Специальная (частная) методика геометрии: планиметрии и стереометрии

Лекция 4. Специальная (частная) методика геометрии: планиметрии и стереометрии Оглавление Тема 1. Логическое строение школьного курса геометрии. ..........................................................................1 Тема 2. Методика изучения первых разделов (тем) систематического курса геометрии. .........................3 Начиная изучать курс планиметрии в 7 классе, учитель сталкивается с определенными трудностями. .3 Тема 3. Изучение взаимного расположения прямых на плоскости. Параллельность и перпендикулярность прямых. ..........................................................................................................................4 Тема 4. Геометрические построения в курсе планиметрии. Методика обучения решению задач на построение. ........................................................................................................................................................8 Тема 5. Методика изучения многоугольников в школьном курсе планиметрии. .....................................10 Тема 6. Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии. .................................................14 Тема 7. Векторы в школьном курсе математики. .........................................................................................16 Тема 8. Методика изучения геометрических величин в школьном курсе математики. ...........................20 Тема 9. Особенности изучения стереометрии в средней школе. Методика первых уроков стереометрии. ..................................................................................................................................................28 Тема 10. Задачи на построение в курсе стереометрии. ...............................................................................31 Тема 11. Методика изучения координат, векторов и геометрических преобразований в пространстве в школьном курсе стереометрии. .....................................................................................................................33 Тема 12. Изучение параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии. ..................................................................................................................................................36 Тема 13. Методика изучения многогранников, фигур вращения в школьном курсе стереометрии. .....38 Тема 1. Логическое строение школьного курса геометрии. План. 1. Цели изучения и структура школьного курса геометрии. 2. Содержание пропедевтического курса геометрии в 5-6 классах. 3. Различные подходы к построению школьного курса геометрии (логическое строение). Содержание лекции: Изучение геометрии в школе преследует все цели обучения математике (обучающие, воспитательные, развивающие), но при этом выделяются некоторые специфические цели: 1) ознакомление учащихся с основными геометрическими фигурами и их свойствами; 1 2) показ практического действительности; приложения изучаемого материала к реальной 3) развитие логического мышления и пространственного воображения; 4) овладение навыками использования способности к техническому творчеству. чертежных инструментов и развитие Структура школьного курса геометрии. 1 ступень (1-4 классы) – изучение отдельных элементов геометрии. 2 ступень (5-6 классы) – пропедевтический курс геометрии. 3 ступень (7-9 классы) – систематический курс планиметрии. 4 ступень (10-11 классы) – систематический курс стереометрии. На второй ступени в пропедевтическом курсе математики 5-6 класса доля геометрического материала составляет приблизительно 1/3 часть курса. В 5 классе основное внимание отводится рассмотрению элементарных геометрических фигур, вводимых преимущественно через наглядное их описание: отрезок и его длина; прямая; луч; угол; многоугольник; ломанная; прямоугольный параллелепипед; куб и их объем. В 6 классе ведущая роль отводится элементарным геометрическим построениям: построение треугольника по трем данным элементам; построение окружности; параллельных и перпендикулярных прямых с помощью треугольника и линейки; построение фигур, симметричных относительно точки, относительно прямой. Также рассматривают круг и шар. Без доказательства вводят формулы длины окружности, площади круга. Традиционный курс геометрии в школе сложился на основе «Начал Евклида» в то же время претерпевает постоянные изменения в отношении объема, так и в отношении содержания, так как реализация традиционного строго дедуктивного изложения курса на основе той или иной аксиоматики все время находится в диалектическом противоречии с принципом доступности обучения. До 1968 года школьный курс геометрии (учебники Киселева, Глаголева, Никитина) был изложен на основе аксиоматики Гильберта. Но она была представлена неполно: в наиболее полном виде рассматривались аксиомы принадлежности и параллельности. Вообще не были представлены аксиомы конгруэнтности и порядка (на интуитивном уровне). В соответствии с требованиями в 1968 году в процессе коренной реорганизации математического образования была поставлена задача разработки такой аксиоматики, которая была бы немногочисленной, доступной для учащихся, наглядной и в то же время логически строгой. При том должна учитываться как сама логика построения курса на основании выделенной аксиоматики, так и возможности осознания учащимися идем такого построения. Были предложены несколько путей. 1. Изложение, приближенное к алгебре (на основе метода координат, векторного аппарата). При этом курс планиметрии строился на традиционной основе, а стереометрии – на основе аксиоматики Вейля. 2. Изложение на теоретико-множественной основе, предложенное А.Н. Колмогоровым. Основным аппаратом решения задач является аппарат геометрических преобразований. Система аксиом геометрических преобразований. Система аксиом немногочисленна, достаточно наглядна для учащихся. 3. Аксиоматика, построенная на основе аксиоматики Евклида-Гильберта, но более полная по отношению к предложенному курсу. Система аксиом представлена в явном виде уже 2 в начале курса (§1). Данный подход предложен А.В. Погорелов; но он не стыковался с принятой теоретико-множественной основой. Вопросы для самопроверки: 1) Сформулируйте основные цели изучения школьного курса геометрии? 2) Какова структура курса геометрии, изучаемого в средней школе? 3) Каковы особенности содержания пропедевтического курса геометрии в 5-6 классах? 4) В чем суть подходов к построению курса геометрии в основных действующих школьных учебниках? Тема 2. Методика изучения первых разделов (тем) систематического курса геометрии. План. 1. Основные трудности, встречающиеся на первых уроках планиметрии и пути их преодоления. 2. Методика проведения первых уроков систематического курса геометрии. Содержание лекции: Начиная изучать курс планиметрии в 7 классе, учитель сталкивается с определенными трудностями. 1. Совершается резкий переход к необходимости все доказывать. Если в 5-6 классах в основном использовался индуктивный подход, то в систематическом курсе на первый план выходят дедуктивные рассуждения. При этом ученики считают, что многие факты они уже знают (или наглядно очевидны) и незачем их доказывать. 2. Невозможно дать единого метода доказательства теорем и решения задач. 3. Вводится новая символика, много новой терминологии. 4. Очень много рисунков, чертежей, к которым учащиеся еще недостаточно привыкли. Учитывая указанные сложности, в начале систематического курса учителю не следует резко отходить от конкретно-индуктивного подхода, широко использовать интуицию учащихся с применением различных наглядных пособий. Одновременно необходимо формировать у школьников потребность в доказательстве вводимых утверждений. Перед изучение первого раздела учителю целесообразно провести беседу о предмете геометрии. Учитель должен продемонстрировать ученикам различные плоские и пространственные фигуры и попросить учащихся описать их свойства. Таким образом, подводим учащихся к выводу, что геометрия изучает свойства различных плоских и пространственных фигур. При этом некоторые свойства фигур очевидны, другие же необходимо обосновать рассуждениями. После этого переходят к рассмотрению основных понятий и их свойств. Начинают обычно с практической задачи на построение, после чего формулируется свойство, которое затем закрепляется на задачах. 3 При работе над аксиомами планиметрии возможно использование учителем следующей методической схемы. 