Статистическая оценка связей между количественными и качественными признаками

Лекция 8. Статистическая оценка связей между количественными и качественными признаками При проведении научных исследований в результате экспериментов получаем массивы опытных данных. В ряде случаев оказывается более удобным иметь дело с аналитическим видом функции y=f(x), связывающей входные и выходной параметр исследуемого объекта (процесса). Такая форма не только более компактна, но и позволяет дальнейшие исследования проводить аналитически. Таким образом, возникает задача сглаживания экспериментальных данных с помощью некоторой функции, заданной аналитически. Эта функция должна, по возможности, максимально точно отражать общую тенденцию зависимости y=f(x) и сглаживать случайные отклонения. Для решения подобных задач используют различные расчетные методы, наиболее популярным из которых является метод наименьших квадратов (МНК). Наиболее часто встречающийся вид точечной аппроксимации на дискретном наборе данных – аппроксимация полиномом, линейным относительно своих параметров – коэффициентов a0, a1,…, am: f ( xi ) = a0 + a1 xi + a2 xi2 +…+ am xim , i = 1, …, n. Коэффициенты аппроксимирующей функциии вычисляются из условия минимизации суммы квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной аппроксимирующей функции: n F ( a0 , a1 ,…, am ) = ∑ ( yi − f ( xi ) ) → min. (1) 2 i =1 Таким образом, задача построения аппроксимирующей кривой сводится к задаче нахождения минимума функции нескольких переменных. Находим частные производные функции F (a0,a1,… ,am) по переменным , ,…, и приравниваем их к нулю:  ∂ n y − f (x ) 2 i )  ∑ i =1 ( i = 0,  ∂a0  ……………………………  2 n  ∂ ∑ i =1 ( yi − f ( xi ) ) = 0.  ∂an  Решая систему уравнений, находим значения a0, a1, … ,am. По возможности, следует отдавать предпочтение линейным аппроксимирующим зависимостям. Однако могут быть выбраны и нелинейные аппроксимирующие функции. Если в этой ситуации непосредственно применить МНК, то мы получим систему нелинейных уравнений, для решения которой потребуется применение численных методов. Чтобы избежать этого, применяется линеаризация, или выравнивание эмпирической формулы. Несмотря на приближенность метода выравнивания, он широко применяется потому, что позволяет сводить сложные нелинейные задачи к более простым линейным. Рассмотрим применение метода выравнивания на примерах конкретных зависимостей. а) Степенная функция y=axb. Для ее выравнивания применим преобразование lgy=lga+blgx. После замены переменных X=lgx, Y=lgy получим Y=a1X+b1, где a1=b, b1=lga. б) Показательная функция y=aebx. Применим преобразование lgy=lga+blge ·x. После замены переменных X=x, Y=lgy получим Y=a1X+b1, где a1=blge, b1=lga. в) Функция вида x/(ax+b). Используем преобразование Y=1/y=a+b/x и замену переменных X=1/x, Y=1/y, что приводит к линейной зависимости Y=a1X+b1, где a1=b, b1=a. МНК с соотношением (1) является классическим МНК, в котором предполагается, что все значения ряда являются равноправными. В противном случае все слагаемые ряда умножаются на коэффициент значимости βi<1, i=1,…,n; n ∑βi = 1. i=1 Такая модификация носит название «Метод взвешенных наименьших квадратов» (МВНК). В этом случае соотношение (1)принимает вид: n F ( a0 , a1 ,…, am ) = ∑βi ( yi − f ( xi ) ) → min. 2 i =1 Коэффициенты βi могут быть заданы в числовой форме или в виде функции. Обычно строят возрастающие последовательности, показывая, что будущее поведение системы в большей степени определяется поздними наблюдениями, чем ранними. Для исследования связей между статистическими совокупностями применяются методы дисперсионного, корреляционного и регрессионного анализа. Методы дисперсионного анализа устанавливают наличие влияния одновременно действующих факторов на изучаемый процесс. С целью выбора наиболее значимых факторов и оценки их влияния на исследуемый процесс устанавливаются изменения дисперсии результатов эксперимента при изменении уровней факторов. При значимом отличии дисперсий делается вывод о значимом влиянии факторов на среднее значение результативного признака, характеризующего изучаемый процесс. Дисперсионный анализ позволяет подтвердить влияние тех или иных факторов на