T-критерий Стьюдента и его непараметрические аналоги

T-критерий Стьюдента и его непараметрические аналоги План • Схема статистических методов оценки выборок • Одновыборочный t-критерий • T-критерий для независимых выборок • T-критерий для зависимых выборок • U-критерий Манна-Уитни • Bootstrap Схема выбора критерия для сравнения выборок Одна выборка Две выборки Три и более выборки Нормально распределенные совокупности параметрически одновыборочный t- t-критерий для Дисперсионный е критерии критерий двух зависимых/ анализ независимых выборок Совокупности не подчиняются нормальному распределению непараметричес критерий кие критерии Уилкоксона критерий Манна- критерий КрускалаУитни Уоллиса (независимые), критерий Уилкоксона (зависимые) Условия применения t-критерия Стьюдента -нормальное распределение данных -однородность дисперсий Группы тестируются на подчинение закону нормального распределения, дисперсии на однородность (с помощью программы, либо по критерию Фишера) Одновыборочный t-критерий позволяет проверить, отличается ли выборочное среднее от заданной величины Например, отличается ли средний возраст жителей Северо-Кавказского Федерального округа от общего по России. Нo: μ₁=μconst Выборочное среднее − популяционное среднее Статистика критерия = стандатная ошибка среднего в выборке Если t эмп > t крит , либо p-value <0,05, то Hо отклоняем Если t эмп < t крит , либо p-value > 0,05, то нет оснований отклонить Hо Существуют калькуляторы расчета t-значения Еще пример: -сравнение уровня экстраверсии/интроверсии у подростков со стандартным средним значением Мх=12 (тест Hans J. Eysenck) Если перед эмпирическим значением t-критерия стоит знак «-», то эмпирическое значение ниже уровня стандартного значения; Если перед эмпирическим значением t-критерия стоит знак «+», то эмпирическое значение выше уровня стандартного значения. Задача. По данным о величине расходов на приобретение товаров первой необходимости в месяц рассчитайте их отличие от нормативной величины прожиточного минимума, установленной законом 6653,6 руб. 5260 5470 5640 6180 6390 6515 6805 7515 7515 8230 8770 позволяет проверить гипотезу о том, что средние значения двух совокупностей, их которых извлечены сравниваемые независимые выборки, отличаются друг от друга ¯1 1 2 𝑑 𝑠 𝑎 𝑥 𝑥 H1: μ₁≠μ₂ 2 2 1 = 1 + 2 2 2 𝑛 𝑛 𝑑 𝑠 𝑑 𝑑 𝑠 𝑛 𝑥 𝑛 𝑑 𝑥 H0: μ₁=μ₂ df= 𝑒 𝑠 𝑛 𝑛 ¯1 − ¯2 = 𝑑 𝑠 𝑥 𝑥 𝑠 𝑛 𝑛 ¯2 1 𝑡 𝑠 t-критерий Стьюдента для независимых выборок (парный t-тест) 1 + 2 −2 = ¯1 − ¯2 2 1 1 + 2 2 2 Стандартная ошибка разности средних Примеры: - сравнение уровня агрессивности подростков из полной и неполной семьи (опросник Arnold H. Buss, Ann Durkee); - сравнение уровня эмоционального выгорания у студентов 1 и 4 курса (опросник В.В. Бойко). Задача 1. В двух группах учащихся — экспериментальной и контрольной — получены следующие результаты по уче ному предмету. Установите, различаются ли средние генеральных совокупностей на основе t-теста б­ Первая группа (экспериментальная) N1=11 Вторая группа (контрольная) N2=9 человек человек 12 14 13 16 11 9 13 15 15 18 14 13 9 11 10 7 6 8 10 11 t-критерий Стьюдента для зависимых выборок Используется для проверки повторяемости результатов эксперимента H0: Δ=0 (нулевая гипотеза представляет собой утверждение, что среднее различие между измерениями «до» и «после» не отличается от нуля, то есть существенного эффекта воздействия нет) n-число наблюдений в одной группе Примеры: -сравнение уровня эмоциональной устойчивости у педагогов до отпуска и после отпуска (тест Hans J. Eysenck); - сравнение выраженности стратегии поведения в конфликте «соперничество» у работников торговой сферы до и после тренинга (опросник K. Thomas). Задача. Используя t-критерий сделайте вывод о различии уровней успеваемости на 1 и 5 курсе Обучаемый Успеваемость 1 курс Успеваемость 5 курс 1 25 26 2 13 19 3 32 21 4 20 18 5 12 35 6 20 21 7 18 20 Одновыборочный критерий Уилкоксонанепараметрический аналог t-теста • служит для проверки нулевой гипотезы о том, что анализируемая выборка происходит из симметрично распределенной генеральной совокупности с центром в точке μ0. Алгоритм: 1.