас в кармане SA = (SB - X) + , то есть немного больше, чем осталось у конкурента. Значит, мы будем иметь доход DA = C2 - (SB - X) и разность доходов в этом случае составит DA - DB = C2 - C1 - SB + 2X . {3-20} Ясно, что эта разность будет положительна только тогда, когда мы уступим первый объект за цену X > , {3-21} но никак не меньше.  Будем повышать цену за первый объект до суммы X+  с целью купить его. Наш доход составит при этом DA = C1 - (X + ). Второй объект достанется конкуренту за сумму SA - (X + ) + , так как ему придется поднять цену за этот объект до уровня, чуть большего остатка денег у нас. Доход конкурента составит DB = C2 - (SA - (X + ) + ), а разность доходов составит (без учета ) DA - DB = (C1 - X) - (C2 - SA + X) = С1 - С2 + SA - 2X . {3-22} Эта разность будет положительна при условии X < , {3-23} Мы нашли две "контрольные" суммы для того, чтобы знать — когда надо пользоваться одной из двух доступных нам стратегий — выражения {3-21} и {3-23}. Среднее этих величин составит K = + {3-24} и определяет разумную границу для смены стратегий нашего участия в аукционе с целью одновременно получить доход себе побольше, а конкуренту — поменьше. Интересно сосчитать свой доход и разность доходов на этой границе.  Если мы уступили первый объект на этой границе, то по {3-20} DA - DB = C2 - C1 - SB + 2K = 0.5(SA - SB).  Если же мы купили первый объект на этой границе, то по {3-22} DA - DB = С1 - С2 + SA - 2K = 0.5(SA - SB). Для удобства сопровождения числовыми данными зададимся свободными суммами и ценами объектов (по нашему представлению об этих объектах): SA= 100 < 175; SB = 110 < 175; C1 = 75; C2 = 100; 0.5 < (SA/ SB < 2 и примем разрешенную надбавку к цене равной 1. В этом конкретном случае граница "сражения" за первый объект проходит через сумму K = + = -12.5 + 52.5 = 40 $ Если наш конкурент считает, что объекты для него стоят столько же (он знает нашу свободную сумму, а мы знаем его свободную сумму, но другой информации мы и он не обладаем), то он вычислит эту же границу и мы будем довольствоваться разностью доходов не в свою пользу: DA - DB = С1 - С2 + SA - 2K = 0.5(SA - SB) = -5. Что делать — у конкурента больший стартовый капитал. Но, возможно, наш конкурент (играя за себя) будет считать стоимости объектов совсем иными и для него граница будет совсем другой. Или же — цель конкурента в данном аукционе совершенно не такая как наша, что также обусловит другую граничную сумму участия в торгах за первый объект. Иными словами — оптимальная стратегия для конкурента нам совершенно неизвестна. Таблица 3.9 Граница 1 торга за объект Владелец 1 объекта Доход DA Доход DB Разность DA - DB 20 A 55 20 35 30 A 45 30 10 35 A 40 35 5 40 A 35 40 -5 40 B 25 35 -5 45 B 35 30 5 50 B 40 25 15 55 B 45 20 25 60 B 50 15 40 75 B 75 75 Тогда все зависит от того, на какой сумме он "отдаст" нам первый объект или, наоборот, до какой границы он будет "сражаться" за него . Следующая таблица иллюстрирует этот вывод Заканчивая вопрос об открытых торгах — аукционах, отметим, что в реальных условиях задача моделирования и выбора оптимальной стратегии поведения оказывается весьма сложной. Дело не только в том, число объектов может быть намного больше двух, а что касается числа участников, то оно также может быть большим и даже не всегда известным заранее. Это приведет к чисто количественным трудностям при моделировании "вручную", но не играет особой роли при использовании компьютерных программ моделирования. Дело в другом — большей частью ситуация усложняется неопределенностью, стохастичностью поведения наших конкурентов. Что ж, прийдется иметь дело не с самими величинами (заказываемыми ценами, доходами и т. д.), а с их математическими ожиданиями, вычисленными по вероятностным моделям, или со средними значениями, найденными по итогам наблюдений или статистических экспериментов. Методы анализа больших систем, планирование экспериментов Еще в начале рассмотрения вопросов о целях и методах системного анализа мы обнаружили ситуации, в которых нет возможности описать элемент системы, подсистему и систему в целом аналитически, используя системы уравнений или хотя бы неравенств. Иными словами — мы не