Теория потребительского поведения. Оптимальное положение потребителя в экономике

Модуль Теория потребительского поведения В изучении теории потребительского поведения используем исходные категории: 1. Кривая безразличия. Кривые безразличия не пересекаются. 2. Функция общей полезности в случаях, если в наборе содержится один товар в объеме , два товара в объеме , товаров в объеме имеет вид: . 3. Предельная полезность товара в наборе, состоящем из одного товара, измеряется первой простой производной функции общей полезности: Если в наборе товаров , то функция общей полезности . Тогда предельная полезность товара измеряется первой частной производной функции общей полезности: . 4. Предельная норма замещения одного товара другим измеряет наклон кривой безразличия и определяется по формуле: 5. Уравнение бюджетной линии потребителя или , где () ‒ угловой коэффициент бюджетной линии, который измеряет ее наклон к оси абсцисс. 6. Условие оптимального выбора потребителя в случае двух товаров имеет вид: или . 7. Условие оптимального выбора потребителя в случае товаров имеет вид: В изучении вопросов модуля используется методология традиционного классического анализа: ординалистская - порядковая теория полезности Ф. Эджуорта, В. Парето и И. Фишера и кардиналистская – количественная теория полезности У. Джевонса, К. Менгера, Л. Вальраса. Неоклассическая методология использована Е. Слуцким, Р. Алленом, Дж. Хиксом и другими экономистами, в работах которых теория потребительского поведения приобрела каноническую форму. Используется совокупность методов современного гносеологического инструментария: методы историко-генетический, категориальный, компаративистский, статистические (индексы доходов и цен, др.), а также математические методы: математического анализа, дифференциальных уравнений, и другие. Основанием теории потребительского поведения являются аксиомы – правила, характеризующие поведение рационального потребителя. К ним относятся слабое отношение предпочтения и его свойства, аксиомы транзитивности, рефлексивности, ненасыщения, непрерывности функции полезности, строгой выпуклости кривой безразличия, лексикографического упорядочения как отношения предпочтения-безразличия и другие. Аксиомы потребительского поведения используются в неявной форме в решении задач максимизации полезности – оптимального положения потребителя в экономике, минимизации расходов, в обосновании эффектов дохода и замещения. Оптимальное положение потребителя в экономике Одним из субъектов в рыночной экономике является домашнее хозяйство, распределяющее свой доход на покупку товаров и услуг. Рациональное ведение хозяйства сводится к решению задачи, какое количество товаров и услуг необходимо приобрести при данном доходе и уровне цен для наиболее полного удовлетворения потребностей. В анализе поведения потребителя используются следующие аксиомы. Товары обладают свойством делимости и их объем может изменяться на бесконечно малую величину. Выбор потребителя в определенной мере зависит от вкусов потребителя. Товары для потребителя или равноценны и безразличны или существует строгое предпочтение одного товара другому. Транзитивность характеризует непротиворечивость предпочтений потребителя, их рефлексивность (каждый набор благ должен быть не хуже и не лучше себя самого: А > А, А < А => А ~ А. Фактически это означает, что предпочтения любого потребителя в рамках данной ситуации выбора должны быть зафиксированы на одних и тех же наборах благ и отношение потребителя к ним не должно меняться в данном процессе выбора) и симметричность. Отношение предпочтения непрерывно. Это означает, что существует непрерывная действительная функция полезности . Если известна функция полезности, то ею является любая монотонно строго возрастающая функция, построенная на основе известной функции: , и другие. Аксиома ненасыщения утверждает, что если функция полезности дифференцируема, то все первые частные производные функции – предельные полезности товаров положительны () >0. При увеличении потребления одного из товаров при неизменном потреблении всех остальных товаров, полезность набора увеличивается. Аксиома строгой выпуклости (кривой безразличия) означает, что если наборы ͂ безразличны для потребителя, то при набор ͂ . Если последнее условие выполняется для любых двух наборов, то кривая безразличия является строго выпуклой относительно начала координат. Если функция полезности является дважды дифференцируемой и имеет непрерывные вторые частные производные , то их отрицательные значения отражают тот факт, что предельная полезность любого товара уменьшается по мере того, как увеличивается его потребление. Полезно познакомиться с аксиомами теории потребительского поведения по работе: Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: АЙРИС ПРЕСС. 2002. (для магистров) Оптимальное положение потребителя в экономике. Простейший случай, когда потребитель приобретает два товара. Функция полезности потребителя имеет вид: , бюджетное ограничение Функция полезности Лагранжа при условии, что часть дохода потребителя не расходуется: (1.3) Необходимым условием максимума функции многих переменных является равенство нулю первых частных производных: Решение системы уравнений определяет оптимальный набор , который отмечается точкой касания кривой безразличия и бюджетной линии. Точка называется длинной точкой; точка без последней координаты, т.