Теория линейных электрических сетей

×ÀÑÒÜ ÂÒÎÐÀß ÒÅÎÐÈß ËÈÍÅÉÍÛÕ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÖÅÏÅÉ Ãëàâà äåâÿòàÿ Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 9.1. Î ïåðåõîäíûõ ïðîöåññàõ â ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ Ï å ð å õ î ä í û ì íàçûâàåòñÿ ï ð î ö å ñ ñ, âîçíèêàþùèé â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïðè ïåðåõîäå îò îäíîãî óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ê äðóãîìó. Ïðè óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìàõ òîêè è íàïðÿæåíèÿ â öåïè òåîðåòè÷åñêè ìîãóò ñóùåñòâîâàòü íåîãðàíè÷åííî äîëãî, íå èçìåíÿÿ ñâîåãî õàðàêòåðà, è ïðè çàäàííûõ êîíôèãóðàöèè öåïè è åå ïàðàìåòðàõ îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî âèäîì äåéñòâóþùèõ â öåïè ÝÄÑ èëè, ñîîòâåòñòâåííî, âèäîì çàäàííûõ òîêîâ èñòî÷íèêîâ òîêîâ. Åñëè â öåïè äåéñòâóþò ïîñòîÿííûå âî âðåìåíè ÝÄÑ, òî â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå òîêè è íàïðÿæåíèÿ âî âñåõ ó÷àñòêàõ öåïè äîëæíû áûòü òàêæå ïîñòîÿííûìè âî âðåìåíè. Êîãäà ÝÄÑ èñòî÷íèêîâ èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè ïî çàêîíó ñèíóñà ñ îäíîé è òîé æå ÷àñòîòîé, òî è òîêè, è íàïðÿæåíèÿ â öåïè â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå äîëæíû áûòü ñèíóñîèäàëüíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè òîé æå ÷àñòîòû. Åñëè äåéñòâóþùèå â öåïè ÝÄÑ íåñèíóñîèäàëüíû, íî èçìåíÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêè âî âðåìåíè ñ îäíèì è òåì æå ïåðèîäîì, òî òîêè è íàïðÿæåíèÿ äîëæíû áûòü ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè ñ òåì æå ïåðèîäîì. Ýòèìè òðåìÿ âèäàìè ÝÄÑ è òîêîâ èñ÷åðïûâàåòñÿ ïåðå÷åíü ñëó÷àåâ óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ â öåïè, ïðè÷åì ïîñòîÿííûå è ñèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ è òîêè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûå ñëó÷àè ïåðèîäè÷åñêèõ òîêîâ è ÝÄÑ. Îòûñêàíèå òîêîâ è íàïðÿæåíèé â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ÷àñòíûõ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé öåïè. Ñïîñîáû íàõîæäåíèÿ ýòèõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé áûëè ðàññìîòðåíû â ãëàâàõ 4, 5 è 8. Äëÿ îòûñêàíèÿ òîêîâ i(t) è íàïðÿæåíèé u(t) â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå íåîáõîäèìî íàéòè ïîëíûå ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé öåïè. Êàê èçâåñòíî, ïîëíîå ðåøåíèå i(t) ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ êàê ñóììà ÷àñòíîãî ðåøå- 18 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé íèÿ i¢(t) íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, ò. å. óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùåãî çàäàííûå ÝÄÑ èëè çàäàííûå íàïðÿæåíèÿ, è ðåøåíèÿ i²(t) îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç òîãî æå óðàâíåíèÿ öåïè, åñëè ïðèíÿòü â íåì çàäàííûå ÝÄÑ èëè íàïðÿæåíèÿ ðàâíûìè íóëþ, ò. å. i(t) = i¢(t) + i¢¢(t). Ïðè t ® ¥ òîê i²(t) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òàê êàê ïðîöåññ â öåïè, îáëàäàþùåé êîíå÷íûì ñîïðîòèâëåíèåì, äîëæåí çàòóõàòü ïðè îòñóòñòâèè â öåïè èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ. Ïîýòîìó òîê i²(t) íàçûâàþò ñ â î á î ä í û ì ò î ê î ì, òàê êàê îí îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèé ïðè îòñóòñòâèè èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ. Ñâîáîäíûé òîê âîçíèêàåò âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ïðè âêëþ÷åíèè èëè âûêëþ÷åíèè öåïè èëè ëþáîì äðóãîì âíåçàïíîì èçìåíåíèè â íåé èìåþùèåñÿ çàïàñû ýíåðãèè â ïîëÿõ öåïè îò ïðåäûäóùåãî óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà íå ñîîòâåòñòâóþò çàïàñàì ýíåðãèè â ïîëÿõ, êîòîðûå äîëæíû áûëè áû áûòü â íîâîì óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ïîñëå ïðîèñøåäøèõ èçìåíåíèé â öåïè. Òàê êàê ñâîáîäíûé òîê i²(t) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òî òîê i(t) ñòðåìèòñÿ ê i¢(t). Ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòíîå ðåøåíèå i¢(t) ÿâëÿåòñÿ ò î ê î ì ó ñ ò à í î â è â ø å ã î ñ ÿ ð e æ è ì à, êîòîðûé óñòàíàâëèâàåòñÿ ïîñëå ïðîèñøåäøèõ èçìåíåíèé â öåïè. 9.2. Îáùèé ïóòü ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ Îáùèé ïóòü ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ëþáîé ñêîëü óãîäíî ñëîæíîé ëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ñîñòàâëÿåì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ öåïè ñîãëàñíî ïåðâîìó è âòîðîìó çàêîíàì Êèðõãîôà. Åñëè çàäàííûìè ÿâëÿþòñÿ ÝÄÑ èñòî÷íèêîâ, òî íåèçâåñòíûìè áóäóò òîêè âî âñåõ p âåòâÿõ öåïè. Ïóñòü æåëàåì íàéòè òîê ik â k-é âåòâè. Èñêëþ÷àÿ ïîñëåäîâàòåëüíî âñå îñòàëüíûå òîêè, ïîëó÷èì îäíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå òîëüêî òîê ik è åãî ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà n: an d n ik dt n + an -1 d n -1 ik dt n -1 d 2 ik +K+a2 dt 2 + a1 dik + a0 ik = f k (t), dt ò. å. n d s ik s =0 dt s å as = f k (t). Ïîðÿäîê n óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êîíôèãóðàöèåé öåïè è õàðàêòåðîì åå ýëåìåíòîâ. Ñâîáîäíûé ÷ëåí fk(t) ñîäåðæèò â ñåáå çàäàííûå ÝÄÑ. Ïîëíûé èíòåãðàë ýòîãî óðàâíåíèÿ ðàâåí ñóììå ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ i¢k , îïðåäåëÿåìîãî âèäîì ôóíêöèè fk(t), è ïîëíîãî ðåøåíèÿ i¢¢k îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ: n åa s s =0 d s i¢¢k dt s = 0, ò. å. ik = i¢k + i¢¢k . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ i¢¢k íàõîäèì n êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ: an a n + an -1a n -1 +K+as a s +K+a1a + a0 = n åa a s s =0 s = 0. Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 19  ñëó÷àå åñëè âñå êîðíè ïðîñòûå, èìååì i¢¢k = A k1 e a1t + A k 2 e a2t +K+A kn e an t = n åA ks e as t , s =1 è, ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìîå ðåøåíèå èìååò âèä n ik = i¢k + å A ks e as t . s =1 Çäåñü Aks — ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ. Îíè îïðåäåëÿþòñÿ èç ôèçè÷åñêèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé, î ÷åì áóäåò ñêàçàíî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.  ñëó÷àå íàëè÷èÿ êðàòíûõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïðèâåäåííîå âûøå âûðàæåíèå äëÿ ik ïîñëå îïðåäåëåíèÿ âñåõ âåëè÷èí Aks èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé áóäåò ñîäåðæàòü íåîïðåäåëåííîñòè, ðàñêðûâàÿ êîòîðûå, ïîëó÷èì âûðàæåíèå ik äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ. Èçëîæåííûé ìåòîä ÷àñòî íàçûâàþò êëàññè÷åñêèì. Âûøå áûëî ñêàçàíî, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ öåïè ñîñòàâëÿþòñÿ ïî ïåðâîìó è âòîðîìó çàêîíàì Êèðõãîôà, ïðè ýòîì îáùåå ÷èñëî óðàâíåíèé ðàâíî ÷èñëó âåòâåé öåïè. Ìîæíî ñîñòàâëÿòü äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ êîíòóðíûõ òîêîâ, è òîãäà ÷èñëî óðàâíåíèé áóäåò ðàâíî ÷èñëó íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ öåïè, èëè æå äëÿ óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, è òîãäà ÷èñëî óðàâíåíèé áóäåò ðàâíî ÷èñëó óçëîâ öåïè áåç åäèíèöû. 9.3. Ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ Äðóãîé ïóòü ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ çàêëþ÷àåòñÿ â âûäåëåíèè òàêèõ èñêîìûõ âåëè÷èí, êîòîðûå îïðåäåëÿþò ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, òàê êàê ïåðåõîäíûé ïðîöåññ è åñòü ïðîöåññ ñìåíû îäíîãî óñòàíîâèâøåãîñÿ ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ äðóãèì. Ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå â ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ òîêàìè èíäóêòèâíûõ êàòóøåê è íàïðÿæåíèÿìè êîíäåíñàòîðîâ, ïîýòîìó åñòåñòâåííî âûáèðàòü èõ â êà÷åñòâå âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèå öåïè. Áóäåì íàçûâàòü ýòè âåëè÷èíû ï å ð å ì å í í û ì è ñ î ñ ò î ÿ í è ÿ. Òîêè è íàïðÿæåíèÿ ðåçèñòèâíûõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû âñåãäà ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç ïåðåìåííûå ñîñòîÿíèÿ ïðè ïîìîùè ñîñòàâëåíèÿ è ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ñîãëàñíî çàêîíàì Êèðõãîôà. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü íåêóþ íîâóþ öåïü, ãäå âñå èíäóêòèâíîñòè ïðåäñòàâëåíû èñòî÷íèêàìè òîêà, à åìêîñòè — èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ. Óðàâíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñòàíîâÿòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî òîêè â êîíäåíñàòîðàõ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîäíûå çàðÿäîâ, à íàïðÿæåíèÿ èíäóêòèâíûõ êàòóøåê — ÷åðåç ïðîèçâîäíûå ïîòîêîñöåïëåíèé. Åñëè ê óçëó, äëÿ êîòîðîãî çàïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèå ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà, ïîäõîäèò òîëüêî îäíà âåòâü ñ êîíäåíñàòîðîì, òî ýòî óðàâíåíèå áóäåò äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà. Åñëè â êîíòóð, äëÿ êîòîðîãî çàïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèå ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà, âîéäåò òîëüêî îäíà èíäóêòèâíàÿ êàòóøêà, òî îíî òàêæå áóäåò äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà. Òàêèå óñëîâèÿ ìîæíî îáåñïå÷èòü, åñëè îòíåñòè âñå âåòâè ñ êîíäåíñàòîðàìè ê âåòâÿì äåðåâà, à âåòâè ñ èíäóêòèâíûìè êàòóøêàìè — ê ñâÿçÿì. Ïîñêîëü- 20 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé êó âåòâü äåðåâà îïðåäåëÿåò ñå÷åíèå â ãðàôå ñõåìû, äëÿ êîòîðîãî ñîñòàâëÿåòñÿ áàëàíñ òîêîâ ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà, òî âñå óðàâíåíèÿ ñå÷åíèé, îïðåäåëÿåìûå âåòâÿìè äåðåâà ñ êîíäåíñàòîðàìè, îêàæóòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Åñëè âåòâü äåðåâà ñîäåðæèò ðåçèñòîð, òî óðàâíåíèå áóäåò àëãåáðàè÷åñêèì. Ïîñêîëüêó ñâÿçè îïðåäåëÿþò êîíòóðû, òî óðàâíåíèÿ äëÿ íàïðÿæåíèé â êîíòóðàõ ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà ïðè íàëè÷èè â ñâÿçÿõ èíäóêòèâíûõ êàòóøåê îêàæóòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Åñëè ñâÿçü ñîäåðæèò ðåçèñòèâíûé ýëåìåíò, òî óðàâíåíèå áóäåò àëãåáðàè÷åñêèì. Èñêëþ÷èâ àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïóòåì èõ ðåøåíèÿ ÷åðåç ïåðåìåííûå ñîñòîÿíèÿ, ìîæíî ïîëó÷èòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ. Îáîçíà÷èì ïåðåìåííûå ñîñòîÿíèÿ áóêâàìè x1, x2,.., xn. Òîãäà òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà-ñòîëáåö ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ áóäåò Xt = ||x1, x2,.., xn||.  ìàòðè÷íîé ôîðìå ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå d X = A 1 X + B 1 V. dt Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A1 ïîðÿäêà n îïðåäåëÿåòñÿ òîïîëîãèåé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè è ïàðàìåòðàìè åå ýëåìåíòîâ. Ñòîëáöîâàÿ ìàòðèöà V ïîðÿäêà p ´ 1 îïðåäåëÿåòñÿ èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ è òîêîâ â âåòâÿõ ñõåìû, åå âïðåäü áóäåì íàçûâàòü â å ê ò î ð î ì â õ î ä í û õ â å ë è ÷ è í. Ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà B1 ïîðÿäêà n ´ p îïðåäåëÿåò âêëàä âõîäíûõ âåëè÷èí â áàëàíñ òîêîâ èëè íàïðÿæåíèé. Òîêè è íàïðÿæåíèÿ íà âñåõ èíòåðåñóþùèõ íàñ ýëåìåíòàõ è ó÷àñòêàõ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç ïåðåìåííûå ñîñòîÿíèÿ. Îáîçíà÷èì ñèñòåìó èíòåðåñóþùèõ íàñ âåëè÷èí áóêâîé Y è íàçîâåì åå âåêòîðîì â û õ î ä í û õ â å ë è ÷ è í. Ñâÿçü âûõîäíûõ âåëè÷èí, ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ è âõîäíûõ âåëè÷èí â ìàòðè÷íîé ôîðìå ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå Y = A 2 X + B 2 V. Ôîðìàëüíî ðåøåíèå ìàòðè÷íîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü òàê: t X( t ) = [exp (A 1 t)]X 0 + ò {[exp (A 1 (t - t))]B 1 V(t)}dt, A1 t ãäå exp (A1t) = e , X0 — ìàòðèöà-ñòîëáåö íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ. Îñíîâíàÿ òðóäíîñòü ýòîãî ïîäõîäà çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè exp (A1t). Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýòîé âåëè÷èíû ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà Ñèëüâåñòðà, ñîãëàñíî êîòîðîé n e A1 t = n å r =1 Õ (A 1 - a i 1) i =1, i ¹ r e ar t , n Õ (a i =1, i ¹ r r - a i) Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 21 ãäå ai — êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ det (A1 — a1) = 0, îíè æå — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A1; 1 — äèàãîíàëüíàÿ åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n. Èçëîæåííûé ìåòîä ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ íàçûâàåòñÿ ì å ò î ä î ì ï å ð å ì å í í û õ ñ î ñ ò î ÿ í è ÿ, à ñîâîêóïíîñòü ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ è óðàâíåíèÿ äëÿ âûõîäíûõ âåëè÷èí — ó ð à â í å í è ÿ ì è ñ î ñ ò î ÿ í è ÿ. Çàìåòèì, ÷òî è â ìåòîäå ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ íåîáõîäèìî îïðåäåëÿòü êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïóòåì âû÷èñëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû A1. Âû÷èñëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèö òàêæå ÿâëÿåòñÿ òðóäîåìêîé ïðîöåäóðîé è äëÿ ñëîæíûõ öåïåé äîëæíî áûòü âûïîëíåíî ïðè ïîìîùè ÝÂÌ. Íî äàæå ñîâðåìåííûå ÝÂÌ íå ïîçâîëÿþò ðåøàòü ýòó çàäà÷ó äëÿ î÷åíü ñëîæíûõ öåïåé, êîãäà n áîëüøå íåñêîëüêèõ òûñÿ÷. Îäíàêî âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ ìîæíî ñôîðìèðîâàòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà è äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òàêîé ñèñòåìû íåïîñðåäñòâåííî èñïîëüçîâàòü ñòàíäàðòíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îáåñïå÷åíèå öèôðîâûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí. Èòàê, ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ äëÿ îïðåäåëåííîãî êðóãà çàäà÷ ïîçâîëÿåò ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé â áîëåå êîìïàêòíîé è îáùåé ôîðìå, ôîðìàëèçóÿ âåñü ïðîöåññ ðåøåíèÿ òàêèì îáðàçîì. ÷òî îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ïîëó÷èòü ýòî ðåøåíèå ïðè ïîìîùè ÝÂÌ. 9.4. Îïðåäåëåíèå ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé Áóäåì íàçûâàòü êîììóòàöèåé ëþáîå èçìåíåíèå â öåïè, ïðèâîäÿùåå ê âîçíèêíîâåíèþ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà èëè èçìåíåíèþ ðåæèìà åå ðàáîòû; ïðè÷åì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ýòî èçìåíåíèå ïðîèñõîäèò ìãíîâåííî, ò. å. ñîâåðøàåòñÿ çà èíòåðâàë âðåìåíè Dt = 0. Ýòî ìîæåò áûòü âêëþ÷åíèå öåïè ïîä äåéñòâèå èñòî÷íèêà ÝÄÑ èëè îòêëþ÷åíèå öåïè îò èñòî÷íèêà, çàìûêàíèå öåïè íàêîðîòêî, ñêà÷êîîáðàçíîå èçìåíåíèå ïàðàìåòðà öåïè, èçìåíåíèå ñêà÷êîì àìïëèòóäû, ÷àñòîòû èëè ôàçû ïðèëîæåííîãî ê öåïè íàïðÿæåíèÿ è ò. ä. Ðåàëüíûé ïðîöåññ êîììóòàöèè âñåãäà äëèòñÿ êîíå÷íîå, õîòÿ è âåñüìà ìàëîå âðåìÿ Dt, â òå÷åíèå êîòîðîãî ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ñîïðîòèâëåíèÿ âûêëþ÷àòåëÿ îò áåñêîíå÷íîñòè äî íóëÿ ïðè âêëþ÷åíèè öåïè è îò íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè ïðè îòêëþ÷åíèè öåïè èëè ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ïàðàìåòðà öåïè, àìïëèòóäû íàïðÿæåíèÿ è ò. ä. Îäíàêî, íå èíòåðåñóÿñü ïðîöåññîì â òå÷åíèå ýòîãî âðåìåíè Dt, à ðàññìàòðèâàÿ ëèøü ïðîöåññ ïîñëå òîãî, êàê êîììóòàöèÿ çàêîí÷åíà, ò. å. àáñòðàãèðóÿñü îò äåéñòâèòåëüíîé êàðòèíû ÿâëåíèÿ, áóäåì ïîëàãàòü Dt = 0. Óñëîâèìñÿ äàëåå íà÷àëî îòñ÷åòà âðåìåíè t = 0 ñîâìåùàòü ñ ìîìåíòîì êîììóòàöèè è îáîçíà÷àòü ÷åðåç t = –0 ìîìåíò âðåìåíè, íåïîñðåäñòâåííî ïðèëåãàþùèé ê ìîìåíòó êîììóòàöèè, äî êîììóòàöèè, è ÷åðåç t = +0 ìîìåíò âðåìåíè, òàêæå íåïîñðåäñòâåííî ïðèëåãàþùèé ê ìîìåíòó êîììóòàöèè, íî ïîñëå êîììóòàöèè.  ëþáîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, â êîòîðîé íå ìîãóò ðàçâèâàòüñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèå íàïðÿæåíèÿ èëè ïðîòåêàòü áåñêîíå÷íî áîëüøèå òîêè, ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü p — âåëè÷èíà âñåãäà êîíå÷íàÿ, è ïîýòîìó â òàêèõ öåïÿõ íå ìîæåò áûòü ìãíî- 22 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé âåííîãî èçìåíåíèÿ íàêîïëåííîé â ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëÿõ ýíåðãèè. Åñëè èçìåíåíèå ýíåðãèè âî âðåìÿ êîììóòàöèè çà âðåìÿ Dt ® 0 îáîçíà÷èì DW = W(+0) – W(–0), òî ïîëó÷èì DW = p Dt ® 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, W (+0) = W(– 0). Òàê êàê ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðà è ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ èíäóêòèâíîé êàòóøêè ðàâíû W ý = CuC2 2 è W ì = LiL2 2 , òî ðàâåíñòâî DW = 0 îçíà÷àåò, ÷òî â ìîìåíò êîììóòàöèè èìåþòñÿ óñëîâèÿ uC (+ 0) = uC (- 0) è iL (+ 0) = iL (- 0), ò. å. â ìîìåíò êîììóòàöèè îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè íàïðÿæåíèÿ íà îáêëàäêàõ êîíäåíñàòîðîâ è òîêè â èíäóêòèâíûõ êàòóøêàõ. Òàê êàê â ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ öåïÿõ êàæäûé ýëåìåíò îáëàäàåò è èíäóêòèâíîñòüþ, è åìêîñòüþ, òî â íèõ íå ìîãóò ñêà÷êîì èçìåíÿòüñÿ íè òîêè, íè íàïðÿæåíèÿ. Îäíàêî åñëè, àáñòðàãèðóÿñü îò äåéñòâèòåëüíîñòè, ïðåíåáðå÷ü ðàñïðåäåëåííîé åìêîñòüþ êàòóøêè, òî ïîëó÷èì, ÷òî íàïðÿæåíèå íà êàòóøêå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ñêà÷êîì. Òî÷íî òàê æå, åñëè ïîëíîñòüþ ïðåíåáðå÷ü èíäóêòèâíîñòüþ êîíäåíñàòîðà, òî â íåì òîê ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ñêà÷êîì. Íàêîíåö, åñëè â ðåçóëüòàòå èäåàëèçàöèè ïðîöåññîâ òåîðåòè÷åñêè îêàæåòñÿ âîçìîæíûì ïîÿâëåíèå äëÿùèõñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîå âðåìÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèõ íàïðÿæåíèé íà ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ îòäåëüíûõ èíäóêòèâíûõ ó÷àñòêàõ öåïè, õîòÿ ñóììàðíîå íàïðÿæåíèå è îñòàåòñÿ êîíå÷íûì, èëè îêàæåòñÿ âîçìîæíûì ïîÿâëåíèå äëÿùèõñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîå âðåìÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèõ òîêîâ â îòäåëüíûõ åìêîñòíûõ ïàðàëëåëüíî âêëþ÷åííûõ âåòâÿõ öåïè, õîòÿ ñóììàðíûé òîê âî âñåõ âåòâÿõ è îñòàåòñÿ êîíå÷íûì, òî óñëîâèå DW = 0, âîîáùå ãîâîðÿ, íå áóäåò èìåòü ìåñòà, òàê êàê ïðè ýòîì âåëè÷èíà p Dt = ¥×0 ñòàíîâèòñÿ íåîïðåäåëåííîé. Ýòè îñîáûå ñëó÷àè ðàññìîòðèì â § 9.11. Åñëè äî êîììóòàöèè ê ìîìåíòó t = –0 ñóùåñòâîâàëè òîêè â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ, îïðåäåëÿåìûå ïðîöåññîì, ïðîèñõîäèâøèì äî êîììóòàöèè, òî ãîâîðÿò, ÷òî èìåþò ìåñòî í å í ó ë å â û å í à ÷ à ë ü í û å ó ñ ë î â è ÿ.  