всегда можем построить чисто математическую модель на любом уровне — элемента системы, подсистемы или системы в целом. Такие системы иногда очень метко называют "плохо организованными" или "слабо структурированными". Так уж сложилось, что в течение почти 200 лет после Ньютона в науке считалось незыблемым положение о возможности "чистого" или однофакторного эксперимента. Предполагалось, что для выяснения зависимости величины Y=f(X) даже при очевидной зависимости Y от целого ряда других переменных всегда можно стабилизировать все переменные, кроме X, и найти "личное" влияние X на Y. Лишь сравнительно недавно (см. работы В. В. Налимова) плохо организованные или, как их еще называют — большие системы вполне "законно" стали считаться особой средой, в которой неизвестными являются не то что связи внутри системы, но и самые элементарные процессы. Анализ таких систем (в первую очередь социальных, а значит и экономических) возможен при единственном, научно обоснованном подходе — признании скрытых, неизвестных нам причин и законов процессов. Часто такие причины называют латентными факторами, а особые свойства процессов — латентными признаками. Обнаружилась и считается также общепризнанной возможность анализа таких систем с использованием двух, принципиально различных подходов или методов.  Первый из них может быть назван методом многомерного статистического анализа. Этот метод был обоснован и применен видным английским статистиком Р.Фишером в 20..30 годы этого столетия. Дальнейшее развитие многомерной математической статистики как науки и как основы многих практических приложений считается причинно связанным с появлением и совершенствованием компьютерной техники. Если в 30-е годы, при ручной обработке данных удавалось решать задачи с учетом 2..3 независимых переменных, то 1965 году решались задачи с 6 переменными, а к 70..80 годам их число уже приближалось к 100.  Второй метод принято называть кибернетическим или "винеровским", связывая его название с отцом кибернетики Н.Винером. Краткая сущность этого метода — чисто логический анализ процесса управления большими системами. Рождение этого метода было вполне естественным — коль скоро мы признаем существование плохо организованных систем, то логично ставить вопрос о поиске методов и средств управления ими. Совершенно нелепо ставить вопрос о распределении токов в электрической цепи — это процессы в хорошо организованной (законами природы) системе. Интересно, что оба метода, несмотря на совершенное различие между собой, могут применяться и с успехом применяются при системном анализе одних и тех же систем. Так, например, интеллектуальная деятельность человека изучается "фишеровским" методом — многие психологи, как иронически замечает В.В.Налимов, "уверены, что им удастся разобраться в результатах многочисленных тестовых испытаний ". С другой стороны, построение т.н. систем искусственного интеллекта представляет собой попытки создания компьютерных программ, имитирующих поведение человека в области умственной деятельности, т.е. применение "винеровского" метода. Нетрудно понять, что экономические системы, скорее всего, следует отнести именно к плохо организованным — прежде всего, потому, что одним из видов элементов в них является человек. А раз так, то неудивительно, что при системном анализе в экономике потребуется "натурный" эксперимент. В простейшем случае речь может идти о некотором элементе экономической системы, о котором нам известны лишь внешние воздействия (что нужно для нормального функционирования элемента) и выходные его реакции (что должен "делать" этот элемент). В каком то смысле спасительной является идея рассмотрения такого элемента как "черного ящика". Используя эту идею, мы признаемся, что не в состоянии проследить процессы внутри элемента и надеемся построить его модель без таких знаний. Напомним классический пример — незнание процессов пищеварения в организме человека не мешает нам организовывать свое питание по "входу" (потребляемые продукты, режим питания и т. д.) с учетом "выходных" показателей (веса тела, самочувствия и других). Так вот, наши намерения вполне конкретны в части "что делать" — мы собираемся