Спектральные методы в теории случайных колебаний

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА Часть 2 ОМСК 2013 Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Омский государственный университет путей сообщения _______________________________ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА Часть 2 Учебное пособие Омск 2013 УДК 629.4. 027 ББК 39.22-04 Г15 Галиев И. И. Основы механики подвижного состава: Учебное пособие. Часть 2 / И. И. Галиев, В. А. Нехаев, В. А. Николаев, В. Н. Ушак; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2013. 165 с. Приведены спектральные методы в теории случайных колебаний. Рассмотрена динамика необрессоренных масс подвижного состава при его движении по различным неровностям рельсового пути, включая стыки рельсов. Выполнено математическое моделирование динамики подвижного состава. Изложены причины виляния колесной пары в рельсовой колее, даны основы понятия о природе силы крипа и рассмотрена качественная картина продольной и поперечной сил крипа колесной пары в тележке. Рассмотрены вопросы влияния вибрации на организм человекаоператора. Предназначено для студентов очного и заочного обучения, обучающихся по специальности 190300 – «Подвижной состав железных дорог» специализаций «Локомотивы» (ЛТ), «Вагоны» (В), «Электрический транспорт железных дорог» (ЭПС, ЛЭ), «Технология производства и ремонта подвижного состава» (ТРПС, Т). Библиогр.: 46 назв. Табл. 8. Рис. 94. Рецензенты: доктор техн. наук, профессор П. Д. Балакин; доктор техн. наук, профессор С. В. Елисеев; доктор техн. наук, профессор Е. И. Сковородников. ISВN 978-594941071-4 _________________________ © Омский гос. университет путей сообщения, 2013 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ................................................................................................................. 7. Прохождение «белого» шума через одностепенную механическую систему (пример расчета вероятностных характеристик) ...................................... 7.1. Метод функций Грина .................................................................................. 7.2. Спектральные методы в теории случайных колебаний ............................ 7.3. Вычисление вероятностных характеристик перемещения груза при действии на него случайного процесса типа «белого» шума ........................... 7.4. Совершенствование алгоритма теоремы вычетов для вычисления несобственных интегралов ....................................................................................... 8. Импульсное внешнее воздействие на динамические системы. Четыре способа исследования колебательных процессов, происходящих в одностепенной механической системе ........................................................................ 8.1. Предварительные замечания об интенсивности и форме действующих на систему периодически повторяющихся импульсов ..................................... 8.2. Первый способ решения задачи о действии периодических мгновенных импульсов на одностепенную механическую систему ............................. 8.3. Второй способ ................................................................................................ 8.4. Третий способ ................................................................................................ 8.5. Четвертый способ – метод периодизации решения. Коэффициент повторности импульса и влияние на него вязкого трения в системе................... 9. Динамика необрессоренных масс подвижного состава ............................... 9.1. Прохождение колесной парой локомотива одиночной, изолированной, детерминированной геометрической неровности рельсовых нитей ............... 9.1.1. Вывод уравнения движения колесной пары локомотива при прохождении ей одиночной изолированной геометрической неровности и за ее пределами ............................................................................................................... 9.1.2. Результаты математического моделирования движения колесной пары локомотива в пределах и за пределами одиночной изолированной геометрической неровности пути ........................................................................ 9.2. Прохождение колесной парой локомотива детерминированной гармонической неровности типа волнообразного износа рельсов ............................ 3 5 7 7 12 17 26 28 28 30 32 35 38 46 46 46 62 67 9.3. Взаимодействие необрессоренных масс локомотива и железнодорожного пути со случайными геометрическими неровностями на поверхности катания рельсов ..................................................................................................... 9.4. Прохождение колесной парой локомотива железнодорожного стыка.... 9.5. Воздействие на железнодорожный путь экипажей современных конструкций ..................................................................................................................... 9.5.1. Вывод уравнений движения необрессоренных масс современных экипажей ................................................................................................................. 9.5.2. Нахождение передаточных функций системы ....................................... 9.5.3. Моделирование процесса взаимодействия экипажа современной конструкции и железнодорожного пути со случайным волнообразным износом ................................................................................................................... 10. Вертикальная динамика железнодорожного экипажа................................. 10.1. Использование свойства симметрии современного подвижного состава для разделения уравнений движения «обобщенного» экипажа на отдельные подсистемы ............................................................................................. 10.2. Уравнения колебания условного одноосного экипажа с двумя ступенями подвешивания............................................................................................... 10.3. Сравнительная оценка динамических свойств электровозов ЭП2К и ВЛ80 ..................................................................................................................... 11. Горизонтальная динамика подвижного состава .......................................... 11.1. Причины виляния колесной пары в рельсовой колее ............................. 11.2. Некоторые понятия о природе силы крипа .............................................. 11.3. Качественная картина продольных и поперечных сил крипа колесной пары в тележке ....................................................................................................... 11.4. Движение колесной пары и тележки вагона со скольжением колес по рельсам ................................................................................................................... 12. Вредное воздействие вибрации на человека ................................................ 12.1. Действие вибрации на человека-оператора .............................................. 12.2. Экспериментальное определение частотных характеристик человека 12.3. Нормирование вибрации ............................................................................ 12.4. Системы виброизоляции человека ............................................................ 12.5. Плавность хода вагона ................................................................................ Заключение............................................................................................................. Библиографический список .................................................................................. 4 73 79 82 82 91 98 102 102 114 121 123 123 125 129 132 138 138 147 148 154 157 161 161 ВВЕДЕНИЕ Механика – это наука, занимающаяся изучением движения в пространстве и во времени материальных точек, отдельных тел и систем этих тел. Круг проблем, рассматриваемых в механике, очень велик, и с развитием этой науки в ней появился ряд самостоятельных областей, связанных с механикой твердых и деформируемых тел, жидкостей и газов. К этим областям относятся теории упругости и пластичности, гидромеханика, аэромеханика, аэродинамика, газовая динамика и ряд разделов прикладной механики, в частности, механика железнодорожного подвижного состава. Изучение процессов взаимодействия пути и подвижного состава, как известно, началось вместе с зарождением железнодорожной техники, поскольку результаты такого рода исследований были необходимы при создании подвижного состава и пути, установлении норм их устройств и правил ремонта и содержания. Практические потребности обусловили необходимость изучения и решения взаимосвязанных задач: о величинах и характеристиках колебаний подвижного состава и пути при движении поездов; о величинах и направлениях действия сил, возникающих между колесами экипажей и рельсами, между отдельными конструктивными элементами пути, а также у экипажей при их движении; о величинах деформации и необходимых конструктивных размерах элементов пути и подвижного состава, а также о требованиях к применяемым для их изготовления материалам, обеспечивающих достаточные прочность, долговечность, надежность и безопасность движения железнодорожных экипажей. В связи с постоянным и неизбежным повышением скоростей движения поездов специалисты, занимающиеся созданием новых и модернизацией существующих вагонов и локомотивов, а также эксплуатацией подвижного состава, обязаны обладать глубокими знаниями динамики подвижного состава во взаимодействии его с путем. Подготовке таких специалистов и служит настоящий курс, в котором излагаются основы теоретических и экспериментальных методов определения условий безопасного и плавного движения подвижного состава по железнодорожным путям, а также величин динамических сил взаимодей- 5 ствия, необходимых для расчета вагонов и элементов пути на прочность и надежность, установления критериев оценки динамических качеств вагонов. Подвижной состав железных дорог и отдельные его узлы в процессе эксплуатации подвергаются воздействию сил как имеющих определенные величину и характер изменения, так и переменных во времени и по величине. Проверка прочности подвижного состава сводится к расчету усилий, которым подвергается узел или деталь в эксплуатации, к определению вызываемых этими усилиями напряжений и к оценке запаса прочности деталей в процессе рабочего периода. Безопасность движения и плавность хода экипажа оцениваются на основании аналитического исследования динамических качеств эксплуатируемого и проектируемого подвижного состава, зависящих в основном от конструкции и механических параметров его экипажной части, принятых при проектировании и выборе параметров рессорного подвешивания. Рессорное подвешивание предназначено для равномерного распределения весовых нагрузок от кузова на рамы тележек и от них на колесные пары, а также для уменьшения динамических сил, передаваемых колесными парами на надрессорное строение, при прохождении экипажем неровностей пути. Следовательно, проверка динамических качеств подвижного состава сводится к исследованию поведения экипажа при движении в кривых различных радиусов при различных скоростях движения, а также при входе в кривую, к проверке достаточной эффективности демпфирующих амортизирующих средств на основе формирования и исследования дифференциальных уравнений вертикальных и горизонтальных колебаний экипажа. Часто в этих случаях приходится иметь дело с нелинейными математическими моделями подвижного состава, и в этом случае с большим эффектом может быть использована вычислительная техника. 6 7. ПРОХОЖДЕНИЕ «БЕЛОГО» ШУМА ЧЕРЕЗ ОДНОСТЕПЕННУЮ МЕХАНИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ (пример расчета вероятностных характеристик) 7.1. Метод функций Грина Анализ поведения невырожденных систем (таких, в которых определитель матрицы системы уравнений, описывающих движение рассматриваемого объекта, является отличным от нуля), представляет серьезные трудности. Исчерпывающее решение задачи, состоящей в получении совместных распределений для выходных параметров, может быть найдено лишь в некоторых частных случаях. Обычно приходится ограничиться более скромной информацией, например, сведениями о математических ожиданиях и корреляционных функциях выходных параметров. Цель в данном случае состоит в том, чтобы при известной связи между входным и выходным процессами, заданной в форме функций Грина: q  H  P, (7.1) и известных моментных функциях входного процесса вычислить моментные функции выходного процесса. Соотношения между моментными функциями определяются осреднением уравнения (7.1), а также уравнений, которые получаются из последнего в результате простых операций. Метод решения задач статистической динамики, основанный на использовании соотношений между моментными функциями входного и выходного процессов, будем называть методом моментных функций. Как импульсная переходная функция для задачи Коши, так и функция Грина представляют собой реакцию системы на единичное воздействие. Пусть уравнение (7.1) является линейным и детерминистическим (вполне определенным во времени). Применяя к левой и правой частям уравнения (7.1) операцию осреднения по множеству реализаций входного процесса и замечая, что операция осреднения линейна и переставима с оператором H, получим:  q  H   P. 7 (7.2) Таким образом, математическое ожидание выходного процесса линейной детерминистической системы связано с математическим ожиданием входного процесса той же зависимостью, что и соответствующие реализации. Обратимся к дифференциальному уравнению (3.10), описывающему поведение линейной одностепенной механической системы при действии на нее силового внешнего возмущения P(t). Пусть это возмущение является случайным стационарным эргодическим процессом с нулевым математическим ожиданием = 0, с корреляционной функцией KP(τ) = 2πS0 δ(τ) и спектральной плотностью постоянной по величине на всех частотах, т. е. SP(ω) = S0 = const. Другими словами, на нашу механическую систему действует случайный процесс типа «белого» шума. Согласно уравнению (7.2) математическое ожидание выходной координаты q равно нулю, т. е. = 0. Корреляционная функция стационарного эргодического процесса инвариантна относительно сдвига начального момента времени, поэтому ее можно вычислить по формуле:  K q ( )   h(1 )h( 2 ) K P (  1   2 )d1d 2 , (7.3) 0 0 где t2  t1   ; t1  1  1; t2   2  2 . Проиллюстрируем применение формулы (7.3) на нашем примере, описываемом дифференциальным уравнением (см. формулу (3.14) в части 1 настоящего учебного пособия). Поделим левую и правую части формулы (7.3) на массу груза и воспользуемся уже введенными ранее обозначениями, добавив такое: u(t) = P(t)/m. Тогда уравнение (3.14) примет вид: q  2nq  k02q  u (t ). (7.4) Для вычисления корреляционной функции перемещения (подпрыгивания) по заданной корреляционной функции возмущающей силы необходимо построить функцию Грина h(t), которая удовлетворяет уравнению h  2nh  k02h   (t ) 8 (7.5) при нулевых начальных условиях. Однако вместо того, чтобы решать неоднородное дифференциальное уравнение, можно рассмотреть соответствующее однородное уравнение, но принимая следующие начальные условия: t  0; h0  0; h0  1. Итак, будем интегрировать такое однородное уравнение: h  2nh  k02h  0. (7.6) Решение уравнения (7.6) нам известно, ибо оно нами интегрировалось, когда рассматривались свободные колебания механической системы: h  e k0t  C1 cos k0t  C2 sin k0t  , (7.7) C1  q0 ;  q0 q0  C    C    q0 . 2 1  k k  (7.8) здесь Для принятых нами начальных условий имеем: h(t )  1  nt e sin knt , kn (7.9) где через kn обозначена собственная частота колебаний системы, вычисленная с поправкой на силу трения: 2 n k n  k0 1     k0 1   2 .  k0  (7.10) Заметим, что входящая в формулу (7.10) величина δ – это не дельтафункция Дирака, а безразмерная характеристика вязкого трения в механической системе. Теперь запишем функцию Грина с учетом того, что она справед- 9 лива для t > 0 и должна зависеть от разности t – τ, так как параметры механической системы не зависят от времени, поскольку система стационарна: 0 при t   ;  h(t   )   1  n (t  ) sin kn (t   ) при t   . k e  n (7.11) Подставляем в уравнение (7.3) функцию Грина (7.11) и выражение для корреляционной функции внешней возмущающей силы и найдем:  1 K q ( )  2  e n (1 2 ) sin kn1 sin kn 2b   1   2  d1d 2 . kn 0 0 (7.12) Наличие дельта-функции Дирака упрощает в данном случае вычисление двойного интеграла, если вспомнить ее свойство:   f ( x) ( x  x0 )dx  f ( x0 ). (7.13)  Действительно, дельта-функция отлична от нуля только при значении аргумента, равном нулю, поэтому приравняем ее аргумент к нулю, тогда получим:   1   2  0;   2  1   . (7.14) Подставим полученное значение в подынтегральную функцию: e e  n1  2  n  n     sin kn1 sin kn 2  e  1 1  sin kn1 sin kn 1     1 e2 n1 cos  kn1  kn1  kn    cos  kn1  kn1  kn     2 1 n  e e2 n1 cos kn   cos kn  21     . 2 10 (7.15) Внесем формулу (7.15) в подынтегральное выражение (7.12), вынося при этом из-под знака интеграла постоянные величины и опуская индекс 1: n  be K q ( )  2kn2 e 2 n cos kn  cos kn  2     d  (7.16)    be  2 n  cos kn  e d   e 2 n cos kn  2    d  . 2  2k n   n Вычислим интегралы, входящие в квадратную скобку:  e 2 n 1 d   e2 n 2n   1  0 1 e e  ;  2n 2n  n  (7.17) 1 n  e e2 n 2 n e cos k 2    d    2 e k 2  n2 n cos kn  2     kn sin kn  2     n 0 n   2 n (7.18) 1e 1  n cos kn  2     kn sin kn  2       2  n cos kn  kn sin kn  . 2  2 k0 2 k0 Подставляя данный результат в корреляционную функцию, получим: n be K q ( )  1   2  cos kn   sin kn   , 2  4nkn (7.19) здесь символ δ = n/k0, как уже было отмечено, есть безразмерный коэффициент демпфирования, а не обобщенная дельта-функция Дирака; n – коэффициент вязкого трения механической системы, имеющий размерность 1/с. В реальных конструкциях данный коэффициент достаточно мал (0 < δ ≤ 0,5), поэтому обычно квадратом этой величины пренебрегают. Тогда корреляционная функция запишется так: K q ( )  b n e  cos kn   sin kn  . 4kn2 n 11 (7.20) Таким образом, на выходе линейной одностепенной механической системы мы получили случайный процесс с корреляционной функцией (6.68), который характеризуется несущей частотой kn и временем корреляции τкор = 1/n. В окончательном виде формула (7.20) запишется так: K q ( )    b  k  e 0 cos k0 1   2   sin k0 1   2  , 3 2 4k0 1    (7.21) Время корреляции выходного случайного процесса с учетом только что введенного безразмерного коэффициента δ вычисляется по формуле:  кор  1 .  k0 (7.22) 7.2. Спектральные методы в теории случайных колебаний Элементы теории спектральных представлений случайных процессов уже были рассмотрены в связи с описанием стационарных случайных процессов. Аппарат спектральных представлений удобен для решения задач статистической динамики, поскольку в известной мере позволяет заменить операции над случайными функциями действиями над некоторыми детерминистическими базисными функциями. Дополнительные преимущества дает выбор подходящей системы базисных функций. Примером такого представления может служить запись стационарного случайного процесса в виде стохастического интеграла Фурье. Пусть случайная вектор-функция P(t) допускает представление в виде: P(t )   Qkk (t ), (7.23) k где 1 (t ), 2 (t ), ... – некоторая система неслучайных вектор-функций; Q1, Q2 – случайные величины, совместная плотность вероятности, или полная система моментов которых полагается известной (или заданной). Пусть связь между выходом и входом задана линейным операторным уравнением: 12 L  q (t )  P(t ). (7.24) Подставляя выражение (7.23) в формулу (7.24), получим представление выходного процесса в виде: L  q (t )   Qkk (t ) (7.25) q (t )   Qk k (t ), (7.26) k или k а новые базисные функции  k (t ) определяются из решения детерминистического уравнения: L k (t )  k (t ). (7.27) С учетом уравнения (7.26) нетрудно вычислить математическое ожидание, моментные и корреляционные функции выходного процесса, например:  q (t )   Qk  k (t );  k   q (t1 )  q (t2 )   Q jQk  j (t1 )  k (t2 ) j k  (7.28) и т. д. Функции распределения для q (t ) вычисляются по известным формулам для неслучайных функций случайных величин (время при этом рассматривается как параметр). Значок  означает прямое (тензорное) умножение, которое для скалярных величин равносильно просто умножению. Таким образом, задача о нахождении вероятностных характеристик выходного процесса сводится к решению детерминистической задачи (7.27) и к стандартным действиям над случайными величинами. Дополнительное упрощение вносит использование стохастически ортогональных (канонических) представлений, коэффициенты которых удовлетворяют условию: 13 Q jQk   0 при j  k. (7.29) Систематическое развитие этого метода было дано академиком В. С. Пугачевым. Обратимся теперь к непрерывному аналогу спектрального представления (7.26). Пусть входной процесс P(t ) представляется в виде:  P(t )   Q( ) (t , )d, (7.30)  где  (t ,  ) – действительная детерминистическая базисная вектор-функция, зависящая от параметра ω; Q(ω) – центрированная случайная функция этого параметра. Представление (7.26) будем полагать стохастически ортогональным, т. е. будем считать, что выполняется условие: Q( )Q( ')  SP () (   '), (7.31) здесь Sq(ω) – спектральная плотность входного сигнала (или процесса). Базисная функция  (t, ) определятся из вспомогательной детерминистической задачи: L (t , )   (t , ). (7.32) В частности, корреляционная функция одномерного процесса q(t) определяется как  K q (t1 , t2 )  S P ( ) (t1 ,  ) (t2 ,  )d. (7.33)  Рассматриваемая нами механическая система (3.14) имеет одну степень свободы, поэтому и входной P(t) и выходной q(t) случайные процессы являются одномерными. Уравнение (7.32) в этом случае принимает вид: L (t , )  eit . 14 (7.34) Поскольку на функцию ψ(t,ω) не накладывается никаких дополнительных ограничений, кроме ограниченности на , то решение уравнения (7.34) будет таким: eit  (t ,  )  , L(i ) (7.35) здесь L(iω) – образ Фурье от оператора L. Вычислим теперь корреляционную функцию выходного случайного процесса Kq(τ): Kq ( )   q(t )q(t   ), (7.36) где, как и ранее, q(t )  q(t )  q(t ) – центрированный выходной случайный процесс. Подставляя в выражение (7.36) найденное соотношение (7.35) и используя формулу (7.33), получим: K q ( )    S P ( )eit d L(i )  2 . (7.37) Сравнивая результат (7.37) с формулой типа первого соотношения Винера – Хинчина (6.72): K q ( )    S ( )e it q d , (7.38)  найдем связь между спектральной плотностью входа SP(ω) и спектральной плотностью выхода Sq(ω): Sq ( )  S P ( ) L(i ) 15 2 . (7.39) Формула (7.39) является основным соотношением, дающим решение задачи о прохождении стационарного случайного процесса через линейную стационарную детерминированную динамическую систему. При этом функция L(iω) представляет собой так называемую динамическую жесткость системы по отношению к синусоидальному воздействию (отношение амплитуд обобщенной силы и обобщенного перемещения). Если L – дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, то динамическая жесткость L(iω) получается с помощью замены в полиноме L(d/dt) оператора p = d/dt на iω. Например, для дифференциального уравнения (3.15) дифференциальный оператор L( p)  mp 2  bp  c (7.40) L(i )  c  m 2  ib  m  k02   2  i 2n . (7.41) или Обратимся к передаточной функции одностепенной механической системы, представляющейся дифференциальным уравнением (3.14), (5.23) и, сравнив ее с (7.40), можно написать: W ( p)  1 1 1   , 2 m  p  2np  c  L( p) m  p  2np  c  2 (7.42) т. е. амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) и динамическая жесткость системы связаны соотношением: W (i )  1 L(i ). (7.43) Поэтому в окончательном виде выражение (7.39) запишем так: Sq ( )  W (i ) S P ( ). 2 16 (7.44) Следовательно, чтобы определить спектральную плотность выходной координаты Sq(ω), нужно вычислить модуль передаточной функции |W(iω)| и, возведя его в квадрат, умножить на спектральную плотность возмущающей силы SP(ω). 7.3. Вычисление вероятностных характеристик перемещения груза при действии на него случайного процесса типа «белого» шума Пусть спектральная плотность внешнего возмущения равна (задан случайный процесс типа «белого» шума): SP ( )  S0  const. (7.45) Квадрат модуля передаточной функции имеет вид: W (i )  2 1 1 . 2 m  k 2   2 2  4n2 2 (7.46) Следовательно, спектральная плотность перемещения груза Sq ( )  1 S0 1 S0  2 2  2 2 m  k 2   2   4n 2 2 m k0 1   2 2  4 2 2 1 S0  2 . c 1   2 2  4 2 2 (7.47) Если левую и правую части уравнения (7.47) умножить на квадрат жесткости пружины, на которой подвешен наш груз, и разделить на S0, то график изменения этого соотношения будет представлен на рис. 7.1. Нетрудно из приведенного на рис. 7.1 графика сделать следующие выводы. Во-первых, с увеличением вязкого трения, т. е. с ростом δ, в системе максимальное значение спектральной плотности выходной координаты уменьшается. Во-вторых, с увеличением расстройки по частоте λ от нуля до бесконечности на частоте вынужденной силы, совпадающей с частотой собственных колебаний, наблюдается, когда λ = 1 (резонанс в системе) – «пик» спектральной 17 плотности выходной координаты. В-третьих, при стремлении λ к  значение спектральной плотности асимптотически стремится к нулю. Рис. 7.1. Отношение спектральной плотности выходной координаты, умноженной на квадрат жесткости пружины, к спектральной плотности внешнего возмущения от δ и λ Используя формулу (7.47), можно вычислить ряд других вероятностных характеристик. Например, рассчитаем среднеквадратическое отклонение для перемещения груза:    q  2 Sq ( )d  2  S0 d  2 S0   c  m 2   b2 2 2 d m 2  k02   2   4n 2 2    2  (7.48)   2 S 0 k0 d . 