Статистические методы анализа данных

Статистические методы анализа данных В прикладном эконо­мическом анализе используются следующие статистические мето­ды: 1. Факторный анализ — для выявления и идентификации важ­нейших скрытых факторов. 2. Корреляционный анализ используется для выявления наличия и оценки тесноты связи между качественными и количественными факторами. 3. Регрессионный анализ применяется для получения моделей влияния качественных и количественных факторов на функцию системы. Модели простой линейной и нелинейной регрессии Регрессионная модель. Во многих практических задачах анализа, изучая различного рода связи в экономических системах, необхо­димо на основании статистических или учетных данных выразить зависимую переменную в виде некоторой математической функ­ции от независимых переменных— регрессоров, т.е. построить регрессионную модель. Регрессионный анализ позволяет: 1) производить расчет регрессионных моделей путем определе­ния значений параметров -постоянных коэффициентов при неза­висимых переменных— регрессорах, которые часто называют, кроме того, факторами; 2) проверять гипотезу об адекватности модели имеющимся на­блюдениям; 3) использовать модель для определения значений зависимой переменной при новых или ненаблюдаемых значениях независи­мых переменных. Типы регрессионных моделей. Среди регрессионных моделей обыч­но выделяют однопараметрические модели (зависимости от одной переменной) и многопараметрические модели (зависимости от не­скольких переменных), а также модели, линейно зависимые отно­сительно независимых переменных, нелинейные по переменным и нелинейные по параметрам. Типы регрессионных моделей. Среди регрессионных моделей обыч­но выделяют однопараметрические модели (зависимости от одной переменной) и многопараметрические модели (зависимости от не­скольких переменных), а также модели, линейно зависимые отно­сительно независимых переменных, нелинейные по переменным и нелинейные по параметрам. Модель простой линейной регрессии имеет вид: У = а0 + а1х + е, где у - функция; х - независимая переменная - регрессор (фактор); а0 и а, - постоянные коэффициенты (параметры); е - случайная ошибка. Для получения оценок параметров модели в большинстве слу­чаев используют метод наименьших общих квадратов, основанный на минимизации среднеквадратической ошибки модели и его мо­дификации. Основные оценки моделей. При выполнении регрессионного ана­лиза нужно получить оценки, позволяющие оценить точность мо­дели и вероятность ее существования. При нормальном законе рас­пределения эти условия будут удовлетворены, если оценить: 1) ожидаемые значения коэффициентов а0 и а1; 2) стандартные ошибки коэффициентов; 3) коэффициент детерминации, который показывает, какую долю изменения переменной объясняет регрессионная модель; 4) стандартную ошибку модели в области значения данных; 5) значение статистики Фишера, которая характеризует адек­ватность, т.е. качество модели, и показывает, оправдано ли ис­пользование модели с точки зрения повышения точности; 6) уровень значимости гипотезы о нулевых значениях коэффи­циентов и отсутствии связи между независимой переменной и функцией. Модели нелинейной регрессии. Повысить точность оценок может позволить применение моделей нелинейной регрессии. Часто ис­пользуют полиномиальные модели у = а0 + а1 * х + а 2 * х 2 + а 3 * х3 + …+ ап * хn + е, где у - функция, х - независимая переменная (фактор); а0……… ап - постоянные коэффициенты (параметры); п - порядок полинома; е - случайная ошибка. Модели множественной линейной регрессии Регрессионный анализ позволяет получать модели зависимости одной переменной-отклика У от нескольких переменных-регрессоров (i= 1…..n): у = а0 + а1 * х1 + а 2 * х 2 + а 3 * х3 + …+ ап * хn + е, где У- функция, х - переменные-регрессоры (факторы); а0……… ап - постоянные коэффициенты (параметры); п - число регрессоров; е - случайная ошибка. Такая модель может быть получена и оценена подобно моделям простой регрессии. Случайные величины и относительные оценки риска Случайные величины. Прикладной экономический анализ в основном оперирует со случайными величинами. Случайной - называют величину, которая примет одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые невозможно учесть. Например, из отобранных для провер­ки ста документов число оформленных с ошибками — случайная величина, имеющая одно из значений: 0, I, 2, 3, ..., 100. Дискретные случайные величины - это величины, которые в отличие от непрерывных изменяются скачкообразно, и каждому такому значению соответствует определенная вероятность. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечно или бесконечно. Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень всех возможных ее значений и их вероятностей. Сумма вероятностей этих событий равна единице. Например, в таблице приведена экспертная оценка потока денежных средств от реализа­ции инвестиционного проекта, которая представляет эмпиричес­кое распределение дискретной случайной величины. Проверим, выполняется ли правило суммы вероятностей при подготовке ука­занных экспертных оценок: SP(x) = 0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 = 1,0. Оценка вероятной доходности инвестиционного проекта Поступление средств хj, Тыс. руб 8000 9000 10000 11 000 12 000 Вероятность события P(xi) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1 Номер варианта оценки i 1 2 3 4 5 Числовые характеристики дискретных случайных величин. Часто закон распределения неизвестен и приходится оперировать только с основными числовыми характеристиками случайной величины. Математическое ожидание - представляет собой наиболее вероятное ожидаемое значение этой величины. Матема­тическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех ее возможных значений на их вероятности: М(х) = ∑( хi * P(xi)) где М(х) — математическое ожидание случайной величины х; хi — i-й вариант возможного значения случайной величины х; Р( xi) — вероятность у'-го варианта значения случайной величины х; i— номер возможного варианта значения случайной величи­ны; М(х) = 8000 х 0,1 + 9000 х 0,2 + 10 000 х 0,4 + 11 000 х 0,2 + 12000 х 0,1 = 10000. По результатам большого числа измерений математическое ожи­дание определяется как среднее арифметическое полученных значе­ний: Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины на­зывают математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания. При заданном законе рас­пределения дисперсия может быть определена следующим обра­зом: D(х) = ∑((хi - M(х)]2 х P(Хi)) где D(х) — дисперсия. Среднее квадратическое отклонение определяется из формулы: SD (х) = √D(х), где SD (х) - стандартное отклонение. Пример. Определим стандартное отклонение величины дохода от инвестиционного проекта. В начале определяем дисперсию. При известном распре­делении можно воспользоваться формулой: D(х) = (8000 - 10 000)2 х 0,1 + (9000 – 10 000)2 х 0,2 + (10 000 - 10 000)2 х 0,4 + (11 000 - 10 000)2 х, 0,2 + (12 000 - 10 000)2 х 0,1 =1 200 000 тыс. руб. стандартное отклонение: SD (х) = √1 200 000 = 1095 тыс. руб. Мера риска. Стандартное отклонение случайной величины ха­рактеризует ее изменчивость и служит для построения характерис­тик, распределяющих меру риска принятия решений, основанных на информации о случайных величинах. Относительная мера риска оценивается коэффициентом вариации. I = [SО (х)/М(х)] х 100%. Для рассмотренного примера инвестиционного проекта коэф­фициент вариации денежного потока составит I= (1095/10 000) х 100% = 11%. Числовые характеристики функций случайных величин Функции случайных величин — это функции, значениями кото­рых являются случайные величины. Для оценки ожидаемых резуль­татов и рисков достаточно определить их числовые характеристики как математическое ожидание, дисперсию, стандартное квадратич­ное отклонение и коэффициент вариации. Простейшие функции. Числовые характеристики простейших функций определяются по следующим правилам. 1. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий. 1. Математическое ожидание произведения случайных величин Равно произведению их математических ожиданий. Дисперсия про­изведения случайных величин равна произведению их дисперсий. Пример. Банк финансирует одновременно два инвестиционных проекта. Потоки средств, которые будут получены в следующем году от реализации проектов, характеризуются соответственно математическим ожиданиям 5 млн. и 8 млн. руб. и стандартным от­клонением 1 млн. и 1,3 млн. руб. каждый. Дать относительную оценку риска инвестиционной деятельности банка. Определяем математическое ожидание суммарного потока средств от реализации проектов: 5 + 8 = 13 млн. руб. Определяем дисперсию суммарного потока: 12 +1,32 = 2,69. Вычисляем стандартное откло­нение: √2,69 = 1,64 млн. руб. Находим коэффициент вариации: I= 1,64/13 = 0,1261, или 12,6%. Если учесть, что для первого про­екта I = 20%, а для второго — I= 16,25%, то можно видеть, как: диверсификация сокращает общий риск инвестирования. Домашняя работа Вариант 1 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 5000 5 25000 10 6000 10 36000 25 8000 20 48000 30 9000 40 59000 25 10000 20 61000 5 15000 5 115000 Вариант 2 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1 Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 35000 10 25000 10 36000 12 