Теорема об изменении кинетической энергии

3.4. Теорема об изменении кинетической энергии 3.4.1. Кинетическая энергия точки и системы Кинетической энергией материальной точки называют половину произведения массы m точки на квадрат ее скорости v : T  Кинетическая энергия является скалярной mv 2 2 . неотрицательной величиной. В системе СИ единицей кинетической энергии является Джоуль: 1Дж=1Нм. Кинетической энергией называют сумму кинетических системы энергий всех точек механической системы, т.е. Т  n  Tk  k 1 n mk vk2 k 1 2  . Выведем выражения для кинетических энергий твердого тела в различных случаях его движения. При поступательном движении тела скорости всех его точек одинаковы, vk  v , поэтому Т  где m  n  mk n mk vk2 k 1 2   n mk v 2 k 1 2   v2 2 n  mk  k 1 mv 2 , 2 – масса тела. k 1 При вращении тела вокруг неподвижной оси скорость какой–либо точки тела M k можно выразить как vk  hk , где hk – кратчайшее расстояние от точки до оси вращения;  – угловая скорость тела. Тогда кинетическая энергия тела равна n mk vk2 k 1 2 Т  где J z  n  mk hk2 k 1 n mk 2 hk2 k 1 2   2 2 n  mk hk2 k 1  J z 2 2 , – момент инерции тела относительно оси вращения. Плоское движение тела. Пусть мгновенный y Mk r vc C zc c r vk центр скоростей плоской фигуры (рис. 3.11) находится в точке Р. Скорость каждой точки фигуры определяется по формуле k vk  M k P    k , P o x zp z где  – угловая скорость тела;  k – расстояние от Рис. 3.11 точки M k до оси мгновенного центра скоростей. Тогда кинетическая энергия принимает вид Т n  k 1 где Jz  P n  mk 2k mk vk2 2  n  mk 22k k 1 2 2  2 n  mk 2k  J z 2 P 2 k 1 , – момент инерции фигуры относительно оси k 1 zP , перпендикулярной плоскости фигуры и проходящей через мгновенный центр скоростей. По теореме Штейнера J z  J z  mCP  , где J z 2 P C – момент C инерции относительно центральной оси zC , параллельной оси z P ; m – масса тела. Подставив это значение в формулу кинетической энергии, получим mCP  2 . T   2 2 2 Так как C   vC – скорость центра масс тела, то J z 2 P T J z 2 2 C mvC2 2  J z 2 C 2 . Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении равна сумме кинетической энергии центра масс, в котором условно сосредоточена масса всего тела, и кинетической энергии тела при его вращении вокруг центральной оси, перпендикулярной плоскости движения. 3.4.2. Работа силы Одной из основных характеристик действия силы на тело в зависимости от взаимного расположения векторов силы и перемещения и от пути, на котором действует сила, является работа силы. Рассмотрим элементарную работу, полную x работу и мощность. z M 0 M  r r называется скалярное произведение силы r dr y Рис. 3.12 r Элементарной работой силы F на перемещении dr r F v o Элементарная работа силы r r F F r (рис. 3.12) на элементарное r перемещение dr точки ее приложения: r r dA  Fdr  Fdr cos  , r r где  – угол между направлениями векторов F и dr . r r Так как dr  v dt , то можно записать еще одно выражение элементарной работы: rr dA  Fv dt  Fvdt cos  . r Отметим, что направление dr можно считать совпадающим с r направлением скорости v и dr  dS . Для элементарной работы можно записать еще несколько выражений: dA  FdS cos  ; dA  F dS ; dA  Fx dx  Fy dy  Fz dz . Из формул элементарной работы следует, что эта величина может быть положительной (угол  острый), отрицательной (угол  тупой) или равна нулю (угол  прямой). r Полная работа сил. Для определения полной работы силы F на перемещении от точки М 0 до М разобьем это перемещение на n перемещений, каждое из которых в пределе переходит в элементарное. Тогда работа силы А: A  lim n  dAk , n   k 1 где dAk – работа на k–м элементарном перемещении. Записанная сумма является интегральной и может быть заменена криволинейным интегралом, взятым вдоль кривой на перемещении М 0 М. Тогда r r A   dA   Fdr   Fx dx  Fy dy  Fz dz    F dS M M M M M0 M0 M0 M0 или rr A   Fv dt , t где момент времени t=0 соответствует точке М 0 , а момент