Теоретические основы электротехники

Министерство образования и науки Российской Федерации Костромской государственный университет В. А. Изотов, Е. В. Панишева ТЕРРА ЭЛЕКТРИКА Пьеса для студентов Учебное пособие по дисциплине «Теоретические основы электротехники» Издание второе, исправленное и дополненное Кострома КГУ 2018 УДК 621.3(075) ББК 31.2я73-1 И387 Рецензенты: В. Н. Ткаченко, начальник отдела автоматизированных систем управления филиала ПАО «МРСК Центра» – «Костромаэнерго»; кафедра теоретических основ электротехники и автоматики Костромской государственной сельскохозяйственной академии (зав. кафедрой А. В. Рожнов) И 387 Изотов, В. А. Терра электрика. Пьеса для студентов : учеб. пособие / В. А. Изотов, Е. В. Панишева. – 2-е изд., испр. и доп. – Кострома : Изд-во Костром. гос. ун-та, 2018. – 149 с. ISBN 978-5-8285-0954-6 В пособии рассмотрены 4 основные темы дисциплины «Теоретические основы электротехники»: линейные цепи постоянного тока, цепи синусоидального тока, теория трехфазных цепей, переходные процессы. Основные положения теории подтверждены примерами, яркими аналогиями и иллюстрациями. Представлены решения типовых задач с применением математического пакета MathCAD. Отличительной особенностью и уникальностью пособия является оригинальный жанр написания – пьеса, отличающийся простотой и доступностью изложения, что способствует активизации познавательной деятельности студентов и более успешному усвоению материала. Предназначено для бакалавров направлений подготовки 27.03.04 «Управление в технических системах», 15.03.04 «Автоматизация технологических процессов и производств». Может быть полезно для студентов других направлений подготовки. УДК 621.3(075) ISBN 978-5-8285-0954-6 © Костромской государственный университет, 2010 © Костромской государственный университет, 2018, с исправлениями © Изотов В. А., Панишева Е. В., 2018 2 СОДЕРЖАНИЕ Пролог........................................................................................................................................... 4 Действие 1. Линейные цепи постоянного тока............................................................ 5 Сцена 1. О фонарике и не только............................................................................................. 5 Сцена 2. Секретное оружие электротехника ........................................................................ 20 Сцена 3. Эти замечательные МУП и МКТ ........................................................................... 29 Сцена 4. Размышления о блохе, звезде и треугольнике ...................................................... 46 Вопросы и задания для самоконтроля................................................................................... 61 Действие 2. Переменный синусоидальный ток .......................................................... 62 Сцена 1. Все начиналось с анекдота...................................................................................... 62 Сцена 2. Игра в кубики, или Новые приключения Ш. Холмса .......................................... 70 Сцена 3. Секретное послание Таска. Вновь на задание! ..................................................... 81 Сцена 4. Чудеса и тайны резонанса ....................................................................................... 91 Сцена 5. Ток из ниоткуда ..................................................................................................... 104 Вопросы и задания для самоконтроля................................................................................. 107 Действие 3. Трехфазные цепи ....................................................................................... 108 Сцена 1. Веселые картинки .................................................................................................. 108 Сцена 2. О том, как ваттметры «свешивают лапки».......................................................... 122 Вопросы и задания для самоконтроля................................................................................. 127 Действие 4. Переходные процессы ................................................................................. 128 Сцена 1. Что будет, если нажать кнопочку? ....................................................................... 128 Сцена 2. Карты раскрыты ..................................................................................................... 138 Вопросы и задания для самоконтроля................................................................................. 147 Эпилог ....................................................................................................................................... 147 Список литературы ............................................................................................................ 149 3 Действующие лица Аск – новичок-второкурсник Анс – бывалый студент-пятикурсник Таск – Эксперт по задачам Пролог Анс, дружище, выручай. Я хочу перевестись на автоматику – и мне надо досдать электротехнику. Помоги подготовиться к экзамену. Нет проблем, если ты готов серьезно заниматься. С тебя сладкий торт. Глюкоза, знаешь ли, для мозга очень полезна. Буду делать все, что ты скажешь. Торт после экзамена. Договорились? Хорошо, приходи завтра и принеси с собой фонарик. 4 Действие 1 Линейные цепи постоянного тока Сцена 1. О фонарике и не только... Привет, вот фонарик, как ты просил (рис. 1.1). Отлично, этот фонарик – пример реальной электрической цепи постоянного тока. Давай разберем его. Это я умею. Вот корпус, лампочка, батарейки, кнопка (рис. 1.2). Рис. 1.1 Хорошо. А теперь собери его снова, только вставь другую лампочку, вот эту. Вот, готово. Но он почему-то не работает. Может быть, лампочка перегорела? Нет, лампочка в порядке. Просто у нее другие параметры. У твоей рабочее напряжение 2,5 В, а у моей – 6,3 В. Рис. 1.2 А как правильно подобрать лампочку по параметрам? Это несложно. Для начала необходимо рассчитать электрическую цепь фонарика. И первым шагом на этом пути будет изображение реальной электрической цепи с помощью условных графических обозначений. Вот смотри (рис. 1.3). 5 Рис. 1.3 Да, это наглядно. Теперь представь, что тебе надо рассчитать цепь электрического снабжения города. Работать с реальной электрической цепью просто физически невозможно. Поэтому при расчете используют ее схему замещения. Надо это запомнить. Давай посмотрим на электрическую цепь фонарика (рис. 1.3). В этой простейшей цепи есть все основные элементы, из которых состоит любая другая электрическая цепь: 1 – источник электрической энергии (батарейка); 2 – приемник энергии (лампочка); 3 – коммутационный элемент (кнопка); 4 – соединительные элементы (корпус и провода внутри него). Для расчета токов и напряжений схемы необходимо знать параметры и свойства всех этих элементов. Но изображение – графическая модель (см. рис. 1.3), а не сама реальная цепь, не дает такой возможности. Поэтому надо сделать второй шаг. Наверное, надо наполнить физическим смыслом графические изображения реальных элементов? Да, это называется разработать математическую модель реальной электрической цепи. Понятно, вместо реальной электрической цепи я буду иметь дело с ее «копией», в которой реальные элементы заменены математическими формулами, правильно отражающими свойства реальных элементов. Да, но нас интересуют только те параметры, которые относятся к электрическим свойствам элементов, а внешний вид, страна-изготовитель и т.д. нас не волнуют. Хорошо, и какие же математические модели применяются в цепях постоянного тока? Начнем с математической модели приемника электрической энергии. Экспериментально установлено, что в любом приемнике, включенном в цепь постоянного тока, происходит только один процесс – преобразование электрической энергии в тепловую. Подожди, ты хочешь сказать, что если вместо лампочки я подключу к батарейке кусок проволоки, дерева или пластмассы, то они будут лишь нагреваться? Вообще-то да, но в разной степени. Дело в том, что по способности проводить электрический ток разные материалы сильно отличаются друг от друга. Это обусловлено их внутренней структурой. 6 Различают две группы материалов: проводники и диэлектрики. Проводники хорошо проводят электрический ток. Поэтому говорят, что они обладают маленьким сопротивлением. Диэлектрики, наоборот, обладают большим сопротивлением току и поэтому его не проводят. Экспериментально доказано, что количество тепла, выделившегося при протекании тока по проводнику, можно вычислить по формуле Q  I 2 Rt , (1.1) где I – ток в цепи; R – сопротивление проводника; t – время, за которое выделяется количество тепла Q. Если определять тепло, выделившееся за 1 с, то получим величину, называемую мощностью: P  I2R . (1.2) Из этой формулы следует, что способность приемника преобразовывать электрическую энергию в тепловую определяется таким параметром, как сопротивление. При этом формула (1.2) является математической моделью приемника в цепи постоянного тока. Если я правильно понял, любой приемник в цепи постоянного тока характеризуется только одним параметром – сопротивлением, а математическая модель приемника задается формулой, связывающей сопротивление с током и мощностью. Да, только я бы обобщил это: математическая модель приемника связывает сопротивление с другими параметрами электрической цепи. Я думаю, ты знаешь, что, кроме тока, можно измерить также и напряжение на зажимах лампочки или другого приемника. Георгом Омом было экспериментально установлено, что напряжение пропорционально току: U  IR . (1.3) И это тоже есть математическая модель приемника. Значит, математическая модель – это математически записанные экспериментально установленные соотношения между параметрами электрической цепи. Правильно, причем это не обязательно должна быть формула. Математическую модель можно представить и в виде таблицы или графика. На рис. 1.4 изображена так называемая вольт-амперная характеристика (ВАХ). Эта характеристика тоже является математической моделью приемника. Рис. 1.4 7 Сопротивление по ВАХ определяется как тангенс угла наклона графика к оси тока: R  tg . По тому, зависит R от тока или нет, все цепи делятся на два класса – линейные и нелинейные. Сначала мы изучим линейные цепи. Они проще для анализа. Как я вижу из ВАХ для линейных цепей, сопротивление каждого приемника есть величина постоянная. Да, это следствие независимости сопротивления от тока. Хорошо, с приемником я разобрался. А как обстоит дело с источником? Математическая модель источника электрической энергии также строится на основе экспериментальных данных. Посмотри на рис. 1.5. Это обобщенная ВАХ источника. Ее еще называют внешней характеристикой источника. Если сравнить ее с ВАХ приемника (см. рис. 1.4), то они здорово отличаются. Рис. 1.5 А какое самое главное, принципиальное отличие ВАХ приемника от внешней характеристики источника? Минуту… Ага, вижу! ВАХ идет из нуля, а внешняя характеристика – нет! Молодец! Действительно, принципиальное отличие источника электрической энергии в том, что на его зажимах есть напряжение, даже если к нему ничего не подключено. Ведь он же источник, ему это положено по статусу. Да, кстати, а откуда берется напряжение на зажимах источника? Как ты, наверное, знаешь, если цепь имеет некоторую разность потенциалов, то заряды в ней под действием электрических сил перемещаются от большего потенциала к меньшему, т. е. в цепи течет ток. Через какое-то время разность потенциалов выровняется – и ток прекратится. Поэтому, чтобы ток в цепи циркулировал длительное время, необходимы силы, которые будут вновь разделять заряды и создавать разность потенциалов. Они должны быть неэлектрического происхождения. Такие силы называются электродвижущими (ЭДС). К ним можно отнести, например, механические или химические силы. ЭДС E определяют как работу сторонних (не 8 электрических) сил, затрачиваемую на перемещение единичного «+» заряда от большего потенциала к меньшему. Она показывает способность накопления электрической энергии источником. ЭДС – это физическое понятие, поэтому непосредственно ее измерить нельзя. Однако мы можем измерить напряжение между разомкнутыми выводами источника, так называемое напряжение холостого хода Ux.x. Договорились считать Е = Ux.x и использовать значение Ux.x вместо E. Получается, что источник электрической энергии обладает параметром, называемым ЭДС, которая определяет его напряжение на зажимах в режиме холостого хода. Да, это соответствует точке (а) ВАХ источника (см. рис. 1.5). Извини, Анс, что перебиваю тебя, но ты говорил, что мы будем строить модели для линейных цепей. Однако внешняя характеристика отнюдь не линейна (см. рис. 1.5). Все правильно. На внешней характеристике источника (см. рис. 1.5) можно выделить линейные участки а–b, с–d и нелинейный b–c. Мы будем разрабатывать математическую модель только для линейных участков. А что делать, если источник будет работать при токах, соответствующих нелинейному участку b–c? Ты, как будущий инженер, как раз и должен так рассчитать электрическую цепь, чтобы этого не случилось. Значит, мы можем построить математические модели только для участков а–b и с–d. Начнем с участка а–b. Как мы уже говорили, точка (а) соответствует режиму холостого хода. Если источник подключить к приемнику, то с увеличением тока приемника напряжение на выводах источника уменьшается. Почему так происходит? Можно предположить, что источник, так же как и приемник, обладает сопротивлением R0, которое можно назвать внутренним. Тогда все понятно. По закону Ома, при протекании тока внутри источника на внутреннем сопротивлении должно появляться напряжение. За счет этого и уменьшается (или, как говорят, «падает») напряжение на выводах. Все эти рассуждения можно представить в виде уравнения напряжения на выводах источника U  E  IR 0 . (1.4) Это уравнение соответствует уравнению прямой линии y = –kx + b, где коэффициент k выступает в роли внутреннего сопротивления. Как ты, наверное, догадался, уравнение (1.4) и есть математическая модель источника электрической энергии для участка а–b. 9 Получается, что, кроме ЭДС, у источника есть еще один параметр – внутреннее сопротивление R0? Совершенно верно. И для этих параметров можно придумать графические изображения и представить источник в виде последовательной схемы замещения (рис. 1.6). Рис. 1.6 Подожди, дай мне разобраться с этим рисунком. R0 – это внутреннее сопротивление источника, оно последовательно включено с ЭДС – Е. Стрелочка указывает на (+) источника. Точки 1 и 2 – это выводы источника. Rн – сопротивление приемника. Приемник принято называть нагрузкой. Понял. Rн – сопротивление нагрузки. U12 – напряжение на выводах источника. Обрати внимание, стрелочка напряжения направлена от большего потенциала (+) к меньшему (–). Договорились считать, что ток во внешней цепи (в нагрузке) направлен от (+) к (–). Значит, на рис. 1.6 графически представлены математические модели источника и нагрузки, соответствующие уравнению (1.4). Такие рисунки принято называть принципиальной схемой электрической цепи. Теперь давай вернемся к последовательной схеме замещения источника электрической энергии. Согласно этой схеме, реальный источник при расчетах замещается источником ЭДС, включенным последовательно с внутренним сопротивлением. Давай перепишем уравнение (1.4) несколько иначе: E  IR 0  U 12 , (1.5) где U12 (см. рис. 1.6) – это напряжение на нагрузке. Согласно закону Ома, U12  IR н . С учетом этого уравнение (1.5) можно записать в виде E  IR 0  IR н . (1.6) Получается, что ЭДС источника делится на две части – напряжение на нагрузке и напряжение внутри источника. 10 Заметь, что ток по этим сопротивлениям течет один и тот же. Поэтому соотношение между напряжениями определяется только соотношением между сопротивлениями. Если сделать так, чтобы Rн >> R0, то напряжением на внутреннем сопротивлении можно пренебречь. Отсюда получим U12  E . (1.7) Уравнению (1.7) можно поставить в соответствие схему замещения реального источника идеальным источником ЭДС (рис. 1.7). У идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю. Правильно я понимаю? Да, и следствием этого является то, что напряжение на его выводах всегда постоянно, равно Е и не зависит от нагрузки. Смотри, я даже нарисовал его внешнюю характеристику рядом с участком а–b для последовательной схемы замещения (рис. 1.8). Рис. 1.7 Хорошо, Анс, с участком а–b внешней характеристики источника я разобрался, b–c мы пропускаем, так как он нелинейный. Остается участок с–d. Давай посмотрим, что же в нем есть интересного? Интересного-то много, но для начала обратимся к уравнению (1.6). Раздели-ка обе его части на R0. Что получилось? Рис. 1.8 IR IR E  0  н. R0 R0 R0 (1.8) Хм, абракадабра какая-то. И что все это значит? Да, на первый взгляд действительно ничего не понятно. А вспомни-ка закон Ома. Напряжение делим на сопротивление. Что должно получиться? Ток. Правильно. Значит, перед нами сумма токов. Вопрос, каких? 11 Ну, с правой частью уравнения проще. Первое слагаемое – это ток I во внешней цепи. Это явно видно, если сократить на R0. Хорошо, а второе слагаемое? Перепиши его иначе: IR н U  . R0 R0 Похоже, что это ток через внутреннее сопротивление источника. Молодец! Обозначим его I0. Осталась левая часть… Подожди, здесь ток какой-то страшный получается! Уж больно он большой! Что это за цепь такая? ЭДС с маленьким внутренним сопротивлением – и никакой нагрузки! Все верно, и такое может быть. Просто говорят, что в цепи короткое замыкание. И ток в ней называют током короткого замыкания I к.з  E . R0 Действительно, в этом случае он максимален и поэтому очень опасен! Так что при работе с электроприборами всегда следи за исправностью проводки. Хорошо, Анс, я запомню. Но у меня к тебе такой вопрос: когда же мы наконец перейдем к построению модели источника электрической энергии для участка с–d? Аск, мы уже ее строим. И ты сейчас сам выведешь уравнение и даже сделаешь небольшое открытие. Перепиши уравнение (1.8) с учетом введенных нами обозначений и для краткости замени Iк.з на J. Вот, смотри: J  I  I0 . (1.9) Хорошо, а теперь я запишу ниже уравнение (1.6), но поменяю в нем местами слагаемые в правой части: E  IR н  IR 0 . А ведь они похожи! 12 Верно. В уравнении (1.6) напряжение на нагрузке и напряжение на внутреннем сопротивлении, как мы уже говорили, создает источник ЭДС. Эврика! А в уравнении (1.9) ток через нагрузку и ток через внутреннее сопротивление создает, значит, источник… тока!? Ну вот, я же говорил, что ты сделаешь открытие. И уравнение (1.9) будет являться к тому же математической моделью источника электрической энергии для участка с–d, а J принято называть в нем током источника тока. Теперь посмотри на рис. 1.9. Здесь я графически изобразил источник энергии в виде параллельной схемы замещения. Она еще называется схемой замещения источником тока. Рис. 1.9 Значит, согласно этой схеме, источник энергии при расчетах можно заменить источником тока, включенным параллельно с внутренним сопротивлением? Да. И обрати внимание, как на схемах изображается источник тока. Двойной стрелочкой в кружочке. Совершенно верно. И еще. Заметь, что в схеме напряжение на нагрузке Rн и на внутреннем сопротивлении R0 одно и то же. Поэтому соотношение между токами в цепи определяется только соотношением между этими сопротивлениями. Как и в последовательной схеме замещения! Да, и если сделать так, чтобы R0 >> Rн, то током через внутреннее сопротивление источника можно пренебречь. С учетом этого J  I. (1.10) Уравнению (1.10) можно поставить в соответствие схему замещения реального источника идеальным источником тока (рис. 1.10). Значит, у идеального источника тока внутреннее сопротивление равно бесконечности? Да, и следствием этого является то, что его ток всегда постоянен, равен Iк.з и не зависит от нагрузки. 13 Рис. 1.10 Теперь я могу нарисовать его внешнюю характеристику рядом с участком с–d для параллельной схемы замещения (рис. 1.11). Рис. 1.11 Молодец! Вижу, что ты хорошо разобрался с теорией. И поэтому, думаю, без труда сможешь сделать вывод, что основное свойство, которое определяет тип схемы замещения реальных источников, – это соотношение между сопротивлением источника и внешним сопротивлением. И чтобы обобщить все ранее сказанное, я составил табл. 1, к которой ты всегда можешь обратиться, если что-нибудь забудешь. Но, надеюсь, что это тебе не потребуется. Таблица 1 Соотношения между сопротивлением источника и внешним сопротивлением Соотношение сопротивлений Схема замещения R0 < Rн R0 << Rн R0 > Rн R0 >> Rн Ну, и напоследок давай поговорим немного о математических моделях кнопки (ключа) и соединительных проводов. Ты, наверное, замечал, что в задачах часто пренебрегают сопротивлением подводящих проводов. Поэтому их моделью служит элемент цепи с сопротивлением равным нулю. Такое же сопротивление и у ключа в замкнутом состоянии. Если ключ разомкнуть, его сопротивление будет равно бесконечности. И ток в такой цепи течь не будет. Вот в основном все, что я хотел рассказать тебе о математических моделях элементов линейных цепей постоянного тока. Теперь тебе необходимо применить эти знания на практике. 14 Предлагаешь сделать лабораторные работы? Но проблема в том, что для этого мне нужна лаборатория, которой, увы, нет. К счастью, мы можем решить твою проблему. Обратись к Таску, он поможет. (На следующий день) Привет, Таск! Анс сказал, что ты можешь помочь мне с выполнением лабораторных работ по электротехнике. Да, у меня есть программа ElectroStand, с помощью которой можно выполнить все лабораторные работы по электротехнике. Это что-то типа Workbench? Да, эта программа – виртуальный лабораторный стенд по электротехнике. Она позволяет получать результаты, сопоставимые с реальными. Ты хочешь сказать, что, выполнив лабораторную работу на ElectroStand, я могу затем прийти в лабораторию и получить те же результаты, собрав реальную электрическую цепь? Совершенно верно. Здорово, с чего начнем? Давай научимся сначала экспериментально определять ЭДС и внутреннее сопротивление источника электрической энергии. На стенде есть несколько источников электрической энергии постоянного тока. Чтобы определить ЭДС и внутреннее сопротивление любого из них, соберем схему, взятую из списка задач. Эта схема покаРис. 1.12 зана на рис. 1.12. Установим Rн в среднее положение на 2019 Ом. Снимем показания вольтметра (U1 = 10,06 В) и амперметра (I1 = 0,005 А). Изменим величину Rн до 424 Ом. Снимем новые показания вольтметра (U2 = 9,96 В) и амперметра (I2 = 0,024 А). 15 нений Теперь по этим данным попробуем найти E и R0. Для этого составим систему уравU 1  E  I1 R 0 ,  U 2  E  I 2 R 0 . (*) Решим (*) относительно R0: U 1  U 2  E  I1 R 0  E  I 2 R 0 , U 1  U 2  R 0 (I 2  I1 ) , R0  U1  U 2 , I 2  I1 (**) R 0  5,3 Ом. Подставим R0 в 1-е уравнение системы и выразим из него Е: E  U1  I1 (U1  U 2 ) , I 2  I1 (***) E  10,09 В. Насколько я понял, мы воспользовались последовательной схемой замещения источника, чтобы найти ЭДС и R0. То есть эти результаты справедливы только для участка а–b внешней характеристики источника. Совершенно верно. И чтобы найти границу линейного участка а–b для нашего источника, необходимо продолжить эксперимент и, уменьшая Rн, снимать внешнюю характеристику до тех пор, пока этот участок не закончится. Меня смущает формула (**) для R0. Как я понимаю, это закон Ома для участка цепи внутри источника, т. е. U R0  . I Тогда по правилам математики верной была бы формула R0  U 2  U1 , I 2  I1 так как U1 и I1 – это координаты одной точки на графике, а U2 и I2 – другой. Но тогда R0 получается отрицательным, а этого быть не должно. Сопротивление – это преобразователь электрической энергии, которая переходит в тепловую и должна быть больше нуля. В чем же здесь ошибка? Молодец, что заметил это противоречие. На самом деле это следствие технологии наших измерений. В эксперименте, который ты проводил, амперметр измеряет ток во внешней цепи, а он, как известно, протекает там от большего потенциала к меньшему. Но для нахождения R0 нужно напряжение разделить на ток, протекающий внутри источника. Этот ток 16 численно равен току во внешней цепи (поскольку все элементы соединены последовательно), но направлен в противоположную сторону: от меньшего потенциала к большему внутри источника. Если бы это было не так, то у нас не было бы замкнутого контура и ток бы в такой цепи протекать не мог. Как раз это изменение направления и учтено в формуле (**). Ну вот, теперь ты можешь прийти в лабораторию и определить все внутренние сопротивления источников у какого-нибудь стенда! Так что выбирай стенд – и вперед! (Прошел 1 час) Определил! А давай теперь решим какую-нибудь задачку? Одобряю! У меня как раз есть для тебя интересная схемка (рис. 1.13). Задание такое: нужно определить элемент, в котором выделяется минимальная мощность, причем сделать это как экспериментально, так и теоретически, используя закон Ома. Исходные данные: E = 10 В; R1 = 510 Ом; R2 = 75 Ом; R3 = 3,3 кОм; R4 = 51 Ом. Так-так... Ну, начнем, наверное, с теоретической части. Чтобы найти мощность, выделяемую на каком-либо сопротивлении, надо знать ток, проходящий через него, и величину этого самого сопротивления (см. (1.2)). Рис. 1.13 Мне нравится ход твоих мыслей. Я смотрю, ты все буквально на лету схватываешь! Ладно, ладно, не смущай меня! Рассуждаю дальше... Сопротивления нам известны, а токи I1 и I2 нужно найти, причем их сумма должна быть равна току I0, который обеспечивается нашим источником. Замечательно! Я немного помогу тебе! Чтобы найти ток I0, нужно сначала определить эквивалентное сопротивление цепи, а затем данную в условии задачи ЭДС разделить на это сопротивление – согласно закону Ома. Точно! Так, посмотрим... Насколько я помню школьный курс физики, сопротивления R1 и R2 у нас соединены последовательно, так же как R3 и R4. Значит, попарно сложив их, мы получим эквивалентные им сопротивления R12 и R34: R 12  R 1  R 2  585 Ом, R 34  R 3  R 4  3351 Ом. 17 Теперь очевидно, что сопротивления R12 и R34 соединены параллельно, тогда, по правилам эквивалентного преобразования, получим R14  R 12 R 34  498 Ом. R12  R 34 Правильно! Теперь осталось сложить внутреннее сопротивление источника R0, которое в нашем случае равно 5,3 Ом, и R14. Получившийся результат как раз и будет искомым эквивалентным сопротивлением цепи: R Э  R 0  R14  503,3 Ом. Отлично! Можно считать, что общий ток мы нашли. Значит, легко можем найти и напряжение между узлами 1 и 2, которое одинаково для всех трех ветвей: I0  E  0,02 А, RЭ U12  E  I 0 R 0  9,89 В. Видишь, поскольку внутреннее сопротивление источника относительно небольшое, напряжение не сильно отличается от ЭДС. Ага, я заметил! Теперь, зная напряжение между узлами 1 и 2, легко найдем токи I1 и I2, применив закон Ома: I1  U12  16,9 мА, R12 I2  U12  2,9 мА. R 34 Все верно! Искомые параметры мы нашли, значит, настало время подсчитать мощность для каждого резистора и найти среди них наименьшую: P1  I12 R 1  145,7 мВт, P2  I12 R 2  21,4 мВт, P3  I 22 R 3  28,7 мВт, P4  I 22 R 4  0,4 мВт. Наименьшая мощность выделяется на элементе R4! Вот видишь, как ты легко справился с теоретическим заданием, и теперь тебе не составит труда на стенде собрать эту же схему, измерить токи и определить мощности! Глав18 ное, чтобы теория сошлась с практикой, иначе задача решена неправильно! Не забудь, что на реальных стендах надо обязательно проверить, соответствует ли значение на бумажке реальному. Порой бывает, что написано 51 Ом, а на самом деле там 48 Ом; поэтому старайся подставлять реальные значения, иначе теория с практикой никогда не сойдутся, даже если все рассуждения верные! Смотри, что у меня получилось. На стенде E = 10,09 B; I1 = 17,1 мА; I2 = 2,9 мА. Видно, что токи, рассчитанные теоретическим путем, и токи, измеренные на стенде, практически совпадают. Значит, задача наша решена правильно! Знаешь, Таск, а мне очень понравилось заниматься электротехникой; сначала разбираешься в теории; потом, используя полученные знания, решаешь задачки; а что самое интересное, – это то, что задачку надо сделать на стенде! Здорово, правда? Так-то оно так, только вот на настоящем занятии сделать задачку – это еще полдела. По правилам, ее еще нужно «защитить преподавателю» – и тем самым показать, что ты хорошо разобрался в материале! Ты меня пугаешь... Что значит – «защитить»? Да ничего страшного. Все просто: тебе задают вопрос, ты думаешь, вспоминаешь все, что можешь вспомнить; а все, что не можешь, – смотришь в учебниках, и отвечаешь. Да не пугайся ты! Хочешь, пример приведу? Давай! А я заодно проверю свои силы. Ладно, слушай. Для начала вспомни, пожалуйста, две схемы замещения источника энергии – последовательную и параллельную. Вспомнил (рис. 1.14): Рис. 1.14 Эти две схемы эквивалентны реальному источнику: одну можно заменить другой. То есть, с точки зрения потребителя, обе схемы вырабатывают один и тот же ток Iн. Вопрос: будут ли эквивалентны эти схемы друг другу по величине потерь мощности на внутреннем сопротивлении R0? Ответ обосновать. 