Теория атома водорода по Бору.

Лекция № 3 Тема: Теория атома водорода по Бору. Резерфорд в 1911 году предложил планетарную модель атома: F = ma e2 ϑ2 =m r 4πE 0 r 2 Размеры атома ≈ 10-10м ядра ≈ 10-14 ÷ 10-15м Электрон, двигаясь по орбите с ускорением излучающим энергию ⇒ его энергия уменьшается ⇒ радиус орбиты электрона уменьшается ⇒ все электроны должны упасть на ядро. В видимой области спектра испускания богла экспериментально выведена формула: 1 1 1 1 = R ( 2 − 2 ) , где R = 1,1 ⋅ 10 7 λ м n 2 n = 1,2,3… Бор, анализируя модель Резерфорда, эксперименты по излучению спектров испускания атомарного водорода и опираясь на квантовую теорию излучения, создал теорию атома водорода, высказав 2 постулата: 1. Электрон в атоме водорода движется по круговым стационарным орбитам с постоянной скоростью под действием кулоновской силы в соответствии со вторым законом Ньютона. Разрешенными являются только те орбиты, на которых момент импульса электрона кратен h e− F z e ϑ mϑr = nh , n = 1,2,3… ( L = r ; mϑ ) [ ] + 2. Вращаясь по стационарным орбитам, электрон в атоме не излучает и не поглощает энергию, а излучает или поглощает энергию при переходе с одной стационарной орбиты на другую. hυ = En − Em Если E m > E m , то излучает E m > E n , то поглощает Опыты Франка и Герца экспериментально подтвердили, что энергия электрона принимает ряд дискретных значений. Вылетевшие из катода электроны ускоряются напряжением U 1 . В области между сетками C1 и C2 соударяются с атомами ртути. Если энергия электронов такова после взаимодействия с атомами ртути, то они преодолеют задерживающие напряжение -0,5 и падают на катод. При U 1 = 4,86 В ток максимален, затем ток падает. Следующие максимумы: 2 ⋅ 4,86;3 ⋅ 4,86; и т.д. Электрон, отдав энергию 4,86 эВ, передают ее атому. Опыты Франка и Герца доказали, что энергия атома может принимать только дискретный ряд значений. Тогда получим выражение для энергии атома водорода. Е = Ек+Епот – полная энергия электрона в атоме. mϑ 2 Eк = 2 e E пот = −eϕ = −e ⋅ 4πE 0 r mϑ 2 e2 − E= 2 4πE 0 r hn mϑ По второму закону Ньютона m a = F ⇒ ma ц = Fк Из первого постулата mϑr = hn ⇒ r = mϑ 2 e = r 4πE0 r 2Ек = - Епот e 2 ⋅ mϑ mϑ 2 = ⇒ 4πE 0 ⋅ h ⋅ n e2 ϑ= 4πE 0 hn n = 1,2,3,……. mϑ 2 m e4 1 Ek = = ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 2 16π E 0 h n E пот me 4 1 =− ⋅ 2 2 2 2 16π E 0 h n me 4 1 me 4 1 me 4 1 E= ⋅ − ⋅ 2 =− ⋅ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 32π E 0 h n 16π E 0 h n 32π E 0 h n En = − En = − me 4 1 ⋅ 2 2 2 2 32π E 0 h n me 4 1 ⋅ 2 2 2 8E0 h n , h= h 2π , n = 1,2,3,….. – главное квантовое число. Энергия атома водорода принимает дискретный ряд значений 1 E n = −13,6 ⋅ 2 ( эВ ) n Изобразим энергетическую диаграмму. Знак «-» свидетельствует о том, что электрон находится в связанном состоянии с протоном Ei=E0-E1=0-(-13,6)=13,6(эВ) Энергия ионизации – энергия, которую необходимо сообщить электрону, чтобы удалить его из атома находящегося в основном невозбужденном состоянии. E 13,6 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 Дж = 13,6( ) = 13,6( В ) Потенциал ионизаций: ϕ i = i = −19 e Кл 1,6 ⋅ 10 Вычислим энергию фотона, излучаемого атомом: me 4 me 4 me 4 1 1 1 1 hυ = E n − E m = − 2 2 ⋅ 2 − (− 2 2 ⋅ 2 ) = ⋅( 2 − 2 ) 2 2 8E0 h m n 8E0 h m 8E0 h n me 4 1 1 = ⋅( 2 − 2 ) 2 2 λ 8E0 h m n hC me 4 1 1 = ⋅( 2 − 2 ) 2 3 λ 8E0 h C m n 1 R = 1,1 ⋅ 10 7 1 м Видимая область – серия Бальмера: m = 2, n = 3,4,5….. Корпускулярно-волновой дуализм Корпускулярно-волновой дуализм заключается в следующем: в одних экспериментах (интерференция, дифракция) свет проявляет себя как волна, в других (фотоэффект, эффект Комптона) – как частица (или фотон). В 1923 выдвинута гипотеза об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и другие частицы (например, электроны) наряду с корпускулярными обладают и волновыми свойствами. Таким образом, с каждым микрообъектом (например, электроном, протоном или др.) связаны корпускулярные характеристики – энергия E и импульс p – и волновые характеристики – частота ν и длина волны λ. Тема: Основы квантовой механики Гипотеза де Бройля Де Бройль распространил двойственную природу излучения на весь материальный мир, высказав гипотезу: Каждой движущейся частице, обладающей энергией E и импульсом p можно E h сопоставить волновой процесс, частота которого υ = , λ = h p а) Классический случай: ϑ << C , T << E o , где Т - кинетическая энергия p2 ⇒ P = 2mT 2m Б) Если частица релятивистская : ϑ ~ C, T ~ E0 , где ~ - соизмерима, то T (T + 2 E 0 ) m0 P= ⋅ ϑ или P = C ϑ2 1− 2 C m0 C 2 2 E = mC = P = mϑ , T = 1− E 2 − m 2C 4 ⋅ ϑ2 2 ϑ2 C2 = E0 2 C E = p C + E 20 1 1 1 2 p = ⋅ E 2 − E0 = ( E − E 0 )( E + E 0 ) = T (T + 2 E 0 ) c c c Гипотезу де Бройля подтвердили опыты Дэвисона и Джермера. 2 2 2 Если подставить в формулу Вульфа-Бренов 2d sin θ = mλ m=1 λ = 2 ⋅ 0,91 ⋅ sin 65 0 = 1,65 A 0 h Рассчитаем длину волны де Бройля λ = p p = 2mT , λ= h 2meU T = eU ⇒ p = 2meU = 6,62 ⋅ 10 −34 2 ⋅ 3,1 ⋅ 10 −31 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 54 ≈ 1,67 ⋅ 10 −10 м = 1,67 A 0 Получается практически идеальная сходимость. Были многочисленные опыты Тартаковского Многочисленные опыты показали, что волновые свойства присущи не коллективу электронов, а каждому отдельно движущемуся электрону. Опыты аналогично были проделаны и с другими частицами: нейтронами, протонами, атомами. Всюду наблюдали картины, аналогично тем, что наблюдается с электронами. Это означает, что микрочастицы обладают волновыми свойствами. м Возьмем пулю: m = 10 −3 кг, ϑ = 10 3 c Найдем λ h h 6,62 ⋅ 10 −34 λ= = = 6,62 ⋅ 10 −34 м = 6,62 ⋅ 10 − 24 A 0 = −3 3 p mϑ 10 ⋅ 10 Таких структур, которые позволили бы показать дифракцию таких волн, нет. Макротелами тоже можно приписать