Техническая термодинамика: Основные понятия и исходные положения.Идеальный газ. Первый Закон термодинамики. Теплоёмкость газа. Идеальные газовые процессы. Второй Закон термодинамики. Теоретические циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания. Реальные газы.

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный университет путей сообщения» Кафедра «Тепловозы и тепловые двигатели» А.Ю. Коньков ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА Сборник лекций Рекомендовано Методическим советом ДВГУПС в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство ДВГУПС 2013 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com УДК 621.1.016.7(075.8) ББК З311я73 К 654 Рецензенты: Кафедра «Двигатели внутреннего сгорания» Тихоокеанского государственного университета (заведующий кафедрой доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации В.А. Лашко) Доктор технических наук, профессор кафедры «Судовые энергетические установки» Дальневосточного государственного технического рыбохозяйственного университета А.Н. Соболенко К 654 Коньков, А.Ю. Техническая термодинамика : сб. лекций. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2013. – 114 с. : ил. Учебное пособие соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту ВПО подготовки бакалавров по направлениям: 280700.62 «Техносферная безопасность», 131000.62 «Нефтегазовое дело» и Государственному образовательному стандарту для дипломированных специалистов по направлениям: 190300.65 «Подвижной состав железных дорог», 190109.65 «Наземные транспортно-технологические средства»; 280705.65 «Пожарная безопасность»; 131000.02 «Нефтегазовое дело». Рассмотрены основные положения технической термодинамики. Излагаемый текст сопровождается необходимыми и достаточными иллюстрациями, описанием опытов, демонстрируемых автором во время чтения лекций, решением практических задач. В приложениях представлен информационно-справочный материал для выполнения практических заданий. Предназначено для студентов 2-го и 3-го курсов, изучающих дисциплины «Термодинамика и теплопередача», «Теплотехника», «Теплофизика», а также для студентов ИИФО. УДК 621.1.016.7(075.8) ББК З311я73 © ДВГУПС, 2013 2 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ВВЕДЕНИЕ Настоящее учебное пособие представляет собой полный курс лекций по одному из разделов дисциплин «Термодинамика и теплопередача», «Теплотехника», «Теплофизика», которые автор читает в Дальневосточном государственном университете путей сообщения студентам различных специальностей, начиная с 1995 г. То, что в этом пособии представлена лишь часть этих курсов (только термодинамика) – не случайно, так как и термодинамика, и теплопередача, являясь теоретическими основами теплотехники и теплофизики, могут рассматриваться как самостоятельные дисциплины и изучаться в любой последовательности или даже параллельно. Своему появлению пособие обязано двум обстоятельствам. Во-первых, снижению числа аудиторных часов, отводимых учебными планами для аудиторных занятий со студентами дневной формы обучения без уменьшения перечня разделов и требований к знаниям наших выпускников. Во-вторых, стабильно большому числу студентов, обучающихся заочно. Работая над пособием, автор ставил задачу в доступной форме, по возможности интересно и исчерпывающе, изложить все разделы дисциплины, предусмотренные Государственным образовательным стандартом, помочь студенту в его самостоятельной работе, сделать её максимально эффективной. При этом основное внимание уделено базовым законам и положениям термодинамики – той основе, на которой обучающийся создаёт фундамент своих профессиональных знаний. Успешное изучение термодинамики является неотъемлемым условием подготовки специалистов различных направлений. Настоящее пособие ориентировано, в первую очередь, на подготовку инженеров транспортного профиля, для которых знакомство с термодинамикой не закончится после изучения настоящего курса, а продолжится на специальных кафедрах. Помимо печатного издания, существует электронная интерактивная версия пособия, которая доступна на сайте лаборатории «Теплотехника и тепловые двигатели» по адресу: http://tdlab.narod.ru/ в разделе «Лекции». 3 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН И ИХ РАЗМЕРНОСТЬ В «СИ» ε εх V,v f H, h ηt k kB Kµ L, l λ m M µ µR µс n p R ρ ρ r Q, q S, s T t U, u С с с' сp сv W х – степень сжатия в цикле ДВС; – холодильный коэффициент; – объём, м3 и удельный объём, м3/кг; – площадь, м2; – энтальпия, Дж, и удельная энтальпия, Дж/кг; – термический КПД цикла; – показатель адиабаты (адиабатного процесса); – постоянная Больцмана kB =1,38·10−23 Дж/К; – количество кмоль вещества; – работа, Дж, и удельная работа, Дж/кг – степень повышения давления в цикле ДВС; – массовая доля компонента в смеси; – масса, кг; – молярная масса, кг/кмоль; – универсальная газовая постоянная, Дж/(кмоль⋅К); – теплоёмкость молярная, Дж/(кмоль⋅К); – показатель политропы (политропного процесса); – давление абсолютное, Па; – газовая постоянная, Дж/(кг⋅К); – плотность вещества, кг/м3; – степень предварительного расширения в цикле ДВС; – объёмная доля компонента в смеси; – теплота (количество теплоты), Дж, и удельная теплота, Дж/кг; – энтропия, Дж/К, и удельная энтропия, Дж/(кг⋅K); – температура, К; – температура, °С; – внутренняя энергия, Дж, и удельная внутренняя энергия, Дж/кг; – теплоёмкость, Дж/К – теплоёмкость массовая, Дж/(кг⋅К); – теплоёмкость объёмная, Дж/(м3⋅К); – теплоёмкость массовая в изобарном процессе, Дж/(кг⋅К); – теплоёмкость массовая в изохорном процессе, Дж/(кг⋅К); – статистический вес состояния; – степень сухости пара. 4 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Лекция 1 ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ План лекции: 1.1. Техническая термодинамика: предмет изучения и основные понятия. 1.2. Основные положения молекулярно-кинетической теории газов. 1.3. Идеальный и реальный газ. 1.4. Параметры состояния газа. 1.5. Уравнение состояния идеального газа. 1.6. Смеси газов. 1.1. Техническая термодинамика: предмет изучения и основные понятия Термодинамика – наука, изучающая законы теплового равновесия и преобразования теплоты в другие виды энергии, и наоборот. Предметом изучения дисциплины является также принцип действия различных тепловых машин и устройств. Поясним отличия между последними. В тепловом устройстве происходит преобразование теплоты в другой вид энергии, и наоборот. Термин «тепловая машина» уместен только в том случае, если в цепочке преобразования энергии имеет место механическая работа. Например, бытовой электрообогреватель, электрический утюг, топка котла – это тепловые устройства. В них электрическая энергия (обогреватель, утюг) или химическая энергия топлива (топка) преобразуется в тепловую. А двигатель внутреннего сгорания (ДВС), холодильная установка, компрессор – примеры тепловых машин. В теплотехнике принято считать, что прямое преобразование – это преобразование теплоты в механическую работу. В приведенных примерах в ДВС происходит прямое преобразование (сначала химическая энергия топлива преобразуется в теплоту, а затем теплота – в механическую работу). Такие тепловые машины называют тепловыми двигателями (рис. 1.1). В холодильной установке (рис. 1.2) первоначально, как правило, затрачивается электрическая энергия, которая нужна для питания электродвигателя компрессора, т.е. для получения механической работы, которая в свою очередь расходуется на перенос теплоты от тел с низкой температурой (предметы в холодильной камере) к телам с высокой температурой (к окружающей среде). Необходимо заметить, что такое направление тепло5 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com обмена (от холодных тел к более нагретым) может быть получено только с затратой энергии. Действительно, самопроизвольный процесс теплообмена протекает всегда в ином направлении: от тел с бо́льшей температурой к телам с меньшей температурой, что и является предметом изучения дисциплины «Теплопередача». Другой пример тепловой машины с обратным преобразованием энергии – компрессор, в которой механическая энергия затрачивается для получения сжатого газа, что сопровождается увеличением его внутренней энергии (выделением теплоты). Рис. 1.1. Тепловые двигатели: а – автомобильный ДВС; б – паровая турбина Рис. 1.2. Холодильная установка – тепловая машина с обратным циклом 6 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Завершая разговор о предмете изучения нашей дисциплины, подчеркнём, что термодинамика не изучает конструкцию и устройство тепловых машин. Последнее является предметом изучения более общей науки, которая называется теплотехникой. Термодинамика и теплопередача являются её теоретическими основами и составными частями. Изучив термодинамику, вы: – получите представление о принципах действия тепловых машин; – узнаете законы, на которых эти принципы базируются; – научитесь выполнять расчеты по определению параметров рабочих тел тепловых машин и параметров их энергетической эффективности. Термодинамика является общеинженерной дисциплиной, которая призвана подготовить студента к изучению специальных дисциплин, так как без знания термодинамики невозможно усвоить другие технические дисциплины. 1.2. Основные положения молекулярно-кинетической теории газов Нетрудно проследить, что рабочим телом подавляющего большинства тепловых машин являются вещества в газообразном состоянии. Обратимся хотя бы к рис. 1.1 и 1.2: в ДВС – это газообразные продукты сгорания топлива; в паровой турбине – водяной пар, а в холодильной машине – пары легкокипящих жидкостей. Почему это так? Почему именно газ используется в качестве рабочего тела? Для получения ответа на этот вопрос рассмотрим схему простейшего теплового двигателя (рис. 1.3), состоящего из цилиндра с подвижным поршнем. Рис. 1.3. Схема простейшего теплового двигателя Внутренняя полость цилиндра заполнена некоторым газом. При нагревании газа последний, расширяясь, перемещает поршень на некоторое расстояние, т.е. совершает работу против внешних сил сопротивления. Причем работа, равная произведению силы, приложенной к поршню на 7 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com его перемещение, будет тем больше, чем больше сила и/или чем больше перемещение. В технике приходится считаться с тем, что конструкционные материалы выдерживают лишь определенные, предельные по условиям прочности, удельные силы (давления). Поэтому, применительно к рассматриваемому поршневому двигателю практический интерес представляет возможность увеличения работы за счет бо́льшего перемещения поршня. Газ, в отличие от твердых тел и жидкостей, способен многократно изменять свой объём. Почему это происходит? Ответы на этот и многие другие вопросы вы найдете, вспомнив основные положения молекулярно кинетической теории (МКТ) газов. Молекулярно кинетическая теория газов базируется на трёх постулатах. Первый постулат. Мельчайшей частицей газа является молекула. Наверняка, кто-то готов сейчас возразить! Действительно, а как же атомы, электроны и другие элементарные частицы, давно известные физикам? Никакого противоречия здесь нет, ведь это теория, выстроенная на упрощённой модели действительности. В рамках этой теории не столь важно, что молекулы можно разбить на более мелкие частицы, так как многие сложные процессы с газом объясняются и рассчитываются без учета действительного строения вещества. Для термодинамики газ – это множество частичек (молекул), между которыми – пустота. Второй постулат. Молекулы находятся в непрерывном движении, которое мы будем называть тепловым. Интенсивность движения молекул зависит только от температуры: чем больше температура, тем быстрее движутся молекулы. Если при нагревании газа его температура увеличивается, значит молекулы стали двигаться быстрее, и наоборот, если каким-то иным образом разогнать молекулы газа, то температура газа тоже увеличится. Таким образом, температура является мерой интенсивности движения мельчайших частиц вещества. Возможно, это не совсем соответствует вашему представлению о температуре: обычно мы воспринимаем температуру как меру оценки степени нагрева тела. При этом, используя понятия «горячо» и «холодно», мы фактически опираемся на бытовые знания о том, что температура тела определяет направление теплообмена и его интенсивность. И это правильно! Но это лишь одна (первая) сторона понятия, которая пригодится нам при изучении теплопередачи. С позиций термодинамики нам будет важнее второе представление о температуре, как мере интенсивности движения частиц. При сопоставлении температуры со средней скоростью молекул газа удобнее пользоваться шкалой отсчета температуры, в которой нулю (минимально возможной температуре) соответствуют молекулы с нулевой скоростью, т.е. неподвижные. Такой (аб8 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com солютной) шкалой является шкала Кельвина, началом отсчета которой и является абсолютный ноль: T = 0 К (t = –273,15 oC). Третий постулат. Между молекулами существуют силы взаимодействия (притяжения). Как и в макромире, величина этих сил зависит от массы взаимодействующих тел (молекул) и расстояния между ними. 1.3. Идеальный и реальный газ Обратимся ещё раз к третьему положению (постулату) МКТ газов, утверждающему о наличии сил взаимодействия между молекулами. Задумаемся о величине этих сил для известных нам газов, окружающих нас. Простой опыт, например, с углекислым газом, выпущенным из баллончика в помещении, заставит усомниться нас в том, что эти силы существуют: ведь если молекулы притягиваются друг к другу, то газ должен был остаться в том месте комнаты, где был открыт баллончик. На практике мы наблюдаем, что этот газ легко занимает весь предоставленный ему объём. Похоже, что если упомянутые силы и существуют, то в нашем примере они ничтожно малы. И это верное заключение. Действительно, для большинства газов можно пренебречь этими силами. Они также «велики», как и силы притяжения между вами и партами в аудитории: эти силы, навряд ли, удержат вас после звонка… Теперь попробуем сжать атмосферный воздух, воспользовавшись цилиндром с подвижным поршнем. Хоть и с трудом, но нам, скорее всего, удастся сжать его так, что поршень коснётся крышки цилиндра. Это повод задуматься о размерах молекул! Исходя из первого постулата МКТ газов, при сжатии происходит уплотнение молекул, следовательно, расстояние между ними сокращается. Минимально возможным объёмом должен быть объём, который занимают сами молекулы газа. И наш опыт показывает, что этот объём стремится к нулю. Если попробовать повторить этот опыт с водяным паром, то выяснится, что при сжатии начнет образовываться конденсат (вода), вплоть до полного перехода пара в жидкость, которая и не позволит нам уменьшить объём до нулевого размера. Но это особый случай. Большинство же газов при обычных температурах и давлениях дают нам повод полагать, что их молекулы имеют ничтожно малые размеры, равно как и силы взаимодействия между ними. Такие газы принято называть идеальными, а остальные газы – реальными. Итак, идеальный газ – это газ, для которого можно пренебречь силами взаимодействия между молекулами и размерами (объёмом) молекул. Далее, за исключением осо9 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com бых разделов курса, предметом нашего внимания будет преимущественно идеальный газ. Примерами реальных газов являются пары жидкостей, о чем более подробно будет изложено ниже (см. разд. 7). 1.4. Параметры состояния газа Различают три параметра состояния газа: давление, температура и удельный объём. Все остальные характеристики газа, меняющиеся при изменении его состояния, будем называть функциями состояния. Теперь подробнее об этих трёх параметрах. Давление p в международной системе единиц (СИ) выражается в паскалях (Па). Давление вообще – это сила, приложенная к единице поверхности. Параметр давления для газа – это сила, создаваемая ударами молекул о поверхность. Следует заметить, что приборы для непосредственного измерения такого давления достаточно редки. В технике и в быту для этих целей служат: манометры, способные показать лишь разницу между давлением в контролируемом объёме и в атмосфере; вакуумметры, показывающие насколько давление в месте измерения меньше атмосферного; барометры – для регистрации атмосферного давления. В связи с этим приходится различать абсолютное давление p, манометрическое pи (оно же избыточное), вакуумметрическое pвак и атмосферное pатм. Соотношения между ними устанавливаются следующими равенствами: p = p и + p атм ; (1.1) p = p атм − p вак . (1.2) В системе СИ единицей температуры T является кельвин (К). Повторим здесь то важное для нашего курса обстоятельство, что в термодинамическом смысле температура есть мера интенсивности движения элементарных частиц вещества; для газа (в рамках МКТ) – мера интенсивности движения его молекул. В системе СИ единица удельного объёма v, 1 м3/кг, – это объём, который приходится на один кг газа. Уместно вспомнить, что плотность ρ, кг/м3, будет величиной, обратной удельному объёму, поэтому она вполне может выступать в качестве параметра состояния: 1 v= . ρ (1.3) Отметим, что независимыми параметрами состояния газа являются лишь два, т.е. указав, например, давление и температуру воздуха, мы од10 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com нозначно указали и его удельный объём. Третий параметр рассчитывается на основании заданных двух параметров по уравнению состояния газа (1.3). 1.5. Уравнение состояния идеального газа Уравнение состояния идеального газа можно представить в наиболее компактной форме: (1.4) pv = RT , где R – газовая постоянная, уникальная для каждого конкретного газа, Дж/(кг⋅К). Её величина зависит только от одного свойства газа – массы его молекул и легко рассчитывается по следующему уравнению R= μR , μ (1.5) где µR – универсальная газовая постоянная; µR = 8314 Дж/(кмоль⋅К); µ – молярная масса газа, кг/кмоль, т.е. масса, которую имеет один киломоль газа. Вспомним, что киломолем называется единица количества вещества, масса которого в килограммах численно равна массе молекулы в условных единицах. Поэтому в большинстве случаев для расчета газовой постоянной вам не потребуются справочные таблицы, так как достаточно иметь под рукой периодическую таблицу элементов Д.И. Менделеева. Например, для углекислого газа (молекулярная формула CO2) имеем массу молекулы, приближенно равную 12+16⋅2 = 44 у.е. Значит, одному киломолю углекислого газа соответствует 44 кг этого газа, а его молярная масса µCO2 = 44 кг/кмоль. 1.6. Смеси газов Во многих случаях приходится иметь дело не с однородными газами, а с их смесями. Например, воздух состоит преимущественно из азота N2 (79 % по объёму) и кислорода O2 (21 %). Смесью будем называть механическое соединение химически инертных по отношению друг к другу газов. Если все компоненты смеси – идеальные газы, то и сама смесь является идеальным газом, к которой применимо уравнение (1.4). Определение молярной массы смеси имеет свои особенности. 11 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com С позиций МКТ газов совершенно безразлично, какой химической формулой обладают молекулы газа. Газовая постоянная любого газа, в том числе и смеси, как отмечалось выше, однозначно определяется массой его молекулы. Но как быть, если у газа (смеси) различные молекулы имеют и разную массу? Ответ на этот вопрос прост: достаточно заменить в формуле (1.5) молярную массу µ на эквивалентную ей, которую берем усреднено, с учетом состава молярной массы смеси µсм, численно равной кажущейся молекулярной массе газа. В зависимости от способа задания состава смеси (по объёму или по массе) молярная масса смеси рассчитывается по одному из следующих уравнений: N μсм = ∑ ri μi ; i =1 μсм = 1 , N mi ∑ i =1 μi (1.6) (1.7) где ri, mi – объёмная и массовая доля i-го компонента смеси соответственно; µi – молярная масса i-го компонента смеси; N – общее число компонентов в смеси. Например, состав смеси для воздуха, кг/кмоль, (см. состав выше): µсм = 0,79 ⋅ 28 + 0,21 ⋅ 32 = 28,9. Это приближенное значение, так как состав воздуха, приведенный выше, взят приближенно (не учтены примеси аргона, углекислоты и прочих газов), и атомные массы тоже округлены до целых единиц. Уточненное значение для воздуха – 28,96 кг/кмоль. Тогда газовая постоянная для воздуха, Дж/(кг⋅К), составит: Rсм = 8314 / 28,96 = 287,1. Следует помнить, что работая со смесями, необходимо знать парциальные давления их компонентов. Парциальным давлением называют такое давление, какое оказывал бы отдельный компонент смеси при условии, что только он один находится в объёме, занимаемой смесью. Обозначим парциальное давление i-го компонента pi. В соответствии с введённым понятием и МКТ газа давление смеси будет складываться из парциальных давлений её компонентов (закон Дальтона): p = p1 + p 2 + ... + p i + ... + p N . 12 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (1.8) Чтобы рассчитать парциальное давление любого компонента смеси идеальных газов, воспользуемся следующими уравнениями: а) уравнением состояния для смеси, занимающей объём V при температуре T: μR pсмV = M см T, μсм б) уравнением для i-го её компонента с массовой долей mi, занимающего тот же объём V и при той же температуре T: piV = mi M см μR T. μi Сопоставив эти два уравнения, нетрудно получить окончательный для расчета парциального давления результат: μ pi = mi pсм см . (1.9) μi Для закрепления знаний определим парциальное давление водяного пара в атмосферном воздухе при давлении 100 кПа, если известно, что влагосодержание воздуха составляет 10 г/кг воздуха (т.е. mН20 = 0,01). Учитывая, что масса молекулы воды равна 18 у.е., подставляем исходные данные задачи в формулу (1.8), чтобы получить парциальное давление, кПа: 28,96 p H 20 = 0 ,01 ⋅100 = 1,61 . 18 В этой задаче было принято, что водяной пар – идеальный газ, однако это не совсем точно, хотя, как будет показано позднее, наше допущение не сильно повлияло на точность выполненных вычислений. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Выберите правильные ответы. Термодинамика изучает: а) законы преобразования теплоты в работу; б) законы преобразования механической энергии в тепловую; в) законы самопроизвольного теплообмена; г) принципы работы тепловых двигателей; д) конструкцию тепловых машин; е) принципы работы холодильных машин. 13 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2. Выберите правильный ответ. Рабочим телом большинства тепловых машин является: а) жидкое топливо; б) топливо в различном агрегатном состоянии; в) вещество в газообразном состоянии; г) газообразное топливо. 3. Перечислите основные положения молекулярно-кинетической теории газов. 4. На основании МКТ газов объясните, почему при расширении газа (увеличении объёма) его температура уменьшается? 5. Выберите правильные ответы. Для реального газа можно пренебречь: а) размером молекул; б) объёмом молекул; в) массой молекул; г) силами притяжения; д) силами отталкивания. 6. Приведите примеры идеальных и реальных газов среди тел, окружающих нас в природе или в технических устройствах. 7*. Что обозначено символом γ в нижеприведённом уравнении состояния идеального газа: p = γ R T ? Является ли эта величина параметром состояния? 8. На основании уравнения состоянии идеального газа и закона Архимеда обоснуйте явление ковекции теплоты в отапливаемой комнате, при которой воздух, нагретый у поверхности отопительного прибора, поднимается вверх, вытесняя холодный вниз. 9. Приведённый ниже вопрос является некорректным. В чём именно его некорректность? Вопрос – «Какая температура в вакууме?». 10. Выберите правильные ответы. Известен объём газа и абсолютное давление. Для однозначного задания (описания) текущего состояния газа необходимо указать: а) массу газа; б) температуру; в) ничего не надо, достаточно известных величин; г) молярную массу. 11*. Считая, что атмосферный воздух состоит только из азота (79 % по объёму) и кислорода (21 %), рассчитайте парциальные давления этих га14 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com зов при атмосферном давлении, составляющем 760 мм Hq (миллиметров ртутного столба). 12*. Выведите формулу для пересчета объёмных долей в массовые, и наоборот. Примечание. * – вопросы повышенной сложности, которые требуют самостоятельного анализа материалов лекции. Лекция 2 ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ План лекции: 2.1. Опыты по преобразованию теплоты в работу, и наоборот. 