Статистическое изучение динамики

Лекция 4 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ 1 ПОНЯТИЕ И ВИДЫ ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ 2 РАСЧЕТ СРЕДНЕГО УРОВНЯ ДИНАМИЧЕСКОГО РЯДА 3 ПОКАЗАТЕЛИ АНАЛИЗА РЯДОВ ДИНАМИКИ 4 ВЫЯВЛЕНИЕ ОСНОВНОЙ ТЕНДЕНЦИИ ДИНАМИЧЕСКОГО РЯДА 5 ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО РЯДА 6 ИЗУЧЕНИЕ СЕЗОННЫХ КОЛЕБАНИЙ В РЯДАХ ДИНАМИКИ 1 ПОНЯТИЕ И ВИДЫ ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ Одной из задач статистики является изучение развития общественных явлений во времени. Она решается на основе построения и анализа рядов динамики. Динамический ряд – это ряд статистических величин, расположенных в хронологической последовательности и характеризующих изменение явлений во времени. Ряд динамики состоит из двух элементов: уровней ряда и показателей времени (моментов или периодов), к которым относятся уровни ряда. В зависимости от характера отображаемого явления различают два вида динамических рядов: интервальные и моментные. В интервальных динамических рядах уровни характеризуют размер явления за периоды времени (месяц, квартал, год). Например, ряд динамики оборота розничной торговли области. Таблица 1 -Оборот розничной торговли области за 2009 – 2012 гг. Годы Оборот, млрд р. 2009 213,5 2010 271,5 2011 278,4 2012 311,9 В моментных динамических рядах уровни характеризуют состояние явления на определенные моменты времени, даты (на начало года, начало месяца и т.д.). Например, ряд динамики численности студентов средних специальных учебных заведений в области Таблица 2 - Численность студентов в средних специальных учебных заведениях области на начало года Годы Численность студентов, тыс. чел. 2009 47,0 2010 42,3 2011 39,5 2012 38,0 3 В зависимости от расстояния между датами или периодами времени ряды динамики делят на равноотстоящие (интервалы между показателями времени одинаковые) и неравноотстоящие (интервалы между показателями времени неравные). В зависимости от способа выражения уровней ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных, средних величин. Важнейшим требованием к построению рядов динамики является сопоставимость всех входящих в него уровней. 2 РАСЧЕТ СРЕДНЕГО УРОВНЯ ДИНАМИЧЕСКОГО РЯДА В зависимости от вида ряда динамики выбирается формула для расчета его среднего уровня. Средний уровень интервального динамического ряда у исчисляется по средней арифметической простой: y y n i ; средний уровень моментного ряда с равноотстоящими датами – по средней хронологической: 1 1 y1  y 2    y n 1  y n 2 y 2 , n 1 где уi – i-й уровень динамического ряда; n – число уровней динамического ряда. Например, среднегодовой оборот розничной торговли области (средний уровень интервального динамического ряда розничного товарооборота составит: 213,5  271,5  278,4  311,9  268,8 ( млрд р.). 4 Среднегодовая численность студентов средних специальных учебных заведений в области (средний уровень моментного равноотстоящего динамического ряда числа студентов (табл. 2) составит: y 1 1  47, 0  42,3  39,5   38, 0 2 у2  41, 4 (тыс. чел.). 