Теория колебаний. Основные виды колебаний. Гармонический осциллятор

Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное агентство по образованию КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н.ТУПОЛЕВА М.П.ДАНИЛАЕВ, Н.В.ДОРОГОВ, Н.С.ШИЛОВ ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ Учебное пособие Казань ООО «Новое знание» 2017 УДК 621.375.001 ББК 32.84 Т33 Рекомендовано Учебно-методическим центром КНИТУ-КАИ им. А.Н.Туполева Рецензенты: Доктор физико-математических наук, председатель секции НТС «НПО ГИПО» В.Л.Филиппов Доктор физико-математических наук, профессор В.В.Семашко (Казанский (Приволжский) федеральный университет) Данилаев М.П., Дорогов Н.В., Шилов Н.С. Т33 Теория колебаний: Учебное пособие. – Казань: ООО «Новое знание», 2017. – 104 с. ISBN 978-5-9909515-6-3 Изложены основные положения курса «Теория колебаний». Приведены примеры решения задач по курсу «Теория колебаний» и задачи для самостоятельного решения. Рекомендуется для студентов очной, заочной и вечерней форм обучения по направлениям подготовки 11.03.01 «Радиотехника», 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии в системах связи». Табл.: 1 Илл.: 53 Библиог.: 12 УДК 621.375.001 ББК 32.84 ISBN 978-5-9909515-6-3 2 © Данилаев М.П. Дорогов Н.В., Шилов Н.С., 2017 © ООО «Новое знание», оформление, 2017 СОДЕРЖАНИЕ 1. Основные понятия и определения. .................................................................. 4 1.1. Основные виды колебаний [6]. .................................................................. 8 2. Гармонический осциллятор [3]. ..................................................................... 10 2.1. Представление движений гармонического осциллятора на фазовой плоскости. ........................................................................................................... 11 2.2. Некоторые примеры гармонических осцилляторов. ................................. 13 4. Аппарат математического анализа, используемый .................................... 16 в теории колебаний [6]. ...................................................................................... 16 3.1. Задача о дифракционной решетке. ............................................................. 17 3.2. Решение дифференциальных уравнений с помощью комплексных величин................................................................................................................ 18 3.3. Аппроксимация периодических функций тригонометрическими полиномами. ....................................................................................................... 19 4. Особые точки и их классификация [5,6]. ...................................................... 21 5. Основные понятия теории устойчивости [7]. ............................................... 25 5.1. Второй метод А.М.Ляпунова проверки на устойчивость. ......................... 30 5.2. Исследование на устойчивость по первому приближению. ..................... 32 6. Линейный осциллятор при наличии трения [3,6]. ........................................ 35 7. Линейный осциллятор с «отрицательным» трением [3,6]. .......................... 41 8. Линейный осциллятор с отталкивающей силой [6]. ..................................... 45 9. Линейный гармонический осциллятор под действием внешних сил [6]. ... 50 10. Аналогия между электрическими и механическими колебательными системами. [9] ..................................................................................................... 54 11. Нелинейные системы, близкие к гармоническому осциллятору [2,3,6]. ... 58 12. Параметрические колебания [2,6,8]. ............................................................ 62 13. Пример вывода уравнения движения акустических колебаний [9]. .......... 66 14. Задачи для самостоятельного решения [10,11,12]. ..................................... 82 Список литературы ........................................................................................... 102 3 1. Основные понятия и определения. Колебания – это повторяющиеся ограниченные движения относительно некоторого среднего состояния, которое в частном случае является состоянием равновесия [1]. При изучении колебательных движений (колебаний) интересует не состояние системы в данный момент времени, а признаки, характеризующие повторяемость движений: закон, по которому повторяется движение, время, через которое система приходит к исходному состоянию и т.д. Зная все эти признаки возможно определить состояние системы в любой момент времени. Теория колебаний рассматривает общие закономерности колебательных процессов в различных динамических системах. Динамические системы, в которых могут существовать колебательные процессы, называются колебательными системами. Исследование колебательных систем возможно проводить лишь при условии их представления моделями, в которых учитываются только основные черты, существенные для изучаемых колебательных процессов. Любая модель – это упрощенное представление реальной, в нашем случае, динамической системы. Это означает, что исследования колебательных систем мы будет проводить в рамках сделанных допущений, ограничений при формализации их математической модели. От правильности сделанных упрощений зависит достоверность результатов исследований. Избыточно точный расчет грубой модели, также как и использование сложной, учитывающий многие детали реальной системы, модели при ее дальнейшем грубом анализе лишены смысла. Во всех случаях принципиально важно выбрать соответствие между ограничениями модели и точностью проводимого анализа. Основными процессами, изучаемыми в рамках теории колебания, являются повторяющиеся процессы, которые разделяют на периодические и непериодические. Периодические процессы принято описывать с помощью периодических функций. удовлетворяющие условию: 4 Периодическими называются функции, f t  T   f t  , (1) где T - период колебаний. Пример периодических функций приведен на рис.1. Рис.1. Как видно из рисунка, периодические функции могут быть как непрерывными, так и разрывными. Особую роль при изучении колебательных процессов имеют тригонометрические функции синус и косинус:  2  f  t   A sin  t  ,  T  (2) где A , T ,  - постоянные величины. Положение материальной точки в пространстве определяется ее  радиусом-вектором r, компоненты которого совпадают с ее декартовыми   координатами r  r  x, y , z  . Для определения положения из N материальных точек в пространстве надо знать N радиус-векторов, т.е. 3N координаты. Число независимых величин, задание которых необходимо для однозначного определения положения системы, называется числом ее степеней свободы. Эти величины не обязательно является декартовыми координатами точек и в зависимости от условий задачи могут быть выбраны удобным для исследования задачи образом. Например, в качестве одной из степеней свободы возможно выбрать температуру или напряженность электрического поля. Любые s величин q 1 , q 2 , . .. , q s характеризующие положение системы в пространстве называются обобщенными координатами, а производные dqi dt  qi - обобщенными скоростями. Состояние системы 5 полностью определяет задание всех обобщенных координат и скоростей. Соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями называются уравнениями движения. По отношениям к функциям q  t  это дифференциальные уравнения, интегрирование которых позволяет определить эти функции, т.е. траектории движения системы. Пример 1. Рассмотрим пример математического маятника, совершающего незатухающие колебания (рис.2). Рис.2 Математический маятник – это модель реального, физического маятника, формализованная при следующих допущениях [2]: 1. Подвес, к корму крепиться нить маятника неподвижна. 2. Длина нити существенно больше характерных размеров груза, подвешенного к нити. При этом груз считают материальной точкой имеющей массу m . Материальной точкой называют тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения.  3. На груз действуют сила тяжести F т , направленная вертикально вниз. При этом не учитываются иные силы, присутствующие при колебаниях физического маятника, например, сила трения, сила сопротивления воздуха и т.д. 6 Зная законы Ньютона и учитывая приведенные ограничения возможно записать уравнения колебаний математического маятника, т.е. формализовать математическую модель.   Итак, на материальную точку действует сила тяжести F т  m g . Проекция этой силы на направление движение (рис.1) называется   возвращающей силой [3] F s  mg sin  , где  – угол между нитью и вертикалью. Уравнение движение имеет вид:   ma   m g sin  (3) Длина дуги траектории s связана с углом отклонения  соотношением s  l  , где l - длина нити математического маятника, а ускорение равно 2 ad s dt 2 . Уравнение (3) возможно переписать в виде: d 2  02 sin , 2 dt g где 0  l (4) - частота собственных колебаний математического маятника. При малых отклонениях от равновесия sin    переходим к уравнению малых колебаний математического маятника: d 2  02  0 . 2 dt Уравнение (5) является дифференциальным (5) уравнением второго порядка, решение которого возможно определить используя метод Эйлера [4]. Решение этого уравнения имеет вид:   t   0 exp   j0t  , (6) или, в соответствии с формулой Эйлера, возможно записать   t   0 sin  0t   , (7) где  0 - амплитуда колебаний, а  - начальная фаза колебаний. 7 1.1. Основные виды колебаний [6]. Классификация основных видов колебаний основана на физических причинах, вызывающих эти колебания. 1.Собственные колебания. Собственными (свободными) называются колебания, происходящие без воздействия на систему внешних сил. Колебания происходят под действием восстанавливающих сил, в том числе и силы трения. В системах с одной степенью свободы начальное состояние – состояние в котором находится система перед началом колебательного процесса – характеризуется начальным смещением q0 и начальной скоростью q0 . Независимо от конструкции для системы с одной степенью свободы дифференциальные уравнения собственных колебаниях однородны: q  k 1 q  k 2 q  0 . Решение этих уравнений (8) подробно рассмотрено в курсе «математического анализа» [4]. В приведенном выше примере математического маятника рассматривается частный случай собственных колебаний, происходящих в отсутствии силы трения. 2. Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием вынуждающей силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний неоднородно: q  k1q  k2q  Q  t  . (9) Вид правой части Q  t  определяется законом, по которому действует вынуждающая сила на систему. Например, при периодическом гармоническом воздействии правую часть возможно записать в виде: Q  t   Q0 sin  0t    . 3. Автоколебания - незатухающие (10) колебания, которые могут существовать в колебательной системе при отсутствии периодических внешних воздействий (в отличие от вынужденных колебаний) за счет 8 наличия в системе активного элемента, восполняющего неизбежные в реальной системе потери энергии. Амплитуда и период автоколебаний определяются свойствами самой системы. Примеры автоколебаний – электрические колебания в автогенераторе (рис.3). R C L N i=f(u) Рис.3 Схема колебательной системы с нелинейным активным элементом с характеристикой N-типа. Нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее работу схемы, приведенной на рис.3, записывается на основании законов Кирхгофа: u  4. 1 C 1 1   .  R  f  u   u  LC u  0 Параметрические колебания. (11) Параметрическими называются колебания, которые обусловлены зависимостью параметров системы от времени. Например, если каким-либо образом изменять номинал емкости C  C t  в схеме, приведенной на рис.4, то можно возбудить параметрические колебания. R C(t) L Рис.4 Схема колебательной системы с параметрической емкостью. Дифференциальное уравнение описывающие параметрические колебания, в общем случае, имеет вид: q    t  q  0 . (12) 9 5. Нелинейные колебания. Нелинейные колебания описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Нелинейные колебания могут быть как собственные, так и вынужденные. Уравнение собственных колебаний имеет вид: q  1  q   2  q   0 . Характерной особенностью (13) собственных нелинейных колебаний является зависимость собственной частоты от амплитуды. 2. Гармонический осциллятор [3]. Автономные колебательные системы, описываемые дифференциальным уравнением вида: q  02q  0 (14) называются гармоническим осциллятором. Примером такой системы в радиотехники является идеальный колебательный контур (рис.5). C L Рис.5 Идеальный колебательный контур. В идеальном колебательном контуре не учитываются потери энергии на паразитных сопротивлениях проводников, а также на излучение электромагнитной энергии. Кроме того, считаем, что величина емкости не зависит от ее заряда, а индуктивность – от силы тока, протекающего через нее. Тогда, в соответствии с законами Кирхгофа, уравнение движения, описывающее идеальный колебательный контур: Lq  q  0, C 2 где q - заряд емкости C . Если ввести обозначение 0  1 , то LC 10 (15) q  02q  0 , (16) Решение уравнение (16) ищется в виде: q  A sin 0t  B cos 0t , (17) где постоянные интегрирования ищутся исходя из начальных условий. Если положить, что заряд емкости в начальный момент времени равен q  t  0  q0 , а скорость изменения заряда в начальный момент времени - q  t  0  q0 , то A  q0 ; B  q0 0 . Решение (17) возможно записать в виде: q  K cos  0t    , (18)  B .  A где K  A2  B 2 ,   arctg   Зависимость заряда от времени в идеальном колебательном контуре описывается синусоидой с амплитудой K , собственной частотой  0 и начальной фазой  . Эти параметры колебательного процесса определяются параметрами колебательной системы. Поскольку фаза колебания определяет начальный момент отсчета времени, то ее нельзя выбирать произвольно, если начальный момент времени уже задан каким-либо другим процессом. Следует отметить, что в частном случае q 0  0 колебания в идеальном колебательном контуре не возникают. 2.1. Представление движений гармонического осциллятора на фазовой плоскости. Совокупность всех возможных состояний системы возможно отобразить в декартовой системе координат, где x  q, y  q . Такая система координат называется плоскостью состояний или фазовой плоскостью. Каждое конкретное состояние системы представляется на фазовой плоскости точкой. Эта точка называется изображающей точкой. Траектория такой изображающей точки называется фазовой траекторией. Скорость движения изображающей точки по фазовой плоскости называется фазовой скоростью. 