Связь между операторами и измеримыми величинами. Оператор плотности. Теория измерений.

Лекция 4 Связь между операторами и измеримыми величинами. Оператор плотности. Теория измерений. На прошлых лекциях мы узнали, что каждой физической величине ставится в соответствие эрмитова матрица. Эти матрицы (вообще говоря, бесконечные) удовлетворяют уравнению Гайзенберга. Но это – математическая сторона дела: в некоем гильбертовом пространстве как-то эволюционируют матрицы. Между прочим, обратите внимание на то, что эволюция этих матриц детерминистична. Вопрос теперь такой: какое отношение эти матрицы имеют к реально измеримым величинам? Отчасти ответ вам уже известен из предыдущих лекций: в эксперименте мы можем померить собственные значения этих матриц. Результат измерения будет зависеть от того, в каком состоянии находится исследуемая система и как мы проводим измерения. Проводя измерение, мы, в общем-то, вносим (намеренно или нет) изменение в состояние этой системы. Мы даже можем, выбрав соответствующую постановку эксперимента, приготовить нужное нам состояние из множества возможных. Теперь же, прежде всего, нам нужно понять, что физики подразумевают, когда говорят о состоянии квантово-механической системы. Также нужно понять, что происходит при измерении. Подавляющая часть экспериментов проводится с фотонами. Поэтому начнем с фотонов. Предварительно вспомним, что мы знаем про свет из оптики? Если просто, то свет – это волна. Электрический вектор волны, распространяющейся в направлении оси z , можно представить в виде  E  z, t   e x Ax eix  e y Ay e i y e  it ikz . (1) В зависимости от значений фаз  x ,  y , и амплитуд Ax , Ay мы можем говорить о том или ином виде поляризации. Важны, однако, на сами значения фаз  x и  y , а разность между ними. Например, интенсивность I , определяемая как I  EE* , (2) не зависит от общего фазового множителя ei x в выражении (1):  E  z, t   eix e x Ax  e y Ay e  i  y  x  e  it ikz . (3) Поэтому можно положить eix  1. Введем обозначение  y  x   . Тогда перепишем (3) в виде E  z, t   A ex ax  e y ay ei  eit ikz , (4) 1 в котором A  Ax2  Ay2 , ax  Ax A и a y  Ay A . Заметим, что ax2  a y2  1 . В связи с этим мы можем вместо переменных a x и ay ввести всего один параметр  : ax  cos  и a y  sin  . Тогда вектор напряженности (4) представим в виде: E  z, t   Ae p eit ikz , (5) в котором мы ввели вектор поляризации e p  e x cos   e y sin  ei . (6) Вспомним, что плоскость поляризации – это плоскость, проходящая через векторы E  z, t  и k . Вектор (6) лежит в этой плоскости (рис. 1). Рис.1 Если угол   0 и   0 , то e p  e x , т.е. свет поляризован вдоль оси абсцисс. Если же    2 и   0 , то e p  e y , т.е. свет поляризован вдоль оси ординат. Если   0 или    (т.е. если ei  1 ), то меняя угол  произвольную линейную поляризацию. можно получить Например, если встречаются две волны (распространяющиеся вдоль оси аппликат) с равными амплитудами A E  z, t   Выбор амплитуды A 2 , то получаем линейно поляризованную волну A e x  cos 1  cos  2   e y  sin 1  sin  2   e it ikz .  2 (7) 2 отвечает интенсивности каждой волны A2 2 . Если 1  0 , а  2   2 то в результате получается волна с вектором поляризации, направленным под углом  4 или   4 (в зависимости от ei  1 ) к оси абсцисс (рис. 2): E  z, t   A e x  e y  e it ikz .  2 (8) 2 Рис.2. Линейно поляризованный свет Выбор амплитуд A 2 сделан с тем, чтобы в результате получилась волна интенсивностью A . Такая нормировка. 