19 Так... Дай подумать... В первом случае ток Iн через нагрузку и через внутреннее сопротивление один и тот же, а вот во втором случае ток J разделяется на два – I0 и Iн. Очевидно, что для этих двух схем токи, протекающие по внутреннему сопротивлению, разные, а значит, и мощности будут разные. Итак, для первой схемы I0  I  P1  отсюда I 02 R 0 E , R  R0  E 2R 0 R  R 0 2 , а для второй I0  J  I  J  отсюда P2  JR 0 R E R , J  R  R0 R  R0 R0 R  R0 I 02 R 0 R2 E2 .  R 0 R  R 0 2 Вот видишь, все не так уж страшно! Сцена 2. Секретное оружие электротехника Ну что, Аск. Наше первое занятие показало, что ты хорошо усвоил основные понятия теории постоянного тока. Как говорится, посвящение в электротехники для тебя прошло успешно. И в награду я открою тебе доступ к секретной информации, а точнее, к секретному оружию, с помощью которого ты легко сможешь решить любую задачу и рассчитать даже самую сложную электрическую цепь. Анс, ты меня прямо заинтриговал. Мне не терпится поскорее узнать, что же это за секретное оружие?! На самом деле, Аск, все гениальное просто. А секретное оружие, о котором я хочу тебе рассказать, – это всего-навсего закон Ома и правила Кирхгофа. 20 И всего-то? Мы же их еще в школе проходили. Что же тут секретного? Действительно, для простого школяра это лишь очередные три формулы, которые позволяют без труда решить простенькие задачки. Но только в руках специалиста-электротехника закон Ома и правила Кирхгофа превращаются в буквальном смысле в мощное оружие, на котором основываются все основные методы для расчета цепей и решения задач любой степени сложности. Значит, мой успех зависит от того, насколько правильно я буду использовать тот или иной метод для решения поставленной передо мной задачи? Совершенно верно. Это мы и будем как раз с тобой осваивать. И начнем, пожалуй, с закона Ома, столкнуться с которым тебе пришлось еще на первом нашем занятии. А-а-а… Помню. Напряжение на резисторе прямо пропорционально току: I U . R (1.11) Да. И формула (1.11), которую ты написал, является законом Ома для участка цепи без источника энергии. Как ты, наверное, заметил, этот закон устанавливает соответствие между величиной электрического тока, свойствами приемника энергии и напряжением на его выводах. То есть, по сути, он определяет активность преобразования электрической энергии в тепловую. А теперь посмотри на рис. 1.15. Рис. 1.15 Это графическая интерпретация закона Ома по формуле (1.11). Я не зря его нарисовал. Обрати внимание на обозначения. Так, посмотрим. Перед нами участок цепи, имеющий сопротивление R; φa (+) и φb (–) – потенциалы на концах этого участка, причем φa > φb. Верно, поэтому вектор напряжения Uab = φа – φb направлен вправо (от большего потенциала к меньшему). А на пассивных элементах в ту же сторону направлен и вектор тока. Понятно, только почему у тебя стрелки у тока и напряжения разные? Это так надо? Конечно. Это принятые условные обозначения. Вектор тока имеет стрелку с просветом, а вектор напряжения – без просвета. 21 Хорошо. А как быть, если, кроме напряжения, на участке цепи имеется еще и ЭДС? В этом случае записывают закон Ома для участка цепи с ЭДС I U ab  E . R (1.12) Только при этом не забывай важное правило: если ток и ЭДС совпадают по направлению, то в формуле для закона Ома ЭДС берется со знаком «+», если не совпадают – со знаком «–». Рис. 1.16 как раз и иллюстрирует это соотношение. Рис. 1.16 Ладно, с одной ЭДС понятно, а если в цепи их несколько? Вот, смотри (рис. 1.17): Рис. 1.17 Ничего страшного. Если элементы соединены последовательно, то мы просто суммируем их с учетом знака. Вот и все. Посмотри сам, что получится. Вот: I U ab  E 1  E 2  E 3 . R1  R 2  R 3 А если обобщить, то N I U ab   E i i 1 R ab . (1.13) Молодец! Вот таким нехитрым способом ты вывел обобщенный закон Ома для участка цепи. Ух, ты! Оказывается, ничего сложного. Да я так любую задачу теперь решу. 22 А ну-ка давай проверим. Попробуй рассчитать вот такую цепь (рис. 1.18) с помощью одного лишь закона Ома. 1 3 2 4 Рис. 1.18 О, боюсь, что у меня не получится. И я даже знаю, почему. Цепи, которые мы до сих пор рассматривали, – это так называемые неразветвленные цепи, т. е. по ним всегда протекает один и тот же ток, поэтому найти его с помощью закона Ома – сущий пустяк. А вот цепь на рис. 1.18 – это уже цепь разветвленная, и токов по ней протекает много. Поэтому одним законом Ома здесь уже не обойдешься. Но перед тем как я расскажу, как все-таки такие цепи рассчитываются, введем для определенности несколько понятий. Ветвь – участок цепи, состоящий только из последовательно включенных источников и приемников, по которым протекает один и тот же ток. Узел – точка соединения трех или более ветвей. Контур – замкнутый путь, проходящий по двум и более ветвям, при этом каждый узел при обходе контура встречается не более одного раза. А теперь снова посмотри на рис. 1.18 и покажи все то, что я тебе только что перечислил. Начнем с узлов. Очевидно, что это точки, обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4. Одной из ветвей является, к примеру, участок между точками 1 и 2, содержащий сопротивление R1 и источник Е1. А за контур можно взять путь, проходящий по сопротивлениям R1, R2, R4 и источникам E1, E2 и Е4. Совершенно верно. Вот теперь мы можем наконец приступить к методике расчета этой цепи. 23 Скажу честно, ничего сложного здесь нет. Надо просто понять, что режим работы любой электрической цепи полностью определяется I и II правилами Кирхгофа, – и ничего более. I правило Кирхгофа применяется для узлов и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. То есть если в узле сходится N ветвей и если ток k-й ветви Ik, то N I k 1 k  0. (1.14) В ТОЭ принято токи, направленные к узлу, суммировать со знаком «–», а токи, направленные от узла, – со знаком «+». Если к узлу подсоединено М источников тока, то алгебраическая сумма токов этих источников также учитывается и записывается в правой части уравнения: N M k 1 i 1  Ik   Ji . При этом токи, втекающие в узел, ставятся со знаком «+», а вытекающие – со знаком «–». II правило Кирхгофа применяется для контуров: в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех элементах и участках цепи, входящих в этот контур, равна нулю. То есть если контур содержит L элементов и участков и если напряжение k-го элемента (участка) Uk, то L U k 1 k  0. (1.15) В ТОЭ положительные знаки для Uk приняты для тех напряжений, направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. В результате мы получаем систему уравнений по правилам Кирхгофа. Решая ее, находим неизвестные токи. Однако практика показывает, что в таком случае наша система будет иметь, по крайней мере, два лишних уравнения, являющихся зависимыми. Чтобы избежать этой досадной неприятности, особенно если система и так имеет большое число уравнений, применяют метод топологических графов. Он хорош тем, что не видоизменяет, не усложняет наши уравнения, а лишь помогает выбрать те из них, которые являются независимыми. То есть он отсеивает все то, что нам не нужно. Да, полезная штука. Конечно, и ты не раз еще это оценишь. А пока давай разберемся, что же представляет собой этот самый граф, наша палочка-выручалочка. Согласно определению, граф – это условное изображение схемы электрической цепи, в которой каждая ветвь заменяется отрезком линии. Отрезок линии, соответствующий заменяемой ветви, называется ребром графа. Договоримся выбирать направление ребра графа совпадающим с положительным направлением тока в ветви. Точка, соответствующая узлу электрической схемы, называется вершиной графа. Чтобы наш граф стал пригодным для расчета, для него выбирают дерево. 24 Дерево – совокупность ребер, соединяющих все вершины, но не образующих ни одного контура. Этот процесс можно сравнить с проявкой фотопленки. Сначала это простой кусочек материала. Но помести его в проявочную жидкость – и ты увидишь очертания всего того, что попало в объектив фотоаппарата. Так и здесь. «Прояви» граф – и дальнейшее решение задачи найдется само собой. Ну что, Аск, хочешь почувствовать себя в роли фотографа? Почему бы и нет? Тогда вернись к нашей схеме (см. рис. 1.18), начерти для нее граф и выбери дерево. Вот, смотри (рис. 1.19): Цифрами в скобочках я обозначил ребра графа, соответствующие ветвям исходной схемы, а жирными линиями выделил дерево. Молодец! Но в дальнейшем, чтобы избежать путаницы, любое из ребер, не входящее в дерево, будем называть хордой. Рис. 1.19 Хорошо. Тогда (1), (3) и (5) – это хорды графа. Правильно. Ну, а теперь пришло время перейти к самому главному, причем и в прямом смысле этого слова, и в научном. Нам предстоит выбрать главные контуры и главные сечения. Ну, контур – это понятие знакомое. А вот сечение… Сечение – это часть графа, охватывающая не менее одного узла. Для простоты вообрази, что узел – это воздушный шарик. Если мы его надуем, то узел превратится в сечение. Но чтобы шарик не сдулся, его надо крепко перевязать ниточкой. В сечении этой ниточкой является стрелка, которая показывает направление данного сечения Рис. 1.20 (внутрь или наружу) (рис. 1.20). Для сечения важным является то, что оно пересекает. Главное сечение пересекает только одну ветвь дерева и сколько угодно хорд. Направление главного сечения автоматически выбирается по направлению ветви дерева. Главный контур – это контур, в состав которого входит только одна хорда и сколько угодно ветвей дерева. Направление главного контура автоматически выбирается по направлению хорды. На графе главные контуры обозначаются римскими цифрами с нарисованными вокруг них стрелками, указывающими направление обхода. 25 Посмотри, я правильно нашел главные контуры и сечения для графа на рис. 1.19? Рис. 1.21 Правильно. Полдела готово. Осталось вспомнить правила Кирхгофа и для главных сечений составить уравнения по I правилу Кирхгофа, а для главных контуров – по II правилу Кирхгофа. При этом если направления тока и сечения совпадают, ток будем брать со знаком «+», а если не совпадают, то со знаком «–». Вот, смотри: S1: I1  I 4  I5  0, S2 : I1  I 2  I3  0, S3:  I3  I5  I 6  0, I: I1R1  I 4 R 4  I 2 R 2  E1  E 4  E 2 , II: I3R 3  I 6 R 6  I 2 R 2  E 3  E 2 , III: I 4 R 4  I5 R 5  I6 R 6  E 4  E 5 . Отлично. Именно эта система уравнений является необходимой и достаточной для того, чтобы описать процессы в электрической цепи на рис. 1.18 и вычислить все неизвестные токи. Ну что ж... Теперь не помешало бы применить твои знания на практике. Беги к Таску, дружище! (Через 2 часа) Привет, Таск, я снова к тебе. Привет! Как успехи? Я слышал, ты интересуешься правилами Кирхгофа? 26 Да, я уже умею составлять граф для схемы, выбирать по нему дерево и главные сечения, а следовательно, без проблем могу составить уравнения для главных сечений и главных контуров. Хорошо, тогда ты уже, наверное, догадался, что изображено на рис. 1.22? Рис. 1.22 Ну... Это же совсем простая схемка! Два источника ЭДС – значит, две последовательные схемы замещения. Три неизвестных тока – значит, три уравнения. Молодец, правильно! Теперь составляй систему и находи неизвестные токи. Вот исходные данные: E1 = 15 В; E2 = 20 В; R1 = 51 Ом; R2 = 330 Ом; R3 = 510 Ом. Все готово! S : I 2  I1  I3  0,  I : I1R1  I 2 R 2  E1 , ΙΙ : I 2 R 2  I3R 3  E 2 ; I1  28,4 мА; I 2  41,1 мА; I3  12,6 мА. Так... А теперь, мой друг, собери эту схему на стенде. Собрал, и что дальше? А дальше воспользуйся амперметром и измерь токи в каждой ветви и не забудь, что амперметр подсоединяется последовательно. Как только измеришь, мы сравним полученные данные с расчетными. 27 Слушай, Таск, что-то у меня «расхождение теории с практикой». Может, программа полетела или вирус завелся? Да нет! Если где и завелся вирус, так это у тебя в голове. А ну-ка, вспомни, что мы говорили на предыдущем занятии? А! Я понял! Я не учел внутренние сопротивления источников ЭДС (R01 = R02 = 5,3 Ом)! Поэтому нашу систему уравнений надо немножко подкорректировать: S : I 2  I1  I3  0,  I : I1 R1  R 01   I 2 R 2  E1 , ΙΙ : I 2 R 2  I3 R 3  R 02   E 2 ; I1  27,9 мА; I 2  40,7 мА; I3  12,8 мА. Вот теперь все правильно! Как видишь, теория теперь сошлась с практикой. В следующий раз будь внимательным! Ну что, осилишь еще одну задачу? Конечно! Я весь внимание. Тогда вот тебе схема посложнее (рис. 1.23). Рис. 1.23 Исходные данные: J = 6 мА; E1 = 20 В; E2 = 15 В; R1 = 51 Ом; R2 = 510 Ом; R3 = 200 Ом; R4 = 330 Ом; R5 = 820 Ом; R0j = 5200 Ом; R01 = R02 = 5,3 Ом. Задание то же самое: теоретически (по правилам Кирхгофа) и практически определить неизвестные токи. Ну, ничего себе схема! С учетом внутреннего сопротивления источника здесь получится аж семь неизвестных токов! А это значит, что нужно решать систему из семи уравнений! А кто говорил, что будет легко? Приступай к решению! 28 Уфф... Замучился я с этим графом. Вот, посмотри (рис. 1.24): Неплохо! Ты прямо Пикассо! А ну-ка дай систему глянуть. Смотри, какая красивая! S3 : S :  4 S5 : I : II : III :  IV : I3  I 6  I 2  0, I 4  I1  I 2  I 7   J, I5  I1  I 2  0, I1R 01  I 4 R1  I5 R 3  E1 , I 2 R 02  R 2   I3R 4  I5 R 3  I 4 R1  E 2 , I 6 R 5  I3R 4  0, I 7 R 0j  I 4 R1  0; Рис. 1.24 I1  181,9 мА; I 2  107,1 мА; I3  76,4 мА; I 4  80 мА; I5  74,8 мА; I 6  30,7 мА; I 7  0,8 мА. Молодец! Все правильно! Теперь осталось только собрать эту схему на стенде. Сцена 3. Эти замечательные МУП и МКТ Здравствуй, Аск. Ты чего такой бледный? Привет, Анс. Ты не поверишь. Я всю ночь решал задачи. Так замучился с этими графами, сечениями и контурами, что стал сомневаться: изучать мне дальше электротехнику или нет. А вот это зря. На самом деле ты с блеском выдержал хорошую проверку. Если тебе удалось освоить все то, о чем мы говорили на прошлом занятии, – значит, самое сложное для тебя уже позади. Теперь все будет намного проще и интереснее. Так что ты зря расстроился, а насчет электротехники я скажу, что свои секреты она открывает только таким трудолюбивым и усердным людям, как ты. 29 Поэтому в награду за твои труды я от ее имени преподнесу тебе два сюрприза, а именно два замечательных метода, которые позволят тебе рассчитать без особых усилий любую цепь. И основаны эти методы по-прежнему будут… …на законе Ома и правилах Кирхгофа? Конечно, ведь весь матаппарат электротехники на них только и строится. Ух, ты! Расскажи же мне скорей об этих методах! Ну, для начала рассмотрим метод узловых потенциалов. Сокращенно – МУП. Чтобы понять сущность этого метода, обратимся к схеме на рис. 1.25. Рис. 1.25 В этой схеме шесть неизвестных токов. А это значит, что для их нахождения по правилам Кирхгофа нужно составить систему из шести независимых уравнений. Да. А потом еще и решить ее. Конечно. Но мы этого делать не будем. Мы поступим хитрее. Ты, наверное, заметил, что в схеме четыре узла, причем потенциалы узлов 3 и 4 совпадают. Если мы потенциал одного из узлов приравняем к нулю, то токи в цепи от этого не изменятся (так как они не зависят от разности потенциалов), а мы в итоге получим всего лишь два активных потенциала и систему по МУП всего лишь из двух уравнений. Рационально приравнять к нулю (или, как говорят, «заземлить») потенциал узла 3 (φ3 = 0). Тогда наша система примет вид G 111  G 12 2  J 11 ,   G 211  G 22 2  J 22 . Да. Вроде простая система, а пока ничего не понятно. 30 (1.16) Не все сразу. Давай разбираться. G11, G22, G12, G21 – это так называемые узловые проводимости. Проводимость – это величина обратная сопротивлению? Да, а узловая проводимость равна сумме всех проводимостей ветвей, присоединенных к данному узлу. И чтобы найти, например, проводимость G11, надо сначала отыскать на схеме узел 1, затем посмотреть, какие ветви присоединены к этому узлу, и просуммировать их проводимости. В нашей схеме к узлу 1 присоединены четыре ветви с сопротивлениями R1, R2, R4 и R5. Значит, 1 1 1 1 G 11     . (1.17) R1 R 2 R 4 R 5 И к узлу 2 тоже присоединены четыре ветви. Следовательно, 1 1 1 1 G 22     . R2 R3 R5 R6 (1.18) Правильно. И отмечу, что проводимости G11 и G22 называются также собственными узловыми проводимостями, т. е. они являются как бы «собственностью» одного узла – узлов 1 и 2 соответственно. И их надо отличать от так называемых общих узловых проводимостей, которые принадлежат сразу двум узлам. Ты, наверное, заметил, что G12 и G21 имеют разные индексы. Это говорит о том, что эти проводимости являются общими сразу для двух узлов – для узлов 1 и 2. Поэтому, чтобы их найти, надо сложить проводимости всех ветвей, расположенных между узлами 1 и 2. И вполне очевидно, что в этом случае G12 = G21. Обращаясь опять-таки к нашей схеме, можно заметить, что между узлами 1 и 2 находятся всего две ветви с сопротивлениями R2 и R5. Поэтому 1 1 G 12  G 21   . (1.19) R2 R5 В принципе, не очень-то и сложно. Отлично. Тогда идем дальше. Обрати внимание на правые части уравнений нашей системы. Там стоят так называемые узловые токи J11 и J22. Строго говоря, это токи всех источников, присоединенных к данному узлу. Но при этом надо помнить важное правило: узловые токи записываются со знаком «+», если ЭДС или источник тока направлены к узлу, и со знаком «–» – если от узла. 31 Найдем, к примеру, J11. Из схемы видно, что к узлу 1 через сопротивления R1 и R2 подключены два источника – E1 и E2, причем они оба направлены к узлу. Значит, E E J 11  1  2 . (1.20) R1 R 2 И к узлу 2 присоединены тоже два источника – E2 и E3, но E2 здесь уже направлен от узла, значит, E E J 22   2  3 . (1.21) R2 R3 Молодец. Таким образом, записав уравнения (1.17)–(1.21), мы расшифровали систему (1.16) и поэтому без проблем сможем ее решить и найти искомые потенциалы узлов φ1 и φ2. А зная потенциалы, мы уже точно безо всякого труда сможем по закону Ома найти и неизвестные токи. Пусть, к примеру, φ1 > 0, φ2 < 0 и φ3 = φ4 = 0 (из ранее введенного). Тогда, помня, что ток течет от большего потенциала к меньшему, получим I1  1   3  E 1 R1 . В числителе Е1 я поставил со знаком «–», так как направления тока I1 и ЭДС E1 не совпадают. Аналогично I2  1   2  E 2 R2 I5  , I3  1   2 R5 4  2  E3 R3 , I6  , I4  4  2 R6 1   3 R4 , . И еще. Я чуть не забыл. Обрати внимание на то, как расставлены знаки в нашей системе. Выбраны они жестко, т. е. «+» идут только по главной диагонали, а на остальных позициях стоят «–». Хорошо, Анс, это-то я понял. Но вот в чем вопрос. Вспомнилось мне наше первое занятие, где мы говорили про идеальные источники, – и что-то я усомнился в универсальности предложенного тобой метода узловых потенциалов. Ведь, насколько я помню, у идеального источника ЭДС сопротивление равно нулю. Значит, если в какую-либо ветвь схемы на рис. 1.25 включить такой источник, то проводимость этой ветви будет равна бесконечности, а следовательно, полученную в итоге систему уравнений мы не сможем решить однозначно. Как же быть? Да. Это ты правильно заметил. Я и сам хотел тебя сначала этим озадачить. А ты вот меня опередил. На самом деле, в каждом методе бывает исключение. И если возникла какая-то проблема, не стоит сразу отвергать сам метод, особенно если до этого он прекрасно работал. 32 Надо просто изобрести некий прием, который смог бы аккуратно решить возникшую проблему. И для МУП этот прием был найден. Называется он перенос (или выдавливание) источника ЭДС через узел. По принципу действия он очень напоминает мясорубку, когда один большой кусок мяса мы продавливаем через отверстия мясорубки и в итоге получаем несколько маленьких рассредоточенных кусочков. Чтобы было понятно, давай вернемся опять к нашей схеме на рис. 1.25 и представим, что в ней источник ЭДС E1 идеальный, т. е. R1 = 0. Тогда, чтобы воспользоваться нашим приемом, мы делаем следующее. Берем мысленно в правую или левую руку источник Е1 и тащим его вверх до узла 1. Теперь вообразим, что узел 1 – это мясорубка, а Е1 – кусок мяса. Включаем мясорубку, и наш источник Е1 «выдавливается» через узел 1 и превращается в три маленьких, но точно таких же источника Е1, которые занимают свои места на ветвях 2, 4 и 5. Таким образом, наша схема приобретает следующий вид (рис. 1.26). Рис. 1.26 Затем, применив к уже преобразованной схеме МУП, приняв φ1 = 0, в итоге мы получим всего лишь одно уравнение G 22 2  J 22 , где G 22  E E  E2 E3 1 1 1 1     , J 22  1  1 . R2 R3 R5 R6 R5 R2 R3 Найдя из этого уравнения φ2, возвращаемся к исходной схеме (до переноса источника через узел). А теперь самое время воспользоваться свойством идеального источника ЭДС, согласно которому φ1 = Е1. Таким образом, зная все три потенциала, мы по закону Ома сможем определить все токи с I2 по I6. А ток I1 найдем по I правилу Кирхгофа для узла 1: I1  I 2  I 4  I 5  0  I1   I 2  I 4  I 5 . Вот такой вот замечательный метод. Но все-таки и у него есть небольшое, но важное ограничение. МУП целесообразно применять для схем, где число узлов меньше, чем число независимых контуров. 33 В противном случае нам на помощь может прийти другой, не менее замечательный метод – метод контурных токов (МКТ). Выясним его сущность, обратившись к схеме на рис. 1.27. Рис. 1.27 В этой схеме также шесть неизвестных токов. Суть метода заключается в том, что мы предполагаем, будто в нашей цепи протекают только контурные токи, а про реальные токи мы как бы забываем, т. е. все реальные токи в ветвях заменяем несуществующими, выдуманными контурными токами. Чтобы лучше понять суть сказанного, нарисуем граф данной схемы, выберем дерево и выделим главные контуры. О, в этом я теперь специалист. Вот, смотри (рис. 1.28). Рис. 1.28 Отлично. В каждом таком контуре будет протекать только один ток, называемый контурным. Запишем теперь для каждого контура уравнения по второму правилу Кирхгофа, руководствуясь при этом следующим правилом: все, что совпадает по направлению с главным током в контуре, берется со знаком «+», а все, что не совпадает, – со знаком «–». I1k (R 1  R 4  R 5 )  I 2k R 4  I 3k R 5  E 1 ,  I 2k (R 2  R 4  R 6 )  I1k R 4  I 3k R 6  E 2 , I (R  R  R )  I R  I R   E . 5 6 1k 5 2k 6 3  3k 3 (1.22) В итоге мы получили систему уравнений по МКТ, решая которую, находим собственно и сами контурные токи. После этого мы вспоминаем, что в нашей цепи протекают все-таки реальные токи. Поэтому мы и начинаем их искать. При этом рассуждаем так. Ток I1 протекает по сопротивлению R1. По этому же сопротивлению протекает также и ток I1k, причем в том же направлении. Следовательно, I1  I1k . Рассуждая аналогично для каждой ветви, получаем: I 2  I 2k , I 3  I 3k , I 4  I1k  I 2k , I 5  I1k  I 3k , I 6  I 2k  I 3k . 34 Казалось бы, в этом методе никаких проблем и он подходит для любой цепи, но на самом деле это не так. Как и в МУП, здесь также имеются исключения. Если между узлами 2 и 4 включить идеальный источник тока (рис. 1.29), то при составлении системы уравнений он нигде не будет учитываться, а следовательно, он не будет влиять на протекающие токи – и наше решение будет неверным. Рис. 1.29 Значит, нужен некий метод, который должен устранить эту проблему? Да. И к счастью, он есть. Этот метод называется замыкание идеального источника тока по контуру. С помощью него мы сможем включить-таки наш источник тока в систему. Этот метод достаточно прост и основывается на свойстве идеального источника тока (если ты берешь любой контур, в который включается этот источник тока, то в этом контуре I = J). А значит, мы можем точно сказать, чему будет равно напряжение на каждом сопротивлении контура. Если мои слова еще не совсем понятны, можно поступить следующим образом. Берем наш источник тока (опять-таки мысленно) и пытаемся протащить его по контуру, на который он замыкается. При этом если на его пути вдруг встречается сопротивление, то наш источник, проходя через это сопротивление, оставляет за собой «след» в виде источника ЭДС, величину которого мы можем вычислить, умножив ток источника J на это сопротивление. Направление нового источника ЭДС автоматически выбираем таким же, как и направление исходного источника тока в первоначальной цепи. Таким образом, если применить данный метод к нашей схеме (см. рис. 1.29), мы в итоге вместо одного источника тока J получим два его «следа» в виде источников ЭДС EJ5 и EJ6 (рис. 1.30), причем E J5  JR 5 , E J6  JR 6 . Рис. 1.30 35 Получив новую схему, мы можем уже беспрепятственно применить к ней МКТ и вычислить искомые токи. Вот, пожалуй, и все, что я хотел тебе рассказать о МУП и МКТ – двух замечательных методах, которые значительно облегчают расчет цепей. Да, методы действительно замечательные. Единственное, что напрягает, – нужно большое внимание, чтобы правильно составить систему уравнений. Иначе токи будут вычислены неправильно. Хочу тебя обрадовать. Правильность твоего решения можно проверить. С этой целью в электротехнике был создан один замечательный метод, в основе которого лежит составление уравнения баланса мощности. Значит, с помощью всего лишь одного уравнения я смогу проверить правильность решения всей системы? Конечно. И суть здесь вот в чем. Мощность, вырабатываемая всеми источниками цепи, должна равняться мощности, выделяемой на всех сопротивлениях цепи, в том числе и на внутренних сопротивлениях источников. Формулу для мощности помнишь? Да, их несколько: P  UI  I 2 R  U2 . R Нам понадобятся первые две. Рассмотрим схему на рис. 1.31. Рис. 1.31 Составим для нее уравнение баланса мощности I12 R 1  I 22 R 2  I 32 (R 3  R 4 )  I 24 R 5  I 52 R 6  I 62 R 7  E1 I1  E 2 I 2  E 3 I 3  JU13 . 