Теория оптимального управления экономическими системами

Теория оптимального управления экономическими системами ВВЕДЕНИЕ Экономика служит для удовлетворения потребностей общества в предметах потребления. Внешняя среда существования национальной экономики включает природу, мировую экономику и общество. Элементами экономики являются хозяйственные единицы (предприятия, фирмы, банки и т.п.). Они объединяются в две основные подсистемы экономики - производственную и финансово-кредитную. Эффективность экономики зависит от продуктивности хозяйственных единиц, взаимоотношений между ними и влияния внешней среды. Эта зависимость выражается устойчивыми количественными закономерностями, следовательно, может быть представлена математическими моделями. Под управлением экономикой понимается организация процессов для достижения установленной цели. Оптимальное управление представляет выработку непрерывной во времени функции управления, позволяющей поддерживать экономику в таком состоянии, которое выражается непрерывной во времени функцией и соответствует установленному критерию оптимальности. В настоящее время весьма важным и актуальным является вопрос о практической значимости математических методов для решения различных экономических задач. Подобные вопросы, обостряемые господствующей в настоящее время прагматичностью и утилитарностью мышления, закономерно возникают у студентов, изучающих соответствующий материал. Ответ на поставленный вопрос является актуальным и для различного ранга руководителей и специалистов, находящихся в условиях постоянного поиска путей повышения эффективности функционирования руководимых ими экономических структур. Остановимся кратко на данной проблеме, поскольку ее сложность и многоплановость приводят к существованию различных точек зрения. Прежде всего, подчеркнем, что удивительно высокая эффективность математики в естественных и технических науках постоянно подтверждается всей практической деятельностью человека; подчас даже выдающиеся ученые нашего времени пишут эмоциональные статьи о «непостижимой эффективности математики в естественных науках». Наиболее грандиозные технические проекты XX века — развитие авиации, освоение атомной энергии, выход в космос — без использования мощного математического инструментария не могли бы быть осуществлены в современном виде и качестве при минимальном количестве катастрофических ошибок. Для экономических наук и экономики вообще дело обстоит сложнее, однако даже самый общий взгляд на проблему приводит к осознанию того, что тезис о возможной высокой эффективности математики в экономике является вполне естественным и логичным. Действительно, вся математика изначально и многие ее разделы впоследствии своим происхождением и развитием обязаны именно практической, хозяйственной, экономической жизни общества. Выйдя из самих ее основ и неоднократно пройдя классический цикл «от живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике», развив в себе мощные количественные методы анализа, математика не может не найти эффективные приложения в самых различных сферах человеческой деятельности. Данное обстоятельство подчеркивает, в частности, неправомерность острого противопоставления математики и реального мира, равно как теории и практики вообще. В то же время, справедливость общих положений еще не означает их безусловного приоритета в каждом конкретном случае, а любой метод в любой области знания имеет свою сферу применения, подчас весьма ограниченную. По этим причинам не следует преувеличивать и тем более абсолютизировать роль и возможности математических ме- тодов и математики вообще — возникающие «натяжки» легко выявляются и вызывают у обучающихся негативное отношение к предмету. Как показывает практика, существует широкий класс экономических структур, управление которыми осуществляется на интуитивном уровне без какого-либо использования математических моделей и методов и дает вполне приемлемые результаты. К таким структурам относятся, как правило, организации, работа которых трудно поддается формализации и не может быть описана четкими количественными показателями и критериями, либо отдельные предприятия мелкого масштаба. Применение математики в организациях и на предприятиях такого типа сводится к элементарным арифметическим расчетам в рамках задач бухгалтерского учета. Данные обстоятельства создают и укрепляют иллюзию возможности успешного управления любыми экономическими системами без использования какой-либо серьезной математики вообще. Однако такая точка зрения является излишне упрощенной: имеющиеся примеры не умаляют прикладных возможностей математики, а лишь свидетельствуют о возможности и функционирования некоторых экономических структур без должного математического обеспечения, оставляя при этом открытым вопрос об эффективности самого функ- ционирования. Ситуация кардинально меняется при управлении экономическими и техническими системами, характеризующимися сложной организационной структурой, высоким уровнем технической оснащенности, широким диапазоном возможных производственных ситуаций, быстрым изменением условий функционирования. В таких условиях интуиция, догадка, «чутье» как основа принятия управленческих решений — несмотря на отдельные достоинства интуитивного подхода — зачастую оказываются малопродуктивными! Действительно, интуиция формируется лишь на основе ранее приобретенного опыта и накопленных знаний в той или иной сфере деятельности, что требует значительных временных затрат, сопряжено с неизбежными ошибками в управлении и сопровождается устойчивым снижением экономической эффективности. В жестких экономических условиях данный путь может «слишком дорого стоить» и оказаться непозволительной роскошью. Более того, для целесообразного управления сложными экономическими системами недостаточно ведущихся на каждом предприятии бухгалтерских расчетов, которые лишь отражают сложившееся положение вещей и не ориентированы на поиск оптимальных управленческих решений (хотя исходные данные и результаты таких расчетов могут служить материалом для реализации оптимизационных задач управления). Ошибки в управлении сложными дорогостоящими или даже уникальными экономическими системами имеют чрезвычайно высокую цену. Для исключения или, по меньшей мере, снижения риска возникновения таких ошибок неизбежно приходится прибегать к использованию математических моделей, уматывающих и выражающих в математической форме весь спектр существенных соотношений между различными количественными характеристиками и параметрами управляемых систем и окружающего их реального мира. Иными словами, математическая модель представляет собой математическое описание исследуемых систем, процессов или явлений (конечно, не абсолютно точное, а приближенное). Задачи управления, опирающиеся на грамотно построенные математические модели, приводят к достоверным, приемлемым для практического применения результатам, однако являются весьма сложными, и для их решения, как правило, не существует простых рецептов и явных формул. Тем самым объективно возникает потребность в разработке специальных математических методов решения поставленных задач. Как показывает история науки последнего времени, рациональное применение математических методов может дать исключительно весомый дополнительный экономический эффект, многократно окупающий затраты на постановку и исследование задачи управления, разработку или адаптацию метода ее решения и реализацию его на ЭВМ. Не случайно современный развитый мир является свидетелем нарастающего процесса математизации широкого спектра наук: экономических, социальных и даже чисто гуманитарных, не говоря уже о естественных и технических. При этом проявляется следующая общая закономерность: чем крупнее масштаб управляемых систем, тем более весомый экономический эффект дает применение математических методов не только в абсолютном, но и в относительном исчислении. Ускоренному проникновению математики в различные сферы деятельности человека в значительной степени способствует бурное развитие компьютерных технологий. Само появление ЭВМ с их большой вычислительной мощностью позволило ставить и решать столь сложные задачи, подступиться к которым без помощи ЭВМ было совершенно немыслимо. Обрела практический смысл разработка сложных математических методов и алгоритмов управления, значительная часть которых без привязки к ЭВМ превращается в отвлеченное формализованное