2 Если же встречаются две волны с равными амплитудами, но с разностью начальных фаз     2 , то получается волна, поляризованная по кругу: A e x  ie y  e it ikz . (9)  2 Если амплитуды разные, то получается эллиптически поляризованная волна: конец вектора напряженности описывает эллипс (рис. 3). E  z, t   Рис. 3 Свет с правой эллиптической поляризацией. Теперь вспомним, интенсивностью I 0 что произойдёт, если мы плоско поляризованную волну пропустим через поляризатор. Пусть плоскость пропускания поляризатора – это плоскость Oxz . Тогда одна часть световой волны пройдет, а другая – нет. Закон Малюса говорит о том, что интенсивность прошедшей волны равна I  I 0 cos2  . (10) Это очевидно из формул (2) и (7): только составляющая Ax  A cos  падающей волны проходит. 3 А теперь представьте, что мы постепенно уменьшаем интенсивность падающей волны I 0 . Интенсивность I на выходе поляризатора тоже будет постепенно уменьшаться. Начиная с некоторого момента интенсивность I 0 будет настолько мала, что можно реально говорить только о движении одиночных фотонов. Тогда какой смысл в формуле (10)? Точнее, что значит косинус в этой формуле? О какой составляющей фотона мы вообще можем говорить? Фотон либо прошел через поляризатор, либо нет. Другого не дано. Давайте теперь изменим опыт. Уберем поляризатор и поставим призму Николя. Пусть оптическая ось этой призмы будет параллельна оси Ox . Эта призма делит падающий луч на два: обыкновенный и необыкновенный. Необыкновенный луч поляризован в направлении оптической оси призмы. Обыкновенный же луч поляризован в перпендикулярном направлении (https://www.youtube.com/watch?v=OaYrZmUlKOM). Тогда интенсивность необыкновенного луча равна I н  I0 cos2  , (11) Iоб  I0 sin 2  . (12) а обыкновенного Это можно проверить, поставив на пути этих лучей датчики ЭМ-излучения. Будем теперь снова постепенно уменьшать интенсивность падающей волны I 0 . Как показывает эксперимент, один фотон, пройдя сквозь призму Николя, будет поляризован в направлении оптической оси (т.е. зарегистрирован датчиком 1), другой – перпендикулярно оптической оси (зарегистрирован датчиком 2). Заранее не известно, какой фотон попадет в датчик 1, а какой в датчик 2. Все выглядит так, как будто попадания фотонов в тот или другой датчик носят вероятностный характер: с какой-то вероятностью попадает в первый датчик, а с какой-то – во второй. Рис. 4 4 Т.к. интенсивность пропорциональна числу фотонов I  kN , то для выполнения предыдущих формул (11) и (12) мы должны с неизбежностью положить, что Nн  N0 cos2  , а Nоб  N0 sin 2  . И тогда снова возникает вопрос: что значит косинус и синус в этих формулах? Мы же говорим об одиночных фотонах, а не о векторах напряженностей. Естественно считать, что квадраты косинуса и синуса определяют вероятности регистрации фотона датчиком 1 или 2 соответственно. Это, однако, не означает, что до прохождения через николь имелся пучок, в котором доля поляризованных вдоль оси Ox фотонов равнялась cos 2  , а доля фотонов, поляризованных перпендикулярно этой оси, равнялась sin 2  . Это было бы в «духе» классического рассмотрения. Мы увидим потом, что это не соответствует действительности. Мы говорим, что приготовили систему (фотоны) в состоянии с определенной поляризацией: в пучке 1 – это поляризация вдоль оси Ox , в пучке 2 – это поляризация в перпендикулярном направлении. Это – собственные состояния фотона. Если теперь на пути первого пучка поставить анализатор, направление пропускания которого перпендикулярно оси Ox , то мы с достоверностью (с вероятностью 1) задержим этот пучок, и датчик 1 не сработает. Если направление пропускания анализатора параллельно оси Ox , то мы с достоверностью (с вероятностью 1) пропустим этот пучок, и датчик 1 сработает. Видим, что анализатор может дать лишь некоторые избранные результаты, которые называют собственными результатами. В описываемом эксперименте имеется только два возможных результата измерения: фотон проходит через анализатор или задерживается им. Если перед измерением фотон находится в одном из собственных состояний, то результат измерения точно определен и не может быть ничем иным, как соответствующим собственным результатом. Т.