36 (1.23) Здесь надо обратить внимание на следующие вещи. В левой части уравнения (1.23) все величины положительны, поэтому можно не задумываясь ставить везде знак «+». В правой части для первых трех слагаемых берем знак «+», если направления тока и ЭДС совпадают, и «–» – если не совпадают. Последнее слагаемое отражает мощность источника тока. Как видно из формулы, она равна произведению тока источника J на напряжение U13 между узлами, к которым данный источник подключен. В нашем случае U 13  I 6 R 7 . Знак слагаемого определяем по следующему правилу: если в контуре из источника тока и замыкающего сопротивления токи в обеих ветвях направлены согласно, то ставим знак «+». В противном случае ставим «–». В нашей схеме токи I6 и J идут навстречу друг другу. Значит, в формуле (1.23) ставим знак «–»? Совершенно верно. И еще очень важное замечание. Уравнение баланса мощности всегда составляется для исходной – самой сложной схемы. То есть если я упрощу исходную схему и составлю для этой схемы баланс мощности, то будет ошибка? Да. Ведь с упрощением схемы мы изменяем распределение токов. А это в данном случае недопустимо. Понятно. Ну, что ж. Таким образом, мы рассмотрели основные методы анализа цепей постоянного тока. Они широко применяются для расчета реальных сложных цепей. В последнее время разработано множество математических пакетов, в которых заложены алгоритмы анализа линейных электрических цепей. С некоторыми из них ты, возможно, работал. Я знаю MathCAD и Matlab. Отлично. Во всех этих пакетах существуют алгоритмы решения систем линейных уравнений, и это как раз те методы, которые соответствуют нашим МУП, МКТ и правилам Кирхгофа. Используя матпакеты, можно уменьшить количество ошибок как минимум на 50 % и сократить время решения. Также в матпакетах все алгоритмы записаны в матричной форме, так как в матричной форме решать эти системы гораздо проще. Поэтому сейчас я ознакомлю тебя с матричным способом записи систем уравнений по правилам Кирхгофа, МУП и МКТ. 37 Начнем с правил Кирхгофа и вспомним теорию графов. Пусть для некоторой схемы мы построили следующий граф (рис. 1.32). Выберем для него дерево, главные сечения и главные контуры. Для всех них мы и будем составлять уравнения в матричной форме. При этом нужно ввести как минимум две матрицы, а лучше три. Первая матрица называется узловой. Составляется она следующим образом. Ты, наверное, знаешь, что матрица – это таблица. Так вот, каждый столбец этой таблицы будет соответствовать определенной ветви, а каждая строка – определенному узлу графа. Значит, в нашей матрице будет шесть столбцов и четыре строки. Рис. 1.32 А как заполняются ячейки матрицы? Элементами таблицы могут быть три числа: 1, –1, 0. 1 – ветвь присоединена к узлу и направлена от узла; –1 – ветвь присоединена к узлу и направлена к узлу; 0 – ветвь к узлу не присоединена. Рассмотрим, к примеру, узел 1. Видно, что к нему присоединены три ветви: 1, 2 и 4, причем ветви 2 и 4 направлены от узла, а ветвь 1 – к узлу. Поэтому 2 и 4-й столбцы 1-й строки матрицы будут содержать 1; 1-й столбец –1, а все остальные 0. Аналогично заполняются остальные строки. Узел [А] 1 2 3 4 1 –1 1 2 1 –1 Ветвь 3 4 1 –1 0 0 –1 1 5 1 –1 6 1 –1 Для заполнения матрицы есть определенное правило: сумма в каждом столбце должна равняться нулю, но при этом не должно быть ни одного столбца с одними нулями. Похоже, нашу матрицу мы составили правильно. I1  I   2 I 3  Да. И теперь, записав столбец неизвестных токов [I]    , можно получить уравнеI 4  I   5 I 6  ние по I правилу Кирхгофа в матричной форме. 38 Запишем его: [A][I]  0 . (1.24) MathCAD очень легко его решает. Но мы знаем точный алгоритм составления уравнений по правилам Кирхгофа, в соответствии с которым нам предстоит образовать еще две матрицы – главных сечений и главных контуров. Матрица главных сечений обозначается буквой Q и отличается от узловой матрицы только тем, что вместо узлов каждая строка соответствует тому или иному главному сечению. Правила заполнения этой матрицы аналогичны правилам заполнения узловой матрицы, только все то, что было справедливо для узла, будет относиться к главному сечению. Если ветвь пересекается главным сечением и их направления совпадают, то в соответствующей ячейке матрицы пишем 1; если направления не совпадают, то –1; а если ветвь вообще не пересекается главным сечением, то пишем 0. [Q] Главное сечение S1 S2 S3 1 –1 1 2 1 1 Ветвь 3 4 1 –1 –1 5 1 6 1 Проверим, правильно ли мы составили матрицу: не должно быть столбца сплошь из нулей – и должно быть три столбца, в каждом из которых только по одной единице (так называемая диагональная единичная подматрица). Если все условия соблюдаются, значит, матрица составлена правильно. И если опять ввести столбец неизвестных токов, система уравнений по I правилу Кирхгофа в матричной форме будет выглядеть так: [I][Q]  0 . (1.25) Теперь пришло время составить матрицу главных контуров. Обозначим ее буквой В. Правила заполнения соответствуют тем, что мы уже знаем. Если ветвь принадлежит контуру и совпадает с направлением обхода контура, то ставим 1; если направление не совпадает, пишем –1; а если ветвь не принадлежит контуру, ставим 0. [B] Главный контур I II II 1 1 2 1 Ветвь 3 4 1 -1 1 5 -1 1 6 -1 1 Проверка такая же, как и для матрицы главных сечений.  U 12  U   14   U 42  Если теперь ввести столбец неизвестных напряжений [U]    , можно получить U 13   U   23   U 34  39 систему уравнений по II правилу Кирхгофа в матричной форме [U]  [B]  0 . (1.26) Система независимых уравнений по правилам Кирхгофа будет иметь вид [Q]  [I]  0,  [B]  [U]  0. (1.27) Она решается совместно, так как неизвестные напряжения по закону Ома записываются через неизвестные токи. Удобно! Ты вводишь коэффициенты, а MathCAD выдает тебе готовое решение. Действительно удобно. Рассмотрим теперь оставшиеся два метода. И начнем с метода узловых потенциалов. Для того чтобы составить систему уравнений по МУП, нужно ввести понятие диагональной матрицы проводимостей n ветвей. G 1 0  [G]   0  0  0 G2 G3 0  0  0 0 .   0  0 G n  В этом случае система уравнений в матричной форме по МУП примет вид [A][G][A]T [P]  [J] , (1.28) где [A]т – транспонированная узловая матрица; [P] – столбец неизвестных потенциалов; [J] – столбец неизвестных токов. В МКТ действуем аналогично. Введем диагональную матрицу сопротивлений n ветвей. R 1 0  [R]   0  0  0 R2 R3 0  0  0 0 .   0  0 R n  В этом случае система уравнений в матричной форме по МКТ примет вид: [B][R][B]T [I k ]  [E k ] , (1.29) где [Ik] – столбец контурных токов; [Ek] – столбец ЭДС. Ну что ж, кажется, я все понял. Теперь мне не терпится испробовать свои знания на практике. Таск, дай мне какую-нибудь задачку на эту тему. 40 О, я как всегда подобрал для тебя самое интересное! Вот смотри: нужно определить, как изменится потенциал узла 2 для схемы на рис. 1.33, если переключить зажимы у источников. Ну и заодно найди все токи. Исходные данные: E1 = 15 В; E2 = 20 В; R1 = 330 Ом; R2 = 510 Ом; R3 = 820 Ом; R4 = 200 Ом. Приступай. Рис. 1.33 Думаю, для начала я найду потенциалы точек теоретически, а затем соберу цепь и проверю на практике полученные результаты. Так, так... Очевидно, что для решения задачи нам подойдет МУП. Согласно методу, приравняем потенциал узла 1 к нулю (φ1 = 0) и таким образом получим всего лишь одно уравнение G 333  J 33 . Теперь найдем его составляющие и вычислим значение потенциала узла 3: G 33  1 1 1    0,006 Ом–1, R1  R 01 R 2  R 4 R 3  R 02 J 33  E1 E2   69 мА, R1  R 01 R 3  R 02 3  J 33  12,31 В. G 33 Хорошо, ты определил потенциал узла 3, а как насчет узла 2? Один момент!    I 2  3 1 , R2  R4  3   2  I 2 R 2 ,  2  3,47 В. Ты совершенно прав. Но я задам тебе каверзный вопросик: как ты проверишь правильность теоретических расчетов на практике, если мы можем измерить только разность потенциалов, а не их значения? Да, хороший вопрос. Дай подумать. Ну, подумай. 41 A, кажется, я понял. Практически разность потенциалов между узлами 1 и 3 – это то же самое, что теоретически потенциал узла 3, ведь потенциал узла 1 мы приравняли к нулю. А чтобы найти потенциал узла 2, я просто должен измерить напряжение между узлами 1 и 2! Точно! А как будет выглядеть твое уравнение, когда ты поменяешь зажимы на источниках ЭДС? Ну, это же совсем просто! Когда мы расписываем узловой ток, нам важно, как направлены ЭДС, и если они направлены к узлу, то берем их со знаком «+», а если от узла, то со знаком «–». Вначале ЭДС были направлены к узлу, а сейчас они будут направлены от узла – возьмем их со знаком «–»! J 33   E2  E1   –69 мА, R1  R 01 R 3  R 02 3  J 33  –12,31 В, G 33  2  –3,47 В. О, да ты делаешь поразительные успехи. Ну и что же получилось? Как изменится потенциал узла 2? Получается, что сначала потенциал был положительным, а затем стал отрицательным, не изменяясь при этом по абсолютной величине. Согласен! Ну, а теперь найди оставшиеся токи для первого случая. Для определения токов я воспользуюсь законом Ома, а потом с помощью амперметра измерю их на стенде и сравню полученные результаты. I1  3  1  E1 I2  I3  R1  R 01 3  1 R2  R4  17,3 мА, 3  1  E 2 R 3  R 02  –8 мА,  –9,3 мА. Насколько я понимаю, знаки «–» говорят о том, что токи I1 и I3 направлены в другую сторону (от узла 1 к узлу 3). Совершенно верно! Вот видишь, ты сам во всем разобрался! Молодец! Еще одну задачку осилишь? 42 А то! Ну, тогда вот тебе схема (рис. 1.34). Задание такое: нужно найти все токи с помощью МКТ, а затем проверить правильность расчетов, используя баланс мощностей. Исходные данные: E1 = 15 В; E2 = 20 В; R1 = 330 Ом; R2 = 510 Ом; R3 = 820 Ом; J = 6 мА; Rj = 5200 Ом. Рис. 1.34 Я вижу, схема содержит источник тока, который необходимо замкнуть по контуру, чтобы он не остался неучтенным, когда я буду составлять систему уравнений. Да, совершенно верно. Пожалуй, замкну источник на ветке с его внутренним сопротивлением Rj (рис. 1.35). При этом Ej = JRj. Вот теперь я могу составить систему уравнений и вычислить контурные токи: Iк : I k1 R1  R 01  R 2   I k2 R 2  I k3R 2  E1 ,  IIк : I k2 R 2  R 02  R 3   I k1R 2  I k3R 2  E 2 , IIIк : I k3 R j  R 2  I k1R 2  I k2 R 2  E j ;   I k1  9,5 мА; I k2  9,9 мА; I k3  3,7 мА. Рис. 1.35 Хорошо, задача решена? Э... нет! Мы вычислили только значения контурных токов, а теперь нам нужно найти значения реальных токов, протекающих по проводам: I1  I k1  9,5 мА, I 2  I k1  I k2  I k3  23,1 мА, I3  I k2  9,9 мА, I j  I k3  3,7 мА. Эх, не сумел тебя подловить! 43 Осталось составить баланс мощностей и тем самым проверить правильность наших расчетов. I12 (R 1  R 01 )  I 22 R 2  I 32 (R 3  R 02 )  I 2j R j  E1I1  E 2 I 3  JI jR j , 0,454  0,456. Видно, что мощность потребителей энергии (в левой части) равна мощности источников энергии. Значит, расчет токов выполнен верно. Вот видишь, ты уже сам можешь оценить результаты своей работы. Ну, а напоследок, Аск, я покажу тебе еще два метода расчета цепей (как бонус). Бонусы  Метод наложения В основе данного метода лежит основополагающее утверждение: ток в k-й ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой в отдельности ЭДС схемы. Для расчета цепи поочередно рассчитываем так называемые частичные токи, возникающие от действия каждого из источников, мысленно удаляя остальные из схемы; находим реальные токи в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов. Основное правило: при удалении источника ЭДС из схемы его внутреннее сопротивление оставляют, а сам источник заменяют короткозамкнутым участком. При удалении источника тока цепь на его месте размыкают. Разберем пример (рис. 1.36). Исходные данные: E1 = 15 В; E2 = 20 В; R1 = 51 Ом; R2 = 330 Ом; R3 = 510 Ом. Нужно определить токи методом наложения. Рис. 1.36 Удаляем E2: R  R1  R 01  R 2 (R 3  R 02 ) , R 2  R 3  R 02 44 I11  E1 , R U12  E1  I11 (R1  R 01 ) , I 21  U12 , R2 I31  U12 ; R 3  R 02 I11  58,3 мА; I 21  35,5 мА; I31  22,7 мА . Удаляем E1: R  R 3  R 02  I32  E2 , R (R1  R 01 )R 2 , R1  R 01  R 2 U12  E 2  I32 (R 3  R 02 ) , I 22  U12 , R2 I12  U12 ; R 1  R 01 I12  30,3 мА; I 22  5,2 мА; I32  35,5 мА. Вычисляем реальные токи: I1  I11  I12 , I 2  I 21  I 22 , I3   I31  I32 . Ответ: I1  27,9 мА; I 2  40,7 мА; I3  12,8 мА.  Метод эквивалентного генератора (МЭГ) В основе данного метода лежит утверждение: любая электрическая цепь, рассматриваемая относительно двух выводов, эквивалентна реальному источнику с ЭДС, равной напряжению между этими выводами в режиме х.х и с внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника, получающегося при мысленном удалении всех источников из схемы (рис. 1.37). Для расчета цепи находим напряжение Uх.х на зажимах разомкнутой ветви аb; определяем входное сопротивление Rвх всей схемы по отношению к зажимам цепи аb при закороченных источниках ЭДС и разомкнутых источниках тока; искомый ток подсчитываем по формуле I Рис. 1.37 U x.x . R  R вх При R = 0 будет иметь место режим короткого замыкания: I к.з  U х.х . R вх Разберем пример (рис. 1.38). Исходные данные: E1 = 15 В; E2 = 20 В; R1 = 51 Ом; R2 = 330 Ом; R3 = 510 Ом. Рис. 1.38 45 Нужно определить ток I2 методом эквивалентного генератора. Определяем напряжение Uх.х: I k (R1  R 01  R 3  R 02 )  E1  E 2 , I R  U , 3 k 3 U 3  –4,51 В, U х.х  E 2  U 3  15,49 В. Определяем входное сопротивление: R вх  (R1  R 01 )(R 3  R 02 )  50,8 Ом. R1  R 01  R 3  R 02 Вычисляем искомый ток: I2  U х.х  40,7 мА. R 2  R вх Сцена 4. Размышления о блохе, звезде и треугольнике Привет, Аск, что это у тебя в руках? Да вот делал вчера уборку и случайно нашел схему от старого телевизора. Ну, думаю, это как раз по моей специальности. Вспомнил я, что мы изучали методы расчета цепей, поэтому и решил вот применить свои знания на практике. Ну и как? Получилось? О… Даже и не спрашивай. Застрял так, что и трактором не вытащишь. Понять не могу, как в этой схеме вообще можно разобраться? Да. Это ты высоко хотел прыгнуть. Во-первых, чтобы понять режимы работы такой схемы, твоих знаний еще недостаточно. Большинство элементов данной цепи мы будем изучать позже. А во-вторых, любой грамотный инженер, перед тем как рассчитывать сложную цепь, обязательно упростит ее путем эквивалентного преобразования пассивных и активных элементов. 46 Причем этот процесс можно довести до того, что даже такая сложная схема, как у тебя, превратится вот в такую маленькую и простую (рис. 1.39): Да неужели? Рис. 1.39 Точно тебе говорю. И уж если наш разговор пошел на эту тему, то и посвятим наше сегодняшнее занятие изучению основных способов эквивалентного преобразования элементов электрической цепи. И начнем с самых простых – пассивных элементов. Подожди. Пассивные элементы – это такие элементы, которые не могут вырабатывать электрическую энергию? Да. И в цепях постоянного тока пассивными элементами являются резисторы. Из школьного курса тебе должны быть известны два способа соединения резисторов. А, я знаю. Параллельно и последовательно. Совершенно верно. И если я тебе дам простенькую схемку (рис. 1.40), ты без труда сможешь найти оба вида соединения. Рис. 1.40 Конечно. R1 и R2 соединены последовательно, R3 и R4 – параллельно. Правильно. И даже не зная теории, ты все же смог бы дать верный ответ, потому что здесь все очевидно. Но попадись тебе схема более сложная, ты не всегда сможешь сразу разглядеть в ней тот или иной вид соединения. Они просто будут похожи. Поэтому, чтобы не тратить время и не делать ошибок, пользуются одним очень наглядным приемом: если два сопротивления включены последовательно, ты мысленно можешь взять иголку и через ее ушко продеть эти сопротивления совершенно свободно, т. е. тебе ничего не должно мешать (рис. 1.41). Рис. 1.41 Если фокус с иголкой прошел удачно, все сопротивления, соединенные последовательно, можно эквивалентно заменить одним сопротивлением R 12  R 1  R 2 . 47 (1.30) Наоборот, если два сопротивления включены параллельно, ты можешь зажать их между двумя пальцами. Для этого приставь один палец к зажиму одного сопротивления, а другой – к зажиму второго и соедини их вместе. При параллельном соединении элементов ты никого по пути не раздавишь и пальцы сойдутся в одной точке (рис. 1.42). Рис. 1.42 Эквивалентная замена в этом случае 1 1 1   . R 12 R 1 R 2 (1.31) Хорошо. Как определить тип соединения, я понял. Вопрос у меня вот в чем. Пусть у нас дана некоторая схема (рис. 1.43). При этом R1 = R2 = R3 = R5 = R6 = 2 Ом; R4 = R5 = 4 Ом. Рис. 1.43 Как мне определить, откуда начинать ее упрощение? с конца? с середины? Для этого существует простой прием – метод блохи и коврика. Работает он следующим образом: между зажимами А и В (относительно которых необходимо вычислить эквивалентное сопротивление) мысленно натягиваем леску и сажаем на нее блоху. Затем говорим волшебные слова: «Вася, прыгай!» – и блоха по имени Вася прыгает на самое дальнее сопротивление. Теперь он должен оглядеться вокруг и найти относительно этого сопротивления соседнее и определить, как оно соединено с данным: последовательно или параллельно. Для этой цели Вася в кармане всегда держит иголку. В нашем случае оба сопротивления по 2 Ом включены последовательно – значит, мы их объединяем и пишем одно эквивалентное 4 Ом. Со следующим оно будет соединено уже параллельно – значит, опять вместо двух можно написать одно эквивалентное 2 Ом. Далее действуем аналогично. Наша схема будет постепенно «сворачиваться», и в итоге мы придем к одному эквивалентному сопротивлению 3 Ом между точками А и В (убедись в этом саРис. 1.44 мостоятельно). Со стороны наш процесс будет похож на сворачивание коврика (рис. 1.44). Отсюда и идет название метода. 48 Да, веселенький метод. Но и он, увы, имеет ограничение. Посмотри на рис. 1.45. Важное отличие данной схемы от предыдущей (см. рис. 1.43) – наличие участков, замкнутых проводами без сопротивлений. Свернуть такой коврик Васе уже не под силу. Но находчивый человек даже в необычном всегда найдет обычное. К примеру, что ты видишь на этих картинках (рис. 1.46)? Э-э-э…Меня не проведешь! Первая картинка – «мексиканец на велосипеде», на второй – «медведь лезет по дереву». Рис. 1.45 Рис. 1.46 Вот видишь. Значит, тебе не составит труда понять и метод, с помощью которого можно упростить схему на рис. 1.45. Называется он метод маркировки узлов. Для начала обозначим цифрами все узлы схемы. Затем проведем через точки А и В две параллельные линии. Теперь главное – внимание. Берем сопротивление R1. Оно расположено между узлами 1 и 2. Далее смотрим: узел 1 присоединен к ветви с зажимом А (через провода 1–5 и 5–3), а узел 2 – к ветви с зажимом В (через провода 2–6 и 2–4). Отмечаем данное расположение на новой схеме. Переходим к сопротивлению R2 между узлами 2 и 3. Узел 2 присоединен к ветви с зажимом В (через провода 2–6 и 2–4), а узел 3 – к ветви с зажимом А (через провода 3–5 и 5–1). Отмечая это на новой схеме и рассуждая аналогично для каждого из оставшихся сопротивлений, получаем эквивалентную схему (рис. 1.47): Рис. 1.47 Здесь все сопротивления соединены параллельно, поэтому найти общее относительно точек А и В уже не составит труда: 1 1 1 1 1 1      . R AB R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 49 Слушай, Анс, давно хотел тебя спросить. Вот ты говоришь, что существует два соединения элементов – последовательное и параллельное. Но я в некоторых схемах встречал чтото уж совсем не похожее ни на то, ни на другое. Вот, смотри (рис. 1.48). А на что это, по-твоему, похоже? По-моему, похоже на треугольник и какую-то снежинку. Рис. 1.48 Почти. На самом деле, кроме последовательного и параллельного, существует еще два способа соединения сопротивлений. И называются они треугольник (см. рис. 1.48а) и звезда (см. рис. 1.48б). В трехфазных цепях с этими видами соединений мы очень часто будем встречаться. Самое важное – треугольник и звезда взаимно эквивалентны. Что это значит? Это значит, что треугольник преобразуется в звезду, а звезда в треугольник, при этом узлы 1, 2 и 3 исходной схемы остаются без изменения, а значит, и их потенциалы тоже не меняются. А с ними не меняется и распределение токов во внешней цепи. Это свойство справедливо для любого эквивалентного преобразования. А как с точки зрения математики выполнить преобразования звезда – треугольник и наоборот? Очень просто. Преобразование звезда – треугольник: R 12  R 1  R 2  R 1R 2 , R3 R 23  R 2  R 3  R 2R 3 , R1 R 31  R 1  R 3  R 1R 3 . R2 50 (1.32) Обратное преобразование треугольник – звезда: R1  R2  R3  R 12 R 12 R 31 ,  R 23  R 31 R 12 R 12 R 23 ,  R 23  R 31 R 12 R 23 R 31 .  R 23  R 31 (1.33) Вот, в основном, все, что касается преобразований пассивных элементов. Будем переходить к активным? Да. Их название говорит само за себя. Активный – значит что-то вырабатывает. Прекрасный пример этому – источник электрической энергии. А теперь вспомни наше первое занятие. Мы говорили, что любой источник энергии имеет две схемы замещения – последовательную источником ЭДС и параллельную источником тока. Именно на основе этих двух схем как раз и построены все эквивалентные преобразования. Рассмотрим самые основные. Рис. 1.49 Посмотри на рис. 1.49. Если у нас имеется два последовательно включенных источника, каждый из которых замещается последовательной схемой, мы можем заменить их одним источником, у которого E экв  E 1  E 2 , (1.34) R экв  R 1  R 2 . (1.35) Знак «–» в формуле (1.34) соответствует случаю, когда источники включены встречно (стрелки направлены в разные стороны). При согласном соединении ставим знак «+». Совершенно аналогично действуем в случае параллельной схемы замещения (рис. 1.50). Рис. 1.50 51 Здесь так же J экв  J 1  J 2 , (1.36) 1 1 1   . R экв R 1 R 2 (1.37) Насколько я понял, формулы (1.35) и (1.37) идентичны формулам (1.30) и (1.31). Значит, независимо от того, имеются в цепи источники энергии или нет, пассивные элементы, в зависимости от соединения, конечно, преобразуют по тем же формулам – так, как если бы этих источников вообще не было? Для последовательного и параллельного соединения – да. В соединениях же треугольник–звезда источники ЭДС лучше всего заменить на источники тока с помощью преобразования последовательной схемы в параллельную (рис. 1.51). Рис. 1.51 Это делается для того, чтобы «освободить» структуру треугольника или звезды от активных элементов и избежать ошибок в расчетах. Но вот чего здесь нельзя забывать! Подобное преобразование справедливо только для реальных источников. Идеальные источники друг в друга преобразовывать нельзя!!! А что же тогда делать с идеальными источниками? Для них есть особые преобразования. И мы, кстати, их уже изучали. Это методы переноса (или выдавливания) идеального источника ЭДС через узел (рис. 1.52) и замыкания идеального источника тока по контуру (рис. 1.53). Рис. 1.52 52 Рис. 1.53 Все это тебе должно быть знакомо. А напоследок разберем еще один случай эквивалентного преобразования. Для этого обратимся к рис. 1.54. Рис. 1.54 Эта схема со смешанным соединением элементов. Легко заметить, что в данном случае Еэкв будет равно напряжению между узлами 1 и 2. А напряжение, как известно, это разность потенциалов, т. е. Еэкв = φ1 – φ2. Один потенциал, например φ2, мы можем приравнять к нулю, а другой найти уже по известному тебе МУП, который для данной схемы станет методом двух узлов. Для него G 111  J , E E 1 1 1   и J 1  2 . R1 R 2 R 3 R1 R 2 Отсюда получаем где G 11  E экв E1 E 2  R1 R 2  1   2   1  . 1 1 1   R1 R 2 R 3 Да, все гениальное просто. Я рад, что ты все понял! Теперь самое время пойти к Таску и закрепить полученные знания! 53 (1.38) (На следующий день) О! Аск, привет! Ну, какие задачи будем решать сегодня? Привет! Дай-ка мне что-нибудь по теме «Эквивалентные преобразования». Ага! Так, значит, ты уже успел познакомиться с блохой Васей! Отлично, давай начнем с теоретической задачки, но она довольно громоздкая. Ты готов к трудностям? Всегда готов! Давай скорее свою задачку, я сейчас покажу тебе мастер-класс! Ну, тогда ты сам напросился! Видишь схему на рис. 1.55? Так вот, мне надо, чтобы после усиленной работы твоего серого вещества она превратилась в такую, как на рис. 1.39. Рис. 1.55 А... Э-э-э... Да... Судя по выражению твоего лица, задачка тебе не по зубам? А где же былой энтузиазм? Предупреждать надо о таких схемках! Да не расстраивайся ты так! Сейчас быстро с ней разделаемся! Вот что дано: R1  1r ; R 2  3r ; R 3  2r ; R 4  4r ; R 5  5r ; R 6  1r ; R 7  2r ; E1  E 2  E 3  E ; J1  J 2  J  E/r . По условию необходимо найти Rэкв и Eэкв. В путь! 54 Ладно, попробуем... Так... Сопротивления R1 и R2 у нас соединены последовательно. Значит, мы можем их заменить одним эквивалентным R12  R1  R 2  4r (рис. 1.56). Теперь видно, что R12, R3 и R4 образуют треугольник. Попробуем преобразовать его в звезду (рис. 1.57). Согласно формулам (1.33) получим: R13  R12 R 3  0,8r , R12  R 3  R 4 R14  R12 R 4  1,6r , R12  R 3  R 4 R 34  R 3R 4  0,8r . R12  R 3  R 4 Рис. 1.56 Сразу становится заметным еще одно преобразование: R 36  R 34  R 6  1,8r . А вот дальше, может, преобразовать звезду R36, R14, R13 в треугольник? Рис. 1.57 Ага, преобразуй, а я посмотрю, куда ты денешь источник ЭДС! Ну да, он здесь явно мешает! Вспомнил! Анс говорил мне, что в соединениях треугольник – звезда лучше преобразовывать последовательную схему замещения в параллельную! Поэтому преобразую Е1 и Е3 в источники тока (рис. 1.58)! Рис. 1.58 При этом J3  E1 E E E  и J4  3  . R 5 5r R 7 2r 55 Вот видишь, все не так уж и сложно! Теперь подсчитай Jэкв для обоих случаев. Только помни, что не все источники направлены одинаково, а значит, где-то потребуется не складывать, а вычитать. Потом преобразуй параллельную схему обратно в последовательную, при этом обрати внимание, что величины ЭДС будут уже другими. Вот, смотри, что получилось (рис. 1.59). А по расчетам 6E E , J6  J2  J4  , 5r 2r E 5  J 5R 5  6E , E 6  J 6 R 7  E . J 5  J1  J 3  Рис. 1.59 Молодец, все верно! Осталось совсем чуть-чуть! Продолжай. Судя по всему, далее нужно преобразовать последовательные элементы (рис. 1.60): R17  R14  R 7  3,6r , R15  R13  R 5  5,8r . Рис. 1.60 Вот видишь, как упростилась наша большая схема. Ты уже на финишной прямой! Что будешь делать дальше? Ну, надо подумать... Эта схемка мне что-то напоминает... Точно! Ее аналог изображен на рис. 1.54. Значит, по формуле (1.38) мы можем ветки, например, с E2 и E6 преобразовать к виду рис. 1.61. При этом E 26 Рис. 1.61 E E2  6 R R17 E 2 R17  E 6 R 36 E  ,  36  1 1 R R 3  17 36  R17 R 36 R 26  R17 R 36  1,2r . R17  R 36 Я рад, что ты внимательно слушал Анса на занятиях! Ну, теперь, я думаю, дело за малым? Рис. 1.62 Да, осталось лишь преобразовать последовательно соединенные источники и сопротивления. И вот мой результат (рис. 1.62)! 