е. называется короткой точкой (рис. 1.1). Поскольку функция полезности обладает рядом свойств, а то система уравнений имеет единственное решение. Наклон бюджетной линии равен . Поскольку во всех точках кривой безразличия полезность наборов одинакова , то наклон кривой безразличия в оптимальной точке находим из выражения Отсюда Следовательно наклоны бюджетной линии и кривой безразличия равны в оптимальной точке. В экономике производится товаров, и потребитель покупает набор , в котором представляет количество го блага, приобретаемого потребителем, В неоклассической задаче потребитель выбирает набор товаров и услуг из допустимого множества наборов, который является наиболее предпочтительным при заданной функции полезности и бюджетном ограничении. Доход потребителя и цены товаров являются заданными положительными параметрами. Денежные расходы на все товары и услуги не могут превышать денежные доходы потребителя. Условия задачи: дана функция полезности , бюджетное ограничение , , где Определить набор, имеющий максимальную полезность для потребителя. Необходимым и достаточным условиями решения неоклассической задачи потребления являются условия Куна-Таккера для функции Лагранжа: , (1.1) где - множитель Лагранжа. Запишем условия Куна-Таккера: . (1.2) Предельная полезность товаров представлена величинами Система уравнений имеет решение. Если , тогда . Поэтому для всех закупленных товаров множитель Лагранжа положителен. Отношение предельной полезности товаров к их цене одинаково для всех товаров в наборе, а весь доход должен быть израсходован. Условия (1.2) принимают вид: . Условия (1.2) выполняются в точке и являются решением задачи потребления. Предельная полезность каждого товара равна нулю и, следовательно, общая полезность набора максимальна. Таким образом определяем спрос на товары как функции цен и дохода Это функции спроса потребителя по Маршаллу (по Вальрасу). Функции спроса являются однородными нулевой степени, что следует из уравнения бюджетной линии. Определить характер функциональной зависимости спроса потребителя на товары при изменении цен и дохода можно, проведя сравнительно-статистический анализ – сопоставив параметры оптимума потребителя до и после изменения одной из названных переменных. Так можно вывести зависимости «доход – потребление» и «цена – потребление». Оптимальный множитель Лагранжа, равный отношению предельной полезности любого товара к его цене, интерпретируется как полезность, приходящаяся на денежную единицу, измеряет предельную полезность денежной единицы. Поскольку числитель выражения - предельная полезность единицы товара, а знаменатель его предельные издержки, то множитель Лагранжа можно представить как коэффициент «результат - затраты», который одинаков для всех товаров, входящих в набор, в оптимальной точке. Его можно рассматривать как меру степени, в которой изменение бюджетного ограничения влияет на значение функции полезности. При высоком дополнительная денежная единица в доходе потребителя существенно увеличивает общую полезность набора, при низком коэффициенте увеличивает незначительно. Согласно необходимым условиям максимума функции полезности в оптимальной точке каждый рубль, дополнительно затрачиваемый на покупку товара, должен приносить покупателю одинаковую «добавочную полезность» не зависимо от того, на какой товар он был потрачен. Множитель является функцией цен и дохода и представляет величину, на которую увеличится оптимальный уровень полезности набора при бесконечно малом приращении дохода. Пропорциональное изменение цен всех товаров и дохода не изменяет содержание оптимального набора потребителя. Функции спроса являются однородными относительно всех цен и дохода. Поэтому спрос зависит от относительных цен и от отношения дохода к одной из цен . Функция называется косвенной (неявной) функцией параметров а есть максимум функции полезности. Максимальная полезность, достигаемая в точке оптимального набора, косвенно зависит от цен и дохода. Косвенная функция полезности применяется для изучения влияния налогов и субсидий на уровень полезности набора, приобретаемого потребителем. Ведь налоги уменьшают, а субсидии увеличивают доход потребителя. Условия второго порядка или достаточные условия оптимизации состоят в следующем. Условие устойчивости или необходимое условие экстремума функции многих переменных имеет вид , так как Тогда выполняется достаточное условие оптимальности: полный дифференциал второго порядка функции полезности Лагранжа отрицателен при отрицательных значениях вторых частных производных функции полезности и Следовательно, набор имеет максимальную общую полезность для потребителя. Эффект дохода и эффект замещения по Е. Слуцкому и Дж. Хиксу для нормальных товаров Различие в трактовке реального дохода Дж. Хиксом и Е. Слуцким Номинальный доход представляет собой сумму денег, которой располагает (может потратить) потребитель на приобретение товаров и услуг. Если изменяется цена хотя бы одного товара (например, понижается), то потребитель сможет купить прежний набор товаров и у него при этом останется часть его номинального дохода. Если номинальный доход не изменяется, а реальный доход возрастает, то потребитель израсходует весь номинальный доход. Таким образом, если цена товара снижается, то растут благосостояние потребителя и его реальный доход, имеют место два эффекта: эффект замещения и эффект дохода. Эти эффекты различаются для нормальных товаров, товаров низшего качества, комплементов и др. Эффект замещения характеризует изменение спроса, вызванного замещением одного относительно подорожавшего товара другим относительно подешевевшим вследствие изменения цены одного из товаров. Так, если товар дорожает, то его покупают меньше и замещают другим, более дешевым товаром. Эффект дохода представляет собой изменение спроса потребителя вследствие изменения его реального дохода. Так, если цена одного из товаров понижается, то потребитель сможет приобрести на свой номинальный доход больше или одного или обоих товаров. Е. Слуцкий и Дж. Хикс выделили названные эффекты, используя каждый свое определение реального дохода. Е. Слуцкий измеряет реальный доход количеством товаров, которое может приобрести потребитель на свой номинальный доход. Если после изменения цены хотя бы одного товара на номинальный доход можно купить столько же товаров, сколько и раньше до изменения цены, то реальный доход потребителя не изменился. Дж. Хикс измеряет реальный доход потребителя полезностью набора товаров, который может купить потребитель. Если номинальный доход позволяет купить набор той же полезности, что и полезность ранее купленного товарного набора, то реальный доход потребителя по Хиксу не изменился. Эффекты дохода и замещения по Е. Слуцкому. Уравнение Е. Слуцкого Простейший пример, позволяющий лучше усвоить суть эффекта замещения и эффекта дохода. Первоначально