е. падающий фотон поляризован либо вдоль направления пропускания, либо перпендикулярно ему. Если же направление пропускания анализатора будет составлять некоторый угол  с осью Ox , то с вероятностью cos2  сработает датчик 1. Пусть анализатор в нашем примере расположен так, что его направление пропускания совпадает с осью Ox . Этот анализатор сможет отличить горизонтальную поляризацию (в нашем примере – поляризацию вдоль оси Ox ) от вертикальной (поляризацию вдоль оси Oy ). Состояние линейной поляризации (8) с помощью установленного таким образом анализатора мы не различим. В самом деле. Допустим, мы зафиксировали, что фотон c неизвестной нам поляризацией прошел через этот анализатор. Можем ли мы сказать, что фотон был поляризован вдоль оси Ox ? Нет. Мы можем лишь сказать, что этот фотон не был поляризован вдоль оси Oy . Для определения поляризации падающего фотона, нам нужно как-то повращать анализатор. Кстати, обратите внимание, что определяя 5 поляризацию фотона, мы изменили его поляризацию. До прохождения через анализатор он был поляризован под углом  4 , а после – вдоль оси Ox . Если фотон поляризован вдоль оси Ox , то мы говорим, что он находится в состоянии H , если же он поляризован вдоль оси Oy , то мы говорим, что он находится в состоянии V . Ясно, что все остальные поляризации мы можем выразить через эти две. Это видно из формулы (6). Значит, H и V в пространстве поляризаций образуют базис. Такой базис будем впредь называть каноническим 1 0 H   , V    . 0 1 Эти векторы образуют двумерное пространство. (13) Если анализатор расположен так, что его направление пропускания совпадает с осью Ox , то говорят, что проводятся измерения в каноническом базисе. Собственные результаты анализатора формализуются в этом базисе. Как уже отмечалось, в каноническом базисе поляризацию (8) мы не распознаем. Согласно (8) мы должны повернуть анализатор на угол  4 , поменяв тем самым базис на новый:   1 H V 2 1   H V 2  1  1  , 2  1 (14) 1   1  1 . 2  Этот базис отвечает диагональной поляризации света (под углами 45 и 45 соответственно). Говорят, что проводятся измерения в базисе  ,  или диагональном базисе. Отметим, что существует еще и круговой базис R  1  H i V 2  1  1  , 2 i 1 1 L   H  i V   1  i  , 2 2  отвечающий круговой поляризации света (правой и Происхождение этого базиса следует из формулы (9). (15) левой соответственно). Заранее поляризация падающего фотона неизвестна, поэтому для определения его состояния нужно использовать несколько базисов. Мы ниже увидим, как это можно сделать. Сам процесс измерения можно рассматривать как процесс приготовления нового состояния системы. Новое состояние зависит от начального собственного состояния системы и от состояния прибора во время измерения. 6 Состояния с определенной поляризацией называются чистыми состояниями. Для произвольного чистого состояния мы бы написали, что состояние фотона описывается некоторым вектором, который мы представим в виде разложения по, скажем, каноническому базису:   H cos   V sin  ei . (16) Смотри формулу (6). А если свет не поляризован, то как описать его состояние? Можно ли его описать в терминах какого-нибудь из приведенных базисов? Если состояние фотона не является чистым (т.е. свет не поляризован), то мы не можем его представить каким-либо вектором состояния (16). Говорят, что состояние смешанное. Это частично поляризованный свет или полностью неполяризованный, т.е. естественный. Как описывать такие состояния? Ответ такой: любые состояния описывается с помощью так называемой матрицы плотности. Выше мы отмечали, что результаты измерений носят недерминистический характер. Мы можем указать вероятности того или иного измерения в зависимости от выбранного базиса измерения. Т.