построение. Как признают многие ведущие ученые мира, целенаправленное использование вычислительной мощности ЭВМ является прин- ципиально новым методом познания реального мира: огромный количественный рост производительности вычислений привел к качественным сдвигам в науке в целом и в математике в частности. В современных условиях математические методы реализуются, как правило, в виде специального программного обеспечения для ЭВМ и их наиболее широкого класса — персональных компьютеров. Важно заметить, что при этом многие сложности и специфика реализуемых математических методов скрываются за фасадом простого и удобного пользовательского программного интерфейса; часто складывается обманчивое впечатление, что математика не играет здесь никакой существенной роли, хотя дело обстоит совершенно наоборот! Математическим методам свойственно различаться глубиной логического анализа. В связи с этим подчеркнем, что любую задачу управления с достаточной для прак- тических целей точностью можно решить путем последовательного рассмотрения всех допустимых вариантов управления, или методом перебора (если множество допустимых вариантов бесконечно, то перебор проводится с некоторым малым приращением значений управляющих параметров). Логика метода перебора является наиболее простой и, тем самым, весьма привлекательной для реализации. Однако за внешней простотой данного метода скрывается следующая серьезная проблема: объем вычислительных работ, связанных с простым перебором, для сложных реальных задач может оказаться столь велик, что с его проведением в разумные приемлемые сроки не смогут справиться даже самые мощные ЭВМ. В то же время практическую значимость представляет не столько потенциальная, сколько актуальная разрешимость задачи: решение задачи управления, являясь оптимальным или близким к таковому, должно быть получено оперативно, в режиме «реального времени», иначе оно устареет и потеряет свою значимость еще до окончания поиска решения. В соответствии с данным обстоятельством возникает объективная необходимость в разработке иных более эффективных методов решения, пусть логически более сложных, но позволяющих снизить трудоемкость вычислений. Отметим, что методологическая проблема выбора наиболее адекватной формы изложения сложных математических дисциплин для студентов экономических специальностей не является окончательно решенной. Ограниченность часов на изучение темы, сильно варьирующийся уровень математической подготовки студентов, да и сами цели обучения студентов-экономистов требуют специального подхода к преподаванию. В этих условиях особую важность приобретают вопросы соблюдения баланса между строгостью и доступностью изложения, а неизбежный отказ от излишней формализации и строгих доказательств не должен сопровождаться потерей логики и стройности изложения. Высокая потенциальная эффективность математизации не реализуется са- мопроизвольно, а требует подготовки математически грамотных специалистов. Подчас даже неглубокой математической подготовки достаточно, чтобы понять, на каком направлении деятельности предприятия или организации могут быть полезны математические оценки, прогнозы и оптимизация. Напротив, недостаточный уровень подготовки и понимания возможностей математики может служить причиной отказа от применения математических методов даже в тех случаях, когда они заведомо позволят выявить скрытые резервы и дать значительный дополнительный экономический эффект. Не подлежит сомнению, что изучение математики формирует системность и аналитичность мышления, исключительно важные для специалистов любых направлений. При этом важно показать, что математика не есть «абстрактное искусство», демонстрирующее излишнее усложнение действительности, — ее изучение позволяет овладеть мощными методами количественного анализа, имеющими широкие практические приложения. Данное положение во многом определяет отношение студентов-экономистов ко всему циклу математических дисциплин. Экономика служит для удовлетворения потребностей общества в предметах потребления. Внешняя среда существования национальной экономики включает природу, мировую экономику и общество. Элементами экономики являются хозяйственные единицы (предприятия, фирмы, банки и т.п.). Они объединяются в две основные подсистемы экономики - производственную и финансово-кредитную. Эффективность экономики зависит от продуктивности хозяйственных единиц, взаимоотношений между ними и влияния внешней среды. Эта зависимость выражается устойчивыми количественными закономерностями, следовательно, может быть представлена математическими моделями. Под управлением экономикой понимается организация процессов для достижения установленной цели. Оптимальное управление представляет выработку непрерывной во времени функции управления, позволяющей поддерживать экономику в таком состоянии, которое выражается непрерывной во времени функцией и соответствует установленному критерию оптимальности. Для изложения теории оптимального управления используется следующая схема. В первой части курса лекций приводятся характерные модели оптимизации в экономике, служащие базой для постановки задач оптимального управления и их решения. Во второй части экономика рассматривается как объект математического моделирования. Даются основные понятия и обозначения. Определяются задачи оптимизации и оптимального управления в экономике. В заключительной третьей части строятся модели оптимального управления в экономике и рассматриваются принципы их решения. Для изложения теории оптимального управления используется следующая схема. В первой части курса лекций приводятся характерные модели оптимизации в экономике, служащие базой для постановки задач оптимального управления и их решения. Во второй части экономика рассматривается как объект математического моделирования. Даются основные понятия и обозначения. Определяются задачи оптимизации и оптимального управления в экономике. В заключительной третьей части строятся модели оптимального управления в экономике и рассматриваются принципы их решения. Тема 1 МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ 1.1. Задача об использовании ресурсов (оптимального планирования производства) Будем рассматривать статическую задачу планирования, в которой параметры остаются неизменными на всем плановом периоде. Пусть конечный продукт Y как часть валового продукта X состоит из n видов продукции (номенклатура продукции). Целью увеличения объема конечного продукта, а следовательно, и валового продукта выберем максимизацию дохода (выручки) от реализации этой продукции. Если cj- доход (выручка, цена) от реализации единицы продукции j-ого вида ( j 1,2,..., n 11n 1, n ). Тогда, если планируется выпустить xj единиц продукции j-ого вида, то суммарный доход по всем видам продукции будет выражаться величиной: n c j x j . j1 Отсюда целевая функция примет вид: n Z c j x j max . j1 Объем выпускаемой продукции зависит от используемых ресурсов и основных производственных фондов (ОПФ). Поэтому, если для производства используются m видов ресурсов и их затраты для выпуска единицы продукции определяются ОПФ, то можно ввести следующие обозначения: ▪ bi - имеющийся запас (резерв) i-го вида ресурсов; ▪ aij - количества единиц, или объем i-го вида ресурсов, затрачиваемой, или расходуемый на выпуск одной единицы j-ого вида продукции. Тогда объем выпускаемой продукции зависит от следующих ограничений: n aij x j bi , j1 i 1, m . Доход от реализации выпускаемой продукции зависит от спроса на нее. Обозначим объем спроса на продукцию j-ого вида через число единиц продукции этого вида dj. Тогда ограничения по спросу примут вид: x j d j , j 1, n . Следует оговориться, что данные о спросе на продукцию прогнозируются или определяются полученными заказами. Если спрос превышает предложение, то соответствующие ограничения могут отсутствовать. Наконец, введем стандартные ограничения на неотрицательность переменных, имеющие ясный прикладной смысл: x j 0 , j 1, n . Таким образом, задача об использовании ресурсов сформулирована полностью и имеет общий вид: n Z c j x j max j1 при ограничениях n aij x j bi , j1 i 1, m ; x j d j , j 1, n ; x j 0 , j 1, n . Эта задача относится к задачам линейного программирования и решается универсальным симплекс-методом (Приложение 1). Оптимальное решение задачи позволяет провести анализ его на чувствительность к изменениям исходных условий, т.