времени t – точке М. Из определения элементарной и полной работы следует: 1) работа равнодействующей силы на каком–либо перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на этом перемещении; 2) работа сил на полном перемещении равна сумме работ этой же силы на составляющих перемещениях, на которые любым образом разбито все перемещение. Мощность силы. Мощностью силы называют работу за единицу времени: rr или с учетом, что dA  Fv dt , W  dA dt rr W  Fv  Fv cos  , Мощность силы – это величина, равная скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения. Таким образом, при постоянной мощности увеличение скорости ведет к уменьшению силы и наоборот. Единицей измерения мощности является ватт: 1Вт=1 Дж/с. Если сила приложена к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, то ее мощность равна   dA M z F d   Mz F  . dt dt Аналогично определяется и мощность пары сил. W   3.4.3. Примеры вычисления работы силы Работа силы тяжести. Пусть точка М, на z r r которую действует сила тяжести P  mg (рис. 3.13), переместилась положение из   положения M1 x1 , y1 , z1  M 0 x0 , y0 , z0 (ось  M0 в r P направлена Oz вертикально). Определим элементарную и полную x работу силы на этом перемещении. Сила тяжести имеет проекции Px  Py  0 , Pz  mg , и ее M M1 o y Рис. 3.13 элементарная работа равна dA  Px dx  Py dy  Pz dz  mgdz . r Полная работа силы P равна A  dA  mg  dz  mg z1  z0   mg z0  z1   mgh , M1 zz M0 z0 где h – высота, на которую опустилась точка. Таким образом, работа силы тяжести положительная, когда точка опускается, и отрицательная, когда точка поднимается. Работа силы тяжести не зависит от формы траектории между точками M 0 и M 1 . Работа линейной силы упругости. z o x M r 0 r0 r M r r r F r1 M1 y Рис. 3.14 Линейной силой упругости называют силу, действующую по закону Гука (рис. 3.14): r r F  cr , r где r – радиус-вектор, проведенный из точки равновесия, где сила равна нулю, до рассматриваемой точки М; с – постоянный коэффициент жесткости. r Работа силы F на перемещении от точки M 0 до точки M 1 по формуле равна r r1 r r r r A   Fdr  c  r dr . M1 r r0 M0 Выполняя интегрирование, получаем   c 2 (3.13) r1  r02 . 2 По формуле (3.13) вычисляем работу линейной силы упругости A пружин при перемещении по любому пути из точки M 0 , в которой ее начальная деформация равна  0  r0 , в точку соответственно равна   r1 . В новых обозначениях формула (3.13) принимает вид A   c 2   20 . 2 Работа z r  r M 0 Mz  M 1 , где деформация силы, приложенной к вращающемуся твердому телу. При вращении M r r твердого тела вокруг неподвижной оси скорость точки М можно вычислить по формуле Эйлера (рис. 3.15): r r r v   r . r Тогда элементарную работу силы F определяем по формуле rr r r r dA  Fv dt  F   r dt . r v r F  o Рис. 3.15 Используя свойство смешанного векторного произведения r r r r r r F   r    r  F , получаем r r r r r dA   r  F dt  M 0dt  dt M 0 cos  . r r r Так как r  F  M 0 – момент силы относительно точки О. Учитывая, что     M 0 cos   M z – момент силы относительно оси вращения Oz и dt  d , окончательно получаем dA  M z d . Элементарная работа силы, приложенной к какой–либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела. Полная работа:  A   M z d . В частном случае, когда M z  const , работу определяем по формуле A  M z , где  – угол поворота тела, на котором вычисляют работу силы. Работа внутренних сил твердого тела. Докажем, что работа внутренних сил твердого тела равна нулю при любом его перемещении. Достаточно доказать, что сумма элементарных работ всех внутренних сил равна r r F (i) l0 1  r1 M1 v1 нулю. Рассмотрим две любые точки тела M 1 и M 2 (рис. 3.16). Так как внутренние силы есть r r (i)v2  2 F2 M2 Рис. 3.16 силы взаимодействия точек тела, то r r F1i    F2i ; F1i   F2i  . r r Введем единичный вектор l0 , направленный по силе F1(i ) . Тогда r r r r r F1i   l0 F1i ; F2i   l0 F2i   l0 F1i  . r r Сумма элементарных работ сил F1(i ) и F2(i ) равна r r r r r rr r r dA1(i )  dA2(i )  F1i v1dt  F2i v2 dt  F1i dt v1l0  v2l0 .   