подавать на вход элемента разные внешние, управляющие воздействия и измерять его реакции на эти воздействия. Теперь надо столь же четко решить — а зачем мы это будем делать, что мы надеемся получить. Вопрос этот непростой — очень редко можно позволить себе просто удовлетворить свою любознательность. Как правило, эксперименты над реальной экономической системой являются вынужденной процедурой, связанной с определенными затратами на сам эксперимент и, кроме того, с риском непоправимых отрицательных последствий. Теоретическое обоснование и методика действий в таких ситуациях составляют предмет особой отрасли кибернетики — теории планирования эксперимента. Договоримся о терминологии:  все, что подается на вход элемента, будем называть управляющими воздействиями или просто воздействиями;  все, что получается на выходе элемента, будем называть реакциями;  если мы можем выделить в системе (или подсистеме) несколько в некотором смысле однотипных элементов, то их совокупность будем называть блоком;  содержательное описание своих действий по отношению к элементам блока будем называть планом эксперимента. Очень важно понять цель планируемого эксперимента. В конце концов, мы можем и не получить никакой информации о сущности процессов в цепочке "вход-выход" в самом элементе. Но если мы обнаружим полезность некоторых, доступных нам воздействий на элемент и убедимся в надежности полученных результатов, то достигнем главной цели эксперимента — отыскания опти-мальной стратегии управления элементом. Нетрудно сообразить, что понятие "управляющее воздействие" очень широко — от самых обычных приказов до подключения к элементу источников энергетического или информационного "питания". Оказывается, что уже само составление плана эксперимента требует определенных познаний и некоторой квалификации. Опыт доказывает целесообразность включения в план следующих четырех компонентов:  Описание множества стратегий управления, из которого мы надеемся выбрать наилучшую.  Спецификацию или детальное сравнительное описание элементов блока.  Правила размещения стратегий на блоке элементов.  Спецификацию выходных данных, позволяющих оценивать эффективность элементов. Внимательное рассмотрение компонентов плана эксперимента позволяет заметить, что для его реализации требуются знания в раз-личных областях науки, даже если речь идет об экономической системе — той области, в которой вы приобретаете профессиональную подготовку. Так, при выборе управляющих воздействий не обойтись без минимальных знаний в области технологии (не всегда это — чистая экономика), очень часто нужны знания в области юридических законов, экологии. Для реализации третьего компонента совершенно необходимы знания в области математической статистики, так как при-ходится использовать понятия распределений случайных величин, их математических ожиданий и дисперсий. Вполне могут возникнуть ситуации, требующие применения непараметрических методов статистики. Для демонстрации трудностей составления плана эксперимента и необходимости понимания методов использования результатов эксперимента, рассмотрим простейший пример. Пусть мы занимаемся системным анализом фирмы, осуществляющей торговлю с помощью сети "фирменных" магазинов и имеем возможность наблюдать один и тот же выходной показатель элемента такой системы (например, дневную выручку магазина фирмы). Естественным является стремление найти способ повышения этого показателя, а если таких способов окажется несколько — выбрать наилучший. Предположим, что в соответствии с первым пунктом правил планирования эксперимента, мы решили испытать четыре стратегии управления магазинами. Коль скоро такое решение принято, то неразумно ограничить эксперимент одним элементом, если их в системе достаточно много и у нас нет уверенности в "эквивалентности" условий работы всех магазинов фирмы. Пусть мы имеем N магазинов — достаточно много, чтобы провести "массовый" эксперимент, но их нельзя отнести к одному и тому же типу. Например, мы можем различать четыре типа магазинов: А, Б, В и Г (аптечные, бакалейные, водочные и галантерейные). Ясно также (хотя и для этого надо немножко разбираться в технологии торговли), что