Статистическая проверка гипотез. Критерий согласия Пирсона

Лекции по математической статистике Лекция №3 • Статистическая проверка гипотез. • Критерий согласия Пирсона Статистическая гипотеза • Статистической гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного распределения генеральной совокупности или о параметрах известных распределений. • Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н0. • Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой. Пример. • Пусть Н0 заключается в том, что математическое ожидание генеральной совокупности а = 3. • Тогда возможные варианты Н1: а) а ≠ 3; б) а > 3; в) а < 3. Статистическая гипотеза • Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение, • сложной – гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Пример. • Для показательного распределения гипотеза • Н0: λ = 2 – простая, • Н0: λ > 2 – сложная, состоящая из бесконечного числа простых ( вида λ = с, где с – любое число, большее 2). Статистическая гипотеза • Основной прием проверки статистических гипотез заключается в том, что по имеющейся выборке вычисляется значение некоторой случайной величины, имеющей известный закон распределения. • Статистическим критерием называется случайная величина К с известным законом распределения, служащая для проверки нулевой гипотезы. • Пусть поставлена задача статистической проверки гипотезы. Выбран критерий, сопоставляющий каждой выборке соответствующую гипотезу. Возможны следующие ошибки: Виды ошибок • Ошибка первого рода: Верна нулевая гипотеза Н0, но она отвергнута. • Ошибка второго рода: Нулевая гипотеза Н0 ложная, но она принята. Значимость ошибок 1 и 2 рода • Пример: по статистической проверке делаем вывод. Нулевая гипотеза Н0: продукция стандартна, Альтернативная гипотеза Н1: продукция нестандартна. Если Н0 верна, но по значению критерия ее отвергли, то это означает, что производитель отбракует стандартный продукт. Поэтому ошибка 1 рода – риск производителя. Если Н0 ложна, но по значению критерия ее приняли, то это означает, что производитель отправит нестандартный продукт на рынок. Поэтому ошибка 2 рода – риск потребителя. Критическая область • Критической областью называют область значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, областью принятия гипотезы – область значений критерия, при которых гипотезу принимают. Различают разные виды критических областей: - правостороннюю критическую область, неравенством K > kкр определяемую P(K > kкр )=α ( kкр > 0); - левостороннюю критическую область, неравенством K < kкр определяемую P(K < kкр )=α ( kкр < 0); - двустороннюю критическую неравенствами K < k1, K > k2 область, (k2 > k1). • P(K >- kкр )+ P(K < kкр )= α определяемую Процесс проверки статистической гипотезы • Шаг 1. Сформулировать основную и альтернативную гипотезу • Шаг 2. Задать уровень значимости α • Шаг 3. По таблице найти критические значения и построить критическую область • Шаг 4. По выборке вычислить значение статистики • Шаг 5. Сравнить значение статистики с критическим. Если попало в критическую область отклонить основную гипотезу, нет – принять ее. • Шаг 6. Записать вывод • Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что верна конкурирующая гипотеза. • Если обозначить вероятность ошибки второго рода (принятия неправильной нулевой гипотезы) β, то мощность критерия равна 1 – β. • Следовательно, чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Поэтому после выбора уровня значимости следует строить критическую область так, чтобы мощность критерия была максимальной. Пример. Гипотеза о среднем . Пусть имеется некоторая генеральная совокупность (ГС) с нормальным распределением: X N ( ,  ) . Требуется: по данным случайной выборки проверить гипотезу о среднем значении ГС по гипотетическому μ0. Виды гипотез Пример. В журнале «Досуг молодежи» отмечено, что старшеклассники смотрят телевизор меньше других. Известно, что в среднем люди проводят 29,4 ч перед ТВ в неделю со средним отклонением 2 ч. Для случайной выборки из 25 старшеклассников получено среднее значение 27 ч. Проверим утверждение на уровне значимости α=0,01. XГ N ( 29, 4;  = 2 ) Пример. Гипотеза о среднем . ГС распределена нормально. В качестве статистики (критерия) возьмем X − = В / n . Центрированная и нормированная СВ ~N(0,1) Шаг 1. Н0: X В  29, 4 Н1: X В  29, 4 (левосторонняя кр.область) Шаг 2. α=0,01. Поиск критической точки. Z~N(0,1) P(0zкр)= P(0 uкр, то нулевая гипотеза отвергается. 2) Если конкурирующая гипотеза Н1: р > p0, то критическая область определяется неравенством U > uкр, то есть является правосторонней, причем р(U > uкр) = α. Тогда р(0  U  u кр ) = 1 1 − 2 − = 2 2 . Следовательно, икр можно найти по таблице значений функции Лапласа из условия, что Вычислим наблюдаемое значение критерия по формуле (4.2). Если Uнабл < uкр, то нулевая гипотеза принимается. Если Uнабл > uкр, то нулевая гипотеза отвергается. Ф(и кр ) = 1 − 2 2 . Проверка гипотезы о вероятности события 3) Для конкурирующей гипотезы Н1: р < p0 критическая область является левосторонней и задается неравенством U <- uкр, где икр вычисляется так же, как в предыдущем случае. Если Uнабл > - uкр, то нулевая гипотеза принимается. Если Uнабл < - uкр, то нулевая гипотеза отвергается. Пример Пример. Пусть проведено 50 независимых испытаний, и относительная частота появления события А оказалась равной 0,12. Проверим при уровне значимости α= 0,01 нулевую гипотезу Н0: р = 0,1 при конкурирующей гипотезе Н1: р > 0,1. Найдем U набл = (0,12 − 0,1) 50 = 0,471. 0,1  0,9 Критическая область является правосторонней, а икр находим из равенства Ф(икр) = 1 − 2  0,01 = 0,49. 2 Из таблицы значений функции Лапласа определяем икр = 2,33. Итак, Uнабл < uкр, и гипотеза о том, что р = 0,1, принимается. Используемые Интернетисточники • http://www.myshared.ru/slide/218243/