Тензорное произведение представлений

ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 1. Тензорное произведение представлений. Определение 1.1. Тензорным произведением векторных пространств U и V называется векторное пространство W вместе с билинейным отображением, U × V −→ W таким, что если ui , vj базисы в пространствах U и V , то образы (ui , vj ) являются базисом в пространстве W . Обозначается U ⊗ V . Имеем естественное линейное отображение Образ пары (u, v) при этом отображении обозначается через u ⊗ v. Из определения следует, что в U ⊗ V выполнены соотношения (u1 + u2 ) ⊗ v = u1 ⊗ v + u2 ⊗ v, u ⊗ (v1 + v2 ) = u ⊗ v1 + u ⊗ v2 , (λu) ⊗ v = λ(u ⊗ v), u ⊗ (λv) = λ(u ⊗ v) Лемма 1.2. Предположим, что U, V - представления алгебры sl(2), тогда U ⊗ V также является представлением, если положить x(u ⊗ v) = xu ⊗ v + u ⊗ xv для любого x ∈ sl(2). Доказательство. Во первых надо проверить, что эти отображения корректно определены как линейные отображения. Пусть x ∈ sl(2). Oпределим на базисе в W x(ui ⊗ vj ) = xui ⊗ vj + ui ⊗ xvj Покажем теперь, что x(u ⊗ v) = xu ⊗ v + u ⊗ xv для любых u, v ∈ W . Но это сразу следует из билинейности тензорного произведения. Теперь докажем, что это представление. Имеем xy(u ⊗ v) − yx(u ⊗ v) = x(yu ⊗ v + u ⊗ yv) − y(xu ⊗ v + u ⊗ xv) = (xy − yx)u ⊗ v + u ⊗ (xy − yx)v = [x, y]u ⊗ v + u ⊗ [x, y]v = [x, y](u ⊗ v)  1 Задача 1 Для целого неотрицательного n, oбозначим через L(n) векторное пространство с базисом {e0 , . . . , en } на котором операторы X, Y, H действуют по формулам Hei = (n − 2i)ei , Xei = i(n − i + 1)ei−1 , Y ei = ei+1 , i = 0, 1, . . . , n Задача 1.3. Найти все старшие векторы (то есть векторы удовлетворяющие условию Xv = 0) в представлении L(1) ⊗ L(1). Решение. По определению представление L(1) является линейной оболочкой базисных векторов e0 , e1 и алгебра Ли sl(2) действует в этом представлении по формулам He0 = e0 , He1 = −e1 , Xe0 = 0, Xe1 = e0 , Y e0 = e1 , Y e1 = 0 Возьмем еще один экземпляр представления L(1) но вместо векторов e0 , e1 будем писать f0 , f1 . Алгебра Ли действует по тем же формулам Hf0 = f0 , Hf1 = −f1 , Xf0 = 0, Xf1 = f0 , Y f0 = f1 , Y f1 = 0 По определению тензорное произведение L(1) ⊗ L(1) имеет базис e0 ⊗ f0 , e0 ⊗ f1 , e1 ⊗ f0 , e1 ⊗ f1 на котором алгебра Ли действует по формулам A(ei ⊗ fj ) = Aei ⊗ fj + ei ⊗ Afj , i, j = 0, 1 где A это один из операторов H, X, Y . Например H(e0 ⊗ f1 ) = He0 ⊗ f1 + e0 ⊗ Hf1 = e0 ⊗ f1 − e0 ⊗ f1 = 0 H(e1 ⊗ f0 ) = He1 ⊗ f0 + e1 ⊗ Hf0 = −e1 ⊗ f0 + e1 ⊗ f0 = 0 H(e0 ⊗ f0 ) = He0 ⊗ f0 + e1 ⊗ He0 = e0 ⊗ f0 + e0 ⊗ f0 = 2e0 ⊗ f0 H(e1 ⊗ f1 ) = He1 ⊗ f1 + e1 ⊗ Hf1 = −e1 ⊗ f1 − e1 ⊗ f1 = −2e1 ⊗ f1 Аналогично X(e0 ⊗ f1 ) = Xe0 ⊗ f1 + e0 ⊗ Xf1 = e0 ⊗ f0 X(e1 ⊗ f0 ) = Xe1 ⊗ f0 + e1 ⊗ Xf0 = e0 ⊗ f0 X(e0 ⊗ f0 ) = Xe0 ⊗ f0 + e1 ⊗ Xe0 = 0 X(e1 ⊗ f1 ) = Xe1 ⊗ f1 + e1 ⊗ Xf1 = e0 ⊗ f1 + e1 ⊗ f0 2 Аналогично Y (e0 ⊗ f1 ) = Xe0 ⊗ f1 + e0 ⊗ Xf1 = e0 ⊗ f0 X(e1 ⊗ f0 ) = Xe1 ⊗ f0 + e1 ⊗ Xf0 = e0 ⊗ f0 X(e0 ⊗ f0 ) = Xe0 ⊗ f0 + e1 ⊗ Xe0 = 0 X(e1 ⊗ f1 ) = Xe1 ⊗ f1 + e1 ⊗ Xf1 = e0 ⊗ f1 + e1 ⊗ f0 Таким образом мы имеем три подпространства с различными собственными значениями оператора H < e0 ⊗ f0 >, < e0 ⊗ f1 , e1 ⊗ f0 >, < e1 ⊗ f1 > соответствующие собственные значения равны 2, 0, −2. Будем в каждом из этих подпространств искать решения v уравнения Xv = 0. 1) Имеем X(e0 ⊗ f0 ) = 0 таким образом e0 ⊗ f0 старший вектор с собственным значением 2. 2) будем искать вектор в виде v = αe0 ⊗ f1 + βe1 ⊗ f0 . Имеем 0 = Xv = X(αe0 ⊗ f1 + βe1 ⊗ f0 ) = (α + β)e0 ⊗ f0 Отсюда α + β = 0 и мы получаем старший вектор с собственным значением 0 v = α(e0 ⊗ f1 − e0 ⊗ f1 ) 3) X(e1 ⊗ f1 ) = e0 ⊗ f1 + e1 ⊗ f0 6= 0 следовательно в этом подпространстве нет старших векторов. Ответ. В представлении L(1) ⊗ L(1) существует два линейно независимых старших векторов v1 = e0 ⊗ f0 , v2 = e0 ⊗ f1 − e1 ⊗ f0 Задача 1.4. Найти все старшие векторы (то есть векторы удовлетворяющие условию Xv = 0) в представлении L(1) ⊗ L(2). Задача 1.5. Найти все старшие векторы (то есть векторы удовлетворяющие условию Xv = 0) в представлении L(2) ⊗ L(2). 3