Теория нечетких множеств

Конспект лекций по дисциплине «Теория нечетких множеств» Введение Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта яв­ляется способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки. При изучении сложных систем, где человек играет существенную роль, действует так называемый принцип несовместимости [1]: для получения существенных выводов о поведении сложной системы необходимо отказаться от высоких стандартов точности и строгости, которые характерны для сравнительно простых систем, и привлекать к ее анализу подходы, которые являются приближенными по своей природе. При попытке формализовать человеческие знания исследователи столкнулись с проблемой, затруднявшей использование традиционного математиче­ского аппарата для их описания. Существует целый класс описаний, оперирую­щих качественными характеристиками объектов (много, мало, сильный, очень и т. п.) Эти характеристики обычно размыты и не могут быть однознач­но интерпретированы, однако содержат важную информацию (например, «Од­ним из возможных признаков гриппа является высокая температура»). Категория нечеткости и связанные с ней модели и методы очень важны с мировоззренческой точки зрения, поскольку с их появлением стало возможно подвергать количественному анализу те явления, которые раньше либо могли быть учтены только на качественном уровне, либо требовали использования весьма грубых моделей. Значительное продвижение в этом направлении сделано примерно 35 лет тому назад профессором Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде (Lotfi A. Zadeh). Его работы легли в основу моделирования интеллектуальной деятельности человека и явились начальным толчком к развитию новой математической теории. Что же предложил Заде? Во-первых, он расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0;1), а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy). Л.Заде определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода modus ponens и modus tollens. Введя затем, понятие лингвистической переменной и допустив, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, Л.Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений. Вот точка зрения Л.Заде: "Я считаю, что излишнее стремление к точности стало оказывать действие, сводящее на нет теорию управления и теорию систем, так как оно приводит к тому, что исследования в этой области сосредоточиваются на тех и только тех проблемах, которые поддаются точному решению. В результате многие классы важных проблем, в которых данные, цели и ограничения являются слишком сложными или плохо определенными для того, чтобы допустить точный математический анализ, оставались и остаются в стороне по той причине, что они не поддаются математической трактовке. Для того чтобы сказать что-либо существенное для проблем подобного рода, мы должны отказаться от наших требований точности и допустить результаты, которые являются несколько размытыми или неопределенными". Математическая теория нечетких множеств позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. Нечеткая Логика - в основном многозадачная логика, которая позволяет определять промежуточные значения между стандартными оценками подобно Да/Нет, Истина/Ложь, Черное/Белое, и т.д. Понятия подобно "довольно теплый" или "довольно холодный" могут быть сформулированы математически и обработаны компьютерами. Таким образом, сделана попытка применить человекоподобное мышление в программировании компьютера. В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с результатами, получаемыми при общепринятых алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности. Какие виды неопределенности выделяют. 1. Неопределенность, случайность: 1.1 события и (или) состояние среды, обусловленные случайностью; 1.2 явления, неподдающиеся анализу и измерению со сколь угодно большой точностью. 2. Нечеткость: 2.1 нечеткость как следствие субъективности или индивидуальности че­ловека; 2.2 нечеткость или неясность в процессах мышления и умозаключения: 2.2.1 – нечеткое или неточное заключение; 2.2.2 – неясность вследствие сложности и (или) многообразия выводов. 3. Нечеткость или неясность, сопутствующая естественным языкам: 3.1 нечеткость описания или представления; 3.2 неясность, связанная со сложностью и (или) многообразием семантик и структур естественных языков. 4. Расплывчатость или смутность рисунков, картин или сцен: 4.1 расплывчатость рисунков и картин; 4.2 неясность, возникающая в процессе интерпретации рисунков или картин. 5. Неясность вследствие структурной сложности и (или) многообразия информации Применение нечеткой логики Применение нечеткого управления эффективно ... • Для очень сложных процессов, когда имеется сложная математическая модель • Для нелинейных процессов • Если должна выполняться обработка экспертных знаний Применение нечеткого управления не имеет смысла, если ... • Стандартная теория управления дает удовлетворяющий результат • Легко разрешимая и адекватная математическая модель уже существует • Проблема не разрешима Что такое нечеткие множества? В классической математике мы хорошо знакомы с тем, что мы называем четкие множества. В обычной теории множеств существуют несколько способов задания множества. Одним из них является задание с помощью характеристической функции, определяемой так. Пусть U - универсальное множество, из элементов которого образованы все остальные множества, рассматриваемые в настоящей задаче, например множество всех целых чисел, множество всех гладких функций, заданных на действительной оси, и т.