е. при измерении физической величины мы находим ее средние значения. Вспомним, что каждой физической величине мы ставим в соответствие матрицу. Заметим, прежде всего, что мы можем эту матрицу представить в виде: Amn   Ars mr sn . (17) rs Если определим матрицы Pˆrs с компонентами  Pˆ  rs mn   mr sn , (18) то (17) примет вид:   Amn   Ars Pˆrs rs mn . (19) Значит, наблюдаемую  можно всегда представить в виде: Aˆ   Ars Pˆrs . (20) rs Выражение (20) можно получить и иначе: ˆ ˆ ˆ   r r Aˆ  s s   r Aˆ s r s   A Pˆ . Aˆ  EAE rs rs r s rs (21) rs Видим, что матрица Pˆrs  r s (22) 7 имеет компоненты (18). Т.е. все ее элементы равны нулю, кроме одного, который стоит на пересечении m -ой строки и n -го столбца. В эксперименте мы измеряем значение физической величины – некоторое число. Как матрице сопоставить число? Согласно фон-Нейману это число является некоторой функцией наблюдаемой, называемой средним значением этой наблюдаемой: Aˆ   Ars Pˆrs . (23) rs фон-Нейман в 1927 г. определил математически точную процедуру определения средних. Средние должны удовлетворять следующим свойствам: 1) Среднее от линейной комбинации наблюдаемых является линейной комбинацией средних: с1 Aˆ1  с2 Aˆ2  c1 Aˆ1  c2 Aˆ2 . (24) 2) Среднее значение единицы равно единице: Eˆ  1 . (25) 3) Если некоторой физической величине A ставим в соотвествие оператор  , то комплексно сопряженной величине A* ставим в соотвествие эрмитово сопряженный оператор Â . В эксперименте мы получаем действительные числа. Собственные значения действительны у эрмитовых операторов (Лекция 3, формула (31)). Поэтому разумно действительной величине ставить в соответствие эрмитов оператор, для которого Aˆ  Aˆ  . Мы так и делали в Лекции 1 (формула (27)). В силу всего сказанного полагаем, что средние значения комплексно сопряженных величин комплексно сопряжены: * Aˆ  Aˆ  . (26) 4) Для положительно определенных физических величин средние положительны: если Aˆ  0, то Aˆ  0 . После приведенной аксиоматики введем матрицу плотности  sr  Pˆrs . (27) В связи с этим определением (23) принимает вид: Aˆ   Ars  sr  Tr Aˆ ˆ . rs   (28) Здесь мы используем определение следа матрицы, как сумму ее диагональных элементов: 8   ˆ ˆ ˆ r  Tr Aˆ ˆ   r Aˆ ˆ r   r AE  r r r (29)   r Aˆ   s s  ˆ r   r Aˆ s s ˆ r   Ars  sr . rs rs  s  Задание 1. Покажите, что след матрицы не зависит от выбранного базиса r . Из свойств средних следуют свойства матрицы плотности. 1) След матрицы плотности равен единице:   Tr  ˆ   Tr Eˆ ˆ  Eˆ  1. (30) 2) Матрица плотности должна быть эрмитова: * nm  mn . (31) * В самом деле, согласно (26) Aˆ  Aˆ  . Но Aˆ     A  nm mn mn A  A эрмитов mn * nm * nm   Anm nm mn * *   * * Для того, чтобы это равнялось Aˆ    Anm mn    Anm , просто необходимо mn mn  mn  положить, что выполняется (31). 3) Т.к. для положительно определенных физических величин средние положительны, то   Aˆ  Tr Aˆ ˆ  0 . (32) Т.е. матрица плотности должна быть положительна определена. Итак, матрица плотности – это положительно определенная эрмитова матрица с единичным следом. Записывая наблюдаемую в виде спектрального представления Aˆ   an f n f n , получим, n что среднее значение этой наблюдаемой примет вид: Aˆ  Tr Aˆ ˆ   an Tr Pˆn ˆ .   где Pˆn  f n n   (33) f n – проектор на состояние f n .   Но an – возможные значения наблюдаемой  . Значит, Tr Pˆn ˆ – это вероятность того, что наблюдаемая  принимает значение an в состоянии, определяемом оператором матрицы плотности ̂ . Именно так в квантовой механике появляются вероятности! Вероятности никак не связаны с эволюцией системы. Матрица плотности никак не связана с наблюдаемой, динамика которой описывается основным уравнением квантовой механики – уравнением Гайзенберга. 