е. выявить недефицитные ограничения, что может позволить уменьшить запас имеющихся ресурсов, а следовательно, снизить расходы на их приобретение и хранение. Однако некоторые непредвиденные изменения исходных данных такой статической задачи в ходе планового периода могут привести к тому, что полученное оптимальное решение - оптимальный план окажется нереализуемым и потребуется его корректировка. 1.2. Задача определения объема выпуска валовой продукции Будем рассматривать валовый продукт X как единое целое без разделения его на виды продукции. Вместе с тем будем учитывать, какая отрасль (предприятие, цех) выпускает этот продукт. Тогда весь валовый продукт может быть представлен вектором в матричном виде: X1    X X 2 , n,1 ...      X n  где Xi - стоимость валового продукта, выпускаемого i-ой отраслью, i 1, n . Для выпуска i-ой отраслью валового продукта Xi ей нужно воспользоваться в качестве производственного потребления частью валового продукта Xj, выпущенного как ей самой ( i j ), так и другими отраслями ( i  j, j 1, n ). Размер такой части xij определяется с помощью коэффициента прямых затрат aij (коэффициент прямых материальных производственных затрат): xij aij X j , где aij показывает стоимость части продукции j-ой отрасли, непосредственно затрачиваемой в качестве предметов труда не выпуск единицы стоимости продукции i-ой отрасли. Коэффициенты прямых затрат могут быть сведены в матрицу: An,naij  12 1 j 1n . n1 n2 nj Тогда балансовое соотношение может записано в следующем матричном виде: X AX Y . Можно считать, что объем конечного продукта Y определяется заказами. Требуется найти, какой объем валового продукта X обеспечит выполнение этих заказов. Преобразования приведенного балансового соотношения приводят к выражению валового продукта X через конечный продукт Y: X AX Y , E AX Y , X E A1 Y , где 1  E 0 n,n .  0 0 ... 1 ... . . 0 ... 0  0- единичная матрица. .     Получена новая матрица коэффициентов в виде обратной матрицы: Bb E A1 . n,n ij Эта матрица B называется матрицей коэффициентов полных затрат, или обратной матрицей Леонтьева. Коэффициент полных материальных затрат bij показывает потребность в валовом выпуске продукции i- ой отрасли для производства единицы конечной продукции j-ой отрасли. 1.3. Задача оптимального распределения валовых капитальных вложений Валовые капитальные вложения I (инвестиции) идут на поддержание и развитие основных производственных фондов (ОПФ) K . Это способствует увеличению выпуска валового продукта X , т.к. одним из основных аргументов производственной функции F является ОПФ K . Следовательно, от того, как будут распределяться валовые капитальные вложения I , будет зависеть увеличение валового продукта X со всеми вытекающими из этого последствиями, в частности, объема производственного потребления W , конечного продукта Y , непроизводственного потребления C и самих валовых капитальных вложений I . Рассмотрим задачу распределения валовых капитальных вложений как статическую задачу, т.е. без учета времени, необходимого для освоения выделяемых инвестиций I , а следовательно, и необходимого для увеличения X . Сформулируем эту задачу следующим образом. Для реконструкции n заводов выделено y0 капиталовложений. Если i -ому заводу выделяется xi капиталовложений, то на нем увеличивается выпуск продукции до величины zi xi . Требуется найти вариант распределения капиталовложений, при котором суммарное увеличение выпуска продукции всеми n заводами максимально. Обозначим: z1...n y0 - суммарное увеличение выпуска продукции всеми n заводами при распределении между ними y0 капиталовложений, x n x1 , x2 ,..., xk ,..., xn - распределение по n заводам капиталовложений. Тогда задачу можно представить в виде задачи математического программирования: n z1...n y0 maxzi xi  x n i1 при ограничениях n xi y0 , i1 xi 0 , i 1, n . При любом представлении функций zi xi , i 1, n , решение этой задачи сопряжено со значительными трудностями. Поэтому представим ее моделью динамического программирования. Методы динамического программирования применяются для повышения эффективности вычислений при решении задач математического программирования путем их разложения (декомпозиции) на менее сложные подзадачи. Как правило, решение общей задачи математического программирования представляется последовательностью его этапов. Каждому такому этапу ставится в соответствие частная подзадача. Решение частной подзадачи осуществляется с учетом рекуррентного соотношения, отражающего принцип оптимальности Беллмана: каковы бы ни были предыдущее состояние и принятое предыдущее решение, последующие решения должны составлять оптимальную стратегию относительно состояния, возникшего в результате предыдущего решения. Это позволяет совокупность оптимальных решений частных подзадач представить как оптимальное решение общей задачи (Приложение 2). Построим рекуррентное соотношение для рассматриваемой задачи. Этап 1. Если количество заводов z1 ymaxz1 x1 . 0x1 y n 1, то Этап 2. Если количество заводов n 2 , то максимальное увеличение выпуска продукции всеми ими соответствует максимальному варианту суммарного увеличения выпуска продукции вторым заводом и остальными заводами (первым заводом) при различном распределении y капиталовложений: z12 ymaxz2 x2 z1 y x2 . 0x2 y Этап k. Продолжая аналогичные рассуждения, получим общее рекуррентное соотношение: z1...k y maxz 0xk y xk z1...( k 1) y xk . Полученное рекуррентное соотношение называется уравнением Беллмана и позволяет заменить исходную задачу на максимум функции n переменных задачей на условный максимум функции одной переменной на n этапах. В рассматриваемой выше задаче распределения капиталовложений оптимальная стратегия представляет собой последовательность оптимальных значений z1...n y0 , z1...(n1) y. .... z1 y, которая определяет оптимальное решение x x , x ,...,x  n 1 2 n .       Поэтому сначала (прямой прогон) отыскивают последовательно функции Беллмана z1 ( y ) , z12 ( y ), …, z1...(n-1) ( y ) , z1...n ( y0 ) как функции различных параметров y соответ- ственно. Затем (обратный прогон) определяется оптимальное значение z1...n y0  и соответствующее ему оптимальное значение x. Затем оптимальное значение   1...( n1) y x и соответствующее ему оптимальное значение xn1 . Продолжая этот процесс, получим оптимальные значения z y xx , ... , zy xx ... xи 1...( n2) 0 n   n1 1 0 n n1 2 соответствующие им оптимальные значения xn2 ,...,x1 , т.е. оптимальный план. 1.4. Задачи условной оптимизации Задачи условной оптимизации состоят из целевой функции и ограничений. В общем виде они представляются следующим образом: z x maxmin  при ограничениях g x 0 , i 1, m ; x n 0 . Целевая функция отражает цель оптимизации. Максимальное (минимальное) ее численное значение соответствует наилучшему варианту, определяемому значениями ее аргументов x n . Оптимальное решение рассматриваемой задачи - это оптимальные значения этих  аргументов (обозначается x n ), при которых целевая функция принимает экстремальное значение (максимальное или минимальное) и для которых выполняются все ограничения задачи. Другими словами, ограничения задачи условной оптимизации определяют область допустимых решений этой задачи, а с помощью целевой функции среди этих допустимых решений выбирается оптимальное решение. Заметим, что аргументы целевой функции и аргументы ограничений должны совпадать. Задачи условной оптимизации называют задачами математического программирования. Их можно классифицировать по различным признакам. По признаку зависимостей, описывающих целевую функцию и ограничения, эти задачи делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. По признаку искомых аргументов различают непрерывные и дискретные задачи. По признаку исходных данных делят задачи на детерминированные, стохастические (случайные) и неопределенные. Приведем примеры целевых функций, отражающих цель оптимизации. Для этого введем следующие обозначения: • s j - прибыль от реализации единицы изделия j - ого вида; • x j - количество выпущенных изделий j - ого вида; • c j - цена единицы изделия j -ого вида; • rj - себестоимость производства единицы изделия j -ого вида. Используя эти обозначения, сформулируем целевые функции известных задач. Задача рентабельности затрат на производство изделий: n Pз s j xJ j1 n rj x j max . j1 Задача рентабельности продаж: n Pn s j xJ j1 n c j x j max . j1 Задача определения затрат в расчете на рубль товарной продукции: n Зp rj xJ j1 n c j x j min . j1 1.5. Метод множителей Лагранжа Рассматривая задачи условной оптимизации, пришли к выводу, что их оптимальные решения могут отличаться от экстремальных решений, найденных при поиске экстремума целевой функции без учета ограничений. Поэтому требуется свести задачу условной оптимизации к такой задаче безусловной оптимизации, т.