ñëó÷àå æå, êîãäà òîêè â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ äî êîììóòàöèè áûëè ðàâíû íóëþ, ïðèíÿòî ãîâîðèòü, ÷òî èìåþò ìåñòî í ó ë å â û å í à ÷ à ë ü í û å ó ñ ë î â è ÿ. Ðàññìîòðåííûå âûøå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ uC (+ 0) = uC (- 0) è iL (+ 0) = iL (- 0) è ñëóæàò äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ Aks. Ñ ýòîé öåëüþ íàõîäèì íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ òîêà ik è âñåõ åãî ïðîèçâîäíûõ äî (n – 1)-é âêëþ÷èòåëüíî, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ öåïè è ïîäñòàâëÿÿ â íèõ çàäàííûå íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèé íà êîíäåíñàòîðàõ è òîêîâ â êàòóøêàõ. Èìåÿ ðåøåíèÿ äëÿ òîêà ik â ôîðìå n ik = i¢k + å A ks e as t s =1 Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 23 è äëÿ åãî ïðîèçâîäíûõ â âèäå d m ik dt m = d m i¢k dt m n + å a ms A ks e as t , s =1 ãäå m = 1, 2, ..., (n – 1), è ïîäñòàâëÿÿ ñëåâà îò çíàêà ðàâåíñòâà íàéäåííûå íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ òîêà ik è åãî ïðîèçâîäíûõ ïðè t = +0, à â âûðàæåíèÿõ ñïðàâà îò çíàêà ðàâåíñòâà ïîëàãàÿ t = 0, ïîëó÷èì n àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè âåëè÷èíàìè Aks, èç êîòîðûõ è íàõîäèì ïîñëåäíèå. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äëÿ ñëîæíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè îïðåäåëåíèå âñåõ ïîñòîÿííûõ Aks âûøåóêàçàííûì ïóòåì ïîëó÷àåòñÿ âåñüìà òðóäîåìêèì. Ñóùåñòâóþò äðóãèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí Aks ÷åðåç çàäàííûå íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ òîêîâ â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèé íà êîíäåíñàòîðàõ, òàêæå òðóäîåìêèå äëÿ ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. Çàìåòèì, ÷òî ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå öåïè â íà÷àëüíûé ìîìåíò îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè â ýòîò ìîìåíò òîêîâ iL âî âñåõ êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèé uC âî âñåõ êîíäåíñàòîðàõ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ æå ïîñòîÿííûõ Aks òðåáóåòñÿ çàäàòü íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ n Ðèñ. 9.1 èç ýòèõ âåëè÷èí, ïðè÷åì ÷èñëî n ìîæåò áûòü ìåíüøå ÷èñëà è âñåõ êàòóøåê, è âñåõ êîíäåíñàòîðîâ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè íåñêîëüêî êàòóøåê âêëþ÷åíû â îäíó è òó æå âåòâü, òî äîñòàòî÷íî çíàòü íà÷àëüíîå çíà÷åíèå òîêà â îäíîé èç íèõ, òàê êàê òîê â äðóãèõ òîò æå ñàìûé. Åñëè íåñêîëüêî êîíäåíñàòîðîâ ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî, òî äîñòàòî÷íî çíàòü íà÷àëüíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà îäíîì èç íèõ, òàê êàê íàïðÿæåíèå íà äðóãèõ òî æå ñàìîå. Åñëè ê îäíîìó óçëó ïîäõîäÿò òðè âåòâè, ñîäåðæàùèå èíäóêòèâíûå êàòóøêè (ðèñ. 9.1), òî äîñòàòî÷íî çàäàòü íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ òîêà òîëüêî â äâóõ èç íèõ, òàê êàê òðåòèé òîê ïðè ýòîì òàêæå îêàçûâàåòñÿ çàäàííûì ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà. Åñëè òðè êîíäåíñàòîðà âêëþ÷åíû â îäèí êîíòóð ñîãëàñíî ðèñ. 9.2, òî äîñòàòî÷íî çàäàòü íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ òîëüêî íà äâóõ èç íèõ, òàê êàê íàïðÿæåíèå íà òðåòüåì òàêæå ïîëó÷àåòñÿ çàäàííûì â ñîîòâåòñòâèè ñî âòîðûì çàêîíîì Êèðõãîôà. Ðèñ. 9.2 Âû÷èñëåííûå äî êîììóòàöèè çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ X t (-0) = uC1 (-0), uC2 (-0), K , iL6 (-0), iL8 (-0), K ÿâëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè çíà÷åíèÿìè X t (+0) = uC1 (+0), uC2 (+0), K , iL6 (+0), iL8 (+0), K äëÿ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Èç óñëîâèé, ÷òî iL(+0) = iL(–0) è uC (+0) = uC (–0) âûòåêàåò, ÷òî X(+0) = X(–0). Ñëåäîâàòåëüíî, â ìåòîäå ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü ïðîèçâîäèòü ïðîìåæóòî÷íûå âû÷èñëåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè è åå n – 1 ïðîèçâîäíûõ. 9.5. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r è L. Èññëåäóåì ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â ïðîñòîé öåïè, ñõåìà êîòîðîé ñîäåðæèò ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûå ó÷àñòêè ñ ñîïðîòèâëåíèåì r è èíäóêòèâíîñòüþ L. 24 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé  ÷àñòíîñòè, ýòî ìîæåò áûòü ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà èíäóêòèâíîé êàòóøêè, îáëàäàþùåé àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì r è èíäóêòèâíîñòüþ L, ïðè óñëîâèè ïðåíåáðåæåíèÿ åìêîñòüþ ìåæäó âèòêàìè êàòóøêè. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ìû ïðåíåáðåãàåì ýíåðãèåé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ öåïè è ó÷èòûâàåì òîëüêî ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ðàññìàòðèâàåìîé öåïè èìååò âèä di L + ri = u, dt ãäå u = u(t) — íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè. Ñîîòâåòñòâóþùåå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ñâîáîäíûé òîê i², áóäåò di¢¢ L + ri¢¢ = 0. dt Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå La + r = 0 èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü a = – r/L. Ïîýòîìó i¢¢ = Ae at = Ae r - t L . Âûðàæåíèå óñòàíîâèâøåãîñÿ òîêà i¢(t), ÿâëÿþùååñÿ ÷àñòíûì ðåøåíèåì íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿåòñÿ âèäîì çàäàííîé ôóíêöèè u(t). Òîê â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå r - t i = i¢ + i¢¢ = i¢ + Ae L . Ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ A îïðåäåëÿåòñÿ ïî íà÷àëüíîìó çíà÷åíèþ òîêà i. Ðàññìîòðèì ðÿä ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ. 1. Ïóñòü öåïü â ìîìåíò t = 0 çàìûêàåòñÿ íàêîðîòêî (ðèñ. 9.3). Ïîñëå çàìûêàíèÿ íàêîðîòêî èìååì u = 0. Óñòàíîâèâøèéñÿ òîê i¢ ïðè ýòîì òàêæå áóäåò ðàâåí íóëþ (i¢ = 0) è, ñëåäîâàòåëüíî, r - t i = i¢¢ = Ae L . Ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ A îïðåäåëÿåòñÿ èç íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ äëÿ òîêà â êàòóøêå i (+0) = i (–0). Ïîëîæèì, ÷òî ê ìîìåíòó êîììóòàöèè äî êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ òîê â öåïè áûë ðàâåí i (–0) = I. Ñëåäîâàòåëüíî, i (+0) = I. Ïîëàãàÿ â ïîñëåäíåì óðàâíåíèè i = I è t = 0, íàõîäèì I = A. Ðèñ. 9.3 Òàêèì îáðàçîì, i = Ie r - t L - t = Ie t . Âåëè÷èíà t = L/r èìååò ðàçìåðíîñòü âðåìåíè è íàçûâàåòñÿ ï î ñ ò î ÿ í í î é â ð å ì å í è ö å ï è. Çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè t òîê óáûâàåò â e ðàç. ×åì áîëüøå t, òåì ìåäëåííåå çàòóõàåò òîê. Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 25 Èç ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî òîê ñòàíåò ðàâíûì íóëþ òåîðåòè÷åñêè ÷åðåç áåñêîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Ïðàêòè÷åñêè òîê ñòàíîâèòñÿ âåñüìà ìàëûì ïî ñðàâíåíèþ ñ íà÷àëüíûì òîêîì îáû÷íî ñïóñòÿ ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ðàâíûé íåñêîëüêèì çíà÷åíèÿì t. Êðîìå òîãî, ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî äàííîå ðåøåíèå îïèñûâàåò òîê â öåïè òîëüêî äî òåõ ïîð, ïîêà îïðåäåëÿåìîå èç íåãî çíà÷åíèå òîêà íå ñòàíîâèòñÿ ñðàâíèìûì ñ âåñüìà ìàëûìè ôëþêòóàöèîííûìè òîêàìè, îïðåäåëÿåìûìè òåïëîâûìè ïðîöåññàìè è íîñÿùèìè ñëó÷àéíûé õàðàêòåð (ñì. § 12.4). Ýòî çàìå÷àíèå îòíîñèòñÿ è êî âñåì ïîñëåäóþùèì ñëó÷àÿì. Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè t ðàâíà äëèíå ïîäêàñàòåëüíîé â ëþáîé òî÷êå êðèâîé i(t) (ðèñ. 9.3), òàê êàê di/dt = –i/t. Ýíåðãèÿ, âûäåëÿåìàÿ â âèäå òåïëîòû â ñîïðîòèâëåíèè öåïè, ðàâíà ýíåðãèè, çàïàñåííîé â ìàãíèòíîì ïîëå öåïè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Äåéñòâèòåëüíî, ¥ ¥ 2 2 ò i r dt = I r ò e - 2r t L dt = 1 2 LI . 2 Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè èíäóêòèâíûõ êàòóøåê çàâèñèò îò èõ ðàçìåðîâ. Äëÿ ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîáíûõ êàòóøåê îíà èçìåíÿåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó èõ ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ l. Äåéñòâèòåëüíî, èíäóêòèâíîñòü L ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîáíûõ êàòóøåê óâåëè÷èâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ÷èñåë èõ âèòêîâ w è èõ ëèíåéíûì ðàçìåðàì l, ò. å. L = k1w2l. Ïîñëåäíåå âûòåêàåò èç ðàçìåðíîñòè èíäóêòèâíîñòè: [L] = [m]×[l]. Òàê êàê â íàñòîÿùåé ãëàâå ðàññìàòðèâàåì òîëüêî öåïè ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè, òî ñåðäå÷íèê äîëæåí áûòü èç íåôåððîìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà, ò. å. äîëæíî áûòü m » m0. Ñîïðîòèâëåíèå r ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîáíûõ êàòóøåê óâåëè÷èâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ÷èñåë èõ âèòêîâ è óìåíüøàåòñÿ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ëèíåéíûì ðàçìåðàì l êàòóøåê. Äåéñòâèòåëüíî, äëèíà ïðîâîëîêè òàêèõ êàòóøåê óâåëè÷èâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî èõ ÷èñëàì âèòêîâ w è ëèíåéíûì ðàçìåðàì l, ñå÷åíèå æå ïðîâîëîêè óáûâàåò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî w è âîçðàñòàåò ïðîïîðöèîíàëüíî l 2. Ïîýòîìó r = k2 wl w2 . = k 2 l l2 w Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïîñòîÿííîé âðåìåíè ïîëó÷àåì L k t = = 1 l 2. r k2 Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî âåëè÷èíà t äëÿ ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîáíûõ êàòóøåê íå çàâèñèò îò ÷èñëà âèòêîâ w, åñëè ïðè èçìåíåíèè w êîýôôèöèåíò çàïîëíåíèÿ ñå÷åíèÿ îáìîòêè ìåäüþ íå èçìåíÿåòñÿ, ò. å. íå èçìåíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå ÷àñÐèñ. 9.4 òåé ñå÷åíèÿ îáìîòêè, çàíÿòûõ ìåäüþ ïðîâîëîêè è èçîëÿöèåé. Äëÿ îöåíêè ïîðÿäêà âåëè÷èíû t óêàæåì, ÷òî êðóãëàÿ êàòóøêà èç ìåäíîé ïðîâîëîêè áåç ñåðäå÷íèêà ñ ðàçìåðàìè, óêàçàííûìè íà ðèñ. 9.4, è ìàññîé 17 êã èìååò 26 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé L = 0,218 Ãí, r = 4, 4 Îì è t = 0,0495 ñ. Ïîäîáíûå åé êàòóøêè ìåíüøèõ ðàçìåðîâ áóäóò èìåòü ìåíüøåå çíà÷åíèå t, êàòóøêè æå áóëüøèõ ðàçìåðîâ — áîëüøåå çíà÷åíèå t, ïðè÷åì t áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ, íàïðèìåð êâàäðàòó äèàìåòðà D êàòóøêè. Âíåñåíèå ñåðäå÷íèêà èç ôåððîìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èâàåò ïîñòîÿííóþ âðåìåíè êàòóøêè, òàê êàê óâåëè÷èâàåòñÿ L âñëåäñòâèå óâåëè÷åíèÿ m. Îäíàêî ïðè ýòîì öåïü ñòàíîâèòñÿ íåëèíåéíîé è çàâèñèìîñòü òîêà îò âðåìåíè, ñòðîãî ãîâîðÿ, áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò òîëüêî ÷òî ïîëó÷åííîé, òàê ÷òî ïîíÿòèå î ïîñòîÿííîé âðåìåíè ñòàíîâèòñÿ óñëîâíûì. Åñëè â ìàãíèòíîé öåïè ñåðäå÷íèêà èç ôåððîìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà èìååòñÿ äîñòàòî÷íûé âîçäóøíûé çàçîð, òî ïðàêòè÷åñêè L ìàëî çàâèñèò îò òîêà i è ïîëó÷åííûå â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå ñîîòíîøåíèÿ îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ äëÿ òàêèõ êàòóøåê. Ïðè ýòîì ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè t ïðè òîé æå çàòðàòå ìåäè, êàê, íàïðèìåð, â ïðèâåäåííîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå, ìîæåò áûòü óâåëè÷åíà ïî ñðàâíåíèþ ñî çíà÷åíèåì t êàòóøêè áåç ñåðäå÷íèêà â íåñêîëüêî äåñÿòêîâ ðàç. Èç ñêàçàííîãî âèäíî, ÷òî ïîñòîÿííûå âðåìåíè áîëüøèõ êàòóøåê, ìàãíèòíûå öåïè êîòîðûõ ñîäåðæàò ó÷àñòêè èç ôåððîìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ, ìîãóò áûòü âåñüìà çíà÷èòåëüíû. Íàïðèìåð, ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè îáìîòêè âîçáóæäåíèÿ êðóïíûõ ãèäðîãåíåðàòîðîâ ìîæåò èìåòü çíà÷åíèå t » 5 ñ. Ïîëó÷åííàÿ âûøå çàâèñèìîñòü ïîñòîÿííîé âðåìåíè t îò ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ l ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîáíûõ êàòóøåê çíà÷èòåëüíî çàòðóäíÿåò ìîäåëèðîâàíèå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â ìîùíûõ áîëüøèõ óñòðîéñòâàõ, ñ ïîìîùüþ ìàëûõ ëàáîðàòîðíûõ ìîäåëåé, åñëè ïðè ýòîì íå èçìåíÿòü ìàñøòàá âðåìåíè. 2.  êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì ïðîöåññ îòêëþ÷åíèÿ îò èñòî÷íèêà ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ öåïè, ñîñòîÿùåé èç èíäóêòèâíîé êàòóøêè ñ èíäóêòèâíîñòüþ L è ñîïðîòèâëåíèåì r è ïàðàëëåëüíî ñ íåé ñîåäèíåííîé âåòâè ñ ñîïðîòèâëåíèåì r0 (ðèñ. 9.5). Ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ïðè ýòîì îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì - Ðèñ. 9.5 t i = i¢¢ = Ae t , ãäå t = L . r + r0 Äî ðàçìûêàíèÿ ðóáèëüíèêà â êàòóøêå ïðîòåêàåò òîê iL(–0) = U/r. Ñëåäîâàòåëüíî, A = iL (+ 0) = iL (- 0) = U r . Òàêèì îáðàçîì, t Ðèñ. 9.6 U i = e t. r Íàïðÿæåíèå íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì r0 äî ðàçìûêàíèÿ áûëî ðàâíî U, à â ïåðâûé ìîìåíò ïîñëå ðàçìûêàíèÿ îíî îêàæåòñÿ ðàâíûì r r0 i (+ 0) = U 0 . r Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 27 Åñëè r0 >> r, íàïðèìåð, íà çàæèìàõ êàòóøêè ñ ìàëûì ñîïðîòèâëåíèåì r âêëþ÷åí âîëüòìåòð ñ áîëüøèì ñîïðîòèâëåíèåì r0 (ðèñ. 9.6), òî ïðè îòêëþ÷åíèè öåïè íàïðÿæåíèå íà âîëüòìåòðå â ïåðâûé ìîìåíò ïîâûñèòñÿ â r0/r ðàç. Åñëè ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, çàïàñåííàÿ â êàòóøêå, äîñòàòî÷íî âåëèêà, òî âîëüòìåòð ìîæåò áûòü ñîææåí. Âî èçáåæàíèå âîçíèêíîâåíèÿ áîëüøèõ ïåðåíàïðÿæåíèé ïðè îòêëþ÷åíèè öåïåé ïîñòîÿííîãî òîêà, îáëàäàþùèõ áîëüøîé èíäóêòèâíîñòüþ, íàïðèìåð, îáìîòîê âîçáóæäåíèÿ ãåíåðàòîðîâ ïîñòîÿííîãî òîêà, ýòè öåïè ïðåäâàðèòåëüíî çàìûêàþò íà ìàëîå ñîïðîòèâëåíèå. 3.  êà÷åñòâå åùå îäíîãî ïðèìåðà îïðåäåëèì ïðîöåññ ïðè âêëþ÷åíèè ðàññìàòðèâàåìîé öåïè ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå u = U = const (ðèñ. 9.7). Òîê óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà â äàííîì ñëó÷àå ðàâåí i¢ = U/r. Ñëåäîâàòåëüíî, r - t U + Ae L . r Åñëè äî âêëþ÷åíèÿ òîê i áûë ðàâåí íóëþ [i(–0) = 0], òî i = i¢ + i¢¢ = Ðèñ. 9.7 i ( + 0 ) = i ( - 0 ) = U r + A = 0 è A = -U r . Òàêèì îáðàçîì, ö ÷. ÷ ø t ö Uæ ÷ = ç1- e t ÷ rç è ø Íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êàòóøêè ïðè ýòîì - t U æç 1- e L r çè r i= t t di U 1 -t e = Ue t . uL = L =L dt r t Çàâèñèìîñòè i(t) è uL (t) èçîáðàæåíû íà ðèñ. 9.7. 4. Íàêîíåö, ðàññìîòðèì ïðîöåññ ïðè âêëþ÷åíèè öåïè ïîä ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå è = Um sin (wt + y). Òîê óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ïðè ýòîì áóäåò ðàâåí (ñì. § 4.4) U i¢ = m sin(wt + y - j) = I m sin(wt + y - j), z è, ñëåäîâàòåëüíî, - t i = i¢ + i¢¢ = I m sin(wt + y - j) + Ae t . wL è t = L/r. Ïîñòîÿííàÿ A îïðåäåëÿåòñÿ èç íàÇäåñü z = r 2 + w2 L2 ; j = arctg r ÷àëüíîãî óñëîâèÿ, ÷òî òîê äî âêëþ÷åíèÿ áûë ðàâåí íóëþ: i (–0) = 0. Òîãäà i (+ 0) = i (- 0) = 0 = I m sin(y - j) + A. Òàêèì îáðàçîì, - t i = i¢ + i¢¢ = I m sin(wt + y - j) - I m sin(y - j)e t . 28 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé Íà ðèñ. 9.8 ïðèâåäåíû êðèâûå u (t), i¢(t), i²(t), è i(t). Ïðè t = 0 íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ñâîáîäíîãî òîêà i² ðàâíî è ïðîòèâîïîëîæíî òîêó i¢ è i = 0. Íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ñâîáîäíîãî òîêà çàâèñèò îò íà÷àëüíîé ôàçû y íàïðÿæåíèÿ. Íàèáîëüøåå íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ñâîáîäíîãî òîêà, ðàâíîå àìïëèòóäå Im óñòàíîâèâøåãîñÿ òîêà, èìååò ìåñòî, åñëè y – j = ±p/2. Íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ðåçóëüòèðóþùåãî òîêà, êàê âèäíî èç ðèñ. 9.8, íå ïðåâûøàåò äâîéíîé àìïëèòóäû óñòàíîâèâøåãîñÿ òîêà. Ñâîáîäíûé òîê âîîáùå íå âîçíèêàåò, è ñðàçó íàñòóïàåò óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì ïðè óñëîâèè y = j. Ïðèìåíèòåëüíî ê ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ äîëæíî áûòü ñîñòàâëåíî äëÿ åäèíñòâåííîé ïåðåìåííîé ñîñòîÿíèÿ — òîêà â èíäóêòèâíîé êàòóøêå. Çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà ðåçèñòîðå, âûðàæåííîå ÷åðåç ïåðåìåííóþ ñîñòîÿíèÿ i, ðàâíî ri. Èç âòîðîãî Ðèñ. 9.8 çàêîíà Êèðõãîôà èìååì U di r = - i + m sin(wt + y). dt L L Ïðè i (+0) = I îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåò èìåòü âèä i=e r - t L I+ Um L t òe - r ( t -t) L sin(wt + y) dt. Ïðîèçâåäÿ äîâîëüíî ïðîñòûå, íî ìíîãî÷èñëåííûå îïåðàöèè ïî èíòåãðèðîâàíèþ, ïîäñòàíîâêå ïðåäåëîâ è ðÿä ïðåîáðàçîâàíèé, ïîëó÷èì r r - t - t Um Um wL L L . i = Ie + sin(wt + y - j) sin(y - j) e ; j = arctg 2 2 2 2 2 2 r r +w L r +w L Ýòî âûðàæåíèå ïðè I = 0 ñîâïàäàåò ñ ïîëó÷åííûì ðàíåå êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì óðàâíåíèåì äëÿ òîêà i. Ïðèâåäåííûé ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ äëÿ ìåòîäà óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìåíåíèå åãî ñîïðÿæåíî ñ âûïîëíåíèåì áîëüøîãî ÷èñëà àíàëèòè÷åñêèõ îïåðàöèé ïî âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà.  ýòîì îòíîøåíèè êëàññè÷åñêèé ìåòîä, âî âñÿêîì ñëó÷àå äëÿ òàêèõ ïðîñòûõ ñëó÷àåâ, áîëåå ïðîäóêòèâåí. 9.6. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r è C Ðàññìîòðèì ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè, ñîñòîÿùåé èç ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ ó÷àñòêà ñ ñîïðîòèâëåíèåì r è êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ C. Îáîçíà÷èâ íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè ÷åðåç u, à íàïðÿæåíèå íà îáêëàäêàõ êîíäåíñàòîðà è çíà÷åíèå åãî çàðÿäà ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç uC è q, èìååì ri + uC = u. Òàê êàê i= du dq d (CuC ) = =C C , dt dt dt Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 29 òî duC + uC = u. dt Ñîîòâåòñòâóþùåå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ñâîáîäíîå íàïðÿæåíèå uC¢¢ , áóäåò du ¢¢ rC C + uC¢¢ = 0. dt Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå rC rCa + 1 = 0 èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü a = –1/(rÑ). Ïîýòîìó uC¢¢ = Ae at = Ae - t rC - t t = Ae , ãäå rÑ = t — ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè ðàññìàòðèâàåìîé öåïè. Äëÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ïîëó÷èì uC = uC¢ + uC¢¢ = uC¢ + Ae - t rC , ïðè÷åì óñòàíîâèâøååñÿ íàïðÿæåíèå uC¢ ìîæåò áûòü íàéäåíî, åñëè èçâåñòåí âèä ôóíêöèè è(t), à ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ A îïðåäåëÿåòñÿ ïî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì. Ðàññìîòðèì ðÿä ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ. 