Теория линейных систем автоматического управления

Теория линейных систем автоматического управления Конспект лекций для студентов заочного отделения Оглавление 1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИГНАЛОВ 2 7 3 ТИПОВЫЕ ВХОДНЫЕ СИГНАЛЫ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ И РЕАКЦИИ НА НИХ 13 4 СОЕДИНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. ОБРАТНЫЕ СВЯЗИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ 16 5 ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 19 6 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 29 6.1 Критерий устойчивости Гурвица 32 6.2 Критерий устойчивости Михайлова 33 6.3 Критерий устойчивости Найквиста 35 6.4 Анализ устойчивости системы по ЛАФЧХ. Запасы устойчивости 36 6.5 Построение областей устойчивости с помощью критериев устойчивости 38 6.6 Построение областей устойчивости с помощью D-разбиений 38 7 СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ ЛИТЕРАТУРА 42 54 1 1 Основные определения. Классификация систем управления К 1947 году один из основоположников теории управления Норберт Винер пришел к следующему выводу: как для механических систем, так и для живых тканей существует единство ряда задач, в центре которых находятся вопросы управления и регулирования, связи между отдельными системами различной природы, а также задачами статической механики. Н. Винером было предложено всю теорию автоматического управления и регулирования и теорию связи в механических системах и живых организмах назвать кибернетикой. Теория автоматического управления относится к разделу технической кибернетики, то есть управления техническими объектами. Управление – это свойство организованных систем различной природы (включая и технические системы) обеспечивать: а. заданный режим функционирования системы; б. сохранять или необходимым образом изменять структуру системы для выполнения этой системой заданной задачи (цели) управления; или какой-либо программы. Управление в технических системах представляет собой процесс поддержания требуемого состояния объекта или изменения его состояния по определенному закону путем внешнего воздействия на управляемый объект. Различают управление техническими объектами – английский термин control и социально-экономическими системами – английский термин management. Система управления техническим объектом – это исполнительных механизмов, измерительных, совокупность усилительных и преобразовательных приборов и устройств, образующих функционально и конструктивно законченное изделие, способное обеспечить стабилизацию и изменение определяющих показателей работы объекта. 2 Различают автоматические системы управления (без участия человека в процессе регулирования) и автоматизированные системы управления (с участием человека в процессе регулирования). В дальнейшем будем рассматривать только технические системы, в частности системы автоматического управления. Посмотрим общую структуру системы автоматического управления, приведенную на рисунке 1.1. Рисунок 1.1 Общая структура системы автоматического управления Она включает в себя: объект управления (ОУ),измерительное устройство (ИУ), управляющее устройство (УУ) (или в простейшем случае – регулятор), исполнительный элемент (ИЭ) и задающее устройство (ЗУ). Рассмотрим кратко назначение и свойства элементов системы автоматического регулирования. Объект управления (ОУ). Вследствие большого разнообразия объектов управления их физическая природа различна. Это могут быть технологические, экономические и организационные объекты и процессы. Различаются также динамические свойства объектов управления. Некоторые объекты обладают так называемым чистым запаздыванием, которое выражается в том, что при изменении нагрузки или управляющего воздействия u выходная величина изменяется не сразу, а через некоторый промежуток времени. Изучением свойств объектов построением их моделей занимается теория идентификации. 3 управления и Измерительное устройство (ИУ). Назначением измерительного устройства является измерение действительных значений управляющих и возмущающих воздействий. Измерительные устройства могут быть самыми разнообразными в зависимости от природы измеряемых величин. Всякое измерительное устройство является преобразователем измеряемой величины в величину удобную для дальнейшего использования. Измерительное устройство обладает собственными динамическими свойствами и может достаточно сильно искажать измеряемую величину. Управляющее устройство (УУ). Управляющее устройство формирует управляющее воздействие на ОУ в соответствии с заданным алгоритмом управления (законом регулирования) с учетом фактических x и заданных x з значений выходной переменной и, возможно, контролируемых возмущений. Управляющее устройство может представлять собой как отдельное специализированное устройство (регулятор) так и комплекс вычислительных средств, решающих задачи идентификации, оценки состояния и оптимизации в темпе с управляемым процессом. В простейших случаях управляющее устройство отсутствует и измерительное устройство выходной переменной непосредственно соединено с исполнительными механизмами. Такие системы называются системами автоматического регулирования прямого действия. Задающее устройство (ЗУ). Предназначено для установления необходимого значения управляемой выходной величины. Это значение может устанавливаться либо постоянным, либо формироваться в соответствии с некоторыми правилами, обеспечивающими достижение поставленной цели или как результат решения оптимизационной задачи. Величина на выходе задающего устройства должна быть одинаковой природы с измеренным значением выходной переменной. Рассмотренная функциональная схема соответствует разнообразным автоматическим системам. Элементы этой функциональной структуры в 4 каждом конкретном случае имеют различное конструктивное исполнение, характеризуются различными динамическими свойствами, характером используемых сигналов. Рассмотрим некоторые виды классификаций систем автоматического управления. По способу формирования и передачи сигнала различают автоматические системы управления непрерывные и дискретные. В непрерывных системах управляющие воздействия