2.2. Работа газа. 2.3. Внутренняя энергия газа. 2.4. Первый закон термодинамики. 2.5. Альтернативные и эмпирические формулировки первого закона термодинамики. 2.6. Энтальпия газа. 2.1. Опыты по преобразованию теплоты в работу, и наоборот Внешнюю сторону проявления первого закона термодинамики проиллюстрируем на простом опыте (предложен Ричардом Фейнманом, подробнее об этом см. [7]). Подвесим груз на резинке (рис. 2.1, а) и нагреем резину с помощью достаточно мощного источника теплоты – на пламени газовой горелки. При этом вы увидите, что резина, сократившись, слегка приподнимет груз. Это означает, что теплота, выделившаяся при сгорании топлива, выполнила работу по преодолению внешних сил (сил тяжести). Другой пример с той же резиной. Прикоснитесь губами к резине и энергично растяните её: вы почувствуете, что температура резины немного увеличится. Верните резину в первоначальное состояние и температура снова уменьшится. Этот простой опыт иллюстрирует возможность преобразования работы в теплоту, и наоборот. Наблюдаемые здесь явления заставляют нас задуматься об эквивалентности теплоты и работы. Первыми учеными, сделавшими подобные умозаключения, являются немецкий врач и естествоиспытатель Роберт Майер и английский физик Джеймс Джоуль. Их труды позволили впоследствии сформулировать первый закон термодинамики, который будет рассмотрен ниже. 15 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Рис. 2.1. Опыты Р. Фейнмана с резиной (а) и тепловая машина с резиновыми спицами (б) Техническая термодинамика, как известно, помогает воплощать научные идеи в практические результаты. Может ли наблюдаемый эффект использоваться на практике? Да, может. Например, Р. Фейнманом предложен простой способ использования отмеченных свойств резины в качестве рабочего тела тепловой машины (см. рис. 2.1, б). Резиновые спицы колеса, сокращаясь под действием теплоты, сместят центр тяжести колеса и заставят его провернуться. При этом горячие спицы выйдут из зоны нагрева, а их место займут новые: колесо будет медленно проворачиваться. Такая машина не в состоянии выполнить значительный объем работы. Ранее уже отмечалось, что газ, как рабочее тело машины, имеет несравненные преимущества перед другими телами. Поэтому, прежде чем переходить к рассмотрению первого закона термодинамики, уясним, что понимается под работой газа. 2.2. Работа газа Определительным уравнением работы в механике является произведение силы на расстояние. Рассматривая перемещение поршня в цилиндре теплового двигателя, необходимо учитывать, что давление газа, а значит и сила, которую он оказывает на поршень, не постоянны. Проиллюстрируем термодинамический процесс изменения состояния газа в координатах pv (рис. 2.2). Для краткости договоримся называть термодинамический процесс изменения состояния газа термодинамическим процессом, или просто процессом. Координаты pv весьма распространены при графическом анализе процессов. Указав точку в этих координатах, т.е. указав два параметра газа, мы однозначно определили его состояние. Итак, точка в pv-координатах однозначно определят состояние газа, а линия – описывает термодинамический процесс. Для расчета работы газа в процессе с непостоянным по величине давлением прибегнем к извест16 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ному приёму: выделим на графике бесконечно малую величину изменения объёма dv, в пределах которого изменением давления можно пренебречь и считать его постоянным и равным p (участок АБ на рис. 2.2). В пределах этого участка на поршень с площадью поверхности fпор действует сила, равная p fпор, при этом перемещение поршня, как это следует из геометрических соображений, составит dV/fпор, а, значит, выполненная газом работа L, Дж, определится по уравнению dV dL = pf пор = pdV . (2.1) f пор Рис. 2.2. К выводу формулы работы газа Работа, которую при этом выполнит один кг газа, называется удельной работой газа l, Дж/кг. Поделив левую и правую части уравнения (2.1) на массу газа М, кг, получим dL V  = pd  ; dl = pdv. (2.2) M M  Легко показать, что графически произведение p на dv определяет площадь прямоугольника под линией АБ (рис. 2.3), а значит, эта площадь эквивалентна элементарной удельной работе газа. Площадь под всей линией процесса 1–2 представляет собой удельную работу газа в этом процессе: v2 l = ∫ pdv. (2.3) v1 В термодинамике принято считать работу газа в процессах расширения положительной (рис. 2.4.), когда газ совершает работу против внешних 17 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com сил, и отрицательной – в процессах сжатия, когда внешние силы совершают работу против газа. Очевидно, что в процессе, в котором газ не расширяется и не сжимается (в изохорном) работа газа равна нулю. Для того, чтобы газ мог совершать работу, необходимо предоставить ему возможность изменять свой объём. Рис. 2.3. Графическое представление работы газа в pv-координатах Рис. 2.4. К вопросу о знаке работы в термодинамическом процессе 2.3. Внутренняя энергия газа Помня о положениях МКТ газов легко самостоятельно дать определение внутренней энергии газа. Ведь газ – это молекулы и пустота между ними. Никакой иной энергии у газа, кроме энергии самих молекул, быть не может! Итак, внутренняя энергия газа U, Дж, – это суммарная энергия всех видов, которой обладают молекулы газа. Разберёмся в сути энергии молекул с тем, чтобы найти связь между её возможным изменением и параметрами газа. Во-первых, молекулы обладают кинетической энергией Uкин, т.е. энергией движения молекул, которая зависит от их массы и скорости, а значит, и от температуры: Uкин = f(µ, T). Для данного газа (молекулы которого в 18 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com термодинамическом процессе, конечно, не изменят своей массы) эту функциональную зависимость можно записать проще: Uкин = f(T), т.е. только температура определяет кинетическую энергию молекул. Во-вторых, молекулы обладают потенциальной энергией, выражающейся силами взаимодействия между ними. Как и в макромире, эти силы зависят от масс молекул и расстояния между ними. Учтём, что среднее расстояние между молекулами вполне можно охарактеризовать плотностью газа ρ или величиной, ей обратной – удельным объёмом v. Тогда Uпот = f (µ, ρ), или Uпот = f (µ, v–1), а для конкретного газа Uпот = f (ρ), или Uпот = f (v–1). Принято, помимо указанных энергий, учитывать еще и так называемую «нулевую» энергию, т.е. энергию, которой обладают элементарные частицы, составляющие молекулу. Эта величина в соответствии с результатами теоретических и экспериментальных исследований является константой для газа: U0= const. Если внутреннюю энергию газа рассматривать как сумму перечисленных выше энергий: U = Uкин + Uпот + U0, учитывая при этом установленные ранее функциональные связи, то U = f (T, ρ) . Таким образом, внутренняя энергия газа определяется двумя его параметрами, а значит, и его состоянием. Поэтому внутреннюю энергию газа называют функцией состояния. Дополнительно отметим, что для идеального газа (см. лекцию 1) можно пренебречь силами взаимодействия между молекулами, т.е. для идеального газа Uпот = 0, и внутренняя энергия идеального газа будет зависеть исключительно от его температуры: U = f (T). Если температура газа увеличивается, то его внутренняя энергия также увеличивается. В процессе с постоянной температурой внутренняя энергия газа также не изменяется. Обобщая сказанное, необходимо заметить, что приведенных выше уравнений функциональных зависимостей вполне достаточно для уяснения изложенного материала. Хотя кто-то, возможно, ждёт ещё уравнений для расчета внутренней энергии. Дело в том, что на практике нас чаще будет интересовать не собственно величина внутренней энергии, а её изменение в том или ином термодинамическом процессе. Расчеты, связанные с изменением внутренней энергии реального газа, будут рассмотрены в разд. 7. 19 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2.4. Первый закон термодинамики Для уяснения первого закона термодинамики и его формулировки была проделана большая подготовительная работа, т.е. сделан первый шаг, теперь приступим к следующим. Первое. Рассмотрим термодинамическую систему, в которой газ не имеет возможности изменять свой объём (рис. 2.5). dQ = dU Работу газ в этом случае совершить не теплота сможет, и вся теплота dQ пойдёт на увеdQ личение его внутренней энергии или, что Рис. 2.5. Нагрев газа при V = const то же самое – на увеличение его температуры. Второе. Теперь рассмотрим другой крайний случай (рис. 2.6). Предположим, dQ = dL что нам удалось таким образом нагревать газ (идеальный газ), что температура его в теплота этом процессе не изменялась. Вы можете dQ мне возразить, что это в принципе невозРис. 2.6. Нагрев газа при T = const можно! Позвольте с этим не согласиться, так как принципиальных препятствий к этому нет: ведь если газ в процессе расширения не нагревать вообще, то температура его будет уменьшаться, поскольку при увеличении расстояния между молекулами увеличивается их свободный пробег до соударения и скорость их падает. Идея изотермического расширения газа заключается в том, что при расширении газа теплоту Q надо подводить особо, а именно таким образом, чтобы точно компенсировать в любой момент этого процесса снижение температуры вследствие расширения газа. Если это удастся, то будем иметь процесс, в котором вся теплота, подведённая к термодинамической системе, преобразуется в работу газа: ведь изменения внутренней энергии в этом случае не будет. Обратим внимание, что здесь мы говорим о работе газа, которую он совершает, преодолевая внешние силы, включающие в себя как полезные для практики силы по перемещению поршня, так и вредные силы – различные сопротивления. В этом смысле dQ = dL нисколько не означает игнорирования, например, трения между поршнем и цилиндром, если мы, по прежнему, понимаем под L работу газа, а не некую полезную работу, доставшуюся потребителю, которая, разумеется, будет всегда меньше работы газа L. 20 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Мы рассмотрели два крайних случая: в одном газ не совершал работы вообще, и вся теплота шла на рост температуры (внутренней энергии); в другом – работа получалась из теплоты идеальным образом, когда вся она (теплота) переходила в работу. В наиболее общем случае (и это определение первого закона термодинамики) теплота, сообщенная термодинамической системе, может пойти на изменение её внутренней энергии и на выполнение внешней работы. Математической записью первого закона термодинамики будет уравнение dQ = dU + dL (2.4) или для 1 кг газа dq = du + dl . (2.5) 2.5. Альтернативные и эмпирические формулировки первого закона термодинамики Приведенная выше формулировка первого закона термодинамики может вызвать некоторое затруднение в случае, когда рассматривается процесс без теплообмена (dQ = 0) или когда термодинамическая система отдаёт, а не получает теплоту. Возможно, в этом случае удачнее будет следующая формулировка: изменение внутренней энергии системы при переходе её из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, переданного системе: dU = − dL + dQ , (2.4а) где знак «–» перед работой dL указывает на то, что эта работа газа, а не работа внешних сил, о которых говорится в данной формулировке: эти силы равны по величине и направлены встречно. Уместно будет процитировать основателей первого закона термодинамики. Так, великому английскому ученому Джеймсу Джоулю принадлежит утверждение (1842 г.), что «…В любой изолированной системе запас энергии остаётся постоянным» (цит. по: [6]). Джоуль был автором оригинальных опытов, позволивших определить тепловой эквивалент работы: ведь до недавнего времени в системе единиц «СГС», предшествующей «СИ», работа и теплота даже измерялись разными величинами (джоуль и калория соответственно) и эквивалентность этих понятий полтора века тому назад была не так очевидна, как нам сейчас. В том же 1842 г. немецкий врач и естествоиспытатель Юлиус Роберт Майер в своей работе «Заметки о возможностях неживой природы» («Bemerkungen über die Kräfte der unbelebten Natur») также указывал на эк21 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com вивалентность теплоты и работы. И хотя его исследования долгое время игнорировались научной общественностью, сегодня заслуги Р. Майера оценены достаточно высоко. Наиболее широко первый закон термодинамики известен в своей эмпирической формулировке как утверждение о невозможности существования вечного двигателя первого рода. Под вечным двигателем первого рода понимается машина, выполняющая работы больше, чем к ней подведено энергии. Строго говоря, в термодинамике следовало бы вести речь о тепловой машине и тепловой энергии и определять вечный двигатель первого рода как тепловую машину, выполняющую работы больше, чем подведено теплоты. Однако первый закон термодинамики принято распространять более широко, трактуя его как закон сохранения энергии вообще. Поэтому устройства, подобные тем, что приведены на рис. 2.7 принято называть вечными двигателями первого рода, хотя тепловая энергия в них и не используется. б а Рис. 2.7. Идеи вечного двигателя первого рода, базирующиеся на эффектах «рычага» (а) и архимедовой силы (б) По задумке авторов первой конструкции с зубчатым колесом, оно должно было бы непрерывно вращаться, так как крутящий момент от каждого груза, расположенного справа от оси вращения, больше, чем у тех грузов, что слева. Просчет заключался в том, что грузов справа меньше, чем слева, поэтому в действительности суммарный крутящий момент в одну сторону полностью уравновешивается крутящим моментом обратного направления. Вторая представленная на рисунке конструкция предполагает, что на каждый из поплавков, опущенных в воду, будет действовать выталкивающая сила тем больше, чем глубже будет находиться поплавок. В рассматриваемом случае было не учтено, что на самый нижний поплавок, 22 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com выполняющий роль «пробки», давление воды действует только с одной стороны и что его достаточно, чтобы удержать всю конструкцию в неподвижном состоянии. Подобных конструкций можно найти более сотни. Возможно, что поиск «ошибки» изобретателя и является увлекательной задачей, но для доказательства невозможности этого силы и время тратить ни к чему: если предлагаемая кем-либо машина выполняет работы больше, чем к ней подведено энергии, или (что то же самое) выполняет работу, не черпая энергию извне, то это – вечный двигатель первого рода, и он не возможен по причине нарушения одного из самых фундаментальных законов науки – закона сохранения энергии. Парижская академия наук ещё в 1775 г. прекратила рассматривать патенты на вечные двигатели, а в Международной патентной классификации разделы для гидродинамических и электродинамических «вечных двигателей» рассматриваются только с позиции новизны идеи, а не возможности их физического существования. Исторически первый закон термодинамики был сформулирован раньше всеобщего закона сохранения энергии. Сегодня вполне правомерно утверждать, что первый закон термодинамики – это частный случай всеобщего закона сохранения энергии применительно в тепловым процессам. 2.6. Энтальпия газа Энтальпия газа H, Дж, – это его полная энергия, включающая внутреннюю энергию U, Дж, и потенциальную энергию давления газа pV. Докажем, что произведение давления на объём можно рассматривать как эквивалент потенциальной энергии термодинамической системы. Для этого рассмотрим вертикально расположенный цилиндр с подвижным поршнем, к которому прикреплён груз так, как это показано на рис. 2.8. Груз массой m удерживается давлением газа p на высоте h1. Запишем условие равновесия сил, приложенных к грузу: mg = pf п , (2.6) где fп – площадь поршня. При этом первоначальный объём газа в цилиндре составляет V1. 23 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com p, V2 p, V1 mg mg Рис. 2.8. К доказательству эквивалентности произведения pV и потенциальной энергии При нагреве газа он, расширяясь, переместит поршень и поднимет груз на высоту h2. После остановки поршня в новом положении давление газа восстановится на первоначальном уровне [условие неподвижности груза формула (2.6)], а объём газа увеличится до величины V2. В результате потенциальная энергия груза увеличится: ∆E = E2 − E1 = mgh2 − mgh1 = mg ∆h. (2.7) Учтем, что перемещение груза ∆h является одновременно и высотой цилиндра, описываемого поршнем при перемещении. Объем этого цилиндра: ∆V = fп ∆h. Определим отсюда ∆h и подставим полученный результат и (2.6) в уравнение (2.7): ∆E = pf п ∆V = p∆V = pV2 − pV1 . fп (2.8) Осталось сопоставить последний результат с (2.7) и убедиться, что потенциальная энергия рассматриваемой нами термодинамической системы эквивалентна произведению давления на объём (p V). Полная энергия газа (энтальпия), которой обладает 1 кг газа, называется удельной энтальпией газа h, Дж/кг: h= H U pV = + = u + p v. M M M (2.9) ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Приведите примеры, доказывающие эквивалентность теплоты и работы: возможность перехода одного в другое, и наоборот. 2. Выберите правильный ответ. В процессе сжатия газа его работа: а) больше нуля; б) равна нулю; в) меньше нуля. 3. На рис. 2.4 слева изображён процесс расширения 1–2. Предложите процесс (изобразите его графически), в котором газ переходит из состояния 1 в состояние 2, совершая больше работы, чем в изображенном процессе. 4. При расширении 5 кг воздуха в цилиндре двигателя получают работу, равную 5 кДж. Чему равна удельная работа воздуха в этом процессе? Как изменится работа, если вместо воздуха в цилиндре будет углекислый газ, а график процесса в pv-координатах при этом будет совпадать с графиком расширения воздуха? 24 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 5. Из чего складывается внутренняя энергия и от каких параметров состояния зависят её составляющие? 6. Вставьте пропущенное слово: внутренняя энергия реального газа есть функция его состояния, а внутренняя энергия идеального газа есть функция его … 7. Как изменяется температура газа (увеличивается / уменьшается / остаётся постоянной) в процессе, в котором к газу подводится 10 кДж теплоты, а газ выполняет работу 10 кДж? 8. В процессе расширения газ совершает работу 10 кДж и получает теплоту 5 кДж. За счёт чего совершается эта работа? 9. Известно, что в некотором термодинамическом процессе полная энергия газа, внутренняя энергия и давление выросли в два раза (каждое). Как изменилась плотность газа? 10*. Опираясь на уравнения (2.9) и (1.4) докажите, что в изотермическом процессе энтальпия идеального газа не изменяется. Примечание. * – вопросы повышенной сложности, которые требуют самостоятельного анализа материалов лекции. Лекция 3 ТЕПЛОЁМКОСТЬ ГАЗА План лекции: 3.1. Теплоёмкость и удельная теплоёмкость. 3.2. Теплоёмкости при постоянном давлении и объёме. Уравнение Майера. 3.3. Истинная и средняя теплоёмкости. 3.4. Соотношения между различными теплоёмкостями. 3.5. Пример решения задачи. 3.1. Теплоёмкость и удельная теплоёмкость Определение, известное нам со школы, гласит, что теплоёмкость С – это количество теплоты, которое надо сообщить телу (или отнять от тела), чтобы его температура изменилась (увеличилась или уменьшилась) на один кельвин. Таким образом, теплоёмкость – это физическое свойство тел, характеризующее их способность аккумулировать в себе теплоту, по разному реагируя изменением температуры на одно и то же количество сообщенной или отобранной от них теплоты. У нас есть возможность 25 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com убедиться в этом на простом опыте. Вы видите два стакана (рис. 3.1, a), заполненных равными по массе количеством воды и минерального масла. Температура этих жидкостей одинакова и равна комнатной. Рис. 3.1. Опыт с жидкостями для демонстрации различия их теплоёмкостей: – вода; – масло Показания температурных датчиков выводятся на экран компьютера в виде графика (рис. 3.1, б). Перед лекцией в кипящей воде были нагреты два абсолютно одинаковых стальных шарика. Вода и сейчас продолжает кипеть, и мы вправе полагать, что температура шариков одинакова и близка к температуре кипения воды, составляющей около 100 оС. Бросим в каждый стакан по шарику (на графике этому моменту времени соответствует вертикальная линия) и тщательно перемешаем жидкости. В результате теплообмена через некоторое время каждая жидкость получит примерно равное количество теплоты. Посмотрим, как изменятся показания температуры. Первое, что, вероятно, бросается вам в глаза – это более быстрое изменение температуры воды по сравнению с маслом. Это связано с различием конвекции теплоты в этих жидкостях вследствие разной их вязкости. Однако это тема для беседы по дисциплине «Теплопередача». Обратите внимание на то, как в конце концов изменилась температура воды и масла. Если для воды интервал изменения температуры составил около 4,5 °С, то для масла – около 6 °С. Этот опыт показывает, что, получив одинаковое количество теплоты, температура воды и масла увеличивается по-разному, т.е. чтобы одинаково изменить температуру воды и масла, например на один кельвин, потребуется разное количество теплоты, причем для масла его потребуется меньше, чем для воды. 26 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Согласитесь, что если бы в моей демонстрации было целое ведро воды и всего стакан масла, то сравнивать теплоёмкости на основании выполненного опыта было бы затруднительно и некорректно. В связи с этим и различают просто теплоёмкость С, Дж/К, или абсолютную теплоёмкость, и теплоёмкость удельную, т.е., отнесённую к единице количества вещества. Для газов почти одинаковое распространение получили следующие теплоёмкости: массовая c, Дж/(кг⋅К), объёмная c', Дж/(м3⋅К), и мольная µc, Дж/(кмоль⋅К), для которых единицами количества вещества являются 1 кг массы, 1 м3 объёма при нормальных условиях и 1 кмоль соответственно. Особо следует обратить внимание на тот факт, что 1 м3 газа не может быть его полноценной мерой количества: ведь при разных условиях в резервуаре с объёмом V, м3, находится разное количество газа. Когда условия особо не оговариваются, а количество газа указано в единицах объёма, то имеется в виду объём Vн, соответствующий нормальным условиям, т.е. давлению pн = 760 мм Hg (101325 Па) и температуре tн = 0 oC (Tн = 273 К). Иногда используют так называемые технические условия, отличающиеся тем, что нормальной температурой в технике будет tнт = 20 oC. Для пересчёта объёма к величине (каким бы он был при нормальных условиях) достаточно помнить уравнение для состояния идеального газа. Записав его дважды для нормальных условий pн, Tн и для условий, имеющих место при p и T, получим: pV = MRT . p нVн = MRT н , Затем, разделив первое уравнение на второе, определим объем газа Vн, соответствующий нормальным условиям: Vн = V Tн p . pн T (3.1) Завершая общее знакомство с теплоёмкостями и удельными теплоёмкостями, запишем их уравнения для абсолютной теплоёмкости, массовой, объёмной и мольной соответственно: C= dQ 1 dQ dq 1 dQ 1 dQ , c= = , c' = , μc = , dT M dT dT Vн dT K μ dT (3.2) где Kµ – количество кмоль газа. Выразив из этих уравнений Q, можно получить уравнения для практического расчета теплоты с использованием значений теплоёмкости. 27 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 3.2. Теплоёмкости при постоянном давлении и объёме. Уравнение Майера При нагревании газа, он в общем случае может изменять свой объём и совершать работу, а значит, не вся теплота пойдет на изменение температуры газа. В соответствии с приведенным выше определением теплоёмкость газа в различных процессах будет различна. Поэтому различают теплоёмкости в разных процессах. Можно говорить о теплоёмкости при V = const (в изохорном процессе), при p = const (в изобарном процессе), при постоянной температуре (в изотермическом) и т.