2 c 0 1   2 2  4 2 2 Чтобы найти среднеквадратическое отклонение для скорости подпрыгивания груза, нужно сначала получить выражение для расчета спектральной плотности скорости dq/dt. Так как стационарные процессы дифференцируемы, то можно воспользоваться формулами системы (6.84): 1  2 S0 k02  2 S0 Sq ( )   Sq ( )  2   c 1   2 2  4 2 2 c 2 1   2 2  4 2 2 2  1  S0 ; mc 1   2 2  4 2 2 2 18 (7.49) 1  4 S0 Sq ( )   Sq ( )   Sq ( )  2  c 1   2 2  4 2 2 2 4 k4  4 S0 1  4 S0  02  . c 1   2 2  4 2 2 m 2 1   2 2  4 2 2 (7.50) Для определения среднеквадратического значения усилия в подвеске груза вычислим для него передаточную функцию. Сила, развиваемая в подвеске, нами уже определялась при вычислении коэффициента динамичности по силе (см. формулы (4.16), (4.17) в части 1 настоящего учебного пособия). Преобразуем выражение (4.12) по Карсону: Q( p)  (bp  c)q( p), (7.51) отсюда следует, что передаточная функция WQ ( p)  Q( p )  (bp  c). q( p) (7.52) Заменяя оператор дифференцирования p на чисто комплексное число iω, получим: b     b   m WQ (i )  (c  ib )  c 1  i   c  1  i c   c     m   (7.53)  2n   c 1  i 2   c 1  i 2  . k0   Формула (7.53) дает возможность вычислить квадрат модуля передаточной функции по силе в подвеске: WQ (i )  c 2 1  4 2 2 . 2 Теперь спектральная плотность силы в подвеске 19 (7.54) SQ ( )  WQ (i ) Sq ( )  c 2 1  4 2 2  Sq ( )  2 1 S0 1  4 2 2  c 1  4   2  S0 . c 1   2 2  4 2 2 1   2 2  4 2 2 2 2 2 (7.55) В соотношении (7.55) нетрудно увидеть квадрат коэффициента динамичности системы по силе (это сомножитель при S0). Перейдем к вычислению среднеквадратических отклонений для скорости подпрыгивания груза и усилия, развиваемого в подвеске:  kS  2d   2 0 0  ; mc 0 1   2 2  4 2 2 2 q    2 k0 S 0  2 Q 1  4 2 2 1    2 2  4  2 2 d . (7.56) (7.57) Определять дисперсию ускорения груза особого смысла не имеет, ибо она равна бесконечности, как и дисперсия случайного процесса типа «белого» шума. Формула для вычисления дисперсии ускорения груза имеет вид:  2 k0 S 0  4d    . m2 0 1   2 2  4 2 2 2 q (7.58) Подынтегральная функция выражения (7.58) при λ= дает неопределенность /. Если ее раскрыть по правилу Лопиталя, то имеем: lim   4 1    2 2  4  2 2  1. (7.59) Следовательно, интеграл (7.58) не существует, он равен бесконечности. Чтобы такие интегралы существовали, необходимо выполнение следующего условия: максимальная степень полинома в числителе должна быть меньше максимальной степени знаменателя по крайней мере на два. Итак, в статистической динамике и теории автоматического управления часто приходится вычислять несобственные интегралы типа стоящих под кор- 20 нем в выражениях (7.48), (7.56) и (7.57). В настоящее время разработано несколько способов вычисления таких интегралов. Если диссипация в системе достаточно мала, то для дисперсии на выходе может быть получена приближенная формула, справедливая при произвольной достаточно медленно изменяющейся функции Sq (ω). Действительно, при n << k0 спектральная плотность (7.47) принимает большие значения лишь в малой окрестности частоты k0 (см. рис. 7.1). Действительно, при малом демпфировании колебательная система обладает весьма избирательным характером. Из спектра внешнего воздействия она «выбирает» те компоненты, частоты которых весьма близки к собственной частоте системы. Выходной процесс является узкополосным, т. е. основная часть энергии процесса сосредоточена в узкой области спектра, лежащей вблизи частоты k0. Указанные интегралы можно также вычислить, используя численные методы, реализованные в математических пакетах для ПЭВМ. Вместо указанных выше несобственных интегралов целесообразно рассматривать интеграл 1 In  2  B( j )d  A( j ) A( j ) , (7.60) где  An ( j )  a0 ( j )n  a1 ( j )n1  ...  an1 ( j )  an ;  2 n2  b1 ( j ) 2 n4  ...  bn1.  Bn ( j )  b0 ( j ) (7.61) Все корни полинома An (jω) должны лежать в верхней левой полуплоскости комплексного пространства. Тогда интеграл (7.60) вычисляется по теореме вычетов [14, 15]: n Bn ( )  1 An' ( ) An ( ) I n  2 j  res . (7.62) Применение формулы (7.62) требует вычисления явных выражений для корней уравнения An (jω) = 0. Однако, если n > 2, то вычисления могут осложниться. С другой стороны, поскольку все корни уравнения An (jω) = 0 равноправны, то интеграл (7.60) должен зависеть от симметрических функций этих корней и, следовательно, должен рационально выражаться через коэффициенты 21 полинома An (jω). Вывод формул, связывающих интеграл (7.60) с коэффициентами полиномов (7.61), можно найти в специальной литературе и некоторых справочниках по теории автоматического управления. Приведем окончательный результат. Интеграл (7.60) вычисляется по формуле: (1)n1 M n In  , 2a0  n a1 a где  n  0 ... a3 a2 ... ... 0 ... 0 – определитель Гурвица, составляемый из коэффици... ... ... an ентов полинома по определенным правилам; b0 b1 a a2 Mn  0 ... ... 0 0 (7.63) ... bn1 ... 0 – минор n-го порядка. ... ... ... an (7.64) (7.65) Из формул (7.64), (7.65) становится очевидным, что с увеличением n вычисление значения интеграла (7.63) возможно лишь численно, так как явные формулы становятся все более громоздкими. Укажем следующие явные выражения: I1  I2  I3  b0 ; 2a0 a1 (7.66) a0b1 a2 ; 2a0 a1 (7.67) b0  a0 a1b2 a3 . 2a0  a0 a3  a1a2  a2b0  a0b1  (7.68) Применим данную методику для рассматриваемого нами примера. Знаменатель в формулах (7.47), (7.49) и (7.50) один и тот же: 22 1    2 2  4 2 2  ( j )2  2 ( j )  1 ( j )2  2 ( j )  1 , (7.69) т. е. A2(jλ) = (jλ)2 + 2δ (jλ) + 1, следовательно, a0 = 1, a1 = 2δ, a2 = 1. Однако числители в формулах (7.47), (7.49) и (7.50) разные. Начнем с первой из указанных: B2 ( j )  b0 ( j )222  b1 ( j )224  b0 ( j )2  b1, (7.70) отсюда имеем: b0 = 0, b1 = 1. Подставим значения коэффициентов (7.69) и (7.70) в формулу (7.67) и получим: I2  1 . 4 (7.71) Приведем формулу (7.48) к нужному виду:   2k S d kS d   02 0   020   2 c 0 1   2   4 2 2 c  1   2 2  4 2 2 2 q 2 k0 S0 1  c 2 2  d 2 k0 S0  2  1   2  4 2 2 c2 I 2 .   (7.72) Подставив в выражение (7.72) значение (7.71), после несложных преобразований получим заключительную формулу в исходных параметрах: q  1  S0 . 2 cb (7.73) Следовательно, для того чтобы уменьшить это стандартное отклонение (стандарт), нужно увеличивать коэффициент вязкого трения b и жесткость пружины c. Аналогичным образом можно определить два оставшихся интеграла, но мы воспользуемся формулами (7.63) – (7.65), тогда получим: 23  a 0 2 0  2  1   2 ; a0 a2 1 1    M  b0 b1 ;  2 a0 a2   B2 ( j )  b0 ( j ) 2  b1   2  b0 2 ; b0  1; b1  0;  b0 b1 1 0    1; M 2  a a 1 1 2   1 1 1  ; I2  2  1 2  4    2 2 k0 S0 2 k0 S0 1 1  S0  q  mc I 2  mc 4  2 mb ;   1  S0   ; q  2 mb  (7.74)   2 0  2 ;  2  1 1   b b1 M 2  0 ; a0 a2   2 2 2 2 2  B2 ( j )  b0 ( j )  b1  4   1  b0  b1; b0  4 ; b1  1;  4 2 1   4 2  1   1  4 2  ; M 2  1 1   2 2  I  1  1  4   1  4 ;  2 2 1 2 4  2 2 2  2  2 k S I  2 k S 1  4   k S 1  4  1  k S 1  4 ; 0 0 2 0 0 0 0 0 0  Q 4 2 2     1  S  c  4 b  . 0   Q 2 m b (7.75) Теперь обратимся к дисперсии силы в подвеске, т. е. к предпоследней формуле соотношения (7.75). Если δ = 0, то DQ = , если δ = , то DQ = . Этот факт указывает на то, что зависимость дисперсии силы от демпфирования в подвеске обладает экстремумом. Определим его исходя из законов классической математики: 24 d  1  4 2  d  1 1      4    2  4  0, d    d     отсюда имеем: 1 2  опт  . (7.76) Если мы нашли минимальное значение функции, то вторая производная от нее должна быть положительной величиной при подстановке в нее выражения (7.76): d d  1  2   2  4   3  16  0.     (7.77) Таким образом, минимальное значение среднеквадратического отклонения для силы в подвеске при действии на механическую систему внешнего возмущения типа «белого» шума можно вычислить по формуле:  Qопт  2 k0 S0 . (7.78) Выражение (7.78) указывает на то, что для уменьшения стандарта силы в подвеске нужно снижать собственную частоту колебаний консервативной системы, т. е. нужно уменьшать k0. В реальных условиях на механические системы обычно действует случайный возмущающий процесс, даже тогда, когда мы пытаемся создать идеальные условия, на них действует случайный шум, поэтому реальные механические конструкции механизмов и машин без диссипации существовать не могут. Несложно найти оптимальное значение коэффициента вязкого трения в системе. Для этого воспользуемся формулой (7.76), в результате получим: 1 1 bопт  bкр  2 cm  cm . 2 2 (7.79) Следовательно, оптимальная величина коэффициента вязкого трения гасителя колебаний определяется значениями массы и жесткости упругого элемента системы виброизоляции. 25 7.4. Совершенствование алгоритма теоремы вычетов для вычисления несобственных интегралов Приведенный выше алгоритм теоремы вычетов, формализованный в виде формул (7.63), (7.64) и (7.65) в случае, если изучаются механические системы с большим количеством степеней свободы (например, плоская расчетная схема одной секции электровоза ВЛ80 обладает 14 степенями свободы), требует вычисления определителей высокого порядка даже при использовании ПЭВМ. Причем вычислять нужно по меньшей мере два определителя 14-го порядка, а чем выше порядок, тем больше вычислительная погрешность. Однако в специальной литературе встречается лишь упоминание (оно было обнаружено в монографии В. Ф. Ушкалова [14], посвященной случайным колебаниям рельсового подвижного состава) о том, что задача может быть сведена к решению алгебраических уравнений. Предлагается несобственные интегралы типа (7.60) вычислять по следующей формуле, весьма похожей на соотношение (7.61): In  1  n 1 2a0 x1 , (7.80) здесь x1 – первый корень системы алгебраических уравнений (САУ): AT x  b , (7.81) где AT – это транспонированная матрица Гурвица:  a1 a A 0  ...  0 a3 a2 ... ... 0  ... 0  – матрица Гурвица n-го порядка; ... ...   ... an   b0   b  b   1  – вектор свободных членов САУ;  ...     bn1  26 (7.82) (7.83)  x1  x  x   2  – вектор корней САУ.  ...     xn  (7.84) Заметим, что используются те же полиномы (7.61), из которых и формируются нужные нам переменные (7.82) и (7.83). Воспользуемся методом математической индукции и рассмотрим три случая, когда n = 1, 2 и 3: Когда n = 1, то имеем a1x1 = b0; x1 = b0/a1; I1  a если n = 2, то A   1  a0 1 b0 ; 2a0 a1 0 x  a1 a0   b0  T T  1 ; A  ; b  ; A 0 a  b   x   b; a2   2  1  2 a1 x1  a0 x2  b0 ;  0 x1  a2 x2  b1; b b0  a0 1 a2 x1  ; a1 I2   a1  при n = 3: A   a0 0  (7.85) a3 a2 a1 1 2a0 b0  a0 a1 b1 a2  0  a1 a0 0  ; AT   a3 a2 0 0 a3    a1 a0 a a  3 2 0 0  x1  1 a0b1  a2b0 ; 2a0 a1a2 (7.87) (7.88) 0  b0  a1  ; b   b1  ; b  a3   2 0  x1   b0     b ; a1  x 2    1     a3   x3   b2  b0a2a3  a0  a3b1  a1b2  ; a3  a1a2  a0a3  27 (7.86) (7.89) (7.90) I3  1 2a0 a3b1  a1b2 a3 . a0 a3  a1a2 b0 a2  a0 (7.91) Сравнение формул (7.66) и (7.67), (7.68) и уравнений (7.85), (7.88) и (7.91) указывает на их полное совпадение, следовательно, предложенный авторами настоящего курса алгоритм вычисления несобственных интегралов правильный и может быть распространен на число n любого порядка. 8. ИМПУЛЬСНОЕ ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ. ЧЕТЫРЕ СПОСОБА ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ, ПРОИСХОДЯЩИХ В ОДНОСТЕПЕННОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ 8.1. Предварительные замечания об интенсивности и форме действующих на систему периодически повторяющихся импульсов Для развития любого раздела механики важное значение имеют поиски улучшенных алгоритмов и совершенствование расчетных схем и методов даже для ранее решенных задач. Очищенное от лишних примесей ясное и краткое решение называют изящным и даже элегантным (А. А. Андронов). «Красота в математике идет рука об руку с целесообразностью: мы редко называем изящными рассуждения, не приводящие к законченной цели или более длинные, чем это представляется необходимым», – писал Н. Г. Чеботарёв1 в «Математической автобиографии». Сказанное имеет непосредственное отношение к содержанию рассматриваемого вопроса, указанного в названии раздела, так как будут последовательно рассмотрены четыре варианта решения одной и той же задачи. Все эти варианты можно встретить в современной литературе, хотя подлинно изящен лишь один из них. 1 Николай Григорьевич Чеботарёв (1894 – 1947) – профессор Казанского университета, автор ряда работ по алгебре, теории чисел, теории функций, член-корреспондент АН СССР (с 1929 г.). 28 В некоторых технических вопросах приходится иметь дело с кратковременными силами, действие которых повторяется через относительно большие промежутки времени. В этих случаях часто пользуются представлением о мгновенных импульсах и сводят задачу к исследованию действия периодически прикладываемых, равных друг другу мгновенных импульсов. Из курса механики известно, что импульс определяется выражением: t уд I F уд (t )dt  m V  V  , (8.1) где Fуд(t) – ударная сила различной формы; tуд – время удара; m – масса механической системы; V+ – скорость подпрыгивания груза после удара; V_ – скорость, которую имел груз перед ударом. Если же время удара значительно меньше периода собственных колебаний консервативной механической системы, то тогда критерий академика А. Н. Крылова позволяет такой удар с достаточной для практических расчетов степенью точности считать мгновенным. Это дает возможность отказаться от учета формы ударного импульса и воспользоваться известными методами интегрирования дифференциального уравнения при мгновенном импульсном воздействии. На рис. 8.1 показана одностепенная механическая система, а на рис. 8.2 – ударное внешнее возмущение в виде прямоугольных импульсов. F Т tуд Рис. 8.1. Расчетная схема механической системы t Рис. 8.2. Внешнее импульсное воздействие, возбуждающее систему Рассмотрим и обсудим четыре способа решения задачи о действии периодических мгновенных импульсов на одностепенную механическую систему. 29 8.2. Первый способ решения задачи о действии периодических мгновенных импульсов на одностепенную механическую систему Пусть T – период приложения импульсов; тогда 0, T, 2T, … – моменты приложения нулевого (начального), первого, второго и т. д. импульсов. Рассмотрим сначала действие только одного начального импульса. В этом случае дифференциальное уравнение после приложения ударного импульса имеет вид: mq  cq  0, (8.2) а решение данного уравнения определяется выражением: q I sin k0t (0  t  T ), mk0 (8.3) где k0  c m – частота свободных колебаний системы, которые удовлетворяют как уравнению (8.2), так и начальным условиям (т.е. условиям возникновения движения непосредственно после исчезновения начального импульса):  q  0;   I q .  m  (8.4) Движение, вызываемое только следующим первым импульсом, можно получить из того же выражения (8.3) в виде: q I sin k0 (t  T ) (T  t  2T ). mk0 (8.5) Аналогичным способом можно найти результат действия следующих импульсов. Чтобы получить общее движение, нужно сложить эти «парциальные» движения. Для одного типичного интервала времени [nT, (n+1)T], т. е. между моментами времени приложения n-го и (n+1)-го импульсов, имеем: I n q  sin k0 (t  kT ) mk0 k 0 30  nT  t  (n  1)T . (8.6) Для начала этого интервала времени, т. е. при t = nT, по выражению (8.6) находим: q I n1  sin k0 (n  k )T . mk0 k 0 (8.7) Вывод выражений (8.6) и (8.7) прост и ясен, а их вид может показаться даже привлекательным своей внешней компактностью, но наши симпатии сразу исчезнут, как только мы вдумаемся в процедуру необходимых выкладок и представим себе их объем. Пусть, например, нужно определить движение в интервале времени (99T,100T) и найти отклонения через каждую десятую часть этого интервала, т. е. t0 = 99T; t1 = 99,1T, …, t9 = 99,9T; t10 = 100T. Согласно выражению (8.6) нам придется вычислить одиннадцать сумм: I 99  q0  mk  sin k0 (99  k )T ; 0 k 0   I 99 q  sin k0 (99,1  k )T ;  1  mk  0 k 0 ................................................   I 99 q10  mk  sin k0 (100  k )T , 0 k 0  (8.8) в каждую из которых входит сто слагаемых. Только после этого мы сможем описать (и притом не очень подробно) движение лишь в течение одного периода [99T, 100T]. Для любого другого периода нужно все делать заново. Однако есть еще одна негативная сторона этих выкладок, существенная даже при вычислениях на ЭВМ. Дело в том, что среди членов каждой из сумм имеются как положительные, так и отрицательные. Этот факт заставляет вести вычисления с большим числом учитывающих значащих цифр. 31 8.3. Второй способ В общем случае действия на систему произвольной возмущающей силы P(t) решение имеет вид: t q 1 P( )sin k0 (t   )d . mk0 0 (8.9) К этой форме решения часто приходят, пользуясь методом вариации постоянных интегрирования. Решение можно записать и в такой форме: q  A cos k0t  B sin k0t , (8.10)   1 P( )sin k0 d ; A   mk0 0     B  1 P( )cos k  d .  mk0 0  (8.11) где Теперь положим, что в моменты времени 0, T, 2T, … к системе прикладываются одинаковые импульсы I. Следовательно, для интервала времени [nT, (n+1)T] по выражениям (8.11) находим: I   A   mk  0  sin k0T  sin 2k0T  ...  sin nk0T  ;    B  I 1  cos k T  cos 2k T  ...  cos nk T .  mk0 (8.12) По законам тригонометрии этим выражениям можно придать более компактный вид. Умножим первую формулу системы (8.12) на 2sin k0T 2 и запишем ряд очевидных равенств: 32 k0T k0T 3k0T  2sin sin k T  cos  cos ;  2 2 2  2sin k0T sin 2k T  cos 3k0T  cos 5k0T ;  2 2 2  ................................................................  2sin k0T sin nk T  cos  2n  1 k0T  cos  2n  1 k0T .  2 2 2 (8.13) Сложив равенства (8.13), вместо выражения, стоящего в скобках первой формулы системы (8.12), получим: sin k0T  sin 2k0T  ...  sin nk0T  cos k0T (2n  1)k0T  cos 2 2 . k0T 2sin 2 (8.14) Аналогичным образом поступим со второй формулой системы (8.12): k0T 3k0T k0T  2sin 2 cos k0T  sin 2  sin 2 ;  2sin k0T cos 2k T  sin 5k0T  sin 3k0T ;  2 2 2  ................................................................  2sin k0T cos nk T  sin  2n  1 k0T  sin (2n  1)k0T .   2 2 2 (8.15) Складывая равенства (8.15), найдем: (2n  1)k0T k0T  sin  sin  2 2 ; cos k0T  cos 2k0T  ...  cos nk0T  k0T 2sin  2   (2n  1)k0T kT sin  sin 0   2 2  1; 1  cos k0T  cos 2k0T  ...  cos nk0T  k0T  2sin 2   (2n  1)k0T kT sin  sin 0  2 2 . 1  cos k0T  cos 2k0T  ...  cos nk0T  kT  2sin 0   2 33 (8.16) После подстановки найденных выше значений в формулы системы (8.12) получаем (2n  1)k0T k0T  cos  cos  I 2 2 ; A  kT mk0 2sin 0   2  (2n  1)k0T k0T  sin  sin B  I 2 2 .  k0T mk0 2sin  2 (8.17) Соотношения (8.17) также могут быть упрощены с помощью следующих тригонометрических равенств:      cos   cos   2sin sin ;   2 2  sin   sin   2sin    cos    .   2 2 (8.18) Отсюда получаем окончательный вид формул для выражения (8.10): I sin(n  1)k0T sin nk0T  A  ;  k0T mk0 sin   2   B  I cos(n  1)k0T sin nk0T . k0T  mk0 sin  2 (8.19) Таким образом, для определения движения на любом интервале нет необходимости в утомительном суммировании, которое требуется в первом способе. Нужно лишь предварительно найти числа A и B по формулам (8.16), а затем воспользоваться несложным выражением (8.10). Тем не менее рассматриваемый способ все же содержит один существенный недостаток. Поскольку решение, данное в выражениях (8.10) и (8.19), не является периодическим и меняется от одного периода к другому (в эти выражения входит номер n), то для пол34 ного описания движения придется повторять вычисления заново для каждого нового периода. Это тем более досадно, что, по-видимому, главной частью движения, несомненно, является периодический процесс, «навязываемый» упругой системе импульсами, повторяющимися с периодом T. Чем объяснить, что полученное решение не обнаруживает такой периодичности? Ответ на этот вопрос прозвучит несколько парадоксально: это решение «слишком» точное – в нем содержится не только описание стационарного колебательного процесса с периодом T, но и отражено влияние начальных условий, которое в действительности из-за неупругих сопротивлений очень быстро затухает. Кажется, что эта «примесь» к стационарному процессу вообще не может быть исключена, поскольку исходное уравнение написано для строго упругой системы, лишенной всяких неупругих сопротивлений. Можно ли вообще получить чисто периодическое решение, если опираться именно на уравнение (8.2), т. е. не вводить в уравнение члены, выражающие демпфирование? Да, можно, как показывают два следующих способа решения. 8.4. Третий способ Рассматриваемая нами система линейна, и этим определяется законность принципа наложения, которым мы воспользовались выше, когда добавляли к действию первого импульса действие второго, затем третьего импульса и т. д. Однако этот принцип может быть использован по-другому. Если функция отвечает условиям Дирихле (функция непрерывна и кусочно-монотонна на некотором отрезке и имеет конечное число точек разрыва 1-го рода), то произвольная периодическая сила P(t) с периодом T может быть представлена в виде ряда Фурье:  1 2k t  2k t P(t )  a0   ak cos   bk sin . 2 T T k 1 k 1 (8.20) Идея решения состоит в том, чтобы сначала найти движения, вызываемые каждой из гармоник, а затем, опираясь на принцип наложения, – просуммировать эти «парциальные» решения. Для вычисления коэффициентов ak и bk следует воспользоваться формулами Фурье: 35 T  2 2 k t  k  0,1,2,... ; ak   P(t )cos T T   T b  2 P(t )sin 2k t k  0,1,2,... .    k T T  (8.21) В рассматриваемом случае действия мгновенных периодических импульсов имеем: t T 2 k t 2 k t dt  lim  P(t )cos dt  I ;   P(t )cos t 0 T T 0 T t  P(t )sin 2k t dt  lim P(t )sin 2k t dt  0.  t 0  T T 0 (8.22) Следовательно, по формулам (8.21) находим: 2I  ak  ; T  bk  0. (8.23) Таким образом, вместо соотношения (8.20) имеем: P(t )  I 2I  2k t   cos , T T k 1 T (8.24) и нам придется иметь дело не с мгновенными импульсами, а с бесконечной суммой, входящей в выражение (8.20). Общий член суммы имеет вид: 2I 2k t . cos T T Рассмотрим движение, которое вызывается действием только одного такого слагаемого. Для этого нужно решить дифференциальное уравнение движения системы: 36 qk  k02qk  2I 2k t cos . mT T (8.25) Частное решение (оно не зависит от начальных условий) находим в виде: qk  Dk cos 2k t . T (8.26) Амплитуду Dk можно найти путем подстановки решения (8.26) в уравнение (8.25): 2I  2k  2  ,  Dk  k0 Dk  T mT   2 (8.27) откуда следует: Dk  2I mT 1  2k  k02     T  2 . (8.28) Таким образом, решение уравнения (8.26) будет иметь вид: qk  2I mT 1  2k  k02     T  2 cos 2k t . T (8.29) Суммируя отдельные решения типа (8.29) или, другими словами, складывая движения, вызываемые каждой из гармоник ряда (8.24), находим для одного периода 2k t I 2I T q  ,  2 mk0 T mT k 1 2  2k 2 k0     T   cos (8.30) здесь первый член соответствует первому слагаемому I/T в выражении (8.24). Хотя решение (8.29) требует суммирования бесконечного ряда, этот недостаток не может заслонить важное преимущества решения (8.30) – его периодичность, 37 благодаря которой достаточно найти движение в течение всего лишь одного периода. Это свойство решения (8.30) выгодно отличает его от непериодических решений, полученных двумя первыми способами. Однако стоит углубиться в причины, которые позволили получить желаемое периодическое решение, и обдумать ответы на два вопроса: 1. Каким образом удалось исключить «примеси», нарушающие периодичность? 2. Является ли полученное здесь решение боле точным, чем решения, найденные двумя ранее изложенными способами, или, напротив, менее точным? Ответ на первый вопрос прост. Ведь решение (8.22) уравнения (8.21) представляет собой только чисто вынужденную периодическую (с периодом T) часть движения, так как в нашем решении заведомо «отсечены» те члены полного решения, которые могли бы нарушить эту периодичность. Отсюда, казалось бы, вытекает ответ на второй вопрос: найденное решение (8.30) не является точным решением задачи, так как нами не приняты во внимание начальные условия. Однако в действительности из-за действия демпфирующих факторов (неучтенных при составлении дифференциального уравнения движения) начальные условия влияют на процесс движения лишь очень недолго и после небольшого числа периодов, т. е. после окончания переходного процесса в механической системе процесс приобретает стационарный характер, и последующее движение будет практически повторяться от периода к периоду. Можно, пожалуй, сказать, что, разыскивая только периодическое решение, мы компенсируем неполноту самого уравнения. С этой формальной, но, очевидно, разумной точки зрения решение (8.30) точнее отражает истинные закономерности, чем полученные выше два других решения. 8.5. Четвертый способ – метод периодизации решения. Коэффициент повторности импульса и влияние на него вязкого трения в системе После всего сказанного трудно представить, что возможно столь счастливое сочетание преимуществ замкнутости и периодичности, как в рассматриваемом здесь четвертом способе. Но мы его немного усовершенствуем, учтя нако- 38 нец-то диссипацию (рассеяние энергии колебаний), имеющую место в реальных механических системах. Итак, рассмотрим какой-либо из периодов и примем за начало отсчета времени момент исчезновения последнего импульса. Тогда в течение изучаемого периода колебания одностепенной диссипативной механической системы, описываемой дифференциальным уравнением: q  2nq  k02q  0, (8.31) где n – коэффициент демпфирования и k02 = c/m – квадрат собственной консервативной системы, являются свободными и затухающими, т. е. q  e nt  C1 cos k0t  C2 sin k0t  (0  t  T ). (8.32) Чтобы найти постоянные интегрирования C1 и C2, продифференцируем выражение (8.32) по времени: q  ne nt  C1 cos k0t  C2 sin k0t   k0e nt  C1 sin k0t  C2 cos k0t . (8.33) Для определения C1 и C2 воспользуемся следующими начальными условиями: t  0; q(0)  q0 ; q(0)  q0 . Из уравнений (8.32) и (8.33) имеем: q0  C1;  q0  nC1  k0C2 , (8.34) C1  q0 ;  q0  C    q0 , 2  k  (8.35) откуда следует, что: 39 где  – логарифмический декремент колебания системы. С учетом системы (8.35) выражение (8.32) примет вид:   q  q  e nt  q0 cos k0t   0   q0  sin k0t  .  