д. В дальнейшем в качестве универсального множества будет, как правило, использовано множество всех действительных чисел. Характеристическая функция множества - это функция, значения которой указывают, является ли Х элементом множества A. Особенностью этой функции является бинарный характер ее значений, т.е. 1 или 0. Рассмотрим, например множество X всех вещественных чисел между 0 и 10, которые будем называть предметной областью. Определим подмножество A из X всех вещественных чисел в диапазоне между 5 и 8. A = [5,8]. Покажем множество А в виде характеристической функции, то есть эта функция присваивает значение 1 или 0 каждому элементу в X, в зависимости от того, находится ли элемент в подмножестве или нет (рисунок 1). Рисунок 1 – Пример характеристической функции четкого множества Другими словами, если характеристическая функция элементов, равна 1, то эти элементы, принадлежат множеству A, а элементы, у которых характеристическая функция равна 0 - не принадлежат множеству A. Это понятие применимо для достаточно многих областей приложений. Но мы можем легко найти ситуации, где этот метод испытывает недостаток в гибкости. Например, рассмотрим множество молодежи. Формально обозначим: B = {множество молодежи}. Так как возраст начинается с 0 лет, то отрицательный диапазон этого набора должен быть пуст. Верхнюю границу диапазона определить довольно трудно. Для начала мы установим верхнюю границу диапазон, например, 20 лет. Следовательно, мы получаем B как четкий интервал: B = [0,20] . Теперь возникает вопрос: почему кто-то на его 20-ом дне рождения молодой, а на следующий день не молодой? Очевидно, это - структурная проблема, поскольку, если мы возьмем другой интервал от 20 до любой произвольной отметки, мы можем задать тот же самый вопрос. Более естественный способ задавать набор B состоит в том, чтобы ослабить строгое разделение между понятиями молодой и не молодой. Мы может делать это, позволяя не только (четкое) решение "ДА, он/она находится в наборе молодежи, или НЕТ, он/она не находится в наборе молодежи", но и применяя более гибкие фразы, например, "он/она принадлежит немного больше к набору молодежи или НЕТ, он/она почти не принадлежит к набору молодежи". Рассмотрим формальное описание данной идеи. Прямой способ обобщить это понятие состоит в том, чтобы учитывать больше значений между 0 и 1. Фактически возможны многие варианты между 0 и 1, а именно числовой интервал I = [0, 1]. Интерпретация чисел (см. рисунок 1), назначенных теперь ко всем элементам предметной области более трудна. Конечно, снова 1 присвоенная элементу означает, что элемент находится во множестве B, а  0 - что элемент не определен во множестве B. Все другие значения означают частичную принадлежность к множеству B. Реализацию данной идеи рассмотрим на примере множество молодежи. На рисунке 2 изображена характеристическая функция. Рисунок 2 – Характеристическая функция множества молодежи Из рисунка 2 видно, что в 25 лет вы все еще молоды, но не на все 100%, а всего на 50. Нечеткое множество и нечеткое отношение Рассмотрим универсальное множество . Нечетким множеством А на множестве U называется совокупность пар , (1.3) где : — отображение множества U в единичный отрезок [0, 1], называемое функцией принадлежности нечеткого множества А. Значение функции принадлежности для элемента будем называть степенью принадлежности. Для упрощения записи будем считать, что выражению (1.3) эквивалентны выражения (1.4) Переменная и называется базовой. Верхний индекс в (1.4) будем опускать там, где это не приведет к неоднозначности. Точки 0 и 1 представляют собой соответственно низшую и высшую степень принадлежности элемента к определенному подмножеству. Точкой перехода нечеткого множества А называется элемент u множества U, для которого =0.5. Интерпретацией степени принадлежности является субъективная мера того, насколько элемент соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством А. Другими словами "величина обозначает субъективную оценку степени принадлежности u к множеству А, например =0,8 означает, что u на 80% принадлежит А". Следовательно, могут существовать "моя функция принадлежности", "твоя функция принадлежности", "функция принадлежности эксперта". Функция принадлежности, во-первых, имеет субъективный характер и, во-вторых, может интерпретироваться на основе понятия вероятности. В рамках вероятностной трактовки значение функции принадлежности нечеткого множества А для любого элемента понимается как вероятность того, что ЛПР отнесет элемент u к множеству А. Данная интерпретация позволяет установить, с каким объектом «работают» теория нечетких множеств и базирующийся на ней лингвистический подход к обработке неопределенной информации. Поскольку до недавнего времени практически единственным средством формализации неопределенной информации являлась теория вероятностей, важно отметить, что объектом теории нечетких множеств не является функция плотности вероятности или функция распределения. Это связано, в частности, с тем, что для первой обязательно условие нормировки , а для второй — свойство не убывания на отрезке [0, 1]. Как первое, так и второе свойства не обязательны для функции принадлежности по ее определению. Таким образом, требуется специальный аппарат, который позволял бы обрабатывать информацию, формализованную с помощью нечетких множеств. Носителем нечеткого множества А называется множество . (1.5) Иными словами, носителем нечеткого множества А является подмножество SA универсального множества Х, для элементов которого функция принадлежности μA строго больше нуля. В качестве примера рассмотрим нечеткое множество А3, соответствующее нечеткому понятию «небольшой запас деталей на складе». Носителем данного нечеткого множества является конечное множество S{10, 11, …, 