1. На первом этапе аксиома может быть предварена рисунком с небольшим комментарием учителя. 2. Формулировка аксиомы учителем 3. Логический анализ формулировки аксиомы. 4. Математический диктант. 5. Закрепление при решении задач. Вопросы для самопроверки: 1. Перечислить основные трудности, возникающие у учащихся при изучении геометрии на первых уроках систематического курса. 2. Каковы основные пути преодоления этих трудностей? 3. Какие методические схемы изучения аксиом (основных свойств простейших геометрических фигур) можно выделить? 4. Опишите возможную реализацию каждой из схем при изучении какой либо аксиомы школьного курса планиметрии. Тема 3. Изучение взаимного расположения прямых на плоскости. Параллельность и перпендикулярность прямых. План. 1. Цели изучения параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. 2. Методика изучения параллельности прямых на плоскости в школьном курсе. 3. Изучение перпендикулярности прямых в курсе планиметрии. Выделим следующие основные цели изучения параллельности и перпендикулярности прямых в школьном курсе: 1) через аксиому параллельных в школьный курс вводится евклидова геометрия; 2) материал о параллельности и перпендикулярности необходим в дальнейшем для изучения тем «Четырехугольники», «Координаты», «Векторы», «Геометрические преобразования» и др. 3) позволяет более глубоко осознать роль аксиом при построении курса геометрии; 4) большое практическое значение (самостоятельно привести примеры). 1. В настоящее время практикуются два варианта изложения вопросов о параллельности и перпендикулярности. 1 вариант (учебник Л.С. Атанасяна – 7 класс). Вначале рассматривается частный случай пересечения прямых – перпендикулярность прямых, затем в отдельную главу вынесен материал о параллельных. 2 вариант (учебник А.В. Погорелова). Вопросы о параллельности и перпендикулярности прямых рассматриваются вперемежку друг с другом: 4 а) аксиома параллельных (§1), б) перпендикулярные прямые (§2), в) параллельные прямые, признаки параллельности прямых, свойства параллельных прямых, сумма углов треугольника (§4), г) существование и единственность перпендикуляра к прямой (§4), д) построение перпендикулярной прямой (§5), е) 8 класс, тема «Четырехугольники» (§6), параллельный перенос – в теме «Движение» (§9). При любом варианте изложения данного материала следует начать с вопроса о взаимном расположении двух прямых на плоскости. Это можно осуществить в виде эвристической беседы: 1. Могут ли две прямые иметь одну общую точку? 2. Могут ли две прямые иметь две общие точки? 3. Могут ли иметь бесконечное множество общих точек? 4. Могут ли не иметь общих точек? Само определение параллельных прямых встречается в двух вариантах: 1) А.Н. Колмогоров: прямые параллельны, если они не пересекаются либо совпадают. Погорелов, Атанасян: прямые параллельны, если они не пересекаются. После введения определения необходимо доказать существование параллельных прямых. В различных учебниках теорема существования рассматривается по-разному. Колмогоров: после введения параллельных прямых доказывается теорема: «Центральносимметричные прямые параллельны», а затем – аксиома параллельных. Погорелов: в §4, сумма углов треугольника после признаков параллельности, сопоставляя утверждение задачи 8, решение которой рассматривается в учебнике и аксиомы IХ (акс. параллельных), приходят к выводу: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну». В задаче 8 даны «прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ». Атанасян: В вопросе о перпендикулярных прямых до аксиомы параллельности рассматривается важное следствие: «две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются». Таким образом, доказывается существование параллельных прямых. Аксиома параллельных также формулируется по-разному. Если у Погорелова – «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной», а затем доказывается, что такая прямая есть, то у Атанасяна сразу принимается за аксиому, что через точку можно провести единственную прямую, параллельную данной, что является более целесообразным вариантом, поскольку это интуитивно и так понятно. 5 а Методика изучения признаков параллельности прямых. В С α Вначале целесообразно выяснить вопрос: зачем нужны признаки параллельности? Дело Е параллельности прямых. в том,b что определение не дает возможности проверки К (установления) Невозможно на бесконечности проверить пересекаются ли прямые или нет. Поэтому и нужны F специальные признаки, по которым можно судить о параллельности. c D А Первый признак – две прямые, параллельные третьей, параллельны» не вызывает сложностей у школьников. Вспомнив необходимый материал, учащиеся решают задачу на построение двух прямых b и с, параллельных данной прямой а. выясняется, как соотносятся между собой прямые b и с. предположение противного сразу приводят к противоречию с аксиомой параллельных. Следующие признаки связаны с рассмотрением углов, получаемых при пересечении двух прямых третьей. После доказательства одного из признаков формулируются все остальные в виде самостоятельного задания для школьников (или устно). Задачный материал по теме «Признаки параллельности прямых» целесообразно дополнить поисковыми заданиями без заранее данного чертежа, смысл которых состоит в правильности представления той или иной конфигурации, взгляд на проблему «со стороны». Их выполнение может быть осуществлено в виде лабораторной работы. Например, задача. 1) АВС  80 , ВСD  120. Могут ли прямые АВ и СD быть параллельными? Ответ объяснить. 2) Внутренние односторонние углы при двух прямых а и b и секущей с равны α и 180   . Могут ли а и b быть параллельны? 3) Прямые АВ и СD – параллельны. АВС   . Чему равен ВСD ? Возможно использование более свободных по характеру выполнения заданий на составление задач по чертежу. Например: используя рисунок, составьте несколько задач. 1) 2) 6 По рис.2: а) СЕ=ЕD, ВЕ=ЕF; ВСЕ  FDЕ б) ВСЕ  FDЕ ; СВЕ  FDЕ в) ВСЕ  FDЕ ; ВС // АD г) Как построить сумму АD+ВС? Вопросы для самопроверки: 1. Какова роль материала о параллельных и перпендикулярных прямых в школьном курсе планиметрии? 2. С чего целесообразно начинать изучение этого материала в школьном курсе геометрии? 3. Какие варианты определения параллельных прямых встречаются в школьных учебниках? 4. Как решается вопрос о существовании параллельных прямых в действующих школьных учебниках геометрии? 5. Какие идеи лежат в основе доказательства признака параллельности прямых (через равенство накрест лежащих углов) в школьных учебниках? 7 Тема 4. Геометрические построения в курсе планиметрии. Методика обучения решению задач на построение. План. 1. Роль и место геометрических построений в школьном курсе. 2. Методика обучения решению задач на построение. 3. Основные методы решения задач на построение в школьном курсе и некоторые рекомендации по их использованию. Содержание лекции: 1) Задачи на построение – это задачи, в которых требуется построить некоторую геометрическую фигуру по заранее заданным данным с помощью ограниченного набора чертежных инструментов (чаще всего – линейки и циркуля). Роль задач на построение в школьном курсе: 1. Способствует развитию воображения школьников, так как еще до решения данной задачи приходится отчетливо представить искомый образ. 2. Развивают конструктивные способности учащихся и закрепляют соответствующие чертежные навыки. 3. Анализ и исследование полученного решения, рассмотрение взаимосвязей между данными и искомыми элементами содействуют развитию логического мышления школьников, в частности – мыслительных операций: анализа, синтеза, абстрагирования; пробуждают их инициативу. 4. Способствуют прочному закреплению теоретического материала курса. 2) Тематическое планирование материала, связанного с геометрическими построениями, предполагает следующее его распределение по этапам: 1. Ознакомительный этап (1-4 кл.). Здесь школьники впервые знакомятся с чертежными инструментами – линейкой, циркулем, треугольником и решают простейшие задачи на построение прямой, отрезка, окружности, угла. 2. Пропедевтический этап (5-6 кл.). более значительное внимание к геометрическим построениям подготавливает учащихся к решению более сложных задач систематического курса. Используются линейка, циркуль, транспортир, треугольник. Рассматривается построение параллельных и перпендикулярных прямых с помощью угольника и линейки; треугольника с помощью линейки, циркуля и транспортира; окружности, квадрата, прямоугольника. 3. Систематический курс геометрии (7-11 кл.). 