Строительная механика

УДК 624.041(075.8) ББК 38.112я73 В753 Р е ц е н з е н т ы: доктор технических наук, профессор В. А. Пшеничкина, заведующая кафедрой строительных конструкций, оснований и надежности сооружений Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета; кандидат технических наук, доцент О. В. Душко, директор Института дистанционного обучения Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета Утверждено редакционно-издательским советом ВолгГАСУ в качестве учебного пособия В753 Воронкова, Г. В. Строительная механика. Курс лекций с примерами решения задач : в двух частях. Ч. II. Статически неопределимые системы [Электронный ресурс] / Г. В. Воронкова, С. С. Рекунов; М-во образования и науки Рос. Федерации, Волгогр. гос. техн. ун-т. — Электронные текстовые и графические данные (1,3 Мбайт). — Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2016. — Электронное издание локального распространения. — 1 электрон.-опт. диск (СD-R). — Систем. требования: РС 486 DX-33; Microsoft Windows XP; 2-скоростной дисковод СD-ROM; Adobe Reader 6.0. — Загл. с этикетки диска. ISBN 978-5-9948-2359-0 Изложен курс строительной механики статически неопределимых стержневых систем с примерами расчетов строительных конструкций и сооружений на действие внешней нагрузки. Представлены основы расчета статически неопределимых систем методом сил и методом перемещений. Для студентов, обучающихся заочно по направлению подготовки «Строительство». Для удобства работы с изданием рекомендуется пользоваться функцией Bookmarks (Закладки) в боковом меню программы Adobe Reader и системой ссылок. Ч. I опубликована онлайн. Режим доступа: http://www.vgasu.ru/publishing/on-line/ — Загл. с титул. экрана. УДК 624.041(075.8) ББК 38.112я73 ISBN 978-5-9948-2359-0 © Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Волгоградский государственный технический университет», 2016 © Воронкова Г. В., Рекунов С. С., 2016 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ...................................................................................................................................... 4 Лекция 1. Метод сил .................................................................................................................. 6 1.1. Раскрытие статической неопределимости .............................................................. 6 1.2. Варианты выбора основной системы метода сил .................................................. 8 1.3. Канонические уравнения метода сил .................................................................... 11 1.4. Проверки коэффициентов канонических уравнений ........................................... 12 1.5. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов ............................... 13 1.6. Проверки окончательной эпюры моментов ......................................................... 13 1.7. Построение эпюры поперечных усилий ............................................................... 14 1.8. Построение эпюры продольных усилий ............................................................... 14 1.9. Статическая проверка ............................................................................................. 14 Пример расчета 1 ............................................................................................................ 15 Лекция 2. Расчет неразрезных балок ..................................................................................... 20 2.1. Общие сведения ...................................................................................................... 20 2.2. Расчет неразрезных балок уравнением трех моментов ....................................... 20 Пример расчета 2 ............................................................................................................ 22 2.3. Расчет на температурное воздействие и просадку опор ..................................... 25 2.4. Расчет методом моментно-фокусных отношений ............................................... 26 2.5. Построение объемлющей (огибающей) эпюры ................................................... 27 Лекция 3. Расчет статически неопределимых арок .............................................................. 28 Пример расчета 3 ............................................................................................................ 29 Лекция 4. Расчет статически неопределимых ферм ............................................................. 33 Пример расчета 4 ............................................................................................................ 34 Лекция 5. Метод перемещений ............................................................................................... 38 5.1. Раскрытие кинематической неопределимости ..................................................... 39 5.2. Основная система метода перемещений ............................................................... 39 5.3. Канонические уравнения метода перемещений ................................................... 40 5.4. Построение единичных и грузовой эпюр моментов ............................................ 40 5.5. Проверки коэффициентов канонических уравнений ........................................... 41 5.6. Построение и проверки окончательной эпюры моментов .................................. 42 Пример расчета 5 ............................................................................................................ 43 Пример расчета 6 ............................................................................................................ 49 Заключение ............................................................................................................................... 57 Библиографический список .................................................................................................. 58 3 ВВЕДЕНИЕ Статически неопределимыми называются геометрически неизменяемые системы, определение внутренних усилий в которых невозможно решением только уравнений статики. Это связано с тем, что в таких системах имеются избыточные связи. Характерные особенности статически неопределимых систем: 1) распределение внутренних усилий зависит не только от внешних воздействий, но и от соотношений между поперечными размерами отдельных элементов системы, а также физических свойств материалов этих элементов; 2) выключение из работы или удаление некоторых избыточных связей не приводит к геометрической изменяемости всей системы, что увеличивает ее надежность по сравнению со статически определимой; 3) значения внутренних усилий при идентичном характере нагружения в статически неопределимых системах получаются меньшими по сравнению со статически определимыми; 4) температурные воздействия, смещение опор, неточность сборки таких систем являются причинами возникновения дополнительных усилий. Для расчета статически неопределимых систем необходимо составление дополнительных уравнений, учитывающих их деформации. По способу образования, в зависимости от того, где находятся избыточные связи — в опорной части либо в составе самой конструкции, статически неопределимые системы делятся на две группы: внешне неопределимые (рис. 1, а) и внутренне неопределимые (рис. 1, б). а б Рис. 1 4 Расчет статически неопределимой системы сводится к расчету системы, преобразованной путем удаления избыточных связей из исходной системы и введения в нее дополнительных уравновешивающих усилий или перемещений. При этом следует помнить о наличии необходимых связей, удаление которых может привести к образованию геометрически изменяемых систем. Для расчета статически неопределимых систем существуют несколько способов: метод сил, метод перемещений, смешанный и комбинированный методы, метод конечных элементов. В данном пособии мы подробно рассмотрим основные особенности расчета статически неопределимых стержневых систем двумя классическими методами: методом сил и методом перемещений. 