Теоретические основы метода конечных элементов

Прим мер Для баллки, изготтовленной из пласттичного материала м с заданн ной форм мой попееречного сечения, с используя и метод кон нечных эл лементов, необходим мо построи ить эпюрры попереч чной силы Qy, изгиб ающего мо омента Mx как функцций парамеетра внешн ней нагрузки q. ить из условия прочноости допускаемое знаачение парааметра нагр рузки q. Определи Принять σт σ = 240 МПа, М норматтивный коээффициентт запаса проочности [n] = 1,6. Расчетнаяя схема балки покаазана на рисунке р 1. Числовыее данные приведены ы в табллице 1 Рисуунок 1. Рассчетная схема Таблиица 1. Исхо одные данн ные м a,м k k k γ ый Прокатны профильь 2 1,4 0,6 0,,8 1,1 двутавр 110 Конечн но-элементтая моделль констру укции представляетт собой совокупнос с сть б конечных элементовв (КЭ), исспытывающ щих плоск кие изгибн ные двуххузловых балочных дефоормации. Разобьем Р ко онструкцию ю на 2 кон нечных элеемента. Нум мерация КЭ К и их узллов пакаазана на риссунке 2 Рисунок 2. Нумерац ция КЭ и их узлов 1.6 , Все коонечные эл лементы, ддлины кото орых равны ы 3.5 соответстввенно, имею ют одинако овую изгиб бную жестккость . д (пприведена в отдельном м файле «С Сортамент прокатныхх Из табллицы для двутавра проф фелей) 198 ∙ 10 м , 39.7 ∙ 10 см . Составвим матриц цы жесткоссти и веекторы узл ловых переемещений КЭ: 12 6 12 6 6 4 6 2 12 6 6 2 12 6 6 4 12 6 12 6 6 4 6 2 12 6 6 2 12 6 6 4 отдельн ных Глобальная матрица жесткости K для всей конструкции формируется путем суммирования элементов матрицы , соответствующие совпадающим узловым перемещениям: 12 6 12 6 6 4 6 2 12 6 6 12 2 6 6 4 12 6 12 6 6 4 6 2 12 6 6 12 2 6 6 4 12 6 12 6 6 4 6 2 12 6 12 6 6 2 12 6 0 0 0 0 6 12 6 4 6 4 6 12 6 6 2 12 2 6 6 4 Составляем вектор эквивалентных узловых нагрузок по формулам (3.37), (3.39), (3.41) Для первого конечного элемента ( 0.375, 0): 1 2 2 2 3 1 2 4 3 0.375 4 0.375 0.375 3 1 0.375 0.375 2 0.375 0.375 1.6 3 4 0.375 2 1.6 1.6 0.332 0.0642 0.0428 0.0202 1.6 1 0.375 2 0.375 4 2 0.531 0.103 0.0686 0.0323 0.4, Для второго конечного элемента( 0.686): 6 1 3 2 2 3 1 4 3 6 2 2 2 ∙ 0.4 1 3 ∙ 0.4 3.5 0.4 2 ∙ 0.4 0.4 2 ∙ 0.4 3 ∙ 0.4 3.5 0.4 0.4 0.8 3 6 0.686 0.686 3.5 1 4 ∙ 0.686 3 ∙ 0.686 6 0.686 0.686 3.5 2 ∙ 0.686 3 ∙ 0.686 0.369 0.648 0.504 0.352 0.336 0.8 0.332 0.369 0.943 0.770 0.0566 0.368 0.0398 Составим вектор узловых перемещений u и вектор узловых нагрузок R для всей конструкции - вектор узловых перемещений 0.943 0.770 0.566 0.752 0.531 0.103 0.686 0.0323 где , , 0.531 0.103 1.629 0.7377 0.566 0.752 – вектор узловой нагрузки, - соответствующие реакции опор. , Определим неизвестные узловые перемещения. Разрешающее уравнения МКЭ имеет вид ∗ 12 6 12 6 6 4 6 2 12 6 12 6 6 2 12 6 6 12 6 4 6 4 6 2 12 6 6 2 12 6 6 4 0.531 0.103 1.0116 0.7377 0.0566 0.368 Учтем граничные условия. В первом и втором узлах шарнирные опоры, значит 0. В третьем узле заделка, значит 0. Тогда глобальные матрицы жесткости, вектора узловых перемещений и вектора узловых нагрузок формируются путем вычеркивания 1,3,5,6 строк соответственно (строк соответствующих нулевым перемещения и углам поворота) В результате разрешающая система уравнения имеет вид: 4 2 2 4 0.103 0.7377 4 Решени ие системы ы позволяетт найти неи известные узловые у пееремещения: 0.07 725 0.227 Построоение эпю юр внутреенних силовых фак кторов попперечной силы изгибающего момента м . Для оп пределенияя распределления знач чений попееречной сиилы момеента и и изгибающеего в поперечных сеченниях вдольь оси бал лки сначалла рассмоттрим перввый конеечный элем мент Рисунок 3 Первый конечный к элемент э Показаанные на ри исунке узл овые силы , , , – ээто реакци ии в 1 и во ошением: вторром узле первого КЭ, которые сввязаны с уззловыми пееремещенияями соотно 12 6 12 6 6 4 6 2 12 6 6 12 2 6 4 6 12 6 6 4 6 2 6 6 2 12 6 6 0.531 0.103 0.0686 0.0323 6 12 12 0.531 0.103 0.0686 0.0323 0,0725 0,227 4 0.169 0.431 0.509 Для построения эпюр поперечной силы и изгибающего момента воспользуемся методом сечений. Разобьем первый конечный элемента на 2 участка. Тогда для первого участка (0 ) функция для момента и поперечной силы имеют вид 2 0,169 2 0,169 Для второго участка ( ) 1 конечного элемента 2 Аналогично для второго КЭ Рисунок 4 Второй конечный к элемент. 12 6 12 6 6 4 6 2 6 12 6 6 12 1 2 6 4 12 6 12 6 6 4 6 2 12 6 6 2 12 6 0..943 0.7 770 0.0 0566 0.7 752 6 0,227 0.943 0.770 0.0566 0.368 4 0.832 0.509 9 0.16 68 0.49 97 Для поостроения эпюр э поперречной силы и изгибаающего мом мента восп пользуемся метоодом сечени ий. Разобьеем второй кконечный элемента э на н 3 участкаа. Тогда дл ля первого участка (0 ) фу ункция дляя момента и поперечн ной силы им меют вид Для второго учасстка ( ) 2 конеечного элем мента Для третьего учасстка ( ) второгго конечно ого элементта Эпюры ы поперечн ной силы и изгибающеего моментта приведенны на рису унке 5 Рисунок 5. Эпюры изгиббающего мо омента Mx и поперечнной силы Qy Q Опредеелим допускаемое знначение наагрузки q из и расчета на прочно ость. Условвие проччности где – максим мальные наапряжения в констррукции, т сопрротивленияя сечения, – допускаем мые напряж жения. Отсюд да следует, что т 0,656 т 0,622 т 240 ∙ 10 ∙ 39.7 ∙ 10 1.6 ∙ 0,656 ∙2 2.27 ккН/м – момеент