рассматриваемый результативный признак, но не дает возможности определить силу и форму этого влияния. Корреляционный анализ позволяет оценить силу взаимосвязи признаков, а методами регрессионного анализа можно выбрать конкретную математическую модель и оценить адекватность отражения ею установленной взаимосвязи признаков. Корреляция – зависимость между случайными величинами X и Y (признаками), не имеющая, вообще говоря, строго функционального характера. В отличие от функциональной зависимости корреляция, как правило, рассматривается тогда, когда одна из величин зависит не только от данной другой, но и от ряда случайных факторов. Стохастическая составляющая связи между X и Y характеризуется коэффициентом корреляции r= M {[ X − MX ][Y − MY ]} DX ⋅ DY , где MX(MY) и DX(DY) – математическое ожидание и дисперсия X(Y). Если величины X и Y независимы, то r=0 (обратное утверждение в общем случае неверно) и величины некоррелированы; r=1 тогда и только тогда, когда величины связаны линейной функциональной зависимостью. Вспомогательными средствами при анализе выборочных двумерных данных являются корреляционное поле и корреляционная таблица. При нанесении на координатную плоскость выборочных точек получают корреляционное поле. По характеру расположения точек поля можно выдвинуть предположение о форме зависимости случайных величин. Для численной обработки данных результаты эксперимента обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке этой таблицы приводятся численности nij тех пар (x, y), компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировки по каждой переменной. Предполагая длины интервалов группировки по каждой из переменных равными между собой, выбирают центры xi и yj этих интервалов для дальнейших расчетов. Выборочный коэффициент корреляции определяется по формуле rв = ∑ i ∑ j ( xi − x )( y j − y )nij , 2 2 n ( x − x ) n ( y − y ) ∑ i ii i ∑ j ij j (2) где ni i = ∑ j nij , ni j = ∑ i nij , n = ∑ i ∑ j nij , x = или после преобразования ∑ i nii xi , n y= ∑ j ni j y j n . , rв = ∑ ij nij xi y j − nx y nσ x σ y , (3) где σx, σy – выборочные средние квадратические отклонения. При большом числе независимых наблюдений, подчиненных одному и тому же закону распределения, близкому к нормальному, выборочный коэффициент корреляции близок к истинному коэффициенту корреляции. Во всех других случаях в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости. Выборочное значение корреляционного отношения Y по X вычисляется по формуле: ηˆ Y2 | X 1 ∑ i ni i ( yi − y )2 n = , 1 2 ( ) n y − y ∑ j ij j n где числитель характеризует рассеяние условных средних значений yi около безусловного среднего y . Аналогично определяется выборочное значение корреляционного отношения X по Y. В любом случае справедливо неравенство r2≤η2≤1. Равенство достигается только при строгой линейной связи между Y и X . Разность η2-r2 может служить мерой нелинейности корреляционной связи. Проверка гипотезы о значимости корреляционной связи основывается на распределениях выборочных корреляционных зарактеристик. Так, в случае нормального распределения величина выборочного коэффициента корреляции считается значимо отличной от нуля, если выполняется неравенство: −1 rв2  n− 2 > 1 + 2  , tα   (4) где tα - критическое значение t-распределения Стьюдента с (n-2) степенями свободы, соответствующее выбранному уровню значимости α (табл. П.1). Проверка значимости корреляционного отношения производится с помощью статистики Fнабл = ηˆ 2 (n − m) , (1 − ηˆ 2 )(m − 1) где m –число интервалов по группировочному признаку. При выбранном уровне значимости α по табл. П.2 находим табличное значение критерия Фишера Fкр=Fкр(α, k1, k2), где k1=m-1, k2 =n-m. Если Fнабл>Fкр(α, k1, k2), то корреляционное отношение значимо. При необходимости исследования связи между тремя и более случайными величинами используются частные и множественные коэффициенты корреляции. Так зависимость между двумя переменными X и Y при фиксированной третьей переменной Z оценивается с помощью частного коэффициента корреляции: rxy , z = rxy − rxz ryz (1 − rxz2 )(1 − ryz2 ) . Аналогично определяются частные коэффициенты корреляции по остальным парам переменных. Множественная корреляция исследуется