4 1 4 3 ПОКАЗАТЕЛИ АНАЛИЗА РЯДОВ ДИНАМИКИ Показатели анализа рядов динамики включают: – абсолютный прирост; – темп роста; – темп прироста; – абсолютное содержание одного процента прироста. Применяют два способа расчета показателей анализа динамического ряда: цепной и базисный. При цепном способе (ц.) каждый уровень динамического ряда yicсопоставляется с предыдущим уi–1, при базисном способе (б.) каждый уровень ряда уi сравнивается с одним и тем же (чаще всего начальным – у1) уровнем. Рассмотрим методику расчета показателей анализа ряда динамики на примере динамического ряда численности студентов заочного обучения вуза на начало года (таблица 3, графы А, 1). Абсолютным показателем анализа динамического ряда служит абсолютный приростy, представляющий собой разность двух уровней ряда. Он может иметь положительный и отрицательный знак и измеряется в тех же единицах, что и уровни ряда:  y (ц.)  yi  yi 1 ,  y (б.)  yi  y1 . Например, для 2010 г.: у(ц.) = 1195 – 1142 = 53 (чел.); у (б.) = 1195 – 950 = 245 (чел.). Результаты расчетов занесем в таблицу 3 (графы 2,3). Из нее видно, что наибольший абсолютный прирост численности студентов наблюдался в 2009 и 2012 гг. За период с 2008 по 2012 гг. численность студентов вуза заочной формы обучения выросла на 486 человек. 5 Таблица 3 - Показатели динамики численности студентов заочного обучения вуза за 2008 – 2012 гг. Годы А 2008 2009 2010 2011 2012 6 Численность студентов на начало года, чел. 1 950 1142 1195 1278 1436 Абсолютный прирост, чел. Темп роста, % Темп прироста, % цепной базисный цепной базисный цепной базисный 2 – 192 53 83 158 3 – 192 245 328 486 4 – 120,2 104,6 106,9 112,4 5 100,0 120,2 125,8 134,5 151,1 6 – 20,2 4,6 6,9 12,4 7 – 20,2 25,8 34,5 51,1 Абсолютное содержание 1% прироста, чел. 8 – 9,5 11,4 12,0 12,9 За весь анализируемый период рассчитывается средний абсолютный прирост. Применяют две формулы, которые дают одинаковый результат:   y (ц.с.) y y y  или  y  n 1 , m n 1 где m – число цепных абсолютных приростов,m =n – 1, Уn –последний уровень динамического ряда. Среднегодовой абсолютный прирост численности студентов заочного обучения вуза равен: 192  53  83 158 486 y    121,5 (чел.) или 4 4 1436  950 486 y    121,5 (чел.). 5 1 4 В среднем за год численность студентов вуза увеличивалась на 122 чел. Относительный показатель анализа ряда динамики – темп роста. Темп роста представляет собой отношение двух уровней ряда и выражается в процентах Тр или коэффициентах Кр.: TP (ц.)  yi 100, yi 1 K P (ц.)  yi , yi 1 yi 100, y1 K P (б.)  yi . y1 TP (б.)  Например, для2010 г. 1195 TP (ц.)  100  104, 6 ; к 2008 г. 1142 темп роста составил: к 2009 г. 1195 TP (б.)  100  125,8 (%). 950 Результаты расчетов занесем в таблицу 3, графы 4, 5. Численность студентов в 2012 г. составила 151,1 % от их численности в 2008 г. или выросла в 1,5 раза. Наиболее существенный рост контингента студентов характерен для 2009 г. (120,2 %) и 2012 г. (112,4 %). Между цепными и базисными темпами роста существует взаимосвязь: произведение последовательных цепных темпов роста (в коэффициентах) равно заключительному базисному темпу: 1,202 1,046 1,069 1,124 = 1,511. За весь анализируемый период рассчитывается средний (или среднегодовой) темп роста по формуле средней геометрической: K P  m  K P (ц.) , где П – знак произведения; Кр (ц.) – цепные темпы роста в коэффициентах; т – число цепных темпов роста (т=п– 1). В нашем примере средний темп роста составил: KP  4 1,202 1,046 1,069 1,124  4 1,511  1,109, или 110,9 %. 