36000 25 38000 20 48000 30 39000 30 59000 25 40000 18 61000 5 45000 10 115000 Вариант 3 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1 Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 15000 5 25000 10 16000 10 36000 25 18000 20 48000 30 19000 40 59000 25 20000 20 61000 5 25000 5 115000 Вариант 4 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1 Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 17000 5 25000 10 20000 10 36000 25 22000 20 48000 30 25000 40 59000 25 30000 20 61000 5 35000 5 115000 Вариант 5 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 35000 5 25000 10 36000 12 36000 25 38000 20 48000 30 39000 40 59000 25 40000 18 61000 5 45000 5 115000 Вариант 6 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1 Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 5000 10 25000 10 6000 12 36000 25 8000 20 48000 30 9000 30 59000 25 10000 18 61000 5 15000 10 115000 Вариант 7 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1 Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 5000 5 25000 10 6000 10 36000 25 8000 20 48000 30 9000 40 59000 25 10000 20 61000 5 15000 5 115000 Вариант 8 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 35000 10 25000 10 36000 12 36000 25 38000 20 48000 30 39000 30 59000 25 40000 18 61000 5 45000 10 115000 Вариант 9 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 15000 5 25000 10 16000 10 36000 25 18000 20 48000 30 19000 40 59000 25 20000 20 61000 5 25000 5 115000 Вариант 10 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 17000 5 25000 10 20000 10 36000 25 22000 20 48000 30 25000 40 59000 25 30000 20 61000 5 35000 5 115000 Вариант 11 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 35000 5 25000 10 36000 12 36000 25 38000 20 48000 30 39000 40 59000 25 40000 18 61000 5 45000 5 115000 Вариант 12 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 5000 10 25000 10 6000 12 36000 25 8000 20 48000 30 9000 30 59000 25 10000 18 61000 5 15000 10 115000 Вариант 13 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 5000 5 25000 10 6000 10 36000 25 8000 20 48000 30 9000 40 59000 25 10000 20 61000 5 45000 5 115000 Вариант 14 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 35000 5 25000 10 36000 10 36000 25 38000 20 48000 30 40000 40 59000 25 42000 20 61000 5 45000 5 115000 Вариант 15 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 15000 10 25000 10 36000 12 36000 25 38000 20 48000 30 39000 30 59000 25 40000 18 71000 5 45000 10 115000 Вариант 16 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 5000 10 25000 10 6000 12 36000 25 8000 20 48000 30 9000 30 59000 25 10000 18 61000 5 15000 10 115000 Вариант 17 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 15000 5 25000 10 16000 10 36000 25 18000 20 48000 30 19000 40 59000 25 20000 20 61000 5 25000 5 115000 Вариант 18 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 17000 5 25000 10 20000 10 36000 25 22000 20 48000 30 25000 40 59000 25 30000 20 68000 5 35000 5 115000 Вариант 19 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 35000 5 25000 10 36000 12 36000 25 38000 20 48000 30 39000 40 59000 25 40000 18 71000 5 45000 5 115000 Вариант 20 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 5000 10 25000 10 6000 12 36000 25 8000 20 48000 30 9000 30 59000 25 10000 18 67000 5 15000 10 115000 Вариант 21 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 5000 5 25000 10 6000 10 36000 25 8000 20 48000 30 9000 40 59000 25 10000 20 65000 5 15000 5 115000 Вариант 22 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 35000 5 25000 10 36000 10 36000 25 38000 20 48000 30 39000 40 59000 25 40000 20 63000 5 45000 5 115000 Вариант 23 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 35000 10 25000 10 36000 12 36000 25 38000 20 48000 30 39000 30 59000 25 40000 18 61000 5 45000 10 115000 Вариант 24 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 45000 10 25000 10 46000 12 36000 25 48000 20 48000 30 49000 30 59000 25 50000 18 61000 5 65000 10 115000 Вариант 25 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 15000 5 25000 10 16000 10 36000 25 18000 20 48000 30 19000 40 59000 25 20000 20 61000 5 25000 5 115000 Вариант 26 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 35000 5 25000 10 36000 12 36000 25 38000 20 48000 30 39000 40 59000 25 40000 18 81000 5 45000 5 115000 Вариант 27 Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов реализуется два проекта одновременно. 1. Проект 2. Проект Вероятность, % Доход, тыс. руб. Вероятность, % Доход, тыс. руб. 5 5000 10 25000 10 6000 12 36000 25 8000 20 48000 30 9000 30 59000 25 10000 18 91000 5 15000 10 115000