д. Но особое место занимают теплоёмкости в изохорном и изобарном процессах. При этом в их обозначениях появляются соответствующие индексы: для массовой теплоёмкости cv и cp; для объёмной – c'v и c'p, для мольной – µcv и µcp. Между этими теплоёмкостями есть связь, которую мы сейчас установим. Первоначально рассмотрим процесс нагрева 1 кг газа при постоянном объёме (рис. 3.2). Этому количеству газа сообщается теплота dqv, 1 кг газа которая, как это следует из уравнения (3.2), dqv равна: dq v = c v dT . Рис. 3.2. Нагрев при V = const С другой стороны, в соответствии с первым законом термодинамики, это количество теплоты идёт только на изменение внутренней энергии газа, так как работа при постоянном объёме не совершается: dq v = du + 0. А значит, справедливо соотношение du = cvdT . (3.3) Это очень важный результат, который позволяет определить изменение внутренней энергии газа в любом термодинамическом процессе, к которому мы будем неоднократно возвращаться. Теперь рассмотрим процесс нагрева газа при постоянном давлении. Примером такого процесса мог бы быть нагрев воздуха в нашей аудитории в зимний период. Давление в комнате остаётся атмосферным, как бы не «старались» энергетики. Дело в том, что воздух, расширяясь, частично льший объём. Сходным с изобарным процессом является и другой пример, где воздушный шарик выносят из тепла на холод, и наоборот. Стенки шарика легко растягиваются 28 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com или сжимаются, не давая повысить или понизить давление в шарике из-за теплообмена. 1 кг газа На схеме (рис. 3.3) похожая ситуация полуdqp чена с помощью абсолютно подвижного поршня, т.е. поршня, способного моменталь- Рис. 3.3. Нагрев при p = const но переместиться в новое равновесное с внешними силами положение. В соответствие с (3.2) подведённое к 1 кг газа тепло составляет: dq p = c p dT , а в соответствии с первым законом термодинамики dq p = du + pdv . (3.4) Продифференцируем уравнение состояния идеального газа для этого случая, т.е. при p = const: d ( pv ) = d ( RT ) , pdv = RdT , затем подставим полученные выше результаты в уравнение (3.4): с p dT = du + pdv = cv dT + RdT . После деления на dT получаем окончательный результат – уравнение Майера: с p = cv + R , (3.5) которое показывает, что массовая теплоёмкость при постоянном давлении всегда больше массовой теплоёмкости при постоянном объёме на величину газовой постоянной. Поскольку причиной этой разницы является выполнение газом работы в изобарном процессе, то газовая постоянная R представляется теперь в новом свете – её величина и есть та работа, которую выполнил 1 кг газа при изобарном нагревании, пока его температура увеличивалась на 1 К. 3.3. Истинная и средняя теплоёмкости Многие тела изменяют свои физические свойства при изменении температуры. Это в полной мере относится и к теплоёмкости газов. Насколько велико влияние температуры на теплоёмкость вы можете судить на примерах, данных для воздуха, которые представлены в справочных таблицах (см. прил. 1 и 2). 29 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com В справочных таблицах обычно указывают как истинные, так и средние теплоёмкости. Истинной теплоёмкостью называют теплоёмкость, имеющую место при данной (фиксированной) температуре. Ранее мы вели речь именно о таких теплоёмкостях, поэтому никаких дополнений в систему обозначений вносить пока не будем. Средней теплоёмкостью называют среднее её значение в некотором интервале температур. В обозначении добавляется индекс «m» (от лат. medium средний). При этом в таблицах приводятся средние значения для интервала от 0 оС (всегда) до некоторой температуры t, оС. Так, например, выделенная двойной линией в табл. 3.1 ячейка содержит значение для средней массовой теплоёмкости в изобарном процессе в интервале от 0 оС до 600 оС. Рекомендуется при расчетах это записывать следующим образом: 600 с pm 0 = 1,050 кДж/(кг⋅К). Следует обратить внимание на то, что температуры в таблице прил. 1 указаны в градусах по шкале Цельсия. Это необходимо помнить при расчетах. Итак, в таблицах приводятся средние теплоёмкости только для интервалов от 0 оС до какой-то температуры t, оС. На практике придётся выполнять расчеты и для произвольного интервала температур. Рассмотрим это на конкретном примере. Предположим, требуется определить количество теплоты, необходимое для нагрева M кг воздуха от t1 = 100 оС до t2 = 1000 оС. Если требуется учитывать влияние температуры на изменение теплоёмкости, то расчет удельной теплоты ведется по формуле Q = M cm t1 (t 2 − t1 ) . t2 (3.6) Рассмотрим эту проблему, не уточняя способ нагрева газа. На практике вы будете в уравнениях, подобных этому, записывать не сm, а cpm или сvm – в зависимости от того, каким способом нагревался или охлаждался газ. В t1 t2 справочных таблицах прил. 1 мы можем найти лишь данные для сm 0 и сm 0 . Выведем уравнение для расчета теплоёмкости в произвольном интервале t2 температур сm t1 на основании табличных данных. Для этого рассмотрим нагрев газа от 0 оС до t2 через промежуточное значение t1. Общее количество теплоты для этого можно представить суммарным количеством теплоты, которое необходимо для нагрева газа сначала от 0 оС до t1, а затем от t1 до t2: t2 t1 t2 Q 0 = Q 0 + Q t1 . 30 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (3.7) Представим каждое слагаемое выражением, подобным (3.6), т.е.: M cm 0 (t2 − 0) = M cm 0 (t1 − 0) + M cm t1 (t2 − t1 ). t2 t1 t2 (3.8) Сокращаем массу газа M и выражаем интересующую нас теплоёмкость в произвольном интервале температур: t2 t2 cm t1 = t1 cm 0 ⋅ t2 − cm 0 ⋅ t1 t2 − t1 . (3.9) Обратите внимание, что при выводе этого уравнения мы использовали равенства вида ti – 0 oC = ti, которые справедливы лишь при условии, что под нулём понимается ноль по шкале Цельсия. Поэтому расчеты по уравнению (3.9) правомерны только для температур, отсчитанных по шкале Цельсия. Именно по этой причине все температуры в этой части лекции обозначены строчной буквой «t», а не прописной «T», как того требует правильность единиц измерения. А вот в размерности теплоёмкости можно и нужно оставлять кельвин, поскольку здесь подразумевается интервал температуры: ведь нагрев на 1 К – это то же самое, что и на 1 оС. Мерой температуры в «СИ» является 1 К. Запись 1,050 кДж/(кг⋅оС) не будет ошибочной, но будет устаревшей. Правильнее будет 1,050 кДж/(кг⋅К). 3.4. Соотношения между различными теплоёмкостями Полезно знать простые равенства, позволяющие найти нужную вам теплоёмкость, если известны другие. Для начала покажем, как массовая теплоёмкость связана с молярной. По определению, первая теплоёмкость – это теплоёмкость, отнесенная к 1 кг газа, а вторая – к 1 кмолю, т.е. с = С / М и μс = С/K μ . Поделив одно уравнение на другое получаем с Кμ = . μс M Учитывая, что M/Кµ есть масса одного киломоля, т.е. молярная масса µ, окончательно имеем μс с= . (3.10) μ 31 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Теперь определим объёмную теплоёмкость, если известна молярная. Здесь надо вспомнить закон Авогадро, следствием которого является утверждение, что 1 кмоль любого газа при нормальных условиях будет занимать объём, равный 22,4 м3, т.е. Vн / Кµ =22,4 м3. Эту величину называют молярным объёмом. Учитывая это и то, что с' = С / Vн и μс = С/K μ , с' = получаем µс . 22,4 (3.11) Затем проследим, как изменится уравнение Майера, если записать его для молярных и объёмных теплоёмкостей. Для молярной теплоемкости умножаем уравнение (3.5) на молярную массу и с учётом (3.10), получаем: μс p = μcv + μR, (3.12) т.е. молярная теплоёмкость в изобарном процессе всегда больше молярной теплоёмкости в изохорном процессе на величину универсальной газовой постоянной µR = 8314 Дж/(кмоль⋅К). Теперь уравнение (3.12) разделим на молярный объём с учетом уравнения (3.11): μR (3.13) с' p = c'v + . 22 ,4 Таким образом, полученные уравнения (3.12) и (3.13) являются разновидностями записи уравнения Майера (3.5). 3.5. Пример решения задачи Задача. Предположим, что в нашей аудитории находится 100 кг воздуха (вы можете уточнить эту цифру, используя уравнение состояния идеального газа и определив размеры комнаты, температуру и давление в ней). Сколько теплоты нужно затратить, чтобы температура выросла от 20 до 120 оС? Решите задачу с учётом влияния температуры на теплоёмкость и пренебрегая теплообменом с окружающей средой. Из условия задачи следует, что воздух нагревается изобарно: это заключение было обосновано нами ранее при выводе уравнения Майера. Теплоёмкость воздуха для изобарного процесса определяем по справочным таблицам (см. прил. 1). Так как в условии задачи явно задаётся масса газа, то расчёт будем выполнять по уравнению (3.6): 32 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Q = M c pm t1 (t 2 − t1 ) . t2 Необходимые значения массовой теплоёмкости для воздуха см. в прил. 1. Так, например, в прил. 1 приведены средние массовые теплоёмкости воздуха для температур 20 и 120 оС, т.е. известны средние значения 20 теплоёмкостей в интервалах температур: c pm 0 = 1,005 кДж/(кг⋅К) и 120 c pm 0 = 1,009 кДж/(кг⋅К). Вычислим интересующую нас теплоёмкость 120 воздуха c pm 20 , кДж/(кг⋅К), по (3.9): 1,009 ⋅120 − 1,005 ⋅ 20 = 1,01 . 120 − 20 Тогда искомое количество теплоты, кДж, определим по (3.6): 120 c pm 20 = Q = 100 ⋅1,01 (120 − 20) = 10100 . Итак, ответ найден: чтобы нагреть 120 кг воздуха от 20 до 120 оС нужно потратить 101000 кДж. Много это или мало? Давайте дополнительно оценим, как долго должен работать обычный бытовой электронагреватель мощностью 2 кВт, чтобы нагреть так воздух? Обогреватель с мощностью 2 кВт выделяет в каждую секунду 2 кДж теплоты. Поэтому для выделения 10100 кДж потребуется 10100/2 = 5050 секунд или чуть менее полутора часов. Ваш житейский опыт, наверняка, заставит усомниться в правильность расчетов. Неужели за полтора часа обычный нагреватель превратит нашу аудиторию в сауну? В чём же дело? Ошибка в вычислениях? Нет! Просто мы решали задачу, не учитывая теплообмен воздуха со стенами и далее с наружным воздухом, окружающим наше здание. Учесть эти «потери» теплоты, прибегнув к соответствующим расчетным уточнениям, мы пока не готовы. Однако о доле этих потерь, а значит, и важности умения их рассчитывать на практике, вы должны задуматься уже сейчас. Решением подобных задач мы будем заниматься, изучая науку «Теплопередача». ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Вставьте пропущенное слово: теплоёмкость – это количество … , которое необходимо сообщить телу, чтобы его температура увеличилась на 1 К. 33 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2. Запишите общепринятые обозначения и размерности в системе «СИ» для массовой, объёмной и мольной теплоёмкостей. 3. Выберите правильный ответ. Теплоёмкость газа, в отличие от теплоёмкости твёрдых тел, … а) может быть объёмной; б) зависит от температуры; в) зависит от способа подвода теплоты. 4. Известно, что в некотором произвольном термодинамическом процессе с идеальным газом его внутренняя энергия увеличилась в 1,5 раз. Первоначальная температура газа равнялась 27 оС. Чему равна температура газа в конце процесса? Влиянием температуры на теплоёмкость можно пренебречь. Решите задачу для воздуха. 5. Выберите правильный ответ. Теплоёмкость в изобарном процессе всегда больше теплоёмкости в изохорном процессе, потому что … а) часть теплоты в изобарном процессе расходуется на работу расширения; б) объёмная теплоёмкость всегда меньше мольной; в) газовая постоянная всегда меньше универсальной газовой постоянной. 6. При нагреве 5 кг газа при постоянном давлении от 0 до 500 оС потратили 2500 кДж теплоты. При дальнейшем нагреве газа потратили еще 2500 кДж теплоты, что привело к повышению температуры до 900 оС. Вычислите средние массовые изобарные теплоёмкости в интервалах температур от 500 до 900 оС, от 0 до 500 оС и от 0 до 900 оС. 7. Мольная теплоёмкость продуктов сгорания при постоянном давлении равна 20 кДж/(кмоль⋅К). Чему равна мольная теплоёмкость продуктов сгорания при постоянном объёме? Чему равна объёмная теплоёмкость продуктов сгорания при постоянном давлении? 8*. На основании определения теплоёмкости вычислите значения теплоёмкостей в изотермическом и в адиабатном процессах. Примечание. * – вопрос повышенной сложности, которые требуют самостоятельного анализа материалов лекции. 34 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Лекция 4 ИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗОВЫЕ ПРОЦЕССЫ План лекции: 4.1. Идеальность и обратимость газовых процессов. 4.2. Изохорный процесс. 4.3. Изобарный процесс. 4.4. Изотермический процесс. 4.5. Адиабатный процесс. 4.6. Политропный процесс. 4.7. Обобщающий характер политропного процесса. 4.8. Тепловая диаграмма в pv-координатах. 4.1. Идеальность и обратимость газовых процессов В этой лекции рассмотрим идеальные газовые процессы. В чём их идеальность? Во-первых, в идеальных процессах пренебрегают влиянием температуры на величину теплоёмкости газа. Ранее (в лекции 3) было показано, как эту зависимость учитывать. Впрочем, при решении задачи с нагреванием воздуха (см. подразд. 3.5) вы могли видеть, что теплоёмкость воздуха при тех температурах, для которых выполнялись вычисления, не сильно отличалась друг от друга. Во-вторых, идеальный процесс является обратимым. Обратимым называют процесс, который можно провести в обратном направлении через все промежуточные состояния прямого. Графически (рис. 4.1) это означает, что линия прямого (a), например, процесса расширения и обратного сжатия (б), построенных в общей координатной системе, совпадают (в). Рис. 4.1. Обратимый процесс Обратимость означает, что внешняя работа, выполненная газом в процессе расширения 1–2, будет в точности равна работе, которую придётся 35 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com затратить на процесс сжатия 2–1. Но есть, как минимум, одна причина, по которой действительные процессы – необратимы. Это – трение. Действительно, трение одинаково препятствует перемещению поршня в цилиндре как при расширении, так и при сжатии; затраты на преодоление сил сопротивления при сжатии газа не вернутся в виде работы газа при расширении. В этой лекции будут рассмотрены особые случаи идеального процесса, это так называемые изопроцессы, т.е. процессы, в которых один из параметров состояния или функция состояния не изменяются. К ним относятся изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный процессы. Последний можно тоже назвать, применяя приставку «изо», но это мы рассмотрим позднее, в лекции 5. Все рассматриваемые сейчас процессы – это процессы с идеальным газом, или газовые процессы. Процессы с реальным газом (паровые процессы) имеют свои особенности, о которых речь пойдёт в лекции 7. Каждый из названных изопроцессов будет рассмотрен в следующем порядке: вывод уравнения процесса; построение графика; уточнение значения теплоёмкости; расчет работы газа в процессе и количества теплоты, которое он (газ) получает от других тел или отдаёт им. 4.2. Изохорный процесс Идеальным изохорным процессом является обратимый процесс, протекающий при постоянном объёме с постоянной теплоёмкостью газа. Обозначим исходные параметры газа индексом «1», а конечные – «2» и перепишем уравнение состояния идеального газа (1.4) дважды для каждого состояния, учитывая, что удельные объёмы газа по определению процесса равны, т.е. v1 = v2 = v: p1v = RT1  (4.1) . p2 v = RT2  Разделив первое равенство системы на второе, получим уравнение изохорного процесса p1 T1 p = или = const . (4.2) p2 T2 T Температура при изохорном нагревании газа увеличится во столько же раз, во сколько увеличится его давление. При изохорном охлаждении температура уменьшится во столько же раз, во сколько уменьшится и давление. На практике изохорный процесс получить достаточно легко. Надо исключить возможность изменения объема газа и нагревать (либо охлаж36 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com дать) его, обеспечив тепловой контакт с телами, имеющими иную, чем у газа, температуру. Изобразить график линии v = const в системе pv-координат не представляет труда (рис. 4.2). Рис. 4.2. Изохорный процесс Теплоёмкость в изохорном процессе cv рассматривалась нами ранее, при выводе уравнения Майера. Из (3.3) следует, что сv = du . dT (4.3) Работу газ в изохорном процессе выполнить не может, так как при dv = 0: (4.4) dl v = pdv = 0 . Удельное количество теплоты, участвующее в процессе, вычислим на основе определения теплоёмкости: dq v = cv dT . (4.5) Проинтегрируем (4.5), помня при этом, что теплоёмкость постоянна: T2 qv = cv ∫ dT =cv (T2 − T1 ) . (4.6) T1 4.3. Изобарный процесс Идеальным изобарным процессом называется обратимый процесс, протекающий при постоянном давлении с постоянной теплоёмкостью газа. 37 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Для вывода уравнения процесса запишем дважды уравнение (1.4) для начальной (1) и конечной (2) точки процесса, обозначив постоянное давление: p = p1 = p2: pv1 = RT1  . pv2 = RT2  (4.7) Поделив первое равенство системы на второе, получим уравнение изобарного процесса: v1 T1 v V (4.8) = или = = const . v2 T2 T T Построить график изобары так же просто, как и изохоры (рис. 4.3). Рис. 4.3. Изобарный процесс Примером изобарных газовых процессов могут служить процессы, протекающие в многочисленных теплообменных аппаратах, а также нагрев воздуха отопительными приборами в помещениях при атмосферном давлении. Действие отопительной системы не приведёт к заметным изменением давления, так как помещение не герметично. Расширение воздуха, т.е. увеличение его объёма в полном соответствие с (4.8), означает не изменение объёма помещения, а изменение объёма воздуха, образовавшиеся «излишки» которого будут вытеснены через неплотности в окружающее пространство. Теплоёмкость в изобарном процессе рассматривалась нами в предыдущей лекции (см. подразд. 3.2). Для вычисления удельной работы газа в изобарном процессе воспользуемся уравнением (2.3), полученным ранее: 38 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com v2 v2 v1 v1 l p = ∫ pdv = p ∫ dv = p (v 2 − v1 ). (4.9) Удельное количество теплоты определим на основе теплоёмкости: T2 q p = c p ∫ dT =c p (T2 − T1 ) . (4.10) T1 4.4. Изотермический процесс Идеальным изотермическим процессом называется обратимый процесс, протекающий при постоянном давлении с постоянной теплоёмкостью газа. Вывод уравнения изотермического процесса аналогичен рассмотренным выше. Обозначим постоянную температуру в процессе T = T1 = T2 и запишем уравнение состояния идеального газа для начальной и конечной точек процесса: p1v1 = RT  (4.11) . p2 v2 = RT  Поскольку правые части уравнений системы равны, то равны и левые, а это значит (4.12) p1v1 = p 2 v 2 , или pv = const . Уравнение (4.12) в системе координат pv является уравнением равнобокой гиперболы (рис. 4.4). Рис. 4.4. Изотермический процесс 39 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Практическое осуществление изотермического газового процесса сопряжено с ощутимыми трудностями. В процессе, например, расширения, когда температура газа стремится уменьшиться вследствие затрат внутренней энергии на выполняемую работу, необходимо газ нагревать, причём таким образом, чтобы точно компенсировать выполненную газом работу подведенной теплотой в любой промежуточной стадии процесса. Это возможно лишь теоретически. На практике такой процесс с идеальным газом в полной мере получить не удаётся. Рассмотрим теплоёмкость в изотермическом процессе ct. В соответствии с определением теплоёмкости получаем ct = dqt dq = при T = const = t = ∞ . dT (4.13) Это означает, что сколько не подводи теплоты в изотермическом процессе, температура газа не изменится. Выведем уравнение для работы в изотермическом процессе. Для этого в уравнении для работы (2.3) заменим давление выражением, вытекающим из уравнения состояния идеального газа (1.4) и учтём постоянство температуры: pv = RT v 2 v 2 dv dv v lt = ∫ pdv = = RT (ln v2 − ln v1 ) = RT ln 2 . (4.14) RT = ∫ RT =RT ∫ v v1 p= v1 v1 v1 v v v2 Из уравнения (3.3) следует, что изменения внутренней энергии в изотермическом процессе с идеальным газом не происходит: du = cv dT = cv 0 = 0 , поэтому, согласно (2.5), вся теплота, подводимая в изотермическом процессе расширения, переходит в работу, и наоборот, при изотермическом сжатии от газа отводится столько же теплоты, сколько затрачено работы на сжатие: v qt = lt = RT ln 2 . (4.15) v1 Дополнительно определим изменение энтальпии в изотермическом процессе: dht = dut + d ( pv ) = dut = 0 pv = const 40 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com = 0. (4.16) Из уравнения (4.16) следует, что энтальпия в изотермическом процессе не изменяется, а значит, изотермический газовый процесс является одновременно и изоэнтальпийным. 4.5. Адиабатный процесс Идеальным адиабатным процессом называется обратимый процесс, протекающий при постоянной теплоте с постоянной теплоёмкостью газа. Постоянство теплоты следует понимать как отсутствие теплообмена: газ не получает и не отдаёт теплоту другим телам. На практике адиабатный процесс можно получить либо в тщательно теплоизолированном цилиндре, либо осуществляя процесс настолько быстро, чтобы газ «не успел» обменяться теплотой с окружающими телами. Многие процессы в технике можно считать адиабатными именно по причине их быстротечности. Например, процессы сжатия и расширения в поршневом автомобильном двигателе длятся всего несколько миллисекунд, поэтому, даже при значительной разницей температур газа и стенок цилиндра, теплообменом в ориентировочных расчетах вполне можно пренебречь и считать эти процессы адиабатными. Вывод уравнения адиабатного процесса начнём с записи уравнения первого закона термодинамики (2.5), учитывая при этом, что dq = 0, тогда du + dl = 0 . Подставив вместо du и dl соответствующие им выражения (3.3) и (2.2), получим (4.17) сv dT + pdv = 0 . Далее продифференцируем уравнение состояния идеального газа (1.4) для случая, когда все параметры могут изменяться, т.е. p, v, T = var. Прибегнув к дифференцированию по частям, получаем d ( pv ) = RdT , или vdp + pdv = RdT . Выразив из последнего уравнения pdv и подставив результат в (4.17), получим сv dT + RdT − vdp = 0. Выносим за скобки dT и учитываем уравнение Майера (3.5): (сv + R )dT − vdp = 0 , с p dT − vdp = 0. 41 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (4.18) Выразим из (4.17) dT: dT = − pdv сv и подставим в (4.18), одновременно умножая это уравнение на (–1): сp pdv + vdp = 0 . сv Для компактности последующих выражений обозначим отношение сp/cv = k. Эта величина постоянна, так как теплоёмкости в идеальных газовых процессах считаются величинами постоянными: kpdv + vdp = 0 . Разделим это уравнение на (pv): k dv dp + = 0. v p Проинтегрируем, учитывая постоянство k = const: k∫ dv dp + ∫ = ∫ 0, v p k ln v + ln p = const . Исходя из свойств натуральных логарифмов, получим: ln( v k p ) = const . Окончательно получаем pv k = const . (4.19) Уравнение (4.19) является уравнением адиабатного процесса только в том случае, если под k понимается отношение теплоёмкостей в изобарном и изохорном процессах, введенное нами ранее: k = сp /cv. Поскольку в уравнении (4.19) эта величина оказалась показателем степени при удельном объёме, то она получила название показатель адиабатного процесса, или показатель адиабаты. Теплоёмкость в изобарном процессе всегда больше теплоёмкости в изохорном процессе. Это следует, например, из (3.5). А это значит, что показатель адиабаты будет всегда больше единицы: k > 1. При этом в pv-координатах уравнение (4.19) будет уравнени42 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ем неравнобокой гиперболы, причем в сравнении с изотермой адиабата будет протекать круче (рис. 4.5). Величина показателя адиабаты для идеального газа определяется только атомностью газа – числом атомов, составляющих молекулу. Полезно запомнить, что для двухатомных газов (кислород O2, водород H2, азот N2, воздух как смесь азота и кислорода и т.