Теоретическая механика. Теория механизмов и машин. Сопротивление материалов

МЧС РОССИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРОТИВОПОЖАРНОЙ СЛУЖБЫ К.С. Иванов ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Раздел I. Теоретическая механика Раздел II. Теория механизмов и машин Раздел III. Сопротивление материалов Курс лекций Санкт-Петербург 2016 Содержание Раздел 1 Теоретическая механика 3 Лекция 1. Предмет теоретической механики. Элементы статики 3 Лекция 2. Кинематика точки и твёрдого тела. 10 Лекция 3. Динамика механической системы 20 Лекция 4 Аналитическая механика 31 Раздел 2. Теория механизмов и машин 41 Лекция 1 Основные понятия теории механизмов и машин. Основные виды механизмов. Структурный анализ и синтез механизмов 41 Лекция 2 Кинематический и силовой анализ механизмов 48 Лекция 3. Колебания в механизмах 63 Раздел 3. Сопротивление материалов 67 Лекция 1 Основные понятия и определения сопротивления материалов 67 Лекция 2 Сдвиг. Кручение. Геометрические характеристики плоских сечений. 80 Вопрос 3. Кручение. 98 Лекция 3 Прямой поперечный изгиб. 100 Рекомендуемая литература 108 Раздел 1 Теоретическая механика Лекция 1. Предмет теоретической механики. Элементы статики Вопрос 1 Предмет и метод теоретической механики Под названием “механика” объединяется ряд наук, изучающих механическое движение и механическое взаимодействие твердых и деформируемых тел, а также жидких и газообразных сред. Механическое движение – один из видов движения материи, выражающееся в изменении с течением времени взаимных положений тел или их частей. Механическое взаимодействие – один из видов взаимодействия материи, вызывающий изменение механического движения тел или их частей, а также препятствующий изменению их взаимных положений. Теоретическая механика – изучает законы механического движения и механического взаимодействия, общие для любых тел. Общность законов, пригодность для любых тел и систем, достигается абстрагированием (отвлечением) от несущественных особенностей рассматриваемого тела и выделением наиболее важных особенностей. Именно по этому теоретическая механика является базовой наукой, на основе которой изучаются другие прикладные технические дисциплины. Методы теоретической механики. 1.Метод абстракций. 2. Метод логических рассуждений. 3. Метод математических вычислений. При изучении условий равновесия вполне допустимо пренебрегать малыми деформациями соответствующих твердых тел и рассматривать их как недеформируемые или абсолютно твердые. Абсолютно твердым телом называют такое тело, расстояние между каждыми двумя точками которого всегда остается постоянным. Теоретическая механика состоит из трех разделов: Статика – изучает условия относительного равновесия механических систем. Для осуществления равновесия необходимо определенное соотношение сил, поэтому в статике изучаются общие свойства сил, правила замены сил другими силами, эквивалентными с точки зрения равновесия. Кинематика – изучает механическое движение без учета сил, вызывающих это движение или влияющих на него. Таким образом, устанавливаются некоторые количественные меры движения с чисто геометрической точки зрения. Динамика – изучает механическое движение в связи с действующими силами на объект движения. Таким образом, изучается связь между движением и действующими силами. Вопрос 2. Предмет статики. Основные понятия статики Сила – мера механического взаимодействия. Сила моделируется вектором, характеризуемым направлением, величиной (модулем) и точкой приложения. Кинематическое состояние тела – состояние покоя или движения с неизменными параметрами. Система сил – совокупность сил, приложенных к рассматриваемому объекту. Равнодействующая – сила, эквивалентная системе сил, т.е. не изменяющая кинематическое состояние. Эквивалентная система сил – заменяет данную систему сил без изменения кинематического состояния объекта. Взаимно уравновешенная система сил – под ее действием объект находится в равновесии. Вопрос 3 Система сходящихся сил. Связи. Реакции связей Величина, являющаяся основной мерой механического взаимодействия материальных тел, называется в механике силой. Рассматриваемые в механике величины можно разделить на скалярные, т.е. такие, которые полностью характеризуются их числовым значением, и векторные, т.е. такие, которые помимо числового значения характеризуются еще и направлением в пространстве. Сила — величина векторная. Ее действие на тело определяется: 1) числовым значением или модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения силы. Длина этого отрезка выражает в выбранном масштабе модуль силы, направление отрезка соответствует направлению силы, точка А является точкой приложения силы (силу можно изобразить и так, что точкой приложения будет конец силы). Прямая DE, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Распределённая нагрузка Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q, т.е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в ньютонах, деленных на метры (Н/м). Силы, равномерно распределенные вдоль отрезка прямой. Для такой системы сил интенсивность q имеет постоянное значение. При статических расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей Q. По модулю Приложена сила Q в середине отрезка АВ. Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по линейному закону. Для этих сил интенсивность q является величиной переменной, растущей от нуля до максимального значения. Равнодействующая Q таких сил определяется аналогично равнодействующей сил тяжести, действующих на однородную треугольную пластину AВС. Так как вес однородной пластины пропорционален ее площади, то, по модулю Приложена сила Q на расстоянии а/3 от стороны ВС треугольника АВС Аксиомы статики 1. Аксиома инерции – Под действием взаимно уравновешенной системы сил тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. 2. Аксиома двух сил – Если тело под действием двух сил находится в равновесии, то эти силы равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Такие две силы представляют собой простейшую взаимно уравновешенную систему сил. 3. Аксиома присоединения – Если к заданной системе сил присоединить (или изъять) взаимно уравновешенную систему сил, то кинематическое состояние тела не изменится. Следствие из аксиомы присоединения – Кинематическое состояние тела не изменится, если силу перенести по линии ее действия. 4. Аксиома параллелограмма – Равнодействующая двух пересекающихся сил равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах. 5. Аксиома действия и противодействия – Всякому действию соответствует равное и противоположное противодействие (III закон Ньютона). 6. Аксиома отвердевания – Равновесие деформируемого тела сохраняется при его затвердевании (обратное справедливо не всегда). Система сходящихся сил Система сходящихся сил – линии действия сил пересекаются в одной точке. План исследования любой системы сил соответствует последовательному решению трех вопросов : 1. Как упростить систему? 2. Каков простейший вид системы? 3. Каковы условия равновесия системы? 4. Перенесем все силы по линии их действия в точку пересечения (кинематическое состояние тела при этом не изменится – следствие из аксиомы присоединения). Сложим первые две силы F1 и F2 (аксиома параллелограмма). Количество сил уменьшилось на единицу. Сложим полученную равнодействующую R12 со следующей силой F3. Количество сил вновь уменьшилось на единицу. Повторим эту же операцию со следующей силой F4. Осталась всего одна сила, эквивалентная исходной системе сил. Сложение сил построением параллелограммов можно заменить построением силового треугольника – выбирается одна из сил или изображается параллельно самой себе с началом в любой произвольной точке, все другие силы изображаются параллельными самим себе с началом, совпадающим с концом предыдущей силы. Результатом такого сложения является вектор, направленный из начала первой силы к концу последней из сил. 2. Простейший вид системы – сила, приложенная в точке пересечения исходных сил. Таким образом, сходящаяся система сил приводится к одной силе – равнодействующей (силе, эквивалентной исходной системе сил), равной геометрической сумме сил системы. 3. Если равнодействующая системы оказывается не равной нулю, тело под действием такой системы силы будет двигаться в направлении равнодействующей (система сил не уравновешена). Для того, чтобы уравновесить систему достаточно приложить силу, равную полученной равнодействующей и направленной в противоположную сторону (аксиома о двух силах). Таким образом, условием равновесия системы сходящихся сил является обращение равнодействующей в ноль. Это условие эквивалентно замкнутости силового треугольника определенным образом, а именно, направление всех сил при обходе по контуру не изменяется по направлению: Связи и реакции связей Свободное тело – свобода перемещений тела не ограничивается никакими другими телами. Несвободное тело – его движение ограничено другими телами. Связь – тело, ограничивающее свободу перемещений объекта. Реакция связи – сила, действующая на объект со стороны связи. Принцип освобождаемости от связи – несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие соответствующими реакциями. Виды связей и их реакции: Общее правило для связей любого вида: Если связь препятствует одному или нескольким перемещениям (максимальное число перемещений – три поступательных и три вращательных), то по направлению именно этих и только этих перемещений возникают соответствующие реакции (силы и моменты). 1. Нить, шарнирный стержень: Реакция нити (стержня) Направлена по нити (по стержню). 2. Абсолютно гладкая поверхность: Реакция гладкой поверхности направлена перпендикулярно общей касательной плоскости, проведенной к соприкасающимся поверхностям тела и связи. 3. Неподвижный цилиндрический шарнир: Реакция неподвижного шарнира проходит через центр шарнира перпендикулярно оси шарнира и имеет произвольное направление. Реакцию неподвижного шарнира можно разложить на две составляющие, например, Rx и Ry, параллельные координатным осям. 4. Подвижный цилиндрический шарнир: Реакция подвижного шарнира проходит через центр шарнира перпендикулярно оси шарнира и плоскости опирания. 5. Неподвижный сферический шарнир: Реакция неподвижного сферического шарнира проходит через центр шарнира и имеет произвольное направление в пространстве. Реакцию неподвижного сферического шарнира можно разложить на три составляющие, например, Rx, Ry, Rz, параллельные координатным осям. 6. Жесткая плоская заделка: В жесткой плоской заделке возникает три реактивных усилия: две составляющие реактивные силы Rx и Ry, а также реактивный момент (пара сил) MA . Задачи статики : • 1) преобразование систем сил, действующих на твердое тело, в системы им эквивалентные, в частности приведение данной системы сил к простейшему виду; • 2) определение условий равновесия систем сил, действующих на твердое тело. Решать задачи статики можно или путем соответствующих геометрических построений (геометрический и графический методы), или с помощью численных расчетов (аналитический метод). В курсе будет главным образом применяться аналитический метод, однако следует иметь в виду, что наглядные геометрические построения играют при решении задач механики чрезвычайно важную роль. Лекция 2. Кинематика точки и твёрдого тела. Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве и во времени независимо от тех причин (сил), которые обуславливают это движение. При таком узком подходе движение должно быть задано, а определяются лишь его пространственно-временные характеристики (путь, скорость, ускорение). В теоретической механике изучается простейшая форма движения материи – механическое движение, т.е. происходящее во времени изменение положения одного тела относительно другого, с которым связана система координат, называемая системой отсчета. Систему отсчета можно связать с любым телом (выбор определяется целью исследования). Эта система может быть как движущейся, так и условно неподвижной. При изучении движений на Земле за условно неподвижную систему отсчета обычно принимают систему осей, неизменно связанных с Землей. Пространство в механике рассматривается как трехмерное евклидово пространство, и все измерения проводятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояний принимается метр, а за единицу времени – одна секунда. Для решения задач кинематики необходимо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано). Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) – значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени. Считается, что движение точки по отношению к какой-либо системе отсчета задано, если известен способ, по которому можно определить ее положение в любой момент времени. Установление математических способов задания движения точек или тел является одной из важных задач кинематики. Прежде, чем изучать движение тела, необходимо рассмотреть кинематику точки. Основные задачи кинематики точки • описание способов задания движения точки; • определение кинематических характеристик движения точки (скорости, ускорения). Скорость точки – это величина, которая характеризует как быстро и в каком направлении меняется положение точки в пространстве. Ускорение точки – это мера движения, которая характеризует как быстро и в каком направлении меняется скорость точки в пространстве. Вопрос 1 Способы задания движения точки. Скорость и ускорение точки 1. Векторный способ задания движения 2. Координатный способ задания движения 3. Естественный способ задания движения 1. Векторный способ Векторный способ задания движения точки состоит в том, что задается закон изменения радиус−вектора движущейся точки М как функции времени: Рис. 1 Положение точки М в пространстве относительно начальной точки О определяется радиусом – вектором: (см. рис. 1). Это равенство называется векторным уравнением движения точки или законом движения точки в векторной форме. Скорость и ускорение точки. Определение скорости точки Пусть радиус−вектор, определяющий положение точки М в момент времени t; – радиус−вектор, определяющий положение точки М в момент времени t1 = t + Δt Тогда , где ∆ r- вектор перемещения точки за промежуток времени Δt. Средней скоростью перемещения точки называется вектор, равный отношению вектора перемещения точки к промежутку времени Δt. Средняя скорость перемещения есть вектор, направленный по вектору перемещения. Скорость точки в данный момент времени находится как предел средней скорости при стремлении промежутка времени к нулю, то есть Следовательно, скорость точки в данный момент времени равна векторной производной от радиуса−вектора точки по времени. Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Определение ускорения точки Пусть - скорость точки в момент времени t - скорость точки в момент времени t1 = t + Δt ∆U- векторное приращение скорости точки за промежуток времени Δt. Средним ускорением точки называется вектор, равный отношению вектора приращения скорости точки к промежутку времени Δt. Среднее ускорение точки есть вектор того же направления, что и вектор приращения скорости. Ускорением в данный момент времени называется предельное значение среднего ускорения при стремлении промежутка времени к нулю, то есть Таким образом Ускорение точки есть вектор, равный первой производной вектора скорости по времени или второй производной от радиуса−вектора точки по времени. Вектор ускорения направлен в сторону вогнутости траектории. 2. Координатный способ Требует предварительного выбора системы координат. Чаще всего используют декартову прямоугольную систему координат. Рис. 2 Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами x, y, z, которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значение координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости Эти уравнения называются уравнениями движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Уравнения являются параметрическими, в которых роль параметра играет время t. По ним легко определить уравнение траектории точки в декартовых координатах. Чтобы записать уравнение траектории в явном форме, надо исключить из них время. Как известно из математики, радиус−вектор выражается формулой: Где x (t), y (t), z (t) − проекции радиус−вектора на оси декартовой системы координат; Формула (1) выражает связь между координатным и векторным способами задания движения. Определение скорости точки По определению Так как Следовательно, Продифференцировав выражение, получаем: С другой стороны Следовательно, Проекции скорости точки на оси неподвижных декартовых координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени. Определение ускорения точки Из определения ускорения: Так как Следовательно, 3. Естественный способ Естественный способ задания движения точки применяется, когда траектория движения точки заранее известна. Траекторией может быть как прямая, так и кривая линия. Рис. 3 Движение точки определено, если известны следующие элементы: 1) траектория точки, 2) начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчета, 3) закон движения точки вдоль траектории в виде Определение скорости точки Пусть за время t точка прошла путь ОМ = s За время t1 = t + Δt точка прошла путь ОМ1 = s1. Δ s – путь, пройденный точкой за время Δt. Отношение пройденного пути Δs к промежутку времени Δt называется средней скоростью точки за время Δt. Скорость точки в данный момент времени находится как предел средней скорости при стремлении промежутка времени к нулю, то есть Следовательно, Алгебраическое значение скорости в данный момент времени равно производной от дуговой координаты по времени. Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Определение ускорения точки Пусть Вычислим вектор ускорения точки по его проекциям на естественные оси. Эти оси направлены следующим образом Естественные оси – это оси подвижной прямоугольной системы координат с началом в движущейся точке. Ось Мτ направлена по касательной к траектории в положительном направлении отсчета дуговой координаты. Ось Мn направлена по главной нормали в сторону вогнутости траектории. Ось Мb перпендикулярна к первым двум и направлена так, чтобы она образовывала с ними правую тройку. Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости, то проекция вектора ускорения на бинормаль равна нулю, то есть Таким образом где Эта составляющая характеризует изменение скорости по модулю. Проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от дуговой координаты по времени. Эта составляющая характеризует изменение скорости по направлению Проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой. Вектор ускорения точки изображается диагональю параллелограмма, построенного на касательной и нормальной составляющих. Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю Вопрос 2. Понятие о простейшем движении твёрдого тела, понятие плоского движения твёрдого тела. Существует пять видов движения твердого тела: 1) поступательное движение; 2) вращение вокруг неподвижной оси; 3) плоское движение; 4) вращение вокруг неподвижной точки; 5) свободное движение. Первые два называются простейшими движениями твердого тела. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями. Приведем примеры. Кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги движется поступательно. При этом траектории его точек будут прямыми линиями. Поступательно движутся педали велосипеда относительно его рамы во время движения, поршни в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, кабины колеса обозрения в парках относительно Земли. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными. Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения. Так как расстояния между точками твердого тела должны оста­ваться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси. Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направим ось , полуплоскость - неподвижную и полуплоскость, врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним (рис. 3). Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком углом между этими полуплоскостями, который назовем углом поворота тела. Будем считать угол положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси ), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла от времени t, т.е. . Уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение . Лекция 3. Динамика механической системы Вопрос 1 Введение в динамику Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил. Движение тел с чисто геометрической точки зрения рассматривалось в кинематике. В динамике, в отличие от кинематики при изучении движения тел принимают во внимание как действующие на них силы, так и инертность самих материальных тел. Понятие о силе, как об основной мере механического действия оказываемого на материальное тело, было введено в статике. Но в статике мы не касались вопроса о возможных изменениях действующих сил с течением времени, а при решении задач считали все силы постоянными. Между тем на движущееся тело наряду с постоянными силами действуют обычно силы переменные, модули и направления которых при движении тела изменяются. При этом переменными могут быть и заданные (активные) силы, и реакции связей. Как показывает опыт, переменные силы могут определенным образом зависеть от времени, положения тела и его скорости. В частности, от времени зависит сила тяги электровоза при постепенном выключении или включении реостата или сила, вызывающая колебания фундамента при работе мотора с плохо центрированным валом; от положения тела зависит ньютонова сила тяготения или сила упругости пружины; от скорости зависят силы сопротивления среды. В заключение отметим, что все введенные в статике понятия и полученные там результаты относятся в равной мере и к переменным силам, так как условие постоянства сил нигде в статике не использовалось. Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет свое движение при отсутствии действующих сил, а когда на него начинает действовать сила, то скорости точек тела изменяются не мгновенно, а постепенно и тем медленнее, чем больше инертность этого тела. Количественной мерой инертности материального тела является физическая величина, называемая массой тела. В классической механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела. Кроме суммарной массы движение тела зависит еще в общем случае от формы тела, точнее, от взаимного расположения образующих его частиц, т. е. от распределения масс в теле. Чтобы при первоначальном изучении динамики отвлечься от учета формы тела (распределения масс), вводят абстрактное понятие о материальной точке, как о точке, обладающей массой, и начинают изучение динамики с динамики материальной точки. Из кинематики известно, что движение тела слагается в общем случае из поступательного и вращательного. При решении конкретных задач материальное тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда по условиям задачи допустимо не принимать во внимание вращательную часть движения тела. Например, материальной точкой можно считать планету при изучении ее движения вокруг Солнца или артиллерийский снаряд при определении дальности его полета и т. п. Соответственно поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела. Изучать динамику мы начнем с динамики материальной точки, так как естественно, что изучение движения одной точки должно предшествовать изучению движения системы точек и, в частности, твердого тела. Динамика – раздел теоретической механики, изучающий механическое движение с самой общей точки зрения. Движение рассматривается в связи с действующими на объект силами. Раздел состоит из трех частей: Динамика точки – изучает движение материальной точки с учетом сил, вызывающих это движение. Основной объект - материальная точка – материальное тело, обладающей массой, размерами которого можно пренебречь. Динамика механической системы – изучает движение совокупности материальных точек и твердых тел, объединяемых общими законами взаимодействия, с учетом сил, вызывающих это движение. Аналитическая механика – изучает движение несвободных механических систем с использованием общих аналитических методов. Основные допущения: – существует абсолютное пространство (обладает чисто геометрическими свойствами, не зависящими от материи и ее движения. – существует абсолютное время (не зависит от материи и ее движения). Отсюда вытекает: – существует абсолютно неподвижная система отсчета. – время не зависит от движения системы отсчета. – массы движущихся точек не зависят от движения системы отсчета. Эти допущения используются в классической механике, созданной Галилеем и Ньютоном. Она имеет до сих пор достаточно широкую область применения, поскольку рассматриваемые в прикладных науках механические системы не обладают такими большими массами и скоростями движения, для которых необходим учет их влияния на геометрию пространства, время, движение, как это делается в релятивистской механике (теории относительности). Вопрос 2 Основное уравнение динамики. Дифференциальные и естественные уравнения движения Основные законы динамики – впервые открытые Галилеем и сформулированные Ньютоном составляют основу всех методов описания и анализа движения механических систем и их динамического взаимодействия под действием различных сил. Закон инерции (закон Галилея-Ньютона) – Изолированная материальная точка тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Отсюда следует эквивалентность состояния покоя и движения по инерции (закон относительности Галилея). Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной. Свойство материальной точки стремиться сохранить неизменной скорость своего движения (свое кинематическое состояние) называется инертностью. Закон пропорциональности силы и ускорения (Основное уравнение динамики - II закон Ньютона) – Ускорение, сообщаемое материальной точке силой, прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе этой точки: Здесь m – масса точки (мера инертности), измеряется в кг, численно равна весу, деленному на ускорение свободного падения: F – действующая сила, измеряется в Н (1 Н сообщает точке массой 1 кг ускорение 1 м/c2, 1 Н = 1/9.81 кг-с). Закон равенства действия и противодействия (III закон Ньютона) – Всякому действию соответствует равное по величине и противоположно направленное противодействие: Закон справедлив для любого кинематического состояния тел. Силы взаимодействия, будучи приложенные к разным точкам (телам) не уравновешиваются. Закон независимости действия сил – Ускорение материальной точки под действием нескольких сил равно геометрической сумме ускорений точки от действия каждой из сил в отдельности: или Основное уравнение динамики : - соответствует векторному способу задания движения точки. Дифференциальные уравнения движения материальной точки: Подставим ускорение точки при векторном задании движения в основное уравнение динамики: - дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде. В координатном виде используем связь радиуса-вектора с координатами и вектора силы с проекциями: После группировки векторное соотношение распадается на три скалярных уравнения: или дифференциальные уравнения движения точки в координатном виде. Этот результат может быть получен формальным проецированием векторного дифференциального уравнения (1). Естественные уравнения движения материальной точки – получаются проецированием векторного дифференциального уравнения движения на естественные (подвижные) оси координат или - естественные уравнения движения точки. Вопрос 3 Две основные задачи динамики Две основные задачи динамики: 1. Прямая задача: Задано движение (уравнения движения, траектория). Требуется определить силы, под действием которых происходит заданное движение. 2. Обратная задача: Заданы силы, под действием которых происходит движение. Требуется найти параметры движения (уравнения движения, траекторию движения). Обе задачи решаются с помощью основного уравнения динамики и проекции его на координатные оси. Если рассматривается движение несвободной точки, то как и в статике, используется принцип освобождаемости от связей. В результате реакции связей включаются в состав сил, действующих на материальную точку. Решение первой задачи связано с операциями дифференцирования. Решение обратной задачи требует интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений и это значительно сложнее, чем дифференцирование. Обратная задача сложнее прямой задачи. Решение прямой задачи динамики - рассмотрим на примерах: Пример 1. Кабина весом G лифта поднимается тросом с ускорением a . Определить натяжение троса. 1. Выбираем объект (кабина лифта движется поступательно и ее можно рассматривать как материальную точку). 2. Отбрасываем связь (трос) и заменяем реакцией R. 3. Составляем основное уравнение динамики: 4. Проецируем основное уравнение динамики на ось y: Определяем реакцию троса: Определяем натяжение троса: При равномерном движении кабины ay = 0 и натяжение троса равно весу: T = G. При обрыве троса T = 0 и ускорение кабины равно ускорению свободного падения: ay = -g. Пример 2. Точка массой m движется по горизонтальной поверхности (плоскости Oxy) согласно уравнениям: x = a×coskt, y = b×coskt. Определить силу, действующую на точку. 1. Выбираем объект (материальную точку). 2. Отбрасываем связь (плоскость) и заменяем реакцией N. 3. Добавляем к системе сил неизвестную силу F. 4. Составляем основное уравнение динамики: 5. Проецируем основное уравнение динамики на оси x,y : Определяем проекции силы: Модуль силы: Направляющие косинусы: Таким образом, величина силы пропорциональна расстоянию точки до центра координат и направлена к центру по линии, соединяющей точку с центром. Траектория движения точки представляет собой эллипс с центром в начале координат: Пример 3: Груз весом G подвешен на тросе длиной l и движется по круговой траектории в горизонтальной плоскости с некоторой скоростью. Угол отклонения троса от вертикали равен a. Определить натяжение троса и скорость груза. 1. Выбираем объект (груз). 2. Отбрасываем связь (трос) и заменяем реакцией R. 3. Составляем основное уравнение динамики: 4. Проецируем основное уравнение динамики на оси t,n, b: Из третьего уравнения определяем реакцию троса: Определяем натяжение троса: Подставляем значение реакции троса, нормального ускорения во второе уравнение и определяем скорость груза: Пример 4: Автомашина весом G движется по выпуклому мосту (радиус кривизны равен R) со скоростью V. Определить давление автомашины на мост. 1. Выбираем объект (автомашина, размерами пренебрегаем и рассматриваем как точку). 2. Отбрасываем связь (шероховатую поверхность) и заменяем реакциями N и силой трения Fтр. 3. Составляем основное уравнение динамики: 4. Проецируем основное уравнение динамики на ось n: Отсюда определяем нормальную реакцию: Определяем давление автомашины на мост: Отсюда можно определить скорость, соответствующую нулевому давлению на мост (Q = 0): Решение обратной задачи динамики – В общем случае движения точки силы, действующие на точку, являются переменными, зависящими от времени, координат и скорости. Движение точки описывается системой трех дифференциальных уравнений второго порядка: После интегрирования каждого из них будет шесть постоянных C1, C2,…., C6: Значения постоянных C1, C2,…., C6 находятся из шести начальных условий при t = 0: После подстановки найденных значений постоянных получаем: Таким образом, под действием одной и той же системы сил материальная точка может совершать целый класс движений, определяемых начальными условиями. Начальные координаты учитывают исходное положение точки. Начальная скорость, задаваемая проекциями, учитывает влияние на ее движение по рассматриваемому участку траектории сил, действовавших на точку до прихода на этот участок, т.е. начальное кинематическое состояние. Пример 1 решения обратной задачи: Свободная материальная точка массы m движется по действием силы F, постоянной по модулю и величине. В начальный момент скорость точки составляла v0 и совпадала по направлению с силой. Определить уравнение движение точки. 1. Составляем основное уравнение динамики: 2. Выберем декартову систему отсчета, направляя ось x вдоль направления силы и спроецируем основное уравнение динамики на эту ось: или 3. Понижаем порядок производной: 4. Разделяем переменные: 5. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения: 6. Представим проекцию скорости как производную координаты по времени: 7. Разделяем переменные: 8. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения: 9. Для определения значений постоянных C1 и C2 используем начальные условия t = 0, vx = v0 , x = x0 : В итоге получаем уравнение равнопеременного движения (по оси x): Общие указания к решению прямой и обратной задачи. Порядок решения: 1. Составление дифференциального уравнения движения: 1.1. Выбрать систему координат – прямоугольную (неподвижную) при неизвестной траектории движения, естественную (подвижную) при известной траектории, например, окружность или прямая линия. В последнем случае можно использовать одну прямолинейную координату. Начало отсчета совместить с начальным положением точки (при t = 0) или с равновесным положением точки, если оно существует, например, при колебаниях точки. 1.2. Изобразить точку в положении, соответствующем произвольному моменту времени (при t > 0) так, чтобы координаты были положительными (s > 0, x > 0). При этом считаем также, что проекция скорости в этом положении также положительна. В случае колебаний проекция скорости меняет знак, например, при возвращении к положению равновесия. Здесь следует принять, что в рассматриваемый момент времени точка удаляется от положения равновесия. Выполнение этой рекомендации важно в дальнейшем при работе с силами сопротивления, зависящими от скорости. 1.3. Освободить материальную точку от связей, заменить их действие реакциями, добавить активные силы. 1.4. Записать основной закон динамики в векторном виде, спроецировать на выбранные оси, выразить задаваемые или реактивные силы через переменные время, координаты или скорости, если они от них зависят. 2. Решение дифференциальных уравнений: 2.1. Понизить производную, если уравнение не приводится к каноническому (стандартному) виду. например: или Лекция 4 Аналитическая механика Вопрос 1 Обобщенные координаты. Уравнения связей. Принцип возможных перемещений Рассмотрим механическую систему из п материальных точек , на которые наложено l голономных связей . Положение этой системы в пространстве может быть задано 3п декартовыми координатами, которые к тому же должны удовлетворять l уравнениям связей. Следовательно, число независимых координат s = 3п — l. (1) Независимые между собой параметры, которые при наименьшем числе однозначно определяют положение механической системы, называются обобщенными координатами и обозначаются , В качестве обобщенных координат можно принять s из 3п декартовых координат или, что удобнее, s других независимых величин: расстояния, длину отрезков и дуг, углы, площади, объемы. Обобщенные координаты могут и не иметь геометрического смысла. Декартовы координаты точек механической системы можно выразить через обобщенные координаты и время: , j = 1, 2,..., n. (2) Функции (2) предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми. При решении задач механики часто нет необходимости принимать во внимание уравнения голономных связей, если из условия задачи видно, как следует выбрать обобщенные координаты, необходимые и достаточные для определения возможных положений системы. Возможные перемещения, или вариации, , точек механической системы могут быть определены с использованием равенства (2) через вариации , обобщенных координат: j= 1, 2,..., n. (3) Отсюда следует, что для голономной системы число обобщенных координат совпадает с числом степеней свободы этой системы. Связи и их уравнения. Связями принято называть ограничения, налагаемые на положения и скорости точек механической системы, которые должны выполняться при любых действующих на систему силах. Если на перемещения системы не наложено никаких ограничений или связей, она называется свободной системой. При наличии одной или нескольких связей она становится несвободной системой. Уравнения, которым из-за наложенных связей должны удовлетворять координаты точек механической системы и их скорости (первые производные от координат по времени), принято называть уравнениями связей. В общем случае уравнение связи имеет вид: (1.1) в котором 6п + 1 аргументов: - 3п координат точек P; - 3п проекций их скоростей и время t. Функция f предполагается дважды непрерывно дифференцируемой. Например, если материальная точка может перемещаться только в некоторой пло­скости, совпадающей с плоскостью Оху декартовой системы координат, то уравнением связи будет z=0. Предположим, точка перемещается по сфере, радиус которой изменяется во времени: R =f (t).