представляют собой непрерывные функции времени, в дискретных системах – в отдельные фиксированные моменты времени. Сигнал управления в последнем случае формируется по дискретным значениям выходной переменной и контролируемого возмущения. Если хотя бы одна переменная, характеризующая состояние системы, квантована по времени, то она относится к импульсным автоматическим системам; если хотя бы одна переменная, характеризующая состояние системы, квантована по уровню, то она относится к релейным автоматическим системам; если хотя бы одна переменная, характеризующая состояние системы, квантуется по времени и по уровню, то она относится к цифровым автоматическим системам. По виду задающего сигнала различают системы автоматической стабилизации, где входной сигнал постоянен и задачей регулирования является поддержание на постоянном уровне выходного (выходных) сигнала системы; системы программного управления, задающий сигнал в которых зависит от задающей программы; следящие системы, изменение задающего сигнала в которых происходит по случайному закону, а задачей регулирования является поддержание соответствующего уровня выходного (выходных) сигнала. Следящие системы часто делят на статические, в которых при отработке постоянного входного сигнала после окончания переходных процессов 5 полученная ошибка отработки зависит от величины входного сигнала, и астатические, в которых эта ошибка отсутствует (равна нулю). По числу входных и выходных переменных объекта управления различают системы одномерные (одна входная переменная, одна выходная переменная), многомерные (несколько входных переменных, несколько выходных переменных), множественные (несколько входных переменных, одна выходная переменная) или одна входная переменная и несколько выходных переменных. По возможности изменения структуры различают системы с постоянной и переменной структурой. Среди систем с переменной структурой можно выделить системы с переменной структурой регулятора и системы с переменной структурой объекта управления. Различают также системы управления линейные и нелинейные. К линейным системам управления относятся системы, для которых выполняется принцип суперпозиции – реакция системы управления на сумму воздействий равна сумме реакций системы на каждое воздействие. К нелинейным – системы, включающие в себя хотя бы один нелинейный элемент – зубчатая передача, усилитель с насыщением, реле с зоной нечувствительности, компаратор и так далее. По характеру изменения параметров системы различаю стационарные и нестационарные системы управления. В стационарных системах параметры объектов управления остаются постоянными на рассматриваемом интервале времени. Для нестационарных систем изменением параметров объекта управления на рассматриваемом интервале нельзя пренебречь. По характеру алгоритма управления различают неадаптивные и адаптивные системы. Адаптивные системы меняют свои характеристики в зависимости от внутренних (характер и величина внутренних параметров) и внешних (входное воздействие, величина внешних шумов и т.д.) причин. 6 Существуют также другие виды общих классификаций и частных подклассификаций указанных систем. В дальнейшем в разделе линейных систем автоматического управления (САУ) мы будем рассматривать линейные непрерывные стационарные неадаптивные системы. 2 Математическое описание сигналов Исследование переходных процессов в системах автоматического управления обычно основывается на использовании дифференциальных или интегральных уравнений, называемых уравнениями динамики. Для непрерывных систем используются обычно дифференциальные уравнения, а для дискретных систем – разностные уравнения. Вообще, дифференциальные уравнения описывают поведение систем, которые физически способны накапливать и отдавать энергию. При изучении динамических процессов не учитывают физическую природу регулируемых величин и устройств, а используют математическую модель процессов управления. Математическая модель системы строится на базе ее структурной схемы, состоящей из динамических звеньев. Динамические звенья характеризуются дифференциальными или операторными уравнениями, описывающими физические законы происходящих в них процессов. Одно устройство системы управления может быть представлено одним или несколькими динамическими звеньями. Совокупность полученных дифференциальных уравнений динамических звеньев представляет собой математическую модель системы и может быть использована для получения дифференциального уравнения системы в целом. В общем случае дифференциальные уравнения любой системы нелинейны. Однако при малых отклонениях координат системы от положения равновесия нелинейные уравнения с некоторой погрешностью можно заменить линейными. Этот процесс называется линеаризацией 7 дифференциальных уравнений и проводится, как правило, с помощью рядов Тейлора по степеням малых отклонений вблизи от точек равновесия. Математическая модель системы автоматического управления обычно описывается системой дифференциальных уравнений xi  f i( x1 , x2 ,..., xn , u(t )), i  1,2,..., n , где x i – координаты системы (фазовые координаты, переменные состояния), u(t) – входной сигнал (разумеется, если он один). Пространство с координатами ( x1 , x2 ,..., xn ) называют пространством состояний (фазовым пространством). При движении системы конец вектора x  ( x1 , x2 ,..., xn ) описывает в пространстве состояний траекторию, называемую фазовой траекторией. Для этого уравнения используют также векторную запись x  f ( x, u(t )) , где f  ( f1 , f 2 ,..., f n ) – вектор правых частей, являющийся вектором фазовой скорости. Векторно-матричное уравнение для линейных систем можно привести к виду x  A  x  B  u , где А – матрица размера nxn. Передаточной функцией называется отношение операторных изображений по Лапласу выходной и входной величин при нулевых начальных условиях в точке нуля. Если система имеет один вход и один выход, то передаточная функция определяется как W ( p )  x( p ) / u ( p ) , где x(p) и u(p) – операторные изображения приращений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях в точке нуля. Вообще, изображением по Лапласу комплексно-значной функции f(t) называют функцию комплексного переменного p = s+iσ, определяемую как 8  F ( p)   f (t )  e  pt  dt . При наличии нескольких входов передаточная функция может быть получена для каждого входа в предположении, что приращения входных воздействий для остальных входов нулевые. Передаточная функция является правильной рациональной дробью вида b0  p m  b1  p m1  ...  