д.) k = 1,4. Газ (идеальный) одноатомный двухатомный трёхатомный Показатель адиабаты k 1,67 1,4 1,33 Рис. 4.5. Адиабатный процесс Рассмотрим теплоёмкость в адиабатном процессе cq. В соответствии с определением теплоёмкости получаем cq = dqq = при q = const = = 0. dT dT (4.20) Полученный результат можно толковать таким образом: для изменения температуры в адиабатном процессе не нужно подводить теплоту, изменение температуры (внутренней энергии) происходит за счет выполненной газом или приложенной к газу работы. Это непосредственно следует из уравнения (2.5) – уравнения первого закона термодинамики: dl q = −du . (4.21) Подставив в (4.21) уравнение (3.3) и проинтегрировав его, получаем 43 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com T2 lq = − ∫ cv dT = −cv (T2 − T1 ) = cv (T1 − T2 ) . (4.22) T1 Присутствие в уравнении (4.22) теплоёмкости вызывает определенное неудобство при практическом использовании. Ранее, рассматривая теплоёмкость газа (см. лекцию 3) были использованы прил. 1 и 2 для нахождения величин cp и cv. При этом нам пришлось иметь дело с таблицами, в которых определялось влияние температуры на величину теплоёмкости. А как найти теплоёмкость, если влиянием температуры предписано пренебречь? Для ответа на этот вопрос решим систему уравнений: с p = cv + R   cp , k= cv  cv = R , k −1 c p = kcv = k R. k −1 (4.23) (4.24) Полученные уравнения позволяют рассчитать теплоёмкость дл любого газа, если известны газовая постоянная и показатель адиабаты. Продолжим преобразования результата (4.22) для получения более удобных для расчетов выражений. Для этого подставим (4.23) в (4.22) и выполним следующие преобразования, в ходе которых будем также использовать уравнение состояния (1.4) и уравнение адиабатного процесса (4.19): lq = R 1 1 ( T1 − T2 ) = ( RT1 − RT2 ) = ( p1v1 − p2v2 ) = ... k −1 k −1 k −1 p1v1k = p2v2k 1  −  pv  p v  pv p p  k 1 ... = 1 1 1 − 2 2  = = 1 1 1 − 2  2   = ... k − 1 p1v1   p1  k = v2 k − 1  p1  p1     p  v1  2 k −1   p  k pv ... = 1 1 1 −  2  . k −1 p1     44 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (4.25) Формула (4.25) наиболее распространена для вычислений и предполагает, что известны все параметры газа в начале процесса и только давление – в его конце. Преобразования можно выполнить и иначе, т.е. таким образом, чтобы в квадратных скобках в окончательном выражении были только объёмы или удельные объёмы газа. Рекомендуется выполнить эти преобразования самостоятельно. 4.6. Политропный процесс Политропный (от греч. polytronos многообразный < poly много + tropos поворот, направление) предполагает возможность изменения всех параметров состояния газа и теплообмен. Неизменным в любом идеальном газовом процессе должна оставаться теплоёмкость. Обозначим теплоёмкость в политропном процессе cl. Вывод уравнения политропного процесса аналогичен выводу уравнения адиабатного процесса. Используем ту же последовательность преобразований, что и в подразд. 4.5. Вывод уравнения политропного процесса начнём с записи уравнения первого закона термодинамики (2.5): du + dl = cl dT . Подставим вместо du и dl соответствующие им выражения (3.3) и (2.2) и перенесём все слагаемые в левую сторону равенства: сv dT + pdv − cl dT = 0 . (4.26) Далее продифференцируем уравнение состояния идеального газа (1.4) для случая, при котором все параметры могут изменяться, т.е. p, v, T = var: d ( pv ) = RdT , или vdp + pdv = RdT . Выразим из последнего уравнения pdv и подставим результат в (4.26): сv dT + RdT − vdp − cl dT = 0. Выносим общий множитель dT для первых двух слагаемых за скобки и учитываем уравнение Майера (3.5): (с v + R )dT − vdp − cl dT = 0, с p dT − cl dT − vdp = 0. Ещё раз вынесем за скобки dT: (с p − cl ) dT − vdp = 0. 45 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (4.27) Выразим из (4.26) dT: dT = − pdv сv − cl и подставим в (4.27), одновременно умножая это уравнение на (–1): с p − cl pdv + vdp = 0 . сv − cl Для компактности последующих выражений обозначим отношение с p − cl = n. сv − cl (4.28) Эта величина постоянна, так как теплоёмкости в идеальных газовых процессах считаются величинами постоянными: npdv + vdp = 0 . Разделим это уравнение на (pv): n dv dp + = 0. v p Проинтегрируем, учитывая постоянство n = const: n∫ dv dp +∫ = 0, v p ∫ n ln v + ln p = const . Окончательно получим pv n = const . (4.29) Показатель степени n называют показателем политропного процесса, или показателем политропы. Как и в случае с уравнением адиабатного процесса, выражение (4.29) следует всегда дополнять выражением (4.28). Анализ последнего выражения показывает, что n может принимать различные значения, в том числе и отрицательные. Естественно, что одной какой-то определенной линией мы не сможем это показать на графике функции (4.29): её вид определяется величиной n = 0…±∞. Позднее, рассматривая тепловую диаграмму, мы вернёмся к вопросу о графиках политропного процесса. Сейчас же уста46 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com новим связь между теплоёмкостью в политропном процессе и показателем политропы. Эта связь вытекает из (4.28) и может быть представлена в виде сv n − c p n−k = сv . (4.30) n −1 n −1 Определим работу в политропном процессе. Для этого первоначально выразим dl из уравнения первого закона термодинамики (2.5) и раскроем его составляющие, используя (3.2), (3.3), (4.23) и (4.30): cl = dll = dq − du = сv n−k R n − k − n +1 dT − cv dT = ⋅ dT = ... n −1 k −1 n −1 ... = R 1− k R dT = − ⋅ dT . k −1 n −1 n −1 (4.31) Проинтегрировав (4.31), получим уравнение ll = R (T2 − T1 ). n −1 (4.32) Если сравнить уравнение (4.32) с уравнением (4.25) для расчета работы в адиабатном процессе, то легко обнаруживается единственное формальное расхождение: в начале преобразований (4.25) было уравнение (4.32), в котором вместо n записано k. Поэтому и все другие промежуточные и конечные результаты (4.25) справедливы для политропного процесса после того как в них показатель адиабаты будет заменён показателем политропы. Например: n −1   p1v1   p2  n  . (4.33) ll = 1−   n − 1   p1     Для расчета теплоты в политропном процессе используем определение теплоёмкости, из которого следует dql = cl dT = сv n−k R n−k dT = dT . n −1 k −1 n −1 (4.34) Проинтегрировав (4.34), получим ql = R n−k (T2 − T1 ). k − 1 n −1 47 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (4.35) 4.7. Обобщающий характер политропного процесса Все рассмотренные выше изопроцессы (изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный) являются частными случаями политропного процесса. Если это утверждение верно, то уравнение политропного процесса должно быть универсальным уравнением, подходящим для всех изопроцессов. Для доказательства этого воспользуемся следующей схемой. Подставим в (4.28) теплоёмкость каждого изопроцесса и посмотрим, даст ли использование полученного результата в (4.29) уравнение исследуемого процесса? Начнём с изохорного процесса. Теплоёмкость в этом процессе сv. Заменив этим значением теплоёмкость cl в (4.28), получим n= с p − cv R = = ∞. сv − cv 0 Подставив полученное значение в уравнение (4.29) для политропного процесса, получим: pv ∞ = const. Из этого равенства берём корень степени бесконечность: 1 p∞v = const , или p 0 v = const . Последнее даёт нам нужный результат: v = const. Таким образом, изохорный процесс – это политропный процесс с показателем политропы, равным бесконечности. Для изобарного процесса cl = cp проделаем то же самое: n= сp − сp = 0. сv − с p После подстановки в (4.29) получаем уравнение изобарного процесса pv 0 = const , или p = const . Изобарный процесс – это политропный процесс при n = 0. Для изотермического процесса ct = ∞ имеем n= сp −∞ ∞ = = 1. сv − ∞ ∞ 48 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Этот результат даёт нам уравнение изотермического процесса: pv1 = const , или pv = const . Изотермический процесс – это политропный процесс с показателем политропы n = 1. И наконец, для адиабатного процесса подставив cl = 0, получаем n= сp −0 сp = = k. сv − 0 сv Уравнение (4.29) трансформируется в уравнение (4.19) – уравнение адиабатного процесса. Можно утверждать, что адиабатный процесс – это есть процесс политропный, в котором показатель политропы равен показателю адиабаты: n = k. 4.8. Тепловая диаграмма в pv-координатах Проведём из одной точки (точка 1 на рис. 4.6) все рассмотренные выше изопроцессы в двух направлениях. Каждая из полученных линий является своего рода границей, разделяющей область диаграммы на две части. Так, например, адиабата отделяет процессы, в которых теплота подводится +dq от процессов, в которых теплота отводится –dq. Процесс, начавшийся в точке 1 и завершившийся правее (выше) адиабаты, – это процесс, в котором теплота к газу подводилась. 49 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Рис. 4.6. Тепловая диаграмма Аналогично для изотермы (граница для внутренней энергии, температуры) и изохоры (граница для работы газа): – процесс, начавшийся в точке 1 и завершившийся правее (выше) изотермы – это процесс, в котором внутренняя энергия и температура газа увеличивались; – процесс, начавшийся в точке 1 и завершившийся правее изохоры – это процесс, в котором газ совершал работу, а не наоборот. Практическое применение тепловой диаграммы предполагает следующее. Допустим, что есть график некоторого процесса 1-А (рис. 4.7, а), для которого неизвестно изменение энергии (тепловой, механической, внутренней). Требуется определить направление (знак) изменения этих энергий. Рис. 4.7. Пример использования тепловой диаграммы Наиболее просто в pv-координатах решается вопрос с механической энергией – работой. Здесь можно обойтись без построений: процесс, направленный в этой координатной системе вправо – это процесс расширения, газ совершает работу. Изображенный же на рисунке процесс – процесс сжатия, в котором работа отрицательна, она затрачивается извне. Чтобы выяснить направление изменения теплоты и внутренней энергии, нужно построить из точки 1 графики изотермического и адиабатного процессов и посмотреть, в каких секторах оказалась точка А (рис. 4.7, б). Для процесса 1-А можно однозначно сказать, что в этом процессе внутренняя энергия и температура газа увеличивались, а теплота – убывала (отводилась). В завершении лекции решим одну задачу. Вернёмся к условию задачи (см. подразд. 3.5), в которой рассматривался нагрев воздуха при постоянном давлении и при вычислениях учитыва50 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com лось влияние температуры на величину теплоёмкости. Рассмотрим, как следовало решать задачу, если бы влиянием температуры на теплоёмкость разрешено было пренебречь. Найдём теплоёмкость воздуха при постоянном объёме и при постоянном давлении, используя формулы (4.23) и (4.24) соответственно. Газовая постоянная для воздуха, как известно, R = 287 Дж/(кг⋅К), а показатель адиабаты k = 1,4: cv = R 287 ; cv = = 717,5 Дж/(кг⋅К); k −1 1,4 − 1 c p = kcv ; c p = 1,4 ⋅ 717 ,5 = 1004 ,5 Дж/(кг⋅К). Полученный результат для теплоёмкости в изобарном процессе cp = 1,005 кДж/(кг⋅К) хорошо согласуется с тем, что мы определяли по таблицам (см. подразд. 3.5) и показывает нам, что влиянием температуры на теплоёмкость (при рассмотренных в задаче температурах) вполне можно было пренебречь. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. В чём причина необротимости реальных процессов? 2. Выберите правильный ответ. Рассмотренные в лекции газовые процессы называют идеальными потому что в них… а) один из параметров состояния постоянен; б) рабочее тело – идеальный газ; в) теплоёмкость постоянна. 3. В каком процессе вся подведённая к газу теплота переходит в работу? 4. В каком из рассмотренных изопроцессов полная энергия газа не изменяется? 5. Изобразите все изопроцессы в системе pv-координат. 6*. Изобразите в pT-координатах график процесса, в котором не совершается работа. 7. Приведите примеры реальных процессов (природных или протекающих в известных вам технических устройствах), близких к рассмотренным в этой лекции изопроцессам. 8. Докажите, что уравнение Tv k-1 = const является уравнением адиабатного процесса. 51 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 9. Выведите уравнение для расчета работы в адиабатном процессе, в котором будут только такие параметры: начальная температура T1, удельный объём в начале v1 и в конце v2 процесса. 10. В состав рабочего тела в двигателях внутреннего сгорания входят углекислый газ CО2 и окись углерода CO. Какой показатель адиабаты следует принять для этих газов, считая их идеальными? 11*. В политропном процессе расширения воздуха показатель политропы n = 1,3. Ответьте на вопрос: подводилась ли в этом процессе теплота к воздуху или отводилась от него? Ответ обоснуйте, используя тепловую диаграмму. 12*. Изменится ли ваш ответ на предыдущий вопрос, если вместо расширения будет рассматриваться процесс сжатия? 13*. Как выглядит график политропного процесса n = –1 в pv-координатах? Примечание. * – вопросы повышенной сложности, которые требуют самостоятельного анализа материалов лекции. Лекция 5 ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ План лекции: 5.1. Постановка проблемы. 5.2. Вечный двигатель второго рода. 5.3. Прямой круговой процесс. Работа цикла. Термический коэффициент полезного действия цикла. 5.4. Прямой цикл Карно – идеальный цикл теплового двигателя. 5.5. Энтропия. 5.6. Система Ts-координат. 5.7. Формулировки второго закона термодинамики. 5.1. Постановка проблемы Изучив первый закон термодинамики, вы увидели, что теплота и работа эквивалентны. Теплота может преобразовываться в работу, и наоборот, работа может перейти в теплоту. На прошлой лекции вы узнали и о самом идеальном процессе для таких преобразований – изотермическом. При изотермическом расширении газа вся теплота, подведенная к нему, будет 52 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com преобразована в работу, а при изотермическом сжатии, от газа будет отобрано столько же теплоты, сколько было затрачено работы на сжатие. Можно предположить, что процесс преобразования теплоты в работу является обратимым. И это так. Однако давайте задумаемся, насколько легко на практике осуществить эти преобразования? Вот, например, при торможении поезда колодки прижимаются к бандажу колёсных пар и вследствие трения выделяется теплота: работа по торможению состава полностью преобразовывается в теплоту. Как вы думаете, если поступить наоборот, т.е. нагреть колодки и бандаж, то поезд поедет? Нет, разумеется, нет! Какие ещё нужно выполнить условия, для того, чтобы теплота превратилась в работу? К сожалению, первый закон термодинамики не даёт ответа на этот вопрос. Позвольте ещё немного «покритиковать» первый закон термодинамики. Ведь он не исключает возможности существования двигателя, в котором бы газ совершал столько же работы, сколько к нему подведено теплоты, т.е. теплового двигателя со 100 %-ным кпд. Здесь имеется в виду работа газа суммарная: как полезная, доставшаяся потребителю, так и «бесполезная», затраченная на разные вспомогательные нужды. Другое дело, что в реальных машинах будут и неизбежные потери, например на трение. И поэтому в реальных машинах кпд не может быть равным 100 %. Однако при выполнении лабораторной работы на тему: «Испытание ДВС» вы сталкивались, вероятно, с неожиданным результатом: новенький бензиновый двигатель солидной японской фирмы «YAMAHA» на номинальном режиме имел эффективный кпд всего около 20 %, т.е. только 20 % теплоты, выделившейся при сгорании топлива в этом двигателе, было преобразовано в полезную работу. В чём же дело? Неужели столь велики потери? Может ли быть кпд тепловой машины больше? Если да, то на сколько? Ответы на все эти вопросы, надеюсь, вы получите, изучив материалы этой лекции. 5.2. Вечный двигатель второго рода Одна из эмпирических формулировок второго закона термодинамики гласит: «Вечный двигатель второго рода невозможен». О каком таком двигателе идёт речь? Поясним на следующем примере. Представьте, что есть некое устройство, которое погружается в глубины океана и отбирает там теплоту от воды (рис. 5.1). Рис. 5.1. Идея вечного двигателя (perpetuum mobile) второго рода 53 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Часть этой теплоты преобразуется в нём в работу, которая может быть использована с пользой для нас. Учтём, что охлаждение мирового океана, по сути, означает охлаждение планеты, т.е. тела с огромной массой. Поэтому, даже если такое охлаждение даст снижение температуры планеты всего на один или даже половинку градуса, то будет получено огромное количество теплоты, при этом та часть этой теплоты, которая будет преобразована в работу, будет тоже огромной. Эта идея открывает практически неиссякаемый источник энергии, что сродни идее вечного двигателя. При этом нет нарушения закона сохранения энергии нет: ведь мы только часть теплоты планируем перевести в работу. Приведенный пример иллюстрирует идею вечного двигателя второго рода, который, как было сказано выше, невозможен. Что же не так? В чём причины невозможности реализации этой идеи? Разве существующие тепловые машины работают не по такому принципу? Ведь любой двигатель получает теплоту от горячего тела и преобразует часть её в работу. Разве, нет? Действительно, любой тепловой двигатель охлаждает какие-то тела, выполняет полезную работу, но при этом ещё и … Пока преднамеренно умолчим об этой особенности потому, что она будет проиллюстрирована мной на демонстрационной установке (рис. 5.2). Рис. 5.2. Модель двигателя Стирлинга Это действующая модель теплового двигателя с внешним подводом теплоты. Этот двигатель известен как двигатель Стирлинга. Рабочим телом является обычный воздух, который нагревается через стенку цилиндра от пламени свечи. Как видите, этой теплоты достаточно для того, чтобы 54 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com вал двигателя вращался. Как мы и договаривались в самом начале курса, конструкцию тепловых машин мы изучать не будем. Тем, кому интересно устройство установки – поищите в Интернете, ключевые слова для поисков: «двигатель Стирлинга». Нам же сейчас важно разобраться с термодинамическими принципами работы этой машины. Есть три принципиальных условия, выполнение которых необходимо для работы любого теплового двигателя. Первое – нужен источник теплоты (у нас это горящая свеча). Второе – нужно рабочее тело, которое расширяясь, способно выполнить работу (в нашем случае это воздух, заполняющий цилиндр двигателя). Что же ещё? Как вы считаете, что будет, если нагревать воздух интенсивнее, например дополнительно и от пламени газовой зажигалки? Давайте попробуем. Сначала нагреем цилиндр в нижней его части (рис. 5.2, б). Вы видите, что двигатель заработал «бодрее». Больше подвели теплоты – больше получили работы. А теперь направим пламя зажигалки в верхнюю часть цилиндра (рис. 5.2, в). В результате вал стал вращаться всё медленнее и медленнее и вскоре полностью остановился. Машина не сломалась, не переживайте. Просто в этой верхней части цилиндра воздух, выталкиваемый поршнем, должен обязательно охлаждаться (отдавать теплоту в окружающую среду). Нальём в охладитель воды (лучше со льдом), вы видите, что работа машины возобновилась. Вот это и есть то третье важное условие, о котором здесь до сих пор умалчивалось. Вы видите, что, по-крайней мере, для данного двигателя необходимо не только нагревать его рабочее тело, но и охлаждать. А это значит, что нам потребовалось не только тело с высокой температурой (в опыте это пламя свечи), но и с низкой (окружающая среда). И чем больше перепад температур этих тел, тем больше может быть получено работы. Забегая вперёд, скажу, что можно смело обобщить этот вывод для всех тепловых двигателей как уже существующих, так и ещё не изобретенных. Здесь уместна следующая аналогия с водой (рис. 5.3). Движущаяся вода может совершить полезную работу, например на гидроэлектростанциях поток падающей воды приводит во вращение роторы электрогенераторов и т.п. При этом вода самопроизвольно течет сверху вниз, а теплота сама по себе передаётся от тел с высокой температурой к телам с низкой температурой. И наша задача – использовать энергию этого теплового потока, превратив её в работу. Однако, чтобы этот поток (поток теплоты) возник, нужно, как минимум, два тела с разной температурой. Первое тело (горячее) договоримся называть верхним источником теплоты, а второе (холодное) – нижним источником теплоты, или приёмником теплоты. 55 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Рис. 5.3. Аналогия между преобразованием потока воды в работу в водяной мельнице и потока теплоты в работу в двигателе внутреннего сгорания Вернёмся к идее охлаждения мирового океана и получения из этой теплоты работы. Теперь можно объяснить причину невозможности существования такой машины: невозможно получить работу просто из теплоты океана, для получения работы нужен поток теплоты, её движение; чтобы охлаждать океан, нужно иметь тело с меньшей температурой, чем у воды. Никакая машина не может лишь охлаждать некий (единственный) источник теплоты, только совершая работу, не нагревая при этом другие тела. В этом и заключается суть второго закона термодинамики. На практике во многих случаях роль этих «других» тел (нижнего источника теплоты) выполняет окружающая среда. Таким образом, мы с вами уже пришли к некоторому пониманию второго закона термодинамики, основываясь лишь на опытных данных. Возможно, это пока не очень убедительно. Поэтому давайте посмотрим глубже на термодинамические процессы, протекающие в двигателях. 56 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 5.3. Прямой круговой процесс. Работа цикла. Термический коэффициент полезного действия цикла Вам предлагается испытать себя в роли создателя теплового двигателя. Отвлечёмся от многообразных проблем конструкционного и технологического характера. Ограничимся договоренностью, что это будет поршневая машина. Ваша задача спланировать термодинамику этой машины, по возможности, с наибольшим эффектом использовав теплоту. Предлагается также использовать в этой машине только изопроцессы, известные вам из прошлой лекции (изохорный, изобарный, изотермический или адиабатный). Надеюсь, вы помните, что в изотермическом процессе расширения вся теплота преобразуется в работу. Поэтому пусть в создаваемом двигателе будет изотермический процесс. Ведь мы планируем создать хороший двигатель. Итак, в цилиндре газ совершает изотермическое расширение (рис. 5.4). Газ переместил поршень в положение 2, совершил некоторую порцию работы (на рис. эта работа lрас показана заштрихованной площадью), и теперь мы должны с вами решить, что делать дальше? Очевидно, чтобы получить эту порцию работы ещё раз, а потом ещё и ещё, нужно вернуть газ в исходное состояние. Вопрос в том, как это лучше сделать? Для этого придётся выполнить работу над газом, ведь из точки 2 вернуться в точку 1 невозможно без сжатия. Если сжимать газ изотермически, то придётся затратить ровно столько же работы, сколько только что получили от газа в процессе изотермического расширения. Нужно вернуться в точку 1 другим путем, таким образом, чтобы работа на сжатие была меньше полученной в процессе расширения. Учитывая, что Рис. 5.4. К построению цикла графически удельная работа газа в pv-координатах эквивалентна площади под линией процесса, то наша задача сводится к подбору таких термодинамических процессов, которые на графике будут проходить ниже линии 1–2, т.е. требуется замкнуть термодинамические процессы по часовой стрелке. Например, так, как мне часто предлагают ваши коллеги – студенты, когда я прошу их сделать это само57 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com стоятельно (рис. 5.5): сначала пойти по изобаре влево, а затем – по изохоре вверх. Давайте вспомним, что изобарное сжатие 2–3 возможно только при одновременном охлаждении газа, т.е. для такого процесса понадобится обеспечить контакт рабочего тела нашей машины с каким-то холодным телом. Ничего удивительного: ведь вы уже знаете об этом. Рис. 5.5. Прямой круговой процесс Сколько бы вы не перебирали иных вариантов, вы не сможете построить такой замкнутый круговой процесс, чтобы его площадь была больше нуля и в нем не было бы процессов охлаждения. Таким образом, мы ещё раз убедились в том, что для работы тепловой машины требуется, как минимум, два тела с разной температурой: от одного тела газ будет получать теплоту (процессы 1–2 и 3–1 на рис. 5.5), а другому – отдавать (процесс 2–3). Договоримся называть такие круговые термодинамические процессы термодинамическими циклами, или просто циклами. Различают прямые циклы и обратные. Графически прямые циклы протекают по часовой стрелке (как на рис. 5.5), в них теплота преобразуется в работу. Обратные циклы – циклы холодильных установок – предназначены для переноса теплоты от тел с меньшей температурой к телам с большей температурой. Работа газа в них отрицательная, это означает, что для осуществления цикла требуются затраты работы извне. Графически такие циклы протекают в направлении, противоположном по отношению к прямому циклу, т.