Если центр сферы совпадает с началом координат, а х, у, z — координаты движущейся точки, то уравнение связи будет х2 + у2 + z2 - f(t) = 0 . Когда две материальные точки Р1 и Р2 соединены нерастяжимой нитью длиной l, уравнение связи имеет вид l2 - ( - )2 0 . Если материальная точка перемещается в пространстве, оставаясь внутри или на границе первого октанта системы координат, условия связи задают неравенствами: х В зависимости от вида функции (1) связи подразделяют на: 1) геометрические и дифференциальные; 2) голономные и неголономные; 3) стационарные и нестационарные; 4) удерживающие и неудерживающие. К геометрическим связям относят такие связи, уравнения которых содержат только координаты точек механической системы (и, может быть, время). Дифференциальными связями считают связи, уравнения которых, кроме координат точек механической системы, содержат и первые производные от этих координат по времени (и, может быть, время). Примеры дифференциальных связей: связи конька при движении его по льду, связи колеса при качении его без скольжения по некоторой поверхности. Геометрические связи и дифференциальные связи, уравнения которых могут быть проинтегрированы, называются голономными связями. Неголономными связями принято называть дифференциальные связи, уравнения которых не могут быть проинтегрированы. В качестве примера рассмотрим качение диска по наклонной плоскости без скольжения (рис. 1). Рис. 1 Положение диска определяется координатой хс центра С диска и углом поворота . При качении выполняется соотношение , или , где R — радиус диска. Следовательно, имеет место дифференциальная связь. Однако полученное уравнение можно проинтегрировать (), т. е. получить зависимость между координатами, определяющими положение диска. Таким образом, рассматриваемая связь — голономная. Механические системы по виду связей подразделяют на голономные с голономными связями и неголономные, на которые наложены неголономные связи. Связи, в уравнения которых время явно не входит, называются стационарными связями, а в противном случае — нестационарными связями. Для точки, перемещающейся по сфере, связь нестационарная, в остальных примерах выше описаны стационарные связи. Кроме того, различают связи удерживающие, если налагаемые ими ограничения не зависят от положения системы, и неудерживающие связи, не обладающие таким свойством, в описании которых (см. уравнение (1.1)) имеется как знак равенства, так и знак неравенства. В двух первых примерах связи удерживающие. Механические системы с неудерживающими связями ниже не рассматриваются. Конструктивно связи осуществляют в виде поверхностей, стержней, нитей, шарниров, направляющих и др. Принцип возможных перемещений. Возможные перемещения. В статике действие связей учитывают их реакциями. Однако вместо реакций можно рассматривать перемещения, допускаемые связями. Тогда и в уравнениях равновесия (движения) механической системы не будет неизвестных реакций связей. Когда материальная, точка Р под действием приложенных сил перемещается по поверхности, движущейся в системе координат Oxyz (рис. 2), поверхность, уравнение которой f(, t) = 0 или f(x,y,z,t) = 0 , (2.2) является для точки Р удерживающей, нестационарной и голономной связью. Рис. 2. Элементарное действительное d и возможные перемещения точки Р Предположим, что в момент времени t точка занимает положение Р(х, у, z), определяемое радиус-вектором , а за время dt точка вместе с поверхностью переместится в положение , при этом радиус-вектор изменится на d . Перемещение точки из одного положения в другое, бесконечно близкое к первому, выражаемое дифференциалом радиус-вектора точки, представляет собой элементарное перемещение точки: Вектор d , действительное перемещение точки, направлен по касательной к траектории точки, так как d = dt. Если в некоторый момент времени t сообщить точке воображаемое малое перемещение, допускаемое ее связями, то радиус-вектор точки Р получит малое приращение называемое изохронной вариацией радиус-вектора точки. Это название отражает то, что изменение радиус-вектора происходит изохронно t. Любое допускаемое наложенными связями элементарное перемещение материальной точки из положения, занимаемого ею в некоторый момент времени, выражаемое изохронной вариацией радиус-вектора этой точки, называется возможным или виртуальным перемещением точки: Проекции, или вариации, возможного перемещения формально вычисляются как дифференциалы функции (2.2) при постоянном значении времени t и, следовательно, должны удовлетворять уравнению (2.3) Производные df/дх, df/ду, df/dz — компоненты вектора grad f, и уравнение (2.3) можно представить в виде скалярного произведения векторов: (2.4) Градиент функции f — это вектор, направленный вдоль внешней нормали к поверхности (2) в рассматриваемой точке Р. (Градиент – это вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой) Из уравнения (2.4) видно, что любой вектор возможного перемещения точки перпендикулярен к нормали к поверхности, по которой движется точка. Следовательно, в рассматриваемый момент времени векторы находятся в плоскости, касательной к этой поверхности в точке Р (рис. 3). Рис. 3. Возможные перемещения при стационарной связи Еще раз подчеркнем, что возможные перемещения точки представляют собой воображаемые малые перемещения, которые она могла бы совершать из данного положения без нарушения наложенных связей при отсутствии действующих на точку сил при остановленном времени. Отметим, что при стационарных связях вектор d точки будет одним из возможных д (см. рис. 3), а в случае нестационарной связи d не совпадает ни с одним из д (см. рис. 2). Возможное, или виртуальное, перемещение механической системы — это любая совокупность возможных перемещений точек данной системы, допускаемая всеми наложенными на нее связями. Возможные перемещения системы или твердого тела должны удовлетворять двум условиям: 1) быть малыми, чтобы конфигурация системы и ее положение в пространстве оставались неизменными; 2) связи, наложенные на систему, не должны нарушаться при ее возможных перемещениях. Рис. 4. Возможное перемещение: рычага Например, возможное перемещение рычага АВ (рис. 4) — поворот его на элементарный угол относительно точки О. При таком повороте точки А и В перемещаются по дугам окружностей и . Эти перемещения с точностью до величины первого порядка малости можно заменить возможными перемещениями = АА' и = ВВ' в виде прямолинейных отрезков на касательных к траекториям точек Возможным перемещением кривошипно-ползунного механизма ОАВ (рис. 5) будет перемещение, соответствующее повороту кривошипа ОА на бесконечно малый угол относительно оси О. Тогда возможное перемещение точки А кривошипа будет соответствовать отрезку касательной АА' к дуге окружности с центром в точке О: = АА' = ОА. Возможным перемещением ползуна В в этом случае является элементарный отрезок его прямолинейной траектории: = . Рис. 5. Возможное перемещение кривошипно-ползунного механизма Заметим, что перемещение кривошипно-ползунного механизма из положения, показанного на рисунке, в положение, когда = 0, нельзя рассматривать как возможное, так как при = 0 эффект наложенных связей будет другим, в частности изменяются условия равновесия механизма. Число степеней свободы механической системы. Любая механическая система может иметь множество возможных перемещений, среди которых можно выделить некоторое число перемещений, не зависящих одно от другого. Так, если для рычага АВ (см. рис. 4.) за независимое возможное перемещение принять вектор , то возможное перемещение точки С, например, можно выразить через следующим образом: Модули возможных перемещений точек рычага пропорциональны расстояниям от них до оси поворота. Число независимых между собой возможных перемещений механической системы называется числом степеней свободы этой системы. Число степеней свободы механической системы с геометрическими связями равно числу независимых координат, описывающих положение этой системы. Некоторые примеры. 1).Свободная точка в пространстве имеет три степени свободы. Независимыми являются три возможных перемещения точки вдоль трех координатных осей; положение точки определяется тремя независимыми координатами, например х, у, z. 2).Материальная точка при движении по поверхности обладает двумя степенями свободы. Ее положение на поверхности определяется двумя независимыми координатами. 3).Свободное твердое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы. Оно может перемещаться вдоль координатных осей и поворачиваться относительно этих осей. 4).Механическая система из двух материальных точек, соединенных жестким стержнем, при движении в плоскости имеет три степени свободы. 5).Кривошипно-ползунный механизм, показанный на рис. 5, имеет одну степень свободы. Принцип возможных перемещений. Исследуем общие условия равновесия механической системы. Под равновесием понимается такое состояние механической системы, при котором все ее точки под действием приложенных сил остаются в покое относительно рассматриваемой системы отсчета. Равновесие является частным случаем движения механической системы, когда скорости всех ее точек равны нулю. В основе аналитической статики лежит принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными удерживающими стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы суммарная элементарная работа всех действующих на нее активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю: (1) Это уравнение называется общим уравнением статики. Докажем необходимость условия (1). Когда система из п материальных точек находится в равновесии при действии активных сил и реакций идеальных удерживающих стационарных связей, для любой точки можно записать уравнение равновесия: . Определив работу заданных сил на возможном перемещении всех точек и просуммировав выражения почленно, найдем для всей системы: Равенство (1) в координатной форме: (2) Общее уравнение статики (1) в обобщенных координатах записывается в виде (3) где Q, — обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате ; s — число степеней свободы системы. В случае голономной системы число обобщенных координат совпадает с числом степеней свободы этой системы, вариации обобщенных координат в уравнении (3) не зависят одна от другой, и равенство (3) выполняется тогда и только тогда, когда множители при равны нулю. Следовательно, для равновесия системы с голономными связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы были равны нулю: , i= 1, 2, ..., s. (4) Принцип возможных перемещений используют при изучении механических систем, находящихся в состоянии равновесия: из уравнений равновесия исключаются неизвестные реакции идеальных связей, причем нет необходимости рассматривать равновесие отдельных частей или тел системы. Если требуется определить силы трения и реакции связей, то их относят к активным силам. Число уравнений равновесия равно числу степеней свободы системы. Вопрос 2. Уравнения Лагранжа II рода. Кинетический потенциал. Предположим, что механическая система из п материальных точек имеет S степеней свободы. В случае голономных нестационарных связей радиус-вектор любой точки этой системы является функцией обобщенных координат и времени t: =(, t) Обобщенные координаты системы являются функциями времени. Поэтому радиус-вектор является сложной функцией времени и вектор скорости точки определяется по правилу дифференцирования сложной функции: == (3.1) или = (3.2) Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями. Из выражения (3.1) следует, что частная производная от по какой-либо обобщенной скорости равна коэффициенту при в правой части этого выражения, т.е. равна частной производной от по координате : (3.3) Кинетическая энергия механической системы, как известно, определяется по формуле: Т= (3.4) Из выражения (3.2) следует, что вектор скорости точки в случае голономных нестационарных связей является функцией обобщенных координат, содержащихся в выражениях , обобщенных скоростей и времени. Поэтому кинетическая энергия механической системы является функцией тех же переменных: Т= Т (3.5) Найдем частные производные от кинетической энергии по обобщенной координате и обобщенной скорости , дифференцируя выражение (3.4) как сложную функцию: Преобразуем последнее выражение на основании равенства (3.3): Продифференцируем это выражение по времени: (3.6) Рассмотрим две суммы, входящие в правую часть полученного равенства (3.6), учитывая, что для несвободной материальной точки . 1. С помощью равенства, определяющего обобщенную силу, находим: == 2. Для установления значения второй суммы рассмотрим выражение . Частная производная является функцией тех же переменных, от которых зависит радиус-вектор точки . Дифференцируем как сложную функцию времени: = (3.7) Найдем частную производную , дифференцируя по выражение (1): = (3.8) Правые части выражений (3.7) и (3.8) отличаются только последовательностью дифференцирования, которая при непрерывных функциях не имеет значения; следовательно, = Пользуясь этой зависимостью, преобразуем вторую сумму в правой части равенства (3.6): == Подставляем найденные значения обеих сумм в равенство (3.6) и рассматриваем механическую систему со стационарными идеальными связями, для которых : , или (3.9) Систему S дифференциальных уравнений (3.9) называют уравнениями Лагранжа второго рода. Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат системы . Интегрируя эти дифференциальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получаем S уравнений движения механической системы в обобщенных координатах: Раздел 2. Теория механизмов и машин Лекция 1 Основные понятия теории механизмов и машин. Основные виды механизмов. Структурный анализ и синтез механизмов Вопрос 1. Понятие анализа и синтеза механизмов Теория механизмов – это наука, изучающая строение, кинематику и динамику механизмов в связи с их анализом и синтезом. Анализ – исследование структурных, кинематических и динамических свойств механизмов. Синтез – проектирование механизмов с заданными структурными, кинематическими и динамическими свойствами для осуществления требуемых движений. Всякий механизм состоит из отдельных деталей: подвижных и неподвижных. Каждая подвижная деталь или группа деталей, образующая одну жесткую подвижную систему тел, носит название подвижного звена механизма. Все неподвижные детали образуют одну жесткую неподвижную систему тел, называемую неподвижным звеном или стойкой. То есть в любом механизме имеется одно неподвижное и одно или несколько подвижных звеньев. Соединение двух соприкасающихся звеньев, допускающее их относительное движение, называется кинематической парой. Система звеньев, связанных между собой кинематическими парами, называется кинематической цепью. Вопрос 2. Кинематические пары и кинематические цепи На относительное движение каждого звена кинематической пары накладываются ограничения, зависящие от способа соединения звеньев пары. Эти ограничения называются условиями связи. В общем случае всякое свободно движущееся в пространстве абсолютно твердое тело, положение которого определяется тремя произвольно выбранными точками A, B, C, обладает в пространстве шестью степенями свободы. В самом деле, положение твердого тела в пространстве фиксируется координатами трех его точек A, B, C (т.е. девятью координатами). Между собой эти координаты связаны тремя условиями постоянства расстояний: AB, BC, CA. (См. рис.1). Таким образом, число независимых параметров, определяющих положение твердого тела в пространстве, т.е. число его степеней свободы, равно шести. Движение такого тела может быть всегда представлено тремя вращениями вокруг осей x, y, z и тремя поступательными движениями вдоль тех же осей, т.е. шестью видами независимых возможных движений. Число условий связи S кинематической пары должно быть меньше шести, так как при S=6 звенья теряют относительную подвижность, и кинематическая пара переходит в жесткое соединение двух звеньев. Точно так же число условий связи не может быть меньше единицы, так как при =0 звенья не соприкасаются, то есть имеется два тела, движущиеся в пространстве одно независимо от другого. Итак, число условий связи S, наложенных на относительное движение каждого звена кинематической пары, находится в пределах: 1 ≤ S ≤ 5. Следовательно, число степеней свободы H звена кинематической пары в относительном движении может быть выражено зависимостью H = 6 – S. (1) Все кинематические пары делятся на классы (I, II, III, IV, V) в зависимости от числа условий связи. Класс кинематической пары может быть определен из зависимости (1): S = 6 – H. (2) Пример 1. Число степеней свободы звеньев данной кинематической пары H = 5. Действительно, движение шара вдоль оси z ограничено плоскостью, а в сторону, обратную плоскости, невозможно, так как нарушило бы соприкосновение звеньев. Таким образом, движение шара может быть представлено как вращение вокруг трех осей и движение вдоль двух осей: число простейших движений шара равно пяти. Следовательно, число степеней свободы звеньев данной кинематической цепи H=5. Тогда число условий связи равно S = 6 – H = 6 – 5=1. Поэтому пара, изображенная на рис. 2, относится к парам I класса (пятиподвижная пара). Для решения вопроса, к какому классу относится та или иная кинематическая пара, целесообразно использовать следующий метод. Одно из звеньев, входящих в кинематическую пару, представить неподвижным. Связать с ним систему координат Oxyz и, ориентируясь по ней, проследить, какие движения другого звена пары невозможны из шести движений, которые оно имело бы возможность совершать, не входя в пару. Число этих невозможных движений (как равное числу связей в паре) представит собой номер класса пары. Пример 2. Свяжем систему координат Oxyz с плоскостью. Рассмотрим цилиндр. Находясь в кинематической паре с плоскостью, он лишен возможности совершать поступательное движение вдоль оси Oz, а также вращательное движение вокруг оси Oy Таким образом, число условий связи равно двум. Поэтому данная кинематическая пара относится к парам II класса (четырехподвижная пара). Таким образом, существует следующее соответствие между классом кинематической пары и числом степеней свободы ее звеньев: Кинематическая пара I класса – пятиподвижная пара; кинематическая пара II класса – четырехподвижная пара; кинематическая пара III класса – трехподвижная пара; кинематическая пара IV класса – двухподвижная пара; кинематическая пара V класса – одноподвижная пара. Таблица 1. Условные обозначения кинематических пар Класс пары Число условий связи Число степеней свободы Название пары Рисунок Условное обозначение I 1 5 Шар-плоскость II 2 4 Шар-цилиндр III 3 3 Сферическая III 3 3 Плоскостная IV 4 2 Цилиндрическая IV 4 2 Сферическая с пальцем V 5 1 Поступательная V 5 1 Вращательная V 5 1 Винтовая Кинематические пары делятся на низшие и высшие. Кинематическая пара, которая может быть выполнена соприкосновением элементов ее звеньев по поверхности, называется низшей. (Пример низшей кинематической пары: два цилиндра, находящиеся в постоянном соприкосновении, из которых один вращается внутри другого). Кинематическая пара, которая может быть выполнена соприкосновением элементов ее звеньев только по линиям или точкам, называется высшей. (Пример высшей кинематической пары: см. рис. 2). Вопрос 3. Структура механизмов Кинематической цепью называется система звеньев, связанных между собой кинематическими парами. Кинематические цепи делятся на простые (у которых каждое звено входит не более чем в две кинематические пары) и сложные (у которых хотя бы одно звено входит более чем в две кинематические пары). Цепи также бывают замкнутые (звенья образуют замкнутый контур) и незамкнутые (без контура). Механизм – это кинематическая цепь, в которой при заданном движении одного или нескольких звеньев относительно любого из них все остальные звенья совершают однозначно определяемые движения. Звено (звенья) механизма, которому сообщается движение, преобразуемое в требуемое движение других звеньев механизма, называется входным звеном (входными звеньями). Звено (звенья) механизма, совершающее требуемое движение, для которого предназначен механизм, называется выходным звеном (выходными звеньями). Для краткости используются термины «вход» и «выход». Остальные подвижные звенья называются соединительными или промежуточными. Ведущим называется звено, для которого сумма элементарных работ всех внешних сил, приложенных к нему, является положительной. Ведомым называется звено, для которого сумма элементарных работ всех внешних сил, приложенных к нему, является отрицательной или равна нулю. В плоском механизме все звенья движутся параллельно одной общей плоскости. Структурная формула кинематической цепи общего типа Если на движение звена в пространстве не наложено никаких условий связи, то оно обладает шестью степенями свободы. Тогда, если число звеньев кинематической цепи равно k, то общее число степеней