Теория автоматического управления; линейные системы

Теория автоматического управления Линейные системы Программа курса 1. Введение. Предмет ТАУ. Основные задачи теории управления. Классификация САУ. Основные понятия и определения. 2. Математическое описание САУ и ее элементов. Линеаризация характеристик. Динамические характеристики элемента (дифференциальное уравнение, уравнение вход-выход, уравнение в операторной форме). 3. Свойства преобразования Лапласа. Передаточная функции звена. Частотные характеристики звеньев. АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ВЧХ, МЧХ. Логарифмические (асимптотические) частотные характеристики звена. 4. Регулярные сигналы. Переходная характеристика и весовая функция. 5. Типовые звенья систем автоматического управления (все виды математических моделей, построение частотных характеристик): усилительные, дифференцирующие, форсирующее, интегрирующее, звено второго порядка (апериодическое, колебательное, консервативное). 7. Преобразования в структурных схемах. Последовательное соединение звеньев. Параллельное соединение. Встречно-параллельное соединение. Правила переноса. 8. Системы с обратной связью. Виды обратной связи. 9. Устойчивость систем автоматического управления: 9.1. Анализ устойчивости САУ по корням характеристического уравнения 9.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. О критическом коэффициенте усиления (передачи). 9.3. Принцип аргумента. Частотный критерий устойчивости Михайлова. 9.4. Частотный критерий устойчивости Найквиста. Разомкнутая система а)устойчива, б)неустойчива, в)нейтральная. Обобщенная формулировка критерия Найквиста. 9.5. Логарифмический критерий устойчивости Найквиста. Общая формулировка. 10. Структурная устойчивость ( неустойчивость) САУ. 10.1. Запас устойчивости систем автоматического управления. 10.2. Построение области устойчивости систем: А) на основе критерия Гурвица; Б) методом корневого годографа. 11. Оценка качества регулирования: 11.1. Показатели качества переходных характеристик. Интегральные оценки качества. 11.2. Оценка качества переходного процесса по расположению нулей и полюсов передаточной функции. Литература: К.П. Власов Теория автоматического управления. Изд.Гуманитарный Центр. Харьков. 2013. Введение Прежде всего, следует отметить, что ТАУ является составной частью науки об управлении - кибернетики. Кибернетика как наука об оптимальном управлении сложными системами изучает: • Внутренние свойства (структура) объектов управления (ОУ) и устройств, реализующих функции управления (УУ). • Информационные свойства ОУ при внешних воздействиях. • Протекание динамических процессов в системах и процессы обработки информации. • Методы выработки управляющих воздействий, обеспечивающих в определенном смысле оптимальное управление. Объектами управления, с которыми имеет дело кибернетика, могут быть живые организмы, коллективы людей, производственные объединения (предприятия, цехи) и отдельные технические устройства (станки, механизмы, установки). Часть кибернетики, связанная с изучением и управлением техническими объектами, называется технической кибернетикой. Техническая кибернетика включает в себя: • Изучение теории автоматического управления сложной технической системой, работающей без участия человека, и функционирующей в соответствии с целью управления. • Изучение оператора (человека) как сложного объекта, законов его функционирования и управления в системе «человек – машина». Технической кибернетике сопутствуют такие важные понятия, как АСУ и САУ. АСУ – автоматизированная система управления (система с участием человека в процессе управления). В ней оператор – человек является частью системы (внутри ее). САУ – система автоматического управления – где функции человека (оператора) сводятся к запуску (включению) системы и ее выключению. Операции управления в ней осуществляются автоматически. Теория управления, как первая компонента технической кибернетики, изучает целенаправленное управление в техническом объекте, связанное с преобразованием энергии. Предмет ТАУ – это изучение законов и методов управления. Базируется он на математических моделях технических реализованных систем автоматического управления техническими устройствами (рабочая машина) и технологическими процессами. В большинстве САУ техническим объектом является система электромеханического преобразования энергии, включающая в себя: - преобразователь электрической энергии (выпрямитель, частотный преобразователь, усилитель мощности), - преобразователь электрической энергии в механическую (электродвигатель), - передаточное звено (редуктор), - рабочая машина. Такие