Статистический анализ динамики

1 Статистический анализ динамики Для выявления тенденции и закономерностей развития социально-экономических явлений и процессов в статистике строятся ряды динамики (иногда их называют временными рядами). Ряды динамики – это ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке Значения показателя, составляющие ряд динамики, называются уровнями ряда. Каждый ряд динамики характеризуется двумя параметрами: значениями времени (i) и соответствующими им значениями уровней ряда (y). В зависимости от значений времени различают моментные и интервальные ряды динамики. При этом моментные ряды динамики характеризуют значения уровней ряда по состоянию на конкретную дату (число, месяц, год). Интервальные ряды динамики характеризуют значения уровней ряда за определенный период времени (например, за месяц, квартал, год и т.д.). Статистический анализ динамики осуществляется с помощью абсолютных, относительных и средних показателей динамики. Расчет показателей динамики может осуществляться цепным и базисным методами. При цепном методе базой сравнения каждый раз выступает уровень предыдущего периода yi-1. При базисном методе за базу сравнения принимается постоянный уровень y0. Абсолютные и относительные показатели динамики: 1) абсолютный прирост: цепной метод: базисный метод: Показывает, на сколько сравниваемый уровень отличается от уровня, принятого за базу. 2) темп роста: цепной метод: базисный метод: Показывает, сколько процентов составляет сравниваемый уровень по отношению к базисному. Если рассчитан в коэффициентах, то показывает, во сколько раз сравниваемый уровень отличается от базисного. 3) темп прироста. Если темп роста представлен в процентах, то . Если темп роста представлен в коэффициентах, то Темп прироста показывает, на какую долю единиц или на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше базисного. Средние показатели динамики: 1) средний уровень ряда динамики. Если ряд динамики интервальный с равными промежутками времени, то Если ряд динамики моментный с равными промежутками времени, то . Если ряд динамики моментный с неравными промежутками времени, то где ti – продолжительность периода между двумя моментами времени в днях. 2) средний абсолютный прирост. Из цепных абсолютных приростов: где m – количество уровней ряда динамики, за исключением базисного. Из базисных абсолютных приростов: где n – количество уровней ряда динамики, включая базисный. Средний абсолютный прирост показывает, на сколько в среднем в течение рассматриваемого периода времени изменялся (увеличивался или уменьшался) тот или иной показатель. 3) средний темп роста. Из цепных темпов роста: где m – количество уровней ряда динамики, за исключением базисного. Из базисных темпов роста: где n – количество уровней ряда динамики, включая базисный. Если в процентах, то показывает, сколько процентов составлял темп роста в среднем в течение рассматриваемого периода времени. Если в коэффициентах, то показывает, во сколько раз в среднем в течение рассматриваемого периода времени изменялся тот или иной показатель. 4) средний темп прироста. Если средний темп роста выражен в процентах, то . Если средний темп роста выражен в коэффициентах, то . Показывает, на какую долю единиц или на сколько процентов в среднем в течение рассматриваемого периода времени изменялся тот или иной показатель. Прогнозирование уровня развития социально-экономических явлений и процессов Анализ динамики социально-экономических явлений, выявление и характеристика основной тенденции развития дают основание для прогнозирования – определения будущих размеров уровня социально-экономического явления. Процесс прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем, т.е. прогноз основан на экстраполяции. Можно выделить следующие элементарные методы экстраполяции: 1) на основе среднего абсолютного прироста, 2) на основе среднего темпа роста, 3) на основе аналитического выравнивания ряда, которое предполагает применение метода наименьших квадратов и представление развития явлений во времени в виде уравнения тренда. Прогнозирование по среднему абсолютному приросту может быть выполнено в случае равномерного изменения уровней (под равномерностью понимается стабильность абсолютных приростов). В этом случае, чтобы получить прогноз на «i» шагов вперед (i – период упреждения), достаточно воспользоваться следующей формулой: где - конечный уровень ряда динамики; - прогнозная оценка значения (n+1) уровня ряда; - значение среднего абсолютного прироста, рассчитанное для ряда динамики. Прогнозирование по среднему темпу роста можно осуществлять в случае, если общая тенденция ряда характеризуется показательной (экспоненциальной) кривой. Для нахождения прогнозного значения на «i» шагов вперед необходимо использовать следующую формулу: где - средний коэффициент роста, рассчитанный для ряда динамики. Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени: y = f(t). Правильно построенная модель должна соответствовать характеру изменения тенденции исследуемого явления. Выбранная функция позволяет получить выровненные или теоретические значения уровней ряда динамики. Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются различные функции: полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды. Полиномы имеют следующий вид: полином первой степени: , полином второй степени: , полином третьей степени: , полином n-ой степени: . Здесь a0; a1; a2;…an – параметры полиномов; t – условное обозначение времени. Оценка параметров в моделях находится методом наименьших квадратов. Суть его состоит в определении таких параметров (коэффициентов), при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических значений была бы минимальной. Таким образом, эти оценки находятся в результате минимизации выражения: где – фактическое значение уровня ряда динамики, - расчетное значение, n – длина ряда динамики. В результате минимизации данного выражения получается система нормальных уравнений: где n – число членов в ряду динамики, t = 1, 2, ..., n. Система, состоящая из «р» уравнений, содержит в качестве известных величин Σy, Σyt, ..., Σytp, т.е. суммы наблюдаемых значений уровней динамического ряда, умноженные на показатели времени в степени 1, 2, ..., р, и неизвестных величин aj. Решение этой системы относительно a0, a1, ..., ap и дает искомые значения параметров. Системы для расчета параметров полиномов невысоких степеней намного проще. Обозначим последовательные параметры полиномов как а0, а1, а2. Тогда система нормальных уравнений для оценивания параметров прямой примет вид: Решение приведенных выше систем уравнений можно упростить. Упрощение расчетов заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. В этом случае упрощаются сами нормальные уравнения, а также уменьшаются абсолютные значения величин, участвующих в расчете. Если до переноса начала координат t было равно 1, 2, 3, ..., n, то после переноса: – для нечетного числа уровней ряда t = …; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; … – для четного числа уровней ряда t = …; -3; -2; -1; 1; 2; 3; … Следовательно, Σt и все Σtp , у которых «р» − нечетное число, равны 0. Таким образом, все члены уравнений, содержащие Σt с такими степенями, могут быть исключены. Система нормальных уравнений для прямой теперь упрощается следующим образом: При анализе рядов динамики иногда приходится прибегать к определению некоторых неизвестных уровней внутри данного ряда динамики, то есть к интерполяции. Как и экстраполяция, интерполяция может производиться на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста, а также с помощью аналитического выравнивания. При интерполяции предполагается, что ни выявленная тенденция, ни ее характер не претерпели существенных изменений в том промежутке времени, уровень (уровни) которого нам неизвестны. Построение линии тренда с помощью программы Excel 1. Выделить диапазон ячеек, содержащих исходный ряд динамики. 2. Выполнить команду «Вставка – график». 3. Щелкнуть правой кнопкой мыши, выполнить команду «Выбрать данные». 4. В поле «Элементы легенды (ряды)» выделить Ряд 1. Нажать кнопку «Изменить». В поле «Имя ряда» задать новое имя: «Исходный ряд динамики». Так как исходный ряд динамики был выделен в начале, то диапазон значений ряда будет указан автоматически. Нажать O’k. 5. В поле «Подписи горизонтальной оси (категории)» нажать кнопку «Изменить». В открывшемся окне в поле «Диапазон подписей оси» задать диапазон ячеек таблицы, в котором указаны годы. Нажать O’k. 6. Еще раз нажать O’k. 7. На построенном графике выделить линию исходного ряда динамики. Щелкнуть правой кнопкой мыши. Выбрать команду «Добавить линию тренда». В открывшемся окне «Параметры линии тренда» указать: а) линейная; б) в поле «Название аппроксимирующей (сглаженной) кривой» выбрать «другое» и указать «Линия тренда»; в) прогноз вперед на … (указать количество периодов) периодов; г) отметить флажки: показывать уравнение на диаграмме; поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). Закрыть окно «Параметры линии тренда». Примечание. В данном случае в качестве условных дат t программа принимает следующие значения: t = 1, 2, 3, …. 8. Для того чтобы задать названия осей, нужно выделить диаграмму и перейти на вкладку «Макет». Затем выполнить команду «Подписи/Название осей/Название основной горизонтальной оси/Название под осью». На диаграмме появится поле, в котором задать имя горизонтальной оси «Годы». Затем выполнить команду «Подписи/Название осей/Название основной вертикальной оси/Повернутое название». На диаграмме появится поле, в котором задать имя вертикальной оси «Число предприятий и организаций, единиц».