k0    (8.36) То же проделаем с уравнением (8.33), что приводит нас к соотношению:   q   q q  k0   0  1   2  q0  sin k0t  cos k0t . k0   k0   (8.37) В конце этого периода, непосредственно перед приложением очередного импульса (т. е. при t = T), имеем:    q   nT q1  e  q0 cos k0T     q0  sin k0T  ;  k0         q0    nT   q0 2 q  k e    1   q sin k T  cos k T    0 0 .   1 k0   k0      (8.38) Сразу после приложения очередного импульса смещение q сохранит свое значение q1: q2  q1, (8.39) но скорость массы m мгновенно изменится на величину I/m: q2  q1  I . m (8.40) Хотя сделанные выкладки достаточно просты, видимо, еще не совсем понятно, зачем это все выполнено. Однако все станет ясным в результате следующего шага: периодическое действие мгновенных импульсов на линейную механическую систему должно привести к установлению колебаний с 40 этим периодом, следовательно, должно выполняться такое условие периодичности решения: q2  q0 ;  q2  q0 (8.41)   nT   q  e  q0 cos k0T   0   q0  sin k0T   q0 ;  k0        q0   q0  I   nT  2 k e    1   q sin k T  cos k T       q0 .    k k   m      (8.42) или В результате получена система алгебраических уравнений относительно неизвестных начальных условий q0 , q0 . Поэтому рассматриваемый метод можно назвать методом периодизации решения, которое будет наиболее точно отражать физическую суть четвертого способа. Для решения САУ воспользуемся формулами Крамера:   nT  sin k0T   e  cos k0T   sin k0T  e 2 nT  2e nT cos k0T  1; nT  sin k0T e  cos k0T   sin k0T   sin k0T  I nT  (8.43)  e sin k0T ; 1  I nT nT e e  cos k T   sin k T mk  mk0   e nT  cos k0T   sin k0T  I nT nT e  e  cos k0T   sin k0T  ; I nT   2  sin k0T e mk0  mk0  1 I sin k0T  q   ; nT  nT   mk e  2cos k T  e   nT  q0   2  I e  cos k0T   sin k0T . nT  nT   k0  mk0 e  2cos k0T  e 41 (8.44) Заметим, что перед использованием формул Крамера система (8.44) была немного преобразована – первое уравнение было умножено на enT, а второе – на enT и поделено на k0. Для упрощения формул используем гиперболическую функцию, а именно гиперболический косинус – 2chnT  enT  e nT , тогда получим окончательные выражения для определения начального смещения массы и ее начальной скорости: I sin k0T  q  ;  mk 2 chnT  cos k T     nT  q  I e  cos k0T   sin k0T .  k0 mk0 2  chnT  cos k0T  (8.45) Подставив выражения (8.45) в формулу (8.32), после соответствующих преобразований найдем: q(t )  I  T  e nt cos k0  t   (0  t  T ), mk0 2  (8.46) enT где   – коэффициент влияния повторности импульса. 2  chnT  cos k0T  Исследуя формулу (8.46), нетрудно установить, что в системе могут развиваться ударные резонансы. Это явление возможно тогда, когда знаменатель коэффициента влияния повторности импульса обращается в нуль, т. е. chnT  cos k0T  0. (8.47) Чтобы проверить выведенные выражения, обратимся к случаю, когда в механической системе отсутствует рассеивание энергии, т. е. нет диссипативных устройств. Другими словами, примем, что b = 0, n = 0,  = 0, тогда для коэффициента влияния повторности импульса имеем:  1 2 1  cos k0T  1  4sin 2 42 k0T 2  1 kT 2 sin 0 2 . (8.48) График изменения коэффициента  приведен на рис. 8.3. Рис. 8.3. Зависимость коэффициента влияния повторности импульса консервативной системы от соотношения частоты поступления импульсов и собственной частоты системы Как видно из рис. 8.3, здесь возможно неограниченно большое число ударных резонансов. Наименьшее возможное значение  равно 1/2. Под угловой частотой приложения импульсов понимается выражение:  = 2/T. При принятых условиях вместо выражения (8.46) получим такой закон движения массы m: q(t )  I  k0T   sin k0t  cos k0t  ctg  (0  t  T ). 2mk0  2  (8.49) Действительно, это вполне изящное и чрезвычайно красивое решение. Достаточно построить закон движения для одного периода; в следующих периодах движение будет полностью повторяться. Далее заметим, что если k0T/2 = n (где n – целое число), то ctg k0T  2 и амплитуда перемещений стремится к бесконечности, т. е. наступает ударный резонанс. График изменения коэффициента влияния повторности импульса для диссипативной системы (8.31) приведен на рис. 8.4. 43 Рис. 8.4. Коэффициент влияния повторности импульса для диссипативной системы Из графика на рис. 8.4 следует, во-первых, что ударные резонансы могут возникать при , равном 0, 1, 2, 3 и т. д., во-вторых, благодаря наличию трения в системе максимальные значения  ограничены, в-третьих, что наименьшее значение параметр  принимает при 1/2, но усиление трения приводит к возрастанию минимума . Форма перемещения q существенным образом зависит от отношения периодов поступления импульсов в систему и собственных колебаний консервативной системы, что характеризуют рис. 8.5 – 8.7. Рис. 8.5. Форма колебания массы, когда период поступления импульсов меньше периода собственных колебаний 44 Рис. 8.6. Форма колебаний массы, когда период поступления импульсов равен периоду собственных колебаний Рис. 8.7. Форма колебания массы, когда период поступления импульсов больше периода собственных колебаний Приведенные на рис. 8.5 – 8.7 графики дают возможность сделать следующие выводы: если период поступления мгновенных импульсов в систему значительно больше периода его свободных собственных колебаний, то вызванные ударом перемещения массы успевают до следующего удара затухнуть и это происходит тем быстрее, чем больше коэффициент вязкого трения; следовательно, в 45 этом случае поведение системы может быть рассчитано значительно проще (только на действие одного импульса); если период поступления мгновенных импульсов в систему меньше периода собственных колебаний массы, то они «навязывают» массе их частоту и поэтому система совершает разрывные колебания. 9. ДИНАМИКА НЕОБРЕССОРЕННЫХ МАСС ПОДВИЖНОГО СОСТАВА 9.1. Прохождение колесной парой локомотива одиночной, изолированной, детерминированной геометрической неровности рельсовых нитей Современное техническое состояние железнодорожного пути в целом считается удовлетворительным, но все же часто встречаются разного рода неисправности, например, несколько плохо подбитых или гнилых шпал, а также неравноупругость пути при въезде и сходе со стрелок, мостов и железнодорожных переездов и т. п. Эти несовершенства обычно моделируются при помощи одиночных, изолированных геометрических неровностей. Из Правил технической эксплуатации (ПТЭ) известно, что важнейшими динамическими показателями подвижного состава, которые нормируются, являются напряжения в головке, шейке, подошве рельсов, в балластной призме и земляном полотне, а они определяются давлением колесной пары на путь. 9.1.1. Вывод уравнения движения колесной пары локомотива при прохождении ей одиночной изолированной геометрической неровности и за ее пределами Для решения этой задачи достаточно рассмотреть поведение одной колесной пары, что, в принципе, строго доказывается математически с помощью известной теоремы академика А. Н. Тихонова о разделении движения на «быстрые» и «медленные» составляющие (заметим, что собственные частоты, на46 пример подпрыгивания кузова, тележки и колесной пары, приблизительно составляют соответственно 1,3 – 2,1; 5,7 – 8; 20 – 35 Гц). Следовательно, предложенную расчетную схему необрессоренной массы локомотива, показанную на рис. 9.1, можно считать обоснованной. В качестве возмущающего фактора возьмем изолированную геометрическую неровность, которую можно представить математически так: h 2 x l  ( x)  1  cos 2 , (9.1) где h – амплитуда неровности, м; l – длина неровности, м. Вид неровности представлен на рис. 9.2. Рис. 9.1. Расчетная схема для колебаний подпрыгивания Если допустить, что локомотив двиколесной пары локомотива жется с постоянной скоростью (а это одно из основных допущений, принимаемых в курсах «Динамика подвижного состава» и «Динамика вагонов»), то x = Vt, следовательно, вместо выражения (9.1) запишем: h 2  (t )  1  cos V  t , 1,8l  (9.2) здесь V – скорость движения локомотива, км/ч. Итак, мы разобрались с возмущающим фактором, действующим со стороны пути на колесную пару. Рис. 9.2. График изолированной геометрической неровности пути в виде «впадины» 47 Теперь обратимся к составлению дифференциальных уравнений, описывающих колебания подпрыгивания колесной пары локомотива; это можно выполнить, если воспользоваться уравнением Лагранжа второго рода, которое предусматривает нахождение кинетической, потенциальной энергии, а также диссипативной функции. Механическая система «экипаж – путь» состоит из двух подсистем, а именно из «экипажа» и «железнодорожного пути», расчетные схемы которых приведены на рис. 9.3. а б Рис. 9.3. Расчетные схемы «экипажа» (а) и «железнодорожного пути» (б) Определим все необходимые характеристики для названных подсистем: кинетическая энергия колесной пары локомотива – 1 2 Tэ  mк.п zк.п , 2 (9.3) где mк.п – масса колесной пары (если это колесная пара локомотива, а тяговый привод имеет опорно-рамное подвешивание, то к массе колесной пары нужно добавить часть массы тягового электрического двигателя (обычно это половина массы ТЭД)), тс·с2/м; zк.п – скорость подпрыгивания колесной пары, м/с; потенциальная энергия колесной пары локомотива – э  1 2 жб zк.п  Pp zк.п , 2 48 (9.4) здесь Pp – динамическая добавка давления колесной пары на путь, тс; zк.п – «обобщенная» координата, описывающая колебания подпрыгивания колесной пары локомотива, и она отсчитывается от положения статического равновесия (собственно по этой причине на расчетных схемах рис. 9.1, 9.3 не показаны силы тяжести), м; жб – жесткость буксового рессорного подвешивания локомотива, тс/м; диссипативная функция для колесной пары локомотива – 1 2  э  б zк.п , 2 (9.5) где б – коэффициент вязкого трения буксового подвешивания, тс·с/м; известно, что буксовое рессорное подвешивание выполнено в виде сочетания листовых рессор и пружин, а листовые рессоры обладают нелинейной силовой характеристикой, что затрудняет наши исследования. В настоящее время существует два способа линеаризации нелинейных характеристик: первый заключается в том, что приравниваются работы силы сухого сопротивления и силы вязкого сопротивления на периоде колебаний и отсюда определяется «эквивалентный» коэффициент вязкого трения, который зависит от амплитуды подпрыгивания колесной пары, второй был предложен достаточно давно профессором М. И. Батем [45] и заключается в том, что находит «эквивалентный» логарифмический декремент колебания, который уже не определяется амплитудой подпрыгивания колесной пары: 4ln  1  1   2  ln 2 1  1  ; (9.6) отсюда нетрудно установить коэффициент вязкого трения: б  8mк.п k0 ln  2  ln 2 49 1  1  1  1  . (9.7) Найдем эти же параметры для железнодорожного пути, который будем представлять дискретной инерционной моделью (рис. 9.3, б), что определяется наличием «приведенной» массой пути mп, его жесткостью жп и коэффициентом вязкого трения п: кинетическая энергия пути – Tп  1 mп z п2 , 2 (9.8) где zп – «обобщенная» координата механической системы, описывающая подпрыгивание пути, м; потенциальная энергия пути – 1  п  жп zп2  Pp ( zп   ), 2 (9.9) здесь жп – статическая жесткость пути, тс/м; диссипативная функция пути – 1  п  п zп2 . 2 (9.10) Наша задача существенным образом упрощается, если воспользоваться гипотезой о безотрывном движении колесной пары по железнодорожному пути:  zк.п  zп   ;   zк.п  zп   , (9.11)  zп  zк.п   ;   zп  zк.п   . (9.12) из которой следует, что Тогда вместо соотношений (9.8) – (9.10) имеем: 50 1 2 Tп  mп  zк.п    ; 2 1 2  п  жп  zк.п     Pр zк.п ; 2 1 2  п  βп  zк.п    . 2 (9.13) (9.14) (9.15) Складывая соответственно кинетическую и потенциальную энергию и диссипативные функции «экипажа» и «пути», получим окончательные выражения для определения кинетической, потенциальной энергии и диссипативной функции механической системы «экипаж – железнодорожный путь»: 1 1  mк.п  mп  zкп2  mп zк.п  mп 2 ; 2 2 1 1 2    жб  жп  zк.п  жп zк.п  жп 2 ; 2 2 1 1 2   βб  βп  zк.п  βп zк.п  βп 2 . 2 2 T (9.16) (9.17) (9.18) Для составления уравнений движения колесной пары локомотива воспользуемся известным из курса «Теоретическая механика» алгоритмом Лагранжа второго рода: d  T  T      0.   dt  zк.п  zк.п zк.п zк.п (9.19) Возьмем соответствующие производные: T   mк.п  mп  zк.п  mп ; zк.п T  0; zк.п d  T  d     mк.п  mп  zк.п  mп  ; dt  zк.п  dt     б  п  zк.п  п ; zк.п    жб  жп  zк.п  жп  zк.п 51 (9.20) и, подставив их в соотношение (9.19), получим дифференциальное уравнение, описывающее колебания подпрыгивания колесной пары локомотива для фазы его движения по одиночной, изолированной неровности:  mк.п  mп  zк.п  βб  βп  zк.п   жб  жп  zк.п  mп  п  жп , (9.21) которое приведем к стандартному виду следующим образом – разделим левую и правую части уравнения (9.21) на сумму масс колесной пары и «приведенной» массы пути и введем такие обозначения: 2n  демпфирования системы; k0  ной системы; 1  б  п – коэффициент mб  mп жб  жп – собственная частота консервативmк.п  mп mп – безразмерный коэффициент, близкий по величиmк.п  mп не к 0, так как mп << mк.п;  2  п – безразмерный коэффициент, близкий б   п по величине к 0,7 для параметров рессорного подвешивания современных локомотивов;  3  жп – безразмерный коэффициент, близкий по величине жб  жп к 1, и для параметров рессорного подвешивания современных локомотивов и получим: zк.п  2nzк.п  k02 zк.п  γ1  2nγ 2  k02 γ3. (9.22) Так как максимум давления колесной пары может достигаться за пределами изолированной геометрической неровности, а этот факт зависит от многих внешних обстоятельств, но в основном от вида самой неровности («впадина» или «горб»), то для второй фазы движения колесной пары после ее выхода из неровности будем иметь следующее дифференциальное уравнение: zк.п  2nzк.п  k02 zк.п  0. 52 (9.23) Время прохождения изолированной неровности вычисляется по формуле   3,6lн V , а график его изменения в зависимости от скорости движения локомотива показан на рис. 9.4, следовательно, дифференциальные уравнения (9.22) и (9.23) можно объединить:  zк.п  2nzк.п  k02 zк.п  γ1  2nγ 2  k02 при t   ;  2  zк.п  2nzк.п  k0 zк.п  0 при t >  . (9.24) Рис. 9.4. График времени прохождения изолированной геометрической неровности пути Интегрируя дифференциальное уравнение (9.24), не следует забывать о переходном процессе как во время движения колесной пары по изолированной неровности, так и после выхода из нее. Поэтому для первой фазы движения колесной пары локомотива примем тривиальные начальные условия, т. е. будем считать, что до начала движения по изолированной неровности колесная пара находилась в состоянии «покоя», понимая под ним ее качение без колебаний подпрыгивания в вертикальной плоскости. Обратимся, однако, сначала к преобразованию правой части первого уравнения соотношения (9.24), для этого продифференцируем последовательно дважды выражение (9.2): h     sin t;  2 (9.25)  h 2     cos t ,  2 здесь   V 1,8lн – частота внешнего возмущения, рад/с, тогда получим: 53 h h h γ1  2nγ 2  k02 γ3   γ1  2 cos t  2nγ 2  sin t  k02 γ3 1  cos t   2 2 2 (9.26) h h 2 h 2 2 2 h  k0  γ3   1  cos t  2nγ 2  sin t  k0 γ3  k0 M sin t    , 2 2 2 2 где M   γ3  γ1 2   4 2 2γ22 – вспомогательный коэффициент,   arctg 2 сдвиг фазы внешнего возмущения;   γ3  γ1 2 – 2 γ 2  – расстройка системы по частоте. С k0 учетом соотношения (9.26) уравнение (9.24) примет вид:  2 2 h 2 h  zк.п  2nzк.п  k0 zк.п  k0 γ3  k0 M sin(t   ) при t   ; 2 2  2  z  2nz  k z  0 при t >  . к.п 0 к.п  к.п (9.27) Графики изменения величин, составляющих внешнее возмущение, и его самого как функций от скорости движения V локомотива по изолированной неровности приведены на рис. 9.5 – 9.7. Рис. 9.5. Изменение переменной составляющей внешнего возмущения H (V )  k 02 54 h M (V ) 2 Рис. 9.6. График изменения сдвига фазы для внешнего воздействия Рис. 9.7. Графики изменения внешнего воздействия, представляющего собой изолированную геометрическую неровность рельсовых нитей, при скоростях движения локомотива 40, 80 и 120 км/ч Анализ графиков, представленных на рис. 9.7, показывает, что внешнее возмущение, действующее на колесную пару, слабо зависит от скорости движения локомотива, так как, видимо, расстройка системы по частоте изменяется достаточно мало (рис. 9.8). Действительно, величина расстройки по частоте увеличивается с ростом скорости от 0,2 до 0,6. Далее заметим, что в формулы (9.26), (9.27) входит квадрат этой переменной. 55 Рис. 9.8. Расстройка системы по частоте Итак, общее решение первого дифференциального уравнения системы (9.26) находим в виде: zкп  e nt  C1 cos k0t  C2 sin k0t   A  B sin t      , (9.28) где C1 и C2 – постоянные интегрирования; A и B –частное решение указанного неоднородного дифференциального уравнения, определяется оно видом правой части; υ – угол сдвига фазы искомого решения относительно возмущения. В нашем случае внешнее возмущение содержит постоянную составляющую, поэтому A = const, а амплитуду чисто вынужденных колебаний найдем после подстановки последнего слагаемого уравнения (9.28) в первое дифференциальное уравнение системы (9.27):  2 2 h k A  k  3;  2   k 2   2  B sin t       2n B cos t       k 2 h M sin t    ,  0 2 (9.29) отсюда несложно определить B и υ, считая, что второе соотношение системы (9.29) должно выполняться в любой момент времени, следовательно, необходимые преобразования дают следующее:  2 2 γ  γ     4 2 2 γ22 ; h h 3 1 A  γ ; B  3 2  2 2 1   2   4 2 2    γ3  γ1 2   arctg . 2 γ 2  56 (9.30) Изменение амплитуды чисто вынужденной составляющей общего решения неоднородного дифференциального уравнения подпрыгивания колесной пары в зависимости от скорости движения локомотива по изолированной геометрической неровности железнодорожного пути показано на рис. 9.9. Рис. 9.9. Изменение амплитуды чисто вынужденной составляющей общего решения системы (9.27) Из рис. 9.9 видно, что амплитуда B растет с увеличением скорости движения локомотива. Угол сдвига фазы υ, приведенный на рис. 9.10, также зависит от скорости. Рис. 9.10. Сдвиг фазы чисто вынужденных колебаний подпрыгивания колесной пары локомотива Для определения постоянных интегрирования C1 и C2 в выражении (9.28) продифференцируем его по времени и воспользуемся тривиальными начальными условиями, тогда имеем: 57 0  C1  A  B sin(   );  0  nC1  k0C2  B cos(   ), (9.31) C1   A  B sin(   );  C2   A   sin(   )   cos(   ) B. (9.32) откуда следует, что Учет соотношений (9.32) в формуле (9.28) приводит к получению окончательного выражения для определения подпрыгивания колесной пары локомотива при движении по изолированной геометрической неровности: zкп  De nt sin  k0t     A  B sin t      , здесь D  (9.33)  A  B sin(   )   A   sin(   )   cos(   ) B 2 2 – амп- литуда сопровождающих колебаний; (9.34) A  B sin(   ) – сдвиг фазы сопровождаю  arctg  A   sin(   )   cos(   ) B щих колебаний. (9.35) Продифференцировав формулу (9.33) по времени, найдем выражение для скорости подпрыгивания колесной пары локомотива при его движении в пределах изолированной геометрической неровности: zк.п  k0 D 1   2 e nt sin  k0t  γ     B cos t      , где   arctg 1 (9.36) – угол сдвига фазы.  Далее вновь дифференцируем по времени выражение (9.36) и в итоге получим формулу для определения ускорения подпрыгивания колесной пары локомотива для фазы его движения внутри изолированной геометрической неровности: 58 zк.п  k02 D 1   2  e nt sin  k0t  γ  2   B 2 sin t     . (9.37) График изменения переменной D, формально представляющей собой амплитуду сопровождающих колебаний, приведен на рис. 9.11. Рис. 9.11. График амплитуды сопровождающих колебаний Прежде чем рассмотреть поведение колесной пары локомотива после того, как она выйдет из изолированной неровности, следует вернуться к определению важнейшей характеристики любого подвижного состава – давлению на путь. Воспользуемся алгоритмом Лагранжа второго рода для энергетических соотношений, полученных для локомотива: d  Tэ  Tэ  э  э    0,   dt  zк.п  zк.п zк.п zк.п (9.38) и, взяв соответствующие производные, получим выражение для вычисления динамической добавки давления колесной пары на путь: Pр  mк.п zк.п  βб zк.п  жб zк.п . (9.39) Отметим, что разделение единой механической системы «экипаж – железнодорожный путь» на подсистемы «экипаж» и «железнодорожный путь» вызвано именно этим обстоятельством, так как давление колеса на рельс в решающей степени определяет тяговые свойства локомотива. Подстановка в 59 формулу (9.39) выражений (9.33), (9.36) и (9.37) и несложные преобразования позволяют записать: Pр  D  L  e nt sin  k0t  γ     жб A  B  E  sin t      , (9.40) где вновь введенные переменные определяются с помощью следующих формул: U  m k 2 1   2  cos 2   β k 1   2 cos   ж ; к.п 0 б 0 б  1 U  m k 2 1   2 sin 2   β k 1   2 sin  ;  к.п 0  б 0  2  2 2  L  U1  U 2 ;  mк.п k02 1   2  sin 2   β б k0 1   2 sin     arctg ;  mк.п k02 1   2  cos 2   β б k0 1   2 cos   жб   2 2 2 2  E   жб  mк.п   β б ;  β б   arctg . жб  mк.п 2  (9.41) Во второй фазе движения колесной пары локомотива, когда она прошла изолированную геометрическую неровность пути, ее динамическое поведение описывается вторым дифференциальным уравнением системы (9.24). Его общее решение известно и имеет следующий вид: zк.п  e nt  C3 cos k0t  C4 sin k0t . (9.42) здесь C3 и C4 – новые постоянные интегрирования, определяемые с помощью начальных условий, представляющих собой информацию о значении подпрыгивания и скорости подпрыгивания колесной пары локомотива в момент ее выхода из неровности, т. е. когда t = τ. Эти постоянные находятся по формулам (9.33) и (9.36) при указанном выше значении времени: zк.п ( )  De n sin  k0  γ   A  B sin       ; (9.43) zк.п ( )  k0 D 1   2 e n sin  k0  γ     B cos      . (9.44) Дифференцирование выражения (9.42) по времени дает следующее: 60 zк.п  e nt n  C3 cos k0t  C4 sin k0t   k0  C3 sin k0t  C4 cos k0t  . (9.45) Подстановка в формулы (9.42) и (9.45) начальных условий (9.43) и (9.44) и t = 0 приводит к следующему результату: C3  zк.п ( );  zк.п ( )  C   z (  )  , к.п  4 k0  (9.46) который вместо равенства (9.42) дает возможность получить такое выражение: zк.п  Ne nt sin  k0t    , (9.47) 2  z ( )  2 где N  C32  C42  zк.п ( )   zк.п ( )  к.п  ; k0     arctg C3 zк.п ( )  arctg . zк.п ( ) C4  zк.п ( )  k0 (9.48) (9.49) Здесь соотношения (9.48) и (9.49) – соответственно амплитуда колебаний подпрыгивания колесной пары локомотива после ее выхода из изолированной неровности пути и сдвиг фазы колебания подпрыгивания колесной пары. Нетрудно записать выражения для скорости и ускорения подпрыгивания колесной пары локомотива:  z  k N 1   2 e  nt sin  k t      ;  к.п  2 2  nt   zк.п  k0 N 1    e sin  k0t    2  , здесь      arctg 1  – сдвиг фазы. (9.50) (9.51) Пользуясь выражением (9.39) и формулами (9.47), (9.50), определим динамическую добавку давления колесной пары локомотива на путь после прохождения им изолированной геометрической неровности: Pр  mк.п k02 N 1   2  e nt sin  k0t    2   βб k0 N 1   2 e  nt sin  k0t       жб Ne nt sin  k0t    . 61 (9.52) 9.1.2. Результаты математического моделирования движения колесной пары локомотива в пределах и за пределами одиночной изолированной геометрической неровности пути Вычисления всех характеристик движения колесной пары внутри изолированной геометрической неровности и после выхода из нее выполнялись с помощью математического пакета MathCad 13. На рис. 9.12 показана зависимость подпрыгивания колесной пары локомотива при прохождении ей изолированной геометрической неровности от пройденного пути Рис. 9.12. График подпрыгивания колесной пары локомотива На рис. 9.12 по оси ординат откладывалось подпрыгивание колесной пары для скоростей движения локомотива 40, 80 и 120 км/ч, а по оси абсцисс – координата пути в метрах. Отметим, что длина неровности пути принималась равной 3 м, а ее глубина – 10 мм. Из показанных на рис. 9.12 графиков очевидно, что скорость прохождения неровности пути играет вполне определенную роль – амплитуда подпрыгивания с ростом скорости увеличивается и более того, изменяется характер самих колебаний. Понятно и то, что после выхода колесной пары из неровности ее колебания подпрыгивания затухают. На рис. 9.13 и 9.14 представлены скорость и ускорение подпрыгивания колесной пары локомотива при прохождении им одиночной изолированной геометрической неровности железнодорожного пути, а на рис. 9.15 приведено полное давление колесной пары на путь. 62 Рис. 9.13. График скорости подпрыгивания колесной пары Рис. 9.14. График ускорения подпрыгивания колесной пары локомотива Рис. 9.15. График полного давления колесной пары локомотива на путь 63 Максимальное давление колесной пары на путь достигается за пределами изолированной геометрической неровности, и с ростом скорости оно незначительно снижается. Для неровности в виде горба результаты будут несколько иными; они показаны на рис. 9.16 – 9.20. Рис. 9.16. График изолированной геометрической неровности пути типа «горб» Рис. 9.17. График подпрыгивания колесной пары локомотива Рис. 9.18. График скорости подпрыгивания колесной пары 64 Рис. 9.19. График ускорения подпрыгивания колесной пары локомотива Рис. 9.20. График полного давления колесной пары локомотива на путь Для построения графиков, приведенных на рис. 9.17 – 9.20 использовались следующие зависимости: zк.п  De nt sin  k0t  γ   A  B sin t      при t <  ;    n (t  ) sin  k0 (t   )    при t   ;  Ne (9.53) zк.