40}, каждый элемент которого представляет собой определенное количество деталей. А3={0,05/10; 0,1/11; 0,2/12; 0,3/13; 0,4/14; 0,5/15; 0,7/16; 0,8/19; 1,0/20; 1,0/21;…; 1,0/33; 0,9/0,34; 0,8/35; 0,6/36; 0,4/37; 0,3/38; 0,2/39; 0,1/40}. Отсюда следует, что в решаемой задаче управления запасами для конкретного ЛПР понятию «небольшой запас деталей на складе» полностью соответствует запас объемом от 20 до 33 деталей, в меньшей степени – запасы от 11 до 19 и от 34 до 40 деталей. Запас объемом меньше 10 и больше 40 деталей понятием «небольшой» охарактеризован быть не может. Для практических приложений носители нечетких множеств всегда ограничены. Так, носителем нечеткого множества допустимых режимов для системы может служить четкое подмножество (интервал), для которого степень допустимости не равна нулю (рис.1.2). Рис.1.2. Понятие носителя нечеткого множества (выделен жирной чертой) Высотой d нечеткого множества А называется максимальное значение функции принадлежности этого множества . Если d = 1, то нечеткое множество называется нормальным. Ниже будут рассматриваться только нормальные нечеткие множества, так как если нечеткое множество не нормально, то его всегда можно превратить в нормальное, разделив все значения функции принадлежности на ее максимальное значение. Пусть – другое универсальное множество. Нечетким отношением R на множестве называется совокупность пар , (1.6) где : – функция принадлежности нечеткого отношения R, имеющая тот же смысл, что и функция принадлежности нечеткого множества. Приведенное определение легко обобщается на n-мерный случай. Сравнивая выражения (1.3) и (1.6), можно видеть, что нечеткое отношение – это нечеткое множество с векторной базовой переменной. Примерами нечетких отношений могут служить такие, как «X примерно равен У», «X значительно больше У», «А существенно предпочтительнее, чем В». Нечеткая и лингвистическая переменные Нечеткая переменная определяется кортежем , где X — наименование нечеткой переменной; — область ее определения, или универсальное множество; — нечеткое множество на U, описывающее ограничение на возможные числовые значения нечеткой переменной X. Лингвистическая переменная определяется кортежем , (1.7) где β – наименование лингвистической переменной; Т – множество ее значений, или термов, представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество U. Например, для лингвистической переменной, представленной на рис. 1.3, , , . Пару точек будем называть граничной парой. В дальнейшем без особой необходимости не будем различать переменную и ее наименование. Множество Т будем называть базовым терм-множеством лингвистической переменной; G — синтаксическая процедура, описывающая процесс образования из множества Т новых, осмысленных для данной задачи ПР значений лингвистической переменной. Множество назовем расширенным терм-множеством лингвистической переменной; М — семантическая процедура, позволяющая приписать каждому новому значению, образуемому процедурой G, некоторую семантику путем формирования соответствующего нечеткого множества, т. е. отобразить новое значение в нечеткую переменную. Рассмотрим пример лингвистической переменной. Пусть ЛПР оценивает посадочную скорость летательных аппаратов с помощью понятий «малая», «небольшая», «средняя», «высокая». При этом максимальная посадочная скорость равна 300 км/ч. Формализация такого описания может быть проведена с помощью лингвистической переменной <СКОРОСТЬ, {МАЛАЯ, НЕБОЛЬШАЯ, СРЕДНЯЯ, ВЫСОКАЯ}, [0, 300], G, М>, где G — процедура перебора элементов базового терм-множества, М — процедура экспертного опроса. В общем случае взаимосвязь лингвистической и нечеткой переменных графически может быть представлена как показано на рисунке 2. Здесь Т={Т1, Т2, Т3, Т4}, u0< u2 < u1 < u4 < u3 < u6 < u5 , где  — наименование лингвистической переменной, отражающей некоторый объект или параметр реальной действительности, относительно которой производится утверждение , являющееся ее нечеткой оценкой (нечеткой переменной). Например, (давление большое). В высказывании <толщина равна 14 мм> значение  = 14 мм является четкой оценкой лингвистической переменной : <толщина>; 2) высказывания вида < есть m> , < есть Q>, , , при этом m называется модификатором (ему соответствуют такие слова, как ОЧЕНЬ, БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ, НЕЗНАЧИТЕЛЬНЫЙ, СРЕД­НИЙ и др.), Q - квантификатором (ему соответствуют слова типа БОЛЬШИНСТВО, НЕСКОЛЬКО, МНОГО, НЕМНОГО, ОЧЕНЬ МНОГО и др.). Например, <давление очень большое>, <большинство значений параметра очень мало>; 3) высказывания, образованные из высказываний 1-го и 2-го видов и союзов И; ИЛИ; ЕСЛИ. . ., ТО. . .; ЕСЛИ. . ., ТО . . . ИНАЧЕ. Напри­мер, <ЕСЛИ давление большое, ТО толщина не мала>. Необходимо отметить, что отождествление данных союзов с логичес­кими операциями конъюнкций, дизъюнкций, отрицанием и импликаци­ей возможно только при предварительном рассмотрении опроса комму­тативности, ассоциативности и дистрибутивности высказываний, образу­ющих предложения. Предположим, имеются некоторые высказывания C̃ и D̃ относительно ситуации A. Пусть рассматриваемые высказывания имеют вид C̃: < есть C> и D̃: < есть D>, где C и D - нечеткие переменные, определен­ные на универсальном множестве U = {u} Определение 1.15 Истинность высказывания C̃ и D̃ относительно C̃ есть значение функции T(D̃ / C̃), определяемое степенью соответствия высказываний C̃ и D̃̃̃ . В формальной записи T (D̃/C̃) = {< μT() /}, где (u  U) ( = μD̃(u)); μT() = max μC̃(u), U/ = {u  U| μD(u) =  }, u  U/ при этом μD̃ и μС̃ – функции принадлежности нечётких переменных С̃ D; μT() – функция принадлежности значения