11 Для гармонического осциллятора (18) уравнение фазовой траектории получают, исключая t из уравнений: q  K cos   0 t    q  K  0 sin   0t    . (19) Из курса тригонометрии известно, что cos2  sin2 1. Воспользовавшись этим соотношением для уравнений (19), а также принятыми обозначениями x  q, y  q получаем параметрическое уравнение фазовой траектории: x2 y2   1. K 2 K 220 (20) Это уравнение семейства подобных эллипсов (рис.6). Каждому значению величины K соответствует свой эллипс. Рис.6 Фазовые траектории гармонического осциллятора. Для определения фазовой скорости вводиться фазовый радиус-вектор:    (21) r  xi  yj .  Фазовая скорость v :   d r  dx    dy   v    i    j; dt  dt   dt     v    K 0 sin  0t     i    K 02 cos  0t     j. 12 (22) Поскольку синус и косинус одновременно в нуль не обращаются, то фазовая скорость никогда не обращается в нуль, за исключением случая K  0. Фазовые траектории динамической системы позволяют охватить все возможные ее состояния. Поэтому по виду фазовых траекторий возможно определить характер движения системы. Для динамических систем более сложных, чем гармонический осциллятор, не всегда удается получить аналитическое решение уравнения движения. Однако непосредственно из уравнения движения возможно получить изображения фазовой траектории. Рассмотрим этот подход, сначала, на примере гармонического осциллятора. Согласно введенным выше обозначениям y x  q, y  q возможно записать: dx dy ;  02 x . dt dt (23) Разделив второе уравнение на первое, получим: dy x  02 . dx y (24) Проинтегрировав это уравнение, получим уравнение интегральных кривых (20). Следует отметить, что порядок дифференциального уравнения (24) на единицу меньше, чем уравнения (16). В данном случае интегральные кривые совпадают с фазовыми траекториями системы. Однако не всегда это условие выполняется. В более сложных случаях интегральные кривые могут содержать несколько фазовых траекторий. 2.2. Некоторые примеры гармонических осцилляторов. 1. Пружинный маятник – материальная точка массой m , соединенная пружиной с неподвижной стенкой (рис.7). 13 Рис.7 Пружинный маятник. В соответствии с законом Гука сила, действующая на материальную точку со стороны пружины равна F  k  x  l  , где l - длина пружины, k жесткость пружины, x - расстояние от точки закрепления пружины до материальной точки. На основании второго закона Ньютона для новой y  x  l уравнение движения материальной точки пружинного переменной маятника имеет вид: d2y  02 y  0 , 2 dt где  0  k m (25) . 2. Модель «Хищник-жертва». Исследуем численность животных, обитаемых совместно на некоторой территории. Выделим две группы животных – «хищники», например волки и «жертвы», например, зайцы. Пусть число зайцев - N 1 , а число волков - N 2 . Будем считать, что волки питаются только зайцами, а зайцы – только травой, которая имеется в избытке. В отсутствии волков зайцы размножаются по закону: dN1  1N1 . dt Здесь  1   11   12 , где  11 (26) – коэффициент, учитывающий естественное рождение зайцев, а  1 2 – их естественную смертность. В отсутствии зайцев волки вымирают по закону: 14 dN 2  2 N2 . dt (27) При совместном проживании на одной территории при столкновении волков с зайцами первые поедают последних. Поскольку вероятность столкновения пропорциональна N 1 N 2 , то скорость поедания ~ p 1 N 1 N 2 . Суммарная скорость изменения числа зайцев: dN1  1 N1  p1 N1 N 2 . dt (28) Рассуждая соответствующим образом возможно получить уравнение суммарной скорости изменения численности волков: dN 2   2 N 2  p2 N1 N 2 . dt (29) В состоянии равновесия численность зайцев и волков определяется из условий dN1 dt  0; dN 2 dt  0 . Отсюда равновесные численности зайцев и волков соответственно составляют: N 10  Тривиальное 2  ; N 20  1 . p2 p1 состояние равновесия (30) (N1  N 2  0 ) мы не рассматриваем. Обозначим отклонения от положения равновесия как n1  N 1  N 1 0 ; n 2  N 2  N 2 0 . (31) Если положить, что эти отклонения невелики, то произведение N 1 N 2 возможно записать в виде N1 N2  N10 N20  N10n2  N20n1 . Тогда, с учетом (28) и (29) возможно записать уравнения для малых отклонений от положения равновесия: dn1 dn2   p1 N10 n2 ;  p2 N 20n1 . dt dt Исключая из (32) переменную n 2 получаем: d 2 n1  20 n1  0 , 2 dt (32) (33) где 02  p1 p2 . 15 Таким образом, несмотря на то, что природа колебаний различна, все они подчиняются одному и тому же гармоническому закону. 4. Аппарат математического анализа, используемый в теории колебаний [6]. В теории колебаний широко используется известный вычислительный прием, – использование комплексных величин. Следует отметить, что существуют ограничения, при которых возможно использовать этот прием [6,4]. Напишем известные формулы: 1 ikz ikz e ikz  cos kx  i sin kx , coskx  (e  e ), 2 1 sin kx  (e ikz  e ikz ), 2i (34) где i  i 1. Эти формулы позволяют выразить синусоидальные колебания через комплексные экспоненциальные функции. В теории колебаний интересуются действительными величинами. Например, в exp  ikz  , интересует действительная часть этого выражения, т.е. cos kx . Однако работать с комплексными величинами удобно, потому что при дифференцировании они себя воспроизводят с точностью до множителя, в отличии от синуса и косинуса, которые ведут себя сложнее. i Всякую комплексную величину a  ib можно представить в виде Ae , где A и  – действительные величины, причем A  ai2  b2 , tg   b . При перемножении комплексных a величин фазы их просто складываются, и это – второе, очень удобное свойство. Часто имеют дело с величинами вида Комплексное число   (a  ib)eit . может быть представлено показательной и тригонометрической форме (36): 16 (35) в алгебраической, (a  ib)eit  Aei ( t  q )  A cos(t  )  iAsin(t  ), и, следовательно, искомая действительная часть есть (36) (37) A cos(i  ) .  Если колебание задано в виде (35), то произведение  величины  на сопряженную ей величину *  (a  ib)e it дает квадрат амплитуды действительной части  : *  (a  ib)(a  ib)  a 2  b2  A2 . (37) Таким образом, для того, чтобы найти квадрат амплитуды, не нужно переходить от выражения (35) к его действительной части. 3.1. Задача о дифракционной решетке. Рассмотрим оптическую задачу о дифракционной решетке (рис.8), наглядно иллюстрирующую преимущества оперирования комплексными величинами. Колебания, идущие от соседних щелей решетки, имеют благодаря разности путей разность фаз:  2 d sin  .  (38) Рис.8 В фокусе линзы происходит сложение m когерентных колебаний (m– число щелей решетки). Результирующее колебание в точке наблюдения описывается выражением: 17 (39) cos t  cos(t  )  cos( t  2)  ...  cos[  t  ( m  1)] . Непосредственно сложить эти m членов не так просто. Воспользуемся, однако, комплексным действительная часть от представлением: первый член суммы есть eit , второй — действительная часть от ei(t) и т.д. Действительная часть суммы комплексных величин есть сумма действительных частей слагаемых (но действительная часть произведения не равна произведению действительных частей). Сумму комплексных величин это сумма геометрической прогрессии с показателем   e i t ei: e im  1 . ei  1 (40) Сумма (39), амплитуда А, равна действительной части этого выражения. Квадрат амплитуды равен: m sin 2 1  cos m  2 . A 2  *    1  cos  sin 2 2 (41) 3.2. Решение дифференциальных уравнений с помощью комплексных величин. Пусть задано дифференциальное уравнение вида:  y  ky  02 y  cos t . Найдем частное решение этого уравнения, переписав его в виде: (42)  y  ky  20 y  eit , и будем искать решение нового уравнения в комплексной форме: (43) y  Aeit . Тогда для амплитуды А получается простое уравнение: (44) A(2  ik  20 )eit  eit . (45) Действительная часть получаемого таким путем выражения (44) будет удовлетворять интересующему нас дифференциальному уравнению (42). Это возможно лишь потому, что при подстановке (44) в дифференциальное уравнение мы только дифференцировали и складывали. Рассмотрим другой пример: 18 yy  cos t . Это уравнение нельзя решать путем замены правой части на выражение eit . Такая замена ничего не даст, потому что действительная часть произведения не есть произведение действительных частей. Пусть y  a cos  t – ток. Количество тепла, выделяющееся в единицу времени в сопротивлении R, равно Ry 2  Ra2 cos2 t . Мы не получим правильного значения этого выражения, если напишем y  aeit , возведем в квадрат и возьмем действительную часть: действительная часть квадрата не есть квадрат действительной части. Таким образом, комплексные величины представляют большое удобство, но, пользуясь ими, нужно остерегаться нелинейных операций. 3.3. Аппроксимация периодических функций тригонометрическими полиномами. Перейдем теперь к рассмотрению функций периодических, но не гармонических, – к рядам Фурье. Предположим, что задана периодическая функция f(x). Для простоты примем период равным 2π. Можно ли аппроксимировать f(x) другими периодическими функциями φ(x), т.е. заменить f(x) другими периодическими функциями так, чтобы ошибка при замене была очень мала? В качестве меры ошибки возьмем среднюю квадратичную ошибку:  2 1 (46)   f ( x )   ( x ) dx .    2  Это погрешность такого приближения. Будем стремиться провести 2 аппроксимацию таким образом, чтобы погрешность была минимальной. Возьмем в качестве заменяющей функции φ(x) периодическую функцию: Sn  n 0   (  k cos kx   k sin kx ) 2 k 1 (47) с тем же периодом 2π, что и исходная функция f(x). Вопрос ставится так: нужно выбрать (2n+1) коэффициентов  0 ,  1 ,  2 , …,  1 ,  2 , … таким 19 образом, чтобы средняя квадратичная ошибка (46) была возможно меньше. Подставим (47) в (46):   1 1  0 2   f ( x ) dx   f ( x ) dx  2     2    n   .     k  f ( x ) cos kxdx   k  f ( x )sin kxdx   k 1     2  (48) 2 n 1  0     ( k cos kx   k sin kx )  dx   2     2 k 1  Введем далее величины:   1 1  k   f ( x )cos kxdx , bk   f ( x)sin kxdx . (49)     (k=0,1,2, …, n) которые называются коэффициентами Фурье функции f(x). Теорема Фурье заключается в следующем: при некоторых условиях бесконечный ряд: a0    ( ak cos kx  bk sin kx) . 2 k 1 сходится и представляет собой функцию f(x). (50) Обычно начинают изложение с задачи о точном представлении функции тригонометрическим рядом. Но физик не может работать с бесконечным числом членов. Поэтому для него важна задача об аппроксимации. Рядом Фурье могут быть представлены не все непрерывные функции. В виде рядов Фурье может быть представлен определенный класс разрывных функций, имеющих только разрывы первого рода (т.е. такие, что и слева и справа от разрыва функции имеет определенное значение). Для того чтобы функция могла быть представлена рядом Фурье, она должна иметь конечное число разрывов и не должна иметь бесконечного числа максимумов и минимумов. Например, непрерывную функцию sin(1/x), которая при x→0 имеет бесконечно густые максимумы, нельзя разложить в ряд Фурье. Класс функций, которые могут быть представлены рядом Фурье, вполне достаточен для физических целей. Практически любая интересующая физика функция может быть разложена в ряд Фурье. 20 Синусы и косинусы – не единственная система ортогональных функций, по которым можно разлагать произвольную функцию. Существует бесконечное множество таких систем. С этой точки зрения ряд Фурье – частный случай. В математике остальные разложения тоже важны, не менее важны, чем разложение Фурье. Но разложение Фурье выделено благодаря физическим условиям. 4. Особые точки и их классификация [5,6]. Уравнение (24) определяет в каждой точки фазовой плоскости единственную касательную, проходящую через эту точку. Это утверждение справедливо только в случае выполнения в этой точки условия теоремы Коши. Для точек, в которых условие теоремы Коши не выполняется уже нельзя утверждать, что через них проходит одна и только одна интегральная кривая. Такие точки называются особыми точками. Существуют различные особые точки, отличающиеся характером поведения интегральных кривых вблизи этих точек и в самих точках. 1. Особая точка типа «Центр». Центром называется изолированная особая точка, окруженная замкнутыми траекториями, вложенными друг в друга. Ни рис.9 такой особой точкой является центр декартовой системы координат. Эллипсы, вложенные друг в друга и охватывающие особую точку, называются центром. Следует отметить, что замкнутые кривые на фазовой плоскости соответствуют периодическому колебанию. В частности, если колебания гармонические, то на фазовой плоскости траектории в общем случае эллиптические, если колебания негармонические, то форма фазовых траекторий будет иной. 2. Особая точка типа «Фокус». Особой точкой типа «фокус» называется точка, которая является асимптотической для интегральных кривых типа спиралей, вложенных друг в друга (рис.9). 21 y x Рис.9 Фазовые траектории, соответствующие особой точки типа «Фокус» Уравнение движения, которому соответствует особая точка типа «Фокус» имеет вид:  x  2kx  02 x  0 . (51) Здесь k 2  20 . Воспользуемся вторым методом получения траекторий на фазовой плоскости. y dx dy ;  2ky  02 x . dt dt (52) Разделив второе уравнение на первое, получим: dy 2ky  20 x  . dx y (53) В соответствии с определением особой точки (см. теорему Коши) имеем: 2ky  02 x  0; y  0. (54) Особая точка – центр декартовой системы координат. Для построения фазовых траекторий, соответствующих уравнению (52) используют два метода: 1. интегрирование дифференциального уравнения первого порядка; 2. метод изоклин. 22 Метод 1. Дифференциальное уравнение (52) является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Метод решения этого класса уравнений подробно рассмотрен в курсе «математического анализа» [4]. Воспользовавшись известным подходом получаем следующее решение уравнения (52) записанное для случая 20  4k 2  0 : y 2  2kxy  20 x 2  y   6k    x     y   2k  02  x    2 2k C, (55) где C - постоянная интегрирования. Функция (29) является неявно заданной и представить ее в явном виде сложно. Это затрудняет построение фазовых траекторий. Рассмотрим второй метод, метод изоклин, позволяющий без сложных вычислений построить фазовые траектории. Изоклина – это геометрическое место точек, в которых касательные ко всем интегральным кривым имеют одинаковый наклон, т.