п k D 1   2 e nt sin  k t  γ     B cos t      при t< ;  0  2  n ( t  ) sin  k0  t        при t   ;   k0 N 1   e zк.п k02 D(1   2 )e nt sin  k0t  γ  2   B 2 sin t      при t <  ;  2 (9.55)  n t   2 sin  k0 (t   )    2  при t   ; k0 N 1    e 65 (9.54)  D  L  e nt sin  k t  γ     ж A  B  E  sin t      при t< ; б   Pр  mк.п k02 N 1   2  e  n (t  ) sin  k0 (t   )    2   жб Ne n (t  ) sin  k0 (t   )     (9.56)  βб k0 N 1   2 e n (t  ) sin  k0 (t   )      при t   . Рассмотренное математическое моделирование прохождения колесной парой изолированной геометрической неровности (здесь мы упростили математическую модель, так как к массе колесной пары и «приведенной» массе железнодорожного пути добавили половину массы тягового электрического двигателя) позволяет сделать следующие выводы. 1) В пределах изолированной геометрической неровности колебания подпрыгивания колесной пары локомотива складываются из двух составляющих: сопровождающих колебаний, происходящих с собственной частотой консервативной системы, но их амплитуда зависит от амплитуды внешнего возмущения, и чисто вынужденных колебаний, происходящих с частотой внешнего возмущения и амплитудой, определяемой амплитудой внешней силы. 2) За пределами изолированной геометрической неровности колебания подпрыгивания колесной пары локомотива представляют собой затухающие свободные колебания; скорость затухания определяется коэффициентом демпфирования системы, который зависит от коэффициентов вязкого трения в буксовом подвешивании экипажа и пути. 3) Значения максимального давления колеса на путь в зависимости от скорости движения локомотива по неровностям типа «горб» (табл. 9.1) и типа «впадина» (табл. 9.2) на скорости 120 км/ч практически совпадают, однако при движении по впадине расстояние от начала неровности до точки действия максимальной силы больше, что обусловлено динамическими качествами рессорного подвешивания. Т а б л и ц а 9.1 Значения максимального давления колеса на путь при движении по неровности типа «горб» Скорость движения экипажа, км/ч Максимальное давление на путь, тс Расстояние до максимума от начала неровности, м 40 80 120 40 35 41,5 1,5 – 2 2,5 10 66 Т а б л и ц а 9.2 Значения максимального давления колеса на путь при движении по неровности типа «впадина» Скорость движения экипажа, км/ч Максимальное давление на путь, тс Расстояние до максимума от начала неровности, м 40 80 120 50 43 41 11 11 12,5 9.2. Прохождение колесной парой локомотива детерминированной гармонической неровности типа волнообразного износа рельсов В литературе, посвященной динамике подвижного состава, часто коротковолновый волнообразный износ представляют гармонической функцией по протяженности пути:   x   0 sin 2 x , lн (9.57) а если скорость движения экипажа постоянна, то x = Vt. Следовательно, зависимость неровности как функция времени имеет вид:   t   0 sin t , (9.58) где  = 2V/lн – частота внешнего возмущения, с-1; V – скорость движения экипажа, м/с; lн – длина волнообразного износа рельса, м; 0 – амплитуда волнообразного износа рельсов, м; t – время, с. Динамическое поведение колесной пары по-прежнему описывается дифференциальным уравнением (9.22), в котором вновь нужно преобразовать правую часть к более удобному виду. Обозначим: М – вспомогательная переменная;    k0 – расстройка системы по частоте. Тогда вместо уравнения (9.22) получим: 67  2   t   0 cos t ;   t   0 sin t ;  2 2 2    γ1  2nγ 2  k0 γ3  0  γ3k0  γ1  sin t  2n γ 2 cos t  ;  2 2  M cos    γ 3k0  γ1  ;   M sin   2n γ 2 ;  (9.59)  M   γ k 2  γ  2 2   2n γ 2  k 2  γ  γ  2 2  4 2 2 γ 2 ; 3 0 1 2 3 1 2   2n γ 2 2 γ 2  arctg ;   arctg 2 2 2 γ k  γ  γ  γ  3 1 3 1    γ k 2  γ  2 sin t  2n γ cos t  M sin t   ;   2  3 0 1   2 2 2 2 2 2 2  γ1  2nγ 2  k0 γ3  0 M sin t     0 k0  γ3  γ1   4  γ 2 sin t    . С учетом введенных обозначений (9.59) дифференциальное уравнение вертикальных колебаний колесной пары локомотива при ее движении по рельсу, имеющему волнообразный износ, будет таким: γ zк.п  2nzк.п  k02 zк.п  0k02  γ1 2   4 2 2 γ 22 sin t    , 2 3 (9.60) здесь  – начальный угол сдвига фазы. Интегрирование аналогичного уравнения уже выполнялось при изучении вынужденных колебаний одностепенной механической системы, поэтому вполне естественно воспользоваться уже полученными результатами (см. разд. 3 части 1 данного учебного пособия), а именно, следует обратиться к установившемуся решению дифференциального уравнения (3.14). Отметим, что в нашем случае zк.п = q, статический прогиб упругого подвешивания qст  0    1 2   4 2 2 22 . 2 3 (9.61) С учетом выражения (9.61) перепишем уравнение (9.60) следующим образом: zк.п  2nzк.п  k02 zк.п  k02qст sin t   . 68 (9.62) Изменение амплитуды внешнего возмущения приведено на рис. 9.21. Рис. 9.21. Изменение амплитуды внешнего воздействия в зависимости от скорости движения экипажа Частное, или стационарное, решение этого уравнения имеет вид: zк.п  D sin t      , (9.63) откуда несложно получить:   zк.п   D cos t      ;  2   zк.п   D sin t      . (9.64) Подстановка уравнений (9.63) и (9.64) в выражение (9.62) приводит к следующей системе уравнений:  D  k02   2  cos   2n sin    k02qст ;     D  k02   2  sin   2n cos    0.   (9.65) Отсюда после несложных преобразований, аналогичных выполненным в разд. 3 части 1 данного учебного пособия, найдем: K дин  D 0     1 2   4 2 2 22 2 3 1    2 2  4  2 2 69   2 2 2 2 3   1   4   2 2 1   2   4 2 2 2 , (9.66) где Kдин – коэффициент динамичности экипажа по перемещению, т. е. по подпрыгиванию колесной пары локомотива. В качестве аргумента принята скорость движения экипажа, ибо расстройка по частоте  2 V . lн k0 (9.67) График изменения коэффициента динамичности показан на рис. 9.22, а амплитуда подпрыгивания колесной пары приведена на рис. 9.23. Рис. 9.22. Коэффициент динамичности необрессоренной массы локомотива, движущегося по волнообразному износу рельса, принятому в виде гармонической функции Чтобы записать решение в окончательном виде, нужно еще определить сдвиг фазы  установившихся колебаний. Для этого достаточно обратиться ко второму уравнению системы (9.63), откуда при D  0 имеем:   arctg 2 . 1 2 (9.68) Итак, установившееся движение колесной пары локомотива по рельсам с волнообразным износом описывается уравнением: 70 zк.п  Kдин0 sin t     . (9.69) График этого движения представлен на рис. 9.24. Рис. 9.23. График амплитуды подпрыгивания колесной пары Рис. 9.24. График подпрыгивания колесной пары локомотива при движении по пути с волнообразным износом Ускорение колесной пары подпрыгивания zк.п   Kдин 0 2 sin( t     ) (9.70) приведено на рис. 9.25, а амплитуда ускорения как функция от скорости движения экипажа представлена на рис. 9.26. 71 Рис. 9.25. График ускорения подпрыгивания колесной пары экипажа Рис. 9.26. Зависимость амплитуды ускорения от скорости движения экипажа Для расчета давления колесной пары на путь воспользуемся формулой (9.39), в которую подставим решение (9.69), и, выполнив соответствующие преобразования, получим: Pp  K дин0 2 (cжб  mк.п 2 )2  βб2   2 sin(t       ), где   arctg βб – сдвиг фазы. жб  mк.п 2 (9.71) (9.72) Изменение динамической добавки давления колесной пары на путь приведено на рис. 9.27, а ее амплитуда показана на рис. 9.28. 72 Рис. 9.27. Динамическая добавка давления колесной пары на путь при движении по пути с волнообразным износом рельсов Рис. 9.28. Изменение амплитуды динамической добавки давления колёсной пары локомотива в зависимости от скорости движения экипажа 9.3. Взаимодействие необрессоренных масс локомотива и железнодорожного пути со случайными геометрическими неровностями на поверхности катания рельсов Чтобы воспользоваться результатами разд. 7 и определить статистические характеристики случайных колебаний необрессоренных масс локомотива, следует применить операционное исчисление к дифференциальному уравнению (9.22). В результате имеем: 73 zк.п ( p) γ1 p 2  2npγ 2  k02  W ( p)  ,  ( p) p 2  2np  k02 (9.73) здесь W(p) – передаточная функция системы «необрессоренная масса локомотива – путь». Вычислим модуль передаточной функции, полагая, что оператор дифферецирования равен чисто комплексному числу, т. е. p = j, следовательно, после несложных преобразований получим: W  j    γ k  γ    4n  γ  k     4n  2 3 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2  γ  γ1 2   4 2 2 γ 22 2 3 1    2 2  4  2 2 . (9.74) Если сравнить формулу (9.74) с выражением (9.66), то нетрудно заметить, что они одинаковы, что характерно для кинематического возбуждения колебания системы. График изменения указанной характеристики показан на рис. 9.29. Случайное внешнее возмущение представляется соответствующей спектральной плотностью S(), найденной профессором А. Н. Беляевым для западного региона России. Вид и необходимые параметры этой спектральной плотности приведены в табл. 1.8, а необходимые разъяснения изложены в подразд. 1.3; график спектральной плотности возмущения приведен на рис. 9.30 для летних условий эксплуатации, а среднеквадратическое отклонение волнообразного износа рельсов (в мм) представлено на рис. 9.31. Из анализа графика на рис. 9.30 следует, что существует «пик» спектральной плотности на частоте, близкой к собственной частоте подпрыгивания колесной пары экипажа на упругом железнодорожном пути (порядка 130 – 250 с– 1). Среднеквадратическое отклонение волнообразного износа рельсов при плохом и хорошем состоянии железнодорожного пути при скорости движния экипажа различается почти в два раза. Следуя методике, изложенной в разд. 7, определим основные статистические характеристики случайных колебаний колесной пары. Спектральная плотность подпрыгивания колесной пары определяется по формуле: S zк.п ( )  W  j  S ( ), 2 74 (9.75) Рис. 9.29. Модуль передаточной функции подпрыгивания колесной пары тепловоза 2ТЭ10Л для летних и зимних условий Рис. 9.30. График спектральной плотности волнообразного износа пути Рис. 9.31. Стандарт волнообразного износа для хорошего (1), удовлетворительного (2) и плохого (3) состояния пути, мм 75 а среднеквадратическое отклонение –   z  2 S z ( )d . к.п к.п (9.76) При вычислении по формуле (9.73) на практике задают определенный диапазон частот, кроме того, если применять в качестве спектральной плотности формулы, рекомендованные профессором А. Н. Беляевым, то стандарт будет зависеть от скорости движения экипажа, характеристик пути (хорошее или удовлетворительное его состояние, деревянные или железобетонные шпалы, тип рельсов), а также от времени года (лето или зима). На рис. 9.32 приведены графики спектральной плотности и стандарта ускорения подпрыгивания колесной пары тепловоза 2ТЭ10Л при движении экипажа по пути со случайным волнообразным износом летом и зимой. а б Рис. 9.32. Спектральная плотность ускорения подпрыгивания колесной пары тепловоза 2ТЭ10Л летом (а) и зимой (б) Чтобы оценить ускорение подпрыгивания колесной пары экипажа, следует в уравнении (9.75) правую часть умножить на частоту в четвертой степени: S zк.п ( )   4 W  j  S ( ), 2 (9.77) а среднеквадратическое отклонение ускорения подпрыгивания колесной пары вычисляется так: 76   z  2 S z ( )d . к.п к.п (9.78) График стандарта ускорения подпрыгивания колесной пары приведен на рис. 9.33 для летних условий. Наиболее вероятное максимальное ускорение подпрыгивания колесной пары экипажа можно найти, используя выражение (9.78), если считать случайный процесс нормальным, простым умножением на 2,51. Рис. 9.33. Среднеквадратическое отклонение ускорения подпрыгивания колесной пары тепловоза 2ТЭ10Л в м/с2 для удовлетворительного (1) и плохого (2) состояния пути для летних условий Последней важной характеристикой является воздействие экипажа на железнодорожный путь. Для ее получения обратимся к уравнению (9.39), к которому применим преобразование Карсона, тогда имеем: Pp ( p)   mк.п p 2  βб p  жб  zк.п ( p) (9.79) или находим передаточную функцию для давления колесной пары на путь: WPp ( p)  Pp ( p) zк.п ( p)  mк.п p 2  βб p  жб , (9.80) откуда, учитывая, что zк.п(р) = W (p) η(p), находим: Pp ( p)  WPp ( p)W ( p) ( p). (9.81) В соответствии с этим передаточная функция для воздействия экипажа на путь принимает вид: 77 Wп ( p)  WPp ( p)W ( p), (9.82) а ее модуль будет Wп ( j )  ж б  mк.п  2 2 β  2 б 1  γ   1    2 2  4 2 2 γ 22 2 2  4  1 2 2 . 2 (9.83) Спектральная плотность воздействия на путь определяется выражением: 1  γ    4  γ    β    1     4  S Pp    Wп ( j ) S ( )   жб  mк.п  2 2 2 2 б 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 S ( ). (9.84) В итоге стандарт воздействия на путь вычисляется так:   P  2 S P ( )d , p p (9.85) а наиболее вероятные максимальное и минимальное давление на путь –  Pp max  Pст  2,51 Pp ;   Pp min  Pст  2,51 Pp . (9.86) Результат вычисления динамической добавки давления колёсной пары на путь по формуле (9.85) приведен на рис. 9.34. Рис. 9.34. Стандарт давления на путь колесной пары тепловоза 2ТЭ10Л для летних (1) и зимних (2) условий эксплуатации удовлетворительного состояния пути, тс 78 Из рис. 9.33 и 9.34 видно, что ускорение колесной пары экипажа растет с увеличением скорости движения и достигает порядка 6g при скорости 120 км/ч, динамическая добавка давления на путь также имеет тенденцию к росту и равна 15 тс зимой и 10 тс летом при указанной выше скорости. Полученные результаты говорят о необходимости шлифовки рельсов, ибо длина волнообразного износа рельсов не превышает 0,3 м. 9.4. Прохождение колесной парой локомотива железнодорожного стыка Здесь нужно иметь в виду следующие две ситуации. На многих участках железных дорог России уложен так называемый «бархатный» путь, когда короткие рельсы вставляются для компенсации температурных изменений. Следовательно, для таких участков проблема прохождения рельсовых стыков экипажем менее значима, чем для участков со звеньевым устройством, когда стык действует каждый раз, когда экипаж проехал длину рельса. В этом случае, если считать скорость движения экипажа постоянной, в нашу динамическую систему регулярно поступают мгновенные импульсы и их действие навяжет системе частоту колебаний. Поэтому можно обратиться к разд. 8, в котором рассматривается задача о действии мгновенных детерминированных импульсов на одностепенную механическую систему. Что касается моделирования импульсного возмущения в динамике подвижного состава, то нужно обратиться к материалу подразд. 6.6 (см. часть I настоящей монографии), где приведены соответствующие выражения для расчета импульса. Кроме того, следует помнить о том, что «приведенная» масса пути при ударном взаимодействии необрессоренных масс экипажа и рельсов является функцией времени, о чем говорилось в подразд. 1.6 (см. часть 1 настоящего учебного пособия). Примем, что в путь уложены рельсы Р65, тогда «приведенную» массу пути можно вычислить по формулам: на первом этапе, когда t < 0,5tуд, – 2 9,94 кГс  с м, деревянные шпалы; mп   2 6,63 кГс  с м, железобетонные шпалы; 79 (9.87) на втором этапе, когда 0,5tуд  t  tуд, – 2  14,58 кГс  с м, деревянные шпалы; mп   2  10,60 кГс  с м, железобетонные шпалы. (9.88) Воспользуемся решением (8.49), которое для нашего случая принимает вид: zк.п (t )  I  k0T   sin k0t  cos k0t  ctg  (0  t  T ). 2mk0  2  (9.89) Здесь под m понимается сумма массы колесной пары и «приведенной» массы железнодорожного пути; T – время прохождения рельсового звена, T lp V , (9.90) где lр – длина рельса; V – скорость движения экипажа, м/с; k0 – собственная частота подпрыгивания колесной пары на упругом пути; I – импульс, поступающий в систему (см. формулу (6.116) в части 1 настоящего учебного пособия), I aq  bq1 3V . 2 1      0 (9.91) Регрессионные коэффициенты для лета и зимы приведены в табл. 6.3 (подразд. 6.6 в части 1 настоящего учебного пособия). Преобразуем выражение (9.89) к более удобному виду: zк.п (t )  I kT 1  ctg 2 0 sin  k0t    , 2mk0 2 (9.92) здесь  – сдвиг фазы колебания подпрыгивания колесной пары,   arctg  ctg k0T 2 . (9.93) Нас по-прежнему будут интересовать две величины – амплитуда ускорения подпрыгивания колесной пары и ее давление на железнодорожный путь. Определим амплитуду ускорения колесной пары, продифференцировав дважды по времени выражение (9.92), т. е. имеем: 80 A Ik0 kT 1  ctg 2 0 . 2m 2 (9.94) Амплитуда давления колесной пары на путь после несложных преобразований, связанных с использованием формул (9.39) и (9.92), получилась такой: AP  I  2 k0T 1  ctg 2mk0  2  2 2 2 2 ж  m k  к.п 0   β б k0  .   б   (9.95) Графики изменения амплитуды ускорения подпрыгивания колесной пары и ее динамической добавки давления на путь показаны на рис. 9.35 и 9.36. Рис. 9.35. Максимальное ускорение подпрыгивания колесной пары при прохождении ей рельсовых стыков в зависимости от скорости движения экипажа, в долях g Рис. 9.36. Максимальное давление колесной пары на путь при регулярном поступлении мгновенных импульсов в систему «экипаж – путь» в зависимости от скорости движения экипажа, тс 81 Из представленных на рис. 9.35 и 9.36 графиков следует очевидный физический факт, касающийся ударного резонанса в динамических системах. Вопервых, таких резонансов бесконечно много, во-вторых, наличие вязкого трения в системе ограничивает их максимальные значения. Что касается максимального ускорения колесной пары в стыке, то наиболее опасными скоростями движения экипажа являются скорости 86 и 112 км/ч, при которых ускорения могут достигать 52 и 86g. Нужно отметить, что реальные значения ускорения и динамической добавки давления на путь, видимо, несколько меньше потому, что вводилась идеализация о мгновенном действии импульса и, кроме того, не учитывалась контактная жесткость самого рельса. Для этого достаточно вспомнить рекомендации Герца об ударе двух почти упругих тел, ибо эта жесткость учитывается только в зоне контактного взаимодействия и является нелинейной функцией взаимного смятия контактирующих материалов. Рассмотренное явление вынудило железнодорожников переходить на «бархатный» (бесстыковой) путь. 9.5. Воздействие на железнодорожный путь экипажей современных конструкций 9.5.1. Вывод уравнений движения необрессоренных масс современных экипажей Известно, что тяговый привод локомотива может иметь как опорно-осевое, так и опорно-рамное подвешивание тягового электрического двигателя Для повышения тяговых свойств локомотива необходимо стремиться к стабилизации давления колеса на рельс, что в решающей мере зависит от конструкции рессорного подвешивания и способа подвешивания тягового электродвигателя (ТЭДа). В современных конструкциях механической части локомотивов (2ЭС4К, 2ЭС6 ЭП10 и др.) отсутствуют листовые рессоры, функции которых выполняет упруго подвешенный гаситель вязкого трения, он установлен параллельно основным пружинам. Для последнего случая расчетная схема новой конструкции подвижного состава (в данном случае электровоза) приведена на рис. 9.37, где приняты следующие обозначения: zк.п, zдв, φ – подпрыгивание колесной пары и ТЭДа соответственно и галопирование привода; жб, ж, жтр, жп – жесткость пружин бук82 сового подвешивания, упругой подвески гидрогасителя, траверсы и железнодорожного пути; б, тр, п – коэффициенты вязкого трения буксового подвешивания, траверсы и железнодорожного пути; mк.п, mдв, Jдв – массы колесной пары и ТЭДа и момент инерции привода относительно его центра масс; l – расстояние между осями вращения колесной пары и якоря ТЭДа; η – случайная геометрическая неровность пути;  – дополнительная «обобщенная» координата; mп – «приведенная» масса железнодорожного пути. Рис. 9.37. Расчетная схема колесно-моторного блока с опорно-осевым подвешиванием тягового электрического двигателя современных локомотивов Задача исследования заключается в определении давления колесной пары на рельсы. Для конструкций экипажной части современного локомотива эта проблема решается проще, чем для конструкций старых локомотивов, у которых листовая рессора через пружины опиралась на тележку (расчетная схема на рис. 9.38). Наличие листовой рессоры, обладающей нелинейной, разрывной силовой характеристикой, затрудняло аналитические исследования, ибо требовалась либо гармоническая, либо статистическая ее линеаризация. Более того, при определенных условиях листовая рессора может «запираться», т. е. не работать и не выполнять свою функцию, заключающуюся в рассеянии поступающей в систему энергии. Следовательно, было необходимо находить эти условия, что весьма непросто, как показано в работе [41]. Перейдем к составлению математической модели колебания необрессоренных масс современного экипажа с опорно-осевым подвешиванием ТЭДа и 83 воспользуемся известными уравнениями Лагранжа второго рода, полагая, что движение колесной пары по рельсам происходит без отрыва от них. Следовательно, связи, наложенные на систему, будут удерживающими, что создает условия для применения указанного выше алгоритма. Рис. 9.38. Расчетная схема колесно-моторного блока с опорно-осевым подвешиванием тягового электрического двигателя старых локомотивов Вычислим кинетическую энергию механической системы: 1 1 1 1 1 2 T  mк.п zк.п  mдв zдв2  J дв 2  mп zп2  J яя2 , 2 2 2 2 2 (9.96) здесь zп – перемещение «приведенной» массы пути, которое будет в дальнейшем исключено в соответствии с гипотезой о безотрывности движения колеса по рельсу. Указанная гипотеза накладывает следующую связь на рассматриваемую систему:  zк.п  zп   ;   zк.п  zп   , (9.97) откуда следует: zп  zк.п  . 84 (9.98) Вторая связь, которая также наложена на нашу систему, записывается так:  zдв  zк.п  l ;   zдв  zк.п  l. (9.99) Другая связь следует из условия, что экипаж движется, т. е. колесная пара вращается вокруг собственной оси вращения и подпрыгивает. Это приводит к тому, что скорость вращения якоря тягового двигателя будет отлиR чаться от я  ш к.п . Чтобы установить rш Рис. 9.39. Определение угловой скорости вращения якоря тягового электрического двигателя эту связь, обратимся к кинематике плоского движения механизма, показанного на рис. 9.39. Скорость точки P, т. е. точки контакта колеса и рельса,  VP  Vo  к.п  OP, (9.100) здесь Vo  Vi  zк.п k – вектор скорости геометрического центра оси колесной пары; i j к.п  OP  0 к.п  k D 0  к.п k i , 2 Dk 2 (9.101) где Dк – диаметр катания колесной пары; V – продольная скорость движения экипажа; D   VP  V  к.п k  i  zк.пk . 2   (9.102) Положим, что V – к.пDk/2 = 0, т. е. мы пренебрегаем малым проскальзыванием колесной пары по рельсам, тогда угловая скорость вращения колесной пары определится из соотношения: к.п = 2V/Dk. 85 Определим скорость центра масс ТЭДа, лежащего на оси вращения якоря, по выражению:  VC  VO    OC , (9.103) i j k  ; здесь   OC  OC cos  0 OC sin   OC=Rш+rш=l; Rш – радиус зубчатого колеса, установленного на оси колесной пары; rш – радиус шестерни, насаженной на ось якоря ТЭДа;    OC  l sin i  l cos k ; (9.104) VC  V  l sin   i   zк.п  l cos  k . (9.105) Далее вычислим вектор скорости точки K – точки контакта двух шестерен, сначала принадлежащей большой шестерне:   V  V    OK ; O кп  K  i j k   к.п  к.п Rш sin  i  к.п Rш cos  k ; (9.106) к.п  OK    Rш cos  0 Rш sin    VK  V  к.п Rш sin   i   zк.п  к.п Rш cos   k . Теперь рассмотрим точку K как точку, принадлежащую малой шестерне, тогда имеем:   V  V    CK ; C я  K  i j k   я  я rш sin  i  я rш cos  k ; я  CK   rш cos  0 rш sin    VK  V  l sin   я rш sin   i   zк.п  l cos   я rш cos   k . 86 (9.107) Так как точка K – это точка касания зубьев двух шестерен тяговой передачи, то она имеет общий вектор скорости. Исходя из этого запишем: V  к.п Rш sin   i   zк.п  к.п Rш cos  k  V  l sin   ш rш sin   i   zк.п  l cos  я rш cos  k (9.108) V  к.п Rш sin   V  l sin   я rш sin  ;   zк.п  к.п Rш cos   zк.п  l cos  я rш cos  , (9.109) к.п Rш sin   l sin   я rш sin  ;  к.п Rш cos  l cos  я rш cos . (9.110) или отсюда получим: Если в уравнениях системы (9.110) провести сокращение на sin и cos соответственно, то в итоге будем иметь одно алгебраическое уравнение для определения угловой скорости вращения якоря ТЭДа: к.п Rш  l  я rш (9.111) к.п Rш  l  я rш , (9.112) 1  Rшк.п  l . rш (9.113) или тогда следует, что я  Вводя коэффициент передачи тягового привода (в руководствах по эксплуатации локомотивов его обратную величину называют передаточным соотношением), определяемый как iпр = rш/Rш, можно формулу (9.113) записать в виде: я  i 1 2V  пр  . Dk iпр iпр 87 (9.114) Несложно показать, как можно учесть проскальзывание колесной пары по рельсам. Для этого достаточно принять угловую скорость вращения колесной 2V (1   ) пары в виде к.п  . Для определения угловой скорости вращения якоря Dk ТЭДа получим: я  2V (1   ) iпр  1  . Таким образом, мы установили очевидDk iпр ный факт, что проскальзывание колесной пары по рельсам влияет на угловую скорость якоря ТЭДа. Однако величина  для нормальных условий работы подвижного состава, когда отсутствует боксование колесной пары, не превышает 3 – 5 %. По этой причине при выводе я мы пренебрегли относительным проскальзыванием  колесной пары по рельсам. С учетом соотношений (9.89), (9.90) и (9.91) для определения кинетической энергии экипажа получим окончательное выражение в виде: (iпр  1)2  2 1 1 2 2 T  (mк.п  mдв  mп ) zк.п   J дв  mдвl  J я   2 2  iпр2  mдвlzк.п  mп zк.п  J я 2V iпр  1 . Dk iпр iпр (9.115) В формуле (9.115) поставлен знак приближенного равенства потому, что мы пренебрегли слагаемым 0,5 mп(dη/dt)2, которое, естественно, не будет входить в дифференциальные уравнения, ибо η не является обобщенной координатой. Однако нужно обратить внимание на последнее слагаемое в выражении (9.115). Если отказаться от допущения, что скорость движения экипажа постоянна, то в дифференциальное уравнение галопирования ТЭДа добавится еще одно слагаемое, связанное с продольным ускорением локомотива. Заметим, что во всех известных авторам работах этот момент отсутствует. Таким образом, расчетная схема, представляющая колесно-моторный блок с опорно-осевым подвешиванием ТЭДа, обладает двумя полными степенями свободы и половиной степени свободы (так как не учитывается масса точки соединения вспомогательной пружины и гидравлического гасителя колебаний), которым соответствуют следующие обобщенные координаты: zк.