истинности;   [0,1] – область её определения. Иными словами, истинностью, нечеткого высказывания D относительно нечеткого высказывания С является нечеткое множество T(D/C), определенное на интервале [0,1], такое, что для любого [0,1] значение ее функции принадлежности равно наибольшему значению μC̃(u) по всем u, при которых μD̃(u) = . Пример 1.11. Предположим, что сформулировано высказывание D:< находится близко к 5>, в то время как С: < имеет значение при­близительно 6>. Пусть D̃ есть "близко к 5", C есть "приблизительно 6" суть нечеткие переменные с нечеткими множествами: CC̃ = {<0,1/2>, <0,3/3>, <0,7/4>, <1/5>, <0,8/6>, <0,6/7>, <0,3/8>, <0,1/9>, <0,8/6>, <0,6/7>, <0,3/8>, <0,1/9> }; CD̃ = {<0,1/3>, <0,4/4>, <0,8/5>, <1/6>, <0,7/7>, <0,4/8>, <0,3/9>, <0,1/10>}. В этом случае U = { 2, 3_4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } . Тогда истинность высказывания D относительно С будет иметь следующий вид: Т(D̃/C̃) = {<0,1/0>, <0,3/0,1>, <0,4/0,3>, <0,7/0,6>, <0,4/0,7>, <1/0,8>, <0,8/1>}. Построение функций принадлежности Для использования в моделях принятия решений информации, формализованной на основе теории нечетких множеств, необходимы процедуры построения соответствующих функций принадлежности. Различные методы построения функций принадлежности нечетких множеств классифицируются по четырем аспектам: 1) предполагаемый вид области определения нечеткого множества: числовая – дискретная (а) или непрерывная (b) – и нечисловая (с); 2) применяемый способ экспертного опроса: индивидуальный (d1), групповой (d2); 3) тип используемой экспертной информации: порядковая (e1), кардинальная (е2); 4) интерпретация данных экспертного опроса: вероятностная (D), детерминированная (N). Рассмотрим, например, процедуру построения функций принадлежности для термов лингвистической переменной с числовой областью определения на основе метода равноделения. ЛПР поочередно предъявляется несколько пар точек. При каждом предъявлении ЛПР должно назвать точку, для которой степень принадлежности находится посередине между степенями принадлежности точек, входящих в предъявленную пару. На практике используется также процедура построения функций принадлежности, которая основана на их представлении в виде функций от плотности вероятности четких случайных границ между термами лингвистической переменной. Определять функции принадлежности можно не только с помощью процедур непосредственного опроса экспертов, но и на основе функций распределения F1 и F2 с дальнейшим использованием выражения, полученного для . Сами функции F1 и F2 могут быть построены на основе либо статистических данных, либо экспертного опроса. Для построения функции принадлежности используются: а) стандартный набор графиков; б) метод попарных сравнений; в) метод деления значений ФП пополам; г) метод равнокажущихся интервалов; д) метод последовательных интервалов; е) неизменная базовая переменная. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ОДНИМ ЭКСПЕРТОМ Рассмотрим нечеткое понятие "возраст". Определим «воз­раст» как лингвистическую переменную (ЛП). Базовый набор значений ЛП "возраст" определим как (рисунок 2): В - {младенческий, детский, юный, молодой, зрелый, преклонный, старый} Для ЛП "возраст" базовая шкала – это числовая шкала от 0 до 120, обозначающая ко­личество прожитых лет, а функция принадлежности определяет, насколько мы увере­ны в том, что данное количество лет можно отнести к данной категории возраста. На рисунке 6 отражено, как одни и те же значения базовой шкалы могут участвовать в опре­делении различных нечетких множеств (НМ). Рисунок 5 – Базовый набор значений ЛП "возраст" Рисунок 6 – Базовая шкала ЛП "возраст" Например, определить значение НМ "младенческий возраст" можно так. Рисунок 7 иллюстрирует оценку НМ экспертом, который ребен­ка до полугода с высокой степенью уверенности относит к младенцам ( = 1). Дети до четырех лет причисляются к младенцам тоже, но с меньшей степенью уверенности (0,5<  <0,9), а в десять лет ребенка называют так только в очень редких случаях – к примеру, для девяностолетней бабушки и 15 лет может считаться младенчеством. Рисунок 7 – Функция принадлежности терма лингвистической переменной "младенческий возраст" ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ЭКСПЕРТНОЙ ОЦЕНКИ С помощью функции принадлежности можно отразить мнение одного или нескольких экспертов. Это связано с неспособность человека формулировать свое количественное впечатление в виде однозначного числа. Предположим, что имеется m экспертов, часть из которых на вопрос о принадлежности элемента хХ нечеткому множеству А отвечает положительно. Обозначим их число n1. Другая часть экспертов n2 = m – n1 отвечает на этот вопрос отрицательно. Тогда принимаем, что функция принадлежности может быть описана выражением . (10) Пример. Пусть имеется множество Х={1, 2, 3, 4, 5, 6} и требуется построить нечеткое множество А формализующее нечеткое понятие "намного больше двух". Решение задачи может выглядеть так. Допустим, что результаты опроса шести экспертов дали такие результаты (таблица 1). Причем если на вопрос о принадлежности элемента хХ нечеткому множеству А эксперт отвечает положительно, то в таблицу заносим знак "+", если отрицательно, то знак " – ". Обозначим число положительных знаков как n1, а число отрицательных знаков как n2 = m – n1. Таблица 1 – Результат опроса экспертов Эксперты Х 1 2 3 4 5 6 1 – – – + + + 2 – – – + + + 3 – – + + + + 4 – – – – – + 5 – – – – + + 6 – – – + + + n1= 1 4 5 6 n2= 6 6 5 2 1 Используя формулу (1), определяем функцию принадлежности: ; ; ; ; ; . Тогда формальная запись нечеткого множества А будет такой: Рисунок 8 – Функция принадлежности для примера 1 МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ Методику построения функции принадлежности (ФП) рассмотрим на модельном примере: "Определить семантику и термы лингвистической переменной "Вероятность". Методика решения задачи предусматривает выполнение этапов: 1 этап. Определение термов лингвистической переменной (ЛП). В нашем случае это могут быть, например, "Вероятность большая"; "Вероятность средняя"; "Вероятность малая". 