Раскрывая скалярные произведения векторов в скобках, получаем   dA1(i )  dA2(i )  F1i dt v1 cos 1  v2 cos  2  0 . Так как в кинематике доказано, что проекции скоростей любых двух точек твердого тела на направление прямой линии, соединяющей эти точки, равны друг другу при любом движении твердого тела, то в полученном выражении в скобках стоит разность одинаковых величин, т.е. величина, равная нулю. Твердое тело можно считать состоящим из пар взаимодействующих точек. Суммируя элементарные работы для всех пар точек, получаем n  dAki  0. k 1 3.4.4. Теорема об изменении кинетической энергии точки Для материальной точки массой m, движущейся под действием силы r F , основной закон динамики можно представить в виде r dv r m F. dt Умножая обе части этого соотношения скалярно на дифференциал r радиус-вектора точки dr , имеем r r dAk(i )  Fk(i ) drk – элементарная работа внешних и внутренних сил соответственно. Формула (3.15) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: Дифференциал от кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему. Если обе части уравнения (3.15) проинтегрировать между двумя положениями системы – начальным и конечным, в которых кинетическая энергия равна Т 0 и Т, то, изменяя порядок суммирования и интегрирования, имеем T  T0   Mk  Mk dAk(e)  Mk  dAk(i ) Mk T  T0   Ak(e)   Ak(i ) , где  Ak( e) Mk  dAk(e) Mk – работа внешней силы для точки системы M k при ее перемещении из начального положения M k Ak(i )  Mk  dAk(i ) Mk (3.16) в конечное положение M k ; – работа внутренней силы, действующей на точку M k . Формула (3.16) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в конечной или интегральной форме: Изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек системы при том же перемещении системы. 3.5. Потенциальное силовое поле 3.5.1. Потенциальное силовое поле и силовая функция Силовое поле – это часть пространства, в каждой точке которого на материальную точку действует сила, зависящая от координат точки r r и времени (рис. 3.17): F  F x, y, z, t . Если вычислить сумму работ, которую совершают силы поля, действующие на механическую систему при перемещении из положения ( M 0 ), в котором силовая функция равна U 0 , в положение (М), в котором силовая функция равна U, то получим n  Ak k 1  U  U0 . 3.5.2. Потенциальная энергия В  Mx, y, z u силового z   поля потенциального вводят функцию, характеризующую запас энергии в M0 x0, y0,z0 данной точке поля – потенциальную u0 o случае энергию y x материальной рассматриваемой точке точки в силового поля. Рис. 3.19 Потенциальной энергией П материальной точки в рассматриваемой точке потенциального силового поля М (рис. 3.19) называют работу, которую совершают силы поля, действующие на материальную точку при перемещении ее из точки М в начальную точку M 0 :   AMM , или   AMM  U 0  U  C  U , где C  const . Потенциальная энергия определена с точностью до постоянной     const . Проекции силы на координатные оси имеют следующий вид: Fx  U x   x ; Fy  U y   y ; Fz  U z   z . Элементарная и полная работа силы в потенциальном силовом поле: dA  dU  d ; A  U  U0   0   . Потенциальной энергией системы  в рассматриваемом положении (М) потенциального силового поля называют сумму работ сил поля, действующих на систему, которую эти силы совершают при перемещении системы из рассматриваемого положения в начальное положение ( M 0 ):    Ak  U 0  U  U  const , где U – значение силовой функции в положении (М); U 0 – значение силовой функции в начальном положении ( M 0 ). Проекции силы, действующей на каждую точку системы, на координатные оси имеют следующий вид: Fkx  U xk   xk ; Fky  U yk   yk ; Fkz  U zk   zk . Элементарная и полная работа сил поля:  dAk  Ak  dU  d ;  U  U0   0   . 