п – подпрыгивание колесной пары;  – галопирование ТЭДа,  – деформация гасителя. Вычислим потенциальную энергию системы: 88 П 1 1 1 1 жб  б2  ж 2  жтр  2тр  жп  п2 , 2 2 2 2 (9.116) здесь ∆б = zк.п – прогиб пружины буксового подвешивания; ∆ =  – zк.п – прогиб вспомогательной пружины, защищающей гаситель; ∆тр = zк.п – (l+d)  – прогиб пружины траверсы ТЭДа; ∆п = zп = zк.п – η – прогиб железнодорожного пути. Тогда после подстановки прогибов в выражение (9.116) и несложных преобразований с учетом того факта, что потенциальная энергия вычисляется с точностью до некоторой постоянной величины, получим окончательную формулу для определения потенциальной энергии системы: 1 1 1 2 П  ж 2   жб  ж  жтр  жп  zк.п  жтр (l  d )2  2  2 2 2  ж zк.п  жтр (l  d ) zк.п  жп zк.п . (9.117) Нетрудно найти и функцию рассеивания энергии колебаний системы: Ф 1 1 1 2 2 β тр  zк.п  (l  d )   βб 2  βп  zк.п    2 2 2 (9.118) или Ф 1 1 1 2 2 β тр  βп  zк.п  βб 2  β тр  l  d   2  β тр  l  d  zк.п  βп zк.п.  2 2 2 (9.119) Взяв требуемые частные и прямые производные от кинетической, потенциальной энергии и диссипативной функции, составим дифференциальное уравнение для расчета вспомогательной обобщенной координаты:  T T d  T   0;  0;      0;     dt       ж  жzк.п ;        β б ; β б +ж  жzк.п  0.     (9.120) Получим дифференциальное уравнение для подпрыгивания колесной пары: 89 T  T  z   mк.п  mдв  mп  zк.п  mдвlдв  mп ; z  0; к.п  к.п  d  T       mк.п  mдв  mп  zк.п  mдвlдв  mп ;  dt  zк.п      ж  ж  ж  ж z  ж  ж (l  d )  ж  ; тр п  к.п тр п  zк.п  б     β  β z  β l  d   β  ;  тр п  к.п тр   п  z  к.п m к.п (9.121)  mдв  mп  zк.п  mдвl   β тр  βп  zк.п  β тр  l  d    жб  ж  жтр  жп  zк.п  (9.122)  ж  жтр  l  d   mп  β п  жп . Найдем дифференциальное уравнение галопирования ТЭДа, взяв для этого соответствующие частные и прямые производные от кинетической и потенциальной энергии и диссипативной функции системы, и далее воспользуемся упомянутым выше алгоритмом Лагранжа второго рода: 2    i  1 i  1 T    T пр 2     mдвlzк.п  J я 2V пр   J дв  mдвl  J я ;  0; 2    iпр Dk iпр iпр      2    i  1    d  T   пр (9.123) 2    mдвlzк.п ;  J  m l  J   дв дв я  2 iпр   dt          ж  l  d 2   ж  l  d  z ;   β  l  d 2   β  l  d  z ; тр тр к.п тр тр к.п      J пр  mдвlzк.п  β тр  l  d    β тр  l  d  zк.п  2  жтр  l  d    жтр  l  d  zк.п  0, 2 (9.124) где J пр  J дв  mдвl 2  J я  iпр  1 iпр  – приведенный момент инерции тягового 2 привода. Итак, в окончательном виде система дифференциальных уравнений получается объединением выражений (9.120), (9.122) и (9.124) и имеет вид: 90 β б  ж  жzк.п  0;  mпр zк.п  mдвl   β тр  β п  zк.п  β тр  l  d       жб  ж  жтр  жп  zк.п  ж    жтр (l  d )  mп  β п  жп ;  2 J   m lz  β l  d   β тр  l  d  zк.п    пр дв к.п тр   2  ж l  d   жтр  l  d  zк.п  0,    тр  (9.125) здесь mпр = mк.п + mдв + mп – «приведенная» масса колесной пары. Для дальнейшего исследования важнейшей характеристикой динамической системы является давление колесной пары на рельсы. Запишем выражение для определения указанной переменной. Для этого достаточно во втором уравнении системы (9.125) заменить mпd2/dt2+пd/dt+жп на –Pp и положить mп = п = жп = 0, тогда имеем: Pp  [ mк.п  mдв  zк.п  mдвl  β тр zк.п  β тр  l  d    жб  ж  жтр  zк.п  (9.126)  ж  жтр  l  d  ]. 9.5.2. Нахождение передаточных функций системы Чтобы иметь возможность пользоваться известными соотношениями Винера – Хинчина [4, 8, 9 – 11], выражающими связь между спектральными плотностями на выходе и входе динамической системы, определим соответствующие передаточные функции, предварительно положив «приведенную» массу пути равной нулю, что соответствует результатам, полученным профессором В. Ф. Ушкаловым [12]. Итак, преобразуем систему (9.125) по Лапласу: 91  β б p  ж   ( p )  жzк.п ( p )  0;    mпр p 2   β тр  β п  p  жб  ж  жтр  жп  zк.п ( p )     mдвlp 2  β тр  l  d  p  жтр (l  d )   ( p)    2  ж ( p )   mп p  β п p  жп  ( p );  2 2 2   J пр p  β тр  l  d  p  жтр  l  d    ( p )   2      mдвlp  β тр  l  d  p  жтр  l  d   zк.п ( p )  0, (9.127) здесь p = d/dt – оператор дифференцирования; zк.п(p) – изображение подпрыгивания колесной пары; (p) – изображение галопирования ТЭДа; (p) – изображение деформации гасителя вязкого трения. В данном случае входным возмущением является волнообразная геометрическая неровность на рельсах, носящая случайный характер, а выходными координатами будут следующие: zк.п(p), z ( p) (p) и (p). Необходимо найти три передаточные функции: Wz ( p)  к.п –  ( p) для подпрыгивания колесной пары; W ( p)  W ( p)   ( p) – для галопирования ТЭДа;  ( p)  ( p) – для деформации гасителя колебаний.  ( p) Несмотря на то, что система (9.127) линейная и допускает аналитическое решения, которое получается, например, по формулам Крамера, громоздкость коэффициентов, стоящих при «обобщенных» координатах, не позволяет это выполнить. Поэтому воспользуемся возможностью перехода к векторно-матричному исчислению (см. подразд. 5.3 части 1 настоящего учебного пособия). Итак, перепишем систему уравнений (9.127) в виде системы алгебраических уравнений относительно изображений zк.п(p), (p) и (p): a1,1 ( p)  a1,2 zк.п ( p )  0;  a2,1 ( p)  a2,2 zк.п ( p)  a2,3 ( p )  b ( p ); a z ( p )  a  ( p )  0, 3,3  3,2 к.п где введены следующие обозначения: 92 (9.128) a1,1  β б p  ж; a1,2  ж; a1,3  0;  a2,1  ж; a  mp 2  β  β p  ж  ж ;  тр п  тр п  2,2 a  m lp 2  β  l  d  p  ж  l  d  ; дв тр тр  2,3  a3,1  0; a  m lp 2  β  l  d  p  ж  l  d  ; дв тр тр  3,2 2 a  Jp 2  β  l  d  p  ж  l  d 2 ; тр тр  3,3 b  β п p  жп ; m  mкп  mдв ; J  J дв  mдвl 2 .  (9.129) Или перепишем систему (9.128) так: AX  B, (9.130) здесь матрица и векторы соответственно таковы:  a1,1  A   a2,1  0  a1,2 a2,2 a3,2 0   a2,3  ; a3,3  (9.131)   ( p)  X   zкп ( p )  ;   ( p)    (9.132)  0   0 B   b ( p)    b  ( p).  0   0     (9.133) Введя понятие вектора передаточных функций  W ( p)    W    Wz ( p )  ,     W ( p )  X 93 (9.134) из решения системы в изображениях (9.130) мы имели бы указанные в выражении (9.134) передаточные функции, однако нам нужно от изображений вернуться к оригиналам, что легко сделать, если положить оператор дифференцирования равным чисто комплексному числу. Однако тогда каждая передаточная функция «обобщенной» координаты будет также комплексным числом. Итак, пусть p = j, следовательно, коэффициенты выражения (9.129) превратятся в комплексные числа: a1,1 ( j )  ж  jβ б ; a1,2 ( j )  ж; a1,3 ( j )  0;  2 a2,1 ( j )  ж; a2,2 ( j )  ж  m  j  β тр  β п  ;  2 a2,3 ( j )  жтр  l  d   mдвl  jβ тр  l  d   ;  2 a3,1 ( j )  0; a3,2 ( j )  жтр  l  d   mдвl  jβ тр  l  d   ;  2 2 2 a ( j  )  ж l  d  J   j β l  d ;     3,3 тр тр  b( j )  ж  m  2  jβ  ; ж  ж  ж  ж  ж . п п п б тр п  (9.135) Тогда матрица разделится на две части – действительную и мнимую:  ж  ж   2 2   A  ж жтр  жп  m   жтр  l  d   mдвl     2 2  0   ж  l  d   m l 2   жтр  l  d   J  дв  тр    β   б  j 0   0  β тр  βп   β тр  l  d     β тр  l  d     2 β тр  l  d    (9.136) Вектор передаточных функций будет состоять из действительной и мнимой частей: W  U  jV . Вектор правых частей выражения (9.133) представится аналогично: 94 (9.137)     B   жп  mп 2  jβп    жп  mп 2            0  j  βп  .  0    (9.138) Подстановка выражений (9.136), (9.137) и (9.138) в (9.130) приводит к следующей системе алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами:  AR  jAI  U  jV   FR  jFI , (9.139) которую нетрудно свести к алгебраическим уравнениям с действительными коэффициентами, только ее порядок возрастет в два раза: ARU  jAIU  jARV  AIV  FR  jFI ; (9.140)  ARU  AIV  FR ;   AIU  ARV  FI . (9.141) DZ  L, (9.142) или: A где D   R  AI  AI  – матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных; AR  U  Z    – вектор неизвестных действительных и мнимых частей передаV  точных функций системы; F  L   R  – правая часть системы (9.142), состоящая из возмущающих ко FI  эффициентов. Решение системы (9.142) легко выполняется на компьютере, например, с помощью математического пакета MathCad или MatLab, получив корни уравнения (9.142), можно определить передаточные функции системы, точнее, их модули: 95  W ( j )  U 2  V 2  Z 2  Z 2 ; 1 1 1 4    2 2 2 2  Wz ( j )  U 2  V2  Z 2  Z 5 ;  2 2 2 2  W ( j )  U 3  V3  Z 3  Z 6 .  (9.143) Зная передаточные функции, можно достаточно просто оценить и спектральные плотности, и среднеквадратические отклонения «обобщенных» координат заданной механической системы «экипаж – железнодорожный путь», если известна спектральная плотность входного возмущения (в нашем случае это волнообразный износ рельсов):  S ( )  W ( j ) 2 S ( );     2   S z ( )  Wz ( j ) S ( );  2  S ( )  W ( j ) S ( );  (9.144)      2  S ( ) d ;     (9.145)  z  2  S z ( ) d ;      2 S ( ) d . 0     Кроме указанных выше характеристик нас будут интересовать ускорение подпрыгивания колесной пары и ускорение галопирования ТЭДа, которые определяются так:    z  2   4 S z ( )d ;     4    2   S ( )d .  96 (9.146) Одной из важнейших величин в динамике подвижного состава является давление на путь, ибо оно определяет напряжения в рельсах, шпалах, балласте и земляном полотне, а нормируются они ГОСТом. Поэтому нужно найти передаточную функцию для этой характеристики. Давление на путь вычисляется с помощью второго дифференциального уравнения системы (9.127), в котором нужно правую часть заменить на –PP, а в левой части принять все характеристики равными нулю, тогда имеем: PP ( p)    mк.п  mдв  p 2  β тр p  жб  ж  жтр  zк.п ( p)    mдвlp  β тр  l  d  p  жтр  l  d    ( p)  ж ( p), 2 (9.147) но известно, что  zкп ( p)  Wz ( p) ( p);   ( p)  W ( p) ( p);   ( p)  W ( p) ( p), (9.148) следовательно, после необходимых преобразований получим передаточную функцию для расчета давления колесной пары на путь: PP ( p)  WP ( p)    mк.п  mдв  p 2  β тр p  жб  ж  жтр  Wz ( p)   ( p) (9.149) 2   mдвlp  β тр  l  d  p  жтр  l  d   W ( p)  жW ( p). Таким образом, спектральную плотность давления колесной пары на путь и его среднеквадратическое отклонение можно определить по уравнениям:  S ( )  W ( j ) 2 S ( ); p   p    p  2 Sp ( )d .  97 (9.150) 9.5.3. Моделирование процесса взаимодействия экипажа современной конструкции и железнодорожного пути со случайным волнообразным износом Выражения (9.142) – (9.146) и (9.150) позволяют провести соответствующие расчеты, представленные на рис. 9.40 – 9.48. В качестве возмущающего фактора был принят волнообразный износ рельсов, спектральная плотность которого показана на рис. 9.30. Причем вычисления выполнялись для летнего периода года и параметров современного грузового электровоза 2ЭС4К. Модули передаточных функций для пружины, защищающей гидравлический демпфер, подпрыгивания колесной пары, галопирования ТЭДа и динамической добавки давления на путь представлены на рис. 9.40 – 9.43. Рис. 9.40. Модуль передаточной функции защитной пружины Рис. 9.41. Модуль передаточной функции подпрыгивания колесной пары электровоза 2ЭС4К 98 Рис. 9.42. Модуль передаточной функции галопирования ТЭДа электровоза 2ЭС4К Рис. 9.43. Модуль передаточной функции динамической добавки давления на железнодорожный путь Имея указанные выше модули передаточных функций, можно найти спектральные плотности ускорений подпрыгивания колесной пары и ТЭДа локомотива (см. рис. 9.44, 9.45). 99 Рис. 9.44. Спектральная плотность ускорения подпрыгивания колесной пары локомотива Рис. 9.45. Спектральная плотность ускорения галопирования ТЭДа локомотива Далее были вычислены среднеквадратические отклонения для ускорения колесной пары, галопирования ТЭДа и динамической добавки давления локомотива на путь (см. рис. 9.46 – 9.48). 100 Рис. 9.46. Стандарт ускорения колесной пары локомотива, в долях g Рис. 9.47. Стандарт ускорения галопирования ТЭДа, рад/с2 Рис. 9.48. Стандарт динамической добавки давления на путь, тс 101 Как видно из рис. 9.46 и 9.48, показатели динамических качеств даже современных локомотивов не в полной мере соответствуют современным требованиям, ибо ускорение колесной пары достигает 32,5g при скорости движения экипажа 120 км/ч и динамическая добавка давления на путь, вероятно, может иметь достаточно большое значение, равное порядка 120 тс, что недопустимо. Следовательно, нужно проводить комплекс мероприятий по устранению неровностей рельсового пути (в данном случае – шлифовать рельсы), а также по совершенствованию конструкции механической части локомотива. Следует отметить также, что динамическая добавка давления колесной пары тепловоза 2ТЭ10Л была значительно меньше и не превышала 15 тс (см. рис. 9.34) в зимних условиях. 10. ВЕРТИКАЛЬНАЯ ДИНАМИКА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ЭКИПАЖА 10.1. Использование свойства симметрии современного подвижного состава для разделения уравнений движения «обобщенного» экипажа на отдельные подсистемы Сделаем несколько замечаний, касающихся составления расчетных схем подвижного состава и их математических моделей. Первое замечание относится к расчетной схеме в продольной вертикальной плоскости симметрии, которая изображена на рис. 10.1. На рис. 10.1 показан достаточно сильно схематизированный симметричный тележечный экипаж (например, центральную ступень рессорного подвешивания электровоза 2ЭС4К, приходящуюся на одну тележку, составляют четыре винтовые цилиндрические пружины с гасителями колебаний). Механическую часть современных локомотивов (например, электровоза ЭП2К и тепловоза 2ТЭ125) могут составлять и трехосные тележки, схема такой тележки представлена на рис. 10.2. 102 Рис. 10.1. Стандартная расчетная схема рельсового экипажа Рис. 10.2. Расчетная схема симметричной трехосной тележки Обоснуем эквивалентность представления рессорного подвешивания кузова, показанного на рис. 10.1, а также парциальной расчетной схемы кузова, которая приведена рис. 10.3. Составим соответствующие системы дифференциальных уравнений, пользуясь алгоритмом Лагранжа второго рода. Тогда коэффициенты демпфирования собственных колебаний и собственные частоты соответствующих дифференциальных уравнений должны быть, видимо, равными. Собственно из этого соображения мы и будем исходить. 103 Рис. 10.3. Парциальная расчетная схема кузова рельсового подвижного состава Кинетическая, потенциальная энергия и диссипативные функции для первой (см. рис. 10.1, если тележки неподвижны) и второй (см. рис. 10.3) расчетных схем вычисляются так: 1 1 2  2 T  2 Mz  2 J  ;  2 2 2   c  z  L   ;  2 2 2     z  L    (10.1) 1 1 2  2 T  Mz  J ;  2 2  2 2  2 2    c1  c2  z  c1  L  a   c2  L  b    ;      z 2  L2 2  .   (10.2) Используя далее алгоритм Лагранжа второго рода, найдем следующие дифференциальные уравнения свободных колебаний для первой и второй парциальных расчетных схем:  z  2nz z  k02z z  0;  2   2n  k0  0; (10.3)  z  2nz z  k02z z  0;  2   2n  k0  0. (10.4) 104 Эквивалентность данных расчетных схем возможна только при выполнении следующих условий: 2 2   2 nz  2 nz ; k 0 z  k 0 z ;  2 2  2n  2n ; k0  k0 . (10.5) Из выражений (10.5) нетрудно установить, что при креплении гидравлических демпферов для первой и для второй расчетных схем в точках, где проходят размерные линии равных баз кузовов, имеющих одинаковые массу и геометрические размеры, коэффициенты демпфирования для первой и второй парциальных систем выполняются автоматически, т. е. тождественно. Из равенства парциальных частот подсистем следует, что  c  c1  c2 ;  2 2 2  cL  c1  L  a   c2  L  b  . (10.6) Раскрывая во втором уравнении системы (10.6) квадраты круглых скобок и учитывая при этом первое соотношение, получаем такое алгебраическое уравнение, связывающее между собой величины a и b при условии, что база L нам уже задана: 2L  a  b   a 2  b2  0. (10.7) Уравнение (10.7) выведено при условии, что с1 = с2. Разрешим (10.7) относительно переменной b и получим:     b  L 1  1  2    2 ; 1  b2  L 1  1  2    2 ,  (10.8) здесь µ = a/L. Эта переменная является малой величиной по сравнению с L, следовательно, нас будут удовлетворять оба корня системы (10.8). Таким образом, жесткости должны быть одинаковыми: c1 = c2 = c/2, а соотношения размеров а и b могут быть любыми. Вернемся к расчетной схеме (см. рис. 10.1). Исследование динамики рельсовых железнодорожных экипажей обычно приводит к системам дифференци105 альных уравнений высокого порядка и если механическая система линейная или каким-либо способом линеаризована, то следует применить матричный аппарат (его изложение дано в подразд. 5.3 части 1 настоящего учебного пособия, пример применения – в подразд. 9.5), который позволяет свести задачу изучения динамических качеств подвижного состава к одному дифференциальному уравнению вида: Aq  Bq  Cq  D  E  F , (10.9) где A, B, C – матрицы инерционных, диссипативных и жесткостных коэффициентов соответственно; D, E, F – вспомогательные матрицы, характеризующие инерционные, диссипативные и жесткостные параметры железнодорожного пути (обычно они являются диагональными, но отличны от нуля только элементы в конце, и их число равно числу колесных пар в экипаже); q – вектор обобщенных координат, выбранных исследователем для описания динамического поведения экипажа;  – вектор возмущения (обычно отличны от нуля только элементы для колесных пар, ибо на них оказывают воздействия геометрические неровности железнодорожного пути). Отметим, что в буксовом рессорном подвешивании электровозов ВЛ10 и ВЛ80, а также в центральной ступени рефрижераторных вагонов применяются листовые рессоры. Элементы с сухим трением применяются также в тележках грузовых вагонов, но так как они обладают нелинейной силовой характеристикой, то может показаться, что данный аппарат неприменим. Однако сделаем замечание о том, что существует два способа линеаризации нелинейных характеристик. Первый способ заключается во введении эквивалентного коэффициента вязкого трения, который определяется через работу, совершаемую элементом трения на периоде колебания. Эта работа приравнивается к работе, совершаемой вязким трением на том же периоде. Однако если внешнее воздействие является случайным, то эквивалентный коэффициент вязкого трения оказывается зависящим от среднеквадратического отклонения скорости деформации листовой рессоры, а передаточные функции будут разрешены неявно. Второй способ был предложен профессором Батем М. И. [45]. Он рассмотрел динамическое поведение системы, в которой сопротивление гасителей пропорционально их перемещению (это действительно больше подходит для листовой рессоры, так как обычно осуществляемая исследователями замена ее 106 реальной силовой характеристики сухим трением – это тоже идеализация, но и характеристика сухого трения представляет собой идеализацию!) и получил эквивалентный коэффициент демпфирования колебания в виде: 1  c 1  m , n 1   2  ln 2 1  4ln (10.10) здесь  = 0,04 – 0,08 – коэффициент относительного трения (цифры указаны для подвижного состава); c m – собственная частота системы (в наших иссле- дованиях под ней будем понимать «парциальную» частоту). Этот подход широко использовался профессором Коганом А. Я. [21] при исследовании воздействия подвижного состава на железнодорожный путь. Поэтому данный способ линеаризации характеристики сухого трения в листовой рессоре будем считать основным и будем применять его в своих исследованиях динамических качеств подвижного состава. Далее покажем, как введением симметричных и антисимметричных координат разбить общую систему дифференциальных уравнений на отдельные подсистемы, имеющие, разумеется, разный порядок матриц, хотя их сумма будет по-прежнему равна исходному порядку, т. е. 10. Итак, для обобщенной системы «экипаж – путь», показанной на рис. 10.1, в первую очередь нужно установить число степеней свободы. Кузов и тележка, как плоские тела, обладают двумя степенями свободы, т. е. могут подпрыгивать и галопировать, тогда имеем 2 + 22 = 6, а колесная пара может только подпрыгивать, следовательно, все вместе дадут четыре степени свободы. В результате плоская расчетная схема «обобщенного» экипажа будет иметь 10 степеней свободы. В соответствии с заданным числом степеней свободы нужно назначить 10 обобщенных координат, которые приведены на рис. 10.1. Они определяют положение локомотива на плоскости. Теперь перейдем к вычислению энергетической характеристики «обобщенного» экипажа, кинетической энергии, которая складывается из кинетических энергий подпрыгивания и галопирования кузова и тележек, кинетических энергий подпрыгивания колесных пар и «приведенных» масс пути, в результате имеем: 107 1 1 1 2 1 4 1 4 2 T  M к zk2  J кk2    M т zт2  J тт2    mк.п zк.п  mп zп2j  j 2 2 2 j 1 2 j 1 2 j 1 (10.11) или с учетом гипотезы о безотрывном движении колесных пар по рельсам, что уже нами выполнялось в подразд. 9.5 (см. формулы (9.96) – (9.99)), после несложных преобразований получим: 2T  M z  J к    M z  J т 2 2 к к 2 к 2 т тj j 1 2 тj   m к.п 4 2  mп   zк.п j  4 4 1 2mп  zк.пj j  mп  2j . 2 j 1 j 1 j 1 (10.12) В формуле (10.12) последнее слагаемое можно было опустить, ибо оно не определяется обобщенными координатами, по которым мы затем будем брать частные производные. Потенциальная энергия «обобщенного» экипажа при условии, что его обобщенные координаты отсчитываются от положения статического равновесия (собственно поэтому на рис. 10.1 и не представлены силы тяжести кузова, тележек и колесных пар экипажа), вычисляется как сумма потенциальных энергий, запасенных в упругих элементах подвешивания «обобщенного» экипажа, т. е. в центральном и буксовом подвешивании и железнодорожном пути, по формуле: 2 4 4 2  cц    cб    cп   п2 j , j 1 2 цj j 1 2 бj (10.13) j 1 здесь ц j, б j, п j – деформация упругих элементов соответственно центрального, буксового подвешивания и железнодорожного пути при безотрывном движении по нему колесной пары,  ц1  zк  zт1  Lк ;   ц2  zк  zт2  Lк . (10.14)  б1  zт1  zк.п1  l т1;   z  z  l ;  б2 т1 к.п2 т1   б3  zт 2  zк.п3  l т 2 ;  б4  zт 2  zк.п4  l т 2 . (10.15) 108  п1  zк.п1  1;   z   ;  п2 к.п2 2   п3  zк.п3  3 ;  п4  zк.п4  4 . (10.16) Пожалуй, следует сделать одно замечание к выражению (10.13). Так, при вычислении прогибов пружин центрального подвешивания локомотива мы не приняли во внимание высоту центра масс кузова, которая по сравнению с его базой является малой величиной и поэтому была отброшена, значит, полученное выражение (10.13) является приближенным. Подстановка найденных выше деформаций упругих элементов локомотива в потенциальную энергию приводит ее к виду: 2 2 2   j 1 2  cц  2 zк2  2 L2к2   zт2j  2 zк  zтj  2 Lк   1 zтj   j 1 j 1 j 1   4 2 4 2  2 2 j 1 2 cб  2 zтj   zк.пj  2 zт1  zк.пj  2 zт 2  zк.пj  l т1   1 zк.пj  (10.17) j 1 j 1 j 3 j 1  j 1 4 4  2 j 1  l т 2   1 zк.пj   cп   zк.пj   j  . j 3 j 1  Диссипативная функция, или функция рассеяния, вычисляется по выражению: 2 4 4 2  βц    βб    βп   п2j , j 1 2 цj j 1 2 бj j 1 где скорости деформации диссипативных элементов таковы:  ц1  zк  zт1  Lк ; – для центрального подвешивания локомотива;    z  z  L  ;  ц2 к т2 к  б1  zт1  zк.п1  l т1;   б 2  zт1  zк.п2  l т1; – для буксового подвешивания локомотива;    z  z  l  ;  б3 т2 к.п3 т2   z  z  l ; т2 к.п4 т2  б4 109 (10.18)  п1  zк.п1  1;   п2  zк.п2  2 ;   п3  zк.п3  3 ;  п4  zк.п4  4 ; – для железнодорожного пути при безотрывном движении по нему колесной пары. Внесение скоростей деформирования диссипативных элементов в функцию рассеяния приводит выражение (10.18) к окончательному виду: 2 2 2   j 1 2  β ц  2 zк2  2 L2к2   zт2 j  2 zк  zт j  2 Lк   1 zт j   j 1 j 1 j 1   2 4 2 4 2  j 1 2 β б  2 zт2 j   zк.п zк.п j  j  2 z т1  zк.п j  2 z т 2  zк.п j  l т1   1 j  1 j  1 j  1 j  3 j  1  4 4 2  j 1  l т 2   1 zк.п j   β п   zк.п j   j  . j 3 j 1  (10.19) Применяя уравнения Лагранжа второго рода к выражениям (10.12), (10.17) и (10.19), получим систему из 10 дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, описывающую соответствующие колебания кузова, тележек и колесных пар локомотива:  M к zк  2β ц zк  β ц zт1  β ц zт 2  2cц zк  cц zт1  cц zт 2  0;  J   2β L2  β Lz  β Lz  2c L2  c Lz  c Lz  0; ц к ц т1 ц т2 ц k ц т1 ц т2  к к  M т zт1  β ц zк  β ц Lк   β ц  2β б  zт1  β б zк.п1  β б zк.п2   cц zк  cц Lк   cц  2cб  zт1  cб zк.п1  cб zк.п2  0;  J   2β l 2  β lz  β lz  2c l 2  c lz  c lz  0; б т1 б к.п1 б к.п2 б т1 б к.п1 б к.п2  т т1  M т zт 2  β ц zк  β ц Lк   β ц  2β б  zт 2  β б zк.п3  β б zк.п4   cц zк  cц Lк   cц  2cб  zт 2  cб zк.п3  cб zк.п4  0;  J   2β l 2  β lz  β lz  2c l 2  c lz  c lz  0; б T2 б к.п3 б к.п4 б т2 б к.п3 б к.п4 (10.20)  т т2 m  m z  β z  β l   β  β z  c z  c l        к.п п к.п1 б т1 б т1 б п к.п1 б т1 б т1   c  c  z  m      c  ; п 1 п 1 п 1  б п к.п1  mк.п  mп  zк.п2  β б zт1  β бl т1   β б  β п  zк.п2  cб zт1  cбl т1    c  c  z  m   β   c  ; п 2 п 2 п 2  б п к.п2  mк.п  mп  zк.п3  β б zт 2  β бl т 2   β б  β п  zк.п3  cб zт 2  cбlт 2     cб  cп  zк.п3  mп3  β п3  cп3 ;  mк.п  mп  zк.п4  β б zт 2  β бl т 2   β б  β п  zк.п4  cб zт 2  cбl т 2     cб  cп  zк.п4  mп4  β п4  cп4 . 