7 Он показывает, что ежегодный рост численности студентов составлял в среднем 110,9 %. Так как произведение последовательных цепных темпов роста дает последний базисный, формула среднегодового темпа роста принимает другой вид: К р  n1 Кр (б.)  4 1,511  1,109 или 110,9 %. Наконец, расчет среднего темпа роста можно выполнить по исходным уровням ряда: K P  n 1 yn 1436 4  51  1,511  1,109 или 110,9 %. y1 950 Следующий показатель анализа ряда динамики – темп прироста Тпр. Это отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню, выраженное в процентах: Tnp (ц.)   y (ц.) yi 1 100 ; Tnp (б.)   y (б.) y1 100. Темп прироста можно также рассчитать по данным о темпе роста, как Тпр = Тр– 100. Темп прироста показывает, на сколько процентов изменился текущий уровень ряда по сравнению с предшествующим или начальным уровнем. Для 2010 г. цепной темп прироста составил: 53 Тпр(ц.) = 100  4,6 (%) или 104,6 - 100 = 4,6 (%). , т.е. по 1142 сравнению с 2009 г. численность студентов увеличилась на 4,6%. Базисный темп прироста: 245 Тпр(б.) = 100  25,8 (%), или 125,8 -100 = 25,8 (%). В 2010 г. по 950 сравнению с 2008 г. численность студентов выросла на 25,8 %. Результаты расчетов занесем в таблицу 3, графы 6,7. Расчет среднего темпа прироста ведется только по данным о среднем темпе роста: T np  T p  100 , где T p  K p  100. Среднегодовой темп прироста числа студентов составил: Т п р = 110,9 –100 = 10,9 (%), то есть уровни ряда возрастали ежегодно в среднем на 10,9 %. В графе 8 таблицы 3 рассчитаем абсолютное содержание одного процента прироста, показывающее, абсолютная величина скрывается за каждым процентом прироста. Оно определяется делением абсолютного прироста на соответствующий темп прироста (показатель исчисляется только по цепной системе): y (ц.) 1%  или 0, 01  yi 1 . Tnp (ц.) 8 Например, для 2011 г. 1 % = 83 12 ,0 (чел.) или 0,01  1195 = 6, 9 12,0 (чел.). Для наглядного изображения динамики применяются различные виды диаграмм: линейная, столбиковая, квадратная или круговая, фигурная. При построении линейной диаграммы в прямоугольной системе координат на оси абсцисс откладывают периоды (моменты) времени, а на оси ординат – уровни динамического ряда. Наглядность графика зависит от правильности выбора масштабов на обеих осях. Точки пересечения перпендикуляров, проведенных от осей координат, соединяют ломаной линией. Координатные оси должны быть подписаны. График должен иметь название. Пример линейной диаграммы, построенной по данным таблицы 3, представлен на рисунке 5.1. Проанализировав исчисленные показатели, следует сделать выводы о характере динамики изучаемого явления. Для анализируемого динамического ряда численности студентов заочного обучения вуза характерна устойчивая тенденция увеличения контингента студентов-заочников. 4 ВЫЯВЛЕНИЕ ОСНОВНОЙ ТЕНДЕНЦИИ ДИНАМИЧЕСКОГО РЯДА Важной задачей статистического изучения динамических рядов является выявление основной тенденции развития ряда динамики – тренда. Одним из методов выявления тенденции является аналитическое выравнивание, когда уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени: уt  f (t ). Уравнение, описывающее зависимость уровней динамического 9 ряда от фактора времени t, называется уравнением тренда. Выбор функции для уравнения тренда производится на основе анализа характера динамики изучаемого явления. Графическое представление динамики численности студентов вуза (рисунок 5.1) позволяет предположить, что зависимость уровней анализируемого динамического ряда от фактора времени t, можно представить в виде уравнения прямой: уt  a0  a1t. Для расчета параметров уравнения тренда по прямой исходные и расчетные данные представим в таблице 4. Таблица 4 - Показатели для расчета параметров уравнения тренда ряда динамики численности студентов вуза Годы А 2008 2009 2010 2011 2012 Итого Число студентов, чел. у 