волновые свойства, но обнаружить их на данном этапе невозможно. Запишем уравнение волны де Бройля. Для этого вспомним уравнение упругой волны, распространившись вдоль оси ОХ: ξ ( x, t ) = A cos( wt − kx + α ) E υ = /⋅ 2 П h E ⋅ 2П 2 Пυ = h ω= kx = E h 2П λ = 2П ⋅ P px = h h E h ψ ( x, t ) = A ⋅ cos( t − p ⋅ x) h Движению частицы вдоль оси x можно сопоставить волновой процесс, описываемый функцией ψ ( x, t ) i − ( Et− px ⋅x) h ψ(x, t) = Ae Физический смысл имеет не сама ψ ( x, t ), а квадрат ее модуля. Рассмотрим свойства волн де Бройля. 1) Определим фазовую скорость: ω ω ⋅ h E mC 2 c 2 = = = >C ϑф = = k k ⋅h P mϑ ϑ 2) Определим групповую скорость: 2 pC 2 pc 2 mϑc 2 dω d (ω ⋅ h) dE d 2 = = = = =ϑ( p 2 c 2 + E0 ) = = U = ϑ гр = 2 E dk d (h ⋅ k ) dp dp mc 2 2 p 2 C 2 + E0 Скорость движущейся частицы. Групповая скорость совпадает со скоростью движения частицы 3) Волнам де Бройля присуща дисперсия: зав-ть скорости распределения волн от длины волны или частоты 2 p 2 c 2 + E0 E h ,p= ϑ = f (λ ), ϑ = = = k p p λ Определим групповую скорость фотона: pc 2 mc ⋅ C 2 U фот = = =C E mC 2 Выясним физический смысл волн де Бройля При рассматривании дифракции электронов на кристаллах. ω J~A2 C другой стороны интенсивность там больше, куда больше упало частиц : J~N, где N- число частиц, упавших в окрестность данной точки. J~A2= ψ 2 J~N ψ 2 = } - квадрат модуля ψ функции опред. вероятность попадания частицы в окр-ть данной точки dW , где W – вероятность ν - объем dv 2 dW = ψ dv W = ∫ | ψ | 2 dv = ∫ | ψ | | ψ * | dv v v ψ -функция имеет вероятное, статистическое толкование. Вероятность по всему бесконечному объему должна =1 : ∫ | ψ 2 | dv = 1 ∞ ψ -фия должна удовлетворять следующим требованиям 1) ψ 2) ψ 3) ψ 4) ψ 5) ψ -фия должна быть нормированной -фия непрерывна -фия конечна -фия однозначна в области опр-ия -фия подчиняется принципу суперпозиции: Если ψ 1 ψ 2 ψ 3 , … является решениями данного уравнения, то и ψ = ∑ψ i C i i также является решением данного уравнения. ψ -фия есть функция волновая и она включает в себя, как корпускулярные св-ва (энергию Е и импульс р), так и волновые свойства. 2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга r В классической физике Ньютона если известно силовое поле Fp , то мы можем рассчитать ускорение а, скорость v = ∫ adt , траекторию S = ∫ vdt , т.е. в любой момент t времени мы можем указать и скорость, и координату частицы. В квантовой физике для микрочастиц вопрос по одновременному указанию скорости и координаты частицы сложен, т.