1. Ïóñòü öåïü (r, Ñ) çàìûêàåòñÿ íàêîðîòêî, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðàâåíñòâó íóëþ íàïðÿæåíèÿ u (ðèñ. 9.9). Äëÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ íàïðÿæåíèÿ uC¢ íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà èìååì uC¢ = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, uC = uC¢¢ = Ae - t rC . Ïîëîæèì, ÷òî ê ìîìåíòó êîììóòàöèè, äî êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ, íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà áûëî ðàâíî uC = (–0) = U0. Ñëåäîâàòåëüíî, èç óñëîâèÿ uC(+0) = uC(–0), ïîëàãàÿ â ïîñëåäíåì óðàâíåíèè uC = U0 è t = 0, íàõîäèì U0 = A. - Ðèñ. 9.9 t Òàêèì îáðàçîì, èC = U0e rC . Äëÿ òîêà â öåïè ïîëó÷èì t duC U = - 0 e rC . dt r Ñîãëàñíî ýòîìó ðåøåíèþ, òîê â íà÷àëüíûé ìîìåíò ìåíÿåòñÿ ñêà÷êîì îò íóëÿ äî U0 /r. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì òîãî, ÷òî ìû ïîëíîñòüþ ïðåíåáðåãëè èíäóêòèâíîñòüþ öåïè. i=C 30 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé Ýíåðãèÿ, âûäåëÿåìàÿ â âèäå òåïëîòû â ñîïðîòèâëåíèè öåïè, ðàâíà ýíåðãèè, çàïàñåííîé â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå êîíäåíñàòîðà â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Äåéñòâèòåëüíî, ¥ ¥ 2t U 02 1 2 2 rC i r dt = e ò ò dt = 2 CU 0 . r Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè t = rC â ðåàëüíûõ óñòðîéñòâàõ ìîæåò èìåòü ñàìûå ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ. Íàïðèìåð, åñëè êîíäåíñàòîð ñ åìêîñòüþ C = 100 ìêÔ ðàçðÿæàåòñÿ ÷åðåç ñîïðîòèâëåíèå r = 100 Îì, òî ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè t = 100×10–6×100 = 0,01 ñ. Åñëè òîò æå êîíäåíñàòîð îñòàâèòü çàðÿæåííûì è îòêëþ÷åííûì îò îñòàëüíîé öåïè, òî îí áóäåò ìåäëåííî ðàçðÿæàòüñÿ ÷åðåç ñâîå ñîïðîòèâëåíèå óòå÷êè. Ïóñòü ýòî ñîïðîòèâëåíèå r = 109 Îì. Òîãäà t = 100×10–6×109 = 105 ñ = 27,8 ÷, ò. å. êîíäåíñàòîð ñ òàêîé õîðîøåé èçîëÿöèåé ñîõðàíèò ÷åðåç ñóòêè ïðèìåðíî îäíó òðåòü ñâîåãî íà÷àëüíîãî çàðÿäà. 2.  êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà èññëåäóåì ïðîöåññ ïðè âêëþ÷åíèè ðàññìàòðèâàåìîé öåïè ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå è = U = const (ðèñ. 9.10). Ïóñòü êîíäåíñàòîð äî âêëþ÷åíèÿ íå áûë çàðÿæåí, ò. å. uC (–0) = 0. Óñòàíîâèâøååñÿ íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà ïîñëå çàâåðøåíèÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà áóäåò uC¢ = U . Òàêèì îáðàçîì, uC = uC¢ + uC¢¢ = U + Ae - t rC . Ïîñòîÿííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ A îïðåäåëèì èç óñëîâèÿ uC(+0) = uC(–0) = 0 è, ïîëàãàÿ â ïîñëåäíåì óðàâíåíèè t = 0, ïîëó÷èì Ðèñ. 9.10 0 = U + A èëè Ñëåäîâàòåëüíî, uC = U - Ue - t rC t æ = Uç 1 - e t ç è A = -U . ö ÷. ÷ ø Äëÿ òîêà â öåïè èìååì t duC U - t = e . dt r Èç âûðàæåíèÿ äëÿ èC âèäíî, ÷òî íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà è çàðÿä åãî íàðàñòàþò ïî òîìó æå çàêîíó, ÷òî è òîê â öåïè (r, L) ïðè âêëþ÷åíèè åå ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå. ×òî æå êàñàåòñÿ òîêà i (ðèñ. 9.10), òî ïðè âêëþ÷åíèè öåïè îí ñðàçó ïîëó÷àåò çíà÷åíèå U/r, òàê êàê â ìîìåíò t = 0 íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà ðàâíî íóëþ è òîê â öåïè îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü íàïðÿæåíèåì U è ñîïðîòèâëåíèåì r öåïè.  äàëüíåéøåì íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà ïîñòåïåííî âîçðàñòàåò è òîê â öåïè óáûâàåò ïî òîìó æå ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó, ÷òî è ïðè ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà. Îïðåäåëÿÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëèâøåéñÿ â öåïè âî âðåìÿ çàðÿäà êîíäåíñàòîðà, ïîëó÷èì òî æå çíà÷åíèå 12 CU 2, ÷òî è ïðè ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà, è ìîi=C Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 31 æåì ïîýòîìó ñêàçàòü, ÷òî ïðè u = U = const êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, ïðåâðàùàåìîé â òåïëîòó ïðè çàðÿäå êîíäåíñàòîðà ÷åðåç ñîïðîòèâëåíèå, ðàâíî ýíåðãèè, çàïàñàåìîé â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå êîíäåíñàòîðà. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàáîòà èñòî÷íèêà âíåøíåé ÝÄÑ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ðàâíà CU 2, ò. å. óäâîåííîìó çíà÷åíèþ ýíåðãèè, çàïàñàåìîé â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå êîíäåíñàòîðà. Îäíàêî òàêîå ñîîòíîøåíèå èìååò ìåñòî òîëüêî ïðè âêëþ÷åíèè öåïè (r, Ñ) ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå è = U = const. Åñëè íàïðÿæåíèå è íà çàæèìàõ öåïè óâåëè÷èâàòü ìåäëåííî, òî ñîîòíîøåíèå ìåæäó êîëè÷åñòâîì ýíåðãèè, ïðåâðàùàåìîé â òåïëîòó, è ýíåðãèåé, çàïàñàåìîé â êîíäåíñàòîðå, áóäåò áîëåå âûãîäíûì. Ýòî âàæíîå ïîëîæåíèå ïîêàæåì íà ïðèìåðå â § 12.3. Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè ýòîì õàðàêòåð èçìåíåíèÿ òîêà è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ õàðàêòåðîì íàðàñòàíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ öåïè è áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò òîëüêî ÷òî ðàññìîòðåííîãî ïðè U = const. Åñëè êîíäåíñàòîð äî âêëþ÷åíèÿ áûë çàðÿæåí, ò. å. íà åãî îáêëàäêàõ áûëî íàïðÿæåíèå uC (–0) = uC (0), òî ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ A îïðåäåëèòñÿ èç óñëîâèÿ uC (+0) = uC (–0) = uC (0) = U + A èëè A = [uC (0) – U].  ñëó÷àå uC (0) > 0 (ðèñ. 9.11) êîíäåíñàòîð äîçàðÿæàåòñÿ äî íàïðÿæåíèÿ U, à â ñëó÷àå uC (0) < 0 — ïåðåçàðÿæàåòñÿ îò íà÷àëüíîãî îòðèöàòåëüíîãî íàïðÿæåíèÿ äî ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ (ðèñ. 9.12). Ðèñ. 9.11 Ðèñ. 9.12 3. Ðàññìîòðèì åùå ïðîöåññ âêëþ÷åíèÿ öåïè (r, Ñ) ïîä ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå è = Um sin (wt + y). Íàïðÿæåíèå uC íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ïðè ýòîì áóäåò ðàâíî (ñì. § 4.4) uC¢ = Im pö æ sin ç w t + y - j - ÷ . wC 2 è ø Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà èìååì t uC = Im pö æ sin ç w t + y - j - ÷ + Ae t . wC 2ø è 32 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé Çäåñü 2 Im U -1 æ 1 ö = m ; z = r2 +ç è t = rC. ÷ ; j = arctg z r wC è wC ø Ïîñòîÿííàÿ A îïðåäåëÿåòñÿ èç íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó äîëæíî áûòü çàäàíî íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà uC (–0) äî âêëþ÷åíèÿ öåïè. Åñëè êîíäåíñàòîð íå áûë çàðÿæåí, òî uC (–0) = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, I pö æ uC (+ 0) = uC (- 0) = 0 = m sin ç y - j - ÷ + A, wC 2 è ø îòêóäà A=- Im pö æ sin ç y - j - ÷ . wC 2ø è Òàêèì îáðàçîì, t uC = Im pö pö I æ æ sin ç wt + y - j - ÷ - m sin ç y - j - ÷ e t . 2 ø wC 2ø wC è è Äëÿ òîêà â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷èì t i=C duC I pö æ = i¢ + i¢¢ = I m sin ( wt + y - j) + m sin ç y - j - ÷ e t . 2ø dt rwC è Åñëè êîíäåíñàòîð áûë ïðåäâàðèòåëüíî çàðÿæåí, òî uC (–0) = uC (+0) è, ñëåäîâàòåëüíî, I pö æ uC (+ 0) = uC (- 0) = uC (0) = m sin ç y - j - ÷ + A, wC 2ø è îòêóäà è îïðåäåëèòñÿ ïîñòîÿííàÿ A. Èç ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé âèäíî, ÷òî ïåðåõîäíûé ïðîöåññ çàâèñèò îò âåëè÷èíû y. Åñëè y = j ± p/2, òî ïåðåõîäíûé ïðîöåññ íå âîçíèêàåò è ñðàçó æå íàñòóïàåò óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì. Ïðè y = j ± p/2 óñòàíîâèâøååñÿ íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå â ìîìåíò t = 0 ðàâíî íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, èìååòñÿ ïîëíîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó çàïàñîì ýíåðãèè â êîíäåíñàòîðå äî âêëþ÷åíèÿ (â äàííîì ñëó÷àå íóëü) è çàïàñîì ýíåðãèè, êîòîðûé äîëæåí áûòü â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèÐèñ. 9.13 ìå (â äàííîì ñëó÷àå òàêæå íóëü). Ïîýòîìó ïåðåõîäíûé ïðîöåññ è íå âîçíèêàåò. Åñëè âêëþ÷åíèå ïðîèñõîäèò ïðè y = j, òî ñâîáîäíîå íàïðÿæåíèå uC¢¢ áóäåò íàèáîëüøèì è â íà÷àëüíûé ìîìåíò èìååò çíà÷åíèå Im/(wC). Íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ñâîáîäíîãî òîêà ïðè ýòîì áóäåò –Im/(wCr). Åñëè wrÑ << 1, ò. å. r << 1/(wC), òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò ïðîèñõîäèò áîëüøîé âñïëåñê òîêà, íàìíîãî ïðåâîñõîäÿùèé àìïëèòóäó Im (ðèñ. 9.13). Îäíàêî òàêîé áîëüøîé òîê ïðîòåêàåò íåçíà÷è2p òåëüíóþ ÷àñòü ïåðèîäà, òàê êàê wCr = t << 1, è, ñëåäîâàòåëüíî, t << T. T Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 33 Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ uC â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå íå ïðåâûøàåò óäâîåííîé àìïëèòóäû UCm = Im /(wC) íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå. Ïðèìåíèòåëüíî ê äàííîé çàäà÷å óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ äîëæíî áûòü ñîñòàâëåíî äëÿ åäèíñòâåííîé ïåðåìåííîé ñîñòîÿíèÿ — íàïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðà. Çíà÷åíèå òîêà â ðåçèñòîðå ðàâíî (u – uC )/r. Èç ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà èìååì duC 1 1 = - uC + U m sin(wt + y). dt rC rC Ïðè uC (+0) = U0 îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåò èìåòü âèä uC = e + - t rC U U0 + m rC t òe - ( t -t) rC sin(wt + y) d t = U 0 e - t rC + t é pö p öù æ æ ê- sin ç y - j - ÷ e rC + sin ç wt + y - j - ÷ú. 2ø 2 øúû è è 1 + (rwC) 2 êë Um 9.7. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r, L è Ñ Ðàññìîòðèì ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè, ñîäåðæàùåé ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûå ó÷àñòîê ñ ñîïðîòèâëåíèåì r, êàòóøêó ñ èíäóêòèâíîñòüþ L è êîíäåíñàòîð ñ åìêîñòüþ C (ðèñ. 9.14). Ðèñ. 9.14 Óðàâíåíèå ýòîé öåïè èìååò âèä t ri + L di 1 + i dt + uC (0) = u(t). dt C ò0 (*) Äèôôåðåíöèðóÿ îáå ÷àñòè âûðàæåíèÿ (*), ïîëó÷èì óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ òîêà i â öåïè: L d 2i di i du +r + = . 2 dt C dt dt Ñîîòâåòñòâóþùåå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ñâîáîäíûé òîê i², ïîñëå äåëåíèÿ íà L áóäåò 34 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé d 2 i" r di" i" + + = 0, 2 L dt LC dt èëè, îáîçíà÷èâ r/L = 2d è 1/(LC) = w20 , ïîëó÷èì d 2 i" di" + 2d + w20 i" = 0. 2 dt dt Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå a 2 + 2da + w20 = 0 èìååò äâà êîðíÿ: a 1 = - d + d 2 - w20 ; a 2 = - d - d 2 - w02 èëè a1 = - r r2 1 + 2 LC 2L 4L è a2 = - 1 r r2 . 2 2L LC 4L Òàêèì îáðàçîì, i¢¢ = A1 e a1t + A 2 e a2t . Äëÿ òîêà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, ñëåäîâàòåëüíî, èìååì (**) i = i¢ + i¢¢ = i¢ + A1 e a1t + A 2 e a2t . Òîê óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà i¢ ìîæíî íàéòè, åñëè èçâåñòåí âèä ôóíêöèè è(t). Ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ A1 è A2 îïðåäåëÿåì èç íà÷àëüíûõ ôèçè÷åñêèõ óñëîâèé íåèçìåííîñòè òîêà â êàòóøêå è íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà â ìîìåíò êîììóòàöèè: i(+0) = i(–0), uC (+0) = uC(–0). Äëÿ êðàòêîñòè â âûðàæåíèÿõ i (+0) è uC (+0) áóäåì îïóñêàòü çíàê «ïëþñ», ò. å. íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ïåðåõîäíûõ òîêà â öåïè è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå áóäåì îáîçíà÷àòü i(0) è uC (0). Êàê áûëî ñêàçàíî â § 9.4, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííûõ A1 è A2 íàäî çíàòü çíà÷åíèå òîêà è âñåõ åãî ïðîèçâîäíûõ äî (ï – 1)-é âêëþ÷èòåëüíî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Òàê êàê â äàííîì ñëó÷àå èìååì óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà (ï = 2), òî íåîáõîäèìî çíàòü íà÷àëüíîå çíà÷åíèå òîêà è åãî ïåðâîé ïðîèçâîäíîé. Íà÷àëüíîå çíà÷åíèå òîêà â äàííîì ñëó÷àå çàäàíî. Íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ïåðâîé ïðîèçâîäíîé òîêà íàõîäèì èç óðàâíåíèÿ öåïè, èñïîëüçóÿ óïîìÿíóòûå âûøå ôèçè÷åñêèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, à èìåííî ïðè t = 0 èç óðàâíåíèÿ (*) èìååì æ di ö ri (0) + L ç ÷ + uC (0) = u(0), è dt ø t =0 ãäå è(0) — çíà÷åíèå ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ è(t) ïðè t = 0. Îòñþäà u(0) - uC (0) - ri (0) æ di ö . ç ÷ = dt L è ø t =0 Èç óðàâíåíèÿ (**) äëÿ ïðîèçâîäíîé òîêà èìååì Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 35 di di¢ = + A1a 1 e a1t + A 2 a 2 e a2t . dt dt Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå (**) äëÿ òîêà è â ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ åãî ïðîèçâîäíîé ñëåâà îò çíàêà ðàâåíñòâà íàéäåííûå íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ òîêà è åãî ïðîèçâîäíîé, à ñïðàâà — t = 0, ïîëó÷èì i (0) = i' (0) + A1 + A 2 ; u(0) - uC (0) - ri (0) æ di' ö =ç ÷ L è dt ø t =0 ü ï ý + A1a 1 + A 2 a 2 , ï þ (***) æ di' ö ãäå i¢(0) è ç ÷ — çíà÷åíèÿ òîêà óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà è åãî ïðîèçâîäíîé è dt ø t =0 â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, èçâåñòíûå èç íàéäåííîãî ðàíåå ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (*). Èç óðàâíåíèé (***) îïðåäåëÿåì ïîñòîÿííûå A1 è A2. Óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ äîëæíû áûòü ñîñòàâëåíû îòíîñèòåëüíî äâóõ ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ iL = i è èC.  ýòîé öåïè òîê è íàïðÿæåíèå íà ðåçèñòèâíîì ýëåìåíòå íåïîñðåäñòâåííî îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç îäíó èç ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ — òîê â èíäóêòèâíîé êàòóøêå iL = i. Èìååì ir = iL = i è ur = irr = ri.  ãðàôå ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû (ñì. ðèñ. 9.14, à) êàæäûé ýëåìåíò ïðåäñòàâèì â âèäå âåòâè. Îòíåñåì âåòâü ñ êàòóøêîé èíäóêòèâíîñòè ê ñâÿçÿì, à îñòàëüíûå âåòâè — ê âåòâÿì äåðåâà (ñì. ðèñ. 9.14, á). Èç óðàâíåíèé äëÿ ñå÷åíèÿ 2 è èç åäèíñòâåííîãî óðàâíåíèÿ äëÿ êîíòóðà, îáðàçîâàííîãî ñâÿçüþ 4, âûòåêàåò duC u i di ir e = ; =- C - + . dt C dt L L L Ìîæíî ïðåäñòàâèòü ýòè óðàâíåíèÿ â ìàòðè÷íîé ôîðìå: d uC = 1 dt i L 1 C r L 0 0 0 0 uC + 1 0 0 0 i L e .  ñîîòâåòñòâèè ñ îáîçíà÷åíèÿìè, ââåäåííûìè â § 9.2, èìååì X= uC i ; A1 = - 1 L 1 0 0 0 0 C ; B = 1 ; V= 1 0 0 0 r L L e . Çàìåòèì, ÷òî ìàòðèöà B1 èìååò ñòîëüêî ñòîëáöîâ, ñêîëüêî âåòâåé èìååòñÿ â ãðàôå ñõåìû, è ñòîëüêî ñòðîê, ñêîëüêî ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ. Íóìåðàöèÿ âåòâåé ãðàôà ñõåìû ïîä÷èíåíà òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ñíà÷àëà ê âåòâÿì äåðåâà îòíåñåíà âåòâü ñ ÝÄÑ, çàòåì âåòâü, ñîäåðæàùàÿ êîíäåíñàòîð, è äåðåâî äîïîëíåíî âåòâüþ, ñîäåðæàùåé ðåçèñòîð. Âåòâü, ñîäåðæàùàÿ èíäóêòèâíóþ êàòóøêó, îòíåñåíà ê ñâÿçè ãðàôà ñõåìû. 36 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé Îáùåå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñîãëàñíî ôîðìóëàì, ïðèâåäåííûì â § 9.2, áóäåò ì ï ï í ï uC =ï î i ì ï ï í t ï +ò ï î 1 C -a 2 - 1 C 1 1 r r - - a2 - - a1 L L L L e a1t + e a2t a1 - a 2 a 2 - a1 1 C -a 2 - -a 1 -a 1 1 C r 1 1 r - - a1 - - a2 a t t ( ) L L L L e1 + a 2 - a1 a1 - a 2 ü ï ï ý ï uC (0) + ï þ i(0) ü ï ï ý ï 0 a2 ( t - t ) e ï e (t) dt. þ L Íåñìîòðÿ íà ãðîìîçäêîñòü ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ, èíòåãðèðîâàòü ñëåt äóåò ôóíêöèè âèäà ò e a( t -t) e (t) dt. Åñëè å(t) = 0, i(0) = 0 è èC (0) = U0, òî èìååì ì ï -a 2 uC 1 = í a1 - a 2 ï - r i L î 1 C - r - a2 L -a 1 U 0 a1t e 1 L ü ì -a 2 U 0 -a 1U 0 U0 1 ï a1 t a2 t ï = e e 1 ý= í - 1U U a1 - a 2 ï ïþ a 1 - a 2 L L î 1 C - r - a1 L ü U 0 a2t ï e ý= ï þ -a 2 e a1t + a 1 e a2t . 1 1 - e a1t + e a2t L L Çäåñü a1 è a2 — êîðíè óðàâíåíèÿ det(A 1 - a 1) = -a - 1 L 1 ær ö 1 C = aç + a ÷ + = 0. r L è ø LC - -a L 9.8. Ðàçðÿä êîíäåíñàòîðà íà öåïü r, L Ðàññìîòðèì âàæíûé ñëó÷àé ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà ñ åìêîñòüþ C íà öåïü, îáëàäàþùóþ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì r è èíäóêòèâíîñòüþ L.  äàííîì ñëó÷àå ïðè- Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 37 ëîæåííîå íàïðÿæåíèå, à òàêæå òîê óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ðàâíû íóëþ, ò. å. è(t) = 0 è i¢(t) = 0. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ â óðàâíåíèÿõ (***) ïðåäûäóùåæ di' ö ãî ïàðàãðàôà ìû äîëæíû ïðèíÿòü i (0) = 0, i¢(0) = 0, è(0) = 0, ç ÷ = 0. Îáîçíàè dt ø t =0 ÷àÿ uC (0) = U0, ïîëó÷èì 0 = A1 + A 2 ; -U 0 L = a 1 A1 + a 2 A 2 , îòêóäà A1 = -A 2 = A = - U0 . L(a 1 - a 2 ) Îêîí÷àòåëüíî äëÿ òîêà i èìååì i =- U0 (e a1t - e a2t ) L(a 1 - a 2 ) è, ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ íàïðÿæåíèé íà êàòóøêå è íà êîíäåíñàòîðå U0 di uL = L =(a 1 e a1t - a 2 e a2t ); a1 - a 2 dt t uC = U0 1 i dt + U 0 = (a 2 e a1t - a 1 e a2t ). ò C0 a1 - a 2 Ïðè âûâîäå ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ äëÿ uC ñëåäóåò ïðèíÿòü âî âíèìàíèå, ÷òî a1a2 = w20 = 1/(LC). Õàðàêòåð ïðîöåññîâ ïðè ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà îêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûì â çàâèñèìîñòè îò òîãî, áóäóò ëè êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âåùåñòâåííûìè èëè êîìïëåêñíûìè, ÷òî îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè ìåæäó ïàðàìåòðàìè r, L è C. Èññëåäóåì ðàçëè÷íûå âîçìîæíûå ñëó÷àè. 1. Ïóñòü êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âåùåñòâåííû è îòëè÷íû äðóã îò äðóãà. Ýòî èìååò ìåñòî ïðè óñëîâèè d > w0, ò. å. r/(2L) > 1/ LC èëè r > 2 L C. Ðèñ. 9.15 Ðèñ. 9.16 Òàê êàê a1 < 0 è a2 < 0 è, êðîìå òîãî, |a2| > |a1|, òî ïðè èçìåíåíèè t îò 0 äî ¥ âåëè÷èíû e a1t è e a2t óáûâàþò îò 1 äî 0 è ïðèòîì ðàçíîñòü e a1t - e a2t âñåãäà ïîëîæèòåëüíà (ðèñ. 9.15). Ñëåäîâàòåëüíî, òîê i íå ìåíÿåò ñâîåãî íàïðàâëåíèÿ, ò. å. êîíäåíñàòîð âñå âðåìÿ ðàçðÿæàåòñÿ; â ÷àñòíîñòè, ïðè uC(0) = U0 > 0 òîê âñå âðåìÿ îòðèöàòåëåí. Òàêîé îäíîñòîðîííèé ðàçðÿä êîíäåíñàòîðà íàçûâàþò à ï å ð è î ä è ÷ å ñ ê è ì ð à ç ð ÿ ä î ì. Íà ðèñ. 9.16 èçîáðàæåíû çàâèñèìîñòè i(t), ri(t), uC(t) è uL(t).  èíòåðâàëå âðåìåíè 0 < t < tm òîê ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ âîçðàñòàåò è äîñòèãàåò ìàêñèìóìà 38 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé æ a ö ïðè t = t m = çç ln 2 ÷÷ (a 1 - a 2 ). Çíà÷åíèå tm íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ di/dt = uL /L = 0, è a1 ø ò. å. èç óñëîâèÿ a1e a1t m – a2e a2t m = 0.  èíòåðâàëå âðåìåíè tm < t < ¥ òîê ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ óáûâàåò, ñòðåìÿñü ê íóëþ. Íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå ìîíîòîííî óáûâàåò, òàêæå ñòðåìÿñü ê íóëþ. Íà ðèñ. 9.14 ïîêàçàíû ïðèíÿòûå ðàíåå âñþäó, è â ÷àñòíîñòè ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå, âçàèìîîòíîøåíèÿ ìåæäó óñëîâíûì ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì òîêà è óñëîâíûìè ïîëîæèòåëüíûìè íàïðÿæåíèÿìè íà êîíäåíñàòîðå, íà êàòóøêå è ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì. Ïðè uC > 0 è iC > 0 êîíäåíñàòîð çàðÿæàåòñÿ.