потребитель покупает набор : 4 кг груш по 10 руб. за кг. и 4 кг яблок по 15 руб. за кг. И расходует свой доход в 100 руб. 4 кг груш·10 руб. +4 кг яблок 15 руб. =100 руб. Пропорция покупки 4:4 или на 1 кг груш покупаем 1 кг яблок. Цена яблок понижается до 6 руб. На рынок привезли много яблок из-за рубежа, предложение яблок резко выросло и их цена снизилась. Цена груш осталась неизменной, но они подорожали относительно яблок. Наш потребитель, расходуя свой доход, покупает 5 кг груш и 8 кг яблок. Пропорция покупки 5кг:8кг. 5 кг груш·10 руб. +8 кг яблок·6 руб. 100 руб. Если бы было куплено прежнее количество яблок и груш, то для этого понадобилось бы 4 кг груш·10 руб. +4 кг яблок 6 руб. =64 руб. Высвободившиеся 36 руб. были потрачены на дополнительные покупки и груш и яблок. = ‒ Значением мы воспользуемся при выведении уравнения Слуцкого. Пропорция покупки 5:8 означает: во-первых, при прежнем номинальном доходе в 100 руб. реальный доход вырос. Мы купили больше, чем прежде, и яблок и груш. И увеличение покупок отражает эффект выросшего реального дохода, вызванного снижением цены яблок. Но яблоки и груши куплены (это набор ) не в прежней пропорции. Яблок купили больше потому, что они относительно груш дешевле, а груши стали относительно яблок более дорогим товаром. Изменение структуры спроса (покупки) свидетельствует, что более дорогие груши замещались более дешевыми яблоками. Это эффект замещения более дорого товара менее дорогим. Этот простой пример позволяет лучше понять эффекты дохода и замещения Потребитель приобретает набор из двух товаров: и - нормальные товары, - цена товара , а - цена товара (для таких товаров спрос , если цена ; спрос , если цена ). Номинальный доход потребителя не изменяется, т.е. . При этом предполагается, что цены всех остальных товаров в экономике остаются неизменными. Допустим, что, а . Представим ситуацию графически. На рис. 22 по оси абсцисс отложим количество товара , по оси ординат – количество товара . Исходное положение потребителя представлено бюджетной линией 1, ее уравнение , а набор – оптимальный набор. Так как цена товара снижается, то при неизменном номинальном доходе и цене товара бюджетная линия 1 перемещается в положение бюджетной линии 2. Уравнение новой бюджетной линии , а оптимальным набором становится набор . На рис. 22 рациональный потребитель выбрал набор . Но он мог бы увеличить потребление товара после снижения его цены и роста реального дохода и оставить неизменным потребление товара . Если - нормальный товар, то спрос на него обязательно увеличивается и Если бы товар был товаром низшего качества, то новая точка оптимума находилась бы на отрезке бюджетной линии 2, соответствующем отрезку на оси абсцисс. На бюджетной линии 2, соответствующем отрезку , была бы новая точка оптимума, если бы товар был товаром низшего качества. Общий эффект характеризует изменение спроса на товар при снижении его цены () и равен . Изменение спроса состоит из эффекта, вызванного изменением (ростом) реального дохода потребителя, и эффекта замещения. Рациональный потребитель склонен замещать относительно подорожавший товар относительно более дешевым. Выделим из общего эффекта эффект замещения и эффект дохода. Для этого проведем вспомогательную бюджетную линию 3, ее уравнение , и определим положение набора . Бюджетная линия 3 проходит через точку и параллельна линии 2. Каждой точке бюджетной линии 3 соответствуют наборы, представляющие реальный доход потребителя, определяемый товарным набором , но при новых ценах. На бюджетной линии 3 товары приобретаются по ценам бюджетной линии 2. После снижения цены одного из товаров потребителю потребуется меньшая величина номинального дохода, чтобы приобрести прежний набор. Вспомогательный набор определяем точкой касания кривой безразличия и бюджетной линии 3. Необходимо помнить, что кривые безразличия не пересекаются. В случае приобретения наборов и реальный доход потребителя остается неизменным. При переходе от набора к набору потребитель замещает на . Сравнивая товарные наборы и , вычленим эффект увеличения реального дохода. Для товара он составляет , для товара равен . Таким образом, имеем: Эффект Для товара Для товара Общий Замещения( - substitution) . Дохода( - income) Общий эффект равен сумме эффекта замещения и эффекта дохода: . (2.1) Изменение спроса на товар вызвано изменением цены этого товара. Разделим выражение общего эффекта на величину : . (2.2) Величина характеризует изменение спроса на товар при изменении его цены, вызванное замещением товара товаром . Величина характеризует изменение спроса на товар , вызванное изменением дохода потребителя на . Определим изменение реального дохода потребителя в денежном выражении (), вызванное снижением цены товара (). Оно составляет . Последнее выражение означает, что если цена товара понижается, то потребитель весь высвободившийся номинальный доход расходует только на покупку товара . Подставив найденное значение в слагаемое уравнения (2.2), характеризующее отношение эффекта дохода к вызвавшему его изменению цены, получим уравнение Е. Слуцкого: . Если цена товара изменяется на бесконечно малую величину, уравнение имеет следующий вид: . Для нормальных товаров имеем: . Оба эффекта действуют в одном направлении, они положительны при снижении цены товара, т.