Статистические индексы и их применение в экономическом анализе

Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ И ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ 1 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ 2 ОБЩИЕ ИНДЕКСЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В АНАЛИЗЕ 3 ОБЩИЕ ИНДЕКСЫ КАК СРЕДНИЕ ИЗ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ИНДЕКСОВ, ПРИ АНАЛИЗЕ СТРУКТУРНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ, ИНДЕКСЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН 4 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНДЕКСОВ В ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ 1 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В Индексы – это относительные величины, которые выражают соотношение уровней социально-экономических явлений. Индексный метод позволяет отдельные элементы сложного экономического явления привести к соизмеримому виду и дать единую характеристику изменения явления в целом. Кроме характеристики интенсивности изменения самого явления, индексы могут выполнять и аналитическую функцию: на их основе определяют влияние различных факторов на развитие явления. На основе индексов проводится оценка изменения средних показателей по однородной совокупности, например средней цены товара, продаваемого в разных регионах, в том числе за счет непосредственно роста уровня цен и за счет изменения структуры продаж. Статистические индексы классифицируются по следующим направлениям: –выбранной в знаменателе индекса базе сравнения; –степени агрегирования (или охвата) явления; –форме построения сводных индексов; –характеру исследуемой величины; –виду весов, выбранных в индексе; –периоду сравнения. 2 ОБЩИЕ ИНДЕКСЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В АНАЛИЗЕ Общий (сводный) индекс (I) представляет собой отношение уровней сложного экономического явления, состоящего из элементов, непосредственно несоизмеримых. Он дает обобщающую характеристику изменения одноименного показателя по разнородной совокупности во времени, в пространстве или по сравнению с некоторым заданным уровнем (например, планируемым или нормативным). В индексной теории по способу (форме) построения общие (сводные) индексы подразделяют на агрегатные, средние и индексы изменения среднего показателя. Основной формой построения индексов является агрегатная; средние индексы получаются в результате ее преобразования. В агрегатной формуле сводного индекса присутствуют два элемента: 1) индексируемая величина, изменение которой показывает индекс (обозначим ее через х); 2) некоторая постоянная величина, называемая весом индекса (f); с помощью весов несоизмеримые элементы сложного социальноэкономического явления приводятся к сопоставимому виду. Общая формула агрегатного индекса: где х1 и х0 – значения индексируемой величины, соответственно, в отчетном и базисном периоде; f – вес или соизмеритель. Значения этого показателя у всех единиц совокупности при исчислении индекса должны быть взяты на уровне одного и того же периода – отчетного или базисного, с тем, чтобы индекс показал изменение только индексируемой величины. Правила построения агрегатных индексов: – индексы качественных показателей строятся с весами отчетного периода. Тогда формула агрегатного индекса примет вид: – индексы количественных показателей строятся с весами базисного периода. Формула агрегатного индекса в этом случае имеет следующий вид: К количественным относят показатели, характеризующие физические размеры явления, например, производство продукции в натуральном выражении, количество проданного товара, численность работающих, объем промышленно-производственных фондов и т. д. (как правило, в названии количественного показателя содержатся слова «объем», «число», «численность», «количество»; при этом используются простые единицы измерения – метры, килограммы, тонны, штуки, рубли). Качественный показатель используется для экономической (качественной) характеристики количественной единицы совокупности. Это цена за единицу товара (продукции), себестоимость единицы продукции, фондоотдача, фондоемкость, средняя заработная плата (единица измерения качественного показателя сложная - руб./шт., руб./руб., руб./чел. и т. д.). 