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå àïåðèîäè÷åñêîãî ðàçðÿäà ìû ïîëó÷èëè, åñòåñòâåííî, i < 0 ïðè uC > 0. Äåéñòâèòåëüíîå íàïðàâëåíèå òîêà ïðè ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà ïîêàçàíî øòðèõîâîé ñòðåëêîé íà ðèñ. 9.17. Íà ýòîì æå ðèñóíêå äåéñòâèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ íàïðÿæåíèé ïîêàçàíû çíàêàìè «+» è «–». Èç óðàâíåíèÿ æ di ö uC = - ç L + ri ÷ è dt ø ñëåäóåò, ÷òî íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè óðàâíîâåøèâàåòñÿ ñóììîé íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ êàòóøêè ñàìîèíäóêöèè è íàïðÿæåíèÿ íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì.  ïåðâûé ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà ri = 0, íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà ïîëíîñòüþ óðàâíîâåøèâàåòñÿ íàïðÿæåíèåì íà çàæèìàõ êàòóøêè. Òîê íà÷èíàåò âîçðàñòàòü ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ èìåííî ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ÷òîáû íàñòóïèëî òàêîå ðàâíîâåñèå.  èíòåðâàëå âðåìåíè 0 < t < tm (ðèñ. 9.16) íàïðÿæåíèå uC ÷àñòè÷íî óðàâíîâåøèâàåòñÿ íàïðÿæåíèåì íà êàòóøêå è ÷àñòè÷íî íàïðÿæåíèåì íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì. Ñ âîçðàñòàíèåì t íà äîëþ êàòóøêè ïðèõîäèòñÿ âñå ìåíüøåå íàïðÿæåíèå è, ñîîòâåòñòâåííî, ñêîðîñòü íàðàñòàíèÿ òîêà óìåíüøàåòñÿ.  ìîìåíò tm âåëè÷èíû uC è ri îêàçûâàþòñÿ ðàâíûìè è ïðîòèâîïîëîæíûìè ïî çíàêó (uC = – ri), ò. å. îñòàâøååñÿ ê ýòîìó ìîìåíòó âðåìåíè íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå ïîëíîñòüþ óðàâíîâåøèâàåòñÿ íàïðÿæåíèåì íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì. Ïîýòîìó òîê äàëüøå âîçðàñòàòü íå ìîæåò.  ýòîò ìîìåíò îí äîñòèãàåò ìàêñèìóìà, òàê êàê ïîñëå ýòîãî ìîìåíòà îí äîëæåí óáûâàòü âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî êîíäåíñàòîð ïðîäîëæàåò ðàçðÿæàòüñÿ. Ðèñ. 9.17 Íà ðèñ. 9.17 ïîêàçàíû çíàêè íàïðÿæåíèé íà êàòóøêå è íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì â èíòåðâàëå âðåìåíè 0 < t < tm, à òàêæå ñòðåëêîé ñ õâîñòîâûì îïåðåíèåì ïîêàçàíî äåéñòâèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ïîòîêà ýíåðãèè â ýòîò ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå è òîê â íåì ðàçíûõ çíàêîâ, è, ñëåäîâàòåëüíî, Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 39 ìîùíîñòü pC = uCi îòðèöàòåëüíà, ò. å. ýíåðãèÿ îòäàåòñÿ êîíäåíñàòîðîì èç åãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Íàïðÿæåíèÿ íà êàòóøêå è íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì îäíîãî çíàêà ñ òîêîì, è, ñëåäîâàòåëüíî, pL = uLi > 0 è pr = ri2 > 0, ò. å. ýíåðãèÿ ïîñòóïàåò â êàòóøêó, çàïàñàÿñü â åå ìàãíèòíîì ïîëå, è âûäåëÿåòñÿ â âèäå òåïëîòû â ñîïðîòèâëåíèè.  èíòåðâàëå âðåìåíè tm < t < ¥ íàïðÿæåíèå íà êàòóøêå, òàê æå êàê è íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå, ïîëîæèòåëüíî — îíè ñîâìåñòíî ïðåîäîëåâàþò ñîïðîòèâëåíèå öåïè, ÷òî ëåãêî âèäåòü èç ðàññìîòðåíèÿ çíàêîâ íàïðÿæåíèé, ïîêàçàííûõ íà ðèñ. 9.17. Òåïåðü ìîùíîñòü pL = uLi îòðèöàòåëüíà, è êàòóøêà, òàê æå êàê è êîíäåíñàòîð, îòäàåò çàïàñåííóþ â íåé ýíåðãèþ. Âñÿ ýòà ýíåðãèÿ ïðåâðàùàåòñÿ â òåïëîòó, ÷òî ïîêàçàíî ñòðåëêàìè ñ õâîñòîâûì îïåðåíèåì. Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ñîïîñòàâèòü êðèâûå íà ðèñ. 9.16 ñ êðèâûìè íà ðèñ. 9.9, ïîëó÷åííûìè ïðè ðàññìîòðåíèè ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà íà ñîïðîòèâëåíèå r â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî L = 0. Ïðè òàêîì ïðåäïîëîæåíèè â íà÷àëüíûé ìîìåíò òîê ñêà÷êîì ïðèíèìàåò çíà÷åíèå, îïðåäåëÿåìîå îòíîøåíèåì íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå ê ñîïðîòèâëåíèþ. Ïðè L ¹ 0 (ðèñ. 9.16) òîê óâåëè÷èâàåòñÿ ïîñòåïåííî îò íóëåâîãî íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ. Ñîîòâåòñòâåííî, ñêîðîñòü ñïàäàíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå â íà÷àëüíûé ïåðèîä ðàçðÿäà ïðè L ¹ 0 ïîëó÷àåòñÿ ìåíüøå, ÷åì ïðè L = 0. 2. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âåùåñòâåííû è ðàâíû äðóã äðóãó. Ýòî èìååò ìåñòî ïðè óñëîâèè d = w0, ò. å. ïðè r = 2 L C. Èìååì a1 = a2 = –d. Ïðè ýòîì âûðàæåíèÿ äëÿ òîêà è íàïðÿæåíèé ñòàíîâÿòñÿ íåîïðåäåëåííûìè èç-çà ðàâåíñòâà íóëþ è ÷èñëèòåëÿ, è çíàìåíàòåëÿ. Ðàñêðîåì ýòè íåîïðåäåëåííîñòè ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ, ñ÷èòàÿ, ÷òî a1 — ïåðåìåííàÿ è ñòðåìèòñÿ ê a2 = –d. Äëÿ òîêà ïîëó÷èì i =- U0 U U e a1t - e a2t lim = - 0 te a2t = - 0 te - dt . L a1®a2 a 1 - a 2 L L Äëÿ íàïðÿæåíèé ñîîòâåòñòâåííî uL = L di = U 0 (dt - 1) e - dt ; dt t uC = 1 i dt + U 0 = U 0 (dt + 1) e - dt . C ò0 Õàðàêòåð ïðîöåññîâ â ýòîì ñëó÷àå íå îòëè÷àåòñÿ îò ðàññìîòðåííîãî âûøå, êîãäà d > w0. Ïðîöåññ òàêæå àïåðèîäè÷åñêèé. Ìîìåíò äîñòèæåíèÿ òîêîì ìàêñèìóìà àáñîëþòíîãî çíà÷åíèÿ òåïåðü ðàâåí tm = 1/d. Äàííûé ñëó÷àé ïðè d = w0 ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíûì ñëó÷àåì àïåðèîäè÷åñêîãî ðàçðÿäà, òàê êàê ïðè äàëüíåéøåì óìåíüøåíèè r íèæå çíà÷åíèÿ 2 L C ðàçðÿä ñòàíîâèòñÿ êîëåáàòåëüíûì. 3. Ïóñòü êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûìè. Ýòî èìååò ìåñòî ïðè óñëîâèè d < w0, ò. å. ïðè r < 2 L C. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå 40 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé w20 - d 2 = w'. Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïðè ýòîì ìîæåì çàïèñàòü â âèäå a 1 = -d + d 2 - w20 = - d + jw' = w0 e jq ; a 2 = -d - d 2 - w20 = - d - jw' = w0 e - jq , ãäå q = arctg (w¢/ –d). Óãîë q ëåæèò â ïðåäåëàõ p/2 < q < p, òàê êàê sin q = w' w0 > 0 è cos q = - d w0 < 0. Äëÿ òîêà èìååì âûðàæåíèå U0 U0 (e a1t - e a2t ) = (e - dt e jw' t - e - dt e - jw' t ) = i =(a 1 - a 2 )L 2 jw' L =- U 0 - dt e sin w' t = -Ie - dt sin w' t. w' L Äëÿ èL è èC èìååì U0 U (a 1 e a1t - a 2 e a2t ) = - 0 (w0 e jq e - dt e jw' t - w0 e - jq e - dt e - jw' t ) = uL = (a1 - a 2 ) 2 jw' =uC = - U 0 w0 - dt æ j( w' t+q) w - j( w' t +q) ö e çe - e ÷ = -U 0 0 e - dt sin(w' t + q); 2 jw' w' è ø U0 U (a 2 e a1t - a 1 e a2t ) = - 0 (w0 e - jq e - dt e jw' t - w0 e jq e - dt e - jw' t ) = (a 1 - a 2) 2 jw' w U 0 e - dt w0 æ j( w' t -q) - j( w' t - q) ö - e çe ÷ = -U 0 0 e - dt sin(w' t - q). 2 jw' è w' ø Íà ðèñ. 9.18 èçîáðàæåíû â ôóíêöèè îò w¢t âåëè÷èíû ri, èL è èC . Êðèâàÿ òîêà i ïîäîáíà êðèâîé ri. Èç ïîëó÷åííûõ àíàëèòè÷åñêèõ âûðàæåíèé, à òàêæå èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ïðîöåññ â ýòîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ê î ë å á à ò å ë ü í û ì. Òîê è íàïðÿæåíèÿ íà âñåõ ó÷àñòêàõ ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþò çíàê. Àìïëèòóäà êîëåáàíèé óáûâàåò ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó, ñëåäîâàòåëüíî, â öåïè ñîâåðøàþòñÿ ç à ò ó õ à þ ù è å ê î ë å á à í è ÿ òîêà è íàïðÿæåíèé. Óãëîâàÿ ÷àñòîòà çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé =- w' = w20 - d 2 = 1 r2 - 2. LC 4L Ñîîòâåòñòâåííî ï å ð è î ä ç à ò ó õ à þ ù è õ ê î ë å á à í è é îïðåäåëÿåòñÿ èç ôîðìóëû Ðèñ. 9.18 T' = 2p = 2p w' r2 1 - 2 . LC 4L Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 41  ïðåäåëüíîì ñëó÷àå r = 0 èìååì d = 0, w¢ = w0, è Ò ¢ = Ò0 = 2p LC .  ýòîì ñëó÷àå êîëåáàíèÿ áóäóò í å ç à ò ó õ à þ ù è ì è, òàê êàê ýíåðãèÿ ïîëåé íå ðàññåèâàåòñÿ. Âåëè÷èíó Ò0 íàçûâàþò ï å ð è î ä î ì í å ç à ò ó õ à þ ù è õ ê î ë å á à í è é è âûðàæàþùóþ åãî ôîðìóëó T0 = 2 p LC ôîðìóëîé Òîìñîíà. Óãëîâàÿ ÷àñòîòà íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé w0 = 1 LC , êàê âèäèì, ðàâíà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå êîíòóðà. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî ïðè d = 0 U èìååì q = p/2, â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì i = - 0 sin w0 t, uL = –U0 sin (w0t + p/2) w0 L è uC = –U0 sin (w0t – p/2). Êðèâûå i, uL è uC äëÿ ýòîãî ïðåäåëüíîãî ñëó÷àÿ èçîáðàæåíû íà ðèñ. 9.19. Îíè ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâóþò õàðàêòåðó ýòèõ êðèâûõ ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ ïðîöåññå â ñëó÷àå ðåçîíàíñà. Ïðè r ¹ 0 èìååì w¢ < w0 è Ò ¢ > Ò0.  ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà r = 2 L C, ò. å. d = w0, ïîëó÷àåì w¢ = 0 è Ò ¢ = ¥. Ïðè ýòîì êîëåáàòåëüíûé ðàçðÿä ïåðåõîäèò â àïåðèîäè÷åñêèé. Ðèñ. 9.19 Ýòîò ïðåäåëüíûé ñëó÷àé áûë ðàññìîòðåí ðàíåå. Áûñòðîòó çàòóõàíèÿ òîêà ïðèíÿòî õàðàêòåðèçîâàòü òàê íàçûâàåìûì ä å ê ð å ì å í ò î ì ê î ë å á à í è é D, ðàâíûì îòíîøåíèþ äâóõ ïîñëåäóþùèõ àìïëèòóä îäíîãî çíàêà: - d( t +T ' ) D = Ie - dt : Ie = e dT' , à òàêæå ë î ã à ð è ô ì è ÷ å ñ ê è ì ä å ê ð å ì å í ò î ì ê î ë å á à í è é, ðàâíûì J = ln D = dT' . Ïðè ìàëîì çàòóõàíèè Ò ¢ » Ò0 è L r 2 p LC = pr = pd . C 2L Ïðè ðàññìîòðåíèè ÿâëåíèÿ ðåçîíàíñà âåëè÷èíà d áûëà íàçâàíà çàòóõàíèåì êîíòóðà, òàê êàê ïðè ìàëîì çàòóõàíèè îíà ïðîïîðöèîíàëüíà ëîãàðèôìè÷åñêîìó äåêðåìåíòó êîëåáàíèé. Îñòàíîâèìñÿ íåñêîëüêî ïîäðîáíåå íà ïðîöåññàõ, ïðîèñõîäÿùèõ ïðè çàòóõàþùåì êîëåáàòåëüíîì ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà. J = dT ' » dT 0 = Ðèñ. 9.20  èíòåðâàëå âðåìåíè 0 < t < t1 (ðèñ. 9.20, à), ïîêà òîê íàðàñòàåò îò íóëÿ äî ìàêñèìàëüíîãî àáñîëþòíîãî çíà÷åíèÿ, õàðàêòåð ïðîöåññà òàêîé æå, êàê è ïðè 42 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé àïåðèîäè÷åñêîì ðàçðÿäå â èíòåðâàëå 0 < t < tm. Ýòî âèäíî èç òîæäåñòâåííîñòè ðèñóíêîâ 9.17, à è 9.20, à. Òî÷íî òàê æå õàðàêòåð ïðîöåññà ïðè êîëåáàòåëüíîì ðàçðÿäå â èíòåðâàëå t1 < t < t2 (ðèñ. 9.20, á) àíàëîãè÷åí õàðàêòåðó ïðîöåññà ïðè àïåðèîäè÷åñêîì ðàçðÿäå â èíòåðâàëå tm < t < ¥ (ñì. ðèñ. 9.17, á). Ïðè àïåðèîäè÷åñêîì ðàçðÿäå íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå è òîê óìåíüøàþòñÿ äî íóëÿ ïðè t = ¥. Íî ïðè êîëåáàòåëüíîì ðàçðÿäå ê ìîìåíòó t2, êîãäà êîíäåíñàòîð ïîëíîñòüþ ðàçðÿäèòñÿ, òîê â êàòóøêå ñîõðàíÿåò åùå êîíå÷íîå çíà÷åíèå, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøèõ ïîòåðü ýíåðãèè â ïðåäûäóùåì èíòåðâàëå âðåìåíè. Ñîõðàíèâøàÿñÿ ê ìîìåíòó t2 ýíåðãèÿ â ìàãíèòíîì ïîëå êàòóøêè è ÿâëÿåòñÿ ïðè÷èíîé òîãî, ÷òî ïðîöåññ ïðîäîëæàåòñÿ â ïîñëåäóþùåå âðåìÿ.  èíòåðâàëå âðåìåíè t2 < t < t3, ãäå t3 = Ò ¢/2, òîê, ïîääåðæèâàåìûé ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, ïðîäîëæàåò ïðîòåêàòü â òîì æå íàïðàâëåíèè è çàðÿæàåò êîíäåíñàòîð, ïðè÷åì íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå óæå áóäåò äðóãîãî çíàêà (èC < 0).  ýòîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè (ðèñ. 9.20, â) ýíåðãèÿ èç ìàãíèòíîãî ïîëÿ êàòóøêè ÷àñòè÷íî ïåðåõîäèò â ýíåðãèþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðà è ÷àñòè÷íî ïðåâðàùàåòñÿ â òåïëîòó â ñîïðîòèâëåíèè r. Ê ìîìåíòó T ¢/2 êîíäåíñàòîð çàðÿæàåòñÿ äî ìàêñèìàëüíîãî àáñîëþòíîãî çíà÷åíèÿ ñâîåãî íàïðÿæåíèÿ.  ýòîò ìîìåíò i = 0 è èL = –èC .  ñëåäóþùóþ ïîëîâèíó ïåðèîäà ýíåðãåòè÷åñêèé ïðîöåññ â òî÷íîñòè ïîâòîðÿåòñÿ, íî çíàêè íàïðÿæåíèé è òîêà áóäóò ïðîòèâîïîëîæíûìè èõ çíàêàì â ðàññìîòðåííîì èíòåðâàëå 0 < t < T ¢/2. Íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå â ìîìåíò t = Ò ¢ áóäåò â D ðàç ìåíüøå íà÷àëüíîãî íàïðÿæåíèÿ U0. Êðèâûå íà ðèñ. 9.18 ïîñòðîåíû ïðè D = 4, ÷åìó ñîîòâåòñòâóþò J » ln D = 1,4 è q = 102°55¢. 9.9. Âêëþ÷åíèå öåïè r, L, Ñ ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå Èññëåäóåì ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè (r, L, Ñ) ïðè âêëþ÷åíèè åå ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå U = const ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, ò. å. ïðè i (–0) = 0 è uC (–0) = 0. Óðàâíåíèå äëÿ äàííîé öåïè t L di 1 + ri + ò i dt + uC (0) = u(t), dt C0 êàê áûëî ïîêàçàíî â § 9.7, èìååò ðåøåíèå i = i¢ + A1 e a1t + A 2 e a2t .  äàííîì ñëó÷àå òîê óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà áóäåò ðàâåí íóëþ, ò. å. i¢ = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, i = A1 e a1t + A 2 e a2t ; uL = L di = L(A1a 1 e a1t + A 2 a 2 e a2t ). dt Èñïîëüçóÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ òîêà, èìååì i(0) = 0 = A1 + A2. Èç óðàâíåíèÿ öåïè è èç âûðàæåíèÿ äëÿ uL, ó÷èòûâàÿ, ÷òî uC(0) = 0 è è(t) = U = const, íàõîäèì ïðè t = 0 Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 43 æ di ö Lç ÷ = L(A1a 1 + A 2 a 2 ) = U . è dt ø t =0 Èç ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé íàõîäèì ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå A1 è A2: U A1 = -A 2 = . L(a 1 - a 2 ) Òàêèì îáðàçîì, i= t uC = U (e a1t - e a2t ); L(a 1 - a 2 ) t U 1 1 i dt + uC (0) = ò i dt = (a 2 e a1t - a 1 e a2t ) + U . ò C0 C0 a1 -a 2 Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ òîêà i è íàïðÿæåíèÿ uC ñ âûðàæåíèÿìè äëÿ ýòèõ âåëè÷èí, ïðèâåäåííûìè â íà÷àëå ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà äëÿ ñëó÷àÿ ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà, âèäèì, ÷òî çàêîí èçìåíåíèÿ òîêà â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäèí è òîò æå è òîêè ðàçëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêàìè, òàê êàê òåïåðü ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîöåññ çàðÿäêè êîíäåíñàòîðà. Íàïðÿæåíèå æå íà êîíäåíñàòîðå ïðè ðàçðÿäå èçìåíÿåòñÿ îò íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ U0 äî íóëÿ, à ïðè çàðÿäêå — îò íóëÿ äî êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ U; ïåðåõîä ïðîèñõîäèò ïî àíàëîãè÷íîìó çàêîíó. Ðèñ. 9.21 Ðèñ. 9.22 Õàðàêòåð ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, êàê è ïðè ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà, çàâèñèò îò òîãî, áóäóò ëè êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âåùåñòâåííûìè (ïðè d ³ w0) èëè êîìïëåêñíûìè (ïðè d < w0).  ïåðâîì ñëó÷àå ïðîöåññ çàðÿäêè êîíäåíñàòîðà àïåðèîäè÷åñêèé (ðèñ. 9.21), à âî âòîðîì ñëó÷àå — êîëåáàòåëüíûé (ðèñ. 9.22). 9.10. Âêëþ÷åíèå öåïè r, L, Ñ ïîä ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå Èññëåäóåì ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè (r, L, C) ïðè âêëþ÷åíèè åå ïîä ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå è = Um sin (wt + yu). Êàê è ïðåæäå (ñì. § 9.7), îáùåå ðåøåíèå äëÿ òîêà â öåïè èìååò âèä i = i¢ + A1 e a1t + A 2 e a2t . 44 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé Òîê i¢ â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå, ñîãëàñíî èçëîæåííîìó â ÷åòâåðòîé ãëàâå, ðàâåí i¢ = I m sin(wt + y i ), 2 ãäå I m = Um 1 ö æ ; z = r 2 + ç wL ÷ ; y i = y u - j; wC ø z è wL - 1 wC . r Ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå A1 è A2 îïðåäåëèì, èñõîäÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Ïóñòü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òîê â öåïè è íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà ðàâíû íóëþ, ò. å. i (0) = 0, uC(0) = 0. Èç âûðàæåíèÿ äëÿ òîêà i ïîëó÷àåì j = arctg 0 = I m sin y i + A1 + A 2 , èç óðàâíåíèÿ öåïè è èç âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíûõ òîêîâ íàõîäèì æ di' ö æ di ö Lç ÷ = U m sin y u = Lç ÷ + a 1 A1 + a 2 A 2 . è dt ø t =0 è dt ø t =0 Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî óðàâíåíèå âûðàæåíèÿ U m sin y u = I m z sin(y i + j) = I m (z cos j sin y i + z sin j cos y i ) = ù é 1 ö æ = I m (r sin y i + x cos y i ) = I m êr sin y i + ç wL ÷ cos y i ú w C è ø û ë æ di' ö è Lç ÷ = wLI m cos y i , è dt ø t =0 à òàêæå çàìå÷àÿ, ÷òî 1/(LC) = w20 è r/L = 2d, ïîëó÷èì w20 cos y i + I m 2d sin y i = a 1 A1 + a 2 A 2 . w Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå ñîâìåñòíî ñ óðàâíåíèåì -I m 0 = I m siny i + A1 + A 2 è ó÷èòûâàÿ, ÷òî 2d + a2 = –a1, íàéäåì æ ö w2 ç a 1 sin y i + 0 cos y i ÷; ç ÷ w è ø 2 ö Im æ w ç a 2 sin y i + 0 cos y i ÷. A2 = ç ÷ w a1 - a 2 è ø A1 = - Im a1 - a 2 Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîêà i ïîëó÷àåì i = I m sin(wt + y i ) - I m sin y i cos y i w20 a1t (e - e a2t ) (a 1 e a1t - a 2 e a2t ) - I m a1 - a 2 w a1 - a 2 Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 45 è, ñîîòâåòñòâåííî, t uC = -I m t 1 1 1 i dt + uC (0) = ò i dt = -I m cos (wt + y i ) ò C0 C0 wC sin y i cos y i (e a1t - e a2t ) - I m (a 2 e a1t - a 1 e a2t ). wC(a 1 - a 2 ) C(a 1 - a 2 ) Äëÿ êîìïëåêñíûõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ò. å. êîãäà d < w0 , ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ êîëåáàòåëüíûì.  ýòîì ñëó÷àå, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî a1,2 = –d ± jw¢, öåëåñîîáðàçíî ñîäåðæàùèåñÿ â âûøåïðèâåäåííûõ îáùèõ âûðàæåíèÿõ äëÿ i è uC ìíîæèòåëè çàïèñàòü â âèäå 1 1 (e a1t - e a2t ) = e - dt sin w' t; a1 - a 2 w' w 1 (a 1 e a1t - a 2 e a2t ) = 0 e - dt sin(w' t + q); w' a1 - a 2 w 1 (a 2 e a1t - a 1 e a2t ) = 0 e - dt sin(w' t - q), a1 - a 2 w' êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â § 9.8. Ïðè ýòîì âûðàæåíèÿ äëÿ i è uC ïðèìóò âèä ü w ùw é i = I m sin(wt + y i ) - êsin y i sin(w' t + q) + 0 cos y i sin w' t ú 0 I m e -dt ; ï w û w' ë ï ý (*) w0 Im ù Im é -dt ï uC = cos (wt + y i ) - êsin y i sin w' t + cos y i sin(w' t - q) ú Ime . ïþ wC w û w' C ë Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñëó÷àåâ, êîãäà w = w¢ è w è w¢ áëèçêè, íî íå ðàâíû äðóã äðóãó. Ïðè ýòîì çàòóõàíèå áóäåì ïðåäïîëàãàòü ìàëûì, ò. å. ñ÷èòàòü d << w0. Ïóñòü w = w¢. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî d << w0, ìîæåì ïîëàãàòü w » w0 è q » p/2; ïðè ýòîì ïîñëåäíèå óðàâíåíèÿ ïðèíèìàþò âèä I i » I m (1 - e -dt )sin(wt + y i ); uC » - m (1 - e -dt )cos (wt + y i ). wC Õàðàêòåðíàÿ îñîáåííîñòü ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî àìïëèòóäà êîëåáàíèé òîêà è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå ïîñòåïåííî íàðàñòàåò ñ ìîìåíòà âêëþ÷åíèÿ (t = 0) äî ñâîåãî óñòàíîâèâøåãîñÿ çíà÷åíèÿ (ðèñ. 9.23). Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî àìïëèòóäà óñòàíîâèâøåãîñÿ I U 1 íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå m = m ìîæåò çíàÐèñ. 9.23 wC z wC ÷èòåëüíî ïðåâçîéòè àìïëèòóäó ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ Um, òàê êàê ÷àñòîòà w = w¢ âåñüìà áëèçêà ê ÷àñòîòå ðåçîíàíñà w0, è, ñëåäîâàòåëüíî, åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå êîíäåíñàòîðà xC = 1/(wC) çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ñîïðîòèâëåíèå z âñåé öåïè ïðè ìàëîì çàòóõàíèè. 