е. к задаче без ограничений, чтобы оптимальные решения этих задач совпадали, или, другими словами, чтобы экстремальное решение задачи безусловной оптимизации совпадало с оптимальным решением задачи условной оптимизации. Тогда для поиска оптимального решения задачи условной оптимизации можно будет воспользоваться необходимым условием экстремума целевой функции соответствующей задачи безусловной оптимизации. Сведение задачи условной оптимизации к эквивалентной, т.е. с совпадающим решением, задаче безусловной оптимизации осуществляется методом множителей Лагранжа, суть которого сводится к следующему. Вернемся к общему виду задачи условной оптимизации: z x max при ограничениях g x 0 , i 1, m ; x n 0 . Введем вектор m 1 , 2 ,..., m множителей Лагранжа и составим из целевой функции x и функций ограничений g x , i 1, m , функцию Лагранжа: m n m n i i . n i1 Таким приемом исходная задача на условный экстремум функции x  сводится к задаче на безусловный экстремум функции Lx , m . Тогда необходимыми условиями экстремума служат: L x  x  gi i x 0, j 1, n,  j j  i1 j L i g x 0, i 1, m. Таким образом, образуется система n m переменными. алгебраических уравнений с n m Решение этой системы уравнений позволяет найти экстремальную точку функции Лагранжа, которая соответствует оптимальному решению исходной задачи условной оптимизации. Последнее определяется теоремой Куна-Таккера. Ее смысл сводится к следующему. Точка x ,  является седловой точкой функции Lx , m , если для всех x n 0 и m 0 выполняется условие: Lx , m Lx ,  Lx , , т.е. в седловой точке функцией Lx , m  достигается одновременно минимум по x n и максимум по • m . Тема 2 ЭКОНОМИКА КАК ОБЪЕКТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 2.1. Схема производства и распределения продукции, накопления и потребления Основная цель экономики состоит в обеспечении общества предметами потребления, т.е. в удовлетворении социальных, оборонных, экономических и других потребностей. Для удовлетворения этих потребностей экономика включает подсистемы, две главные из которых - производственная и финансово-кредитная. В каждой подсистеме имеются элементы - хозяйственные единицы (предприятия, фирмы, банки и т.п.). При выполнении своей основной функции экономическая система реализует следующие действия [7]: размещает ресурсы, производит продукцию, распределяет предметы потребления и осуществляет накопление (рис. 2.1). В производстве используются природные W  и трудовые L ресурсы, а также инвестиции I - валовые капитальные вложения, или валовые инвестиции. Результатом производства является валовый внутренний продукт (ВВП), или конечный продукт Y . В натурально- вещественной форме ВВП Y  распадается на средства труда (за счет I ) и предметы потребления C , в стоимостной форме - на фонд возмещения выбытия основных фондов (амортизационный фонд) и вновь созданную стоимость (национальный доход). Рис. 2.1. Экономика как подсистема природы и общества Средства (орудия) труда и предметы труда составляют средства производства. Средства труда участвуют в нескольких производственных циклах вплоть до их замены вследствие морального или физического износа. Предметы труда участвуют в одном производственном цикле. Таким образом, в предложенной схеме, являющейся концептуальной моделью экономической системы, целевое предназначение экономики в удовлетворении потребностей за счет обеспечения необходимого потребления заключается в определении требуемого конечного продукта Y . Для определения искомой величины Y возможно или проведение прямых экспериментов с экономикой, или построение математической модели. Первое нецелесообразно из-за непредсказуемости последствий этих экспериментов. Остается математическое моделирование на основе концептуальной модели. Математической моделью по предложенной схеме является оптимизационная задача с целевой функцией - максимизировать Y (конечный продукт) при заданных ограничениях на W (природные ресурсы), L (трудовые ресурсы) и C (потребление). Ограничения на I (инвестиции) будут в этом случае определяться по умолчанию (излишними), т.к. Y I C . Построение такой модели требует математического представления зависимости величины конечного продукта Y от величин природных ресурсов W , трудовых ресурсов L , потребления C и инвестиции I . Для определения таких зависимостей рассмотрим более подробно схему взаимодействия производственных факторов (потоков продуктов и ресурсов). Нужно отметить, что рассматривается один пример оптимизационной задачи в качестве математической модели с параметрами конечный продукт Y , природные ресурсы W , трудовые ресурсы L , потребление C и инвестиции I . Но таких примеров задач может быть много. Например, если в качестве цели задать минимизацию природных ресурсов W , а на остальные параметры наложить ограничения, то получим новую оптимизационную задачу. Аналогично можно минимизировать трудовые ресурсы L , максимизировать потребление C и т.п., ограничивая оставшиеся при этом параметры. Наконец, возможны многоцелевые (т.н. многокритериальные) оптимизационные задачи, когда в качестве цели задается максимизация (минимизация) не одного параметра модели, а нескольких одновременно. При этом оставшиеся параметры, не попавшие в целевые, так же ограничиваются. Сделанное замечание придает большую свободу рассмотрению схемы взаимодействия производственных факторов как параметров математической модели. Теория оптимального управления первоначально развивалась применительно к объектам технического характера как более простым с точки зрения их математического описания. Затем положения и результаты теории оптимального управления стали применяться и для объектов экономического характера. Однако в силу того, что объекты экономического характера в реальных условиях имеют множество случайных факторов, поиск оптимального управления этими объектами (системами) существенно усложняется. Тем не менее и в стохастических моделях можно отыскать оптимальное управление с определенными допущениями на риск, что поставленная цель может быть не достигнута. Задача оптимального управления - это получение в определенном смысле наилучшего результата управления. Критерий оптимального управления - это словесная и (или) математическая формулировка наилучшего результата. Последнюю называют также критерием качества или целевой функцией. Целевая функция - это математическая зависимость результата от состояния системы, от внешних возмущений и от управления. Экономическая система - это система производства и (или) реализации продукции или услуг на рынке по установленным законами и внешними факторами правилам. Хозяйствующий субъект - юридическое лицо (предприятие, акционерное общество, товарищество, кооператив, банк, фирма, компания, биржа, ассоциация и т.д.) имеющее свое имущество (собственность) и права владеть, пользоваться и распоряжаться своей собственностью, независимость существования от входящих в него физических лиц, действующее на рынке и несущее ответственность за свои действия. Математическая модель системы - это совокупность математических формул, таблиц, графиков, устанавливающих зависимость между состоянием системы, внешними воздействиями, управлением системой и временем. Иными словами математическая модель описывает эволюцию системы в зависимости от перечисленных факторов. Конкуренция - это состязательность (соперничество) хозяйствующих субъектов в условиях, когда их самостоятельные действия ограничивают возможности других субъектов воздействовать на условия обращения товаров на рынке. Товар - предмет, который благодаря его свойствам удовлетворяет каким-либо человеческим потребностям. Услуга - действие, которое благодаря ее свойствам вызывает спрос на рынке услуг. Емкость рынка - возможный объем продажи (обычно за месяц или год) определенного товара или услуги на рынке при сложившихся условиях реализации. 