е. при отрицательном значении . Эффект дохода действует в направлении, обратном изменению цены. Для нейтрального товара . Нейтральный товар не реагирует на изменение реального дохода. Это означает, что доход или увеличивается или уменьшается, а объем покупок данного товара не изменяется. Для товаров низшего качества , Если цена снижается, то и эффект дохода уменьшается, если цена товара растет, то и эффект дохода увеличивается. Для товара Р. Гиффена эффект дохода действует в направлении, противоположном эффекту замещения, и превышает его по абсолютной величине. Эффект дохода и замещения по Дж. Хиксу Известны исходные данные: цены товаров () и доход потребителя (). Рассмотрим случай, когда цена товара снижается (). Представим ситуацию графически (рис. 23). Уравнение бюджетной линии 1 имеет вид: . Набор - первоначальный оптимальный набор потребителя. Цена товара снижается (), цена другого товара и доход потребителя остаются неизменными. Рациональный потребитель замещает ставший более дорогим товар относительно подешевевшим товаром и переходит на бюджетную линию 2, в точку оптимума . Уравнение бюджетной линии 2 такое же, как в случае анализа эффектов по Е. Слуцкому: . Точка отмечает новый оптимум потребителя. Товарный набор находится на более удаленной от начала координат кривой безразличия, чем набор . Следовательно, набор имеет большую полезность, и, по определению Дж. Хикса характеризует более высокий реальный доход. Увеличение спроса на товар составляет . Это и есть общий эффект снижения цены товара . Чтобы выделить из общего эффекта эффект дохода и эффект замещения, определим вспомогательный товарный набор , который можно купить по новым ценам – ценам бюджетной линии 2. Таким образом, наборы и покупают по ценам и . Положение набора на бюджетной линии 3 определяем следующим образом. Поворачиваем бюджетную линию 1 вдоль кривой безразличия так, чтобы она стала параллельной бюджетной линии 2 и коснулась кривой безразличия . Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией 3 является вспомогательной оптимальной точкой потребителя. Наборы и лежат на одной кривой безразличия и имеют одинаковую полезность. Если бы потребитель приобрел набор после изменения цены товара , то его реальный доход не изменился бы. Это позволяет выделить эффект замещения товара товаром . Товар в количестве замещается товаром в количестве . Сравнивая товарные наборы и , вычленяем эффект изменения реального дохода. Реальный доход потребителя увеличился, и это позволило ему приобрести дополнительно товара в объеме и товара в количестве . Таким образом, имеем Эффект Для товара Для товара Общий Замещения . Дохода Для нормальных товаров по Дж. Хиксу, как и по Е. Слуцкому, соотношения отрицательны. Координаты точки , отмечающие количество товаров в наборе, на рис. 22 по Е. Слуцкому и на рис. 23 по Дж. Хиксу различаются. В этом можно убедиться, совместив оба рисунка. Различие объясняется определениями реального дохода Дж. Хиксом и Е. Слуцким. Перекрестные эффекты по Дж. Хиксу. Основное уравнение теории стоимости и его экономическая интерпретация Перекрестный эффект возникает, когда изменение цены одного товара вызывает изменение в спросе другого товара. Товары и нормальные. Известны цены товаров () и номинальный доход потребителя (). Рассмотрим, каким образом изменение (повышение) цены () товара повлияет на объем спроса на товар . Представим ситуацию графически (рис. 24). Построим исходную бюджетную линию и определим первоначальную точку оптимума рационального потребителя – точку .Увеличение цены товара приводит к тому, что бюджетная линия 1 сдвигается в положение 2. Уравнение бюджетной линии 2 имеет вид: . Увеличение цены вызывает сокращение реального дохода потребителя, и теперь потребитель за тот же номинальный доход может купить товарный набор меньшей полезности, чем товарный набор . Изменение спроса на товар в результате повышения цены составит: . Изменение спроса на товар в результате повышения цены составит: . Чтобы выделить из общего эффекта эффект дохода и эффект замещения, необходимо найти вспомогательный набор на бюджетной линии 3. Уравнение бюджетной линии 3 имеет вид: . Бюджетная линия 3 проводится следующим образом. Необходимо повернуть бюджетную линию 1 вокруг кривой безразличия так, чтобы она стала параллельной бюджетной линии 2. Бюджетные линии 1 и 3 имеют одинаковые наклоны, и наборы в каждой точке этих линий приобретаются по одним и тем же ценам. Точка касания бюджетной линии 3 с кривой безразличия определяет искомую вспомогательную точку . Товарный набор представляет такой же реальный доход по Хиксу, что и набор , так как они оба находятся на одной кривой безразличия и имеют одинаковую полезность для потребителя. Сравнивая товарные наборы и , выделим эффект замещения, а сравнивая наборы и , - эффект изменения реального дохода. В итоге получим следующие значения эффектов: Эффект Для товара Для товара Общий ; Замещения . Дохода Цена товара повышается. Следовательно, товар , цена которого не изменилась, стал относительно дешевле товара . Рациональный потребитель в такой ситуации замещает товар (в количестве ) товаром (в объеме ). Уменьшение реального дохода потребителя заставило его сократить покупки товара на величину . В результате этого эффект дохода и эффект замещения для товара изменялись в разных направлениях, и увеличение спроса на товар оказалось незначительным. Что касается товара , то рост цены на этот товар привел к сокращению спроса на него. Это обусловлено сокращением реального дохода и замещением товара товаром . Относительное изменение спроса на товар в результате роста цены составило: . (2.3) Определим прирост дохода, который потребовался бы потребителю, чтобы купить набор после повышения цены товара , имеющего такую же полезность, что и первоначальный набор , т.е. . Подставим найденное значение прироста цены в выражение (2.3): (2.4). Если – бесконечно малая величина, то выражение (2.4) принимает следующий вид: . Для любых двух товаров и уравнение (2.4) имеет вид: . Используя графическую иллюстрацию ситуации, когда изменение цены хотя бы одного товара вызывает изменение спроса рационального потребителя на другие товары, сделаем первый шаг в обосновании основного уравнения теории стоимости. Если спрос на товар растет с ростом цены товара (или спрос на товар уменьшается после снижения цены товара ), то и товары являются товарами субститутами. Если , т.е. спрос на товар растет при снижении цены товара , то товары и являются товарами комплементами. Если , то спрос на товар не изменяется при изменении цены товара , товары и являются независимыми товарами. Оценка изменения благосостояния потребителя Благосостояние потребителя не остается неизменным. Изменяются доходы потребителей, размеры денежных компенсаций социально защищенным слоям населения, цены на товары и услуги в экономике, изменяется государственная политика налогов и субсидий. Происходящие изменения в благосостоянии можно оценить с помощью выгоды потребителя, чистой полезности благ, приобретаемых потребителем. Маршаллианский потребительский излишек Избыток потребителя, измеренный на основе кривой спроса по А.