выручка магазина вполне может существенно зависеть от дня недели — пусть рабочие дни всех магазинов: Ср, Пт, Сб, Вс. Первое, "простое" решение, которое приходит в голову — выбрать из N несколько магазинов наугад (применив равновероятное распределение их номеров) и применять некоторое время новую стратегию управления ими. Но столь же простые рассуждения приводят к мысли, что это будет не лучшее решение. В самом деле — мы рассматриваем элементы системы как "равноправные" по нескольким показателям:  мы ищем единую и наилучшую для фирмы в целом стратегию управления;  мы используем единый для всех элементов показатель эффективности (дневную выручку). И, в то же время, мы сами разделили объекты на группы и тем самым признаем различие во внешних условиях работы для различных групп. На языке ТССА это означает, что профессиональные знания в области управления торговлей помогают нам предположить наличие, по крайней мере, двух причин или факторов, от которых может зависеть выручка: профиль товаров магазина и день недели. Ни то, ни другое не может быть стабилизировано — иначе мы будем искать нечто другое: стратегию для управления только водочными магазинами и только по пятницам! А наша задача — поиск стратегии управления всеми магазинами и по любым дням их работы. Хотелось бы решить эту задачу так: выбирать случайно как группы магазинов, так и дни недели, но иметь гарантию (уже не случайно!) представительности выходных данных испытания стратегии. Теория планирования эксперимента предлагает особый метод решения этой проблемы, метод обеспечения случайности или рандомизации плана эксперимента. Этот метод основан на построении специальной таблицы, которую принято называть латинским квадратом, если число факторов равно двум. Для нашего примера, с числом стратегий 4, латинский квадрат может иметь вид таблиц 1 2 3 4 Ср А Б В Г Пт В Г А Б Сб Б А Г В Вс Г В Б А В ячейках первой таблицы указаны номера стратегий для дней недели и магазинов данного профиля, причем такой план эксперимента гарантирует проверку каждой из стратегий в каждом профиле торговли и в каждый день работы магазина. Конечно же, таких таблиц (квадратов) можно построить не одну — правила комбинаторики позволяют найти полное число латинских квадратов типа "44" и это число составляет 576. Для квадрата "33" имеется всего 12 вариантов, для квадрата "55" — уже 161 280 вариантов. В общем случае, при наличии t стратегий и двух факторах, определяющих эффективность, потребуется N=at2 элементов для реализации плана эксперимента, где a в простейшем случае равно 1. Это означает, что для нашего примера необходимо использовать 16 "управляемых" магазинов, так как данные, скажем второй строки и третьего столбца, нашего латинского квадрата означают, что по субботам в одном из выбранных наугад бакалейных магазинов будет применяться стратегия номер 1. Отметим, что латинский квадрат для нашего примера может быть построен совершенно иначе — в виде таблицы 3.11, но по-прежнему будет определять все тот же, рандомизированный план эксперимента. Пусть мы провели эксперимент и получили его результаты в виде следующей таблицы, в ячейках которой указаны стратегии и результаты их применения в виде сумм дневной выручки: Таблица 3.12 Дни Магазины А Б В Г Сумма Вс 2: 47 1: 90 3: 79 4: 50 266 Ср 4: 46 3: 74 2: 63 1: 69 252 Пт 1: 62 2: 61 4: 58 3: 66 247 Сб 3: 76 4: 63 1: 87 2: 59 285 Сумма 231 288 287 244 1050 Итого по стратегиям 1 308 2 230 3 295 4 217 1050/4= 262.5 Если вычислить, как и положено, средние значения, дисперсии и среднеквадратичные отклонения для четверок значений дневной выручки (по дням, магазинам и стратегиям), то мы будем иметь следующие данные: Таблица 3.12А Дни недели Магазины Стратегии Среднее 262.5 262.5 262.5 Дисперсия 217.3 646.3 1563.3 СКО 14.74 25.42 39.5 Коэф.