Спектральные плотности

Лекция 4 Величина S(j) получила название спектральной плотности и в общем случае является комплексной и одновременно несет информацию как об амплитуде. С общих позиций можно записать: С учетом формулы Эйлера перепишем выражение: Отсюда получим Рис. График фазо-частотной характеристики одиночного прямоугольного импульса. Сравнив выражения для спектральной плотности одиночного прямо­угольного импульса (2.25) и спектра периодической последовательности таких же импульсов (2.16), нетрудно заметить, что модуль спектральной плотности и огибающая гармоник дискретного спектра совпадают по форме и отличаются лишь масштабом по оси амплитуд. 9.Спектральные плотности дельта- функции и гармонического сигнала. Дельта-функция. Рассмотрим теоретическую модель бесконечно короткого импульса с бесконечно большой амплитудой, анали­тически определяемого формулой: Площадь такого импульса всегда равна единице: Функцию называют дельта-функцией, единичным импульсом, функ­цией Дирака, и она имеет физическую размерность циклической частоты — . При сдвиге дельта-функции по оси времени на интервал to) : Дельта-функция обладает важнейшим свойством, благодаря которому она получила широкое применение в математике, физике, электротехнике и радиотехнике. Пусть имеется некоторая непрерывная функция времени t). Тогда справедливо соотношение: Формула (2.32) становится понятной, если учесть, что по определении функция будет равна нулю на всей оси времени, кроме точки . Это позволяет сделать интервал интегрирования бесконечно малым, вклю­чающим в себя точку tо. В этом интервале функция принимает единст­венное постоянное значением в точке , которое можно вынести за знак интеграла. Соотношение (2.33) характеризует фильтрующее (выделяю­щее, или стробирующее — от слова «строб» — короткий прямоугольный импульс, применяемый в РЛС) свойство дельта-функции. Спектральную плотность дельта-функции оп­ределим с помощью прямого преобразования Фурье Используя фильтрующее свойство (2.33), находим: При tо=0 спектральная плотность S() = 1. Итак, дельта-функция имеет равномерный (сплошной и бесконечный) спектр с единичной амплитудой на всех частотах (рис. 9.1, б). Следует иметь в виду, что правая часть равенст­ва является размерной единицей: это единичная площадь импульса. Если функцией является импульс напряжения, то размерность спек­тральной плотности— вольт-секунду (Вс). Физически интерпретировать свойства и параметры дельта-функции достаточно просто. В момент возникновения импульса (t = 0) все элементар­ные гармонические составляющие бесконечного спектра складываются ко­герентно (синфазно), поскольку в соответствии с последней формулой спек­тральная плотность дельта-функции вещественна. Поэтому при t = 0 наблю­дается бесконечно большая амплитуда импульса. Следует отметить, что понятие дельта-функции широко используется в радиоэлектронике при исследовании воздействия очень коротких импульсов напряжения на линейные цепи. При этом не обязательно, чтобы длитель­ность реального импульса была бесконечно мала, а амплитуда бесконечно велика. Оказывается достаточным условие, чтобы длительность импульса была много меньше периода собственных колебаний цепи. Дельта-функцию можно, очевидно, представить в виде обратного пре­образования Фурье от ее спектральной плотности S() = 1: Учитывая условие взаимозаменяемости частоты и времени , послед­нее выражение можно записать следующим образом: Перемена знака в показателе степени экспоненты в этом" случае не влияет на значение интеграла (вследствие взаимозаменяемости частоты и времени).