2 этап. Ранжирование термов. В данном случае можно выполнить ранжирование типа "по возрастанию". Таким образом, результатом выполнения этапа будет последовательность: 1 – "Вероятность малая"; 2 – "Вероятность средняя"; 3 –"Вероятность большая". 3 этап. Определение интервалов термов (то есть назначение левой и правой границ интервала). В каждом конкретном случае эти границы будут различны. В нашем примере лингвистическая переменная "Вероятность" имеет крайнюю левую границу 0, а крайнюю правую – 1 (по своей сути вероятность меняется от 0 до 1, т.е. вероятность невозможного события равна 0, а вероятность достоверного события равна 1). Промежуточные значения выбираются на основе субъективного суждения. Предположим, что граничные пары значений термов установлены такими, как представлены в таблице 2. Таблица 2 – Левая и правая границы интервалов термов Номер и наименование терма Левая граница Правая граница 1 "Вероятность малая" 0,4 2 "Вероятность средняя" 0,2 0,8 3 "Вероятность большая" 0,6 1,0 4 этап. Графическое изображение установленных границ интервалов термов (рисунок 9). Рисунок 9 – Границы интервалов 5 этап. Корректировка границ интервалов термов (необязательный этап). 6 этап. Выбор метода построения ФП. В данном примере используем метод деления значений ФП пополам. 7 этап. Определение семантики терма лингвистической переменной. 7.1 Рассмотрим 1 терм: "Вероятность малая". Для него определим значения ФП в граничных точках интервала. В граничной точке 0,0 ФП равна 1, так как если вероятность равна нулю, то она естественно малая и ФП принимает максимальное значение. В граничной точке 0,4 ФП равна 0, так как ранее на основе субъективного суждения мы приняли, что при Р>0,4 вероятность не может быть малой. Граничные значения интервала 0,0 0,4 Значения ФП 1 Графическая иллюстрация решения задачи показана на рисунке 10 а. а) б) Рисунок 10 – Значения ФП в граничных точках Нахождение значений ФП в данном интервале. Для этого можно использовать 3, 5, 7, 9 кратное разбиение интервала (следует помнить, что чем больше кратность разбиения, тем выше точность построения ФП). Для простоты воспользуемся 3-х кратным разбиением. Методика разбиения состоит в следующем: • назначьте значение аргумента, для которого значение ФП (0,5) лежит посередине между значениями ФП для точек 0,0 и 0,4. Графическая иллюстрация постановки задачи приведена на рисунке 2 б. Предположим, что это будет значение аргумента равное 0,35 (рисунок 3). • назначьте значение аргумента, для которого значение ФП (0,25) лежит посередине между значениями ФП для точек 0,35 и 0,4. Предположим, что это будет значение аргумента равное 0,38 (рисунок 11). Рисунок 11 – Значения аргумента, Рисунок 12 – Значения аргумента, при котором ФП принимает при котором ФП принимает значение 0,5 значение 0,25 • назначьте значение аргумента, для которого значение ФП (0,75) лежит посередине между значениями ФП для точек 0,0 и 0,35. Предположим, что это будет значение аргумента равное 0,12 (рисунок 13). Рисунок 13 – Значения аргумента, при котором ФП принимает значение 0,75 Таким образом, результаты выполнения предыдущих действий для данного терма будут такими: Значения аргумента 0,0 0,12 0,35 0,38 0,40 Степени принадлежности 1,0 0,75 0,50 0,25 0,0 Рисунок 14 – Графическое изображение результатов для терма "Вероятность малая" 7.2 Рассмотрим 2 терм и определим семантику терма "Вероятность средняя". Для него определим значения ФП в граничных точках. В этом случае значения ФП равны 0, так как и меньше Р < 0,2 и при Р > 0,8 вероятность не может считаться средней. Граничные значения 0,2 0,8 Значения ФП 0 0 Графически решение этой задачи показано на рисунке 15. Рисунок 15 – Значения ФП в граничных точках для терма "Вероятность средняя" Нахождение значений ФП в данном интервале. Для простоты воспользуемся 3-х кратным разбиением. Методика разбиения состоит в следующем: • назначьте значение аргумента, при котором ФП уже равна 1, и значение аргумента, при котором она еще равна 1. Предположим, это будут значения аргумента равные 0,3 и 0,7 (рисунок 16). Рисунок 16 – Значения аргумента, при котором ФП принимает значение 1,0. • назначьте значение аргумента, для которого значение ФП (0,5) лежит посередине между значениями ФП для точек 0,2 и 0,3. Предположим, что это будет значение аргумента равное 0,27. • назначьте значение аргумента, для которого значение ФП (0,75) лежит посередине между значениями ФП для точек 0,27 и 0,3. Предположим, что это будет значение аргумента равное 0,282. • назначьте значение аргумента, для которого значение ФП (0,25) лежит посередине между значениями ФП для точек 0,2 и 0,27. Предположим, что это будет значение аргумента равное 0,24. Рассмотрим правый полуинтервал для терма "Вероятность средняя". • назначьте значение аргумента, для которого значение ФП (0,5) лежит посередине между значениями ФП для точек 0,7 и 0,8. Предположим, что это будет значение аргумента равное 0,74. • назначьте значение аргумента, для которого значение ФП (0,75) лежит посередине между значениями ФП для точек 0,7 и 0,74. Предположим, что это будет значение аргумента равное 0,72. • назначьте значение аргумента, для которого значение ФП (0,25) лежит посередине