е. против часовой стрелки. Рассмотрим, что подразумевается под понятием «работа цикла». Работа цикла l0 – это та полезная работа, которая осталась от работы в процессах расширения lрас после того, как вычли работу, затраченную в процессах сжатия lсж. Так, для удельной работы это означает l0 = l рас −l сж . (5.1) Установим связь между работой цикла и теплотой, которой газ обменивается с другими телами в цикле. Для этого применим первый закон термодинамики для цикла: ∆qц = ∆u ц + ∆lц . (5.2) где ∆qц, ∆uц, ∆lц – изменение теплоты, внутренней энергии и работы за цикл соответственно. 58 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Внутренняя энергия зависит только от параметров состояния рабочего тела, которое после осуществления цикла возвращается в исходное. Поэтому ∆uц= 0 – суммарное изменение внутренней энергии за цикл равно нулю. Теплота в рассматриваемом цикле подводилась в изотермическом процессе 1–2 и в изохорном процессе 3–1. Обозначим это количество теплоты для каждого кг рабочего тела как q1t и q1v соответственно. Индекс «1» означает номер источника теплоты: первый или верхний источники теплоты – тела́ с высокой температурой, которые отдают теплоту рабочему телу, нагревая его. Тела́ с низкой температурой будем называть приёмником теплоты, или низшим источником теплоты. По счету это будет 2-й источник теплоты; теплоту, которую газ отдаёт ему в процессе 2–3, обозначим q2. Работа в цикле изменялась таким образом: сначала в процессе 1–2 газ выполнил работу lрас (положительная работа), затем в процессе 2–3 потребовалось затратить работу lсж на сжатие (отрицательная работа) и, наконец, в процессе 3–1 работа не выполнялась и не затрачивалась (нулевая работа). Подставим результаты этих процессов в (5.2): (q1t + q1v ) − q 2 = 0 + (l рас − lсж + 0 ). (5.3) Обозначив сумму теплоты, подведенной к газу от первого источника как q1 (q1 = q1t + q1v) и учитывая (5.1), получим q1 − q 2 = l0 . (5.4) То есть работа цикла равна теплоте, сообщенной рабочему телу в цикле, за вычетом теплоты, отведенной в цикле от рабочего тела. Если рассматривать уравнение (5.4) поверхностно, то можно прийти к выводу, что для повышения эффективности цикла нужно отводить теплоты как можно меньше, а самое правильное – вообще не отводить её. Но ведь ранее было показано, что осуществление такого цикла (цикла, в котором теплота не отводится вообще) невозможно в принципе. Только из уравнения (5.4) ещё не виден тот факт, что при q2 = 0 получим l0 = 0. Поэтому продолжим рассмотрение законов преобразования теплоты в тепловых машинах. Оценку эффективности прямых круговых процессов принято выполнять с помощью термического кпд цикла ηt, который показывает, какая доля подведенной в цикле теплоты преобразуется в работу цикла: ηt = l0 q1 − q2 q =1− 2 . = q1 q1 q1 59 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (5.5) Должен вам сказать, что, несмотря на использование изотермического процесса, построенный нами цикл (см. рис. 5.5) неэффективен и ни в каких реальных машинах не реализуется. Дальнейший его анализ нецелесообразен. Рассмотрим самый эффективный среди всех циклов тепловых двигателей – цикл Карно. 5.4. Прямой цикл Карно – идеальный цикл теплового двигателя Французский инженер и ученый Сади Карно в 1812 г. блестяще окончил лицей Карла Великого и поступил в Политехническую школу – лучшее на тот момент учебное заведение Франции. В 1814 г. он её закончил шестым по успеваемости и был направлен в Инженерную школу в город Мец, после завершения которой в 1816 г. был распределен в инженерный полк, где провел несколько лет. В 1819 г. выиграл конкурс на замещение вакансии в Главном штабе корпуса в Париже и перебрался туда. В Париже Карно продолжил обучение. Посещал лекции в Сорбонне, Коллеж де Франс, Консерватории Искусств Рис. 5.6. Сади Карно и Ремёсел. Там он познакомился с химиком (1796–1832) Николой Клеманом, занимавшимся изучением газов. Общение с ним вызвало интерес у Карно к изучению паровых машин. И в 1824 г. вышла первая и единственная работа Сади Карно – «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу» (Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance). Эта работа считается основополагающей в термодинамике. В ней был произведен анализ существующих в то время паровых машин и были выведены условия, при которых кпд достигает максимального значения. Кроме того были введены основные понятия термодинамики: идеальная тепловая машина, идеальный цикл, обратимость и необратимость термодинамических процессов. В 1828 г. Карно оставил военную службу. А через 4 года Карно неожиданно умирает от холеры. По законам того времени всё его имущество, в том числе и бумаги, были сожжены. Таким образом, его научное наследие было утрачено. Уцелела только одна записная книжка, в которой было сформулировано Первое начало термодинамики (первый закон термодинамики). 60 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com На рис. 5.7 показан прямой цикл Карно, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Полагаю, что вас не удивляет выбор Карно в пользу этих процессов. Действительно, в изотермическом расширении вся теплота переходит в работу, а в адиабатном – работа совершается за счет изменения внутренней энергии без подвода теплоты. Выведем формулу для расчета термического кпд цикла Карно, опи- Рис. 5.7. Прямой цикл Карно: 1–2 – изораясь на уравнение (5.5). Для этого термическое расширение; 2–3 – адианеобходимо рассчитать q1 и q2. Так батное расширение; 3–4 – изотермичекак теплота подводится в изотерми- ское сжатие; 4–1 – адиабатное сжатие ческом процессе 1–2, то (см. лекцию 4) q1 = RT1 ln v2 , v1 (5.6) где T1 – температура верхнего (первого) источника теплоты, v1 и v2 – удельные объёмы в точках 1 и 2 цикла соответственно. Отводится теплота в цикле Карно также в изотермическом процессе 3–4: q2 = RT2 ln v3 , v4 (5.7) где T2 – температура нижнего (второго) источника теплоты, v3 и v4 – удельные объёмы в точках 3 и 4 цикла соответственно. Подставив эти величины в (5.5), получаем v3 v T2 ln 3 v4 v4 ηt = 1 − = 1− . v1 v1 RT1 ln T1 ln v2 v2 RT2 ln (5.8) Докажем, что v3/v4 = v1/v2. Для этого рассмотрим совместно адиабатные процессы 2–3 и 4–1. Для адиабатного процесса 2–3 p 2 v 2k = p 3 v 3k . 61 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (5.9) Исходя из уравнения состояния идеального газа, из которого следует, что p = RT/v, можно получить и иную форму записи уравнения адиабатного процесса: (5.10) T1v2k −1 = T2v3k −1 . Ещё раз обращаю ваше внимание, что под T1 и T2 в данном случае понимаются не температуры в точках 1 и 2, а температуры верхнего (на изотерме 1–2) и нижнего (на изотерме 3–4) источников теплоты. Аналогично для точек 4–1 имеем T1v1k −1 = T2v4k −1 . (5.11) Разделим (5.11) на (5.10): T1v1k −1 T2v4k −1 v1k −1 v4k −1 или . = = T1v2k −1 T2v3k −1 v2k −1 v3k −1 (5.12) Полученный результат доказывает, что v3/v4 = v1/v2, а значит, уравнение (5.8) принимает вид T ηt = 1 − 2 . (5.13) T1 Итак, термический кпд цикла Карно зависит только от температур источников теплоты. Термический кпд будет тем больше, чем больше температура верхнего источника T1 и чем меньше температура приёмника теплоты T2. Термический кпд цикла Карно меньше единицы. Он мог бы быть равен единице, если бы T2 = 0К или T1 = ∞, что недостижимо. Цикл Карно является идеальным циклом для тепловой машины. Для прямых циклов это означает, что ни один другой цикл, совершенный в интервале температур от T1 до T2, не будет иметь термический кпд бо́льше, чем термический кпд цикла Карно. Мы можем подсчитать термический кпд цикла Карно при реально достижимых значениях температур. Обычно для тепловых двигателей роль нижнего источника теплоты исполняет окружающая среда. Возьмем вполне достижимую зимой температуру T2 = 250 К (–23 оС). Тела́ с высокой температурой – это продукты сгорания топлива, температура которых в цилиндре, например двигателя внутреннего сгорания, может достигать максимум 1700–2000 К. Тогда расчет по (5.13) показывает, что ηt = 1 − 250 ≈ 0,86 . 1750 62 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Учитывая идеальность цикла Карно можно по-другому оценить эффективность существующих тепловых машин. Например, дизельный двигатель, имеющий эффективный кпд ηe = 0,52 и работающий в температурном интервала 250–1750 К, имеет долю потерь не 0,48 (1–0,52), а только 0,34 (0,86–0,52). Ведь мы не можем отнести к непроизводительным потерям теплоту q2, которую отдаёт рабочее тело к телам с температурой T2 в цикле Карно. Без этого, как вы теперь понимаете, работа тепловой машины невозможна. 5.5. Энтропия Обратимся ещё раз к циклу Карно. Для термического кпд этого цикла одинаково справедливы уравнения (5.13) и (5.5). Приравняем их правые части: q T q q q T (5.14) 1 − 2 = 1 − 2 или 2 = 2 или 1 = 2 . q1 T1 T1 T2 q1 T1 Этот результат имеет особый смысл. Если в цикле подводится теплота q1 от тел с температурой T1, то обязательно будет и отводится теплота q2 к телам с температурой T2. Причем таким образом, что отношение q/T останется величиной неизменной. Этот вывод следует из примера обратимого цикла Карно. Но любой обратимый цикл можно представить в виде суммы множества циклов Карно, разбив этот цикл бесконечным числом адиабат (рис. 5.8). Представьте себе, что число адиабат, показанных на рисунке, во много раз больше, поэтому каждому участку кругового первоначального процесса (сверху – на линии расширения и снизу – на линии сжатия) соответствует настолько ничтожное изменение параметров состояния (в том числе и температуры), что им можно пренебречь и считать эти процессы одновременно изобарными: dp = 0, изохорными: dv = 0 и изотермическими: dT = 0. Нам здесь важно последнее. Поскольку мы полагаем, что каждая адиабата обратима, то работа, выполненная некоторой i-й адиабатой как адиабатой расширения в i -м элементарном цикле Карно, будет равна работе сжатия, выполненной по этой же линии (адиабате) в (i + 1) цикле. Просуммировав работу всех элементарных циклов, получим работу исходного произвольного цикла, так как адиабатные процессы всех элементарных циклов в сумме не дают никакой работы. В каждом из этих элементарных циклов Карно подводится и отводится элементарное количества теплоты dq1 и dq2 соответственно. 63 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Рис. 5.8. Произвольный круговой процесс как сумма бесконечного множества элементарных циклов Карно Условие (5.14) в этом случае принимает вид dq1 dq2 = . T1 T2 (5.15) Если исходить из того, что теплота, которая подводится к рабочему телу имеет знак «+», а которая отбирается от него – знак «–», то (5.15) можно записать по-другому: dq1 dq dq1 dq2 = − 2 или + = 0. (5.15') T1 T2 T1 T2 Просуммировав все циклы Карно, получим ∫ dq = 0. T (5.16) Выполненные нами рассуждения касались одного кг рабочего тела. Если перейти к произвольному количеству, то очевидно следующее ∫ dQ = 0. T (5.17) Величина dQ/T, стоящая под интегралом в (5.17), есть полный дифференциал некоторой однозначной функции, называемой энтропией: dS = dQ , T (5.18) а величина dq/T в (5.16) соответственно – полный дифференциал функции, называемой удельной энтропией: 64 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com dq , (5.19) T или, в соответствии с первым законом термодинамики, du + dl ds = . (5.20) T В любом обратимом круговом процессе значение энтропии в начальном и конечном состоянии одинаково, так как изменение энтропии в обратимых циклах равно нулю: (5.21) ∫ dS = 0 , ∫ ds = 0 . ds = А теперь выясним, как обстоит дело с изменением энтропии в необратимых циклах, так как реальные процессы не обратимы, хотя бы уже по причине трения. Если обозначить через qт – удельные потери теплоты на трение и другие непроизводительные потери, то первый закон термодинамики будет иметь вид dq + dq т = du + dl . (5.22) С учетом (5.20) определим удельную энтропию в необратимых процессах по выражению ds = du + dl dq dqт = + . T T T (5.23) Теплота, расходуемая на трение и другие непроизводительные потери, не может быть отрицательной (dqт > 0), поэтому из (5.23) и (5.21) следует, что для необратимых циклов dS > 0 , ds > 0 , (5.24) а в общем случае для изолированной термодинамической системы (5.25) dS ≥ 0 , ds ≥ 0 . Эти неравенства следует рассматривать как закон «неубывания энтропии» в изолированных системах и одну из форм математической записи второго закона термодинамики: в изолированной системе энтропия не может убывать: она или возрастает (в необратимых процессах) или остаётся неизменной (при обратимых процессах). Если система состоит из нескольких тел, то энтропии их могут изменяться по-разному в процессе изменения состояния системы: у одних тел энтропия может увеличиваться, а у других – уменьшаться или оставаться неизменной. Но суммарное изменение энтропий всех участвующих в процессе тел будет всегда положи65 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com тельна или, в предельном случае (в обратимом процессе), окажется равной нулю. Теперь перейдем к вычислению энтропии. Основываясь на (5.18) и (5.19), можно вычислить энтропию или удельную энтропию всякого тела только с точностью до некоторой постоянной величины – постоянной интегрирования: dq s = ∫ + s0 . (5.26) T Третье начало термодинамики (теорема Нернста) позволяет найти эту величину, однако это выходит за рамки изучения нашего курса. Практически важно уметь рассчитывать изменение энтропии в термодинамических процессах, а не абсолютное ее значение. Получим несколько формул для вычисления удельной энтропии в произвольном термодинамическом процессе. Для этого в уравнение (5.20) подставим выражения (3.3) для вычисления внутренней энергии и (2.2) для определения работы с учетом уравнения состояния идеального газа (1.4): pv = RT dT p du + dl cv dT + pdv dT dv ds = = = cv + dv = или = cv +R . T T T T T v p R = T v (5.27) Проинтегрировав (5.27) в пределах некоторого произвольного процесса 1–2, имеем ∆s1−2 = сv ln T2 v + R ln 2 . T1 v1 (5.28) Этот результата удобен для расчета изменения энтропии, если известны температуры и удельные объёмы в начале и в конце процесса. Подставим в (5.28) вместо v2/v1 выражение, полученное с помощью уравнения состояния: ∆s1− 2 p1v1 = RT1 T p  T2 v2 T = сv ln + R ln = p2v2 = RT2 = сv ln 2 + R ln 2 1  = ... T1 v1 T1  T1 p2  p2 v2 T2 = p1v1 T1 ... = (сv + R )ln T2 p T p + R ln 1 = c p ln 2 + R ln 1 , T1 p2 T1 p2 66 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (5.29) или ещё один вариант: p1v1 = RT1 ∆s1− 2 = сv ln p v  T2 v v + R ln 2 = p2 v2 = RT2 = сv ln 2 2  + R ln 2 = ... T1 v1 v1  p1v1  p2 v2 T2 = p1v1 T1 ... = сv ln p2 v p v + (сv + R )ln 2 = сv ln 2 + c p ln 2 . p1 v1 p1 v1 (5.30) При выводах уравнений (5.29) и (5.30) использовалось уравнение Майера (3.5). Теперь вы знаете, какую функцию называют энтропией, как вычислять её изменение в термодинамических процессах. Давайте посмотрим на эту особую функцию с другой стороны. Перед вами стакан с водой и кусочками льда. Температура этой смеси равна 0 оС и будет оставаться такой до тех пор, пока весь лёд не растает. В нашей аудитории температура около 20 оС, и поэтому вода и лёд, безусловно, получают теплоту, при этом окружающая температура не изменяется. Всё в точности, как в уравнении (5.19): есть изменение теплоты dq при постоянной температуре T, а значит, есть и изменение (увеличение) энтропии ds. В чём проявляется это увеличение энтропии, по крайней мере, внешне? В том, что лёд тает и превращается в жидкость. Молекулы H2O в кусочках льда «скреплены» связями крепче, степени свободы молекул и атомов более ограничены, чем у молекул H2O в жидкости (рис. 5.9). Рис. 5.9. Молекулы льда (а) и воды (б) То есть молекулы льда «упорядочены» в бо́льшей мере, чем молекулы жидкости. А значит, и увеличение энтропии можно увязать с ростом некого «беспорядка». Такое толкование энтропии появилось после работ Люд67 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com вига Больцмана, установившего в 1877 г. связь энтропии с вероятностью данного состояния. Позднее эту связь представил в виде формулы Макс Планк: (5.31) S = k B ln W , где константа kB = 1,38·10−23 Дж/К названа Планком постоянной Больцмана, а W – статистический вес состояния, являющийся числом возможных микросостояний (способов), с помощью которых можно перейти в данное макроскопическое состояние. Этот постулат, названный Альбертом Эйнштейном принципом Больцмана, положил начало статистической физике, которая описывает термодинамические системы, используя статистическое поведение составляющих их компонентов. Применительно к идеальному газу микросостояние системы определяется указанием позиций и импульсов (моментов движения) всех его молекул (атомов). Макросостояние – это то, что мы понимаем под термином термодинамическое состояние газа и определяем его с помощью макропараметров системы, а именно: указывая давление, температуру и удельный объём. Статистическое толкование энтропии, введенное Больцманом, позволило впервые научно обосновать направление самопроизвольных процессов теплопередачи, т.е. объяснить, почему самопроизвольно теплота передаётся от тел с большей температурой к телам с меньшей температурой. Рассмотрим следующий пример. Возьмем два одинаковых тела (одной природы и с равными массами), но с различными температурами T1 и T2 и обеспечим для них тепловой контакт (рис. 5.10). Будем считать (предположительно), что первое тело передаёт теплоту второму. Рис. 5.10. К обоснованию определения энтропии Через некоторый короткий интервал времени ∆τ температура тел изменится на ∆T (знак ∆T пока не определён). При этом первое тело с температурой T1 передаст телу с температурой T2 теплоту в количестве ∆Q1 = − mc ∆T , где m – масса каждого тела, с – их теплоёмкость. Второе тело соответственно получит теплоту в количестве 68 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ∆Q 2 = mc∆T . Поскольку рассматривается малый промежуток времени ∆τ, то, следовательно, ∆T ∆T << 1, , T1 T2 а изменение энтропии каждого тела за время ∆τ составит: ∆S1 = − mc∆T mc∆T , ∆S 2 = . T1 T2 Суммарное изменение энтропии: 1 1 ∆S = mc∆T  − .  T2 T1  Откуда ∆T = T1T2  ∆S   . mc  T1 − T2  Поскольку, согласно представленному выше, энтропия изолированной системы не может убывать, т.е. ∆S > 0, то ∆T имеет тот же знак, что и (T1 – T2). Исходя из нашего предположения первое тело передаёт теплоту второму, а значит, это возможно при условии, если температура первого тела больше, чем у второго (T1 > T2). 5.6. Система Ts-координат Рассмотрим произвольный процесс в системе координат T (температура) – s (удельная энтропия). Выделим на линии процесса элементарный участок, которому соответствует бесконечно малое изменение энтропии ds (рис. 5.11, а) – столь малое, что изменением температуры на этом участке можно пренебречь. Тогда площадь прямоугольника под этим участком будет определена как произведение ds·T и, в соответствии с (5.19), эта площадь будет эквивалентна элементарной удельной теплоте dq. Нетрудно видеть (рис. 5.11), что площадь под всей линией процесса определяет соответственно удельное количество теплоты в этом процессе. Из определения энтропии (5.19) следует, что она имеет знак теплоты, поэтому рассмотренный на рисунке процесс, в котором энтропия увеличивается, соответствует процессу с подводом теплоты. Процессы, в которых 69 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com рабочее тело отдаёт теплоту, будут протекать в этих координатах в противоположном направлении, т.е. справа налево, а адиабатному (изоэнтропийному) процессу будет соответствовать вертикальная прямая линия. Рис. 5.11. Произвольный процесс в Ts-координатах Рассмотрим основные изопроцессы в этой системе координат. Построение изотерм и адиабат осуществляется довольно просто. Эти процессы показаны на тепловой диаграмме (рис. 5.12) в двух направлениях прямыми линиями: горизонтальной и вертикальной. Для построения изохор и изобар следует обратиться к уравнениям (5.28) и (5.29). Приравняв v1 = v2 в уравнении (5.28), получим для изохорного процесса ∆s1− 2 = сv ln T2 T + R ln 1 = сv ln 2 . T1 T1 (5.32) По аналогии с (5.29) для изобарного процесса получим ∆s1− 2 = c p ln T2 T + R ln 1 = c p ln 2 . T1 T1 (5.29') Полученные уравнения показывают, что изохора и изобара в системе координат Ts являются логарифмическими кривыми, а так как cp > cv, то изохора, начавшись в одной точке с изобарой, будет протекать круче. О назначении и практике применения тепловой диаграммы было сказано ранее (лекция 4): здесь ориентиром должно служить то, как протекает исследуемый процесс, начавшийся в точке 1, что позволит оценить направление изменения теплоты, внутренней энергии, работы и давления. 70 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Рис. 5.12. Тепловая диаграмма Убедимся в удобстве применения Ts-координат на примере анализа прямого цикла Карно. Как видно из графических представлений (рис. 5.13), теплота q1, которую рабочее тело получает от верхнего источника теплоты, определяется площадью прямоугольника с высотой T1 и основанием ∆s, теплота q2, которую рабочее тело отдаёт нижнему источнику – площадью прямоугольника с высотой T2 и с тем же основанием ∆s. Рис. 5.13. Прямой цикл Карно в Ts-координатах 71 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Подставив полученные удельные количества теплоты в (5.5), получим уже известный нам результат (5.13), но найденный быстрее и проще: ηt = 1 − T2 ∆s T = 1− 2 . T1∆s T1 (5.13') 5.7. Формулировки второго закона термодинамики Второй закон (второе начало) термодинамики характеризуется совокупностью нескольких положений, которые рассматривались нами в этой лекции. Поэтому существует несколько формулировок второго закона термодинамики. Приведём лишь несколько наиболее популярных из них. 1. Невозможно осуществить такой периодически действующий двигатель, в результате которого производилась бы положительная работа за счет охлаждения одного тела без каких-либо изменений в других телах, или, что то же самое, вечный двигатель второго рода невозможен. 2. Ни одна тепловая машина, получающая теплоту q1 от тел с температурой T1 и отдающая теплоту q2 к телам с температурой T2, не совершит работы больше, чем машина, работающая по обратимому циклу. Работа обратимого цикла: l0 = q1 – q2. 3. Энтропия изолированной термодинамической системы не может убывать: ds ≥ 0. 4. Невозможно перевести теплоту от менее нагретого тела к более нагретому при отсутствии прочих одновременных изменений в обоих телах или окружающей среде, или, что то же самое, теплота самопроизвольно передаётся от тел с большей температурой к телам с меньшей температурой. Наряду с этими связанными друг с другом, а значит, равнозначными утверждениями истории известны и многочисленные заблуждения, неверные формулировки второго начала термодинамики. Пожалуй, наиболее драматическая формулировка второго начала термодинамики принадлежит Клаузиусу: – энергия Мира постоянна; – энтропия Мира стремится к максимуму. Из этой формулировки следует, что в конце эволюционного процесса Вселенная должна прийти в состояние термодинамического равновесия (в состояние тепловой смерти), которому соответствует полная дезорганизация системы. Представление о тепловой смерти Вселенной, вытекающее из формулировки второго начала, – пример неправомерного перенесения законов термодинамики в область, где она уже не работает. Говорить о неубывании энтропии Вселенной нельзя, поскольку она не является не только замк72 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com нутой термодинамической системой, но и вообще не является термодинамической системой1. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. В чём заключается идея вечного двигателя второго рода? 2. Назовите три основных условия работы любой тепловой машины. 3. Какие круговые процессы называют прямыми циклами и какие обратными? 4. Докажите, что работа прямого обратимого цикла равна разнице подведенной и отведенной в цикле теплоты. 5. Какая величина служит для оценки эффективности прямого цикла и как её рассчитать? 6. Изобразите цикл Карно в pv- и Ts-координатах. Приведите формулу для расчета термического кпд этого цикла. 7. Какой максимальный кпд достижим для тепловых двигателей? Почему? 8. Докажите, что изменение энтропии в любом обратимом цикле равно нулю. 9. Выберите правильный ответ. В замкнутой термодинамической системе энтропия… а) уменьшается; б) остаётся неизменной; в) не убывает; г) возрастает; д) не возрастает. 