к. микрочастицы проявляют волновые свойства ⇒ нельзя говорить о длине волны в данной точке ⇒ если координату х можно определить в данной точке, то невозможно определить импульс р. Гейзенберг сформулировал следующие уравнения: Δx ⋅ Δp x ≥ h Δ у ⋅ Δp y ≥ h Δz ⋅ Δp z ≥ h ΔE ⋅ Δt ≥ h } соотношение неопределенностей Гейзенберга Сформулируем соотношение неопределенностей Первые три: произведение неопределенности координаты на неопределенность соотв. импульса не может быть меньше постоянной Планка с чертой. Последнее: произведение неопределенности энергии микрочастицы на время пребывания микрочастицы в данном квантовом соотношении не может быть меньше постоянной Планка с чертой. До прохождения щели координата электрона совершенно неопр-на, т.е. Δx = ∞ , а Δp x = 0 в момент прохождения щели шириной Δx электронами, неопр-сть координаты электронов конечна u = Δx, а Δp x = p sin ϕ . Усл-е: min J : a ⋅ sin ϕ = mλ , m = 1, b = Δx λ = Δx ⋅ sin ϕ ⇒ sin ϕ = x Δx h λ h Δp x = ⋅ = λ Δx Δx Δx ⋅ Δp x = h 3. Уравнение Шредингера Уравнение Шредингера – основное уравнение в квантовой физике. Оно записывается на основании анализа экспериментальных данных. Запишем временное (общее) уравнение Шредингера − h2 2 ∂ψ ∇ ψ + U ⋅ψ = ih 2m ∂t где m – масса частицы, состояние которой описывается; ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 U – потенциальная энергия частицы i – мнимая единица (i2=-1) ψ ( x, y , z , t ) - функция состояния. ∇ 2ψ = Δψ = Решая это уравнение, находят вид ψ - функции. Рассмотрим движение свободной частицы вдоль оси ОХ. Полная энергия частицы складывается из кинетической и потенциальной энергии. p2 10 E = T + U/ = 2m Если частица движется вдоль оси х, то ее поведение можно представить волной де Бройля. ψ ( x, t ) = Ae Здесь i − ( Et − px ) h E p = ω, = k x h h Выразим Е и р из уравнения волны де Бройля − ( Et − px ) ∂ψ ( x, t ) i =1 A ⋅42 e h 43 ⋅ (− ⋅ E ) ∂t h ψ i E= h ∂ψ 1 ∂ψ 1 ⋅ ⋅ (− ) = ⋅ ⋅ ih ∂t ψ i ∂t ψ ∂ 2ψ i p2 2 p = ψ ( ⋅ ) = ψ ⋅ ( − ) h ∂x 2 h2 p2 = − ∂ 2ψ 1 2 ⋅ ⋅h ∂x 2 ψ p2 E= 2m ∂ψ 1 h 2 ∂ 2ψ 1 ⋅ ⋅ ih = − ⋅ ⋅ ∂t ψ 2m ∂x 2 ψ − h 2 ∂ 2ψ ∂ψ ⋅ 2 = ih 2m ∂x ∂t Мы получили уравнение Шредингера для частицы, движущейся вдоль оси х. Если частица не свободная, а движется в силовом поле, то E = T + U ⇒ T = E − U p2 T= = E −U 2m Если силовое поле, в котором движется частица, не изменяющаяся во времени, то такое состояние называется стационарным. Для стационарных состояний ψ -фию можно представить: ψ ( x , y , z , t ) = ψ ( x, y , z ) ⋅ e i − ⋅ Et h Подставим ψ ( x, y , z , t ) во временное уравнение Шредингера: ∂ψ (...) h2 2 − ∇ ψ ( x, y, z , t ) + uψ (...) = ih 2m ∂t ∇ 2ψ = e i − Et h ⋅ ∇ 2ψ − Et ∂ψ iE = ψ ⋅ e h ⋅ (− ) h ∂t i i i 2 − ⋅ Et − Rt − Et iE h 2 h h h − ⋅e ⋅ ∇ ψ ( x, y, z ) + u ⋅ψ (...) ⋅ e = ih ⋅ (− ) ⋅ψ (...) ⋅ e h 2m 2 h − ⋅ ∇ 2ψ + u ⋅ψ = ψ ⋅ E 2m h2 − ⋅ ∇ 2ψ + (U − E ) ⋅ψ = 0 2m i ∇ 2ψ + 2m ( E − u ) ⋅ψ = 0 h2 Уравнение Шредингера стацион. состояний Из множества решений ψ ( x, y, z ) выбираем только такие, которые являются непрерывными, однозначными, конечными, т.