5 Лекция 1. МЕТОД СИЛ Основные положения и принципы расчета статически неопределимых систем методом сил появились еще в середине XIX века применительно к расчетам неразрезных балок. В методе сил в качестве основных неизвестных принимаются усилия (внутренние или внешние), а известных — перемещения в направлении действия этих усилия. Для определения неизвестных составляются уравнения деформаций (перемещений). На современном этапе развития строительной механики расчет любой статически неопределимой системы методом сил можно представить в виде следующего алгоритма: 1. Раскрытие статической неопределимости заданной системы; 2. Выбор основной системы; 3. Запись системы канонических уравнений метода сил; 4. Построение единичных эпюр и грузовой эпюры моментов; 5. Подсчет коэффициентов канонических уравнений; 6. Выполнение проверок коэффициентов канонических уравнений; 7. Решение системы канонических уравнений; 8. Построение исправленных эпюр моментов; 9. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов; 10. Выполнение деформационной проверки окончательной эпюры моментов; 11. Построение эпюры поперечных усилий; 12. Построение эпюры продольных усилий; 13. Выполнение статической проверки. 1.1. Раскрытие статической неопределимости Количество избыточных связей, превышающих количество разрешающих уравнений статики, называется степенью статической неопределимости системы. Для всех статически неопределимых систем она вычисляется по формуле СН = 3 ⋅ К − Ш , (1) 6 где К — количество замкнутых контуров заданной системы; Ш — количество всех шарнирных соединений системы, включая опорные. Вычислим степень статической неопределимости по формуле (1) на примере плоской рамы, представленной на рис. 2. Количество замкнутых контуров определяется как сумма всех внутренних областей (плоскостей) системы, включая область, ограниченную поверхностью земли (рис. 3). Рис. 2 Рис. 3 Количество шарниров системы определяется как сумма всех цилиндрических и кратных шарниров, соединяющих диски системы между собой, а также опорных шарнирных связей. При этом кратность сложного шарнира подсчитывается по формуле Ш = n − 1, (2) где n — количество соединяемых шарниром дисков. В шарнирно-подвижной опоре Ш = 2 ; в шарнирно-неподвижной опоре Ш = 1 ; в жесткой заделке Ш = 0 . Таким образом, для рамы, представленной на рис. 2, количество шарниров равно двум, так как рассматриваемая рама состоит всего из одного диска и, следовательно, не имеет внутренних шарниров, а соединение с землей выполнено при помощи жесткой заделки и шарнирно-подвижной опоры. Степень свободы заданной плоской рамы равна СН = 3 ⋅ К − Ш = 3 ⋅ 1 − 2 = 1 . Полученное значение «1» показывает, что для дальнейшего расчета рамы необходимо устранить одну избыточную связь. Вычислим степень статической неопределимости для рамы, представленной на рис. 4, а. Как видно из рис. 4, б, в расчетной схеме плоской рамы три замкнутых контура. Два жестких диска рамной конструкции соединены одним цилиндрическим шарниром, а к земле конструкция присоединена при помощи двух шарнирно-неподвижных опор и двух шарнирно-подвижных опор. Таким образом, суммарное количество шарнирных соединений рассматриваемой ра7 мы равно семи. Подставляя исходные данные в выражение (1), получим СН = 3 ⋅ К − Ш = 3 ⋅ 3 − 7 = 2 , что говорит о наличии в системе двух избыточных связей. а б Рис. 4 Аналогично вычислим степень статической неопределимости для рамы, представленной на рис. 5. а б Рис. 5 Заданная схема имеет четыре замкнутых контура, три опорных шарнира и суммарное количество шарниров, соединяющих диски рамы между собой, равно шести. Следовательно, степень статической неопределимости рассматриваемой рамы равна СН = 3 ⋅ К − Ш = 3 ⋅ 4 − 8 = 4 . 1.2. Варианты выбора основной системы метода сил Основной системой метода сил называется геометрически и мгновенно неизменяемая статически определимая система, полученная путем удаления из заданной системы избыточных связей в количестве, равном ее степени статической неопределимости, и сохраняющая все ее основные свойства. 8 Существует несколько способов получения основных систем метода сил. Рассмотрим некоторые из них. 1. Удаление одного опорного стержня (–1 связь). В статически неопределимой раме, представленной на рис. 2, имеется одна избыточная связь. Одним из наиболее рациональных вариантов выбора основной системы для этой рамы будет преобразование ее в консольную раму путем удаления шарнирно-подвижной опоры. Для сохранения системы в равновесии в направлении отброшенной связи прикладывается безразмерное единичное усилие (рис. 6). Рис. 6 2. Введение одного цилиндрического шарнира (–1 связь). Врезание в жесткий диск системы простого (цилиндрического) шарнира позволяет понизить степень статической неопределимости на единицу. При этом в месте врезки шарнира прикладывается пара единичных безразмерных сосредоточенных моментов, направленных в противоположные стороны (рис. 7, а). а б Рис. 7 9 Полученная таким образом система должна соответствовать требованиям, предъявляемым к статически определимым геометрически неизменяемым системам. Место врезки шарнира следует выбирать так, чтобы рассчитываемая система не оказалась геометрически или мгновенно изменяемой, как это показано на рис. 7, б. 3. Удаление затяжки (–1 связь). В статически неопределимых системах, в структуру которых входит затяжка (стержень, в котором возникает только продольное усилие), одним из вариантов выбора основной системы удобно использовать отбрасывание затяжки, заменяя ее парой сил (рис. 8). а б Рис. 8 4. Удаление одного цилиндрического шарнира (–2 связи). Удаление из системы простого (цилиндрического) шарнира позволяет понизить степень статической неопределимости на две единицы. В месте удаления шарнира прикладывается пара вертикальных и пара горизонтальных единичных безразмерных сосредоточенных сил, направленных в противоположные стороны (рис. 9). а б Рис. 9 10 5. Разрыв стержня (–3 связи). Разрыв стержня (диска) позволяет понизить степень статической неопределимости на три единицы. В месте разрыва стержня прикладывается пара вертикальных и пара горизонтальных единичных безразмерных сосредоточенных сил, направленных в противоположные стороны, а также пара единичных безразмерных сосредоточенных моментов, направленных в противоположные стороны (рис. 10). а б Рис. 10 1.3. Канонические уравнения метода сил В общем виде система канонических уравнений метода сил записывается следующим образом: ⎧δ11 ⋅ Х 1 + δ12 ⋅ Х 2 + ... + δ1n ⋅ Х n + Δ 1F = 0; ⎪δ ⋅ Х + δ ⋅ Х + ... + δ ⋅ Х + Δ = 0; 22 2 2n n 2F ⎪ 21 1 ⎨ ⎪... ⎪δ n1 ⋅ Х 1 + δ n 2 ⋅ Х 2 + ... + δ n n ⋅ Х n + Δ nF = 0. ⎩ (3) Количество неизвестных в системе уравнений (3) зависит от степени статической неопределимости рассчитываемой системы: для n = 1 (4); для n = 2 (5). δ11 ⋅ Х 1 + Δ 1F = 0; (4) ⎧δ11 ⋅ Х 1 + δ12 ⋅ Х 2 + Δ 1F = 0; ⎨ ⎩δ 21 ⋅ Х 1 + δ 22 ⋅ Х 2 + Δ 2 F = 0. (5) Для получения коэффициентов канонических уравнений необходимо предварительно выполнить построение единичных и грузовой эпюр моментов. 