Маршаллу, является одним из показателей его выгоды. На рис. 3.1. представлена стандартная кривая спроса . Общий избыток, получаемый потребителем от потребления товара в объеме , равен площади , измеряемой величиной , где - обратная функция спроса на товар . Чистый избыток, или маршаллианский избыток потребителя (), в денежной форме выражает чистую полезность от потребления товара, приобретенного по цене . При повышении цены с до чистый избыток сокращается на величину , где - прямая функция спроса на товар . Наоборот, снижение цены с до увеличивает потребительский избыток на . Точно измерить изменение полезности в денежном выражении можно только в том случае, если каждой денежной единице соответствует неизменная величина полезности. Другими словами, предельная полезность денег должна быть постоянной величиной. Изменение цены товара, кроме изменения избытка потребителя, вызывает появление эффекта замещения и эффекта дохода. При снижении цены реальный доход потребителя при неизменном номинальном доходе увеличивается. С увеличением количества товаров их предельная полезность уменьшается. Если после снижения цены потребитель приобретает прежнее количество товара, то у него появляется часть неизрасходованного дохода. И хотя номинальный доход остается неизменным, но предельная полезность высвободившихся денег снижается. При повышении цены товара реальный доход потребителя уменьшается, предельная полезность приобретаемого товара увеличивается. Количество денег, остающееся у потребителя после покупки ставшего более дорогим товара, уменьшается, а их предельная полезность увеличивается. Следовательно, в результате действия эффекта дохода деньги при измерении избытка потребителя не являются стабильной мерой полезности, не точно измеряют изменение уровня полезности и изменение благосостояния потребителя. Чтобы точно измерить изменение чистой полезности в денежной форме, необходимо зафиксировать полезность денежной единицы. Поэтому следует элиминировать действие эффекта дохода при изменении цены товара. Для измерения изменения полезности и благосостояния потребителя используются компенсирующая и эквивалентная вариации дохода. Компенсирующая вариация дохода Потребитель приобретает товаров. Уравнение бюджетной плоскости запишем в виде . В системе координат это первая бюджетная линия потребителя. Здесь - расход потребителя на все товары, кроме первого, рассматривается как количество композитного товара. Потребитель выбирает оптимальный набор . Это его исходный набор. Координаты точки касания кривой безразличия и первой бюджетной линии отмечают количество товара и количество композитного товара в этом наборе. Если цена товара выросла и стала равной , то бюджетная линия принимает вид . Это вторая бюджетная линия. Потребитель выбирает новый оптимальный набор в точке с координатами ‒ точке касания второй бюджетной линии и новой кривой безразличия . Полезность набора меньше полезности набора . Определим величину , на которую следует увеличить номинальный доход потребителя, чтобы он смог приобрести набор такой же полезности, что и набор , т.е. чтобы его реальный, по определению Хикса, набор остался неизменным, а благосостояние не изменилось. Для этого необходимо переместить бюджетную линию вправо так, чтобы она была параллельна второй бюджетной линии (отражала бы больший номинальный доход с ценами второй бюджетной линии). Точка касания третьей бюджетной линии с первой кривой безразличия отмечает набор, имеющий такую же полезность, что и набор . Величина и есть компенсирующая вариация дохода (). Она показывает, на какую величину надо увеличить номинальный доход потребителя, чтобы компенсировать снижение реального дохода потребителя в связи с повышением цены на товар . При такой компенсации потребитель сможет приобрести набор , имеющий такую же полезность, что и набор . При переходе из точки в точку отражается эффект замены подорожавшего товара относительно подешевевшего товара при неизменном реальном доходе, так как эти наборы находятся на одной и той же кривой безразличия и имеют одинаковую общую полезность. Переход из точки в точку отражает только эффект дохода, вызванный увеличением первоначального дохода на величину компенсирующей вариации дохода, и сохранением неизменной цены товара . Переход из точки в точку , от набора к набору , осуществляется при наличии общего эффекта изменения цены товара , включающего эффект замены и эффект дохода. Общий эффект равен , эффект замещения ‒ , эффект дохода ‒ . Для композитного товара общий (перекрестный) эффект, вызванный изменением цены товара составляет , эффект замещения ‒ , эффект дохода ‒ . Таким образом, имеем . Отсюда следует . (3.1) В обоих выражениях были сделаны подстановки Для любых двух товаров при бесконечно малых изменениях всех переменных равенства (3.1) приобретают вид: . (3.2) Они в простейшей форме иллюстрируют уравнение Слуцкого в случае прямого и перекрестного эффектов. Компенсирующая вариация дохода компенсирует изменение полезности и благосостояния, обусловленные изменением цен. Так как она определяется при неизменном реальном доходе по Хиксу, элиминирует влияние эффекта дохода при изменении цен, то предельная полезность денег при расчете не изменяется. Поэтому компенсирующая вариация дохода, а не маршаллианский потребительский избыток, является точной мерой изменения полезности и благосостояния потребителя. Эквивалентная вариация дохода Реальный доход потребителя может снизиться или при повышении цены хотя бы одного товара или при снижении номинального дохода. Задача формулируется следующим образом. На какую величину надо уменьшить номинальный доход, чтобы реальный доход, т.