46 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà w è w¢ áëèçêè ïî çíà÷åíèþ, íî íå ðàâíû äðóã äðóãó. Òàê êàê çàòóõàíèå ìû ïðèíÿëè ìàëûì, òî â âûðàæåíèÿõ äëÿ i è uC ïðèáëèæåííî ìîæíî ïîëàãàòü w0/w¢ » 1, w0/w » 1. Ïðèíèìàÿ â ïåðâûå ïîñëå âêëþ÷åíèÿ ìîìåíòû âðåìåíè e–dt» 1, ïîëó÷èì æ w + w' ö æ w - w' ö i » I m [sin(wt + y i ) - sin(w' t + y i )] = 2 I m sin ç t ÷ cos ç t +yi ÷; è 2 è 2 ø ø Im I æ w - w' ö æ w + w' ö t ÷ sin ç [cos (wt + y i ) - cos (w' t + y i )] = 2 m sin ç t +yi ÷. wC wC 2 2 è ø è ø Ýòè âûðàæåíèÿ ñîâïàäàþò ñ ïîëó÷åííûìè ðàíåå â § 8.8, è, ñëåäîâàòåëüíî, â öåïè âîçíèêàþò áèåíèÿ êîëåáàíèé. Õàðàêòåð êðèâûõ áûë ïðèâåäåí íà ðèñ. 8.11. Ïîñòåïåííî âñëåäñòâèå õîòÿ è ìàëîãî, íî êîíå÷íîãî çàòóõàíèÿ áèåíèÿ ïðåêðàòÿòñÿ è â öåïè óñòàíîâÿòñÿ ñèíóñîèäàëüíûå êîëåáàíèÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà, ÷òî âèäíî èç óðàâíåíèé (*), òàê êàê ìíîæèòåëü e–dt ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. uC » 9.11. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû ïðè ìãíîâåííîì èçìåíåíèè ïàðàìåòðîâ ó÷àñòêîâ öåïè  ðåàëüíûõ öåïÿõ ïàðàìåòðû ó÷àñòêîâ öåïè èçìåíÿþòñÿ â òå÷åíèå êîíå÷íûõ, õîòÿ è âåñüìà ìàëûõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè Dt. Îäíàêî ïðè ðàñ÷åòå, àáñòðàãèðóÿñü îò äåéñòâèòåëüíîñòè, ÷àñòî ìîæåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïàðàìåòðû ó÷àñòêîâ èçìåíÿþòñÿ ìãíîâåííî, ò. å. ñêà÷êîì, íà îïðåäåëåííóþ âåëè÷èíó. Ýòî ìîæåò èìåòü ìåñòî ïðè çàìûêàíèè îòäåëüíûõ ó÷àñòêîâ íàêîðîòêî, ïðè ðàçìûêàíèè èëè âêëþ÷åíèè âåòâåé öåïè è ò. ä. Äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýòèõ ñëó÷àÿõ íåîáõîäèìî, òàê æå êàê è âî âñåõ ðàíåå ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ, ñîñòàâèòü äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ öåïè ïîñëå êîììóòàöèè è íàéòè èõ îáùåå ðåøåíèå.  ñëó÷àå ñêà÷êîîáðàçíîãî èçìåíåíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ r öåïè íà êîíå÷íóþ âåëè÷èíó íå âîçíèêàåò íèêàêèõ îñîáåííîñòåé â îòíîøåíèè îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ — òîêè â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèÿ â êîíäåíñàòîðàõ â ìîìåíò êîììóòàöèè íå èçìåíÿþòñÿ. Íåêîòîðûå îñîáåííîñòè äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ âîçíèêàþò ïðè ìãíîâåííûõ èçìåíåíèÿõ èíäóêòèâíîñòåé èëè åìêîñòåé, ÷òî áóäåò âèäíî èç äàëüíåéøåãî. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ïðè ìãíîâåííîì èçìåíåíèè ñîïðîòèâëåíèÿ r íà êîíå÷íóþ âåëè÷èíó íà ïðèìåðå öåïè, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 9.24. Ïóñòü ïðèëîæåííîå ê öåïè íàïðÿæåíèå ïîñòîÿííî è â ìîìåíò t = 0 ïðîèñõîäèò ðàçìûêàíèå êëþ÷à, ò. å. óâåëè÷åíèå ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè îò r1 äî r1 + r0. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå öåïè ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à Ðèñ. 9.24 èìååò âèä di (r1 + r0 )i + L = u. dt Åãî ðåøåíèå â ñîîòâåòñòâèè ñ èçëîæåííûì â § 9.5 áóäåò i = i' +Ae r +r - 1 0t L . Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 47 U = I 2 . Äëÿ r1 + r0 îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííîé A âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì i(+0) = i(–0). Åñëè äî ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à â öåïè ïðîòåêàë óñòàíîâèâøèéñÿ ïîñòîÿííûé òîê I1 = U/r1, ò. å. i(–0) = I1, òî Óñòàíîâèâøèéñÿ òîê i¢ ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à ðàâåí i¢ = i (+0) = I 1 = I 2 + A èëè A = I 1 - I 2 , îòêóäà i = I 2 + (I 1 - I 2 )e r +r - 1 0t L . Íà ðèñ. 9.25 ïðåäñòàâëåíà êðèâàÿ èçìåíåíèÿ òîêà i. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ïðè ñêà÷êîîáðàçíîì èçìåíåíèè èíäóêòèâíîñòè íà ïðèìåðå öåïè, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 9.26, â êîòîðîé â ìîìåíò t = 0 ïðîèñõîäèò ðàçìûêàíèå êëþ÷à. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå öåïè ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à èìååò âèä di (r1 + r2 )i + (L1 + L 2 ) = U , dt è åãî ðåøåíèå i = i' +Ae r +r - 1 2t L1 +L2 - Ðèñ. 9.25 t = i' +Ae t . (*) Ïîñòîÿííûé óñòàíîâèâøèéñÿ òîê i¢ îãðàíè÷èâàåòñÿ ñîïðîòèâëåíèÿìè r1 è r2 è ðàâåí U i' = . r1 + r2 Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé èíòåãðèðîâàíèÿ A íå ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ óñëîâèåì íåèçìåííîñòè òîêîâ â êàòóøêàõ L1 è L2 â ìîìåíòû t = –0 è t = +0. Äåéñòâèòåëüíî, â ìîìåíò t = –0 òîêè â êàòóøêàõ áûëè ðàçëè÷íû, à èìåííî i1L(–0) = U/r1 ¹ 0, ò. å. äî ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à â öåïè ïðîòåêàë ïîñòîÿííûé óñòàíîâèâøèéñÿ òîê, êîòîðûé îïðåäåëÿëñÿ ñîïðîòèâëåíèåì r1.  êàòóøêå æå L2 òîê îòñóòñòâîâàë è i2L(–0) = 0, ïîñêîëüêó â âåòâè ýòîé êàòóøêè èìååòñÿ êîíå÷íîå ñîïðîòèâëåíèå r2 è âåñü òîê ïðîõîäèë ïî âåòâè ñ êëþ÷îì, èìåâøåé ñîïðîòèâëåíèå, ðàâíîå íóëþ. Ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à â ìîìåíò t = +0 òîêè â îáåèõ êàòóøêàõ äîëæíû áûòü îäèíàêîâû. Ñëåäîâàòåëüíî, òîêè â êàòóøêàõ â ìîìåíò êîììóòàöèè äîëæíû ñêà÷Ðèñ. 9.26 êîì èçìåíèòüñÿ, ÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè ïîÿâëåíèè áåñêîíå÷íî áîëüøèõ íàïðÿæåíèé íà êàòóøêàõ. Òàê êàê ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå êîíå÷íî, à òàêæå êîíå÷íûìè îñòàþòñÿ ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà ñîïðîòèâëåíèÿõ r1 è r2 âñëåäñòâèå êîíå÷íûõ çíà÷åíèé òîêîâ, òî ñóììà íàïðÿæåíèé íà êàòóøêàõ îñòàåòñÿ êîíå÷íîé è, ñëåäîâàòåëüíî, ýòè 48 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé áåñêîíå÷íî áîëüøèå íàïðÿæåíèÿ â ìîìåíò êîììóòàöèè ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûìè è ïðîòèâîïîëîæíûìè, ò. å. di di L1 1 = -L 2 2 ï ðè -0 < t < +0. dt dt Èíòåãðèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî â ïðåäåëàõ îò t = –0 äî t = +0, íàõîäèì t =+0 t =+0 di di2 L1 ò 1 dt = -L 2 ò dt dt dt t =-0 t =-0 èëè i1 L (+0 ) L1 i2 L (+0 ) ò di 1 i1 L ( -0 ) (**) = -L 2 ò di 2 , i2 L ( -0 ) ò. å. L1 [i1L (+0) - i1L (-0)] = -L 2 [i2 L (+0) - i2 L (-0)], èëè L1 Di1 = -L 2 Di2 , èëè DY1 + DY2 = 0. Òàê êàê i1L (+0) = i2 L (+0) = i(+0) è i2 L (-0) = 0, òî (L1 + L 2 ) i(+0) = L1 i1L (-0). Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà, à òàêæå èç ðàâåíñòâà DY1 + DY2 = 0 âèäíî, ÷òî â ïðîöåññå êîììóòàöèè îñòàëàñü íåèçìåííîé ñóììà ïîòîêîñöåïëåíèé ñ îáåèìè êàòóøêàìè. Íàéäÿ èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ òîê i(+0) L1 L1 U i(+0) = i1L (-0) = , L1 + L 2 r1 L1 + L 2 îïðåäåëÿåì ïîñòîÿííóþ A èç âûðàæåíèÿ (*): L1 U U = + A. r1 L1 + L 2 r1 + r2 Òàêèì îáðàçîì, t t r1+r 2 æU L1 U U ö - L1+L2 t ÷e i = i' +Ae = + çç . r1 + r2 è r1 L1 + L 2 r1 + r2 ÷ø Ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî êîììóòàöèÿ ïðîèñõîäèò çà áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè (Dt ® 0), òåîðåòè÷åñêè ïðèâåëî ê ïîÿâëåíèþ áåñêîíå÷íî áîëüøèõ íàïðÿæåíèé íà êàòóøêàõ, ò. å. ýòè íàïðÿæåíèÿ ïðèíÿëè âèä èìïóëüñîâ áåñêîíå÷íî áîëüøîé àìïëèòóäû, äëÿùèõñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè (Dt ® 0) (ðèñ. 9.27). Îäíàêî èíòåãðàëû (**) ýòèõ èìïóëüñîâ çà âðåìÿ êîììóòàöèè èìåþò êîíå÷íûå çíà÷åíèÿ è ðàâíû ïðèðàùåíèÿì ïîòîêîñöåïëåíèé â êàòóøêàõ DY1 è DY2. - Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 49 Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ýíåðãèÿ, çàïàñåííàÿ â ìàãíèòíîì ïîëå ïåðâîé êàòóøêè äî êîììóòàöèè, 2 ö ÷÷ ø áîëüøå ýíåðãèè, çàïàñåííîé â ìàãíèòíûõ ïîëÿõ îáåèõ êàòóøåê ïîñëå êîììóòàöèè: L L æU W ì (-0) = 1 [i1L (-0)] 2 = 1 çç 2 2 è r1 2 L1 L + L2 L æU ö W ì (+0) = 1 [i(+0)] 2 = 1 çç ÷÷ . 2 2 è r1 ø L1 + L 2 Ðàçíîñòü ýòèõ ýíåðãèé ðàñõîäóåòñÿ íà íåîáðàòèìûå ïðîöåññû âî âðåìÿ êîììóòàöèè, õîòÿ äëèòåëüíîñòü êîììóòàöèè áåñêîíå÷íî ìàëà. Ýòî âîçìîæíî, òàê êàê íà ó÷àñòêàõ öåïè ðàçâèâàþòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèå ìîùíîñòè. Òàêèå ðåçóëüòàòû — èòîã ïðåäåëüíîé èäåàëèçàöèè ÿâëåíèÿ.  äåéñòâèòåëüíîñòè ñîïðîòèâëåíèå êëþ÷à íå ìîæåò ìåíÿòüñÿ ñêà÷êîì îò íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè, òàê êàê áîëüøèå íàïðÿæåíèÿ ìåæäó êîíòàêòàìè êëþ÷à âûçîâóò ìåæäó íèìè ýëåêòðè÷åñêóþ èñêðó èëè ýëåêòðè÷åñêóþ äóãó. Êðîìå òîãî, âñÿêàÿ êàòóøêà îáëàäàåò ðàñïðåäåëåííîé åìêîñòüþ ìåæäó åå Ðèñ. 9.27 âèòêàìè, òàê æå êàê èìååòñÿ åìêîñòü ìåæäó ðàñõîäÿùèìèñÿ êîíòàêòàìè êëþ÷à; ïîýòîìó ïðîöåññ êîììóòàöèè ñîâåðøàåòñÿ â êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè Dt, â òå÷åíèå êîòîðîãî çàâåðøàåòñÿ áûñòðî ïðîòåêàþùèé ïåðåõîäíûé ïðîöåññ îò ìîìåíòà íà÷àëà äî ìîìåíòà êîíöà êîììóòàöèè. Ýòîò ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèé ïàðàìåòðîâ ìîæåò áûòü àïåðèîäè÷åñêèì èëè êîëåáàòåëüíûì ñ î÷åíü âûñîêîé ÷àñòîòîé, è ðàçíîñòü ýíåðãèé Wì(–0) – Wì(+0) ðàñõîäóåòñÿ â ñîïðîòèâëåíèÿõ öåïè, â ÷àñòíîñòè â ñîïðîòèâëåíèÿõ ìåæäó êîíòàêòàìè êëþ÷à, èëè íà èçëó÷åíèå ïðè î÷åíü âûñîêîé ÷àñòîòå. Ýòîò ïðîöåññ, ïðîõîäÿùèé çà âðåìÿ Dt, ïðè îòìå÷åííîé âûøå èäåàëèçàöèè íå ðàññìàòðèâàåì. Íî åñëè åãî ðàññìîòðåòü, òî áóäóò ñïðàâåäëèâû ñôîðìóëèðîâàííûå â § 9.4 ôèçè÷åñêèå óñëîâèÿ êîììóòàöèè — íåèçìåííîñòü òîêîâ â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèé íà êîíäåíñàòîðàõ, à òàêæå íåèçìåííîñòü ýíåðãèé, çàïàñåííûõ â êàòóøêàõ è êîíäåíñàòîðàõ. Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî, ñîáëþäàÿ óñëîâèå L1/r1 = L2/r2, ïîëó÷èì A = 0, ò. å. íîâîå óñòàíîâèâøååñÿ çíà÷åíèå ïîñòîÿííîãî òîêà ïîëó÷àåòñÿ ñðàçó ïîñëå êîììóòàöèè. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî, åñëè íàì æåëàòåëüíî â î÷åíü êîðîòêèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè Dt èçìåíèòü ïîñòîÿííûé òîê â êàòóøêå. Åñòåñòâåííî, èçîëÿöèÿ êàòóøåê äîëæíà âûäåðæèâàòü Ðèñ. 9.28 èìïóëüñû âûñîêîãî íàïðÿæåíèÿ. Ðàññìîòðèì ïðîöåññ â öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 9.28, ïðè çàìûêàíèè êëþ÷à, ò. å. ïðîöåññ ïðè ñêà÷êîîáðàçíîì èçìåíåíèè åìêîñòè îò C1 äî C1 + C2, ïðåäïî- 50 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ëàãàÿ, ÷òî âåòâè ñ êîíäåíñàòîðàìè C1 è C2 íå èìåþò èíäóêòèâíîñòåé è ñîïðîòèâëåíèé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äî çàìûêàíèÿ êëþ÷à êîíäåíñàòîð C1 áûë çàðÿæåí äî íàïðÿæåíèÿ U, à êîíäåíñàòîð C2 íå áûë çàðÿæåí. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå öåïè ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à ïðèìåò âèä du ri + uC = U èëè r (C1 + C 2 ) C + uC = U dt è èìååò ðåøåíèå - t uC = uÑ¢ + Ae t , (***) ãäå uÑ¢ = U è t = r (C1 + C2). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ À íåëüçÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ óñëîâèåì íåèçìåííîñòè íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ C1 è C2 â ìîìåíòû t = –0 è t = +0, òàê êàê ïðè t = –0 áûëî u1C(–0) = U ¹ 0 è u2C (–0) = 0, à ïðè t = +0 èìååì u1C(+0) = u2C(+0). Ñëåäîâàòåëüíî, íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ â ìîìåíò êîììóòàöèè äîëæíû ñêà÷êîì èçìåíèòüñÿ, ÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè ïîÿâëåíèè â âåòâÿõ C1 è C2 èìïóëüñîâ òîêà áåñêîíå÷íîé àìïëèòóäû è áåñêîíå÷íî ìàëîé äëèòåëüíîñòè. Òàê êàê ñóììàðíûé òîê i îñòàåòñÿ êîíå÷íûì, òî ýòè èìïóëüñû ðàâíû ïî àìïëèòóäå è ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó, ò. å. du du 2C C1 1C = - C 2 ïðè -0 < t < +0. dt dt Èíòåãðèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî â ïðåäåëàõ îò t = –0 äî t = +0, íàõîäèì u1C (+0 ) C1 u2C (+0 ) ò du 1C u1C ( -0 ) = - C2 ò du 2C , u2C ( -0 ) ò. å. C1 [u1C (+0) - u1C (-0)] = - C 2 [u 2C (+0) - u 2C (-0)], èëè C1 Du1C = - C 2 Du 2C èëè Dq1 + Dq2 = 0. Òàê êàê u1C (+0) = u2C (+0) = uC (+0), è u2C (–0) = 0, òî (C1 + C 2 )uC (+0) = C1u1C (-0). Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà, à òàêæå èç ðàâåíñòâà Dq1 + Dq2 = 0 âèäíî, ÷òî â ïðîöåññå êîììóòàöèè îñòàëàñü íåèçìåííîé ñóììà çàðÿäîâ îáîèõ êîíäåíñàòîðîâ. Íàéäÿ èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ íàïðÿæåíèå uC (+0): C1 C1 uC (+0) = u1C (-0) =U , C1 + C 2 C1 + C 2 îïðåäåëèì ïîñòîÿííóþ À èç âûðàæåíèÿ (***). Ïîëó÷èì t t t ö æ C1 = U + U çç - 1 ÷÷ e t . ø è C1 + C 2 Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðà Ñ1 äî êîììóòàöèè uC = uÑ¢ + Ae - Wý(–0) = C1U2/2 Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 51 áîëüøå ýíåðãèè, çàïàñåííîé â îáîèõ êîíäåíñàòîðàõ ïîñëå êîììóòàöèè: W ý (+0) = C1 + C 2 C U 2 C1 [uC (+0)] 2 = 1 . 2 2 C1 + C 2  äåéñòâèòåëüíîñòè ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû ïðè êîììóòàöèè ïðîèñõîäÿò è â ýòîé öåïè çà êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè è èìåþò õàðàêòåð, àíàëîãè÷íûé ðàññìîòðåííîìó â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå. 9.12. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ñëîæíîé öåïè Îáùóþ ìåòîäèêó ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ñëîæíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ðàññìîòðèì íà ïðèìåðàõ öåïåé, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 9.29 è 9.30. Ðèñ. 9.29 Ðèñ. 9.30 1. Ïðèìåíèì ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ äëÿ öåïè (ðèñ. 9.29), îáðàçîâàâøåéñÿ ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à. Èìååì di di ü (r1 + r3 )i1 + (L1 + L 3 ) 1 + r3 i2 + L 3 2 = e1 ; ï dt dt ï (*) ý t di2 1 di1 ï + (r2 + r3 )i2 + L 3 + i2 dt + uC (0) = e2 . r3 i1 + L 3 ïþ dt C ò0 dt Ðåøèì ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî êîíòóðíîãî òîêà i1. Îáîçíà÷èì îïåðàöèþ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ áóêâîé D = d/dt è îïåðàöèþ èíòåãðèðîâàíèÿ îò 0 äî t ÷åðåç 1/D. Òîãäà, êàê èçâåñòíî èç êóðñà ìàòåìàòèêè, äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìîæíî, îïåðèðóÿ ýòèì ñèìâîëîì êàê íåêîòîðîé âåëè÷èíîé, ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî îäíîé íåèçâåñòíîé. Èìååì [r1 + r3 + (L1 + L 3 )D ] i1 + (r3 + L 3 D )i2 = e1 ; æ 1 ö ÷ i2 = e2 - uC (0). (r3 + L 3 D ) i1 + çç r2 + r3 + L 3 D + C 2 D ÷ø è Óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà r2 + r3 + L3D +1/(C2D), à âòîðîå — íà r3 + L3D è âû÷òåì èç ïåðâîãî âòîðîå. Ïîëó÷èì æ 1 ö ÷÷ i1 - (r3 + L 3 D ) 2 i1 = [r1 + r3 + (L1 + L 3 )D ] çç r2 + r3 + L 3 D + C D ø è 2 æ 1 ö ÷ e1 - (r3 + L 3 D )[e2 - uC (0)] = çç r2 + r3 + L 3 D + C 2 D ÷ø è 52 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé èëè, îáîçíà÷àÿ L1 L 3 = a3 ; L1 (r2 + r3 ) + L 3 (r1 + r2 ) = a2 ; (r1 r2 + r2 r3 + r3 r1 ) + L1 + L 3 = a1 ; C2 r1 + r3 = a0 , C2 íàõîäèì a3 D 3 i1 + a2 D 2 i1 + a1 Di1 + a0 i1 = = L 3 D 2 e1 + (r2 + r3 )De1 + 1 e1 - L 3 D 2 [e2 - uC (0)] - r3 D [e2 - uC (0)]. C2 Èìåÿ â âèäó, ÷òî d 3i d 2i di dA 2 ; = ; Di = è DA = = 0 (A = const), D i 3 2 dt dt dt dt ïîëó÷èì èñêîìîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî òîêà i1: D 3i = d 2 e2 de di1 d 2 e1 de1 + = + + b e c - c1 2 . a i b b 1 2 1 1 2 2 2 3 2 dt dt dt dt dt dt dt Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïðèìåò âèä a3 a 3 + a2 a 2 + a1a + a0 = 0. Äàííîå óðàâíåíèå èìååò òðè êîðíÿ: a1, a2, a3 — è, ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ñâîáîäíîãî òîêà i1¢¢ ìîæåì íàïèñàòü a3 d 3 i1 + a2 d 2 i1 + a1 i1¢¢ = A11 e a1t + A12 e a2t + A13 e a3t . Òàê æå êàê â § 9.2, ïåðâûé èíäåêñ ó ïîñòîÿííûõ Aks îòíîñèòñÿ ê èñêîìîìó òîêó, à âòîðîé — ê êîðíÿì óðàâíåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëíîå ðåøåíèå äëÿ òîêà i1 áóäåò i1 = i1¢ + A11 e a1t + A12 e a2t + A13 e a3t . Êàê áûëî îòìå÷åíî â § 9.4, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ A11, À12, À13 íåîáõîäèìî çíàòü i1 è åãî ïðîèçâîäíûå di1/dt è d 2i1 /dt2 â ìîìåíò âðåìåíè t = 0, êîòîðûå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç çíà÷åíèÿ òîêîâ â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèé íà êîíäåíñàòîðàõ äî ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à: i1L(–0), i3L(–0) è uC (–0), à òàêæå ÷åðåç òîê i1¢ óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ïðè t = +0. Çíà÷åíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå îïðåäåëÿþòñÿ ïî ìåòîäàì, èçëîæåííûì â ãë. 5 è 8, â çàâèñèìîñòè îò âèäà ÝÄÑ e1 è e2. Çíà÷åíèÿ i1(–0), i2(–0) è uC (–0) áóäåì ñ÷èòàòü çàäàííûìè, òàê êàê èõ ëåãêî ðàññ÷èòàòü äëÿ öåïè ñ çàìêíóòûì êëþ÷îì.  ìîìåíò êîììóòàöèè îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè òîêè â èíäóêòèâíûõ êàòóøêàõ. Ïîñêîëüêó i1L = i1 è i3L = i2 + i1, òî èìååì i1(+0) = i1L(–0), i1(+0) + i2(+0) = i3L(0) = 0 èëè i2(+0) = –i1(+0). Äëÿ íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå ïîëó÷èì uC(+0) = uC(–0). Çàìåòèì, ÷òî â îòíîøåíèè íà÷àëüíûõ óñëîâèé çäåñü íå âîçíèêàåò îñîáåííîñòåé, îòìå÷åííûõ ïðè ðàññìîòðåíèè âòîðîãî ïðèìåðà â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå. Õîòÿ â äàííîì ñëó÷àå òàêæå ðàçìûêàåòñÿ êëþ÷, çàìûêàâøèé âåòâü ñ èíäóêòèâ- Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 53 íîñòüþ, íî òðåáîâàíèå, ÷òîáû ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à òîêè â îáåèõ êàòóøêàõ ñòàëè ðàâíûìè äðóã äðóãó, îòñóòñòâóåò, òàê êàê åñòü ïóòü äëÿ òîêà ÷åðåç âòîðóþ âåòâü, â êîòîðîé íåò èíäóêòèâíîñòè è â êîòîðîé òîê ìîæåò ìåíÿòüñÿ ñêà÷êîì. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ òîêà i1 â ýòîì ñëó÷àå ïðîùå âñåãî ïîñòóïèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âû÷èòàÿ âòîðîå óðàâíåíèå (*) èç ïåðâîãî, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà ïî êîíòóðó, îõâàòûâàþùåìó îáà èñòî÷íèêà ÝÄÑ: t di 1 r1 i1 + L1 1 - ò i2 dt - uC (0) - r2 i2 = e1 - e2 . dt C 0 di1 ïðè t = 0: dt Îòñþäà îïðåäåëèì L1 æ di ö L1 ç 1 ÷ = e1 (0) - e2 (0) - r1 i1 (0) + uC (0) + r2 i2 (0). è dt ø t =0 Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïîñëåäíåå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì e1¢ - e¢2 = r1 di1 d 2i i di + L1 21 - 2 - r2 2 . dt C dt dt  ýòîì óðàâíåíèè â ìîìåíò t = 0 íåèçâåñòíû d 2 i1 2 è di2 . dt dt æ di2 ö Îïðåäåëèì ç ÷ èç âòîðîãî êîíòóðíîãî óðàâíåíèÿ (*): è dt ø t =0 di ö di ö æ æ ç L 3 2 ÷ = e2 (0) - r3 [i1 (0) + i2 (0)] - i2 (0) r2 - ç L 3 1 ÷ - uC (0). dt ø t =0 dt ø t =0 è è æ di ö Ïîäñòàâëÿÿ ç 2 ÷ â ïðåäûäóùåå âûðàæåíèå, ïîëó÷èì çíà÷åíèå âòîðîé ïðîè dt ø t =0 èçâîäíîé òîêà i1 ïðè t = 0. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííûõ èìååì i1 (0) = i1¢ (0) + A11 + A12 + A13 ; æ di1 ö æ di¢ ö ç ÷ = ç 1 ÷ + a 1 A11 + a 2 A12 + a 3 A13 ; è dt ø t =0 è dt ø t =0 æ d 2 i1 ç ç dt 2 è æ d 2 i1¢ ö ÷ =ç ç 2 ÷ ø t =0 è dt ö ÷ + a 12 A11 + a 22 A12 + a 23 A13 , ÷ ø t =0 ãäå âåëè÷èíû, ñòîÿùèå ñëåâà, óæå îïðåäåëåíû. Ðåøàÿ ñîâìåñòíî ýòè òðè óðàâíåíèÿ, íàéäåì ïîñòîÿííûå A11, A12, A13 . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîêà i2, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ êîòîðîãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå i2 = i¢2 + A 21 e a1t + A 22 e a2t + A 23 e a3t , 54 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ìîæíî ïðîèçâåñòè àíàëîãè÷íûå ðàñ÷åòû, ïðè÷åì âûðàæåíèå äëÿ (d 2i2/dt 2)t=0 ëåãêî îïðåäåëèòü ïî èçâåñòíîé (d 2i1/dt 2)t=0 è ïî îñòàëüíûì âåëè÷èíàì, îïðåäåëåííûì âûøå äëÿ i1. 2.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàñ÷åòà öåïè ñî âçàèìíîé èíäóêöèåé ðàññìîòðèì ðàñ÷åò öåïè, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 9.30. Óðàâíåíèÿ äëÿ ýòîé öåïè èìåþò âèä di di di di i1 r1 + L1 1 + M 2 = u; M 1 + r2 i2 + L 2 2 = 0. dt dt dt dt Îáîçíà÷àÿ d/dt = D, ðåøèì ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî i1. Ïîëó÷èì (r1 + L1 D )(r2 + L 2 D )i1 - M 2 D 2 i1 = (r2 + L 2 D )u èëè (L1 L 2 - M 2 )D 2 i1 + (r1 L 2 + r2 L1 )Di1 + r1 r2 i1 = L 2 Du + r2 u. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî Dni = d ni/dt n, íàõîäèì d 2 i1 di1 du + r1 r2 i1 = r2 u + L 2 . dt dt dt Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä (L1 L 2 - M 2 ) 2 + (r1 L 2 + r2 L1 ) (**) (L1 L 2 - M 2 )a 2 + (r1 L 2 + r2 L1 )a + r1 r2 = 0, îòêóäà äëÿ äâóõ åãî êîðíåé a1 è a2 ïîëó÷àåì a 1, 2 = - r1 L 2 + r2 L1 2 L1 L 2 (1 - k 2 ) 2 ± é r1 L 2 + r2 L1 ù r1 r2 , ú ê 2 L1 L 2 (1 - k 2 ) ë2(1 - k )L1 L 2 û ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî M 2 = k2L1L2. Ïóñòü âêëþ÷åíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ è = U = const. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ (**), ïîëàãàÿ â íåì âñå ïðîèçâîäíûå è òîêîâ è íàïðÿæåíèé ðàâíûìè íóëþ, ïîëó÷èì òîê óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà i¢ = U/r1, ÷òî íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò òàêæå èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîêà i1 èìååì âûðàæåíèå U i1 = i1¢ + i1¢¢ = + A11 e a1t + A12 e a2t . r1 Ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå îïðåäåëèì, èìåÿ â âèäó, ÷òî i1 (+0) = i1 (-0) = 0; i2 (+0) = i2 (-0) = 0. Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ìîìåíòà t = 0 íàõîäèì ri2(0) = 0 è æ di ö æ di ö æ di ö M æ di1 ö M ç 1 ÷ = -L 2 ç 2 ÷ èëè ç 2 ÷ = ç ÷ . L 2 è dt ø t =0 è dt ø t =0 è dt ø t =0 è dt ø t =0 Ïîäñòàâèâ ïîñëåäíåå â óðàâíåíèå äëÿ ïåðâîãî êîíòóðà, íàéäåì ïðè t = 0 æ M2 ç L1 ç L2 è ö æ di1 ö æ di1 ö U ÷ç ÷ dt ÷ = U èëè ç dt ÷ = L (1 - k 2 ) . ø t =0 è ø t =0 øè 1 Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 55 Òàêèì îáðàçîì, ïðè t = 0 èìååì i1 (0) = 0 = U + A11 + A12 ; r1 æ di1 ö U = a 1 A11 + a 2 A12 , ç ÷ = 2 è dt ø t =0 L1 (1 - k ) îòêóäà, îïðåäåëèâ A11 è A12, äëÿ i1 ïîëó÷èì U U U (e a1t - e a2t ) + (a 2 e a1t - a 1 e a2t ). i1 = + 2 r1 L1 (1 - k )(a 1 - a 2 ) r1 (a 1 - a 2 ) Èìåÿ â âèäó, ÷òî i¢2 = 0, íàõîäèì i2 = A 21 e a1t + A 22 e a2t . Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïðè t = 0: æ di ö M æ di1 ö UM . i2 (0) = 0; ç 2 ÷ = ç ÷ =L 2 è dt ø t =0 L1 L 2 (1 - k 2 ) è dt ø t =0 Ñëåäîâàòåëüíî, UM 0 = A 21 + A 22 è = a 1 A 21 + a 2 A 22 , L1 L 2 (1 - k 2 ) îòêóäà UM ; A 21 = -A 22 = L1 L 2 (1 - k 2 )(a 1 - a 2 ) i2 = - UM (e a1t - e a2t ). L1 L 2 (1 - k 2 )(a 1 - a 2 ) Çàâèñèìîñòè i1è i2 îò âðåìåíè ïðèâåäåíû íà ðèñ. 9.31. Êàê âèäíî èç âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíîé òîêà i1, â ïåðâûé ìîìåíò âðåìåíè òîê i1 ðàñòåò áûñòðåå ïî ñðàâíåíèþ ñî ñëó÷àåì, êîãäà âòîðè÷íûé êîíòóð ðàçîìêíóò èëè êîãäà k = 0. Ïîñêîëüêó ïðîèçâîäíàÿ òîêà i2 çíàêîïåðåìåííà, òî óáûñòðåíèå ïðîöåññà íàðàñòàíèÿ òîêà i1 ïðîèñõîäèò íå âñå âðåìÿ. Ñïóñòÿ íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, êîãäà ïðîèçâîäíàÿ òîêà i2 ìåíÿåò çíàê, íàëè÷èå âòîðè÷íîãî êîíòóðà, íàîáîðîò, ïðèâîäèò ê çàìåäëåíèþ ðîñòà òîêà i1 â ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè. Äëÿ ñðàâíåíèÿ íà ðèñ. 9.31 øòðèõîâîé ëèíèåé ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü i1(t) ïðè îòñóòñòâèè ìàãíèòíîé ñâÿçè. Ðèñ. 9.31 9.13. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ìåòîäîì ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ Ïðèâåäåííûå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî ôîðìèðîâàíèå è ðåøåíèå óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ïåðåõîäíûå ïðîöåññû, äàæå äëÿ ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûõ öåïåé îêàçûâàþòñÿ âåñüìà òðóäîåìêèìè.  ñâÿçè ñ ýòèì áîëü- Ãëàâà äåñÿòàÿ Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â öåïÿõ ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè îïåðàòîðíûì ìåòîäîì 10.1. Îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå ôóíêöèé, èõ ïðîèçâîäíûõ è èíòåãðàëîâ  ïðåäûäóùåé ãëàâå áûë èçëîæåí êëàññè÷åñêèé ìåòîä ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè. Òàêèå ïðîöåññû îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ýòè óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ïðîèíòåãðèðîâàíû òàêæå î ï å ð à ò î ð í û ì ì å ò î ä î ì. Õåâèñàéä ïðèìåíèë ýòîò ìåòîä â êîíöå 19-ãî ñòîëåòèÿ ê ðàñ÷åòó ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ. Ïðè ýòîì Õåâèñàéä, íå ññûëàÿñü íà ïðåäûäóùèå ìàòåìàòè÷åñêèå ðàáîòû â ýòîé îáëàñòè, íå ïðèâîäèò è ìàòåìàòè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ ìåòîäà. Ïðè èñïîëüçîâàíèè îïåðàòîðíîãî ìåòîäà äåéñòâèòåëüíûå ôóíêöèè âðåìåíè, íàçûâàåìûå î ð è ã è í à ë à ì è, çàìåíÿþò èõ î ï å ð à ò î ð í û ì è è ç î á ð à æ å í è ÿ ì è. Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îðèãèíàëîì è èçîáðàæåíèåì óñòàíàâëèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ îðèãèíàëîâ çàìåíÿëèñü àëãåáðàè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè íàä èõ èçîáðàæåíèÿìè.  òàêîì ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ îðèãèíàëîâ ïåðåõîäÿò â àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ èõ èçîáðàæåíèé. Ñâÿçü ìåæäó îðèãèíàëîì f(t) è åãî èçîáðàæåíèåì óñòàíàâëèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ëàïëàñà: ¥ F ( p) = ò f (t) e - pt dt, ãäå ð = s + jh — êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå äåéñòâèòåëüíîé ôóíêöèè âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ð. Äëÿ òîãî ÷òîáû èíòåãðàë Ëàïëàñà èìåë êîíå÷íîå çíà÷åíèå, ôóíêöèÿ f(t) äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü îïðåäåëåííûì óñëîâèÿì. Îíà äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì Äèðèõëå, ò. å. çà ëþáîé êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè èìåòü êîíå÷íîå ÷èñëî ðàçðûâîâ ïåðâîãî ðîäà è êîíå÷íîå ÷èñëî ìàêñèìóìîâ è ìèíèìóìîâ. Êðîìå òîãî, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè t > 0 óäîâëåòâîðÿåòñÿ óñëîâèå |f(t)| < Aeat, ãäå A è a — íåêîòîðûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Èíûìè ñëîâàìè, ìîæíî âûáðàòü A è a òàê, ÷òîáû ìîäóëü ôóíêöèè f(t) âîçðàñòàë ìåäëåííåå, ÷åì Aeat. Âñå ðåàëüíûå òîêè è íàïðÿæåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò ýòèì óñëîâèÿì. Äëÿ òîãî ÷òîáû èíòåãðàë Ëàïëàñà èìåë êîíå÷íîå çíà÷åíèå, íåîáõîäèìî ïîëàãàòü s > a. Êîìïëåêñíîå ÷èñëî ð íàçûâàþò î ï å ð à ò î ð î ì. Óñëîâèìñÿ çàïèñûâàòü ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà òàêæå â âèäå 94 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé F ( p) = ¸ [ f (t)]. Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îðèãèíàëîì è èçîáðàæåíèåì çàïèñûâàåòñÿ óñëîâíî â âèäå F ( p) Þ f (t). Çàìåòèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ïðèìåíèìî íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà t = +0. Äàëåå, îáîçíà÷àÿ íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè è åå ïðîèçâîäíûõ ÷åðåç f(0), f ¢(0), f ² (0), ..., f (n)(0), áóäåì ïîíèìàòü ïîä íèìè èõ çíà÷åíèÿ ïðè t = +0. Ñóùåñòâóåò îáðàòíîå ôóíêöèîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå, äàþùåå âîçìîæíîñòü îïðåäåëèòü îðèãèíàë ïî åãî èçîáðàæåíèþ. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå, íîñÿùåå íàçâàíèå îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà, èìååò âèä s + j¥ 1 0 F ( p) e pt dp = f (t), ãäå p = s 0 + jh. ò 2 pj s - j¥ Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà êðàòêî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ¸ -1 [F ( p)] = f (t).  ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ïðàêòèêå ðàñïðîñòðàíåíî òàêæå ôóíêöèîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå, íàçûâàåìîå ïðåîáðàçîâàíèåì ïî Êàðñîíó, èìåþùåå âèä ¥ p ò f (t) e - pt dt = pF ( p) = F( p). Äîñòîèíñòâîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî Êàðñîíó ÿâëÿåòñÿ îäèíàêîâîñòü ðàçìåðíîñòåé îðèãèíàëà è èçîáðàæåíèÿ. Ýòî âèäíî èç òîãî, ÷òî ïðîèçâåäåíèå pt äîëæíî áûòü áåçðàçìåðíûì.  ñëó÷àå æå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî Ëàïëàñó ðàçìåðíîñòü èçîáðàæåíèÿ ðàâíà ðàçìåðíîñòè îðèãèíàëà, óìíîæåííîé íà ðàçìåðíîñòü âðåìåíè. Äîñòîèíñòâîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî Ëàïëàñó ÿâëÿåòñÿ åãî ñîîòâåòñòâèå ïðåîáðàçîâàíèþ Ôóðüå, íà êîòîðîì îñíîâûâàåòñÿ øèðîêî èñïîëüçóåìûé â íàñòîÿùåå âðåìÿ ÷àñòîòíûé ìåòîä àíàëèçà öåïåé è êîòîðûé áóäåò èçëîæåí â ãë. 11. Èñõîäÿ èç ïîñëåäíåãî ñîîáðàæåíèÿ, à òàêæå èç òîãî, ÷òî â çíà÷èòåëüíîé ÷àñòè ñîâðåìåííîé ëèòåðàòóðû ïðèìåíÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå ïî Ëàïëàñó, â äàëüíåéøåì áóäåì òàêæå ïîëüçîâàòüñÿ ýòèì ïðåîáðàçîâàíèåì. d Ïîëó÷èì èçîáðàæåíèå ïðîèçâîäíîé [f(t)] = f ¢(t). Èìååì dt ¥ f ' (t) Þ ò f ' (t) e - pt dt. Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì è ó÷èòûâàÿ, ÷òî, ñîãëàñíî íàëîæåííûì íà f(t) óñëîâèÿì, [e–ptf(t)]t=¥ = 0, ïîëó÷àåì ¥ ¥ f ' (t) Þ e - pt f (t) + p ò e - pt f (t) dt = pF ( p) - f (0).  ÷àñòíîì ñëó÷àå, ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì óñëîâèè, êîãäà f(0) = 0, äëÿ èçîáðàæåíèÿ ïðîèçâîäíîé èìååì Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì 95 f ' (t) Þ pF ( p). Èçîáðàæåíèå âòîðîé ïðîèçâîäíîé é f (0) f ' (0) ù f " (t) Þ p [ pF ( p) - f (0)] - f ' (0) = p 2 êF ( p) ú. p p2 û ë Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ïðîèçâîäíîé ïîðÿäêà n ïîëó÷àåì é f (0) f ' (0) f " (0) f ( n -1) (0) ù f ( n ) (t) Þ p n êF ( p) K ú. p p2 p3 pn û ë  ÷àñòíîñòè, ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, åñëè ïðè t = 0 ñàìà ôóíêöèÿ f(t) è âñå åå ïðîèçâîäíûå äî (ï – 1)-é âêëþ÷èòåëüíî ðàâíû íóëþ, èìååì f ( n ) (t) Þ p n F ( p). t ò f (t) dt. Íàéäåì òåïåðü èçîáðàæåíèå èíòåãðàëà y(t) = Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå èçîáðàæåíèÿ ôóíêöèè y(t) ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ëàïëàñà è èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷àåì ¥ Y( p) = ò y (t)e - pt dt = -y (t) 1 - pt e p ¥ ¥ + 1 y' (t)e - pt dt. p ò0 Ïåðâîå ñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ, òàê êàê ôóíêöèÿ y(t) äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü t óñëîâèþ | e–pty(t)|t=¥ = 0, à ïðè t = 0 áóäåò y(t) = ò f (t) dt = 0. Âòîðîå ñëàãàåìîå 1 ðàâíî F(p), òàê êàê y¢(t) = f(t) è f(t) Þ F(p). Òàêèì îáðàçîì, èçîáðàæåíèå èíòåp ãðàëà, âçÿòîãî â ïðåäåëàõ îò 0 äî t, áóäåò t ò f (t) dt Þ F ( p) . p Èòàê, ìû óáåäèëèñü, ÷òî, èçîáðàæàÿ ôóíêöèè âðåìåíè f(t) ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ëàïëàñà, îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ ýòèõ ôóíêöèé çàìåíÿåì àëãåáðàè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè íàä èçîáðàæåíèÿìè ýòèõ ôóíêöèé.  äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñ ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè ÷àùå âñåãî âñòðå÷àåìñÿ â âûðàæåíèè äëÿ íàïðÿæåíèÿ uL íà êàòóøêå: di u L = L . Îáîçíà÷àÿ îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå òîêà i(t) â âèäå I(p), ïîëó÷àåì ñîdt ãëàñíî âûøåèçëîæåííîìó îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå äëÿ èL(t): U L ( p) = pLI ( p) - Li(0). Ñ èíòåãðàëîì ÷àùå âñåãî âñòðå÷àåìñÿ â âûðàæåíèè íàïðÿæåíèÿ èC íà êîít 1 äåíñàòîðå: èC = ò i dt + uC (0). C0 96 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé Èçîáðàæåíèå ïåðâîãî ñëàãàåìîãî ñîãëàñíî èçëîæåííîìó áóäåò I(p)/(pC). Âòîðîå ñëàãàåìîå èC(0) ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé è èìååò èçîáðàæåíèå ¥ - pt ò uC (0) e dt = 0 uC (0) - pt e p ¥ = uC (0) . p Ñëåäîâàòåëüíî, â îáùåì ñëó÷àå ïðè íåíóëåâîì íà÷àëüíîì óñëîâèè èçîáðàæåíèå íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå èC(t) èìååò âèä I ( p) uC (0) U C ( p) = + . pC p Òàêèì îáðàçîì, ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé öåïè â îïåðàòîðíîé ôîðìå àâòîìàòè÷åñêè áóäóò ó÷èòûâàòüñÿ âñå ôèçè÷åñêèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ — çíà÷åíèÿ òîêîâ â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ ïðè t = 0. 10.2. Ïðèìåðû èçîáðàæåíèé ôóíêöèé Èçîáðàæåíèå ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû A èìååò âèä ¥ ¥ A - pt A - pt = = , Ae dt e ò p p ò. å. ¸[A] = A p èëè À Þ A/p. Ïóñòü f(t) = eat, òîãäà ¥ ¥ F ( p) = ò e at e - pt dt = ò e -( p - a)t dt = - -( p - a)t 1 e p-a ¥ = 1 p-a è, ñëåäîâàòåëüíî, e at Þ 1 . p-a Åñëè at = j(wt + y), òî e at = e jy e jwt Þ e jy . p - jw Ñëåäîâàòåëüíî, 1 jwt 1æ 1 1 ö w ÷= ç (e - e - jwt ) Þ . 2j 2 j çè p - jw p + jw ÷ø p 2 + w2 Íà îñíîâå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ ìîæíî ñîñòàâèòü ñëåäóþùóþ òàáëèöó ñîîòâåòñòâèÿ íåêîòîðûõ ôóíêöèé (îðèãèíàëîâ) è èõ èçîáðàæåíèé. sin wt = Îðèãèíàë Èçîáðàæåíèå A A p Ae at A p-a Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì Îðèãèíàë Èçîáðàæåíèå 1 - e - at 1 1 a = p p+a p( p + a) shat = 1 at (e - e - at ) 2 1æ 1 1 çç 2è p-a p+a ö a ÷÷ = 2 2 ø p -a chat = 1 at (e + e - at ) 2 1æ 1 1 çç + 2è p-a p+a ö p ÷÷ = 2 2 ø p -a 1 jwt (e - e - jwt ) 2j w 1æ 1 1 ö ÷= 2 ç 2 j è p - jw p + jw ø p + w2 1 cos wt = (e jwt + e - jwt ) 2 p 1æ 1 1 ö ÷÷ = 2 çç + 2 è p - jw p + jw ø p + w2 sin(wt + y) p sin y + wcos y p 2 + w2 cos (wt + y) p cos y - w sin y p 2 + w2 e -dt sin wt w ( p + d) 2 + w2 e -dt cos wt p+d ( p + d) 2 + w2 te -dt 1 ( p + d) 2 t 1 p2 sin wt = 97  ïðèâåäåííîé òàáëèöå äàíû ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îðèãèíàëàìè è èõ èçîáðàæåíèÿìè ïðè ïðåîáðàçîâàíèè Ëàïëàñà. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Êàðñîíà ñëåäóåò óìíîæèòü âñå èçîáðàæåíèÿ íà ð.  ýòîì ñëó÷àå èçîáðàæåíèåì ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû áóäåò ñàìà ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî êðàòíûå ïîëþñû â âûðàæåíèè äëÿ F(ð) èçîáðàæàþò ôóíêöèè, â êîòîðûõ âðåìÿ t âõîäèò ìíîæèòåëåì (ïîñëåäíèå äâà âûðàæåíèÿ â òàáëèöå). Íàéäåì èçîáðàæåíèå ôóíêöèè, ñìåùåííîé âî âðåìåíè íà âåëè÷èíó x, ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðè t < 0 èìååì f(t) = 0. Åñëè f(t) Þ F(p), òî äëÿ èçîáðàæåíèÿ òîé æå ôóíêöèè ïðè t¢ = t – x ïîëó÷èì 98 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ¥ f (t - x) Þ ò ¥ f (t - x)e - pt dt = e - px ò f (t - x)e - pt e px dt = ¥ ¥ = e - px ò f (t' )e - pt' dt' = e - px ò f (t)e - pt dt = e - px F ( p), òî åñòü f (t - x) Þ e - px F ( p). Íàéäåì îðèãèíàë, ñîîòâåòñòâóþùèé ñìåùåíèþ èçîáðàæåíèÿ â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî a. Ïóñòü ¥ F ( p) = ò f (t) e - pt dt Þ f (t). Òîãäà ¥ F ( p + a) = ò f (t) e -( p+a )t ¥ dt = ò [ f (t) e - at ]e - pt dt Þ f (t) e - at , òî åñòü f (t) e - at Þ F ( p + a). Ïîäðîáíûå òàáëèöû ñîîòâåòñòâèÿ îðèãèíàëîâ è èçîáðàæåíèé ïðèâåäåíû â ñïåöèàëüíûõ ñïðàâî÷íèêàõ. 10.3. Çàêîíû Êèðõãîôà è Îìà â îïåðàòîðíîé ôîðìå Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà â ïðèìåíåíèè ê óçëó öåïè äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ òîêîâ èìååò âèä åi = 0. Òàê êàê òîê ik èçîáðàæàåòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ëàïëàñà, à èíòåãðàë ñóììû ðàâåí ñóììå èíòåãðàëîâ îò ñëàãàåìûõ ýòîé ñóììû, òî ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå åI k ( p) = 0. Ñîîòâåòñòâåííî, âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà â ïðèìåíåíèè ê êîíòóðó öåïè k å ek = å u k , ãäå ek — ñóììà ÝÄÑ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè â k-é âåòâè è uk — íàïðÿæåíèå íà k-é âåòâè, çàïèñûâàåòñÿ â îïåðàòîðíîé ôîðìå: å E k ( p) = åU k ( p). Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå íåîáõîäèìî çàäàòüñÿ ïîëîæèòåëüíûìè íàïðàâëåíèÿìè âñåõ òîêîâ è ñîáëþäàòü âñå ïðàâèëà çíàêîâ, óñòàíîâëåííûå ðàíåå ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé íà îñíîâå çàêîíîâ Êèðõãîôà äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé âðåìåíè.  îáùåì ñëó÷àå äëÿ âåòâè, ñîäåðæàùåé âñå òðè ýëåìåíòà (r, L, Ñ), èìååì Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì u k = rk ik + L k dik 1 + dt C k 99 t ò i dt + u k Ck (0); ïîýòîìó ñîãëàñíî § 10.1 ñ ó÷åòîì íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïîëó÷èì I ( p) uCk (0) U k ( p) = rk I k ( p) + pL k I k ( p) - L k ik (0) + k + pC k p èëè U k ( p) + L k ik (0) - æ uCk (0) 1 = I k ( p) çç rk + pL k + p pC k è ö ÷÷. ø Âåëè÷èíó rk + pL k + 1 = Z k ( p) pC k íàçûâàþò î á î á ù å í í û ì ñ î ï ð î ò è â ë å í è å ì âåòâè, èëè, èíà÷å, î ï å ð à ò î ð í û ì ñ î ï ð î ò è â ë å í è å ì âåòâè. Îêîí÷àòåëüíî ïðè ýòîì îïåðàòîðíàÿ çàïèñü çàêîíîâ Êèðõãîôà ïðèìåò âèä å I k ( p) = 0; åE k ( p) = é å êI k ( p)Z k ( p) - L k ik (0) + uCk (0) ù . p úû ë Òîê â k-é âåòâè è ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ â ýòîé âåòâè â îïåðàòîðíîé ôîðìå ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì U ( p) + L k ik (0) - uCk (0) p I k ( p) = k , Z k ( p) êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàêîí Îìà, îáîáùåííûé íà ñëó÷àé ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà.  ÷àñòíîì ñëó÷àå ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, ò. å. ïðè iLk(0) = 0 è uCk(0) = 0, èìååì U ( p) U k ( p) I k ( p) = k = . Z k ( p) rk + pL k + 1 ( pC k ) Çàìåòèì, ÷òî ñòðóêòóðû çàïèñè îïåðàòîðíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ âåòâè è êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ýòîé æå âåòâè 1 Z k = rk + jwL k + jwC k òîæäåñòâåííû è âûðàæåíèå äëÿ êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ Zk ìîæíî ïîëó÷èòü ÷åðåç îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëåíèå Zk(ð) ïóòåì çàìåíû p íà jw, ò. å. Zk = Zk(jw).  ÷àñòíîñòè, ïîëàãàÿ ð = 0, ïîëó÷èì ñîïðîòèâëåíèå âåòâè ïîñòîÿííîìó òîêó. Ñîïîñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ çàêîíîâ Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå ñ èõ âûðàæåíèÿìè â êîìïëåêñíîé ôîðìå å I& = 0 è å E& = å I& Z , k k k k 100 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ãäå êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû I&k , Zk ñîäåðæàò ÷àñòîòó w òîëüêî ñ ìíîæèòåëåì j, âèäèì, ÷òî ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ çàêîíû Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå îäèíàêîâû ïî âèäó ñ ýòèìè çàêîíàìè â êîìïëåêñíîé ôîðìå. Ïîýòîìó ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ñïîñîáû ðàñ÷åòà ëþáûõ ñëîæíûõ öåïåé ïðè ïåðåõîäíûõ ïðîöåññàõ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì àíàëîãè÷íû ñïîñîáàì ðàñ÷åòà óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ êîìïëåêñíûì ìåòîäîì.  ÷àñòíîñòè, ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ âõîäíîå îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëåíèå ñêîëü óãîäíî ñëîæíîãî ïàññèâíîãî äâóõïîëþñíèêà ìîæíî ïîëó÷èòü èç êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ýòîãî äâóõïîëþñíèêà çàìåíîé jw íà p. Ïðè íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ìîæåì âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà äëÿ âñåõ êîíòóðîâ çàïèñàòü â âèäå u (0) å E k ( p) + å L k ik (0) - å Ckp = å I k ( p)Z k ( p). Ðàññìàòðèâàÿ ÷ëåíû S Lkik(0) è –S uCk(0)/p êàê ÝÄÑ äîáàâî÷íûõ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè â êîíòóðàõ (ðèñ. 10.1), ìîæåì ñ èõ ó÷åòîì ñîõðàíèòü âñå òå æå îáùèå ìåòîäû ðàñ÷åòà ñëîæíûõ öåïåé.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì íàëîæåíèÿ è ðàññ÷èòàòü ïðîöåññ â öåïè ñíà÷àëà ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, à çàòåì íàëîæèòü íà íåãî ïðîöåññ, âîçíèêàþùèé òîëüêî ïîä äåéñòâèåì îäíèõ äîáàâî÷íûõ ÝÄÑ, îïðåäåëÿåìûõ íà÷àëüíûìè òîêàìè â êàòóøêàõ è íà÷àëüíûìè íàïðÿæåíèÿìè íà êîíäåíñàòîðàõ. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå íåñêîëüêèõ ó÷àñòêîâ öåïè. Ïóñòü öåïü ñîñòîèò èç îäíîãî êîíòóðà.  òàêîì Ðèñ. 10.1 ñëó÷àå òîê äëÿ âñåõ ó÷àñòêîâ ýòîé öåïè îäèí è òîò æå. Ïðèìåíÿÿ âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå, èìååì u (0) å E k ( p) = I k ( p)å Z k ( p) - å L k ik (0) + å Ckp . Âåëè÷èíà Z(ð) = S Zk(p) ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðíûì ñîïðîòèâëåíèåì âñåé öåïè. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ó÷àñòêîâ öåïè èõ îïåðàòîðíûå ñîïðîòèâëåíèÿ ñêëàäûâàþòñÿ. Ðàññìîòðèì ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå äâóõ âåòâåé.  ýòîì ñëó÷àå íàïðÿæåíèå íà íèõ îáùåå. Ïóñòü â êàæäîé âåòâè ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåíû r, L è C. Èìååì äëÿ êàæäîé âåòâè u (0) U ( p) = I 1 ( p)Z 1 ( p) - L1 i1 (0) + C 1 p è U ( p) = I 2 ( p)Z 2 ( p) - L 2 i2 (0) + uC 2 (0) , p ãäå Z 1 ( p) = r1 + pL1 + 1 1 è Z 2 ( p) = r2 + pL 2 + . pC1 pC 2 Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì 101 Ñóììàðíûé òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè èçîáðàæàåòñÿ êàê U ( p) + L1 i1 (0) - uC 1 (0) p U ( p) + L 2 i2 (0) - uC 2 (0) p I ( p) = I 1 ( p) + I 2 ( p) = + . Z 1 ( p) Z 2 ( p) Îòñþäà âèäèì, ÷òî ïðè íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü I(p) êàê ïðîèçâåäåíèå U(p) íà íåêîòîðûé ìíîæèòåëü Y(p), èìåþùèé ñìûñë îïåðàòîðíîé ïðîâîäèìîñòè. Îäíàêî ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ýòî âîçìîæíî, òàê êàê ïðè ýòîì é 1 1 ù I ( p) = U ( p)ê + ú = U ( p)[Y1 ( p) + Y2 ( p)] = U ( p)Y ( p). ë Z 1 ( p) Z 2 ( p) û 1 1 1 Âåëè÷èíû Y1(p) = íàçûâàþò î ï å ð à ò î ð , Y2(p) = è Y(p) = Z ( p) Z 1 ( p) Z 2 ( p) í û ì è ï ð î â î ä è ì î ñ ò ÿ ì è. Òàêèì îáðàçîì, ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ó÷àñòêîâ öåïè èõ îïåðàòîðíûå ïðîâîäèìîñòè ñêëàäûâàþòñÿ. 10.4. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà íåñêîëüêî ïðîñòûõ ïðèìåðîâ, èññëåäîâàííûõ ðàíåå êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì. Ïðè âêëþ÷åíèè öåïè (r, L) ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå è = U = const èìååì U(p) = U/p è Z(p) = pL + r, à ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì óñëîâèè i(0) = 0 îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå òîêà, ñîãëàñíî çàêîíó Îìà â îïåðàòîðíîé ôîðìå, ïîëó÷àåò âûðàæåíèå I ( p) = U ( p) U p 1 ö Uæ1 ÷. = = çç Z ( p) r + pL r è p p + r L ÷ø Ïîëüçóÿñü èçîáðàæåíèåì ôóíêöèè eat (ñì. § 10.2), äëÿ èñêîìîãî òîêà ìîæåì íàïèñàòü ö ÷. ÷ ø  ñëó÷àå âêëþ÷åíèÿ öåïè (r, Ñ) ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ ïðè uC(0) = 0 èìååì U p U 1 I ( p) = = r + 1 ( pC) r p + 1 (rC) - t U æç 1- e L r çè r i(t) = è, ñîîòâåòñòâåííî, t U - rC e . r Ïðè âêëþ÷åíèè öåïè (r, L, C) ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ïîëó÷àåì i(t) = 102 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé U p U = r + pL + 1 ( pC) L 1 = r 2 p + p + 1 (LC) L 1 U w' U = = , 2 2 w' L ( p + d) 2 + w' 2 Læ r ö 1 æ r ö -ç ÷ + ç p+ ÷ 2L ø LC è 2 L ø è I ( p) = ãäå r 1 ; w¢2 = w20 – d2 è w20 = . 2L LC Èñïîëüçóÿ òàáëèöó èç § 10.2, íàõîäèì îðèãèíàë èñêîìîãî òîêà: U - dt e sin w' t. i(t) = w' L Äîñòîèíñòâî îïåðàòîðíîãî ìåòîäà äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ, çàêëþ÷àþùååñÿ â àëãåáðàèçàöèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé öåïè, îñîáåííî ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè ðàñ÷åòå ñëîæíûõ öåïåé.  ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå áûëî îòìå÷åíî, ÷òî, ó÷èòûâàÿ ÷ëåíû âèäà Lkik(0) è –uCk(0)/ð êàê äîáàâî÷íûå ÝÄÑ, ìîæåì äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ âîñïîëüçîâàòüñÿ âñåìè ìåòîäàìè ðàñ÷åòà ñëîæíûõ öåïåé, ðàññìîòðåííûìè â ãë. 5 ïðèìåíèòåëüíî ê óñòàíîâèâøèìñÿ ðåæèìàì. Åñëè â öåïè èìåþòñÿ èíäóêòèâíî-ñâÿçàííûå âåòâè, òî ÷ëåíû âèäà Mksis(0) òàêæå ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê íåêîòîðûå äîáàâî÷íûå èñòî÷íèêè ÝÄÑ, è óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà äëÿ êîíòóðà, â êîòîðîì äåéñòâóþò ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè, ñëåäóåò ïèñàòü â âèäå 1 å E k ( p) + å L k ik (0) + å M ks is (0) - å p uCk (0) = å Z k ( p)I k ( p) + å pM ks I s ( p). d=  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàñ÷åòà ñëîæíîé öåïè ðàññìîòðèì ðàñ÷åò ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà â öåïè, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 10.2, ïðè ðàçìûêàíèè êëþ÷à. Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ: Z 11 ( p)I 1 ( p) + Z 12 ( p)I 2 ( p) = E 11 ( p); Z 21 ( p)I 1 ( p) + Z 22 ( p)I 2 ( p) = E 22 ( p), Ðèñ. 10.2 ãäå Z 11 ( p) = r1 + r3 + p(L1 + L 3 ); Z 22 ( p) = r2 + r3 + 1 + pL 3 ; pC 2 Z 12 ( p) = Z 21 ( p) = r3 + pL 3 ; E 11 ( p) = E 1 ( p) + L1 i1L (0) + L 3 i3 L (0); E 22 (p) = E 2 ( p) - uC 2 (0) + L 3 i3 L (0). p Ðåøèâ ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîëó÷èì Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì 103 Z 22 ( p) -Z 12 ( p) E 11 ( p) + E 22 ( p); D ( p) D ( p) -Z 21 ( p) Z ( p) I 2 ( p) = E 11 ( p) + 11 E 22 ( p); D ( p) D ( p) I 1 ( p) = D ( p) = Z 11 ( p)Z 22 ( p) - [Z 12 ( p)] 2 . Ðàññìîòðèì âèä ýòèõ ôóíêöèé, êîãäà å1 = Å0 = const è å2 = Em sin wt. Ñîîòâåòñòâåííî, E E w E 1 ( p) = 0 è E 2 ( p) = 2 m 2 . p p +w Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ Z11(p), Z22(p), Z12(p), à òàêæå E11(p) è E22(p) äëÿ òîêà I1(p), íàïðèìåð, ïîëó÷èì E G ( p) E wG ( p) u (0)G 3 ( p) I 1 ( p) = 0 1 + - 2 m 22 + C2 pH 1 ( p) ( p + w )H 1 ( p) pH 1 ( p) + L1 i1L (0)G 4 ( p) L 3 i3 L (0)G 5 ( p) G( p) , + = 2 H 1 ( p) H 1 ( p) p( p + w2 )H 1 ( p) ãäå H 1 ( p) = a3 p 3 + a2 p 2 + a1 p + a0 = L1 L 3 p 3 + [L 3 (r1 + r2 ) + L1 (r2 + r3 )] p 2 + é L + L3 ù r1 + r3 + êr1 (r2 + r3 ) + r2 r3 + 1 ; úp + C2 û C2 ë G1 ( p) = G 4 ( p) = pZ 22 ( p) = (r2 + r3 ) p + 1 C 2 + L 3 p 2 ; G 2 ( p) = G 3 ( p) = pZ 12 ( p) = p(r3 + pL 3 ); G 5 ( p) = pZ 2 ( p) = r2 p + 1 C 2 .  ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè I1(p) ïåðâûå äâà ÷ëåíà îïðåäåëÿþò òîê â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå ïðè âêëþ÷åíèè öåïè ïîä äåéñòâèå ÝÄÑ e1 è e2. Ïîñëåäíèå òðè ÷ëåíà îïðåäåëÿþò òîê ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, âîçíèêàþùåãî â öåïè çà ñ÷åò íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé òîêîâ â êàòóøêàõ L1 è L3 è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå C2. Åñëè äî ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à òîê â êàòóøêå L3 îòñóòñòâîâàë, òî i3L(0) = 0 è ÷ëåí, ñîäåðæàùèé ýòîò òîê, îòñóòñòâóåò. Èç ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé âûòåêàåò òàêæå âîçìîæíîñòü ðàñ÷åòà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà íàëîæåíèåì ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ, ðàññ÷èòàííûõ îòäåëüíî îò êàæäîé ÝÄÑ, íà÷àëüíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé. Êàê âèäíî èç äàííîãî ïðèìåðà, îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå òîêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàöèîíàëüíóþ äðîáü, ãäå è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìàìè îïåðàòîðà p.  ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå áóäåò ðàññìîòðåí ñïîñîá ïåðåõîäà îò èçîáðàæåíèÿ ê îðèãèíàëó, â êîòîðîì èñïîëüçóþòñÿ íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ýòè äðîáè ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó, ïðåäñòàâëåííîìó â òàáëèöàõ, â êîòîðûõ äàíû ñîîòâåòñòâóþùèå èì îðèãèíàëû. Îäíàêî â ýòèõ òàáëèöàõ (íàïðèìåð, Äèòêèí Â. À., Êóçíåöîâ Ï. È. Ñïðàâî÷íèê ïî îïåðàöèîííîìó èñ÷èñëåíèþ) òàêèå ôîðìóëû ïðèâåäåíû äëÿ ïîëèíîìîâ H1(p) îòíîñèòåëüíî íèçêîãî ïîðÿäêà. 104 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 10.5. Ïåðåõîä îò èçîáðàæåíèé ê îðèãèíàëó. Òåîðåìà ðàçëîæåíèÿ Äëÿ íàõîæäåíèÿ îðèãèíàëà ïðåäñòàâèì èçîáðàæåíèå, ïîëó÷åííîå â âèäå ðàöèîíàëüíîé äðîáè, ïðîñòåéøèìè ñëàãàåìûìè, äëÿ êîòîðûõ èçâåñòíû îðèãèíàëû. Ñ ýòîé öåëüþ âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé ðàçëîæåíèÿ. Ïóñòü èìååòñÿ èçîáðàæåíèå â âèäå G( p) X ( p) = , H ( p) ãäå G(ð) è Í(ð) — ïîëèíîìû îò ð. Çäåñü áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñòåïåíü m ïîëèíîìà â ÷èñëèòåëå ìåíüøå ñòåïåíè ï ïîëèíîìà â çíàìåíàòåëå (ò < ï).  äàëüíåéøåì, â ãë. 12, ñíèìåì ýòî îãðàíè÷åíèå è óâèäèì, ÷òî ïðè ò ³ ï ïîÿâëÿþòñÿ ÝÄÑ, òîêè è íàïðÿæåíèÿ, èìåþùèå èìïóëüñíûé õàðàêòåð, ò. å. ïðèíèìàþùèå áåñêîíå÷íî áîëüøèå çíà÷åíèÿ â òå÷åíèå áåñêîíå÷íî ìàëûõ èíòåðâàëîâ âðåìåíè. Íå ðàññìàòðèâàÿ çäåñü òàêèõ èìïóëüñíûõ ôóíêöèé, ÿâëÿþùèõñÿ, ïî ñóòè äåëà, ðåçóëüòàòîì èäåàëèçàöèè ðåàëüíûõ ÝÄÑ, òîêîâ è íàïðÿæåíèé, áóäåì ïîëàãàòü ò < ï. Ïðåäïîëîæèì, êðîìå òîãî, ÷òî óðàâíåíèå Í(ð) = 0 íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé, à òàêæå íå èìååò êîðíåé, ðàâíûõ êîðíÿì óðàâíåíèÿ G(ð) = 0. Ïðè óêàçàííûõ óñëîâèÿõ ðàöèîíàëüíóþ äðîáü ìîæíî ðàçëîæèòü íà ïðîñòåéøèå äðîáè: A1 A2 An G( p) = + +K+ = H ( p) p - p1 p - p2 p - pn n Ak å p- p k =1 , k ãäå p1, p2, ..., ðï — êîðíè Í(ð). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Ak ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îäíèì èç ìíîãèõ ïðèåìîâ, èçâåñòíûõ èç àëãåáðû. Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà (p – pk) è ïðèíÿâ ð = ðk, ïîëó÷èì ñïðàâà Ak, à ñëåâà — íåîïðåäåëåííîñòü. Ðàñêðûâàÿ ýòó íåîïðåäåëåííîñòü, íàõîäèì G( p)( p - pk ) p - pk G( pk ) . Ak = = G( pk ) lim = ® p p k H ( p) H ( p) H ' ( pk ) p = pk Òàêèì îáðàçîì, X ( p) = Òàê êàê G( p) = H ( p) k =n Ak å p- p k =1 = k k =n G( pk ) 1 å H' ( p ) p - p k =1 k . k Ak Þ A k e pk t , òî äëÿ èñêîìîé âåëè÷èíû õ(t) èìååì p - pk k =n G( pk ) pk t x(t) = å e . ' ( pk ) H k =1 Ýòî ðàâåíñòâî è íàçûâàþò ò å î ð å ì î é ð à ç ë î æ å í è ÿ.  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà îäèí èç êîðíåé ïîëèíîìà Í(ð), äîïóñòèì p1, ðàâåí íóëþ, òî e pk t = 1 è ñîîòâåòñòâóþùèé ÷ëåí â ðàçëîæåíèè îáðàùàåòñÿ â ïîñòîÿííóþ âåëè÷èíó. Âûäåëÿÿ ýòîò ÷ëåí, íàïèøåì G(0) k =n G( pk ) pk t X ( p) Þ x(t) = +å e . H' (0) k =2 H' ( pk ) Ïîëèíîì Í(ð) ìîæåò èìåòü êîðåíü, ëåæàùèé â íà÷àëå êîîðäèíàò (p1 = 0), êîãäà â äàííîé öåïè èìåþòñÿ èñòî÷íèêè ïîñòîÿííîé ÝÄÑ (èëè èñòî÷íèêè ïîñòî- Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì 105 ÿííîãî òîêà). Âûäåëåííûé ïîñòîÿííûé ÷ëåí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óñòàíîâèâøèåñÿ òîê èëè íàïðÿæåíèå â öåïè. Åñëè Í(ð) èìååò ïàðó ñîïðÿæåííûõ ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé, ëåæàùèõ íà îñè ìíèìûõ p1 = jw, p2 = –jw, òî ìîæíî çàïèñàòü X ( p) Þ x(t) = G( jw) jwt G(- jw) - jwt k =n G( pk ) pk t e . e + +å e H' ( jw) H' (- jw) k = 3 H ' ( pk ) Ïîëèíîì Í(ð) ìîæåò èìåòü ïàðó ÷èñòî ìíèìûõ ñîïðÿæåííûõ êîðíåé â ñëó÷àå, åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ïðè íàëè÷èè â öåïè èñòî÷íèêîâ ñèíóñîèäàëüíûõ ÝÄÑ èëè èñòî÷íèêîâ ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ. Äâà ïåðâûõ âûäåëåííûõ ÷ëåíà îïðåäåëÿþò ñèíóñîèäàëüíûé òîê èëè íàïðÿæåíèå óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà. Äëÿ èëëþñòðàöèè ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû ðàçëîæåíèÿ ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû.  êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðèìåðà ðåøèì çàäà÷ó î ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà íà öåïü (r, L), ðàññìîòðåííóþ ðàíåå êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì (ñì. § 9.8). Ïóñòü íà÷àëüíîå íàïðÿæåíèå êîíäåíñàòîðà uC(0) = U0, a íà÷àëüíîå çíà÷åíèå òîêà â êàòóøêå i(0) = 0. Îïåðàòîðíîå âûðàæåíèå òîêà èìååò âèä 1 U ( p) + Li(0) - uC (0) -U 0 p p = = I ( p) = Z ( p) r + pL + 1 ( pC) -U 0 L -U 0 L = = 2 , 2 r p 2 + p + 1 (LC) p + 2dp + w0 L òàê êàê U(p) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â äàííîì ñëó÷àå G(ð) = –U0/L è Í(ð) = p2 + + 2dp + w20 . Êîðíè óðàâíåíèÿ Í(ð) = 0 áóäóò p1,2 = -d ± d 2 - w20 . Òàê êàê H' ( p) = 2 p + 2d, òî -U 0 L G( p) = . H' ( p) 2( p + d) Ïîëüçóÿñü òåîðåìîé ðàçëîæåíèÿ, ïîëó÷àåì -U 0 -U 0 -U 0 i(t) = (e p1t - e p2t ). e p1t + e p2t = 2 2 2 L( p1 + d) 2 L( p2 + d) 2 L d - w0 Ïóñòü êîðíè p1 è p2 ðàâíû äðóã äðóãó: p1 = p2 = – d è d = w0, ò. å. ïîëèíîì Í(ð) èìååò êðàòíûå êîðíè. Ïðåäïîëîæèâ ñíà÷àëà, ÷òî p1 ¹ p2, ïîëó÷èì òîëüêî ÷òî íàéäåííîå ðåøåíèå, îáðàùàþùååñÿ ïðè p1 = p2 â íåîïðåäåëåííîñòü. Ðàñêðûâàÿ ýòó íåîïðåäåëåííîñòü ïðè p1 ®p2, ïîëó÷èì, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â § 9.8, èñêîìîå ðåøåíèå â âèäå U i = - 0 te - dt . L  áîëåå îáùåì ñëó÷àå, êîãäà îäèí èç êîðíåé, äîïóñòèì p1, ïîëèíîìà Í(ð) ñòåïåíè n èìååò êðàòíîñòü q, ðàöèîíàëüíóþ äðîáü ìîæíî ðàçëîæèòü íà ïðîñòåéøèå â âèäå 106 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé é A11 A12 G( p) G( p) = =ê + +K q q H ( p) ( p - p1 ) H 1 ( p) ë( p - p1 ) ( p - p1 ) q -1 A1q ù An A1s A2 Ak +K + +K + +K+ , K+ ú+ q - s+1 p - pn p - p1 û p - p2 p - pk ( p - p1 ) ãäå A1s = q 1 é d s -1 ( p - p1 ) G( p) ù ; ú ê s -1 (s - 1) ! ë dp H ( p) û p= p 1 G( pk ) G( pk ) = . H ( pk ) ( pk - p1 ) q H 1¢ ( pk ) A1s Îðèãèíàë ôóíêöèè èìååò âèä ( p - p1 ) q -s+1 Ak = A1s q - s+1 Þ A1s ( q - s ) p1t t e . (q - s) ! ( p - p1 ) Ak ðàâåí Àk e pk t . Îðèãèíàë æå ôóíêöèè p - pk Ðåøèì ñ ïîìîùüþ òåîðåìû ðàçëîæåíèÿ çàäà÷ó î âêëþ÷åíèè öåïè (r, L) ïîä ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå è = Um sin (wt + yu) ïðè óñëîâèè i(0) = 0, ðàññìîòðåííóþ ðàíåå êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì (ñì. § 9.5). Èçîáðàæåíèå òîêà â öåïè ïîëó÷èì, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî Z(p) = r + pL, à èçîáðàæåíèå ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèè èìååò âèä * æ ö Um ÷ 1 1 ç U& m - jy u - jwt jy u jwt u(t) = (U m e e - U m e e )Þ = U ( p). 2j 2 j çç p - jw p + jw ÷÷ è ø Îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå òîêà â öåïè îïðåäåëèòñÿ èç âûðàæåíèÿ * é ù U& m U ( p) Um 1 ê ú. = Z ( p) 2 jL ê( p - jw)( p + r L) ( p + jw)( p + r L) ú ë û Ïðèìåíèâ òåîðåìó ðàçëîæåíèÿ, ïîëó÷èì I ( p) = * é U& m 1 1 ê U& m 1 1 Um I ( p) = + 2 jL ê jw + r L p - jw - jw - r L p + r L - jw + r L p + jw ë * * * ù r ù r - t - t U& m 1 ú 1 é U& m Um Um Um - jwt jwt L Þ e e L ú. e e + ê ú 2 j êë r + jwL jw - r L p + r L ú r - jwL r - jwL r + jwL û û Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì 107 Ãðóïïèðóÿ ïåðâûé ÷ëåí ñ òðåòüèì è âòîðîé ñ ÷åòâåðòûì è èìåÿ â âèäó, ÷òî wL j = arctg , íàõîäèì r r é - t ù êsin(wt + y u - j) - sin(y u - j)e L ú. úû r 2 + w2 L2 êë  êà÷åñòâå ïðèìåðà îïðåäåëåíèÿ ïåðåõîäíîãî òîêà â ðàçâåòâëåííîé öåïè ðàññìîòðèì òàêîâîå ïðè âêëþ÷åíèè ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå U0 öåïè, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 10.3, ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëåíèå òàêîé öåïè Ðèñ. 10.3 1 r pC p 2 rLC + pL + r Z ( p) = pL + = . r + 1 ( pC) 1 + prC i(t) = Um Èçîáðàæåíèå ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ U0 Þ U0/p. Èçîáðàæåíèå òîêà ïðåäñòàâèòñÿ â âèäå U0 U0 (1 + prC) (1 + prC) U0 p U 0 (1 + prC) rLC rLC = = I ( p) = = . Z ( p) p ( p 2 rLC + pL + r) 1 1 ö p( p 2 + 2dp + w20 ) æ 2 pç p + p+ ÷ rC LC ø è Òàêèì îáðàçîì, G( p) = U0 (1 + prC); rLC H ( p) = p 3 + 2dp 2 + w20 p; H' ( p) = 3 p 2 + 4dp + w20 ; A1 A2 A3 G( p) I ( p) = = + + ; H ( p) p - p1 p - p2 p - p3 p1 = 0; p2 = - d + d 2 - w20 ; p3 = - d - d 2 - w20 ; U0 (1 + p2 rC) G( p2 ) G(0) U 0 A1 = ; ; A2 = = = rLC p2 × 2( p2 + d) H ' ( p2 ) H' (0) r U0 (1 + p3 rC) G( p3 ) . A3 = = rLC H ' ( p3 ) p3 × 2( p3 + d) Òîãäà U0 U0 (1 + p2 rC) (1 + p3 rC) U 0 rLC p2 t rLC e i(t) = + e p3t . 