11 Единичные эпюры изгибающих моментов строятся в основной системе метода сил от действия каждого из единичного усилия. При этом вся внешняя нагрузка, действующая на систему, отбрасывается. Количество единичных эпюр зависит от степени статической неопределимости рассматриваемой системы. Грузовая эпюра изгибающих моментов строится в основной системе метода сил от действия внешней нагрузки. При этом все единичные нагрузки, действующие на систему, отбрасываются. Количество грузовых эпюр зависит от вариантов загружения рассматриваемой системы внешней нагрузкой (например, различными вариантами временных нагрузок). Для получения коэффициентов δii необходимо перемножить значения моментов соответствующей единичной эпюры на эти же значения Mi × Mi ds . EI l δii = ∑ ∫ (6) Это связано с тем, что в данном случае рассматриваются два одинаковых единичных состояния и, следовательно, значения коэффициентов δii всегда будут положительными. Для получения коэффициентов δik необходимо умножить значения моментов единичной эпюры M i на значения моментов единичной эпюры M k . Mi × Mk ds . EI l δik = ∑ ∫ (7) В данном случае рассматриваются два различных единичных состояния и, следовательно, значения коэффициентов δik могут быть положительными, отрицательными и нулевыми. Еще одним свойством данных коэффициентов является равенство δik и δ ki . Для получения коэффициентов Δ iF необходимо умножить значения моментов единичной эпюры M i на значения моментов грузовой эпюры M F . Mi × M F ds . EI l Δ iF = ∑ ∫ (8) В данном случае рассматриваются два различных состояния (единичное и грузовое) и, следовательно, значения коэффициентов Δ iF могут быть положительными, отрицательными и нулевыми. 1.4. Проверки коэффициентов канонических уравнений Для выполнения проверок коэффициентов канонических уравнений необходимо предварительно выполнить построение суммарной единичной эпюры изгибающих моментов. Она строится путем сложения соответствующих ординат всех единичных эпюр изгибающих моментов, т. е. M S = M 1 + M 2 + ... + M n . 12 Универсальная проверка выполняется для проверки коэффициентов δii , δik , δ ki . Для этого необходимо перемножить значения моментов суммарной единичной эпюры на эти же значения, полученное произведение должно быть равно сумме коэффициентов δii , δik , δ ki : MS × MS ds = ∑ δ . EI l ∑∫ (9) Проверка свободных членов (грузовых коэффициентов) уравнений выполняется для проверки коэффициентов Δ iF . Для этого необходимо перемножить соответствующие значения моментов суммарной единичной эпюры и грузовой эпюры моментов, полученное произведение должно быть равно сумме коэффициентов Δ iF : MS × MF ds = ∑ Δ . EI l ∑∫ (10) При условии выполнения равенств (9) и (10) решается система канонических уравнений, и вычисляются неизвестные усилия X i любым из способов решения систем линейных алгебраических уравнений (метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера и др.). 1.5. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов В соответствии с алгоритмом расчета статически неопределимых систем методом сил далее строятся исправленные эпюры моментов, необходимые для построения окончательной эпюры изгибающих моментов. С этой целью полученные значения неизвестных усилий X i умножаются на ординаты соответствующих единичных эпюр M i . При этом необходимо учитывать, что при умножении единичной эпюры на отрицательное значение X i , ординаты исправленной эпюры отображаются в обратном направлении, т. е. с противоположной оси стержня. Окончательная эпюра изгибающих моментов строится в заданной системе (статически неопределимой) путем сложения соответствующих ординат всех исправленных и грузовой эпюр: М ок = M 1 ⋅ X 1 + M 2 ⋅ X 2 + ... + M n ⋅ X n + M F . (11) 1.6. Проверки окончательной эпюры моментов При построении окончательной эпюры обязательно необходимо соблюдение равенства значений моментов в узлах системы. Кроме того, для проверки правильности построения окончательной эпюры выполняется ее деформационная проверка: 13 M ок × M S ds = 0 , EI l ∑∫ (12) где M S – суммарная единичная эпюра изгибающих моментов, полученная в п. 1.4. 1.7. Построение эпюры поперечных усилий Эпюра поперечных усилий строится по окончательной эпюре моментов по правилу Д. И. Журавского: Q= M перепад lуч ± qlуч 2 , (13) где M перепад — перепад (разница) значений изгибающих моментов в конце и начале рассматриваемого участка — абсолютное значение; lуч — длина рассматриваемого участка; q — интенсивность равномерно распределенной нагрузки. Для определения знака поперечной силы Q необходимо повернуть ось стержня до совмещения с эпюрой M ок . M перепад Если вращение происходит по ходу часовой стрелки, значение lуч считается положительным. 1.8. Построение эпюры продольных усилий Эпюра продольных усилий строится по эпюре поперечных усилий способом вырезания узлов. Для этого из эпюры поперечных усилий вырезается узел с наименьшим количеством стержней, из которых он состоит. Усилия в разрезанных стержнях направляются от узла. Из эпюры поперечных усилий берутся соответствующие каждому из рассматриваемых стержней значения поперечных усилий. В соответствии со знаком на эпюре Q поперечное усилие направляется перпендикулярно рассматриваемому продольному усилию N. Положительное значение поперечного усилия на эпюре Q соответствует повороту рассматриваемого узла по часовой стрелке. Далее составляются суммы проекций на вертикальную и горизонтальную оси и вычисляются значения продольных усилий в стержнях системы, которые откладываются на эпюре N с учетом знака. 1.9. Статическая проверка Для выполнения статической проверки необходимо в заданной системе, загруженной внешней нагрузкой, отбросить все опорные стержни, заменив их внутренними усилиями с соответствующих эпюр. 14 Из эпюры поперечных усилий берутся значения, перпендикулярные оси стержня. Знак «+» соответствует повороту стержня по часовой стрелке. Из эпюры продольных усилий берутся значения, действующие вдоль оси стержня. Знак «+» соответствует растяжению стержня. Сумма проекций всех внешних сил и внутренних усилий на оси X и Y должна быть равна нулю. Пример расчета 1 Для системы, представленной на рис. 11, необходимо раскрыть степень статической неопределимости и построить окончательные эпюры внутренних усилий. Рис. 11 Решение Степень статической неопределимости заданной системы вычисляется по формуле (1): СН = 3 ⋅ К − Ш = 3 ⋅ 1 − 2 = 1 . Следовательно, необходимо удалить одну избыточную связь. Варианты выбора основной системы метода сил для заданной системы представлены на рис. 12. а б Рис. 12 15 в Примем для дальнейшего расчета основную систему, представленную на рис. 12, а, ввиду простоты ее расчета как консольной рамы. Так как система единожды неопределима, то система канонических уравнений (3) имеет вид δ11 ⋅ Х 1 + Δ 1F = 0 . (14) Единичная и грузовая эпюры показаны на рис. 13. а б Рис. 13 Выполним подсчет коэффициентов канонических уравнений с использованием способа Симпсона—Маркина: Δ= lуч (М 6 EI Н 1 М 2Н + 4М 1С М 2С + М 1К М 2К ) ; l M1 ⋅ M1 6 ds = ( 4 ⋅ 4 + 4 ⋅ 4 ⋅ 4 + 4 ⋅ 4) + ⋅ EI 6 2 EI δ11 = ∑ ∫ + 4 48 7,111 55,111 = . ( 4 ⋅ 4 + 4 ⋅ 2 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0) = + EI EI EI 6 ⋅ 3EI l M 1M F 3 ds = − (140 ⋅ 4 + 4 ⋅110 ⋅ 4 + 80 ⋅ 4 ) − ⋅ EI 6 2 EI Δ1F = ∑ ∫ 3 4 (80 ⋅ 4 + 4 ⋅ 80 ⋅ 4 + 80 ⋅ 4 ) − (80 ⋅ 4 + 4 ⋅ 20 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 ) = 6 ⋅ 2 EI 6 ⋅ 3EI 660 480 106,667 1246,667 =− − − =− . EI EI EI EI − Для систем, единожды статически неопределимых, проверки коэффициентов канонических уравнений выполнять не требуется. Подставляя полученные значения коэффициентов в уравнение (14), получим 55,111Х 1 − 1246,667 = 0 . 16 Неизвестное усилие вычисляется следующим образом: Х1 = − Δ 1F − 1246,667 =− = 22,621 . δ11 55,111 Исправленная эпюра представлена на рис. 14. Рис. 14 Для построения окончательной эпюры моментов сложим по участкам соответствующие значения эпюр, изображенных на рис. 13, б и 14, в соответствии с формулой (11). Окончательная эпюра изгибающих моментов, построенная в заданной системе, показана на рис. 15. Деформационная проверка в системах с одной избыточной связью не выполняется. Рис. 15 Для построения эпюры поперечных усилий по правилу Д. И. Журавского (13) разобьем эпюру M ок на три участка (рис. 16). 