свободы, которым обладают k звеньев до их соединения в кинематические пары, равно 6k. Соединение звеньев в кинематические пары накладывает различное число связей на относительное движение звеньев, зависящее от класса пар. Пусть число пар I класса, в которые входят звенья рассматриваемой цепи, равно p1, число пар II класса – p2, число пар III класса – p3, число пар IV класса – p4, число пар V класса – p5. Тогда из 6k степеней свободы, которыми обладали звенья до их вхождения в кинематические пары, необходимо исключить те степени свободы, которые отнимаются вхождением звеньев в кинематические пары. Следовательно, число степеней свободы H, которым обладает кинематическая цепь, равно: H=6k – 5p5 – 4p4 – 3p3 – 2p2 – p1. (3) Пояснение: одна пара V класса (одноподвижная) лишит кинематическую цепь пяти степеней свободы; p5 таких пар лишит данную кинематическую цепь 5p5 степеней свободы. Все пары IV класса отнимут у кинематической цепи 4p4 степеней свободы и т. д. Если одно из звеньев кинематической цепи неподвижно (является стойкой), то общее число степеней свободы цепи уменьшится на шесть, и число степеней свободы W относительно неподвижного звена будет равно W = H – 6. (4) Число W степеней свободы кинематической цепи относительно звена, принятого за неподвижное, называется числом степеней свободы кинематической цепи или, кратко, степенью свободы. Подставляя в формулу (4) вместо H его выражение из соотношения (3), получаем W = 6(k – 1) – 5p5 – 4p4 – 3p3 – 2p2 – p1 (5) Если в равенстве (5) обозначить величину k – 1 через n, то получим (6) где n – число подвижных звеньев кинематической цепи. Равенство (6) носит название формулы подвижности или структурной формулы кинематической цепи общего вида (формула Сомова-Малышева). Частным случаем этой формулы является структурная формула для плоских механизмов общего вида: W = 3n – 2p5 – p4. Примеры исследования кинематических цепей Пример 1. Рассмотрим пример на определение числа степеней свободы замкнутой кинематической цепи. (Рис. 4.) Рис. 4. Четырехзвенный пространственный механизм (к примеру 1) Решение. Звенья 1 (стойка) и 2 входят в пару A (V класса), звенья 2 и 3 – в пару B (V класса), звенья 3 и 4 – в пару С (IV класса) и, наконец, звенья 4 и 1 (стойка) входят в пару D (III класса). Число подвижных звеньев: n=3; число пар V класса p5 равно двум; число пар IV класса p4 равно единице; число пар III класса p3 также равно единице. Подставляя числа звеньев и пар в формулу (6), получаем W = 6n – 5p5 – 4p4 – 3p3 =63 – 52 – 41 – 31 = 1, т. е. рассматриваемая кинематическая цепь обладает одной степенью свободы. Пример 2. Определить число степеней свободы незамкнутой кинематической цепи, показанной на рисунке 5. Решение. Звенья 1 (стойка) и 2 входят в пару A (III класса), звенья 2 и 3 – в пару B (IV класса), звенья 3 и 4 – в пару С (V класса). Число подвижных звеньев: n=3. Подставляя числа звеньев и пар в формулу (6), получаем W = 6n – 5p5 – 4p4 – 3p3 =63 – 51 – 41 – 31 = 6, т. е. рассматриваемая кинематическая цепь обладает шестью степенями свободы. Рис. 5. Незамкнутая пространственная кинематическая цепь (к примеру 2) Лекция 2 Кинематический и силовой анализ механизмов Вопрос 1. Основные понятия кинематического анализа Основной задачей кинематики механизмов является изучение движения звеньев механизмов вне зависимости от сил, действующих на эти звенья. Рис. 1. Схема четырехзвенного шарнирного механизма с построенными на ней центрами мгновенного вращения Из теоретической механики известно, что при плоскопараллельном движении твердого тела (звена механизма) это движение в каждый момент времени может быть представлено как вращение вокруг некоторой точки, называемой мгновенным центром вращения. В механизмах мы можем рассматривать движение звеньев относительно стойки и относительно любого из звеньев механизма. Если движение звена относительно стойки принять за абсолютное движение, то соответствующий мгновенный центр вращения будем называть мгновенным центром вращения в абсолютном движении рассматриваемого звена. Если же рассматривается движение звена относительно любого подвижного звена механизма, то соответствующий мгновенный центр вращения будем называть мгновенным центром вращения в относительном движении рассматриваемых звеньев. На рис. 1 изображена схема механизма шарнирного четырех-звенника. Мгновенные центры вращения звеньев 2 и 4 относительно стойки 1 совпадают соответственно с точками А и D. Обозначим эти центры соответственно через P21 и P41. Мгновенным центром вращения звена 3 относительно звена 2 является точка В, которую мы обозначим через Р32- Наконец, мгновенный центр вращения P43 звена 4 относительно звена 3 совпадает с точкой С. Чтобы найти мгновенный центр вращения звена 3 относительно стойки 1, следует продолжить линии ВА и CD, точка пересечения которых Р31 и оказывается центром мгновенного вращения звена 3 относительно стойки 1. Как известно из теоретической механики, мгновенный центр вращения располагается на пересечении перпендикуляров к направлениям скоростей точек звена. В изображенном на рис. 1 механизме линии А В и DC как раз й являются перпендикулярами к векторам скоростей точек В и С. Мгновенные центры Р32, Р21 и Р31, имеющие индексы, представляющие собой сочетания из цифр 1,2, 3 по два, лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой лежат мгновенные центры Р43, Р41 и Р31, индексы которых представляют собой сочетания цифр 1, 3 и 4. Это следует из известной теоремы механики о сложении двух вращений вокруг параллельных осей. Результирующее вращение происходит вокруг оси, лежащей в их плоскости и параллельной первым двум. Этим свойством можно воспользоваться, например, для нахождения мгновенного центра вращения P42 в относительном движении звена 4 относительно звена 2. Мгновенный центр вращения Р42 должен одновременно лежать на прямой, соединяющей мгновенные центры Р32 и P43, и на прямой, соединяющей центры Р21 и P41, т.е. мгновенный центр вращения Р42 лежит на пересечении прямых СВ и DA. Это свойство мгновенных центров вращения в механизмах впервые было указано английским ученым Кеннеди. Установленное свойство мгновенных центров вращения позволяет определить все мгновенные центры вращения заданного механизма. Установленное свойство мгновенных центров вращения позволяет определить все мгновенные центры вращения заданного механизма. Рис. 2. Схема кривошипно-ползунного механизма с построенными на ней центрами мгновенного вращения Пусть нам дан кривошипно-ползунный механизм (рис. 2). Обозначим в точках А, В и С мгновенные центры вращения Р21, Р32 и Р43. Мгновенный центр P41 находится в бесконечности на прямой, перпендикулярной к оси х – х движения ползуна 4. Соединяем мгновенные центры вращения Р21 и Р32 и продолжаем прямую P21P32 до пересечения в точке Р13 с прямой Р43Р41, т. е. прямой, перпендикулярной к направляющей х – х (точка Р41 располагается в бесконечности), получаем мгновенный центр вращения Р31 звена 3 относительно звена 1. Для нахождения мгновенного центра вращения P42 в движении звена 4 относительно звена 2 соединяем мгновенные центры вращения P43 и Р32 и продолжаем эту прямую до пересечения в точке P42 с прямой, соединяющей мгновенные центры вращения Р21 и Р41, т. е. с прямой Р21, проведенной через точку перпендикулярно к направляющей х - х . Как известно из теоретической механики, геометрическое место мгновенных центров вращения образует так называемую центроиду. Рис. 3. Схема шарнирного антипараллелограмма с показанными на ней центроидами в относительном движении звеньев 2 и 4 На рис. 3 показан четырехзвенный шарнирный механизм антипараллелограмма, у которого противоположные звенья попарно равны. Пусть требуется построить центроиду в движении звена 2 относительно звена 4. Останавливаем звено 4 (условно принимаем его за стойку). Мгновенный центр вращения Р24 находится в пересечении прямых АВ и CD. Поворачиваем звено А В на полный оборот. Геометрическое место точек Р24 образует центроиду Ц24, которая для данного механизма является эллипсом с фокусами в точках А и D. Так как за стойку мы приняли звено 4, то центроида Ц24 принадлежит этому звену и может быть с ним жестко соединена. Если требуется построить центроиду в движении звена 4 относительно звена 2, то надо условно принять за стойку звено 2 и построить все положения мгновенного центра Р42. Кривая Ц42, представляющая собой эллипс с фокусами в точках С и В, является центроидой в движении звена 4 относительно звена 2. Центроиду Ц42, принадлежащую звену 2, мы можем жестко соединить с ним. Теперь движения звена 2 относительно звена 4, или наоборот, звена 4 относительно звена 2, могут быть осуществлены качением друг по другу без скольжения построенных центроид Ц24 и Ц42. В зависимости от того, какие из звеньев механизма ABCD будут приняты за стойку, центроиды Ц24 и Ц42 могут быть центроидами или в абсолютном движении звена, или в относительном. Так, останавливая звено 4 и жестко связанную с ним центроиду Ц24 мы можем воспроизвести абсолютное движение звена 2 как качение без скольжения подвижной центроиды Ц42 по неподвижной центроиде Ц24. Таким образом, в этом случае центроиды Ц24 и Ц42 оказываются соответственно подвижной и неподвижной центроидами в абсолютном движении звена 2. Наоборот, если остановить звено 2, то центроида Ц42 будет неподвижной центроидой, а центроида Ц24 будет подвижной центроидой в абсолютном движении звена 4. Если теперь остановить одно из звеньев 1 или 3, то обе центроиды Ц24 и Ц42 станут подвижными и качение одной центроиды по другой будет воспроизводить относительное движение звеньев 2 и 4 и центроиды Ц24 и Ц42 будут центроидами в относительном движении. Если остановить звено 1, то центроида Ц24 будет вращаться вокруг оси А, а центроида Ц42 — вокруг оси В. Таким образом, вращение вокруг осей А и В звеньев 4 и 2 по закону шарнирного антипараллелограмма может быть воспроизведено также путем посадки на эти оси двух фрикционных эллиптических колес, профили которых представляют собой центроиды Ц24 и Ц42, т. е. механизм шарнирного антипараллелограмма заменяется механизмом фрикционных эллиптических колес. Такое движение окажется возможным, если между центроидами установлена связь, обеспечивающая их движение без скольжения. Как было показано выше, для любого механизма в любом его положении могут быть определены все мгновенные центры вращения в абсолютном и в относительном движениях его звеньев. Следовательно, если имеется механизм, воспроизводящий то или иное движение, то такое же движение звеньев может быть осуществлено механизмом, представляющим собой две сопряженные центроиды. Так, например, передача движения между кривошипами AD и СВ шарнирного антипараллелограмма (рис. 3) может быть воспроизведена двумя эллиптическими фрикционными колесами. При этом законы движения звеньев остаются такими же, как и для механизма шарнирного антипараллелограмма. Механизмы, в которых передача движения осуществляется центроидами, носят название центроидных механизмов. Практически редко можно пользоваться центроидными механизмами на всем желательном интервале движения, так как в некоторых случаях центроидами служат кривые сложного вида (самопересекающиеся, с бесконечно удаленными точками и т. д.). Кинематические диаграммы При кинематическом исследовании механизмов необходимо бывает проводить это исследование за полный цикл движения исследуемого механизма. Для этого аналитическое или графическое исследование перемещений, скоростей и ускорений ведется для ряда положений механизма, достаточно близко отстоящих друг от друга. Полученные значения кинематических величин могут быть сведены в таблицы или по полученным значениям этих величин могут быть построены графики, носящие название кинематических диаграмм. В зависимости от характера движения исследуемых звеньев или отдельных точек механизма могут быть построены и различные кинематические диаграммы. В практических задачах теории механизмов каждая кинематическая диаграмма обычно представляет собой графическое изображение изменения одного из кинематических параметров звена: перемещения, скорости или ускорения точки звена исследуемого механизма в функции времени или перемещения начального звена механизма, т. е. в функции обобщенной координаты. Рис. 4. Кинематическая схема кривошипно-ползучего механизма Например, если мы имеем кривошипно-ползунный механизм (рис. 6), то для перемещений sc, скоростей vc и ускорений ас точки С, как перемещающейся прямолинейно, удобно строить кинематические диаграммы в виде зависимостей этих величин от времени t или от обобщенной координаты , т. е. строить графическое изображение зависимостей (4.1) или (4.2) если угол поворота звена 2 выбран в качестве обобщенной координаты. В некоторых случаях может потребоваться построение и других зависимостей, например или ас = ас (sc). (4.3) Зависимости (4.3) могут быть получены из зависимостей (4.1) исключением из первой и второй зависимостей или из первой и третьей зависимостей параметра t. Если исследованию подлежат угловые перемещения , угловые скорости и угловые ускорения шатуна 3 (рис. 4), то можно построить графическое изображение зависимостей , , , или , , , а также зависимости или В качестве примера рассмотрим построение кинематических диаграмм sc = sc (t), vc = vc {t) и ас = ac (t) для перманентного движения точки С кривошипно-ползунного механизма ABC, и т. е. когда кривошип вращается с постоянной угловой скоростью (рис. 5, а). Для этого производим разметку путей точек В и С. Отсчет перемещений точки С удобно вести от крайнего левого положения ползуна. Проводим две оси координат (рис. 5, б) и на оси абсцисс откладываем отрезок l мм, представляющий собой в масштабе время Т одного полного оборота кривошипа, т. е. , (4.4) где п — частота вращения кривошипа в оборотах в минуту. Из равенства (4) получаем масштаб времени. Имеем (4.5) Рис. 5. Кривошипно-ползунный механизм: а) кинематическая схема; б) графики, изображающие зависимости Отрезок l разбиваем на 12 равных частей и в соответствующих точках 1, 2, 3, ... откладываем расстояния, пройденные точкой С (рис. 5, а) от крайнего левого положения С1, ползуна. Так, в точке 2 (рис. 5, б) откладываем в направлении, параллельном оси ординат, отрезок С1С2, в точке 3 — отрезок С1С3 и т. д. Если отрезки С1С2, (C1C3), ... откладывать прямо со схемы (рис. 5, а), то масштаб диаграммы sc = sc (t) по оси ординат будет равен , т. е. масштабу построения схемы. С положения С7, когда точка С займет крайнее правое положение (рис. 5, а), расстояния C7C8, С7С9 вычитаются из ординаты С1С7 отложенной в положении С7, и, таким образом, кривая sc = sc (t) в положении, когда кривошип 2 придет в начальное положение, будет иметь ординату, равную нулю. Полученная кривая является кривой расстояний точки С от крайнего левого положения ползуна. Если надо построить кривую путей, пройденных точкой С, то от положения С7 расстояния C7C8, C7C9 надо прибавлять к ранее отложенному отрезку С1С7. На рис. 5, б эта часть кривой путей показана штрихами. Так как кривошип вращается с постоянной угловой скоростью можно считать, что по оси абсцисс отложено не время t, а углы поворота звена 2, т. е. диаграммы sc = sc (t), vc = vc (t) и ас = ac (t) будут одновременно и диаграммами и Масштаб в этих диаграммах по оси абсцисс будет равен , где отрезок l должен быть взят с чертежа в миллиметрах. Для построения диаграмм vc = vc (t) и ас = ас (t) отрезки, изображающие на плане скоростей и ускорений скорость vc и ускорение ас, откладывают на ординатах, проведенных в точках 1, 2, 3, ... (рис. 5, б), учитывая при этом знак скорости vc и ускорения ас. Если отрезки откладываются непосредственно с планов скоростей и ускорений, то масштабы ординат кривых vc = vc (t) и ас = ас (t) будут равны масштабам р и планов скоростей и ускорений. Эти же диаграммы будут и диаграммами и . Вопрос 2. Кинетостатический расчет типовых механизмов При решении задач силового расчета механизмов закон движения ведущего звена предполагается заданным; точно так же предполагаются известными массы и моменты инерции звеньев механизма. Таким образом, всегда могут быть определены те силы инерции, которые необходимы для решения задач силового расчета с помощью уравнений равновесия. Вопрос о силовом расчете механизмов начнем с рассмотрения вопроса об определении реакций в кинематических парах. В тех случаях, когда при расчете в число заданных сил не входят силы инерции звеньев, расчет называется статическим. Если в число заданных сил при расчете входят и силы инерции звеньев, то такой расчет называется кинетостатическим. Так как метод расчета для обоих случаев является общим, то в дальнейшем будем предполагать, что в число заданных сил входят и силы инерции, известные нам по величине, направлению и точкам приложения. Далее в первом приближении будем вести расчет без учета сил трения. Рассмотрим вопрос о силосом расчете одного из типовых механизмов – кулисно-рычажного механизма с равномерно вращающимся начальным звеном 1, показанного на рис. 6. Рис. 6. Кинематическая схема кулисно-рычажного механизма с показанными на ней силами Найти реакции в кинематических парах от силы F5, приложенной в точке S5 звена 5, силы F4 приложенной в точке S4 звена 4, силы F3, приложенной в точке S3 звена 3, и пары сил с моментом М3, приложенной к тому же звену. Сила F3 образует с направлением BD угол . Сила F5 параллельна оси х — х, а сила F4 перпендикулярна к ней. Линия действия т — т уравновешивающей силы Fy проходит через точку перпендикулярно к его оси. Рассматриваемый кулисно-рычажный механизм – это механизм II класса и состоит из двух групп II класса: группы третьего вида (группа, состоящая из звеньев 2 и 3) и группы второго вида (группа, состоящая из звеньев 4 и 5). Рис. 7. Двухповодковая группа 4 - 5 механизма, изображенного на рис. 6: а) кинематическая схема группы 4 - 5; б) план сил Определение реакций в кинематических парах начнем с последней в порядке присоединения группы, состоящей из звеньев 5 и 4. Разлагаем реакцию F43 (рис. 7, а), действующую в пape D, на составляющие и . Составляем далее уравнение моментов всех сил, действующих на звено 4, относительно точки Е (рис. 7, а): , откуда получаем , где h4 – плечо силы F4 относительно точки Е и lDE – расстояние между точками D и Е звена 4. Составляем далее общее уравнение равновесия всей группы, приравнивая нулю сумму всех сил, действующих на группу: . Силы F4, F5 и Ft43 нам известны. Силы Fn43 и F50 известны по направлению. Сила Fn43 параллельна оси DE звена 4, сила F5o перпендикулярна к оси х — х. Для определения величин сил Fn43 и F50 строим в произвольно выбранном масштабе план сил (рис. 7, б). Для этого из точки d откладываем силу Ft43 в виде отрезка da. К силе Ft43 прикладываем силу F4 в виде отрезка аb и к ней прикладываем силу F5 в виде отрезка bc. Через точку с проводим прямую в направлении силы F50l, т. е. перпендикулярно к оси х — х, а через точку d — в направлении силы Fn43, т. е. параллельно направлению DE звена 4. Точка е пересечения этих прямых определяет начало вектора силы Fn43 и конец вектора силы F50. Соединив точку е с точкой а, получим силу F43 в виде отрезка еа. Реакция F54 в виде отрезка eb определяется, если соединить точки е и b. Точку К приложения силы F50 (рис. 7, а) найдем из уравнения моментов всех сил, действующих на звене 5, относительно точки Е: откуда получаем величину плеча h05 = ЕК (рис. 7, а) силы F50 относительно точки Е Если заданы конструктивные размеры ползуна 5, то необходимо силу привести к центру Е ползуна. 