2 ОБЩИЕ ИНДЕКСЫ КАК СРЕДНИЕ ИЗ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ИНДЕКСОВ, ПРИ АНАЛИЗЕ СТРУКТУРНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ, ИНДЕКСЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН Индексы сочетают элементы относительных и средних величин. Их используют в анализе динамики, выполнения задания и сравнения по объектам или территориям как правило сложных совокупностей, состоящих из непосредственно не суммарных элементов. Динамические индивидуальные (одноэлементные) индексы характеризуют изменение уровня признака у отдельных единиц совокупности. В них сравнивают цены , себестоимость единицы продукции , урожайность с 1 га , количество реализованной продукции одного вида , посевную площадь по каждой сельскохозяйственной культуре Пза отчетный (1) и базисный (0) периоды. Индивидуальные индексы в исследовании динамики явления определяют по формулам: iP  p1 P0 ; iz  z1 z0 ; iy  y1 y0 ; iq  q1 q0 ; iП  П1 . П0 Так, по данным таблицы 1 индексы цены и количества проданного товара А равны: ip  p1 52   1,3 ; p0 40 iq  q1 90   0,9 . q0 100 Следовательно, цена товара выросла в 1,3 раза, или на 30 % ( а объем его продажи уменьшился на 10% ( В расчете общих индексов используется вес (соизмеритель), с помощью которого преодолевается несуммарность элементов. В качестве веса выступает показатель, экономически связанный с индексируемым, т. е. их произведение дает величину, имеющую экономический смысл. Вес берется одинаковым (неизменным) в числителе и знаменателе индекса, индексируемая величина изменяется. Так, в агрегатном индексе цен изменяемой (индексируемой) величиной будет цена (Р1 и Р0), а весом будет количество товара, которое фиксируется на уровне отчетного периода времени : IP  pq p q 1 1 1 По данным таблицы 9.1, общий индекс цен равен:  p1q1 52  90  60  66 8640 IP     1,252 , или 125,2 %,  p0 q1 40  90  50  66 6900 т. е. цены на товары А и Б выросли в 1,252 раза, или на 25,2 % ( ). Таблица 1 - Показатели для расчета индексов цен и товарооборота в фактических и сопоставимых ценах Цена за 1 кг р. за период Товар Продано за период тыс. кг базисн отчетны базисн отчетны ый, й, ый, й, Индивидуальные индексы цен, Товарооборот за период тыс. р. отчетный по количес базисный, отчетный, базисным тва, ценам, А 40 52 100 90 13 0,9 4000 4680 3600 Б 50 60 60 66 1,2 1,1 3000 3960 3300 Итого – – – – – – 7000 8640 6900 В агрегатном индексе физического объема (оборота в сопоставимых ценах) индексируемой величиной явлется количество товара, весом (соизмерителем) – цена базисного периода :  p0q1 Iq   p0q0 По данным таблицы 1, он равен:  p 0q1  40  90  50  66  6900  0,9 , или 90 %. Iq   p 0q 0 40 100  50  60 7000 Следовательно, физическая масса проданных товаров в отчетном периоде в сравнении с базисным уменьшилась на 10 % ( . Индексы цен и физического объема применяют в факторном анализе динамики товарооборота во взаимосвязи с третьим индексом системы – индексом товарооборота в действующих ценах : I pq   p1q1  p0 q0 . По данным таблицы.1 индекс оборота (стоимости проданных товаров) в действующих ценах составляет: I pq  p q p q 1 1  52  90  60  66 40 100  50  60  8640  1,234, или 123,4% 7000 Следовательно, в отчетном периоде в сравнении с базисным оборот в действующих ценах увеличился на 23,4 %. Система индексов имеет вид: , то есть . Ее используют для проверки правильности расчетов, а также для нахождения одного из индексов системы по двум известным. Так, индекс цен можно найти, поделив индекс товарооборота в действующих ценах на индекс физического объема (то есть товарооборота в сопоставимых ценах): , а индекс физического объема – поделив индекс товарооборота в действующих ценах на индекс цен: . Индексную систему используют и для разложения абсолютного прироста (уменьшения) исследуемого объемного показателя по факторам. Для этого из числителя каждого индекса вычитают