9   Запишем выражение для вероятности Tr Pˆn ˆ в виде   Tr Pˆn ˆ   es Pˆn ˆ es   es f n s f n ˆ es  s (34)   f n ˆ es es f n  f n ˆ f n . s Таким образом, f n ˆ f n  sn – это вероятность обнаружить систему в состоянии fn , если она с достоверностью находится в состоянии ̂ . Состояния, в которых некоторая наблюдаемая с невырожденным дискретным спектром принимает точное значение, называют чистыми. Все остальные состояния называются смешанными. По определению дисперсией наблюдаемой  называется величина   Aˆ Eˆ . Тогда D  Aˆ   2 D Aˆ  Aˆ 2  Aˆ  Пусть Mˆ  Aˆ   Aˆ  Aˆ Eˆ  2 . (35) Mˆ 2 . Наблюдаемая принимает точное значение в некотором состоянии, если ее дисперсия в этом состоянии равна нулю. Запишем матрицу плотности через спектральное представление ˆ   p   . (36)  Здесь p – собственные значения матрицы плотности, а  – ее собственные векторы. То, что спектр этой матрицы дискретный следует из определения матрицы плотности. Об этом нам говорит математика. Далее, так как матрица плотности положительно определена, то все ее собственные значения положительны. Задание 2. Убедитесь в этом. С учетом (36) дисперсия (35) может быть записана как Mˆ 2  Tr Mˆ 2 ˆ   p Tr Mˆ 2       p Tr Mˆ 2           p  Mˆ 2    p Mˆ   2 (37) .  Для чистых состояний дисперсия равна нулю. Но собственные значения матрицы плотности неотрицательны, Mˆ 2   p Mˆ   2 а также Mˆ  2  0.  0 следует, что все слагаемые p Mˆ  Поэтому 2 из условия равны нулю. 10 Но из (30) следует, что p  1.   Задание 3. Докажите это. Значит, существует такой индекс    0 , что p 0  0 . Тогда Mˆ  0  0 . Вспоминая определение M̂ , получим Aˆ  0  Aˆ  0 . Это значит, что   точным значением наблюдаемой  может быть только ее собственное значение. собственный вектор наблюдаемой при этом является собственным вектором  0 матрицы плотности. Так как спектр наблюдаемой  не вырожден (по определению чистого состояния), то для всяких    0 Aˆ   Aˆ  . В самом деле, при невырожденном спектре не может одному собственному значению отвечать несколько собственных функций. Это же на языке оператора M̂ означает, что при    0 Mˆ   0 . Но тогда при всяких    0 p  0 . Из условия p  1 следует тогда   0  0 0 ˆ   0   0  0 ... p 0  1 . Значит, матрица плотности имеет вид ... 1 на  0-ом месте ... ... 0 0 ... 0  0 0  0    0  0 .  ... 0   0 0 Следовательно, для задания чистого состояния нам достаточно знать вектор гильбертового пространства  0 , описывающий это состояние, а не целую матрицу. Более того, если этот вектор является собственным для некоторой наблюдаемой  , то наблюдаемая  в этом состоянии имеет с достоверностью значение  . Итак, в чистом состоянии, определяемом вектором плотности можно записать как проекционный ̂    .  , оператор матрицы (38) Коль скоро матрица плотности является проекционным оператором, а проекционный оператор является идемпотентным оператором, то в чистом состоянии ˆ  ˆ 2 . (39) Справедливо и обратное утверждение: 11 Если выполняется условие (39), то существует наблюдаемая с чисто дискретным невырожденным спектром, которая принимает в состоянии ̂ точное значение.   Задание 4. Покажите, что в чистом состоянии Tr ˆ 2  1 . Задание 5. Покажите, что если наблюдаемая  в состоянии ̂ имеет точное значение, то  и ̂ коммутируют.   Задание 6. Покажите, что в смешанном состоянии Tr ˆ 2  1 . Указание: Предварительно 2   убедитесь, что для положительных чисел pk справедливо условие:  p    pk  . k  k  2 k С учетом (34) и (38) вероятность найти систему в чистом состоянии f при условии, что она с достоверностью находится в чистом состоянии  , равна f ˆ f  f   f   f 2 . (40) Все векторы нормированы на единицу. Тогда среднее значение наблюдаемой Aˆ   an f n f n в чистом состоянии  равно n     Aˆ  Tr Aˆ ˆ  Tr Aˆ     Aˆ    an  f n Т.