17 Рис. 16 Тогда, записывая последовательно уравнения для каждого из участков, начиная от жесткой заделки, получим следующие выражения: Q1 = 10,484 + 49,516 = 20 кН ; 3 Q2 = 10,484 − 10,484 = 0 кН ; 3 Q3 = − 17,379 кН; 10,484 − 0 10 ⋅ 4 ± = −2,621 ± 20 = −22,621 кН. 4 2 Эпюра поперечных усилий изображена на рис. 17. Рис. 17 18 Для построения эпюры продольных усилий вырежем единственный узел из эпюры Q, направим продольные усилия от узла, а поперечное усилие +17,379 направим перпендикулярно тому стержню, на котором оно отложено, таким образом, чтобы рассматриваемый узел поворачивался по часовой стрелке (рис. 18). Рис. 18 Составляя суммы проекций на оси Х и Y, получим ∑ X = 0, N = 0; ∑Y = 0, − N − 17,379 = 0, → N 1 2 2 = −17,379 кН. Эпюра продольных усилий представлена на рис. 19. Рис. 19 19 Лекция 2. РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК 2.1. Общие сведения Неразрезной балкой называют статически неопределимую балку, имеющую две и более вертикальные опоры и проходящую через свои опоры, нигде не прерываясь шарнирами и разрезами. Такая расчетная схема имеет широкое применение при расчете монолитных железобетонных конструкций. Опоры в расчетной схеме неразрезной балки могут быть жесткими (заделка, шарнирно-неподвижная и шарнирно-подвижная) и/или упругоподатливыми (рис. 20). Рис. 20 В общем случае, когда возникает необходимость выполнения расчетов неразрезных балок на действие внешней нагрузки, на температурное воздействие и на действие просадки опор, рекомендуется вести расчет отдельно от каждого вида загружения, а затем окончательные эпюры суммировать. Статическая неопределимость балки характеризуется количеством избыточных связей, которые необходимо отбросить для превращения заданной балки в статически определимую. С точки зрения кинематического анализа неразрезная балка представляет собой один диск. Геометрически неизменяемый диск присоединяется к земле при помощи трех стержней, которые не параллельны и не пересекаются в одной точке. Остальные опорные стержни можно считать избыточными. Таким образом, статическую неопределимость балки можно определить по формуле СН = СОП − 3 , (15) где СОП — количество опорных связей. 2.2. Расчет неразрезных балок уравнением трех моментов Расчет неразрезной балки можно выполнять по общим правилам расчета статически неопределимых систем методом сил. В качестве основной системы рационально выбрать расчетную схему, полученную из заданной вреза20 нием шарниров над опорами. За неизвестные в этом случае принимаются пары изгибающих моментов. Преимущество выбранной схемы заключается в том, что эпюры от единичных усилий распространяются только на два соседних пролета, следовательно, в системе канонических уравнений каждое уравнение будет иметь по три неизвестных. Типовое n-е каноническое уравнение будет иметь следующий вид: M n −1δ n, n −1 + M n δ n, n + M n +1δ n, n +1 + Δ n, F = 0 . Учитывая, что все единичные эпюры имеют координату на опоре равную единице, определяются коэффициенты в канонических уравнениях. Подставив их в канонические уравнения, получаем ⎛ ω a l′ ω b l′ ⎞ M n −1ln′ + 2 M n (ln′ + ln′ +1 ) + M n +1ln′ +1 = −6⎜⎜ n 2n n + n n2+1 n +1 ⎟⎟ , l n +1 ⎝ ln ⎠ (16) где l — длина пролета; n — индекс опоры, для которой записано уравнение; ω — площади грузовых эпюр; l ′ — приведенная длина пролета; a, b — расстояние от центра тяжести грузовой эпюры до левой и правой опоры соответственно. Выражение (16) называется уравнением трех моментов в общем виде. Если неразрезная балка имеет постоянную жесткость, то уравнение трех моментов примет следующий вид: M n−1ln + 2M n ( ln + ln+1 ) + M n+1ln+1 = −6 ( BnФ + AnФ+1 ) , (17) где BnФ и AnФ+1 — фиктивные реакции. В этих уравнениях неизвестными являются опорные моменты. Число этих неизвестных равно количеству лишних опор. Величины ω, a, b, BnФ и AnФ+1 для некоторых наиболее часто встречающихся видов пролетной нагрузки приведены в табл. 1. При сложной нагрузке можно применить способ наложения или же выполнить индивидуальный расчет однопролетной балки с длиной и нагрузкой такой же, как и соответствующий пролет неразрезной балки. Таблица 1 Значения фиктивных опорных реакций Схема нагрузки 21 АnФ+1 BnФ+1 ⎛ b⎞ Fab ⎜1 + ⎟ ⎝ l⎠ ⎛ a⎞ Fab ⎜ 1 + ⎟ ⎝ l⎠ Окончание табл. 1 АnФ+1 BnФ+1 ql 3 24 ql 3 24 2 qb 2l ⎛ ⎛ b ⎞ ⎞ ⎜2−⎜ ⎟ ⎟ 24 ⎜⎝ ⎝ l ⎠ ⎟⎠ qb 2l ⎛ b⎞ ⎜2− ⎟ 24 ⎝ l⎠ Схема нагрузки ml ⎛ ⎛b⎞ − ⎜1 − 3 ⎜ ⎟ 6 ⎜⎝ ⎝l⎠ 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 ml ⎛ ⎛a⎞ − ⎜1 − 3 ⎜ ⎟ 6 ⎜⎝ ⎝l⎠ 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ Пример расчета 2 Для неразрезной балки (рис. 21) от заданной нагрузки построить эпюры моментов и поперечных усилий. Рис. 21 Решение 1. Подсчитываем степень статической неопределимости СН = СОП − 3 = 6 − 3 = 3 . Следовательно, балка трижды статически неопределима. 2. Нумеруем опоры слева направо, начиная с нуля. Вместо заделки мысленно вводим дополнительный нулевой пролет с l4 = 0 . 3. Для каждой опоры, за исключением крайней шарнирной, составляем уравнения трех моментов. Для опоры n = 1 : M 0l1 + 2 M 1 (l1 + l2 ) + M 2l2 = −6( B1Ф + А2Ф ) ; 22 для опоры n = 2 : M 1l2 + 2 M 2 (l2 + l3 ) + M 3l3 = −6( B2Ф + А3Ф ) ; для опоры n = 3 : M 2l3 + 2 M 3 (l3 + l4 ) + M 4l4 = −6( B3Ф + А4Ф ) . Определяем данные для уравнений: l1 = 8 м, l2 = 7 м, l3 = 9 м, l4 = 0 ; M 1 − ? , M 2 − ? , M 3 − ? , M 4 = 0 , для определения момента над нулевой опорой рассмотрим левую консоль M 0 = q ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 кН/м. Фиктивные реакции определяем с использованием табл. 1. первый пролет: ql13 3 ⋅ 83 А =В = = = 64 кНм2; 24 24 второй пролет: Ф 1 Ф 1 А2Ф = F1a2b2 ⎛ b2 ⎞ 7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⎛ 5 ⎞ 2 ⎜1 + ⎟ = ⎜1 + ⎟ = 20 кНм , 6 ⎝ l2 ⎠ 6 ⎝ 7⎠ В2Ф = F1a2b2 ⎛ а2 ⎞ 7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⎛ 2 ⎞ 2 ⎜1 + ⎟ = ⎜1 + ⎟ = 15 кНм ; 6 ⎝ l ⎠ 6 ⎝ 7⎠ третий пролет: А3Ф = В3Ф = = F2 a3b3 ⎛ b3 ⎞ F2 a3b3 ⎛ а3 ⎞ ⎜1 + ⎟ + ⎜1 + ⎟ = 6 ⎝ l3 ⎠ 6 ⎝ l3 ⎠ 5 ⋅ 3⋅ 6 ⎛ 3 ⎞ 5 ⋅ 6 ⋅ 3⎛ 6 ⎞ 2 ⎜1 + ⎟ = 45 кНм ; ⎜1 + ⎟ + 6 ⎝ 9⎠ 6 ⎝ 9⎠ четвертый пролет нулевой, следовательно, фиктивные реакции в нем тоже нулевые. С учетом найденных значений записываем систему уравнений трех моментов ⎧− 6 ⋅ 8 + 2 М 1 (8 + 7) + М 2 ⋅ 7 = −6(64 + 20) ⎪ ⎨М 1 ⋅ 7 + 2М 2 (7 + 9) + М 3 ⋅ 9 = −6(15 + 45) ⎪М ⋅ 9 + 2М ⋅ 9 + 0 ⋅ 0 = −6(45 + 0) 3 ⎩ 2 или, после приведения подобных ⎧30М 1 + 7 М 2 = −456 ⎪ ⎨7 М 1 + 32М 2 + 9 М 3 = −360 ⎪9М + 18М = −270 3 ⎩ 2 23 4. Из решения системы уравнений находим значения опорных моментов M 1 = −14,13 кНм, M 2 = −4,58 кНм, M 3 = −12,71 кНм. 5. По известным значениям М 0 , М 1 , М 2 , М 3 строим эпюру опорных моментов (на рис. 22 она показана пунктирной линией). 6. Изгибающую эпюру моментов строим путем наложения на эпюру опорных моментов эпюр, построенных от заданной нагрузки для каждого пролета отдельно по расчетной схеме однопролетной балки (рис. 22). 7. Значения поперечной силы определяем по правилу Журавского перепад М уч ql Q= ± , lуч 2 Q 1= 10,98 кН −6 − (−14,13) 3 ⋅ 8 ± = −1,02 ± 12 = , −13,02 кН 8 2 − 1,4 − (−14,13) = 6,37 кН, 2 − 4,58 − (−1,4) Q3 = = 0,63 кН, 5 7,31 − (−4,58) Q4 = = 4,1 кН, 3 5 − 7,31 Q5 = = −0,9 кН, 3 Q2 = Q6 = − 12,71 − 5 = −5,9 кН. 3 8. Опорные реакции определяем как разность между поперечными силами слева и справа от опоры по формуле Rn = Qn +1 − Qn , R0 = 10,98 − (−6) = 16,98 кН, R1 = 6,37 − (−13,02) = 19,39 кН, R2 = 4,1 − (−0,63) = 4,73 кН, R3 = 5,9 кН. Положительные реакции направляют вверх, отрицательные — вниз. Эпюра показана на рис. 22. 9. Статическая проверка ∑ Y = 0, R + R1 + R2 + R3 − q ⋅ 10 − F1 − 2 ⋅ F2 = 0 , 16,98 + 19,39 + 4,73 + 5,9 − 3 ⋅ 10 − 7 − 2 ⋅ 5 = 0 . 24 Рис. 22 2.3. Расчет на температурное воздействие и просадку опор При неравномерном нагреве, т. е. при наличии разности изменения температуры с верхней и нижней сторон балки, расчет производят с применением уравнения трех моментов. При этом в уравнении (16) изменится лишь правая часть M n −1ln′ + 2M n (ln′ + ln′ +1 ) + M n +1ln′ +1 = −6 EI n Δ nt . (18) Здесь Δ nt — температурное перемещение в основной системе (угол перелома упругой линии) на опоре n от изменения температуры в прилегающих пролетах ⎛ l ⎞ l Δ nt = ±αΔt ⎜⎜ n + n +1 ⎟⎟ , ⎝ 2hn 2hn +1 ⎠ (19) где α — коэффициент температурного расширения; hn и hn +1 — высота поперечного сечения балки соответственно n и n + 1 пролетов; Δt = t1 − t 2 — перепад температур по высоте балки. 