между значениями ФП для точек 0,74 и 0,8. Предположим, что это будет значение аргумента равное 0,76. Таким образом, результаты выполнения предыдущих действий для терма "Вероятность средняя" будут такими: Значения аргумента 0,2 0,24 0,27 0,282 0,3 0,7 0,72 0,74 0,76 0,8 Степени принадлежности 0,0 0,250 0,500 0,750 1,0 1,0 0,75 0,5 0,25 Графически это решение показано на рисунке 17. Рисунок 17 – Вид ФП для терма "Вероятность средняя" 7.3 Рассмотрим 3 терм и определим семантику терма "Вероятность большая". Для него определим значения ФП в граничных точках. Граничные значения 0,600 1,0 Значения ФП 1 Графически решение этой задачи показано на рисунке 18. Нахождение значений ФП в данном интервале. Методика выполнения данного этапа аналогична 7.1, поэтому представим только конечные результаты. ◦ значение аргумента, для которого значение ФП (0,5) лежит посередине между значениями ФП для точек 0,6 и 1,0 равно 0,7. Рисунок 18 – Значения ФП в граничных точках для терма "Вероятность большая" • значение аргумента, для которого значение ФП (0,25) лежит посередине между значениями ФП для точек 0,6 и 0,7 равно 0,64. • значение аргумента, для которого значение ФП (0,75) лежит посередине между значениями ФП для точек 0,7 и 1,0 равно 0,85. Таким образом, результаты выполнения расчетов для данного терма будут такими: Значения аргумента 0,6 0,64 0,7 0,85 1,0 Степени принадлежности 0,0 0,250 0,500 0,750 1,0 Рисунок 19 – Вид ФП для терма "Вероятность большая" Вывод. Таким образом, в результате выполнения всех этапов можно построить функцию принадлежности лингвистической переменной "Вероятность" (рисунок 12). Рисунок 20 – Общий вид функции принадлежности лингвистической переменной "Вероятность" КОСВЕННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ФП Одним из возможных методов построения функции принадлежности является метод, основанный на количественном сравнении степеней принадлежности индивидуальным ЛПР (лицо, принимающее решение). Результатом опроса ЛПР является матрица размера nn, где n – число точек , в которых сравниваются значения функции принадлежности. Элемент матрицы В является субъективной оценкой отношения и показывает, во сколько раз, по мнению ЛПР, больше . Величина назначается в соответствии с балльной шкалой, значения которой интерпретируются в соответствии со шкалой интенсивности. По определению и с целью согласования оценок ЛПР устанавливается, что . Значения функции принадлежности в точках определяются на основе решения задачи о нахождении собственного вектора матрицы В , где – максимальное собственное число матрицы В; – соответствующий собственный вектор; т – символ транспонирования. Поскольку матрица В является положительной по построению, решение этой задачи всегда существует и является единственным. Можно показать, что в этом случае . При этом значения функции принадлежности оказываются измеренными в шкале отношений. Описанный метод обладает рядом достоинств: - применяемая в методе процедура парных сравнений является достаточно простой для ЛПР, поскольку она не навязывает ему априорных ограничений, например не требует транзитивности суждений; - метод допускает наблюдаемую на практике несогласованность оценок эксперта (имеется в виду, что ) и вместе с тем позволяет учесть и оценить ее введением коэффициента несогласованности. Если , то наблюдается ситуации полной согласованности суждений; чем больше , тем больше несогласованность суждений ЛПР; - решение задачи о собственном векторе приводит к измерению функции принадлежности в шкале отношений. МОДЕЛЬНЫЙ ПРИМЕР Для иллюстрации этапов получения решения задачи с помощью метода анализа иерархий рассмотрим гипотетический пример. Для уборки зерновых культур необходимо приобрести зерноуборочный комбайн. На рынке имеются машины нескольких фирм одинакового целевого назначения. Какой зернокомбайн выбрать в соответствии с потребностями покупателя? Другими словами необходимо оценить весомость критериев к машине, которыми пользуется потребитель. Рекомендуется такая последовательность этапов при решении задачи. 1. Очертите проблему и определите, что вы хотите узнать. 2. Постройте иерархию, начиная с вершины (цели - с точки зрения управления), через промежуточные уровни (критерии, по которым зависят последующие уровни) к самому нижнему уровню (который обычно является перечнем альтернатив). 3. Постройте матрицу попарных сравнений для второго уровня. 4. Проверить согласованность, используя отклонение от n. Схема иерархии для рассматриваемой задачи приведена на рисунке. На первом (высшем) уровне находится общая цель: "Зернокомбайн". На втором уровне находятся показатели (критерии), уточняющие цель. Рисунок 21 – Схема иерархии для решения проблемы выбора зернокомбайна Примечание 1. В примере на втором уровне рассматриваются четыре критерия. Такое количество выбрано лишь для иллюстрации метода и не связано с сутью рассматриваемой проблемы – выбора лучшего зернокомбайна. Примечание 2. Издавна известны магические свойства числа семь. Так вот в МАИ для проведения обоснованных численных сравнений не рекомендуется сравнивать более чем 7 ± 2 элементов. Если же возникает потребность в расширении уровней 2 и 3, то следует использовать принцип иерархической декомпозиции. Другими словами если число критериев, например, превышает десятки, то необходимо элементы сгруппировать в сравниваемые классы приблизительно из семи элементов в каждом. После выполнения работ на этапе иерархического представления проблемы необходимо установить приоритеты критериев. Для количественного определения сравнительной важности факторов в проблемной ситуации необходимо составить матрицу попарных сравнений. Эта матрица представлена в таблице 1. Таблица 1 – Общий вид матрицы попарных сравнений Общее удовлетворение машиной A1 A2 A3 . . . AN A1 1/1 w1/w2 w1/w3 . . . w1/wn A2 w2/w1 1/1 w2/w3 . . . w2/wn A3 w3/w1 w3/w2 1/1 . . . w3/wn . . . . . . . . . . . . 