3.5.3. Закон сохранения механической энергии Для материальной точки, согласно теореме об изменении кинетической энергии, справедливо уравнение Закон сохранения механической энергии точки. mv 2 mv02   A. 2 2 Если точка движется в стационарном потенциальном силовом поле, то A  0   . Следовательно, mv 2 mv02   0   2 2 или mv 2 mv 2    0  0 . 2 2 Обозначая через Е полную механическую энергию точки, получаем mv 2 E    const . 2 Закон сохранения механической энергии для точки. При движении точки в стационарном потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия остается постоянной величиной. Закон сохранения механической энергии системы. Теорему об изменении кинетической энергии для системы можно представить в виде   T  T0   Ak(e)  Ak(i )   Ak . При движении системы в стационарном потенциальном силовом поле: 4. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА 4.1. Принцип Даламбера для материальной точки Принцип Даламбера придает динамическим дифференциальным уравнениям движения вид уравнений равновесия. Уравнение движения материальной точки массы m относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил   F и реакций связей R (рис. 4.1) имеет вид    (4.1) ma  F  R . Назовем силой инерции материальной z точки произведение массы m точки на вектор  ускорения a , взятое с обратным знаком:     ma . o Тогда уравнение (4.1) можно привести к виду x       (4.2) F  R  ma  0 или F  R    0 .   M  F  R  a y Рис. 4.1 Уравнение (4.2) является условием равновесия сходящейся системы сил    F , R,  , т.е.    (4.3) 0. F , R,      Условие (4.3) выражает принцип Даламбера для материальной точки. При движении материальной точки активные силы, реакции связей и сила инерции точки образуют уравновешенную систему сил. 4.2. Принцип Даламбера для системы материальных точек Рассмотрим систему n материальных точек (рис. 4.2). Применяя принцип Даламбера к каждой точке системы, получаем    Fk  Rk  k  0; k  1,2,...,n , (4.4)   где  k  mak – сила инерции точки M k . 41 Условие (4.4) представим в эквивалентной форме:    Fk , Rk ,  k 0; k  1,2,...,n .   (4.5) Принцип Даламбера для системы выражают n векторных условий (4.4) или (4.5). При движении механической системы активная сила, реакция связей и сила инерции составляют равновесную систему сил для каждой точки системы. Из принципа Даламбера можно получить следствия в виде условий равновесия для сил, действующих на точки системы и сил инерции. Просуммируя (4.4) по всем точкам системы, получим n  n  n  F  R  (4.6)  k  k k  0 . k 1 z  k Mk x o  rk   Rk ak Рис. 4.2 k 1 k 1 Умножая векторно каждое из уравнений слева   на радиус - вектор точки rk и опять суммируя по Fk точкам системы, имеем n  n  n     y  rk  Fk   rk  Rk   rk   k  0 k 1 или   k 1     k 1       n  n       M o Fk   M o Rk   M o  k  0 . n k 1 k 1 k 1 (4.7) Условия равновесия (4.6) и (4.7) являются условиями равновесия произвольной пространственной системы сил; если выразить их через проекции на координатные оси, то они дадут шесть уравнений равновесия, аналогичных уравнениям равновесия пространственной системы сил в статике. Классифицируем силы, действующие на точки системы, как внешние и внутренние:     Fk  Rk  Fke  Fki . Тогда принцип Даламбера можно представить в другой форме    Fke  Fki  k  0 ; k  1,2,...,n . (4.8) Используя принцип Даламбера в форме (4.8), получим следствия в виде 42 4.3. Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения Силы инерции точек составляют систему сонаправленных сил, а ускорения всех точек тела  одинаковые. Такая система сил приводится к равнодействующей силе  * , которая равна главному вектору:     *    maC .  Линия действия  * проходит через центр масс, т.к. главный момент сил инерций точек относительно центра масс равен нулю:  n  n    d K M С   M С  k   С    M C Fke  0 . dt k 1 k 1 При поступательном движении.     При поступательном движении тело не вращается n   вокруг центра масс и поэтому –  M C Fke  0 . z  M 0 C k 1   При вращении вокруг неподвижной оси выберем центр приведения сил инерций точку О на оси вращения o y (рис. 4.3). В этой точке получаем главный вектор  и x   M главный момент сил инерции : o Рис. 4.3    d K    maC ; M o   o . dt   Если ось вращения центральная, то   0 , т.