25 При расчете на просадку опор правая часть уравнения трех моментов имеет следующий вид: M n −1ln′ + 2M n (ln′ + ln′ +1 ) + M n +1ln′ +1 = −6 EI n Δ nΔ . (20) Здесь Δ nΔ — угол перелома упругой линии в основной системе на опоре n, вызываемый смещением опор Δ nΔ = Δ n +1 − Δ n Δ n − Δ n −1 − , l n +1 ln где Δ n — заданное смещение опоры n. 2.4. Расчет методом моментно-фокусных отношений При наличии нагрузки только в одном пролете многопролетной неразрезной балки (например, при расчете на временную нагрузку) наиболее целесообразно применять метод фокусов, который помогает избежать решения системы уравнений. Метод основан на том, что независимо от вида нагрузки в каждом ненагруженном пролете эпюра моментов очерчена прямой линией, причем имеется две фиксированные нулевые точки, соответственно для нагрузки правее и левее рассматриваемого пролета. Положение нулевых точек (моментных фокусов) определяется для каждого пролета неразрезной балки подсчетом моментно-фокусных отношений по специальным рекуррентным формулам: правое моментно-фокусное отношение knпр = − M n−1 l ⎛ 1 ⎞ = 2 + n+1 ⎜ 2 − пp ⎟ ; Mn ln ⎝ kn+1 ⎠ (21) левое моментно-фокусное отношение knлев = − Mn l ⎛ 1 ⎞ = 2 + n−1 ⎜ 2 − лев ⎟ . M n−1 ln ⎝ kn−1 ⎠ (22) При подсчете левых моментно-фокусных отношений необходимо начинать расчет слева направо, а правых — справа налево. Начальные значения принимаются для крайних пролетов следующими значениями: для жесткой заделки k = 2 ; для шарнирной опоры k = ∞ . Для построения эпюры моментов по всей длине балки необходимо знать значения изгибающих моментов на концах загруженного пролета и нулевых точек в каждом пролете. Формулы для подсчета величин моментов на концах загруженного пролета получены после преобразования уравнений трех моментов M n−1 = − 6ωn ( knnpbn − an ) ln2 ( kплев knnp − 1) , Mn = − 6ωn ( knлев аn − bn ) ln2 ( kплев knnp − 1) 26 (23) или с учетом фиктивных реакций AnФ knпp − ВnФ ВnФ knпp − АnФ M n−1 = −6 . , M n = −6 ln ( kплев knпp − 1) ln ( kплев knпp − 1) (24) Опорные моменты незагруженных пролетов определяются после подсчета моментно-фокусных отношений и опорных моментов загруженного пролета по формулам M n+1 = − Mn M , M n−1 = − левn . пр kn+1 kn (25) 2.5. Построение объемлющей (огибающей) эпюры Для построения объемлющей (огибающей) эпюры моментов необходимо знать ординаты эпюр моментов для нескольких сечений от постоянной и временной нагрузок. Максимальные ординаты объемлющей эпюры для произвольного сечения равны сумме моментов от постоянной нагрузки и всех положительных моментов в этом сечении от временной нагрузки M nmax = M nпост + ∑ ( + M nврем ) . (26) Минимальные ординаты объемлющей эпюры для произвольного сечения равны сумме моментов от постоянной нагрузки и всех отрицательных моментов в этом сечении от временной нагрузки M nmin = M nпост + ∑ ( − M nврем ) . (27) Расчет ординат объемлющей эпюры удобно вести в табличной форме. 27 Лекция 3. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ АРОК Статически неопределимые арки в отличие от статически определимых содержат лишние связи, усилия в которых не могут быть найдены с помощью уравнений статического равновесия. В зависимости от количества лишних связей (степени статической неопределимости) различают следующие основные виды статически неопределимых арок: бесшарнирные (рис. 23), одношарнирные и двухшарнирные (рис. 24, а). Статически неопределимые арки, так же как и статически определимые, могут быть с затяжками и без них (рис. 24, б). Рис. 23 а б Рис. 24 Основная система для бесшарнирной арки может быть выбрана в виде трехшарнирной арки (рис. 25). Трехшарнирная основная система близка по работе к заданной бесшарнирной арке, поэтому такая основная система более предпочтительна при расчете. В расчетах рамных систем при вычислении коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений в формуле Мора (28) обычно учитываются только изгибающие моменты. М 12 Q12 N12 ds + ∑ ∫ η ds + ∑ ∫ δ11 = ∑ ∫ ds . EI GA EA 28 (28) Рис. 25 В арках влияние других внутренних усилий, особенно продольных сил, на величины единичных и грузовых перемещений значительно больше. Это связано с наличием такого фактора, как степень пологости арки, т. е. соотношением стрелки арки f к длине ее пролета l. Если отношение f/l достаточно велико, то в формуле (28) можно ограничиться учетом только изгибающих моментов. Если отношение f/l мало (менее 0,2), то при вычислении перемещений вместе с изгибающими моментами необходимо также учитывать действие продольных сил (29). N12 М 12 ds + ∑ ∫ δ11 = ∑ ∫ ds . EI EA (29) Все другие коэффициенты, а также грузовые перемещения от действия только вертикальных нагрузок определяются перемножением только эпюр изгибающих моментов, так как учет продольных сил в (28) не оказывает существенного влияния в результате расчетов. Пример расчета 3 Для арки с длиной пролета l = 20 м, высотой h = 4 м рациональная ось задана параболой, жесткостные характеристики по всей арки постоянны (рис. 26) необходимо построить эпюры внутренних усилий. Рис. 26 Решение 1. Степень статической неопределимости СН = 3К − Ш = 3 ⋅ 1 − 2 = 1 . 29 2. Получаем основную систему, отбрасывая горизонтальный опорный стержень (рис. 27). Рис. 27 3. Составляем каноническое уравнение δ11 Х 1 + Δ1F = 0 . 4. Составляем выражения для внутренних усилий. Единичное состояние: M1 = − X1 y = − y . Грузовое состояние: ∑ M B = 0, 20V A − q ⋅ 5 ⋅ 2,5 = 0, V A = 6,25 кН; ∑ M A = 0, 20VB − q ⋅ 5 ⋅ 17,5 = 0, VB = 43,75 кН. 1 участок 0 ≤ x ≤ 15 M 1F = V A x ; 2 участок 0 ≤ x ≤ 5 M 2 F = VB x − qx 2 / 2 . 5. Определяем коэффициенты канонического уравнения по формуле Мора. Учитывать будем только усилия изгибающих моментов, так как поперечные и продольные силы имеют незначительное влияние на расчет. Определяем коэффициент при неизвестных l M 12 (− y ) 2 δ11 = ∑ ∫ ds = ∫ ds , EI EI l заменяем у на выражение для параболы через х и интегрировать также будем по х 2 ⎛4f ⎞ l ⎜ 2 (l − x) x ⎟ 16 f 2 l 16 f 2 l 2 2 l ⎝ ⎠ 2 2 δ11 = ∫ dx = 4 ∫ (lx − x ) dx = 4 ∫ (l x − 2lx 3 + x 4 )dx = EI l EI 0 l EI 0 l l l ⎛ ⎛ 2lx 4 ⎞ ⎛ x 5 ⎞ ⎞⎟ 16 f 2 ⎛ l 5 l 5 l 5 ⎞ 16 f 2l 5 8 f 2l 16 f 2 ⎜ ⎛⎜ l 2 x 3 ⎞⎟ ⎜ − + ⎟= ⎟ +⎜ ⎟ = = = 4 ⎜⎜ −⎜ l EI ⎜ ⎝ 3 ⎟⎠ 0 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 0 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 0 ⎟⎟ l 4 EI ⎜⎝ 3 2 5 ⎟⎠ 30l 4 EI 15EI ⎠ ⎝ 30 Подставляем числовые значения δ11 = 170,667 . EI Определяем грузовой коэффициент 15 s Δ1F 5 M 1M F (− y )(VA ⋅ x) (− y )(VB ⋅ x − qx 2 / 2) = ∑∫ ds = ∫ dx + ∫ dx . EI EI EI Подставляем числовые значения 5 ⎞ 4 f ⎛ 15 2 Δ1F = − 2 ⎜⎜ ∫ (lx − x )(6,25 x)dx + ∫ (lx − x 2 )(43,75 x − 5 x 2 )dx ⎟⎟ = l EI ⎝ 0 ⎠ 15 5 ⎞ 4f ⎛ = − 2 ⎜⎜ ∫ (125 x 2 − 6,25 x 3 )dx + ∫ (875 x 2 − 43,75 x 3 − 100 x 3 + 5 x 4 )dx ⎟⎟ = l EI ⎝ 0 ⎠ 5 ⎞ 4 f ⎛ 15 = − 2 ⎜⎜ ∫ (125 x 2 − 6,25 x 3 )dx + ∫ (875 x 2 − 143,75 x 3 + 5 x 4 )dx ⎟⎟ = l EI ⎝ 0 ⎠ 5 5 5 15 15 4 f ⎛⎜ 125 x 3 6,25 x 4 875 x 3 143,75 x 4 5 x 5 ⎞⎟ =− 2 ⎜ − + − + ⎟= 3 0 4 0 3 0 4 5 l EI 0⎠ ⎝ 4 ⋅ 4 ⎛⎜ 125 ⋅ 153 6,25 ⋅ 15 4 875 ⋅ 53 143,75 ⋅ 5 4 5 ⋅ 55 ⎞⎟ 3145,833 =− 2 ⎜ − + − + = − 3 4 3 4 5 ⎟⎠ EI 20 EI ⎝ 6. Определяем неизвестное усилие X 1 X1 = − Δ1F 3145,833 = = 18,932 кН. δ11 170,667 7. Построение эпюр внутренних усилий ведем по формулам M ар = М б − Х 1 у ; Qар = Qб cos ϕ − Х 1 sin ϕ ; N ар = −(Qб sin ϕ + Х 1 cos ϕ) . Подставляем полученные выражения и значения 1 участок 0 ≤ x ≤ 15 M ар = V A x − Х 1 4f l2 (l − x) x = 6,25 x − 0,757(20 − x) x , Qар = V A cos ϕ − Х 1 sin ϕ = 6,25 cos ϕ − 18,932 sin ϕ , N ар = −(V A sin ϕ + Х 1 cos ϕ) = −(6,25 sin ϕ + 18,932 cos ϕ) . 31 2 участок 0 ≤ x ≤ 5 M ар = VB x − qx 2 / 2 − Х 1 4f l 2 (l − x) x = 43,75 x − 5 x 2 − 0,757(20 − x) x , Qар = (VB − qx) cos ϕ − Х 1 sin ϕ = (43,75 − 10 x) cos ϕ − 18,932 sin ϕ , N ар = −((VB − qx) sin ϕ + Х 1 cos ϕ) = −((43,75 − 10 x) sin ϕ + 18,932 cos ϕ) . Изменяя значения х, строим окончательные эпюры внутренних усилий (рис. 28). Рис. 28 32 Лекция 4. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ Статически неопределимая система — это геометрически неизменяемая система, содержащая связи, реакции которых при произвольной статической нагрузке могут быть найдены лишь из совместного рассмотрения условий статики и условий, характеризующих деформацию данной системы. Статическую неопределимость фермы можно разделить на внешнюю и внутреннюю. Первая имеет лишние опорные связи (рис. 29), вторая — лишние внутренние связи (рис. 30). Рис. 29 Рис. 30 Степень статической неопределимости фермы вычисляют по формуле СН = Cф + Соп − 2У , (30) где Cф — количество стержней фермы; Cоп — количество опорных стержней; У — количество узлов фермы, включая опорные. Основная система метода сила получается путем отбрасывания «лишнего» опорного стрежня или стержня фермы. 33 Для определения основных неизвестных составляют канонические уравнения, которые имеют такой же вид, как и уравнения для расчета рам (3). Различие заключается в том, что при определении коэффициентов и свободных членов учитывают не изгибающие моменты в стержнях основной системы, а продольные силы: l l N N Ni N k ds , Δ iF = ∑ ∫ i F ds . 0 EI 0 EI δ ik = ∑ ∫ В целом расчет статически неопределимых ферм методом сил ведется аналогично расчету статически неопределимых рам. Пример расчета 4 Для заданной фермы (рис. 31) необходимо определить внутренние усилия. Жесткость стержней нижнего и верхнего поясов фермы — 2 EI , раскосов и стоек — EI . Рис. 31 Решение 1. Степень статической неопределимости СН = Cф + Соп − 2У = 9 + 4 − 12 = 1 . 2. Выбираем основную систему, отбрасывая один опорный стержень (рис. 32). 3. Каноническое уравнение δ11 Х 1 + Δ1F = 0 . Рис. 32 34 4. Определяем продольные усилия для единичного и грузового состояний (рис. 33). Единичное состояние Способ вырезания узлов (рис. 33, а) Узел 1 N1− 2 = 0; ∑ x = 0, N1− A = 0. ∑ y = 0, а Способ вырезания узлов (рис. 33, б) Узел С N С − 2 + X 1 = 0, N С − 2 = −1 ∑ x = 0, N C − B = 0. ∑ y = 0, б Способ проекций (рис. 33, в) V A + N A − 2 cos 45 = 0, ∑ y = 0, V N A − 2 = − A = −0,707. cos 45 Способ моментной точки H A ⋅ 2 − V A ⋅ 2 + N A − 3 ⋅ 2 = 0, ∑ M 2 = 0, N A − 3 = −0,5. в Способ проекций (рис. 33, г) VB − N B − 2 cos 45 = 0, ∑ y = 0, V N B − 2 = B = 0,707. cos 45 Способ моментной точки VB ⋅ 2 + N B − 3 ⋅ 2 = 0, ∑ M 2 = 0, г N B − 3 = −0,5. Способ вырезания узлов (рис. 33, д) Узел 3 N A−3 = N B −3 ; ∑ x = 0, N 3 − 2 = 0. ∑ y = 0, д Рис. 33 (начало) 35 Грузовое состояние Способ вырезания узлов (рис. 33, е) Узел 1 N1− 2 = 0; ∑ x = 0, N1− A = 0. ∑ y = 0, е Способ вырезания узлов (рис. 33, ж) Узел С N С − 2 = 0, ∑ x = 0, N C − B = 0. ∑ y = 0, ж Способ проекций (рис. 33, з) V A + N A − 2 cos 45 = 0, ∑ y = 0, V N A − 2 = − A = −7,07 кН. cos 45 Способ моментной точки H A ⋅ 2 − V A ⋅ 2 + N A − 3 ⋅ 2 = 0, ∑ M 2 = 0, N A − 3 = 5 кН. з Способ проекций (рис. 33, и) VB + N B − 2 cos 45 = 0, ∑ y = 0, V N B − 2 = − B = −7,07 кН cos 45 Способ моментной точки VB ⋅ 2 − N B − 3 ⋅ 2 = 0, ∑ M 2 = 0, N B − 3 = 5 кН. и Способ вырезания узлов (рис. 33, к) Узел 3 N A−3 = N B −3 ; ∑ x = 0, N 3 − 2 = 0. ∑ y = 0, к Рис. 33 (окончание) 36 5. Так как продольные силы по длине стержня постоянны, определение усилий ведем по упрощенной формуле Мора N1 N1l N N l , Δ1F = ∑ 1 F . EA EA 6. Определяем неизвестное усилие X1 по формуле δ11 = ∑ X1 = − Δ1F . δ11 7. Окончательные усилия вычисляем по формуле N i = N i X 1 + N iF . 8. Определение коэффициентов, неизвестного усилия, исправленных и окончательных значений продольных сил в стержнях фермы ведем в табличной форме (табл. 2). Таблица 2 Вычисление окончательных значений продольных сил № стержня 1 1-2 l EA 2 1 2-С 4 N1 N1l EA 5 N1 N F l EA 6 –1 1 –1,155 1 –0,5 5 0,25 –2,5 4,422 3-В 1 –0,5 5 0,25 –2,5 4,422 А-1 2 2-3 2 С-В 2 А-2 2,828 –0,707 –7,07 1,414 14,138 –7,887 В-2 2,828 0,707 –7,07 1,414 –14,138 –6,253 δ11 = 4,3276 Δ1F = –5 Ni N iF 3 1 А-3 Х1 N i , кН 7 8 9. Статическая проверка. Способ вырезания узлов (рис. 34) Узел 2 ∑ x = 0, N1− 2 − N С − 2 + N A − 2 cos 45 − N B − 2 cos 45 = 0, 0 − ( −1,155) − 7,887 ⋅ 0,707 − (−6,253) ⋅ 0,707 = 0; ∑ y = 0, N 3 − 2 + F + N A − 2 sin 45 + N B − 2 sin 45 = 0, Рис. 34 0 + 10 − 7,887 ⋅ 0,707 − 6,253 ⋅ 0,707 = 0,003 ≈ 0. 37 Лекция 5. МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В методе перемещений за основные неизвестные принимаются угловые и линейные перемещения узлов (рис. 35). Рис. 35 Основные гипотезы метода перемещений: 1. Влияние продольных и поперечных сил на деформации стержней настолько мало, что им можно пренебречь. При расчете учитываются только деформации изгиба. 2. Сближением концов стержня при его изгибе можно пренебречь. Алгоритм расчета статически неопределимых систем методом перемещений: 1. Определение степени кинематической неопределимости; 2. Основная система метода перемещений; 3. Запись системы канонических уравнений метода перемещений; 4. Построение единичных и грузовой эпюр; 5. Подсчет коэффициентов канонических уравнений; 6. Проверки коэффициентов канонических уравнений; 7. Решение системы канонических уравнений и вычисление неизвестных перемещений; 8. Построение исправленных эпюр моментов; 9. Построение окончательной эпюры моментов; 10. Деформационная проверка окончательной эпюры изгибающих моментов; 38 11. Построение эпюры поперечных усилий; 12. Построение эпюры продольных усилий; 13. Статическая проверка. 5.1. Раскрытие кинематической неопределимости В методе перемещений в заданную систему вводятся дополнительные угловые и линейные связи, которые компенсируются соответствующими неизвестными угловыми и линейными перемещениями. Степень кинематической неопределимости вычисляется по формуле N = nу + nл , (31) где nу — неизвестные углы поворота. Количество неизвестных углов поворота равно количеству жестких узлов системы. Так на рис. 36, а количество жестких узлов равно 2; nл — неизвестные линейные смещения. Количество неизвестных линейных смещений равно количеству возможных перемещений шарнирной схемы исследуемой системы (рис. 36, б). а б Рис. 36 5.2. Основная система метода перемещений Основная система метода перемещений получается путем введения жестких заделок во все жесткие узлы, а также путем постановки дополнительных опорных связей, запрещающих возможные линейные смещения заданной системы. Основная система метода перемещений рамы показана на рис. 37. Рис. 37 39 5.3. Канонические уравнения метода перемещений В общем виде для системы n раз кинематически неопределимой система канонических уравнений метода перемещений записывается следующим образом: ⎧r11 ⋅ Z1 + r12 ⋅ Z 2 + ... + r1n ⋅ Z n + R 1F = 0; ⎪r ⋅ Z + r ⋅ Z + ... + r ⋅ Z + R = 0; 2n n 2F ⎪ 21 1 22 2 ⎨ ⎪... ⎪rn1 ⋅ Z1 + rn 2 ⋅ Z 2 + ... + rn n ⋅ Z n + R nF = 0. ⎩ (32) 5.4. Построение единичных и грузовой эпюр моментов Для получения коэффициентов канонических уравнений необходимо предварительно выполнить построение единичных и грузовой эпюр моментов. В методе перемещений построение этих эпюр выполняется на основании табличных значений, полученных для простых балок двух типов: ограниченных двумя жесткими заделками; жесткой заделкой и шарнирной опорой. Так, на рис. 38 представлены табличные значения для построения единичных эпюр моментов На рис. 39 представлены табличные значения для построения грузовой эпюры моментов с наиболее распространенными в расчетах видами загружения: сосредоточенной силой, приложенной в середине пролета балки; равномерно распределенной по всей длине балки нагрузкой. Рис. 38 40 Рис. 39 5.5. Проверки коэффициентов канонических уравнений Для нахождения коэффициентов от неизвестного углового перемещения необходимо вырезать соответствующий узел из эпюры, построенной от действия единичного угла поворота ϕi и от внешней нагрузки, и составить сумму моментов относительно вырезанного узла. Для нахождения коэффициентов от неизвестного линейного перемещения необходимо отрезать опорные стержни на эпюре, построенной от действия единичного линейного смещения δi и от внешней нагрузки, приложить реакции, сонаправленные линии действия перемещения, и составить сумму проекций на ось, параллельную линии действия перемещения. С целью выполнения проверок коэффициентов необходимо предварительное построение суммарной единичной эпюры моментов M S , а также грузовой эпюры, построенной в основной системе метода сил от действия заданной внешней нагрузки M Fм.