1/1 . . . AN wn/w1 wn/w2 wn/w3 . . . 1/1 Здесь A1, A2, A3, ..., An- множество из n элементов; w1, w2, w3, ..., wn- соответственно их веса или интенсивности. Примечание 1. Цель составления подобной матрицы заключается в определении факторов с наибольшими величинами важности, чтобы затем сконцентрировать внимание на них при решении проблемы или разработке плана действий. Примечание 2. Если ожидается, что w1, w2,..., wn – неизвестны заранее (а это очень распространенная ситуация), то попарные сравнения элементов производятся с использованием субъективных суждений, численно оцениваемых по шкале (см. приложение). Примечание 3. Следует подчеркнуть, что в МАИ по соглашению сравнивается относительная важность левых элементов матрицы с элементами наверху. Поэтому если элемент слева важнее, чем элемент наверху, то в клетку заносится положительное целое (от 1 до 9); в противном случае – обратное число (дробь, например, 1/5). Относительная важность любого элемента, сравниваемого с самим собой, равна 1; поэтому диагональ матрицы (таблица 1) содержит только единицы. Наконец, обратными величинами заполняют симметричные клетки, т.е. если элемент А1 воспринимается как слегка более важный. (3 на шкале) относительно элемента А2, то считается, что элемент А2 слегка менее важен (1/3 по шкале) относительно элемента А1. Составим матрицу попарных сравнений для нашей задачи (таблица 2). Таблица 2 – Матрица попарных сравнений, построенная на основе субъективных суждений Общее удовлетворение комбайном Пр. П.з. Нар. Р.т. Ст. Производительность 1/1 5/1 4/1 5/1 3/1 Потери зерна 1/5 1/1 1/2 2/1 1/2 Наработка 1/4 2/1 1/1 1/1 1/4 Расход топлива 1/5 1/2 1/1 1/1 1/2 Стоимость 1/3 2/1 4/1 2/1 1/1 Синтез приоритетов Одним из способов определения приоритетов является вычисление геометрического среднего. Это можно сделать, перемножая элементы в каждой строке и извлекая корень n-й степени, где n – число элементов. Полученный таким образом столбец чисел нормализуется делением каждого числа на сумму всех чисел. Последовательность расчета составляющих вектора приоритетов приведена в таблице 3. Таблица 3 – Расчет вектора приоритетов А1 А2 А3 А4 Оценки компонент собственного вектора по строкам Нормализация результата А1 А2 А3 А4 Для нашего примера значения вектора приоритетов (функции принадлежности) приведены в таблице 4. Таблица 4 – Функция принадлежности Общее удовлетворение комбайном Вектор приоритетов, Xi Производительность 0,491 Потери зерна 0,099 Наработка 0,104 Расход топлива 0,086 Стоимость 0,220 Согласованность локальных приоритетов Индекс согласованности (ИС) дает информацию о степени нарушения численной и порядковой согласованности. Для улучшения согласованности рекомендуется поиск дополнительной информации и пересмотр данных, использованных при построении шкалы. Вместе с матрицей парных сравнений можно определить меру оценки степени отклонения от согласованности. Когда такие отклонения превышают установленные пределы, тому, кто проводит суждения, следует перепроверить их в матрице. Индекс согласованности в каждой матрице вычисляется так: сначала суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на значение первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца – на вторую компоненту и т.д. Затем полученные числа суммируются. Таким образом находится max – наибольшее собственное значение матрицы суждений А. Индекс согласованности ИС определяется по формуле , где n – число сравниваемых элементов. Отношение согласованности (ОС) определяется как частное от деления ИС и числа, соответствующего случайной согласованности матрицы того же порядка (таблица 5). Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях можно допустить 20%, но не более. Если ОС выходит из этих пределов, то участникам нужно исследовать задачу и уточнить свои суждения. В нашем примере ИС = 0,0512; ОС = 4,57%, что является хорошим результатом. Таблица 5 – Средние согласованности для случайных матриц разного порядка Размер матрицы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Случайная согласованность 0,58 0,9 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 Согласованность всей иерархии можно найти, перемножая каждый индекс согласованности на приоритет соответствующего критерия и суммируя полученные числа. Результат затем делится на выражение такого же типа, но со случайным индексом согласованности, соответствующим размерам каждой взвешенной приоритетами матрицы. Приемлемым является значение ОС около 10% или менее. В противном случае качество суждений следует улучшить, возможно, пересмотрев способ, следуя которому задаются вопросы при проведении парных сравнений. Если это не поможет улучшить согласованность, то, вероятно, задачу следует более точно структурировать, т.е. сгруппировать аналогичные элементы под более значащими критериями. Потребуется возврат к этапу 2, хотя пересмотра могут потребовать только сомнительные части иерархии. Приложение А Шкала относительной важности Для проведения субъективных парных сравнений в МАИ предлагается шкала относительной важности. Интенсивность относительной важности Определение Объяснения 1 Равная важность Равный вклад двух видов деятельности в цель 3 Умеренное превосходство одного над другим Опыт и суждения дают легкое превосходство одному виду деятельности над другим 5 Существенное или сильное превосходство Опыт и суждения дают сильное превосходство одному виду деятельности над другим 7 Значительное превосходство Одному виду деятельности дается настолько сильное превосходство, что оно становится практически значительным 9 Очень сильное превосходство Очевидность превосходства одного вида деятельности над другим подтверждается наиболее сильно 2, 4, 6, 8 Промежуточные решения между двумя соседними суждениями Принимаются в компромиссном случае Если при сравнении одного вида деятельности с другим получено одно из вышеуказанных чисел (например 3), то при сравнении второго вида деятельности с первым получаем обратную величину (т.