е.  f n 2 2 . (41) n – вероятность того, что значение наблюдаемой  равно an . В случае непрерывного спектра    a    f  f Здесь 2 2 d . (42) – плотность вероятности того, что значение наблюдаемой  лежит в диапазоне от a   до a    d . Очевидно, что наблюдаемые с чисто непрерывным спектром не могут иметь точного значения ни в одном состоянии. Например, если fn  x – собственные функции оператора координаты, то f n   x     x  – знакомая вам из атомной физики волновая функция. Тогда  x 2    x  – плотность вероятности обнаружить систему в положении от x до 2 x  dx . Мы видели (смотри (34)), что диагональные элементы матрицы плотности, записанной в представлении, соответствующей некоторой наблюдаемой  , представляют собой вероятность обнаружить систему в состоянии f , если она с достоверностью находится в состоянии ̂ : 12     f ˆ f  Tr ˆ Pˆf . (43) Недиагональные элементы матрицы плотности определяют дисперсию и корреляции. В самом деле, дисперсия наблюдаемой можно записать в виде   D Aˆ  Aˆ 2  Aˆ       Tr Aˆ ˆ Aˆ  Tr ˆ Aˆ 2 2       Tr ˆ Aˆ 2  Tr ˆ Aˆ 2  2     A   A    A    .     (44) Используя определение среднего и представление матрицы плотности в произвольном базисе ˆ   mn m n , запишем среднее значение наблюдаемой  в следующей форме: mn   Aˆ  Tr Aˆ ˆ   nn n Aˆ n   nm n классическое среднее nm n Aˆ m . (45) интерференционный квантовый член Видим, что диагональные элементы матрицы плотности определяют среднее как в классической физике. Недиагональные члены определяют как бы степень «квантованности» системы. Наличие интерференционного члена говорит о том, что система находится в так называемом запутанном состоянии. Возвратимся к примеру с поляризованным светом и николем. Мы отмечали, что квадраты косинуса и синуса определяют вероятности регистрации фотона датчиком 1 или 2 соответственно. Также мы отметили, что неверно полагать, что до прохождения через николь имелся пучок, в котором доля поляризованных вдоль оси Ox фотонов равнялась cos 2  , а доля фотонов, поляризованных перпендикулярно этой оси, равнялась sin 2  . Теперь мы сможем это подтвердить расчетами. Итак, падающий на николь фотон находится в чистом (с определенной поляризацией) состоянии (16)   H cos   V sin  ei . Тогда матица плотности для чистого состояния имеет вид (38) ˆ      H cos   V sin  ei  cos  H  sin  ei V    cos 2  H H  cos  sin  ei H V  cos  sin  ei V H  (46)  sin 2  V V . Итак, в каноническом базисе компоненты матрицы плотности имеют вид cos2  i  cos  sin  e  ˆ   cos  sin  ei  . sin 2   (47) Во-первых, убеждаемся, что Tr ˆ  1 . Во-вторых, мы видим, что есть ненулевые недиагональные элементы. Это означает, что имеется так называемая квантовая когерентность между возможными состояниями фотона. Это, в свою очередь, значит, что 13 мы можем в эксперименте с какой-то вероятностью измерить фотон не только с горизонтальной и вертикальной поляризацией, но и, скажем, с правой круговой поляризацией R . Для этого нужно провести измерения в круговом базисе. Как найти эту вероятность? Решим задачу двумя способами. Первый способ состоит в использовании формулы (40): вероятность обнаружить фотон в состоянии R равна wR  R  2 . (48) Вычислим сначала скалярное произведение 1  H  i V   H cos   V sin  ei   2 1  cos   i sin  ei  .  2 Затем находим квадрат модуля этого скалярного произведения: R  wR  R  2  (49) 1 cos   i sin  ei  cos   i sin  e  i    2 1 cos 2   i cos  sin  e i  i cos  sin  ei  sin 2     2 1  1  2 cos  sin  sin   2 Если падает свет с правой круговой поляризацией, т.е.    4 и    2  (50) (смотри формулу (9) и текст к ней), то согласно (50) вероятность зафиксировать фотон в этом же базисе R очевидно равна единице. Если же свет падает с левой круговой поляризацией, то вероятность обнаружить фотон в базисе R равна нулю. Это вполне очевидно: состояния R и L взаимно ортогональны. В эксперименте они взаимно исключены, если мы проводим измерения в круговом базисе. Аналогичная ситуация и в нашем примере с анализатором с направлением пропускания вдоль оси Ox : анализатор пропускает фотон с поляризацией H и задерживает с ортогональной к ней поляризацией V . Решим теперь задачу с использованием матрицы плотности. Для этого воспользуемся формулой (34) для вероятности:  cos 2  cos  sin  ei  1 1 1 1 i      i sin 2  2  cos  sin  e  2 i  cos 2   i cos  sin  ei  1  1 i    i 2 2  cos  sin  e  i sin   wR  R ˆ R   1 cos 2   i cos  sin  ei  i cos  sin  ei  sin 2     2 1  1  2 cos  sin  sin   . 