7 класс. Здесь впервые учащиеся встречаются с основным требованием, предъявляемым к геометрическим чертежам – все построения должны выполняться только при помощи циркуля и линейки. Это требование вытекает из двух постулатов Евклида в «Началах»: а) от всякой точки до всякой точки можно провести прямую; б) из всякого центра любым раствором циркуля можно описать круг. При этом возникает необходимость доказательства того, что построенная фигура удовлетворяет требованиям задачи. В 7 классе учащиеся знакомятся с элементарными задачами на построение, построение окружности, вписанной и описанной около треугольника; кроме того, учащиеся усваивают первый общий метод решения задач на построение – метод геометрических мест (метод пересечений). 8 класс. В теме «Четырехугольники» решаются соответствующие задачи на построение методом геометрических мест; в теме «Движения» – используются все виды движения для решения задач на построение; в теме «Декартовы координаты на плоскости» рассматриваются построения на координатной плоскости (построение прямой, окружности, точек пересечения). 8 9 класс. В теме «Подобные фигуры» - задачи на построение с использованием гомотетии и преобразования подобия; в теме «Правильные многоугольники» – задачи на построение вписанных и описанных правильных многоугольников. (10-11 классы). В стереометрии рассматриваются два вида геометрических построений: а) воображаемые построения, основывающиеся только на аксиомах стереометрии (часто используются при решении конструктивных задач типа «Докажите, что через точку вне плоскости можно провести…»; б) построения на проекционном чертеже, когда указываются кроме точек фигуры их проекции на проекционной плоскости. 3) Решение задач на построение выполняет свои указанные выше функции лишь при условии, когда школьники отчетливо поймут и прочно усвоят известный процесс решения этих задач, состоящий из четырех этапов, с которыми учащиеся знакомятся еще в 7 классе: 1) анализ; 2) построение (синтез); 3) доказательство; 4)исследование. Не все указанные этапы с самого начала обязательно должны явно присутствовать при решении задач на построение. В простейших конструктивных задачах, где алгоритм построения очевиден, допустимо не проводить анализ задачи в явном виде; если же доказательство непосредственно следует из построения, его можно также опустить (например, при построении в 7-8 классах обычно либо отсутствует, либо ограничивается проверкой выполнимости каждой операции и нахождением количества решений (если возможно). Рассмотрим на примере следующей задачи на построение реализацию указанных этапов. Задача. Построить треугольник по данному периметру и двум его внутренним углам α и γ. 4) После рассмотрения основных элементарных задач на построение, навыки, в решении которых обрабатываются до автоматизма, учащиеся приступают к знакомству с первым общим методом решения задач на построение, предварительно рассмотрев понятие геометрического места точек (Г.М.Т.). При введении понятия Г.М.Т. необходимо обратить внимание школьников на следующий факт: при определении того, является ли данная фигура геометрическим местом точек, обладающих определенным свойством, необходимо фактически проверить два взаимно обратных утверждения: 1) любая точка фигуры обладает указанным свойством; 2) любая точка, обладающая данным свойством принадлежит этой фигуре. Метод геометрических мест сводится к отысканию некоторого множества точек, характеризуемого условием, имеющим вид конъюнкции х, таких, что / Р1( х)  Р2 ( х)...Рn ( х), где Р1(х) – фигура, удовлетворяющая первому условию, Р2(х) – фигура, удовлетворяющая второму условию и т.д. В качестве первой задачи, решаемой М.Г.М. целесообразно предложить школьникам задачу, уже известную им – построение треугольника по трем сторонам. Построив одну из заданных сторон, находим третью вершину, предварительно выделив условия, каким она удовлетворяет: а) находится на расстоянии b от точки А (это окружность с центром в точке А и радиусом b); б) на расстоянии а от точки В. 9 Точка С будет являться пересечением этих двух геометрических мест точек (окружностей). Правда, здесь надо еще одно Г.М.Т. рассмотреть – заданную полуплоскость относительно прямой АВ. Далее переходим к решению задач М.Г.М. типа№32: построить треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте. Следующий метод задач на построение – метод координат (8 класс) или алгебраический метод. Он сводится к построению фигур на координатной плоскости, исходя из имеющихся уравнений этих фигур. У школьников он особых проблем не вызывает в силу его алгоритмичности, достаточно широкого знакомства с ним как на уроках алгебры, так и геометрии. Пример: Построить геометрическое место точек плоскости, для которых х  4 . Метод движений сводится к подбору такого движения, в результате которого образуется некоторая вспомогательная фигура, удовлетворяющая двум условиям: 1) она может быть построена по данным задачи; 2) она связана с искомой так, что ее построение обеспечивает построение искомой фигуры. Наибольшие затруднения у школьников вызывают задачи на построение, решаемые методом подобия (9 кл.) хотя непосредственно таких задач немного, учителю следует в эвристической беседе при решении одной из задач на этапе анализа подвести школьников к выводу, что условие соответствующих задач целесообразно разбить на две части, одна из которых определяет «форму» искомой фигуры (то есть определяет ее с точностью до подобия), а другая – ее размеры. По первой части строят фигуру, подобную искомой, а затем преобразовывают ее в искомую с учетом второй части. Вопросы для самопроверки: 1) Что такое задача на построение? Когда она считается решенной? 2) Какова роль задач на построение в школьном курсе? 3) Какие геометрические построения осуществляются в курсе математики: а) начальной школы; б) пропедевтическом курсе 5-6 классов; в) в систематическом курсе геометрии 7-11 классов? 4) В чем суть основных этапов решения задач на построение? 5) Какие основные методы решения задач на построение Вы знаете? В чем их сущность? Какие из этих методов используются в школьном курсе геометрии? Тема 5. Методика изучения многоугольников в школьном курсе планиметрии. План. 1. Роль материала о многоугольниках в обучении математике. 2. Обзор содержания материала о многоугольниках в школьном курсе математики. 3. Методические рекомендации по изучению многоугольников. 10 Содержание лекции: Роль темы «Многоугольники» в обучении обусловлена следующим: 1. Многоугольники и их свойства непосредственно являются основным объектом изучения геометрии, позволяющим развить воображение учащихся. 2. Знания, умения и навыки, связанные с данной темой, необходимы для изучения смежных дисциплин (физики, черчения, труда и других) и в реальной жизни. 3. Учение о многоугольниках дает основу для использования соответствующего аппарата решения задач и доказательства теорем школьного курса стереометрии и естественным образом способствует развитию логического мышления. 4. Многоугольники являются полигоном для раскрытия материала о декартовых координатах, геометрических преобразованиях, векторах и др. 5. Материал важен в мировоззренческом аспекте, в историческом и прикладном ракурсах. В систематическом курсе планиметрии материал о многоугольниках можно разбить на 3 основных блока. 1. Учение о треугольниках (7-8 классы) является базовым материалом всей темы, поскольку дальнейшее ее изучение основывается на применении различных свойств треугольников (в частности используются цепочки равных треугольников для доказательства равенства каких либо отрезков, углов при изучении многоугольников. К этому блоку относится следующий материал: 1) определение треугольника, сопутствующих понятий, 2) равнобедренный треугольник, 3) равенство треугольников, аксиома существования треугольника, равного данному, 4) зависимость между элементами треугольника, 5) подобие треугольников, 6) площадь треугольника, 7) комбинации треугольника с окружностью. 2. Учение о четырехугольниках (8 класс): 1) определение четырехугольника и сопутствующих понятий, 2) частные виды четырехугольников и их свойства (параллелограмм и его виды: прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция), 3) площади четырехугольников. 3. Учение о многоугольниках (9 класс). 1) общее понятие о многоугольниках, 2) правильные многоугольники и их построение, 11 3) комбинации правильных многоугольников с окружностью. В учебнике А.