10. Что подразумевается под статистическим толкованием энтропии? 11. Чему эквивалентна площадь по линией процесса в Ts-координатах. Обоснуйте ответ. 12. Решите задачу. Воздух обратимо нагревают в одном случае изохорно, а в другом – изобарно. Количество теплоты, которое сообщается в каждом процессе, одинаковое. В каком случае изменение энтропии будет бо́льшим? Изменится ли ваш ответ, если рассматриваемые процессы будут необратимыми? 1 Подробнее об этом см. : Осипов А.И., Уваров А.В. Энтропия и её роль в науке // Соровский образовательный журнал. 2004. Т. 8. № 1. С. 70–79. 73 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Лекция 6 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ План лекции: 6.1. Условности и допущения, принятые при анализе теоретических циклов. 6.2. Цикл с подводом теплоты по изохоре (цикл Отто). 6.3. Цикл с подводом теплоты по изобаре (цикл Дизеля). 6.4. Цикл со смешанным подводом теплоты (цикл Тринклера). 6.5. Сравнение теоретических циклов двигателей внутреннего сгорания. 6.1. Условности и допущения, принятые при анализе теоретических циклов В этой лекции будут рассмотрены теоретические циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания (ДВС), среди которых будут и циклы, соответствующие циклам реально существующих ДВС: дизельных двигателей и бензиновых двигателей. Общим для всех ДВС является то, что топливо сгорает в их цилиндрах. Окончательной целью для нас будет ответ на вопрос: какой цикл имеет больший термический кпд? При этом мы вправе ожидать, что двигатель, имеющий в основе своей работы более эффективный теоретический цикл, будет иметь и бо́льший эффективный кпд, а значит, в определённом смысле, он будет лучшим. Для начала рассмотрим индикаторные диаграммы современного бензинового ДВС и дизеля (рис. 6.1). Отличие, на котором вы должны сконцентрировать ваше внимание, имеет место в процессах, изображённых пунктирной линией – на участках рабочего цикла, в которых происходят основные фазы горения топлива (тепловыделение). Рис. 6.1. Индикаторные диаграммы бензинового (а) и дизельного (б) двигателей 74 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com В обоих случаях сжатие рабочего тела, начавшись в точке a, заканчивается в точке с. Но в случае с бензиновым двигателем, где происходит сжатие смеси паров бензина с воздухом и её воспламенение, после которого сгорание протекает настолько быстро, что мы вполне можем считать этот процесс изохорным: объём в процессе c-z практически не изменился, а давление выросло. В дизелях сжимается воздух, а топливо в цилиндре появляется (впрыскивается) только в конце сжатия. Топливоподача в дизеле продолжается и после воспламенения топлива, впрыснутого в начальных стадиях этого процесса. На диаграмме (рис. 6.1) можно выделить участок быстрого (изохорного) и медленного (изобарного) сгорания. Это участки c-z и z-z' соответственно в общем процессе выделения теплоты c-z-z'. В дизельных двигателях возможно и сгорание с процессом тепловыделения, преимущественно соответствующем только участку z-z', т.е. только при постоянном давлении. Термодинамика остальных процессов, представленных на рисунке циклов четырехтактных двигателей (сжатие, расширение, выпуск отработавших газов, впуск свежего заряда), весьма схожа. Как уже было сказано ранее, рассмотрение принципа действия, а тем более устройства тепловых машин, в нашу задачу не входит – это область специальных дисциплин. Внимание ваше было акцентировано на некоторых особенностях действительных циклов двигателей различного типа, которое заключается в том, что отличие между ними проявляется лишь в способе подвода теплоты. В этой лекции будут рассмотрены три теоретических цикла ДВС, которые отличаются друг от друга только процессами подвода теплоты к рабочему телу. Свои названия они получили именно от этих процессов: цикл с подводом теплоты по изохоре; цикл с подводом теплоты по изобаре и цикл со смешанным (комбинированным) подводом теплоты. Для корректного сравнения влияния способа подвода теплоты на эффективность циклов введём следующие общие для всех циклов допущения: – рабочее тело на всех участках цикла – идеальный газ, воздух; – сжатие и расширение протекают во всех циклах адиабатно (без теплообмена); – процессы газообмена (выпуск горячих газов и впуск холодного свежего заряда) в теоретических циклах не рассматриваются, они заменяются для всех циклов изохорным отводом теплоты от воздуха (рабочего тела). Таким образом, теоретические циклы описывают работу некого несуществующего теоретического ДВС с постоянным по природе рабочим телом – воздухом. Но каждому рассмотренному ниже теоретическому циклу можно сопоставить реально существующие ДВС, действительные циклы которых 75 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com соответствуют теоретическим на участках тепловыделения. Такой подход позволит нам оценить термодинамические преимущества и недостатки каждого цикла без привлечения громоздкого математического аппарата. Конструктивных особенностей реальных двигателей мы будем касаться лишь в той мере, какая потребуется нам для понимания причины протекания процессов тепловыделения с теми или иными закономерностями. 6.2. Цикл с подводом теплоты по изохоре (цикл Отто) Рис. 6.2. Николаус Август Отто (1832–1891) Николаус Август Отто – немецкий инженер и изобретатель-самоучка, автор четырехтактного двигателя внутреннего сгорания. Свой первый двигатель Отто запатентовал и изготовил в 1864 г. Это был двухтактный двигатель, работавший на светильном газе (газ получался путём сухой перегонки древесины или угля). Уже первые образцы имели приличный кпд, впервые превосходившие кпд паровой машины. Упорно работая над совершенствованием своего двигателя, Отто в 1877 г. делает своё самое существенное изобретение – двигатель с четырехтактным циклом. Этот цикл и по сей день является основой работы многих современных двигателей, включая газовые и бензиновые поршневые ДВС. Как было отмечено ранее, сгорание заранее подготовленной смеси паров топлива или горючих газов в смеси с воздухом протекает в цилиндре ДВС настолько быстро, что изменением его объёма можно пренебречь, т.е. считать этот процесс изохорным. С учётом допущений, принятых выше, теоретический цикл такого двигателя представлен четырьмя термодинамическими процессами (рис. 6.3): адиабатное сжатие 1–2; изохорный подвод теплоты (2–3); адиабатное расширение (3–4) и изохорный отвод теплоты (4–1). Докажем, что термический кпд этого двигателя можно представить в виде зависимости только от степени сжатия. Под степенью сжатия ε понимается отношение, показывающее, во сколько раз объём рабочего тела уменьшается в процессе сжатия. С учетом введенных на рис. 6.3 обозначений V v ε= 1 = 1. (6.1) V2 v2 76 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Рис. 6.3. Цикл с подводом теплоты по изохоре Теплота q1 подводится от верхнего источника теплоты изохорно в процессе 2–3, а значит в соответствии с (4.6) q1 = c v (T3 − T2 ) . (6.2) К нижнему источнику (к окружающей среде) теплота отдаётся также по изохоре 4–1: q 2 = cv (T4 − T1 ). (6.3) Подставим (6.2) и (6.3) в формулу для термического кпд цикла (5.5) и выполним ряд преобразований: T4 −1 q2 T4 − T1 T T1 (6.4) ηt = 1 − =1− = 1− ⋅ 1. T3 q1 T3 − T2 T −1 2 T2 Рассмотрим адиабату 1–2, для которой справедливо Откуда T1v1k −1 = T2v2k −1 . (6.5) T1 v2k −1 1 = k −1 = (v2 / v1 )k −1 = k −1 . T2 v1 ε (6.6) Рассмотрим совместно адиабатные процессы 1–2 и 3–4: T1v1k −1 = T2v2k −1  . T4 v4k −1 = T3v3k −1  77 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (6.7) Разделим второе уравнение этой системы на первое, учитывая, что v1 = v4, а v2 = v3: T4 T3 T4 v4k −1 T3 v3k −1 = . , или = T1 T2 T1v1k −1 T2 v2k −1 (6.8) Подставив полученные результаты (6.6) и (6.8) в (6.4), окончательно получим 1 ηt = 1 − k −1 . (6.9) ε Анализ полученного уравнения показывает, что термический кпд цикла двигателя внутреннего сгорания с подводом теплоты по изохоре зависит только от степени сжатия и будет тем больше, чем больше степень сжатия. Следует иметь ввиду, что степень сжатия в реальных ДВС, процессы в которых соответствуют этому циклу, ограничена детонационными свойствами топлива (бензинов или газа). Применение высокооктановых бензинов позволяет создавать бензиновые двигатели со степенью сжатия до ε = 11, в то время как в дизельных двигателях сжатие воздуха возможно до ε = 20 и более. 6.3. Цикл с подводом теплоты по изобаре (цикл Дизеля) Рудольф Дизель – немецкий инженер и изобретатель, создатель двигателя с воспламенением от сжатия, впоследствии получившего имя своего изобретателя. Первоначально Дизель хотел осуществить изотермический процесс горения топлива. Для этого, по мнению Дизеля, следовало обеспечить медленное горение топлива. Настолько медленное, чтобы теплота, выделяющаяся в процессе горения, компенсировалась работой расширения газа. Свою идею он запатентовал в 1892 г. как «…новый рациональный тепловой двигатель». Для достижения цели Дизель спланировал цикл следующим образом: снаРис. 6.4. Рудольф Христиан чала атмосферный воздух сжимался с такой Карл Дизель (1858–1913) степенью, чтобы достичь температуры выше температуры воспламенения используемого топлива; затем начиналась подача топлива в цилиндр. Первые крупинки топлива (а Дизель действительно собирался создать двигатель, работающий на угле) должны были воспла78 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com мениться, а образовавшийся газ, расширяясь, начал бы совершать работу. При этом подача топлива продолжалась бы некоторое время. Опыты с угольной пылью, а затем и газом не дали хороших результатов, и Р. Дизель достаточно скоро переключился на жидкое топливо – керосин. Первый образец нового двигателя взорвался, разлетевшись на мелкие части, чудом не задев никого из создателей. Второй – проработал несколько минут. И лишь третий опытный образец, построенный в 1895 г., действительно оказался удачным. Этот результат был получен при распылении жидкого топлива с помощью компрессора. Сегодня мы называем такие двигатели компрессорными дизелями. Дело в том, что технологический уровень того времени не позволял создать более простой и эффективный агрегат для впрыскивания топлива – аналог современного плунжерного насоса. При индицировании своего двигателя Р.Дизель обнаружил, что его идея с медленным горением топлива сработала лишь отчасти: вместо изотермического расширения получилось изобарное2. Рассмотрим цикл ДВС с подводом теплоты при постоянном давлении. Хотя цикл носит имя Дизеля, однако современные дизели работают несколько иначе. Цикл Дизеля имели компрессорные дизели, которые уже не выпускаются. Впрочем, делать на основании этого выводы о бесперспективности такого цикла преждевременно. Представленный на рис. 6.5 цикл отличается от вышерассмотренного только участком 2–3. Это изобарный подвод теплоты. Введём для оценки продолжительности этого участка показатель, именуемый степень предварительного расширения ρ = v3/v2 и получим формулу для расчета термического кпд этого цикла. Количество теплоты, сообщенной воздуху в изобарном процессе 2–3, рассчитывается по (4.10): (6.10) q1 = c p (T3 − T2 ). Количество теплоты, отданной в окружающую среду по изохоре 4–1, рассчитывается по формуле (6.3). Тогда, учитывая, что cp/cv = k (показатель адиабаты), термический кпд этого цикла будет описываться выражением T4 −1 q2 сv (T4 − T1 ) T1 T1 . ηt = 1 − =1− =1− q1 c p (T3 − T2 )  T3  T2 k  − 1  T2  2 (6.11) Подробно об истории создания дизельного двигателя и об его авторе вы можете прочитать в статье: Новиков Л.А. Рудольф Дизель и его поршневой двигатель с воспламенением от сжатия // Двигателестроение. 2008. № 1 (231). С. 3–9. 79 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Рис. 6.5. Цикл с подводом теплоты по изобаре Отношение T1/T2 определяется степенью сжатия (6.6). Из уравнения изобарного процесса 2–3 следует T3 v3 = = ρ. (6.12) T2 v2 Рассмотрим теперь совместно адиабатные процессы 1–2 и 3–4: T1v1k −1 = T2v2k −1  . T4 v4k −1 = T3v3k −1  (6.13) Разделив второе уравнение на первое, учитывая, что v1 = v4, а v3/ v2 =ρ , получим: T4 T3 k −1 T4 v4k −1 T3 v3k −1 , или (6.14) = ρ . = T1 T2 T1v1k −1 T2 v2k −1 Тогда с учетом (6.12) последнее уравнение принимает вид T4 = ρ ρ k −1 = ρ k . T1 (6.15) Теперь, подставив (6.6), (6.12) и (6.15) в уравнение (6.11), получим: ρk −1 1 ηt = 1 − . k ( ρ − 1) ε k −1 (6.16) Как и в случае с циклом Отто, термический кпд цикла Дизеля будет тем больше, чем выше степень сжатия ε. Влияние ρ – обратное: кпд увеличивается при уменьшении ρ. 80 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 6.4. Цикл со смешанным подводом теплоты (цикл Тринклера) Густав Васильевич Тринклер – русский учёный и изобретатель, создатель бескомпрессорного дизельного двигателя. Свою работу над новым способом подачи топлива, не требующем дополнительного компрессора, Тринклер начал ещё будучи студентом Санкт-Петербургского технологического института в 1897 г. Дипломный проект «Бескомпрессорный нефтяной двигатель высокого давления» студента Г.В. Тринклера был воплощен в металле на Путиловском заводе при его непосредственном участии. Результаты испытания «Тринклер-мотора» в 1900 г. вызвали восхищение специалистов достигнутым блестящим результатом (кпд равен Васильевич (1876–1957) 29 %) и одновременно волну опасений русских и зарубежных производителей тепловых двигателей, вложивших крупные средства в производство «Дизель-моторов». Отличительной особенностью конструкции двигателя Тринклера было устройство распыливающего аппарата3. Это ещё не был плунжерный насос, но оригинальное инженерное решение Тринклера позволило, во-первых, избавиться от громоздкого и энергозатратного компрессора, а во-вторых, повлияло на процесс горения топлива. На индикаторной диаграмме «Тринклермоторов» можно было теперь выявить участки как быстрого сгорания паров топлива, накопившихся за период задержки воспламенения (изохорный участок), так и медленного, как в цикле Дизеля, горения топлива, продолжающего поступать в уже «пылающий очаг» (изобарный участок). Такой цикл получил название цикла со смешанным подводом теплоты, который в нашей стране известен, как цикл Тринклера. Наши зарубежные коллеги именуют этот цикл иначе: цикл Сабатэ, а в Германии – цикл Зайлигера [5]. Работе современных дизелей соответствует именно этот цикл. Определим термический кпд цикла Тринклера (рис. 6.7). В этом цикле теплота от верхнего источника q1 подводится на двух участках: изохорном – 2–3 в количестве q1v и изобарном – 3–4 в количестве q1p: q1 = q1v + q1 p = сv (T3 − T2 ) + c p (T4 − T3 ) . 3 (6.17) Андрусенко Е.И., Матвеев Ю.И. Бескомпрессорный двигатель Тринклера // Двигателестроение. 2008. № 4 (234). С. 37–42. 81 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Рис. 6.7. Цикл со смешанным подводом теплоты Как и в ранее рассмотренных циклах, к нижнему источнику теплота отдаётся изохорно в процессе 5–1: q 2 = сv (T5 − T1 ) . (6.18) Подставив (6.17) и (6.18) в (5.5) и проделав соответствующие преобразования, получим: T5 −1 q2 сv (T5 − T1 ) T1 T1 . (6.19) ηt = 1 − = 1− = 1− T3 q1 сv ( T3 − T2 ) + c p ( T4 − T3 )  T4 T3  T2 −1 + k −  T2  T2 T2  Учитывая, что v1/v2 = ε, а процесс 1–2 адиабатный, получим соотношение (см. выше) T1 1 (6.20) = k −1 . T2 ε Обозначим отношение давлений в первом (изохорном) участке подвода теплоты: p3/p2 = λ. Эта величина называется степенью повышения давления. Из уравнения изохорного процесса 2–3 следует T3 p3 T , или 3 = λ . (6.21) = T2 p 2 T2 Теперь рассмотрим второй участок подвода теплоты – изобару 3–4. Обозначив v4/v3 = ρ (степень предварительного расширения), запишем 82 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com T4 v 3 T = , или 4 = ρ . T3 v3 T3 (6.21) T4 T = λ 4 = λρ . T2 T3 (6.22) А значит, с учетом (6.21) В уравнении (6.19) осталась только дробь T5/T1, для которой мы пока не нашли альтернативного выражения. Для этого рассмотрим совместно адиабаты 1–2 и 4–5: T1v1k −1 = T2 v2k −1  (6.23) . T5v5k −1 = T4 v4k −1  Разделив второе уравнение этой системы на первое и учитывая, что T1 = T5, T4/T2 = λρ (6.22) и v4/v2 =ρ (см. рис. 6.7), получим T5v5k −1 T4v4k −1 T5 , или = = λρ ⋅ ρ k −1 = λρ k . 1 k − 1 k − T1v1 T2v2 T1 (6.24) Таким образом, для каждой дроби в уравнении (6.19) мы имеем своё выражение, включающее только показатели цикла (ε, λ, ρ). Подставим полученные результаты в (6.19): λρ k − 1 λρ k − 1 1 1 ηt = 1 − . = 1 − λ − 1 + k (λρ − λ ) ε k −1 λ − 1 + kλ( ρ − 1) ε k −1 (6.25) Анализ уравнения (6.25) показывает, что термический кпд цикла со смешанным подводом теплоты будет тем больше, чем больше λ и ε и чем меньше ρ. 6.5. Сравнение теоретических циклов двигателей внутреннего сгорания Результат сравнения циклов во многом зависит от условий, при которых выполняется это сравнение. Первоначально сопоставим эффективность всех трёх циклов при следующих условиях (рис. 6.8): – все циклы начинаются из одной точки (точка 1); – степень сжатия во всех циклах одинакова; – количество теплоты, подводимой к рабочему телу, одинаково. На деле это означает, что бензиновый и дизельный двигатель всасывают в цилиндр рабочее тело с равными параметрами состояния, сжимают его с 83 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com одинаковой степенью сжатия (линия сжатия 1–2 будет совпадать для всех циклов), в цилиндрах двигателей сгорает равный эквивалент топлива, т.е. такое количество бензина и дизельного топлива, которое выделяет одно и то же количество теплоты. Чтобы выполнить последнее условие, линии с подводом теплоты 2–3, 2–3' и 2–5– 3" должны быть проведены таким образом, чтобы площадь под ними была Рис. 6.8. Сравнение циклов равная. Именно по этой причине точпри равных ε и q1 ка 3' на рисунке расположена правее, чем точка 3", а та, в свою очередь, правее, чем точка 3. На рис. 6.3 видно, что при равных количествах теплоты, подведенных во всех циклах, количество теплоты, которое отводится в каждом цикле, разное. Наименьшее значение q2 имеет цикл с подводом теплоты по изохоре (1–2–3–4–1), площадь под линией 4–1 (графический эквивалент q2) минимальна. Наибольшее значение q'2 – в цикле с подводом теплоты по изобаре (1–2–3'–4'–1). Цикл со смешанным подводом теплоты (1–2–5–3"–4–1) имеет промежуточное значение q"2: q 2 < q" 2 < q' 2 . (6.25) Следовательно, при равных q1 из (5.5) следует η 2 > η" 2 > η' 2 . (6.26) При рассмотренных условиях сравнения цикл с подводом теплоты по изохоре (цикл Отто) имеет самый высокий термический кпд. Наименьший кпд имеет цикл с подводом теплоты по изобаре (цикл Дизеля), а цикл со смешанным подводом теплоты (цикл Тринклера) занимает промежуточное значение. Полученные результаты могут быть истолкованы ошибочно: бензиновый двигатель окажется эффективнее дизельного. Ошибка будет заключаться в том, что условия сравнения были небезупречны. Во-первых, в цикле Отто температура достигала наибольшего значения, превышая температуры в других циклах. То есть предполагалось, что верхний источник теплоты в сравниваемых циклах имеет разную температуру, что не совсем объективно. При этом цикл Отто оказался в самой выигрышной позиции. Кроме того, предполагалось, что степень сжатия в двигателях одинакова. В действительности в бензиновых двигателях с трудом достигается сте84 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com пень сжатия: ε = 11–11,5, в то время как в дизельных двигателях ε может достигать 20 и более. Связано это с тем, что в бензиновых ДВС степень сжатия ограничена детонационными свойствами топлива, а в дизельных – такого ограничения нет, поскольку в дизелях сжимается воздух, а не смесь паров топлива с воздухом. Тем не менее, представленное сравнение весьма распространено в литературе и имеет полезный для нас смысл. Его результаты показывают, что если нет ограничений по температуре (или давлению) в цикле, то с позиций термодинамики целесообразно осуществлять быстрое (изохорное) горение топлива. Что касается реальных двигателей, то здесь следует помнить, что температуры и давления в их циклах ограничены, как минимум, допустимыми механическими и термическими нагрузками на детали механизмов. При схожести конструкции и типов применяемых материалов в поршневых двигателях справедливо будет провести сравнение циклов при равных pmax и Tmax. Все циклы будут по-прежнему начинаться из одной точки. Совмещенные циклы Отто, Дизеля и Тринклера при таких условиях сравнения показаны на рис. 6.9. Рис. 6.9. Сравнение циклов при равных pmax и Tmax Как видно из рис. 6.9, количество теплоты, отдаваемой в окружающую среду во всех циклах, оказалось равным (площадь под линией 4–1 в Ts-координатах), а количество теплоты, сообщенное рабочему телу – разным. Причем самое большое значение этой теплоты (площадь под линией 2'–3) в цикле с подводом теплоты по изобаре (1–2'–3–4–1), а самое маленькое (площадь под линией 2–3) – в цикле с подводом теплоты по изохоре (1–2–3–4–1). Цикл со смешанным подводом теплоты (1–2"–5–3–4–1) занимает по-прежнему промежуточное значение: (6.27) q1 < q"1 < q'1 . 85 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com При равных значениях теплоты из (5.5) следует, что q 2 = q" 2 = q' 2 , (6.28) η 2 < η" 2 < η' 2 . (6.29) В итоге получен прямо противоположный (6.26) результат: при таких условиях сравнения самый высокий кпд в цикле Р. Дизеля, а самый низкий – в цикле Отто. Это вполне согласуется с тем фактом, что на сегодняшний день самый большой по величине эффективный кпд имеет дизельный двигатель, работающий по циклу Тринклера. Достигнутый уровень – чуть более 50 %. Перспективным для дизелестроения направлением является переход к циклу Р. Дизеля, разумеется, не возвращаясь к компрессорным дизелям, а беря на вооружение электронные системы управления топливоподачей при одновременном форсировании по наддуву. Есть перспективы и у бензиновых двигателей. В первую очередь, это известный сегодня среди специалистов так называемый HCCI процесс, при котором особым образом подготовленная смесь паров бензина с воздухом самовоспламеняется при сжатии без детонации. Впрочем, здесь мы уже выходим за пределы нашего курса. Заканчивая лекцию, хочется вам напомнить, что окончательную точку в «состязании» двигателей различных типов ставить нельзя до тех пор, пока не будет создана машина, реализующая идеальный цикл теплового двигателя – прямой цикл Карно. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Чем теоретические циклы ДВС отличаются от их действительных циклов? 2. Каким реально существующим ДВС соответствуют рассмотренные теоретические циклы? 3. Изобразите рассмотренные циклы ДВС в Ts- и pv-координатах. 4. В процессе сгорания топлива объём продуктов сгорания увеличился в 1,3 раза. Как называется эта характеристика? В каких циклах она используется? 5. Укажите те показатели цикла, которые участвуют в расчете термического кпд цикла с подводом теплоты по изохоре: а) степень сжатия; б) степень повышения давления; в) степень предварительного расширения. 86 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 6. Ответьте на предыдущий вопрос, применив его поочередно к циклам с подводом теплоты по изобаре и со смешанным подводом теплоты. 7. Выберите правильный ответ. При увеличении (v3/v2) термический кпд цикла Отто… а) увеличится; б) уменьшится; в) останется без изменений. 8. При каких условиях сравнения термический кпд цикла с подводом теплоты по изобаре будет больше, чем в других циклах? Докажите это графически. 9. Полагая, что диаграммы на рис. 6.1 выполнены в одном масштабе, ответьте на вопрос: какой из двух изображенных циклов эффективнее? 10*. В уравнении для термического кпд цикла с подводом теплоты по изохоре, помимо степени сжатия, есть ещё и показатель адиабаты k. Из этого можно сделать ошибочный вывод, будто кпд цикла зависит от природы рабочего тела. Докажите, что это не так. Примечание. * – вопрос повышенной сложности, который требует самостоятельного анализа материалов лекции. Лекция 7 РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ План лекции: 7.1. Демонстрационный опыт с водяным паром. 7.2. Уравнение Ван-дер-Ваальса. 7.3. Изотермы Ван-дер-Ваальса. 7.4. Критическое состояние вещества. 7.5. Парообразование при постоянном давлении. Диаграммы пара. 7.6. Паровые процессы. 7.7. Теоретические циклы паросиловой установки. 7.8. Примеры решения задач. 