56 Здесь E ЭКВ  E 5  E 26  R ЭКВ  R12  R 26 17E , 3  7r . Молодец, Аск! Вот видишь, а ты боялся! Понравилась задачка-то? Конечно! Только что-то у меня уже в глазах рябит от твоей задачки! Ничего, пройдет! Тренировка всегда полезна! Зато сейчас ты с легкостью справишься с остальными задачами! Вот тебе схема из задачника (рис. 1.63). Требуется определить ток I сначала практически, а затем сравнить с теоретическим значением, рассчитанным с применением преобразования треугольник – звезда, звезда – треугольник. Исходные данные: E = 15 В; R1 = 75 Ом; R2 = 200 Ом; R3 = 510 Ом; R4 = 820 Ом; R5 = 51 Ом. Рис. 1.63 Рассмотрим треугольник, который образуют сопротивления R1, R3 и R4. Для преобразования его в звезду воспользуемся формулами: R13  R1R 3  27,2 Ом, R1  R 3  R 4 R14  R1R 4  43,8 Ом, R1  R 3  R 4 R 34  R 3R 4  297,7 Ом. R1  R 3  R 4 Получим схему (рис. 1.64). Здесь невооруженным глазом можно увидеть последовательно и параллельно соединенные резисторы. Их-то я и приведу к одному эквивалентному сопротивлению R экв  Рис. 1.64 (R14  R 2 )(R 34  R 5 )  R13  R 0  176 Ом. R14  R 2  R 34  R 5 Искомый ток найдем из закона Ома: I E  85,2 мА. R экв Отлично! Теперь попробуй получить тот же результат, преобразовав звезду в треугольник. 57 Я, пожалуй, возьму звезду, которую образуют сопротивления R3, R4 и R5. По формулам преобразования найдем: R 34  R 3  R 4  R 3R 4  9530 Ом, R5 R 35  R 3  R 5  R 3R 5  592,7 Ом, R4 R 45  R 4  R 5  R 4R 5  953 Ом. R3 Получим схему (рис. 1.65). Эквивалентное сопротивление R экв  R1R 34 R 2 R 45   R 35    R R R R 34 2 45   1  R 0  176 Ом. R1R 34 R 2 R 45   R 35 R1  R 34 R 2  R 45 Искомый ток найдем из закона Ома: I Рис. 1.65 E  85,2 мА. R экв Как видишь, расчеты сошлись! Остается проверить их на практике. На стенде ток I = 85,2 мА. Значит, задача решена правильно. Ну, тогда вот тебе кое-что посложнее (рис. 1.66). Требуется определить ток через сопротивление R2 экспериментально и теоретически. R01, R02, R03 = 5,3 Ом – внутренние сопротивления источников ЭДС. Исходные данные: E1 = 100 В; E2 = 15 В; E3 = 20 В; R1 = 51 Ом; R2 = 75 Ом; R3 = 820 Ом; R4 = 510 Ом; R5 = 200 Ом. Рис. 1.66 58 Для начала сделаем замену: R12  R1  R 02  56,3 Ом, R 43  R 4  R 03  515,3 Ом. Теперь необходимо преобразовать ЭДС, чтобы исключить активный элемент из треугольника или звезды. Ты прав, здесь как раз пригодится эквивалентное преобразование источников, т. е. надо E3, к примеру, преобразовать в источник тока (рис. 1.67). При этом J E3  38,8 мА. R 43 Рис. 1.67 Ага, теперь треугольник R3, R5, R43 можно преобразовать в звезду с сопротивлениями R7, R8, R9 (рис. 1.68). При этом R 3R 5  106,8 Ом, R 3  R 43  R 5 R 3R 43  275,2 Ом, R8  R 3  R 43  R 5 R 43R 5  67,1 Ом. R9  R 3  R 43  R 5 R7  Правильно! Что дальше? Рис. 1.68 А дальше мне нужно как-нибудь избавиться от источника тока... Ага! Эврика! Мне опять поможет эквивалентное преобразование источников, только уже не ЭДС, а тока! Я замкну его по контуру R8–R9 (рис. 1.69). Здесь E8  JR 8  10,68 В, E 9  JR 9  2,61 В. Рис. 1.69 59 Теперь можно преобразовать последовательно соединенные источники и сопротивления (рис. 1.70). При этом E18  E1  E8  89,3 В, R17  R12  R 7  163,1 Ом, R18  R 01  R 8  280,5 Ом. Совершенно верно! Рис. 1.70 Дальше можно воспользоваться формулой (1.38) и преобразовать ветки с E2 и E18 к виду, представленному на рис. 1.71. Здесь Рис. 1.71 E 28 E 2 E18  R17 R18   42,33 В, 1 1  R17 R18 R 78  R17 R18  103,1 Ом. R17  R18 Очевидно, ток через сопротивление R2 теперь найти несложно? Да, из закона Ома I2  E 28  E 9  161,9 мА. R 2  R 78  R 9 Молодец, Аск! На стенде амперметр тоже показывает 161,9 мА! Ты отлично справился с задачей! 60 Вопросы и задания для самоконтроля 1. Почему при расчете внутреннего сопротивления источника по его ВАХ получается отрицательная величина? 2. Почему идеальный источник ЭДС не эквивалентен идеальному источнику тока с точки зрения внутренних потерь? 3. Как оценить адекватность схемы замещения реального источника, зная его параметры и параметры нагрузки? 4. Как изменится яркость лампочек при переходе от последовательного к параллельному их соединению? 5. В каких случаях для измерения напряжения вольтметр включается последовательно с элементами электрической цепи? 6. Как с помощью амперметра определить режим работы источника (генератор или потребитель) в разветвленной электрической цепи? 7. В чем состоит принципиальная разница между собственной и взаимной узловыми проводимостями? 8. Докажите путем рассуждений, что контурные токи не протекают в ветвях реальных электрических цепей. 9. Как выглядит схема, для которой количество уравнений по МКТ меньше, чем по МУП? 10. Любой реальный источник электрической энергии нелинейный по определению. Почему в таком случае при расчете применяются линейные схемы замещения источников? 11. Какое фундаментальное свойство электрических цепей можно определить, используя метод наложения? 12. В чем состоит физический смысл свойства взаимности? 13. Почему при передаче электрической энергии на большие расстояния стараются повышать напряжение линии электропередачи? 61 Действие 2 Переменный синусоидальный ток Сцена 1. Все начиналось с анекдота... Привет, Аск! Дружище, давно не виделись! Привет… Анс… О… А чего так невесело? На ужин вместо лисичек мухоморов наелся? Или обидел кто? Да вот прямо и не знаю, как сказать… Был я вчера у друга на дне рождения. Он тоже автоматчик, с 3-го курса. Так вот, кто-то из его друзей между делом рассказал анекдот. Все сразу рассмеялись, а до меня чего-то не дошло. Ты бы видел мое лицо: смесь Ломоносова с пучеглазой совой. В общем, был повод еще раз посмеяться. Вот я и не знаю теперь: либо до меня все как до жирафа доходит, либо чувства юмора совсем нет. Да, дело серьезное. Но ты не волнуйся, диагноз мы всегда успеем поставить. А для начала расскажи-ка мне тот анекдот. Ну, в общем, идет экзамен по электротехнике. Отвечает девушка. Весь билет она рассказала, на дополнительные вопросы ответила. Преподаватель, естественно, ставит в зачетке «отлично», расписывается и говорит: – Вот экзамен для вас и закончился, и вы получили законную оценку. У меня претензий нет, но позвольте один маленький вопрос: изучив весь курс моего предмета, неужели вы не нашли ни одной темы, которую бы не поняли? Ответьте, пожалуйста, честно. На вашу оценку это уже никак не повлияет. Ну, девушка подумала и говорит: – Сказать по правде, один вопрос у меня есть: как вот такой ток течет по вот таким Рис. 2.1 проводам (рис. 2.1)? 62 Да, действительно смешно! Ну вот, и ты туда же. Что же тут смешного? Не пойму. А это и неудивительно. Это анекдот на тему переменного синусоидального тока. А мы успели пройти только постоянный. Значит вот оно как! То есть я никакой не жираф, а просто человек, не введенный в курс дела? Ну, можно сказать и так. И, кстати, ты сам определил тему нашей сегодняшней беседы. Мы будем говорить о переменном токе? Совершенно верно, и не просто о переменном, а о переменном синусоидальном токе, так как он наиболее распространен и удобен в использовании. Посмотри на рис. 2.2. Такая же змейка, как в анекдоте! Верно, только у этой змейки есть имя – синусоида, и именно она и является графиРис. 2.2 ческим отображением переменного синусоидального тока. Заметь, это именно график, а не фотография тока, т. е. он показывает лишь изменение его параметров (величины и направления) во времени, но ни в коем случае не является реальным его изображением. Вспомни, например, больничный осциллограф. Он отображает только работу сердца, но при этом само сердце не показывает. Вот чего не знала девушка из анекдота. Понятно. Теперь все стало на свои места. А я усвоил, что переменный ток – это ток, изменяющийся во времени по величине и направлению, и чтобы это изменение показать, мы чертим для него график. Совершенно верно. Вот на графике-то мы сейчас и остановимся поподробнее. Запомнить здесь надо следующее: чтобы построить график тока, во-первых, надо знать, по какому закону он изменяется. Мы будем рассматривать синусоидальный ток, поэтому для его описания введем синусоидальную функцию i( t )  I m sin(t   i ) . (2.1) 63 Во-вторых, чтобы график непосредственно начертить, надо численно определить основные параметры той функции, которая его описывает. Посмотри на правую часть уравнения (2.1). В ней можно выделить два таких параметра:  I m – амплитуда колебаний, характеризует наибольшее по модулю значение тока;  t   i – фаза колебаний, характеризует значение тока в данный момент времени (оно еще называется мгновенным значением i(t)). С течением времени фаза колебаний линейно растет с угловой скоростью ω (другое ее название – угловая частота). В момент времени t = 0 фаза равна  i . Это ее начальное значение. Причем если в этот момент i( t )  0 , то  i  0 , а если i( t )  0 , то и  i  0 . На графике начальная фаза отсчитывается от нулевого значения синусоиды (там, где она «перешагивает» через ось времени с отрицательных на положительные значения) до начала координат. А теперь посмотри на рис. 2.3. Рис. 2.3 Для сравнения я нарисовал два синусоидальных тока – i1 и i2 одной и той же частоты. Чем они отличаются? Ну, очевидно, что у этих двух токов разные амплитуды, причем Im2 > Im1, и разные начальные фазы. Верно, а чтобы это различие как-то зафиксировать, используют понятие разности фаз   1   2 . (2.2) Иногда выражение (2.2) называют еще углом сдвига по фазе. А поскольку напряжение также изменяется по закону синуса, то разность фаз между током и напряжением принято называть просто сдвигом фаз и обозначать   u  i . (2.3) И еще дополнение. Поскольку синус – это периодическая функция, то для нашего графика можно ввести еще параметр – период колебаний, который связан с угловой частотой: T 2 .  64 (2.4) Период колебаний – это время, в течение которого величина совершает одно полное колебание. Число периодов в секунду характеризует частота колебаний, или циклическая частота f  1 . T (2.5) Все это понятно, только, Анс, я тут вот чего подумал. Допустим, в цепи у нас протекает переменный ток, а мне нужно измерить его значение. Ну, я беру амперметр, подключаю его, смотрю на стрелку, а она… начинает бешено колебаться! Ток-то переменный. Что же мне в этом случае делать? Да, обычным амперметром переменный ток ты не измеришь. По осциллографу, конечно, можно определить его мгновенное значение, но производить потом с ним какие-либо расчеты сложно и неудобно. Поэтому физики-электротехники и задались вопросом: какой же переменный ток можно считать эквивалентным по действию постоянному току 1 А? Вот тогда кто-то и обратил внимание, что среди известных действий электрического тока – химического, магнитного и теплового – только тепловое действие не зависит от изменения направления тока, ведь мощность, выделяемая в резисторе, пропорциональна квадрату силы тока: P  I2R . Отсюда и договорились считать, что сила переменного тока 1А – это сила тока, выделяющего в проводнике такое же количество теплоты, что и постоянный ток 1 А за тот же промежуток времени. Иначе эту величину называют действующим значением переменного тока. Вычисляется оно довольно просто: Iд  Im 2 . (2.6) Аналогичная формула служит для определения и действующего напряжения: Uд  Um 2 . (2.7) В связи с этим большинство приборов, используемых для определения переменных токов и напряжений, проградуированы именно в действующих значениях. Так что не волнуйся, переменный ток в цепи ты измеришь без проблем. Хорошо, измерить-то я его измерю, а вот когда мне надо будет решить типичную задачу о нахождении токов, протекающих в ветвях какого-нибудь контура, что же я буду делать? Вычитать и складывать графики огромного числа синусоид? А ты мне покажи хоть одного человека, который будет сидеть и аккуратненько так складывать, а тем более еще и умножать штук 20 синусоид. Я хоть фотографию на память сделаю: раритет все-таки. Ладно тебе смеяться! Лучше расскажи, как тогда в этом случае поступают продвинутые электротехники? 65 А продвинутые электротехники любят работать с векторами и поэтому знают, что синусоиду тока можно представить в виде вектора на декартовой плоскости, который вращается против часовой стрелки с угловой скоростью ω (рис. 2.4). Рис. 2.4 При этом модуль данного вектора будет численно равен амплитуде тока, а начальный угол поворота – соответственно начальной фазе колебаний: OA  I m и  0   i . А что тогда будет мгновенным значением тока? Очень просто. Мгновенное значение тока – это проекция нашего вектора на ось у: i  oa  OA sin   I m sin(t   i ) . Таким образом, в основе решения задач по переменному току лежит так называемый метод векторных диаграмм, согласно которому неизвестная величина (ток или напряжение) находятся из построения совокупности векторов известных величин (токов и напряжений). Но при этом запомни: все они должны быть одной частоты! Хорошо, Анс, но согласись, что решение иногда надо найти аналитически, а не графически. Что же делать в этом случае? Рис. 2.5 А в этом случае нам на помощь придет теория функций комплексных переменных. Чтобы вникнуть в курс дела, поместим вектор ОА, характеризующий переменный синусоидальный ток, на комплексную плоскость (рис. 2.5). Как известно, эта плоскость имеет две оси координат – мнимую (+j) и действительную (+1). Проекции нашего вектора на эти оси будут являться координатами комплексного числа, которое мы можем представить в трех формах: 1. A  Re A  Im A – алгебраическая форма; 2. A  e j – показательная форма; 3. A  A cos   jA sin  – тригонометрическая форма. 66 А – так обозначается комплексное число? При этом структура комплексного числа: Re A – действительная часть; Im A – мнимая часть; А – модуль;  – аргумент; j – мнимая единица, j   1 . Теперь, учитывая, что A  I m ,   t   i , запишем выражение для комплекса мгновенного значения синусоидального переменного тока в показательной форме i  I m e j( t   i ) . Далее, сделав разложение e j ( t   i ) (2.8)  e jt  e ji , перепишем уравнение (2.8) в виде i  I m e j i  e j t . (2.9) Особый интерес для нас здесь имеют первые два множителя. По сути, они представляют собой комплексную амплитуду: I m  I m e j i . (2.10) Видно, что ее модулем является вещественная амплитуда синусоидального тока I m , а аргументом  i – начальная фаза. То есть комплексная амплитуда включает в себя оба параметра синусоиды – амплитуду и фазу? Да, и поэтому мы без труда можем произвести преобразование мгновенного значения тока или напряжения в комплексную амплитуду, и наоборот. o Например, i  5 sin(t  30 o )  I m  5e j30 . А это очень удобно, ведь если мы условимся всегда работать только с токами и напряжениями одинаковой частоты, то в процессе расчета цепей можно все синусоидальные токи и напряжения заменять их комплексными амплитудами и работать с ними как с обыкновенными комплексными числами, – или представлять в виде векторов на комплексной плоскости, как на рис. 2.5. В заключение же хочу отметить, что при расчетах электрических цепей переменного синусоидального тока очень часто интересуются не амплитудными, а действующими значениями токов и напряжений. Поэтому обычно вместо комплексных амплитуд рассматриваются комплексы действующих значений: I Im 2 U  Ie j i , Um 2  Ue j i . (2.11) В дальнейшем именно формулы (2.11) мы и будем использовать в наших расчетах. Ну что, вопросы есть? Да вроде бы все понятно. 67 А вот это не мешало бы проверить. На самом деле, представление синусоидальных электрических величин комплексными числами очень важно и не раз тебе поможет! Так что самое время отправиться к Таску. (На следующий день) Аск, привет! Очень рад тебя видеть. Ну, рассказывай, как дела? Дела отлично! Я наконец-то перешел на новый этап изучения электротехники: теперь я специалист по переменному току! Специалист, говоришь? Ну, я тебя поздравляю! Позвольте пожать вашу руку, будущее светило науки. Ладно, не смейся! Давай делом займемся. У тебя есть задачки на представление синусоидальных электрических величин комплексными числами? Задачки не задачки, а вот парочка вопросиков у меня имеется. Начнем с простого: для выражений а) и б) нужно определить угол сдвига фаз между током и напряжением и сделать вывод о том, «кто кого» опережает по фазе. После этого можно построить графики – и мы наглядно проверим твои рассуждения.   б) i  10sin ωt  30 o ,   а) i  20sin ωt  20 o , u  100sin ωt  20o ,   u  50sin ωt  60o . Так, так... По определению, сдвиг фаз – это разность фаз между током и напряжением. Следовательно, ее-то нам и нужно найти. Δψ  ψ u  ψi . o o o а) Δψ   20  20  40 , o o o б) Δψ  60  30  30 . Правильно. А как теперь определить, «кто кого» опережает? По знаку! Если сдвиг фаз положительный, то напряжение опережает ток по фазе, а если отрицательный, то наоборот. Таким образом, в пункте а) у нас лидером является ток, а в пункте б) – напряжение. Ну, ты молодец! Теперь строй в MathCAD графики и визуально проверь свои выводы. 68 Вот, смотри (рис. 2.6). Все сходится. Рис. 2.6 Отлично! Я вижу, ты хорошо разобрался! Вот тебе тогда еще один вопросик: для выражений а)–в) нужно проверить, совпадают ли кривые, соответствующие функциям напряжения. Даю подсказку: вспомни, что синус – это периодическая функция. а) u1  sinωt  , u 2  sinωt  π  ,     б) u1  127sin ωt  5o , u 2  127sin ωt  355o , в) u1  220sinωt  2/3π  , u 2  220sinωt  4/3π  . Дай подумать... Ага, кривые будут совпадать, если угол сдвига фаз будет равен либо нулю, либо периоду. А период для синуса, как известно, 360°. Таким образом получим вот что:    u 1   u 2 а)   π  0  π , т. е. не совпадают, o o o б)    5  355  360 , т. е. совпадают, в)    2/3π  4/3π  2π , т. е. совпадают. Молодец! Я очень доволен! Теперь ты готов к покорению новых вершин! 69 Сцена 2. Игра в кубики, или Новые приключения Ш. Холмса Тайна трех кубиков Ну что, Аск, бравый пионер-электротехник! Готов ли ты к покорению новых вершин цепей переменного тока? Всегда готов! Отлично! Твой боевой азарт сегодня будет как раз кстати, потому что на сегодняшнем занятии нам выпала честь провести серьезное спецрасследование. Ты про Шерлока Холмса когда-нибудь читал? Обижаешь, это моя настольная книга! Ну, тогда, я думаю, ты не откажешься побыть в роли знаменитого сыщика и раскрыть несколько тайн? Ух, ты! Только можно я лучше буду доктором Ватсоном? Мне больше нравится проводить какие-нибудь эксперименты. Хорошо, тогда Холмсом буду я – и ты мне обязательно будешь помогать. Не вопрос! Мы же одна команда! Хорошо, тогда вот тебе первая задача. Дело было в феврале 1820 года. Датский ученый по фамилии Эрстед, проводя эксперименты с электричеством, обнаружил необычное явление: если к проводнику, по которому течет ток, поднести компас, то его стрелка начинает отклоняться. При размыкании цепи стрелка возвращалась в исходное положение. Объяснение этому явлению было одно: проводник с током порождает вокруг себя магнитное поле, которое и воздействует на стрелку компаса. Десятилетие спустя уже ученый из Англии Майкл Фарадей, проведя серию опытов с катушками и постоянными магнитами, обнаружил, что магнитное поле, если оно является переменным, также способно, в свою очередь, вызвать появление электрического тока в контуре. Таким образом, благодаря плодотворной работе вышеупомянутых ученых позапрошлого столетия удалось выяснить, что наш тайный объект исследования под названием «переменный ток» способен при протекании по цепи образовывать вокруг себя, кроме электрического, еще и переменное магнитное поле. Также можно наблюдать взаимное преобра70 зование полей – магнитного в электрическое и электрического в магнитное. Такого в цепях постоянного тока нет. Поэтому целью нашего расследования и является разгадка тайны тех элементов цепи переменного тока, благодаря которым она обладает такими удивительными свойствами. Холмс, дружище, так давай же воспользуемся вашим любимым дедуктивным методом! Если в цепи идет взаимное преобразование электрического и магнитного полей, значит, в ней существует по крайней мере два типа элементов: одни запасают энергию электрического поля, другие – магнитного. Гениально, Ватсон! Только дедукции здесь мало. Надо обратиться еще и ко всему арсеналу здравого смысла. Вечный двигатель мы еще не изобрели; в любой цепи существуют помимо обмена энергией также потери ее в виде выделения тепла на сопротивлениях. Поэтому к твоим двум элементам надо добавить еще один, который будет отвечать за преобразование электрической энергии в тепло. Значит, в цепях переменного тока существует всего три основных разновидности элементов? Совершенно верно; те, что запасают энергию электрического поля, будут именоваться емкостными элементами, или конденсаторами; те, что запасают энергию магнитного поля, – индуктивными элементами, а те, что преобразуют электрического энергию в тепло, – активными элементами. Но вся проблема в том, уважаемый коллега, что реальные элементы электрической цепи, с которыми нам приходится иметь дело на практике, одновременно могут содержать в себе и индуктивность, и емкость, и активное сопротивление; но где конкретно они расположены в реальном элементе – этого мы сказать не можем. И как же тогда мы будем рассчитывать цепи переменного тока, если даже не знаем, как устроены их основные части? Элементарно, Ватсон! Вместо реального элемента в расчетах мы будем использовать его модель, или, как еще говорят, схему замещения. А идею построения такой модели позаимствуем из… детского сада. Помнишь, все мы когда-то любили собирать домики из кубиков и каждый кубик являлся какой-то определенной частью нашего домика. Мы с тобой тоже «собраны» из особых элементов – «кубиков» и каждый из них находится строго на своем месте и обладает каким-то одним, присущим только ему свойством. Любой реальный элемент в цепи переменного тока мы тоже можем разбить на своего рода «кубики», каждый из которых будет отражать какое-то одно определенное свойство данного элемента. А теперь, юный сыщик, найди, кто из подозреваемых подпадает под это описание? Хм… Уж не та ли это знаменитая троица (емкость, индуктивность и активное сопротивление), которую мы не так давно поймали за хранение, сбыт и необоснованное расточительство энергии электрического и магнитного полей? 71 Ватсон, ты делаешь успехи! Это именно те самые элементы. Их мы будем называть идеальными. И любой реальный элемент будет представлять собой какую-то комбинацию только этих трех основных «кубиков». Значит, наши «преступники» пойманы? Да. И теперь мы будем заводить на каждого личное дело, где подробно распишем все приметы и особенности этих преступников, чтобы потом по «горячим следам» можно было без труда найти любого из них в электрической цепи переменного тока. И начнем мы нашу картотеку, пожалуй, с активного элемента. Его «фоторобот» изображен на рис. 2.7. Картинка знакомая, ведь точно так же изображается сопротивление в цепи постоянного тока, только если там оно называется просто сопротивлением, то в цепи переменного тока оно носит название активного сопротивления, чтобы не пуРис. 2.7 тать его с другими видами сопротивлений, о которых мы поговорим позже. Теперь допустим, что на зажимы нашего активного сопротивления подается переменное синусоидальное напряжение u  U m sin t . (2.12) Для простоты примем  U  0 . Тогда по закону Ома i u Um  sin t  I m sin t . R R (2.13) Сравнивая полученный ток и напряжение, можно заметить, что Im  Um , R а  i   U  0 , откуда    U   i  0 . Таким образом, особые приметы активного элемента: напряжение и ток на нем совпадают по фазе, а отношение их амплитуд равно активному сопротивлению (рис. 2.8). Для удобства расчетов все величины лучше привести к действующим значениям и представить затем в комплексной форме (см. (2.11)): I  Ie j0 , U  Ue , j0  I U . R 2.14) Построим векторную диаграмму (рис. 2.9). Рис. 2.8 Рис. 2.9 72 Рассмотрим теперь индуктивный элемент (рис. 2.10). Аналогов ему, как и емкостному элементу, в цепях постоянного тока нет, поэтому, чтобы понять, что это за зверь такой, давай проведем с тобой опыт. Рис. 2.10 Здорово! Опыты я люблю. Хорошо, тогда вот тебе кусок провода, источник напряжения (5 В) и амперметр. Собери цепь и измерь в ней силу тока, а затем по закону Ома определи сопротивление. Готово. Сила тока равна 1 А, а сопротивление 5 Ом. Отлично, теперь намотай этот провод на палец и проделай то же самое, что и в предыдущем случае. Странно. Амперметр теперь показывает меньшее значение, а сопротивление увеличилось. Как же это произошло, ведь провод один и тот же? Все очень просто. После того как ты намотал провод на палец, каждый виток (участок провода) стал находиться рядом с другими, а так как все они при прохождении переменного тока создают вокруг себя магнитное поле, то энергия этого поля получила возможность концентрироваться и накапливаться, что, в свою очередь, и препятствует нарастанию тока в цепи. Таким образом ты внес в эту цепь новое свойство – индуктивность, т. е. способность накапливать энергию магнитного поля. Теперь допустим, что через индуктивный элемент L протекает ток, изменяющийся по гармоническому закону (2.15) i  I m sin  t . Опять же для простоты примем  i  0 . Из курса физики известно, что в этом случае di (2.16) uL . dt Подставляя (2.15) в (2.16), найдем u  LIm sin(t  90o )  U m sin(t  90o ) . (2.17) Сравнивая полученное напряжение и ток, можно заметить, что U m  LI m , а  U  90 o , откуда    U   i  90 o . Теперь на основе этих данных определи особые приметы нашего второго «преступника». Да легко. Теперь я его ни с кем не спутаю. Напряжение на индуктивном элементе опережает ток по фазе на 90°, а отношение амплитуд напряжения и тока определяется величиной ωL (рис. 2.11). Рис. 2.11 73 Эту величину называют также индуктивным сопротивлением X L  L . (2.18) Видно, что оно является переменным и существенно зависит от частоты ω. Опять-таки для удобства расчетов приведем ток и напряжение к действующим значениям и представим все величины в комплексной форме: I  Ie j0 , U . U  ILe j90  IjL,  I  jL X L  jL, Рис. 2.12 (2.19) Построим векторную диаграмму (рис. 2.12). Ну что, нам осталось установить личность последнего преступника. Это емкостный элемент (рис. 2.13). Он же – конденсатор. По словам очевидцев, являться он может в разных обличьях: две параллельные пластины из проводника, разделенные диэлектриком; два коаксиальных цилиндра либо две сферы, но занятие у него всегда одно – накопление энергии электричеРис. 