Средние величины

Лекция 13. Средние величины Цель: изучить виды среднеарифметических величин Задачи: изучить методику расчета среднеарифметических величин. План: 1. Виды среднеарифметических величин. 2. Механизм расчета. Средние величины – это обобщающие показатели, выражающие типичные размеры количественно изменяющихся признаков качественно однородных явлений; характеризуют общий уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности. Она применяется в случаях перехода от конкретных значений признака к характеристике всей совокупности. В зависимости от характера изучаемых явлений, от конкретных задач и целей статистического исследования различают следующие виды средних: 1) среднеарифметическая; 2) среднегармоническая; 3) среднеантигармоническая; 4) среднестепенная; 5) среднеквадратическая; 6) распределительные средние: - мода; - медиана; 7) среднехронологическая. 1. Средняя арифметическая простая ( Х )равна сумме произведений значений признака, деленной на их количество. X= ∑ Xi n 1 где Х1,Х2…Хn- значение признака; n – число значений признака. Например, известна сменная выработка рабочих бригады токарей: Табельный номер рабочего 1 2 3 4 5 Количество изготовленных деталей, шт. 21 19 20 18 21 Требуется определить среднюю выработку бригады. Для ее нахождения используется формула средней арифметической простой: ∑ Xi n X= По приведенным данным необходимо определить среднюю выработку бригады. Для этого просуммируем количество всех изготовленных деталей (значение признака) и разделим на количество рабочих (число значений признака): X = 21 + 19 + 20 + 18 + 21 = 19,8 ≈ 20шт 5 Среднеарифметическая взвешенная может быть определена двумя способами: прямым – отношением суммы произведений значений признака на их частоту, на сумму частот, и способом «От нуля». 1.Прямым способом среднерифметическая взвешенная (х) определяется по формуле: x= ∑ xi f i ∑ fi где f i – частота, т. е. число случаев возникновения того или иного значения признака. 2 Исходные данные для расчёта среднеарифметической взвешенной приведены в таблице 1 Таблица 1. Продажа акций на торгах условной фондовой биржи. Сделка Количество Курс проданных акций шт. fi продажи акций в руб. xi 1 500 1080 2 300 1050 3 1100 1145 Определим среднеарифметическую взвешенную прямым способом по формуле: X = 500 ⋅ 1080 + 300 ⋅ 1050 + 1100 ⋅ 1145 = 1112,9 руб 500 + 300 + 1100 Следует помнить. ! При расчете средней арифметической по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. Тогда зависимость для расчета среднеарифметической взвешенной имеет вид x= ∑ xi f i ∑ fi где i х - середина i –го интервала. 2. Способом «от нуля» среднеарифметическая может быть исчислена по формуле: − X = Х0 ± Z , 3 где Х0 – значение признака, принятого за «0». За «0» обычно принимается значение признака, расположенного в середине вариационного ряда (В нашем примере Х0 = 25 лет). Поэтому ряд необходимо стараться сделать нечётным. При чётном количестве значений ряда, за «0», может быть принято значение признака с наибольшей частотой. − Z – условная среднеарифметическая, определяемая отношением суммы отклонений значений признаков от значения признака, принятого за «0», умноженной на соответствующие частоты, к сумме частот, по формуле: ∑( x i − x0 ) f i − ∑f Z= = -3/20 = -0,15 руб. Приведём пример расчета среднеарифметической способом «от 0» (табл. 2). Таблица 2. Пример исчисления среднеарифметической способом «от 0» Число посетителей посетите признака от условной лет лей средней (от 0) Х f Х – Х0 = Zi 5 2 10 -20 -4 15 5 75 -10 -5 25 8 200 35 4 140 10 +4 45 1 45 20 +2 Итого 20 470 - -3 1. Хi fi значений (Х-Х0) ×f Возраст Подставляя полученные значения, Отклонение в вышеприведенную определим формулу среднеарифметическую прямым способом: 4 X = -0,15*10+25= 23,5 года, 2. Рассчитаем среднеарифметическую Способом «от нуля». За «0» принимаем значение признака, расположенного в середине вариационного ряда ( В нашем примере Х0 = 25 лет). X = 470/20 = 23,5 года., то есть получили ту же величину, что и «прямым способом». 2. Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Используется в тех случаях, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным значениям признака, а представлена произведением значения признака на частоту. Средняя гармоническая взвешенная используется в тех случаях, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен знаменатель. 1), применяется среднегармоническая простая, определяемая по формуле: Xn = ∑ n 1 xi Рассмотрим пример использования средней гармонической простой: Три предприятия производят микроволновые печи. Себестоимость их производства на 1-ом предприятии составила 4000 руб., на 2-ом -3000 руб., на 3-ем – 5000 руб. Необходимо определить среднюю себестоимость производства микроволновой печи при условии, что на каждом предприятии общие затраты на ее изготовление составляют 600 тыс. руб. Применять среднюю арифметическую в данном случае нельзя, так как предприятия выпускают разное количество 5 микроволновых печей: первое –150шт. (600000/4000); второе – 200шт. (600000/3000); третье – 120шт. (600000/5000). Среднюю себестоимость микроволновой печи можно получить, если общие затраты трех предприятий разделить на общий выпуск: Xn = 600 + 600 + 600 = 3,830 руб. 150 + 200 + 120 2) Для исчисления среднегармонической Хifi обозначим Mi , т.е. Хifi = Mi, отсюда fi = Mi/Хi . Преобразуем формулу среднеарифметической – вместо Хifi подставим Mi и получим среднеарифметическую взвешенную, исчисленную гармоническим способом: Xn = ∑Mi 1 ∑ ×М xi В случаях, когда произведение Xifi одинаково или равно единице (Mi = 1), применяется среднегармоническая простая, определяемая по формуле: Xn = ∑ n 1 xi 6 При работе со сгруппированными данными используется средняя гармоническая взвешенная: Таблица 2 - Валовой сбор и урожайность подсолнечника по Центрально – Черноземному району ( в хозяйствах всех категорий) Область Валовой Урожайность, Валовой сбор, тыс. т ц\га сбор, тыс. т Белгородская 97,0 16,1 Воронежская 204,0 9,5 Курская 0,5 4,8 Тамбовская 16,0 10,9 Липецкая 69,0 7,0 В общем случае средняя урожайность любой сельскохозяйственной культуры по нескольким территориям, агрофирмам, крестьянским хозяйствам и. т. п. может быть определена только на основе следующего исходного соотношения. ИСС= Общий валовой сбор,тыс.ц Общая посевная площадь,тыс.га. Общий валовой сбор определяется суммированием валового сбора по областям. Однако данные о посевных площадях в явном виде в таблице отсутствуют. Их косвенно можно рассчитать разделив валовой сбор по каждой области на урожайность. Тогда, определим искомую среднюю, предварительно переведя тоны в центнеры 7 Xn = 970 + 2040 + 5 + 160 + 690 = 9,9 ц/ га 970 2040 5 160 690 + + + + 16,1 9,5 4,8 10,9 7,0 3. Для характеристики некоторых процессов подходит еще одна своеобразного вида средняя, так называемая антигармоническая. Формула ее такова: ∑ xi2 f i x= (взвешенная) ∑ xi f i ∑ xi2 x= (невзвешенная) ∑ xi Приведем примеры ее использования. 1, Имеется п учителей, и каждый подготовил ki, учеников. Если каждый ученик подготовит столько же учеников, сколько подготовил его учитель, то среднее соотношение учеников и учителей (т. е. как бы производительность работы учителя или темп распространения знаний) выразится средней антигармонической. Пусть 6 учителей подготовили соответственно 8, 7, 14, 23, 15, 11 учеников. Тогда 8 2 + 7 2 + 14 2 + 23 2 + 15 2 + 112 x= = 15,4 8 + 7 + 14 + 23 + 15 + 11 2. Имеется п отраслей, ki, – эффективность вложений в отрасль i, т. е. 1 руб. вложений в текущем году дает доход ki рублей в следующем году. Если ki – неизменны, то эффективность вложений Е выразится средней антигармонической, т. е. n Е= ∑ k i2 i =1 n ∑ ki i =1 . 8 Допустим, имеются три отрасли. Пусть вложения в них имеют эффективность соответственно k1 = 1,1; k2 = 1,2 и k3 = 1,4. Тогда 2 2 2 ( 1,1) + (1,2) + (1,4 ) Е= 1,1 + 1,2 + 1,4 = 1,246 . 