В. Погорелов: сначала треугольники (7 класс), четырехугольники (8 класс), многоугольники позволяющее (9 класс). Происходит постепенное обобщение материала, учащимся последовательно установить естественные взаимосвязи между предыдущим и последующими темами. В учебнике Л.С. Атанасяна смешанный подход: треугольники (7 класс), многоугольники (обзор, 8 класс), четырехугольники, правильные многоугольники (9 класс). Само определение многоугольника (и его частных видов) производится в основном с двух позиций: а) как одномерного объекта – простая замкнутая ломанная, б) как двумерного объекта – плоского многоугольника, включающего в себя кроме простого многоугольника его внутреннюю область. Оба подхода имеют как достоинства, и так и недостатки. Если мы вводим понятие многоугольника как одномерного объекта, то здесь имеем возможность вывести данное определение из основных понятий – точек и отрезков прямой, то есть четко показать преемственность вводимых понятий. Определяя же многоугольник как плоский, мы имеем возможность в дальнейшем рассмотреть сопутствующие элементы – медиану, высоту и биссектрису треугольника как объекты, принадлежащие треугольнику, а так же ввести понятие площади многоугольника. Методические особенности изучения многоугольников рассмотрим на примере наиболее характерной темы данного материала «Четырехугольники» Схема изучения данной темы: 1. Определение четырехугольника и выделение различных их видов. 2. Доказательства существования каждого вида. 3. Свойства и признаки каждого вида. 4. В конце изучения – классификация. Изучение признаков и свойств параллелограмма связано с формулировкой необходимого и достаточного условия того, что четырехугольник является параллелограммом. Данный материал в учебнике А.В. Погорелова изучается вперемежку, по учебнику Л.С. Атанасяна сначала рассматриваются свойства, а затем признаки, как обратные теоремы. Свойства 12 параллелограмма обычно вводятся с помощью практической работы вида: начертить ряд параллелограммов, измерить противолежащие стороны и углы. Сделать вывод. В конце изучения темы целесообразно провести классификацию выпуклых четырехугольников, изучаемых в школе. Данная классификация зависит от того, как определить трапецию. Возможны два подхода: 1) трапеция, есть четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны (Киселев, Погорелов, Атанасян). Здесь понятия трапеции и параллелограмма – несовместимы (объемы этих понятий не пересекаются) 2) трапеция, есть четырехугольник, у которого две стороны параллельны (Бескин Н.М.). здесь параллелограмм является одним из видов трапеции. Первое определение не позволяет последовательно рассмотреть цепочку частных видов четырехугольников, классификация четырехугольников при этом менее четкая логически. При изучении материала о многоугольниках важное место занимает теорема о сумме углов выпуклого n – угольника. В действующих школьных учебниках при доказательстве предлагают обычно разбить данный многоугольник на треугольники, соединив диагоналями одну из вершин (фиксированную) со всеми остальными вершинами. Учитель может предложит другой способ разбиения n – угольника на треугольники , взяв точку О внутри многоугольника и соединив ее со всеми вершинами многоугольника. Методически оправданы такие подходы при доказательстве теорем, которые отличны от подходов, используемых в действующих школьных учебниках. Вопросы для самопроверки: 1. Каково значение темы «Многоугольники» в школьном курсе геометрии? 2. Какие три содержательных блока можно выделить в данной теме? 3. Какие подходы к определению понятия «многоугольник» существуют в учебно- методической литературе? 4. Какую методическую схему изучения темы «Четырехугольники» можно составить? 5. Каковы методические особенности изучения признаков и свойств параллелограмма? 6. Приведите различные доказательства теоремы о сумме углов n – угольника и обоснуйте методическую ценность каждого из доказательств. 13 Тема 6. Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии. План. 1. Общая характеристика материала. Различные подходы к изучению геометрических преобразований в школе. 2. Методические особенности изложения отдельных вопросов. 3. Метод геометрических преобразований и возможности его использования при решении задач. Содержание лекции: 1. Применение преобразований (а частности, движений) к установлению геометрических фактов связывают с именем Фалеса Милетского. Фалес с помощью перегибаний и поворотов чертежа показал справедливость таких фактов, как равенство вертикальных углов, равенство вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности, прямому углу и т.д. Мощный толчок развитию идеи геометрических преобразований, дал немецкий математик Феликс Клейн в своей Эрлангенской программе. По Клейну предмет геометрии составляет теория инвариантов некоторой группы геометрических преобразований каждой из которых соответствует своя ветвь геометрии. С этих позиций геометрия, определяемая группой преобразований подобия, и является предметом изучения в средней школе. Впервые значительное внимание этому материалу было уделено известным отечественным математиком и методистом А.Н. Колмогоровым. В его курсе геометрии (19681980) преобразования занимали центральное место и служили основой доказательства многих теорем. В учебниках Погорелова и Атанасяна движения и преобразования подобия стали рассматриваться скорее как объект изучения, чем универсальный аппарат для решения задач. Роль материала: 1) Введение в школьный курс линии геометрических преобразований позволило дать «аппаратное», «рабочее» истолкование равенства и подобия фигур. Если в учебнике Погорелова первоначально вводятся равные треугольники через равные элементы, то аналогичное определение равенства (подобия) для произвольных фигур ввести затруднительно – нужны геометрические преобразования. По Атанасяну же равенство вводилось через наложение, что не давало эффективного аппарата для решения задач на построение. 2) Геометрические преобразования позволили ввести в школьный курс динамику, преодолеть некоторую статичность традиционного синтетического подхода. При этом появилась возможность уделить особое внимание развитию определенных сторон пространственного воображения школьников. 3) Геометрические преобразования дают новый эффективный метод решения задач, позволяющий во многих случаях облегчить доказательство теорем и решения задач. 4) Геометрические преобразования способствуют реализации внутрипредметных связей с алгеброй (функциональная зависимость, преобразования графиков функций), межпредметных –с физикой (механическое поступательное движение и т.д.). отметим, что в физике исследуется в основном сам процесс движения, в геометрии – фиксированные положения фигуры, подвергшейся движению (исходное, конечное и иногда промежуточное). 5) Геометрические преобразования привносят в школьную математику эстетику, изящество. Идея симметрии – орнаменты, снежинки, архитектурные сооружения являются воплощением этой идеи, являясь одним из важнейших средств гуманитаризации обучения математике. 14 Теория геометрических преобразований в школе может быть построена традиционным – синтетическим, а так же аналитическим методами. Наибольшее распространение получил смешенный: аналитико-синтетический подход, использующийся в действующих учебниках. Это позволяет упростить изложение, а так же формировать у школьников представление о возможности использования различных способов задания геометрических преобразований. В учебнике Погорелова (теоретико-групповой подход) материал представлен в виде двух отдельных тем: «Движения» (8 кл.) и «Преобразования подобия» (9 кл.). Обе темы начинаются с общих вопросов: вводится общее понятие, дается два общих групповых свойства, рассматриваются свойства этих видов преобразований, их виды и специфические свойства каждого вида. Учебник Атанасяна (реально-практический подход) предусматривает вначале описательное знакомство с симметрией (8 кл.). В конце 9 класса рассматривается общее понятие движения и его свойства, затем отдельно изучаются параллельный перенос и поворот. 2. Рассмотрение частных видов движений осуществляется по следующему примерному плану: 1. Выполняется построение и одновременно проговаривается определение того или иного вида движений (определение – генетическое); вводятся сопутствующие понятия. 2. Предлагаются задания на построение фигур, полученных путем, воздействия движением на данные фигуры. 3. Неявно вводится тождественное преобразование как преобразование, переводящее фигуру саму в себя. 4. Упражнения на распознавание. 