2.2. Классификация моделей экономических систем Экономическая система по своим экономическим показателям изменяется во времени как под действием внешних факторов, так и под действием управляющих этой системой людей с учетом внутреннего состояния этой системы. Эволюцию (изменение) состояния экономической системы можно описать с помощью математических формул и зависимостей, совокупность которых образует математическую модель системы. При этом второстепенными факторами можно пренебречь, а какие-то воздействия и факторы можно считать неизменными на определенном отрезке времени. Естественно при этих допущениях математические зависимости упрощаются. В зависимости от степени упрощения математических моделей их можно классифицировать по определенным признакам. На рис. 2.2 приведена структурная схема, отражающая классификацию моделей экономических систем. Модели экономических систем Статические Динамические Дискретные Стохастическиее Рис. 2.2. Структурная схема классификации моделей экономических систем Первый признак - это наличие или отсутствие зависимости модели от времени. Модель, которая не зависит от времени, называется статической, а модель, которая зависит от времени, называется динамической. Все реальные экономические системы динамические, однако существует ряд задач, когда фактором времени можно пренебречь. Это либо одномоментные задачи, которые нужно решить один раз, либо задачи, когда решение ищется для небольшого по продолжительности интервала времени, когда состояние системы от времени почти не изменяется. Очевидно, что поиск оптимального решения для статических моделей проще, поэтому их используют на практике, когда они адекватны (соответствуют) реальной ситуации. Для динамических моделей вводится второй признак - это непрерывность или дискретность изменения времени в этих моделях. Модели, в которых время изменяется непрерывно, называются непрерывными, а модели, в которых время изменяется дискретно, через определенный временной интервал (цикл), называются дискретными. Это формальное определение непрерывных и дискретных моделей. Непрерывные модели изменяют свое состояние во времени за сколь угодно малое приращение времени, а дискретные модели изменяют свое состояние во времени дискретно, через определенный временной интервал. Реальные экономические системы дискретные, их состояние изменяется через конечный временной интервал, который называют тактом, циклом, периодом и т.д. Этот интервал для разных систем различный и может измеряться в часах, днях (сутках), неделях, месяцах, кварталах, годах и т.д. Непрерывные модели проще в описании, для них легче найти оптимальное управление. Реальные экономические системы можно считать адекватными непрерывным моделям в случаях, когда временной интервал управления гораздо больше цикла. Для таких случаев используются непрерывные модели экономических систем. Третий признак классификации для непрерывных и дискретных моделей - это наличие или отсутствие в них случайных факторов. Модели, в которых все воздействия и факторы известны на всем интервале управления моделью, называются детерминированными. Модели, в которых хотя бы один из факторов случайный, называются стохастическими. Реальные экономические системы являются стохастическими. В теории рассматриваются детерминированные модели, поскольку для них проще найти оптимальное управление, и реальные системы на сравнительно небольшом временном интервале времени могут быть адекватны детерминированным моделям, когда с большой достоверностью можно предположить, что воздействия и факторы на этом интервале времени заданы однозначно. В противном случае следует использовать стохастические модели, поиск оптимального управления для которых гораздо сложнее и может быть найден с определенными оговорками на риск и т.д. Реальные экономические системы являются динамическими, дискретными и стохастическими. Модели этих систем самые сложные, поиск оптимального управления для них наиболее трудный и порой неоднозначный, поэтому при разумных ограничениях в ряде случаев можно воспользоваться более простыми моделями, найти для них оптимальное управление и затем творчески применить этот результат для реальных экономических систем. 2.3. Разновидности структурных схем управления экономическими системами Для наглядности представления об управлении экономическими системами различные варианты управления можно представить в виде структурных схем управления. На рис. 2.3 приведена схема примитивного разомкнутого управления экономической системой (ЭС).   U Рис. 2.3. Структурная схема примитивного разомкнутого управления ЭС На этой схеме вектор  характеризует внешние воздействия на экономическую систему (ЭС), вектор  • вектор управления, воздействующий на ЭС (управляющий вектор), вектор  • вектор, характеризующий состояние ЭС. Все эти векторы имеют определенную размерность и изменяются во времени (непрерывно или дискретно), причем вектор  зависит так же от векторов  и . В этой схеме вектор  никак не X Z U U зависит от векторов  и , поэтому управление по этой схеме называется примитивным и разомкнутым. На рис. 2.4 приведена схема разомкнутого управления ЭС с учетом внешних воздействий. U 0 U X F ЭС Рис. 2.4. Структурная схема разомкнутого управления ЭС с учетом внешних воздействий В этой схеме по сравнению со схемой на рис. 2.3 дополнительно введен блок F, выполняющий некоторое функциональное преобразование вектора  и вектора исходного управления U 0 и формирующий в результате вектор управления . Эта схема за счет учета внешних воздействий на ЭС позволяет в принципе улучшить процесс управления для достижения определенной цели. На рис. 2.5 приведена схема замкнутого управления ЭС.    U0 U X F ЭС Рис. 2.5. Структурная схема замкнутого управления ЭС В этой схеме блок F формирует вектор управления как из вектора исходного  управления U 0 , так и из вектора , характеризующего состояние и поведение ЭС в процессе управления. Эту схему называют также схемой управления с обратной связью, так как воздействие на ЭС здесь осуществляется с учетом ее состояния и изменения. При такой схеме управления может быть достигнуто еще более высокое качество управления по сравнению со схемой на рис. 2.4. На рис. 2.6 приведена схема замкнутого управления с учетом внешних воздействий.  Z  U 0 X F ЭС Рис. 2.6. Структурная схема замкнутого управления с учетом внешних воздействий В этой схеме вектор управления  формируется с учетом вектора исходного управления U 0 , вектора , состояния ЭС и вектор внешних воздействий . Эта схема X Z является суперпозиций двух предыдущих схем и позволяет получить наилучший результат управления ЭС с точки зрения достижения поставленной цели управления. 2.4. Формализованная производственно-технологическая модель экономики Производственно-технологическая схема экономики (рис. 2.7) устанавливает связь между факторами производства [10]. Рис. 2.7. Производственно-технологическая схема экономики Само производство определим производственной функцией F с аргументами: природные ресурсы W S , производственное потребление W , основные производственные фонды K и трудовые ресурсы L . Значением этой функции будет валовый продукт X . Обратим внимание на то, что природные ресурсы W S , где s • это среда, в которой функционирует экономика (см. рис. 2), и производственное потребление W имеют схожие обозначения. Это объясняется тем, что между ними нет четкой грани. Например, после предварительной обработки на предприятии (обогащения) ископаемые превращаются в руду, которую можно считать и природным ресурсом, и производственным потреблением. Понятие валового продукта X также рассматривается как искусственно введенное для обобщения некоторого этапа производственного цикла. Поэтому валовый продукт X разделяется ( PX W : X W Y . на рис. 2.7) на конечный продукт Y и производственное потребление Производственное потребление W является той частью валового продукта X , которая возвращается в производство для выпуска валового продукта X . Например, часть произведенных инжекторов поступает для выпуска двигателей автомобилей. Долю валового продукта X , поступающего в производство в качество производственного потребления W , определяют с помощью коэффициента прямых материальных производственных затрат a (обычно используют название - коэффициент прямых затрат): W aX . Конечный продукт Y - это та часть валового продукта, которая используется вне сферы производства, т.е. не как предметы труда, а для реализации в непроизводственной сфере или как средства труда и т.