Теоремы с доказательствами.Лекция 10.

Лекция 10 (09.11.2020) в конце файла . Теорема 0.1. Пусть (X, τ ), (Y, ω) – т.п. Тогда B1 = Bτ × Bω является базой топологии произведения τ × ω. Доказательство. Нужно проверить критерий базы в т.п.. Первое условие B1 ∈ τ × ω следует из определения топологии произведения. Проверим второе условие критерия базы в топологическом пространстве. ∪ ∀W ∈ τ × ω ⇒ W = i∈I Ai × Bi , Ai ∈ τ, Bi ∈ ω ∀i ∈ I. Тогда ∀(a, b) ∈ U ∃Ai0 , Bi0 |(a, b) ∈ Ai0 × Bi0 ⊂ W. Поскольку Bτ , Bω – базы топологий, то ∃U ∈ Bτ , V ∈ Bω |a ∈ U ⊂ Ai0 , b ∈ V ⊂ Bi0 ⇒ (a, b) ∈ U × V ⊂ Ai0 × Bi0 ⊂= W.  Теорема 0.2. (R2 , τ0 ) = (R, τ0 ) × (R, τ0 ). Доказательство. Ранее уже было доказано, что топологии на плоскости с базами, состоящими из открытых дисков с центами в произвольны точках и из открытых прямоугольников совпадают. Определение 0.1. Отображения pr1 : X × Y → X : (x, y) → x, pr2 : X × Y → Y : (x, y) → y называются проекциями. Теорема 0.3. Отображения pri : (X1 × X2 , τ1 × τ2 ) → (Xi , τi ), (i = 1, 2) непрерывны. Топология произведения – слабейшая из топологий на X1 × X2 , относительно которой pri (i = 1, 2) непрерывны. Доказательство. 1. Непрерывность p1 . ∀U ∈ τ ⇒ pr1−1 (U ) = U × X2 ∈ τ1 × τ2 . 2. Пусть µ – топология на X1 × X2 , относительно которой pri (i = 1, 2) непрерывны. ∀U ∈ τ1 ⇒ pr1−1 (U ) ∩ = U × X2 ∈ µ. Аналогично ∀V ∈ τ2 ⇒ pr2−1 (V ) = X1 × V ∈ µ ⇒ U × X2 X1 × V = U × V ∈ µ ⇒ µ ⊃ ττ1 ×τ2 .  Теперь рассмотрим непрерывное отображение в произведение топологических пространств. Теорема 0.4. Пусть (X1 , τ1 ), (X2 , τ2 ) и f : (Y, ω) → (X1 , τ1 ) × (X2 , τ2 ). Отображение f является непрерывным ⇔ fi = pri ◦ f - непрерывны. 1 Доказательство. Изобразим отображения в виде диаграммы Y JJ JJ f JJ i JJ JJ  $ pri / Xi X1 × X2 f 1. ⇒ . Следует из непрерывности композиции. ? 2. ⇐ . Пусть fi = pri ◦ f – непрерывны. ∀U ∈ τ1 × τ2 ⇒ f −1 (U ) ∈ ω. Очевидно, что достаточно проверить для U = U1 × U2 ∈ Bτ1 ×τ2 , Ui ∈ τi . Из непрерывности f1 ⇒ f1−1 (U1 ) = f −1 pr1−1 (U1 ) = f −1 (U1 ×∩ X2 ) ∈ ω. Ана−1 −1 −1 логично f (X U2 ) ∈ ω ⇒ f (U1 × U2 ) = f ((U1 × X2 ) (X1 × U2 )) = ∩1 × −1 −1 f (U1 × X2 ) f (X1 × U2 ) ∈ ω.  Теорема 0.5. Пусть f : (R, τ0 ) → (Rk , τ0 ). Отображение f непрерывно ⇔ оно непрерывно в смысле матанализа. Доказательство. По теореме 0.4 достаточно доказать непрерывность по каждой координате, т.е. непрерывность pri ◦ f. Теперь доказательство следует из результата курса матана, что отображение непрерывно ⇔ когда оно непрерывно по каждой координате. 