5. Доказательство того, что данное преобразование является движением (преобразованием подобия) обычно предваряется задачей на построение и последующее измерение или вычисление расстояний. 6. Доказательство специфических свойств данного вида преобразований. При изучении преобразований подобия и признаков подобия треугольников можно порекомендовать использование аналогии с движениями. Это можно реализовать на вводной лекции введения понятия преобразования подобия и гомотетии. Одновременно повторяя пройденный материал по теме «Движения» и «Признаки равенства треугольников», учащиеся формулируют соответствующие утверждения, относящиеся к теме «Подобие». Все сведения заносятся в таблицу, и соответствующие факты затем доказываются. С материалом о геометрических преобразованиях тесно связано рассмотрение признаков подобия треугольников, являющихся основой для решения большого количества задач в синтетической геометрии. Формулировка признаков подобия аналогична формулировке признаков равенства и может быть дана самими учениками в процессе выполнения соответствующих заданий исследовательского характера. По учебнику Погорелова доказательство признаков подобия треугольников основывается на свойствах гомотетии и допускает использование одного и того же чертежа. Работа по доказательству всех признаков может осуществляться относительно единовременно, крупноблочно, со значительным участием самих учеников. Доказательство признаков подобия треугольников осуществляется последовательно (один признак вытекает из другого). В частности, выписав соответствующие пропорциональность соответствующих сторон. формулы для всех углов, получим 15 Еще один подход, в соответствии с которым признаки подобия могут быть доказаны на основе теорем косинусов и синусов. 3. Геометрические преобразования лежат в основе мощного метода, значительно упрощающего решение многих задач планиметрии и стереометрии. Овладение этим методом предполагает сформированность у учащихся умений выполнять ряд специфических действий. Умения: 1) Строить образы фигур при том или ином геометрическом преобразовании. 2) Распознавание точек и фигур, определяющих это преобразование. 3) Использование свойств преобразований для обоснования наличия определенного соотношения между рассматриваемыми геометрическими фигурами. 4) Выбор вида преобразования, который целесообразно использовать при решении данной конкретной задачи. Овладение методом геометрических преобразований предусматривает несколько этапов: 1) подготовительный, 2) ознакомительный, 3) формирующий; 4) совершенствующий. Задания для самостоятельной работы: 1) Обоснуйте выбор геометрического преобразования для решения следующих задач, и решить задачу выбранным методом. 2) Доказать признаки подобия треугольников с использованием теорем синусов и косинусов и продумать возможность использования данного подхода применительно и действующим школьным учебникам. Вопросы для самопроверки: 1. В чем суть Эрлангенской программы Ф. Клейна? 2. Что является предметом изучения геометрии в средней школе с точки зрения Эрлангенской программы? 3. Какова роль материала о геометрических преобразованиях в школьном курсе? 4. Как представлена данная содержательная линия в действующих учебниках по геометрии? 5. Какова методическая схема изучения частных видов движений в школьном курсе? 6. Каковы методические особенности изучения преобразований подобия? 7. Опишите возможную методику изучения всех признаков подобия треугольников на одном уровне. 8. Докажите признаки подобия треугольников с использованием подходов, отличных от имеющихся в действующих учебниках. 9. Какие этапы овладения методом геометрических преобразований можно выделить? В чем суть каждого из этих этапов? Тема 7. Векторы в школьном курсе математики. План. Место темы в программе. Анализ содержания и подходов к его изложению. Методика изучения отдельных вопросов. Изучение векторов в курсе стереометрии. Содержание лекции: 1. Понятие вектора является одним из фундаментальных в современной математике. Важность этого понятия для геометрии была показана Германом Вейлем, предложившим в 1918 году векторную аксиоматику евклидовой геометрии. 1. 2. 3. 16 Материал о векторах стал изучаться в школьном курсе сравнительно недавно. Необходимость его включения в содержание курса геометрии следовала из следующих соображений. 1. Изучение векторной алгебры важно с точки зрения обогащения идейного содержания учебного курса, приближая его к современной геометрической науке. 2. Знакомство с векторами необходимо ученикам для изучения смежных курсов: физики, астрономии, химии, географии. 3. Векторы дают эффективный и компактный метод решения различных геометрических (аффинных и метрических) задач и доказательства ряда теорем. 4. Углубляется представление учащихся о величинах в том плане, что вектор выступает как связывающее звено между метрикой и направлением. 5. Происходит обобщение знаний учащихся об арифметических и алгебраических операциях. Рассматриваются 4 варианта введения понятия вектора в школьном курсе: 1) Модернистский Ввести вектор, наряду с точкой и прямой как основное понятие, описываемое соответствующей системой аксиом (по Вейлю). При этом курс геометрии строится на полностью векторной основе. 2) Вектор рассматривать как одно из геометрических преобразований, отождествить ею с параллельным переносом (А.Н. Колмогоров). 3) Рассмотреть вектор как направленный отрезок (А.В. Погорелов, Л.С. Атанасян). 4) Ввести вектор как порядочную пару чисел, то есть на чисто координатной основе (свести геометрию к алгебре), все действия над векторами сводились бы к действиям над числами. Определение вектора как направленного отрезка было значительно более наглядным для школьников и больше подходила к физическим представлениям о векторе, поэтому в некоторых учебниках используется именно такое определение. При изложении материала о векторах большое значение имеет обеспечение необходимого «равновесия» между наглядно-геометрическим и координатным подходами к данному вопросу. Если наглядно-геометрический подход более характерен для стиля изложения геометрического материала, то координатный метод упрощает многие доказательства, способствует достижению краткости изложения материала. В учебнике Погорелова изучение векторов относится к концу 8 класса. Перед этим рассматриваются темы «Движения» и «Декартовы координаты на плоскости». изучение векторов идет по следующему плану: понятие вектора, абсолютная величина и направление вектора, равенство векторов, координаты вектора, операции над векторами, разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам. Основное понятие для векторов в пространстве рассматриваются аналогично. В учебнике Атанасяна метод координат рассматривается уже позже введения понятия вектора, поэтому большой блок материала дается на чисто геометрической основе. В большой мере используется наглядно-геометрический подход, чем координатный. 2. При введении понятия «вектор» обычно рассматривают физическую ситуацию. Учащимся предлагается подействовать на вектор различными движениями и выяснить, изменилось ли направление и абсолютная величина вектора при применении того или иного движения. Делается вывод, что в случае параллельного переноса абсолютная величина и направление не меняются. То есть, если векторы совмещаются параллельным переносом, их 17 называют равными, при этом их абсолютная величина и направления совпадают. Отметим, что здесь возникает кажущееся противоречие с определением равных фигур. Это объясняется тем, что век5тор характеризуется не только своим числовым значением, но и направлением, которое сохраняется только при параллельном переносе. Центральным вопросом является введение координат вектора. Можно предложить следующую схему: 1) В системе координат с нанесенной координатной сеткой рассмотрим несколько вопросов: Какие из изображенных векторов равны? Как можно показать, не измеряя отрезков и углов? Попробуйте посчитать клеточки при движении от начала к концу этих векторов (3 клеточки вправо и 2 вверх). Таким образом, мы определили координаты векторов. 2) Задание: В тетрадях постройте точки А (2, 3) и В (4, 7). Аналогично определите координаты вектора АВ и выясните связь между координатами вектора АВ и соответствующими координатами его начала и конца. 3) Итог – определение координат вектора. 4) Далее закрепляем определение на примерах. 