е. 1/3). ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТИПОВЫХ ФУНКЦИЙ В соответствии с данным методом вид функции задается аксиоматически, а ее параметры непосредственно оцениваются лицом, принимающим решения. Например, в случае треугольной формы функции принадлежности ЛПР указывает такие ее параметры u1, u2, u3 при которых она принимает единичное и нулевые значения, т. е. и для всех , имеет место . Параметрическое представление функций принадлежности является компактным, обеспечивает простоту построения их на практике, однако связано с исследованием адекватности используемых форм (треугольной, трапециевидной, колоколообразной и др.) и соответствующих аналитических описаний функции принадлежности. Конкретный вид функций принадлежности определяется на основе различных дополнительных предположений о свойствах этих функций (симметричность, монотонность, непрерывность первой производной и т.д.) с учетом специфики имеющейся неопределенности. Для построения значений ФП используются функции: 1) (1) Рисунок 22 – ФП для выражения (1) 2) (2) Рисунок 23 – ФП для выражения (3) 3) (3) Рисунок 24 – ФП для выражения (3) 4) (4) Рисунок 25 – ФП для выражения (4) 5) (5) Рисунок 26 – ФП для выражения (5) 6) (6) Рисунок 27 – ФП для выражения (6) 7) (7) Рисунок 28 – ФП для выражения (7) 3. Операции над нечеткими множествами Подобно операциям над четкими множествами, нечеткие множества также можно пересекать, объединять и инвертировать. Л. Заде  предложил оператор минимума для пересечения и оператор максимума для объединения двух нечетких множеств. Видно, что эти операторы совпадают с объединением и пересечением, если мы рассматриваем только степени принадлежности 0 и 1. 1 ОПЕРАЦИЯ ОБЪЕДИНЕНИЯ Объединением нечетких множеств и называется множество: , где Предположим, на интервале от [0; 0,4] функция принадлежности (ФП) описывается выражением (1): (1) Графическое изображение функции (1) при a=0 и b=0,4 приведено на рисунке 29. Рисунок 29 – ФП для выражения (1) Предположим, на интервале [0,2; 0,8] функция принадлежности описывается выражением (2): (2) Графическое изображение функции (1) при a=0,2; c=0,3; d=0,7; b=0,8 приведено на рисунке 30. Рисунок 30 – ФП для выражения (2) Тогда в результате выполнения операции объединения общий вид ФП будет такой (рисунок 31). Рисунок 31 – Результат выполнения операции объединения 2 ОПЕРАЦИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ Пересечением нечетких множеств Ã и B̃ называется множество: , где . Для условий предыдущего примера результат операции пересечения будет иметь вид (рисунок 32): Рисунок 32 – Результат выполнения операции пересечения 3 ОПЕРАЦИЯ ДОПОЛНЕНИЯ Дополнением нечеткого множества Ã называется множество , где . Носителем нечёткого множества ̃ будет являться множество , т. е. множество тех элементов , для которых функция принадлежности . Предположим, на интервале от [0,1; 0,5] функция принадлежности описывается выражением (3): (3) Графическое изображение функции (3) при a=0,1 c=0,3 и b=0,5 приведено на рисунке 33. На этом же рисунке приведена и функция Рисунок 33 – Результат выполнения операции дополнения 3. Операции над нечеткими множествами Теперь, когда мы понимаем что такое нечеткие множества, мы можем определить основные операции над ними. Подобно операциям над четкими множествами, нечеткие также можно пересекать, объединять и инвертировать. L. A. Zadeh в своей первой статье относительно нечетких множеств,  предложил оператор минимума для пересечения и оператор максимума для объединения двух нечетких множеств. Видно, что эти операторы совпадают с объединением и пересечением, если мы рассматриваем только степени принадлежности 0 и 1. 3.1. Операция ПЕРЕСЕЧЕНИЯ Рассмотрим пример 1. Пусть А нечеткий интервал между 5 и 8 и B нечеткое число приблизительно 4 (рисунок 3).   Рисунок 3 – Функции принадлежности к примеру 1 На рисунке 4 показано пересечение нечеткого множества между 5 и 8 с приблизительно 4 (обратите внимание на синюю строку). Рисунок 4 – Функции принадлежности к примеру 1 3.2. Операция ОБЪЕДИНЕНИЯ Объединение нечеткого множества между 5 и 8 с приблизительно 4 показано на рисунке 5. Рисунок 5 – Функции принадлежности к примеру 1 3.3. Операция ИНВЕРСИЯ Рисунок 6 дает пример инверсии. Синяя строка - ИНВЕРСИЯ нечеткого множества A. Рисунок 6 1 ОПЕРАЦИЯ ОБЪЕДИНЕНИЯ Предположим, на интервале от [0; 0,4] функция принадлежности описывается выражением (1): (1) Графическое изображение функции (1) при a=0 и b=0,4 приведено на рисунке 1. Рисунок 1 – ФП для выражения (1) Предположим, на интервале [0,2; 0,8] функция принадлежности описывается выражением (2): (2) Графическое изображение функции (1) при a=0,2; c=0,3; d=0,7; b=0,8 приведено на рисунке 2. Рисунок 2 – ФП для выражения (2) Тогда в результате выполнения операции объединения общий вид ФП будет такой (рисунок 3). Рисунок 3 – Результат выполнения операции объединения 2 ОПЕРАЦИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ Для условий предыдущего примера результат операции пересечения будет иметь вид (рисунок 4): Рисунок 4 – Результат выполнения операции пересечения