е. уровень полезности приобретаемого потребителем набора товаров, снизился бы в такой же степени, в какой он снижается при повышении цены? Для анализа ситуации воспользуемся рис. 3.2. На исходной первой бюджетной линии до повышения цены товара находится оптимальный набор потребителя . После повышения цены товара потребитель приобретает набор , находящийся на второй бюджетной линии. На четвертой бюджетной линии сохраним цены, соответствующие первой бюджетной линии и уменьшим номинальный доход на так, чтобы четвертая бюджетная линия коснулась кривой безразличия . Это точка . Набор в точке касания четвертой бюджетной линии и кривой имеет такую же полезность, что и набор . Таким образом, на кривой безразличия находятся два имеющие одинаковую полезность набора товаров и . Но первый, т.е. набор , приобретается потребителем как оптимальный набор после повышения цены товара , а второй, т.е. набор , приобретается также как оптимальный набор после уменьшения номинального дохода потребителя на . Величина называется эквивалентной вариацией дохода . Уменьшение номинального дохода с на оказывает такое же влияние на положение потребителя, что и повышение цены товара с до . Поэтому эквивалентная вариация дохода может служить мерой изменения полезности приобретаемых наборов и благосостояния потребителей при изменениях цен. Сравнивая наборы одинаковой полезности и , обнаруживаем, что в наборе больше товара , чем в наборе на величину . Она представляет эффект замещения по Хиксу при повышении цены. При определении эквивалентной вариации дохода мы элиминируем действие эффекта дохода, поэтому предельная полезность денег остается неизменной. Воспользуемся рис. 3.2. и представим следующий ход событий. Исходная ситуация характеризуется оптимальной точкой на второй бюджетной линии и кривой безразличия . Цена товара равна . Она снижается до , вторая бюджетная линия занимает положение первой линии, а набор становится оптимальным, его выбирает рациональный потребитель. Полезность оптимального набора повышается с до . На какую величину необходимо уменьшить номинальный доход потребителя, чтобы полезность набора, который он приобретет, была такой же, как и у исходного оптимального набора . Номинальный доход следует уменьшить на , передвинув вторую бюджетную линию параллельно самой себе в сторону начала координат (цены не изменяются, доход уменьшается). Она займет положение четвертой бюджетной линии, а оптимальным набором в таком случае становится набор . Таким образом, величина представляет собой компенсирующую вариацию дохода при снижении цены. При повышении цены она была эквивалентной вариацией дохода. Исходный оптимальный набор потребителя находится в точке . Насколько нужно увеличить его денежный доход, чтобы при исходной цене он получил бы такой же реальный доход, какой он имел бы при снизившейся цене на кривой безразличия в точке ? Для этого необходимо исходную бюджетную линию, т.е. вторую линию, передвинуть параллельно самой себе в противоположную сторону от начала координат и она займет положение третьей бюджетной линии (цены сохраняются, доход увеличивается). Оптимальным набором станет набор . Чтобы его получить, необходимо увеличить номинальный доход на . Это есть эквивалентная вариация дохода. При повышении цены она была компенсирующей вариацией дохода. Набор , полученный после снижения цены в случае компенсирующей вариации дохода и набор , полученный после увеличения номинального дохода в случае эквивалентной вариации дохода, имеют одинаковую полезность. Таким образом, компенсирующая вариация дохода при повышении цены (1 ситуация) равна эквивалентной вариации дохода при снижении цены (2 ситуация). Рассмотрим соотношение величин , и . Обратимся к рис. 3.3. На нем представлены маршаллианская кривая спроса и кривые компенсированного спроса. Первая отражает изменение компенсированного спроса при снижении цены товара с до . Вторая характеризует изменение компенсированного спроса при повышении цены с до . Соотношение компенсирующей , эквивалентной вариации дохода и потребительского излишка. Цена товара понижается с до . Потребительский избыток увеличивается на величину площади трапеции . Площадь прямоугольника характеризует увеличение выгоды потребителя на счет снижения цены. Таким был бы потребительский излишек, если бы после снижения цены потребитель покупал прежнее количество товара в объеме и не было бы ни эффекта замены, ни эффекта дохода. Его называют чистым эффектом цены, который равен . Площадь треугольника представляет выгоду потребителя, которую он получает после снижения цены товара и которая состоит из эффекта замещения и эффекта дохода. Площадь треугольника характеризует увеличение выгоды потребителя за счет эффекта замещения, а треугольника - за счет эффекта дохода. При формировании компенсирующей вариации дохода действие эффекта дохода не учитывается, поэтому ее величина при снижении цены меньше изменения потребительского излишка на величину эффекта дохода. Таким образом, компенсирующая вариация дохода при снижении цены есть эквивалентная вариация дохода при повышении цены. Динамика дохода, цен и благосостояние потребителей В анализе динамики благосостояния потребителя используются индексы цен, дохода и объемов приобретаемых товаров и услуг. В базисном периоде их величины имеют индекс 0, в текущем периоде ‒ . Если текущим периодом является следующий за базисным год, то названные показатели имеют индекс 1. Потребительский набор, содержащий товаров, обозначают вектором , а цены товаров вектором цен . Далее все индексы записаны для случая двух товаров и с ценами и . Индексы в общем случае для товаров по существу не отличаются от индексов в частном случае. Индекс номинального дохода определяется следующим образом: . Он показывает, во сколько раз вырос доход, если ; или снизился, если , номинальный доход потребителя в текущем периоде по сравнению с базисным. На основе индекса номинального дохода нельзя сделать вывод об изменении реального благосостояния потребителя, которое зависит не только от величины номинального дохода, но и от объемов и структуры приобретаемых товаров, а также от изменения цен. В индексе цен цены изменяются в текущем периоде, а потребительский набор остается неизменным. Если в индексе цен используется набор базисного периода, то это индекс Ласпейреса . Если в индексе цен используется набор текущего периода, то имеем индекс Пааше . Индексы цен имеют вид: , . Индекс