е. образуют одинаковый наклон с осью абсцисс. Уравнение (52) определяет поле касательных на фазовой плоскости. Будем искать все точки на фазовой плоскости, в которых наклон интегральных кривых одинаковый и равен a : dy a. dx (56) Тогда, согласно (52) уравнение этой изоклины имеет вид: 2 2ky  02 x  a или y   0 x y a  2k (57) Изоклины представляют собой прямые, которые проходят через начало координат и имеют разные углы наклона  . Так при a  0    0 и изоклина – прямая, параллельная оси x. Построение изоклин в декартовой системе координат дает фазовую траекторию типа «Фокус». Следует отметить, что если изображающая точка двигаясь по фазовой траектории всегда стремиться 23 в центр декартовой системы координат, то система стремиться к состоянию равновесия. Если изображающая точка уходит от особой точки, то говорят о неустойчивом фокусе. 3. Особая точка типа «Узел». Особая точка, через которую проходят интегральные кривые типа парабол, называется узлом (рис.10). y x Рис.10 Фазовые траектории, соответствующие особой точки типа «Узел» Пример уравнения движение, которому соответствует особая точка типа «Узел» имеет вид:  x  2kx  02 x  0 . (58) Однако, в отличии от уравнения движения, которому соответствует особая точка «Фокус», в этом случае k 2  20 . Построение фазовых траекторий для этого случая предлагаем выполнить самостоятельно. 4. Особая точка типа «Седло» - это точка, через которую проходят две интегральные кривые, являющиеся асимптотами для кривых типа гипербол (рис.11). y x Рис.11 Фазовые траектории, соответствующие особой точки типа «Седло» 24 Пример уравнения движение, которому соответствует особая точка типа «Узел» имеет вид:  x  2 kx   x  0 . (59) Следует отметить, что фазовые траектории могут различаться в зависимости от параметров колебательной системы, описываемой заданным уравнением движения. Помимо замкнутых траекторий, соответствующих периодическому движению, присутствуют траектории незамкнутые, соответствующие апериодическому движению. 5. Основные понятия теории устойчивости [7]. Устойчивость системы – это ее свойство сохранять или изменять в малых пределах свое состояние и/или поведение под действием внешних возмущений. Диапазон малых изменений состояния и/или поведения системы в каждом конкретном случае определяется условиями задачи. Совокупность представлений и методов, обобщающих и формализующих устойчивость различных систем, составляет предмет теории устойчивости. Рассмотрим общую постановку задачи на исследование устойчивости динамической системы. Пусть исследуемая динамическая система при заданных допущениях описывается системой дифференциальных уравнений: dyi  Fi  t , y1 , y2 ,..., yn  ; i  1, n . (60) dt с начальными условиями yi  t0   yi 0 , которые являются результатами измерений. Результаты измерений получены с некоторой погрешностью. Возникает вопрос о влиянии малого изменения начальных условий на искомое решение. Если сколь угодно малые изменения начальных условий приводит к сильному изменению решения задачи Коши (60), то решение даже приближенно не может описать изучаемое явление. Следовательно, возникает важный вопрос о нахождении условий, при которых достаточно малое изменение начальных условий вызывает сколь угодно малое изменение решения. 25 Решение i  t  системы (60) называется устойчивым, или точнее устойчивым по Ляпунову, если для любого   0 можно подобрать      0 yi  t  , начальные значения которого такое, что для всякого решения удовлетворяют неравенствам yi  t0    i  t 0       (61) для всех t  t 0 справедливы неравенства yi  t    i  t    . (62) Исследование на устойчивость некоторого решения системы (60) может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения – точки покоя, расположенной в начале координат. Для этого вводят новые переменные xi  yi  yi , которые являются отклонениями исследуемых на устойчивость решений системы yi от решений yi , полученных для невозмущенной системы. В дальнейшем без ограничения общности можно считать, что на устойчивость исследуется тривиальное решение или, что одно и то же, расположенная в начале декартовой системы координат точка покоя системы уравнений. Рассмотрим исследование на устойчивость некоторых особых точек. Исследуем на устойчивость в окрестности точки x  0; y  0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:  dx  dt  a11 x  a12 y ,   dy  a21 x  a22 y ,  dt (63) где a11 a12  0. (64) a21 a22 Следует заметить, что разрешая систему (63) относительно одного из переменных, получаем дифференциальное уравнение второго порядка. Например, для переменной y имеем: 26 d2y dy   a11  a 22    a11a 22  a12 a 21  y  0 . 2 dt dt (65) Решение системы (63) ищется в виде: y  C1 1e k1t  C 21e k 2t , x  C1 2 e k1t  C 2 2 e k 2t , (66) где C1,2 - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями, k1,2 - корни характеристического уравнения: k 2   a11  a 22  k   a11a 22  a12 a 21   0 , (67)  i ,  i - постоянные, определяемые из уравнений:  a11  k  1  a12 2  0, a211   a22  k   2  0, (68) определяемые при k  k 1 и k  k 2 соответственно. При этом возможны следующие случаи. Случай 1 – корни характеристического уравнения действительные числа. 1. k 1  0 , k 2  0 . Точка покоя устойчива, поскольку из-за наличия экспоненциальных множителей в (49) точки, расположенные на фазовых траекториях вблизи начала координат при t   стремятся в начало координат. Так, например, для особой точки типа «Узел» движение по траекториям, указанное на рис.10 стрелочками, направлено в начало координат. Такая особая точка называется устойчивым узлом. 2. k 1  0 , k 2  0 . В отличие от предыдущего случая траектории выходят из начала координат. Например, траектории, соответствующие особой точке «Узел» при t   стремятся в бесконечность (рис.12). Такая особая точка называется неустойчивым узлом. 27 y x Рис.12 Фазовые траектории, соответствующие особой точки типа неустойчивый узел. 3. Если k1  0 , k 2  0 , то точка покоя неустойчива: при экспоненциальной зависимости решения (66) при сколь угодно малых значениях C 1 изображающая точка при возрастании t выходит из окрестности начала координат. Этому случаю соответствует особая точка типа седло. Случай 2 – корни характеристического уравнения комплексные числа: k1,2  p  jq y  e pt  C1 cos qt  C2 sin qt  , x  e pt  C1* cos qt  C2* sin qt  , (69) * где C1,2 - постоянные интегрирования, а C1,2 - некоторая линейная комбинация постоянных интегрирования. 1. p 0, q  0. Экспоненциальный множитель стремиться к нулю при возрастании t , а периодический множитель в уравнениях (69) остается ограниченным. При p  0 траектории являются замкнутыми в силу периодичности вторых множителей в (69). Наличие убывающего по экспоненте сомножителя превращает замкнутые кривые в спирали, асимптотически приближающиеся к началу координат при t   . Такая точка покоя соответствует особой точке фокус (рис.9) и является асимптотически устойчивой. Следует отметить, что в отличии от узла касательная к траектории не стремится к определенному пределу при приближении точки касания к точке покоя. 28 2. p 0, q  0. Траектории не отличаются от предыдущего случая, но движение происходит от начала координат при возрастании t (рис.13). Такая точка называется неустойчивым фокусом. y x Рис.13 Фазовые траектории, соответствующие неустойчивому фокусу 3. k1,2   jq, q  0 . В силу периодичности решения траектории являются замкнутыми. Центр является устойчивой точкой покоя. Следует отметить, что асимптотической устойчивости в этом случае нет, поскольку x  t  и y  t  не стремятся к нулю при t   . Случай 3 – кратные корни: k 1  k 2 . Общее решение имеет вид: y  ek1t  C11  C21t  , xe 1. k1  k 2  0 . k2t (70)  C12  C22t . Из за наличия быстро стремящегося к нулю экспоненциального сомножителя решение стремиться в нуль при t   . Точка покоя устойчива. Следует отметить, что при сколь угодно малом изменении коэффициентов aij кратный корень может перейти в пару как комплексно сопряженных корней, так и в пару действительных различных корней. 2. k 1  k 2  0 . Траектории не отличаются от траекторий предыдущего случая, но движение по ним происходит в противоположном направлении. В этом случае точка покоя является неустойчивой. 29 Пример. Исследовать на устойчивость систему уравнений: dx  x  y, dt dy  2 x  3 y. dt Характеристическое уравнение: 1  k 1  0. 2 3k или k2  4k  5  0 имеет корни k1,2  2  j . Точка покоя  0; 0  является неустойчивым фокусом. 5.1. Второй метод А.М.Ляпунова проверки на устойчивость. Теорема 1 (теорема Ляпунова об устойчивости). Если существует дифференцируемая функция f  q1, q2 ,..., qn  , называемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрестности начала координат следующим условиям: 1. f  q1 , q2 ,..., qn   0 , причем f  0 только при qi  0 , т.е. функция имеет строгий минимум в начале координат; n df f  Fi  t, q1, q2 ,..., qi   0 при t  t0 , то точка покоя qi  0 2.  dt i1 qi устойчива. Теорема 2 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Если существует дифференцируемая функция Ляпунова f  q1, q2 ,..., qn  , удовлетворяющая условиям: 1. f  q1, q2 ,..., qn  имеет строгий минимум в начале координат; 2. производная функции, вычисленная вдоль интегральных кривых системы n df f   Fi  t, q1, q2 ,..., qi   0 dt i1 qi 30 (71) причем вне сколь малой окрестности начала координат, то точка покоя системы qi  0 асимптотически устойчива. Теорема 3 (теорема Четаева о неустойчивости). Если существует дифференцируемая функция f  q1, q2 ,..., qn  , удовлетворяющая в некоторой замкнутой окрестности начала координат условиям: 1. в сколь угодно малой окрестности начала координат существует область, в которой f  q1 , q2 ,..., qn   0 . Причем функция обращается в нуль на части границы этой области; 2. в указанной области производная n df f   Fi  t, q1, q2 ,..., qi   0 , dt i1 qi (72) то точка покоя системы qi  0 неустойчива. Пример. Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы: dx dy   y  x3 ;  x  y3 . dt dt Рассмотрим функцию f  x, y   x 2  y 2 , удовлетворяющую условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости: 1. f  x, y   0, f  0,0  0 ; 2. df  2 x   y  x3   2 y  x  y 3   2  x 4  y 4   0 . Вне окрестности начала dt координат df  0 , следовательно, решение x  0 y  0 асимптотически dt устойчиво. Пример. Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы: dx dy   xy 4 ;  yx 4 . dt dt Рассмотрим функцию f  x, y   x 4  y 4 , удовлетворяющую условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости: 31 1. f  x, y   0, f  0,0  0 ; 2. df  4 x 4 y  4 y 4 x 4  0 . dt Следовательно, тривиальное решение x0 y 0 асимптотически устойчиво. Пример. Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы: dx dy  y3  x5 ;  x3  y 5 . dt dt Рассмотрим функцию f  x, y   x 4  y 4 , удовлетворяющую условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости: 1. f  x, y   0, при x  y ; 2. при df  4 x3  y 3  x 5   4 y 3  x 3  y 5   4  x8  y 8   0 при x  y , причем dt f    0, df   0. dt Следовательно, точка покоя x0 y 0 неустойчива. 5.2. Исследование на устойчивость по первому приближению. При исследовании на устойчивость точки покоя qi  0 (i  1, 2,...n) системы дифференциальных уравнений: dqi  i  t , q1 , q2 ,... ,  i  1,2,...n  , dt (73) где i - дифференцируемые в окрестности начала координат функции, применяется метод исследования на устойчивость линеаризованной системы (73). Для этого систему (73) представляют в виде: dqi n   aij  t  q j  Ri  t , q1 , q2 ,... ,  i  1,2,...n  , dt j 1 (74) n где Ri - имеют порядок выше первого относительно 2 i x i 1 32 и вместо точки покоя системы (73) исследуют на устойчивость ту же точку покоя линейной системы: n dqi   aij  t  q j ,  i  1,2,...n  , dt j 1 (75) называемой системой уравнений первого приближения для системы (73). Теорема 4. Если система (74) стационарна в первом приближении, все члены Ri в достаточно малой окрестности начала координат при t  T  t0 1   n 2 2 удовлетворяют неравенствам Ri  N   xi  , где N и  - постоянные,  i 1  причем   0 и все корни характеристического уравнения a1  k a12 ... a1n a21 ... a22  k ... ... ... a2 n ... an1 an 2 ... ann  k  0, (76) имеют отрицательные действительные части, то тривиальные решения qi  0 системы (74) и системы (73) асимптотически устойчивы, следовательно, в этом случае, возможно исследовать на устойчивость по первому приближению. Теорема 5. Если система (74) стационарна в первом приближении, все функции Ri удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характеристического уравнения (76) имеет положительную действительную часть, то точки покоя системы (74) и (73) неустойчивы, следовательно, и в этом случае, возможно исследовать на устойчивость по первому приближению. Пример. Исследовать на устойчивость точку покоя x  0, y  0 системы: dx  x  y  x 2  y 2 sin t ; dt dy  x  y  y 2. dt 33 Нелинейные члены удовлетворяют условиям теорем 4 и 5. Исследуем на устойчивость точку покоя системы по первому приближению: dx  x  y; dt dy  x  y. dt Характеристическое уравнение 1 k 1 1 1 k  0 имеет корни k1,2  1  j , следовательно в силу теоремы 5 точка покоя системы неустойчива. Пример. Исследовать на устойчивость точку покоя x  0, y  0 системы: dx  2 x  8sin y; dt dy  1  e x  3 y  cos y. dt Разлагая функции e x ,sin y,cos y в ряд Тейлора, имеем: dx  2 x  8 y  R1 ; dt dy   x  3 y  R2 . dt R1 и R2 удовлетворяют условиям теорем 4 и 5. Характеристическое уравнение k1,2   8 1 3  k 1 7 ,  j 2 2 устойчива. 34 2k  0 для системы первого приближения имеет корни следовательно, точка покоя системы асимптотически 6. Линейный осциллятор при наличии трения [3,6]. В качестве внешней силы, действующей на гармонический осциллятор (14), рассмотрим силу трения, сохранив остальную идеализацию. Примем, что сила трения пропорциональна скорости. Это допущение справедливо только при малых скоростях движения. Всякий иной закон трения нарушил бы линейность осциллятора, и мы вышли бы за рамки раздела курса «Линейные колебания». Уравнение движения линейного осциллятора при наличии трения имеет вид: q  2hq  02q  0 , (77) где b - коэффициент трения для скорости, равной единице. Решение этого уравнения имеет вид: q  Ae k1t  Be k2t , (78) где k1,2 - корни характеристического уравнения k 2  2hk  02  0 . (79) В зависимости от вида корней характеристического уравнения (79) возможно выделить следующие случаи движения осциллятора с трением. Затухающий осцилляторный процесс. При малом трении, когда h2  20 , корни характеристического уравнения (79) имеют значения: 1,2  h  j, где  20  h2 , j  1 (80) и для общего решения уравнения (77) получаем: x  e ht ( A cos t  B sin t ) , где А и В определяются начальными условиями. Если t=0 x=x0, (81) x  x 0 , то 35 x  hx0    x  e ht  x0 cos t  0 sin t  ,        02 x0  hx0  ht  x  e  x0 cos t  sin t .     (82) Решение (82) может быть также записано в виде: x  Ke ht cos(t  ),  x  hx0  K  A  B  x  0     B x  hx0 tg     0 . A  x0 2 где 2 2 (83) 2  ,      К аналогичному виду можно привести и выражение для скорости: x   K 0e  ht sin(t    ) , (84) где  определено соотношениями: h  0 sin ,     0 cos . (85) Формулы (83) и (84) определяют один из типов затухающего колебательного движения, именно осцилляторный затухающий процесс, в котором затухание амплитуды происходит по показательному закону. Полученные функции x(t) не являются периодическими функциями в силу определения таких функций (1). Функции (83) и (84) не подходят под это определение, поскольку для них приведенное условие не удовлетворяется для любых значений аргумента t. Промежуток времени между двумя последовательными прохождениями системы через положение равновесия (в одном и том де направлении) или между двумя последовательными 36 максимальными отклонениями (в одну и ту же сторону) постоянен и равен T 2 . Этот промежуток времени мы будем называть «условным периодом»  затухающего осцилляторного процесса. Зависимость координаты от времени имеет вид, изображенный на рис.14. Рис. 14 Скорость затухания, рассматриваемого осцилляторного процесса, может быть охарактеризована величиной h, так называемым показателем затухания. Численное значение h зависит от выбора единиц времени. Рассмотрим отношение двух последовательных экстремумов, направленных в одну и ту же сторону, например, двух последовательных максимумов: 2 h x  max hT e e  . x max Логарифм этой величины носит название логарифмического декремента затухания d, причем d  hT  Обратная величина – 2h .  (86) 1 , дает число условных периодов, после d которого амплитуда уменьшается в e раз (e – основание натуральных логарифмов). 37 Закон затухания колебаний тесно связан с принятой идеализацией закона трения. Только предположив, что сила трения пропорциональна скорости, мы получили закон убывания максимумов по геометрической прогрессии с показателем e-d. Следует отметить, что без специальных оговорок понятие логарифмического декремента затухания применимо только к системам линейным. Затухающее колебательное движение характеризуется четырьмя величинами: условным периодом Т (или соответствующей условной угловой частотой  ), логарифмическим декрементом затухания d, амплитудой К и фазой . Свойствами системы являются условный период и логарифмический декремент затухания колебаний; произвольными остаются амплитуда и фаза, которые определяются начальными условиями. Изображение затухающего осцилляторного процесса на фазовой плоскости. Зная решение дифференциального уравнения (77), можно найти уравнение семейства фазовых траекторий. Параметрические уравнения траекторий на фазовой плоскости x, y имеют вид x  Keht cos(t  ),   y  x  Keht  h cos(t  )  sin(t  ) (87) Это семейство спиралей, имеющих асимптотическую точку в начале координат. Для того, чтобы это показать воспользуемся линейным преобразованием координат: перейдем от переменных x, y к переменным u   x, v  y  h x, (88) Это декартовы координаты на другой плоскости. Если обозначить  K  C 1 , то u  C1e  ht cos(  t   ) , v  C1e  ht sin(t   ) . На плоскости u, v фазовыми траекториями будет семейство логарифмических спиралей с асимптотической точкой в начале координат рис.15. 38 Рис. 15 Изображающая точка, двигаясь по спирали на плоскости u, v, асимптотически приближается к началу координат. Относительно характера этих спиралей можно заметить следующее. При малых h ,  т.е. логарифмическая малых спираль соответствующему преобразовании кругу логарифмических в течение u2+v2=const. декрементах каждого Этот оборота круг при затухания, близка к линейном превращается в эллипс y 2  2hxy  02 x 2  const . Таким образом, при малых h исследуемая спираль близка на протяжении каждого  оборота к эллипсу (с соответствующим образом выбранным значением константы). Затухающий апериодический процесс. Рассмотрим теперь случай, когда корни характеристического уравнения действительны, т.е. когда h2  20 . В этом случае, обозначая 39 q   h 2  20 , (89) Получим корни характеристического уравнения: 1   h  q   q1 , 2   h  q   q2 (90) (q2>q1>0). Поэтому общее решение уравнения (77) может быть записано в виде x  Ae  q1t  Be  q2t x   q1 Ae  q1t    q2 Be  q2t . (91) Здесь А и В определяются начальными условиями. Именно, если t=0 x  x0 и x  x0 , то x x 0  q 2 x0  q1t x 0  q1 x 0  q 2 t e  e q 2  q1 q1  q 2 (92) Выявим характер возможных движений такой системы в зависимости от начальных условий. При всяких начальных условиях движение затухает, так как q1>0 и q2>0 и, значит, при t  x(t )  0 . Найдем t1 и t2 – моменты времени, для которых соответственно обращаются в нули x и x . Воспользовавшись (92), находим следующие уравнения для определения t1 и t2. x0  q1x0 x (q  q ) 1 0 2 1 , x0  q2 x0 x0  q2 x0 (93) q2 ( x0  q1x0 ) x (q  q )  1 0 2 1 . q1( x0  q2 x0 ) q1( x0  q2 x0 ) (94) e( q2 q1 )t1  e(q2 q1)t2  Каждое из этих уравнений имеет не более одного корня. Таким образом, осцилляторное затухание невозможно – процесс апериодический. Уравнение, определяющее t2, не имеет ни одного положительного корня если x 0  0. x0  q 2 x0 40 (95) Рис. 16. На рис.16 указана область начальных значений, которые удовлетворяют этому неравенству (область II). Для остальных начальных значений x0  0 – уравнение, определяющее t2, имеет положительный x0  q2 x0 корень; это значит, что смещение не убывает монотонно, а сначала возрастает по абсолютной величине и, лишь достигнув некоторого экстремума, начинает убывать, асимптотически стремясь к нулю. 7. Линейный осциллятор с «отрицательным» трением [3,6]. Возможно реализовать электрическую систему, «сопротивление» которой в известной области отрицательно. Примером такой системы может служить ламповый генератор, т.е. схема с электронной лампой, колебательным контуром и «обратной связью». Для определенности рассмотрим простейшую схему генератора с индуктивной обратной связью и 41 колебательным контуром в цепи сетки (рис.17), пренебрегая сеточными токами. Рис.17. При выбранных положительных направлениях токов и положительной полярности конденсатора для колебательного контура можем (на основании законов Кирхгофа) написать следующие уравнения: i  C где ( M dv di di , Ri  v  L  M a , dt dt dt (96) dia ) представляет собой э.д.с. обратной связи, наводимую в контуре dt благодаря воздействию на контур анодного тока, протекающего по катушке La). Систему (96) возможно преобразовать в уравнение: LC d 2v dv di  RC vM a. 2 dt dt dt (97) Пренебрегая анодной реакцией, т. е. считая анодный ток ia зависящим только от сеточного напряжения ug=v, имеем: dia dia dv dv    S (v) , dt dug dt dt где S  42 (98) dia  S (ug ) – крутизна характеристики лампы, конечно, зависящая от dug сеточного напряжения ug. Примерная характеристика лампы, а также зависимость крутизны характеристики S от ug приведены на рис.18. Рис.18. Подставляя выражение (98) в (97), получим: LC Это d 2v dv   RC  MS ( v )   v  0 . 2 dt dt нелинейное уравнение колебаний (99) лампового генератора. Рассмотрим малые колебание, такие, что уравнение (99) преобразуется к линейному виду. Причем малые колебания будем рассматривать вблизи состояния равновесия v=0. Ограничиваясь некоторой достаточно малой областью изменения напряжений v, будем считать S постоянной: S(v)=S0. Тогда для таких малых колебаний получим линейное уравнение: LC Знак d 2v dv   RC  MS 0   v  0 2 dt dt коэффициента взаимоиндукции (100) М (при выбранных положительных направлениях токов i и ia) определяется относительным расположением витков катушки L и La. Эти катушки включены так, что токи i и ia, текущие в направлениях, указанных на рис.17 стрелками (i>0, ia>0), создают в катушке L магнитные потоки, усиливающие друг друга. В таком случае при достаточно большом абсолютном значении M можно достигнуть того, что величина RC  MS0 станет отрицательной. Таким образом: 43 d 2v dv RC  MS 0 1  2 h  02 v  0  h  , 02  2 dt dt 2 LC LC  ,   (101) Причем h<0. Таким образом, надлежащим выбором величины и знака М можно осуществить электрическую систему, которую в известной ограниченной области можно рассматривать как линейную систему с «отрицательным сопротивлением». Все рассмотренные системы приводят к линейному x  2hx  02 x  0 , причем в отличие от дифференциальному уравнению вида  прежних случаев h в этом уравнении отрицательно ( 02 по-прежнему положительно). Пока обратная связь достаточно мала в контуре наблюдается либо апериодическое затухание, либо затухающие колебания, в зависимости от того, будет ли h2 больше или меньше, чем 02 . Если сам по себе контур обладает таким большим сопротивлением, что в нем происходит апериодическое затухание, то, выбрав достаточно сильную обратную связь, возможно достигнуть того, что эта обратная связь будет «компенсировать» большую часть сопротивления контура, т.е. h  RC  MS0 будет малой 2LC положительной величиной. Тогда в случае не слишком больших начальных отклонений (таких, что система не выходит за пределы линейной области) будет происходить колебательное, а не апериодическое затухание. Увеличивая обратную связь, мы должны пройти через положение, когда RC  MS 0  0 , и затем перейти в область, где RC  MS 0  0, т. е. достигнуть такого положения, при котором состояние равновесия станет неустойчивым (так как h<0) и будет происходить уже не затухание, а нарастание колебаний. Чем больше будет шаг спирали на фазовой плоскости, тем быстрее будут раскручиваться эти спирали и тем больше будет возрастать величина максимального отклонения в системе за время одного колебания. Наконец, при дальнейшем увеличении обратной связи система пройдет через 44 положение, в котором h2  20 , и перейдет в область h2  20 . В этой области процесс апериодический, но уже не затухающий (как при большом положительном р), а нарастающий. Скорость нарастания процесса, характеризуемая корнями характеристического уравнения 1 , 2 , будет тем большем, чем больше h , следовательно, чем больше обратная связь. 8. Линейный осциллятор с отталкивающей силой [6]. В природе встречаются системы, в которых сила направлена от положения равновесия. Одним из ярких примеров такой системы является математический маятник, находящейся строго в вертикальном положении (рис.19). Рис.19. Любое небольшое смещение от состояния равновесия приводит к тому, что система, в присутствии сил трения, в исходное состояние равновесия уже не вернется. Сила, действующая на систему, будет направлена в сторону, противоположную состоянию равновесия, а величина отталкивающей силы возрастает с возрастанием смещения системы. Причем в области достаточно малых отклонений можно считать, что отталкивающая сила пропорциональна смещению. Рассмотрим поведение математического маятника в непосредственной близости к верхнему (неустойчивому) положению равновесия. При этом для 45 начала будем считать, что трение в маятнике отсутствует. В этом случае, если угол φ отсчитывать от верхнего положения равновесия (рис.19), уравнение движения маятника имеет вид: ml 2   mgl sin . Ограничивая рассмотрение (102) областью, достаточно близкой к положению равновесия, можно sin  заменить через φ. Тогда уравнение принимает вид:    g   0. l (103) Это уравнение, как и уравнение, полученное для области, близкой к нижнему положению равновесия, конечно, не описывает движения маятника при любых углах φ и пригодно только для достаточно малых значений φ. Рис.20. Рис.21. Уравнение вида (103) описывает также колебания, возникающие в генераторе, представленном на рис.20. К тому же уравнению (103) мы придем, рассматривая при соответствующих предположениях генератор (рис. 20). Этот генератор может совершать автоколебания из-за наличия у анодной характеристики 46 ia=φ(u) (рис.21) падающего участка (участка, на котором dia  0 ). Законы du Кирхгофа для рассматриваемой схемы дают: i  ia  C du di , L  Ri  Ea  u , dt dt d 2u  di  du LC 2   RC  L a   u  Ria  Ea . dt  du  dt Для состояний равновесия (104) du d 2u  0 , 2  0 и, следовательно, dt dt u  Ria  Ea . (105) Решая полученное уравнение совместно с уравнением характеристики тетрода ia=φ(u) (графическое решение показано на рис.21), определяем состояние равновесия рассматриваемой электрической схемы. При заданной характеристике тетрода в зависимости от R и Ea имеется или одно или три состояния равновесия. Предположим, что R и Ea таковы, что имеется состояние равновесия (u=u0, ia=ia0), лежащее на падающем участке характеристики (φ’(u0)<0). Ограничимся областью малых колебаний около этого состояния равновесия: u=u0+v, где v достаточно мало. В этом случае характеристику рис.21 можно считать линейной: ia  ia0  S 0v , (106) где S0  (u ) – абсолютная величина крутизны анодной характеристики тетрода в рабочей точке, лежащей на падающем участке. Для этой области малых колебаний имеет место следующее линейное дифференциальное уравнение второго порядка: LC d 2v dv   RC  LS 0   1  RS 0  v  0. 2 dt dt (107) Как и в предыдущих случаях, наше линейное уравнение пригодно для описания колебаний только в некоторой ограниченной области, в которой 47 анодное напряжение u достаточно близко к значению u0 (т. е. v достаточно мало). Если RS0<1, то получаем дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее систему с «притягивающей» силой и положительным или отрицательным «трением» в зависимости от знака выражения R C  L S 0 . Если же RS0>1 (сопротивление контура R достаточно велико), то получаем уравнение, описывающее систему с «отталкивающей» силой. Особая точка типа седла. В общем случае для линейный осциллятор с «отталкивающий» силой описывается уравнением движения вида:  x  2 hx  nx  0 , где n>0 (для маятника n  может иметь любой (108) g RS  1 , для динатронного генератора n  0 ), а h l LC знак. Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (108) имеет вид  2  2 h  n  0 (109) и имеет, независимо от знака коэффициента h, корни действительные, но разных знаков: 1,2   h  h2  n Далее корень q1 – положительный, q2 – отрицательный. Общее решение для уравнения (108) может быть записано в виде (110) x  Aeq1t  Be q2t . Для нахождения интегральных кривых на плоскости x, y ( y  x ) исключим время из уравнений первого порядка: x  y , y  nx  2hy , или деля второе уравнение на первое: dy x  2h  n . dx y (111) (112) По-прежнему единственной особой точкой (единственным состоянием равновесия) является начало координат (x=0, y=0). 48 Семейства интегральных кривых изображены на рис.22 (для h<0) и рис.23 (для h>0). Рис.22. Рис.23. Таким образом наличие сопротивления, как положительного, так и отрицательного, не изменяет принципиально картины в системе с отталкивающей силой. Особая точка – седло, она всегда неустойчива, и все движения в системе удаляют систему от состояния равновесия при t   . По прошествии достаточно длинного промежутка времени система уйдет как угодно далеко и выйдет за пределы области, в которой систему можно рассматривать как линейную. Следует отметить, что во всех случаях неустойчивости состояния равновесия, линейная идеализация возможна только в течение промежутка времени и при небольших начальных отклонениях, пока система не успела уйти за пределы «линейной области». Ни одна из рассмотренных нами картин на фазовой плоскости для различных линейных систем, кроме гармонического осциллятора без трения, не дала на фазовой плоскости замкнутых интегральных кривых, и все интегральные кривые имели ветви, уходящие в бесконечность. Между тем периодическим процессам на фазовой плоскости должны соответствовать 49 замкнутые интегральные кривые. Таким образом, в линейных неконсервативных системах периодические процессы вообще невозможны. 9. Линейный гармонический осциллятор под действием внешних сил [6]. Вынужденные колебания гармонического осциллятора описываются линейным дифференциальным уравнением второго порядка с переменной правой частью. Рассмотрим случай, когда правая часть синусоидальная:  x  2x  20 x  Ecos  pt  , (113) Внешняя э. д. с., вынуждающая сила, записанная в правой части уравнения (113), может быть непосредственно включена в контур, а может создаваться посредством индукции (рис. 24). а) б) рис.24 Для решения уравнения (113) пользуются комплексными выражениями (см. тему 3, часть 3.2). Правую часть заменяют выражением Eeipt , и получается новое уравнение  x  2 x  02 x  Eeipt . Действительная часть решения уравнения (114) (114) является решением уравнения (113). Уравнение (114) решается подстановкой x  Ce ipt . Подставляя (115) в (114), получаем:  p Откуда 50 2  2  ip   02  C e ipt  Ee ipt , (115) E C (116) 2   p 2  2 ip Действительная часть (115) с учетом (116) имеет вид: x  X cos( pt ) , (117) где E X 2 2 2 2 (  p )  4 p tg  Если 20  p2  0 , то 2 ; (118) 2p . 02  p 2 наименьшее (119) положительное значение φ, определяемое уравнением (119), находится в первом квадранте. Если 20  p2  0 , оно находится во втором квадранте. Общее решение уравнения (113) возможно получить, прибавив к частному решению (117) общее решение однородного уравнения: x  X cos( pt  )  Aet cos(t  ) , (120) где 2  02  2 Здесь A и φ – произвольные постоянные. Для того чтобы удовлетворить любым начальным условиям x  x0 , x  x0 при, t  0 нужны как раз две произвольные постоянные. Если ждать достаточно долгое время, то собственные колебания делаются как угодно близки к нулю. Через достаточно долго время, каковы бы ни были начальные условия, остается чисто периодическое колебание. Такой процесс самостоятельный называется физический установившимся. интерес. Далее Он представляет будем рассматривать установившийся процесс или, установившиеся колебания. Вынужденное периодическое колебание имеет частоту p, равную частоте действующей силы и от ω. Частота, с которой колеблется осциллятор 51 в установившемся режиме при вынужденных колебаниях, совершенно не зависит от его собственной частоты. Заметим, что если заряд меняется по закону (117), то ток будет равен: x   pX sin( pt  ) . (121) При собственных (незатухающих) колебания сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной. Рассмотрим энергетические соотношения линейного осциллятора при внешнем воздействии. Подставим в выражение полной энергии kx 2 mx 2 W  2 2 выражения (117) и (121), полученные для x и W  x . Это дает k 2 m X cos 2 ( pt  )  p 2 X 2 sin 2 ( pt  ) . 2 2 Полная энергия непостоянна. Все время идет переход энергии из источника энергии в колебательную систему и обратно. Полная энергия постоянна только при k  mp2 . Будем исследовать, при каком соотношении частоты внешней силы и собственной частоты наступает резонанс. 1. Пусть  0  const , изменяется p. Продифференцировав X по p, найдем, что максимум амплитуды смещения или заряда Х будет при p  02  2  2 . Таким образом, «резонансная» частота внешней силы не равна собственной частоте 0 и не равна «частоте» затухающего осцлилляторного процесса    20   2 . Резонанс наступает не при изохронизме, а при p, несколько меньшем, чем 0 . 2. Пусть по-прежнему 0  const , изменяется р; но теперь будем интересоваться максимумом амплитуды тока или скорости Х. Нужно, следовательно, искать максимум выражения 52 X  pX  pE 2 2 2 2 (   p )  4 p 2 E   2  p 2  4 2   0 p   . 2 (122) Максимум будет при 20  p2  0 , т. е. здесь резонанс наступает тогда, когда период внешней силы равен периоду незатухающего колебания. Для максимальных значений амплитуды заряда и тока имеем: X max  E   F. , X max 2 20 (123) Резонанс возникает при различных значениях р. Отметим, что Х максимально при p 2  20  22 , а X максимально при p2  20 Напишем для первого случая:  2  p 2  20 1  2 2  0   или,  d2  p   1  2 2  . 4   2 2 Пусть d=1/100. Тогда d / 2  1/ 600 , а (1/600)2 – очень малая величина. При очень тонких опытах можно констатировать отличие между обоими значениями р. Но почти всегда им можно пренебречь и считать, что оба резонанса наступают, когда  p (здесь можно не различать 0 и  20   2 ). 3. Максимум X наступает при 0  p . Можно сказать, что, если затухание мало, резонанс наступает при изохронизме. Этого приближения часто достаточно. 53 10. Аналогия между электрическими и механическими колебательными системами. [9] В электроакустических устройствах применяются сложные механические или механоакустические колебательные системы. Их анализ обычными методами механики – составлением и решением уравнений сил для каждого элемента – связан с большими затруднениями. Техника расчета сложных колебательных систем упрощается при использовании метода электромеханических аналогий. В основе этого метода лежит сходство между уравнениями, описывающими колебательные явления разной физической природы – электрические и механические. Если уравнения аналогичны, то одинаковы и их решения. Поэтому решение той или иной механической задачи может быть заменено решением сходной электротехнической задачи. Такая замена оказалась весьма удобной, так как, с одной стороны, теория сложных электрических цепей была разработана ещё в конце позапрошлого столетия, т.е. значительно раньше чем появилась необходимость решения подобных механических задач, а с другой стороны, электроакустикой с самого начала занимались инженеры-электрики, для которых естественно стремление решать механические задачи понятными им методами теории электрических цепей. Таким образом, суть метода электромеханических аналогий, заключается в том, что любую механическую колебательную систему можно заменить аналогичной ей электрической. Для анализа последней можно применять хорошо разработанный математический аппарат, используемый в теории электрических цепей. Результаты анализа переносят на механическую колебательную систему с учетом аналогов их элементов. Наибольшее применение получила система электромеханических аналогий, базирующаяся на сходстве уравнений Кирхгофа для последовательного электрического контура и принципом Даламбера для механического узла. 54 Рассмотрим колебательный процесс простейшей механической системы с одной степенью свободы (движение возможно только в вертикальном направлении). Пусть сила F действует на тело, обладающее массой m, скрепленное с пружиной, упругость которой равна D (рис.25) Рис. 25. Модель простейшей механической схемы (а) и её электрический аналог (б). По закону Даламбера для того, чтобы система была в равновесии, внешняя вынуждающая сила должна уравновешиваться силами реакции системы: F=F1+F2+F3 d 2x dx где F1  m 2 – сила реакции массы; F2  r – сила трения; F3  Dx – сила dt dt упругости пружины. Тогда d 2x dx x F m 2 r  , dt dt c где r – коэффициент трения; c  1 D – гибкость пружины. Это уравнение совершенно аналогично уравнению движения зарядов в последовательном одиночном контуре (рис.25) EL d 2q dq q R  , 2 dt dt C где L, R, C – индуктивность, сопротивление и емкость соответственно; q – количество электричества (заряда). 55 Отметим математическую колебательной скоростью v  аналогию между I током dq dt и dx . Поскольку в электротехнике отношение dt напряжения к току называется электрическим сопротивлением, то для цепи, изображенной на рис.25, 1   Z  R  j L  . C   Аналогично для механической колебательной системы F  zr v 1   j  m  . c   Последнее уравнение можно назвать механическим законом Ома. Между скоростью колебаний, внешней силой, параметрами механической системы и частотой имеет место такое же соотношение, как между током, ЭДС, параметрами электрической цепи и частотой в эквивалентной электрической цепи. Другими словами, индуктивность, активное сопротивление и емкость являются аналогами соответственно массы, сопротивления, трения и гибкости. Следует заметить, что указанные аналоги носят не чисто формальный характер, но и имеют физический смысл. Так, индуктивность в электрической цепи препятствует мгновенному нарастанию и уменьшению тока при включении и выключении источника напряжения. Такую же роль выполняет масса в механических системах. Инерционность тела препятствует мгновенному нарастанию скорости при приложении силы и не дает телу сразу останавливаться. Из-за активного сопротивления в электрической цепи часть энергии тока превращается в тепло. Также превращается в тепло при наличии трения часть механической энергии. Энергия заряженного конденсатора аналогична энергии сжатой пружины. Обобщая все вышеизложенное, электромеханических аналогов (табл. 1). 56 составим таблицу Таблица 1 Механические величины Наименование Обозначения Электрические аналоги Наименование Масса Индуктивность Гибкость Емкость Трение Точка приложения силы Колебательная скорость Обозначения Активное сопротивление Источник ЭДС, напряжение Ток Комплексное Комплексное механическое электрическое сопротивление сопротивление Трансформатор Трансформатор акустический электрический n=S1/S2 n=W1/W2 Итак, принимаем, что ток в электрической схеме аналогичен колебательной скорости в механической системе, а ЭДС в электрической системе – силе в механической системе. Отсюда сразу следует и определение соответствия между способами соединения в механической и аналогичной ей электрической системах: соединению механических элементов цепочкой соответствует параллельное соединение электрических двухполюсников; соединению в узлы – последовательное соединение. 57 11. Нелинейные системы, близкие к гармоническому осциллятору [2,3,6]. Рассмотрим колебательные системы, близкие к линейным, а именно к гармоническому осциллятору. Уравнения движения таких систем могут быть написаны в виде уравнения второго порядка:  x  x   f (x, x) . Если ввести новую переменную (124) y  x , то уравнение (124) возможно переписать в виде двух уравнений первого порядка: x  y , y x   f (x, y). (125) Здесь µ – безразмерный положительный параметр, который будем полагать достаточно малым. Величина этого параметра при заданной функции f(x,y) определяет степень близости рассматриваемой системы к гармоническому осциллятору. Типичным примером систем, близких к гармоническому осциллятору, является генератор с колебательным контуром в цепи управляющего электрода или в цепи выходного электрода (рис.26). Рис.26. Уравнение колебаний такого генератора записывается в виде: d 2u du LC 2   RC  MS  E g  u   u  0. dt dt Это уравнение заменой переменных t нов   0 t ст , x  u , где  0  u0 58 (126) 1 и LC u 0 - некоторое постоянное напряжение преобразуются в уравнение:  x  x    1  s( x) x , в котором   0 RC – S0=S(Eg) s( x)  – крутизна S ( Eg  u0 x) S0 (127) затухание колебательного контура,   характеристики лампы в рабочей MS 0 ; RC точке; – приведенная, безразмерная крутизна активного элемента. Уравнение (127) близко к уравнению гармонического осциллятора при  1,   0MS0  1, т. е. в случае, когда затухание колебательного контура и обратная связь в генераторе являются достаточно малыми величинами. Для решения уравнений вида (124) с достаточно малыми µ разработан ряд асимптотических (приближенных) методов, основными из которых являются два: метод медленно меняющихся амплитуд (метод Ван-дер-Поля ) и метод Пуанкаре. Первый из них дает возможность найти асимптотические решения уравнения (124), как для периодических движений, так и для процессов установления периодических движений или состояний равновесия. Второй (метод Пуанкаре) позволяет найти периодические решения уравнения (124) в виде рядов по степеням параметра µ. Автоколебания лампового генератора с двухзвенной RC-цепочкой. Уравнения колебаний лампового генератора с двухзвенной RCцепочкой (рис.28):  R  C   du d 2u Ra RgCCa 2  RgC 1  a 1  a   RaS (u)  u  Eg dt  Rg  C   dt (128) После введения новых, безразмерных переменных: t нов  u  Eg t и x u0 Ra Rg CCa 59 (u0 – некоторый масштаб напряжения) к уравнению вида:  xx где S (u)   Rg C  Ra  Ca  1  1    Ra S  Eg  u0 x   x , RaCa  Rg  C   (129) di – крутизна характеристики ламповой группы i=i(u). Так как du характеристика активного элемента i=i(u) – падающая рис.28, то S(u)<0 и для самовозбуждения генератора необходимо, чтобы Ra S0  1  Ra  Ca  1  , Rg  C  (129) где S0   S ( Eg ) - абсолютное значение крутизны характеристики ламповой группы в состоянии равновесия. Рис.27. Пусть это условие выполнено и генератор самовозбуждается. Для определения амплитуды автоколебаний аппроксимируем характеристику активного элемента i=i(u) полиномом третьей степени. Тогда S ( E g  u 0 x )   S 0  S1 x  S 2 x 2 , и уравнение колебаний генератора (129) запишется в следующем виде:  xx   Ra  Ca   Rg C  2 R S  1  1   R S x  R S x  a 0   x . a 1 a 2   RaCa  R C   g    (130) Это уравнение близко к уравнению гармонического осциллятора, а 60 колебания генератора близки к гармоническим только при выполнении условий:  R  C  Ra S0  1  a 1  a   1, Ra S1  1 , Ra S2  1,  Rg  C  т. Е. когда генератор близок к порогу самовозбуждения, а нелинейность характеристики мала. Введем малый параметр   Ra  Ca    RgC   Ra S0  1  1     RaCa  C     Rg  (0<µ<1) и обозначим Rg C Ra C a Ra S1  1 , Rg C Ra C a Ra S 2   2 ( 1 и 2 – величины порядка единицы). Тогда уравнение колебаний генератора с двухзвенной RC-цепочкой приведется к следующему виду, пригодному для применения метода Ван-дер-Поля:  x  x   1  1x  2 x2  x . (131) Укороченными уравнениями для него будут: dK K   2 K 2  d  0.   