1 Рис. 8. Двухповодковая группа 2 — 3 механизма, изображенного на рис. 1: а) кинематическая схема группы 2— 3, б) план сил Переходим далее к рассмотрению группы, состоящей из звеньев 2 и 3 (рис. 8, а). На эту группу действует внешняя сила F34, приложенная в точке D, равная по величине и противоположная по направлению силе F43, сила F3, приложенная в точке S3 и пара с моментом М3. Рассмотрим равновесие звена 3. Так как звено 2 не нагружено, то реакция F32 оказывается приложенной в точке С и направлена перпендикулярно к направлению BD звена 3. Величина силы F32 определяется из уравнения моментов всех сил, действующих на звено 3, относительно точки В: МВ (F34) + МВ (F32) + МВ (F3) + M3 = 0. Из этого уравнения определяем величину силы F32. Имеем , где h3 и h43 — плечи сил F3 и F34 относительно точки В. После определения силы F32 можно найти силу F30, приравнивая нулю сумму всех сил, действующих на звено 3: F32 + F3 + F34 + F30 = 0. Решаем графически это уравнение. Из точки а (рис. 8, б) откладываем в масштабе силу F32 в виде отрезка аb и к ней прикладываем силу F3 в виде отрезка bc. Далее из точки с откладываем силу F34 в виде отрезка cd. Отрезок da представляет силу F30. Рис. 9. Начальное звено 1 механизма, изображенного на рис. 1: а) кинематическая схема звена; б) план сил Далее рассматриваем равновесие начального звена 1 (рис. 9). На него действует сила F12, равная по величине и противоположно направленная силе F21. Линия действия уравновешивающей силы Fy задана прямой т – т, перпендикулярной к оси АС звена 1 (рис. 9, а). Величина уравновешивающей силы Fy при равномерном вращении звена 1 определяется из уравнения MA (Fy) + MA (F21) = 0 откуда где h21 и hy — плечи сил F12 и Fy относительно точки А. Определение реакции F10 в паре А производим графически (рис. 9, б) при помощи векторного уравнения равновесия всех сил, действующих на начальное звено 1, F12 + Fy + F10 =0. Из точки а откладываем в масштабе силу F12 в виде отрезка ab и к ней прикладываем силу Fy в виде отрезка bc. Отрезок ca представляет собой силу F10. Вопрос 3. Определение реакций в кинематических группах Рассмотрим, как будут направлены реакции в различных кинематических парах плоских механизмов. Во вращательной паре V класса результирующая сила реакции F преходит через центр шарнира (рис. 10). Величина и направление этой реакции неизвестны, так как они зависят от величины и направления заданных сил, приложенных к звеньям пары. В поступательной паре V класса (рис. 11) реакция перпендикулярна к оси движения х – х этой пары. Она известна но направлению, но неизвестны ее точка приложения и величина. Наконец, к высшей паре IV класса (рис. 12) реакция F приложена в точке С касания звеньев 1 и 2 и направлена по общей нормали п – п, проведенной к соприкасающимся профилям звеньев 1 и 2 в точке С, т. е. для высшей пары IV класса нам известны направление реакции и ее точка приложения. Рис.10 Изображение вращательной кинематической пары со схематизированными конструктивными формами Рис. 11 Схема поступательной кинематической пары Рис. 12 Изображение высшей кинематической пары со схематизированными конструктивными формами Таким образом, для определения реакции в каждой из низших пар V класса необходимо найти по две неизвестных, а для определения реакции в высшей паре IV класса – только одну неизвестную величину. Обозначим число подвижных звеньев плоской кинематической цепи через п, число пар V класса — через р5 и число пар IV класса – через р4. Составим теперь условие статической определимости плоских кинематических цепей. Так как для каждого звена, имеющего плоскопараллельное движение, можно написать три уравнения равновесия, то число уравнений, которое мы сможем составить при п звеньях, будет равно Зп. Число неизвестных, которое необходимо определить, будет равно для пар V класса 2р5 и для пар IV класса р4. Следовательно, кинематическая цепь будет статически определима, если удовлетворяется условие 3n = 2р5 + р4. (1.1) Любой механизм с парами IV и V классов может быть заменен механизмом с парами только V класса. Поэтому для рассмотрения общего случая достаточно ограничиться рассмотрением групп, звенья которых входят только в пары V класса. Группы с парами IV класса могут быть приведены к группам с парами V класса и могут быть рассчитаны теми же методами. Тогда формула (1.1) может быть написана так: (1.2) откуда . Таким образом, числа звеньев и пар связаны между собой соотношением (1.2). Так как числа п и р5 должны быть целыми, то этому соотношению удовлетворяют следующие ряды чисел звеньев и кинематических пар (таблица): Таблица Как нам уже известно, первое сочетание звеньев и пар, т. е. два звена, входящих в три пары, представляет собой группу II класса; второе сочетание из четырех звеньев, входящих в шесть пар, представляет собой группу III класса третьего порядка или группу IV класса второго порядка и т. д. Таким образом, статически определимыми являются кинематические цепи, названные выше группами. Определение реакций в кинематических парах групп. В качестве примера рассмотрим задачу об определении реакций в кинематических парах группы II класса BCD первого вида (рис. 13). Рис. 13. Кинематическая схема двухповодковой группы первого вида Введем следующие обозначения: звено, к которому присоединяется звено ВС, обозначим номером 1, звено ВС – номером 2, звено CD – номером 3 и звено, к которому присоединяется звено CD, номером 4. Силу, действующую на звено с номером l со стороны звена с номером k, будем обозначать через Flk, момент силы Fh относительно точки А – через МА (Fk), расстояние между двумя какими-либо точками А и В звена АВ – через lАВ и, наконец, момент пары, действующий на звено с номером k, - через Mk. Пусть рассматриваемая группа II класса (рис. 13) нагружена силами F2 и F3 и парами с моментами М2 и М3. Требуется определить реакции в кинематических парах. Эта задача может быть решена методом планов сил. В точках В и D прикладываем неизвестные пока реакции F21 и F34 и, составляя уравнение равновесия группы BCD (рис. 14, а), приравниваем нулю сумму всех сил, действующих на группу. Имеем F21 + F2 + F3+F34 = 0. (1.3) В этом уравнении нам известны силы F2 и F3 по величине, направлению и точкам приложения. Реакции же F21 и F34 нам известны только по точкам приложения. Для определения величин этих реакций раскладываем каждую из них на две составляющие: одну, действующую по оси звена, и другую, перпендикулярную к оси звена. Будем обозначать первую составляющую реакции индексом п, а вторую составляющую – индексом t. Тогда получаем (1.4) Величины и могут быть получены из уравнений равновесия, написанных для каждого из звеньев 2 и 3 в отдельности. Для этого рассмотрим сначала равновесие звена 2. Звено 2 находится под действием следующих сил и пар: силы F2, составляющих и реакции F21, реакции F32 и пары с моментом M2. Составим уравнение моментов всех сил относительно точки С. Так как знак силы , нам неизвестен, то при составлении уравнения моментов задаемся произвольным знаком момента этой силы. Если после определения величины этой силы она окажется отрицательной, то ее истинное направление должно быть выбрано противоположным. Имеем . В это уравнение моменты от сил и не входят, так как линии действия этих сил проходят через точку С, т. е. и . Далее, так как , то составленное уравнение моментов принимает вид , откуда и определяем величину силы . Имеем . (1.5) Знак силы , как было указано выше, определяется знаком правой части формулы (1.5). Аналогично из условия равновесия звена 3 получаем уравнение моментов , так как и . Для величины силы теперь получаем . (1.6) Знак силы определяется знаком правой части уравнения (1.6). Полученные выражения для и , подставляем в уравнение (1.3): . В этом уравнении нам неизвестны только величины составляющих и реакций и , направленных по осям звеньев ВС и DC. Величины этих составляющих могут быть определены построением плана сил. Для этого из произвольной точки а (рис. 6, б) откладываем в произвольном масштабе силу F2 и прибавляем к ней силу F3. Прикладываем к ним в том же масштабе соответственно силы и , которые определены по формулам (1.5) и (1.6). Эти силы перпендикулярны к осям звеньев ВС и CD. Далее из точки d проводим прямую, параллельную оси ВС, а из точки е - прямую, параллельную оси звена DC. Точка f пересечения этих двух прямых и определяет величины составляющих и . Полные реакции F21 и F34 могут быть получены как результирующие согласно уравнениям (1.4). Первая реакция на плане сил получается, если соединить точки f и а, вторая – если соединить точки с и f. Для определения реакции F32 звена 2 на звено 3 напишем уравнение равновесия сил, действующих на звено 3: F34 + F3 + F32 = 0. Единственной неизвестной по величине и направлению силой в этом уравнении является сила F32. Величина ее может быть получена построением по уравнению силового треугольника. Для этого на плане сил на рис. 14, б достаточно соединить точки f и b. Очевидно, что реакция F23, равная по величине реакции F32, но противоположная ей по знаку, может быть определена из уравнения равновесия звена 2 F21 + F2 + F23 = 0. На плане сил вектор F23 представлен тем же отрезком (bf), что и реакция F32, но имеет противоположное направление. Лекция 3. Колебания в механизмах Вопрос 1. Колебания в рычажных механизмах Рассмотрим колебания в шарнирном четырехзвеннике с упругими звеньями. Дифференциальные уравнения движения для этой модели составляют в форме уравнений Лагранжа: , , (8) где Д, – угол поворота левой массы, равный углу поворота вала двигателя, 1 – угол поворота правой массы, равный углу поворота звена 1, — момент сил на валу двигателя, – приведенный к звену 1 момент сил, приложенных к звену 3. Вопрос 2. Колебания в кулачковом механизме Уравнения движения кулачкового механизма с упругим толкателем Рабочий процесс многих машин вызывает необходимость иметь в их составе механизмы, движение выходных звеньев которых должно быть выполнено строго по заданному закону и согласовано с движением других механизмов. Наиболее простыми, надежными и компактными для выполнения такой задачи являются кулачковые механизмы. Кулачковым называется механизм, подвижное звено которого – кулачок с поверхностью переменной кривизны – взаимодействует с другим подвижным звеном – толкателем, образуя высшую кинематическую пару. Рис. 3 Для исследования колебаний в кулачковом механизме с упругим толкателем (выходным звеном) достаточно рассмотреть одномассовую динамическую модель (рис. 3), так как жесткость кулачкового вала обычно больше жесткости толкателя. Кроме того, угловую скорость кулачка будем считать постоянной. При этих условиях динамика механизма определяется дифференциальным уравнением движения массы толкателя m, которая считается сосредоточенной в одной точке (верхнем конце толкателя). Действие сил упругости толкателя представлено пружиной, помещенной между массой m и кулачком. На массу действует внешняя сила. F и сила трения FТ, пропорциональная скорости верхнего конца толкателя. Нижний конец толкателя (пружины) движется в контакте с кулачком, т. е. перемещение нижнего конца толкателя s, отсчитываемое от наинизшего положения, определяется профилем кулачка. Перемещение верхнего конца толкателя у вследствие упругости толкателя отличается от перемещения s. Для динамической модели, показанной на рис. 2, имеем , (4) где b – коэффициент сопротивления, с –коэффициент жесткости толкателя. Из уравнения (4) получаем , (5) Величина s, входящая в правую часть уравнения движения (5), полностью определяется профилем кулачка и является заданной функцией времени. Функцию s(t) называют кинематическим возбуждением, так как от ее вида зависит характер упругих колебаний. Перемещения s и у мало отличаются по модулю, и потому удобнее за обобщенную координату принять разность . (6) Тогда уравнение движения кулачкового механизма с упругим толкателем принимает вид , (7) или , (8) где – коэффициент демпфирования, – собственная частота механизма. При < уравнение (8) является линейным уравнением движения колебательного типа, решение которого зависит от вида правой части, т. е. от закона изменения силы F и от производных и , определяемых профилем кулачка. Вопрос 3. Динамическое гашение колебаний Одним из методов виброзащиты является динамическое гашение колебаний. Метод динамического гашения колебаний состоит в присоединении к объекту виброзащиты дополнительных устройств с целью изменения его вибрационного состояния. Работа динамических гасителей основана на формировании силовых воздействий, передаваемых на объект. Этим динамическое гашение отличается от другого способа уменьшения вибрации, характеризуемого наложением на объект дополнительных кинематических связей, например закреплением отдельных его точек. Изменение вибрационного состояния объекта при присоединении динамического гасителя может осуществляться как путем перераспределения колебательной энергии от объекта к гасителю, так и в направлении увеличения рассеяния энергии колебаний. Первое реализуется изменением настройки системы объект — гаситель по отношению к частотам действующих вибрационных возмущений путем коррекции упругоинерционных свойств системы. В этом случае присоединяемые к объекту устройства называют инерционными динамическими гасителями. Инерционные гасители применяют для подавления моногармонических или узкополосных случайных колебаний. При действии вибрационных нагрузок более широкого частотного диапазона предпочтительней оказывается второй способ, основанный на повышении диссипативных свойств системы путем присоединения к объекту дополнительных специальных демпфируемых элементов. Динамические гасители диссипативного типа получили название поглотителей колебаний. Если они одновременно корректируют упругоинерционные и диссипативные свойства системы, то их называют динамическими гасителями с трением. Динамические гасители могут быть конструктивно реализованы на основе пассивных элементов (масс, пружин, демпферов) и активных, имеющих собственные источники энергии. В последнем случае речь идет о применении систем автоматического регулирования, использующих электрические, гидравлические и пневматические управляемые элементы. Динамическое гашение применимо для всех видов колебаний: продольных, изгибных, крутильных и т. д.; при этом вид колебаний, осуществляемых присоединенным устройством, как правило, аналогичен виду подавляемых колебаний. Примеры динамических гасителей: Гаситель Схема Назначение Инерционные динамические гасители Пружинный Подавление продольных и крутильных гармонических колебаний фиксированной частоты Маятниковый: крутильных колебаний Подавление крутильных гармонических колебаний вращающихся тел Динамические гасители с трением Пружинный Подавление продольных и крутильных гармонических колебаний с произвольной частоты Поглотители колебаний Поглотитель с вязким трением Подавление продольных и крутильных гармонических колебаний с произвольным спектром Поглотитель с сухим трением Раздел 3. Сопротивление материалов Лекция 1 Основные понятия и определения сопротивления материалов Вопрос 1 Основные понятия При проектировании различных конструкций (сооружений, машин, приборов и др.) необходимо проводить расчеты на прочность. Неправильный расчет самой на первый взгляд незначительной детали может повлечь за собой очень тяжелые последствия, привести к разрушению всей конструкции. Прочностью называется способность тел выдерживать необходимые внешние нагрузки в течение длительного времени не разрушаясь. Кроме расчетов на прочность, во многих случаях проектирования производят расчеты на жесткость и устойчивость. Целью расчетов на жесткость является определение таких размеров элементов конструкций, при которых перемещения (деформации) не превышают заданных (обычно весьма малых) величин, допустимых по условиям нормальной эксплуатации. Жесткость - способность конструкции и ее элементов противостоять внешним нагрузкам в отношении деформаций (изменение формы и размеров). При заданных нагрузках деформации не должны превышать определенных величин, устанавливаемых в соответствии с требованиями к конструкции. Деформации многих конструкций при действии некоторого вида нагрузок незначительны, пока величины этих нагрузок меньше так называемых критических значений. При нагрузках же, превышающих (даже весьма незначительно) критические значения, деформации конструкций резко возрастают. Простейший пример такого явления представляет так называемый продольный изгиб сжатого стержня – при некотором значении сжимающей силы происходит выпучивание прямолинейного стержня, практически равносильное разрушению. Такое качественное изменение характера деформации конструкции при увеличении нагрузки называется потерей устойчивости. Расчет конструкции, имеющий целью не допустить потери устойчивости, называется расчетом на устойчивость. Устойчивостью называют свойство элементов машин или сооружений сохранять первоначальную форму упругого равновесия. Признаком потери устойчивости является внезапная смена одной формы равновесия другой. Основная задача курса сопротивления материалов - рациональный выбор формы и размеров поперечного сечения элементов, обеспечивающих прочность, жесткость, устойчивость и долговечность при минимальном расходе материалов. При проведении расчетов необходимо сочетать надежность работы сооружения с его дешевизной, получать необходимые прочность, жесткость и устойчивость при наименьшем расходе материала. Совокупность наук о прочности, жесткости и устойчивости сооружений называется строительной механикой. Одним из разделов строительной механики является - сопротивление материалов. Другими ее разделами являются теория упругости (математическая и прикладная), теория пластичности и теория сооружений (включающая статику, динамику и устойчивость сооружений). В сопротивлении материалов рассматриваются вопросы расчета отдельных элементов конструкций и вопросы расчета некоторых простейших конструкций. В отличие от теоретической механики, в которой все тела рассматриваются как абсолютно твердые, в сопротивлении материалов учитывается, что элементы конструкций изготовлены из материалов, которые при действии на них внешних сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются. В сопротивлении материалов широко применяются методы теоретической механики (в первую очередь статики) и математического анализа, а также используются данные из разделов физики, изучающих свойства различных материалов. Сопротивление материалов является наукой экспериментально-теоретической, так как она широко использует опытные данные и теоретические исследования. Краткий исторический обзор. Начало развития сопротивления материалов относят к 1638 году и связывают с именем итальянского ученого Галилея, выполнившего первые теоретические расчеты балок при изгибе. В 1660 году Роберт Гук сформулировал закон линейной пропорциональности между деформациями и внутренними силами. С развитием техники развивалась и наука о сопротивлении материалов. Много в этой области сделано русскими учеными. MB. Ломоносов разработал основы учения о твердости и сконструировал прибор для раздавливания материалов. Яков и Даниил Бернулли в начале XVIII столетия исследовали деформацию изгиба балок. Л. Эйлер решил задачу об устойчивости сжатого стержня. В 1850 году Д.