2.13 ского поля. Пусть на обкладки (пластины) конденсатора подано синусоидальное напряжение u  U m sin t ,  U  0 . (2.20) Под действием его конденсатор постепенно начинает заряжаться (на его зажимах возникает разность потенциалов), при этом зарядный ток, протекающий в цепи, i dq . dt (2.21) Из школьного курса физики нам известна формула q  Cu . (2.22) Подставляя ее с учетом (2.20) в (2.21), получим, наконец, выражение для нахождения неизвестного тока du (2.23)  CU m sin(t  90 o )  I m sin(t  90 o ) . dt Сравнивая ток и напряжение, можно заметить, что I m  CU m , а  i  90 o , откуда iC    U   i  90 o . Теперь, коллега, ваш выход. А, точно! Особые приметы емкостного элемента таковы: напряжение на нем отстает от тока по фазе на 90о, а отношение амплитуды напряжения и тока определяется величиной равной 1/ωC (рис. 2.14). Рис. 2.14 74 Эту величину называют также емкостным сопротивлением XC  1 . C (2.24) Видно, что оно тоже переменное и находится в обратной зависимости от частоты. Ну, а теперь приведем ток и напряжение к действующим значениям и представим все величины в комплексной форме: I  UCe j90  UjC, U  Ue j0 , XC   I  U j C . (2.25) 1 , j C Построим векторную диаграмму (рис. 2.15). Вот и все. Теперь все «преступники» пойманы. Поздравляю, Ватсон, нам с блеском удалось раскрыть первое дело. Рис. 2.15 Ух ты! А мне понравилось быть сыщиком! А я в этом и не сомневался. Но на сегодня все тайны закончились. Так что иди домой, отдыхай. Если что случится, я тебе обязательно позвоню. Тайна черного ящика Алло, Аск! Аск!!! Да здесь я. Не кричи так в трубку. Что случилось? Срочное дело! Ноги в руки – и бегом ко мне! (Спустя 20 мин) Привет. Заходи быстрей. Уфф… Дай отдышаться. 75 Время не ждет! Царству электротехники снова требуется помощь великих сыщиков! Я готов, Холмс! Отлично. А теперь слушай. Ночью из местной тюрьмы был совершен побег. И знаешь, кто это сделал? Не может быть. Неужели снова наша троица? Она самая. Но утешает одно: беглецам не удалось далеко улизнуть. Однако они выбрали для себя надежное укрытие, а точнее два укрытия, ведь эти хитрецы оказались не так глупы и поэтому для надежности разделились. Кто-то спрятался в местечке под названием «Катушка индуктивности», а кто-то забаррикадировался в «Реальном конденсаторе». И нам надо выкурить их оттуда? Нет, этого, боюсь, нам сделать не удастся. Похоже, они там надолго засели. Тогда что же мы должны сделать? Очень просто: нам нужно определить, кто и в каком составе сидит в каждом убежище. Отсюда и кодовое название нашей миссии: «Тайна черного ящика». Круто. А причем здесь черный ящик? Элементарно, Ватсон. Пока мы не знаем, что находится внутри какого-то реального элемента, для нас он просто черный ящик. Ладно, тогда еще вопрос: ты хоть подумал, как мы будем определять, кто где сидит, если эта компания наглухо забаррикадировалась в своих убежищах и даже носа наружу не кажет? А ты забыл, что у нас в картотеке остались их личные дела, куда, между прочим, ты сам так старательно заносил все приметы, по которым можно однозначно определить каждого из наших беглецов? Да, об этом я как-то не подумал. 76 Тогда что ты стоишь? Бери катушку и конденсатор – и бегом в лабораторию! Будем проводить опыты. Начнем с катушки? Давай. А что, собственно, делать-то? Как что? Ты же у нас электротехнику изучаешь. Самое простое, что можно пока определить, – это есть ли у катушки активное сопротивление? Подключай к ней вольтметр и проверяй (рис. 2.16). Вот он – наш беглец! Аж 31 Ом! А главное, сидит и помалкивает. Рис. 2.16 Ну вот видишь, даже не заглядывая в саму катушку, мы опытным путем установили, что в ней-то находится, по крайней мере, один из участников побега – активное сопротивление Rк. То есть наш «черный ящик» немного посветлел? Да, но этого недостаточно. Будем проводить опыты дальше. У меня идея. Давай подключим катушку к источнику переменного тока (рис. 2.17). Так мы сможем определить, есть ли в ней емкость или индуктивность: Отличная мысль! Смотри, что получается! Действующие значения тока и напряжения в нашей цепи соответственно равны 0,29 А и 18 В. Следовательно, по закону Ома сопротивление Zк  Рис. 2.17 U 18   60 Ом. I 0,29 Оно же в два раза больше того, что показал нам омметр! 77 Значит, в черном ящике еще кто-то есть. И этот кто-то имеет значительное сопротивление. Сопротивление… сопротивление… Эврика! Я знаю, как однозначно определить, кому принадлежит это сопротивление! Смотри. У индуктивного элемента оно прямо пропорционально частоте ( X L  ωL ), а у емкостного – обратно пропорционально ( X C  1 / C ). Значит, если с помощью генератора мы будем менять частоту, то при неизменном напряжении показания амперметра при наличии индуктивного элемента будут уменьшаться, а при наличии емкостного – возрастать. Гениально! Неси генератор! Ура! Гипотеза верна! Ну, какие результаты? Показания амперметра уменьшаются! Значит, в катушке спрятался еще и индуктивный элемент Lк, помимо активного сопротивления. Рис. 2.18 Отлично. Теперь дело за малым: нам предстоит определить, как они соединены – последовательно (рис. 2.18а) или параллельно (рис. 2.18б)? И чтобы это сделать, не нужно проводить никаких опытов. Нужно воспользоваться дедуктивным методом! Верно. Допустим, элементы у нас включены параллельно. Тогда при ω  0 (постоянный ток) ХL = 0, а следовательно, будет нулевым и эквивалентное сопротивление Rэ  R кXL . Rк  XL А это противоречит нашему первому опыту, ведь омметр, показывающий сопротивление только на постоянном токе, дал ненулевое значение. Следовательно, наша катушка состоит из активного и индуктивного элементов, соединенных последовательно (см. рис. 2.18а). 78 Таким образом, у катушки два основных параметра – активное сопротивлении и индуктивность. Первый мы уже определили, а второй находится из известного соотношения Z к  R к2  (L к ) 2 . (2.26) Отсюда Lк  Z к2  R к2 .  (2.27) На практике можно использовать еще один метод определения параметров реальной катушки – метод трех вольтметров. Для него соберем схему (рис. 2.19). Здесь вольтметры V, Vк, V0 измеряют напряжения на зажимах – соответственно источника, катушки, эталонного сопротивления R0. Таким образом, нам известны четыре параметра цепи: U, Uк, U0 и R0. Чтобы определить параметры катушки, нам необходимо на основе этих данных построить векторную диаграмму. Для этого вначале выбираем систему координат и масштаб (например, U = 2 B соответствует 1 см). Затем, считая, что ось токов совпадает с осью абсцисс, откладываем на ней в выбранном масштабе вектор U0, потому что Рис. 2.19 мы точно знаем, что на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе. Напряжение на катушке Uк и напряжение на активном сопротивлении U0 в сумме дают общее напряжение U. Чтобы отразить это на нашей диаграмме, нужно из конца вектора U0 отложить вектор Uк под некоторым углом φк, равным сдвигу фаз между током и напряжением, а затем сложить векторы по правилу треугольника. Так мы получим вектор U. Но вся проблема в том, что мы не знаем угол φк. В этом случае воспользуемся методом засечек. Берем циркуль и из начала и конца вектора U0 проводим полуокружности (засечки), радиусы которых будут соответственно равны величинам напряжений U и Uк в выбранном масштабе. В итоге на пересечении этих полуокружностей мы получим некоторую точку. Соединяя ее с началом и концом вектора U0, восстанавливаем соответственно векторы U и Uк. А теперь вспомним свойства элементов реальной катушки. Легко! На активном сопротивлении катушки напряжение совпадает по фазе с током, а на индуктивном элементе опережает его на 90o. Отлично. Значит, на продолжении вектора U0 строим вектор URк, а перпендикулярно ему – вектор ULк, так чтобы в сумме по правилу треугольника они дали вектор Uк. Таким образом, получаем векторную диаграмму (рис. 2.20). 79 Рис. 2.20 Чтобы определить параметры катушки, воспользуемся старым добрым законом Ома и проведем цепочку вычислений по формулам: I U0 U U , R к  Rк , X к  Lк R0 I I и X к  L к  L к  Xк .  Ну что, рассмотрим теперь реальный конденсатор? Ну, с этим проще. Мы ведь уже знаем, что двое беглецов находятся в катушке. Следовательно, третий (емкостный элемент) выбрал для себя в качестве убежища конденсатор. Я с тобой, конечно, согласен, но не все такие догадливые, как ты. Поэтому, чтобы окончательно удостовериться в твоей гипотезе, давай все же подтвердим ее экспериментально. Рис. 2.21 Да не вопрос. Подключим для начала к конденсатору омметр (рис. 2.21). Он показывает бесконечно большое сопротивление. Следовательно, в черном ящике у нас действительно находится емкостный элемент, ведь его сопротивление на постоянном токе равно бесконечности. Теперь подключим конденсатор к источнику переменного напряжения. Рис. 2.22 По закону Ома определим сопротивление ZС. Оно уже имеет конечное значение. Так и должно быть. И, наконец, проверим, есть ли у конденсатора активное сопротивление. Для этого воспользуемся методом трех вольтметров и измерим напряжения U, U0 и UС. По ним строим векторную диаграмму, помня при этом, что вектор UС мы будем откладывать уже вниз, так как на емкости напряжение по фазе отстает от тока (рис. 2.23). Получаем, что угол φС на диаграмме, равный сдвигу фаз между током и напряжением, почти равен 90°. Это значит, что схема замещения реального конденсатора совпадает со схемой замещения идеального конденсатора, у которого активного сопротивления нет. Рис. 2.23 80 Гениально! Таким образом, у реального конденсатора всего один основной параметр – это его емкость. И чтобы ее найти, воспользуемся опять-таки законом Ома: I U0 U  XC  C R0 I XC  и 1 1 . C C X C Поздравляю, Холмс, второе наше дело раскрыто. Согласен, Ватсон, и вот тебе в награду парочка бонусов. Бонусы Соединение элементов Катушка Последовательное L12  L1  L 2 Параллельное L12  L1 L 2 L1  L 2 Конденсатор С12  С1 С 2 С1  С 2 С12  С1  С 2 Обрати внимание, что формулы для последовательного и параллельного соединения катушек и конденсаторов различны. На досуге попробуй вывести их самостоятельно. Сцена 3. Секретное послание Таска. Вновь на задание! Алло, агент Ватсон. Прием. Как слышно? Анс! Ты что ли? Ой, прости. Агент Ватсон на связи. Прием. Так-то лучше. А теперь слушай внимательно. Сегодня утром я получил письмо от агента Таска. Похоже, ему нужна наша помощь, так что через 20 мин жду тебя в штабе (т. е. у меня дома). 81 Все понял. Уже бегу. (Спустя 20 мин) Агент Холмс, агент Ватсон прибыл на задание. Пароль. Закон Ома – лучший друг! Без него ты как без рук. Пароль принят. Проходи. Письмо на столике. Письмо от Таска Дорогие друзья, Анс и Аск! Слухи о ваших блестящих успехах в области электротехники дошли и до меня. Что и говорить! Вы стали настоящими сыщиками, создали сильный и сплоченный коллектив и добились огромных успехов. Особенно меня поразило то, с каким профессионализмом и легкостью вам удалось раскрыть два громких дела об элементах в цепях переменного тока. Результаты, которые вы при этом получили, – бесценны. Поэтому со своей стороны я даю вам возможность провести еще одно небольшое расследование. Поскольку по натуре я больше практик, чем теоретик, то предлагаю вам, друзья мои, проявить изобретательность и найти способ теоретического расчета одной несложной цепи переменного тока. Ну а все необходимые для этого параметры (сопротивления, емкости и индуктивности) я экспериментально определю уже в своей лаборатории. Буду очень признателен за содействие и надеюсь, что вы не ударите в грязь лицом и достойно докажете право носить имя великих сыщиков! Удачи и новых открытий! Ваш друг и коллега Таск Ничего себе! Да мы теперь знаменитости! А где же моя красная ковровая дорожка и вспышки фотокамер? Остынь, Киркоров! «Знаменитость» еще надо заслужить. Вот решим задачу, тогда я лично цемента перед крыльцом налью, чтобы ты свои звездные руки там отпечатал. Ну, в таком случае, я готов. Ну-ка, где эта схема, о которой писал Таск? Вот она (рис. 2.24). 82 Рис. 2.24 Так, посмотрим. Если я не ошибаюсь, это схема замещения реальной электрической цепи с источником переменного напряжения. В общей сложности она содержит четыре элемента: катушку с индуктивностью Lк и активным сопротивлением Rк, конденсатор емкости С и два резистора с сопротивлениями R1 и R2. Совершенно верно. А поскольку мы выполняем расчет цепи переменного, а не постоянного тока, то для удобства все величины, с которыми мы будем работать, желательно представить в комплексной форме. То есть каждому реальному элементу схемы нужно поставить в соответствие его комплексный эквивалент. Более простого способа я не вижу. Гениально! Метод, который ты предложил, действительно является базовым и называется символическим методом расчета линейных электрических цепей переменного синусоидального тока. Воспользовавшись этим методом, преобразуем нашу схему (рис. 2.25) Погоди, Анс. Сейчас я сам догадаюсь. Z1 , Z 2 , Z 3 – это, получается, и есть те самые комплексные эквиваленты, которыми ты заменил каждую ветвь исходной цепи? Да. И теперь попробуй определить, что каждый из них собой представляет. Рис. 2.25 83 Это просто. Возьмем, например, ветвь Z1. В исходной схеме в ней последовательно включены идеальные индуктивный и активный элементы. Таким образом, Z1 будет представлять собой сумму их сопротивлений (в комплексной форме, конечно): Z1  R к  jL к . В ветви Z2 также последовательное соединение. Но вместо идеального индуктивного стоит идеальный емкостной элемент, поэтому Z2  R1  1 1 .  R1  j jC C С ветвью Z3 проще. В ней только активный элемент. Поэтому Z 3  R 2 . Вот, вроде, и все. Нет, не все. Источник напряжения тоже нуждается в комплексном эквиваленте. Зачем же его обижать? Да, нехорошо получилось. Ну, ничего. Ему мы тоже комплекс придумаем: E  E 0 e j0 . Вот теперь все. И если не смотреть на специфическое обозначение, можно сказать, что на рис. 2.25 изображена самая обыкновенная цепь постоянного тока. Да я ж ее влегкую рассчитаю. А я и не сомневаюсь. В путь! Смотри, Анс. Я про цемент не забыл. Да не вопрос. Решишь задачу, я тебе не только руки – всего могу цементом залить и на красную дорожку поставить. Так сказать, прижизненный памятник великому электротехнику. Смейся, смейся. Я тоже шутить умею. Только не до этого мне сейчас. Не видишь, задачу решаю! Все. Замолкаю. Не буду вас отвлекать. Так вот. В данной задаче требуется рассчитать цепь. Это значит, что мы должны определить в ней все неизвестные токи и напряжения. 84 Ток I , протекающий по ветви Z1, можно сразу же найти из закона Ома: I E , Z экв Z 2 Z3 . Z 2  Z3 Для нахождения двух других токов I1 и I 2 вначале нужно по II правилу Кирхгофа определить напряжение: U12  E  I Z1 . где Z экв  Z1  После этого, вновь применив закон Ома, находим уже и искомые токи: I1  U12 U , I 2  12 . Z2 Z3 Все правильно. Только нельзя забывать, что по данной методике мы рассчитали значения токов не для реальной цепи, а для ее комплексной схемы замещения. Поэтому на заключительном этапе нужно обязательно перейти от комплексных значений токов к их мгновенным значениям. А чтобы это сделать, нужно найти модуль и аргумент каждого комплексного числа. При этом модуль даст нам амплитуду мгновенного значения тока. А аргумент – его начальную фазу. Что ж, думаю, дружище Таск будет доволен нашей работой, ведь ему для расчета цепи останется лишь определить на лабораторном стенде необходимые параметры (емкость, индуктивность, сопротивление), а дальше дело техники: подставляй все в готовые формулы, которые мы только что вывели, – и находи себе искомые токи и напряжения. Так-то оно так. Только ты, боюсь, плохо знаешь старину Таска. Он ведь не удержится и экспериментально захочет проверить значения всех найденных величин. Ну и что? Нам-то чего бояться? Расчет же верный. Да, только все приборы в лаборатории показывают лишь действующие значения токов и напряжений, которые абсолютно не имеют начальной фазы. В расчетах же фазы даны. Как их тогда проверить? Да, неувязочка вышла… Слушай, а ведь на одном из занятий ты говорил, что мгновенное значение тока или напряжения можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости, причем модуль этого вектора будет равен амплитуде тока или напряжения, а начальный угол поворота – соответственно его начальной фазе. То есть ты хочешь посоветовать Таску построить по его экспериментальным данным векторную диаграмму и из нее определить нужные фазы? 85 Не совсем. Для доказательства правильности решения нам достаточно определить лишь сдвиг фаз между общим током и общим напряжением. Эти векторы легко построить, если просуммировать графически токи и напряжения всех ветвей цепи, ведь мы знаем, из каких элементов состоит каждая из них, а следовательно, вспомнив свойства этих элементов, сможем определить, как на каждом сдвинуты ток и напряжение. А экспериментальные данные нужны лишь для того, чтобы в выбранном масштабе отложить на диаграмме длину (или модуль) соответствующего вектора. Дружище, я не перестаю удивляться твоей гениальности! Иногда мне просто кажется, что это ты меня обучаешь электротехнике, а не я тебя. Да ладно. Хоть меня и посещают иногда умные мысли, но только ты помогаешь направить их в нужное русло. Вот и сейчас: метод решения я предложил, а с чего начать, не знаю. А вот с этим мы сейчас и разберемся. Для начала, я думаю, надо начертить оси координат комплексной плоскости и выбрать масштаб, в котором мы будем откладывать векторы тока и напряжения. После этого, собственно говоря, можно уже строить и векторную диаграмму. Пожалуй, начать нужно с самой дальней от источника питания ветви 3. Основным элементом в ней является активное сопротивление R2, по которому течет ток I2. Полагая для простоты, что его начальная фаза равна нулю, откладываем в выбранном масштабе вектор тока совпадающим с вещественной осью. А теперь вспоминаем главное свойство активного сопротивления в цепи переменного тока. А, я знаю. На нем ток и напряжение совпадают по фазе. Верно, поэтому по той же вещественной оси отложим и вектор напряжения. Очевидно, его модуль будет равен U12. А сейчас, уважаемый коллега, внимание! Напряжение U12 принадлежит и ветви 2, но там оно делится на две составляющие: напряжение на конденсаторе UС и напряжение на активном сопротивлении UR1, поскольку эти элементы соединены последовательно. При этом ток I1, протекающий по ветви 2, один и тот же. Чтобы построить оба вектора напряжения, воспользуемся методом засечек. Для этого из начала и конца вектора U12 откладываем циркулем отрезки (засечки), длины которых равны соответственно величинам UС и UR1. В итоге у нас должен получиться прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является вектор U12. Вектор тока I1 строим основываясь опять-таки на логическом рассуждении и знании свойств идеальных элементов. Если я не ошибаюсь, ток I1 должен опережать на 90o напряжение UС на конденсаторе и совпадать по фазе с напряжением UR1 на активном сопротивлении. 86 Верно, поэтому его мы строим из начала координат параллельно UR1 и перпендикулярно UС. Общий ток можно найти по I правилу Кирхгофа: I  I1  I 2 . Для этого графически по правилу параллелограмма складываем векторы I1 и I2. Общее напряжение также находится суммированием: U  U12  U к , где Uк – напряжение на катушке индуктивности. На схеме замещения Uк делится надвое: напряжение на индуктивности ULк и напряжение на активном сопротивлении URк. Экспериментально эти величины измерить нельзя, но теоретически рассчитать можно: U Lк  IjL , U Rк  IR к . Графически векторы ULк и URк строятся по стандартной методике. Ну, в этом я специалист. Вектор URк на диаграмме откладываем по направлению тока I, поскольку на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе. Вектор ULк по свойству индуктивности должен опережать ток I на 90°. Теперь, складывая оба вектора по правилу параллелограмма, получим искомый вектор Uк. Вектор общего напряжения U найдем, суммируя Uк и U12. Его длина должна соответствовать величине напряжения, которое поступает в цепь от источника питания. В результате всех построений мы получим векторную диаграмму (рис. 2.26). По ней уже совсем несложно определить искомый сдвиг фаз между током и напряжением, а также сделать вывод о характере нагрузки Рис. 2.26 в цепи. В нашем случае напряжение опережает ток на некоторый угол φ. Следовательно, нагрузка носит активно-индуктивный характер. А если отстает, то активно-емкостный? Да. А если активное и емкостное сопротивление равны по величине, то характер нагрузки – чисто активный. Понятно. Значит, если меняются параметры цепи, то меняется и положение векторов на диаграмме? Совершенно верно, и чтобы визуально это как-то зафиксировать, строят так называемый годограф цепи. 87 Что-то знакомое. Кажется, мы на автоматике такое проходили. Ну, тогда я напомню, что годограф – это линия, которую описывает конец вектора на комплексной плоскости при изменении какого-либо параметра схемы. Для примера рассмотрим простейшую цепь (рис. 2.27). Покажем с помощью годографа, как в ней будут меняться ток и напряжение при изменении емкости конденсатора от 0 до ∞. Построение годографа: на комплексной плоскости выбираем оси координат и по действительной оси откладываем базовый вектор, относительно которого будем вести отсчет. Если мы строим годограф тока, то за базовый мы должны принять вектор напряжения, а если годограф напряжения, то базовым будет вектор тока. Для начала построим более простой – годограф наРис. 2.27 пряжения, поэтому по вещественной оси в качестве базового отложим вектор тока I. Допустим, что С = 0. В этом случае сопротивление конденсатора XC  1 . C Но в такой цепи ток течь не будет! Конечно, поэтому все напряжение будет приложено к обкладкам конденсатора. А поскольку ток на конденсаторе опережает напряжение на 90о, то вектор напряжения будет направлен вдоль мнимой оси вниз и его конец обозначит первую граничную точку годографа. Рассмотрим случай, когда С   . Здесь уже ХС = 0. Значит, все напряжение будет сосредоточено на активном сопротивлении и, следовательно, по фазе будет совпадать с током. Получим вторую граничную точку годографа. Наконец, рассмотрим промежуточный случай, когда R = XС. Очевидно, что при таком соотношении общее напряжение будет в равных долях приложено и к активному сопротивлению, и к конденсатору, т. е. UR = UС. А поскольку длина результирующего вектора будет такой же, как и в двух предыдущих случаях, то третья искомая точка будет, очевидно, лежать на окружности. Таким образом, линия конца вектора напряжения источника при изменении емкости от 0 до  будет описывать четверть окружности. Ее мы и будем называть годографом напряжения (рис. 2.28). Рассуждая аналогично, попробуй теперь построить годограф тока. Рис. 2.28 88 Не вопрос. Насколько я понял, по вещественной оси в качестве базового мы будем теперь откладывать вектор напряжения. В предыдущем примере мы выяснили, что X C   , I  0 при С  0 . Значит, годограф тока будет у нас «начинаться в начале» координат. X C  0 при С   . Следовательно, ток в этом случае максимален и Imax = U/R. Во всех остальных случаях он будет лишь изменяться от 0 до max. Таким образом, годограф тока – это тоже четверть Рис. 2.29 окружности (рис. 2.29). Отлично. Думаю, Таск останется доволен нашей работой. (На следующий день) О, Таск, привет! Ну что, мы выполнили твою просьбу! Наслышан, наслышан! Огромное вам спасибо! Все расчеты теории великолепно сошлись с практикой. Склоняю перед вами голову, о великие сыщики! Ой, да ладно тебе! Дай-ка мне лучше еще чего-нибудь порешать. Конечно! Давай проверим, хорошо ли ты усвоил символический метод расчета цепей переменного тока. Определи-ка мне для схемы (рис. 2.30) амплитуду и фазу тока I теоретически, а затем проверь правильность расчетов на стенде. Исходные данные: E = 36 В (фаза А); R = 75 Ом; C = 100 мкФ; Lк = 0,12 Гн; Rк = 31 Ом. Ну что ж, приступим. Для начала заменим все сопротивления ветвей их комплексными эквивалентами: ZR  R ; Zк  R к  jω Lк; ZС  Рис. 2.30 1 . jC Теперь мы можем работать с нашей цепью как с обычной на постоянном токе. Найдем искомый ток из закона Ома: I E , Z 89 Zк  ZС . Zк  ZС Отсюда I  0,3  0,1064j А. где Z  Z R  Здесь ω = 314 рад/с, или, что то же самое, 50 Гц – промышленная частота в сети на стенде. Так, интересно... И что дальше с этим страшным током делать? Вовсе этот ток не страшный! Он всего лишь записан в комплексной форме. Умный какой! Для меня он страшный, потому что в моей лаборатории таких уродцев не водится. Амперметр все красиво показывает, без всяких там j. Не волнуйся, Таск! Твой амперметр показывает лишь амплитуды мгновенных значений токов, а в комплексной форме содержатся еще и фазы. И как их определить? Очень просто: амплитуда – это модуль комплексного числа, а фаза – его аргумент. Вот, смотри: I m  I  318,3 мА и   arg I  180  20 о . π Хорошо, амплитуду я на стенде проверю, а как быть с фазой? А фазу экспериментально мы можем найти, если построим для данной цепи векторную диаграмму. Для этого измерим на стенде необходимые значения токов и напряжений: I = 348,2 мА; IC = 493,8 мА; Iк = 317,9 мА; UC = 15,51 В; UR = 26,12 В. Ну а теперь легким движением мышки получаем в AutoCAD: Рис. 2.31 Спешу пояснить, что здесь сдвиг фаз между током и напряжением на катушке я нашел по формуле  ωL к  Rк  к  atan  90  180   51о .  π Из диаграммы видно, что искомая фаза, или сдвиг фаз, у нас равен 19°. Неплохо, эксперимент и теория почти совпадают! Молодец, Аск! Ты отлично справился с заданием! Торжественно присваиваю тебе звание старшего электротехника! Служу ТОЭ! Сцена 4. Чудеса и тайны резонанса Здорово, Аск! Чего-то вид у тебя кислый. Опять, что ли, на день рождения к кому-то ходил? Если бы! Представь, залез я вчера на чердак. Ну, спицы там к велосипеду найти, запчасти разные. В общем, роюсь во всяком барахле и вдруг… вот удача! Старый радиоприемник! Принес я, значит, его к себе в комнату, включил. Не работает. Ну думаю, дело нехитрое. Сейчас починю. Взял я отвертку, разобрал его и сижу с умным видом. И тут до меня доходит, что я совершенно не знаю, как он работает. А ведь устройство-то вроде несложное: катушка, конденсатор да еще пара деталек. Веришь – нет, всю ночь я ковырялся в этой штуковине, а все без толку. Да. Вопрос, конечно, интересный. Ну, ничего. Если хочешь научиться чинить приемники, будем разбираться. Устройство это, как ты сказал, действительно не сложное. Самая главная его часть – это катушка и конденсатор. Они образуют так называемый колебательный контур. В нем, подобно маятнику часов или шарику, на пружинке происходят колебания электрического заряда, тока и напряжения. Характерно, что быстрота этих колебаний, или частота, является фиксированной и строго определенной для каждого колебательного контура. Все сигналы, которые ловит антенна радиоприемника, тоже имеют свою частоту колебаний. Но если эта частота не совпадает с собственной частотой колебательного контура, то приемник просто «не услышит» данный сигнал, потому что колебания источника и приемника, накладываясь, лишь ослабляют друг друга. Поэтому, чтобы из динамиков вместо шума звучал голос любимой радиостанции, мы крутим ручку настройки нашего приемника и тем самым изменяем параметры катушки или конденсатора, а следовательно, и частоту колебаний заряда в контуре. И лишь когда собственная частота колебательного контура совпадет с частотой волны, прибежавшей к нам, например из Америки, приемник заговорит на языке этой радиостанции. При этом колебания источника и приемника будут совпадать по фазе – и после их наложения мы получим усиленный сигнал. Это явление называют резонансом. 