его знаменатель. Общий прирост товарооборота определяется по формуле: , в том числе за счет изменения цен: , за счёт динамики физической массы: . По данным таблицы 1, они равны: ; ; . Следовательно, общий прирост товарооборота 1640 тыс. р. вызван ростом цен на 1740 тыс. р. и уменьшением физической массы проданных товаров на 100 тыс. р. Общий прирост оборота равен сумме двух приростов: + 1640 = + 1740 + (–100), или рq = pq(p) + pq(q) . Одновременно разность между числителем и знаменателем индекса цен показывает сумму экономии (переплат) населения за счет снижения (роста) цен. Так, в нашем примере население переплатило 1740 тыс. р., купив продукцию по более высоким ценам. Таким образом, при построении индексной системы использованы правила: 1. Какова взаимосвязь между показателями, такова и связь между их индексами: . берутся 2. Веса сопряженных индексов на уровне противоположных периодов времени. Так, в индексе цен вес отчетного периодаq1, а в индексе физического объема – базисного ро:  p1 q1 ; I   p 0 q1 IP  q .  p 0 q1  p0 q0 Только при таком взвешивании произведение этих индексов дает индекс товарооборота: pq p q 1 1 0 1  pq  p q p q p q 1 1 0 1 0 1 , или I pq  I p  I q . 3. При разложении абсолютных разностей обязательно из числителя соответствующего индекса вычитается его знаменатель. Аналогично строятся индексные системы других показателей. Например, индексная система затрат на производство продукции: I zq  I z  I q , где Izq– индекс общих затрат на производство, z0; z1– себестоимость единицы продукции в базисном и отчетном периодах; q0; q1– количество продукции в базисном и отчетном периодах; z0q0; z1q1 – затраты на производство продукции в базисном и отчетном периодах; z0q1 – затраты отчетного периода при базисной себестоимости. Iz  z q z q 1 1 – общий индекс себестоимости; 0 1 Iq  z q z q 0 1 I zq  – общий индекс физического объема продукции;  zq  zq 1 1 – общий индекс затрат на производство. Абсолютное изменение затрат на производство продукции рассчитывается как разность между числителем и знаменателем соответствующих индексов:   z1 q1  z 0 q0 , общее изменение затрат: zq = в том числе за счет изменения себестоимости: zq(z)= z q  z q 1 1 0 1 за счет динамики физического объема продукции: zq(q) =  z0 q1   z0 q0 . Таким образом, zq = zq(z) + zq(q) Общие индексы можно вычислить по методике индексов средних из индивидуальных. Их применяют, когда отсутствуют данные раздельного учета количественных и качественных показателей (например, цен и количества товаров, но есть данные об объеме признака и индивидуальных индексах). Эти индексы получают путем преобразования агрегатной формы. В индексах цен и физического объема реальными будут показатели p1q1 и роqo – товарооборот отчетного и базисного периодов, а – условная величина, так как это товарооборот отчетного периода при условии сохранения базисных цен. Условную величину преобразуют через индивидуальные индексы цен и физического объема. p1q1  I  В агрегатном индексе цен выполняется P  р0 q1 преобразование знаменателя через индивидуальный индекс цен: iP  p1 p  p0  1 . p0 iP Если в знаменатель ввести вместо р0 выражение p1 , то он iP pq будет записан p1q1 . Cледовательно, p 0 q1  1 1 . Заменив в индексе iP iP цен знаменатель на представленное выражение, получим средний гармонический индекс цен:  p1 q1 . Ip   р1 q1 ip Сопряженный с ним индекс физического объема имеет вид: р1 q1 Iq  ip  p q По данным таблицы 2, общие индексы цен и физического объема товарооборота будут равны: IP  pq рq  ip 1 1 1 1 р1 q1 Iq  ip  p q  3200  3400  410 10700   0,982, или 98,2 %; 3200 3400 4100 10894   0,90 1,05 1,00 3200 3400 4100   0,90 1,05 1,00 10894    1,089, или 108,9 %. 2500  3500  4000 10000 Следовательно, цены снизились в среднем на 1,8 %, а физическая масса продажи увеличилась на 8,9 %. Их совокупное действие привело к росту товарооборота на 7 % : I pq  p q p q 1 1 0 0  10700  1,07, или 107 %. 