И. Журавский разработал теорию скалывания при изгибе. Он же создал метод расчета составных балок. Широко известны работы Ф.С. Ясинского, И.Г. Крылова, А.Н. Динника. Н.В. Корноухова и др. Основные гипотезы сопротивления материалов. Так как реальные материалы обладают весьма сложной структурой, то для упрощения их заменяют некоторой идеальной средой, приняв ряд гипотез (допущений). 1. В сопротивлении материалов принято рассматривать все материалы как однородную сплошную среду, независимо от их микроструктуры. Под однородностью материала понимают независимость его свойств от величины выделенного из тела объема. И хотя в действительности реальный материал, как правило, неоднороден (уже в силу его молекулярного строения), тем не менее, указанная особенность не является существенной, поскольку в сопротивлении материалов рассматриваются конструкции, размеры которых существенно превышают не только межатомные расстояния, но и размеры кристаллических зерен. С понятием однородности тесно связано понятие сплошности среды, под которым подразумевают тот факт, что материал конструкции полностью заполняет весь отведенный ему объем, а значит в теле конструкции нет пустот. Это допущение позволяет использовать в сопротивлении материалов методы математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисления). 2. Обычно сплошная среда принимается изотропной, т.е. предполагается, что свойства тела, выделенного из нее, не зависят от его ориентации в пределах этой среды. Материалы, имеющие различные свойства в разных направлениях, называют анизотропными (например, дерево). Отдельно взятый кристалл материала анизотропен, но т.к. в объеме реального тела содержится бесконечно большое количество хаотично расположенных кристаллов, принимается, что материал изотропен. Металлы и сплавы, как правило, изотропны. В настоящее время широкое распространение получили анизотропные композиционные материалы, состоящие из двух компонентов – наполнителя и связующего. Наполнитель состоит из уложенных в определенном порядке высокопрочных нитей – матрицы, что и определяет значительную анизотропию композита. Композиционные материалы имеют высокую прочность при значительно меньшем, чем металлы весе. 3. Принимается, что до определенной величины деформации материалов подчиняются закону Гука и весьма малы относительно размеров тела, поэтому все расчеты выполняются по исходной, т.е. недеформированной, схеме, к которой применим принцип независимости действия сил. 4. После снятия нагрузки геометрические размеры тела полностью или частично восстанавливаются. Свойство тела восстанавливать свои первоначальные размеры после разгрузки называется упругостью. При решении большинства задач в сопротивлении материалов принимается, что материал конструкций абсолютно упругий. Это допущение справедливо, пока нагрузки не превышают определенного значения. При больших нагрузках в элементах конструкций появляются пластические деформации. 5. Перемещения, возникающие под действием внешних сил в упругом теле, малы по сравнению с его размерами. Это допущение называется принципом начальных размеров. Допущение позволяет при составлении уравнений равновесия пренебречь изменениями формы и размеров конструкции. 6. Предполагается, что в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, характер распределения напряжений не зависит от конкретного способа нагружения. Основанием для такого утверждения служит принцип Сен-Венана, справедливый для любого типа напряженного состояния и формулируемый следующим образом: особенности приложения внешних нагрузок проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня. 7. Принимается гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли), введенной швейцарским ученым Д. Бернулли, гласящей, что плоские поперечные сечения стержня до деформации остаются плоскими и после деформации. 8. Считается, что ненагруженное тело свободно от каких бы то ни было внутренних сил любой природы. Основное внимание в сопротивлении материалов уделяется изучению брусьев, являющихся наиболее распространенными элементами многих конструкций. Брусом (или стержнем) называется элемент, длина которого значительно больше его поперечных размеров (рис. 1.1, а). Горизонтальный (или наклонный) брус, работающий на изгиб, обычно называют балкой. Ось бруса представляет собой геометрическое место точек, совпадающих с центрами тяжести площадей поперечных сечений бруса, т. е. сечений, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к указанной оси. Элемент конструкции, длина и ширина которого во много раз превышают его толщину, называется оболочкой (рис. 1.1, б). Геометрическое место точек, равноудаленных от наружной и внутренней поверхностей оболочки, называется срединной поверхностью. Оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость, называется пластинкой (рис. 1.1, в). Элемент конструкции, размеры которого во всех направлениях мало отличаются друг от друга (например, сплошная опора моста), называется массивным телом (рис. 1.1, г). Рис. 1.1 РАСЧЕТНАЯ СХЕМА НАГРУЗКИ Нагрузки, действующие на конструкцию, являются по отношению к ней внешними силами. Эти силы приложены к тому или иному элементу конструкции по некоторым участкам его поверхности или распределены по его объему. В сопротивлении материалов расчет реальной конструкции на действие реальных внешних нагрузок производится с помощью так называемых расчетных схем. При составлении расчетных схем нагрузку, приложенную к небольшим участкам поверхности бруса, все размеры которых малы по сравнению с его длиной, заменяют сосредоточенной силой, т. е. силой, приложенной к точке поверхности, и переносят к оси бруса. Точки приложения сил на оси бруса и сосредоточенных моментов, возникающих при переносе сил, располагают в тех же поперечных сечениях, в которых приложены нагрузки. На расчетной схеме вместо бруса изображается его ось. При составлении расчетной схемы конструкции применяются и другие упрощения, облегчающие ее расчет. Рис. 2.1 На рис. 2.1, а показан брус и действующие на него (в плоскости чертежа) внешние сосредоточенные силы Р1 Р2, Р3. На рис. 2.1, б дана расчетная схема этого бруса с сосредоточенными силами Р и моментами М, приложенными к его оси. (Указанная схематизация основана на так называемом принципе Сен-Венана, согласно которому распределение напряжений на достаточно большом расстоянии от места приложения нагрузки, превышающем размеры загруженного участка, не зависит от характера нагрузки, а зависит только от ее статического эквивалента.) Нагрузки, приложенные к участкам больших размеров (например, к поверхности бруса на участке, составляющем существенную часть его длины), при составлении расчетной схемы нельзя заменять сосредоточенными силами. Такие нагрузки на расчетной схеме остаются распределенными (не сосредоточенными) по поверхности или приводятся к распределенным по линии. Связи и опорные устройства Для соединения отдельных частей конструкции между собой и передачи внешней нагрузки на основание на нее накладываются связи, ограничивающие перемещения тех точек сооружения, к которым они приложены. Связи могут ограничивать либо повороты точек сооружения, либо их линейные смещения, либо и то и другое. Основным видом связей в расчетной схеме является шарнирная связь. Простой шарнир (рис. 1.2) накладывает две связи. Рис. 1.2 В расчетную схему входит основание, т.е. тело, на котоpое опирается cистема в целом, считающееся неподвижной. Неподвижность расчетной схемы относительно основания обеспечивается опорными связями (опорами). Все опорные связи условно делятся на три основных типа: - Подвижная шарнирная опора (рис.1.3, а). Такая опора не препятствует вращению конца бруса и его перемещению вдоль плоскости качения. В ней может возникать только одна реакция, которая перпендикулярна плоскости качения и проходит через ось катка (R). - Неподвижная шарнирная опора (рис.1.3, б). Такая опора допускает вращение конца бруса, но устраняет поступательное движение ее в любом направлении. Возникающую в ней реакцию можно разложить на две составляющие, одна из которых направлена вдоль оси бруса (Н), другая - перпендикулярно к оси бруса (R). - Жесткая заделка или защемление (рис.1.3, в). Такое закрепление не допускает ни линейных, ни угловых перемещений опорного сечения. В этой опоре в общем случае может возникать реакция, которую обычно раскладывают на две составляющие (H и R) и момент защемления (М). При рассмотрении реального объекта в число внешних сил включаются не только заданные нагрузки, но и реакции связей (опор), дополняющие систему сил до равновесного состояния. Рис. 1.3 Вопрос 2 Определение внутренних усилий. Метод сечений Внутри любого материала имеются внутренние межатомные силы, наличие которых определяет способность тела воспринимать действующие на него внешние силы, сопротивляться разрушению, изменению формы и размеров. Приложение к телу внешней нагрузки вызывает изменение (увеличение или уменьшение) внутренних сил, т. е. появление дополнительных внутренних сил. В сопротивлении материалов изучаются дополнительные внутренние силы. Поэтому под внутренними силами (или внутренними усилиями) в сопротивлении материалов понимают силы взаимодействия между отдельными элементами сооружения или между отдельными частями элемента, возникающие под действием внешних сил. Рассмотрим элемент конструкции, на который действует система внешних сил, находящихся в равновесии (рис. 2.1, а). (Напоминаем, что в число внешних сил входят как заданные активные силы, так и реакции связей.) Мысленно рассечем элемент плоскостью I. Рис. 2.1 Силы воздействия отсеченной правой части элемента на его левую часть (на правый ее торец) являются по отношению к ней внешними; для всего же элемента в целом они являются внутренними силами. Этим силам (на основании известного закона механики: действие равно противодействию) равны по величине и противоположны по направлению внутренние силы воздействия левой части элемента на правую. В общем случае пространственной задачи взаимодействие между левой и правой частями элемента можно представить некоторой силой R, приложенной в произвольно выбранной точке О сечения I, и моментом М относительно некоторой оси, проходящей через эту точку (рис. 2.1,б, в). Сила R является главным вектором, а момент М — главным моментом системы внутренних сил, действующих по проведенному сечению. Определение внутренних сил, возникающих в брусе, обычно производится для сечений, перпендикулярных к его продольной оси; т. е. для поперечных сечений бруса. Точка О принимается расположенной на оси бруса, т. е. совпадающей с центром тяжести его поперечного сечения. Главный вектор R раскладывается на две составляющие силы: силу N, направленную вдоль оси бруса и называемую продольной силой, и силу Т действующую в плоскости поперечного сечения и называемую поперечной силой (рис. 2.2, а). Рис. 2.2 Момент М раскладывается на два составляющих момента: момент МК, действующий в плоскости поперечного сечения и называемый крутящим моментом, и момент МИ действующий в плоскости, перпендикулярной к поперечному сечению, и называемый изгибающим моментом (рис. 2.2, б). Каждому из внутренних усилий N, Т, МК и МИ соответствует определенный вид деформации бруса, Продольной силе . N соответствует растяжение (или, сжатие), поперечной силе Т – сдвиг, крутящему моменту МК – кручение, а изгибающему моменту МИ – изгиб. Различные их сочетания, например, сжатие с изгибом, изгиб с кручением и т. п., представляют собой сложные сопротивления. Внутренние усилия N и МК характеризуются каждое одним параметром – величиной усилия. Поперечная сила Т характеризуется двумя параметрами, например, величиной этой силы и ее направлением (в плоскости поперечного сечения бруса). Более удобно силу Т определять через составляющие ее поперечные силы QZ и QY, параллельные двум взаимно перпендикулярным осям, расположенным в плоскости поперечного сечения бруса (см, рис. 2.2, а). Изгибающий момент МИ также характеризуется двумя параметрами; его обычно раскладывают на два составляющих изгибающих момента МZ и МY относительно осей z и у. Таким образом, взаимодействие любых двух частей конструкции характеризуется тремя составляющими N, QZ и QY главного вектора и тремя составляющими МК, МZ и МY главного момента внутренних сил, возникающих, в рассматриваемом поперечном сечении. Эти составляющие называются внутренними силовыми факторами, или внутренними усилиями. Рассмотрим общий прием определения внутренних усилий, называемый методом сечений. Рис. 2.3 Рассечем стержень (рис. 2.3, а) плоскостью /, совпадающей с поперечным сечением стержня. В полученном поперечном сечении в общем случае действует шесть внутренних усилий: N, QZ , QY , МК, МZ и Му (рис. 2.3,б,в). Правая часть стержня (рис 2.3, в) находится в равновесии; значит, внешние силы Р4 и Р5, приложенные к ней, уравновешиваются внутренними усилиями, действующими на правую часть. Но те же внешние силы уравновешиваются и нагрузками, приложенными к левой части стержня (силами Р1 , Р2 ,Рз), так как весь стержень в целом (рис 2.3, а) также находится в равновесии. Следовательно, нагрузки, приложенные к левой части стержня (силы Р1 , Р2 ,Рз), и внутренние усилия, действующие на правую часть, статически эквивалентны друг другу. Таким образом, проекция на какую-либо ось внутренних усилий в сечении, действующих со стороны левой части стержня на правую, равна проекции на эту ось всех внешних сил, приложенных к левой части. Аналогично, момент относительно какой-либо оси внутренних усилий в сечении, действующих со стороны левой части стержня на правую, равен моменту всех внешних сил, приложенных к левой части относительно этой оси. Из шести внутренних усилий, действующих в поперечном сечении стержня, проекции пяти усилий на каждую из осей х, у, и z равны нулю. Аналогично равны нулю и моменты пяти внутренних усилий относительно каждой из указанных осей. Это позволяет легко определять внутренние усилия в стержне, проецируя на ось х, или у, или z все внутренние усилия, действующие на правую часть стержня (рис. 2.3, в), и все внешние силы, приложенные к левой части (рис. 2.3,б), или определяя их моменты относительно одной из указанных осей. Определим, например, величину продольной силы N в поперечном сечении I, показанном на рис. 2.3. Из рис. 2.3, в видно, что проекция на ось х всех внутренних усилий, действующих на правую часть стержня, равна +N, если для проекций положительным считать направление справа налево. Поэтому сила N равна сумме проекций на ось х всех внешних сил, действующих на левую часть стержня (т. е. сил Р1 , Р2 ,Рз – см. рис. 2.3, б). Аналогично значение, например, крутящего момента МК в поперечном сечении стержня равно сумме моментов сил Р1 , Р2 ,Рз (рис. 2.3, б) относительно оси х, если положительными считать моменты, направленные по часовой стрелке (при взгляде с левого конца оси х на правый) и т. д. Внутренние силы, действующие в сечении со стороны левой части на правую, можно определить по внешним силам, приложенным не к левой, а к правой части. В этом случае полученные направления проекций внешних сил на выбранные оси и моментов относительно этих осей необходимо изменять на противоположные. Вопрос 3 Центральное растяжение-сжатие Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия (поперечные силы, изгибающие моменты и крутящий момент) равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием). На рис. 1.2, а изображен прямой брус, закрепленный одним концом и нагруженный на другом конце силой Р, направленной вдоль его оси. Во всех поперечных сечениях этого бруса возникают только продольные растягивающие силу, и, следовательно, такой брус по всей длине является центрально растянутым. При противоположно направленной силе Р (рис, 1.2, б) брус по всей длине испытывает сжатие. Растягивающие продольные силы принято считать положительными, а сжимающие – отрицательными. На рис. 2.2, а изображен брус, нагруженный силами Р1 и Р2, направленными вдоль его оси, двумя силами Р3, параллельными оси и приложенными на равных расстояниях от нее в поперечном сечении с, а также двумя силами Р4, направленными под углом а к оси бруса, и приложенными в поперечном сечении d на равных расстояниях от оси. На рис. 2.2, б изображена расчетная схема, полученная путем замены бруса его осью и переноса внешних нагрузок к этой оси. Силы Р1 и Р2 на расчетной схеме действуют вдоль оси бруса; силы Р3 и силы Р4, показанные на рис, 2.2, а, приводятся соответственно к силам 2Р3 и 2P4 cos, также направленным вдоль оси. Таким образом, на расчетной схеме (рис. 2.2, б) все внешние силы действуют вдоль оси бруса. Следовательно, в поперечных сечениях рассматриваемого бруса возникают только продольные силы. Определим в качестве примера продольную силу N, в сечении / — / (см. рис. 2.2, б). Рис. 2.2 На рис. 2.2, в, г показаны продольные силы N, действующие на левую (по отношению к сечению / — /) и на правую части бруса. Направления этих сил приняты в предположении, что они являются растягивающими (т. е. положительными). Если в результате расчета значение N получится со знаком «минус», то это будет означать, что в действительности брус в сечении / — / сжат. Для определения силы N воспользуемся методом сечений. Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций на ось бруса всех сил, действующих на левую его часть (см. рис. 2.2, в): откуда Этот же результат можно получить, и не составляя уравнения равновесия, а используя то положение, что на основании метода сечений проекция внутренних сил на ось бруса (т. е. продольная: сила), действующих со стороны левой его части на правую, равна сумме проекций на эту же ось всех внешних сил, прило­женных к левой части. Следовательно, Силы Р1 и 2Р3 взяты со знаком «плюс», потому что их направление совпадает с положительным направлением силы N/ действующей на правую часть бруса. Аналогично найдем продольные силы в сечениях //—//, III—III, IV—IV (рис. 2.2,б), проецируя силы, приложенные слева от этих сечений, на ось бруса: ; ; Очевидно, что на всем участке аЬ (между точками приложения сил Р1 и Р2) продольная сила постоянна и равна Р1, аналогично и на других участках (между точками приложения внешних сил) продольные силы имеют постоянные значения. Построим график, показывающий изменение продольных сил по длине оси бруса, называемый эпюрой продольных сил (эпюрой N). Для этого проведем ось эпюры ае, параллельную оси бруса (рис. 2.2, д), и перпендикулярно к ней отложим ординаты, изображающие в некотором масштабе величины продольных сил в поперечных сечениях бруса. Полученную таким путем эпюру принято штриховать (так же как и эпюры других внутренних усилий, рассматриваемые в последующих главах курса) прямыми линиями, перпендикулярными к ее оси. Каждая такая линия в принятом масштабе дает величину продольной силы в соответствующем поперечном сечении бруса. В поперечном сечении, в котором к брусу приложена сосредоточенная сила, не перпендикулярная к его оси, значение продольной силы изменяется скачкообразно: слева от этого сечения, продольная сила имеет одно, а справа — другое значение, отличающееся на величину проекции (на ось бруса) указанной сосредоточенной силы. В соответствии с этим эпюра, изображенная на рис. 2.2, д, имеет скачки (уступы) в точках а, Ь, с, d, e, равные соответственно величинам Р1 —Р2, 2Р3, — 2P4cosa и значению реакции опорного закрепления бруса. Для построения эпюр внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях бруса, нет необходимости изображать и брус с действующими на него нагрузками и расчетную схему, а достаточно привести один из этих чертежей. Точно так же нет необходимости изображать отдельные части бруса, на которые он расчленяется поперечными сечениями. Например, для решения рассмотренной задачи можно изобразить лишь брус (рис. 2.2, а) или его расчетную схему (рис. 2.2, б), а также эпюру продольных сил N (рис. 2.2, д) и мысленно представить остальные схемы, приведенные на рис. 2.2. При действии на брус внешней распределенной осевой (т. е. направленной вдоль оси бруса) нагрузки продольные силы на участке, на котором такая нагрузка приложена, изменяются непрерывно. Лекция 2 Сдвиг. Кручение. Геометрические характеристики плоских сечений. Вопрос 1. Сдвиг, срез, смятие Сдвигом называют деформацию, представляющую собой искажение первоначально прямого угла малого элемента бруса (рис.1.1) под действием касательных напряжений . Развитие этой деформации приводит к разрушению, называемому срезом или, применительно к древесине, скалыванием. Примером сдвига является резка полосы ножницами. На сдвиг работают жесткие соединения конструкций – сварные, заклепочные и так далее. Деформация сдвига оценивается взаимным смещением граней 1 – 1 и 2 – 2 малого элемента (рис. 1.2), называемым абсолютным сдвигом и более полно – относительным сдвигом (углом сдвига) , являющимся безразмерной величиной. В предположении равномерного распределения касательных напряжений по сечению площадью А, они определяются по формуле , где Q – поперечная сила в данном сечении. Условие прочности записывается по минимальной площади среза Amin, отражающей минимальное число соединяющих элементов (заклепок, болтов, штифтов и т.д.) или минимальную длину сварного шва. При расчете болтовых или заклепочных соединений учитывается смятие контактирующих поверхностей, то есть пластическую деформацию, возникающую на поверхности контакта. , где Aсм – площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость. При выполнении проектного расчета, то есть при определении необходимого диаметра заклепки, болта или при определении их количества необходимо учитывать условие прочности на срез и на смятие, из двух значений следует взять большее число, округлив его до ближайшего целого в меньшую сторону. Примечания: 1. Так как болты и заклепки ослабляют соединяемые листы, последние проверяют на разрыв в ослабленных сечениях . В пределах упругости касательное напряжение прямо пропорционально относительному сдвигу – это закон Гука при сдвиге; G – модуль сдвига, Н/м2, характеризующий жесткость материала при сдвиге. Закон Гука при сдвиге через абсолютные деформации: , где а – расстояние между сдвигаемыми гранями; А – площадь грани. Модуль сдвига G, модуль продольной упругости Е и коэффициент Пуассона материала связаны зависимостью Удельная потенциальная энергия деформации сдвига равна На практике чаще всего теория сдвига применяется к расчету болтов, заклепок, шпонок, сварных швов и других элементов соединений. Расчет заклепок на срез При простом растяжении или простом сжатии две части стержня, разделенные наклонным сечением, стремятся не только оторваться друг от друга, но и сдвинуться одна относительно другой. Растяжению сопротивляются нормальные, а сдвигу — касательные напряжения. На практике целый ряд деталей и элементов конструкций работает в таких условиях, что внешние силы стремятся их разрушить именно путем сдвига. В соответствии с этим при проверке прочности таких элементов на первый план выступают касательные напряжения. Простейшими примерами подобных деталей являются болтовые и заклепочные соединения. Заклепки во многих случаях уже вытеснены сваркой; однако они имеют еще очень большое применение для соединения частей всякого рода металлических конструкций: стропил, ферм мостов, кранов, для соединения листов в котлах, судах, резервуарах и т. п. Для образования заклепочного соединения в обоих листах просверливают или продавливают отверстия. В них закладывается нагретый до красного каления стержень заклепки с одной головкой; другой конец заклепки расклепывается ударами специального молотка или давлением гидравлического пресса (клепальной машины) для образования второй головки. Мелкие заклепки (малого диаметра — меньше 8 мм) ставятся в холодном состоянии (авиационные конструкции). Для изучения работы заклепок рассмотрим простейший пример заклепочного соединения (рис. 1.3). Заклепки, расположенные в два ряда, соединяют два листа внахлестку. Под действием сил Р эти листы стремятся сдвинуться один по другому, чему препятствуют заклепки, на которые и будет передаваться действие сил P. Рис. 1.3 Для проверки прочности заклепок применим общий порядок решения задач сопротивления материалов. На каждую заклепку передаются по две равные и прямо противоположные силы: одна—от первого листа, другая — от второго. Опытные исследования показывают, что одни из заклепок ряда нагружаются больше, другие — меньше. Однако к моменту разрушения усилия, передающиеся на различные заклепки, более или менее выравниваются за счет пластических деформаций. Поэтому принято считать, что все заклепки работают одинаково. Таким образом, при n заклепках в соединении, изображенном на рис. 1.3, на каждую из них действуют по две равные и противоположные силы (рис. 1.4); эти силы передаются на заклепку путем нажима соответствующего листа на боковую полуцилиндрическую поверхность стержня. Силы стремятся перерезать заклепку по плоскости mk раздела обоих листов. Рис. 1.4 Для вычисления напряжений, действующих по этой плоскости, разделим мысленно заклепочный стержень сечением mk и отбросим нижнюю часть (рис. 1.4). Внутренние усилия, передающиеся по этому сечению от нижней части на верхнюю, будут уравновешивать силу т. е. будут действовать параллельно ей в плоскости сечения, и в сумме дадут равнодействующую, равную . Следовательно, напряжения, возникающие в этом сечении и действующие касательно к плоскости сечения, это — касательные напряжения . Обычно принимают равномерное распределение этих напряжений по сечению. Тогда при диаметре заклепки d на единицу площади сечения будет приходиться напряжение: Величина допускаемого касательного напряжения , или, как говорят, допускаемого напряжения на срез, принято определять в виде: . Зная , мы напишем условие прочности заклепки на перерезывание в таком виде: т. е. действительное касательное напряжение в материале заклепки должно быть равно допускаемому , или меньше его. Из этого условия можно определить необходимый диаметр заклепок, если задаться их числом, и наоборот. Обычно задаются диаметром заклепочных стержней d в соответствии с толщиной t склепываемых частей (обычно ) и определяют необходимое число заклепок : Знаменатель этой формулы представляет собой ту силу, которую безопасно может взять на себя каждая заклепка. Пусть тогда Рис. 1.5 При выводе формулы расчета заклепки на перерезывание, помимо оговоренных, допущена еще одна неточность. Дело в том, что силы действующие на заклепку, не направлены по одной прямой, а образуют пару. Эта пара уравновешивается другой парой, образующейся из реакций соединенных листов на головку заклепки (рис. 1.5) и ведет к появлению нормальных напряжений, действующих по сечению mk. Кроме этих нормальных напряжений, по сечению mk действуют еще нормальные напряжения, вызванные тем, что при охлаждении заклепочный стержень стремится сократить свою длину, чему мешает упор головок заклепки в листы. Это обстоятельство, с одной стороны, обеспечивает стягивание заклепками листов и возникновение между ними сил трения, с другой — вызывает значительные нормальные напряжения по сечениям стержня заклепки. Особых неприятностей эти напряжения принести не могут. На заклепки идет сталь, обладающая значительной пластичностью; поэтому даже если бы нормальные напряжения достигли предела текучести, можно ожидать некоторого пластического удлинения стержня заклепки, что вызовет лишь уменьшение сил трения между листами и осуществление в действительности той схемы работы заклепки на перерезывание, на которую она и рассчитывается. Поэтому эти нормальные напряжения расчетом не учитываются. При проектировании строительных конструкций применяется следующее условие прочности на срез для заклепок и болтовых соединений где Q – поперечная сила, равная внешней силе F, действующей на соединение; Rbs – расчетное сопротивление на срез; – расчетная площадь сечения болта или заклепки; d – диаметр заклепки или наружный диаметр болта; ns – число срезов одного болта или заклепки; – коэффициент условий работы соединения, имеющий значения в интервале ; n – число болтов или заклепок. Если величины F, Rbs, , ns известны, то задаваясь числом заклепок или болтов n, можно найти необходимый для обеспечения прочности на срез диаметр . А зная d, F, Rbs, , ns, можно определить потребное число заклепок или болтов Расчет заклепок на смятие и листов на разрыв Помимо среза заклепкам и соединяемым листам в конструкции угрожают и иные опасности. Так как передача сил на заклепочный стержень происходит путем нажатия стенок заклепочного отверстия на заклепку, то необходимо установить, не произойдет ли наружное обмятие этого стержня или стенок отверстия, — произвести проверку на смятие. Под смятием понимают пластическую деформацию, возникающую в соединениях на поверхностях контакта. Возникающие при этом напряжения являются нормальными, закон распределения которых по поверхности контакта достаточно сложен. На рис. 1.7 указана примерная схема передачи давлений на стержень заклепки. Закон распределения этих давлений по цилиндрической поверхности нам неизвестен; он во многом зависит от неправильностей формы заклепочного отверстиями стержня, вызванных условиями изготовления конструкции. Поэтому расчет производится условно. Принято считать, что неравномерное давление, передающееся на поверхность заклепки от листа, распределяется равномерно по диаметральной плоскости сечения заклепки. При этом напряжение по этой диаметральной плоскости оказывается примерно равным наибольшему сминающему напряжению в точке А поверхности заклепки. Рис. 1.7 Чтобы вычислить это условное напряжение смятия, необходимо разделить силу, приходящуюся на заклепку, на площадь диаметрального сечения ВСС'В'. Эта площадь представляет собой прямоугольник, одной стороной которого служит диаметр заклепки, другая же равна толщине листа, передающего давление на стержень заклепки. Так как давление на одну заклепку равно , то условие прочности на смятие будет иметь вид: где — допускаемое напряжение на смятие. Отсюда необходимое число заклепок Допускаемое напряжение на смятие принимают обычно в 2 - 2,5 раза больше основного допускаемого напряжения на растяжение и сжатие , так как расчет на смятие по существу является упрощенной проверкой прочности по контактным напряжениям. Таким образом, определяется число заклепок, необходимое для прочного соединения листов. Из двух полученных значений , конечно, надо взять большее. Если мы вернемся к рассмотренному ранее примеру и примем , , то получим: Таким образом, условие прочности заклепок на перерезывание требует постановки двадцати четырех заклепок; условие же прочности на смятие — пятнадцати заклепок. Очевидно, необходимо поставить двадцать четыре заклепки. В этом примере работа заклепок на срез оказывается опаснее работы их на смятие. Это обычно бывает в соединениях с так называемыми односрезными заклепками, в которых каждая заклепка перерезывается в одной плоскости. а) расчетная схема, б) действующие усилия Рис. 1.8 В несколько других условиях будут работать заклепки соединения, показанного на рис. 1.8, а. Здесь стык двух листов осуществлен при помощи двух накладок. Сила Р при помощи первой группы заклепок передается от левого листа обеим накладкам, а от последних при помощи второй группы заклепок передается правому листу. Называя через число заклепок, необходимое для передачи усилия Р от листа на накладки и от накладок на другой лист, получаем, что на каждую заклепку передается усилие от основного листа . Оно уравновешивается усилиями , передающимися на заклепку от накладок (рис. 1.8, б). Стержень заклепки теперь подвергается перерезыванию уже в двух плоскостях; средняя часть заклепки сдвигается влево. Допускают, что срезывающая сила равномерно распределяется по двум сечениям, mk и gf. Напряжение и условие прочности для двухсрезной заклепки принимает вид: и Таким образом, при двойном перерезывании число заклепок по срезыванию оказывается в два раза меньше, чем при одиночном перерезывании. Переходим к проверке на смятие. Толщина склепываемых листов ; толщина накладок не должна быть меньше 0,5t, так как две накладки должны взять от основного листа всю силу Р. Поэтому: Сила сминает и среднюю часть заклепки и верхнюю с нижней. Опаснее будет смятие той части, где площадь смятия меньше. Так как толщина среднего листа не больше суммы толщин обеих накладок, то в худших условиях по смятию будет средняя часть заклепки. Условие прочности на смятие останется таким же, как и при односрезных заклепках: Таким образом, для рассматриваемой конструкции число заклепок в первой и во второй группах определится из полученных условий. Пусть Тогда: . В этом случае при двухсрезных заклепках условия их работы на смятие тяжелее, чем на срезывание; следует принять . На двух рассмотренных примерах мы установили общие методы проверки прочности заклепочных соединений. В металлических конструкциях иногда приходится склепывать целые пакеты соединяемых элементов. В таких пакетах заклепки могут работать и на большее число срезов. Однако методы расчета многосрезных заклепок не отличаются от изложенных. Для вычисления касательных напряжений следует разделить силу, относящуюся к одной заклепке, на суммарную площадь среза, воспринимающую эту силу. Для вычисления же напряжений смятия следует найти ту часть заклепки, которая находится в наиболее опасных условиях, т. е. воспринимает наибольшую силу на наименьшем протяжении. Напряжения смятия получаются делением этой силы на площадь диаметрального сечения наиболее напряженной части заклепки. Затем останется написать два условия прочности и получить . Наличие заклепок вносит некоторые изменения и в проверку прочности на растяжение или сжатие самих склепанных листов. Опасным сечением каждого листа (рис. 1.9) будет теперь сечение, проходящее через заклепочные отверстия; здесь рабочая ширина листа будет наименьшей; принято говорить, что это сечение ослаблено заклепочным отверстием. Называя полную ширину листа b, получаем для него такое условие прочности: где — число отверстий, попадающих в сечение (в нашем случае — два). Рис. 1.9 Отсюда можно найти величину , задавшись толщиной листа t. Площадь ослабленного сечения называется площадью нетто, площадь же полного сечения листа называется площадью брутто. Этот учет влияния заклепочных отверстий на прочность склепываемых листов общепринят, но является весьма условным. На самом деле, влияние отверстия в листе вызывает у его краев, на концах диаметра, перпендикулярного к направлению растяжения, значительные местные напряжения, которые могут достичь предела текучести материала и вызвать остаточные деформации, захватывающие, однако, весьма небольшой объем материала листа. Некоторую опасность в отношении образования трещин эти местные напряжения могут представить лишь при действии переменных нагрузок в материале, имеющем низкий предел усталости. Однако в обычных условиях работы заклепочных соединений эта опасность может считаться исключенной. Во избежание возможности разрушения листов заклепками заклепки размещаются на определенных расстояниях друг от друга и от края листа. Расположение заклепок в плане производится как по условиям обеспечения прочности и плотности соединения, так и по чисто производственным соображениям. Расстояния между центрами заклепок принимаются не менее 3d и не более 7d. Расстояния до края листов должны быть не менее (рис.5.23). Чтобы длина стыка была возможно меньше, берут , а в целях меньшего ослабления сечения расстояние е берут возможно большим (до 7d), что позволяет уменьшить число рядов, а следовательно, и ослабление. Рис. 1.10. Практические рекомендации по расположению заклепок в соединении. При проектировании заклепочных соединений для котлов и резервуаров, где добиваются плотных швов, помимо расчета на срез производят проверку сопротивления скольжению за счет трения. Однако допускаемое напряжение по скольжению дается в МПа поперечного сечения заклепки; таким образом, проверка на трение при односрезных заклепках сводится к проверке на срез лишь с другим допускаемым напряжением. При двухсрезных заклепках в расчет на трение вводится, конечно, одна площадь сечения заклепки, но зато повышается почти вдвое допускаемое напряжение на трение за счет двух накладок. Поэтому так называемый расчет заклепок на трение является, по существу, проверкой прочности на срез с другими лишь допускаемыми напряжениями на квадратный сантиметр площади поперечного сечения заклепки. Правильнее было бы сохранить лишь один метод проверки заклепочных соединений на смятие и срез, учитывая влияние сил трения при назначении допускаемых напряжений в зависимости от способа клепки, качества отверстий и требований, предъявляемых ко шву в отношении плотности. В заклепочных соединениях для котлов принимают обычно допускаемое напряжение на скольжение (на 1 см2 площади заклепки): - от 50 до 70 МПа при швах внахлестку, - от 90 до 120 с двумя накладками. При проверке по этим данным, очевидно, надо вести расчет, как при заклепках одиночного перерезывания, с допускаемым напряжением от 50 до 70 или от 90 до 120 МПа. При проектировании строительных конструкций применяется следующий алгоритм расчета болтовых и заклепочных соединений на смятие. Рис. 1.11 Упрощая расчет, площадь, подвергающуюся смятию, принимают равной где d – диаметр заклепки (болта); n – их число; – наименьшая суммарная толщина элементов, сминаемых в одном направлении. Сминающей будет та же сила F, которая производит и срез. Таким образом, условие прочности на смятие имеет вид: где Rbp – расчетное сопротивление на смятие. Из условия можно найти либо необходимый диаметр d по известным величинам F, t, n, Rbp,: , либо определить потребное число заклепок n . Из двух значений диаметров, рассчитанных ранее по формулам, берут больший, округляя его до стандартного значения. Точно так же из двух значений n, выбирают большее число, естественно, округленное до большего целого. У к а з а н и я 1. В заклепочных и болтовых соединениях при действии поперечной силы Q , проходящей через центр тяжести соединения, распределение этой силы между заклепками или болтами принимают равномерным. 