91 Круто! Значит, резонанс – это резкое увеличение амплитуды колебаний, когда внешняя частота совпадает с собственной частотой колебаний контура. И на свойстве этого явления основан принцип действия радиоприемника? Да, и не только радиоприемника, но и телевизора, и многих других устройств. Поэтому резонанс в радиотехнике – очень нужная и полезная вещь. Так что давай рассмотрим его поподробнее. И начнем, я думаю, с того, что резонансы бывают разными. Проще говоря, их столько, сколько изменяемых параметров в нашем входном сигнале. Например, у знакомого нам синусоидального сигнала изменяться могут три параметра: амплитуда, фаза и частота. Значит, резонансов в этом случае тоже может быть три: амплитудный, фазовый и частотный. Из них самый интересный и самый распространенный – фазовый резонанс. Поэтому все дальнейшие рассуждения будем проводить только для него. Как ты уже, наверное, догадался, для возникновения фазового резонанса сдвиг фаз между током и напряжением должен быть равен нулю. Давай посмотрим, что при этом происходит Рис. 2.32 в колебательном контуре (рис. 2.32). Насколько я помню, нулевой сдвиг фаз между током и напряжением достигается лишь в том случае, если сопротивление цепи носит чисто активный характер. Правильно. Теперь остается только выяснить условие, когда такое явление возможно в нашем колебательном контуре. Это я мигом. Смотри. Общее сопротивление такой цепи Z1  R  jL  j 1 1 ).  R  j(L  C C Следовательно, для возникновения резонанса нужно, чтобы L  1  0. C Ну, и на какой частоте это происходит? Элементарно. На частоте 1 . LC 0  Верно. Она так и называется – резонансная частота. 92 (2.28) А чтобы показать, как ведут себя ток и напряжение на этой частоте и в ее окрестностях, нужно построить так называемые резонансные кривые. Резонансная кривая – это зависимость тока и напряжения от изменения частоты. И найти эту зависимость, например, для тока мы можем… …из закона Ома! I U  Z U R 2  ( L  . (2.29) 1 2 ) C Да, в этом уравнении только частота ω является переменной, так как U, R, L = const (U – так как источник идеальный; R, L – параметры схемы, мы их не изменяем). Далее рассуждаем следующим образом. Пусть у нас   0 . Что при этом происходит в цепи? А, я помню. В этом случае X L  L  0 , а X C  1 / C   . Значит, в цепи у нас возникает разрыв – и ток по ней течь не будет. Верно, и наша резонансная кривая для тока будет начинаться в точке I = 0. Теперь будем мысленно увеличивать частоту от 0 до ω0. Тогда сопротивление XL будет расти, а XС – убывать. Следовательно, разность между ними будет уменьшаться, а значит, будет уменьшаться и весь знаменатель уравнения (2.29), так как R = const. А поскольку числитель U остается тоже неизменным, то вся дробь будет возрастать. Следовательно, ток на данном участке тоже возрастает. Согласен. На резонансной же частоте в знаменателе останется только R, и ток достигнет своего максимального значения. А при дальнейшем увеличении частоты знаменатель уравнения (2.29) будет увеличиваться. Значит, ток после прохождения резонансной частоты будет уменьшаться и асимптотически приближаться к нулю на бесконечности. В результате резонансная кривая для тока будет представлять собой своеобразный холмик с вершиной в точке ω = ω0 (рис. 2.33). Теперь давай посмотрим, как выглядят резонансные кривые для напряжеРис. 2.33 ния на конденсаторе и индуктивности. Воспользуемся законом Ома: 93 U C  IX C  I 1 , U L  IX L  IL . C (2.30) При нулевой частоте напряжение на индуктивности равно нулю, поэтому все напряжение в цепи будет приложено к конденсатору. Верно. Значит, наша резонансная кривая будет начинаться из точки U = U0. Давай проанализируем, что у нас будет происходить при увеличении частоты. Здесь все зависит от скорости возрастания и убывания тока и сопротивления. Сопротивление XС при увеличении частоты уменьшается (рис. 2.34). При этом ток в цепи, как мы выяснили ранее, будет возрастать. В результате напряжение на конденсаторе будет вначале увеличиваться, а потом, достигнув максимума, – уменьшаться. И этот максимум, что принципиально, наступает на частоте меньшей, чем резонансная. А после того как частота будет больше, чем резонансная, напряжение на конденсаторе начнет уменьшаться еще быстрее, приближаясь к нулю на бесконечности, так как при этом будут уменьшаться и ток, и сопротивление (рис. 2.35) Все это можно доказать чисто математически с помощью производных первого и второго порядка. Рис. 2.34 Рис. 2.35 Удивительно, как эта резонансная кривая похожа на ледяную горку зимой у нас во дворе. И принцип действия тот же. Сначала ты медленно-медленно поднимаешься на нее, а потом быстро-быстро съезжаешь вниз. Ну что ж, посмотрим теперь, на что будет похожа резонансная кривая для напряжения на индуктивности. Мы только что выяснили, что при нулевой частоте все напряжение будет приложено к конденсатору. Следовательно, на индуктивности оно равно нулю. Поэтому резонансная кривая будет «начинаться в начале» координат. Далее, на участке до резонансной частоты напряжение на индуктивности будет быстро возрастать, так как одновременно возрастают ток и сопротивление (рис. 2.36). 94 Рис. 2.36 После резонансной частоты ток начинает убывать, а сопротивление продолжает расти. В результате мы будем наблюдать максимум функции, как и в случае с конденсатором, но он уже наступит на частоте большей, чем резонансная. Так, а на бесконечности куда будет стремиться напряжение на индуктивности? Очевидно, что к U0, ведь при этом должно выполняться II правило Кирхгофа: U0  UL  UC . Молодец. Взгляни (рис. 2.37), на что стала похожа полученная резонансная кривая? Я думаю, это зеркальное отражение нашей первой «горки». Согласен. А сейчас давай совместим все построенные нами кривые на одном графике (рис. 2.38) и немного пофантазируем. Рис. 2.37 Рис. 2.38 Подумай, что будет, если мы будем изменять сопротивление? Похоже, что наши «горки» будут при уменьшении сопротивления – более крутыми, а при увеличении сопротивления – более пологими. Значит, в обоих случаях форма резонансных кривых будет изменяться. Отлично. Вот сейчас мы и постараемся вывести формулу, которая будет однозначно показывать, как именно и при каком условии у нас будет изменяться форма резонансной кривой, к примеру, для тока. Но для этого прежде введем несколько новых понятий. 95 Помнишь, мы говорили, что для возникновения резонанса нужно, чтобы XL = XC, или 0 L  1 / 0 С . Подставив 0 из (2.28) в это соотношение, получим: 1 L LC ω0 L  L. C Обозначим последнее выражение как L . C ρ (2.31) Величину (2.31) мы будем называть характеристическим сопротивлением контура. То есть характеристическое сопротивление – это сопротивление контура на резонансной частоте? Да. А еще при резонансе UL = UC, где U L  I0 L и U C  I 1 . 0 C С учетом этого можно ввести еще одну величину Q UL UC  . U0 U0 (2.32) Это добротность контура. Она равна отношению напряжения на индуктивности или конденсаторе в момент резонанса к общему напряжению в цепи. Наконец, мы знаем, что при резонансе U 0  U R  IR . Следовательно, формулу для добротности контура можно записать иначе: Q UC  I 1    . U 0 0 CIR 0 RC R (2.33) Обратимся снова к закону Ома: I U0 . 1 2 ) C Сделав замену *   / 0 , преобразуем знаменатель в этой формуле R 2  ( L  R 2  (L  1 2 1 )  R 1  Q 2 (*  * ) 2 , C  отсюда I I рез 1  Q 2 (*  где I рез  U0 . R , (2.34) 1 2 ) * Следовательно, форма резонансной кривой тока зависит только от величины добротности контура (рис. 2.39). Если добротность маленькая, то кривая не будет иметь точек перегиба. Но если добротность больше единицы, точка перегиба уже появляется и кривая становится похожа на колокол. И чем добротность больше, тем этот колокол уже. 96 Рис. 2.39 Анс, а что означают частоты *н и *в на твоем рисунке? Это нижняя и верхняя границы так называемой полосы пропускания контура: *  *в  *н  в н 1   . 0 0 Q (2.35) Полоса пропускания – это искусственно выбранная полоса частот, для которой ток в контуре не меньше I рез / 2 . Эта величина была выбрана не случайно. Она введена на основе энергетических соотношений. И что же нам дает эта полоса пропускания? По ее значению легко сказать, какой перед нами контур – высокодобротный или низкодобротный. Высокая добротность контура – это залог того, что мы сможем слушать множество радиостанций на маленьком диапазоне частот. Вообще, диапазон частот, на котором могут работать радиостанции, ограничен. Иными словами, существует какая-то полоса частот, на которой приемники могут работать чисто физически, и этот диапазон не зависит от человека, он зависит от природы. По тому же принципу устроен наш глаз: природа выделила нам определенный диапазон восприятия волновых частот, за который чисто физически выйти невозможно. Таким образом, добротность и полоса пропускания являются очень важными характеристиками любого колебательного контура. Попробуй вспомнить и обобщить все, о чем мы сегодня говорили, и назови мне три основных способа экспериментального определения добротности контура. Ну, первый – самый простой: нужно всего лишь знать основные параметры цепи (R, L и С). Отсюда L/C Q  . R R Еще добротность можно определить как отношение напряжения на конденсаторе на резонансной частоте к общему напряжению цепи. 97 Хорошо. А как определить саму резонансную частоту? Для этого нужно получить на осциллографе резонансную кривую и определить, на какой частоте она имеет максимум. Интересно, а в какой участок контура ты будешь подключать этот осциллограф? Вообще-то осциллограф нужно подключать к сопротивлению… Верно. Оно есть у катушки, но физически от нее неотделимо. Значит… Значит, в контур нужно ввести другое сопротивление. Точно! Я понял! В контур нужно ввести эталонное сопротивление в 1 Ом, и если мы подключим к нему осциллограф, то сможем определить по нему амплитуду напряжения, а по закону Ома I = U/R = U/1 = U. Следовательно, найденная амплитуда будет справедлива и для тока. Поэтому нам остается только с помощью генератора постепенно изменять частоту и смотреть, на какой частоте ток будет максимален, после чего мы переносим осциллограф на конденсатор и определяем UС на этой частоте. Гениально! Ну а третий способ? А третий способ связан с определением полосы пропускания контура: на резонансной частоте мы должны сначала определить амплитуду тока, а потом разделить ее на 2 . Таким образом, у нас будет значение, которое принимает ток на нижней и верхней границах полосы пропускания. А далее находим уже и величину добротности контура, применяя известную формулу Q 1 . * Ну что тебе сказать? Молодец! Думаю, задачу можно усложнить. До сих пор мы рассматривали последовательный резонансный контур. А что будет, если катушку и конденсатор мы соединим параллельно (рис. 2.40). Условие для резонанса здесь точно такое же (сдвиг фаз между током и напряжением должен быть равен нулю), поэтому действуем аналогично: Рис. 2.40 Z1  R 1  j 1 , Z 2  R 2  jL , C 98 R2 R 22 L2  L 2 j ( R L )      1 2 2 2 Z1 Z 2 C C  C C   . Z экв   1 2 Z1  Z 2 2 ( R 1  R 2 )  ( L  ) C Приравняв мнимую часть к нулю, получим R 12 R 2  R 1R 22   2 L2 R 12  0I   2  R 22 . 1 2 2 LC   R 1 (2.36) Так выглядит выражение для резонансной частоты в параллельном контуре. Да, сложная получилась формула. Особенно, если посмотреть на этот страшный корень. Из-за него резонансная кривая становится очень чувствительной к изменению параметров схемы. Возьмем, к примеру, случай, когда   R 1 , R 2 . Резонансная частота при этом будет определяться по точно такой же формуле, как и для последовательного контура: 0I  1 . LC Это идеальный случай, когда резонансный контур ведет себя совершенно одинаково как при последовательном, так и при параллельном соединении. Если же   R 1 , R 2 , но R 1  R 2 , то подкоренное выражение больше нуля и мы получаем две частоты  oI и  oI . Но так как отрицательной частоты не бывает, то проявляет себя только положительная. Если R 2    R 1 или R 1    R 2 , то подкоренное выражение будет отрицательно I и o  joI , т. е. резонансная частота чисто мнимая. Следовательно, резонанса у нас вообще не будет! Наконец, если   R 1  R 2 , то резонанс наступает при любой частоте. Вот такие чудеса. Ну, а теперь давай посмотрим, как будет выглядеть резонансная кривая для тока при параллельном соединении. Для начала разберем более наглядную схему (рис. 2.41). Ход решения будем строить так же, как это делали для последовательного контура, но с одним усРис. 2.41 ловием: в законе Ома на месте сопсопротивлений запишем проводимости ветвей, т. е. величины обратные сопротивлениям. Этот прием справедлив для параллельного контура и позволяет значительно упростить общую формулу 1 (2.37) I  U G2  (  C) 2 . L Начинаем рассуждать. 99 Пусть частота   0 . В этом случае в той ветви, где находится конденсатор, будет разрыв, а там, где включена индуктивность, – короткое замыкание. Как ты думаешь, куда при этом потечет ток? Очевидно, что через индуктивность, поскольку ее сопротивление на данной частоте самое маленькое (оно равно нулю), а ток всегда предпочитает течь там, где ему ничего не мешает. Верно. А численно чему ток будет равен? Бесконечности. Это видно из уравнения IL  U . L (2.38) Отлично. Давай представим, что частота у нас стала возрастать. Сопротивление XL при этом будет увеличиваться, а XC – уменьшаться. Следовательно, будет уменьшаться и разность проводимостей в формуле (2.37), а поскольку U, G = 1/R = const, то одновременно будет убывать и ток I. На резонансной частоте, когда XL = XC, он достигнет минимального значения I min  UG и при дальнейшем увеличении частоты начнет возрастать. На бесконечности разрыв цепи будет уже в ветви с индуктивностью, а короткое замыкание перейдет на ветвь с конденсатором. Следовательно, весь ток потечет через конденсатор и численно также будет стремиться к бесконечности. Это видно из уравнения I С  UС . (2.39) Таким образом, резонансная кривая для тока будет иметь две асимптоты IL и IC и минимум на резонансной частоте (рис. 2.42). Подожди, Анс. А где же, собственно, сам резонанс? Где резкое увеличение амплитуды колебаний? Все нормально. При резонансе общий ток равен току через активное сопротивление, но его индуктивная и емкостная составляющие при этом могут быть гораздо Рис. 2.42 больше. Просто при резонансе они компенсируют друг друга. Но если емкость конденсатора и индуктивность катушки подобрать таким образом, чтобы они во много раз были меньше величины активного сопротивления, то ток через них будет во много раз больше, чем общий ток I. Вот это как раз и есть проявление резонанса. Вот оно что! 100 Так-то. Я же говорил, что мир резонансов весь полон тайн и загадок. Ну а напоследок попробуй быстро определить, как будет выглядеть резонансная кривая для схемы на рис. 2.40. Элементарно! При частоте   0 в той ветви, где находится конденсатор, будет разрыв. В соседней ветви у нас находится активное сопротивление R2 и индуктивность. При нулевой частоте сопротивление у индуктивности равно нулю. Следовательно, общий ток в цепи будет полностью определяться током через активное сопротивление. Значит, наша резонансная кривая будет начинаться в точке I = IR2. Вблизи резонанса ее вид аналогичен кривой на рис. 2.42. На частоте    разрыв цепи появится уже в ветви с индуктивностью. В результате ток потечет только через ветвь 1, а конкретнее через сопротивление R1. Значит, резонансная кривая будет асимптотически стремиться к значению I = IR1. Рис. 2.43 Ее вид представлен на рис. 2.43. Все верно. И я не сомневаюсь, что ты с такой же легкостью сможешь построить резонансную кривую и для более сложного контура. Запросто! Теперь я профессионал в этом деле. А тот приемник, что я нашел на чердаке, для меня сейчас не более чем детская игрушка. Раз так, тогда давай поиграем во взрослые игры. Представь, что в будущем ты стал начальником транспортного отдела и под твоим руководством находится огромный цех со станками, на которых рабочие ремонтируют машины. Эти устройства относятся к классу трехфазных асинхронных двигателей, и каждый месяц они потребляют какую-то электрическую энергию, за которую надо платить, и твоя задача заключается в том, чтобы уменьшить расход этой энергии. Разницу ты сможешь положить себе в карман. И мне надо решить, как это сделать? Совершенно верно. Хорошо. Тогда для начала расскажи мне, что из себя представляет электродвигатель (ЭД)? 101 ЭД, если не вдаваться в детали, в основном состоит из разных обмоток, а обмотка с точки зрения схемы замещения представляет собой обычную катушку индуктивности (рис. 2.44). То есть все двигатели, которые работают в цехе, – это просто набор катушек? Рис. 2.44 Да. И на вход каждой из них от источника подается определенное напряжение, а поскольку активное сопротивление R катушки постоянное, то и ток, протекающий в цепи, тоже имеет строго определенное значение. Таким образом, каждый двигатель потребляет какую-то мощность S = UI (она называется полной). Именно за нее тебе и приходится платить. То есть чтобы получить экономию, мы эту мощность должны уменьшить. Конечно. Вопрос в том, как это сделать? Так, посмотрим. Напряжение у нас изменить нельзя. Значит, нужно уменьшить потребляемый ток. Но уменьшить таким образом, чтобы ток, идущий от источника, при этом не изменился, поскольку, как мы только что выяснили, этот ток имеет фиксированное значение. Слушай, Анс! А что если из схемы на рис. 2.44 сделать параллельный колебательный контур? Когда в нем возникнет резонанс, ток будет минимален! Замечательно! И что для этого надо сделать? Да ничего особенного. Нужно просто параллельно нашему двигателю подключить батарею конденсаторов и подобрать их емкость таким образом, чтобы в цепи наступил резонанс токов (рис. 2.45). Прекрасно. Теперь потребляемый ток у нас уменьшится, мощность тоже уменьшится… Но полная-то мощность всегда неизменна! Неувязочка вышла. Рис. 2.45 102 Да, об этом я как-то не подумал… А здесь и думать-то не о чем. Та мощность, которая у нас уменьшилась, полной не равна. Это другая мощность. Она в цепи преобразуется в механическую, а затем и в тепловую энергию и поэтому называется активной. Для ее определения используют формулу (2.40) P  UIcos  , где φ – сдвиг фаз между током и напряжением. Тогда что такое cosφ? сosφ – это коэффициент мощности. Он показывает, во сколько раз потребляемая мощность меньше полной: P (2.41) cos  . S Когда мы поставили конденсатор, у нас появилась возможность менять величину сдвига фаз, а следовательно, изменять и величину потребляемой мощности. Коэффициент мощности – это очень важная характеристика любого ЭД, поэтому его значение, так же как и значение полной мощности, всегда указывают в паспортных данных. А что, разве у двигателя есть паспорт? А как же! Любому устройству всегда выдается паспорт, в котором указываются все его основные характеристики. Более подробно ты узнаешь об этом на 3-м курсе, а сейчас давай вернемся все же к нашему разговору о мощности. А я думал, что мы уже все выяснили. Все да не все. Для нашей цепи мы нашли только ту мощность, которая расходуется на совершение полезной работы и отвечает за преобразование электрической энергии в механическую энергию и тепло, и совсем забыли про мощность, которая должна отвечать за взаимное преобразование электрического и магнитного полей, которое также имеет место в любой цепи переменного тока. Эту новую мощность мы будем называть реактивной: Q  UIsin  . (2.42) Между всеми тремя мощностями существует взаимосвязь. Я прав? Конечно. И эту взаимосвязь можно представить графически в виде треугольника мощностей (рис. 2.46). 103 Рис. 2.46 А еще можно ввести комплексную мощность, которой на самом деле не существует, но при этом она математически связывает все три вида мощности: S  U I*  Ue jψ u Ie jψ i  UIe j  UIcos  jUIsin  P  jQ . (2.43) Значит, активная мощность – это вещественная часть комплексной мощности, а реактивная – ее мнимая часть? Да. И еще. Чуть не забыл. Ты в курсе, что у каждой из трех мощностей свои единицы измерения? Как это? А вот так. У активной мощности единицы измерения Вт, у реактивной вар, а у полной В  А . Ух ты. А я и не знал. Хорошо, а как мне экспериментально определить каждую из этих мощностей? Вопрос, конечно, интересный. Активную мощность в цепи можно измерить с помощью прибора, который называется ваттметр (рис. 2.47). В его конструкции две обмотки – обмотка тока и обмотка напряжения. Одна из них Рис. 2.47 подключается в цепь последовательно, другая – параллельно. Начало каждой обозначается *. Реактивную мощность можно измерить варметром. По конструкции он напоминает ваттметр и отличается от него только величиной коэффициента мощности. Ну а чтобы определить полную мощность, нужно измерить в цепи общий ток I и напряжение U, а затем их перемножить. Сцена 5. Ток из ниоткуда Какие люди! Анс, ты-то мне как раз и нужен. Очень интересно. Ты опять нашел на чердаке какое-нибудь суперустройство? Дай угадаю: неужели это старый патефон твоей прабабушки? Дашь послушать? 104 Шутим, значит. А у меня к тебе дело. А, вот оно как. Ну, давай, рассказывай. Короче, зашел я вчера к Таску в гости. Ну, чаек там попили, побеседовали о том, о сем. И тут вдруг он мне и говорит: «А хочешь, я тебе фокус покажу?» А я ему: «Давай». В общем, минут через пять прибегает он с коробкой. А в коробке две катушки и амперметр. Берет он одну катушку и подключает ее к источнику переменного напряжения, другую кладет рядом и присоединяет к ней амперметр. И что ты думаешь? Каким-то образом в той катушке, которая была подключена только к амперметру, потек ток! Я сам видел, как стрелка прибора отклонилась! Веришь – нет, после такого я чуть со стула не упал: первый раз вижу, чтобы ток вот так вот возник прямо из ниоткуда. Просто полтергейст какой-то! А Таск, хитрец, засмеялся и говорит: «Учи электротехнику – и сам такие фокусы сможешь показывать». Вот я и пришел к тебе за разгадкой. Да, здорово тебя Таск наколол! А все потому, что ты не знаком, видимо, с одним очень интересным явлением под названием «электромагнитная индукция» – основой принципа действия любого трансформатора: Рис. 2.48 А он чем-то похож на установку Таска. Конечно. Трансформатор тоже состоит из двух катушек-обмоток. Одна обмотка подключается к источнику переменного напряжения и называется первичной. К другой обмотке обычно присоединяют сопротивление нагрузки Zн, и она называется вторичной. В твоем случае нагрузкой был амперметр. Кроме обмоток, в трансформаторе есть также сердечник, или магнитопровод. Сердечник – это концентратор магнитного поля, поэтому обычно его изготавливают из ферромагнитного материала, магнитное сопротивление которого значительно меньше сопротивления воздуха. А теперь, собственно, сам принцип действия трансформатора. При подключении первичной обмотки к источнику напряжения в ней возникает переменный ток i1. 105 Этот ток создает вокруг себя переменное магнитное поле, линии индукции которого концентрируются внутри сердечника, поскольку его магнитная проницаемость больше, чем у воздуха. Таким образом, магнитное поле, войдя однажды внутрь сердечника, начинает потом непрерывно циркулировать в нем, «нарезая», словно спортсмен на стадионе, один круг за другим. И бегало бы это поле так впустую бесконечно долго, если бы на его пути не встретилась вторичная обмотка, которая старательно так навита на противоположный конец сердечника. Обычный спортсмен в этом случае просто бы перепрыгнул ее как ненужную проволоку и потом побежал бы дальше. Однако магнитное поле мимо такого сокровища просто так не пробежит: его поток, согласно закону электромагнитной индукции, станет индуцировать в каждом витке обмотки переменную ЭДС e2, величина которой пропорциональна числу витков этой обмотки и скорости изменения магнитного потока: dΦ 22 . (2.44) e2  w 2 dt Знак «–» здесь связан с правилом Ленца. А дальше уже дело за малым. Под действием ЭДС во вторичной обмотке возникнет индукционный ток i2, который вызовет на нагрузке падение напряжения u2. Потом история с возникновением индукционного тока повторится с точностью до наоборот, поскольку теперь источником магнитного поля станет уже ток i2, магнитный поток которого пройдет через витки первичной обмотки и создаст в ней ЭДС е1: e1   w1 dΦ11 . dt (2.45) И наши спортсмены из бегунов превратятся в теннисистов, которые перебрасывают друг другу, словно мячик, частичку своего магнитного поля. Теперь-то я понял, в чем дело. И фокус Таска – никакой не полтергейст, а просто одно из обычных явлений в природе. Конечно, а эффект иллюзии был усилен еще и тем, что в «трансформаторе» Таска не было сердечника. Поэтому тебе и показалось, что ток действительно возникает из ниоткуда. Хорошо, а скажи мне, все-таки для чего применяются трансформаторы? Ведь не для показа же подобных фокусов? Нет, конечно. Для показа фокусов их только Таск использует, а на самом деле трансформаторы применяются для повышения и понижения напряжения в сети. А делается это с помощью подбора числа витков на первичной и вторичной обмотках, поскольку есть такое соотношение: w1 U1   n, (2.46) w 2 U2 где n – коэффициент трансформации. Если n > 1, то трансформатор называют понижающим, а если n < 1, то повышающим. 106 Вопросы и задания для самоконтроля 1. Почему для переменного тока используется комплексная система координат, а не действительная? 2. Какая величина в переменном токе изменяется только в одну сторону? 3. В чем принципиальное отличие вектора скорости от вектора тока? 4. Может ли напряжение на отдельном элементе электрической цепи превышать напряжение источника электрической энергии? 5. Может ли эквивалентное активное сопротивление двухполюсника зависеть от частоты источника? 6. Нарисуйте годографы общего сопротивления и общей проводимости на комплексной плоскости для последовательного колебательного контура. 