1. Связность Далее изучаем разные свойства топологических пространств. Определение 1.1. Топологическое пространство называется связным, если его нельзя представить как объединение двух непустых непересекающихся открытых множеств. В противном случае пространство называется несвязным. Определение 1.2. Подмножество в топологическом пространстве называется связным, если оно связно в индуцируемой топологии. ∪ Пример 1.1. A = (−1, 1) ∪ ∩(2, 5) ⊂ (R, τ0 ). Пусть U = (−1, 1) ∈ τA , V = (2, 5) ∈ τA ⇒ A = U V, U V = ∅. Поэтому A несвязно. Пример 1.2. Множество рациональных чисел с√индуцированной √ топологией (Q, τ0 ) несвязно. Выберем U = {r ∈ Q|r > 2}, V = q < 2. Тогда ∩ ∪ U V = ∅, U V = R. 2 Теорема 1.1 (Критерий несвязного пространства). Пространство X несвязно тогда и только тогда, когда в нем существует непустое открытозамкнутое множество A ̸= X. Доказательство. ∪ ∩ 1. ⇒ . X = A B, A, B ∈ τ, A B = ∅ ⇒ A = CB ∈ τ ⇒ Поэтому B замкнуто. 2. ⇐ . Пусть A∪– открыто-замкнутое множество, A ̸= ∅, A ̸= X. Тогда ∩ CA ∈ τ ⇒ X = A B, A B = ∅.  Пример 1.3. (X, τD ) – несвязное пространство, т.к. каждое подмножество является открыто-замкнутым. Пример 1.4. (R, τир ) – связное пространство, т.к. не существует открыто-замкнутых множеств, кроме R, ∅. Теорема 1.2. Отрезок (M = [0, 1], τ0 ) связен. ∪ ∩ Доказательство. Пусть [0, 1] = A B, A, B ∈ τM , A B = ∅ и оба непусты. Не ограничивая общности, предположим, что 0 ∈ A. Поскольку A ∈ τM ⇒ ∃c ∈ [0, 1]|[0, c) ⊂ A. Пусть c0 = sup c|c ∈ A. Докажем, что c0 ∈ A. По определению супремума c0 точка прикосновения множества A, т.е. c0 ∈ A = A, т.к. A – открыто-замкнутое множество. Далее, поскольку A ∈ τ, то существует интервал (c1 , c2 )|c0 ∈ (c1 , c2 ) ⊂ A, что противоречит выбору c0 . Таким образом, c0 = 1 ⇒ B = ∅.  Замечание 1.1. Аналогично доказывается, что полуинтервалы [a, b), (a, b] связны. Лекция 8 (26.10.2020) Теорема 1.3. Пусть A ⊂ X и A– связно. Пусть A ⊂ U ∅, U, V ∈ τ. Тогда A ⊂ U или A ⊂ V. ∪ V, U ∩ V = ∩ Доказательство. Метод от противного. Пусть A = A U ̸= ∅, A2 = 1 ∩ A V ̸= ∅ ⇒∪Ai (i = 1, ∩2) открыты в индуцированной топологии τA . Поэтому A = A1 A2 , A1 A2 = ∅, что противоречит связности A.  Теорема 1.4. ∪ Пусть Ai ⊂ X, i ∈ I, каждое Ai связно и Тогда A = i∈I iAi связно. 3 ∩ i∈I Ai ̸= ∅. ∪ ∩ Доказательство. Метод от противного. Пусть A = U V, U V = ∅, U, V ∈ τ ⇒ по теореме 1.3 каждое из Ai принадлежит только одному из множеств U или V. Поскольку их пересечение непусто, то они все принадлежат только одному множеству.  Пример 1.5. Приведем еще один способ доказательства связности полуинтервала ((a, b], τ0 ). (Случай ((a, b), τ0 ) рассматривается аналогично.) Для достаточно представить как объединение ∪ доказательства b−a n≥2 [a + n , b] и воспользоваться теоремой 1.4. Пример 1.6. (R, τ(a,+∞) ). Докажем, что любое подмножество S в этом пространстве связно. М. от противного. Пусть S несвязно. Тогда существует непустое открыто-замкнутое множество F ∈ τS , т.е. ∃U, V ∈ τ(a,+∞) | F = ∩ ∩ U S, F = CV S. Таким ∩ образом,∩существуют открытые в τ(a,+∞) множества U, V | U S = CV S. ? Пусть U = (a, +∞), CV = (−∞, b]. Докажем, что ∀s ∈ S ⇒ a <∩ s ≤ b. ∩ ∧ ∩ М. /U S s ∈ CV S ⇒ U S ̸= ∩ от противного. Если s ≤ a ⇒ s ∈ CV S. Второе условие ∪ s ≥ b проверяется аналогично. М. от противного. ∩ Пусть s ∈ / CV ⇒ U S ̸= CV S. ∩ ∩ Теперь доказано, что S ⊂ (a, b] ⇒ F = S U = CV S = S, т.