2. При действии на соединение момента, вызывающего сдвиг соединяемых элементов, распределение усилий на болты или заклепки следует принимать пропорционально расстояниям от центра тяжести соединения до рассматриваемого болта или заклепки. 3. Болты или заклепки, работающие одновременно на срез и растяжение, следует проверять отдельно на срез и на растяжение. Дополнительные задачи на сдвиг Задачи на сдвиг встречаются не только при расчете заклепочных и болтовых соединений. Имеются и другие элементы конструкций, испытывающие деформацию сдвига, и поэтому при их расчете необходимо всякий раз удовлетворять условию прочности на срез и условию прочности на смятие Например, при расчете соединения деревянных элементов в качестве условия применяется условие прочности на скалывание вдоль волокон где Rск – расчетное сопротивление скалыванию. Вопрос 2. Геометрические характеристики плоских сечений Прочность и жесткость стержней зависит от геометрических характеристик их поперечных сечений. Геометрическими характеристиками плоских сечений являются: площадь; координаты центра тяжести; статические моменты площади; полярный, осевые и центробежные моменты инерции, радиусы инерции. Рис. 2.1 Площадь поперечного сечения стержня определяет его прочность и жесткость при деформациях растяжения, сжатия, сдвига. При рассмотрении деформации растяжения-сжатия, мы считали, что продольная сила направлена вдоль оси стержня, проходящей через центр тяжести поперечных сечений, определяющих очертания оси бруса. Из курса теоретической механики мы знаем, что координаты центра тя-жести определяются через соответствующие статические моменты площади. Статическим моментом площади фигуры относительно некоторой оси называется взятая по всей ее площади F сумма произведений площади элементарных площадок dF на их расстояния до оси. Для двух взаимно перпендикулярных осей OX и OY, лежащих в плоскости фигуры, статические моменты определяются соотношениями: ; Статический момент может быть как положительным, так и отрицательным. Размерность статического момента – размерность единицы длины в третьей степени: , , . Обозначим координаты центра тяжести сечения точки С через и . Тогда статические моменты и можно выразить по известным из курса теоретической механики формулам: = F; = F. Откуда следует выражение для определения координат центра тяжести: = ; = ,или = ; =. Оси, относительно которых статический момент равен нулю, называются центральными осями. Отсюда вытекает следующее определение: центром тяжести плоской фигуры называется точка пересечения ее центральных осей. Чтобы вычислить координаты центра тяжести составной фигуры, ее разбивают на отдельные простые фигуры, положение центров тяжести которых известно, и используют соотношение: = ; = . Моменты инерции сечения. Моменты инерции поперечных сечений определяют жесткость стержня при действии внешних моментов, вызывающих деформации кручения или изгиба. Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси, называется взятая по всей его площади F сумма произведений площадей элементарных площадок dF на квадраты их расстояний от этой оси, то есть: = ; = . Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок dF на квадраты их расстояний от этой точки, то есть: = , или = + . Центробежным моментом инерции плоской фигуры относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называют взятую по всей ее площади сумму произведений элементарных площадок на их расстояния от этих осей, то есть: = . Моменты инерции имеют размерность единицы длины в четвертой степени: , , . Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны и в ноль не обращаются! Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным или нулевым! Оси, для которых полярный момент инерции обращается в ноль, называются главными осями плоской фигуры. Если хотя бы одна из двух координатных осей является осью симметрии, то центробежный момент инерции равен нулю. Отношение осевых моментов инерции плоской фигуры к ее площади определяет радиусы инерции плоской фигуры: = ; = . Моменты инерции для различных фигур: 1. Для квадрата: == 2. Для прямоугольника: =; = 3. Для равностороннего треугольника: =; = 4. Для прямоугольного треугольника: =; = 5. Для круга: == 6. Для кольца: == Четверть круга Jy=Jx=0,055R4 Jxy=0,0165R4 Jx0=0,0714R4 Jy0=0,0384R Полукруг Моменты инерции относительно параллельных осей: Jx1 = Jx + a2F; Jy1 = Jy + b2F Моменты инерции стандартных профилей находятся из таблиц сортамента: Уголок Швеллер Двутавр Моменты инерции сечений сложной формы. Момент инерции сечения сложной формы относительно некоторой оси равен сумме моментов инерций его составных частей относительно той же оси: , что непосредственно следует из свойств определенного интеграла. Таким образом, для вычисления момента инерции сложной фигуры надо разбить ее на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур, а затем просуммировать их. Пример. Определить момент инерции сечения относительно оси симметрии, a=10 см. Решение: Разбиваем заданное сечение на простейшие элементы: I - Равнобедренный треугольник, II - прямоугольник, III - круг. Момент инерции сложной фигуры относительно оси z согласно формуле: . Определяем моменты инерции слагаемых простейших элементов: для равнобедренного треугольника: ; для прямоугольника: ; для круга: . Окончательно получим: Вопрос 3. Кручение. Кручение – это такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор крутящий момент (Мк). Деформация кручения возникает при нагружении бруса парами сил. Моменты этих пар называются скручивающими моментами (М). Момент представлен в виде двух кружков. Кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, а кружок с крестом – силу, направленную от наблюдателя. При кручении бруса в его поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. При этом в центре бруса касательные напряжения равны нулю, а в точках контура касательные напряжения – максимальны! = ·; где - полярный момент инерции: = 0,1 - для круга. Рис. 3.1 Отношение полярного момента инерции к расстоянию от центра тяжести сечения до наиболее удаленной его точки называется полярным моментом сопротивления (, ): = = , или = Для круга: = Если крутящий момент во всех поперечных сечениях бруса имеет одно и то же значение, а размеры сечения постоянны по всей длине, то полный угол закручивания равен: = ; где G··- жесткость сечения при кручении (Н·, кН·). Условие прочности при кручении: = , где - допускаемое напряжение при кручении, зависящее от свойств материала бруса и от принятого коэффициента запаса прочности. При расчете скручиваемых брусьев на прочность возможны следующие три вида задач: - проверка напряжений (проверочный расчет): , - подбор сечения бруса (проектный расчет): , - определение допускаемой нагрузки: · . Условие жесткости при кручении: = , где - наибольший относительный угол закручивания бруса, - допускаемый относительный угол закручивания. Лекция 3 Прямой поперечный изгиб. Вопрос 1. Прямой поперечный изгиб. Изгибом называется деформация, сопровождающаяся изменением кривизны оси стержня. При изгибе прямолинейного стержня ось его получает криволинейное очертание; продольные волокна у вогнутой стороны стержня укорачиваются, а у выпуклой удлиняются (рис. 1.1). Рис. 1.1 Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов, действующих в плоскости, проходящей через его ось. Если в поперечных сечениях бруса не действуют никакие другие внутренние силовые факторы, кроме изгибающих моментов М, то изгиб называют чистым. В общем случае изгиба в поперечных сечениях возникают еще и внутренние поперечные силы Q. Если внешняя нагрузка, действующая на стержень, направлена перпендикулярно его оси, то изгиб называют поперечным (рис. 1.1). Стержень, работающий на изгиб, называют балкой. Если плоскость внешней нагрузки, проходит через одну из главных центральных осей инерции каждого поперечного сечения балки, то изгиб называют прямым (или плоским), в противном случае косым. При косом изгибе изогнутая ось стержня не расположена в плоскости действия нагрузки. В случае если после деформации ось стержня оказывается плоской кривой, то изгиб называется простым. В данном разделе мы будем изучать плоский поперечный изгиб. Рассмотрим три основные типа опор балок (рис. 1.2). 1. Шарнирно-подвижная опора (рис. 1.2,а). В опоре возникает только одна реакция в виде силы А, перпендикулярной опорной плоскости (и оси балки). 2. Шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.2,б). В опоре возникает реактивная сила, проходящая через центр шарнира. Её составляющими являются сила А, препятствующая смещению закрепленного сечения в направлении, перпендикулярном оси балки, и сила RА, препятствующая смещениям вдоль оси балки. 3. Защемление или заделка (рис. 1.2,б). Защемленный конец балки не может ни смещаться, ни поворачиваться. В опоре могут возникать три реакции: силы А, RА и реактивный момент в заделке МА. Рис. 1.2 Мы будем рассматривать только статически определимые балки при плоской системе внешних нагрузок. Примеры схем таких балок приведены на рис. 1.3,а и 1.3,б, опорные реакции определяем из уравнений статики: ; ; . Рис. 1.3 Если внешние нагрузки перпендикулярны оси балки, то продольная составляющая опорной реакции RА равна нулю. К балкам могут быть приложены внешние нагрузки следующих видов (рис. 1.4): - сосредоточенная нагрузка Р ; - распределенная нагрузка интенсивностью q, Н/м; - пара сил М, Нм. Рис. 1.4 Вывод: В рассмотренном вопросе мы узнали, какой вид деформации называется изгибом. Выяснили, что изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Узнали, в каких случаях изгиб называют чистым, чем отличается прямой изгиб от косого изгиба. Рассмотрели три основные типа опор балок. Вопрос 2. Определение внутренних усилий при изгибе. 2.1. Внутренние силовые факторы при изгибе (изгибающий момент и поперечная сила) Рассмотрим балку на двух опорах, на которую действует система сил Р1, Р2, Р3 и опорные реакции А и В (рис. 2.1). Для определения внутренних усилий в сечении балки воспользуемся методом сечений. Проведем произвольное сечение I-I и рассмотрим равновесие одной отсеченной части, например, левой. Левая часть балки под действием внешних и внутренних сил находится в равновесии. Очевидно, что внутренние силы сводятся к поперечной силе Q и паре сил М, которые можно определить из уравнений статики: , , здесь точка 1 – центр тяжести поперечного сечения I-I удаленного от начала координат на расстояние . Рис. 2.1. Силу Q называют внутренней поперечной силой, а пару сил М – внутренним изгибающим моментом. Таким образом, поперечной силой называется алгебраическая сумма проекций всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на перпендикуляр к оси балки. Изгибающим моментом называется алгебраическая сумма моментов всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести поперечного сечения балки. 2.2. Дифференциальные зависимости при изгибе Рассмотрим балку, загруженную произвольной нагрузкой (рис. 2.4). Выделим двумя поперечными сечениями элемент балки малой длины dz. Рассмотрим равновесие выделенного элемента. В сечении с координатой z действует внутренняя поперечная сила Qz и изгибающий момент Мz. В сечении с координатой (z+dz) сила Qz и момент Мz получат приращение dQz и dМz, вызванное действием распределенной по длине нагрузки интенсивности q. Из-за малости dz будем считать dq=0. Рис. 2.4 Воспользуемся уравнениями статики. Рассмотрим сумму проекций всех сил, действующих на элемент, на ось у: ; ; (2.1) Итак, первая производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки, перпендикулярной его оси. Составим теперь уравнение равновесия элемента в виде суммы моментов, действующих на него сил, относительно центра тяжести правого сечения точки К (рис. 2.4): Здесь - величина второго порядка малости и ею можно пренебречь. Получаем, что: , или . (2.2) Первая производная от изгибающего момента, по длине балки равна поперечной силе. Эта зависимость называется теоремой Журавского. Подставляя Qz= dMz/dz в первое соотношение, находим: . (2.3) Вторая производная от изгибающего момента по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки. 2.3. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов Эпюрами поперечных сил Q и изгибающих моментов М называются графики изменения этих величин по длине балки. При построении и контроле правильности построения эпюр Q(z) и M(z) используют ряд правил, вытекающих из полученных выше дифференциальных зависимостей: - если участок балки нагружен распределенной нагрузкой постоянной интенсивности q ,то функция Q(z) будет линейной, а M(z) – квадратичной, при этом выпуклость кривой M(z) будет обращена на встречу направлению распределенной нагрузки; - если распределенная нагрузка отсутствует (q=0), то поперечная сила будет постоянна (Q(z)=const) , а изгибающий момент будет изменяться по линейному закону, при этом знак Q(z) будет определять направление наклона прямой: если Q(z)>0, то M(z) возрастает и наоборот; - если поперечная сила обращается в нуль, то изгибающий момент в этой точке достигает экстремального значения; - если в сечении приложена пара внешних сил, то на эпюре M(z) имеет место разрыв на величину момента пары, а на эпюре Q(z) изменений нет; - если в сечении приложена внешняя сосредоточенная сила Р, то на эпюре Q(z) имеет место разрыв на величину силы Р, а на эпюре M(z) происходит излом зависимости M(z). Рассмотрим последовательность построения эпюр Q и M. 1. Определяют опорные реакции из условий статического равновесия балки. В дальнейшем опорные реакции учитываются точно так же, как и другие внешние нагрузки. 2. Разбивают балки на участки с однородным нагружением. Границами участков являются: начало и конец балки; сечения в которых приложены внешние силы Pi, или пары сил ; начало и конец распределенной нагрузки qk. 3. Для каждого i - го участка методом сечения с учетом правила знаков определяют зависимости Q(zi) и M(zi), причем координата сечения zi может отсчитываться как от левого, так и от правого края балки. Следует помнить, что для силы Q правило знаков противоположное для левой и правой части, а также то обстоятельство, что при построении эпюры М надо определять знак внешней нагрузки только в зависимости от того, какую форму она придает изогнутой оси балки: выпуклостью вверх или вниз, независимо от того знака, который был присвоен этой нагрузке при построении эпюры Q. Правила знаков для эпюр Q и М разные! 4. В зависимости от вида функций Q(z) и M(z) определяют число опорных точек, по которым строят участок эпюры: одна точка, если Q=const (или M=const); две точки, лежащие на границах участка для линейной функции, три точки для квадратичной функции; две из них на границах участка и одна – точка экстремума, или, если экстремума нет, то рассматривают точку посередине участка. 5. Проверяют правильность построения эпюр Q и М, по правилам изложенным в начале данного подраздела. Рассмотрим примеры построения эпюр Q и M. Вывод: В рассмотренном вопросе мы выяснили, какие внутренние силовые факторы возникают при изгибе. Рассмотрели дифференциальные зависимости при изгибе. Узнали правила и последовательность построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Вопрос 3. Правило знаков для поперечных сил и изгибающих моментов. При определении знаков нагрузок используют следующие правила знаков. Поперечная сила считается положительной, если внешняя сила, расположенная слева от сечения, направлена вверх, или сила, расположенная справа от сечения, направлена вниз (рис. 2.2). Рис. 2.2 Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз, и наоборот (рис. 2.3). Рис. 2.3 Пример 1. Построить эпюры Q и М для балки, показанной на рис.2.5. Определим опорные реакции. Система нагружения симметричная, следовательно А=В. Учитывая, что находим А=В=Р. Разбиваем балку на участки. Здесь мы имеем три участка балки. Будем рассчитывать координаты сечения от левого края: 1 участок: ; 2 участок: ; 3 участок: . Рис. 2.5. Построим эпюру Q. 1) Q(z1)=P 2) Q(z2)=P - P= 0 3) Q(z3) =P - P - P = - Р На всех участках поперечная сила постоянна, что и отражено на эпюре Q (рис. 2.5,б). Скачки на эпюре соответствуют внешним нагрузкам. Построим эпюру M: 1) M(z1) = Pz1; при z1=0, M(z1) = 0, при z1=a, M(z1) = Pa. 2) M(z2) = Pz2 – P(z2 – a)= Pa = const. 3) M(z3) = Pz3 – P(z3 – a) – P(z3 – a - b)= - P(z3 – 2a - b) при z3 = a+ b, M(z3)=-P(a+ b–2a– b )= Pa; при z3 = 2a + b, M(z3) = – P(2a + b - 2a - b) = 0. На первом и втором участке зависимость М(z) - линейная, строится по двум точкам. На первом участке Q(z1)>0, поэтому M(z1) возрастает, на третьем участке, наоборот, Q(z3)< 0 и M(z3) убывает (рис.2 5,в). На втором участке Q(z2)=0, и поэтому M(z2)=const. Второй участок представляет собой пример частного случая изгиба, который во введении был назван чистым изгибом: в поперечных сечениях балки действует только изгибающий момент. Пример 2. Рассмотрим балку на двух шарнирных опорах, загруженную распределенной нагрузкой постоянной интенсивности q (рис. 2.6). Требуется построить эпюры Q и М. Определим опорные реакции. Из-за симметрии схемы нагружения А=В. Так как . Имеем один участок нагружения. Введем начало отсчета координаты сечения от левого края. Построим эпюру Q(z): Q(z )= A – qz = . Зависимость Q(z) - линейная. Для её построения необходимо задать две точки (рис.2.6,б): при z=0: Q(z) = при z = l: Q(z) = . Рис. 2.6. Перейдем к построению эпюры M(z): M(z) = . Уравнение M(z) является уравнением квадратичной зависимости: при z=0: M(z)=0 ; при z=l: M(z) = . Максимальный момент имеет место в сечении, в котором . Из эпюры Q(z), следует, что координата этого сечения z=. Следовательно, Mmax (z) = M(l/2) = . Вывод: В рассмотренном вопросе мы узнали правила знаков, принятые при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, и закрепили пройденный материал, рассмотрев два примера на построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Рекомендуемая литература Основная: 1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики в 2 томах. – СПб: Лань, 2008, с. 736. 2. Тимофеев Г.А. Теория механизмов и машин. Курс лекций. – М.: Высшее образование, 2009, с. 352. 3 Тимофеев Г.А. Теория механизмов и машин: учебное пособие. – М.: Изд-во Юрайт, 2011, с. 351. 4. Сопротивление материалов – учебник для студ. учреждений высш. проф.образования./ А.Г. Схиртладзе, Б.В. Романовский, В.В. Волков, А.Н. Потемкин – М.: Издательский центр «Академия», 2012, 416 с. Дополнительная: 1. Курс теоретической механики: Учебник для вузов / В.И. Дронг, В.В.Дубинин, М.М. Ильин и др.; Под общ ред. К.С.Колесникова . М.; Изд-во МГТУ им Н.Э.Баумана, 2002. – 736 с. 2. Теория механизмов и машин: учебник для втузов/ К.В. Фролов, С.А. Попов, А.К. Мусатов и др: Под ред. К.В. Фролова, 4-е изд.- М.: Высш.шк., 2003. – 496с. 3. Яблонский А.А., Никифоровна В.М. Курс теоретической механики. Ч.1. Статика. Кинематика. Учебник для техн. вузов.- 6 изд. испр. - М.: Высшая школа, 2004. - 768 с. 4. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Ч.2. Динамика. Учебник для техн. вузов. - 6 изд. искр. -М.: Высшая школа, 2004. - 343 с. 5. Иванов К.С. и др. Прикладная механика. Сборник задач. Часть I. Сопротивление материалов. СПб.: Санкт-Петербургский университет Государственной противопожарной службы МЧС России, 2011. – 164 с.