110 Анализ системы дифференциальных уравнений (10.20) для плоского «обобщенного» экипажа указывает на то, что возмущающим воздействием являются геометрические неровности на поверхности катания рельсов, которые обычно принимаются равными для левого и правого рельсов железнодорожного пути. Уравнения (10.20) по своей структуре линейные, и поэтому можно легко составить их характеристическое уравнение, имеющее кратные корни для тележек второй, а для колесных пар – четвертой степени кратности. Такое положение дел – следствие применения численных методов для исследования корней уравнения десятой степени. Это обстоятельство нужно иметь в виду при решении задачи на ПЭВМ с помощью любого пакета математических программ (например, MathCad или MatLab). Чтобы упростить систему уравнений (10.20), введем симметричные координаты  zт  zт1  zт 2 ; zт  zт1  zт 2 ;  4 4  z  z ; z   к.п  к.пj к.п  zк.пj , j 1 j 1  (10.21) и после необходимых преобразований получим такую систему дифференциальных уравнений:  M к zк  2β ц zк  β ц zт  2cц zк  cц zт  0;   M т zт  2β ц zк   β ц  2β б  zт  β б zк.п  2cц zк   cц  2cб  zт  cб zк.п  0;   mк.п  mп  zк.п  2β б zт   β б  β п  zк.п  2cб zт   cб  cп  zк.п   4 4 4  m   β   c  . j п j п j  п j 1 j 1 j 1  (10.22) Система дифференциальных уравнений (10.22) значительно проще исходной системы (10.20), кроме того, в ней есть характеристическое уравнение с простыми корнями, следовательно, собственные частоты колебаний подпрыгивания кузова, тележки и колесной пары будут точными. Еще одно замечание касается сходства, если не заострять внимания на обозначениях дифференциальных уравнений условного одноосного «обобщенного» экипажа с двумя сту- 111 пенями подвешивания и выделенной подсистемы. Следовательно, можно считать такую расчетную схему обоснованной. Передаточная функция подпрыгивания кузова, его спектральная плотность и стандарт приведены на рис. 10.4 – 10.6. Рис. 10.4. Передаточная функция для кузова электровоза 2ЭС4К «Ермак» Рис. 10.5. Спектральныя плотность подпрыгивания кузова 112 Рис. 10.6. Среднеквадратическое отклонение подпрыгивания кузова электровоза Теперь введем антисимметричные координаты:  zт  zт1  zт2 ; zт  zт1  zт2 ;   zк.п  zк.п1  zк.п2  zк.п3  zк.п4 ; zк.п  zк.п1  zк.п2  zк.п3  zк.п4 . (10.23) В результате после преобразований системы (10.20) найдем:  J кк  2β ц L2к  β бlzт  2cц L2к  cц Lzт  0;   M т zт  2β ц Lк   β ц  2β б  zт  β б zк.п  2cц Lк     cц  2cб  zт  cб zк.п  0;   mкп  mп  zк.п  2β б zт   β б  β п  zк.п  2cб zт   cб  cп  zк.п   m          β          c         . 3 4 п 1 2 3 4 п 1 2 3 4  п 1 2 (10.24) Система дифференциальных уравнений (10.24) также проще исходной системы (10.20) и имеет характеристический полином с простыми корнями. Вновь введем симметричные координаты согласно уравнениям системы (10.24):  т   т1   т 2 ;  т   т1   т 2 ;   zк.п  zк.п1  zк.п2  zк.п3  zк.п4 ; z  z  z  z  z ; к.п1 к.п2 к.п3 к.п4  к.п 113 (10.25) Следовательно, выполнив необходимые преобразования, найдем:  J т т  2β бl 2  β бlzкп  2cбl 2 т  cбlzк.п  0;   mк.п  mп  zк.п   β б  β п  zк.п   cб  cп  zк.п    mп 1  2  3  4   β п 1   2  3   4   c        . 2 3 4  п 1 (10.26) Система дифференциальных уравнений (10.26) имеет второй порядок и имеет характеристический полином с простыми корнями, поэтому собственная частота галопирования тележки будет вычислена точно. Введем следующие антисимметричные координаты по формулам:  т   т1   т2 ;  т   т1   т2 ;   z*к.п  zк.п1  zк.п2  zк.п3  zк.п4 ; z  z  z  z  z . к.п1 к.п2 к.п3 к.п4  *к.п (10.27) Тогда последняя парциальная подсистема имеет вид:  J т т  2β бl 2 т  β бlz*к.п  2cбl 2 т  cбlz*к.п  0;   mк.п  mп  z*к.п  2β бl т   β б  β п  z*к.п  2cбlт     cб  cп  z*к.п  mп 1  2  3  4   β т 1  2  3  4   c        . 2 3 4  т 1 (10.28) О системе уравнений (10.28) можно сказать то же, что уже говорилось выше о других парциальных подсистемах. Итак, в итоге получены две подсистемы третьего порядка и две подсистемы второго порядка, их интегрирование, разумеется, выполнить проще, чем решать исходную систему (10.20). 10.2. Уравнения колебания условного одноосного экипажа с двумя ступенями подвешивания В качестве примера рассмотрим условный одноосный экипаж с двухступенчатым подвешиванием (см. рис. 1.10). Его дифференциальные уравнения имеют следующий вид: 114  M к zк  βц zк  βц zт  cц zк  cц zт  0;   M т zт  βц zк   βц  βб  zт  βб zк.п  cц zк   cц  cб  zт  cб zк.п  0;   mк.п  mп  zк.п  βб zт  βб  βп  zк.п  cб zТ   cб  cп  zк.п  mп  βп  cп , (10.29) здесь Mк, Mт, mк.п, mп – массы кузова, тележки, колесной пары и «приведенная» масса железнодорожного пути; ц, б, п – коэффициенты вязкого трения в центральном, буксовом подвешиваниях и железнодорожном пути;cц, cб, cп – жесткость центрального, буксового подвешиваний и железнодорожного пути; zк, zт, zк.п – подпрыгивание кузова, тележки и колесной пары;  – геометрическая неровность на поверхности катания рельсов. Представим систему дифференциальных уравнений в векторной форме, тогда имеем: Mк A 0 Mт βц β ц ; B  βц βц  βц β ц ; mк.п  mп β ц βб  βп cц C  cц cц cц  cб cб cб ; cб  cп 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D  0 0 0 ; E  0 0 0 ; F  0 0 0 ; l=0. 0 0 mп 0 0 βп 0 0 cп (10.30) (10.31) (10.32) Теперь определим динамическую добавку давления колесной пары на путь. Для этого достаточно в левой части третьего уравнения системы (10.29) отбросить все параметры, относящиеся к пути, а правую часть заменить на –Pp, тогда можно найти комплексную передаточную функцию динамической добавки давления колесной пары на путь: Wp ( j )  U p ( )  jVp ( ). После необходимых преобразований получим: 115 (10.33) U p ( )  cбU т ( )  βбVт ( )   cб  mк.п 2 U к.п ( )  βбVк.п ( );   2  Vp ( )  βбU т ( )  cбVт ( )  β бU к.п ( )   cб  mк.п Vк.п ( ). (10.34) Тогда модуль передаточной функции динамической добавки давления колесной пары на путь Wр ( j )  U р2 ( )  Vр2 ( ). (10.35) Если внешнее возмущение, являющееся для подвижного состава кинематическим, носит случайный характер, то, пользуясь известным соотношением Винера – Хинчина, можно вычислить спектральные плотности для всех выходных координат, а следовательно, и все среднеквадратические отклонения для выбранных обобщенных координат. Среднеквадратические отклонения дают возможность, если принять плотность распределения вероятностей всех случайных процессов нормальной, определить наиболее вероятные максимальные значения каждой обобщенной координаты, что важно с практической точки зрения. Для рассматриваемого примера векторы имеют вид:  zк  q   zт  ; z   к.п  (10.36)  Wк ( p )  W=  Wт ( p)  ;  W ( p)   к.п  (10.37)  WкRe ( )  W1   Re  W (  )  W т 2   Re  Wк.п ( )  W3  W   Im . W (  )  W  к 4  W Im ( )  W  5  тIm   Wк.п ( )  W6  (10.38) Модули передаточных функций для кузова, тележки и колесной пары приведены на рис. 10.7 – 10.9. 116 Рис. 10.7. График модуля передаточной функции для кузова ЭП2К Рис. 10.8. График модуля передаточной функции для тележки ЭП2К Рис. 10.9. График модуля передаточной функции для колесной пары ЭП2К 117 Из представленных на рис. 10.7 – 10.9 графиков отчетливо видно, что модули передаточных функций имеют «пики» на собственных парциальных частотах порядка 1,5, 3,47 и 24,19 Гц. Причем для передаточной функции тележки нетрудно обнаружить сглаженный «пик», принадлежащий колесной паре. Модуль передаточной функции для давления колесной пары на рельсы представлен на рис. 10.10. Рис. 10.10. График модуля передаточной функции давления колесной пары на путь В качестве возмущения принята спектральная плотность (см. выражение (6.100) и там же исходные данные) (рис. 10.11): Рис. 10.11. Спектральная плотность внешнего воздействия на экипаж 118 Другие статистические характеристики случайных колебаний кузова и тележки приведены на рис. 10.12 – 10.17. Рис. 10.12. Спектральная плотность подпрыгивания кузова ЭП2К Рис. 10.13. Стандарт подпрыгивания кузова, мм Рис. 10.14. Стандарт ускорения кузова, м/с2 119 Рис. 10.15. Спектральная плотность подпрыгивания тележки Рис. 10.16. Спектральная плотность ускорений подпрыгивания тележки Рис. 10.17. Стандарт ускорения тележки, м/с2 120 10.3. Сравнительная оценка динамических свойств электровозов ЭП2К и ВЛ80 В настоящее время наряду с современными локомотивами большой объем перевозок совершают морально и физически устаревшие магистральные локомотивы переменного (ВЛ80) и постоянного (ВЛ10) тока и имеют практически одинаковую механическую часть. Одним из наиболее распространенных новых типов локомотивов является электровоз ЭП2К. Рассмотрим вертикальные колебания локомотивов. Для того чтобы провести сравнительную оценку влияния значений конструктивных параметров железнодорожных экипажей на показатели их динамических качеств на основе сформированных дифференциальных уравнений, требуется задать числовые значения инерционных, упругих и диссипативных параметров экипажной части локомотивов. Данные о них приведены в руководствах по эксплуатации этих локомотивов. Значения коэффициентов вязкого трения приняты для колебаний в вертикальной плоскости равными 0,3 долей от критического значения согласно выражению для буксовой и центральной ступеней подвешивания локомотива. В качестве возмущающего воздействия на экипаж со стороны пути примем выражение для спектральной плотности, предложенное профессором А. И. Беляевым. Согласно уравнениям динамики экипажной части локомотивов были найдены передаточные функции для всех обобщенных координат. На их основе были определены спектральные плотности ускорений колебательных процессов. Были вычислены среднеквадратические отклонения ускорений, по ним с доверительной вероятностью 99,7 % рассчитаны максимальные значения ускорений кузова, тележек и осей колесных пар локомотивов ЭП2К и ВЛ10 с типовым рессорным подвешиванием. Результаты расчетов приведены на рис. 10.18, а и б. Сплошной линией показана зависимость максимальных ускорений для современного локомотива (условное обозначение – цифра «2»), пунктирная линия соответствует характеристикам локомотива ВЛ10 (цифра «1»). Обозначение «к» соответствует показателям кузова, «т» – тележек. На рис. 10.18, б крупными точками показана характеристика для сил инерции (шкала справа) необрессоренных масс ЭП2К, для ВЛ10 зависимости от скорости для ускорений и сил инерции совпадают. 121 Полученные зависимости наглядно показывают преимущество более совершенной экипажной части современного подвижного состава по сравнению с морально устаревшим электровозом ВЛ10: наблюдается снижение максимальных вертикальных ускорений кузова на 15 %, тележек – на 16 – 17 %, динамического давления колесных пар на рельсы – на 13 – 15 %, максимального давления – на 4 – 11 %, что обеспечивает существенное повышение скорости движения локомотива и поезда в целом и повышает провозную и пропускную способность участков железных дорог. а б в г Рис. 10.18. Сравнительные характеристики показателей динамических качеств локомотива ЭП2К и ВЛ10 с типовым рессорным подвешиванием: для максимальных ускорений кузова и тележек (а), ускорений осей колесных пар и их сил инерции (б), динамической добавки и максимальных сил давления колесной пары на рельсы (в) и относительные характеристики (г) 122 11. ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ДИНАМИКА ПОДВИЖНОГО СОСТАВА 11.1. Причины виляния колесной пары в рельсовой колее Прежде всего нужно заметить, что горизонтальная динамика подвижного состава в зарубежных университетах студентам не преподается ввиду ее сложности, а излагается только аспирантам. В России стремятся дать студентам хотя бы основы элементарных знаний относительно заявленного в заголовке явления. Устойчивость колеса против схода с рельсов определяется предельно допустимым отношением поперечных горизонтальных и вертикальных сил, действующих на набегающее на рельс колесо. Этот критерий является основным при оценке безопасности движения подвижного состава. Однако в последние годы появились новые теории, в которых учитывается время вкатывания колесной пары на рельсы, что более корректно. Определение горизонтальных сил связано с исследованием процесса виляния железнодорожных экипажей и устойчивости движения. Основными причинами, вызывающими виляние экипажей при движении по прямым участкам пути, в настоящее время являются коничность колес, неровности пути в плане и профиле, неровности на поверхности катания колес. Для отдельной колесной пары с коническими колесами в прямом участке пути при отсутствии горизонтальных и вертикальных неровностей характерно виляющее движение. Согласно фундаментальному принципу механики – принципу наименьшего действия [42] – виляние от коничности появляется вследствие стремления каждой колесной пары занимать такое положение в колее, когда радиусы кругов катания обоих колес будут одинаковыми. Еще в 1883 г. исходя из геометрических соображений Г. Клингель вывел уравнение траектории движения одиночной колесной пары с коническими колесами:  i  у  yo sin  x , rS   (11.1) где y0 – смещение середины колесной пары от оси пути, амплитуда виляния; i – коничность колес; r – радиус круга катания колес; 2S – ширина колеи и 123 x – перемещение колесной пары вдоль пути. Длина волны этого виляющего движения по Клингелю определяется формулой: L  2 rS . i (11.2) Однако под действием инерционных сил, гироскопического момента длина волны виляния одиночной колесной пары несколько возрастает. Виляющее движение вызывает более быстрый износ рельсов и расстройство пути. При электрической и тепловозной тяге скорость движения поездов повысилась, что способствовало увеличению виляний. Характерным примером этому является электровоз ВЛ8, критическая скорость которого равна 54 км/ч. Вследствие резонанса на этой скорости развивающиеся боковые силы приводили даже к сдвигу рельсо-шпальной решетки. Для обеспечения безопасности движения боковое давление колесных пар на рельсы необходимо по возможности более равномерно распределить между всеми колесами электровоза. Отметим также, что чем больше число колесных пар в одной раме, тем труднее добиться соприкосновения их всех с наружным рельсом в кривых участках пути. Радиус кривых сказывается и на коэффициенте сцепления, так как в кривых малого радиуса колеса одной и той же оси проходят разные расстояния (например: на отдельных участках Кузбасского отделения Западно-Сибирской железной дороги радиус кривых равен 200 м!). В результате этого колеса проскальзывают и коэффициент сцепления несколько снижается. Вследствие этого сила тяги, развиваемая колесной парой, и ее давление на рельсы в кривых изменяются. Примерами успешного решения этой проблемы является поезд Talgo с радиальной установкой колесных пар в кривых, а также тепловоз «Витязь» (рис. 1.38, см. часть 1 настоящего учебного пособия). Теоретической основой для составления дифференциальных уравнений горизонтальных колебаний экипажей являются уравнения Лагранжа второго рода, но только в том случае, если на колесные пары не накладываются неголономные связи, что физически означает отсутствие проскальзывания колес по рельсам. Проведенные исследования, в которых тележка рассматривается абсолютно жесткой, т. е. отсутствуют упругие горизонтальные связи рамы тележки с колесными парами, показали, что движение железнодорожных экипажей на пря- 124 мом участке пути неустойчиво. Устойчивость обычно определяется по критерию Гурвица (если исходная система уравнений движения является линейной, в противном случае следует применять показатели Ляпунова), позволяющему установить знаки корней характеристического уравнения без его решения. Учет упругости рамы тележки приводит к устойчивости движения в диапазоне эксплуатационных скоростей. Определение боковых сил путем составления и решения систем дифференциальных уравнений вызывает определенные трудности. При учете большого числа факторов, влияющих на характер движения, в том числе и нелинейностей в связях, особенно для таких тележечных экипажей, как восьмиосные вагоны, решение систем дифференциальных уравнений даже с применением вычислительной техники становится весьма трудоемким. Введение рессорного подвешивания увеличивает число сосредоточенных масс колебательной системы, а следовательно, и число степеней свободы. Благодаря наличию между этими массами связей их колебания являются также взаимосвязанными. 11.2. Некоторые понятия о природе силы крипа Как доказано известными специалистами [1, 13, 16, 20], движение железнодорожного экипажа с двумя осями, не имеющими поперечных и продольных разбегов, с коническими колесами будет обязательно сопровождаться проскальзыванием колес по рельсам вследствие разницы в пройденных путях колесами с меняющимися радиусами кругов катания. При проскальзывании (упругом скольжении) по контактам колес и рельсов возникают силы упругого скольжения – силы крипа (creepage (англ.) – упругое псвдопроскальзывание). На основании экспериментальных и теоретических исследований было установлено, что при качении колеса по рельсу площадь контакта, вероятно, разделяется на зоны сцепления и микропроскальзывания (рис. 11.1), что вызывает изменение тангенциальных сил на этой площадке. При перекатывании колес по рельсу и одновременном действии касательной силы впереди по ходу колеса на контактной площадке образуется сжатая зона, а сзади – растянутая. Если обозначить путь, пройденный центром колеса через dx , а развернутую длину окружности колеса при повороте на угол  125 через r , то оказывается, что при передаче касательного усилия r  dx, а r  dx  X . За счет упругих деформаций путь, проходимый колесом по рельсу при передаче тягового момента, оказывается короче, чем путь, равный 2 rn, где n  число оборотов колеса. Если касательное усилие близко к предельному по сцеплению, то путь скольжения может составить около 0,2 % (иногда и на порядок больше) от пройденного центром колеса пути. Аналогичное явление происходит при движении колеса под действием горизонтальной поперечной силы. В этом случае при совпадении плоскости симметрии колеса и плоскости симметрии пути движение колесной пары будет происходить под некоторым углом  , величина котороРис. 11.1. Характер деформации го зависит от действующей силы. материалов элементов системы Так называемый крип возникает «колесо – рельс» в области контакта в результате сочетания сцепления и относительного микропроскальзывания участков контактирующих поверхностей колес и рельсов в зоне упругого взаимодействия колеса и рельса. Скольжение колеса и рельса принято характеризовать относительной величиной:  dx  r V   1, r r (11.3) где  – круговая частота;  – относительное скольжение; dx – перемещение центра колеса; r – номинальный радиус колеса;   угол поворота колеса вокруг оси y. Вследствие этого вместо «чистого» качения (в этом случае скорость точки колеса, контактирующей с опорной поверхностью, равна нулю, т.е. там должен находиться мгновенный центр скоростей, что равносильно наложению неголономных связей на колесную пару) скорость точки, принадлежащей колесу и контактирующей с рельсом, u  VC  r, 126 (11.4) где VC – скорость центра колеса вдоль оси пути; r – радиус круга катания; ω – угловая скорость колеса. Относительное проскальзывание ε = u/VC = (r  VC ) / VC . (11.5) Разработка теории упругого скольжения была начата еще в 90-х гг. позапрошлого столетия отечественными учеными Н. Е. Жуковским и Н. П. Петровым. Многочисленными опытами установлено, что между касательными силами F в точке контакта колеса и рельса и скоростью u проскальзывания колеса по рельсу (при скорости поезда V) существует зависимость, показанная на рис. 11.2. Наибольшее значение силы Fmax равно силе сухого трения: Fтр = μN, где μ – коэффициент сухого трения; N — сила нормального давления в точке контакта колеса с рельсом. Существует много гипотез о представлении силы крипа. Одной из общепринятых и применяемых в приближенных расчетах является гипотеза Картера, согласно которой при F < F тр относительное скольжение колеса по рельсу в процессе качения предполагают происходящим за счет упругих деформаций материалов колеса и рельса и называют упругим скольжением, или крипом, при этом (вообще говоря, предлагаемая ниже формула справедлива при малых значениях силы F) F=k u , V (11.6) где k — коэффициент пропорциональности (коэффициент крипа). Коэффициент крипа k зависит от формы взаимодействующих поверхностей колеса и рельса, упругих свойств материалов, нормального давления в месте контакта и, разумеется, от фрикционных свойств в контакте, но в гипотезе Картера это обстоятельство не учитывается. Для стальных колес с радиусом r и нагрузкой N этот коэффициент (согласно современным исследоРис. 11.2 Зависимость силы ваниям) рекомендуется определять по формуле: трения колеса по рельсу от относительной скорости k  ( 60  80 ) Nr . (11.7) скольжения 127 )В приближенных расчетах значение k принимают одинаковым для всех колес вагона независимо от направления проскальзывания. Таким образом, в точке опоры колеса на головку рельса возникают продольные и поперечные силы трения, являющиеся составляющими реакции рельса. Извилистое движение одиночной колесной пары сопровождается возникновением сил инерции и моментов сил инерции, действующих в горизонтальной плоскости. Горизонтальные усилия возникают и при взаимодействии оси колесной пары с рамой тележки. Касательные усилия в точках опор катящейся колесной пары неизбежны и как показывают эксперименты, вызывают проскальзывание колес по головкам рельсов. Отметим, что сила тяги на ободе колеса Fk является функцией давления колеса на рельс и проскальзывания колеса по рельсу, а также состояния контактируемых поверхностей и некоторых других факторов и может определяться по следующей регрессионной формуле [43], полученной на основании лабораторных опытов, выполненных под руководством профессора Л. А. Голубенко: b      c  кр  e FK  afP ,   кр    (11.8) где a, b, c – коэффициенты, зависящие от состояния поверхностей контактирования; Р – давление колесной пары на рельс; ε и εкр – относительное проскальзывание колеса по рельсу и его критическое значение, превышение которого приводит к срыву колесной пары на боксование. Критическая скорость проскальзывания, полученная по отдельным теоретическим исследованиям, составляет 0,2 – 0,4 %, а по эксперименту – 0,5 – 2%. На величину относительного скольжения кроме нагрузок, размеров контактной площадки, упругих констант материалов существенное влияние оказывают температура, качество обработки поверхности и ее загрязненность (наличие так называемого «третьего тела» в контакте колеса и рельса). Эти факторы оказывают настолько сильное влияние, что результаты, полученные по различным опытам, отличаются друг от друга в несколько раз. Вследствие этого все модели взаимодействия колеса с рельсом не в полной мере адекватно описывают реально протекающие процессы. 128 11.3. Качественная картина продольных и поперечных сил крипа колесной пары в тележке Как уже было отмечено, движение колесной пары в тележке стеснено рамой, вследствие этого возникает как продольный, так и поперечный крип. Составим качественное описание этих явлений. Продольный крип. Предположим, что колесная пара смещена в поперечном направлении положения чистого качения на расстояние у. На рис. 11.3 и 11.4 это положение обозначено как начальное. В прямом участке пути (см. рис. 11.3) положение чистого качения имеет место при совпадении середины колесной пары и оси пути. В кривых (см. рис. 11.4) положение чистого качения соответствует такому смещению колесной пары к наружному рельсу, при котором разность диаметров качения двух колес позволяет колесной паре кинематически катиться по рельсам. При качении со скоростью V смещенная колесная пара будет стремиться к предпочтительному положению, показанному на рис. 11.3 и 11.4 пунктиром. Рис. 11.3. Продольное проскальзывание колесной пары в прямом участке пути Если колесная пара вынуждена оставаться на пути в положении, соответствующем начальному состоянию, при качении имеет место крип или отно129 сительное проскальзывание, равное u/VC. В случае, показанном на рис. 11.3, наружное колесо, катящееся по большему диаметру, проскальзывает назад по отношению к поступательному движению колесной пары, в то время как другое колесо, катящееся по меньшему диаметру, проскальзывает вперед. На колесной паре возникают силы проскальзывания F, которые действуют в направлении, противоположном действию удерживающих сил Fj на подшипниках. Силы, противоположные Fs, действуют на рельс. Величина крипа (проскальзывания) и возникающие силы крипа прямо пропорциональны смещению колесной пары у и углу конусности колеса. Рис. 11.4. Продольное проскальзывание колесной пары в кривом участке пути Поперечный крип. Легко заметить, что по аналогии может быть описан и поперечный крип. Предположим, колесная пара располагается под углом α к оси пути, как показано на рис. 11.5, соответствующее предпочтительному состоянию положение колесной пары при качении в указанном стрелкой направлении показано пунктиром. Так как колесо ограничено в перемещениях системой рессорного подвешивания или силами на гребне, чтобы оставаться на пути в положении, соответствующем начальному состоянию, колесо должно проскальзывать в попе130 речном направлении. Поперечный крип и связанная с ним сила пропорциональны углу α. Коэффициент пропорциональности зависит от осевой нагрузки и геометрии контакта. Повышенное поперечное проскальзывание проявляется в пластическом течении материала на поверхности катания рельса в кривых малого радиуса, а также в пластических деформациях материала колеса. При этом возникают большие силы в зоне контакта гребня с рельсом. Рис. 11.5. Поперечное проскальзывание колесной пары в прямом участке пути Как показано в работах [1, 13, 16 – 20, 40, 46], скорость изнашивания пропорциональна произведению давления на скорость скольжения, т. е. удельной мощности трения, а каждая из этих характеристик зависит от угла набегания (угла атаки) колеса на рельс, следовательно, износ контактируемых тел пропорционален квадрату угла набегания колеса на рельс. Силы на гребне. Известно, что когда управление положением колесной пары в колее не может обеспечиваться с помощью сил крипа, то возникает гребневой контакт, появляются боковые силы на гребне, предохраняющие ко131 лесную пару от схода. Гребневой контакт часто связан с нахождением колесной пары под углом а к оси пути и свидетельствует о наличии поперечного крипа (проскальзывания). С силами на гребне связаны и составляющие сил трения, которые могут приводить к снижению нагрузки в зоне контакта гребня колеса с рельсом, что способствует вкатыванию колеса на рельс и последующему сходу. При больших углах набегания, которые зависят от радиуса кривой и величины продольных и поперечных зазоров в буксовых проемах тележки грузового вагона, скорость изнашивания настолько возрастатет, что, как показывает практика, в кривых малого радиуса боковой износ головок рельсов может достигать 12 мм в год. Подрез гребней колес подвижного состава также превышает нормативные показатели, что снижает нормативный срок службы узлов подвижного состава и верхнего строения пути. Это приводит к значительным эксплуатационным расходам на тягу поездов и снижает эффективность железнодорожного транспорта в целом. 