bm W ( p)  , a0  p n  a1  p n1  ...  an где ai, bi – коэффициенты, выражающиеся через параметры системы. Преобразование Лапласа легко получается из дифференциальных уравнений системы заменой p  d / dt . Само преобразование Лапласа от функции f(t) обозначается как L{f(t)}. Пример: рассмотрим простейшую систему, состоящую из резервуара для воды и крана, изображенную на рисунке 2.1. Рисунок 2.1 Регулирование уровня воды в баке В данном случае входным сигналом является переменный расход воды Q(t), а выходной величиной является уровень жидкости h(t). Здесь дифференциальное уравнение, описывающее наполнение бака, будет иметь вид h(t )  Q (t ) / S , где S – площадь поверхности бака. 9 Переходя к преобразованию Лапласа, можно получить p  h( p )  Q ( p ) / S , Откуда получаем передаточную функцию W ( p)  h( p ) 1  . Q( p) S  p В теории автоматического управления часто используется также частотная передаточная функция, которая получается из передаточной функции подстановкой p  j   , где j – мнимая единица,  – частота: b0  ( j   ) m  b1  ( j   ) m1  ...  bm W ( j )  . a0  ( j   ) n  a1  ( j   ) n1  ...  an Частотная передаточная функция является комплексной функцией от действительной переменной  , то есть W ( j   )  U ( )  j  V ( )  Re j  Jm  A  e j ( ) , где A( )  U 2 ( )  V 2 ( ) ,  ( )  argW ( j   ) . Если argW ( j   )   / 2 , то  ( )  arctg(V ( ) / U ( )) . На комплексной плоскости частотная передаточная функция W ( j   ) определяет вектор, длина которого равна A( ) , а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью) –  ( ) . Кривую, которую описывает конец этого вектора при изменении частоты от 0 до бесконечности (иногда от минус бесконечности) называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) или просто частотной характеристикой: 10 Рисунок 2.1 Вид АФЧХ В дальнейшем для упрощения понимания этого графика будем использовать обозначения Re (действительная часть) вместо U и Jm (мнимая часть) вместо V. Модуль A( )  W ( ) называют амплитудно-частотной функцией, ее график – амплитудно-частотной характеристикой. Аргумент  ( )  argW ( j   ) называют фазо-частотной функцией, ее график – фаз-частотной характеристикой. Амплитудно-частотная характеристика показывает изменение отношения амплитуд, а фазо-частотная характеристика – сдвиг фазы выходной величины относительно входной в зависимости от частоты входного гармонического воздействия. Кроме перечисленных частотных характеристик используют еще логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) – логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазочастотные характеристики (ЛФЧХ). Назовем функцию L( )  20  lg A( )  20  lg W ( ) логарифмической амплитудной частотной функцией. График зависимости логарифмической амплитудно-частотной функции L(w) от логарифма 11 частоты (lg w) называют логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ). При ее построении по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе: на отметке, соответствующей значению lg w, пишут само значение w, а не значение lg w, а по оси ординат – L(w). называют Логарифмической график фазо-частотной зависимости характеристикой фазовой частотной (ЛФЧХ) функции  ( )  argW ( j   ) от логарифма частоты lg(w). При его построении по оси абсцисс, как и при построении ЛАЧХ, на отметке, соответствующей значению lg w, пишут значение w. Единицей измерения L(w) является децибел, а единицей логарифма частоты в ЛЧХ – декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что она изменилась на одну декаду. Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произвольную точку, а не через точку w=0, поскольку частоте w=0 соответствует бесконечно удаленная точка (lg w=–  ). Логарифмические частотные характеристики имеют то преимущество, что для многих простых систем они приближенно представляют собой прямые линии. Вообще известно, что кривизна значительного количества кривых при построении их в логарифмическом масштабе уменьшается. Кроме того, перемножение двух передаточных функций сводится к сложению ординат двух логарифмических частотных характеристик ( lg( a  b)  lg a  lg b ). Деление же двух передаточных функций сводится к вычитанию ординат двух логарифмических частотных характеристик ( lg( a / b)  lg a  lg b ). Амплитудно-фазовые характеристики могут быть построены также и для отрицательных частот. Хотя они и не имеют физического смысла, но иногда могут быть использованы для решения некоторых вопросов устойчивости. 12 Такие амплитудно-фазовые характеристики представляют собой зеркальное изображение обычных амплитудно-фазовых характеристик относительно вещественной оси. 3 Типовые входные сигналы систем автоматического управления и реакции на них При анализе и синтезе систем рассматривают реакции на различные входные сигналы. Посмотрим основные виды входных тестовых сигналов и виды реакций на них. 1. Переходной функцией системы (звена) называют функцию h(t), описывающую изменение выходной величины системы, если на ее вход подается ступенчатое единичное воздействие при нулевых начальных условиях. Аналитически ступенчатое единичное воздействие описывается единичной функцией 1, t  0, 1(t )   0, t  0. График переходной функции – кривая зависимости функции h(t) от времени называют переходной или разгонной характеристикой. Использование переходного процесса звена или системы при ступенчатом входном сигнале (в общем случае не только единичном) позволяет получать прямые оценки качества регулирования. Рассмотрим получение прямых оценок качества регулирования в случае использования задающего входного воздействия по переходному процессу в системе. Рассмотрим два вида переходного процесса: колебательное и апериодическое. Получение прямых показателей качества показано на рисунке 3.1. 