1  , dt 2 4  dt (132) Приравнивая нулю функцию Ф( К )  K  2K 2  1  , 2 4  Получим, что система уравнений (132) имеет состояние равновесия (x=0, x  0 ), соответствующее корню K=0, и предельный цикл радиуса  R  C  Ra S0  1  a 1  a   C   1  Rg  K0  2 2 2 Ra S2 (133) 61 Состояние равновесия неустойчиво, так как Ф(0)  1  0, 2 а предельный цикл устойчив, поскольку Ф( K0 )   2 2 K0  1  0 . 4 Таким образом, будем иметь место мягкий режим: автоколебания, близкие к синусоидальным, с амплитудой K0 устанавливаются при любых начальных условиях. Их период (в обычных единицах и с точностью до членов порядка µ, очевидно, равен T  2 Ra RgCCa . 12. Параметрические колебания [2,6,8]. Рассмотрим движение маятника, точка подвеса которого совершает гармоническое колебание относительно инерциальной системы отсчета. Предположим, что точка подвеса колеблется горизонтально. Пусть x0  a cos pt Уравнение движения в неинерциальной системе отсчета x, z, в которой точка подвеса маятника покоится имеет вид:   mgl sin   mx0 cos  , I (134) где I – момент инерции маятника, φ – угол отклонения, m – масса, l – длина, причем I  ml 2 . При малых колебаниях справедливы приближенные равенства sin   , cos   1, которые позволяют переписать уравнение (134) в виде:    g x ap 2  0  cos pt . l l l (135) Это уравнение вынужденных колебаний: маятник движется так же, как под действием заданной синусоидальной внешней силы. Пусть теперь точка подвеса колеблется вертикально: 62 x0  acos pt . Уравнение движения для этого случая в неинерциальной системе отсчета, относительно которой точка подвеса покоится, имеет вид:   mgl sin   mz0 sin , I (136) или при малых  ,    g   z0 0 l С учетом z0 : 1   ( g  ap2 cos pt )  0  l (137) Система неавтономна, но периодическая внешняя сила отсутствует. Рассмотрим колебательный контур, в котором емкость конденсатора периодически меняется со временем. Будем считать, что конденсатор плоский и что расстояние d между пластинами меняется синусоидально: d  d0 (1 k cos pt ) . Емкость равна C S , 4 d где S – площадь пластин. Уравнение движения для такой колебательной системы имеет вид, аналогичный уравнению (137): Lq  Rq  4 (1  k cos pt )q  0 S В общем случае, уравнения движения, описывающие параметрические системы, возможно записать в виде:  x  p1 (t ) x  p2 (t ) x  0, (138) где p1 (t ) и p2 (t ) – периодические функции периода T : p1 (t  T )  p1 (t ) ; p2 (t  T )  p2 (t ) . Уравнение типа (137) является частным случаем уравнения (138). 63 Уравнение (138) следует дополнить начально-краевыми условиями: x(0)  x0 , x(0)  x0 . Пусть x1 (t ) и x2 (t) – линейно независимые частные решения уравнения (138). Общее решение может быть представлено в виде их линейной комбинации: x  C1 x1  C 2 x2 , Перепишем уравнение для параметрического колебательного контура в виде:  1  4 q     cos pt  q  0,  LC0 LS   (139) Где C 0  S  . Введем обозначения 4 d 0 20  1 LC0 , 20  k0 2 4    M 0 LS  и перепишем (139):  x  (02   20 cos pt ) x  0. Это частный случай уравнения (138), (140) где, p1 (t )  0 и p2 (t ) синусоидальна. Уравнение вида: где p (t )  x  p (t ) x  0, – периодическая функция, называется уравнением Хилла. Уравнение (140) частный случай уравнения Хилла, называемое уравнением Матьё. Параметрическая колебательная система будучи выведена из состояния равновесия, автоматически себя раскачивает. Это свойство – рост колебаний – придает всему явлению характер резонанса или параметрического резонанса. Возрастание амплитуды колебаний происходит тогда, когда подобран правильный темп изменения параметра. Пусть относительная амплитуда изменения параметров постоянна: 0  const. 0 64 Будем менять только частоту изменения параметра p. Первая область нарастания колебаний соответствует частоте изменения параметров, приблизительно вдвое большей, чем частота собственных колебаний. Во второй области частота собственных колебаний и частота изменения параметров приблизительно равны. В третьей области частота p приблизительно в полтора раза меньше собственной и т. П. Таких областей нестабильности оказывается бесконечно много. Рис.28. С увеличением относительной амплитуды изменения параметра ширина каждой области частот p, в которой происходит нарастание, увеличивается. 65 13. Пример вывода уравнения движения акустических колебаний [9]. Звуковое поле это область пространства, в которой распространяются звуковые волны, т. е. происходят акустические колебания частиц упругой среды (твёрдой, жидкой или газообразной), заполняющей эту область. Звуковое поле определено полностью, если для каждой его точки известно изменение во времени и в пространстве какой-либо из величин, характеризующих звуковую волну: смещения колеблющейся частицы из положения равновесия, колебательной скорости частицы, звукового давления в среде; в отдельных случаях представляют интерес изменения плотности или температуры среды при наличии звукового поля. Понятие Звуковое поле применяется обычно для областей, размеры которых порядка или больше длины звуковой волны. Вибрация материалов вызывает явление звука. Если деревянная плоскость начинает вибрировать, то она толкает примыкающий к ней воздух в прямом и обратном направлениях. Если диапазон этой вибрации находится где-то между десятью и десятью тысячами колебаний в секунду, то воздушная среда обнаруживает некоторую эластичность, не заметную при малых скоростях. Попробуйте помахать рукой в ту или другую сторону со скоростью один взмах в секунду; вы почувствуете, что с воздухом ничего не происходит, он просто, как бы обтекая руку, возвращается на прежнее место. В этом случае мы не имеем резкого, скачкообразного возвращения частиц воздуха в прежнее положение. Но если проделать эти движения в сотни раз быстрее, воздушная среда будет вести себя совсем иначе. Она будет сжиматься под воздействием руки, двигающейся вперед, и разжиматься (или испытывать разрежение) при движении руки в обратном направлении. В этих случаях говорят, что мы имеем естественную эластичность воздушной среды. Вибрирующая плоскость генерирует волны давления и разрежения - это звук. Камертон часто используется для демонстрации этого явления. Однако в жизни камертон не производит сильного звучания, он как бы проскальзывает 66 воздух, не вынуждая его при этом двигаться. Вибрирующая панель является более эффективным средством. Когда плоскость двигается вперед, каждая частичка воздуха толкает соседнюю, создавая при этом волну давления. Когда плоскость двигается назад, это давление заменяется разряжением, за которым следует другая волна давления и т.д. Рис. 29. В различных средах эти волны распространяются с разными скоростями, что и является характеристикой отдельной среды. Скорость распространения звука в воздушной среде зависит от его температуры и, для нормальных условий составляет примерно 340 м/сек. Таким образом, волновые изменения плотности среды вызванные звуковыми колебаниями называются звуковой волной. Направление распространения звуковых колебаний – звуковым лучом. Поверхность соединяющая смежные точки с одинаковой фазой колебаний называется фронтом волны. Иногда разделяют понятия волновой фронт и волновая поверхность. В этом случае под волновым фронтом понимают поверхность, разделяющую области пространства, куда волна дошла и куда нет, а под волновой поверхностью понимают поверхность равных фаз. Звуковые лучи располагаются к фронту волны под прямым углом. 67 Как правила, распространение волны имеет сложный характер, но в большинстве случаев можно обойтись соотношениями для определения плоской, сферической или цилиндрической формы распространения волны. Звуковое давление рзв - разность между мгновенным давлением в волне и статическим атмосферным давлением рзв= рат.м-рат.ст. Таким образом, в момент сжатия звуковое давление положительно, в момент разряжения отрицательно, т. е. величина звукового давления знакопеременная. Статическое атмосферное давление ~105 Па, звуковые давления речи и музыки имеют величину до 100 Па. Звуковое давление это сила действующая на единицу площади p  F S и измеряется в системе СИ ньютоны на квадратный метр. 1 Н/М2 = 1Пас. Так как давление в соседних точках среды неодинаково, то ее частицы стремятся сместиться в сторону пониженного давления. Следовательно, можно говорить о скорости колебания. Колебательной скоростью v называется скорость смещения частиц среды от положения покоя. Колебательная скорость - величина векторная. Скорость колебаний частиц определяется как v  du dt , где и — смещение частиц. . Скорость колебаний обычно измеряют в метрах или сантиметрах в секунду. Не следует путать эту скорость со скоростью звука. Скорость звука — постоянная величина для данной среды и метеорологических условий, а скорость колебаний — переменная, причем если частица среды перемещается по направлению распространения волны, то скорость считают положительной, а при обратном перемещении частицы — отрицательной. Вывод уравнения движения. Определим связь между звуковым давлением и скоростью колебаний. Возьмем элементарный объем, заключенный между фронтами волн, находящимися на расстоянии Δr друг от друга, с боковыми поверхностями, расположенными вдоль звуковых лучей (рис.30). Как видно из рисунка, среда 68 в этом объеме находится под действием разности давлений р и p+∆p, следовательно, испытываемая ею сила. Рис. 30 F   p  ( p  p) S  pS (141) где  S —площадь, выделенная на поверхности фронта волны. С другой стороны, по второму закону Ньютона сила инерции F  m dv dv  p0  r  S  dt dt (142) где Δm — масса среды, заключенной в этом объеме; ρ0 — средняя плотность среды. Приравнивая обе силы, получаем: p   r dv dt (143) Так как ρ, и v зависят как от координат, так и от времени, то, переходя к производным, имеем: − ∗ = (144) Это уравнение (144) называется уравнением движения среды. Деформация идеальной (невязкой) газообразной среды, появляющаяся при распространении в ней звуковой волны, является адиабатической, так как 69 звуковые процессы происходят быстро, без теплообмена. Поэтому эти процессы подчиняются закону Бойля -Мариотта с поправкой Пуассона. V2  p2    V1  p1   1  (145) где γ — показатель адиабаты; для воздуха γ =1.41. Выделим элементарный объем V1 = (S+0,5  S )  r. (146) Рис. 31 Как и в предыдущем случае, статическом состоянии в нем находится определенное количество частиц среды. При звуковых колебаниях занимаемый ими объем непрерывно изменяется. Положим, что в некоторый момент времени частицы среды слова будут смещены на величину и, а справа — на величину и +Δи, тогда при условии непрерывности среды этот объем будет V2  V1  ( S  S )(u  u )  Su. (147) Разделим обе части выражения на V1 и в правой части заменим V1 на (S+0,5  S )  r. При пренебрежении членами второго порядка малости получим V2 u u S 1  . V1 r S r (148) При звуковых колебаниях полное давление газообразной среды. Заметим, что последний член в расхождением (дивергенцией) фронта волны 70 этом выражении обусловлен При звуковых колебаниях полное давление газообразной среды p2  p1   p1  pст  p , (150) где pст — статическое давление; р — звуковое давление. Следовательно p 2 p1  1  p p ст подставив V2/V1 и р2/р1 в уравнение закона Пуассона, получим u u S  p  1   1   r S r  p ст  1  . (151) Как указывалось ранее р<<рст, поэтому 1 u u S 1 p или  u  u  S   p .  1 r S r  pст r S r  p ст (152) Переходя к производным находим  p  u u dS   .  pст  r S dr (153) Это уравнение называют уравнением состояния среды. Если это уравнение продифференцировать дважды пo t и переставить порядок дифференцирования, то получим  p  2 p    2u  dS  2u   .  pст t 2 r  t 2  Sdr t 2 (154) Подставляя в него производную 2u t 2 из уравнения движения (144), получим уравнение для звукового давления  2 p  pст   2 p dS p     . t 2 p  r 2 Sdr r  (155) Заменяя в нем  pст p  c 2 . Получим 2 2 p dS p  2 p  c   2 . t 2 Sdr r   r (156) Это уравнение называют волновым уравнением Вебстера. Общее решение волнового уравнения имеет вид 71   r  r  p  A(r )  f1  t    f2  t   .  c    c (157) Если в первую составляющую решения вместо t подставить t+Δt, то для неизменности аргумента Следовательно, первая следует r вместо составляющая подставить представляет r+Δr=r+cΔt. собой волну, распространяющуюся в сторону положительных значений r, вторая - в обратном направлении. Из тех же данных следует, что с - скорость распространения волны, так как c=Δr/Δt. Таким образом, скорость звука c   p ст p , т. е. определяется статическим давлением среды и ее плотностью. Приближенно скорость звука можно определить по формуле (158) c зв  331 T 273 Звуковые волны по направлению колебаний частиц (и соответственно направлению вектора колебательной скорости) можно разделить на продольные и поперечные. 1.Продольные волны - волны, в которых частицы среды колеблются в направлении луча. Если рассматриваются только продольные волны, то колебательную скорость можно рассматривать как скаляр: положительный, если частицы смещаются в направлении луча, и отрицательный в противном случае. 2.Поперечные волны - волны, в которых частицы среды колеблются в направлении, перпендикулярном лучу. Примеры. 1.