системы называются ЭМС (электромеханическими системами). Целью настоящего курса является ознакомление с теорией и методами управления техническими устройствами. Во всех САУ техническими устройствами и технологическими процессами обязательно имеет место преобразование энергии!!! Частной задачей автоматического управления является задача автоматического регулирования, то есть поддержание или изменение по заданному закону состояние объекта на основании измерения его параметров или действующих на него возмущений. ТАУ, как наука, начала складываться в 19 веке. В числе ее основоположников можно назвать французских ученых – инженеров Понселя и Пуанкаре, чешского инженера Ауреля Стофолу, русского ученого Ивана Алексеевича Вышнеградского, английского ученого Максвелла, русских математиков и инженеров Николая Егоровича Жуковского, Александра Михайловича Ляпунова. Большинство фундаментальных положений этой науки сложилось к 40-м годам 20 века. Исторические сведения можно почерпнуть в книгах: • Д.К. Ньютон, Л.А.Тулд, Д.Ф. Кайзер «Теория линейных следящих систем». ГИФМА, 1961. (ранний период) • Техническая кибернетика. Ред. В.В. Солодовников. Кн. 1. Машиностроение. 1967. (поздний период). Однако за последние почти 50 лет ТАУ обогатилась новыми значительными разделами, которые лягут в основу данного курса. Сокровищницу знаний этой науки пополнила целая плеяда талантливых ученых и инженеров, с именами которых мы неоднократно встретимся в данном курсе. Среди них, по праву, достойное место занимают наши соотечественники. Теория автоматического управления включает в себя следующие основные части: • Теория управления линейными системами (линейные САУ). • Нелинейные САУ. • Дискретные САУ (системы, управляемые вычислительным устройством). • Системы оптимальные, адаптивные. Каждая из этих частей имеет 4 раздела: • Математические основы ТУ. Математические модели элементов САУ. • Устойчивость САУ (работоспособность). • Анализ САУ – влияние их устройств и элементов на качество основных процессов. • Синтез математической модели САУ. 1.1 Предмет теории автоматического управления Теория автоматического управления изучает методы математического моделирования, анализа и синтеза систем автоматического управления (САУ). Под САУ понимается совокупность объекта управления (ОУ) и управляющего устройства (УУ). Информационно-измерительное устройство (ИИУ) обычно рассматривается как составная часть устройства управления. Под объектом управления понимается некий механизм, агрегат, устройство, некий технологический, энергетический, экономический, социальный процесс, желаемое поведение или протекание которого должно быть обеспечено. Поведение объекта управления, результат его функционирования определяется некоторыми показателями. Чаще всего ими являются значения физических (или другой природы) величин, называемых выходными величинами. В реальных условиях на каждый объект управления многочисленные воздействия оказывает окружающая (внешняя) среда. Из всего многообразия воздействий в поле зрения оставляют лишь те, которые оказывают наибольшее влияние на выходные величины, и называют их входными воздействиями. Входные воздействия с точки зрения их влияния на ОУ разделяются на две принципиально отличные группы. Некоторые из них обеспечивают желаемое изменение поведения объекта, достижение поставленных целей. Такие входные воздействия называются управляющими, при их отсутствии задача управления вообще не имеет места. Управляющие воздействия представляют собой контролируемую величину. Другие входные воздействия мешают достижению цели управления и называются возмущающими или помехами (это могут быть и неконтролируемые величины). Задача управления заключается в формировании такого закона изменения управляющих воздействий, при которых достигается желаемое поведение объекта независимо от наличия возмущений. В случае, когда ОУ характеризуется одной управляющей и одной управляемой (выходной) величинами, то он называется односвязным (простым). При наличии нескольких координат объект и систему в целом называют многосвязной. В ТАУ воздействия и процессы изучаются с позиций теории информации, когда воздействия являются переносчиками информации, а не энергии!!! Функциональная схема САУ Схема САУ, в которой заложено функциональное назначение ее элементов и направление передачи информационных и энергетических воздействий, называется функциональной. В самом общем виде функциональная схема САУ состоит из двух подсистем: 1. управляющего устройства; 2. объекта управления. В управляющее устройство входят: - преобразователи контролируемых величин – измерительные и преобразовательные