2 2 2 2 r p2 × 2 d - w 0 p3 × 2 d - w 0 108 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé Àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü òîêè â îñòàëüíûõ âåòâÿõ.  çàêëþ÷åíèå íàéäåì îðèãèíàë èçîáðàæåíèÿ òîêà, ïîëó÷åííîãî â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå äëÿ öåïè, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 10.2, â âèäå G( p) G( p) I ( p) = = , 2 2 p ( p + w0 )H 1 ( p) H ( p) ãäå H 1(p) = Ap3 + Bp2 + Cp + D = A(p – p4 )(p – p5)(p – p6). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îðèãèíàëà äàííîé ôóíêöèè ïðè ïîìîùè òåîðåìû ðàçëîæåíèÿ íåîáõîäèìî ïðåæäå âñåãî íàéòè êîðíè çíàìåíàòåëÿ ðàöèîíàëüíîé äðîáè.  äàííîì ñëó÷àå çíàìåíàòåëü Í(ð) èìååò øåñòü êîðíåé: p1 = 0, p2 = jw, p3 = – jw, p4, p5, p6. Êîðíè p4, p5 è p6 ìîæíî íàéòè èç óðàâíåíèÿ òðåòüåé ñòåïåíè ìåòîäàìè, èçâåñòíûìè èç êóðñà ìàòåìàòèêè. Îðèãèíàë èñêîìîãî òîêà çàïèøåòñÿ â âèäå G( p6 ) p6t G( p5 ) p5t G( p4 ) p4t G(0) G( jw) jwt G(- jw) - jwt i(t) = e . e + e + + e + e + H ' ( p6 ) H ' ( p5 ) H ' ( p4 ) H' (0) H' ( jw) H' (- jw)  ýòîì âûðàæåíèè ïåðâûé ÷ëåí îïðåäåëÿåò ñîñòàâëÿþùóþ òîêà, ïîñòîÿííóþ âî âðåìåíè; âòîðîé è òðåòèé ñîïðÿæåííûå ÷ëåíû — ñîñòàâëÿþùóþ òîêà, èçìåíÿþùóþñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó. Ýòè òðè ÷ëåíà îïðåäåëÿþò óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì â öåïè. Ïîñëåäíèå òðè ÷ëåíà õàðàêòåðèçóþò çàòóõàþùèå ñîñòàâëÿþùèå òîêà. Îíè ìîãóò áûòü àïåðèîäè÷åñêèìè, åñëè êîðíè p4, p5 è p6 âåùåñòâåííû, èëè êîëåáàòåëüíûìè, åñëè äâà êîðíÿ — êîìïëåêñíûå ñîïðÿæåííûå. Ýòè òðè ïîñëåäíèå ÷ëåíà îïðåäåëÿþò ñâîáîäíûé òîê â öåïè. Êàê âèäíî èç ïðèâåäåííûõ ïðèìåðîâ, ïîëüçóÿñü îïåðàòîðíûì ìåòîäîì, ïîëó÷àåì ïîëíîå ðåøåíèå, ñîäåðæàùåå êàê óñòàíîâèâøóþñÿ, òàê è ñâîáîäíóþ ñîñòàâëÿþùèå ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ñ ó÷åòîì âñåõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé. 10.6. Ñâîéñòâà êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Ðàññìîòðèì ëþáóþ ñêîëü óãîäíî ñëîæíóþ ïàññèâíóþ öåïü, ò. å. öåïü, â êîòîðîé îòñóòñòâóþò èñòî÷íèêè ýíåðãèè.  òàêîé öåïè ìîæåò ïðîèñõîäèòü òîëüêî çàòóõàþùèé âî âðåìåíè ñâîáîäíûé ïðîöåññ, îïðåäåëÿåìûé çàïàñàìè ýíåðãèè â ìàãíèòíûõ è ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëÿõ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïðè èñïîëüçîâàíèè êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà òîê â ëþáîé k-é âåòâè â ýòîì ñëó÷àå íàõîäèòñÿ â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ñâîéñòâà êîðíåé ai õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîìó îäíîðîäíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ, è ðàññìîòðèì â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå. Ïðè èñïîëüçîâàíèè îïåðàòîðíîãî ìåòîäà ñêàçàííîå îòíîñèòñÿ ê òåì êîðíÿì pi ïîëèíîìà Í(ð), êîòîðûå îïðåäåëÿþò ñâîáîäíûé ïðîöåññ. Ïîëèíîì Í(ð) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ Í(ð) = N(ð) Í1(ð), ãäå êîðíè óðàâíåíèÿ N(ð) = 0 îïðåäåëÿþòñÿ âèäîì äåéñòâóþùåé â öåïè ÝÄÑ è õàðàêòåðèçóþò óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì. Êîðíè æå óðàâíåíèÿ Í1(ð) = 0 îïðåäåëÿþò ñâîáîäíûé ïðîöåññ. Âñå ýòî õîðîøî âèäíî èç ïðèìåðîâ, ïðèâåäåííûõ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå. Êîðíè pi óðàâíåíèÿ Í1(ð) = 0 ñîâïàäàþò ñ êîðíÿìè ai õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå èñïîëüçóåòñÿ â êëàññè÷åñêîì ìåòîäå (pi = ai). Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì 109 Ïåðâîå ñâîéñòâî ýòèõ êîðíåé äëÿ ïàññèâíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âåùåñòâåííûå ÷àñòè âñåõ êîðíåé äîëæíû áûòü îòðèöàòåëüíûìè: Re(a j) < 0. Ýòî ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì òîãî, ÷òî ïðîöåññ äîëæåí áûòü çàòóõàþùèì. Âòîðûì ñâîéñòâîì ÿâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî âñå êîìïëåêñíûå êîðíè äîëæíû áûòü ïîïàðíî ñîïðÿæåííûìè, òàê êàê ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå äåéñòâèòåëüíûå ôóíêöèè âðåìåíè [òîê i(t), íàïðÿæåíèå è(t)], äîëæíû áûòü âåùåñòâåííûìè. Òðåòüå ñâîéñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ÷èñòî ìíèìûå êîðíè ai = jwi è a* i =– jwi äîëæíû áûòü ïðîñòûìè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áû òàêèå êîðíè èìåëè êàæäûé êðàòíîñòü ò > 1, òî ñîîòâåòñòâóþùåå èì ðåøåíèå èìåëî áû âèä (A 0 + A1 t + A 2 t 2 +K + A m -1 t m -1 )sin wi t. Ïðè ò > 1 ìû ïîëó÷èëè áû êîëåáàíèÿ ñ íàðàñòàþùåé äî áåñêîíå÷íîñòè àìïëèòóäîé, ÷åãî íå ìîæåò áûòü, òàê êàê íà ðàññìàòðèâàåìóþ öåïü íå âîçäåéñòâóþò èñòî÷íèêè ýíåðãèè è ïåðâîíà÷àëüíûé çàïàñ ýíåðãèè â ìàãíèòíûõ è ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëÿõ öåïè íå ìîæåò âîçðàñòàòü. Ðèñ. 10.4 Ðèñ. 10.5 Íà ðèñ. 10.4 ïîêàçàíî ðàñïîëîæåíèå âåùåñòâåííûõ è ñîïðÿæåííûõ êîìïëåêñíûõ êîðíåé äëÿ ðåàëüíîé öåïè, ñîäåðæàùåé êàòóøêè, êîíäåíñàòîðû è ðåçèñòîðû. ×èñòî ìíèìûå êîðíè ìîãóò áûòü òîëüêî äëÿ öåïåé áåç ïîòåðü. Íà ðèñ. 10.5 ïîêàçàíî ðàñïîëîæåíèå ñîïðÿæåííûõ êîðíåé íà ìíèìîé îñè äëÿ ýòîãî èäåàëèçèðîâàííîãî ñëó÷àÿ. Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ 455 òåëüíî, âîñõîäÿùèå âåòâè êðèâîé u = F (t) (ðèñ. 22.16) ìîæíî ïîëó÷èòü âåñüìà áëèçêèìè ê ïðÿìîëèíåéíûì, åñëè îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òîëüêî íà÷àëüíóþ ÷àñòü êðèâîé çàðÿäà êîíäåíñàòîðà. Ýòî áóäåò èìåòü ìåñòî, åñëè U0 âçÿòü äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ÷òîáû áûëî t3 - t2 U -U1 << 1. = ln 0 t1 U 0 -U 2 Ðåëàêñàöèîííûå êîëåáàíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü òàêæå â óñòðîéñòâàõ ñ äðóãèìè ñõåìàìè. 22.8. Ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ Òî÷íîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé âîçìîæíî äëÿ âåñüìà îãðàíè÷åííîãî êðóãà çàäà÷. Îñíîâíûìè èíñòðóìåíòàìè ðàñ÷åòà íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé íà ïðàêòèêå ÿâëÿþòñÿ ãðàôè÷åñêèå ìåòîäû, òå èëè èíûå ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû, ìåòîäû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ñðåäè ïðèáëèæåííûõ àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ñëåäóåò âûäåëèòü ìåòîä ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ àìïëèòóä, ìåòîä ïðèáëèæåííîãî àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ õàðàêòåðèñòèê íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ, ìåòîä êóñî÷íî-ëèíåéíîãî âûðàæåíèÿ õàðàêòåðèñòèê íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà ïðèáëèæåííîãî àíàëèòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê óñïåõ â çíà÷èòåëüíîé ìåðå çàâèñèò îò óäà÷íîãî âûáîðà ôîðìóëû äëÿ ïðèáëèæåííîãî îïèñàíèÿ íåëèíåéíîé õàðàêòåðèñòèêè. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî âåñüìà îãðàíè÷èâàåò âîçìîæíîñòè ìåòîäà. Íàèáîëåå ïðîñòûì ñïîñîáîì ïðèáëèæåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ íåëèíåéíîé õàðàêòåðèñòèêè ýëåìåíòà ÿâëÿåòñÿ åå èçîáðàæåíèå ñîâîêóïíîñòüþ ïðÿìîëèíåéíûõ îòðåçêîâ, ò. å. êóñî÷íî-ëèíåéíîå âûðàæåíèå õàðàêòåðèñòèêè íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ýòîãî ìåòîäà, âî-ïåðâûõ, óïðîùàåòñÿ àíàëèòè÷åñêàÿ çàïèñü íåëèíåéíîé õàðàêòåðèñòèêè, âî-âòîðûõ, â ïðåäåëàõ êàæäîãî ëèíåéíîãî ó÷àñòêà õàðàêòåðèñòèêè èçìåíåíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü âåñü àïïàðàò ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ëèíåéíûõ öåïÿõ. Îäíàêî ïðè ýòîì âîçíèêàåò çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ. Ýòè ïîñòîÿííûå ñëåäóåò îïðåäåëÿòü, ïðèðàâíèâàÿ çíà÷åíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé â êîíöå íåêîòîðîãî ó÷àñòêà ê èõ çíà÷åíèÿì â íà÷àëå ïîñëåäóþùåãî ó÷àñòêà. Òàêîé ïîäõîä ïðèâîäèò ê ðåøåíèþ ñèñòåìû òðàíñöåíäåíòíûõ óðàâíåíèé. Ñ ðàçâèòèåì âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè íàøëè øèðîêîå ïðèìåíåíèå ÷èñëåííûå ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â íåëèíåéíûõ öåïÿõ. Ñóòü âñåõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè çíà÷åíèé èñêîìûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé â îòäåëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè, ðàçäåëåííûå íåêîòîðûì èíòåðâàëîì. Åñëè, íàïðèìåð, èìååì óðàâíåíèå di = f (i, t, u 0 ), dt òî äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè tk+1, êîãäà çíà÷åíèå òîêà ðàâíî ik+1, èìååì 456 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé h h ik+1 = ik + ò f (ik , t k , u 0 ) dt = ik + ò i' (ik , t k , u 0 ) dt, ãäå h = tk+1 – tk.  çàâèñèìîñòè îò ñïîñîáà èíòåãðèðîâàíèÿ âòîðîãî ÷ëåíà ðàçëè÷àþò è ìåòîäû ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Íàèáîëåå ïðîñòîå âûðàæåíèå ïîëó÷àþò, ïîëàãàÿ, ÷òî â èíòåðâàëå h ïðîèçâîäíàÿ èñêîìîé ôóíêöèè íåèçìåííà. Òîãäà èìåþò ôîðìóëó di Di ik+1 - ik ik+1 = ik + hf (ik , t k , u 0 ) èëè » = = f (ik , t k , u 0 ), dt Dt h êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ìåòîä Ýéëåðà, èëè ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ èíòåðâàëîâ. Ñîãëàñíî ýòîìó ìåòîäó, âåñü èíòåðâàë âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãî ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîöåññ, ðàçáèâàåòñÿ íà äîñòàòî÷íî ìàëûå èíòåðâàëû âðåìåíè Dt = h. Ñîîòâåòñòâåííî, äèôôåðåíöèàëû âñåõ âåëè÷èí â óðàâíåíèÿõ çàìåíÿþòñÿ êîíå÷íûìè ïðèðàùåíèÿìè ýòèõ âåëè÷èí çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè Dt = h. Ïîëó÷èâ â êîíöå íåêîòîðîãî èíòåðâàëà âðåìåíè çíà÷åíèå îäíîé èç äâóõ âåëè÷èí, ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé íåëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ, íàõîäÿò âòîðóþ èç ýòèõ âåëè÷èí, ïîëüçóÿñü çàäàííîé â òàáëè÷íîé ôîðìîé èëè ãðàôè÷åñêè íåëèíåéíîé õàðàêòåðèñòèêîé. Ýòè âåëè÷èíû ïðèíèìàþòñÿ êàê íà÷àëüíûå â ñëåäóþùåì èíòåðâàëå âðåìåíè. Ïîäîáíûå ìíîãîêðàòíî ïîâòîðÿþùèåñÿ îïåðàöèè ïðîñòî îñóùåñòâèòü ïðè ïîìîùè ñèñòåìû êîìàíä íà ÝÂÌ. Äëÿ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ èñêëþ÷èòåëüíî áîëüøîå çíà÷åíèå èìååò âûáîð ïîäõîäÿùåãî èíòåðâàëà. Çíà÷åíèå h ñèëüíî âëèÿåò íà òî÷íîñòü ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ è íà ýôôåêòèâíîñòü ðàñ÷åòà â öåëîì. Äëÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ýòà âåëè÷èíà íàïåðåä íåèçâåñòíà, è ïîýòîìó èíæåíåðó-ðàñ÷åò÷èêó ñëåäóåò, èñõîäÿ èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé, îïûòà èëè çíàíèÿ íåêîòîðûõ îñîáåííîñòåé ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà, çàäàâàòü íàèáîëåå ïðèåìëåìûå çíà÷åíèÿ h.  ñëåäóþùèõ ïàðàãðàôàõ ïîêàçàíû ïðîñòåéøèå ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ íåêîòîðûõ èç ïåðå÷èñëåííûõ ðàíåå ìåòîäîâ ðàñ÷åòà íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. 22.9. Ìåòîä ãðàôè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà â íåëèíåéíîé öåïè Ìåòîä ãðàôè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ öåíåí òåì, ÷òî ïðè íåì èñïîëüçóåòñÿ äåéñòâèòåëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà áåç çàìåíû åå êàêîé-ëèáî äðóãîé áëèçêîé ê íåé õàðàêòåðèñòèêîé.  ýòîì îòíîøåíèè ìåòîä ãðàôè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå òî÷íûì. Îäíàêî â ïðîòèâîïîëîæíîñòü àíàëèòè÷åñêîìó ìåòîäó, îñíîâàííîìó íà àíàëèòè÷åñêîì âûðàæåíèè õàðàêòåðèñòèêè, îí íå äàåò îáùèõ ñâÿçåé, ïîçâîëÿþùèõ ñóäèòü î òîì, êàê èçìåíÿåòñÿ ïðîöåññ ïðè èçìåíåíèè òîãî èëè èíîãî ïàðàìåòðà. Ñ íåêîòîðîé íåòî÷íîñòüþ, ïðèñóùåé âñÿêèì ãðàôè÷åñêèì ïîñòðîåíèÿì, â äàííîì ñëó÷àå ïðèõîäèòñÿ ìèðèòüñÿ, òàê êàê è ïðè àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäàõ ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ çàäà÷ ïîëó÷àþòñÿ òîëüêî ïðèáëèæåííûå ðåçóëüòàòû âñëåäñòâèå íåîáõîäèìîñòè ïðèíèìàòü òå èëè èíûå äîïóùåíèÿ. Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ 463 n U 0 - ri = U 0 - r å ak Y k = G(Y). k =0 Óðàâíåíèå öåïè dY/dt + ri = U0 ìîæíî íàïèñàòü â âèäå Y dY = dt èëè G(Y) dY ò G(Y) = t - t , Y0 ãäå Y0 — çíà÷åíèå Y ïðè t = t0. Åñëè ïîëèíîì G(Y) íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé, òî, ðàçëàãàÿ 1/G(Y) íà ïðîñòûå äðîáè, ïîëó÷èì Y dY ò G(Y) = Y s =n Y A s dY s =n å ò (Y - Y ) = å A s =1 Y s s s =1 ln Y - Ys , Y0 - Ys ãäå Ys — êîðíè óðàâíåíèÿ G(Y) = 0, à ïîñòîÿííûå As îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1 é dG(Y) ù . As = è G' (Ys ) = ê ú G' (Ys ) ë dY û Y=Ys Çàäàâàÿñü çíà÷åíèÿìè Y, íåòðóäíî íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ t. n ×åì áîëüøå ÷ëåíîâ âîçüìåì â âûðàæåíèè i = å ak Y k , òåì òî÷íåå óäàåòñÿ ïðåäk =0 ñòàâèòü àíàëèòè÷åñêè çàäàííóþ íåëèíåéíóþ õàðàêòåðèñòèêó ýëåìåíòà öåïè, íî òåì áîëåå ãðîìîçäêèì îêàçûâàåòñÿ ðåøåíèå. Ïðè ýòîì îñíîâíàÿ òðóäíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â îòûñêàíèè êîðíåé óðàâíåíèÿ G(Y) = 0 ïðè âûñîêîì åãî ïîðÿäêå. Èçáåæàòü íàëè÷èÿ êðàòíûõ êîðíåé âñåãäà âîçìîæíî, òàê êàê âûðàæåíèå i = SakYk âûáèðàåì ñàìè. Èçëîæåííîå öåííî òåì, ÷òî äàåò îáùóþ ìåòîäèêó ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ çàäà÷.  êîíêðåòíûõ ñëó÷àÿõ ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ áîëåå öåëåñîîáðàçíûì âûðàçèòü i = F(Y) íå â âèäå ðÿäà, à ñ ïîìîùüþ òîé èëè èíîé ïîäõîäÿùåé ýëåìåíòàðíîé Y dY ôóíêöèè, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî âçÿòü èíòåãðàë ò . ( ) G Y Y 22.11. Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ èíòåðâàëîâ äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â íåëèíåéíîé öåïè Äëÿ èëëþñòðàöèè ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ èíòåðâàëîâ ïðîèçâåäåì ðàñ÷åò ýòèì ìåòîäîì çàäà÷è î âêëþ÷åíèè êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ U0 (ñì. ðèñ. 22.21), èññëåäîâàííîé â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ äðóãèìè ìåòîäàìè. Ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãî ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîöåññ, íà äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî ìàëûõ è ðàâíûõ äðóã äðóãó èíòåðâàëîâ Dt. Äëÿ îöåíêè âûáîðà âåëè÷èíû Dt ìîæíî ïîäñ÷èòàòü ïî èçâåñòíûì êîíå÷íûì çíà÷åíèÿì Y0 è I0 ïîñòîÿííóþ âðåìåíè t ¢0 = L 0¢ r = Y0/(I0r), êîòîðàÿ õàðàêòåðèçîâàëà áû ïðîöåññ ïðè L = L0 = const.  äàííîì ñëó÷àå t ¢0 = 1,1/(0,9×8,5) = 0,144 ñ. Âûáåðåì, ñîîòâåòñòâåííî, Dt = h = 0,01 ñ. 464 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé Ïóñòü k — ïîðÿäêîâûé íîìåð èíòåðâàëà. Èíäåêñ áóäåì ïðèïèñûâàòü çíà÷åíèÿì âñåõ âåëè÷èí â êîíöå k-ãî èíòåðâàëà. Òîãäà èõ çíà÷åíèÿ â íà÷àëå k-ãî èíòåðâàëà, ðàâíûå èõ çíà÷åíèÿì â êîíöå ïðåäûäóùåãî èíòåðâàëà, áóäóò èìåòü èíäåêñû k – 1. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå öåïè dY = U 0 - ri = f (Y) dt ïðèáëèæåííî çàïèøåì â âèäå (DY) k = Yk - Yk -1 » (U 0 - rik -1 )Dt èëè Yk = Yk -1 + hf (Yk -1 ).  íà÷àëå ïåðâîãî èíòåðâàëà k = 1, ò. å. ïðè t = 0 èìååì Yk -1 = Y0 = 0; ik -1 = i0 = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïåðâîãî èíòåðâàëà (DY)1 = Y1 = U 0 Dt = U 0 h. Òîê i1 ïîëó÷àåì èç êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ (êðèâàÿ 1 íà ðèñ. 22.17) ïî íàéäåííîìó çíà÷åíèþ Y1. Ïðèðàùåíèå ïîòîêîñöåïëåíèÿ âî âòîðîì èíòåðâàëå ðàâíî (DY) 2 = Y2 - Y1 = (U 0 - ri1 )Dt. Îòñþäà íàõîäèì çíà÷åíèå Y2 = Y1 + (DY)2 è ïî íåìó èç ãðàôèêà — òîê i2 è ò. ä. Ðàñ÷åò äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî íàìè êîíêðåòíîãî ïðèìåðà ïðèâåäåí â òàáëèöå. Ìîìåíò âðåìåíè tk ê êîíöó èíòåðâàëà, î÷åâèäíî, ðàâåí kDt. k tk U0–rik–1 (DY)k Yk ik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 7,65 7,48 7,34 7,23 7,08 6,97 6,80 6,67 6,55 6,38 6,21 5,95 5,70 5,36 4,90 0,0765 0,0748 0,0734 0,0723 0,0708 0,0697 0,0680 0,0667 0,0655 0,0638 0,0621 0,0595 0,0570 0,0536 0,0490 0,076 0,151 0,224 0,296 0,367 0,437 0,505 0,572 0,637 0,701 0,763 0,822 0,879 0,933 0,982 0,020 0,036 0,050 0,067 0,080 0,100 0,115 0,130 0,150 0,170 0,200 0,230 0,270 0,325 0,415 Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ k tk U0–rik–1 (DY)k Yk ik 16 17 18 19 20 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 4,13 3,40 2,50 1,03 0,45 0,0413 0,0340 0,0250 0,0103 0,0045 1,023 1,057 1,082 1,092 1,096 0,500 0,605 0,780 0,850 ~0,9 465 Íà ðèñ. 22.23 ïîêàçàíû êðóæêàìè òî÷êè èç òàáëèöû. Ýòè òî÷êè õîðîøî ëîæàòñÿ íà êðèâûå, ïîëó÷åííûå ìåòîäîì ãðàôè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ èíòåðâàëîâ, â ïðèíöèïå, äîëæåí îáåñïå÷èâàòü òåì áîëüøóþ òî÷íîñòü, ÷åì ìåíüøèìè âûáðàíû èíòåðâàëû Dt. Îäíàêî ïðè ýòîì óâåëè÷èâàåòñÿ êîëè÷åñòâî âû÷èñëåíèé, êîòîðûå ïðîèçâîäÿòñÿ ñ îïðåäåëåííûìè ïîãðåøíîñòÿìè. Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ïîãðåøíîñòè áóäóò íàðàñòàòü, òàê êàê ïîãðåøíîñòü, äîïóùåííàÿ ïðè âû÷èñëåíèè íåêîòîðîé âåëè÷èíû â êàêîì-òî èíòåðâàëå, îòðàæàåòñÿ íà çíà÷åíèÿõ ýòîé âåëè÷èíû âî âñåõ ïîñëåäóþùèõ èíòåðâàëàõ. Äåéñòâèòåëüíî, èç ôîðìóëû Yk = Yk–1 + h(dY/dt)k–1 = Yk–1 + hf(Yk–1) ñëåäóåò, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f(Y) — ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ (óáûâàþùàÿ) ôóíêöèÿ âðåìåíè, òî ýòà ôîðìóëà äàåò çàíèæåííîå (çàâûøåííîå) çíà÷åíèå Yk, òàê êàê â èíòåðâàëå (k – 1)h < t < kh çíà÷åíèå f(Y) ïðèíèìàåòñÿ íåèçìåííûì è ðàâíûì f(Yk–1), â òî âðåìÿ êàê â äåéñòâèòåëüíîñòè f(Yk) > f(Yk–1) [ f(Yk) < f(Yk–1)]. Ðåçóëüòèðóþùàÿ ïîãðåøíîñòü áóäåò òåì áîëüøåé, ÷åì áîëüøå ÷èñëî èíòåðâàëîâ. Äëÿ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ èíòåðâàëîâ ñëåäóåò ïîâûñèòü òî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé, íàïðèìåð, êîððåêòèðóÿ åå çíà÷åíèå â òî÷êå k – 1. Îïðåäåëèì íîâîå çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé êàê ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå åå çíà÷åíèé â òî÷êàõ k – 1 è k: 1 æ dY ö ç ÷ = f (Yk -1 ) = [ f (Yk -1 ) + f (Yk )]. 2 è dt ø k -1 Òîãäà ðàñ÷åòíàÿ ôîðìóëà ìåòîäà ïðèìåò âèä h Yk êîð = Yk -1 + [ f (Yk -1 ) + f (Yk )]. 2  íîâóþ ôîðìóëó âõîäèò íåèçâåñòíîå åùå çíà÷åíèå f(Yk), êîòîðîå ìîæíî ~ ïðîãíîçèðîâàòü, èñõîäÿ èç ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ Yk , âû÷èñëåííîãî ïî îáû÷~ íîé (áåç óòî÷íåíèÿ) ôîðìóëå Yk = Yk–1 + hf(Yk–1). ~ Òîãäà f(Yk) » f(Yk ). Ýòà ôîðìóëà äàåò íåòî÷íîå, ïðîãíîçèðóåìîå çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé â òî÷êå k. Îäíàêî äàæå ïðè ýòîì îïèñàííûé ïðèåì êîððåêöèè ïðîèçâîäíîé (dY/dt)k–1 ïîçâîëÿåò ïîâûñèòü òî÷íîñòü ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ èíòåðâàëîâ. Ãðàôè÷åñêè ñóòü êîððåêöèè ïðîèëëþñòðèðîâàíà íà ðèñ. 22.25, ãäå êðåñòèêîì îáîçíà÷åíî çíà÷åíèå Ðèñ. 22.25 Y1 êîð ïîñëå êîððåêöèè.