вариации 0.056 0.097 0.151 Уже такая примитивная статистическая обработка данных эксперимента позволяет сделать ряд важных выводов:  сравнительно малые значения рассеяния данных по дням недели и по категориям магазинов в какой то мере вселяют надежду на правильный выбор плана эксперимента;  разброс значений по стратегиям на этом фоне, скорее всего свидетельствует о большей зависимости дневной выручки от стратегии, чем от дней недели или категории магазина;  заметное отличие средних по 1-й и 3-й стратегиям от средних по 2-й и 4-й, может быть основой для принятия решения — искать наилучшую стратегию, выбирая между 1-й и 3-й. В этом — прямой практический результат использования рандомизированного плана, построения латинского квадрата. Но это далеко не все. Теория планирования эксперимента дает, кроме способов построения планов с учетом возможных влияний на интересующую нас величину других факторов, еще и особые методы обработки полученных экспериментальных данных. Самая суть этих методов может быть представлена так. Пусть Wis есть выручка в i-м магазине при применении к нему s-й стратегии управления. Предполагается рассматривать эту выручку в виде суммы составляющих Wis = W0 + s + i; {3-25} где:  W0 определяет среднюю выручку для всех магазинов при условии применения к каждому из них всех стратегий по очереди с соблюдением постоянными всех других условий, влияющих на выручку;  W0 + s есть средняя выручка при применении ко всем магазинам s-й стратегии;  i рассматривается как "ошибка измерения" — случайная величина с нулевым математическим ожиданием и нормальным законом распределения. Несмотря на явную нереальность соблюдения постоянными внешних влияющих факторов, мы можем получить оценку каждого из слагаемых Wis и искать оптимальную стратегию через прибавку от ее применения s с учетом ошибки наблюдения. Можно считать доказанной "нормальность" распределения величины i и использовать "правило трех сигм" при принятии решений по итогам эксперимента. Методы анализа больших систем, факторный анализ Данный параграф является заключительным и более не будет возможности осветить еще одну особенность методов системного анализа, показать вам еще один путь к достижению профессионального уровня в области управления экономическими системами. Уже ясно, что ТССА большей частью основывает свои практические методы на платформе математической статистики. Несколько упреждая ваш рабочий учебный план (курс математической статистики — предмет нашего сотрудничества в следующем семестре), обратимся к современным постулатам этой науки. Общепризнанно, что в наши дни можно выделить три подхода к решению задач, в которых используются статистические данные.  Алгоритмический подход, при котором мы имеем статистические данные о некотором процессе и по причине слабой изученности процесса его основная характеристика (например, эффективность экономической системы) мы вынуждены сами строить “разумные” правила обработки данных, базируясь на своих собственных представлениях об интересующем нас показателе.  Аппроксимационный подход, когда у нас есть полное представление о связи данного показателя с имеющимися у нас данными, но неясна природа возникающих ошибок — отклонений от этих представлений.  Теоретико-вероятностный подход, когда требуется глубокое проникновение в суть процесса для выяснения связи показателя со статистическими данными. В настоящее время все эти подходы достаточно строго обоснованы научно и “снабжены” апробированными методами практических действий. Но существуют ситуации, когда нас интересует не один, а несколько показателей процесса и, кроме того, мы подозреваем наличие нескольких, влияющих на процесс, воздействий — факторов, которые являются не наблюдаемыми, скрытыми или латентными. Наиболее интересным и полезным в плане понимания сущности факторного анализа — метода решения задач в этих ситуациях, является пример использования наблюдений при эксперименте, который ведет природа, Ни о каком планировании здесь не может идти речи — нам приходится довольствоваться пассивным экспериментом. Удивительно, но и в этих “тяжелых” условиях ТССА предлагает методы выявления таких факторов, отсеивания слабо проявляющих себя, оценки значимости полученных зависимостей показателей работы системы от этих факторов. Пусть мы провели по n наблюдений за каждым из k измеряемых показателей эффективности некоторой экономической системы и данные этих наблюдений представили в виде матрицы (таблицы). Матрица исходных данных E[nk] {3-26} E 11 E12 … E1i … E1k E 21 E22 … E2i … E2k … … … … … … E j1 Ej2 … Eji … Ejk … … … … … … E n1 En2 … Eni … Enk Пусть мы предполагаем, что на эффективность системы влияют и другие — ненаблюдаемые, но легко интерпретируемые (объяснимые по смыслу, причине и механизму влияния) величины — факторы. Сразу же сообразим, что чем больше n и чем меньше таких число факторов m (а может их и нет вообще!), тем больше надежда оценить их влияние на интересующий нас показатель E. Столь же легко понять необходимость условия m < k, объяснимого на простом примере аналогии — если мы исследуем некоторые предметы с использованием всех 5 человеческих чувств, то наивно надеяться на обнаружение более пяти “новых”, легко объяснимых, но неизмеряемых признаков у таких предметов, даже если мы “испытаем” очень большое их количество. Вернемся к исходной матрице наблюдений E[nk] и отметим, что перед нами, по сути дела, совокупности по n наблюдений над каждой из k случайными величинами E1, E2, … E k. Именно эти величины “подозреваются” в связях друг с другом — или во взаимной коррелированности. Из рассмотренного ранее метода оценок таких связей следует, что мерой разброса случайной величины E i служит ее дисперсия, определяемая суммой квадратов всех зарегистрированных значений этой величины (Eij)2 и ее средним значением (суммирование ведется по столбцу). Если мы применим замену переменных в исходной матрице наблюдений, т.е. вместо Ei j будем использовать случайные величины Xij = , {3-27} то мы преобразуем исходную матрицу в новую X[nk] {3-28} X 11 X12 … X1i … X1k X 21 X22 … X2i … X2k … … … … … … X j1 Xj2 … Xji … Xjk … … … … … … X n1 Xn2 … Xni … Xnk Отметим, что все элементы новой матрицы X[nk] окажутся безразмерными, нормированными величинами и, если некоторое значение Xij составит, к примеру, +2, то это будет означать только одно - в строке j наблюдается отклонение от среднего по столбцу i на два среднеквадратичных отклонения (в большую сторону). Выполним теперь следующие операции.  Просуммируем квадраты всех значений столбца 1 и разделим результат на (n - 1) — мы получим дисперсию (меру разброса) случайной величины X1 , т.е. D1. Повторяя эту операцию, мы найдем таким же образом дисперсии всех наблюдаемых (но уже нормированных) величин.  Просуммируем произведения соответствующих строк (от j =1 до j = n) для столбцов 1,2 и также разделим на (n -1). То, что мы теперь получим, называется ковариацией C12 случайных величин X1 , X2 и служит мерой их статистической связи.  Если мы повторим предыдущую процедуру для всех пар столбцов, то в результате получим еще одну, квадратную матрицу C[kk], которую принято называть ковариационной. Эта матрица имеет на главной диагонали дисперсии случайных величин Xi, а в качестве остальных элементов — ковариации этих величин ( i =1…k). Ковариационная матрица C[kk] {3-29} D1 C12 C13 … … C1k C21 D2 C23 … … C2k … … … … … … Cj1 Cj2 … Cji … Cjk … … … … … … Cn1 Cn2 … Cni … Dk Если вспомнить, что связи случайных величин можно описывать не только ковариациями, но и коэффициентами корреляции, то в соответствие матрице {3-29} можно поставить матрицу парных коэффициентов корреляции или корреляционную матрицу R [kk] {3-30} 1 R12 R13 … … R1k R21 1 R23 … … R2k … … … … … … Rj1 Rj2 … Rji … Rjk … … … … … … Rn1 Rn2 … Rni … 1 в которой на диагонали находятся 1, а внедиагональные элементы являются обычными коэффициентами парной корреляции. Так вот, пусть мы полагали наблюдаемые переменные Ei независящими друг от друга, т.е. ожидали увидеть матрицу R[kk] диагональной, с единицами в главной диагонали и нулями в остальных местах. Если теперь это не так, то наши догадки о наличии латентных факторов в какой-то мере получили подтверждение. Но как убедиться в своей правоте, оценить достоверность нашей гипотезы — о наличии хотя бы одного латентного фактора, как оценить степень его влияния на основные (наблюдаемые) переменные? А если, тем более, таких факторов несколько — то как их проранжировать по степени влияния? Ответы на такие практические вопросы призван давать факторный анализ. В его основе лежит все тот же “вездесущий” метод статистического моделирования (по образному выражению В.В.