10000 Таблица 2 - Товарооборот предприятия за два периода Группа товаров Товарооборот за период, тыс. р. базисный отчетный К 2500 М Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным Товарооборот отчетного периода в базисных ценах, тыс. р. в процентах в коэффиц. 3200 –10  100  10     0,90  100  3556 3500 3400 +5  100  5     1,05  100  3238 Н 4000 4100 Без изменения 100  1,00 100 4100 Итого 10000 10700 — — 10894 Разложение абсолютного прироста товарооборота дает: ; ; Следовательно, товарооборот увеличился на 700 тыс. р., в том числе на 894 тыс. р. за счёт физической массы товаров и одновременного уменьшения на 194 тыс. р. за счет снижения цен (+700 = + 894 – 194). Население от удешевления товаров сэкономило 194 тыс. р. Сведем индексы в единую систему: I pq  I p  I q ; pq  pq p   pq q  . Если в числитель poq1 ввести вместо q1 выражение i q q 0 , то он i q p 0 q 0 .Cледовательно, p0 q1  iq p0 q0 . Заменив в будет записан индексе физического объема числитель р0q1 на представленное выражение, получим средний арифметический индекс физического объема:  iq p0 q0 Iq  .  p0 q0 Сопряженный с ним индекс цен имеет вид: I P  pq i p q 1 1 q . 0 0 По данным таблицы 3 средние индексы из индивидуальных будут вычислены по формулам с учетом изменения количества проданных продуктов на рынках города: i p q  0,99  2500  1,05  4000  1 5000  11675  1,052 , или 105,2 %; 2500  4000  5000 11500 p q 3500  6000  8000 17500  p1q1  IP    1,499, или 149,9 %; i p q , 99  2500  1 , 05  4000  1  5000 11675 q 0 0 Iq  q 0 0 0 0 Общий индекс оборота в действующих ценах равен: I pq  p q p q 1 1  17500  1,522, или 152,2 %. 11500 Следовательно, увеличение товарооборота на 52,2 % обусловлено ростом на 49,9 % цен и на 5,2 % физической массы. В абсолютных суммах это составит: pq =  p1q1   p0 q0 = 17500–11500 =+6000 (тыс. р.).; pq (р) =  p1q1   iq p0 q0 = 17500–11675 = + 5825 (тыс. р.); pq(q) = i p q   p q q 0 0 0 0 = 11675 – 11500 = + 175 (тыс. р.). Таблица 3 - Данные о продаже сельскохозяйственных продуктов на рынках города за два периода Вид продукта Объем продажи (тыс. р.) за период Изменение количества проданных товаров в отчетном Товарооборот отчетного периода в базисных периоде ценах, тыс. р. по сравнению с базисным в коэфiq p 0 q 0 в процентах фициентах, iq базисный p0q0 отчетный p1q1 К 2500 3500 –1 0,99 2475 М 4000 6000 +5 1,05 4200 Н 5000 8000 Без изменения 1,00 5000 Итого 11500 17500 – – 11675 Сведем их в единую систему: I pq  I p  I q ; pq  pq p   pq q  Общий прирост товарооборота равен 6000 тыс.р., в том числе за счет увеличения физической массы – 5825 тыс. р., роста цен – 175 тыс. р. (6000 = 5825+175). Средний индекс – это сводный индекс, вычисленный как средневзвешенная величина из значений индивидуальных индексов. Средний индекс получают путем преобразования агрегатного индекса. В зависимости от того, какие веса используются в соответствующей агрегатной формуле (базисного или отчетного периода), средний индекс рассчитывается по формуле средней арифметической или средней гармонической величины. Соответственно, исчисленные по одним и тем же данным агрегатный и средний индексы всегда равны. Средний индекс физического объема товарооборота. Его агрегатная формула имеет вид: Тогда, учитывая, что индивидуальный индекс представляет собой отношение получим [q1 = iq х q0] Подставим это выражение в формулу агрегатного индекса: Получен индекс физического объема товарооборота в виде средней арифметической взвешенной из индивидуальных индексов, в которой в качестве весов используется товарооборот базисного периода (q0 p0). Формула среднего арифметического индекса физического объема имеет вид: Агрегатная формула индекса цен имеет вид: Из формулы индивидуального индекса цен и, подставив в формулу агрегатного индекса, получим: выразим Получен средний гармонический индекс цен: 4 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНДЕКСОВ СТАТИСТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ В ЭКОНОМИКО - С помощью индексов решаются следующие задачи: 1. Оценка изменений сложных явлений и отдельных их частей (например, на сколько в текущем периоде изменился объем продаж по сравнению с предыдущим). 