е. доказано, что единственное открыто-замкнутое множество совпадает с S.  Теорема 1.5. Пусть A – связное подмножество X, тогда связным является любое множество B, лежащее между A и его замыканием A, т.е. A ⊂ B ⊂ A. В частности, замыкание связного множества связно. ∪ ∩ Доказательство. М. от противного. Пусть B = U V, U V = ∅, U ̸= ∅, V ̸= ∅, U, V ∈ τB . Поскольку A – связно, то оно содержится в одном из данных множеств, пусть ∩ ∩ A ⊂ U. Пусть B V ̸= ∅ ⇒ ∃x ∈ B V ⇒ ∩ x ∈ A, т.к. B ⊂ A. При этом V – окрестность точки x, для которой V A = ∅, что противоречит определению точки прикосновения.  Теорема 1.6. Замыкание связного множества связно. Доказательство. Как известно, A ⊂ A ⊂ A. Тогда по теореме 1.5 A связно.  4 Теорема 1.7. Непрерывный образ связного пространства связен. Доказательство. Пусть f : (X, τ ) → (Y, ω), по условию ∪ f (X) =∩Y. Доказательство методом от противного. Пусть f (X) = U V, U V = ∅, U ̸= ∅, V ̸= ∅,∪U, V ∈ ω. ∪ ∩ ∩ Тогда X = f −1 (U V ) = f −1 (U ) f −1 (V ), f −1 (U ) f −1 (V ) = f −1 (U V ) = ∅. Из непрерывности f следует, что f −1 (U ), f −1 (V ) ∈ τ. Получили противоречие со связностью X.  Пример 1.7. Окружность S 1 ⊂ (R2 , τ0 ) связна, как образ отрезка при непрерывном отображении. Определение 1.3. Множество A ⊂ Rn называется выпуклым, если ∀x, y ∈ A отрезок [x, y] ⊂ A. Теорема 1.8. Выпуклое множество в (Rn , τ0 ) связно. М. от противного. Пусть A несвязно. Тогда A = ∪Доказательство. ∩ U ∩V, , U∪ V ∩= ∅, U ̸= ∅, V ̸= ∅, U, V ∈ τA . Пусть a ∈ U, b ∈ V ⇒ [ab] = (U [ab]) (V [ab]), т.е. отрезок несвязен.  Теорема 1.9. Произведение связных пространств связно. Доказательство. Пусть (X, τ ), (Y, ω) – связные топологические пространства. Зафиксируем x0 ∈ X. Тогда f1 : (Y, ω) → (x0 × Y, τT × ω) : (x, y) → (x0 , y) – непрерывное отображение, т.к. прообраз каждого открытого открыт. Тогда пространство (x0 × Y ) – непрерывный образ Y и поэтому связно. Аналогично (X, y0 ) связно для любого y0 ∈ Y. Поскольку (X, y0 ) пересекаются с (x0 , Y ) для каждого x0 ∈ X. Тогда по теореме 1.4 ∪ X × Y = x0 (x0 , Y ) ⊂ U связно.  Лекция 9=02.11.2019 Определение 1.4. Cвязной компонентой Kx точки x топологического пространства X называется максимальное связное подмножество в X, содержащее точку x. Максимальность означает, что любое связное множество, содержащее x, содержится в Kx . Следствие 1.1. (к теореме 1.6) Компонента связности замкнута. Доказательство. По теореме 1.6 замыкание связного множества связно. Поэтому K x является связным множеством, содержащим точку x. Из максимальности компоненты связности следует, что Kx ⊂ Kx ⇒ Kx = Kx .  5 Теорема 1.10. Две компоненты связности либо не пересекаются, либо совпадают. Доказательство. Объединение двух пересекающихся компонент по теореме 1.4 есть связное множество, которое к тому же содержит обе эти компоненты. Тогда, по определению компоненты должны совпадать с ним и, значит, друг с другом.  