2 14 Как видите, получили такой же ответ. Задание 7. Фотон приготовлен в состоянии с линейной поляризацией под углом  6 к оси Ox . Найдите вероятности результатов каждого измерения, если его поляризация измеряется в    каноническом базисе (13), диагональном базисе (14), круговом базисе (15). Решите задачу двумя способами: с помощью формул (34) и (40). Выше мы отмечали, что заранее поляризация падающего фотона неизвестна, поэтому для определения его состояния нужно использовать несколько базисов. Приведем пример того, как это можно сделать. Рассмотрим состояние фотона, записав его вектор в общем виде:   H A cos   V A sin  ei . (51) Здесь мы учли амплитуду A , потому как в общем случае нас интересует еще и интенсивность, а не только поляризация. Выражение (51) отвечает общей форме разложения вектора по двум базисным векторам:   a1 H  a2 V . (52) Каждое число a  с ei – комплексное, т.е. определяется модулем с и аргументом  . Всего, значит, четыре вещественных числа. Но нас не интересует общая фаза, т.к. вероятность определяется квадратом модуля скалярного произведения. Это значит, что мы можем переписать (52) в виде:   с1 H  с2ei V . (53) Т.е. состояние (53) в общем случае определяется тремя параметрами. Значит, для определения состояния фотона необходимо найти эти три параметра. Как их можно найти? Для этого можно провести измерения в каноническом базисе, определив вероятности 2 wH  H  2 wV  V  2  c   1 0   1i   c12 ,  с2 e  2  c    0 1  1i   c22 .  с2 e  (54) Т.е., найдя из эксперимента эти вероятности, мы сможем определить два параметра c1 и c2 . Осталось найти  . Для этого можно найти из эксперимента вероятность обнаружения фотона, поляризованного под углом  4 : 15 2  c  1 1 (55) w     1 1  1i    c1c2 cos  . 2 2  с2e  Достаточно ли этого? Казалось бы, что да: из (55) можно найти cos  , а значит и сам  . Но, что если падающий фотон находится в состоянии с правой круговой поляризацией, т.е. в состоянии R ? Тогда, конечно    2 (смотри (9) и текст к ней, а также формулы 2 (15)). Значит cos   0 , и поляризация R фотона неотличима от поляризации L , для которой тоже cos   0 . Другими словами, для поляризаций R и L падающего фотона вероятность (55) одна и та же. Значит, знания вероятностей (54) и (55) недостаточно. Можно, например, найти в эксперименте вероятность 2  c  1 1 (56) wR  R   1 i   1i    c1c2 sin  . 2 2  с2e  Знания теперь уже cos  и sin  достаточно для определения  . Таким образом, знание вероятностей (54)-(56) позволяют определить состояние фотона. 2 Метод получения полной информации о квантовом состоянии путем проведения серии измерений в нескольких разных базисах называется томографией квантового состояния. Мы уже знаем (из семинарских занятий), что матрицу 2  2 можно представить в виде разложения: 1 0 0 1  0 i  1 0  ˆ Uˆ  a0    a1    a2    a3    a0 E  aσˆ . 0 1 1 0 i 0   0 1 (57) Здесь 0 1  0 i  1 0   , ˆ z    . 0  0 1 ˆ x    , ˆ y   1 0 i (58) матрицы Паули, а aσˆ  aiˆi . Если матрица Û эрмитова, то коэффициенты разложения ai вещественны. Сами коэффициенты определяются соотношениями:     1 1 a0  Tr Uˆ , ak  Tr Uˆ ˆ k . 2 2 (59) Задание 8. Вспомните вывод (57)-(59). 16 Если в качестве матрицы Û взять матрицу плотности ̂ , то (так как Tr ˆ  1 ) из (59) следует, что a0  1 2 . Введем вектор   1 , 2 , 3   2a . Тогда матрицу плотности в двумерном пространстве можно записать в виде:     1 ˆ 1 E   σˆ  Eˆ  ˆ . 2 2 Задание 9. Убедитесь, что в каноническом базисе ˆ   (60) матрицы Паули можно представить в виде ˆ x  H V  V H , ˆ y  i H V  i V H , (61) ˆ z  H H  V V .  