µ0 отнимают от каждого выборочного значения; 2.получившиеся величины ранжируют по возрастанию, игнорируя знак (ранжируют модули); 3.ранговые номера положительных разностей суммируют, получая величину V; 4.критерий V сравнивают с критическим значением для заданного уровня значимости и числа степеней свободы Критические значения критерия Уилкоксона Задача. Используя данные рассчитать статистику V-Уилкоксона и выяснить, насколько отклоняются значения среднего уровня тревожности =12 5; 7 ; 11; 11; 12; 14; 14; 14 U-критерий Манна-Уитни для двух независимых выборок Проверяемая с его помощью нулевая гипотеза состоит в том, что центры распределений, из которых происходят сравниваемые выборки, смещены относительно друг друга на величину А (например, А= 0) Алгоритм: • Из сравниваемых выборок составляется единый ранжированный ряд, путем расставления единиц наблюдения по степени возрастания признака и присвоения меньшему значению меньшего ранга. (В случае равных значений признака у нескольких единиц каждой из них присваивается среднее арифметическое последовательных значений рангов) • Единый ранжированный ряд вновь разделяется на два, состоящих соответственно из рангов единиц первой и второй выборок. • Рассчитывается отдельно сумма рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки, и отдельно - на долю элементов второй выборки. • Определяется большая из двух ранговых сумм (Tx) соответствующая выборке с nx элементами. • Рассчитывается статистика критерия и сравнивается с табличным значением Если U эмп < U крит , либо p-value <0,05, то Hо отклоняем Если U эмп > U крит , либо p-value > 0,05, то нет оснований отклонить Hо !!! Не как обычно Таблица критических значений U-критерия Манна-Уитни Не имеет значения, численность какой выборки берется по горизонтали, а какой-по вертикали Задача. С помощью U-критерия Манна-Уитни сделайте вывод о наличии или отсутствии различий числа конфликтов между двумя группами семей по количеству детей Группы семей Семьи с 1 ребенком 9 7 7 8 6 4 4 8 6 6 5 - Семьи с 2 детьми 5 10 7 8 8 4 6 8 8 9 7 10 Критерий Уилкоксона для зависимых выборок -непараметрический аналог t-теста • Критерий Уилкоксона не требует наличия нормального распределения сравниваемых совокупностей. • Число исследуемых при использовании T-критерия Уилкоксона должно быть не менее 5. • Изучаемый признак может быть измерен как в количественной, так и в порядковой шкале. • Данный критерий используется только в случае сравнения двух рядов измерений. Алгоритм: Нетипичные сдвиги: если большая часть дельт (отклонений) положительна, то нетипичными будут являться отрицательные отклонения • Вычислить разность между значениями парных измерений для каждого исследуемого. Нулевые сдвиги далее не учитываются. • Определить, какие из разностей являются типичными, то есть соответствуют преобладающему по частоте направлению изменения показателя. • Проранжировать разности пар по их абсолютным значениям (без учета знака, по модулю), в порядке возрастания. Меньшему абсолютному значению разности присваивается меньший ранг. • Рассчитать сумму рангов, соответствующих нетипичным сдвигам. • Т-критерий Уилкоксона для связанных выборок рассчитывается по следующей формуле: T = ΣRr, где ΣRr - сумма рангов, соответствующих нетипичным изменениям показателя. Если Т эмп < Т крит , либо p-value <0,05, то Hо отклоняем Если Т эмп > Т крит , либо p-value > 0,05, то нет оснований отклонить Hо !!! Не как обычно Критические значения T-критерия Уилкоксона Задача. На основе непараметрического критерия установите значимость снижения температуры до и после приема препарата N Фамилия t тела до приема препарата t тела после приема препарата 1. Иванов 39.0 37.6 2. Петров 39.5 38.7 3. Сидоров 38.6 38.7 4. Попов 39.1 38.5 5. Николаев 40.1 38.6 6. Козлов 39.3 37.5 7. Игнатьев 38.9 38.8 8. Семенов 39.2 38.0 9. Егоров 39.8 39.7 10. Алексеев 38.8 39.3