Замечание 1.2. Из теоремы следует, что топологическое пространство является объединением своих попарно непересекающихся замкнутых компонент связности. Нетрудно видеть, что в случае конечного числа компонент каждая компонента также является открытым множеством. Определение 1.5. Непрерывное отображение f отрезка ([0, 1], τ0 ) в пространство называется путем с началом в точке f (0) и концом в точке f (1). Определение 1.6. Топологическое пространство называется линейно связным, если любые две точки можно соединить путем. Теорема 1.11. Если пространство несвязно, то оно не является линейно связным. Доказательство. По условию (X, τ ) несвязно, т.е. существуют U, V ∈ ∪ ∩ τ | X = U V, U V = ∅, U ̸= ∅, V ̸= ∅. Проведем доказательство методом от противного. Пусть (X, τ ) линейно связно. Возьмем точки A ∈ U, B ∈ V. Тогда найдется путь f : ([0, 1], τ0 ) → ∩ −1 (X, τ ) |f ∩(0) = A, f (1) = B. Пусть U1 = f (U f ([0, 1])), V1 = −1 f (V f ([0, 1])). Тогда в силу непрерывности f множества ∪ U1 , V ∩1 открыты в ([0, 1], τ0 ). Кроме того, U1 ̸= ∅, V1 ̸= ∅, [0, 1] = U1 V1 , U V = ∅, что противоречит связности отрезка.  Оказывается, что в (Rn , τ0 ) для открытых множеств линейная связность и связность совпадают. Теорема 1.12. Открытое связное подмножество (Rn , τ0 ) линейно связно. Доказательство. Пусть A – открытое подмножество A ⊂ Rn , точка P ∈ A и F ⊂ A, состоящее из точек множества A, которые можно соединить с точкой P путем, лежащим в A. Докажем, что F открыто. 6 Пусть M ∈ F, т.к. A ∈ τ0 ⇒ ∃Dr (M ) | Dr (M ) ⊂ A. Поскольку открытый диск Dr (M ) – линейно связное подмножество, то Dr (M ) ⊂ F. Теперь докажем, что F замкнуто. Для этого докажем, что A \ F ∈ τA . Пусть M ∈ A \ F, т.е. M нельзя соединить путем с точками F. Опять из открытости A следует, что ∃Dr (M ) | Dr (M ) ⊂ A. Докажем, что Dr (M ) ⊂ A \ F. Рассуждаем методом от противного. Если какую-то точку из Dr (M ) можно соединить путем с F, то и M в силу линейной связности Dr (M )) можно соединить путем с P. Получили противоречие.  Пример 1.8. (Пример связного множества, которое не является линейно связным.) Пусть A ⊂ (R2 , τ∪0 ) – ∪ подпространство плоскости R2 с обычной топологией и A = A− A0 A+ , A− = {(x, sin x1 ) ∈ R2 | x ∈ [−1, 0)}, A+ = {(x, sin x1 ) ∈ R2 | x ∈ (0, 1]}, A0 = {(0, y) ∈ R2 |y ∈ [−1, 1]}. Докажем, что A связно, но не линейно связно. Во-первых, каждое множество Ai – линейно связно, поэтому связно. Найдем компоненты связности. Пусть точка M0 ∈ A0 . Докажем, что это точка прикосновения множеств A− и A+ . Пусть M0 = (0, a), a > 0 тогда последовательность an = ( arcsin 1a+2πn , a) ⊂ A+ . В каждой окрестности точки M0 содержится ∩ окрестность вида Dr (M0 ), поэтому ∀UM0 A+ ̸= ∅ ⇒ M0 ∈ A+ . По теореме 1.3 множества Ai – связны. Тогда их объединение, также связно, т.к. они имеют непустое пересечение. Докажем, что A не линейно связно. Пусть путь соединяет точки P = (− π1 , 0), Q = ( π1 , 0). Тогда для непрерывного f (t) : ([0, 1], τ0 ) → A : t → (x(t), y(t) = sin 1x(t) ), f (0) = P, f (1) = Q из теоремы об отображении в произведение следует, что отображения x(t), y(t) = sin 1x(t) непрерывные при x(t) ̸= 0. Пусть S = {t ∈ [0, 1]|x(t) = 0}. По условию это множество непусто, т.