Статистические методы анализа данных
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате docx
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Статистические методы анализа данных
В прикладном экономическом анализе используются следующие статистические методы:
1. Факторный анализ — для выявления и идентификации важнейших скрытых факторов.
Выручка = количество продаж * цена продаж
Прибыль = Доход – расход
Прибыль = количество продаж * цена продаж – (постоянные затраты + переменные затраты * количество продаж)
2. Корреляционный анализ используется для выявления наличия и оценки тесноты связи между качественными и количественными факторами.
3. Регрессионный анализ применяется для получения моделей влияния качественных и количественных факторов на функцию системы.
Модели простой линейной и нелинейной регрессии
Регрессионная модель. Во многих практических задачах анализа, изучая различного рода связи в экономических системах, необходимо на основании статистических или учетных данных выразить зависимую переменную в виде некоторой математической функции от независимых переменных— регрессоров, т.е. построить регрессионную модель.
Регрессионный анализ позволяет:
1) производить расчет регрессионных моделей путем определения значений параметров -постоянных коэффициентов при независимых переменных— регрессорах, которые часто называют, кроме того, факторами;
2) проверять гипотезу об адекватности модели имеющимся наблюдениям;
3) использовать модель для определения значений зависимой переменной при новых или ненаблюдаемых значениях независимых переменных.
Типы регрессионных моделей. Среди регрессионных моделей обычно выделяют однопараметрические модели (зависимости от одной переменной) и многопараметрические модели (зависимости от нескольких переменных), а также модели, линейно зависимые относительно независимых переменных, нелинейные по переменным и нелинейные по параметрам.
Модель простой линейной регрессии имеет вид:
У = а0 + а1х + е,
где у - функция;
х - независимая переменная - регрессор (фактор);
а0 и а, - постоянные коэффициенты (параметры);
е - случайная ошибка.
Для получения оценок параметров модели в большинстве случаев используют метод наименьших общих квадратов, основанный на минимизации среднеквадратической ошибки модели и его модификации.
Основные оценки моделей. При выполнении регрессионного анализа нужно получить оценки, позволяющие оценить точность модели и вероятность ее существования. При нормальном законе распределения эти условия будут удовлетворены, если оценить:
1) ожидаемые значения коэффициентов а0 и а1;
2) стандартные ошибки коэффициентов;
3) коэффициент детерминации, который показывает, какую долю изменения переменной объясняет регрессионная модель;
4) стандартную ошибку модели в области значения данных;
5) значение статистики Фишера, которая характеризует адекватность, т.е. качество модели, и показывает, оправдано ли использование модели с точки зрения повышения точности;
6) уровень значимости гипотезы о нулевых значениях коэффициентов и отсутствии связи между независимой переменной и функцией.
Модели линейной регрессии.
Повысить точность оценок может позволить применение моделей нелинейной регрессии. Часто используют полиномиальные модели
уQ = а0 + а1 * хP1 + а 2 * х 2 + а 3 * х3 + …+ ап * хn + е,
у – результат, х – фактор, а – влияние факторов на результат (корреляция)
Модели нелинейной регрессии.
Повысить точность оценок может позволить применение моделей нелинейной регрессии. Часто используют полиномиальные модели
у = а0 + а1 * х + а 2 * х 2 + а 3 * х3 + …+ ап * хn + е,
где у - функция,
х - независимая переменная (фактор);
а0……… ап - постоянные коэффициенты (параметры);
п - порядок полинома;
е - случайная ошибка.
Модели множественной линейной регрессии
Регрессионный анализ позволяет получать модели зависимости одной переменной-отклика У от нескольких переменных-регрессоров (i= 1…..n):
у = а0 + а1 * х1 + а 2 * х 2 + а 3 * х3 + …+ ап * хn + е,
где У- функция,
х - переменные-регрессоры (факторы);
а0……… ап - постоянные коэффициенты (параметры);
п - число регрессоров;
е - случайная ошибка.
Такая модель может быть получена и оценена подобно моделям простой регрессии.
Случайные величины и относительные оценки риска
Случайные величины. Прикладной экономический анализ в основном оперирует со случайными величинами.
Случайной - называют величину, которая примет одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые невозможно учесть.
Например, из отобранных для проверки ста документов число оформленных с ошибками — случайная величина, имеющая одно из значений: 0, I, 2, 3, ..., 100.
Дискретные случайные величины - это величины, которые в отличие от непрерывных изменяются скачкообразно, и каждому такому значению соответствует определенная вероятность.
Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечно или бесконечно.
Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень всех возможных ее значений и их вероятностей. Сумма вероятностей этих событий равна единице. Например, в таблице приведена экспертная оценка потока денежных средств от реализации инвестиционного проекта, которая представляет эмпирическое распределение дискретной случайной величины. Проверим, выполняется ли правило суммы вероятностей при подготовке указанных экспертных оценок: SP(x) = 0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 = 1,0.
Оценка вероятной доходности инвестиционного проекта
Поступление средств хj, Тыс. руб
8000
9000
10000
11000
12000
Вероятность события P(xi)
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
Номер варианта оценки i
1
2
3
4
5
Числовые характеристики дискретных случайных величин. Часто закон распределения неизвестен и приходится оперировать только с основными числовыми характеристиками случайной величины.
Математическое ожидание - представляет собой наиболее вероятное ожидаемое значение этой величины.
Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
М(х) = ∑( хi * P(xi))
где М(х) — математическое ожидание случайной величины х;
хi — i-й вариант возможного значения случайной величины х;
Р( xi) — вероятность у-го варианта значения случайной величины х;
i— номер возможного варианта значения случайной величины;
М(х) = 8000 х 0,1 + 9000 х 0,2 + 10 000 х 0,4 + 11 000 х 0,2 + 12000 х 0,1 = 10000.
По результатам большого числа измерений математическое ожидание определяется как среднее арифметическое полученных значений:
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания.
При заданном законе распределения дисперсия может быть определена следующим образом:
D(х) = ∑[((хi - M(х))2 х P(Хi))] = (8000 – 10000)2 *0,1 + (9000 – 10000)2 *0,2 +
где D(х) — дисперсия.
Среднее квадратическое отклонение определяется из формулы:
SD (х) = √D(х),
где SD (х) - стандартное отклонение.
Пример. Определим стандартное отклонение величины дохода от инвестиционного проекта. В начале определяем дисперсию. При известном распределении можно воспользоваться формулой:
D(х) = (8000 - 10 000)2 х 0,1 + (9000 – 10 000)2 х 0,2 + (10 000 - 10 000)2 х 0,4 + (11 000 - 10 000)2 х, 0,2 + (12 000 - 10 000)2 х 0,1 =1 200 000 тыс. руб.
стандартное отклонение:
SD (х) = √1 200 000 = 1095 тыс. руб. мера риска в абсолютном выражении
Мера риска. Стандартное отклонение случайной величины характеризует ее изменчивость и служит для построения характеристик, распределяющих меру риска принятия решений, основанных на информации о случайных величинах.
Относительная мера риска оценивается коэффициентом вариации.
I = [SD (х)/М(х)] х 100%.
Для рассмотренного примера инвестиционного проекта коэффициент вариации денежного потока составит
I= (1095/10 000) х 100% = 11%.
Числовые характеристики функций случайных величин
Функции случайных величин — это функции, значениями которых являются случайные величины. Для оценки ожидаемых результатов и рисков достаточно определить их числовые характеристики как математическое ожидание, дисперсию, стандартное квадратичное отклонение и коэффициент вариации.
Простейшие функции. Числовые характеристики простейших функций определяются по следующим правилам.
1. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий.
1. Математическое ожидание произведения случайных величин Равно произведению их математических ожиданий. Дисперсия произведения случайных величин равна произведению их дисперсий.
Пример. Банк финансирует одновременно два инвестиционных проекта. Потоки средств, которые будут получены в следующем году от реализации проектов, характеризуются соответственно математическим ожиданиям 5 млн. и 8 млн. руб. и стандартным отклонением 1 млн. и 1,3 млн. руб. каждый. Дать относительную оценку риска инвестиционной деятельности банка.
Определяем математическое ожидание суммарного потока средств от реализации проектов:
5 + 8 = 13 млн. руб.
Определяем дисперсию суммарного потока:
12 +1,32 = 2,69
Вычисляем стандартное отклонение:
√2,69 = 1,64 млн. руб.
Находим коэффициент вариации:
I= 1,64/13 = 0,1261, или 12,6%.
Если учесть, что для первого проекта I = 20%, а для второго — I= 16,25%, то можно видеть, как: диверсификация сокращает общий риск инвестирования.