устройства; - устройство сравнения; - усилитель мощности (УМ), преобразующий информацию в энергетическое воздействие; - исполнительное устройство, реализующее управляющее воздействие на объект управления. В ЭМС в качестве исполнительного устройства выступает электродвигатель. Корректирующее устройство предназначено для придания процессам, протекающим в системе, заданных качеств и свойств. Управляемая величина подается на вход устройства сравнения, где сравнивается с управляющим воздействием. Полученный контур называют цепью обратной связи. По существу обратная связь является главным и основным элементом, позволяющим создать САУ. Замкнутые системы обычно называются системами, работающими по отклонению. В качестве объекта управления предполагается какой-либо механизм. Каналы передачи воздействий, расположенные справа от усилителя мощности, являются каналами передачи информации. В УМ поток информации управляет потоком энергии, воздействующим на исполнительное устройство. 1.2 Основные задачи теории управления Основными задачами ТАУ ЭМС являются анализ и синтез систем автоматического управления, оценка энергетических характеристик ее элементов. При анализе решается следующая задача: определение поведения системы и отдельных ее элементов при заданном входном сигнале. Под синтезом понимается задача определения структуры и параметров элементов САУ, удовлетворяющим заданным качествам выходного сигнала (при известном входном воздействии). При оценке энергетических характеристик анализируются условия обеспечения работы элементов в зоне допустимых значений параметров, не приводящих к аварийным ситуациям, оценке допустимой мощности элементов для обеспечения необходимой динамики объекта управления и другие вопросы. 1.3 Классификация систем автоматического управления 1. По принципу управления (регулирования): - разомкнутые; - замкнутые; - комбинированные. Разомкнутые и замкнутые системы представимы вполне понятными структурными схемами. Системы управления с обратной связью реализованы по принципу Ползунова-Уатта (системы управления по отклонению). Обратной связью в САУ называется такая связь, при которой сигнал снимается с выхода последующих элементов системы и подается на вход предыдущих. Связь будет отрицательной, если соответствующий ей сигнал поступает на «вычитающий» вход устройства сравнения. При положительной обратной связи сигнал складывается с управляющим сигналом x(t). В САУ обратная связь почти всегда отрицательная. Замкнутые системы могут иметь не одну обратную связь. В этом случае к ним применимо название: многоконтурные системы. В некоторых разомкнутых системах реализуется принцип управления по возмущению (принцип Понселе-Чиколева): При включении в систему звена обратной связи получают комбинированную систему: 1. По цели управления (по характеру управляющего воздействия): - системы стабилизации (предназначены для поддержания регулируемой величины на заданном уровне); - системы программного управления (в таких системах входной сигнал x(t) изменяется по известной функции времени); - следящие системы (входной сигнал таких систем представляет собой неизвестную функцию времени); - адаптивные (самонастраивающиеся) системы (данные САУ имеют способность приспосабливаться к условиям окружающей среды или улучшать условия своего функционирования в зависимости от опыта работы); - стохастические САУ, в которых управляющий сигнал x(t) случайного вида. 2. По количеству регулируемых величин: - одномерные (односвязные); - многомерные (многосвязные). 3. По характеру сигналов в САУ: - непрерывные (аналоговые). К ним относятся системы, во всех элементах которых не нарушается непрерывность передачи информационных и энергетических воздействий. - дискретные (релейные, импульсные, цифровые) – это такие САУ, в которых хотя бы в одном из элементов нарушается непрерывность передачи информации. - с гармоническим модулированным сигналом; в них используется принцип амплитудной, фазовой и частотной модуляции сигнала. 4. По характеру параметров: - стационарные. Параметры таких систем не зависят от времени; - нестационарные САУ; - системы с распределенными параметрами. У таких САУ некоторые элементы описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. 5. По идеализации математического описания: - линейные – когда все элементы САУ описываются линейными уравнениями. - нелинейные системы, содержащие хотя бы один нелинейный элемент. Деление на линейные и нелинейные системы присуще как непрерывным, так и дискретным устройствам. 1.4 Основные понятия и определения Древние говорили: «Прежде чем спорить, дискутировать – договоримся о понятиях, т.