11.4. Движение колесной пары и тележки вагона со скольжением колес по рельсам Извилистое движение одиночной колесной пары сопровождается возникновением сил инерции и моментов сил инерции, действующих в горизонтальной плоскости. Эти силы могут послужить причиной ограничения скоростей движения поездов. Следовательно, извилистое движение вагонов вредно, оно приводит к тому, что гребни колес контактируют с боковыми поверхностями головок рельсов только при наибольшем отклонении колесной пары от оси пути, т. е. на участках небольшой протяженности. Горизонтальные усилия возникают и при взаимодействии оси колесной пары с рамой тележки. Касательные усилия в точках опор катящейся колесной пары неизбежно, как показывают эксперименты, вызывают проскальзывание колес по головкам рельсов. Учет проскальзывания переводит задачу о движении колесных пар из области задач кинематических в область динамических. Таким образом, в точке опоры колеса на головку рельса возникают продольные и поперечные силы трения, являющиеся составляющими реакции рельса. 132 Нецилиндричность колес можно ввести в расчет следующим образом. Силы трения (в том числе и поперечная составляющая) определены формулой (11.4), т. е. фрикционные свойства поверхности катания головки рельса учтены при расчетах, поэтому поверхности катания рельса и колеса можно считать гладкими. Тогда реакцию рельса, приложенную к каждому колесу колесной пары, можно разложить в перпендикулярной к оси пути плоскости на составляющие – вертикальную N (рис. 11.6, а) и горизонтальную поперечную, которая зависит от нажатия колеса и угла наклона  поверхности катания головки рельса в точке опоры колеса. Вертикальное нажатие колеса на головку рельса определяется при динамическом расчете колебаний вагона, a tg  зависит от положения точки контакта колеса и рельса, т. е. от расстояния yk между средним А и фактическим В кругами катания колеса (рис. 11.6, б). а б Рис. 11.6. Схема контакта колеса с рельсом (а) и зависимость угла  от положения точки контакта колеса и рельса (б): 1 – для нового колеса; 2 – для колеса с прокатом Поперечные составляющие реакций каждого рельса направлены к оси пути. Для новой колесной пары с коническими колесами они приближенно уравновешиваются при всех отклонениях ее от среднего положения, пока точка контакта не попадает на радиальную поверхность, соединяющую поверхность катания колеса с гребнем. Для колесной пары с большим прокатом, когда образующая поверхности катания колеса криволинейна, поперечные составляющие реакции рельсов не уравновешиваются даже при небольшом отклонении колесной пары от средне133 го положения в колее пути. Эти усилия играют роль своеобразного возвращающего устройства. При составлении расчетной системы уравнений для одиночной колесной пары (рис. 11.7) для упрощения будем полагать, что прогибы рельсов под воздействием вертикальной нагрузки невелики и ими можно пренебречь, а скорость υп вдоль оси хх постоянна. Тогда не будем рассматривать перемещения х и z и вращения вокруг осей хх и уу. В результате колесная пара будет иметь не шесть степеней свободы, а только две: перемещение y и вращение вокруг оси zz. а б в Рис. 11.7. Качение одиночной колесной пары со скольжением по головкам рельсов Расчетная система уравнений будет состоять из двух групп уравнений: уравнений движения, составляемых по методу Даламбера, и уравнений связей, определяющих зависимость сил взаимодействия колесной пары с рельсами от скорости скольжения. Первая группа уравнений будет иметь вид:  Pрлу  Рpпy  Рину  N л tg β л  N п tg β п  0;  ( Pрлx  Pрпx ) s  M инz  0;   Pинy  mк.п y; М   J  ,  инz z (11.9) где Pрл x, Pрп x — горизонтальная проекция сил в точках контакта колес; Pрл y, Pрп y – с левым и правым рельсами на осях хх и уу; Nл , Nп – вертикальные реакции левого и правого рельсов; Pин y, Pин x – силы инерции неподрессоренных масс колесной пары в направлениях соответствующих осей; Mин y, Mин z – моменты сил инерции и относительно соответствующих осей; mк.п, Jz – соответственно масса и момент инерции колесной пары. 134 Величины N л tg л и N п tg  п для колес с криволинейной образующей поверхности катания (например, колес с прокатом) являются сложными функциями от перемещения по оси у. Для конических колес углы л и  п постоянные, и если принять, что вертикальные нагрузки на колеса в процессе движения изменяются незначительно, то два последних члена первого уравнения будут представлять собой постоянные величины, которые можно перенести в правую часть уравнения. Если же учитывать изменение во времени вертикальных нагрузок на колеса, то N л и N п будут функциями координат кузова вагона. Коэффициент k также зависит от давления колес на рельсы. Таким образом, определяется связь извилистого движения колесных пар с колебаниями кузова вагона. Вторую группу уравнений – уравнения связей – напишем как выражения сил трения в точках контакта колес и рельсов:  Pрлх   Pрпх   Pрлу P  рпу  k / п (п   s   rл );  k / п (п   s   rп );  k / п ( у  п ); (11.10)  k / п ( у  п ). Для конических колес: rл  rc  r / 2  rc  ny;  rп  rc  r / 2  rc  ny. (11.11) Таким образом, получена полная система уравнений, описывающая движение одиночной колесной пары с проскальзыванием по головкам рельсов при условии, что силы трения имеют характер вязкого трения. Исключив из полученной системы неизвестные силы, получим: k  тк.п у  2  у  2k  n( N п  N л );  п  2  J   2 ks   2 ksn y  0.  z п r (11.12) Для жесткой тележки (без учета действия возвращающих устройств) и конических колес, нагруженных одинаково, эта система уравнений имеет вид: 135 k  m у  4 у  4k  0; т    п  2  J   4k ls   4 ksn y  0,  т z п r (11.13) где lc – расстояние от центра тяжести (ц. т.) тележки до точки контакта колеса с рельсом; mτ, Jτz – соответственно масса тележки и половины кузова и момент инерции массы тележки. В уравнениях (11.12) и (11.13) коэффициент k, зависящий через N от координат кузова, умножается на переменные значения координат колесной пары, поэтому задача о совместном анализе колебаний кузова и извилистого движения тележки становится нелинейной. Решать ее можно только на вычислительных машинах. Если по какой-либо причине, например, вследствие неравномерной загрузки вагона, одно колесо окажется перегруженным по сравнению с другим, то это означает, что на колесную пару будет действовать постоянная поперечная сила, зависящая от конусности поверхностей катания колес. Для линейных дифференциальных уравнений постоянный член в правой части эквивалентен соответствующему сдвигу начала отсчета. Исключив из этой системы одну из переменных величин, например φ, получим: ....  k k 2s2 k 2 sn mк.п J z y   mк.п 2  Jz 2  y  4 2 y  4 y0 п п  п r  ks 2 (11.14) или .... a4 y  a3y  a2 y  a0 y  0 , (11.15) где коэффициент a4  mк.п J z и т. д. Известно, что общее решение уравнения четвертого порядка имеет вид: 4 y   Ci e pi t , 1 где pi – корни соответствующего характеристического уравнения. 136 (11.16) Наличие корней с положительной вещественной частью свидетельствует о том, что колебания с течением времени постепенно нарастают. Такое движение называется неустойчивым. В случае качения одиночной колесной пары, когда отсутствует связь с экипажем, т. е. нет возвращающихся устройств, коэффициент a1 при y в уравнении (11.15) равен нулю. Можно показать, например, по Гурвицу, что в таком случае хотя бы один из корней характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть. Следовательно, движение такой колесной пары будет неустойчивым. Таким образом, одиночная колесная пара или тележка с жесткой рамой, не связанная с кузовом, движется по прямому участку пути с постоянной или возрастающей амплитудой извилистого движения, что схематически в координатах «перемещение – скорость перемещения» показано на рис. 11.8. Это так называемая фазовая траектория колебательной системы – колесной пары, движущейся по прямому участку пути. Гребни колес ограничивают амплитуду колебаний, поэтому она не может быть больше половины суммарного зазора между головками рельсов и гребнями, если горизонтальная жесткость пути принята бесконечной. Это положение называется предельным циклом. Следует ограничивать амплитуду колебаний извилистого движения и увеличивать длину волны. Для этого нужно уменьшать зазоры в проемах между буксой и боковой рамой тележки, между гребнями колес и головками рельсов (путем сокращения ширины колеи и ограничения допускаемого износа гребней), уменьшать коничность колес и создавать упруго-фрикционные связи между осями в плане, препятствующие их относительным поворотам в процессе извилистого движения. Исследованию характера движения железнодорожных экипажей с коническими колесами при учете влияния рессорного подвешивания и ряда других факторов в настоящее время посвящено много работ [1, 3, 5 – 7, 12, 13, Рис. 11.8. Фазовая траектория 16 – 20, 22, 46], в которых можно найизвилистого движения ти ответы на интересующие вопросы. колесной пары 137 12. ВРЕДНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИИ НА ЧЕЛОВЕКА 12.1. Действие вибрации на человека-оператора Изучение колебаний простейших механических систем, да и некоторых систем средней сложности, сводится к определению основных характеристик колебательного процесса: периода, амплитуды, частоты и других параметров. При этом часто не обращалось внимание на соотношение частот и амплитуд динамических процессов в широком диапазоне частот. В практике же работы различных механизмов и машин, транспортных средств диапазон частот может меняться и может быть достаточно широким. В связи с этим динамические процессы, тем более когда на высоких частотах имеют место меньшие значения амплитуды, принято называть вибрационными процессами, хотя конкретные границы по значениям частоты практически не регламентируются. Когда целью исследований становится влияние вибрации на человека, приходится учитывать всевозможные варианты воздействия как по частоте и амплитуде, так и по длительности воздействия. В большом числе случаев человеку приходится длительное время находиться под воздействии вибрации (оператору, пассажирам транспортных средств и др.). Как правило, вибрация оказывает вредное влияние на человека [23]. При использовании вибраторов в медицине вибрационное воздействие считается положительным, направленным для лечения некоторых заболеваний. Уменьшению интенсивности вибрационного воздействия на человека способствует снижение виброактивности источника вибрации, применение систем виброизоляции и регламентирование допустимых уровней вибрации на рабочем месте человека-оператора. Для расчета систем виброзащиты человека используются данные о механических свойствах и частотных характеристиках тела человека [120]. Рассмотрим некоторые типовые случаи вибрационного воздействия на человека в различных условиях. Характерные случаи передачи вибрации телу человека приведены в табл. 12.1. Наиболее существенное влияние на человека-оператора оказывает вибрация с частотой 1 – 30 Гц. В основном именно в этом диапазоне расположены 138 спектры частот вибрации разнообразных транспортных средств, самоходных строительно-дорожных и сельскохозяйственных машин. Т а б л и ц а 12.1 Схемы передачи вибрации телу человека Схема передачи вибрации Источники вибрации Пассажир Транспортные средства Человек-оператор Автомобили, строительные машины, сельскохозяйственные машины, трамваи, поезда, самолеты, суда, космические аппараты Возбуждение интенсивной вибрации транспортных средств обусловлено главным образом движением по неровностям (чаще всего случайным) поверхности (автомобильного и рельсового транспорта, наземных строительных и сельскохозяйственных машин и др.), движением по волнам (водного транспорта), движением в турбулентных потоках атмосферы (летательных аппаратов). Виды вибрации, возникающей при работе различных машин, приведены в табл. 12.2. При исследовании воздействия вибрации на человека и математического описания этих вибрационных процессов позу человека считают фиксированной, а тело человека рассматривают как твердое деформированное. С телом человека 139 связывают подвижную систему координатных осей X, Y, Z, ориентацию которых выбирают в зависимости от позы человека [23] (рис. 12.1). Заданная вынуждающая вибрация, а также вибрация точек тела описываются относительно неподвижной системы координат, связанной с землей, оси которой параллельны осям X, Y, Z. При этом заданная вибрация описывается виброперемещениями Ux, Uy , Uz, или виброскоростями Vx , Vy, Vz , или виброускорениями ax, ay, az. Т а б л и ц а 12.2 Виды вибрации, действующей на человека Объекты техники (машины) Вибрация Автомобили, самолеты, суда, космические аппараты Строительные машины, тракторы, комбайны, трамваи, железнодорожные вагоны и локомотивы Случайная широкополосная Случайная узкополосная Спектральные плотности виброускорений az на рабочих местах операторов некоторых видов транспортных средств и самоходных машин приведены в табл. 12.3 [25]. Среднеквадратические значения виброускорений ax и ay составляют 30 – 40 % от соответствующих значений виброускорения az. а б в Рис. 12.1. Система координат для тела человека 140 Т а б л и ц а 12.3 Спектральные плотности виброускорений az на рабочих местах операторов Марка машины и характеристика движения Спектральная плотность S(f) ускорений на рабочем месте, м2/с3 Электропоезд при скорости 140 км/ч Влияние вибрации на человека зависит от ее спектрального состава, направления, места приложения, продолжительности воздействия, а также от индивидуальных особенностей человека. Суммарная качественная оценка субъективных ощущений, вызванных действием вибрации, представлена на рис. 12.2 в виде областей равного восприятия. Каждой области равного восприятия вибрации соответствуют различные уровни неприятных ощущений человека (табл. 12.4); границы между этими областями называют кривыми равного восприятия вибрации. Резонансные частоты вибрации, воспринимаемой телом человека, приведены на рис. 12.3. Более детальная классификация вредного влияния вибрации и симптомы вызываемых ею функциональных физиологических нарушений приведены на рис. 12.4. Т а б л и ц а 12.4 Общая оценка ощущений человека при вибрации Кривая на рис. 12.2 Вибрация 1 2 3 4 5 6 Неощутимая Слабо ощутимая Хорошо ощутимая Сильно ощутимая Неприятная при длительном воздействии Неприятная при кратковременном воздействии 141 а б Рис. 12.2. Области равного восприятия вибрации: в зависимости от виброперемещения и частоты (а) и в зависимости от виброускорения и частоты (б) Рис. 12.3. Резонансные частоты тела человека: 1 – глаз – 12 – 27 Гц; 2 – горла – 6 – 27 Гц; 3 – грудной клетки – 2 – 12 Гц; 4 – ног, рук – 2 – 8 Гц; 5 – головы – 8 – 27 Гц; 6 – лица и челюсти – 4 – 27 Гц; 7 – поясничной части позвоночника – 4 – 14 Гц; 8 – живота – 4 – 12 Гц 142 Вредное влияние вибрации На функциональное состояние Повышение утомляемости Увеличение времени двигательной реакции Увеличение времени зрительной реакции На физиологическое состояние Нарушение вестибулярных реакций и координации движения Развитие нервных заболеваний Нарушение функций сердечнососудистой системы Нарушение опорнодвигательного аппарата Результаты вибрационного воздействия Снижение производительности труда и качества работы Возникновение профессиональных заболеваний; вибрационная болезнь Рис. 12.4. Характерные особенности вредного влияния вибрации на человека Поражение мышечных тканей и суставов Вибрация характеризуется количественными показателями, например, виброускорением (рис. 12.5), превышение которых вызывает нарушения функционирования органов человека. Действие вибрации на функции человекаоператора может быть оценено с помощью статического анализа ошибок, допускаемых оператором в процессе его деятельности. Такой анализ позволяет рассчитать функцию надежности R(t), которая служит обобщенной оценкой деятельности оператора (R(t) – вероятность безошибочной работы оператора в течение времени t). Например, на рис. 12.6 приведены графики функции R(t) для работы, выполняемой оператором без вибрации (кривая 1) и в условиях гармонического (кривая 2) и случайного вибрационного воздействия. В двух последних случаях длительность вибрационного воздействия составляла 120 мин. Другой пример (влияние вибрации на выполнение двухкоординатной задачи слежения за Рис. 12.5. Предельные среднеквадраточечной целью) представлен на тические значения виброускорения az рис. 12.7. При отсутствии вибрационного воздействия распределение ошибок оператора близко к нормальному закону. С увеличением уровня вибрации дисперсия ошибок оператора возрастает, а характер распределения становится бимодальным, что обусловлено появлением регулярной составляющей в функции ошибки, частота которой совпадает с основной частотой вибрационного воздействия. Рассмотренные выше основные вибрационные воздействия на человекаоператора влияют соответствующим образом на функциональное и физиологическое состояние человека. В связи с этим возникает задача защиты от вибрационного воздействия не только человека, но и различного вида механизмов и машин (или их отдельных частей). Поэтому необходимо знать механические свойства защищаемых объектов. 144 Рис. 12.6. Функция надежности работы оператора со световой сигнализацией (225 сигналов в течение 30 мин): 1 – без вибрации; 2 – при действии гармонической вибрации, f = 4 Гц, az = 0,76 м/с2 ; 3 – при действии узкополосной случайной вибрации с центральной частотой 4Гц и az = 0,76 м/с2 Рис. 12.7. Распределение вероятности ошибки оператора при действии вибрации с частотой 5 Гц В теоретических и экспериментальных исследованиях важно знать частотные характеристики тела человека. При малых колебаниях (вибрации) и достаточно малых частотах внешнего вибрационного возбуждения (до 100 Гц) тело человека можно рассматривать как линейную вязкоупругую механическую систему. Это позволяет описывать динамические свойства тела с помощью частотных характеристик: передаточной функции G(p) для описания вынужденных колебаний точки наблюдения; входного механического импеданса Z(p) для описания связи между силой, передаваемой телу, и виброскоростью точки приложения силы. Модуль передаточной функции |G(iω)| представляет собой безразмерную амплитудночастотную характеристику (зависимость от частоты амплитуды колебаний точки наблюдения, отнесенной к амплитуде колебаний точки, в которой приложено внешнее возбуждение), а аргумент передаточной функции Ψ – фазочастотную характеристику. Модуль входного механического импеданса представляет собой отношение амплитуды силы, передаваемой телу в точке возбуждения ко- 145 лебаний, к амплитуде скорости той же точки; аргумент входного импеданса описывает сдвиг фаз между названными силой и скоростью. Частотные характеристики тела человека служат исходными данными при расчете эффективных систем виброзащиты человека, проектировании вибробезопасных машин, разработке гигиенических норм вибрации, определении параметров эквивалентных механических моделей и манекенов. Численные значения и характер частотных характеристик существенно зависят от выбора места приложения вынуждающей вибрации и точки, в которой измеряются параметры вынужденных колебаний тела человека. Изменение рабочей позы или активности различных групп мышц, а также изменение взаимодействия с опорными поверхностями (спинками стульев, сидений, подлокотников и т. д.) или дополнительными внешними системами (органами управления и др.) могут значительно повлиять на динамические свойства тела человека. Результаты измерений входных механических импедансов тела человека для различных поз и областей приложения вибрационного возмущения приведены в источнике [26]. В зависимости от целей и постановок задач виброзащиты человека в практических расчетах используются различные модели, представленные в работах [23, 27 – 29]. В тех случаях, когда необходимо ограничить вибрации на рабочем месте в пределах норм на допустимые уровни вибраии (например, гигиенических), целесообразно использовать модели, эквивалентные телу человека по входному механическому импедансу. Существуют задачи, в которых требуется ограничить интенсивность колебаний отдельных частей тела человека: головы, туловища и т. д. (это особенно важно в тех случаях, когда оператору в условиях вибрации необходимо управлять различными системами и следить за показаниями приборов). При этом в расчетах систем виброзащиты используют модели, эквивалентные телу человека по амплитудночастотным и фазочастотным характеристикам. Применимость моделей зависит также от ширины рассматриваемого в задаче частотного диапазона. Так, в диапазоне частот вибрации до 8 Гц допустимо применять одномассовые модели. Увеличение числа масс модели (и переход в пределе к системе с распределенными параметрами) приводит к более точной аппроксимации динамических свойств тела человека в широком диапазоне частот. Механические модели тела человека можно принять из источников [23, 32]. 146 12.2. Экспериментальное определение частотных характеристик человека При вибрационных испытаниях тело человека подвергается действию гармонической или случайной вибрации, что в основном соответствует нормальным реальным условиям. Испытания на гармоническую вибрацию отличются простотой схемы установки для возбуждения колебаний (рис. 12.8). Блок непрерывного изменения частоты и автоматический регулятор уровня управляют частотой задающего генератора. Управление вибровозбудителем 3 может производиться либо по разомкнутой, либо по замкнутой схеме. В последнем случае заданный уровень колебаний вибровозбудителя поддерживается автоматически с помощью цепи обратной связи, которая состоит из задающего генератора 1 с автоматической регулировкой входного уровня, усилителя мощности 2 и датчика 4. Датчик и виброизмерительный прибор 5 служат для контроля и измерения колебаний вибровозбудителя. Испытания на случайную вибрацию позволяют имитировать особенно часто встречающиеся реальные условия. Для возбуждения колебаний (рис. 12.9) применяют генератор 1 случайного сигнала. Через блок фильтров или корректирующее устройство 2 и усилитель мощности 3 сигнал поступает на вибровозбудитель 4. Контроль, измерение и анализ колебаний вибровозбудителя осуществляются датчиком 5, виброизмерительным прибором 6 и анализирующим прибором 7. Рис. 12.8. Структурная схема установки для испытаний тела человека на гармоническую вибрацию 147 Рис. 12.9. Структурная схема установки для испытания тела человека на случайную вибрацию Частотные характеристики тела человека определяют при вибрации в направлении одной или нескольких осей координатной системы XYZ. При гармоническом вибрационном воздействии измерения производят непрерывно при монотонном изменении частоты со скоростью, не превышающей 0,2 октавы в секунду или на дискретных частотах следующего ряда (по ГОСТ 12090- 66):1,0; 1,25; 1,6; 2,0; 2,5; 3,15; 4,0; 5,0; 6,3; 8,0; 10; 12,5; 16; 20; 25; 31,5; 40; 50; 63; 80; 100; 125; 160; 200 Гц. К оборудованию и измерительной аппаратуре предъявляются определенные требования в соответствии с нормативными документами. При проведении измерений динамических характеристик контролируют и поддерживают постоянную позу испытуемого. Динамические характеристики измеряют не менее чем у десяти человек, при этом масса каждого человека должна составлять 60 – 80 кг. Все измерения повторяют не менее трех раз на каждом испытуемом; испытуемых при экспериментах подвергают медицинскому контролю. Для обеспечения безопасности проводимых измерений среднеквадратические значения вибрационных воздействий не должны превышать максимальных величин, установленных гигиеническими нормами с учетом длительности вибрационных воздействий. 12.3. Нормирование вибрации С гигиенической точки зрения различные условия труда при воздействии вибрации на человека характеризуются следующим образом: комфорт, когда вынуждающая вибрация не вызывает раздражающего действия; сохранение работоспособности, когда вызываемое вибрацией утомление (усталость) оператора не ведет к снижению производительности труда; вибрационная безопасность, когда вибрация не оказывает на организм работающего вредного биологического действия, приводящего к заболеванию; вибрационная опасность, когда действие вибрации на организм может вызывать вибрационную болезнь; вибрационное поражение, когда действие вибрации на организм работающих непереносимо или создает опасность травмирования. 