Теория принятия статистического решения. Нулевая и альтернативная статистические гипотезы

Лекция 5. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ 1. Нулевая и альтернативная статистические гипотезы Статистической гипотезой называется такое предположение о виде или свойствах генерального или выборочного распределений, которое можно проверить статистическими методами на основе имеющейся выборки. Сущность проверки статистической гипотезы заключается в том, чтобы установить:  согласуются ли экспериментальные данные и выдвинутая гипотеза;  допустимо ли отнести расхождение между гипотезой и результатом статистического анализа экспериментальных данных за счет случайных причин. По содержанию статистические гипотезы подразделяются на виды:  о законе распределения генеральной совокупности (например, гипотеза о том, что количество ошибок внимания у младших школьников имеет равномерное распределение);  о числовых значениях параметров случайной величины (например, гипотеза о том, что среднее количество правильных ответов студентов контрольной группы на десять тестовых вопросов по теме равно восьми);  об однородности выборок (т.е. принадлежности их одной и той же генеральной совокупности);  о виде модели, описывающей статистическую зависимость между несколькими признаками (например, предположение о том, что связь между успешностью обучения математики Y и показателем невербального интеллекта учащихся X линейная, прямо пропорциональная). Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой гипотезой и обозначают 0 . В психологии принято считать, что  0 – это гипотеза о сходстве, т.е. об отсутствии различий. Другими словами, это предположение о том, что все события, интересующие исследователя, произошли случайно, естественным образом. Обозначается нулевая гипотеза как  0 : 1   2 . Пример. Пусть исследователь сопоставляет значения некоторого признака развитости интеллекта (например, уровень вербального мышления) у двух групп подростков - из полных семей (первая группа) и неполных семей (вторая группа). Обозначим через 1 и  2 случайные величины, показывающие значения признака (уровня вербального мышления). Тогда нулевая гипотеза означает предположение, что различий в показателе интеллекта у двух групп подростков. Гипотезе являющаяся 0 может быть противопоставлена альтернативная, или конкурирующая, гипотеза логическим отрицанием 0 . В паре они составляют две возможности 1 , выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез. В альтернативной гипотезе 1 предполагается, что события, интересующие исследователя, случайным образом произойти не могли, и имело место воздействие некоторого фактора. Если нулевая гипотеза  0 говорит о «сходстве», то альтернативная гипотеза 1 – гипотеза «о различии», точнее, о значимости различий. Например, альтернативная гипотеза о том, что контрольные и экспериментальные группы различаются между собой по каким-либо значимым характеристикам. Альтернативная гипотеза 1 может иметь различный вид: например,  0 : 1   2  0 , или  0 : 1   2  0 , или  0 : 1   2  0 . Какая из этих гипотез более важна? В психологии, как и в других науках, выявление различий более информативно в поиске нового, чем доказательство сходства. В психологии выявление различия разнообразных характеристик человека равносилен свидетельству его процесса развития, поэтому задача доказательства значимости различий (в терминах теории проверки гипотез – принятия альтернативной гипотезы) более существенна. 2. Критерий значимости. Общая схема проверки статистических гипотез Для проверки любой статистической гипотезы выбирается какой-либо критерий, называемый критерием значимости - правило проверки статистической гипотезы. Выдвинутую гипотезу проверяют на основе имеющейся выборки. Суть проверки статистической гипотезы состоит в том, что для принятия или отклонения выдвинутой гипотезы используется специально составленная выборочная характеристика, случайная величина K , называемая критерием значимости. Она получена по выборке, и закон ее распределения считается известным (точно или приближенно). С помощью случайной величины K по определенному правилу определяется «граница» между принятием и отклонением гипотезы. Поэтому термином «критерий» обозначают также правило, по которому принимается статистическое решение. В основе большинства критериев значимости лежит следующий простой принцип: если сделана гипотеза о том, что событие имеет очень малую вероятность  (в психологии это обозначается часто p ), но в результате