е. что понимать под тем или иным словом, определением». Рассмотрим основные определения: Теория автоматического управления (ТАУ) – это совокупность методов и специального математического аппарата, позволяющих спроектировать работоспособную промышленную систему автоматического управления (САУ), отвечающую заданным требованиям. Объект управления (ОУ) – устройство (машина, аппарат, технологический процесс), в котором необходимо поддерживать некоторое значение переменной или показателя. Объект управления, подвергаемый управляющим воздействиям, называется управляемым объектом. Управлением называется такое воздействие на управляемый объект, которое обеспечивает достижение заранее намеченной цели. Выработка управляющих воздействий включает сбор, передачу и обработку необходимой информации, принятие решений, обязательно включающее определение управляющих воздействий. Осуществление управляющих воздействий включает передачу управляющих воздействий и при необходимости преобразование их в форму, непосредственно воспринимаемую объектом управления. Целью управления объектом обычно является определение и/или поддержание заданного режима. Если целью управления является поддержание заданного режима, то управление называется регулированием. Управление называется автоматическим, если оно осуществляется без непосредственного участия человека. Система автоматического управления (САУ) – это система, состоящая из устройства управления и объекта управления, с помощью которой достигается цель управления. Устройство управления (УУ) или регулятор (Р) – это совокупность устройств, реализующих управление технологическим процессом или технической системой. Управляющее воздействие – это воздействие на объект управления, предназначенное для достижения цели управления. Структура системы управления – это совокупность и характер связей и отношений между элементами (подсистемами) системы управления. Возмущение – это воздействие извне на любой элемент (подсистему) системы управления, включая объект управления, затрудняющее, как правило, достижение цели управления. Различают контролируемые и неконтролируемые возмущения. Задающее воздействие – это воздействие на управляющий объект, предназначенное для изменения цели управления. Обратная связь – это зависимость текущих воздействий на объект от его состояния, обусловленного предшествующими воздействиями на этот же объект. Обратная связь может быть естественной и искусственно организуемой. Различают отрицательную и положительную обратные связи. В первом случае обратная связь действует в сторону уменьшения, а во втором - в сторону увеличения, отклонений текущих значений координат объекта от их предшествующих значений. Закон управления – это математическая форма преобразования задающих воздействий, возмущений, воздействий обратных связей, определяющих управляющие воздействия. Алгоритм управления - это алгоритм, определяющий управление в реальном времени. Качество управления – это совокупность характеристик управления, принятая для оценки полезности управления. Показатель качества управления – это количественная оценка качества управления. 2.1 Математическое описание САУ и ее элементов Для анализа и синтеза САУ необходимо иметь математическое описание систем. Любая САУможет быть представлена набором соединенных между собой элементов, которые называются звеньями. Звеном в теории управления называется такой элемент САУ, которому соответствует одна математическая операция преобразования сигнала. Структурной схемой САУ называется такое ее изображение, при котором указываются все ее звенья и связи между ними. Иными словами, структурная схема есть изображение математической модели системы. Следовательно, для получения математической модели системы необходимо разделить ее на отдельные звенья и составить уравнения, описывающие поведение этих звеньев. Уравнения составляются на основании анализа физических, химических, технологических, экономических, социальных и иных процессов, происходящих в конкретных элементах. Используются соответствующие законы (закон сохранения массы, энергии, вещества и пр.), применяются специальные исследования и экспериментальные методы для получения математического описания звеньев систем. Все математические модели (ММ) разделяются на: 1. Дифференциальные уравнения; 2. Разностные уравнения (для дискретных САУ); 3. Передаточные функции; 4. Структурной схемы. 