в случае, когда необходимо установить существенность взаимосвязи одной переменной с совокупностью остальных. Зависимость между X и Y,Z определяется с помощью множественного коэффициента корреляции: rx , yz = rxy2 + rxz2 − 2rxy rzx ryz 1 − ryz2 . Зависимости между Y и X, Z, а также между Z и X,Y определяются аналогично. Так же, как и обычные коэффициенты корреляции, частные и множественные коэффициенты корреляции принимают значения от -1 до +1. Для распределения случайных величин (признаков), отличных от нормального, более эффективны методы изучения связи между величинами, основанные на замене наблюдаемых величин их рангами. Под рангом выборочного значения случайной величины понимается его номер в упорядоченной по возрастанию выборке. Такие методы обладают повышенной устойчивостью к отклонениям распределения от нормального и оставляют на приемлемом уровне статистические характеристики получаемых заключений по гипотезам. Существуют различные способы оценки ранговой корреляции величин X и Y. Один из самых распространенных - способ Спирмена. Пусть Ri и Rj∗ - последовательности рангов значений xi и yj величин X и Y. Найдем разность рангов di=Ri-Ri∗, соответствующую паре (xi , yi). Тогда коэффициент ранговой корреляции Спирмена определяется формулой: n 6∑ di2 ρ = 1− i =1 n(n 2 − 1) . Его значения находятся в интервале от -1 до +1. Значение ρ=0 указывает на отсутствие корреляции. В качестве статистики для проверки значимости ρ используется сумма квадратов отклонений рангов n S = ∑ di2 . i =1 При n≥10 распределение S аппроксимируется нормальным распределением с параметрами: M (S ) = n(n 2 − 1) n 2 (n + 1)2 (n − 1) , D( S ) = . 6 36 Корреляция считается значимой, если S >Sкр , где Sкр = n(n 2 − 1) n(n + 1) + uα n − 1, 6 6 uα - α-квантиль стандартного нормального распределения (табл. П.4). Приведенные выше показатели оценивают связь между количественными признаками. Рассмотрим методы статистической оценки связи между качественными признаками. Предположим, что наблюдаемая случайная величина может изменяться в зависимости от некоторых признаков. Например, долговечность электронного прибора может зависеть от технологии изготовления, применяемых материалов. По результатам наблюдений над случайной величиной, классифицированным по наличию или отсутствию исследуемых признаков, необходимо определить, существует ли взаимосвязь между ними, т. е. существует ли связь между технологией изготовления и применяемыми материалами. Таблицы, в которых представлены значения исследуемой случайной величины, классифицированные по качественным признакам, называются таблицами сопряженности признаков. Если исследуется взаимосвязь двух признаков A и B, то таблица сопряженности имеет вид a b c d, где a – число элементов выборки, обладающих признаками A и B одновременно; b- число элементов выборки, обладающих признаком A, но не обладающих признаком B; c - число элементов выборки, обладающих признаком B, но не обладающих признаком A; d - число элементов выборки, не обладающих ни одним из признаков A и B. Рассмотрим меры связи, позволяющие грубо оценить ее наличие. Коэффициент ассоциации находится по формуле: Q= ad − bc . ad + bc Если признаки A и B независимы, то Q=0. В случае полной связи между признаками Q=±1. Дисперсия коэффициента ассоциации равна D(Q) = 1 1 1 1 1 (1 − Q2 )  + + +  . 4 a b c d  Сравнение Q со среднеквадратическим значением позволяет получить первое приближение по оценке связи: чем больше коэффициент ассоциации по сравнению со своим среднеквадратическим значением, тем существеннее связь между признаками. Коэффициент контингенции находится по формуле: V= ad − bc (a + b)(a + c)(b+ d)(c+ d) . Для проверки гипотезы о существовании взаимосвязи между изучаемыми признаками используется величина χ2=nV2, имеющая при отсутствии связи распределение χ2 с f=1 степенью свободы (табл. П.5). Наблюдаемое значение критерия контингенции для проверки связи признаков имеет вид: 2 2 χнабл n  n  ad − bc −  2  = , (a + b)(a + c)(b + d)(c+ d) где n=a+b+c+d. Если 2 2 χ набл > χ кр (α,1), то с достоверностью α зависимость признаков A и B признается значимой. Заметим, что критерий χ2=nV2 применим, когда n≥40 и a, b, c, d≥5. Таким