13 Рисунок 3.1 Определение прямых показателей качества процессов Длительность переходного процесса (время регулирования – tp1, tp2) определяется как разница времени окончания переходного процесса и временем начала изменения внешнего воздействия. В идеальной линейной системе переходный процесс бесконечен, поэтому время окончания переходного процесса определяют с того момента времени, когда ошибка регулирования перестанет превышать некоторую заданную величину Δ. Значение Δ обычно принимают равной 5% от установившегося (иногда заданного) уровня выходного сигнала x*. Перерегулирование определяется как  xm  100 % . x* Статическая ошибка регулирования для следящих систем определяется как   u  x* , где u – уровень постоянного входного сигнала. Также для следящих систем можно определить относительную статическую ошибку регулирования как 14   u . Используются интегральные показатели качества:  – J1    (t )  dt – интегральная абсолютная ошибка регулирования,  – J 2    2 (t )  dt – интегральная квадратичная ошибка регулирования. 2. Весовой (импульсной переходной) функцией системы (звена) называют функцию w(t), описывающую изменение выходной величины системы, если на ее вход подается единичное импульсное входное воздействие при нулевых начальных условиях. Аналитически единичное импульсное входное воздействие описывается дельта-функцией       (t )  dt    (t )  dt  1. График весовой функции – кривая зависимости функции w(t) от времени называют импульсной переходной характеристикой. Можно определить связь между переходной и весовой функцией системы с передаточной функцией W(p) как L{h(t )}  W ( p) / p , L{w(t )}  W ( p) . 3. В качестве входного сигнала используют синусоидальное входное воздействие u(t )  umax  sin( 0  t ) . При этом на выходе линейной системы имеем также гармонический сигнал с частотой 0 и амплитудой и фазой, определяемыми АФЧХ системы (или передаточной функцией системы). Наиболее часто для определения величины отклика в этом случае используют логарифмические характеристики: ЛАЧХ и ЛАФЧХ. 15 4 Соединения звеньев автоматического управления. Обратные связи. Преобразования структурных схем 1. Параллельное соединение звеньев (рисунок 4.1). Рисунок 4.1 Параллельное соединение звеньев Здесь выходной сигнал системы при входном сигнале f является суммой сигналов всех звеньев. Таким образом, передаточная функция этой системы W ( p)  x( p) / u( p)  W1 ( p)  W2 ( p)  ...  Wn ( p) . 2. Последовательное соединение звеньев (рисунок 4.2). Рисунок 4.2 Последовательное соединение звеньев Здесь выход предыдущего звена подается на вход последующего. Передаточная функция этой системы W ( p)  xn ( p) / u ( p)  W1 ( p)  W2 ( p)  ...  Wn ( p) . 3. Соединение звеньев с обратной связью. Здесь существует связь между выходным сигналом системы и его входным сигналом. Типовой вариант такой системы – замыкание системы с отрицательной обратной связью (рисунок 4.3). 16 Рисунок 4.3 Соединение звеньев с обратной связью Передаточная функция системы выражается соотношением W ( p)  x1 ( p) / u ( p)  W1 ( p) . 1  W1 ( p)  W2 ( p) Наиболее часто используют тип соединения звеньев с отрицательной обратной связью. Такое соединение позволяет эффективно строить как следящие системы, так и программного управления и регулирования. Посмотрим, например, случай, когда W 1( p)  k ;W 2( p)  1 . Это соответствует, например, электронной схеме с операционным усилителем, охваченным 100%-й отрицательной обратной связью. Пусть, например, k=100. Тогда W(p)=100/(1+100*1)=100/101, то есть величина, близкая к 1-це. Если же коэффициент усиления k будет меняться от 100 до, например, 1000000, то это мало скажется на коэффициенте усиления схемы. В этом и заключается смысл систем с обратной связью (ОС) – парировать изменения параметров системы. Такие системы стремятся сохранить свои параметры в указанных диапазонах при изменении внутренних коэффициентов системы в гораздо больших пределах. Иногда системы обладают своими внутренними, определяющимися физическими свойствами и внутренней структурой, обратными связями. В процессе анализа или синтеза структур систем автоматического управления полезно использовать правила преобразования структурных схем с целью их упрощения, выявления их особенностей и облегчения восприятия. Можно указать в качестве основных правил преобразования структурных 17 схем: перенос точки разветвления, перенос точки суммирования, добавление и удаление блоков из контуров: а. Переносы точки разветвления показаны на рисунках 4.4 и 4.5. Рисунок 4.4 Перенос точки разветвления против прохождения сигнала Рисунок 4.5 Перенос точки разветвления по направлению прохождения сигнала б. Переносы сумматора показаны на рисунках 4.6 и 4.7. Рисунок 4.6 Перенос сумматора по направлению прохождения сигнала Рисунок 4.7 Перенос сумматора против направления прохождения сигнала 18 в. Правила добавления и удаления блоков показаны на рисунках 4.84.11. Рисунок 4.8 Удаление блока из прямой петли Рисунок 4.9 Введение блока в прямую петлю Рисунок 4.10 Устранение блока из контура обратной связи Рисунок 4.11 Введение блока в контур обратной связи 5 Типовые звенья систем автоматического управления Так как произвольный полином можно разложить на простые множители, то передаточную функцию системы или звена W ( p)  b0  p m  b1  p m1  ...  bm a0  p n  a1  p n1  ...  an 19 всегда можно представить в виде произведения простых множителей и дробей k , p, вида 1 1 1 , T  p  1, , T 2  p 2  2    T  p  1, 2 2 . Здесь p T  p 1 T  p  2  T  p 1 k называется передаточным коэффициентом, T – постоянной времени,  (0    1) – коэффициентом демпфирования. Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или дробей, называют элементарными звеньями. Их также называют типовыми. Однако типовыми называют и другие звенья, которые не являются элементарными. Системы, звенья и их передаточные функции делятся на минимально-фазовые и неминимально-фазовые. Передаточная функция W ( p)  R( p) / Q( p) называется минимальнофазовой, если все ее нули (корни уравнения R( p)  0 ) и полюсы (корни уравнения Q( p)  0 ) располагаются в левой полуплоскости, и называется неминимально-фазовой, если хотя бы один нуль или полюс располагается в правой полуплоскости. Система и звено называются минимально-фазовыми, если их передаточные функции являются минимально-фазовыми, и называются неминимально-фазовыми, если их передаточные функции являются неминимально-фазовыми. Передаточные функции и системы (звенья), не являющиеся ни минимально-фазовыми, ни неминимально-фазовыми, будем называть маргинальными. Иначе говоря, передаточная функция будет называться маргинальной, если она имеет нуль или полюс на мнимой оси, но не имеет их в правой полуплоскости. Тип звена определяется видом его передаточной функции. При этом если передаточные функции звеньев отличаются только на постоянный множитель, то их относят к одному типу. 20 1. Безинерционное (пропорциональное, усилительное) звено. Передаточная функция имеет вид W ( p)  k . Частотная характеристика звена имеет вид, показанный на рисунке 5.1. Рисунок 5.1 Частотная характеристика безинерционного звена ЛАФЧХ звена имеет вид, показанный на рисунке 5.2. Рисунок 5.2 ЛАФЧХ безинерционного звена Переходная функция этого звена показана на рисунке 5.3. Рисунок 5.3 Переходная функция безинерционного звена Импульсная переходная функция этого звена показана на рисунке 5.4. 21 Рисунок 5.4 Импульсная переходная функция безинерционного звена 2. Дифференцирующее звено. Передаточная функция имеет вид W ( p)  k  p . Частотная характеристика звена имеет вид, показанный на рисунке 5.5. Рисунок 5.5 Частотная характеристика дифференцирующего звена ЛАФЧХ звена имеет вид, показанный на рисунке 5.6. Рисунок 5.6 ЛАФЧХ дифференцирующего звена 22 3. Интегрирующее звено. Передаточная функция имеет вид W ( p)  k / p . Частотная характеристика звена имеет вид, показанный на рисунке 5.7. Рисунок 5.7 Частотная характеристика интегрирующего звена ЛАФЧХ звена имеет вид, показанный на рисунке 5.8. Рисунок 5.8 ЛАФЧХ интегрирующего звена Переходная функция этого звена показана на рисунке 5.9. 23 Рисунок 5.9 Переходная функция интегрирующего звена Импульсная переходная функция этого звена показана на рисунке 5.10 Рисунок 5.10 Импульсная переходная функция интегрирующего звена Наличие интегрирующего звена в прямой цепи системы, охваченной обратной связью, приводит к ее астатизму. Говорят в этом случае также и об астатизме 1-го порядка. Вообще, количество интегрирующих звеньев в прямой цепи системы определяет ее степень астатизма – 1-й порядок (одно интегрирующее звено), 2-й порядок (два интегрирующих звена) и т.д. 4. Форсирующее звено. Передаточная функция имеет вид W ( p)  k  (T  p  1) . Частотная характеристика звена имеет вид, показанный на рисунке 5.11. 24 Рисунок 5.11 Частотная характеристика форсирующего звена ЛАФЧХ звена имеет вид, показанный на рисунке 5.12. На графике амплитуды гладкой кривой показаны реальные характеристики, а прямыми – идеализированные ЛАЧХ данного звена. Рисунок 5.12 ЛАФЧХ форсирующего звена 5. Апериодическое звено. Передаточная функция имеет вид W ( p)  k /(T  p  1) . Частотная характеристика звена имеет вид, показанный на рисунке 5.13. 25 Рисунок 5.13 Частотная характеристика апериодического звена ЛАФЧХ звена имеет вид, показанный на рисунке 5.14. Рисунок 5.14 ЛАФЧХ апериодического звена Переходная функция этого звена показана на рисунке 5.15. 26 Рисунок 5.15 Переходная функция апериодического звена Импульсная переходная функция этого звена показана на рисунке 5.16. Рисунок 5.16 Импульсная переходная функция апериодического звена 6. Колебательное звено. Передаточная функция имеет вид W ( p)  k /(T 2  p 2  2    T  p  1) , где 0    1. Частотная характеристика звена имеет вид, показанный на рисунке 5.17. 27 Рисунок 5.17 Частотная характеристика колебательного звена ЛАФЧХ звена имеет вид, показанный на рисунке 5.18. Рисунок 5.18 ЛАФЧХ колебательного звена Переходная функция этого звена показана на рисунке 5.19. 28 Рисунок 5.19 Переходная функция колебательного звена Импульсная переходная функция этого звена показана на рисунке 5.20. Рисунок 5.20 Импульсная переходная функция колебательного звена 6 Анализ устойчивости линейных систем автоматического управления Для линейных систем понятие устойчивости можно сформулировать следующим образом: линейная система устойчива, если ее реакция на любое ограниченное воздействие также ограничена, и неустойчива, если реакция на ограниченные воздействия неограниченна. Рассмотрим линейную систему общего вида, передаточная функция которой b0  p m  b1  p m1  ...  bm W ( p)  , a0  p n  a1  p n1  ...  an (6.1) где ai, bi – коэффициенты, выражающиеся через параметры системы. 29 Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение d nx d n1 x d mu d m1u a0  n  a1  n1  ...  an  x  b0  m  b1  m1  ...  bm  u . dx dx du du (6.2) Требуется исследовать устойчивость данного дифференциального уравнения. Самый простой способ – найти решение этого уравнения. Оно может быть представлено как x(t )  xв (t )  xсв (t ) , (6.3) где xв (t ) – частное решение (6.2) с правой частью (установившееся решение); xсв (t ) – общее решение с нулевой правой частью. Частное решение уравнения (6.2) еще называют вынужденным движением системы, а общее решение дифференциального уравнения (6.2) собственным или свободным движением системы. Так как частное решение определяется видом правой части, то устойчивость системы будет определяться общим решением xсв (t ) соответствующего однородного уравнения d nx d n1 x a0  n  a1  n1  ...  an  x  0 . dx dx (6.4) Таким образом, устойчивость есть внутреннее свойство системы, не зависящее от внешних воздействий. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (это приравненный к нулю знаменатель передаточной функции действительные части. системы Это из условие (6.1)) имели соответствует отрицательные асимптотической устойчивости системы. Если корни характеристического уравнения изображать соответствующими точками на комплексной плоскости, то ясно, что для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни 30 характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости (строго слева от мнимой оси), как это представлено на рисунке 6.1. Рисунок 6.1 Корни характеристического уравнения устойчивой системы Таким образом, для того чтобы определить, устойчива данная система или нет, вообще говоря нет необходимости в точности знать действительные части всех корней и уметь их вычислять. Вполне достаточно располагать лишь сведениями о знаке действительных частей этих корней. Далее рассмотрим простые критерии, которые по виду характеристического уравнения позволили бы судить об устойчивости системы. Можно легко указать необходимый признак устойчивости системы. Для устойчивости системы необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными. Это условие можно назвать тривиальным. Таким образом, если система устойчива, то все коэффициенты характеристического уравнения должны быть строго положительны. Если хотя бы один коэффициент будет отрицательным или равным нулю, то можно сразу сказать, что система неустойчива. Таким образом, неположительность хотя бы одного коэффициента характеристического уравнения гарантирует неустойчивость системы, однако обратное, вообще 31 говоря, неверно, то есть положительность всех коэффициентов уравнения есть необходимое и достаточное условие лишь для систем первого и второго порядков. Уже коэффициентов для систем третьего характеристического порядка уравнения положительность недостаточна для устойчивости системы. Для систем выше второго порядка положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то все вещественные корни отрицательные, но среди комплексных корней могут быть и корни с положительной вещественной частью. На практике автоматического для упрощения управления расчетов определяют с устойчивость помощью систем критериев устойчивости. Критерий устойчивости – это правило, позволяющее выяснить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Рассматриваются коэффициенты характеристического уравнения или их функции. Критерии устойчивости разделяют на на алгебраические и частотные. К алгебраическим относят критерии Гурвица, Льенара-Шипара и Раусса, к частотным – критерии Михайлова и Найквиста. 6.1 Критерий устойчивости Гурвица Рассмотрим критерий устойчивости Гурвица. Критерий определяет необходимые и достаточные условия устойчивости системы любого порядка. Критерий формулируется следующим образом. Из коэффициентов характеристического уравнения a0  p n  a1  p n1  ...  an  0 (6.5) составляется квадратная матрица с n строками и n столбцами 32 a1 a3 a5 a7 ... a0 a2 a4 a6 ... a1 a3 a5 ... a2 a4 a6 ... a1 a3 ... a0 a2 ... . (6.6) ... Правило составления матрицы Гурвица простое – первая строка заполняется коэффициентами с нечетными индексами, а вторая – коэффициентами с четными индексами. Дальнейшие строки отличаются от первой пары смещением вправо на один, два, три и так далее столбца. Все коэффициенты с индексами, большими степени, заменяются нулями. Критерий Гурвица формулируется следующим образом: для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при a0  0 все определители Гурвица, составленные из положительных коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы, были бы положительны. То есть, чтобы 1  a1  0;  2  a1 a3 a0 a2 a1 a3 a5  0;  3  a0 a2 a4  0; a1 a3 (6.7)  n1  0;  n  an   n1. Если же определитель  n  0 , то система находится на границе устойчивости. 6.2 Критерий устойчивости Михайлова Критерий предполагает построение годографа Михайлова, то есть кривой которую описывает конец вектора D( j   ) на комплексной плоскости при изменении ω от 0 до +∞ . Вектор D( j   ) получается из 33 характеристического полинома замкнутой системы при подстановке p  j : D( j   )  a0  ( j   ) n  a1  ( j   ) n1  ...  an  P( )  j  Q( ) . (6.8) Годограф начинается при ω = 0 на вещественной положительной полуоси в точке a0 и при ω=∞ уходит в бесконечность в соответствующем квадранте. Для устойчивости системы n-ого порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов, нигде не обращаясь в ноль. Примерный вид годографов Михайлова устойчивых систем разных порядков показан на рисунке 6.2. Рисунок 6.2 Годографы Михайлова устойчивых систем Если система на границе устойчивости, то годограф проходит через начало осей координат так, что после небольшой его деформации около начала осей координат критерий удовлетворяется. 34 6.3 Критерий устойчивости Найквиста Частотный критерий устойчивость замкнутой Найквиста дает возможность определить системы автоматического регулирования по амплитудно-фазовой характеристике ее разомкнутой цепи. Предварительно должна быть определена устойчивость исследуемой системы в разомкнутом состоянии. Для неустойчивой системы нужно выяснить, какое число корней ее характеристического полинома имеет положительные вещественные части. Различают три случая применения критерия Найквиста: разомкнутая система устойчива, разомкнутая система разомкнутая система неустойчива. Во на границе втором и устойчивости, третьих случаях использование критерия Найквиста требует анализа, исходя из количества корней, находящихся в левой полуплоскости или на ее границе. Рассмотрим вариант, когда разомкнутая система устойчива. В этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы при изменении ω от 0 до +∞ не охватывала точку с координатами (-1,j*0). На рисунке 6.3 представлены основные ситуации: Рисунок 6.3 Виды годографов Найквиста 35 При АФХ, представленной кривой 1, замкнутая система абсолютно устойчива – она остается устойчивой и при уменьшении коэффициента передачи разомкнутой системы. Если АФХ представляет собой кривую 2, то замкнутая система будет устойчива в некотором диапазоне изменения коэффициента усиления разомкнутого контура. Кривая 3 проходит через критическую точку с координатами (-1, j0). Это означает, что замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости. Кривая 4 охватывает критическую точку, поэтому замкнутая система неустойчива. 6.4 Анализ устойчивости системы по ЛАФЧХ. Запасы устойчивости Этот метод применяют в основном для следящих систем, охваченных отрицательной обратной связью. Приводим нашу систему к виду, показанному на рисунке 6.4. Рисунок 6.4 Структурная схема системы Строим ЛАФЧХ разомкнутой системы, то есть W ( j   ) . Пусть она имеет, например, вид, показанный на рисунке 6.5. 36 Рисунок 6.5 ЛАФЧХ разомкнутой системы Формулировка критерия устойчивости: система автоматического управления в разомкнутом состоянии будет устойчива, если частота среза ЛАЧХ разомкнутой системы меньше частоты, при которой ФЧХ достигает значения -π (-180º), т.