7. Может ли быть равным нулю ток через элемент при ненулевом напряжении на этом элементе? 8. При каких условиях резонансный ток в параллельном контуре будет достигать максимума вместо минимума? 9. Покажите с помощью годографов, что возможны четыре случая резонанса токов. 10. Почему полоса пропускания контура берется именно на уровне I рез / 2 ? 11. Как изменится схема замещения реальной лампы накаливания при изменении частоты переменного тока от 50 Гц до 3 ГГц? 12. Нарисуйте график зависимости i  I m sin  t в осях координат ток – частота. 13. Как по графикам мгновенных значений тока и напряжения определить направление передачи энергии – от источника в нагрузку или наоборот? 107 Действие 3 Трехфазные цепи Сцена 1. Веселые картинки Здравствуй, Аск! Чего читаешь? Да вот в библиотеке книжку взял. «Сборник анекдотов» называется. Занятно. Уж не в Comedy Баттл ли ты собираешься выступить? Да спасибо. Мне пока и своего КВНа хватает. Так-так. А поподробнее? Да чего тут рассказывать-то? Помнишь друга моего с 3-го курса, к которому я на день рождения ходил? А, это когда еще та история с анекдотом приключилась? В том-то и дело. Ну, думаю, ладно, разыграли меня разок. По неопытности-то с кем не бывает? Так что ты думаешь? Собрались мы вчера компанией. Сидим, болтаем, анекдоты травим. И тут товарищ мой встает и говорит: «А теперь внимание! Анекдот специально для нашего коллеги (то есть для меня)». Ну, а что дальше было, ты, думаю, сам уже догадался. Сдается мне, ты опять его не понял? Да, Аск, с тобой не соскучишься. Вот-вот. А еще говорят, электротехники – люди серьезные. Да по сравнению с ними любой Максим Галкин должен спешно паковать чемоданы и отправляться на пенсию сушить одуванчики и делать из сусликов чучела, а не на сцене людей смешить. 108 Такое ощущение, что они как будто только тем и занимаются, что сочиняют друг про друга анекдоты. Ну, ничего, я вот книжечку дочитаю… Да, Аск, насмешил. Только ты не кипятись раньше времени. Понимаешь, без юмора жить скучно. Вот твои друзья и развлекаются. И они ведь совсем не виноваты в том, что у тебя еще мало знаний, и поэтому не все анекдоты ты можешь понять и оценить. Поверь, наступит время, и ты сам заткнешь их за пояс. А я тебе в этом помогу. Но не все сразу. А для начала расскажи-ка мне тот анекдот. Слушай. В общем, сидят на столбе два электрика и о чем-то спорят. Проходит вдруг мимо старушка. Ну, один из них и говорит ей: – Бабушка, вон на земле провод лежит. Подай его нам. Бабка, не долго думая, нагибается, хватает провод и тянет к столбу: – Возьми вот, сынок. Тут один из электриков поворачивается к другому и говорит: – Ну что, съел? А то все «фаза, фаза». Здорово. Я такого еще не слышал. Но юмор понял. А я вот нет. При чем тут вообще фаза? И почему бабку не дернуло? Ну, ты садист. Слышала бы твои слова та бабка, точно бы по ушам клюкой огрела. Ну, а «фаза» в данной ситуации понимается как часть так называемой трехфазной системы энергообеспечения. Ух, ты! Трехфазная цепь – это что-то новенькое! Естественно. То, что мы до сих пор проходили, – это еще цветочки. Вот трехфазные цепи – это сила! От них работает почти 95 % двигателей по всему миру. Они так и называются – трехфазные асинхронные двигатели. И чем же эти двигатели заслужили такую славу? Ну, достоинств у них много, ведь это самые надежные, технологичные, дешевые и простые в изготовлении двигатели. Странно. Обычно то, что изготовить несложно, и работает средне. Конечно, и асинхронные двигатели были бы не эффективнее старого пылесоса, если бы для их питания не использовалась трехфазная цепь, которая позволяет просто и эффективно получить круговое вращающееся магнитное поле. Уф, как много информации. Сложно все сразу переварить. 109 Отлично. Я тебя понял, давай разбираться по порядку. И для начала, я думаю, стоит сказать пару слов о конструкции и принципе действия асинхронного двигателя, чтобы ты вообще знал, о каком устройстве пойдут все наши дальнейшие рассуждения. Так вот, первоначально асинхронный двигатель проектировался в виде магнита (обычно цилиндрической формы), внутри которого располагалась катушка, укрепленная на валу. И основная задача такого двигателя заключалась в том, чтобы этот вал заставить каким-то образом вращаться, чтобы потом через него посредством механической передачи привести в движение какой-нибудь исполнительный механизм. Но я знаю только один способ, как это сделать. К магниту нужно приделать ручку и с помощью нее вращать этот магнит, при этом за ним будет вращаться и катушка вместе с валом. Правильно. Но ты сам видишь, что такой способ очень неудобен и нетехнологичен. Значит, нужно было изобрести какой-нибудь другой, более эффективный способ получения вращающегося магнитного поля. И он был найден. Сие знаменательное событие произошло в 1889 году. А все началось с того, что один русский ученый по фамилии Доливо-Добровольский смекнул однажды, что магнитное-то поле может существовать не только вокруг магнита, но еще и вокруг проводника с током. Это как раз и натолкнуло его на мысль заменить магнит стальным сердечником с навитой на него обмоткой. Такая конструкция получила название статора. И статор, в отличие от внутренней катушки – ротора, будет оставаться неподвижным. Погоди, но если статор неподвижен, то как мы в этом случае получим вращающееся магнитное поле? Очень просто. Нужно всего лишь ток в каждую часть обмотки статора (или фазу) подавать не одновременно, а последовательно через определенный интервал времени. Тогда магнитное поле, переходя из одной фазы в другую, будет как бы поворачиваться в пространстве. И сколько же нужно сделать таких фаз в обмотке? Рис. 3.1 Для получения равномерно вращающегося кругового поля достаточно всего лишь трех фаз. И это значит, что обмотки статора будут сдвинуты в пространстве друг относительно друга на 120° (рис. 3.1). Здесь А, В, С – начала фаз; Х, У, Z – концы фаз. Всю информацию об асинхронном двигателе и особенностях его конструкции ты узнаешь на 3-м курсе при изучении дисциплины «Электромеханика». Мы же подробнее остановиться на теории трехфазных цепей. 110 Итак, важно помнить, что любая трехфазная цепь всегда включает в себя два основных элемента – генератор энергии и ее приемник. В нашем случае приемником энергии являлась обмотка статора двигателя. Генератор и приемник, а точнее, их обмотки принято соединять между собой либо по схеме «звезда», либо по схеме «треугольник». В случае «звезды» между собой соединяют концы фаз источника и приемника, а в случае «треугольника» конец одной фазы соединяют с началом другой. Рассмотрим для примера схему соединения «звезда» (рис. 3.2). Рис. 3.2 На этой схеме концы фаз генератора (слева) и потребителя (справа) соединяются в точках, обозначенных буквами N и n. Это так называемые нейтральные точки, и провод, их соединяющий, также называется нейтральным. Ага! И по этому нейтральному проводу течет нейтральный ток. Правильно. Обозначается он I N . А что, вроде пока понятно. Ну, тогда идем дальше. Провод, соединяющий начала фаз генератора и потребителя, называют линейным. Всего таких проводов три: А-а, В-b, С-с. По каждому из них течет линейный ток (IA, IB, IC). Ток же, протекающий от начала фазы к концу, называют фазным (IфA, IфB, IфC). При этом легко заметить, что в схеме «звезда» линейные и фазные токи совпадают (Iл = Iф), а их сумма дает величину тока в нейтральном проводе: I N  IфА  IфВ  IфС . (3.1) Таким образом, в трехфазной цепи у нас присутствует шесть основных токов. Следовательно, наряду с ними должно существовать и шесть напряжений: по три линейных и фазных. Линейное напряжение – это напряжение между двумя линейными проводами (UАВ, UВС, UСА). Фазное напряжение – это напряжение между линейным проводом и нейтралью (UА, UВ, UС). 111 Не так давно мы выяснили, что сдвиг фаз в трехфазной цепи равен 120o. С учетом этого фазные напряжения мы можем расписать следующим образом: U  U e j0 о , A  A   j120 о ,  U В  U Вe о о   j240  U Сe j120 . U С  U Сe (3.2) Между собой линейные и фазные напряжения также связаны зависимостью: U AВ  U A  U В ,  U ВС  U В  U С , U СА  U С  U А . (3.3) И, наконец, закон Ома позволяет довести матмодель трехфазной цепи до своего логического завершения:  UA , I A  Z A  UB  , I B  Z B  UC  I  . C  ZC  (3.4) В системе (3.4) ZA, ZB, ZC – это нагрузка фаз приемника. Характерно, что ее вид и величина оказывают существенное влияние на распределение токов по трехфазной системе. И наглядно убедиться в этом нам поможет метод топографических диаграмм. Только не надо пугаться: если в свое время ты хорошо освоил теорию цепей переменного тока, этот метод покажется тебе не сложнее игры в веселые картинки. Отлично. Тогда приступим, коллега. Правила здесь несложные. Итак, для построения топографической диаграммы сначала вводят комплексную систему координат, при этом начало координат совмещают с нейтральной точкой генератора N, поскольку ее потенциал равен нулю (в этом месте цепь заземлена). Здесь же будет находиться и нейтральная точка потребителя n. Теперь смотрим на рис. 3.2 и начинаем векторно копировать его на нашу топографическую диаграмму (рис. 3.3). Так, например, вертикально вверх от т. N(n) в выбранном масштабе откладываем напряжение в фазе А (UA), а от него на расстоянии в 120о по часовой стрелке и против часовой стрелки откладываем соответственно напряжения в фазах В и С (UВ и UС). Рис. 3.3 112 Линейные напряжения построить еще проще. Для этого нужно всего лишь провести векторы ВА, АС и СВ, при этом им будут соответствовать линейные напряжения UАВ, UСА, UВС. В итоге у нас должен получиться равносторонний треугольник, из которого видно, что линейные и фазные напряжения связаны между собой соотношением: U л  3  Uф . (3.5) Теперь построим на нашей топографической диаграмме напряжений векторную диаграмму токов. Характерно, что, в отличие от диаграммы напряжений, диаграмма токов напрямую зависит от нагрузки. В связи с этим рассмотрим несколько случаев. 1. Нагрузка симметрична и имеет активный характер (рис. 3.4): Рис. 3.4 В этом случае векторы тока и напряжения у нас совпадают по фазе. Отличными друг от друга они будут лишь по величине – в соответствии с законом Ома I = U/R. И обрати внимание, что на диаграмме я указал всего лишь три тока. На самом же деле их шесть, но для «звезды», как мы уже выяснили, линейные и фазные токи совпадают, поэтому у нас и вышло только три вектора. А еще ты говорил про ток в нейтральном проводе. Правильно. Как ты, наверное, помнишь, он равен сумме фазных токов. Но если векторно сложить эти токи на нашей диаграмме, то мы получим ноль. А, это потому что у нас нагрузка симметричная – и все токи равны по величине. Верно. Следовательно, ток в нейтральном проводе будет присутствовать лишь при нарушении этой симметрии. 113 2. Нагрузка несимметрична и имеет активный характер (рис. 3.5): Рис. 3.5 Интересно также рассмотреть случай, когда в цепь нагрузки включены конденсатор или катушка. 3. Нагрузка несимметрична и содержит элементы R, L, C (рис. 3.6): Рис. 3.6 В этом случае ток в фазе В (через конденсатор) будет опережать напряжение на 90°, а в фазе С (через катушку) – на эту же величину отставать от него. Если катушку и конденсатор поменять местами, то картина изменится (рис. 3.7): Рис. 3.7 114 Иногда на практике встречается обрыв фазы – явление, при котором происходит размыкание фазного провода. И что при этом произойдет? А вот ты сам как думаешь, что изменится в диаграмме на рис. 3.6, если, к примеру, в фазе В случится обрыв? Очевидно, что в этом случае ХВ = ∞. Следовательно, ток IB = 0 (рис. 3.8): Рис. 3.8 Правильно. А теперь представь себе такую ситуацию. Обрыв случился в нейтральном проводе, или вообще этот провод взяли и убрали из цепи. Как ты думаешь, качественно топографическая диаграмма при этом изменится? Я думаю, да. Ведь при удалении нейтрального провода потенциалы точек N и n будут различны. Значит, между ними появится какое-то напряжение UNn. Совершенно верно. На диаграмме точка N останется в начале координат (она заземлена), а точка n, в зависимости от нагрузки, может быть в любом месте внутри диаграммы и даже выйти за ее пределы. То есть у нас получится смещение нейтрали. Слушай, а как же тогда определить, где будет находиться точка n? Очень просто. Вспомни I правило Кирхгофа и примени его к узлу в точке n. Вот, пожалуйста: I A  I B  IC  0 . (3.6) Получается, точка n будет находиться в том месте диаграммы, где сумма токов равна нулю. 115 Рассмотрим для примера несколько случаев. 1. Нагрузка симметрична и имеет активный характер. Диаграмма будет такая же, как и для «звезды» с нейтральным проводом (см. рис. 3.4). 2. Нагрузка несимметрична и имеет активный характер (рис. 3.9): (RA = RB = 0,5RC) Рис. 3.9 Хм, интересно. Ты точку n здесь наугад, что ли, ставил? Вообще-то – да. Главное, чтобы при этом сумма токов в ней была равна нулю. Можно, конечно, и другой способ предложить, но для него нам нужно знать величины фазных напряжений (из опыта). Тогда мы просто берем циркуль и методом засечек из точек А, В и С откладываем последовательно величину каждого напряжения, а затем на пересечении их находим точку n. И обрати внимание, что фазные напряжения при смещении точки n оказываются также смещены относительно своего первоначального положения. 3. Нагрузка несимметрична и содержит элементы R, L, C (рис. 3.10): Рис. 3.10 116 4. Обрыв фазы (рис. 3.11): Рис. 3.11 Видно, что в этом случае точка n находится на одной из сторон треугольника. 5. Короткое замыкание (рис. 3.12): Рис. 3.12 Очевидно, что при коротком замыкании сопротивление фазы RA = 0 и соответственно падение напряжения в ней отсутствует (UA = 0). При этом ток IA будет максимален и равен по модулю сумме токов в фазах В и С. А точка n будет совпадать с точкой А – с началом фазы, в которой произошло короткое замыкание. Верно. Анализируя все рассмотренные нами случаи, можно сделать вывод, что точка n при изменении нагрузки начинает как бы скользить по диаграмме. Графически это движение можно зафиксировать, если последовательно соединить все точки, в которых точка n побывала. Так что в итоге мы получим некую траекторию, которая, если ты не забыл, называется годографом. 117 А, помню-помню. Мы в теории цепей переменного тока о нем говорили. Ну, раз говорили, то в таком случае вот тебе схема (рис. 3.13). Построй-ка мне для нее годограф. Рис. 3.13 Так, посмотрим. Для построения годографа нам достаточно взять три точки – две крайние и одну промежуточную. Пусть в начале у нас С  0 . При этом сопротивление X A  1/ω/   . Это соответствует случаю обрыва фазы. Значит, первая точка годографа будет располагаться на нижней стороне треугольника. Теперь возьмем значение С   . В этом случае X A  0 , значит, в фазе А у нас короткое замыкание. Итак, конечное положение точки n – это вершина треугольника (точка А). Промежуточное положение найдем банально – «методом тыка». В итоге, соединив последовательно все три точки, получим некую полуокружность в левой полуплоскости. Очевидно, что это и есть годограф: Рис. 3.14 Гениально! А вот с ходу слабо сказать, как изменится годограф, если вместо конденсатора поставить катушку или резистор? Да запросто. Для катушки годографом будет правая полуокружность, а для резистора – прямая. Ну, что ж, вижу, эту тему ты здорово освоил. Думаю, можно двигаться дальше. И следующим пунктом у нас стоит схема соединения «треугольник» (рис. 3.15). Рассмотрим ее особенности. Первое, что бросается в глаза, – это распределение токов. 118 Рис. 3.15 По сравнению со «звездой» равенство Iл = Iф здесь уже не выполняется. Для «треугольника» каждый линейный ток равен сумме двух фазных: I A  I AB  ICA ,  I B  I BC  I AB , IC  I CA  I BC , (3.7) I л  3  Iф . (3.8) Знак «–» здесь говорит о том, что токи текут навстречу друг другу. Для напряжений – ситуация прямо противоположная. В схеме «треугольник» линейные и фазные напряжения совпадают (UA = UAB, UB = UBC, UC = UCA). Сравнивая между собой две схемы соединения, можно составить таблицу: Y I л  Iф Δ I л  3  Iф U л  3  Uф U л  Uф Симметрия здесь налицо. Самое интересное – выяснить, как изменится при этом векторная диаграмма. 1. Нагрузка симметрична и имеет активный характер (рис. 3.16): Рис. 3.16 Очевидно, что треугольник напряжений при этом останется прежним (как и в случае «звезды»), поэтому его мы рисуем, особо не задумываясь. С токами – иначе. 119 Общая методика построения: – из точек А, В и С откладываем векторы фазных токов (ICA, IAB и IBC). Поскольку нагрузка у нас имеет активный характер, то эти токи по фазе будут совпадать с соответствующими напряжениями; – каждый линейный ток, как мы уже говорили, равен сумме двух фазных. К примеру, IA = IAB + (–ICA). Соответственно, чтобы построить вектор тока IA, нужно в конец вектора IAB параллельно перенести вектор –ICA и затем просто сложить их по правилу треугольника. 2. Нагрузка несимметрична и содержит элементы R, L, C (рис. 3.17): Рис. 3.17 При построении фазных токов необходимо учитывать сдвиг фаз на катушке и конденсаторе. 3. Обрыв фазы (рис. 3.18): Рис. 3.18 При обрыве фазы А, например, IАВ = 0. Соответственно система уравнений (3.7) примет вид: I A   ICA ,  I B  I BC , I C  I CA  I BC . 120 На практике бывает иногда и другое: обрывается не фазный, а линейный провод. Система при этом из трехфазной превращается в однофазную, т. е. остается только одно напряжение между точками В и С (при обрыве провода в фазе А). И как тогда строить топографическую диаграмму? Очень просто. Мысленно берем кирпич и стучим по точке А до тех пор, пока треугольник не сплющится (рис. 3.19): Рис. 3.19 Это чего, новый способ превращения трехфазной цепи в однофазную? Ну, это уж у кого какая фантазия. Главное, чтобы было понятно, ведь теперь, как ты можешь видеть, сдвиг фаз между напряжениями отсутствует (как и в однофазной системе). Диаграмму токов строим по стандартной методике, а чтобы на одной линии у нас не было большого скопления векторов, мысленно растянем точки А, В и С вертикально до прямых (см. рис. 3.19). Ага, очень удобно стало. Знаешь, Анс, очень полезно иногда пофантазировать, чтобы наглядно представить какиенибудь абстрактные явления или понятия. Вот, смотри, как я изобразил наших старых знакомых – конденсатор, резистор и катушку (рис. 3.20). Думаю, теперь ты их никогда не забудешь! Рис. 3.20 Как здорово! Спасибо, Аск. 121 Сцена 2. О том, как ваттметры «свешивают лапки» О, какие люди! И куда же мы так спешим? Анс, дружище, выручай! А что случилось-то? Тут такое дело. В общем, у тебя нет случайно ваттметров? Штучки три. Мне для лабораторной. Нужно мощность в трехфазной цепи измерить. Погоди, в кабинете же много ваттметров. Почему ты ими не пользуешься? В том-то и дело, что было много, пока никого не было. В смысле? А очень просто. Я на пару опоздал немного, а когда пришел, наши ребята уже все приборы себе забрали. У каждого аж по три штуки! А мне не досталось. Вот теперь эти олигархи лабораторные делают, а я по коридорам бегаю, тебя ищу. Минуточку! А как это все столько приборов себе набрали? Ну как? Я же тебе говорил: измеряем мощность в трехфазной цепи. Значит, в каждую фазу ставим по ваттметру. Интересное кино. А если бы в цепи 20 фаз было? Что тогда? Вам бы никакой лаборатории не хватило. Так как же… Эх, всему вас учить приходится. Запомни: для измерения мощности можно обойтись и двумя, и даже одним ваттметром. Все зависит от того, как и куда их подключить. К примеру, рассмотрим трехфазную систему, у которой нагрузка соединена в виде звезды с нейтральным проводом (см. рис. 3.2). 122 Мощность такой системы равна сумме мощностей каждой ее фазы: P  PфA  PфВ  PфС , Pф  U ф Iф cos . (3.9) (3.9*) И если нагрузка у нас несимметрична, то, как ты уже говорил, для измерения мощности надо в каждую фазу поставить ваттметр, а затем сложить показания приборов. Ну, а как эти приборы подключить, ты, надеюсь, знаешь? Конечно. Токовая обмотка каждого из них включается в ту фазу, где измеряем мощность, а обмотку напряжения подключаем между линейным проводом этой фазы и нейтралью. Таким образом, каждый ваттметр согласно формуле (3.9*) будет включен на фазный ток и фазное напряжение: Рис. 3.21 Совершенно верно. А теперь представь себе, что нагрузка у нас симметрична. Значит, мощность каждой фазы будет одинакова и… Точно! Тогда нам понадобится всего один прибор! Им мы измерим мощность в одной фазе, а затем просто умножим ее на 3: P  3PPW1 . (3.10) Вот видишь, оказывается, уменьшить число приборов не так уж и сложно. Так-то оно так. Но для несимметричной нагрузки все равно меньше трех ваттметров у нас не получается. Не получается сейчас у тех олигархов, которые сидят в лаборатории. Мы же поступим разумнее и хитрее, ведь на самом деле все просто. Перейдем в формуле (3.9) к мгновенным значениям: p  p A  p B  p C  u A i A  u Bi B  u C i C . (3.11) Теперь, взяв, как частный случай, симметричную нагрузку, воспользуемся I правилом Кирхгофа: i A  i B  i C  0 , т. е. i C  (i A  i B ) . (3.12) 123 Теперь подставь (3.12) в (3.11) и сгруппируй одинаковые токи. Вот, кажется, так: p  u A i A  u Bi B  u Ci A  u Ci B  i A (u A  u C )  i B (u B  u C ) . (3.13) Ну что, выражения в скобках тебе ничего не напоминают? Это же линейные напряжения! p  i A u AC  i B u BC . (3.14) Верно. Таким образом, согласно формуле (3.14) для измерения мощности нам понадобятся всего два ваттметра, которые подключаются на фазный ток и линейное напряжение: Рис. 3.22 Другими словами, токовые обмотки ваттметров включаются в две любые фазы, а обмотки напряжения – соответственно между занятой фазой и свободной. Для измерения мощности в трехфазной системе с нагрузкой в виде треугольника этот метод нашел очень широкое применение. Теперь-то уж я нашим покажу, как приватизировать лишние ваттметры! Не сомневаюсь. Ну, а сейчас я хочу подкинуть тебе еще одну разминку для мозгов. Отлично. Я весь внимание. Так вот, только что мы выяснили, что для симметричной нагрузки Р = 3Рф, или по формуле (3.9*) P  3Uф Iфcos . (3.15) То есть выражение (3.15) определяет мощность через фазные ток и напряжение. Но мы знаем, что, кроме фазных, есть еще и линейные ток и напряжение. Подумай, как для них будет выглядеть формула (3.15)? 124 Так, посмотрим. В схемах соединения «звезда» и «треугольник» U I U ф Iф  л л . 3 (3.16) При подстановке (3.16) в (3.15) получим P 3 U л I л cos  3  U л I л cos . 3 (3.17) Молодец. А теперь еще вопрос на засыпку. Всем известно, что ваттметр измеряет активную мощность. Но если в цепи есть катушка или конденсатор, то появляется, кроме активной мощности, еще и реактивная Q  U ф Iфsin  3  U л I лsin . (3.18) Чем же нам ее измерить? Если внимательно присмотреться, то формулы (3.17) и (3.18) отличаются лишь наличием косинуса в одной и синуса в другой. Значит, нам нужно найти способ, который преобразует синус в косинус, и тогда реактивную мощность можно тоже измерить с помощью ваттметра. Логично. Рассмотрим такую ситуацию. Пусть некая трехфазная цепь в фазе А имеет активноиндуктивный характер нагрузки, при этом ток отстает от напряжения на некоторый угол φ. Построим векторную диаграмму (рис. 3.23). Перенесем вектор напряжения UBC в точку N. С учетом этого можно записать выражение для активной мощности в фазе А: Рис. 3.23   P  U ВСI А cosα  U ВСI А cos 90o    U ВСI Аsin . (3.19) Если подключить ваттметр согласно формуле (3.19), он будет измерять величину, пропорциональную синусу: P  U л I л sin . Следовательно, из формулы (3.18) можно определить Q  3P . 125 (3.20) Значит, для измерения реактивной мощности в трехфазной системе можно использовать обыкновенный ваттметр и все его показания умножить на 3 ? Да, только это ваттметр подключать нужно так: в одну фазу цепи включаем его токовую обмотку, а между двумя другими – обмотку напряжения: Рис. 3.24 Для измерения реактивной мощности можно использовать и метод двух ваттметров: Рис. 3.25 При этом очевидно, что 3 (PW1  PW1 ) . (3.21) 2 Вот теперь, я думаю, ты видишь, сколькими способами можно измерять мощность в трехфазной системе. Занимательно, что все зависит от того, куда «посадить» ваттметр и как при этом он «зацепит» свои «лапки»-обмотки. PW1  PW2  2U л I лsin и Q  126 Вопросы и задания для самоконтроля 1. Как определяют, какой из проводов четырехпроводной трехфазной цепи нейтральный? 2. Какую роль играет нейтральный провод в четырехпроводной трехфазной цепи? 3. Почему в цепи нейтрального провода не ставится предохранитель? 4. Почему к трехфазным электрическим двигателям всегда подводят только три провода, хотя система четырехпроводная? 5. Почему нельзя браться за концы оборванного провода трехфазной линии, хотя в нем нет тока? 6. Что будет, если поменять местами начало и конец одной из фаз генератора при соединении в треугольник, и почему? 7. Почему в трехфазном трансформаторе не образуется вращающееся магнитное поле? 8. Что надо сделать, чтобы изменить направление вращения ротора на противоположное? 9. Почему не используются на практике четырехфазные или пятифазные системы? 10. В чем состоит принципиальное преимущество трехфазного асинхронного двигателя перед любым двигателем постоянного тока? 127 Действие 4 Переходные процессы Сцена 1. Что будет, если нажать кнопочку? Привет, Аск. Молодец, что пришел. Разувайся давай и проходи на кухню. Спасибо, конечно, но я как-то дома уже пообедал. Может, лучше сразу к опытам перейдем? Ты же мне вчера говорил, что покажешь один очень интересный эксперимент. Правильно. Про эксперимент я помню, только мы его на кухне проводить будем. Ух, ты! Это что-то новенькое! А вот и наша установка. Не понял. Я пока кроме пакета с молоком и кружки на столе больше ничего не вижу. А больше ничего и не надо, ведь эксперимент, который я хочу провести, не совсем обычный. Скорее, это просто наглядный пример, с помощью которого можно легко понять одно из интереснейших физических явлений. И это будет как-то связано с электротехникой? Конечно. Иначе какой нам смысл здесь сидеть? Ну ладно, давай свой эксперимент. Э, не до конца, я вижу, ты мне веришь. Хорошо, представь-ка тогда себе такую ситуацию. Есть у нас две цепи 128 Рис. 4.1 Пусть вначале ключ SA в них разомкнут, а конденсатор во второй цепи разряжен. Как ты думаешь, что произойдет, если в какой-то момент взять и замкнуть наш ключик? Ну, очевидно, что в первой цепи через катушку потечет ток, а во второй цепи на конденсаторе появится напряжение. Правильно. Только ты описал мне стационарный, или установившийся, режим, который возникнет в цепях после замыкания ключа. Именно с такими режимами мы до сих пор и имели дело. А как цепь переходит в это новое для нее состояние и что при этом происходит с током и напряжением? Ты мне это можешь сказать? Ну… Надо подумать. То-то и оно. А вот представь сейчас, что источник напряжения – это пакет с молоком, а катушка в первой цепи или соответственно конденсатор во второй – это кружка. В роли же ключа (или кнопочки) у нас будут выступать обыкновенные ножницы. Теперь смотри. Я беру пакет с молоком и, держа его над кружкой, ножницами быстро отрезаю уголок (или, что то же самое, замыкаю в нашей цепи ключ). Теперь скажи мне, что ты видишь? Молоко из пакета начинает переливаться в кружку. И… И, когда пакет опустеет и кружка наполнится, больше ничего не будет происходить. Рис. 4.2 Другими словами, наступит установившееся состояние. Так? Верно. И я, кажется, начинаю догадываться, о чем речь. Вот. Теперь ты видишь, что переход цепи из одного состояния в другое при любых ее изменениях, как то: замыкание или размыкание ключа, короткое замыкание и др., – всегда сопровождается неким процессом преобразования или перетекания энергии из одной части цепи в другую. Другими словами, в цепи возникает так называемый переходный процесс. 