7.1. Демонстрационный опыт с водяным паром Ранее мы рассматривали преимущественно идеальные газы. Вы знаете, что для идеального газа принято, что его молекулы не имеют объёма и сил взаимодействия друг с другом. Установленные выше закономерности изменения состояния газа весьма точно работают с такими газами, как воздух или углекислый газ и многими другими. Никого не удивит тот факт, 87 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com что если нагревать воздух при постоянном давлении, то его температура будет увеличиваться, пока не случится одно из двух: или температура воздуха сравняется с температурой источника теплоты, или наступит тепловое равновесие, при котором нагреваемый воздух будет отдавать теплоту другим (более холодным) телам в таком же количестве, сколько он получает от горячего. То же самое можно сказать не только о газах, но и о многих других телах, однако не обо всех. Вспомним, что происходит при нагреве воды. После закипания ее температура перестаёт меняться. Можно греть воду в чайнике на плите и наблюдать, что её температура остаётся постоянной и равной примерно 100 оС (при атмосферном давлении). Такой же будет и температура пара над поверхностью воды. И так будет до тех пор, пока вся вода не выкипит. Давайте внимательно понаблюдаем за изменением состояния реального газа – водяного пара. Для этого воспользуемся демонстрационной установкой (рис. 7.1, а). Рис. 7.1. Установка для демонстрации свойств водяного пара Вода в колбе нагревается газовой горелкой. Над поверхностью кипящей жидкости первоначально находится воздух в смеси с водяными парами. Колба плотно закрыта пробкой, в которую вставлена трубочка, отводящая эту паровоздушную смесь в сосуд с водой. Вы можете наблюдать выходящие из трубочки пузырьки, которые всплывают вверх, незначительно изменяясь при этом в размере (рис. 7.1, б). Мы знаем причину такого изменения: оказавшись в холодной воде, газ стал отдавать теплоту и, наряду с уменьшением температуры, произошло уменьшение и его объёма. Весь этот процесс протекает в точном соответствии с уравнением состояния идеального газа (1.4). Продолжаем греть воду и наблюдать за выходящими из трубочки пузырьками. Очень скоро вы увидите, что пузырьки перестанут всплывать вверх: они станут исчезать (схлопываться) прямо на выходе из трубочки в толще воды (рис. 7.1, в). Одновременно с этим поя88 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com вятся характерные резкие звуки – хлопки. Что же изменилось? Может быть, температура смеси на выходе из колбы? Возможно, но она могла лишь увеличиться, а значит, в соответствии с уравнением (1.4) и размеры пузырьков тоже должны были увеличиваться. Исчезновение газа (уменьшение объёма до нуля) при постоянном давлении возможно лишь при температуре абсолютного нуля. По крайней мере, так это следует из уравнения состояния идеального газа. В действительности наблюдаемые нами различия в закономерностях состояния системы объясняются разной природой газа. Первоначально, сразу после закипания воды, из колбы выходил преимущественно воздух, который является идеальным газом. Уравнение (1.4) применимо для описания его состояния. Хлопки же появились в тот момент, когда воздух в колбе закончился и его место занял исключительно водяной пар. На вид это такой же прозрачный газ, как и воздух, но вы видели сами, что уравнение состояния для него применять нельзя, поскольку пары жидкостей не подчиняются уравнению (1.4). Для описания их состояния используются иные зависимости. В нашем опыте водяной пар, оказавшись в воде, снова превращался в жидкость (конденсировался). Оказалось, что даже незначительное охлаждение пара, повлекшее уменьшение скорости движения его молекул, привело к тому, что силы притяжения между молекулами заставили их «сцепиться» друг с другом и перейти в иное агрегатное состояние – жидкое. А это значит, что и уравнение состояния реального газа должно описывать различные агрегатные, или, что то же самое, фазовые состояния вещества. Следует иметь ввиду, что для реальных газов предложено несколько вариантов уравнений их состояния. Все они лишь с определенной долей точности подходят для его описания. Более точные модели не ограничиваются одним уравнением и достаточно громоздки. В инженерной практике для определения состояния реального газа и расчета процессов с ним используются графические методы, основанные на использовании различных диаграмм. С некоторыми из них вы познакомитесь позднее, а сейчас в качестве примера уравнения состояния реального газа рассмотрим уравнение Ван-дер-Ваальса. 7.2. Уравнение Ван-дер-Ваальса Голландский физик Ян Ван-дер-Ваальс родился в семье плотника. После окончания школы Ван-дер-Ваальс работал учителем младшей школы в своём родном городе Лейден. По причине своего происхождения он не имел допуска к учёбе в университете, но, тем не менее, с 1862 по 1865 гг. 89 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com посещал лекции и семинары в Лейденском университете, что позволило ему расширить свой сертификат учителя в области физики и математики в средней школе. После изменения законов у него появилась возможность продолжить обучение в университете. Удостоен Лейденским университетом учёной степени доктора философии в 1873 г. за диссертацию, признаваемую ныне классической: «О непрерывности газового и жидкого состояния». Джеймс Клерк Максвелл о работе Ван-дерВаальса высказался так: «Она сразу поставила его имя в один ряд с самыми выдающимися Рис. 7.2. Ян Ван-дер-Ваальс именами в науке». С открытием Амстердамского универси(1837–1923) тета (1877) работает в нём профессором физики до 1908 г. Является лауреатом Нобелевской премии (1910 г.) в области физики за работу над «уравнением состояния газов и жидкостей»4. Известно несколько выводов уравнения. Мы рассмотрим классический, повторив рассуждения автора. Итак, уравнение для идеального газа не работает правильно для реальных газов, так как не учитывает два обстоятельства: сил взаимодействия и размеров молекул. Тем не менее Ван-дерВаальс взял за основу уравнение состояния идеального газа. Для учета первого обстоятельства он предложил увеличить в этом уравнении давление p на величину ∆p, которая может быть названа внутренним, или молекулярным давлением. Действительно, молекулы газа притягиваясь друг к другу, создают дополнительную силу, также как и внешнее давление p, удерживающую молекулы в некотором объёме пространства. Чтобы найти величину этой силы, приходящейся на единицу поверхности (это и будет давление ∆p), рассмотрим молекулы, находящиеся вблизи поверхности (рис. 7.3). На рис. 7.3 условно выделены два типа молекул. Рис. 7.3. К определению Первый тип (1) – это молекулы, которые сейчас ударяются о поверхность. Второй (2) – это молевнутреннего давления 4 Википедия – свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. Режим доступа: ru.wikipedia.ord/wiki/Ван-дер-Ваальс. 90 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com кулы, которые движутся в ином направлении. Сплошными тонкими стрелками показано направление скорости, а объёмными – силы притяжения, притормаживающие молекулы первого типа. Внутреннее давление, по логике Ван-дер-Ваальса, должно быть пропорционально, с одной стороны, числу молекул первого типа, или плотности газа ∆p ~ ρ, а с другой – числу молекул второго типа, что означает необходимость ещё раз учесть влияние плотности на эту поправку, а значит, ∆p ~ ρ 2. Используя более привычный параметр состояния (удельный объём v вместо плотности ρ) и вводя коэффициент пропорциональности а, получаем соотношение a ∆p = 2 . (7.1) v Теперь выясним, каково влияние молекул реального газа. В уравнении состояния идеального газа v – это объём, который предоставлен 1 кг молекул, которые сами ничего не занимают в пространстве, т.е. под v понимается пустота, предоставленная молекулам газа для движения. У реального газа размерами молекул не пренебрегают, и поэтому объём, предоставленный молекулам для движения, надо уменьшить на величину объёма, который занимают его молекулы, т.е. вместо v в уравнение состояния запишем (v – b), где b – это объём, занимаемый молекулами реального газа. Приближенно b равно учетверённому объёму самих молекул. С учетом сказанного, уравнение состояния реального газа принимает вид a   p + 2 (v − b ) = RT . v   (7.2) Ван-дер-Ваальс предположил, что коэффициенты а и b, так же как и газовая постоянная R, должны быть постоянны для каждого газа, что подтверждается экспериментально. 7.3. Изотермы Ван-дер-Ваальса Уравнение (7.2) является уравнением третьей степени относительно удельного объёма. В этом легко убедиться, если раскрыть скобки и умножить слагаемые уравнения на v2, чтобы избавиться от дробей. Кубическое уравнение, как известно, может иметь три корня: два действительных и один мнимый. Рассмотрим изотермический процесс сжатия. Задавшись некой постоянной температурой T1, будем подставлять в уравнение Вандер-Ваальса различные значения удельного объема и вычислять при этих 91 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com величинах давление. Полученный график функции показан сплошной кривой (рис. 7.4). Экспериментальная зависимость изменения давления от удельного объёма при изотермическом сжатии показана штриховой линией. На участке 1–2 кривая сжатия имеет гиперболический характер, как и при сжатии идеального газа. При уменьшении объёма пара до значения, соответствующего точке 2, а Рис. 7.4. Изотерма Ван-дер-Ваальса точнее – чуть меньше, в эксперименте начинается конденсация пара – появление первых капелек жидкости. В точке 2 и правее (по графику) пар был сухим, без частичек жидкости. В точке 2 пар стал сухим насыщенным. Под насыщением здесь следует понимать предельно возможное число молекул пара в объёме, который ему предоставлен. Каждой температуре соответствует своя температура насыщения, равно как и наоборот: каждому давлению соответствует своя температура насыщения (она же – температура кипения). Если чуть увеличить объём сухого насыщенного пара, то в этом новом объёме могло бы льшее число молекул – такой ненасыщенный пар называют перегретым паром. На рис. 7.4 перегретому пару соответствует участок 1–2, на котором давление меньше давления насыщения pн1 для рассматриваемой температуры T1. Поэтому перегретым паром мы называем пар с давлением меньше давления насыщения для данной температуры или, что то же самое, перегретый пар – это пар с температурой выше температуры насыщения для данного давления. При дальнейшем сжатии (левее точки 2) давление пара в эксперименте не изменяется вплоть до точки 6. На этом участке по мере уменьшения объёма всё большее и большее число молекул газа переходит в жидкость. Давление не меняется благодаря тому, что в газообразном состоянии остаётся предельное число молекул, соответствующее состоянию насыщения. Такой пар называют влажным насыщенным, его можно рассматривать как смесь сухого насыщенного пара с влагой. При этом не важно, где находится влага: в нижней части, например, водогрейного котла или в виде мельчайших капелек, равномерно расположенных по всему объёму этой смеси. Для количественной оценки такой смеси используют степень сухости x, представляющую собой массовую долю сухого насыщенного пара в 92 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com смеси с конденсатом (жидкостью). Для сухого насыщенного пара x = 1, состоянию кипящей жидкости соответствует x = 0. Вместо x может использоваться и противоположная по смыслу величина – степень влажности: y = 1 – x. В точке 6 весь пар перешел в жидкость (кипящий конденсат), и при дальнейшем его сжатии кипение прекращается, а давление скачкообразно возрастает, так как теперь сжимается жидкость – среда практически не сжимаема. На этом участке (левее точки 6) эксперимент и расчет по уравнению (7.2) снова совпадают. Обратим теперь внимание на несоответствие между экспериментом и графиком изотермы Ван-дер-Ваальса на участке 2-6. Проще всего было бы списать это на несовершенство модели Ван-дер-Ваальса. В некоторой степени это так и есть. Но вот что интересно. В обычных условиях конденсации жидкостей способствует наличие мельчайших частичек твердых взвесей в газе (воздухе). Специально проведенные опыты с конденсацией воды в идеально чистом воздухе показали, что конденсации может не быть при давлениях несколько выше давления насыщения для данной температуры или при температурах ниже температуры насыщения при данном давлении. То есть в особых случаях нарушается экспериментальная зависимость, показанная штриховой линией на рис. 7.4, и процесс протекает некоторое время в направлении графика Ван-дер-Ваальса – выше от точки 2. Такой пар получил название пересыщенный. Обратный конденсации процесс – парообразование (при кипении жидкости) также может происходить при условиях, отличающихся от состояния насыщения, т.е. несовпадающих с точкой 6. Известно, что кипению способствуют растворенные в жидкости газы, а само кипение начинается в зоне микронеровностей на поверхности котла. Специально подготовленная вода (очищенная от растворенных в ней газов), нагреваемая в котлах с идеально гладкими стенками, закипает при температуре выше обычной температуры насыщения при данном давлении. Для случая изотермического расширения это означает, что кипение начнет происходить не в точке 6 по графику (рис. 7.4), а несколько ниже. Такая жидкость получила название перегретой. С учетом вышесказанного, точки 3 и 5 на кривой Ван-дер-Ваальса приобретают особый смысл. Очевидно, что это предельные состояния, возможные для существования сухого пара (точка 3) и кипящего конденсата (точка 5) при данной температуре. Точки 2, 6 и 4 являются корнями уравнения (7.2) при данной температуре и соответствующем ей давлении насыщения. При этом точка 2 и точка 6 определяют параметры сухого насыщенного пара и кипящей жидкости, а третий корень – точка 4 не имеет для нас полезного смысла. 93 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 7.4. Критическое состояние вещества Понаблюдаем за изменениями, которые будут иметь место при построении кривых Ван-дер-Ваальса для иных температур (рис. 7.5). Обратите внимание на то, что по мере роста температуры отклонения расчетного давления от опытного на участке влажного насыщенного пара (2–6) становятся всё меньше и меньше, а сами точки 2 и 6 приближаются друг к другу. Есть температура и давление, при которых точка 2 и точка 6 сливаются в Рис. 7.5. Изотермы Ван-дер-Ваальса одну критическую точку К. Эти температура и давление также называются критическими. Совпадение точек 2 и 6 буквально означает, что удельные объёмы и соответственно плотности пара и жидкости сравнялись. В критической точке не существует поверхности раздела между жидкостью и газом, так как равные плотности означают, что газ больше не будет всплывать в жидкости, стремясь тем самым отделиться от неё. При температурах выше критической изотерма Ван-дер-Ваальса становится всё больше похожей на гиперболу, как это должно было бы быть для идеального газа. При таких температурах существование жидкости становится невозможным, и это даёт нам основание дать иное определение для реального и идеального газа, а точнее – дополнение к определению, данному на первой лекции. Итак, парами (реальными газами) мы может называть газ с температурой ниже критической. Далее будут приведены несколько примеров для различных веществ. Проанализируйте эти примеры, чтобы понять, почему при обычных условиях газообразное состояние воды мы называем паром, а, например, азота – газом. Вещество Азот Амиак Аргон Бензол Вода Tк, К 126,0 405,5 150,7 561,0 647,3 Вещество Водород Гелий Кислород Ртуть Углекислота 94 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Tк, К 33,3 5,2 154,3 1172 304,3 Если на рис. 7.5 соединить одноименные точки линией (показаны пунктирными линиями), то получим две граничные кривые линии, исходящие из критической точки: линию справа от критической точки называют верхней пограничной кривой (ВПК), а линию слева – нижней пограничной кривой (НПК). ВПК отделяет перегретый пар от влажного, на самой линии пар сухой, насыщенный (x = 1). НПК отделяет влажный насыщенный пар от жидкости. Состояние на этой линии – кипящая жидкость (x = 0). 7.5. Парообразование при постоянном давлении. Диаграммы пара Рассмотрим образование пара из жидкости при постоянном давлении на примере воды (водяного пара). Покажем в координатах pv точкой 10 состояние воды при давлении p1, например атмосферном (p1 = 0,1МПа) и температуре 0 оС (рис. 7.6). Если нагревать воду при постоянном давлении, то при достижении температуры насыщеРис. 7.6. Парообразование ния t'1 = t1н = 99,1 оС (для выв pv-координатах бранного давления p1 = 0,1МПа) вода закипит. Этому состоянию соответствует точка 1' с удельным объёмом v'1 = 0,0010428 м3/кг (рис. 7.6). Поясним в чем отличие между терминами «испарение» и «парообразование». Испарение протекает всегда на границе жидкой и газовой фазы. На участке 10 – 1' испарение имело бы место, если поверхность воды была свободной. С этой поверхности наиболее быстрые молекулы воды покидали жидкость, преодолевая силы притяжения. Кипение жидкости характеризуется образованием пара не только на поверхности, но и внутри жидкости, чему способствуют растворенные в ней газы. Парообразование – это испарение не только с поверхности, но и внутри жидкости, т.е. парообразование возможно только при кипении жидкости. Дальнейшее нагревание воды, а точнее смеси кипящей воды и пара, не будет приводить к изменению температуры, пока вся вода не превратится в пар. В интервале между точками 1' и 1" пар влажный, насыщенный и изобара совпадает с изотермой. В точке 1" вся вода перешла в пар, он стал сухим и насыщенным. В нашем численном примере точке 1" соответствует удельный объём: v"1 = 1,725 м3/кг. Если нагрев продолжается, то температура начинает увеличиваться, а пар становится перегретым. 95 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Теперь рассмотрим тот же процесс, но начнем с точки 20, которая характеризует жидкость при температуре 0 °С, но при давлении большем, чем p1 (пусть p2 = 10 МПа). Кипеть вода при таком давлении будет при t'2 = t2н = 309,5 оС, а её удельный объём v'1 = 0,0014453 м3/кг, т.е. на графике точка 2' будет чуть правее точки 1'. Сухим насыщенным паром вода станет при достижении удельного объёма v"2 = 0,01846 м3/кг, т.е. точка 2" будет заметно левее точки 1". Повторяя подобные построения в масштабе при разных давлениях и соединяя одноименные точки, получают диаграммы парообразования. Наиболее удобны для графических методов вычисления диаграммы, построенные в hs-координатах (рис. 7.7). Рис. 7.7. Диаграммы пара в pv-координатах (а) и hs-координатах (б) Рассмотрим основные паровые процессы, изображая их в hs-координатах, чтобы получить расчетные формулы, адаптированные для графических вычислений. 7.6. Паровые процессы Практически все инженерные задачи сводятся в конечном итоге к расчетам теплоты, работы или изменению внутренней энергии в процессах. В случае с водяным паром (реальным газом) основные трудности связаны с определением его состояния. Решение практических задач для удобства и наглядности представляют графически, для этого строятся плоские двухкоординатные диаграммы состояния, на которых, помимо пограничных кривых, наносят изохоры, изобары, изотермы, а также линии постоянной степени сухости. В прил. 3 представлена диаграмма, охватывающая значимую для техники область состояния водяного пара (область правее критической точки в системе hs-координат). Рассмотрим основные изопроцессы. 96 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 7.6.1. Изохорный процесс График процесса изображен на рис. 7.8 для наиболее общего случая, охватывающего области влажного насыщенного и перегретого пара. Параметры состояния пара для любой точки определяются по ближайшим изобарам и изотермам (на рис. 7.8 они не показаны). В области влажного насыщенного пара построены изоРис. 7.8. Изохорный процесс линии постоянной степени сухости (на рис. 7.8 показана линия для степени сухости только для x1). Работу пар в изохорном процессе не полним, основываясь на энтальпии пара. Для удельной внутренней энергии в любом процессе u, Дж/кг, справедливо: ∆u1− 2 = u2 − u1 = (h2 − p2 v2 ) − (h1 − p1v1 ) = (h2 − h1 ) − ( p2 v2 − p1v1 ), (7.3) где h1, h2 – удельные энтальпии пара в начале и в конце процесса, Дж/кг. Для изохорного процесса: v = v1 = v2 уравнение (7.3) принимает вид ∆u1− 2 = ( h2 − h1 ) − v ( p 2 − p1 ). (7.4) В соответствие с первым законом термодинамики удельная теплота пара q, Дж/кг, в изохорном процессе определяется по формуле (7.5) q1− 2 = ∆u1− 2 − l = ∆ u1− 2 . При использовании диаграммы для практических расчетов (см. прил. 3) следует иметь ввиду, что изохоры принято показывать пунктирными линиями. 7.6.2. Изобарный процесс График процесса показан на рис. 7.9. Характер протекания процесса близок к изохорному. Необходимо помнить, что изохора в энтропийной диаграмме располагается круче изобары. Для расчета удельной работы пара l, Дж/кг, в изобарном процессе используем формулу 97 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com v2 l1− 2 = ∫ pdv = p(v2 − v1 ), (7.6) v1 где v1, v2 – значения удельных объёмов в начальной и конечной точках процесса, определяемые графически по ближайшим к этим точкам изохорам. Изменение внутренней энергии вычисляется по уравнению (7.3), которое для изобарного процесса принимает вид Рис. 7.9. Изобарный процесс ∆u1− 2 = (h2 − h1 ) − p(v2 − v1 ). (7.7) Для определения теплоты в процессе воспользуемся уравнением первого закона термодинамики с учетом (7.6) и (7.7): q1− 2 = ∆u1− 2 + l1− 2 = (h2 − h1 ) − p(v2 − v1 ) + p(v2 − v1 ) = h2 − h1 . (7.7) 7.6.3. Изотермический процесс В области влажного насыщенного пара график изотермы и изобары совпадают (рис. 7.10), поэтому на диаграммах изотермы подписывают только в области перегретого пара (выше верхней пограничной кривой). Утверждение, что внутренняя энергия в изотермическом процессе не изменяется – справедливо только для идеального газа. Вычисление ∆u1-2 следует выполнять по формуле (7.3). Расчет теплоты в процессе выполняется на основании определения удельной энтропии, из которого следует s2 q1− 2 = ∫ Tds = T (s 2 − s1 ). (7.8) s1 Работа в изотермическом процессе определяется по уравнению первого закона термодинамики: Рис. 7.10. Изотермический процесс l1− 2 = q1− 2 − ∆ u = T (s 2 − s1 ) − ( h2 − h1 ) + ( p 2 v 2 − p1v1 ) . 98 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (7.9) Из (7.9) следует, что основная привлекательность изотермического процесса с идеальным газом, а именно возможность преобразования всей подводимой теплоты в работу у реальных газов исчезает. Работа и теплота в изотермическом паровом процессе не равны друг другу. 7.6.4. Изоэнтропийный (адиабатный) процесс Процесс, в котором нет теплообмена с окружающей средой, протекает без изменения энтропии (разумеется, если речь идёт об обратимых процессах). Поэтому график такого процесса в энтропийной диаграмме – вертикальная прямая линия. На рис. 7.11 показан процесс адиабатного сжатия пара. Расчет изменения внутренней энергии выполняется по уравнеРис. 7.11. Адиабатный процесс нию (7.3), а для расчета работы газа используем первый закон термодинамики, учитывая, что теплота в этом процессе отсутствует, т.е. при q1-2 = 0 имеем: l1− 2 = q1− 2 − ∆ u = − ∆ u = ( h1 − h2 ) − ( p1v1 − p 2 v 2 ). (7.10) Таким образом, применение диаграммы (см. прил. 3) позволяет решать основные инженерные задачи без привлечения громоздких вычислений. Современное развитие техники и технологий открывает новые возможности для инженеров, выполняющих расчеты с водяным паром. В этой связи можно рекомендовать доступный для всех желающих комплекс программ, включающий web-интерфейс, разработанный на кафедре теплотехники МЭИ с использованием формул, рекомендованных международной ассоциацией по свойствам воды и водяного пара (The International Association for the Properties of Water and Steam). Адрес этой странички в Интернет:http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/WSPHB. 