1 950 1142 1195 1278 1436 6001 t t 2 yt 2 1 2 3 4 5 15 3 1 4 9 16 25 55 4 950 2284 3585 5112 7180 19111 Теоретические значения уt 5 978,6 1089,4 1200,2 1311,0 1421,8 6001,0 Для выравнивания ряда динамики по прямой следует получить уравнение уt  a0  a1t. Для расчета параметров а0и а1 решается система нормальных уравнений:   na0  a1  t   y  2  a0  t  a1  t   yt , где n – число уровней ряда динамики; t – условное обозначение фактора времени порядковыми номерами; у – фактические уровни ряда динамики. В качестве расчетных добавим в таблицу 4 графы 3 и 4. В графе 3 значения t возводим в квадрат (12 = 1, 22 = 4 и т.д.), в графе 4 находим произведение уt (950  1 = 950, 1142  2= 2284 и т.д.). В систему нормальных уравнений подставляем данные итоговой строки, в которой предварительно произведем суммирование: 5ао+ 15а1= 6001 15ао+ 55а1 = 19111. Умножим каждый член первого уравнения на 3, чтобы уравнять коэффициенты при а0 , затем вычтем из второго уравнения первое: 15ао+ 45а1= 18003 10 15а0 +55а1= 19111 10а1 = 1108 1108  110 ,8 . 10 Подставим его значение в первое уравнение, чтобы рассчитать параметр ао: Отсюда а1 = 5ао +15  110,8 = 6001; 5ао= 6001 –1662; 4339  867,8 . 5 Уравнение тренда примет вид: yt = 867,8 + 110,8 t. Следующий шаг: подставляя в уравнение тренда значения t для каждого года, найдем выравненные (теоретические) значения уровней ряда. Для 2008 г. yt = 867,8 + 110,8  1= 978,6, для 2009 г. yt = 867,8 + 110,8  2 =1089,4 и т.д. Занесем их в графу 5 таблицы 4. Следует обратить внимание на то, что сумма фактических значений у и сумма выравненных yt должны быть равны: yt = у = 6001. Если такого равенства нет, уравнение тренда рассчитано неверно. Ряд выравненных значений yt характеризует тенденцию стабильного возрастания числа студентов в вузе. ао = 5 ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО РЯДА Экстраполяция – это нахождение уровней динамического ряда за его пределами. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной. Перспективная экстраполяция служит одним из методов прогнозирования социально-экономических явлений и основана на их инерционности. Применяют различные способы экстраполяции. Наиболее распространенным способом является экстраполяция по уравнению тренда. Для этого в уравнение тренда подставляют продолженное значение времени (номер прогнозируемого периода). Например, в анализируемом динамическом ряду численности студентов заочной формы обучения (таблица 4) для 2013 г. t = 6 (продолжим нумерацию), тогда расчетный уровень ряда динамики, соответствующий 2013 г., вычислим как: у6 = 867,8 + 110,8  6 = 1533 (чел.), для 2014 г. у7 = 867,8 + 110,8  7 = 1643 (чел.). Более простым способом экстраполяции является использование средних характеристик ряда динамики: среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста. 11 Если применить средний абсолютный прирост, то расчет проводится по формуле: yn k  yn  k   y , где y n  k – экстраполируемый уровень; k –период упреждения прогноза (год, два,....); уn – последний уровень динамического ряда,  y – средний абсолютный прирост. Рассчитаем прогноз численности студентов: на 2013 г.: y6  y51  1436  1121,5  1557 (чел.); на 2014 г.: y7  y5 2  1436  2 121,5  1679 (чел.). Если использовать средний темп роста, то экстраполяция проводится по формуле:   к yn k  yn  K p , где K P – средний темп роста в коэффициентах. Рассчитаем прогноз численности студентов: на 2013 г.: y 6  y5 1 = 1436  1,109=1593 (чел.); на 2014 г.: y 7  y 5  2 =1436  (1,109)2 = 1766 (чел.). Различные способы экстраполяции дают разные варианты прогнозных оценок. 