Налимова — модель вместо теории). Дальнейший ход анализа при выяснению таких вопросов зависит от того, какой из матриц мы будем пользоваться. Если матрицей ковариаций C[kk], то мы имеем дело с методом главных компонент, если же мы пользуемся только матрицей R[kk], то мы используем метод факторного анализа в его “чистом” виде. Остается разобраться в главном — что позволяют оба эти метода, в чем их различие и как ими пользоваться. Назначение обоих методов одно и то же — установить сам факт наличия латентных переменных (факторов), и если они обнаружены, то получить количественное описание их влияния на основные переменные Ei. Ход рассуждений при выполнении поиска главных компонент заключается в следующем. Мы предполагаем наличие некоррели-рованных переменных Zj ( j=1…k), каждая из которых представляется нам комбинацией основных переменных (суммирование по i =1…k): Zj =  Aj i X i {3-31} и, кроме того, обладает дисперсией, такой что D(Z1)  D(Z2)  …  D(Zk). Поиск коэффициентов Aj i (их называют весом j-й компонеты в содержании i-й переменной) сводится к решению матричных уравнений и не представляет особой сложности при использовании компьютерных программ. Но суть метода весьма интересна и на ней стоит задержаться. Как известно из векторной алгебры, диагональная матрица [22] может рассматриваться как описание 2-х точек (точнее — вектора) в двумерном пространстве, а такая же матрица размером [kk]— как описание k точек k-мерного пространства. Так вот, замена реальных, хотя и нормированных переменных Xi на точно такое же количество переменных Z j означает не что иное, как поворот k осей многомерного пространства. “Перебирая” поочередно оси, мы находим вначале ту из них, где дисперсия вдоль оси наибольшая. Затем делаем пересчет дисперсий для оставшихся k-1 осей и снова находим “ось-чемпион” по дисперсии и т.д. Образно говоря, мы заглядываем в куб (3-х мерное пространство) по очереди по трем осям и вначале ищем то направление, где видим наибольший “туман” (наибольшая дисперсия говорит о наибольшем влиянии чего-то постороннего); затем “усредняем” картинку по оставшимся двум осям и сравниваем разброс данных по каждой из них — находим “середнячка” и “аутсайдера”. Теперь остается решить систему уравнений — в нашем примере для 9 переменных, чтобы отыскать матрицу коэффициентов (весов) A[kk]. Если коэффициенты Aj i найдены, то можно вернуться к основным переменным, поскольку доказано, что они однозначно выражаются в виде (суммирование по j=1…k) X i =  AjiZ j . {3-32} Отыскание матрицы весов A[kk] требует использования ковариационной матрицы и корреляционной матрицы. Таким образом, метод главных компонент отличается прежде все тем, что дает всегда единственное решение задачи. Правда, трактовка этого решения своеобразна.  Мы решаем задачу о наличии ровно стольких факторов, сколько у нас наблюдаемых переменных, т.е. вопрос о нашем согласии на меньшее число латентных факторов невозможно поставить;  В результате решения, теоретически всегда единственного, а практически связанного с громадными вычислительными трудностями при разных физических размерностях основных величин, мы получим ответ примерно такого вида — фактор такой-то (например, привлекательность продавцов при анализе дневной выручки магазинов) занимает третье место по степени влияния на основные переменные. Этот ответ обоснован — дисперсия этого фактора оказалась третьей по крупности среди всех прочих. Всё… Больше ничего получить в этом случае нельзя. Другое дело, что этот вывод оказался нам полезным или мы его игнорируем — это наше право решать, как использовать системный подход! Несколько иначе осуществляется исследование латентных переменных в случае применения собственно факторного анализа. Здесь каждая реальная переменная рассматривается также как линейная комбинация ряда факторов Fj , но в несколько необычной форме X i =  B ji  Fj +  i. {3-33} причем суммирование ведется по j=1…m , т.е. по каждому фактору. Здесь коэффициент Bji принято называть нагрузкой на j-й фактор со стороны i-й переменной, а последнее слагаемое в {3-33} рассматривать как помеху, случайное отклонение для Xi. Число факторов m вполне может быть меньше числа реальных переменных n и ситуации, когда мы хотим оценить влияние всего одного фактора (ту же вежливость продавцов), здесь вполне допустимы. Обратим внимание на само понятие “латентный”, скрытый, непосредственно не измеримый фактор. Конечно же, нет прибора и нет эталона вежливости, образованности, выносливости и т.