е. при положительных значениях ЛАЧХ до частоты среза ФЧХ не должна достигнуть угла в -π. Видно, что при замыкании обратной связи система, ЛАФЧХ разомкнутой системы которой приведена на рисунке 6.5, устойчива. Запасы устойчивости определяются по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы. Для определения запаса устойчивости по амплитуде выполняются следующие действия: 1) По ЛФЧХ находится частота, при которой ЛФЧХ пересекает прямую -π. 2) Определяется значение ЛАЧХ в этой частоте и записывается запас по амплитуде, как величина отрезка между этой точкой и осью частот. Для определения запаса устойчивости по фазе: 1) Определяется частота, в которой ЛАЧХ пересекает 0. 2) Определяется значение ЛФЧХ при найденной частоте. 3) Запас устойчивости по фазе определяется, как величина отрезка между данной точкой и прямой -π. 37 Запас по амплитуде может быть равен бесконечности, если фазовая характеристика не пересекает линию -180º. Построение запасов по амплитуде и фазе показано на рисунке 6.5. 6.5 Построение областей устойчивости с помощью критериев устойчивости Областью устойчивости в пространстве параметров называют множество всех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива. Для построения областей устойчивости можно воспользоваться любым критерием устойчивости. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет, например, вид W ( p)  k . (T  p  1)3 Характеристический полином замкнутой системы (знаменатель передаточной функции замкнутой системы) имеет вид Q( )  T 3  3  3  T 2  2  3  T    1  k . На основании критерия Гурвица имеем: T  0; 1  k  0; 3  T  0; 3  T  0; 3 2 3T 2 1 k T 3T 3  0. Отсюда T  0; k  1; T 3  (8  k )  0 . В итоге имеем область устойчивости T  0;  1  k  8 . 6.6 Построение областей устойчивости с помощью D-разбиений Если имеются варьируемые параметры, то корни характеристического уравнения зависят от этих параметров, и пространство параметров можно разбить на области, которым соответствует фиксированное количество левых корней. Область, которой соответствует k левых корней характеристического уравнения, обозначим D(k). В общем случае все пространство параметров 38 можно разбить на области D(0), D(l), ... , D(n). Область D(n) является областью устойчивости, так как при значениях параметров из этой области п корней (т.е. все корни) являются левыми. В частном случае какие-либо области могут отсутствовать. Если система структурно неустойчива, то будет отсутствовать область устойчивости D(n). Разбиение пространства параметров на все возможные области D(k) называется D-разбиением. Кривая, разделяющая области D(k) с различными индексами k, называется кривой D-разбиения. Так как во время движения в пространстве параметров при пересечении кривой D-разбиения происходит переход из области D(k') с числом левых корней k=k' в область D(k") с числом левых корней k=k", то часть левых корней становятся правыми (k'>k") или часть правых корней становятся левыми (k'1. 7 Синтез линейных систем управления в частотной области с заданными свойствами Вообще, существует достаточно большой класс инженерных методов проектирования линейных систем автоматического управления, использующие как параметрический подход, так и частотные характеристики системы. Например, для параметрического подхода можно, задаваясь видом корректирующего устройства, с использованием одного из алгебраических критериев устойчивости (или с помощью D-разбиений), получить области устойчивости. Далее можно выбрать параметры корректирующего устройства, исходя из дополнительных условий (например, величин ошибок) или, моделируя переходный процесс и определяя параметры визуально из определенного ранее диапазона. Можно синтезировать также параметры корректирующего устройства, используя инженерные подходы, и в частотной области. Рассмотрим поход к 42 такому проектированию, предложенный в свое время профессором Солодовниковым В.В. и использующий номограммы для определения характерных точек амплитудно-частотной характеристики. Будем осуществлять синтез последовательного корректирующего устройства вида, показанного на рисунке 7.1. Рисунок 7.1 Общая структура скорректированной системы Здесь W ( p) – передаточная функция исходной разомкнутой системы, Wку ( p ) – передаточная функция корректирующего устройства. Солодовников рассмотрел в своих работах несколько классов передаточных функций разомкнутой системы регулирования статического и астатического вида и отнес их к определенному классу. Подходы к проектированию корректирующих устройств для систем разных классов подобные, но отличаются видом используемых для этой цели номограмм. Рассмотрим вариант статической системы вида, например k  (bm  p m  bm1  p m1  ...  1) , где n>m. W ( p)  an  p n  an1  p n1  ...  1 Здесь амплитудно-частотная характеристика будет иметь вид k  (bm  ( j  w) m  bm1  ( j  w) m1  ...  1) . W ( j  w)  an  ( j  w) n  an1  ( j  w) n1  ...  1 Рисунок ЛАЧХ исходной системы пусть, например, имеет вид, показанный на рисунке 7.2. 43 Рисунок 7.2 ЛАЧХ исходной системы Здесь w1, w2, w3 – точки сопряжения ЛАЧХ исходной системы. В качестве исходных данных для синтеза задавались значения желаемой относительной статической ошибки переходного процесса величины xmax  , перерегулирование  max , время Tmax , максимальное ускорение регулируемой при определенном начальном рассогласовании g 0 для замкнутой системы. Вначале для реализации данного подхода к синтезу корректирующего устройства требуется получить желаемую логарифмическую амплитудночастотную характеристику разомкнутой системы, то есть желаемое значение ЛАЧХ системы с передаточной функцией WКУ ( p) W ( p) . Рассмотрим три 44 участка ее амплитудно-частотной характеристики: низкочастотный, среднечастотный и высокочастотный. 