2.2 Линеаризация статических характеристик Статической характеристикой САУ или отдельных ее элементов называется связь между входными и выходными величинами в установившемся состоянии. Статическая характеристика описывается в общем случае некоторым нелинейным уравнением (уравнением преобразования): y = f(x). Линеаризация проводится, если в окрестности некоторой рабочей точки (x0,y0) линеаризованная функция непрерывна: если члены старших порядков отбросить, то получаем: или Отсюда: ; ; ; ; . Линеаризация проводится (с погрешностью) обязательно в окрестности некоторой (рабочей) точки. Кроме рассмотренной линеаризации (линеаризация касательной) существует еще и линеаризация секущей. 2.3 Динамические характеристики звена Уравнения, описывающие поведение звена (системы), разделяются на дифференциальные и разностные уравнения. Для случая многомерного звена данные уравнения связывают входные и выходные переменные и их производные (сколь угодно большого порядка). Данные математические модели могут быть как в виде одного уравнения, так и в виде систем уравнений. В одномерном случае имеет место связь между одной входной и одной выходной переменными и их производными: . Применяя формулу Тейлора и отбрасывая старшие производные (2-й степени и выше) получаем: , или линейное уравнение с постоянными коэффициентами, с учетом того, что : . Такое уравнение описывает поведение звена только в окрестности некоторой точки . При значительном удалении от точки линеаризации данное уравнение, как правило, несправедливо. Полученное уравнение также называется уравнением в отклонениях или уравнением вариации. Практически и заменяют на x и y. Тогда окончательно имеем дифференциальное уравнение: , или в операторной форме . Откуда получается : . Можно обозначить A(p) =- собственный полином, B(p) = - входной полином. При наличии возмущений уравнение, описывающее звено, усложняется: , а в операторной форме: , или , где - полином возмущения. Полученные уравнения носят названия уравнения вход-выход. Уравнения исследуются следующими методами: 1. аналитическим, 2. численным, 3. операторным, 4. частотным. Аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений изучаются в соответствующих разделах математического анализа и вычислительной математики. Операторный метод и частотный методы базируются на использовании оператора Лапласа. 3.1 Основные свойства преобразования Лапласа Преобразование Лапласа основано на применении понятий оригинала и изображения . Оригинал - функция вещественного аргумента. Изображение - функция комплексного аргумента. Для того, чтобы функция была оригиналом, она должна удовлетворять условиям Дирихле: 1. Функция f(t) растет ограниченно в рассматриваемом промежутке: . 2. На рассматриваемом промежутке времени функция ограничена сверху и снизу (имеет max и min). 3. На рассматриваемом промежутке функция имеет конечное число разрывов первого рода. Разрывы второго рода отсутствуют. При соблюдении всех этих условий функция является оригиналом. Для получения изображения используется прямое преобразование Лапласа: . С помощью данного преобразования переходят к изображению: ; =ℒ; ; =ℒ; Обратное преобразование по Лапласу: . Свойства преобразования Лапласа 1. Линейность ℒ; . 2. Теорема смещения : ℒ. 3. Дифференцирование ℒ, ℒ. 4. Интегрирование ℒ ; . 5. Теорема умножений (свертка) ℒ, где ; . 6. Теорема подобия ℒ. 7. Теорема о начальном значении . 8. Теорема о предельном значении . Примеры преобразования Лапласа для некоторых функций: Оригинал Изображение ; ; ; ; ; ; ; (ступенчатая функция); (импульсный сигнал). 3.2 Передаточная функция звена Передаточной функцией элемента называется отношение изображения выходного сигнала звена к изображению его входного сигнала (обычно – при нулевых начальных условиях). Иногда для описания передаточных функций звена используется обозначение K(s). В качестве примера получим передаточную функцию звена, поведение которого описывается дифференциальным уравнением . В случае, когда входной сигнал x(t) = const (для определенности пусть x(t) = 1(t)), решение данного дифференциального уравнения (изменение выходной координаты звена) будет определяться выражением: . Переходя к изображениям, получаем: и . В соответствии с определением передаточной функции будем иметь: . Из полученной передаточной функции можно записать: - уравнение математической модели звена в операторной форме. Из исходного дифференциального уравнения после введения оператора дифференцирования также получается уравнение «вход-выход» звена в операторной форме . Сравнивая подчеркнутые выражения, можно сделать важный вывод о тождественности математических моделей звена в операторной форме, записанных в функции времени t и оператора Лапласа p. Связь оператора Лапласа с физикой В линейной системе переходный процесс, описываемый дифференциальным уравнением, может быть очень сложной функцией времени, но весь он состоит из линейной комбинации двух видов кривых – экспонент и синусоид (экспоненты используются в качестве коэффициентов у синусоид). При этом в устойчивой системе все экспоненты затухающие. Оператор Лапласа p - число комплексное: . с – свидетельствует о величине экспоненты; - характеризует частоту сигнала. 