с . Универсальная проверка: MS ⋅ MS ds =∑ r . EI l ∑∫ (33) Проверка грузовых коэффициентов: l M S ⋅ M Fм.с ∑ ∫ EI ds = − ∑ R . (34) 41 5.6. Построение и проверки окончательной эпюры моментов Окончательная эпюра моментов получается путем сложения по участкам значений моментов всех исправленных эпюр и грузовой эпюры моментов (35) M ок = M 1 ⋅ Z1 + M 2 ⋅ Z 2 + ... + M n ⋅ Z n + M F . Эпюра М ок строится в заданной системе. При этом должно соблюдаться равновесие всех жестких узлов системы. Для выполнения деформационной проверки окончательной эпюры моментов необходимо в основной системе метода сил построить единичную эпюру моментов от любого из единичных усилий l M ок ⋅ M iм.с ∑ ∫ EI ds =0 . (36) Дальнейшее построение эпюр внутренних усилий осуществляется аналогично алгоритму расчета систем методом сил. Эпюра поперечных усилий строится по окончательной эпюре моментов по правилу Д. И. Журавского (13). Для определения знака поперечной силы Q необходимо повернуть ось стержня до совмещения с эпюрой M ок . M перепад Если вращение происходит по ходу часовой стрелки, значение lуч считается положительным. Эпюра продольных усилий строится по эпюре поперечных усилий способом вырезания узлов. Для этого из эпюры поперечных усилий вырезается узел с наименьшим количеством стержней, из которых он состоит. Из эпюры поперечных усилий берутся соответствующие каждому из рассматриваемых стержней значения поперечных усилий. В соответствии со знаком на эпюре Q поперечное усилие направляется перпендикулярно рассматриваемому продольному усилию N. Положительное значение поперечного усилия на эпюре Q соответствует повороту рассматриваемого узла по часовой стрелке. Далее составляются суммы проекций на вертикальную и горизонтальную оси и вычисляются значения продольных усилий в стержнях системы, которые откладываются на эпюре N с учетом знака. Для выполнения статической проверки необходимо в заданной системе, загруженной внешней нагрузкой, отбросить все опорные стержни, заменив их внутренними усилиями с соответствующих эпюр. Из эпюры поперечных усилий берутся значения, перпендикулярные оси стержня. Знак «+» соответствует повороту стержня по часовой стрелке. Из эпюры продольных усилий берутся значения, действующие вдоль оси стержня. Знак «+» соответствует растяжению стержня. Сумма проекций всех внешних сил и внутренних усилий на оси X и Y должна быть равна нулю. 42 Пример расчета 5 Для системы, представленной на рис. 40, необходимо раскрыть степень кинематической неопределимости и построить эпюры внутренних усилий. Рис. 40 Решение Степень кинематической неопределимости заданной системы вычисляется по формуле (31): N = n у + nл = 1 + 0 = 1. Основная система метода перемещений для заданной системы представлена на рис. 41. Рис. 41 Так как заданная рама единожды неопределима, то система канонических уравнений (32) будет представлена одним линейным алгебраическим уравнением r11 ⋅ ϕ1 + R1F = 0 . (37) Для вычисления коэффициентов r11 и R1F необходимо построить единичную и грузовую эпюры. Их построение осуществляется с помощью табличных значений, представленных на рис. 38 и 39. Для удобства построения единичной эпюры моментов представим заданную раму в виде отдельных элементов балочного типа (рис. 42). 43 Рис. 42 Тогда для каждого из рассматриваемых участков вычислим значения изгибающих моментов (рис. 43). Рис. 43 Единичная эпюра представлена на рис. 44. Рис. 44 44 Аналогично вычислим значения моментов на грузовой эпюре (рис. 45). Рис. 45 Так как на правом ригеле внешняя нагрузка отсутствует, эпюра моментов на этом участке будет нулевой. Грузовая эпюра представлена на рис. 46. Рис. 46 Далее выполним подсчет коэффициентов канонических уравнений. Для этого необходимо вырезать жесткий узел из единичной (рис. 47, а) и грузовой (рис. 47, б) эпюр. а б Рис. 47 45 Для подсчета коэффициентов канонических уравнений составим сумму моментов относительно вырезанного узла, таким образом, ∑ M = r11 − 2 EI − 1EI − 1,2 EI = 0 , r11 = 4,2 EI ; ∑ M = R1F − 45 + 3 = 0 , R1F = 42 . Для систем, единожды кинематически неопределимых, проверки коэффициентов канонических уравнений выполнять не требуется. Подставляя полученные значения коэффициентов в уравнение (37), получим 4,2 EI ⋅ ϕ1 + 42 = 0 . Неизвестное усилие вычисляется следующим образом: ϕ1 = − R1F 42 10 =− =− . 4,2 EI r11 EI Так как значение ϕ1 в результате расчета получилось отрицательным, при построении исправленной эпюры необходимо не только умножить каждое из значений единичной эпюры моментов, но и отложить их в противоположном направлении от оси стержня. Исправленная эпюра моментов представлена на рис. 48. Рис. 48 Для построения окончательной эпюры моментов сложим по участкам соответствующие значения эпюр, изображенных на рис. 46, 48 в соответствии с (35). Окончательная эпюра изгибающих моментов, построенная в заданной системе, представлена на рис. 49. 46 Рис. 49 Равновесие внутренних усилий в узле соблюдается. Это подтверждается равенством нулю суммы моментов относительно узла (рис. 50) Рис. 50 Деформационная проверка в системах с одной избыточной связью не выполняется. Для построения эпюры поперечных усилий (рис. 51) по правилу Д. И. Журавского (13) разобьем эпюру M ок на четыре участка и вычислим значения поперечного усилия на каждом из этих участков: Q1 = − 51,667 кН, 25 40 ⋅ 3 ± = −8,333 ± 60 = −68,333 кН; 3 2 Q2 = 12 = 2, 4 кН; 5 Q3 = 13 + 0,5 = 6,75 кН; 2 Q3 = 2 − 0,5 = 0,75 кН. 2 47 Рис. 51 Для построения эпюры продольных усилий вырежем узел из эпюры Q и направим продольные усилия от узла. Поперечные усилия ( −68,333 ; +2, 4 ; +6,75 ) направим перпендикулярно тому стержню, на котором они отложены, таким образом, чтобы рассматриваемый узел поворачивался в соответствующую знаку сторону («+» соответствует повороту узла по часовой стрелке, «−» — против часовой стрелки) (рис. 52) Рис. 52 Усилие N1 примем равным нулю, так как шарнирно-подвижное закрепление стержня предполагает отсутствие в данном стержне продольного усилия. Таким образом, составляя суммы проекций на оси Х и Y, получим ∑ X = 0, N 2 − 6,75 = 0 → N 2 = 6,75 кН; ∑ Y = 0, − N 3 − 68,333 − 2,4 = 0 → N 3 = −70,733 кН. Эпюра продольных усилий показана на рис. 53. Для выполнения статической проверки в заданной системе удалим опорные связи, приложим внешнюю нагрузку и усилия, возникающие в местах отброшенных опорных связей, взятые с эпюр Q и N (рис. 54). 48 Рис. 53 Рис. 54 Составляя суммы проекций на оси Х и Y, получим ∑ X = 0, 6,75 − 6 − 0,75 = 0. ∑ Y = 0, 51,667 + 70,733 − 2,4 − 40 ⋅ 3 = 0. Проверка выполняется. Пример расчета 6 Для системы, представленной на рис. 55, необходимо раскрыть степень кинематической неопределимости и построить эпюры внутренних усилий. Рис. 55 49 Решение 1. Степень кинематической неопределимости заданной системы вычисляется по формуле (17). Так как стержни исследуемой рамы соединены в узлах шарнирно, то количество жестких узлов системы равно нулю. Для того чтобы подсчитать количество линейных смещений, необходимо предварительно изобразить шарнирную схему заданной рамы (рис. 56). Рис. 56 Подсчитав степень свободы рамы, представленной на рис. 56, получим Сс = 3Д − 2Ш − Соп = 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 − 4 = 1. Таким образом, степень кинематической неопределимости равна N = nу + nл = 0 + 1 = 1 . 