148 Гигиеническое нормирование вибрации машин, приборов, технологического оборудования, средств транспорта и т. п., действующей на человека, служит для обеспечения вибробезопасных условий труда; оно заключается в ограничениях уровней вибрации элементов машин, с которыми соприкасается тело человека (сиденья, платформы, перекрытия зданий, рукоятки механизированного инструмента и т. п.). Существующие нормативные требования допустимых вибрационных воздействий основаны на оценках субъективного восприятия вибраций человеком, а также на физиологических, функциональных, биомеханических и биохимических реакциях его организма. Действие вибрации на организм человека определяется четырьмя основными характеристиками вибрационного процесса: интенсивностью, спектральным составом, длительностью воздействия, направлением действия. Показателями интенсивности служат среднеквадратические или амплитудные значения виброускорения, виброскорости или виброперемещения, измеренные на рабочем месте. При оценке интенсивности вибрации наряду с размерными величинами используют логарифмические уровни вибраций L (дБ) Lw = 20 lg(w/w0), (12.1) где w – измеряемый кинематический параметр вибрации (виброперемещение u, виброскорость v, виброускорение a); w0 – начальное значение соответствующего параметра (u0 = 810-12 м, v0 = 510-8 м/с, a0 = 310-4 м/с2). Соотношение между уровнями виброускорения, виброскорости, виброперемещения для гармонической вибрации с частотой f можно определять через логарифмические уровни (например, через виброскорость): виброускорение – La = Lv + 20 lg f – 60; виброперемещение – Lu = Lv – 20 lg f + 60. При нормировании вибрации её спектральный состав оценивают в октавных или 1/3-октавных полосах частот. В табл. 12.1 приведены среднегеометрические частоты и соответствующие им значения граничных частот октавных и 1/3-октавных полос. Вибрационные воздействия допустимо оценивать также на основе принципа энергетического частотно-избирательного действия вибрации. Эта оценка 149 может осуществляться по энергии механических колебаний, передаваемых телу человека, n A  T  2 (i ) Z * (i ) (12.2) i 0 либо по средней мощности, поглощаемой телом человека [29 – 33]: n N   Ki (i )a 2 (i ), (12.3) i 0 где Т – длительность воздействия вибрации; v(ωi), a(ωi) – i-я амплитуда гармонической составляющей виброскорости или виброускорения; | Z* (ωi)| – значение модуля входного механического импеданса; ki(ωi) – коэффициент, характеризующий усредненные частотно-избирательные свойства человека [33]. В нормативных материалах допустимые уровни вибрации установлены при продолжительности воздействия в течение восьмичасового рабочего дня. Недопустимы применение виброопасных машин и выполнение работ, если вибрация, действующая на человека в течение восьми часов, превышает установленные нормы. При воздействии вибрации, превышающей установленные нормативы, продолжительность воздействия вибрации на человека в течение смены рекомендуется уменьшать [23, с. 404]. Нормативные документы, в которых устанавливаются предельно допустимые уровни вибрации, действующей по осям X, Y, Z, представлены в источниках [23, 34 – 38]. В некоторых странах также разработаны стандарты, устанавливающие допустимую величину производственной вибрации. На рис. 12.10 приведены характеристики вибраций, соответствующих нормам различных стран [23, 39]. Для удобства сравнения на указанных рисунках выбраны единые условия воздействия вибраций, аналогичные установленным в отечественных гигиенических нормах, и приведены к единому нормируемому параметру – виброускорению в октавных полосах частот (табл. 12.5). Международной организацией по стандартизации (ИСО) предложены нормы на допустимый уровень вибрации, действующей на человека [23, 44]. Стандарт ИСО устанавливает допустимые среднеквадратические значения виброускорения в диапазоне частот 1 – 80 Гц, предельные значения вибрационного 150 воздействия на человека указаны в соответствии с тремя основными оценками работы: 1) обеспечение безопасности или здоровья (предел воздействия); 2) обеспечение производительной работы (граница снижения производительности труда от усталости); 3) обеспечение комфорта (порог снижения комфорта). Рис. 12.10. Допустимые среднеквадратические уровни виброускорения, принятые в некоторых странах: Великобритания (1 – предел воздействия; 2 – границы усталости; 3 – границы комфорта); 4 – СН 1102-73 (СССР); 5 – ГДР; 6 – ФРГ; 7 – ВНР; 8 – НРБ; 9 – СФРЮ; 10 – СН 245-71 (СССР); 11 – ПНР; 12 – ЧССР; 13 – Финляндия Действующие нормативные документы по предельным уровням воздействия вибрации на человека приведены в списке литературных источников [23, 34 – 39, 44]. 151 Т а б л и ц а 12.5 Характеристики нормативных документов, регламентирующих допустимые уровни вибрации Название документа Область применения 1 2 Вибрация. Общие Производственное оботребования безопасно- рудование, средства транссти, ГОСТ 12.1.012-78 порта (кроме железнодорожного транспорта и летательных аппаратов), ручные, стационарные, самоходные и прицепные машины и механизмы Диапазон Нормируемый па- Полоса частот, раметр вибрации, частот в котором действующий при ана- нормируетпо осям X, Y, Z лизе ся вибрация, Гц 3 4 5 Среднеквадрати1 – 63 ческое значение (1 – 1000 виброскорости для ручных машин) Нормы по ограниче- Вновь строящийся под- Амплитудное 1/3 октанию вибрации на ра- вижной состав значение вибросковы бочих местах для обрости (допускается служивающего персоамплитудное знанала и пассажиров в чение виброускоподвижном составе рения) железнодорожного транспорта. Минздрав СССР, М., 1975 1 – 63 Год ввеНаправления дения действия вибдокурации, для комента торых нормы в дейстсовпадают вие 6 7 8 480 (фикX, Y 1980 сирована) Продолжительность воздействия, мин – X, Y, Z 1975 О к о н ч а н и е т а б л. 12. 5 1 2 3 Санитарные нормы Вновь проектируемые и Среднеквадративибрации на морских, проходящие большой ка- ческое значение речных и озерных су- питальный ремонт суда виброскорости дах. Минздрав СССР, М., 1973 4 Октава 5 2 – 63 6 – 7 X, Y, Z 8 1976 Санитарные нормы допустимых вибраций в жилых домах. . Минздрав СССР, М., 1975 Октава 2 – 63 – X, Y, Z 1975 1 – 80 5 – 1440 X, Y 1974 0,8 – 90 0 – 480 X, Y 1982 Жилые помещения Среднеквадратическое значение виброскорости (виброускорения, виброперемещения) Вибрация, переда- Транспорт, здания, ма- Среднеквадрати- 1/3 октаваемая человеческому шины ческое значение вы телу. Руководство по виброускорений; оценке воздействия на длительность возчеловека. Междунадействия родный стандарт ИСО 2631-74 Вибрация. Допустимые уровни общей вибрации на рабочих местах. Стандарт СЭВ 1932-79 Технологическое оборудование, подвижные машины и транспортные средства (кроме подвижного состава железнодорожного, водного и авиационного транспорта) Среднеквадратическое значение виброскорости или виброускорения; длительность воздействия Октава или 1/3 октавы; непрерывный частотный анализ 12.4. Системы виброизоляции человека Вследствие того, что воздействующая вибрация оказывает на тело человека вредное воздействие, то встает задача – как защитить человека от вибрационного воздействия? Во многих случаях такие задачи в той или иной степени уже решены. Однако с развитием и внедрением разных новых технических механизмов остается достаточное число нерешенных задач. За все время развития техники, обладающей вибрационными свойствами, анализа этих вибрационных воздействий сложились определенные направления по борьбе с вибрацией, а следовательно, и по защите человека от вибрационного воздействия. Во многих источниках технической литературы, связанной с изучением вибрационных процессов, их воздействия на технические объекты и человека имеется материал, который основывается на приобретенном опыте разработки конкретных способов и методов борьбы с вибрацией. Виброзащита человека имеет определенные особенности. С одной стороны – это объект виброзащиты, с другой – человек сам по себе как механическая система, которой представляется в расчетах, является значительно более сложной системой. Для ограничения вредного действия вибрации используют специальные методы, способы и средства, обеспечивающие вибробезопасные условия труда и называемые виброзащитой человека-оператора. Основные из них приведены в работах [23, 44]. Наряду со снижением виброактивности источника возникновения вибрации и регламентацией условий труда целям виброзащиты служит виброизоляция – снижение параметров вибрации на путях ее распространения от источника возбуждения к телу человека с помощью дополнительных устройств, встраиваемых между ними. По сравнению с виброизоляцией технических объектов виброизоляция человека имеет ряд особенностей: 1) к системам виброизоляции человека предъявляют более высокие требования по коэффициенту виброизоляции, так как допустимые уровни вибрации, действующие на человека, значительно ниже допустимых уровней вибрации для технических объектов; 2) критерием эффективности виброизоляции человека может быть не только среднеквадратическое значение виброускорения, характеризующего 154 возбуждение, но и различные оценки физиологического и функционального состояния человека-оператора, а также уровни колебаний отдельных частей его тела (например, для оператора, выполняющего операции визуального слежения, основным является уменьшение относительных колебаний глаз человека и оптических приборов); поэтому расчет систем виброизоляции проводят с учетом динамических свойств тела человека (особенно в области частот, в которой проявляются основные резонансы); 3) так как основные резонансы тела человека расположены в диапазоне частот до 20 Гц, то необходимое значение статического перемещения Zст системы виброизоляции оказывается довольно значительным; в то же время оно должно быть меньше свободного хода; связь между статическим перемещением Zст и нижней границей области подавляемых частот fн: Zст = 0,248/ fн2 . Кроме того, изложенное выше, позволяет оценить способы виброзащиты человека (рис. 12.11), которые в той или иной степени подходят к решению конкретной задачи. В то же время важным является и то, что средства виброзащиты должны подбираться расчетами в каждом конкретном случае, так как невозможно эти средства рассчитать на «все случаи жизни». Имея достаточный накопленный опыт в этом направлении, можно воспользоваться достигнутым и применить для решения конкретной задачи. Различают системы виброизоляции трех видов: пассивные, полупассивные (или полуактивные) и активные. В пассивных системах виброизоляция достигается в основном путем смягчения подвески виброизолируемого объекта и соответствующего уменьшения коэффициента передачи. В активных системах, в которых используются дополнительные источники энергии, эффект виброизоляции создается действием дополнительного возбуждения, противофазного по отношению к основному. Как и в активных системах виброизоляции, в полупассивных (или полуактивных) системах используется дополнительный источник энергии, но ее величина ограничена и заряжается система всего лишь один раз – перед установкой на защищаемый объект. 155 Рис. 12.11. Классификация методов и средств виброзащиты человека-оператора Выбор технологических режимов Дополнительны перерывы в работе Применение виброзащитных устройств Сокращение общей продолжительности рабочего дня Виброзащитная обувь Виброзащитные рукоятки Виброзащтные перчатки Виброзащитные коврики Снижение виброактиности источника повышенной вибрации Виброизолирующие платформы Виброизолирующие сиденья В эксплуатации При изготовлении В стадии проектирования Виброзащита человека Регламентация условий труда оператора 12.5. Плавность хода вагона В последнее время в большинстве стран для определения и оценки плавности хода вагонов используют метод Шперлинга. Этот метод принят в качестве основного Организацией сотрудничества железных дорог социалистических стран (ОСЖД). В основе метода лежат результаты опытов Шперлинга при воздействии на людей синусоидальных вертикальных и горизонтальных колебаний различной частоты и с различной амплитудой ускорений. Эти опыты проводились с помощью специальной виброплатформы. На основании своих исследований Шперлинг пришел к важному выводу, что неприятные ощущения при воздействии колебаний на людей зависят от показателя, представляющего собой произведение двух величин; первая из них – наибольшая энергия, которую приобретает при колебаниях единичная масса тела пассажира, а вторая величина (которую он назвал «толчком») – интенсивность приращения ускорения, испытываемого пассажиром. Если колебательный процесс гармонический, т. е. вида Z  Z0 sin t (12.4) то наибольшая энергия, приобретенная единичной массой пассажира, E  Z0  Pи , (12.5) где Pи – сила инерции единичной массы, Pи  1  Z   2 sin(t ) . (12.6) E  Z02 2 sin(t ) . (12.7) Отсюда Если иметь в виду, что   2 f , где f – частота колебаний (Гц), то 157 Emax  Z02 (2 f )2 , (12.8) «Толчок», выражающий интенсивность нарастания ускорения, T  Z  Z0 (2 f )3 cos(t ) , (12.9) Tmax  Z 0  (2    f ) 3 . (12.10) т. е. Таким образом, неприятные ощущения зависят, по исследованиям Шперлинга, от величины, названной комфортом: R  C1  Emax  Tmax  C  Z 03  f 5 , (12.11) где с1 и С – некоторые постоянные коэффициенты. Опытами Шперлинга установлено, что показатель плавности хода Wz представляется не прямо величиной R, а Wz  A1  10 Z 03  f 5 , (12.12) где A2 = 2,7 k; в свою очередь k – коэффициент, учитывающий влияние частоты и направления (вертикальные или горизонтальные) колебаний на самочувствие пассажиров. Согласно опытам величина k в зависимости от частоты принимается по графику рис. 12.12. Формулу (12.12) можно представить и так: Wz  0.9  k  10 R . (12.13) Рис. 12.12. Зависимость плавности хода от частоты 158 Следует иметь в виду, что колебания кузова совершаются с разной амплитудой ускорений Z и даже с разной частотой. В этом случае показатель плавности хода (по колебаниям в вертикальной или горизонтальной плоскости, которые определяются раздельно) для колебаний одной частоты , но с разными величинами наибольших ускорений определяется по формуле: Wz ( f1 )  10 p1  W ( f1 )10  p2  W ( f1 )10    pn  W ( f1 )10 , (12.14) где p1, p2,…, pi – повторяемость отдельных максимумов ускорений; Z1, Z2, …, Zi – максимумы амплитуд ускорений кузова вагона с постоянной частотой f1; повторяемость является отношением количества максимумов ускорений данной частоты к общему числу максимальных величин ускорений. Если известны показатели для частот f1, f2,…., fi и повторяемость этих частот p1, p2, … pi, то общий W1, W2, …, Wi показатель плавности хода в вертикальных или горизонтальных колебаниях будет вычисляться по формуле: Wz  10 p1  W110  p2  W210    pi  Wi10 . (12.15) Совершенно очевидно, что чем меньше величина испытываемых пассажирами ускорений, т. е. чем плавность и ходовой комфорт лучше, тем меньше величина показателя плавности хода Wz. В СССР и ряде других стран плавность хода пассажирских вагонов считается удовлетворительной, если Wz < 3,25; для грузовых вагонов допускается Wz < 4,0. Совершенно не пригоден подвижной состав с Wz > 5,0. Напротив, можно считать отличным ход вагонов, имеющих Wz < 2. Кроме колебаний при движения вагона со скоростью V по кривой радиуса R на пассажира действуют центробежные силы с ускорением V2/R, а вследствие наклона пола вагона на угол γ и ускорение от составляющей сила земного притяжения g∙tg γ. Заметим, что γ = α – , где α – угол наклона к горизонту плоскости, проходящей через поверхности головок рельсов, а  – угол наклона кузова на рессорах по отношению к указанной выше плоскости. 159 V2  g  tg (   ) называют поперечным непогашенным Разность aнеп  R ускорением в кузове, исследованиями установлено, что порог ощущения этого ускорения лежит в границах 0,4 – 0,8 м/с2. Угол  для разных типов вагонов разный, поэтому обычно нормируют величину непогашенного ускорения, отнеV2  g  tg ( ) . сенного не к кузову, а к оси колесной пары, т. е. aнеп  R Для этой величины установлены разные наибольшие допускаемые значения. В СССР допускается aнеп < 0,7 м/с2. В большинстве стран мира не допускают, чтобы aнеп превосходило 0,6 – 0,65 м/с2, и только во Франции допускают aнеп < 1,0 м/с2. Допустимые коэффициенты плавности хода вагонов приведены в табл. 12.6. Т а б л и ц а 12.6 Допустимые коэффициенты плавности хода Оценка хода вагона Отличный Хороший Удовлетворительный Допустимый Непригодный для регулярного движения 0,2 0.35 0,08 0,15 0,20 0,35 0,10 0.15 Показатель плавности хода W в вертикальном и горизонтальном направлениях 1,2 2,5 0,45 0,65 0,25 0,35 0,45 0,65 0,30 0,45 4,0 5,0 >1,5 >1,5 >0,70 >0,40 >0,70 >0,50 >6,0 >1,2 Коэффициент динамики вертигоризонкальный тальный кв кг Ускорение кузова, м/с2 вертигоризонкальное тальное ав аг 160 Коэффициент запаса устойчивости колеса против схода Ку >1,5 >1,5 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Материал, изложенный в данной части учебного пособия, является теоретической базой курса «Механика подвижного состава». Здесь представлены основы теории колебаний механических систем, приведена методика формирования математических моделей, описывающих колебания подвижного состава и отдельных его узлов при различных видах возмущения. Раскрыта роль влияния значений упругих и диссипативных параметров системы рессорного подвешивания на показатели динамических качеств железнодорожного экипажа. Приведены сведения из теории случайных процессов. Изложены основы операционного исчисления, позволяющего существенно упростить решение задачи исследования динамических колебательных процессов при действии случайного внешнего возмущения на механическую систему. Дано описание неровностей пути и приведена их классификация, что позволит в дальнейшем провести исследования динамических свойств железнодорожных экипажей (локомотивов, вагонов) и их отдельных узлов. Библиографический список 1. В е р и г о М. Ф. Взаимодействие пути и подвижного состава / М. Ф. В е р и г о, А. Я. К о г а н. М.: Транспорт, 1986. 559 с. 2. К о н о н е н к о В. О. Пространственные нелинейные колебания твердых тел / В. О. К о н о н е н к о // Прикладная механика. 1969. Т. V. Вып. 2. С. 7 – 18. 3. Д о б ы ч и н И. А. Основы нелинейной механики рельсовых экипажей / И. А. Д о б ы ч и н, А. В. С м о л ь я н и н о в, А. Э. П а в л ю к о в / Межотраслевой региональный центр. Екатеринбург, 1999. 265 с. 4. Б и д е р м а н В. Л. Теория механических колебаний / В. Л. Б и д е р м а н. М.: Высшая школа, 1980. 408 с. 5. В а р а в а В. И. Прикладная теория амортизации транспортных машин / В. И. В а р а в а / Ленинградский ун-т. Л., 1986. 188 с. 6. Г а л и е в И. И. Методы и средства виброзащиты железнодорожных экипажей / И. И. Г а л и е в, В. А. Н е х а е в, В. А. Н и к о л а е в / Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте. М., 2010. 340 с. 161 7. Г о р е л и к Г. С. Колебания и волны / Г. С. Г о р е л и к. М.: Физматгиз, 1959. 572 с. 8. Г у л я е в В. И. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем / В. И. Г у л я е в, В. А. Б а ж е н о в, С. Л. П о п о в. М.: Высшая школа, 1989. 383 с. 9. Л е в и т с к и й Н. И. Теория машин и механизмов / Н. И. Л е в и т с к и й. М.: Наука, 1979. 576 с. 10. Л е в и т с к и й Н. И. Колебания в механизмах / Н. И. Л е в и т с к и й. М.: Наука, 1988. 336 с. 11. С в е ш н и к о в А. А. Прикладные методы теории случайных функций / А. А. С в е ш н и к о в. М.: Наука, 1968. 376 с. 12. У ш к а л о в В. Ф. Статистическая динамика рельсовых экипажей / В. Ф. У ш к а л о в, Л. М. Р е з н и к о в, С. Ф. Р е д ь к о; Под ред. В. Ф. У ш к а л о в а. Киев: Наукова думка, 1982. 360 с. 13. В е р ш и н с к и й С. В. Динамика вагонов / С. В. В е р ш и н с к и й, В. Н. Д а н и л о в, И. И. Ч е л н о к о в. М.: Транспорт, 1972. 304 с. 14. У ш к а л о в В. Ф. Случайные колебания колесных экипажей, движущихся по жесткому основанию со случайными неровностями / В. Ф. У ш к а л о в // Вестник ВНИИЖТа. 1971. № 6. С. 5 – 9. 15. Г а л и е в И. И. Метод разделения движения в задачах транспортной механики / И. И. Г а л и е в, В. А. Н е х а е в, В. В. М а р к о в и ч е н к о // Исследование динамики транспортных и строительных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. / МИИТ. М., 1989. Вып. 817. С. 4 – 10. 16. Механическая часть тягового подвижного состава / Под ред. И. В. Б и р ю к о в а. М.: Транспорт, 1992. 440 с. 17. Математическое моделирование колебаний рельсовых транспортных средств / Под ред. В. Ф. У ш к а л о в а. Киев: Наукова думка, 1989. 240 с. 18. С о к о л о в М. М. Динамическая нагруженность вагона / М. М. С о к о л о в, В. Д. Х у с и д о в, Ю. Г. М и н к и н. М.: Транспорт, 1981. 207 с. 19. Влияние параметров пути и тележки на силы взаимодействия / В. А. Л а з а р я н, Р. С. Л и п о в с к и й и др. // Науч. тр. / Днепропетровский ин-т инж. ж.-д. трансп. Днепропетровск, 1968. Вып. 68. С. 22 – 28. 20. Конструкция и динамика тепловозов / Под ред. В. Н. И в а н о в а. М.: Транспорт, 1974. 336 с. 162 21. К о г а н А. Я. Расчеты железнодорожного пути на вертикальную нагрузку / А. Я. К о г а н // Науч. тр. / ВНИИЖТ. М., 1973. Вып. 502. 243 с. 22. Г р а ч е в а Л. О. Взаимодействие вагонов и железнодорожного пути (вынужденные колебания) / Л. О. Г р а ч е в а // Науч. тр. / ВНИИЖТ. М., 1968. Вып. 356. 208 с. 23. Вибрации в технике: Справочник: В 6 т. Т. 6. Защита от вибрации и ударов / Под ред. К. В. Ф р о л о в а. М.: Машиностроение, 1981. 456 с. 24. А н д р е е в а - Г а л а н и н а Е. Ц. Вибрация и ее значение в гигиене труда / Е. Ц. А н д р е е в а - Г а л а н и н а. Л.: Медгиз, 1956. 190 с. 25. S t i k e a t h e r L. P. Stady of vehicle vibration spektre as related to seating dynamics / L. P. S t i k e a t h e r, G. O. H a l l, A. O. R a d k e // SAE preprint N720001. 1972. 34 p. 26. M i w a I. Mechanical impedance of human body in various postures / I. M i w a // Industrial Health, 1975. V. 13. № 5. P. 1 – 22. 27. Г л у х а р е в К. К. О нелинейности и нестационарности динамических характеристик тела человека / К. К. Г л у х а р е в, Б. А. П о т е м к и н, В. Н. С и р е н к о // Машиноведение. 1972. № 4. С. 9 – 14. 28. П а л ь м о в В. А. Колебания упругопластических тел / В. А. П а л ь м о в. М.: Наука, 1976. 328 с. 29. П а н о в к о Г. Я. Определение параметров моделей тела человекаоператора при вибрационном и ударном воздействиях / Г. Я. П а н о в к о, Б. А. П о т е м к и н, К. В. Ф р о л о в // Машиноведение. 1972. № 3. С. 31 – 37. 30. G a r d D. R. Vertical mode human body vibration transmissibility / D. R. G a r d, M. A. R o s s // Trans. IEEE. Ser. SMC, 1976. V. 6. № 2. P. 102 – 112. 31. G a r d H. E. Biodynamic models and their applications / H. E. G a r d // Journ. of the accoust. Soc. of Amer., 1971. V. 50. № 6. P. 1397 – 1413. 32. Э й к х о ф ф П. Основы идентификации систем управления / П. Э й к х о ф ф. М.: Мир, 1975. 683 с. 33. P r a d k o F. Theory of human vibraitions response / F. P r a d k o, R. L e e, Y. O. K a l u r a // ASME haper. № 66. WA/BHP-15. 1966. P. 1 – 5. 34. ГОСТ 12.1.012-78. Вибрация. Общие требования к безопасности. М.: Изд-во стандартов, 1978. 12 с. 163 35. Вибрация, передаваемая человеческому телу. Руководство по оценке воздействия на человека. Международный стандарт. Рег. № ИСО 2631-74. М.: Изд-во стандартов, 1978. 17 с. 36. Санитарные нормы допустимых вибраций в жилых домах. М.: Минздрав СССР, 1975. 9 с. 37. Санитарные нормы и правила при работе с инструментами, механизмами и оборудованием, создающими вибрации, передаваемые на руки работающих. М.: Минздрав СССР, 1966. С. 3 – 9. 38. Санитарные нормы по ограничению вибрации на рабочих местах для обслуживающего персонала и пассажиров в подвижном составе железнодорожного транспорта. М.: Минздрав СССР, 1975. 9 с. 39. В а с и л ь е в Ю. М. Нормирование производственных вибраций в СССР и за рубежом / Ю. М. В а с и л ь е в, Я. Г. Г о т л и б, Л. Е. Ф и л а т о в а / ВНИИ охраны труда. М., 1976. 60 с. 40. Динамические исследования пути и корректировка правил расчётов железнодорожного пути на прочность // Труды / ВНИИЖТ. М., 1972. Вып. 466. 192 с. 41. Ш а х у н я н ц Г. М. Железнодорожный путь / Г. М. Ш а х у н я н ц. М.: Трансжелдориздат, 1969. 535 с. 42. Б е л е н ь к и й И. М. Введение в аналитическую механику / И. М. Б е л е н ь к и й. М.: Высшая школа, 1964. 324 с. 43. Н е х а е в В. А. Оптимизация режимов ведения поезда с учетом критериев безопасности движения (методы и алгоритмы): Дис… доктора техн. наук. Омск, 2000. 353 с. 44. ГОСТ 31191.4-2006 (ИСО 2631-4:2001). Вибрация и удар. Измерение общей вибрации и оценка ее воздействия на человека. Руководство по оценке влияния вибрации на комфорт пассажиров и бригады рельсового транспортного средства. М.: Стандартинформ, 2008. 17 с. 45. Б а т ь М. И. Вынужденные колебания в системе с гистерезисом / М. И. Б а т ь // Прикладная математика и механика. 1940. Вып. 3. Т. 4. С. 13 – 30. 46. К а м а е в В. А. Оптимизация параметров ходовых частей железнодорожного подвижного состава / В. А. К а м а е в. М.: Машиностроение, 1980. 215 с. 164 Учебное издание ГАЛИЕВ Ильхам Исламович, НЕХАЕВ Виктор Алексеевич, НИКОЛАЕВ Виктор Александрович, УШАК Виктор Николаевич ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА Учебное пособие Часть 2 ___________________________ Редактор Н. А. Майорова *** Подписано в печать . 03. 2013. Формат 60 × 841/16. Офсетная печать. Бумага офсетная.Усл. печ. л. 10,3. Уч.-изд. л. 11,5. Тираж 100 экз. Заказ . ** Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа Типография ОмГУПСа * 644046, г. Омск, пр. Маркса, 35