е. нормированными ∫ψ 2 dV = 1 v ψ 2 = dW dV 4. Движение свободной частицы Рассмотрим движение свободной частицы вдоль оси ОХ E = T +U 0 p2 T= 2m Запишем уравнение Шредингера для стационарных состояний: 2m ( E − U ) ⋅ψ = 0 h2 ∂ 2ψ 2m + E ⋅ψ = 0 ∂x 2 h 2 ∂ 2ψ 2m p 2 x + ⋅ ⋅ψ = 0 ∂x 2 h 2 2m ∂ 2ψ + k x2 ⋅ψ = 0 2 ∂x ψ ( x) = A ⋅ e ik x ⋅ x ∇ 2ψ + Вероятность обнаружения частицы определяет | ψ | 2 | ψ | 2 = ψ ⋅ψ * = Ae −ik x x = A 2 | ψ |2 A2 х ψ ( x, t ) = Ae ik x ⋅ e x i − Et h = Ae i − ( Et − p x x ) h 5. Частица в одномерной потенциальной яме Брусок металла - + + + + + + + - - Электроны в металле находятся как – бы в потенциальной яме U U =∞ U =0 U =∞ ψ =0 ψ ≠0 ψ =0 a Пусть а- толщина бруска Найдем собственные функции и собственные значения энергии электрона внутри металла. Запишем уравнение Шредингера для стационарных состояний 2m ∇ 2ψ + 2 ( E − U ) ⋅ψ = 0 h Напишем граничные условия. В силу непрерывности ψ ( 0) = ψ ( a ) = 0 ∂ 2ψ 2m + ⋅ E ⋅ψ = 0 ∂x 2 h 2 ∂ 2ψ 2m p x2 + ⋅ ⋅ψ = 0 ∂x 2 h 2 2m ∂ 2ψ + k x2 ⋅ψ = 0 2 ∂x ψ ( x) = A sin( k x ⋅ x) + B ⋅ cos(k x ⋅ x) x =0 ψ (o) = B ⇒ B = 0, A ≠ 0 ψ ( x) = A sin( k x ⋅ x) Найдем A u k x x=a ψ (a) = A sin(k x ⋅ a) = 0 k x ⋅ a = nπ , n = 1,2,3,... nП kx = a a dw nπ | ψ |2 = ⇒ dW =| ψ | 2 dx;W = ∫ A 2 sin 2 xdx dx a a W = A 2 ⋅ = 1 (Из условия нормированности ψ − функции) 2 2 A= a ψ (x) = 2 ⋅ sin a nπ x a где n-1,2,3… Собственное значение энергии: E = k x ⋅ a = nπ nπ kx = a p x2 (hk x ) 2 = 2m 2m E= h 2π 2 n 2 , где а- ширина потенциальной ямы. 2ma 2 Найдем разность значений энергии в 2-х кв. состояниях h 2 ⋅ π 2 (n + 1) 2 h 2 ⋅ π 2 ⋅ n 2 h 2π 2 2 h 2π 2 2 − = ( n + 2n + 1 − n ) = (2n + 1) Δ E = E n +1 − E n = 2ma 2 2ma 2 2ma 2 2ma 2 Вычислим разность значений энергии для свободного электрона в металле ΔE = (1,056 ⋅ 10 −34 ) 2 ⋅ π 2 0,5 ⋅ 10 −33 (2n + 1) −33 ( 2 + 1 ) ≈ , 5 ⋅ 10 ( 2 + 1 )( ) = n n Дж = 3 ⋅ 10 −15 (2n + 1)( эВ) −19 −31 −2 2 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10 ⋅ (10 ) 1,6 ⋅ 10 при а =1 см. Разность значений энергии – очень малая величина. Если область, представленная для движения электрона велика (макрообласть), то разность энергии электронов в двух соседних кв. состояниях имеет порядок 10-15 эВ. Вычислим Δ E при a = 1 A Δ E имеет порядок 10 ÷ 100 ( 2 n + 1) эВ Когда область, предоставленная для движения электронов мала ( в пределах размеров атома), то разность энергии электронов в двух соседних кв. состояниях велика, т.е. энергия микрочастиц, движущихся в областях, соизмеримых с атомом, дискретна, квантована h2 ⋅π 2 (2n + 1) ΔE = 2ma 2 При m → велика, а − мала(см)⇒ Δ E − мало E h 2π 2 (2n + 1) 2ma 2 2n + 1 1 = ⋅ 2 2 2 = ≈ (при больших n) 2 E n π h n 2ma n2 Δ n→∞⇒ E →0 E Δ 6. Частица в трехмерной потенциальной яме Пусть внутри металла потенциальная энергия электрона U=0. Найдем собственные функции и собственные значения энергии частицы (св. электрона), находящегося в трехмерной потенциальной яме. Состояние установившееся, стационарное, силовое поле не меняется. 