матрица плотности имеет вид ˆ  1  1  3  H H  1  3  V V  1  i2  H V  1  i2  V H  , 2 1  1  3 1  i 2  ˆ   . 2  1  i 2 1  3  (62) Вектор   1 , 2 , 3  называется вектором поляризации. Покажем, что  2  1. (63) Tr  ˆ 2   1 . (64) Для этого вспомним, что (см. задание 6) С учетом (60) квадрат матрицы плотности имеет вид   1 ˆ E  2ˆ  ˆ   ˆ  . 4 Задание 10. Покажите, что  ˆ   ˆ   ξ 2 Eˆ . ˆ 2  (65) В силу того, что  ˆ   ˆ   ξ 2 Eˆ , Trˆ  0 и TrEˆ  2 , след квадрата матрицы плотности равен Tr ˆ 2  1 2  2ξ 2  .  4 (66) Тогда из (66) следует (63).   Так как для чистых состояний Tr ˆ 2  1 , то для чистых состояний  2  1 . Для смешанных состояний   1 . Для полностью неполяризованных состояний (естественный 2 свет, например)  2  0 . Промежуточным значениям вектора поляризации отвечают частично поляризованные состояния. 17 Задание 11. Используя (47) и (62), покажите, что i   H cos   V sin  e вектор поляризации имеет компоненты для состояния 1  sin 2 cos  , 2  sin 2 sin  , 3  cos 2 . (67) Если помимо поляризации интересует еще и интенсивность света I , то матрицу плотности можно определить как I  1  3 1  i2  ˆ   , 2  1  i2 1  3  (68)   2 где I  A2 (смотри вид вектора состояния (51)). Нормировка, конечно, изменится: Tr ˆ  I . Набор 1 ,  2 , 3  принято называть параметрами Стокса. Задание 12. Пусть свет интенсивности I , находящийся в состоянии (68), падает на поляризатор, пропускающий только фотоны в состоянии (16). Согласно (34), интенсивность прошедшего света равна I p   ˆ  . (69) Найдите её. Имейте в виду, что 1 ,  2 , 3  характеризуют падающий свет, а  и  задают поляризатор (базис измерения). Это пример того, как из фотонов, находящихся в состоянии (68) мы приготавливаем фотоны в состоянии (51). В связи с этим, напомню, что сам процесс измерения можно рассматривать как процесс приготовления нового состояния фотонов. Новое состояние зависит от начального собственного состояния фотонов ̂ и от состояния прибора (базиса измерения   H cos   V sin  ei ) во время измерения. Обратите внимание, что фотоны, находящиеся в полностью неполяризованном состоянии (естественный свет), задаются с помощью диагональной матрицы плотности 1 1 0 ˆ   . 2 0 1 (70) Покажем, что для фотонов, находящихся изначально в состоянии (70), вероятности получения фотонов в любых состояниях (т.е. для любого базиса измерения, или для поляризаторов, находящихся в любых состояниях)   H cos   V sin  ei равны между собой. В самом деле, согласно (34) имеем 18 w   ˆ    cos  1   cos  2 1  1 0  cos   ei sin      2  0 1  ei sin    cos   1 ei sin    i  .  e sin   2 (71) Задание 13. Для некоторого состояния матрица плотности имеет вид: 3 1   ˆ   4 4  . 1 1   4 4 Найти компоненты вектора поляризации. Чистому или смешанному состоянию отвечает данная матрица плотности? Задание 14. Для некоторого состояния матрица плотности фотона имеет вид:  3  ˆ   4  1 i   8    1 i  2 .  1   4  найдите вектор поляризации чистое или смешанное это состояние? какова вероятность получения в эксперименте состояния с правой круговой поляризацией (измерительный прибор находится в базисе R )? Обратите внимание, что на смешанное состояние можно смотреть как на «смесь» чистых состояний  n . В самом деле, матрица плотности может быть записана как ˆ   pn  n  n . n Тогда здесь pn – это вероятность того, что система находится в состоянии  n . P   n  n – это проектор на состояние  n . Говорят, что состояния  n образуют ансамбль состояний. Задание 15. Рассмотрим фотон в ансамбле состояний:  1  3 H  4 V    2  12 H  5i V   3   с вероятностью p3  1 4 5 с вероятностью p1  1 2  13 с вероятностью p2  1 4 1) Найдите матрицу плотности. 2) Этот ансамбль измеряют в круговом базисе. Найдите вероятности каждого результата измерения. 19 Продолжение следует… декогеренция проекционные постулаты опыт Грэнджера, Роджера и Аспе принцип суперпозиции 20