образом, корреляционный анализ статистических данных заключает в себе следующие основные практические приемы: 1) построение корреляционного поля и составление корреляционной таблицы; 2) вычисление выборочных коэффициентов корреляции или корреляционныхотношений; 3) проверка статистической гипотезы значимости связи. Дальнейшее исследование заключается в установлении конкретного вида зависимости между величинами. Влияние одной случайной величины на другую характеризуется условными распределениями одной из них при фиксированных значениях другой. Если для каждого возможного значения X=x определено условное математическое ожидание y(x)=M[YX=x] величины Y, функция y(x) называется регрессией величины Y по X, а ее график – линией регрессии Y по X. Зависимость Y от X проявляется в изменении средних значений Y при изменении X. Функция регрессии y(x) обозначается yx . Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид: yx − y = rв σy σx ( x − x ). (5) Регрессионный анализ объединяет практические методы исследования регрессионной зависимости между величинами по статистическим данным и решает следующие основные задачи: 1) выбор модели регрессии; 2) оценка параметров в выбранной модели методом наименьших квадратов; 3) проверка статистических гипотез о регрессии. По выборочным данным можно найти только оценку истинной регрессии, содержащую ошибку, связанную со случайностью выборки. В основе лежит принцип наименьших квадратов, в соответствии с которым в качестве уравнения регрессии y=f(x) выбирается функция, доставляющая минимум сумме квадратов разностей 2 n s = ∑  yi − f ( xi )  . i =1 Как правило, вид функции f(x) определяется заранее, а методом наименьших квадратов определяются ее коэффициенты, минимизирующие s. Количественной мерой рассеяния значений yi вокруг регрессии f(x) является дисперсия D= 1 n−k n 2 ∑  yi − f ( xi ) , i =1 где k – число коэффициентов, входящих в аналитическое выражение регрессии. Вид функции f(x) выбирается исходя из особенностей исследуемого явления (процесса), а также из графического анализа зависимости между y и x. Чаще всего используется линейная регрессионная модель, а при нелинейной зависимости y=f(x) используют различные линеаризующие преобразования. Для оценки коэффициентов регрессии применяется также метод наименьших модулей (МНМ), в соответствии с которым оценки ищутся из условия минимизации суммы абсолютных величин отклонений экспериментальных точек от выборочной регрессии. Задача отыскания минимума является задачей кусочно-линейного программирования. Замена квадратов отклонений абсолютными величинами в ряде случаев может оказаться предпочтительнее. Прежде всего, использование МНМ позволяет ослабить влияние больших отклонений (в МНК они возводятся в квадрат). Разработанный в настоящее время аппарат регрессионного анализа предполагает, что значения yi взаимно независимы и нормально распределены. Выполнение этих условий должно быть предварительно проверено с помощью критериев нормальности и критериев сравнения дисперсий. Регрессионный анализ является одним из наиболее распространенных методов обработки экспериментальных данных при изучении зависимостей в технике, физике, биологии, экономике и других областях. На моделях регрессионного анализа основаны такие разделы математической статистики, как дисперсионный анализ и планирование эксперимента. Таблица П.1. Критические значения распределения Стьюдента (t-распределения) k – число степеней свободы Уровень значимости α k 0,1 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001 1 6,3138 12,7062 31,8205 63,6567 318,3088 636,6192 2 2,9200 4,3027 6,9646 9,9248 22,3271 31,5991 3 2,3534 3,1824 4,5407 5,8409 10,2145 12,9240 4 2,1318 2,7764 3,7469 4,6041 7,1732 8,6103 5 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 5,8934 6,8688 6 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 5,2076 5,9588 7 1,8946 2,3646 2,9980 3,4995 4,7853 5,4079 8 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 4,5008 5,0413 9 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 4,2968 4,7809 10 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 4,1437 4,5869 11 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 4,0247 4,4370 12 