2. Основная система метода перемещений для заданной системы показана на рис. 57. Она получена путем постановки дополнительного опорного стержня в направлении возможного линейного перемещения с целью его запрета. Рис. 57 50 3. Так как заданная рама единожды неопределима, то система канонических уравнений (18) будет представлена одним линейным алгебраическим уравнением r11 ⋅ Δ1 + R1F = 0 . (38) 4. Для вычисления коэффициентов r11 и R1F необходимо построить единичную и грузовую эпюры. Их построение осуществляется с помощью табличных значений, представленных на рис. 38, 39. Для удобства построения единичной и грузовой эпюр, моментов аналогично предыдущему примеру, представим заданную раму в виде отдельных элементов балочного типа (рис. 58). а б Рис. 58 Построение единичной эпюры показано на рис. 59. Рис. 59 Окончательный вид единичной эпюры представлен на рис. 60. 51 Рис. 60 Построение грузовой эпюры показано на рис. 61. Рис. 61 Окончательный вид грузовой эпюры представлен на рис. 62. Рис. 62 52 5. Для нахождения коэффициентов от неизвестного линейного перемещения в соответствии с п. 5.6 необходимо отрезать опорные стержни на эпюре, построенной от единичного смещения Δ1 , и от внешней нагрузки, приложить реакции, сонаправленные линии действия перемещения, и составить сумму проекций на ось, параллельную линии действия перемещения (в данном случае ось X). Величины прикладываемых опорных реакций берем из рис. 38, 39 для соответствующей схемы загружения (рис. 63). а б Рис. 63 Для подсчета коэффициентов канонических уравнений составим сумму проекций всех сил и реакций на ось X: ∑ X = r11 − 0,0555EI − 0,1406EI = 0, r11 = 0,1961EI ; ∑ X = R1F + q ⋅ 6 − F − 37,5 + 27,5 = 0, R1F = −10 . 6. Для систем, единожды кинематически неопределимых, проверки коэффициентов канонических уравнений выполнять не требуется. 7. Подставляя полученные значения коэффициентов в уравнение (38), получим 0,1961EI ⋅ Δ1 − 10 = 0. Неизвестное усилие вычисляется следующим образом: Δ1 = − R1F − 10 50,994 =− = . 0,1961EI r11 EI 8. Так как значение Δ1 в результате расчета получилось положительным, при построении исправленной эпюры необходимо умножить каждое из значений единичной эпюры моментов, сохранив их положение относительно оси стержня. 53 Исправленная эпюра моментов представлена на рис. 64. Рис. 64 9. Для построения окончательной эпюры моментов сложим по участкам соответствующие значения эпюр, изображенных на рис. 62, 64. Окончательная эпюра изгибающих моментов, построенная в заданной системе, представлена на рис. 65. Рис. 65 10. Деформационная проверка в системах с одной избыточной связью не выполняется. 11. Для построения эпюры поперечных усилий по правилу Д. И. Журавского (13) разобьем эпюру M ок на три участка и вычислим значения поперечного усилия на каждом из этих участков: Q1 = 40,332 кН, 61,991 10 ⋅ 6 ± = 10,332 ± 30 = −19,668 кН; 6 2 Q2 = 39,336 = 19,668 кН; 2 Q3 = − 39,336 + 1,327 = −20,332 кН. 2 54 Эпюра поперечных усилий представлена на рис. 66. Рис. 66 12. Для построения эпюры продольных усилий вырежем последовательно узлы из эпюры Q и направим продольные усилия от узлов. Поперечные усилия Q = 19,668 кН направим перпендикулярно тому стержню, на котором они отложены, таким образом, чтобы рассматриваемый узел поворачивался в соответствующую знаку сторону («+» соответствует повороту узла по часовой стрелке, «−» — против часовой стрелки) (рис. 67). Рис. 67 Составив суммы проекций на оси X и Y для левого узла, получим ∑ X = 0, N1 + 19,668 = 0 → N1 = −19,668 кН; ∑ Y = 0, N 2 = 0 . Составив суммы проекций на оси X и Y для правого узла, получим ∑ X = 0, − N1 − 19,668 = 0 → N1 = −19,668 кН; ∑ Y = 0, N 3 = 0 . Эпюра продольных усилий представлена на рис. 68. 55 Рис. 68 13. Для выполнения статической проверки в заданной системе удалим опорные связи, приложим внешнюю нагрузку и усилия, возникающие в местах отброшенных опорных связей, взятые из эпюр Q и N (рис. 69). Рис. 69 Составив суммы проекций на оси Х и Y, получим ∑ X = 0, q ⋅ 6 − F − 40,332 + 20,332 = 0. ∑ Y = 0, 0 = 0. Проверка выполняется. 56 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Изложенные в данном пособии теоретические и практические материалы предназначены для студентов заочной формы обучения (бакалавриат) и охватывают лишь часть большого раздела строительной механики «Статически неопределимые системы». Основной задачей, поставленной перед авторами, было показать прикладное применение строительной механики в решении практических задач. Рассматриваемые схемы достаточно простые, и их решение не будет вызывать трудности у студента, знакомого с основами теоретической механики и сопротивления материалов. Данный курс является основой для изучения таких дисциплин, как «Металлические конструкции», «Железобетонные конструкции», «Основания зданий и сооружений». В пособии не были рассмотрены такие темы, как комбинированный и смешанный методы расчета, способ жестких консолей, построение линий влияния, бесшарнирные арки и пространственные системы. Эти темы входят в расширенный курс строительной механики, который рассматривается на очной форме обучения у специальности «Строительство уникальных зданий и сооружений» (специалитет). 57 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Анохин, Н. Н. Строительная механика в примерах и задачах. Ч. 2. Статически неопределимые системы : учеб. пособие для студ. вузов, обучающихся по строит. спец. — 2-е изд., доп. и перераб. — М. : АСВ, 2007. 2. Дарков, А. В. Строительная механика : учеб. для строит. спец. вузов / А. В. Дарков, Н. Н. Шапошников. — СПб. : Лань, 2008. 3. Кривошапко, С. Н. Строительная механика : учеб. пособие. — М. : Юрайт-Издат, 2011. 4. Строительная механика. Статика упругих систем : учебник для вузов : в 2 кн. ; Кн. 1 / В. Д. Потапов [и др.]. — М. : Высшая школа, 2007. 5. Курс лекций по строительной механике с примерами решения задач для студентов заочной формы обучения. Часть I. Статически определимые системы [Электронный ресурс] : учебное пособие / Г. В. Воронкова, С. С. Рекунов ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. — Волгоград : ВолгГАСУ, 2015. Режим доступа: http://www.vgasu.ru/publishing/on-line/ 6. Строительная механика. Контрольные задания и примеры их решения для студентов заочной формы обучения. Ч. I. Статически определимые системы : методические указания к контрольным работам / М-во образования и науки Рос. Федерации, Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т ; сост. Г. В. Воронкова, С. С. Рекунов. — Волгоград : ВолгГАСУ, 2015. Режим доступа: http://www.vgasu.ru/publishing/on-line/. 7. Строительная механика. Контрольные задания и примеры их решения для студентов заочной формы обучения : в 2 ч. Ч. 2. Статически неопределимые системы [Электронный ресурс] : методические указания к контрольным работам / М-во образования и науки Рос. Федерации, Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т ; сост. Г. В. Воронкова, С. С. Рекунов. — Волгоград : ВолгГАСУ, 2016. Режим доступа: http://www.vgasu.ru/publishing/on-line/. 58 Учебное электронное издание Воронкова Галина Вячеславна Рекунов Сергей Сергеевич СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. КУРС ЛЕКЦИЙ С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В ДВУХ ЧАСТЯХ ЧАСТЬ II. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ Учебное пособие Заместитель заведующего РИО М. Л. Песчаная Технический редактор О. А. Шипунова Компьютерная правка и верстка А. Г. Сиволобова Минимальные систем. требования: РС 486 DX-33; Microsoft Windows XP; 2-скоростной дисковод СD-ROM; Adobe Reader 6.0 Тираж 17 экз. Подписано в свет 23.12.2016. Гарнитура «Таймс». Уч.-изд. л. 2,0. Объем данных 1,3 Мбайт Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Волгоградский государственный технический университет» 400005, г. Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28, корп. 1