2m ( E − U ) 0ψ ( x , y , z ) = 0 2 h Граничные условия: ψ ( o , o , o ) = ψ ( a , o , o ) = ψ ( o , в , o ) = ψ ( o , o, c ) = 0 ∇ 2ψ ( x, y, z ) + E= p x2 + p y2 + p z2 p2 =− 2m 2m Для стационарных состояний ψ ( x, y, z, t ) = ψ ( x, y, z ) ⋅ T (t ) = X ( x ) ⋅ У ( у ) ⋅ Z ( z ) ⋅ T(t ) = X ( x ) ⋅ У ( у ) ⋅ Z ( z ) ⋅ e i − Et h ψ ( x, y , z ) = X ( x ) ⋅ Y ( y ) ⋅ Z ( z ) p 2 x + p 2 y + p z2 ( X ( x) ⋅ Y ( y ) ⋅ Z ( z )) = 0 h2 ∂2x p2x ∂2 y p2 y ∂2 z p2 z Y ( y ) ⋅ Z ( z ) ⋅ ( 2 + 2 ⋅ X ( x)) + X ( x) ⋅ Z ( z ) ⋅ ( 2 + 2 ⋅ Y ( y )) + X ( x) ⋅ Y ( y ) ⋅ ( 2 + 2 ⋅ Z ( z )) = 0 ∂x ∂y ∂z h h h ∇ 2 ( X ( x) ⋅ Y ( y ) ⋅ Z ( z )) + “Это уравнение тождественно равно 0 , когда каждое из слагаемых =0 но X(x) , Y(y) , Z(z) ≠0⇒ ∂2x + ∂x 2 ∂2x + ∂y 2 p2x ⋅ X ( x) = 0 h2 p2 y ⋅ Y ( y) = 0 h2 ∂2z p2z + 2 ⋅ Z ( z) = 0 ∂z 2 h p px py = kx , = ky , z = kz h h h n1π nπ x, n1 = 1,2,3.....k x = 1 a a n 2π n 2π Y ( y ) = B ⋅ sin y, n2 = 1,2,3.....k y = a b n 3π n3π Z ( z ) = C ⋅ sin z, n3 = 1,2,3.... k z = a c n1 , n2 , n3 − квантовые числа Вид ψ − функции X ( x) = A ⋅ sin − ⋅ Et nπ n1π nπ x ⋅ B ⋅ sin 2 y ⋅ C ⋅ sin 3 ⋅ z ⋅ e h a b c Найдем собственные значения энергии: i ψ ( x, y, z , t ) = A ⋅ sin 2 E= p x + p y2 + p z 2m 2 = h 2π 2 n12 n22 n32 ( + + ), где n1 , n2 , n3 2m a 2 b 2 c 2 Независимо друг от друга могут принимать значения Рассмотрим случай, когда а = b = с 1,2,3….. En = h 2π 2 2 (n1 + n 22 + m32 ) 2ma 2 n1 1 1 2 n2 1 2 1 n3 2 1 1 При разных квантовых состояний имеют значения энергии .Состояния разные с одинаковым значением энергии называется вырожденным а число состояний с одинаковым значением энергии называется кратностью вырождения. 7. Преодоление частицей потенциального барьера (туннельный эффект) С классической точки зрения все очевидно. Если высота потенциального барьера меньше энергии частицы , то частица преодолевшая этот барьер. Если же высота потенциального барьера больше, то частица отражается от потенциального барьера , т.е не преодолевшего его. С квантовой точки зрения микрочастиц , имея энергию, большую высоты потенциального барьера, отразится от него и ., имея энергию меньше высоты потенциального барьера , могут преодолеть этот барьер. В обоих случаях существует отличная от 0 вер-ть проникновения частицы через потенциальный барьер и также существует от 0 вер-ть отражения микрочастиц от этого барьера. Рассмотрим прямоугольный потенциальный барьер U u = 0 для x ≤ 0 u = u для 0 ≤ x ≤ a u = 0 для x ≥ a U I E ψ1 II III ψ2 ψ3 а Х ψ 1 ,ψ 2 ,ψ 3 − однозначные, конечные, непрерывные, нормированные начальные условия. ψ 1 (0) = ψ 2 (0) ψ 2 (a) = ψ 3 (a) Чтобы ψ − функция была гладкой, не имела изломов, то необходимо: ψ 1| (0) = ψ 2| (0) ψ 2| (a ) = ψ 3| (a ) Состояние стационарное, установившееся 2m ( E − U )ψ = 0 h2 ∂ 2ψ 1 2m + 2 Eψ 1 = 0 − I область ∂x 2 h ∂ 2ψ 2 2m + 2 ( E − U )ψ 2 = 0 − II область ∂x 2 