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 3,9296 4,3178 13 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 3,8520 4,2208 14 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 3,7874 4,1405 15 1,7531 2,1314 2,6025 2,9467 3,7328 4,0728 16 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 3,6862 4,0150 17 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 3,6458 3,9651 18 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 3,6105 3,9216 19 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 3,5794 3,8834 20 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 3,5518 3,8495 21 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 3,5272 3,8193 22 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 3,5050 3,7921 23 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 3,4850 3,7676 24 1,7109 2,0639 2,4922 2,7969 3,4668 3,7454 25 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 3,4502 3,7251 26 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 3,4350 3,7066 27 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 3,4210 3,6896 28 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 3,4082 3,6739 29 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 3,3962 3,6594 30 1,6973 2,0423 2,4573 2,7500 3,3852 3,6460 40 1,6839 2,0211 2,4233 2,7045 3,3069 3,5510 Продолжение табл. П.1. Уровень значимости α k 0,1 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001 50 1,6759 2,0086 2,4033 2,6778 3,2614 3,4960 50 1,6759 2,0086 2,4033 2,6778 3,2614 3,4960 60 1,6706 2,0003 2,3901 2,6603 3,2317 3,4602 70 1,6669 1,9944 2,3808 2,6479 3,2108 3,4350 80 1,6641 1,9901 2,3739 2,6387 3,1953 3,4163 90 1,6620 1,9867 2,3685 2,6316 3,1833 3,4019 100 1,6602 1,9840 2,3642 2,6259 3,1737 3,3905 110 1,6588 1,9818 2,3607 2,6213 3,1660 3,3812 120 1,6577 1,9799 2,3578 2,6174 3,1595 3,3735 200 1,6525 1,9719 2,3451 2,6006 3,1315 3,3398 Таблица П.2. Критические значения распределения Фишера – Снедекора (F-распределения) k1 – число степеней свободы большей дисперсии, k2 – число степеней свободы меньшей дисперсии Уровень значимости α=0,01 k2 k1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 4052 4999 5403 5625 5764 5889 5928 5981 6022 6056 6082 6106 2 98,49 99,01 99,17 99,25 99,30 99,33 99,34 99,36 99,38 99,40 99,41 99,42 3 34,12 30,81 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,13 27,05 4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,54 14,45 14,37 5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,45 10,27 10,15 10,05 9,96 9,89 6 13,74 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,79 7,72 7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 7,00 6,84 6,71 6,62 6,54 6,47 8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,19 6,03 5,91 5,82 5,74 5,67 9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,62 5,47 5,35 5,26 5,18 5,11 10 10,04 7,56 6,55 5,9S 5,64 5,39 5,21 5,06 4,95 4,85 4,78 4,71 11 9,86 7,20 6,22 5,67 5,32 5,07 4,88 4,74 4,63 4,54 4,46 4,40 12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,65 4,50 4,39 4,30 4,22 4,16 13 9,07 6,70 5,74 5,20 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 4,02 3,96 14 8,86 6,51 5,56 5,03 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,86 3,80 15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,73 3,67 16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,61 3,55 17 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,52 3,45 Продолжение табл. П.2. Уровень значимости α =0,05 k2 k1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 161 200 216 225 230 234 237 239 241 242 243 244 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,36 19,37 19,38 19,39 19,40 19,41 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,88 8,84 8,81 8,78 8,76 8,74 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,93 5,91 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,78 4,74 4,70 4,68 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,63 3,60 3,57 8 5,32 4,45 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,34 3,31 3,28 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,13 3,10 3,07 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,97 2,94 2,91 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,86 