5) Переходим к доказательству этого факта. Скалярное произведение векторов. Материал, связанный с векторами разделяется на две большие группы вопросов: 1. Вопросы аффинной геометрии. Здесь в основном решаются задачи на установление параллельности, выполнение отношения отрезков, параллельный перенос, гомотетия, принадлежность трех точек одной прямой, принадлежность четырех точек одной плоскости и т.д. 2. Описывает метрическую часть темы. Это скалярное произведение векторов и его свойства. Здесь решаются задачи на вычисление расстояний, углов, нахождение множества точек. Таким образом, без изучения скалярного произведения векторов из поля зрения учащихся выпадает большое количество метрических задач и в значительной мере теряется эффективность применения векторного метода.. Однако, скалярное произведение векторов совсем недавно стало изучаться в планиметрии в силу следующих трудностей: 1. Учащиеся привыкли, что умножение –есть операция, ставящая в соответствие двум элементам одного множества элемент того же множества. Скалярное же произведение векторов – есть число, то есть элемент множества, совершенно отличного от множества векторов. 2. Свойства скалярного произведения весьма отличны от свойств ранее изученных произведений. 3. Само определение скалярного произведения громоздко: либо это сумма произведений двух пар соответствующих координат, либо – произведение длин двух векторов на косинус угла между ними. 3. Аксиоматика школьного курса планиметрии не предопределяет строго логическую структуру курса стереометрии, то есть аксиоматика стереометрии может по своему характеру отличаться от планиметрической. Соответственно делались попытки изложить курс стереометрии на основе более современных математических методов, в частности, на векторном. При этом бы появилась возможность объединить курсы геометрии и алгебры на 18 координатно-векторной основе. Однако, данный вариант пока не реализован в силу ряда субъективных трудностей: 1) Алгебраизация геометрии не способствует развитию пространственных представление школьников, их геометрической интуиции, не способствует их реальным представлениям. 2) В среднем звене трудно воспитать у школьников высокую алгебраическую культуру и дать четкие представления об аксиоматическом методе, которые необходимы для изучения стереометрии на векторной основе. 3) Не разработана в должной мере соответствующая методика преподавания. Согласно действующей программе векторы рассматриваются в курсе стереометрии и как объект изучения и как аппарат доказательства теорем и решения задач. Место данной темы в курсе стереометрии может быть различным: 1) изучение векторов идет после параллельности до перпендикулярности в пространстве (Колмогоров, Скопец); 2) векторы рассматриваются после параллельности и перпендикулярности и используются в основном при решении задач на «Многогранник», «Тела вращения» (Погорелов); 3) в конце курса, появляется возможность показать преимущества векторного метода по сравнению с традиционным – геометрическим при решении стандартных задач, однако, теряется возможность использования векторов для первичного доказательства теорем. Усвоение понятийного аппарата, связанного с векторами, создает предпосылки для овладения учащимися векторным методом решения задач, включающим в себя следующие компоненты: 1. Перевод условия задачи на векторный язык и разложение введенных векторов по базисным (если необходимо). 2. Составление векторного равенства и его преобразование. 3. Замена векторного равенства алгебраическим уравнением и его решение. 4. Объяснение геометрического смысла найденного решения. Задания для самостоятельной работы. 1. Показать реализацию компонентов векторного метода на примере решения задачи: Найти один из углов между диагональю куба и диагональю какой – либо грани куба. Вопросы для самопроверки: 1. Чем вызвана необходимость и целесообразность изучения векторов в школьном курсе? 2. Какие возможности введения понятия вектора в школьном курсе можно выделить? 3. Каково содержание данной темы в школьных учебниках? 4. Методика введения понятий «вектор» и «равные векторы». 5. Методика изучения координат вектора и операций над ними. 6. Каковы методические особенности изучения скалярного произведения векторов? 7. Какие варианты изучения векторов возможны в курсе стереометрии? Положительные и отрицательные стороны этих вариантов. 8. Каковы основные компоненты, из которых состоит овладение векторным методом? 19 Тема 8. Методика изучения геометрических величин в школьном курсе математики. План. 1. Некоторые методические замечания. 2. Место и значение темы в школьном курсе математики. Изучение скалярных геометрических величин в младших классах. 3. Методические особенности изучения систем скалярных геометрических величин в средних и старших классах. 4. Различные подходы к изучению объёмов многогранников и тел вращения. 5. Методические особенности изучения площадей поверхностей тел вращения. Содержание лекции: 1. Предметом изучения данной лекции являются скалярные геометрические величины – длина, площадь, объём, мера угла. Под системой скалярных величин по А.Н. Колмогорову понимается определённое множество S={a, b, c, ….}, удовлетворяющее системе аксиом (10 аксиом). Самостоятельное задание: Выписать эти аксиомы. Любая скалярная величина по отношению к конкретному объекту обладает свойством быть измеренной, то есть охарактеризованным числом. При этом фактически задаётся соответствие между множеством фигур и множеством положительных действительных чисел так, что выполняются следующие свойства: 1) Равные фигуры имеют равные величины (инвариантность, относительно движения); 2) Величина фигуры, являющая объединением нескольких фигур без общих внутренних точек, равные сумме величин этих фигур (аддитивность); 3) Существует фигура (единичный отрезок, единичный квадрат, единичный куб), величина которого равна 1 (нормированность). Скалярные геометрические величины могут вводиться либо: 1) аксиоматически, как функции, обладающие указанными выше свойствами: а) Предполагая существование этой функции, выводят формулы для величин ломаных, многоугольников, многогранников. Показывается возможность вычисления величины произвольных многоугольных и многогранных фигур путём их разбиения на треугольники и тетраэдры и независимость их от способа разбиения, то есть ( V (ф)  1 n  S (Qi ) * hi ) 3 1 теорема о существовании и единственности на классе многоугольных (многогранных) фигур. б) Вводится множество квадрируемых (кубируемых) фигур, спрямляемых дуг и доказывается существование и единственность рассматриваемой величины на этом множестве. 2.) конструктивно (идём в обратном направлении). Строится функция, обладающая свойствами 1) -3) с помощью описания процесса нахождения по фигуре F её величины: 1 способ: Рассматривается множество многоугольниках (многогранниках) фигур и показывается возможность их разбиения на треугольники (тетраэдры). Доказывается, что 20 произведение основания на высоту треугольника (тетраэдра) не зависит от высоты основания. Без доказательства принимаются формулы для S треугольника и V тетраэдра. Доказывается, что введение, таким образом, функция обладает свойствами 1)-3). Далее данная функция распространяется на класс квадрируемых (кубируемых) фигур и опять доказываются указанные свойства. Данный подход редко используется в силу его психологической неубедительности (без доказательства принимаются формулы S треугольника, V тетраэдра), а также довольно сложного доказательства основных свойств площади и объёма. 1 способ: Естественный. Он позволяет ввести систему скалярных геометрических величин сразу для классов многоугольниках, многогранных фигур путём разбиения прямой, плоскости или пространства точками, прямыми или плоскостями. Получаем масштабную сетку, состоящую из квадратов со сторонами 1, 1/10, 1/100, … 1/10n. Пусть в заданной фигуре F содержится n квадратов со стороны 1|10n , а сама фигура F содержится в n квадратов со стороны 1/10n. Положим за Sn - число n/10n, за Sn – число n/10n (число единиц площади, содержащихся в F и содержащих F). Если существует единственное число, заключённое между всеми числами Sn и всеми числами Sn, то фигура F называется квадрируемой (кубируемой). Для отрезков получается что-то типа теории сечений. Дедекинда (теория действительного числа). В школьных курсах основным путём введения геометрических величин является аксиоматический путь, подкрепляемый особенно на первых этапах изучения материала конструктивными соображениями, связанными с использованием транспортира, линейки, палетки и кубической масштабной сетки, как средствами измерения. Изложение теории площадей многоугольников и объёмов многогранников существенно опирается на понятие равносоставленности многоугольников и многогранников. Из свойств скалярных величин вытекает, что равносоставленные фигуры равновелики. Это позволяет ввести простой способ вычисления площадей (использовавшийся ещё Евклидом). Укажем два важных факта, позволяющие понять логику построения соответствующего школьного материала. 