к. x(t) – непрерывная. Пусть t0 = inf S ⇒ t0 > 0 и существует ti → t0 и в силу непрерывности x(t) ⇒ x(ti ) → x(t0 ) = 0. Тогда односторонний предел limt→t0 +0 y(t) = limt→t0 sin 1x(t) не существует. Получили противоречие с непрерывностью. 2. Свойство плотности и аксиомы счетности Определение 2.1. Пусть (X, τ ) – т.п. Семейство Bx = {Ux } подмножеств τ называется базой окрестностей в точке x, если в каждой окрест7 ности точки x содержится некоторая окрестность из Bx . Определение 2.2. Говорят, что т.п. удовлетворяет: 1) 1-ой аксиоме счетности, если в каждой точке существует счетная база окрестностей. 2) 2-ой аксиоме счетности, если в пространстве существует счетная база. Пример 2.1. Метрическое пространство (X, d) с топологией индуцированной метрикой является пространством с 1-ой аксиомой счетности, т.к. в качестве базы окрестностей в точке x можно выбрать открытые шары Dr (x) с рациональными радиусами с центром в точке x. Пример 2.2. В топологическом пространстве (Rn , τ0 ) выполнены 1-ая и 2-ая аксиомы счетности, т.к. в качестве счетной базы можно выбрать открытые шары Dr (x) с рациональными радиусами с центрами в точках x = (x1 , x2 , ..., xn ) с рациональными координатами xi . Определение 2.3. Подмножество A в пространстве (X, τ ) называется всюду плотным, если A = X. Пример 2.3. Множество Q ⊂ (R, τ0 ) является всюду плотным, а множество Q ⊂ (R, τD ) не является всюду плотным, т.к. в этом случае Q = Q. Определение 2.4. Пространство называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное подмножество. Пример 2.4. (R, τ0 ) является сепарабельным, т.к. Q = R. Лекция 10=09.11.2020 Теорема 2.1. Пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, является сепарабельным. Доказательство. Пусть B = {Vn |n ∈ N } – счетная база. Составим множество A, выбирая в каждом множестве базы Vn по одному элементу an ∈ Vn . Проверим, что A = X. ? Пусть x ∈ X ⇒ x ∈ A. ∀Ux ∃Vk ∈ B|x ∈ Vk ⊂ Ux ⇒ ∃ak ∈ Vk ⊂ Ux ⇒ x ∈ A.  8 Замечание 2.1. Обратное неверно. Следующий пример показывает, что из сепарабельности не следует счетность базы. Пример 2.5. Пусть (X, τ3 ) – несчетное множество с топологией Зарисского. Тогда любое бесконечное подмножество, в частности счетное, пересекается с каждым открытым множеством, поэтому пространство сепарабельно. Осталось доказать несчетность базы. Фиксируем P ∈ X. Все окрестности точки P пересекаются только на множестве {P }. Действительно, предполагая, что точка A ̸= P также принадлежит пересечению всех окрестностей точки P, получим противоречие, выбирая окрестность X \ A. Далее доказательство методом от противного. Пусть существует счетная база B ∩ = {Vn , n ∈ N }. Тогда {P } = i Vni – это ∪ все множества счетной базы или их часть. Тогда C{P } = X \ {P } = i CVni . В последнем равенстве слева несчетное множество, а справа не более, чем счетное объединение конечных множеств, т.