В тонком и длинном отрезке вещества (стержне) может распространяться как продольная, так и поперечная волна, в зависимости от направления возбуждения. Они могут распространяться и одновременно, и в суммарной волне частицы будут колебаться под углом от 0° до 90° по отношению к лучу (такие волны называются продольно-поперечными). 72 2.Граница раздела сред разной плотности. Например, при распространении волны по водной поверхности волна сжатия (продольная волна) трансформируется в высоту столбика воды (поперечная волна), и суммарная волна оказывается продольно-поперечной. 3.Однородная среда. 3.1.При возбуждении пульсирующей сферой существует продольная волна. 3.2.При возбуждении колеблющейся мембраной в плоскости мембраны существует поперечная волна, перпендикулярно мембране - продольная волна. Длинна волны – расстояние на которое переместится фронт волны за один период колебания источника. Потоком энергии в бегущей волне называется мощность, перетекающая через единицу площади поверхности волнового фронта. В бегущей волне поток энергии равен модулю вектора Умова:   U  pзв v (159) Т.к. рзв- сила, приложенная к площади, а v перемещение в секунду, размерность вектора Умова будет (Н*м/м2*с)=(Дж/ м2*с)=(Вт/ м2). Вектор Умова сонаправлен с вектором колебательной скорости, если звуковое давление больше нуля, и противонаправлен в противном случае. В частности, для продольных волн, когда скорость рассматривают как знакопеременный скаляр, вектор Умова сонаправлен с лучом, если знаки рзв и v совпадают, и противонаправлен по отношению к лучу, если знаки рзв и v различны (это значит, что в данный момент энергия возвращается обратно к источнику). Для того чтобы определить, какая мощность в среднем излучается в пространство, вычисляют среднее значение модуля вектора Умова за период сигнала Т, которое называется интенсивностью звука: T 1 I   p зв dt T0 (160) 73 Размерность интенсивности та же – Вт/м2. Интенсивность отражает активную составляющую мощности звука. Обладает векторными свойствами в связи с тем, что определяется относительно элемента площади волнового фронта. Плотностью звуковой энергии ε называется среднее количество звуковой энергии, приходящееся на единицу объема. Единицей плотности энергии в системе СИ является Дж/м2, а в абсолютной CGS системе — эрг/см2. Для определения связи между интенсивностью звука и плотностью энергии выделим объем по направлению движения волны (рис.32). Энергия, находившаяся в нем к моменту рассмотрения и равная W  V  rS , выйдет из него за время Δt=Δr/c, где с — скорость звука;  — плотность энергии. Поток этой энергии W t  cr S r  cS . (161) откуда Так как согласно определению интенсивность звука то, I  W St, (162) I  c S S  c (163) подставляя в него предыдущее выражение, получаем откуда   W V  I c, (164) Акустическое сопротивление. Разность давлений является причиной движения частиц среды, а разность потенциалов — причиной движения электрических зарядов. Скорость колебаний частиц среды аналогична скорости движения зарядов — силе тока. Аналогично электрическому сопротивлению введено понятие волнового акустического сопротивления. Удельным волновым акустическим сопротивлением называют отношение звукового давления к скорости колебаний. Удельным оно называется потому, что представляет собой сопротивление для единицы площади фронта волны. 74 Для краткости его часто называют акустическим сопротивлением a  p 0 (165) Акустическое сопротивление определяется прежде всего свойствами среды. В ряде случаев оно зависит от частоты колебаний и от формы фронта волны. В общем виде оно комплексное: a a  iqa (166) где ωa и qa — активная и реактивная составляющие акустического сопротивления. Наличие реактивной составляющей свидетельствует о том, что между звуковым давлением и скоростью колебаний есть сдвиг фаз. Этот сдвиг определяется из соотношения tg  qa a . (167) Плоская волна. Плоской волной называется волна с плоским фронтом. Согласно определению фронта волны звуковые лучи пересекают его под прямым углом, поэтому в плоской волне они параллельны между собой. Так как поток энергии при этом не расходится, интенсивность звука не должна была бы уменьшаться с удалением от источника звука. Тем не менее она уменьшается из-за молекулярного затухания, вязкости среды, запыленности ее, рассеяния и т. п. потерь. Однако эти потери так малы, что с ними можно не считаться при распространении волны на небольшие расстояния. Поэтому обычно полагают, что интенсивность звука в плоской волне не зависит от расстояния до источника звука. Поскольку I=const, то амплитуды звукового давления и скорости колебаний тоже не зависят от этого расстояния: рm=const; vm = const Выведем основные уравнения для плоской волны. Уравнение (16) имеет вид  2 p t 2  c 2 2 p r 2 (168) так как 75 dS dr  0. Частное решение волнового уравнения для плоской волны, распространяющейся в положительном направлении, имеет вид  r i t    c (169) p  pme где рт — амплитуда звукового давления; ω — угловая частота колебаний;  c  v  2   — волновое число. Подставляя звуковое давление в уравнение движения 14(4) и интегрируя  r i t    c во времени, получим скорость колебаний v  vme , где vm  pm pc – амплитуда скорости колебаний. Из этих выражений находим удельное акустическое сопротивление (166) для плоской волны:  a  p /   pm / m    c Для нормального атмосферного давления (169) и температуры 20°С акустическое сопротивление рс=412 кг/м2с=41,2 г/см2с. Акустическое сопротивление для плоской волны определяется только скоростью звука и плотностью среды и является активным, вследствие чего давление и скорость колебаний находятся в одинаковой фазе, т. е. ψ = 0, поэтому интенсивность звука I  0,5  p m vm  p эvэ (170) где рэ и vэ.-действующие значения звукового давления и скорости колебаний. Подставляя в это выражение (168), получаем наиболее часто используемое выражение для определения интенсивности звука I  pэ2 pc (171) Сферическая волна. Фронт такой волны представляет собой сферическую поверхность, а звуковые лучи согласно определению фронта волны совпадают с радиусами 76 сферы (рис. 32). В результате расхождения волн интенсивность звука убывает с удалением от источника. Так как потери энергии в среде малы, как и в случае плоской волны, то при распространении волны на небольшие расстояния с ними можно не считаться. Поэтому средний поток энергии через сферическую поверхность с радиусом rа (рис.33) будет тот же самый, что и через любую другую сферическую поверхность с большим радиусом rb, если в промежутке между ними нет источника или поглотителя энергии. Рис. 32 Следовательно, мощность звуковой волны pa  4 ra2 I a  4 rb2 I b (172) где Ia и Ib — интенсивность звука для радиусов rа и rb. Отсюда получим квадратичный закон убывания интенсивности звука в сферической волне I a I b  rb2 ra2 или I  I1 r 2 , (173) где Ia — интенсивность на расстоянии единицы длины (обычно 1 м) от центра сферы. Волновое уравнение для этого случая .может быть получен из (156) путем подстановки в него выражения для поверхности шарового сектора S = Ωr2, где Ω – телесный угол сектора, а r – расстояние от центра сферической волны. Так как dS Sdr  2r r 2  2 r То волновое уравнение (4) будет 2 2 p 2 p  2 p  c   2  t 2 r r   r (174) 77 Заменив в нем переменную р на р r, получим волновое уравнение в более наглядной форме 2  2 ( pr ) 2  ( pr )  c t 2 r 2 Частное решение этого уравнения (175) для расходящейся волны (распространяющейся в положительном направлении) имеет вид  r  r i  t   p i t   p  1 e  c   pme  c  , r (176) где pm  p1 r , р1 — амплитуда звукового давления на расстоянии единицы длины от центра сферы. Как видно из формулы, амплитуда звукового давления уменьшается с увеличением расстояния от центра источника сферической волны по гиперболическому закону. Подставляя выражение (176) в уравнение движения (144) и интегрируя его по времени, получаем уравнение для скорости колебаний в сферической волне:  r   r  i   t     p  c  i t  c    c  v  1 1  e  v e m  rpc  i r  (177) Из этого выражения следует, что скорость колебаний не совпадает по фазе с звуковым давлением (176). Исходя из выражений (176) и (177) получим выражения для получения акустического сопротивления для сферической волны: a  p v  pcir  c  ir  . Данное выражение содержит как активную, (178) так и пассивную составляющую. tc 2 r 2 q  pc и . a  pc 2 a 2 c  2 r 2 c  2 r 2 Модуль акустического сопротивления равен: 78 (179) a  pm r  pc  pc cos  , 2 vm c   2r 2 (180) Где ψ это сдвиг фаз между звуковым давлением и скоростью колебаний tg   qa a  c r   2 r . (181) Таким образом, из выражения (180), следует, что акустическое сопротивление в сферической волне не превышает по модулю сопротивление в плоской ни при каких условиях. Согласно же выражению (181), чем больше отношение длинны волны к ее радиусу, тем ближе сдвиг фаз к 90°. При уменьшении этого сдвига, сферическая волна приближается к плоской. Интенсивность звука в плоской волне определяется выражением: pэ2 I cos . a (182) Или при подстановке выражения (38) в (40) получим: I  pm2 2 pc  pэ2 pc. (183) Подставляя амплитуду звукового давления и учитывая выражение (176), получаем: I  p12э pcr 2  I1 r 2 , (184) где I1  p12э pc. Цилиндрическая волна. Для цилиндрической волны интенсивность звука можно определить при условии, что поток энергии не расходится вдоль образующей цилиндра. Аналогично предыдущему случаю (см. рис.33) для высоты цилиндра h: Pa  2 hra I a  2 hrb I b , т. е. I a Ib  rb ra (185) Или I=I1/r, следовательно, для цилиндрической волны интенсивность звука обратно пропорциональна расстоянию от оси цилиндра. Волновое уравнение в этом случае имеет вид: 79 2 2 p 1 p  2 p c  2   2 t r r   r (186) Так как, dS/Sdr=1/r. Амплитуда звукового давления изменяется по закону функций Бесселя первого и второго рода. В заключение объясним причину появления сдвига фаз между звуковым давлением и скоростью колебаний. Сдвиг фаз появляется только в тех случаях, когда звуковые лучи расходятся или сходятся. В случае плоской волны звуковые лучи идут параллельно, поэтому каждый слой среды, заключенный между соседними фронтами волны, отстоящими на одинаковом расстоянии друг от друга, имеет одинаковую массу. Массы этих слоев можно представить в виде цепочки одинаковых шаров (рис.33). Если толкнуть первый шар, то он дойдет до второго и сообщит ему поступательное движение, а сам остановится, затем также будет приведен в движение третий шар, а второй остановится и так далее, т. е. энергия, сообщенная первому шару, будет передаваться последовательно все дальше и дальше. Реактивная составляющая мощности звуковой волны отсутствует. Рис. 33. Рассмотрим случай расходящейся волны, когда каждый последующий слой имеет большую массу. Масса шара будет увеличиваться с увеличением его номера, причем сначала быстро, а потом все медленнее и медленнее (рис.34). Первый шар после столкновения отдает второму только часть 80 энергии и двигается назад, второй приведет в движение третий, но затем тоже пойдет назад. Таким образом, часть энергии будет отражаться, т. е. появляется реактивная составляющая мощности, которая определяет реактивную составляющую акустического сопротивления и появление сдвига фаз между давлением и скоростью колебаний. Рис. 34. Шары, удаленные от первого, будут передавать почти всю энергию шарам, находящимся впереди, так как их массы будут почти одинаковыми. Если массу каждого шара взять равной массе воздуха, заключенной между фронтами волны, находящимися друг от друга на расстоянии полуволны, то чем больше длина волны, тем резче будет изменяться масса шаров по мере увеличения их номеров, тем большая часть энергии будет отражаться при столкновении шаров и тем больший будет сдвиг фаз (181). Для малых длин волн массы соседних шаров отличается незначительно, поэтому отражение энергии будет меньшим. 81 14. Задачи для самостоятельного решения [10,11,12]. Нахождение частоты свободных колебаний линейной системы с одной степенью свободы. Система называется линейной, если ее оператор является линейным, т. е. удовлетворяет условию: L(a1u1+a2u2)=a1Lu1+a2Lu2 (187) Здесь L оператор системы, включающий в себя все уравнения и дополнительные условия, необходимые для однозначного описания поведения системы u(t) при внешнем воздействии q(t). Следует заметить, что ни одна реальная колебательная система не удовлетворяет требованиям линейности. Однако в большинстве случаев нелинейные колебательные систем с достаточной точностью могут быть рассмотрены как линейные, причем встречается немало случаев, когда заведомо нелинейные системы допускают линеаризацию. Такое положение имеет место, когда в процессе движения обобщённые координаты имеют достаточно малые отклонения от своего равновесного или установившегося значения. Положение системы с одной степенью свободы может быть полностью определено заданием одной координаты x. Известно, что в положении равновесия системы сила Fx, которая действует на систему в направлении координаты х, должна быть равна нулю. Следовательно, условие равновесия можно записать в виде: Fx=0 (188) Поскольку сила Fx потенциальна и между потенциальной силой и энергией V существует определенная связь, то условие равновесия можно записать в виде: =0 (189) Для систем с одной степенью свободы условие устойчивости положения равновесия имеет вид: 82 >0 (190) Данное выражение верно при условии, что потенциальная энергия системы в положении равновесия имеет минимум и соответственно равновесие системы устойчиво. Для получения уравнения движения системы можно подойти двумя различными способами. При анализе механической системы используют законы Ньютона, а случае электрических систем — правила Кирхгофа и выражения, связывающие напряжения и токи для каждого элемента схемы. И так, уравнение свободных колебаний систем с одной степенью свободы в общем случае можно записать в вид: ̈ + ( , ̇) = 0 (191) Реальные колебательные системы любой физической природы в той или иной степени нелинейны и для их описания получаются нелинейные дифференциальные уравнения. Однако, при условии, что колебания достаточно малы, то нелинейное уравнение можно линеаризовать. В уравнении (191) второй член описывает влияние сил трения и возвращения на систему. ( , ̇ ) равны нулю. При условии равновесия координата х и функция Следовательно если разложить функцию ( , ̇ ) в ряд Тейлора в окресностях нулевой точки получим: ( , ̇) = (0,0) + ̇ (0,0) ̇ + (0,0) При условии малого отклонения, + ̇ (0,0) ̇ … (192) уравнение (192) может быть ограничено только двумя первыми членами разложения, т.