к. aC  0 .  Проекции M o на оси координат:   M x  dK x dt ; M y   dK y dt ; M z  dK z dt  J z ; M x и M y равны нулю только в том случае, если ось вращения z является главной осью инерции для точки О. 44 При плоском движении, выбрав за y  yc центр приведения сил инерции центр масс (рис.  4.4), получим в этой точке главный вектор сил     C M инерции   maC и главный момент сил c  xc  ac zc  dK C  инерции M C   . o dt Рис. 4.4   Проекции M C на оси координат с x началом в центре масс и движущиеся поступательно вместе с центром масс: M x  C dK x dt C ; M y   C dK y C dt ; M z  dK z dt C C  J z  . C Моменты сил инерции M x и M y равны нулю, если ось zC является C C главной осью инерции для точки С. 4.4. Динамические реакции при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Oz, имея две неподвижные точки А и В, под действием системы внешних   сил F1 ,...,Fn . Реакции связей в точках А и В   равны R A и RB (рис. 4.5).   z  F1  F2 B    C   k rC O  j i A  Fn  RB  rk Mk  Фk y  Приложив к точкам системы силы x RA инерции, применим принцип Даламбера: n      Рис. 4.5  Fk  RA  RB  Ф  0 ;   k 1 (4.13)  n       Ф  M O Fk  M O RA  M O RB  M O  0 . k 1    Определим главный вектор Ф и главный момент M OФ сил инерции       точек тела. Ускорение любой точки Mk вычисляется по формуле 45  Fkx  RAx  RBx  m2 xC  yC   0 ; n k 1 n  Fky  RAy  RBy  m2 yC  xC   0 ; k 1 n  Fkz  R Az  RBz  0 ;   k 1            2 M F  M R  M R  x k x A x B  J yz   J xz   0 ; n k 1 n   (4.16)    2 M F  M R  M R  y k y A y B  J yz   J xz   0 ; k 1    M F  z k  J z  0 . n k 1 Последнее уравнение системы (4.16) является дифференциальным уравнением вращательного движения тела. Из него можно определить угловое ускорение  и, проинтегрировав, найти угловую скорость . В оставшиеся пять уравнений входит шесть неизвестных, что не позволяет их все определить. Из третьего уравнения можно определить RAz  RBz . Для определения всех только сумму двух неизвестных неизвестных надо закрепить тело в точках А и В так, чтобы было пять неизвестных. Например, в точке А – подпятник, в точке В – подшипник.   Полные реакции R A и RB разложим на статические и динамические составляющие:       RA  RAст  RAд ; RB  RBст  RBд .   Статическими реакциями R Aст и RBст называют части полных реакций, которые статически уравновешивают приложенные внешние силы. Уравнения для их нахождения получим из уравнений системы (4.16) при =0 и =0: n ст ст  RBx 0;  Fkx  RAx k 1 n ст ст  RBy 0;  Fky  RAy k 1 n ст ст  RBz 0;  Fkz  RAz k 1 47 (4.17)         ст  ст M F  M R  M R  x k x A x B 0; n k 1 или в векторной форме n     Fk  RAст  RBст  0 ; k 1         ст  ст M F  M R  M R  y k y A y B 0 n k 1  M O Fk   M O RAст  M O RBст   0 . n       k 1   Части полных реакций R Aд и RBд , которые уравновешивают силы инерции точек тела, называют динамическими реакциями. Уравнения для определения динамических реакций получим из уравнений (4.16) с учетом (4.17):     д д д д  RBy  m 2 yC  xC  0 ; RAx  RBx  m 2 xC  yC  0 ; RAy   M x RAд  M x RBд  J yz 2  J xz   0 ;   M y RAд  M y RBд  J yz   J xz 2  0         или в векторной форме    RAд  RBд  Ф  0 ;   (4.18)        M O RAд  M O RBд  M OФ  0 . Тело, имеющее неподвижную ось вращения, называют статически уравновешенным, если центр масс этого тела находится на оси вращения Динамически уравновешенным телом называют случай обращения в нуль динамических реакций. Динамические реакции обратятся в нуль, как следует из уравнений (4.18), если выполняются условия: xC  0 ; yC  0 ; J xz  0 ; J yz  0 . То есть ось вращения тела должна быть главной центральной. Такая ось называется свободной осью вращения. При проектировании машин и механизмов надо стремиться, чтобы оси вращающихся деталей машин были свободным осями вращения. Вопросы для самоконтроля 1. Дать определение статических и динамических реакций. 