3.3 Частотные характеристики звеньев Для количественной оценки свойств линейных (линеаризованных) звеньев пользуются взаимосвязанными частотными характеристиками. Физически частотные характеристики звена имеют очень простую интерпретацию. Пусть на вход системы подано синусоидальное входное воздействие . Тогда в установившемся режиме выходной сигнал также будет синусоидальным: . Комплексный коэффициент передачи звена . Более правильной будет запись . Комплексный коэффициент передачи звена называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). - АЧХ – амплитудно-частотная характеристика звена; - ФЧХ – фазо-частотная характеристика звена. АЧХ определяет как изменится амплитуда гармонического сигнала после прохождения его через звено. ФЧХ определяет фазовый сдвиг выходного сигнала звена по отношению ко входному. Кроме того, переход от передаточной функции звена к частотным характеристикам осуществляется простой заменой в передаточной функции звена . То есть из рассматриваемого процесса как бы исключается экспонента. После преобразований в комплексном коэффициенте передачи выделяют его вещественные и мнимую составляющие: , где - ВЧХ – вещественная частотная характеристика; - МЧХ – мнимая частотная характеристика. Как следует из рисунка можно по ВЧХ и МЧХ определить АЧХ и ФЧХ: ; И окончательно . АФХ звена также может быть получена и экспериментальным путем. 3.4 Логарифмические частотные характеристики ЛАХ и ЛФХ Частотные характеристики звеньев и очень часто в ТАУ вычисляют и изображают не в обычном, а в логарифмическом масштабе. Например, если прологарифмировать АФХ звена (полагая безразмерной величиной): , то можно наблюдать независимость и . Величина обычно оказывается очень малой и поэтому вместо нее вводят в рассмотрение другую функцию: [Дб]. По оси ординат откладываются значения зависимости . Амплитуда базового гармонического сигнала имеет ту же физическую размерность, что и сигнал , а численное значение =1. Относительная амплитуда измеряется в децибелах (дб). На практике, как уже было отмечено, для получения ЛАХ используют упрощенную формулу , опуская размерность у . По оси абсцисс откладывается угловая частота (относительное значение). Если откладывается в логарифмическом масштабе по основанию 10 (как на рисунке), то единицей измерения является декада. При использовании логарифмического масштаба по основанию 2 вместо декады будет октава. Таким образом, логарифмические частотные характеристики являются зависимостями относительных величин. Логарифмические характеристики, как будет показано ниже, применяются из-за удобства их использования при анализе и синтезе систем. Кроме того, АЧХ чаще всего очень сложные функции от , то ЛАХ легко аппроксимируются отрезками прямых. 4.1 Элементарные сигналы Сигналы на входе звена – произвольная временная функция. Как известно, сигнал любой формы можно представить линейной комбинацией более простых сигналов. В теории управления для возможности изучения звеньев вводится 3 вида элементарных (регулярных) сигналов: 1. Единичное ступенчатое воздействие 2. Импульсный сигнал (единичный импульс) Реально - импульс достаточно короткий с крутыми фронтами. 3. Гармонический сигнал . С помощью совокупности сигналов любого из названных типов можно представить сигнал произвольной формы (вспомните ряды Фурье, например). Эти элементарные сигналы сами по себе являются удобными (и удачными) для исследования статических и динамических свойств звеньев и систем, так как в спектре и содержатся частоты от самых малых до очень больших значений, а гармонический сигнал может быть функцией от любого действительного значения частоты. 4.2 Переходная характеристика звена Под переходной характеристикой понимается реакция звена на единичное ступенчатое воздействие x(t) = 1(t). = ℒ . Переходная характеристика звена может быть получена не только в соответствии с приведенными выше формулами, но и экспериментально. Также, если известны корни полинома знаменателя передаточной функции звена , то переходную характеристику можно получить с помощью формулы Оливера Хэвисайде: , где n –порядок полинома A(p), pk –корни полинома A(p)=0. Весовая функция (импульсная переходная характеристика) звена Под весовой функцией w(t) понимается реакция звена на единичный импульс . w(t) ℒ. Так как (t)=1(t), то w(t)=h(t).