е.: ( , ̇) ≈ (0,0) + ̇ (0,0) ̇ (193) Если координата и скорость системы в любой момент времени удовлетворяют сформулированным выше условиям, то колебания называются малыми. Преобразуя уравнение (193) с использованием замены (0,0) = и 83 ̇ (0,0) = 2 получим линеаризованное уравнение: ̈ +2 Где ̇+ =0 коэффициент 2δ определяет процесс (194) затухания амплитуды колебаний, а ω20 – частоту этих колебаний. Если в системе отсутствуют затухания, т.е. 2δ=0, то уравнение (194) сводится к виду: ̈+ =0 (195) Данное уравнение описывает гармонические колебания системы с частотой ω0. Пружинный маятник. При приложении определенного воздействия к системе и вывода ее из состояния равновесия, под действием внутренних сил данная система начинает совершать свободные колебания. Данные колебания будут иметь гармонический характер в случае если сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. Примером такого колебательного процесса, можно рассмотреть на примере пружинного маятника (рис.35) Рис. 35 Рассмотрим решение данной задачи при условии отсутствия сил трения в системе. 84 Груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно (рис.35), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором. Исходя из закона Гука можно записать, что: Fупр= –kx (196) Соответственно на основании уравнения (196) и второго закона Ньютона определить круговую частоту свободных колебаний груза на пружине: F (t )  ma(t )  Fупр  kx(t )  m02 x(t ) (197) 0  k m (198) Откуда: Частота ω0 называется собственной частотой колебательной системы. Таким образом период гармонических колебаний груза будет: T При горизонтальном 2 m  2 0 k расположении системы (199) пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x0, равную: x0  mg k (200) При этом колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω0 и периода колебаний T справедливы и в этом случае. Если записать ускорение a(t) через координату x(t) то получим: ma  mx   kx (201) 85 Тогда второй закон Ньютона для груза в дифференциальной форме запишется в виде:  x  02 x  0 где 20  (202) m . k Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (202), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида: x  xm cos(t  0 ) (203) Уравнение (202) называется уравнением свободных колебаний. Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то xm = Δl, 0  0 . Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость  v0 , то xm  v0 m k , 0    2 . Таким образом, амплитуда xm свободных колебаний и его начальная фаза φ0 определяются начальными условиями. Задача. По гладкому жёсткому неподвижному стержню может без трения двигаться муфта, имеющая массу m (рис.36). Муфта с помощью пружины, имеющей жёсткость к, соединена с неподвижной точкой N. Пружина в недеформированном состоянии имеет длину l. При перемещениях муфты происходит деформация пружины. При этом изменяется расстояние между её витками но пружина в целом остаётся прямолинейной, то есть центры её витков всегда находятся на одной линии. Точка N располагается на расстоянии H от стержня. Пренебрегая размерами муфты найти частоты малых колебаний относительно возможных положений равновесия. 86 Рис. 36 Решение. Выводя тело из положения равновесия, например, растягивая пружину на некоторую величину, ему сообщается некоторый запас потенциальной kx 2 энергии V  где, k - коэффициент упругости пружины, х - величина 2 растяжения пружины. Таким образом для случая, представленного на рис.36 (при условии, что l≤H), потенциальная энергия будет равна:  2 2  2 k l 2 k H  x  l (204)  2 2 Для данной системы имеется только одно положение равновесие х0: V х0=0 сила направленная вдоль стержня и которая действует на груз будет равна (согласно связи потенциальной энергии и силы): V kx F  x  H 2  x2  l 2 H x 2  0 (205) Используя второй закон Ньютона и выражение (205), запишем уравнение движения: mx  kx  H 2  x2  l 2 H x 2 0 (206) 87 Преобразовав это уравнение и линеаризуя его получим:  x k l 1  m H  x 0  (207) Данное уравнение является уравнением гармонических колебаний груза с частотой ω0 равно: 0  k l  1   m H  (208) 15. Задачи для самостоятельного решения. Уравнения гармонических колебаний и его решения:  x  02 x  0 , x  a cos  0t    (209) где ω0 – собственная частота колебаний. Уравнение затухающих колебаний и его решение:  x  2x  02 x  0 , x  a0et cos(t  ) (210) где ω –частота затухающих колебаний, β – коэффициент затухания.   20   2 (211) Логарифмический декремент затухания λ и добротности Q: λ=βT, Q=π/λ (212) где, Т=2π/ω. Уравнение установившихся колебаний и его решение:  x  2x  02 x  f0 cos t , x  a cos(t  ) (213) где  f0 (20  2 )2  422 , tg   2 20  2 (214) Максимальная амплитуда смещения достигается при:  рез   2  22  (215) 1. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия х=0. Частота колебаний ω=4 рад/с. В некоторый 88 момент координата частицы х0=25 см и ее скорость vx0=100см/с. Найти координату х и скорость vx частицы через t=2,4 с после этого момента. 2. Найти круговую частоту и амплитуду гармонических колебаний частицы, если на расстояниях х1 и х2 от положения равновесия е скорость равна соответственно v1 и v2. 3. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т=0,6с и амплитудой а=10см. Найти среднюю скорость точки за время, в течении которого она проходит путь а/2. а) из крайнего положения; б) из положения равновесия. 4. В момент t=0 точка начинает совершать колебания вдоль оси х по закону x=asinωt. Найти за первые 3/8 периода после начала движения: а) среднее значение проекции ее вектора скорости 〈v_x〉 б) модуль среднего вектора скорости |〈V〉|; в) среднее значение модуля скорости 〈v〉. 5. Частица движется вдоль оси х по закону x=a cosωt. Найти путь, который она пройдет за промежуток времени от t=0 до t. 6. В момент t=0 частица начинает двигаться вдоль оси х так, что проекция ее скорости меняется по закону vx=35cosπt см/с, где t в секундах. Найти путь, который пройдет эта частица за первые t=2,8с после начала движения. 7. найти период малых вертикальных колебаний шарика m=40г, укрепленного на середине горизонтально натянутой струны длины l=1м. Натяжение струны считать постоянным и равным F=10H. 8. Определить период малых колебаний металлического маятникашарика, подвешенного на нити длины l=20см, если он находится в жидкости, плотность которой в η=3 раза меньше плотности шарика. Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым. 9. Шарик подвесили на нити длины l к точке О стенки, составляющей небольшой угол α с вертикалью (рис. 37). Затем нить с шариком отклонили 89 на небольшой угол β (β>α) и отпустили. Считать удары шарика о стенку абсолютно упругими, найти период колебаний такого маятника. Рис.37 10. Маятниковые часы установили в кабине лифта, которая начала подниматься с постоянным ускорением ω, причем ω0 3. В<0, С<0; |C|>B2/4 4. В<0, С<0; |C|0, С<0; |C|>B2/4 6. В>0, С<0; |C|0,|EB|>D. 36. Последовательный колебательный контур содержит катушку с индуктивностью L, конденсатор, емкость С которого изменяется по закону: C=C0/(1+mcospt) (220) И нелинейный резистор, сопротивления R которого зависит от амплитуды I тока в соответствии с соотношением: R=R0(1+β0I2) (221) где β0 – постоянный коэффициент. Собственная частота колебательного контура 0  1 LC0 и частота внешнего воздействия р удовлетворяют неравенству |(4 ω02/ р2)-1|<<1/ Считая, что m и R0/ ω0L – малые величины, и используя метод медленно меняющихся амплитуд, найти область параметрического резонанса, определить область допустимых расстроек, в 98 которой происходит возбуждение; получить выражение для стационарной амплитуды и построить качественно зависимость амплитуды колебаний от расстройки. 37. Решить задачу 36 для случая, когда сопротивление определяется соотношением: R=R0(1+β0I) (222) где I – амплитуда в контуре. 38. Последовательный колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L, резистора сопротивлением R, и конденсатора, емкость которого изменяется во времени по закону: C=C0/(1+mcos2ωt) (223) Добротность контура Q>>1. Расстройка ξ=1-(ω02/ω3) и коэффициент модуляции емкости mудовлетворяют неравенствам ξ<<1, m<<1. Методом меняющихся амплитуд найти условие параметрического возбуждения и области расстроек, в который наблюдается параметрический резонанс. 40. В последовательный колебательный контур, состоящий из катушки с индуктивностью L, резистора сопротивлением R0 и емкости С, включен элемент с падающим участком воль-амперной характеристике. Рабочая точка этого элемента выбрана таким образом, что падение напряжения на элементе связано с током, текущем через него, соотношением u=-S1i+S3i3. Пользуясь методом медленно меняющихся амплитуд, найти стационарные режимы и исследовать их устойчивость. 41. К параллельному колебательному контуру (рис. 52), состоящему из катушки с индуктивностью L, резистора сопротивлением R и емкости С, подключен элемент спадающим участком на вольт-амперной характеристике (туннельный диод). Рабочая точка этого элемента выбрана таким образом, что напряжение u на элементе связано с током i, текущим через него, соотношением: i=α0u+γ0u3 (224) 99 Пользуясь методом медленно меняющихся амплитуд, найти условия возбуждения колебаний, стационарные режимы и исследовать на их устойчивость. Рис. 52 42. На рис.53 представлена упрощенная принципиальная схема автоколебательной системы томпсоновского типа. Зависимость тока стока i транзистора от напряжения смещения u в окрестности рабочей точки описывается выражением: i=i0+S0u-S1u3, где S0>0, S1>0 (225) Пользуясь методом медленно меняющихся амплитуд и считать, что добротность Q колебательного контура удовлетворяет условию Q>>1, получить условия возбуждения колебаний, найти стационарный режим и исследовать их устойчивость Рис.53 43. За сколько времени звуковые колебания пройдут расстояние l между точками А и В, если температура воздуха между ними меняется линейно от Т1 до Т2? Скорость звука в воздухе v   T , где α постоянная величина. 44. Плоская гармоническая волна с частотой ω распространяется со скоростью v в направлении, составляющем углы α, β, γ с осями x,y,z. Найти разность фаз колебаний в точках среды с координатами x1,y1,z1, и x2,y2,z2/ 100 45. Уравнение бегущей плоской звуковой волны имеет вид ξ=60cos(1800t-5,3x), где ξ микрометрах, t в секундах, l в метрах. Найти: а) отношение амплитуд смещения частиц среды к длине волны; б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны; 46. В однородной упругой среде распространяется плоская волна вида ξ=аcos(ωt-kx). Изобразить для момента t=0: а) графики зависимости от х величины ξ. б) направление скорости частиц среды в точках, где ξ=0, для случаев продольной и поперечной волн. 47. В однородной среде распространяется плоская упругая волна вида ξ=ае-γхcos(ωt-kx), где а, γ, ω и k – постоянные. Найти разность фаз колебаний в точках, где амплитуды смещения частиц отличается от друг друга на η=1%, если γ=0,42м-1 и длина волны λ=50см. 48. Медный стержень длины l=50см закреплен в середине. Найти число продольных собственных колебаний этого стержня в диапазоне частот от 20 до 50 кГц. Каковы их частоты? 49. В среде с плотностью ρ распространяется плоская продольная гармоническая волна. Скорость волны равна v. Считая изменение плотности среды при прохождении волны ∆ρ<<ρ показать, что приращение давления в среде ∆ρ=-ρv2(∂ξ⁄∂x), где ∂ξ⁄∂x – относительная деформация; 50. Точка А находится на расстоянии r=1,5 м от точечного источника звука частотой v=600Гц. Звуковая мощность источника Р=0,8Вт. Пренебрегая затуханием волн и считая скорость звука в воздухе v=340 м/с, найти для точки А: а) амплитуду колебаний давления (∆ρ)m и ее отношение к давлению воздуха; б) амплитуду колебаний частиц среды; сравнить ее с длиной волны звука. 101 Список литературы. 1. В.В.Мигулин, В.И.Медведев, Е.Р.Мустель, В.Н.Парыгин Основы теории колебаний. Под ред. В.В.Мигулина. – 2-е изд., перераб. – Наука. Гл. ред. физ. мат. Лит., 1988. – 392 с. 2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. 2-е изд., перераб. и испр. - М.: Наука, 1981. - 918 с. 3. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры.– М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 496с. 4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. Для втузов. В 2-х т. Т.I, Т.II: – М.: Интеграл-Пресс, 2001. 5. Камалов А.З. Краткий курс лекций по теории колебаний./ Учебное пособие. Казанский государственный архитектурно- строительный университет; Казань: - 2006. -128 с. 6. Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов. Т.4.Лекции по колебаниям. Под ред. М.А.Леонтовича. М.: Издательство АН СССР. 1955. – 512 с. 7. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука. 1969. 424с. 8. Харкевич радиотехнике. А.А. Нелинейные Москва.: и параметрические Государственное издательство явления в технико- теоретической литературы. 1956.– 184с. 9. Алдошина И.А., Вологдин Э.И., Ефимов А.П. и др., Электроакустика и звуковое вещание: учебное пособие для вузов – М.: Горячая линияТелеком, Радио и связь, 2007.-872с. 102 10. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: Наука. 1979.–396 с. 11. Казаков Л.Н. Ходунин А.В., Палей Д.Э. Решение задач по курсу «Теория колебаний»: методические указания. Ярослав. гос. ун-т им. П.Г.Демидова. – Ярославль: ЯрГУ. 2011. – 88с. 12. Светлицкий В.А. Задачи и примеры по теории колебаний: учебное пособие. М.: Изд-во МГТУ. 1994. Ч.1. 308 с. 103 Данилаев Максим Петрович Дорогов Николай Васильевич Шилов Никита Сергеевич ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ Учебное пособие Издание выходит в авторской редакции Подписано в печать 04.12.2017. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». Формат 60х841/16. Усл.печ.л. 4,5. Уч.-изд.л. 6,75. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ ______. Издательство ООО «Новое знание». 420029, г.Казань, ул.Сибирский тракт, 34, корпус 10, помещение 6. _______________________________________________ Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфическом участке ИП Рябенков А.И. 420029, г.Казань, ул.Сибирский тракт, 34, корпус 10. ISBN 978-5-9909515-6-3 104