2. При каких условиях динамические реакции отсутствуют. 3. Что такое свободная ось вращения. 48 49 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА В аналитической механике изучается равновесие и движение механических систем. При этом используются понятия возможного перемещения точки и системы, а также обобщенных координат. 5.1. Классификация связей Аналитически связи, налагаемые на точки механической системы, выражаются в виде уравнений связи, в которые в общем случае могут входить координаты точек, их скорости и время. В общем случае уравнение связи запишется в виде f x1, y1, z1,...,xn , yn , zn ; x1, y1, z1,...,xn , y n , zn ; t   0 . (5.1) В зависимости от вида данной функции связи разделяют на: 1) геометрические и кинематические; 2) стационарные и нестационарные; 3) голономные и неголономные; 4) удерживающие и неудерживающие. К геометрическим относят связи, в уравнения которых входят только координаты точек системы и, может быть, время: f x1, y1, z1,...,xn , yn , zn ; t   0 . (5.2) Кинематическими называют связи, уравнения которых кроме координат точек системы содержат, и первые производные от этих координат по времени и, может быть время, см. выражение (5.1). Кинематические связи могут быть интегрируемыми (путем интегрирования сводящиеся к геометрическим) и неинтегрируемыми. Связи, в уравнения которых время явно не входит, называются стационарными. Если время входит явно в уравнение связи, то связь – нестационарная. К голономным относятся кинематические связи. геометрические Кинематическая связь, уравнение которой проинтегрировано, называется неголономной. и не интегрируемые может быть Если система не может освободиться от связи (связь аналитически выражена уравнением (5.2)), то она называется удерживающей. Если же система может покинуть связь (связь аналитически выражена неравенством: f x1 , y1 , z1 ,...,xn , yn , z n ; t  0 ), то она называется неудерживающей. В дальнейшем будем рассматривать механические системы с голономными, стационарными, удерживающими связями. 5.2. Принцип возможных перемещений Бесконечно малое перемещение точки под действием приложенных сил, совершаемое за время dt, называется действительным перемещением  и обозначается dr (рис. 5.1). Для формулирования принципа возможных перемещений введем понятия возможного или виртуального перемещения. Возможным перемещением точки называется бесконечно малое мысленное перемещение, допускаемое в рассматриваемый момент времени наложенными на точку связями. M  r  Для возможного перемещения r не требуется времени на его совершение. Очевидно, что  r действительное перемещение точки принадлежит к числу возможных, если связи стационарные.  dr O Рис. 5.1 Возможным перемещением системы называют любую совокупность возможных перемещений точек системы. В общем случае система может иметь множество возможных перемещений. Число независимых возможных перемещений называют числом степеней свободы. Работа силы на одном из возможных перемещений точки ее приложения называется возможной работой силы:   A  Fr  Fx x  Fy y  Fz z . С понятием возможной работы связано деление связей на идеальные и неидеальные. Идеальной называют связь, сумма работ сил реакций которой на любом возможном перемещении точек системы равна нулю: n    Rk rk  0 , k 1  где Rk – реакция связи, действующая на k–ю точку системы. Принцип возможных перемещений определяет необходимое и достаточное условие равновесия механической системы с идеальными, голономными, неосвобождающими, стационарными связями. Приведем его без доказательства. Для равновесия механической системы с идеальными, голономными, стационарными, неосвобождающими связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на систему активных сил была равна нулю на любом возможном перемещении системы, если скорости точек системы в рассматриваемый момент времени равны нулю:   F  k rk  0 , n где  Fk Mk k 1 – активная сила, приложенная к k–й точке системы;  rk – радиус–вектор этой точки  rk  Fk O Рис. 5.2 (рис. 5.2). 