п. Разделяется ( PY на рис. 2.7) конечный продукт Y на валовые капитальные вложения I (инвестиции) и на непроизводственное потребление C : Y I C . Доля конечного продукта Y , определяющая объем валовых капитальных вложений I , устанавливается нормой накопления : I Y . Валовые капитальные вложения I разделяются ( PI отчисления A и на чистые капитальные вложения V : I A V . на рис. 2.7) на амортизационные Амортизационные отчисления A используются для поддержания работоспособного состояния основных производственных фондов K (ОПФ на рис. 2.7). Величина этих отчислений определяется как доля ОПФ с помощью коэффициента амортизации : A K . Чистые капитальные вложения V служат для развития ОПФ. Естественно, что ввод в действие V производится постепенно (см. рис. 2.7). (Например, сначала строится производственное здание, а потом в нем устанавливают технику.) Поэтому ввод в действие ОПФ осуществляется наращиванием K (см. рис. 2.7). Тогда чистые капитальные вложения V пропорциональны приросту ОПФ: V q dK . dt Наращивание ОПФ приводит к приросту валового продукта, следовательно, валовые капитальные вложения пропорциональны этому приросту: I b dX , dt где b - коэффициент приростной фондоемкости. Таким образом, установлены взаимоотношения между факторами производства в производственно-технологической схеме экономики. 2.5. Задачи оптимизации и оптимального управления в экономике Рассмотрим один их центральных блоков в производственно-технологической схеме экономики (см. рис. 2.7) - производство. Его можно представить производственной функцией F , значение которой определяет валовый продукт X , а аргументами являются природные ресурсы W S , производственное потребление W , трудовые ресурсы L и основные производственные фонды (ОПФ) K : X F(W S ,W, L, K) . Объединяя природные ресурсы и производственное потребление в один аргумент - ресурсы W и считая трудовые ресурсы и ОПФ постоянными величинами, можно сформулировать следующую задачу оптимизации: X max F(W ) . W В этой задаче максимизируется значение валового продукта X путем выбора значения ресурсов W как аргумента производственной функции F . Причем никаких ограничений на значение W не накладывается, поэтому такую задачу называют задачей безусловной X  оптимизации. Оптимальное значение функции W  достигается при оптимальном решении два условия: , для которого в данной задаче максимизации одновременно выполняются F(W ) F(W ) и W W . Если на выбираемые значения W накладываются некоторые ограничения, то рассматриваемая задача приобретает вид: X max F(W ) . W W огр Такую задачу называют задачей условной оптимизации и обычно записывают в виде: X F (W ) max при ограничениях G(W ) B . В приведенной записи функция G и действительное значение B представляют ограничения на значения W , а функция F называется целевой функцией. X  Здесь оптимальное значение целевой функции W  достигается при оптимальном решении , для которого в данной задаче максимизации одновременно выполняются четыре условия: F(W ) F(W ) , W W  и G(W ) B , G(W ) B . Как правило, в реальных задачах ограничения меняются во времени. Т.е. в рассматриваемой задаче действительное значение B , определяющее запасы ресурсов W , будет зависеть от времени. В этом случае и значение производственной функции X также будет зависеть от времени. Обозначим: • X t - состояние производства, • Bt - управление производством. Тогда необходимо выбрать такое управление производством, при котором его состояние будет соответствовать требуемому. Так формулируется задача оптимального управления, в которой нужно определить оптимальную траекторию управления Bt , приводящую к оптимальной траектории состояния X t . Это требование выражается целевым функционалом (когда аргументы функции сами являются функциями): t1 J ФX t, Bt, tdt T X t1 , t1 max , t0 где t0 - начальный, а t1 - конечный момент времени периода управления t0 ,t1 , а T - терминальный член. Необходимо также уравнение движения, связывающее между собой функции состояния X t и управления Bt : X t , Bt , t . dt Таким образом, в приведенной задаче оптимального управления требуется выбрать в качестве решения такую функцию Bt , определяющую запасы ресурсов в любой момент времени периода управления, которая бы позволила максимизировать функцию валового продукта X t также в любой момент времени периода управления. Приведенная выше задача оптимизации является статической, т.е. ее решение отражает состояние в определенный момент времени, а задача оптимального управления • динамической, т.е. ее решение соответствует процессу в определенный период времени. Вот почему и вид решений у них разный: решение задачи оптимизации - численные значения, решение задачи оптимального управления - функции от времени. Рассмотренная выше (1.3) межотраслевая (межпродуктовая) балансовая модель является статической, т.е. такой, в которой все зависимости отнесены к одному моменту времени. Эта модель может разрабатываться лишь для отдельно взятых периодов, причем в ее рамках на устанавливается связь с предыдущими и последующими периодами. Следовательно, в статических межотраслевых (межпродуктовых) моделях не могут анализироваться распределение, накопление и эффективное потребление капитальных вложений. Капиталовложения вынесены из сферы производства в сферу конечного использования вместе с предметами потребления и непроизводственными затратами, т.е. включены в конечный продукт. В отличие от статических динамические модели призваны отразить не состояние, а процесс развития экономики, установить непосредственную взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами развития и тем самым приблизить анализ к реальным условиям развития экономической системы. Рассмотрим динамическую модель, являющуюся развитием статической межотраслевой (межпродуктовой) модели, в которой производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной продукции, исследуются их структура и влияние на рост объема производства [17]. Вернемся к балансовому соотношению распределения продукции (1.3) модели межотраслевого баланса - межпродуктовому балансу: X AX Y , или n Xi ai j1 j X j Yi , i 1, n . В этом статистическом балансе потоки капиталовложений не дифференцируются по отраслям-потребителям и отражаются общей величиной в составе конечной продукции Yi каждой i -ой отрасли. В динамической схеме распределим конечный продукт Yi на валовые капитальные вложения Yi Ii Ci . I i и непроизводственное потребление Ci (2.4): Валовые капитальные вложения i -ой отрасли потоками капитальных вложений: n I i представим межотраслевыми Yi Ii j1 j Ci , j где Ii - количество продукции i -ой отрасли, направленное в текущем периоде в - ую отрасль в качестве производственных капитальных вложений в ее основные фонды. Материально это выражается в приросте в потребляющих отраслях производственного оборудования, сооружений, производственных площадей, транспортных средств и др. В отличие от потоков текущих затрат ( xi j ai j X j ) межотраслевые потоки капитальных вложений связаны не со всей величиной выпуска продукции X j в j -ой отрасли, а обусловливают прирост продукции X j . Причем допущений о том, что в рассматриваемой модели прирост продукции текущего периода обусловлен вложениями, произведенными в этом же периоде. Если текущий период обозначить через t , то прирост продукции X j равен разности абсолютных уровней производства в период t и в предыдущий ( t 1)-ый период: X j X t  t1 j Полагая, что прирост продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно записать: Ii j bi j X j ; i, j 1, n . Здесь пропорциональность выражают коэффициенты: bi j Ii j  ; X j i, j 1, n . Экономический смысл этих коэффициентов заключается в том, что они показывают, какое количество продукции i -ой отрасли должно быть вложено в j -ую отрасль для увеличения производственной мощности этой отрасли на единицу продукции. Предполагается, что производственные мощности используются полностью и прирост продукции равен приросту мощности. Коэффициенты вложений (приростной фондоемкости). bi j называются коэффициентами Используя полученные зависимости, преобразуем систему уравнений распределения продукции модели межотраслевого баланса – межпродуктовый баланс: n X i ai j1 n j X j Yi , i 1, n ; n X i ai j1 n X i ai j1 j X j i Ii j1 n j X j i bi j1 j Ci , i 1, n ; j X j Ci , i 1, n . Полученная система представляет собой систему линейных разностных уравнений первого порядка. Ее можно привести к обычной системе линейных уравнений, если учесть, что все объемы валовой и конечной продукций относятся к некоторому