одного лишь испытания это событие произошло, то следует подвергнуть сомнению справедливость выдвинутой гипотезы. Вероятность  практически невозможного события абстрактно выбирать нельзя. Ее значения диктуются реальной ситуацией. Например, если  - вероятность нераскрытия парашюта, то  должно быть десятичной дробью с большим количеством нулей после запятой. Это число обычно стандартизируется мировой практикой. Так же и в психологии. Уровнем значимости  называется столь малая вероятность, что событие с такой вероятностью является практически невозможным. Необходимый уровень статистической значимости задач и гипотез исследования: низкий уровень   0,05 (5%-ый достаточный уровень высокий уровень  выбирается психологом в зависимости от уровень);   0,01 (1%-ый);   0,001 (0,1%-ый). Величина уровня значимости   0,05 означает, что допускается наличие только пяти ошибок в выборке из 100 испытуемых (случаев, элементов) или одна ошибка из 20 случаев. Большее число раз из 100 ошибиться нельзя, цена таких ошибок слишком велика. В наиболее ответственных случаях (испытаниях), когда требуется особая уверенность в достоверности полученных результатов и надежности выводов, уровень значимости принимают равным   0,01 или даже   0,001 . Если сформулированы гипотезы  0 , 1 и выбран критерий маловероятных значений, попадание в которую статистики принять 1 . K , то еще следует указать область K заставляет нас отвергнуть  0 и Критической областью критерия значимости K называется такая часть области значений K , вероятность попадания в которую этой K , при условии истинности проверяемой гипотезы  0 , равна уровню значимости  . Дополнительная область называется областью допустимых значений статистики критерия. Если значение критерия K принадлежит области допустимых значений, то гипотеза  0 при заданном уровне  принимается. Обычно говорят очень осторожно:  0 т.е. гипотеза  0 правдоподобна. значимости не противоречит имеющейся выборке, Критическую область можно найти однозначно, если иметь большой объем выборки n и задав величину  . Общая схема проверки статистических гипотез. 1. Формулируется нулевая  0 и альтернативная  1 гипотезы 2. Выбирается уровень значимости  (обычно 0,01; 0,05; 0,1). 3. В соответствии с видом гипотезы  0 и типом решения психологических задач выбирается статистический критерий для ее проверки. То есть подбирается специальная случайная величина . 4. По таблицам распределения критерия  находится критическое значение  kp в зависимости от уровня значимости (или числа степеней свободы), объема выборки (количества наблюдений) и вида гипотез 0 ,  1 . 5. Определяется вид критической области по виду альтернативной (конкурирующей) гипотезы 1 . 6. На основании экспериментальных данных вычисляется выборочное значение (эмпирическое значение) критерия  эмпир . 7. Определяется, в какую область (допустимых значений значение Vдоп или критическую Vкр ) попадает  эмпир . 8. Формулируется критерий проверки. Если  эмп Vдоп принадлежит области допустимых значений, следовательно, то гипотеза 0 принимается на уровне значимости  . Говорят, что выборочные данные не противоречат гипотезе  0 о генеральной совокупности, т.е. нет оснований отклонить гипотезу  0 на уровне значимости . Если  эмп Vкр принадлежит критической области, то гипотеза  0 отклоняется в пользу конкурирующей гипотезы 1 , так как в результате одного лишь испытания, получения выборки произошло практически невозможное событие  эмп Vкр с вероятностью выборочные данные не позволяют с достаточной уверенностью принять 0 . . Имеющиеся Иначе говоря, данные наблюдений не согласуются с выдвинутой гипотезой  0 . Заметим, что существуют и другие схемы проверки статистических гипотез. 3. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия При проверке гипотезы экспериментальные данные могут противоречить гипотезе гипотеза отклоняется. В противном случае, если экспериментальные данные согласуются с гипотезой отклоняется.  0 , тогда эта 0 , то она не Значит, статистическая проверка гипотез, основанная на экспериментальных данных, неизбежно связанно с риском принять ложное решение. Тогда в терминах правильности или ошибочности принятия H0 и 1 можно указать четыре потенциально возможных результата применения критерия к выборке. При этом возможны ошибки двух родов. Ошибкой первого рода называется ошибка отклонения правильной гипотезы. Вероятность ошибки первого рода равна уровню значимости, т.е.   (1 /  0 )  (K  Vкр /  0 ) . Эта формула означает, что гипотеза  0 отклоняется с вероятностью  , хотя эта гипотеза верна. Название «уровень значимости» в терминах «сходства и различия» - это вероятность того, что мы сочли различия существенными (приняли 1 ), а они на самом деле случайны (верна гипотеза  0 ). Для того чтобы проверяемая гипотеза была достаточно обоснованно отвергнута, уровень значимости выбирают достаточно малым, в практике: 0,01; 0,001. Ошибкой второго рода называется ошибка принятия неверной гипотезы. Вероятность ошибки второго рода обозначается  :   ( 0 / 1)  (K  Vдоп /  0 ) . Эта формула означает, что гипотеза 0 принимается с вероятностью , хотя верна альтернативная гипотеза 1 . Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность забраковать верную гипотезу, т.е. совершить ошибку первого рода, но при этом увеличивается вероятность принятия неверной гипотезы, т.е. совершения ошибки второго рода. Принята гипотеза H0 Верна H0 H1 вероятность правильно принять H0, когда верна H0 - вероятность ошибочно принять H1, когда верна H0 (ошибка 1-го рода, уровень значимости) - вероятность ошибочно принять H0, когда верна H1 (ошибка 2-го рода) вероятность правильно принять H1, когда верна H1 (мощность критерия) гипотеза H1 Возможны два статистических правильных решения по выборочным данным: 1) принять верную гипотезу  0 . Вероятность этого решения называется уровнем доверия; 2) принять верную гипотезу 1 . Вероятность (1 / 1 )  1   такого решения называется мощностью критерия. Мощность критерия в терминах «сходство-различие» - это его способность выявлять различия, если они есть. 4. Односторонний и двусторонний критерии По виду альтернативной (конкурирующей) гипотезы 1 определяется вид критической области, в которой результаты выборочного наблюдения выглядят менее правдоподобными в отношении нулевой гипотезы  0 . Если конкурирующая гипотеза имеет вид 1 : 1   2  0 , то критическая область Vкр  ( кр ;  ) - правосторонняя и соответствующий критерий называется правосторонним, а в случае 1 : 1   2  0 - критерий называется левосторонним. 1 : 1   2  0 , т.е. 1   2 , то критическая Vкр  (;  кр. лев )  (  кр.пр. ;  ) является объединением полубесконечных Если конкурирующая гипотеза имеет вид область промежутков: - двусторонняя. Область допустимых значений Критическая область Критическая область  кр.лев. Важное замечание. В  кр.прав. психологии одновременно с двумя критическими часто  кр (0,05) эмпирическое и  кр (0,01),  значение  эмп которые соответствуют уровням значимости в 5% и 1% и находятся по соответствующим таблицам. Все три числа  кр (0,01) располагают на «оси значимости». Число  эмпир сравнивается  кр ,  кр (0,05), может попасть в одну из трех областей: незначимости различий, значимости различий, неопределенности. Область незначимости различий Область неопределенности  кр.(0,05)  эмп   0,05 Принимается Область значимости различий  кр.(0,01)  0,05   эмпир   0,01 К  эмп  K 0,01 0 Принимается 1 В области неопределенности перед исследователем стоит дилемма: 1) принять гипотезу 1 достоверной и отклонить гипотезу на уровне значимости 5%, т.е. считать статистическую оценку 0 (совершить ошибку первого рода); 2) считать статистическую оценку недостоверной на уровне 1%, приняв гипотезу (совершить ошибку второго рода). В этих обстоятельствах лучше всего увеличить объем выборки. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Какая гипотеза называется статистической? Приведите пример. Какая статистическая гипотеза называется нулевой? Альтернативной? Приведите примеры. Что такое критерий значимости? Что такое уровень значимости? Как он связан с доверительной вероятностью? Что такое критическая область критерия? Изложите общую схему проверки статистических гипотез. Поясните смысл ошибок первого и второго рода, возникающих при проверке гипотез. 0 8. Какие критерии называются односторонними и двусторонними? 9. Приведите пример H 0 -гипотезы. 10. Приведите пример 1 -гипотезы. 11. Дайте различные истолкования термину «критерий». 12. Какие выводы делает исследователь, если гипотеза H 0 отклоняется? 13. Какие выводы делает исследователь, если гипотеза H 0 принимается? 14. Как связаны вид альтернативной гипотезы и тип критической области? 15. Какой области (допустимых значений или критической) принадлежит вывод, что выборочные данные не противоречат данной гипотезе 0  эмпир , если делается о генеральной совокупности? 16. Какой области (допустимых значений или критической) принадлежит вывод, что выборочные данные не согласуются с выдвинутой гипотезой?  эмпир , если делается