3. Имеется некоторая совокупность людей. Среди них п женщин. Пусть ki – число детей у женщины. Предположим, что каждая дочь имеет столько же детей, сколько имела ее мать. Предположим, что число девочек равно числу мальчиков. Тогда соотношение численности между поколениями выразится средней антигармонической: 2 n 1  ∑  ki  ∑ k i2 i =1 2  = i =1 Т = 2 × n n 1 ∑ ki ∑ ki i =1 i =1 2 . n Пусть у десяти женщин соответственно по 1, 2, 3, 2, 3, 5, 1, 1, 2, 4 детей. Тогда 12 + 2 2 + 3 2 + 2 2 + 3 2 + 5 2 + 12 + 12 + 2 2 + 4 2 Т= = 3,083 1+ 2 + 3 + 2 + 3 + 5 +1+1+ 2 + 4 Таким образом, на каждого человека первого поколения будет приходиться в среднем 3,083 человека следующего поколения. Таким образом, выбор вида среднего показателя оказывает существенное влияние на его численную величину. Выбор вида средней определяется в каждом отдельном случае путем анализа исследуемой совокупности, изучения содержания явления. 4. Степенная средняя ( хс ) используется в случаях, когда определяется среднее значение, выраженное функцией к-го порядка. Частным случаем ее является среднеквадратическая. 5. Среднеквадратическая X k применяется в случае, когда осредняемое значение признака выражено в виде квадратных функций. 9 Степенная средняя и среднеквадратическая может быть простой и взвешенной и исчисляется соответственно по формулам: хik ∑ хс = Xk = к n хс = к ∑ хik f ∑ fi ∑ xi2 n Xk = ∑ xi2 f i ∑ fi Имеется 10 квадратов с различной длиной сторон. Необходимо определить среднюю сторону одного квадрата (табл. 3). Таблица 3. Исходные данные для расчета среднеквадратической. : Сторона квадрата, см., (Х) 4 6 8 10 Итого Средняя сторона взвешенная по формуле: Количество квадратов, (f) 1 3 5 1 10 одного квадрата Х2 × fi Х2 16 36 64 100 определится 16 108 320 100 544 как среднеквадратическая 544 = 54,4 = 7,4 10 см. 6. Распределительные средние включают моду и медиану. ХK = Мода характеризует центр распределения по «весу» статистических единиц. В дискретном ряду модой будет значение признака, частота которого наибольшая. В интервальном ряду мода (М0) находится в пределах того интервала, частота которого наибольшая. Моду находим по формуле: М 0 = x0 + hm f m − f m −1 ( f m − f m −1 ) + ( f m − f m +1 ) 10 где : xo – начало модального интервала; hm – величина модального интервала; fm – частота модального интервала; fm-1 – частота интервала, предшествующая модельному; fm+1 – частота интервала, следующего за модальным. Медиана – вариант, занимающий среднее место в вариационном ряду и делящий его на две равные части. В дискретном ряду медианным вариантом будет вариант, расположенный в середине вариационнного ряда и делящий его на две равные части. Для нахождения медианы необходимо предварительно определить номер медианного варианта (NMe). В дискретном ряду с нечетной суммой частот, (NMe) исчисляется следующим образом: NM e = ∑ fi 2 + 0,5 где ∑ f i – сумма частот. При четном числе частот имеют место два медианных варианта (NMe1 , NMe2 ), номера которых определяются следующим образом: NM e1 ∑ fi = 2 NM e2 = ∑ fi + 1 = NM 1 + 1 2 Медианным вариантом будет тот вариант, с прибавлением частот которого сумма частот будет больше номера медианы. Следовательно, для определения медианного варианта необходимо последовательно суммировать частоты. 11 7. Средняя хронологическая - это средний уровень ряда динамики, т. е. средняя, исчисленная по совокупности значений показателя в разные моменты или периоды времени. В зависимости от вида ряда динамики применяются различные способы ее расчета, а именно расчет средней хронологической интервального ряда и средней хронологической моментного ряда. Средней хронологической интервального (более распространённого) ряда является средняя величина из уровней интервального ряда динамики, которая исчисляется по формуле: где - средний уровень ряда; - уровень ряда динамики; - число членов ряда 12