п. Но это не мешает нам самим “измерить” их — применив соответствующую шкалу для таких признаков, разработав тесты для оценки таких свойств по этой шкале и применив эти тесты к тем же продавцам. Так в чем же тогда “ненаблюдаемость”? А в том, что в процессе эксперимента (обязательно) массового мы не можем непрерывно сравнивать все эти признаки с эталонами и нам приходится брать предварительные, усредненные, полученные совсем не в “рабочих” условиях данные. Можно отойти от экономики и обратиться к спорту. Кто будет спорить, что результат спортсмена при прыжках в высоту зависит от фактора — “сила толчковой ноги”. Да, это фактор можно измерить и в обычных физических единицах (ньютонах или бытовых килограммах), но когда?! Не во время же прыжка на соревнованиях! А ведь именно в это, рабочее время фиксируются статистические данные, накапливается материал для исходной матрицы. Несколько более сложно объяснить сущность самих процедур факторного анализа простыми, элементарными понятиями (по мнению некоторых специалистов в области факторного анализа — вообще невозможно). Поэтому постараемся разобраться в этом, используя достаточно сложный, но, к счастью, доведенный в практическом смысле до полного совершенства, аппарат векторной или матричной алгебры. До того как станет понятной необходимость в таком аппарате, рассмотрим так называемую основную теорему факторного анализа. Суть ее основана на представлении модели факторного анализа {3-33} в матричном виде X [k1] = B [km]  F [m1] +  [k1] {3-34} и на последующем доказательстве истинности выражения R [kk] = B [km]  B*[mk], {3-35} для “идеального” случая, когда невязки  пренебрежимо малы. Здесь B*[mk] это та же матрица B [km], но преобразованная особым образом (транспонированная). Трудность задачи отыскания матрицы нагрузок на факторы очевидна — еще в школьной алгебре указывается на бесчисленное множество решений системы уравнений, если число уравнений больше числа неизвестных. Грубый подсчет говорит нам, что нам понадобится найти km неизвестных элементов матрицы нагрузок, в то время как только около k2 / 2 известных коэффициентов корреляции. Некоторую “помощь” оказывает доказанное в теории факторного анализа соотношение между данным коэффициентом парной корреляции (например R12) и набором соответствующих нагрузок факторов: R12 = B11  B21 + B12  B22 + … + B1m  B2m . {3-36} Таким образом, нет ничего удивительного в том утверждении, что факторный анализ (а, значит, и системный анализ в современных условиях) — больше искусство, чем наука. Здесь менее важно владеть “навыками” и крайне важно понимать как мощность, так и ограниченные возможности этого метода. Есть и еще одно обстоятельство, затрудняющее профессиональную подготовку в области факторного анализа — необходимость быть профессионалом в “технологическом” плане, в нашем случае это, конечно же, экономика. Но, с другой стороны, стать экономистом высокого уровня вряд ли возможно, не имея хотя бы представлений о возможностях анализировать и эффективно управлять экономическими системами на базе решений, найденных с помощью факторного анализа. Не следует обольщаться вульгарными обещаниями популяризаторов факторного анализа, не следует верить мифам о его всемогущности и универсальности. Этот метод “на вершине” только по одному показателю — своей сложности, как по сущности, так и по сложности практической реализации даже при “повальном” использовании компьютерных программ. К примеру, есть утверждения о преимуществах метода главных компонент — дескать, этот метод точнее расчета нагрузок на факторы. По этому поводу имеется одна острота известного итальянского статистика Карло Джинни, она в вольном пересказе звучит примерно так: “ Мне надо ехать в Милан, и я куплю билет на миланский поезд, хотя поезда на Неаполь ходят точнее и это подтверждено надежными статистическими данными. Почему я сделаю так? Да потому, что мне надо в Милан…”.