цен Ласпейреса показывает, во сколько раз выросла стоимость потребительского набора базисного периода в текущих ценах относительно стоимости этого же набора в ценах базисного периода. Индекс цен Пааше показывает, во сколько раз выросла стоимость потребительского набора, купленного в текущем периоде, в текущих ценах по сравнению со стоимостью этого же набора в ценах базисного периода. Индексы цен Ласпейреса и Пааше сами по себе не могут служить показателями динамики реального благосостояния потребителя, так как они не связаны с динамикой номинального дохода. Кроме того индексы цен не учитывают влияния изменения структуры потребительского набора, а потому точно не характеризуют изменение цен. Так, если , то , и наоборот, если , то . Поэтому индекс цен Ласпейреса, в котором в качестве весов используются объемы базисного периода, преувеличивает изменение цен в случае их роста и преуменьшает – в случае снижения. Индекс цен Пааше, в котором в качестве весов используются объемы товаров текущего периода, преуменьшает изменение цен в случае их роста и преувеличивает в случае их снижения. В измерении изменения объемов приобретаемых товаров или изменения уровня жизни используются индексы, в которых объемы потребляемых благ изменяются от одного периода к другому, а цены остаются неизменными. Если в качестве весов используются цены базисного периода, то имеем индекс Ласпейреса: . Если в качестве весов используются цены текущего периода, по получим индекс Пааше: . Индексы объемов покупаемых потребителем товаров Ласпейреса и Пааше измеряют динамику реального дохода, в индексах используются неизменные цены. Используем теорию выявленных предпочтений и индексы цен, номинального и реального дохода для оценки динамики благосостояния потребителя при переходе от базисного к текущему периоду. Если , то . Это означает, что набор базисного периода выявлено предпочитается потребительскому набору текущего периода. Следовательно, благосостояние потребителя в базисном периоде было лучше, в текущем периоде оно снизилось. Если , то . Неравенство означает, что в базисном периоде текущий набор потребителю был недоступен. В теории выявленных предпочтений сравниваются только доступные потребителю наборы. Недоступный набор может быть для потребителя более или менее предпочтительным, чем доступный набор. Поэтому неравенство не дает однозначного ответа на вопрос, снижается или растет благосостояние потребителя при переходе от базисного к текущему периоду. Если , то . Это означает, что потребительский набор текущего периода выявлено предпочитается набору базисного периода. Если , то . Здесь, как и в случае , нет однозначного вывода о росте или снижении благосостояния потребителя при переходе от одного периода к другому. Сравним индексы номинального дохода и индексы цен Ласпейреса и Пааше. Если , то . После сокращения обеих частей неравенства на положительное число в знаменателе дробей, получим выражение . Эта ситуация имела место в случае и был сделан вывод о повышении благосостояния потребителя в текущем периоде по сравнению с базисным. Если , то . Этот случай аналогичен ситуации, когда и, следовательно, . Здесь нет однозначного ответа о динамике благосостояния потребителя в текущем периоде по сравнению с базисным. Базисный набор или был недоступен потребителю в текущем периоде или изменились вкусы потребителя. Случай сводится к случаю , при переходе от базисного периода к текущему благосостояние потребителя выросло. Случаи и аналогичны случаям и . В случае благосостояние потребителя повысилось, в случае не существует однозначного ответа об изменении благосостояния потребителя. Сравнение индексов цен и дохода для населения всей страны, региона, социальных групп позволяет оценивать изменение их благосостояния за любые периоды времени. Литература Аллен Р. Математическая экономия. М.: Изд-во ИЛ. 1963. Горбунов В.К. Математическая модель потребительского рынка: теория и прикладной потенциал. М.: Экономика. 2004. Германова О.Е. Микроэкономика: учебное пособие для магистров. Ростовн/Д: Изд-во ЮФУ, 2010 Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: ДИС. 2001. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: АЙРИС ПРЕСС. 2002. Льюис Р.Д., Райфа Х. Игры и решения. М.: ИЛ,1961. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. М.: УРАО. 1998. Самуэльсон П. А. Основания экономического анализа. СПб.: 2002. Теория потребительского поведения и спроса. Под ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа. 1993. Хикс Джон Р. Стоимость и капитал. М.: Издательская группа «Прогресс», 1993. Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Учебник. М.: ИНФРА-М. 2005. Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Учебное пособие. М.: ИНФРА-М. 2005. Черемных Ю. Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. Учебник. М.: ИНФРА-М. 2008. Varian H. R. Microeconomic Analysis. W.W. Norton and Company. 1992. Научные работы профессора Германовой О.Е., используемые в преподавании микроэкономики 1. Германова О.Е., Абдуллаев Р.А. Поведение рационального потребителя в координатах доход-цена. Экономический вестник Ростовского государственного университета. Том 4, №2, 2006 ‒ 1п.л. 2. Германова О.Е., Абдуллаев Р.А. Поведение потребителя в координатах «потребление – доход» и «цена – потребительский излишек». Экономический вестник Ростовского государственного университета. Том 4, №3, 2006 ‒ 1п.