1. Теорема Бойяи – Гервина: Два равновеликих многоугольника равносоставлены. Из этой теоремы вытекает, что достаточно знать формулу для S прямоугольника, чтобы легко вывести площади других многоугольников. 2. Аналогичная теорема для многогранников, сформулированная впервые Д.Гилабертом (1900 г., 3-я проблема) вообще несправедлива. Это следует из результатов Дена (1901 г.), который, в частности, показал, что правильный тетраэдр не равносоставлен с кубом того же объёма. Именно поэтому при изучении объёмов многогранников недостаточно формулы объёма прямоугольного параллелепипеда, а приходится ещё использовать неэлементарные методы для нахождения объёмов тетраэдра. Однако, для некоторых видов многогранников (например призм) рассматриваемый факт справедлив. 2. Важность линии геометрических величин определяется следующими моментами. 1) В реальной действительности мы постоянно сталкиваемся с необходимостью измерения и оценки расстояний, площадей и объёмов фигур. (Примеры подобрать самостоятельно). 21 2) На основе материала данной темы осуществляется знакомство школьников с важными идеями, понятиями и методами метрической геометрии, расширяются возможности применения аналитического метода. 3) Реализуются внутрипредметные и межпредметные связи на основе взаимодействия аксиоматического метода, теории действительного числа, инфинитезимальных методов (бесконечно малых), метода координат и т. д. 4) Совершенствуются вычислительные навыки, навыки тождественных преобразований и решения уравнений и неравенств. 5) На данном материале, как правило, реализуется метод опорного элемента при 1 1   решении задач  S  a * h  a * b * sin   p p  a  p  b  p  c   2 2   В школьном курсе математики изучаются следующие скалярные величины: длина отрезка, мера угла, площади многоугольника и круга, объёмы многогранников и тел вращения, длина окружности, площадь поверхности тел вращения. Изучение скалярных геометрических величин в школе осуществляется концентрически: 1 концентр – 1 – 6 классы - пропедевтический, 2 концентр – 7-11 классы – основной. 1этап. В курсе 1-4 классов у школьников развивается наглядно-интуитивное представление о величинах и их практическом измерении. Здесь они знакомятся с различными единицами измерения длины и площади, основными соотношениями между ними; измеряют и сравнивают длин отрезков и площади фигур, составленных из единичных отрезков и квадратов, с помощью линейки и палетки вычисляют периметр многоугольника, а также площадь прямоугольника (по формуле). Уже здесь учащиеся начинают производить действия с именованными числами: + и – величин, * и : величин на число, а также сравнение величин. 2 этап. В 5-6 классе представления о геометрических величинах систематизируются и углубляются. В частности, если в начальной школе отрезок и его длина воспринимаются как один и тот же объект, то в 5-ом классе учащиеся получают возможность установить различие между фигурой и её величиной, записываемой в виде числа с наименованием. Это достигается на основе сопоставления результатов выполнения двух основных задач: построения отрезка заданной длины и измерения длин данного отрезка. Если в первом случае ответ неоднозначен, то во втором результат однозначен. При изучении площадей и объёмов реализуется тот же план, что и при изучении длин отрезков: а) определение площади и объёма не даётся, а лишь поясняется, что для величин различных поверхностей и вместимостей сосудов надо знать площадь или объём соответствующих фигур; б) на конкретных примерах вводятся свойства площадей и объёмов, единицы их измерения, обращается внимание на то, что в отличие от длины и мер углов равенство площадей или объёмов фигур вовсе не означает равенство этих фигур; в) вводятся и наглядно обосновываются формулы для площади прямоугольника и объёма прямоугольного параллелепипеда. Решаются соответствующие текстовые задачи. В 6 классе обоснование вводятся важные в практическом отношении формула для длин окружности и площади круга. 3 Основной этап изучения геометрических величин 7-11 классов. На этом этапе происходит переход от вычислительно-прикладного аспекта к формальнологическому. В учебнике А.В. Погорелова в §1 в явном виде вводятся аксиомы откладывания и измерения отрезков и углов. Вопрос об измерении отрезков и углов. Вопрос об измерении отрезков и углов в практическом плане не ставится. 22 В учебнике Л.С. Атанасяна изложение связано с практическими измерениями. Описывается процесс измерения, на наглядном уровне поясняются свойства длины отрезков и градусных мер углов, описываются приборы для измерения расстояний и углов на местности. В аксиоматике (в Приложении 1) есть только аксиомы измерения и откладывания отрезка (аксиом измерения углов нет). Понятие о площадях и объёмах в учебнике А.В. Погорелова вводится также аксиоматически. Площадь простой фигуры (объём простого тела) – это положительная величина, численное значение которой обладает свойствами: 1)-3). В учебнике Л.С. Атанасяна и др. площадь определяется как величина части плоскости, занимаемой многоугольником, измерения площадей и объектов с помощью единичных квадратов и кубов и обосновываются основные свойства площадей и объёмов. В основу изучения площадей плоских фигур и объёмов многогранников в школьных курсах геометрии кладутся формулы S прямоугольника (S квадрата) и V прямоугольного параллелепипеда. (Можно и S треугольника и V тетраэдра и другие). Можно выделить следующие четыре подхода к изучению площадей: 1. Сравнение площадей (подход Адамара) В основе подхода - теорема о том, что площади (или объёмы) 2-х прямоугольников (прямоугольных параллелепипедов), имеющих равные основания, относятся между собой как их высоты. Данный способ обладает достаточной общностью и вместе с тем не согласуется с известными с 5-6 классов способом измерения и имеет чересчур формальный для школы характер. Этот переход использован в учебнике А.В.Погорелова. 2. Традиционный подход (учебники Килелёва, Фетисова 1957 г., Атанасяна). После рассмотрения основных допущений о площадях вводится понятие об измерении площади прямоугольника при помощи сетки квадратов последовательно для случаев, когда обе стороны выражаются через единичный отрезок как: 1.) натуральное число; 2.) конечная десятичная дробь (рациональное число); 3.) бесконечная десятичная дробь (иррациональное число). 3. В 3-ем наиболее сложном случае площадь определяется либо как предел последовательности площадей прямоугольников, длины сторон которого выражаются рациональными числами, либо через введение двух последовательностей приближённых рациональных значений площади по недостатку и по избытку. 4. (на основе равносоставленности) – учебник Глагольева, 1954 г. В явном виде рассматривается понятие равносоставленности. Определяются условия, при которых параллелограммы и прямоугольники равносоставлены. Рассматривается вывод формулы площади прямоугольника (прямоугольного параллелепипеда) для натуральных и рациональных измерений, а для иррациональных измерений формулы даются без доказательства. Данный подход также громоздок и не обладает достаточной психологической убедительностью в силу последнего допущения. Наиболее оптимальным в настоящее время учителя считают классический подход (2-й подход) без рассмотрения третьего случая, либо принятие формулы площади квадрата за аксиому. После доказательства (вывода) формулы площади прямоугольника, пользуясь элементарными методами (теоремой Бойяи-Гервина – 12 равновеликих многоугольника 23 равносоставлены) выводят формулы для площадей остальных прямоугольников, либо разбивая, либо дополняя новый многоугольник. В основе изложения теории объёмов многогранников лежит формула для объёма прямоугольного параллелепипеда, доказываемая совершенно аналогично формуле для площади прямоугольника. В силу равносоставленности равновеликих призм вывод формул для объёмов наклонных параллелепипедов и призм можно осуществить элементарными методами. Соответствующие соображения иллюстрируются на наглядных моделях, а выводы аналогичны тем, которые применялись в планиметрии. Основная методическая проблема при выводе формул для объёмов многогранников является соответствующая формула для тетраэдра (теорема Дена). По этой теореме для вывода этой формулы необходимо использовать неэлементарные методы, связанные с операцией интегрирования (явно или неявно). Подход, при этом используемый, как правило, отражается и на методике изложения теории объёмов тел вращения. 