периоду t , а прирост валовой продукции определен в сравнении с ( t 1)-ым периодом: n t  n t  t  t1 t  Xi ai j1 j X j bi j1 j X j X j Ci , i 1, n . Отсюда, можно записать следующие соотношения: t   t  t1 t  X i ai j j1 bi j X j bi j1 j X j Ci , i 1, n . Пусть нам известны уровни валовой продукции X t 1, j 1, n , всех отраслей в предыдущем ( t 1)-ом периоде и непроизводственное потребление C t , i 1, n , в t -ом периоде. Тогда очевидно, что полученные соотношения представляют собой систему n линейных уравнений с n неизвестными уровнями производства t  i ( X t ) в t -ом периоде. Таким образом, решение такой системы линейных уравнений позволяет определить выпуск продукции в последующем периоде в зависимости от уровня, достигнутого в предыдущем периоде. Связь между периодами устанавливается через коэффициенты вложений продукции. bi j , характеризующие фондоемкость единицы прироста Переходя от дискретного анализа к непрерывному, будем иметь в пределе: n  n  dX j t   , . X i t ai j1 j X j t i bi j j1 dt Ci t i 1, n Полученные соотношения представляют собой систему n линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Для ее решения помимо коэффициентов прямых затрат ai j и коэффициентов вложений (капитальных затрат) bi j необходимо знать уровни валового выпуска Xi 0 ( X j 0) в начальный момент времени t 0 и закон изменения величины непроизводственного потребления, т.е. вида функции Ci t . На основе этих данных путем решения получившейся задачи Коши для приведенной системы дифференциальных уравнений можно найти уровни валового выпуска X i t  теоретически для любого момента времени. Тема 3 МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ЭКОНОМИКЕ 3.1. Задача оптимального управления развитием экономики Предлагается оценивать развитие экономики объемом валового продукта X . Чем больше будет валового продукта X , судя по производственно-технологической схеме экономики (см. рис. 2.7), тем больше его пойдет на производственное потребление W , тем больше будет конечного продукта Y , а следовательно, увеличатся и непроизводственное потребление С , и валовые капитальные вложения I . Последнее будет способствовать через чистые капитальные вложения V росту ОПФ и, в итоге, опять-таки валового продукта X . Воспользуемся приведенными (2.4) соотношениями для представления зависимостей валового продукта X . Валовый продукт X разделяется на производственное потребление W и конечный продукт Y : X W Y . Производственное потребление W выражается через валовый продукт X с помощью коэффициента прямых материальных затрат a : W a X . Тогда X a X Y . Конечный продукт Y разделяется на валовые капитальные вложения I и непроизводственное потребление С : Y I C . Подставляя это выражение, получаем: X a X I C . Для упрощения будем рассматривать так называемую открытую модель Леонтьева, в которой не учитываются амортизационные отчисления A , составляющие совместно с чистыми капитальными вложениями V валовые капитальные вложения I : I A V . Тогда валовые капитальные вложения I пропорциональны приросту валового продукта X с коэффициентом приростной фондоемкости b : I b X . t Подставляя эту зависимость, получаем: X a X b X t C . После элементарных преобразований итоговое выражение примет вид дифференциального уравнения: X 1 a X 1 C . t b b В этом уравнении устанавливается связь во времени t между валовым продуктом как функцией времени времени Ct . X t  и непроизводственным потреблением также как функцией Если функция валового продукта X t  устанавливает состояние развития экономики, то тогда функция непроизводственного потребления развития экономики. Ct  может служить управлением Исходя из этого, может быть сформулирована постановка задачи оптимального управления развитием экономики. Суть этой задачи сводится к тому, что необходимо выбрать вид функции непроизводственного потребления Ct , устанавливающей его объем в каждый момент времени, которая бы определяла вид функции валового продукта X t , характеризующей развитие экономики. Указанный выбор должен соответствовать критерию оптимальности управления развитием экономики. Установим промежуток времени (период) управления от начального момента времени t0 по конечный момент времени t0 t t1 . t1 : Будем характеризовать состояние функцией валового продукта функцией непроизводственного потребления Ct . X t , а управление - Зададим начальное состояние валового продукта управления непроизводственным потреблением: X t0  и пределы возможного Cmin CtCmax . Используя результаты предыдущих рассуждений, опишем связь состояния и управления так называемым уравнением движений: X t  1 a 1  X t  C t . t b b В качестве критерия оптимальности состояния за счет использования оптимального управления выберем следующий максимизируемый показатель: t1 J e t Ctdt X t1 max . t0 По существу это целевая функция задачи оптимизации, аргументами которой служат функции состояния - валового продукта X t  и управления - непроизводственного потребления Ct . Поэтому она называется целевым функционалом. Целевой функционал включает два слагаемых. Первое слагаемое состоит из суммарного (интеграл) дисконтированного непроизводственного потребления за весь период управления: t1 et Ctdt . t0 В этом слагаемом дисконтирования . et • взвешиваемая функция дисконтирования с коэффициентом Второе слагаемое, называемое терминальным членом целевого функционала, состоит из величины объема выпуска валового продукта периода управления. X t1  в конечный момент времени t1 Весовые коэффициенты  и  определяют приоритеты непроизводственного потребления и валового продукта: 1. Целевой функционал выражается числовым значением, которое максимизируется за счет выбора соответствующего вида функции управления - непроизводственного потребления Ct  и получаемого при этом с помощью уравнения движения вида функции состояния - валового продукта X t . Таким образом, постановка задачи оптимального управления развитием экономики сводится к установлению периода управления (начального и конечного моментов времени), к определению, что будет являться состоянием (валовый продукт) и управлением (непроизводственное потребление), к заданию начального состояния (объема валового продукта в начальный момент времени периода управления) и пределов изменения управления (минимального и максимального объемов непроизводственного потребления), к аналитическому описанию связи (уравнения движения) состояния (валового продукта) и управления (непроизводственного потребления), и наконец, к выбору показателя оптимальности (целевого функционала). Поставленная задача оптимального управления развитием экономики является математической моделью развития экономики. 3.2. Модель развития экономики: магистральная теория Исходя из соотношений поставленной выше задачи оптимального управления развитием экономики, уменьшение значения непроизводственного потребления Ct  способствует увеличению значения валового продукта X t . Однако низкий уровень непроизводственного потребления Ct  приводит к снижению прироста валового продукта X t . Это объясняется, например, недостаточностью подготовки трудовых ресурсов L , которая способствует увеличению коэффициента приростной фондоемкости b , и в итоге, неудовлетворительной эффективности валовых капитальных вложений I . Таким образом, на определенном уровне развития экономики существует некоторая постоянная величина непроизводственного потребления CtConst , обеспечивающая приемлемый прирост валового продукта X t , и такое управление развитием экономики в этом периоде времени близко к оптимальному. Полученные соотношения на данном периоде времени называются магистралью. Магистрали предшествует период времени и заканчивается она периодом времени, в которых величина непроизводственного потребления Ct  находится на низком уровне, что соответствует оптимальному управлению в эти периоды. Сошлемся на образное представление сути магистрали и магистрального функционирования экономики [10], поясняющее это название. Допустим, что мы находимся в начальном пункте и нам нужно на автомобиле переехать в конечный пункт. Неподалеку от начального и конечного пунктов проходит автотрасса - аналог в данном случае магистрали. Мы оптимальным образом от начального пункта по местной дороге доезжаем до автотрассы, далее въезжаем на магистраль и едем по ней до местной дороги, ближайшей к конечному пункту, после чего съезжаем с магистрали и по местной дороге добираемся до конечного пункта. Эта интерпретация дает интуитивное представление об оптимальном развитии экономики. 