л. Типичные задачи для зачета Задание 1. Функция полезности потребителя , доход руб., цены товаров руб. Найти оптимальный набор потребителя, имеющий максимальную общую полезность. Решение. Используя условие задачи, запишем уравнение бюджетной линии: или На основе функции общей полезности запишем условие оптимального положения потребителя в экономике, при выполнении которого потребитель приобретает набор, имеющий для него максимальную полезность. Условие выполняется в точке , рис. 2.4б. Выполним необходимые преобразования, получим уравнение: Координаты оптимального набора определим, решив систему уравнений: . Отсюда Таким образом, в оптимальном наборе Задание 2. Функция полезности потребителя , доход руб., цены товаров . Найти равновесный набор, имеющий для потребителя максимальную общую полезность. Решение. В наборе, приобретаемом потребителем, три товара. Функция общей полезности представляет собой функцию четырех переменных. Задачу решаем, используя функцию полезности Лагранжа. . Необходимое условие максимума функции Лагранжа: . Первые три условия можно представить в виде: Последнее равенство содержит в себе два уравнения: Вместе с бюджетным ограничением составим систему трех уравнений с тремя неизвестными: . Отсюда Это и есть оптимальный набор. Предельную полезность денег для потребителя можно определить из любого условия: Определим предельную полезность каждого товара для потребителя и сравним ее с предельной полезностью денег. Потребитель товары ценит больше чем деньги. Задание 3. Функция полезности потребителя его доход цены товаров Цена снизилась до 2 руб. Определить, как изменилась величина спроса на товар за счет эффекта дохода и эффекта замещения по Дж. Хиксу и по Е. Слуцкому. Определить перекрестные эффекты по Хиксу и по Слуцкому. Решение. Определим общий эффект, эффект замещения и эффект дохода по Дж. Хиксу. Уравнение исходной бюджетной линии потребителя . Для оптимального набора выполняется условие Отсюда Решаем систему уравнений . Находим координаты первоначального набора : . После снижения цены товара потребитель переходит на новую бюджетную линию: . Условие оптимальности для набора имеет вид: Отсюда . Решаем систему уравнений . В наборе имеем . Определим координаты вспомогательного набора , рис. 2.2 или 2.11. Он находится на той же кривой безразличия, что и набор . Поэтому полезности наборов и равны: . Кроме того, набор находится на бюджетной линии 3, наклон которой равен наклону линии 2 (они паралельны) и выполняется условие оптимальности Отсюда . Решаем совместно уравнения: . Получим . Отсюда . Определим общий эффект изменения цены, эффект замещения и эффект дохода по Дж. Хиксу: . Определим перекрестные эффекты по Дж. Хиксу: . Определим общий эффект, эффект замещения и эффект дохода по Е. Слуцкому. Первоначальный набор и набор в определении Е. Слуцкого содержат такое же количество товара и товара , что и наборы в определении Дж. Хикса, т.е. , . Для определения координат набора запишем уравнение бюджетной линии 3. Она проходит через точку и параллельна линии 2 (рис. 2.1 или рис. 2.15). На линии 3 номинальный доход меньше на величину На 30 руб. меньше понадобится потребителю, чтобы после снижения цены товара купить набор . Поэтому уравнение бюджетной линии имеет вид: или . Условие оптимальности . Решаем совместно систему уравнений , откуда находим Определим общий эффект изменения цены товара , эффект замещения и эффект дохода по Е. Слуцкому: . Определим перекрестные эффекты по Е. Слуцкому: . Задание 4. Функция полезности потребителя имеет вид цена товара равна руб. за единицу, цена товара равна руб. Доход потребителя руб. Определить компенсирующую и эквивалентную вариацию дохода и изменение потребительского излишка , если цена товара снижается вдвое. Решение. Воспользоваться рисунком, который рассматривался в лекции. Определим компесирующую вариацию дохода Находим координаты исходного (начального) набора Уравнение первой бюджетной линии Условие оптимального положения потребителя Подставляем найденное выражение для в уравнение бюджетной линии, откуда находим: Таким образом, Цена товара снижается вдвое: Потребитель переходит на вторую бюджетную линию и может приобрести набор Задание состоит в том, чтобы определить, на какую величину необходимо уменьшить номинальный доход потребителя, чтобы полезность набора, который он приобретет, была такой же, как и у исходного оптимального набора Таким набором является набор он находится на бюджетной линии 3 и на той же кривой безразличия, что и набор На бюджетной линии 3 цены такие же, что и на линии 2. Определим координаты набора Уравнение 3 бюджетной линии: Полезность наборов и одинакова, так как они находятся на одной кривой безразличия. Поэтому выполняется равенство Условие оптимальности набора имеет вид: Решая совместно уравнения и получим Из уравнения бюджетной линии находим Это и есть компенсирующая вариация дохода при снижении цены товара. Благосостояние потребителя не изменится при условии: или цена товара снижается вдвое, или если номинальный доход потребителя уменьшится на компенсирующую вариацию дохода в размере Определим эквивалентную вариацию дохода . Надо дать ответ на вопрос: на какую величину надо повысить номинальный доход, чтобы при первоначальных ценах (на бюджетной линии 1) купить набор такой же полезности, что и полезность набора который потребитель мог купить после снижения цены товара Определим координаты набора Он находится на бюджетной линии Условие оптимальности Используя условие оптимальности и уравнение бюджетной линии, находим Набор имеет координаты Бюджетная линия 4 параллельна линии 1, то для приобретения набора, находящегося на этой линии требуется больший доход, чем доход на линии 1. Поэтому уравнение четвертой бюджетной линии имеет вид: Наборы и имеют одинаковую полезность, поэтому Условие оптимальности для набора при первоначальных ценах Подставим в выражение получим Из уравнения бюджетной линии находим Таким образом, Это и есть эквивалентная вариация дохода при снижении цены товара. Определим изменение потребительского излишка, рис. 2.23. Изменение потребительского излишка составило сумму площади прямоугольника и площади треугольника: Если бы потребление товара в объеме не изменилось после изменения цены, то чистый эффект цены составил бы Координаты набора позволяют определить влияние на изменение потребительского излишка эффекта дохода и эффекта замещения. Общее изменение спроса составило эффект дохода равен эффект замещения равен За счет эффекта дохода и эффекта замещения изменение потребительского излишка составило Только за счет эффекта дохода изменение потребительского излишка составило за счет эффекта замещения Решение здания позволяет сделать вывод: для нормального товара, цена которого снижается, эквивалентная вариация дохода больше изменения потребительского излишка, больше компенсирующей вариации дохода.