h 2 ∂ ψ 2 2m + 2 ( E − U )ψ 3 = 0 − III область ∂x 2 h ∇ 2ψ + Для I,II 2m 2m p x2 ⋅ E = ⋅ = k x2 2 2 h h 2m Для II : 2m (U − E ) = β 2 h2 ∂ 2ψ 1 + k x2 ⋅ψ 1 = 0 2 ∂x ∂ 2ψ 2 − β 2 ⋅ψ 2 = 0 2 ∂x ∂ 2ψ 2 + k x2ψ 3 = 0 2 ∂x ψ 1 ( x) = A1 ⋅ e ik ⋅ x + B1e −ik ⋅ x x ⇒ x ψ 2 ( x) = A2 ⋅ e βx + Be ⋅ e − βx ψ 3 ( x) = A3 ⋅ e ik x + B3 ⋅ e − ik x x x Вспомним уравнение волны де Бройля: ψ ( x, t ) = Ae i − ( Et − p x x ) h - Для частицы движущейся вдоль ОХ В первом и третьем уравнениях первое слагаемое –есть уравнение падающей волны де Бройля ,а второе слагаемое отражаемой волны от границы х=0. Т.к в III области нет преград то B3 = 0 В силу конечности ψ − Функции амплитуда A2 = 0 Используя граничные условия можно найти A1 , B1 , B2 , A3 . Коэффициент прозрачности : D = | A32 | − отличие квадратов модулей амплитуд падающей | A12 | и отражающей волны . Коэффициент отражения - отличие квадрата модулей амплитуд отражения волны и падающей в : | B12 | R= 2 | A1 | Из определений следует , что D + R = 1 − 2 2 m ( u − E )⋅a 2 − ⋅ 2 m ( u − E )⋅a D ≅ e − 2 βa = e h =e h Чем тяжелее частица , тем меньше вер-ть преодоления частицей потенциального барьера . Чем выше потенциальный барьер U , тем меньше вер-ть преодоление барьера . Вер-ть преодоления широкого барьера меньше. − 2 2 m ( u − E )⋅a D ≅ e − 2 βa = e h Δ E ⋅Δ t ≥ h Если за время взаимодействия частицы с потенциальным барьером неопределенной h энергии частицы Δ E ≥ > U больше высоты потенциального барьера , то частица Δt преодолеет этот барьер. Внутри обр-ся как бы туннель для частицы .Это невозможно объяснить с классической точки зрения . 8. Квантовый гармонический осциллятор Линейный гармонический осциллятор описывает движение частицы массы m под действием квазиупругой силы F = −kx x + ω 02 x = 0 − дифференциальное уравнение гармонического классического осциллятора k ω 02 = m kx 2 mω 02 x 2 U= = − потенциальная энергия 2 2 mω 02 a x2 Um = − максимальная потенциальная энергия 2 −a≤ x≤a С классической точки зрения частица не может выйти из потенциальной ямы Квантовый гармонический осциллятор это микрочастицы ,(атомы ,ионы, молекулы) совершающие колебательные движения относительно своего положения покоя . Потенциальная энергия изменяется по такому же закону . Чтобы определить собственную энергию частицы, надо решить уравнение Шредингера 2m ∇ 2ψ + 2 ( E − U )ψ = 0 h Т.к мы рассмотрим колебания относительно оси х , то : mω 02 x 2 ∂ 2ψ 2m E + ( − )ψ = 0 2 ∂x 2 h 2 Для квантового осциллятора минимум значение энергии не может быть равным 0 , частица проявляя волновые свойства. ΔPx ΔX ≥ h p x2 h h h ; p x ≥ ΔPx ; Δp x ≥ ≅ , px ~ , a 2m ΔX a 2 h E= 2ma 2 mω 02 a 2 2Um 2E У классического осциллятора U m E = ⇒ a2 = = 2 2 mω 0 mω 02 E= h 2ω 02 hω 0 h 2 mω 02 h 2ω 02 2 E= ⋅ = ⇒E = ⇒E≥ 2m 2 E 4E 4 2 Минимум значение энергии не равно 0. Решение уравнения Шредингера даст для собственного значений энергии выражение : 1 E n = ( n + )hω 0 , где n = 0,1,2,...... 