129 То есть так же, как молоко перетекает из пакета в кружку, энергия от источника питания доставляется к катушке и конденсатору? Да. И заметь, что данный процесс происходит не сразу, а за некоторое время и, что самое главное, он всегда заканчивается. То есть по истечении некоторого заданного промежутка времени катушка благодаря протеканию по ней тока полностью запасется энергией магнитного поля, а конденсатор, в свою очередь, полностью зарядится, т. е. запасет энергию электрического поля. Причем так же как и количество молока в пакете равно количеству молока в кружке, так и, к примеру, напряжение на обкладках конденсатора будет равно напряжению источника питания. Да, как, оказывается, все просто. Ну, раз тебе стала понятна физическая сторона переходного процесса, то давай посмотрим, как будут выглядеть все описанные выше явления с математической точки зрения. И для начала снова обратимся к нашей схеме (рис. 4.3). Включение катушки индуктивности на постоянное напряжение Рис. 4.3 Первое, что нужно сделать, – это составить уравнение состояния для данной цепи после замыкания ключа SA – после коммутации. В дифференциальной форме наше уравнение di iR  L  E , dt di где U R  iR и U L  L . (4.1) dt Это неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Его решение ищется в виде i  i  i , (4.2) где i – общее решение однородного уравнения, получаемое из исходного путем приравнивания левой части к нулю; i – частное решение неоднородного уравнения, определяемое видом функции правой части. С точки зрения электротехники частное решение i является током установившегося режима, т. е. режима после коммутации. Отсюда и его название – принужденный, т. е. такой, значение которого как бы принудительно устанавливается после завершения переходного процесса. 130 Его противоположность – свободный ток i , который имеет место только в течение переходного процесса, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не действуют. Сам же ток возникает вследствие внутренних процессов преобразования и перетекания энергии между элементами цепи. Например, это может быть ток зарядки или разрядки конденсатора. Слушай, Анс, а эти токи можно чем-нибудь измерить? Увы, Аск, но сделать это тебе, боюсь, не удастся, поскольку на самом деле свободный и принужденный ток – это две части единого и неделимого целого. Как индуктивность и сопротивление у катушки? Да. Поэтому раздельно их рассматривают только как некую абстракцию, и то лишь для того, чтобы проще было найти решение дифференциального уравнения, чем мы сейчас и займемся. Итак, начнем, пожалуй, с тока установившегося режима – принужденного тока. Его значение находится из закона Ома: E (4.3) i ''  . R Для этого нужно мысленно замкнуть ключ и определить все как для обычной цепи (без всяких разрядов и зарядов), что мы не раз уже делали при расчете всех встречавшихся ранее схем. Свободный же ток найти немного сложнее, так как нам придется решить однородное дифференциальное уравнение di ' (4.4) i 'R  L  0. dt В этом случае сначала для него нужно записать характеристическое уравнение R  Lp  0 , после чего найти его корень (или корни): R (4.5) p . L Поскольку корень у нас является действительным числом, то решение исходного уравнения (4.4) pt i  Ae , или i  Ae Постоянная А здесь определяется из начальных условий (н. у.). Чтобы понять, что это такое, обратимся к рисунку 4.4. В электротехнике принято считать, что процесс коммутации (переключения ключа) происходит мгновенно, т. е. завершается за время t  0 . В связи с этим на практике для определенности выделяют два основных момента времени при коммутации: 131  R t L . (4.6) Рис. 4.4  t(–0) – самый последний момент перед коммутацией;  t(+0) – самый первый момент после коммутации. Именно для него и определяются начальные условия. А чтобы их проще было найти, введены законы коммутации. I закон коммутации: в момент коммутации ток через индуктивность не меняется. i L (0)  i L (0) . II закон коммутации: в момент коммутации напряжение на конденсаторе не меня- ется. u C (0)  u C (0) . Согласно I закону коммутации для нашего случая i( 0)  i( 0)  0 , поскольку вначале цепь была разомкнута. С учетом этого мы можем записать выражение при н. у. i(0)  i ' ( 0)  i '' ( 0) . || || || А E (из (4.3)) R (из I закона) (из (4.6)) Откуда находим E E , A . (4.7) R R Возвращая постоянную (4.7) в уравнение (4.6) и подставляя (4.6) и (4.3) в (4.2), получаем 0A R R  t E  L t E E    1  e L  . i e R R R   Обозначим в этом уравнении τ  (4.8) L – постоянная времени. R Отсюда t   E  τ i  1  e  . R    Наконец, зная, что u L  L (4.9) di , с учетом (4.9) можно найти dt u L  Ee  t τ . (4.10) Для наглядности изобразим теперь графики полученных по формулам (4.9) и (4.10) тока и напряжения на индуктивности (рис. 4.5). Из рисунка отчетливо видно, что I закон коммутации у нас соблюдается, так как ток через индуктивность до коммутации и в самый первый момент после нее имеет одно и то же значение (i = 0). В отличие от тока, напряжение на индуктивности изменяется скачком от 0 до Е, поскольку оно не отражает процессы преобразования энергии для катушки. Рис. 4.5 132 Li 2 . 2 Рассмотрим еще пример возникновения переходного процесса в LR-цепочке, но уже с аварийным режимом, когда в цепи случается короткое замыкание (рис. 4.6). Расчет будем вести по уже отработанному алгоритму. di 1. Запишем уравнение состояния Ri  L  0 . dt ' ' ' 2. Решение его ищем в виде i  i  i , WL  где i '  Aept  Ae  R t L  Ae  Короткое замыкание катушки индуктивности t L τ, τ ; Рис. 4.6 R i ''  0 (цепь после коммутации отключена от источника питания (ИП)), di ' R Ri '  L  0 , R  Lp  0 , p   . dt L E – вначале цепь Постоянную А находим из н. у. (I закон коммутации) i( 0)  i( 0)  R была замкнута на ИП; таким образом, i( 0)  i ' (0)  i '' (0) . Откуда E E  A  0 , т. е. A  . R R || || || E R А t 3. Окончательно t  E  di i  e τ , u L  L  Ee τ . R dt (4.11) Графики искомых величин согласно формулам (4.11) будут иметь вид, представленный на рис. 4.7. Слушай, Анс, а что конкретно определяет постоянная времени τ, которая у нас встречается во всех формулах? С физической точки зрения τ определяет время затухания переходного процесса. Принято считать, что оно  3...4τ . А поскольку эта постоянная согласно формуле (4.9) определяется только параметрами цепи R и L, то, изменяя их соответственно в ту или иную сторону, можно регулировать длительность переходного процесса. Рис. 4.7 Понятно. 133 Включение RC-цепочки на постоянное напряжение Ну, в таком случае идем дальше. Рассмотрим, как ведет себя конденсатор в различных переходных процессах (рис. 4.8). Пусть вначале конденсатор разряжен. 1. Запишем уравнение состояния Ri  u C  E . Учитывая, что i C  C Рис. 4.8 RC (4.12) du C , уравнение примет вид dt du C  uC  E . dt (4.13) 2. Решение его ищем в виде u C  u 'C  u 'C' , (4.14) t t   ' pt где u C  Ae  Ae RC  Ae τ , τ  RC ; u 'C'  E (после коммутации конденсатор зарядится до напряжения ИП), du ' 1 . RC C  u 'C  0 , RCp  1  0 , p   dt RC Постоянную А находим из н. у. (II закон коммутации) u( 0)  u( 0)  0 – вначале конденсатор разряжен; таким образом, u(0)  u ' (0)  u '' (0) . || || || А Е Откуда 0  A  E , т. е. A   E . 3. Окончательно u C  E  Ee  t τ t t    du C E  τ   τ  e .  E 1  e  , i C  C dt R     (4.15) Графики искомых величин согласно формулам (4.15) будут иметь вид (рис. 4.9). Из рисунка видно, что II закон коммутации у нас также не нарушается, так как напряжение на конденсаторе до коммутации и в самый первый момент после нее остается постоянным (uС = 0). При этом ток через конденсатор изменяется скачком от 0 до E/R, поскольку он не отражает процессы преобразования энергии на конденсаторе. WС  Рис. 4.9 134 Сu 2 . 2 Короткое замыкание RC-цепочки Рассмотрим режим короткого замыкания в RC-цепочке (рис. 4.10). du 1. Запишем уравнение состояния RC C  u C  0 . dt ' 2. Решение его ищем в виде: u C  u C  u 'C' , t t   ' pt где u C  Ae  Ae RC  Ae τ , τ  RC ; u 'C'  0 (цепь после коммутации отключена Рис. 4.10 от ИП), du ' 1 . RC C  u 'C  0 , RCp  1  0 , p   dt RC Постоянную А находим из н. у. (II закон коммутации) u( 0)  u( 0)  E – вначале конденсатор заряжен до напряжения ИП; таким образом, u(0)  u ' (0)  u '' (0) . || || || Е А Откуда E  A  0 , т. е. А = Е. t τ 3. Окончательно u C  Ee ,  Рис. 4.11 t du C E  iC  C  e τ dt R . (4.16) Графики искомых величин согласно формулам (4.16) будут иметь вид, представленный на рис. 4.11. Мы разобрали основные случаи переходных процессов в цепях 1-го порядка, т. е. в цепях, где есть только один накопитель энергии (катушка или конденсатор). На практике же наиболее часто встречаются цепи 2-го порядка и выше, где сразу несколько накопителей. К примеру, рассмотренный нами ранее колебательный контур является цепью 2-го порядка, так как содержит одновременно и емкость, и индуктивность. Поэтому, я думаю, интересно будет узнать, как в такой цепи протекают переходные процессы (рис. 4.12). Анализ системы начнем с составления Рис. 4.12 уравнения состояния после коммутации: Ri  L Учитывая, что i  C di  uC  0 . dt du C , уравнение примет вид dt du d 2u C  uC  0 . RС C  LC dt dt 2 135 (4.17) Разделим обе его части на LC: d 2 u C R du C 1   uC  0 . L dt LC dt 2 Решение данного уравнения ищем в виде u C  u 'C  u "C  0 . (4.18) (4.19) Так как цепь после коммутации отключается от ИП, то u 'C'  0 . (4.20) Произведем в (4.18) замены: R 1  2δ ;  ω o2 L LC и запишем уравнение для свободной составляющей du ' d 2 u 'C  2δ C  ω o2 u 'C  0 . dt dt 2 Далее по методике составим характеристическое уравнение p 2  2δδ  ωo2  0 . (4.21) (4.22) Оно будет иметь два корня: p1  δ  δ 2  ωo2 ; p 2  δ  δ 2  ωo2 . Нужно рассмотреть два случая. 1. δ  ω o , тогда δ 2  ωo2  0 и корни p1,2 – вещественные. (4.23) В этом случае решение исходного уравнения (4.18) u 'С  A1e p1t  A 2e p 2 t . (4.24) Постоянные интегрирования A1 и А2 определяем из н. у. (II закон коммутации) u( 0)  u( 0)  E – вначале конденсатор заряжен до напряжения ИП. Таким образом, (4.25) u(0)  u ' (0)  u '' (0) . || Е || А1 + A2 || Откуда E  A1  A 2 . (4.26) В итоге получили одно уравнение с двумя неизвестными. Решить его нельзя. Значит, будем искать другое уравнение. Для этой цели, к примеру, можно продифференцировать (4.25):  du ' '   du 'C   du C    C    .     dt  ( 0)  dt  ( 0)  dt  ( 0) || || p1A1+ p2A2 || Откуда p1A1  p 2 A 2  0 . 136 (4.27) Теперь из уравнений (4.26) и (4.27) составляем систему и находим из нее искомые постоянные A1 и А2: p E  A1  2 ,  p 2  p1 0  p1A1  p 2 A 2 ,   E  A  A , pE  1 2 A 2   1 .  p 2  p1 (4.28) Возвращая постоянные (4.28) в уравнение (4.24) и подставляя (4.24) и (4.20) в (4.19), окончательно находим E p 2e p1t  p1e p 2 t . uС  (4.29) p 2  p1 Отсюда du pp E p1p 2e p1t  p1p 2e p 2 t  CE 1 2 e p1t  e p 2 t . iC C C (4.30) p 2  p1 p 2  p1 dt       1 . LC То есть уравнение (4.30) можно немного упростить: Из формул (4.23) p1p 2  ω o2  i   E e p1t  e p 2 t . L(p2  p1 ) u R  Ri ; u L  L  (4.31)  di E p1e p1t  p 2e p 2 t .  dt p 2  p1 Согласно формулам (4.29), (4.31), (4.32) графики искомых величин примут вид (рис. 4.13). Опишем эти кривые с точки зрения физических процессов преобразования энергии в катушке и конденсаторе. В момент коммутации вся энергия системы сосредоточена в конденсаторе. С началом переходного процесса эта энергия начинает делиться на две части. Одна часть переходит в энергию магнитного поля катушки, а вторая – в тепловую энергию на активном сопротивлении (рис. 4.14а). Этот процесс продолжается до момента времени tкр (процесс накопления энергии в катушке завершен), после чего энергия, которая еще осталась в конденсаторе, продолжает переходить в тепловую энергию на сопротивлении и при этом к ней присоединяется энергия магнитного поля катушки, которая также начинает переходить в тепло (см. рис. 4.14б). Рис. 4.13 Рис. 4.14 137 (4.32) 2. δ  ω o , тогда δ 2  ωo2  0 и корни p1,2 – мнимые. То есть, обозначив ωсв  ωo2  δ 2  0 , получим p1  δ  jωсв , p1  δ  jωсв . (4.33) С учетом этого уравнение тока (4.31) примет вид i E E (e p1t  e p 2 t )  (e(  δ  jω св )t  e(  δ  jω св )t )  L(p2  p1 ) L(δ  jωсв  δ  jωсв ) E Ee  δt Ee  δt  (e  δt e jω св t  e  δt e  jω св t )   (e jω св t  e  jω св t )   sin(ωсв t). 2jLωсв 2jLωсв Lωсв (4.34) График для уравнения (4.34) показан на рис. 4.15. Таким образом, сравнивая графики для тока на рис. 4.13 и 4.15, можно сделать выводы:  в случае вещественных корней ( δ  ω o или R/2L  1/ LC ) мы получаем апериодический процесс разрядки конденсатора;  в случае мнимых корней ( δ  ω o или R/2L  1/ LC ) процесс разрядки конденсатора становится колебательным. Рис. 4.15 Сцена 2. Карты раскрыты Ну что ж, Аск, сегодня у нас с тобой последнее занятие. За целый год мы успели пройти много тем, и, я думаю, за это время ты сумел многое понять и многому научиться. Сегодня же я открываю тебе последние карты. На прошлом занятии мы изучали переходные процессы. Я думаю, ты их неплохо освоил и сможешь поэтому применить свои знания на практике. Разберем задачу. 138 Пусть дана цепь 2-го порядка (рис. 4.16). Дано: U0 = 120 В; R1 = 10 Ом; R2 = 30 Ом; R3 = 35 Ом; L = 0,1 Гн; С = 10 мкФ; uC(–0) = 0. Требуется найти: i1(+0); i2(+0); i3(+0); duC/dt(t); di2/dt(t); uC (t). Рис. 4.16 Решение: 1. Из I закона коммутации i 2 (0)  i 2 (0)  U0 120   3 А. R1  R 2 10  30 2. Из II закона коммутации u C (0)  u C (0)  0 . 3. По II правилу Кирхгофа для 2-го контура i1 (0)R1  i 3 (0)R 3  u C (0)  U 0 . (*) i1 (0)  i 2 (0)  i 3 (0) , откуда i 3 (0)  i1 (0)  i 2 (0) . (**) По I правилу Кирхгофа Подставив (**) в (*), получим: i1 (0)R1  i1 (0)R 3  i 2 (0)R 3  u C (0)  U 0 . U 0  u C (0)  i 2 (0)R 3 120  0  3  35   5 А. R1  R 3 10  35 Из (**) i3 (0)  5  3  2 А. Отсюда i1 (0)  4. Так как i C  C du i (0) 2 6 du C  du  , то i 3 (0)  C C   C  3  10  2  105 В/с. dt dt C 10 dt   ( 0) 5. По II правилу Кирхгофа для 1-го контура  di  i1 (0)R1  i 2 (0)R 2  L 2   U0 .  dt  ( 0) Отсюда di 2 U 0  i1 (0)R1  i 2 (0)R 2 120  5  10  3  30    200 А/с. dt L 0,1 6. Уравнение для uC будем искать в следующем виде: u C  u 'C  u 'C' , U0 120 30  90 В (после зарядки напряжение на конденсатогде u 'C'  i 2 R 2  R2  10  30 R1  R 2 ре будет равно напряжению на параллельной ветви). Для нахождения u 'C требуется составить характеристическое уравнение. Для нашей цепи это можно сделать двумя способами. 139 6.1. Метод главного определителя Требуется составить систему независимых уравнений по правилам Кирхгофа:  i1  i 2  i 3  0, di i1R1  i 2 R 2  L 2  U 0 (I контур), dt di 2 1  i2R 2  L  i 3R 3  i 3dt  0 (III контур). dt С 1 dt  , получим: p  Введя операторы d  p; dt   i1  i 2  i3  0, i1R1  i 2 R 2  Lpi 2  U 0 , i  i 2 R 2  Lpi 2  i 3R 3  3  0. pC Составим для этой системы главный определитель и приравняем его к нулю: 1   R1 1 R 2  Lp 1  (R 2  Lp) R 3   0. 1 pC В итоге получим LC(R1  R 3 )p 2  [C(R1R 2  R 2 R 3  R1R 3 )  L]p  R1  R 2  0 . 6.2. Метод входного сопротивления Требуется мысленно разрезать любую ветвь схемы в произвольном месте и относительно ее концов посчитать общее сопротивление цепи на переменном токе. При этом все источники нужно заменить их внутренними сопротивлениями. В нашем случае удобно считать сопротивление относительно зажимов SA и принять источник напряжения идеальным (R0 = 0). R (R  jL) 1 .  1 2 jC R 1  R 2  jL Далее делаем замену j  p и приравниваем к нулю полученное выражение: 1 R (R  pL) R3   1 2  0. pC R1  R 2  pL В итоге получим LC(R1  R 3 )p 2  [C(R1R 2  R 2 R 3  R1R 3 )  L]p  R1  R 2  0 . Как видно, при решении обоими методами у нас получилось одно и то же характеристическое уравнение. Подставим в него численные значения и найдем корни: 45p 2  17000p  40  0 ; p1  405 ; p 2  2195 . Так как корни действительные, то решение для свободной составляющей можно представить в виде u 'C  A1e p1t  A 2e p 2 t . В результате Z экв ( j)  R 3  140 Постоянные А1 и А2 находим из н. у.: u С ( 0)  u 'С ( 0)  u "С ( 0) , || || || 90  du ' '   du 'C   du C   C     .      dt ( 0)  dt ( 0)  dt  ( 0) || 2  10 А1 + A2 || 5 p1A1 + p2A2 || Получаем систему уравнений  90  A1  A 2 , A1  1,37, 20000  405A  2195A ,  A  91,37.  1 2  2 Окончательно u C  90  1,37e405t  91,37e2195t . Всю задачу мы решили классическим методом. С одной стороны, он очень нагляден, но, с другой стороны, для цепей выше 2-го порядка он слишком громоздкий и его применение вызывает затруднение. В связи с этим разработаны альтернативные методы расчета переходных процессов, которые, хоть и менее наглядны, зато очень эффективны для цепей 3-го порядка и выше. Метод переменных состояния (МПС) Переменными состояния характеризуют состояние системы. Если рассматривать электротехнику, переменными состояния будут являться, очевидно, напряжение на конденсаторе и ток через индуктивность, поскольку именно они определяют энергетическое состояние системы. Суть же МПС сводится к тому, что для расчета цепи мы вместо одного уравнения n-го порядка составляем систему из n уравнений 1-го порядка, из которой исключаем все переменные, кроме переменных состояния. Рассмотрим конкретный пример (рис. 4.17). Составим для данной цепи систему независимых линейных уравнений по правилам Кирхгофа: 1)  i1  i3  i 6  0, (1 узел), 2) i 2  i3  i5  0, (2 узел), 3) i  i  i  0, (3 узел),  5 4 6 4)  u C1  i 2 R1  i3R 3  0, (I контур), 5) i 2 R1  u C2  i5R 2  E, (II контур),  di 6)  u C1  u C2  L 6  0 (III контур). dt  Согласно МПС данную систему из шести уравнений мы должны свести к системе из трех уравнений с тремя неизвестными Рис. 4.17 величинами, в качестве которых будут выступать переменные состояния (i6, uC1, uC2). Все остальные переменные мы должны выразить через них. 141 Легко заметить, что одно уравнение для будущей системы у нас уже есть. В исходной системе оно стоит под номером (6). Два других, очевидно, можно найти из соотношений: du du i1  C1 C1 и i 4  C 2 C2 , или i1  i 3  i 6 (из (1)) и i 4  i 5  i 6 (из (3)). dt dt Откуда du du (*) C1 C1  i 3  i 6 , C 2 C2  i 5  i 6 . dt dt В этих уравнениях нам нужно избавиться от токов i3 и i5. Сначала выражаем из (2) ток i2 и подставляем его в (4) и (5):  u  (i5  i3 )R1  i3R 3  0, i 2  i 5  i 3 , откуда  C1 (i5  i3 )R1  u C2  i5R 2  E. Из этой системы выражаем i3 и i5 и подставляем в (*). В итоге у нас должна получиться система уравнений:  di u  u C2 ,  6  C1 L  dt i R  R2 R R  du C1 u C1  1 u C2  1 E,  6  1  C1 AC1 AC1 AC1  dt  du C2 i 6 R1  R 3 R1 R1  R 2  dt  C  AC u C1  AC u C2  AC E, 2 2 2 2  где A  R1R 2  R 2 R 3  R1R 3 . Решить ее можно с помощью любого приложения (MathCAD, Matlab). Но здесь есть одна тонкость, которую нельзя забывать. Наша система состоит из дифференциальных уравнений. Следовательно, в процессе их решения неизбежно появятся постоянные интегрирования, для нахождения которых нам требуется знать н. у. Из законов коммутации: E i 6 (0)  i 6 (0)  , R 2  R3 R3 u C1 (0)  u C1 (0)  i 6 R 3  E, R 2  R3 u C2 (0)  u C2 (0)  0 .  E  R3 То есть н. у.   ; E; 0 . R2  R3 R 2  R3  Этого недостатка лишен операторный метод расчета переходных процессов. Операторный метод Основывается на замене некоторой функции f(t), называемой оригиналом, другой функцией F(p), называемой изображением, через преобразование Лапласа:  F(p)   f(t)e pt dt , 0 где p  s  jω – оператор Лапласа. 142 Для краткости используют форму записи F(p)  Lf(t) . При этом изображение производной и интеграла от оригинала будет выглядеть t  F(p)   d  L f(t)  pF(p)  f(0) , L  f(t)dt   . p  dt   0   (*) Рассмотрим конкретный пример (рис. 4.18). Запишем для данной цепи уравнение состояния Ri  L di  uC  U . dt t 1 idt  u C (0) , приведем Зная, что в общем случае u C  C  Рис. 4.18 его к виду t di 1 Ri  L  idt  u C (0)  U . dt C  Далее, воспользовавшись формулами (*), заменим каждое слагаемое его изображением по Лапласу: I(p) U C (0) RI(p)  LpI(p)  Li(0)    U(p) . pC p Для удобства разделим подобные слагаемые: RI(p)  LpI(p)  U (0) I(p) .  U(p)  Li(0)  C pC p В итоге из закона Ома получим U C (0) p I(p)  . (**) i R  Lp  pC Согласно (**) исходную схему замещения мы можем заменить операторной, где каждому элементу ставится в соответствие его изображение с учетом н. у. (рис. 4.19). U(p)  Li(0)  Рис. 4.19 После нахождения искомой величины в операторной форме необходимо вернуться к ее оригиналу. 143 Рассмотрим два примера (рис. 4.20, 4.21). Рис. 4.20 Из закона Ома I(p)  E(p) E/p E/R .   1 Z(p) R  1 p pC RC Чтобы найти оригинал, сведем полученное изображение к табличному e  αt  1 . pα t E  В итоге получим i(t)  e RC . R Рис. 4.21  E(p) E/p E (R  Lp)  Lp E  1 1      Из закона Ома I(p)  Z(p) R  Lp R p(R  Lp) Rp p R  L    .    Чтобы найти оригинал, сведем полученное изображение к табличному 1  e  αt  1 1 .  p pα R  t E В итоге получим i(t)  (1  e L ) . R Таким образом, основная сложность метода заключается в нахождении оригинала при сведении полученного изображения к табличному. Интеграл Дюамеля Все рассмотренные нами методы (классический, МПС, операторный) применимы только для расчета цепей постоянного и синусоидального токов, когда входной сигнал имеет определенную форму (прямая или синусоида). В случае же произвольной формы входного сигнала расчет цепи нужно вести с помощью интеграла Дюамеля. 144 Пусть, например, у нас имеется входной сигнал (рис. 4.22). В момент t = 0 он изменяется от 0 до U0, при этом в цепи возникает переходный процесс. Далее сигнал снова начинает изменяться (возрастает, убывает), что, в свою очередь, также приводит к возникновению переходных процессов. Поэтому очевидно, что расчет каждого из них нужно вести особым образом. Для начала разобьем исследуемый интервал на элементарные отрезки длиной Δτ . На каждом из них исходную функцию можно заменить неким ступенчатым приближением. При этом для каждой такой ступеньки введем понятие переходной характеристики, которая представляет собой реакцию цепочки на единичный сигнал (к примеру, на напряжение 1 В). В общем случае такое воздействие можно представить так, как показано на рис. 4.23. К примеру, получим переходную характеристику для цепи на рис. 4.24.  Ранее мы находили, что u C (t)  U 0 1  e  t RC    –   Рис. 4.22 Рис. 4.23 включение RC-цепочки на постоянное напряжение. При подаче на вход сигнала U0 = 1 В это уравнение преобразуется к виду t RC u C (t)  1  e .  Это переходная характеристика по напряжению hu(t). Кроме нее можно найти и переходную характеристику по току. Реакция же цепи на нашу сложную функцию (см. рис. 4.22): Рис. 4.24 t u(t)  u(0) h u (t)   u(ττ) h u (t  τ) dτ . (*) Интеграл в данном выражении и является интегралом Дюамеля. Покажем, как пользоваться этой формулой на рассмотренном ранее примере (рис. 4.25). а б Рис. 4.25 Из рис. 4.25б видно, что входной сигнал представляет собой суперпозицию двух функций: 145  U0 t, 0  t  t1 ,  u(t)   t1 U 0 , t  t1. (1) Откуда U0 . (2) t1 Кроме этого, u(+0) = 0 при t = 0. Следовательно, будет равно нулю и первое слагаемое в формуле (*). Наконец, u ( τ )  h u (t)  1  e  t RC  h u (t  τ)  1  e  tτ RC . (3) Подставив выражения (1)–(3) в формулу (*), получим t1 u(t)   U0 t1 t  t1 tτ    1  e  RC dτ  U 1  e  RC 0       tt t  t1 tτ   U     0  τ t1  RCe  RC t1   U 1  e  RC 0 0   t  0  1     tt t tt     t  1  1 U0  1 U0  U  RC  RC RC RC   RC 0 e RC . e e  U 0  RC  RC  U 0  U 0e  U 0 e RC 1  t1 t1 t1  t1  146 Вопросы и задания для самоконтроля 1. В чем заключается главная причина возникновения переходных процессов в электрических цепях? 2. Почему без законов коммутации невозможно было бы рассчитывать переходные процессы в электрических цепях? 3. Почему за время окончания переходного процесса принимают 4τ ? 4. Как определяется постоянная времени для цепей второго или третьего порядка? 5. В каких цепях и при каких условиях возможен колебательный характер переходного процесса? 6. Почему ветвь с конденсатором можно разрывать, а ветвь с индуктивным элементом нельзя? 7. Как возникает явление перенапряжения в электрической цепи? 8. Как возникает явление сверхтока в электрической цепи? 9. Как определить порядок характеристического уравнения, анализируя принципиальную схему электрической цепи? 10. В чем преимущество метода переменных состояния по сравнению с классическим и операторным? 147 Эпилог Ну что, Аск, вот и закончились наши занятия. За все время обучения ты показал очень хорошие результаты, и, надеюсь, что на экзамене ты тоже будешь на высоте. Удачи! P. S. Да, и не забудь про тортик. Хорошо. Намек понял. 148 Список литературы 1. Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи : учебник для вузов / Г. И. Атабеков. – 5-е изд., испр. и доп. – М. : Энергия, 2008. – 592 с. 2. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи : учебник для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов / Л. А. Бессонов. – 7-е изд., перераб. и доп. – М. : Высшая школа, 2008. – 528 с. 3. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Электромагнитное поле : учебник для студентов вузов / Л. А. Бессонов. – 7-е изд., перераб. и доп.– М. : Высшая школа, 2008. – 231 с. 4. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники : учебник для вузов : в 2-х т. / Л. Р. Нейман, К. С. Демирчян. – 3-е изд., перераб. и доп. – Л. : Энергоиздат, 2007. – Т. 1. – 536 с. 5. Основы теории цепей : учебник для вузов / Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов. – 5-е изд., перераб. – М. : Энергоатомиздат, 2007. – 528 с. 149 Учебное издание И з о т о в Владимир Анатольевич П а н и ш е в а Елена Васильевна ТЕРРА ЭЛЕКТРИКА Пьеса для студентов Учебное пособие по дисциплине «Теоретические основы электротехники» 2-е издание, исправленное и дополненное Подписано в печать 2018. Формат бумаги 6084 1/8. Печать трафаретная. Печ. л. 18,75. Заказ . Тираж . Издательско-полиграфический отдел Костромского государственного университета Адрес редакции и типографии: 156005, г. Кострома, ул. Дзержинского, 17. Т. 49-80-84 E-mail: rio@kstu.edu.ru ISBN 5-8285-0954-3 9 785828 509546 150