6 ИЗУЧЕНИЕ СЕЗОННЫХ КОЛЕБАНИЙ В РЯДАХ ДИНАМИКИ При анализе рядов динамики важное значение имеет изучение сезонных колебаний – повторяющихся из года в год устойчивых изменений уровней ряда по внутригодовым периодам: месяцам, кварталам. Для выявления сезонных колебаний используются месячные или квартальные уровни ряда динамики минимум за три года. Количественная оценка сезонности дается с помощью индексов сезонности Iсез. Один из методов изучения сезонности – метод простой средней, при котором индекс сезонности рассчитывается по формуле: у I сез  i 100, у где у– уi – средняя для каждого квартала (месяца) за три года; общий среднеквартальный (среднемесячный) уровень года. Экономический смысл: индекс сезонности показывает, процентов в среднем составляет уровень явления за каждый (месяц) от среднеквартального (среднемесячного) значения период. 12 за три сколько квартал за весь Рассмотрим квартальные данные о внутригодовой динамике товарооборота за три года (таблица 5). Таблица 5 - Расчет индексов сезонности оборота розничной торговли Квартал А I II III IV Итого Розничный оборот по годам, тыс. р. 1-й 2-й 3-й 1 56 78 97 81 312 2 65 84 101 83 333 3 74 92 98 94 358 Сумма уровней за три года, тыс.р. 4 195 254 296 258 1003 Среднеквартальный уровень, тыс. р., 5 65,0 84,7 98,7 86,0 83,6 уi Индекс сезонности, %, Iсез 6 77,8 101,3 118,1 102,9 100,0 Для получения значений уi найдем сумму уровней за три года по одноименным кварталам, например, по I кварталу 56 + 65+ 74 = 195; занесем результаты в графу 4. Затем рассчитаем средние значения, 195  65, 0 . например, за I квартал уi  3 Расчет общего среднеквартального уровня за три года y можно выполнить исходя из общего объема товарооборота за три года:  y 1003 y   83, 6 (тыс.р.) (12 – число кварталов за три 12 12 года). Его можно рассчитать также исходя из исчисленных среднеквартальных значений: y y i  65,0  84,7  98,7  86,0  83,6 (тыс. руб.). 4 4 Результаты расчетов занесем в графу 5. Тогда индексы сезонности составят: для I квартала Iсез= 65,0 100  77,8 (%) , т.е. оборот I квартала составлял 83,6 в среднем 77,8 % от среднеквартального оборота, т.е. он меньше среднеквартального на 22,2 % (77,8 – 100,0). Для III квартала Iсез= 98,7 100  118,1 (%) , то есть в этом квартале оборот составлял в 83,6 среднем 118,1 % от среднеквартального, то есть был больше среднеквартального на 18,1 % (графа 6). Совокупность индексов сезонности образует сезонную волну товарооборота. Для наглядного изображения сезонной волны применяется линейная диаграмма (рис. 5.2). 13 Индексы сезонности могут быть использованы для распределения годовых плановых заданий по кварталам и месяцам. Например, если на четвертый год установлен план товарооборота 380 тыс. р., среднеквартальное значение по плану составит 95 тыс. р. (380 : 4). Рассчитаем план товарооборота на I квартал: 95  0,778 = 73,9 (тыс. р.); на II квартал: 95  1,013 = 96,2; на III квартал 95  1,181 = 112,2; на IV квартал: 95  1,029 = 97,7 (тыс. р.). Дать письменный ответ на следующие вопросы: 1. Что такое динамический ряд и из каких двух элементов он состоит? 2. В чем заключается сущность моментного и интервального рядов динамики? 3. Как рассчитываются средние показатели: средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста? 4. Что такое уравнение тренда? 5. Что такое сезонные колебания в рядах динамики и как их измерить? 14