2 Это единственный случай , когда n=0 . При n=0 существуют нулевые колебания и 1 E min = hω 0 2 При больших n E ≈ nhω 0 Существование нулевых колебаний подтверждено экспертно. Изучая рассеяние света веществом при низких темпах (T → 0) Согласно классическим представлениям при T → 0 колебательные движения частиц прекращаются ⇒ должно отсутствовать рассеяние . Эксперимент показывает , что при T → 0 интенсивность рассеянного излучения есть и остается постоянной. Классический гармонический осциллятор не может выйти из области [ − a; a ] Квантовый ∂ω осциллятор может. | ψ | 2 = − вер-ть обнаружения частицы в некотором объеме. ∂v dw =| ψ | 2 dx Квантовая микрочастица может выйти за пределы параболической ямы. Это есть туннельный эффект. 1 E n = ( n + ) hω 0 2 1 n = 0 E 0 = hω 0 2 3 n = 1 E1 = hω 0 2 5 n = 2 E 2 = hω 0 2 Вспомним частицу в прямоугольной потенциальной яме En = ψn = n =1 n=2 n=3 π 2h 2n2 , n = 1,2,3...... 2ma 2 2 nπ sin x a a π 2h 2 E1 = 2ma 2 4π 2 h 2 E2 = − E1 ⋅ n 2 2 2ma E 3 = 9 E12 9. Квантово – механическая теория атома водорода Атом водорода состоит из ядра и 1-го элемента m p = 1,67 ⋅ 10 −27 кг me = 9,1 ⋅ 10 −31кг x = r sin θ ⋅ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ 2m ( E − U )ψ = 0 h2 e2 2m ∇ 2ψ + 2 ( E + )ψ = 0 4πε 0 r h ∇ 2ψ ( x, y, z ) + rя ~ 10 −14 м ra ~ 1A 0 ⋅ 10 −10 м En = − 13,55 эВ n2 Запишем уравнение Шредингера в полярной (сферической) системе координат 1 ∂ 2 ∂ψ 1 ∂ ∂ψ ∂ 2ψ 2m 1 ⋅ ( ) + ⋅ ⋅ + ⋅ (sin θ ) + ( E − U )ψ (r ,θ , ϕ ) = 0 r ∂z ∂θ r 2 ∂r r 2 sin θ ∂θ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 h 2 1) Из всех ψ -функций выбирают только , те , которые удовлетворяют условиям : непрерывности, однозначности, конечные . Эти требования удовлетворяются при разных значениях энергии : а) E > 0(e − − своб.) − китерес me 4 1 б) E n = − 2 2 ⋅ 2 , n = 1,2,3.... − главное квантовое число –интерес. 9ε 0 h n 2) Поскольку задача трехмерная , пространственная, то, решая уравнение Шрёдингера , получаем что собственная ψ -функция определяется тремя квантовыми числами l -орбитальное квантовое число , l = 0,1,2......, ( n − 1) Орбитальное квантовое число определяет момент импульса электрона в атоме: L = h l (l + 1) ⇒ квадрат момента импульса дискретности. Магнитное орбитальное квантовое число ml = 0,±1,±2,.... ± l. определяет проекцию момента импульса на физическое выработанное направление Lz = hml l символ S 1 P 2 d 3 f 4 q … … Если электрон находится в состоянии 3р, то n = 3, l = 1 Момент импульса электрона ориентирован так, что его проекция кратна постоянной h 3d ⇒ n = 3, l = 2 L = h 2(2 + 1) = h 6 ml = ±2,±1,0 В основном невозбужденном состоянии ψ -функция имеет следующий вид: ψ (r , θ , ϕ ) → R (r ) = Ae h 2 ⋅ 4πε 0 a= me 2 − r a --- Радиус первой боровской орбиты (n=1)