3.3. Задача оптимального управления распределением валовых капитальных вложений Вернемся к рассмотрению производственно-технологической схемы экономики (см. рис. 2.7). По этой схеме рост ОПФ Kt происходит за счет валовых капитальных вложений I t (инвестиций). Причем часть этих инвестиций представляет собой амортизационные отчисления I tAtV t, At : где At Kt , - коэффициент амортизации. А чистые капитальные вложения V t пропорциональны приросту ОПФ Kt: V t q dKt . dt Последнее соотношение учитывает естественную постепенность ввода в действие инвестиций. В совокупности все эти соотношения представляют следующую зависимость: I t K t dK t  dt , или dK t K t I t . dt Полученное дифференциальное уравнение описывает связь между ОПФ K tи инвестициями (валовыми капитальными вложениями) I t . Если теперь считать ОПФ K t состоянием, а валовые капитальные вложения I t  ◦ управлением, то можно сформулировать постановку задачи оптимального управления распределением валовых капитальных вложений. Пусть интервал времени управления t0 t t1 будет продолжительностью от начального момента времени t0 по конечный момент времени t1 . Состояние описывается функцией ОПФ K t, а управление - функцией валовых капитальных вложений I t . Тогда начальное состояние представляет собой величину K t0 , а допустимое управление ограничивается минимальной Imin и максимальной I max величинами возможных валовых капитальных вложений I t : Imin I tI max . В качестве уравнения движения (связь состояния - ОПФ K t и управления - валовых капитальных вложений I t ) будем использовать выведенное выше соотношение: dK t K t I t . dt Целевой функционал (целевая функция от функции управления и от функции состояния) представим в виде: t1 J I t dt K t1 min , t0 где  и  - весовые коэффициенты, требований, составляющих цель управления. 1, устанавливающие приоритеты Экономический смысл представленного целевого функционала раскрывается при рассмотрении следующих крайних случаев: ▪ при 1 и 0 целевой функционал отражает минимизацию суммарного (интеграл) расходования инвестиций, т.е. максимально экономного распределения валовых капитальных вложений; ▪ при 0 и 1 целевой функционал (его терминальный член) выражает стремление максимизировать величину ОПФ к концу периода управления. Таким образом, в целевом функционале заложены два противоположных требования, служащих одной и той же цели - оптимальному управлению распределением валовых капитальных вложений I t для достижения оптимального состояния ОПФ K t. 3.4. Общий вид задачи оптимального управления Рассмотрев две классические задачи оптимального управления - задачу оптимального управления развитием экономики и задачу оптимального управления распределением валовых капитальных вложений, представим общий вид задачи оптимального управления в экономике. Для этого введем обозначения: ▪ xt - состояние экономической системы в момент времени t , ▪ ut- управление экономической системой в момент времени t . Тогда в общем виде задача оптимального управления примет вид: • период управления t0 t t1 , • состояние xt, • управление ut, • начальное состояние xt0 , • допустимое управление umin utumax , • уравнение движения gxt , ut , t , dt • целевой функционал t1 J pxt, ut, tf xt1 , t1 maxmin . t0 Напомним, что в целевом функционале (функции от функций) элемент называется терминальным членом. f xt , t  Решением такой задачи оптимального управления является выбранный вид функции управления ut, для которого на всем периоде управления t0 t t1 выполняется условие допустимого управления umin utumax и по уравнению движения определяется вид функции состояния xt . Тогда оптимальным решением этой задачи будут такие функции управления ut  и состояния xt , которые являются решением и обеспечивают заданное экстремальное ( max или min ) значение целевого функционала. 3.5. Метод решения задачи оптимального управления Определив выше, что является решением задачи оптимального управления, укажем способ нахождения оптимальной траектории ut  (оптимального управления), приводящей к оптимальной траектории xt  (оптимальному состоянию). Для этого воспользуемся методом множителей Лагранжа, а затем ниже рассмотрим принцип максимума Понтрягина как необходимое условие, позволяющее выявить неоптимальные траектории. В совокупности комплексным методом решения задачи оптимального управления является так называемый метод Лагранжа-Понтрягина. Рассматривая общий вид задачи оптимального управления, представим уравнение движения в однородном виде: gxt , ut , t dxt 0 . dt Тогда задачу оптимального управления, являющуюся задачей условной оптимизации, можно с помощью метода множителей Лагранжа представить задачей безусловной оптимизации. Для чего введем функцию множителя Лагранжа t и составим функцию Лагранжа из целевого функционала задачи оптимального управления и ее однородного уравнения движения: t1 t1  dxt  Lut, tpxt,иt,tf xt1 ,t1 tgxt,ut,t dt . dt t0 t0   Оптимальным решением уже такой задачи, кстати, совпадающим с оптимальным решением исходной задачи оптимального управления, является седловая точка ut, t, для которой выполняется неравенство: Lut, tLut, tLut, t. Нахождение оптимального управления ut  гарантирует нахождение оптимального состояния xt  по уравнению движения. Поэтому ниже рассмотрим условие нахождения оптимального управления ut . 3.6. Принцип максимума Понтрягина Необходимые условия для решения задачи оптимального управления (3.5) дает принцип максимума Понтрягина [7]. Согласно этому принципу седловая точка, точнее, траектория, ut,tопределяется как решение неравенства: Lut,tLut,tLut,t. Если ut,t ◦ седловая точка, то ut  ◦ оптимальное управление, т.е. решение рассматриваемой задачи оптимального управления. Это подтверждается рассмотрением неравенств правого и левого. Правое неравенство: Lut,tLut,tили Lut,tLut,t0 Оно всегда выполняется, т.е. выполняется при любом множителе Лагранжа t и t, т.к. на оптимальной траектории выполняется уравнение движения: gx* t, u* t, t dx t0 . dt Следовательно: t1 Lut,tLut,tpx* t, и* t, tf x* t , t J u* t. 1 1 t0 Рассмотрим левое неравенство: Lut,tLut,t. Из него следует: J ut t1 * tgxtutt dxt dt J u* t   t0  , ,    . dt  Поэтому для всех управлений выполняется также: ut, для которых выполняется уравнение движения, J utJ ut, т.е. действительно управления. u* t  ◦ оптимальное управление (решение) задачи оптимального Таким образом, если ut, t ◦ седловая точка, то u* t  ◦ оптимальное решение задачи оптимального управления. Поэтому необходимые условия существования седловой точки являются одновременно и необходимыми условиями максимума задачи оптимального управления. Принцип максимума дает лишь необходимые условия оптимальности. Действительно, оптимальная траектория состоит из некоторых участков управляющих траекторий, определенных по этому принципу [7]. 3.7. Синтез оптимального управления Решение поставленной задачи оптимального управления рассматривалось при заданных начальных условиях, в частности, для определенного периода управления: t0 t t1 . Однако можно потребовать решить задачу оптимального управления для любых начальных условий - в общем случае. Такое общее решение можно будет конкретизировать для любого заданного периода управления. Таким образом, указываются два вида управления: • управление по разомкнутому контуру; • управление по замкнутому контуру (с обратной связью). Оптимальное управление ut  по разомкнутому контуру полностью определяется в начальный момент времени t0 , а фазовая траектория оптимального состояния xt  отыскивается по уравнению движения при фиксированных начальных условиях. Оптимальное управление uxt, t по замкнутому контуру (с обратной связью) определяется как функция текущих фазовых координат состояния xt  и времени t , т.е. решение принимается не заранее, а по мере получения информации о текущих фазовых координатах. Задача определения оптимального управления по замкнутому контуру (с обратной связью) называется задачей синтеза. Очевидно, поиск синтеза оптимального управления uxt, t значительно более трудоемкая процедура по сравнению с решением ut  обычной задачи оптимального управления. С математической точки зрения отыскание синтеза оптимального управления сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения с частными производными, называемого уравнением Гамильтона-Якоби-Беллмана.