1. Низкочастотный участок. В области низких частот строится запретная область, обеспечивающая выполнение требований точности при заданных скорости (ускорении) входного сигнала, показанная на рисунке. Легко заметить, что на нулевой частоте W (0)  k . При замыкании обратной связи общий коэффициент усиления k общ  k  k ку для выполнения задания по статической точности может быть получен из уравнения   1 kобщ kобщ  1 , то есть kобщ  1   . Конец низкочастотного участка вычисляют из соображений сохранения точности при максимальном ускорении регулируемой величины при требуемом ее рассогласовании. Так как мы анализируем частотные характеристики, то входной сигнал описывается уравнением u (t )  g 0  sin(  t ) . Считая выходной сигнал равным входному (постоянство ЛАЧХ на данном участке) и дважды дифференцируя входную величину, имеем выражение для определения частоты конца запретной области низкочастотного участка 1 у max u(t )  max  g0  1 у  sin(ср  t )  g0  1 у  xmax . 2 Отсюда 1 у  2 xmax / g 0 . Далее продолжаем ЛАЧХ с наклоном -20 дб./дек. Полученная запретная область для системы представлена на рисунке 7.3. 45 Рисунок 7.3 ЛАЧХ низкочастотного участка 2. Среднечастотный участок. Здесь при его построении используют номограммы Солодовникова, образец которой приведен на рисунке 7.4. 46 Рисунок 7.4 Номограмма Солодовникова Начинают построение среднечастотной области с того, что определяют частоту среза ср . Она определяется по номограмме Солодовникова cледующим образом: – вначале по заданному значению перерегулирования  max по соответствующему графику номограммы (  ) определяем значение Pmax вещественной характеристики замкнутой системы; – определяем t рег по графику номограммы ( t рег ) в зависимости от величины  п при определенном значении Pmax (как показано на рисунке 7.5 для  max =30º), а далее определяем  п (величина t рег приравнивается к заданному Tmax ). Приравниваем ср (Tmax ) к  п . 47 Рисунок 7.5 Пример использования номограммы Солодовникова – определяем величину ср.opt Tmin  2  g 0 / max по формуле ср .opt  2 / Tmin , где – время оптимального переходного процесса. Эта частота среза соответствует максимальному ускорению. Здесь  max соответствует найденной ранее частоте запретной области 1 у . – величина ср выбирается из диапазона ср (Tmax )  ср  ср .opt . Причем, если ср .opt  ср (Tmax ) , то величину ср надо выбирать не больше ср.opt . Из точки с частотой среза ср проводят линию с наклоном -20 дб./дек. Пересечение ее с линией 20 lg(kобщ ) даст точку конца горизонтального части желаемой ЛАЧХ скорректированной системы (см. рисунок 7.6). 48 Рисунок 7.6 ЛАЧХ среднечастотного участка. Шаг 1 Если же точка ср левее линии запретной области, то ее смещают на границу этой области (показано жирной линией со стрелкой на рисунке 7.6). Это означает, что достигнуть заданных показателей качества (времени переходного процесса и перерегулирования) не удалось, поэтому выбирается приемлемый вариант. Далее необходимо определить конечную точку АЧХ среднечастотного участка. Ее можно определить, используя номограмму для запасов по амплитуде и фазе, приведенную на рисунке 7.7. 49 Рисунок 7.7 Номограмма для определения запасов по амплитуде и фазе Например, для перерегулирования 30% получаем значение L примерно 13 дб. Реальная ширина среднечастотного участка не может быть меньше этой величины. Для упрощения расчета можно принять условие, по которому величины запасов в положительной и отрицательной сторонах равны. Отложим эти величины на графике по вертикальной оси, как показано на рисунке 7.8. Пересечение линии  L с линией, проходящей через точку ср и даст нам конец среднечастотного участка (на графике показана частота  4 ). 50 Рисунок 7.8 ЛАЧХ среднечастотного участка. Шаг 2 3. Высокочастотный участок. Здесь конец среднечастотного участка сопрягают с высокочастотной частью W ( j  w) . Поскольку высокочастотная часть этой характеристики очень слабо влияет на устойчивость процесса регулирования и на его качество, то для упрощения ведем линии желаемой ЛАЧХ на этом участке по линиям ЛАЧХ исходной системы, а если это затруднительно, то параллельно линиям ЛАЧХ исходной системы. В результате получим желаемую ЛАЧХ разомкнутой системы, показанную на рисунке 7.9. 51 Рисунок 7.9 Построенная желаемая ЛАЧХ Построив желаемую ЛАЧХ, можно получить ЛАЧХ корректирующего устройства вычитанием их желаемой ЛАЧХ исходной ЛАЧХ. Для нашего случая ЛАЧХ корректирующего устройства имеет вид, показанный на рисунке 7.10. 52 Рисунок 7.10 ЛАЧХ корректирующего устройства После этого можно подобрать вид корректирующего устройства, составленного из типовых звеньев. Это могут быть, например, интегрирующие звенья, апериодические и форсирующие звенья. Для нашего случая, например, передаточная функция корректирующего устройства может иметь вид Wку ( p)  kобщ  (1  p  T1 )  (1  p  T2 )  (1  p  T3 ) k  (1  p  T5 )  (1  p  T4 ) 2 , где Ti  1 / i . Несложно заметить, что при таком построении корректирующего устройства его полученная передаточная функция имеет равный порядок полиномов числителя и знаменателя. 53 Литература 1. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Теория автоматического управления техническими системами: Учебное пособие. – М.: Издательство МГТУ, 1993. – 492с. 2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. – СПб: Профессия, 2003. – 752с. 3. Теория автоматического управления: Учеб. для вузов по спец. «Автоматика и телемеханика». В 2-х ч. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления / Н. А. Бабаков, А. А. Воронов, А. А. Воронова и др.; Под ред. А. А. Воронова.—2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1986. — 367 с. 4. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 288 с. 5. Ерофеев А.А. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. – СПб.: Политехника, 2003. – 302с. 6. Мефедова Ю.А. Теория автоматического управления: Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов направления 27.03.04 “Управление в технических системах” всех форм обучения. – Балаково: Балаковский инженерно-технологический институт – филиал НИЯУ МИФИ, 2016. – 26с. 7. Лукомский Ю.А. Теория и системы управления: конспект лекций. – Санкт-Петербург: ЦНИИ “Электроприбор”, 2001. – 57с. 8. Анхимюк В.Л., Опейко О.Ф., Михеев Н.Н. Теория автоматического управления. – Мн.: Дизайн ПРО, 2000. – 352с. 9. Дубков А.А., Агудов Н.В. Преобразование Лапласа: Учебнометодическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2016. – 36 с. 54 10. Марченко Ю.Н. Конспект лекций по курсу «Теории автоматического регулирования». – Новокузнецк, 2002. – 69c. 55