5.3. Общее уравнение динамики На основании принципа Даламбера справедливы равенства    (5.3) Fk  Rk  k  0; k  1,2,...,n ,   где Fk – активная сила; Rk – реакция связей;   k – сила инерции точки (рис. 5.3).  k  rk Mk  Fk  Rk  ak Рис. 5.3 Умножая скалярно каждое из соотношений (5.3) на возможное  перемещение точки rk и суммируя по всем точкам системы, получим n   n     F  r  R  r   k k  k k  k rk  0 . n k 1 k 1 k 1 (5.4) Равенство (5.4) – общее уравнение динамики для механической n   системы с любыми связями. Если связи идеальные, то  Rk rk  0 и k 1 выражение (5.4) принимает одну из следующих форм:   F    r  0 ;   F  m a  r  0 ;  AkF  Ak   0 . n n n k k k k k k k k 1 k 1 k 1 Общее уравнение динамики (объединенный принцип Даламбера– Лагранжа). В любой момент движения системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы равны нулю на любом возможном перемещении системы. 5.4. Обобщенные координаты Пусть система состоит из N точек и положение ее определяется 3N координатами точек системы xk , yk , z k , (рис. 5.4). На систему наложены l z  Mk xk , yk , zk  rk o y x Рис. 5.4  голономных уравнения двухсторонних которых связей, f s xk , yk , z k , t   0 ; s=1,2,…,l. Таким образом, 3N координат связаны l уравнениями и независимых координат будет n=3N-l. В качестве n независимых координат можно выбрать любые независимые параметры q1 , q2 ,...,qn . Независимые параметры, однозначно определяющие положение системы, называют обобщенными координатами системы. В общем случае они являются функциями декартовых координат точек системы: qi  qi xk , yk , zk ; i  1,...,n ; k  1,...,N . Можно выразить декартовы координаты через обобщенные координаты: xk  xk q1 ,...,qn , t ; yk  yk q1 ,...,qn , t ; zk  zk q1 ,...,qn , t . Для радиус–вектора каждой точки системы получим   rk  rk q1 , q2 ,...,q n , t . (5.5) Если связи стационарные, то время в (5.5) явно входить не будет. Для  голономных связей вектор возможного перемещения точки rk можно выразить в форме Если     n r rk rk  rk rk  q1  q2  ... qn   k qi . q1 q2 qn i 1 qi связи голономные, то число независимых перемещений (или вариаций обобщенных координат. возможных q ) совпадает с числом независимых Следовательно, число степеней свободы голономной системы равно числу независимых обобщенных координат этой системы, т.е. n=3N-l. Для неголономных систем в общем случае число независимых вариаций q (возможных перемещений) меньше числа обобщенных координат. Поэтому число степеней свободы неголономной системы, равное числу независимых возможных перемещений, тоже меньше числа обобщенных координат системы. Производные обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями и обозначаются q1 , q 2 ,...,q n . 5.5. Обобщенные силы Определение обобщенных сил. Рассмотрим голономную систему из N материальных точек, имеющую n степеней свободы и находящуюся под действием   системы сил (рис. 5.5). F1 ,...,Fn  Положение системы z  rk  определяется n x обобщенными координатами q1 , q2 ,...,qn ,   т.е. rk  rk q1 , q2 ,...,q n , t . Mk o  rk  Fk y Рис. 5.5 Вектор возможного перемещения равен  n r  rk   k qi . (5.6) i 1 qi Вычислим сумму элементарных работ сил, действующих на систему, на возможном перемещении системы:   A   Fk rk . N (5.7) k 1 Подставляя уравнение (5.6) в (5.7) и меняя порядок суммирования, получим  n  N  r  n A     Fk k qi   Qi qi . (5.8)    q i 1 k 1 i 1 i   N  r k Скалярная величина Qi   Fk называется обобщенной силой,  q k 1 i отнесенной к обобщенной координате qi . Размерность обобщенной силы. Из формулы (5.8) получается размерность обобщенной силы Q  A q. Если обобщенная координата имеет размерность длины, то обобщенная сила имеет размерность силы [Н], если же обобщенной координатой является угол (размерность – 1), то обобщенная сила имеет размерность момента силы [Нм]. Вычисление обобщенных сил. 1. Обобщенную силу можно вычислить по формуле, ее определяющей:  N  r N  x y z  Qi   Fk k    Fkx k  Fky k  Fkz k  , (5.9) qi k 1 qi qi qi  k 1 где Fkx , Fky , Fkz – проекции силы на оси координат; xk , yk , z k – координаты  точки приложения силы Fk . 