7.7. Теоретические циклы паросиловой установки Если в цикле тепловой машины рабочим телом будет пар, например водяной пар, то становится возможным осуществление цикла Карно с насыщенным паром. Такой теоретический цикл показан на рис. 7.12. Поддержание постоянной температуры в процессах 1–2 и 3–5 осуществляется 99 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com благодаря парообразованию и конденсации, за счет чего эти процессы являются также изобарными. Рис. 7.12. Цикл Карно с насыщенным паром Процессу 1–2 соответствует процесс парообразования в котле при постоянном давлении p1; 2–3 – расширение в турбине; 3–4 – охлаждение в конденсаторе; 4–1 – сжатие в компрессоре. Термический кпд цикла Карно, осуществленного в интервале изображенных на рис. 7.12 температур, рассчитывается по известной формуле, при этом он будет самым высоким в отличие от любых других циклов, осуществленных в том же интервале. Однако практическое использование этого цикла оказывается нецелесообразным по нескольким причинам. Первая – это искусственное ограничение количества теплоты, подводимой в цикле, так как перегрев пара до параметров выше, чем в точке 2 означает нарушение изотермичности процесса (изотермический подвод или отвод теплоты с перегретым паром так же проблематичен, как и с идеальным газом). Вторая – это неудобство работы с влажным насыщенным паром на участке 4–1 цикла. Экономически целесообразней вместо компрессора для сжатия такого пара использовать насос, но тогда необходимо, чтобы на выходе из конденсатора пар был со степенью сухости x = 0, т.е. не пар, а кипящая жидкость. Изложенное выше реализовано в цикле У. Ренкина. Для лучшего понимания этого цикла на рис. 7.13 приведена также и принципиальная схема паросиловой установки. В котле 1 благодаря сжиганию топлива в топке 7 поддерживается кипение воды и превращение её во влажный насыщенный пар. Этот пар подсушивается и перегревается в пароперегревателе 2. Процессы в котле и пароперегревателе протекают при постоянном давлении. На диаграммах этим процессам соответствует линия 4–1. Перегретый пар направляется в турбину 3, где расширяется адиабатно, выполняя полезную работу, например, приводя в действие электрический генератор 4. На выходе из тур100 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com бины пар, как правило, – влажный насыщенный. Адиабатный процесс на диаграммах показан линией 1-2. Степень сухости на выходе из турбины обозначена x2. Такой пар охлаждают при постоянном давлении в конденсаторе 5. Кипящий конденсат насосом 6 подают обратно в котел 1. Поскольку при давлениях, обычно применяемых в теплотехнике, изменение объёма воды при адиабатном сжатии невелико, то им можно пренебречь и показать процесс в насосе изохорой 3–4'. На энтропийных диаграммах изобары жидкости располагаются очень близко друг к другу, и поэтому на этих диаграммах точки 3 и 4' практически сливаются в одну. При этом процесс 4'–4 представляет собой нагрев воды с параметрами точек 4' до температуры кипения, т.е. до температуры в точке 4. Обратим внимание на то, что этот процесс, как и остальные процессы с подводом теплоты в этом цикле, также протекает при постоянном давлении. Рис. 7.13. Схема паросиловой установки и цикл Ренкина в различных координатных системах Определим термический кпд цикла. Вы уже знаете, что для этого надо определить теплоту, которая подводится в цикле q1, и теплоту, которая в цикле отводится q2. Теплота подводится в изобарном процессе 4'–1. Как 101 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com было показано выше, теплота в таком процессе определяется разностью энтальпий пара: q1 = h1 − h4' = h1 − hк . (7.11) Как отмечалось выше, энтальпии в точках 3 и 4 примерно равны. Их различием можно пренебречь и обозначить h4' = h3 = hк – энтальпия конденсата. Отводится теплота в цикле только в конденсаторе. Этот процесс 2–3 также изобарный и поэтому (7.12) q 2 = h 2 − h3 = h 2 − h к , где h2 – энтальпия влажного насыщенного пара перед конденсатором (на выходе из турбины). Вычислим при этих значениях термический кпд цикла: q −q h −h −h +h h −h ηt = 1 2 = 1 к 2 к = 1 2 . (7.13) q1 h1 − hк h1 − hк Анализ этой формулы показывает, что термический кпд цикла будет тем больше, чем больше h1 (т.е., чем выше на диаграмме точка 1) и чем меньше h2, (т.е., чем ниже на диаграмме точка 2). Энтальпию водяного пара h1 и h2 находят непосредственно по диаграмме hs, а энтальпию воды hк, кДж/кг, находят в зависимости от температуры конденсата по формуле (7.14) hк = 4 ,19 ⋅ t к , где 4,19 – теплоёмкость воды, кДж/(кг⋅К). Из уравнению (7.14) следует, что за нулевую отметку для энтальпии здесь условно взята энтальпия воды при температуре 0 оС. Рис. 7.14. Уильям фон Ренкин (1820–1872) Рассмотренный выше цикл был предложен в середине XIX в. шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкиным. Родился в Эдинбурге 5 июля 1820 г. Учился в Эдинбургском институте с 1836 г. по 1838 г., который был вынужден покинуть из-за стеснённого финансового положения. Исследовал термодинамические свойства газов и пара (1850) и составил таблицы водяных паров, получившие в своё время широкое применение. В 1859 г. построил полную теорию паровой машины, в частности разработал идеальный термодинамический цикл парового двигателя, названного в его честь. Уильям Ренкин умер в 102 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 1872 г. в Глазго. Цикл, носящий его имя, лежит в основе многих паросиловых установок, использующих энергию водяного пара, в том числе и самых современных. 7.8. Примеры решения задач Задача 1. Определите температуру кипения воды при давлении 0,02 МПа. Решение. Температуры кипения и насыщения равны друг другу и зависят только от давления над поверхностью воды. Приближенное значение температуры насыщения можно найти по hs-диаграмме водяного пара (рис. 7.15). Для этого находим точку пересечения изобары 0,02 МПа с верхней пограничной кривой и по ближайшей изотерме к этой точке находим искомую температуру. В нашем примере эта точка расположена чуть выше изотермы 60 оС, приближенно 61 оС. Более точное решение возможно по таблицам для воды и водяного пара на линии насыРис. 7.15. Схема решения задачи 1 щения [3]. Полагая, что в интервале от 60 до 70 оС при линейном изменении температуры получим t = 60 + 0,02 − 0,01992 70 − 60 ⋅ = 60,7 о С. 1 0,03116 − 0,01992 В более подробных справочниках есть таблицы, построенные через 1 С для температур и 0,001 МПа для давлений. Наиболее авторитетным на сегодняшний день является, пожалуй, издание [4], доступное на сайте Американского общества инженеров-механиков: www.asme.org. Давлению 0,02 МПа, согласно [4], соответствует температура насыщения 60,6 оС. Наконец, для точного решения можно воспользоваться программным on-line калькулятором [4], разработанным в МЭИ и доступным по адресу: http://twt.mpei.ac.ru/MCS/Worksheets/WSP/Plot-Sat-T.xmcd. о Задача 2. Влажный насыщенный пар при давлении 1 МПа со степенью сухости x = 0,95 подсушивается и перегревается в пароперегревателе паросиловой установки до температуры 400 оС. Найти параметры пара в на103 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com чальной и конечной точке процесса и количество теплоты, затраченной в пароперегревателе. Решение. Начальную точку процесса (точка 1) определяем пересечением изобары p = 1 МПа и линии постоянной степени сухости x = 0,95 (рис. 7.16). Удельный объём определяем, ориентируясь на ближайшие к точке 1 изохоры (показаны пункРис. 7.16. Схема решения задачи 2 тирными линиями). Точка 1 рас3 положена между изохорами 0,2 м /кг и 0,1 м3/кг. Примерное значение удельного объёма может быть определено как v1 ≈ 0,19 м3/кг. Для точного решения воспользуемся таблицей, представленной в [3], из которой следует, что при указанном давлении на линии насыщения удельный объём пара vп = 0,19435 м3/кг, а воды vж = 0,00113 м3/кг. Рассматривая влажный насыщенны пар, как смесь сухого насыщенного пара с долей x и кипящей жидкости с долей (x – 1), имеем: v1 = vп x + vж ( x − 1) ; 3 v1 = 0 ,19435 ⋅ 0 ,95 + 0 ,00113 (1 − 0 ,95) = 0 ,1847 м /кг. Температура в точке 1 определяется как температура насыщения для давления 1 МПа (см. предыдущую задачу): t1 ≈180 oC по диаграмме, а более точное значение t1 = 179,89 oC (см. [3]). Приближенное значение энтальпии в точке 1 определяем по её ординате: h1 = 2680 кДж/кг. Если требуется более точное значение, то следует вновь обратиться к таблице [3] и рассмотреть влажный насыщенный пар как смесь кипящего конденсата с hж = 762,68 кДж/кг и сухого насыщенного пара с hп = 2777,1 кДж/кг. Тогда h1 = hп x + hж (x − 1); h1 = 2777 ,1 ⋅ 0 ,95 + 762 ,68 (1 − 0 ,95) = 2676 ,4 кДж/кг. Процесс в пароперегревателе паросиловой установки является изобарным (см. подразд. 7.7), поэтому точка 2 на диаграмме, характеризующая параметры пара на выходе из пароперегревателя, определяется пересечением изобары 1 МПа и изотермы 400 оС. 104 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Удельный объём, соответствующий точке 2, определяем по ближайшим к этой точке изохорам. Приближенное значение: v2 = 0,31 м3/кг. Удельная энтальпия в этой точке по диаграмме h2 ≈ 3260 кДж/кг. Если воспользоваться калькулятором МЭИ, то можно получить более точный результат для этой точки: v2 = 0,307 м3/кг и h2 = 3264,38 кДж/кг. Количество теплоты, сообщенной каждому кг пара в пароперегревателе, определим по формуле (7.7) для изобарного процесса: q = h2 − h1 ; q ≈ 3260 − 2680 = 580 кДж/кг. Если использовать более точные значения энтальпий, то q = 3264 ,4 − 2676 ,4 = 588 кДж/кг. Из решения этой задачи приближенным и точным методом следует, что ошибка приближенного метода составляет чуть более 1 %, следовательно, применение hs-диаграммы в большинстве инженерных задач вполне оправдано. Задача 3. Пар после пароперегревателя (параметры найдены в предыдущей задаче) расширяется в турбине до давления p = 0,05 МПа. Определите параметры состояния пара в конце расширения и работу, выполненную паром в турбине, считая процесс адиабатным. Решение. Адиабатный (изоэнтропийный) процесс в турбине обозначен на схеме (рис. 7.17) вертикальной прямой линией 2–3. Точка 3 при этом расположена на изобаре p3 = 0,05 МПа. Точка расположена в области влажного насыщенного пара со степенью сухости x3 = 0,98. Удельный объём в этой точке, найденный при ориентации на ближайшие изохоры, составляет: v3 ≈ 3 м3/кг, а температура, равная температуре насыщения для давления 0,05 МПа, приближённо равна (см. задачу 1): t3 ≈ 80 оС (точные значение по [3]: v3 = 3,18 м3/кг; t3 = 81,3 оС). Энтальпию одного кг влажного насыщенного пара находим по ординате точки 3: h3 ≈ 2600 кДж/кг (точное значение по таблицам: h3 = 2599,1 кДж/кг). Рис. 7.17. Схема решения задачи 3 105 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Работу, выполненную паром, в адиабатном процессе, кДж/кг, находим по формуле (7.10) как изменение внутренней энергии с противоположным знаком: l2 −3 = (3260 − 2600) + (1000 ⋅ 0,31 − 50 ⋅ 3) = 660 − 160 = 500. Обратите внимание на то, что давление в уравнение (7.10) подставляется в кПа, чтобы получить размерность работы в кДж/кг. Расчет, основанный на уточненных значениях энтальпии и удельных объёмах, кДж/кг, даёт следующий результат: l2 −3 = (3264 − 2599) + (1000 ⋅ 0,307 − 50 ⋅ 3,18) = 665 − 148 = 517. Задача 4. Найдите термический кпд цикла Ренкина, осуществлённого с параметрами, рассмотренными в задачах 2 и 3. Решение. Термический кпд цикла Ренкина зависит от энтальпии пара на выходе из пароперегревателя (в нашем случае это 3264 кДж/кг – задача 2), энтальпии пара на выходе из турбины (2599 кДж/кг – задача 3) и энтальпии конденсата hк, кДж/кг, который рассчитаем по формуле (7.14) с учетом найденной в задаче 3 величины температуры конденсата: hк = 4 ,19 ⋅ t к , hк = 4 ,19 ⋅ 80 = 335 ,2. Термический кпд рассчитаем по формуле (7.13), правильно осмыслив используемые там обозначения энтальпий: ηt = 3264 − 2599 = 0 ,227. 3264 − 335 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. В чем заключается физический смысл величин a/v2 и b в уравнении Ван-дер-Ваальса? 2. Выберите правильный ответ. С увеличением давления пара температура насыщения… а) увеличивается; б) уменьшается; в) остаётся неизменной. 3. Как называется смесь сухого насыщенного пара и влаги? 4. Какой пар называют перегретым, а какой – пересыщенным? 106 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 5. Выберите правильный ответ. Температура влажного насыщенного пара… а) больше; б) меньше; в) равна температуре сухого насыщенного пара при том же давлении. 6. Укажите условия, при которых воздух нельзя считать идеальным газом. 7. Опишите своё представление о критическом состоянии вещества. 8. Почему ВПК и НПК называют «пограничными» кривыми? Что и от чего они «разграничивают»? 9. Выберите правильный ответ. При изотермическом расширении работа, совершенная водяным паром… а) больше; б) меньше; в) равна подведенной теплоты(е). 10. Изобразите цикл Карно для влажного насыщенного пара в hs-координатах. 11. Изобразите цикл Карно, в котором пар перегревается в пароперегревателе. Сделайте это в разных системах, т.е. в pv-, Ts-, hs-координатах. 12. Назовите основные причины, по которым в паросиловых установках не используют цикл Карно. 13*. Решите задачу. При сравнении циклов Ренкина в двух разных установках оказалось, что параметры пара перед турбиной в них одинаковы, а энтальпия конденсата больше у первой установки. Цикл какой установки имеет больший термический кпд? Примечание. * – вопрос повышенной сложности, который требует самостоятельного анализа материалов лекции. 107 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СУХОГО ВОЗДУХА ПРИ ДАВЛЕНИИ 760 мм Hg t ,оC ρ , м3 -50 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120 140 160 180 200 1,584 1,515 1,453 1,395 1,342 1,203 1,247 1,205 1,165 1,128 1,093 1,060 1,029 1,000 0,972 0,946 0,898 0,854 0,815 0,779 0,746 cpm, λ ⋅ 10 2, кДж/(кг⋅К) Дж/(м⋅с⋅К) 1,013 1,68 1,012 2,11 1,010 2,19 1,009 2,28 1,007 2,36 1,005 2,44 1,005 2,51 1,005 2,59 1,005 2,67 1,005 2,76 1,005 2,83 1,005 2,90 1,009 2,96 1,009 3,05 1,009 3,13 1,009 3,21 1,009 3,34 1,013 3,49 1,017 3,64 1,022 3,78 1,026 3,93 a ⋅ 106, µ ⋅ 106, 12,69 13,77 14,91 16,2 17,4 18,8 20,0 21,4 22,9 24,3 25,7 27,2 28,6 30,2 31,9 33,6 36,8 40,3 43,9 47,5 51,4 Н⋅с/м2 14,64 15,23 15,27 16,2 16,7 17,2 17,6 18,1 18,6 19,1 19,6 20,1 20,6 21,1 21,5 21,9 22,8 23,7 24,5 25,3 26,0 м2/с 108 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 6 ν ⋅ 10 , м2/с Pr 9,23 10,04 10,80 12,79 12,43 13,28 14,16 15,06 16,00 16,96 17,95 18,97 20,02 21,09 22,10 23,13 25,45 27,80 30,09 32,49 34,85 0,728 0,728 0,723 0,716 0,712 0,707 0,705 0,703 0,701 0,699 0,698 0,696 0,694 0,692 0,690 0,688 0,686 0,684 0,682 0,681 0,680 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ТЕПЛОЁМКОСТЬ СУХОГО ВОЗДУХА Молярная, кДж/(кмоль⋅К) Массовая, кДж/(кг⋅К) Объёмная, кДж/(м3⋅К) средняя истинная средняя истинная средняя t , оС истинная cp cv cpm cvm c'p c'v c'pm c'vm µcp µcv µvpm µcvm 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 29,073 29,266 29,676 30,266 30,949 31,640 32,301 32,900 33,432 33,905 34,315 35,002 35,546 35,977 36,346 36,655 36,928 37,170 20,759 20,952 21,362 21,952 22,635 23,326 23,987 24,586 25,118 25,591 26,001 26,688 27,232 27,663 28,032 28,341 28,614 28,856 29,073 29,153 29,299 29,521 29,789 30,095 30,405 30,723 31,028 31,321 31,598 32,109 32,565 32,967 33,319 33,641 33,926 34,185 20,759 20,839 20,985 21,207 21,475 21,781 22,091 22,409 22,714 23,007 23,284 23,795 24,251 24,653 25,005 25,327 25,612 25,871 1,004 1,010 1,024 1,045 1,068 1,092 1,115 1,136 1,154 1,170 1,185 1,208 1,227 1,242 1,255 1,265 1,275 1,283 0,717 0,723 0,737 0,758 0,781 0,805 0,828 0,849 0,867 0,883 0,898 0,921 0,940 0,955 0,968 0,978 0,988 0,996 1,004 1,006 1,011 1,019 1,028 1,039 1,050 1,061 1,071 1,081 1,091 1,108 1,124 1,138 1,150 1,161 1,171 1,180 109 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 0,717 0,719 0,724 0,732 0,741 0,752 0,763 0,774 0,784 0,794 0,804 0,821 0,837 0,851 0,863 0,874 0,884 0,893 1,297 1,306 1,324 1,350 1,381 1,412 1,441 1,468 1,492 1,513 1,531 1,562 1,586 1,605 1,622 1,635 1,648 1,658 0,926 0,935 0,953 0,979 1,010 1,041 1,070 1,097 1,121 1,142 1,160 1,191 1,215 1,234 1,251 1,264 1,277 1,287 1,297 1,301 1,307 1,317 1,329 1,343 1,356 1,371 1,384 1,397 1,410 1,433 1,453 1,471 1,487 1,501 1,514 1,525 0,926 0,930 0,936 0,946 0,958 0,972 0,986 1,000 1,013 1,026 1,039 1,062 1,082 1,100 1,116 1,130 1,143 1,154 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 hs-ДИАГРАММА ВОДЯНОГО ПАРА 110 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Теплотехника : учеб. для вузов / А.П. Баскаков [и др.] ; под ред. А.П. Баскаков. – 3-е изд., перераб. и доп. – М., 2010. – 328 с. 2. Теплотехника : учеб. для вузов / В.Н. Луканин [и др.] / под ред. В.Н. Луканина. – М. : Высш. шк., 2000. – 671 с. 3. Steam Tables (compact edition): Properties of Saturated and Superheated Steam in U.S. Customary and SI Units from the International Standard for Industrial Use. – Режим доступа: http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/WSPHB/ NREE-1-2008/seconddummy.pdf. 4. Water/Steam properties at saturated line IAPWS-IF97 [Электронное издание]. – Moscow Power Engineering Institute, 2007–2008. – Режим доступа: http://twt.mpei.ac.ru/MCS/Worksheets/WSP/Plot-Sat-T.xmcd. 5. Системы управления дизельными двигателями / пер. с нем. Ю.Г. Грудского, А.Г. Иванова. – Первое русское издание. – М. : ЗАО «КЖИ "За рулем"», 2004. – 480 с. 6. Стромберг, А.Г. Физическая химия : учеб. для хим.-техн. спец. вузов / под ред. А.Г. Стромберга. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Высш. шк., 1988. – 496 с. 7. Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по физике. В 10 т. Т. 4 / Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс ; пер. с англ. ; под ред. Я.А. Смородинского. – 3-е изд. – М. : МИР, 1976. – 496 с. 111 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................... 3 ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН И ИХ РАЗМЕРНОСТЬ В «СИ» ...................................................................... 4 Лекция 1. ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ ................ 5 1.1. Техническая термодинамика: предмет изучения и основные понятия .......................................................................... 5 1.2. Основные положения молекулярно-кинетической теории газов........................................ 7 1.3. Идеальный и реальный газ ............................................................... 9 1.4. Параметры состояния газа .............................................................. 10 1.5. Уравнение состояния идеального газа........................................... 11 1.6. Смеси газов...................................................................................... 11 Лекция 2. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ .................................... 15 2.1. Опыты по преобразованию теплоты в работу, и наоборот .......... 15 2.2. Работа газа ....................................................................................... 16 2.3. Внутренняя энергия газа................................................................. 18 2.4. Первый закон термодинамики ....................................................... 20 2.5. Альтернативные и эмпирические формулировки первого закона термодинамики ..................................................... 21 2.6. Энтальпия газа ................................................................................ 23 Лекция 3. ТЕПЛОЁМКОСТЬ ГАЗА ............................................................. 25 3.1. Теплоёмкость и удельная теплоёмкость ........................................ 25 3.2. Теплоёмкости при постоянном давлении и объёме. Уравнение Майера .......................................................................... 28 3.3. Истинная и средняя теплоёмкости................................................. 29 3.4. Соотношения между различными теплоёмкостями ..................... 31 3.5. Пример решения задачи ................................................................. 32 Лекция 4. ИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗОВЫЕ ПРОЦЕССЫ ..................................... 35 4.1. Идеальность и обратимость газовых процессов ........................... 35 4.2. Изохорный процесс......................................................................... 36 4.3. Изобарный процесс ......................................................................... 37 112 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 4.4. Изотермический процесс ................................................................ 39 4.5. Адиабатный процесс....................................................................... 41 4.6. Политропный процесс .................................................................... 45 4.7. Обобщающий характер политропного процесса .......................... 48 4.8. Тепловая диаграмма в pv-координатах .......................................... 49 Лекция 5. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ ..................................... 52 5.1. Постановка проблемы..................................................................... 52 5.2. Вечный двигатель второго рода ..................................................... 53 5.3. Прямой круговой процесс. Работа цикла. Термический коэффициент полезного действия цикла ................ 57 5.4. Прямой цикл Карно – идеальный цикл теплового двигателя ...... 60 5.5. Энтропия.......................................................................................... 63 5.6. Система Ts-координат .................................................................... 69 5.7. Формулировки второго закона термодинамики............................ 72 Лекция 6. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ ............................................ 74 6.1. Условности и допущения, принятые при анализе теоретических циклов ..................................................................... 74 6.2. Цикл с подводом теплоты по изохоре (цикл Отто) ...................... 76 6.3. Цикл с подводом теплоты по изобаре (цикл Дизеля) ................... 78 6.4. Цикл со смешанным подводом теплоты (цикл Тринклера) ......... 81 6.5. Сравнение теоретических циклов двигателей внутреннего сгорания ..................................................................... 83 Лекция 7. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ ....................................................................... 87 7.1. Демонстрационный опыт с водяным паром .................................. 87 7.2. Уравнение Ван-дер-Ваальса ........................................................... 89 7.3. Изотермы Ван-дер-Ваальса ............................................................ 91 7.4. Критическое состояние вещества .................................................. 94 7.5. Парообразование при постоянном давлении. Диаграммы пара .............................................................................. 95 7.6. Паровые процессы .......................................................................... 96 7.7. Теоретические циклы паросиловой установки ............................. 99 7.8. Примеры решения задач ............................................................... 103 113 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Физические свойства сухого воздуха при давлении 760 мм Hg ............................................................................. 108 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Теплоёмкость сухого воздуха ..................................... 109 ПРИЛОЖЕНИЕ 3. hs-диаграмма водяного пара ....................................... 110 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК......................................................... 111 114 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Учебное издание Коньков Алексей Юрьевич ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА Сборник лекций Редактор Э.Г. Долгавина Технический редактор И.А. Нильмаер ———————————————––––———––––———————–———————————— План 2013 г. Поз. 1.4. Подписано в печать 28.06.2013 г. Формат 60×841/16. Гарнитура «Times New Roman». Уч.-изд. л. 7,3. Усл. печ. л. 6,7. Зак. 142. Тираж 125 экз. Цена 192 руб. ————————————————––––——————————————–————————— Издательство ДВГУПС 680021, г. Хабаровск, ул. Серышева, 47. 115 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Кафедра «Тепловозы и тепловые двигатели» А.Ю. Коньков ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА Сборник лекций Хабаровск 2013 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com