е. не более, чем счетное множество, тем самым приходим к противоречию. Теорема 2.2. Сепарабельное метрическое простанство удовлетворяет 2-ой аксиоме счетности. Доказательство. Пусть A = {an , n ∈ N } – счетное всюду плотное e = {D(k, n) = в (X, τd ) множество. Построим семейство подмножеств B e – база метрической топологии. D 1 , (an ), k, n ∈ N } и докажем, что B k Проверяем критерий базы в топологическом пространстве. По опредеe ⊂ τd выполнено. лению метрической топологии первое условие критерия B Напомним второе условие критерия: e | x ∈ V ⊂ U. ∀U ∈ τd , ∀x ∈ U ∃ V ∈ B Открытые шары образуют базу топологии τd , поэтому ∀x ∈ U ∃Dr (x) | x ∈ Dr (x) ⊂ U. Поскольку A = X, то ∃an0 ∈ A | an0 ∈ Dr (x). Тогда по свойству открытых шаров в метрическом пространстве существует D 1 (an0 ) ⊂ Dr (x), тем самым, доказательство закончено.  k0 Теорема 2.3 (Линделеф). В пространстве, удовлетворяющем второй аксиоме счетности, из каждого открытого покрытия можно выбрать не более чем счетное подпокрытие. 9 Доказательство. Пусть B – счетная база. Так как всякий элемент покрытия представляется в виде объединения элементов из базы B, то из этой базы выделим подсемейство C, которое тоже является покрытием и состоящее из всех тех элементов базы B, которые принадлежат хотя бы одному из элементов покрытия. Тогда подсемейство C – покрытие пространства. Теперь сопоставим каждому элементу семейства C, какой-нибудь элемент из покрытия, в который он входит, тогда C – открытое не более чем счётное подпокрытие.  Определение 2.5. Множество называется нигде не плотным, если внутренность его замыкания – пустое множество, т.е. Int(A) = ∅. Пример 2.6. Z ⊂ (R, τ0 ). Z = Z, Int(Z) = ∅. Укажем несколько эквивалентных условий нигде неплотного множества. Теорема 2.4. Множество A – нигде не плотно ⇔ CA = X. Доказательство. В обе стороны методом от противного. ∩ 1. ⇒ . Пусть Int(A) = ∅ и CA ̸= X ⇒ ∃y ∈ / CA ⇒ ∃Uy CA = ∅ ⇒ Uy ⊂ A ⇒ y ∈ Int(A). Противоречие. 2. ⇐ . Пусть CA = X и Int(A) ̸= ∅ ⇒ ∃y ∈ Int(A) ⇒ ∃Uy |Uy ∈ A ⇒ ∩ Uy CA = ∅ ⇒ y ∈ / CA. Противоречие.  Теорема 2.5. Множество A – нигде не плотно ⇔ Int(CA) = X. Доказательство. Достаточно доказать, что IntCA = CA, а затем воспользоваться теоремой 2.4. ∀x ∈ CA ⇔ x ∈ / A ⇔ ∃Ux ⊂ CA ⇔ x ∈ (CA)0 .  Теорема 2.6. Множество A – нигде не плотно ∩ ⇔ ∀U ∈ τ ∃V ∈ τ |V ⊂ U, V A = ∅. Другими словами в множестве A "много дырок". Доказательство. ∩ ? 1. ⇐ . ∀U ∈ τ ∃V ∈ τ |V ⊂ U, V A = ∅ ⇒ Int(A) = ∅. Метод от противного. Пусть Int(A) ̸= ∅ ⇒ ∃x ∈ Int(A) ⇒ ∃Ux ⊂ A. 10 ∩ ∩ Докажем, что ∀V ⊂ Ux , V ∈ τ ⇒ V A ̸= ∅. Если V ∈ τ, V A = ∅ ⇒ ∀y ∈ V ⇒ y ∈ / A ⇒ Противоречие с условием V ⊂ A. ∩ ? 2. ⇒ . Int(A) = ∅ ⇒ ∀U ∈ τ ∃V ∈ τ |V ⊂ U, V A = ∅. Опять методом от противного. ∩ Пусть ∃U ∈ τ | ∀V ∈ τ, V ⊂ U ⇒ V A ̸= ∅, т.е. ∀x ∈ U, ∀Ux ⊂ ∩ U | Ux A ̸= ∅ ⇒ x ∈ A. Поэтому U ⊂ A ⇒ U ⊂ Int(A) ̸= ∅. Противоречие.  11