2,82 2,79 12 4,75 3,88 3,49 3,26 3,11 3,00 2,92 2,85 2,80 2,76 2,72 2,69 13 4,67 3,80 3,41 3,18 3,02 2,92 2,84 2,77 2,72 2,67 2,63 2,60 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,77 2,70 2,65 2,60 2,56 2,53 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 270 2,64 2,59 2,55 2,51 2,48 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,45 2,42 17 4,45 3,59 3,20 2,90 2,81 2,70 2,62 2,55 2,50 2,45 2,41 2,38 Таблица П.4. Квантили uα стандартного нормального распределения α uα α uα α 0,50 0,000000 0,70 0,524401 0,90 1,281552 0,983 2,120072 0,51 0,025069 0,71 0,553385 0,91 1,340755 0,984 2,144411 0,52 0,050154 0,72 0,582842 0,92 1,405072 0,985 2,170090 0,53 0,075270 0,73 0,612813 0,93 1,474791 0,986 2,197286 0,54 0,100434 0,74 0,643345 0,94 1,554774 0,987 2,226212 0,55 0,125661 0,75 0,67449 0,95 1,644854 0,988 2,257129 0,56 0,150969 0,76 0,706303 0,96 1,750686 0,989 2,290368 0,57 0,176374 0,77 0,738847 0,97 1,880794 0,99 2,326348 0,58 0,201893 0,78 0,772193 0,971 1,895698 0,991 2,365618 0,59 0,227545 0,79 0,806421 0,972 1,911036 0,992 2,408916 0,60 0,253347 0,80 0,841621 0,973 1,926837 0,993 2,457263 0,61 0,279319 0,81 0,877896 0,974 1,943134 0,994 2,512144 0,62 0,305481 0,82 0,915365 0,975 1,959964 0,995 2,575829 0,63 0,331853 0,83 0,954165 0,976 1,977368 0,996 2,652070 0,64 0,358459 0,84 0,994458 0,977 1,995393 0,997 2,747781 0,65 0,385320 0,85 1,036433 0,978 2,014091 0,998 2,878162 0,66 0,412463 0,86 1,080319 0,979 2,033520 0,999 3,090232 0,67 0,439913 0,87 1,126391 0,980 2,053749 0,68 0,467699 0,88 1,174987 0,981 2,074855 0,69 0,495850 0,89 1,226528 0,982 2,096927 uα α uα Таблица П.5. Критические значения распределения хи-квадрат k – число степеней свободы Уровень значимости α k 0,99 0,98 0,95 0,90 0,80 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 1 0,00016 0,00063 0,00393 0,0158 0,0642 1,642 2,706 3,841 5,412 6,635 10,827 2 0,0201 0,0404 0,103 0,211 0,446 3,219 4,605 5,991 7,824 9,210 13,815 3 0,115 0,185 0,352 0,584 1,005 4,642 6,251 7,815 9,837 11,341 16,268 4 0,297 0,429 0,711 1,064 1,649 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 18,465 5 0,554 0,752 1,145 1,610 2,343 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 20,517 6 0,872 1,134 1,635 2,204 3,070 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 22,457 7 1,239 1,564 2,167 2,833 3,822 9,803 12,017 14,067 16,622 18,475 24,322 8 1,646 2,032 2,733 3,490 4,594 11,030 13,362 15,507 18,679 20,090 26,125 9 2,088 2,532 3,325 4,168 5,380 12,242 14,684 16,919 19,679 21,666 27,877 10 2,588 3,059 3,940 4,865 6,179 13,442 15,987 18,307 21,161 23,209 29,588 11 3,053 3,609 4,575 5,578 6,989 14,631 17,275 19,675 22,618 24,725 31,264 12 3,571 4,178 5,226 6,304 7,807 15,812 18,549 21,026 24,054 26,217 32,909 13 4,107 4,765 5,892 7,042 8,634 16,985 19,812 22,362 25,472 27,688 34,528 14 4,660 5,368 6,571 7,790 9,467 18,151 21,064 23,685 26,873 29,141 36,123 15 5,229 5,985 7,262 8,547 10,307 19,311 22,307 24,996 28,259 30,578 37,697 16 5,812 6,614 7,962 9,312 11,152 20,465 23,542 26,296 29,633 32,000 39,252 17 6,408 7,255 8,672 10,085 12,002 21,615 24,769 27,587 30,995 33,409 40,790 18 7,015 7,906 9,390 10,865 12,857 22,760 25,989 28,869 32,346 34,805 42,312 19 7,633 8,567 10,117 11,651 13,716 23,900 27,204 30,144 33,687 36,191 43,820 20 8,260 9,237 10,851 12,443 14,578 25,038 28,412 31,410 35,020 37,566 45,315 21 8,897 9,915 11,591 13,240 15,445 26,171 29,615 32,671 36,343 38,932 46,797 22 9,542 10,600 12,338 14,041 16,314 27,301 30,813 33,924 37,659 40,289 48,268 23 10,196 11,298 13,091 14,848 17,187 28,429 32,007 35,172 38,968 41,638 49,728 24 10,856 11,992 13,848 15,659 18,062 29,553 33,196 36,415 40,270 42,980 51,179 25 11,542 12,697 14,611 16,473 18,940 30,675 34,382 37,652 41,566 44,314 52,620 26 12,198 13,409 15,379 17,292 19,820 31,795 35,563 38,885 42,856 45,642 54,052 27 12,879 14,125 16,151 18,114 20,703 32,912 86,741 40,113 44,140 46,963 55,476 28 13,565 14,847 16,928 18,939 21,588 34,027 37,916 41,337 45,419 48,278 56,893 29 14,256 15,574 17,708 19,768 22,475 35,139 39,087 42,557 46,693 49,588 58,302 30 14,953 16,306 18,493 20,599 23,364 36,250 40,256 43,773 47,962 50,892 59,703