Домашняя работа
Вариант 1
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
5000
5
25000
10
6000
10
36000
25
8000
20
48000
30
9000
40
59000
25
10000
20
61000
5
15000
5
115000
Вариант 2
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1 Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
35000
10
25000
10
36000
12
36000
25
38000
20
48000
30
39000
30
59000
25
40000
18
61000
5
45000
10
115000
Вариант 3
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1 Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
15000
5
25000
10
16000
10
36000
25
18000
20
48000
30
19000
40
59000
25
20000
20
61000
5
25000
5
115000
Вариант 4
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1 Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
17000
5
25000
10
20000
10
36000
25
22000
20
48000
30
25000
40
59000
25
30000
20
61000
5
35000
5
115000
Вариант 5
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
35000
5
25000
10
36000
12
36000
25
38000
20
48000
30
39000
40
59000
25
40000
18
61000
5
45000
5
115000
Вариант 6
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1 Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
5000
10
25000
10
6000
12
36000
25
8000
20
48000
30
9000
30
59000
25
10000
18
61000
5
15000
10
115000
Вариант 7
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1 Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
5000
5
25000
10
6000
10
36000
25
8000
20
48000
30
9000
40
59000
25
10000
20
61000
5
15000
5
115000
Вариант 8
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
35000
10
25000
10
36000
12
36000
25
38000
20
48000
30
39000
30
59000
25
40000
18
61000
5
45000
10
115000
Вариант 9
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
15000
5
25000
10
16000
10
36000
25
18000
20
48000
30
19000
40
59000
25
20000
20
61000
5
25000
5
115000
Вариант 10
Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
17000
5
25000
10
20000
10
36000
25
22000
20
48000
30
25000
40
59000
25
30000
20
61000
5
35000
5
115000
Вариант 11
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
35000
5
25000
10
36000
12
36000
25
38000
20
48000
30
39000
40
59000
25
40000
18
61000
5
45000
5
115000
Вариант 12
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
5000
10
25000
10
6000
12
36000
25
8000
20
48000
30
9000
30
59000
25
10000
18
61000
5
15000
10
115000
Вариант 13
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
5000
5
25000
10
6000
10
36000
25
8000
20
48000
30
9000
40
59000
25
10000
20
61000
5
45000
5
115000
Вариант 14
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
35000
5
25000
10
36000
10
36000
25
38000
20
48000
30
40000
40
59000
25
42000
20
61000
5
45000
5
115000
Вариант 15
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
15000
10
25000
10
36000
12
36000
25
38000
20
48000
30
39000
30
59000
25
40000
18
71000
5
45000
10
115000
Вариант 16
Рассчитать инвестиционный риск, если реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
5000
10
25000
10
6000
12
36000
25
8000
20
48000
30
9000
30
59000
25
10000
18
61000
5
15000
10
115000
Вариант 17
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
15000
5
25000
10
16000
10
36000
25
18000
20
48000
30
19000
40
59000
25
20000
20
61000
5
25000
5
115000
Вариант 18
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
17000
5
25000
10
20000
10
36000
25
22000
20
48000
30
25000
40
59000
25
30000
20
68000
5
35000
5
115000
Вариант 19
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
35000
5
25000
10
36000
12
36000
25
38000
20
48000
30
39000
40
59000
25
40000
18
71000
5
45000
5
115000
Вариант 20
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
5000
10
25000
10
6000
12
36000
25
8000
20
48000
30
9000
30
59000
25
10000
18
67000
5
15000
10
115000
Вариант 21
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
5000
5
25000
10
6000
10
36000
25
8000
20
48000
30
9000
40
59000
25
10000
20
65000
5
15000
5
115000
Вариант 22
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
35000
5
25000
10
36000
10
36000
25
38000
20
48000
30
39000
40
59000
25
40000
20
63000
5
45000
5
115000
Вариант 23
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
35000
10
25000
10
36000
12
36000
25
38000
20
48000
30
39000
30
59000
25
40000
18
61000
5
45000
10
115000
Вариант 24
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
45000
10
25000
10
46000
12
36000
25
48000
20
48000
30
49000
30
59000
25
50000
18
61000
5
65000
10
115000
Вариант 25
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
15000
5
25000
10
16000
10
36000
25
18000
20
48000
30
19000
40
59000
25
20000
20
61000
5
25000
5
115000
Вариант 26
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
35000
5
25000
10
36000
12
36000
25
38000
20
48000
30
39000
40
59000
25
40000
18
81000
5
45000
5
115000
Вариант 27
Рассчитать инвестиционный риск, если
реализуется один из проектов
реализуется два проекта одновременно.
1. Проект 2. Проект
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
Вероятность, %
Доход, тыс. руб.
5
5000
10
25000
10
6000
12
36000
25
8000
20
48000
30
9000
30
59000
25
10000
18
91000
5
15000
10
115000