2. Определение влияния отдельных факторов на общую динамику сложного явления (например, влияние изменения цен на объем продаж), для чего используется индексный анализ. В практической деятельности используются разнообразные индексы, которые можно классифицировать по следующим основаниям: – содержание изучаемых объектов (характер); – степень охвата элементов совокупности; – методы расчета. – По содержанию и характеру изучаемых показателей различают два вида индексов: Формат - индексы количественных показателей (объемных). К ним относятся индексы физического объема произведенной продукции, физического объема потребления и т.д. Индексируемой величиной в таких индексах является объемный показатель, измеряемый в натуральных единицах. Список - индексы качественных показателей. Эти индексы используются для измерения изменения показателя, рассчитываемого на единицу совокупности. Такие показатели называются качественными и характеризуют интенсивность изучаемого явления или процесса. Индексируемой величиной в индексах качественных показателей является уровень явления в расчете на единицу совокупности. К индексам качественных показателей относятся индекс цен, себестоимости единицы продукции, трудоемкости, производительности труда и т. д. По степени охвата элементов совокупности выделяют три формы индексов: – индивидуальные; – сводные (общие); – групповые (субъиндексы). Индивидуальные индексы характеризуют изменение отдельных элементов, входящих в состав сложного явления. Это простая форма индексов (например, индивидуальный индекс цен отдельного вида товара). Сводные индексы характеризуют изменение всего сложного явления, выражаемого сложным показателем. В таком явлении его элементы являются величинами несопоставимыми. Для решения проблемы несопоставимости индексируемых величин используются специальные показатели, называемые соизмерителями индексируемых величин (статическими весами). Групповые индексы (субъиндексы) рассчитываются для определенной части элементов совокупности. Например, индекс физического объема по отдельным отраслям или территориям. По методам расчета классифицируются только общие индексы. Они делятся на агрегатные и средние. В агрегатных индексах числитель и знаменатель (величина и база сравнения) представляют собой набор или агрегат разнородных элементов («aggregatus» - складываемый, суммируемый). Средние индексы используются в тех случаях, когда данных для построения агрегатных индексов недостаточно. Они рассчитываются на основе индивидуальных индексов и делятся на средние арифметические и средние гармонические индексы. Для удобства применения индексов используется определенная символика и специальная терминология. Каждая индексируемая величина имеет свое обозначение: q - количество продукции одного вида в натуральном выражении, p - цена единицы продукции, z - себестоимость единицы продукции, w - выработка продукции на 1-ого работника или в единицу времени, t - трудоемкость единицы продукции. Индивидуальные индексы обозначаются следующими символами: iq - индивидуальный индекс физического объема, ip индивидуальный индекс цен, iz - индивидуальный индекс себестоимости и т.д. Общие (сводные) индексы имеют обозначения: I - общий индекс физического объема, I p - общий индекс цен, Iz - общий индекс себестоимости и т.д. При расчете индексов используются два вида данных: – данные базисного уровня - уровня, с которым производится сравнение; для их обозначения к символу соответствующего показателя добавляется «0». – данные текущего уровня - уровня, который сравнивается - обозначаются добавлением «1» к символу соответствующего показателя. В соответствии с принятыми обозначениями индивидуальный индекс физического объема рассчитывается как i , а сводный индекс q q0 физического объема в агрегатной форме как I — Zq' Ро или Z qo • Ро I — Zq1 • Р1 'qZqo • Р1 Индексы могут рассчитываться в виде коэффициентов или процентов. Дать письменный ответ на следующие вопросы: 1. Что понимается под индексом в статистике? 2. Когда применяются индивидуальные индексы? 3. Где используются индексы?