2. Обобщенные силы являются коэффициентами при соответствующих вариациях обобщенных координат в выражении для элементарной работы (5.8): N   n A   Fk rk   Qi qi  Q1q1  Q2 q2  ... Qn qn . (5.10) k 1 i 1 3. Если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная q  0, q  0, i  j, то из выражения (5.10) имеем i j N    Qi    Fk rk   k 1  qi qi . координата qj Индекс qi в числителе указывает, что сумма работ вычисляется на возможном перемещении, при котором изменяется (варьируется) только координата qi . 4. Для потенциальных сил: U Fkx  ; Fky  U ; Fkz  U , xk yk z k где U  U xk , yk , z k   U q1 ,...,qn  – силовая функция. (5.11) Из выражения (5.9) с учетом равенств (5.11) следует, xk yk z k  N  U xk U yk U z k  U       . Qi   Fkx  Fky  Fkz        q  q  q  x  q  y  q  z  q  q k 1 i i i  k 1 k i k i k i  i Таким образом, N Qi  U   , qi qi где   U  const –потенциальная энергия системы. 5.6. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ В ОБОБЩЕННЫХ СИЛАХ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИЛ Общее уравнение динамики (5.4): N     Fk  Фk rk  0 .   k 1 Вектор возможного перемещения, согласно уравнению (5.6), равен  n r  rk   k qi . i 1 qi  С учетом этого выражения rk общее уравнение динамики принимает вид  N k 1   Fk  Фk  rk  q qi  0 . n i 1 i Преобразуем его, поменяв порядок суммирования:   n N  r   N  rk  qi   Fk q  Фk qk   0 . i 1 k 1 i i   k 1 (5.12) 5.7. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа второго рода) Уравнения Лагранжа второго рода дают общий метод составления дифференциальных уравнений движения механической системы с голономными, идеальными, удерживающими связями в обобщенных координатах. Предположим, что механическая z система состоит из N материальных точек и Mk   rk Rk имеет n степеней свободы (рис. 5.6). В случае  голономных стационарных связей Fk   rk  rk q1 , q2 ,...,qn  o y определим скорости точек:     rk rk  drk rk vk   q  q  ... q (5.15) dt q1 1 q2 2 qn n или x Рис. 5.6  n r  vk   k qi . i 1 qi Из выражения (5.15) следует   vk rk  . q i qi Вычислим кинетическую энергию системы: N T mk vk2  1 N (5.16)    mk vk vk . 2 (5.17) 2 k 1 k 1 Кинетическая энергия является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени: T  T q1 , q2 ,...,qn , q1 ,...,q n , t  . Найдем частные производные кинетической энергии по обобщенной координате qi и обобщенной скорости q i , дифференцируя выражение (5.17):   T N T N  vk  vk  m v ;  m v . qi k 1 k k qi qi k 1 k k qi Преобразуем последнее выражение на основе равенства (5.16):   rk .  m v qi k 1 k k qi Продифференцируем это выражение по времени, получим     d  T  d  N rk  N dvk rk N d  rk        m v   m  .  m v (5.18) dt  qi  dt  k 1 k k qi  k 1 k dt qi k 1 k k dt  qi  Рассмотрим некоторые величины, входящие в правую часть  dvk   полученного равенства mk  Fk  Rk , на основании второго закона dt Ньютона, тогда    N dvk rk N   rk (5.19)  mk dt q   Fk  Rk q  Qi  QiR . k 1 k 1 i i Меняя последовательность дифференцирования, получим    d  rk    drk  vk     ,  dt  qi  qi  dt  qi тогда   N  d  rk  N  vk T (5.20)  mk vk dt  q    mk vk q  q . k 1 i i  i  k 1 Выражение (5.18) с учетом (5.19) и (5.20) принимает вид T N   d  T  T    Q  QR  . (5.21) i i dt  qi  qi Будем рассматривать системы с идеальными связями, для которых QiR  0 . Тогда выражение (5.21) можно представить в виде d  T  T    Qi ; i  1,2,...,n . (5.22)  dt  qi  qi Систему n дифференциальных уравнений (5.22) называют уравнениями Лагранжа второго рода. Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q1 ,...,qn . Интегрируя эти дифференциальные уравнения, получим n уравнений движения механической системы: qi  qi t  ; i  1,...,n . Вопросы для самоконтроля