1 подход – метод исчерпывания («чёртова лестница») (учебники Киселёва, Погорелова) осуществляется в двух вариантах: Первый вариант - косвенный. 1 этап – лемма. Две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики. Разбив высоту на n частей, проводим плоскости, параллельные плоскости основания. Получим разбиение пирамид на слои. Через вершины сечений призмы проводим n прямых, параллельных какому – либо ребру призмы. Получаем два ступенчатых многогранника, состоящих из входящих в первую пирамиду и содержащих эту пирамиду призм. Их суммарные объёмы отличаются на объём призмы H последнего от вершины слоя S (S - площадь основания, H - высота, n - номер слоя). n V1пр  V1(ступ.) SН  V1  V2   V1  V2 , (n – любое n   ) V2пр  V2 (ступ.) n (см. п. 198 учебник Погорелова) Аналогично: V2  V1  V2= V1 2 этап: Треугольная пирамида дополняется до призмы путём присоединения к ней ещё 1 двух пирамид. Все три пирамиды по предыдущей лемме – равновелики  Vпир= Vпризмы 3 Второй вариант – прямой. (уч. Глаголева) является модификацией предыдущего варианта. 1 этап: Для пирамиды строится двоякая последовательность призм. Показывается, что Vпирамиды является общим пределом последовательности объёмов ступенчатых многогранников при неограниченном увеличении количества составляющих призм: V  lim V1  lim V2 n  n  24 Значит, достаточно вычислить объём ступенчатой фигуры. 2 этап: Объём ступенчатой фигуры вычисляется как сумма объёмов и подобных призм. 2 вариант психологически убедительней, но требует дополнительного времени для формул суммы квадратов натуральных чисел. Объёмы тел вращения при данном подходе определяются как пределы соответствующих последовательностей объёмов вписанных и описанных многогранников (призм и пирамид). Основную сложность в данном случае составляет вычисленные объёмы шара. Здесь приходится вводить формулу для объёма тела вращения через определённый интеграл. Третий подход – вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла (уч. Атанасяна и Александрова). 1 Для объёма простого тела рассматривается общий подход: b V=  S (х) dx, а где S (х) – площадь сечения тела плоскости, перпендикулярной оси абсцисс. 2.) Объём наклонной призмы и пирамиды. 3.) Объёмы тел вращения. Четвертый подход – через принцип Кавальери (итальянский математик 17 века, аббат монастыря). Две фигуры с равными высотами равновелики, если равны любые их сечения, приведённые параллельно основаниям на одинаковой высоте от них. Данный принцип принимается за дополнительную аксиому объёмов (для площадей и объёмов). f d S = = f1 d1 S1 Для объёмов – аналогично. 1 вариант. Из принципа Кавальери напрямую следует лемма о равновеликости пирамид, и таким образом, существенно облегчается вывод для объёма пирамиды; можно вычислить и объёмы тел вращения. В частности при выводе формулы Vшара рассматривается полушар и конус, вписанный в центр. Площади сечений полушара и второй фигуры равны: S п.ш.  r 2  R 2  d 2 . S ф.  R 2  d 2 (т.к.АА1В1  равнобедренный) S п.ш.  S ф.  по принципу Кавальери S ф.  S п.ш. 1 2 Vф  Vц.  Vкон.  R 2  R  R 2  R  R 3  Vшара  2Vполушара  3 3 2 4  2Vф  2  R 3  R 3 3 3 2 вариант. Вычисление объёма пирамиды (Виленкин) 25 а) Vкуба = 8 Н3 Vпир = 8Н 3 4 1 1 = Н3 = 4Н2  Н = S  Н 3 3 6 3 б) Берём произвольную пирамиду с площадью основания S и выстой Н. По принципу Кавальери объём 4-угольной правильной пирамиды и данной равны. Следовательно, формула верна для любой пирамиды. Данный подход в настоящее время считается наиболее приемлемым в силу достаточной простоты (предельный переход уходит в доказательство принципа Кавальери). Четвертый подход – формула Симпсона (Том Симпсон – английский математик 18 века). Если в пространственной фигуре основания параллельны и площади сечений, параллельны основанию, удовлетворяют условию S(х) = ах2 + вх + с, где S (х) – функция от расстояния между сечением и основанием фигуры, то объём фигуры может быть найден по формуле: Н V= (Q0 + 4Qср + Q), 6 где Н – высота, Q0 и Q – площади оснований, Qср – площадь среднего сечения. Для конуса, пирамиды Q = 0, для шара Q0 =Q=0, а плоскость оснований считаются параллельными. Доказательство формулы Симпсона достаточно громоздкое и, как правило, опускают. в (На основе интегральной формулы: V =  Q (х) dх (кв. ед.) (см. уч. Ю.М. Колягина). а Достоинства метода – его универсальность, недостаток – формальное введения. Самостоятельное задание: Выписать формулы для сечений конуса, шара, пирамиды и цилиндра как функций от расстояния между сечением и основанием фигуры. Sсеч. пир. 1. S R2 2 2 = 2  х , Sсеч.кон. = π 2 х , Sсеч ш. = (R2 – х2), Sсеч цил. = πR2. H H 5. Площадь поверхностей фигур вращения в школе могут рассматриваться на различных уровнях строгости в зависимости от авторских установок и специфики контингента. Общий подход по Минковскому (немецкий математик). Площадь произвольной выпуклой поверхности определяется таким образом: Vh , где Vh – объём фигуры Fh, h  0 2h S  lim наглядно предоставляемый как двойной слой толщиной 2h, покрывающий с обеих сторон. Далее на основе соответствующего определения вводились формулы для площади поверхности шара, конуса и цилиндра. 26 2. Данный подход был использован в ранних изданиях учебника Погорелова и не оправдал себя в силу формального характера и необходимости применения довольно изощренных оценок. (см. В. Дубровский Площадь поверхности по Минковскому – Квант 1979, № 4.) Основан на идеи исчерпывания (уч. Киселёва, Погорелова (новое издание)). Цилиндры и конусы «исчерпываются» призмами и пирамидами, а поверхность сферы рассматривается через поверхность, полученную при вращении ломаной, вписанной в большую полуось круга. Тогда площадь этой поверхности будет равна пределу площади поверхности тела при неограниченном увеличении сторон ломаной. По доказанной ранее лемме Sn = 2π  АВ  rn – для конуса, усечённого конуса, цилиндра и шара. Для шара S  lim S n  2  2 R  R  4R h 0 3. 4. 2 Основан на развёртках (уч. Атанасяна). При этом используется допущения о сохранении величин площади при «развёртывании» поверхности вращения. Данный подход неприемлем для площади поверхности сферы, не имеющей плоской развёртки. Однако, в некоторых учебниках (Погорелов) сделана попытка приближенного представления участков сферы в виде многоугольников, являющихся гранями многогранника, описанного около сферы. Формальный подход. За площадь поверхности фигуры, полученной при вращении вокруг оси ОХ графика функции у = f (х), имеющей на  а, b  непрерывную произвольную, принимается число: в S=2π  f (х) 1 (sin) 2 dх а В учебнике А.В. Погорелова используется модификация подходов 2 и 3, взяв за основу идею исчерпывания шара пирамиды с вершиной в центре шара с последующим предельным переходом, соответствующим неограниченному уменьшению размеров граней многогранника, описанного около шара. Vвпис. ш.  Vмногогр.  Vопис. ш. 1 4 4 3 S  R  П (R+Е)3 πR .  3 3 3  площадь поверхности 4π R  S  `  2 4 ( R   )3 , при ε  0 R 27 4π R2  S   4 π R2  Siшара = 4π R2 Задание для самостоятельной работы. Выписать систему аксиом для определения систем скалярных величин по А.Н. Колмагорову их учебного пособия (4). Вопросы для самопроверки: 1. Перечислите основные скалярные геометрические величины, изучаемые в школьном курсе. 2. Что такое величина? Какими свойствами обладает любая скалярная величина? 3. В чём суть аксиоматического введения скалярных геометрических величин и конструктивного? И какой путь является основным в школьном курсе? 4. Какую роль играет понятие равносоставленности в теории площадей и объектов? 5. Каковы основные цели изучения линии геометрических величин в школьном курсе? 6. Что известно учащимся о геометрических величинах из пропедевтического курса математики? 7. Каковы методические подходы к изучению длин отрезков в школьном курсе? 8. Какие 4 основных подхода можно выделить при изучении площадей в школьном курсе геометрии? Суть каждого из этих подходов? 9. Какие подходы используются в основной школе при изучении длины окружности и площади круга? 10. В чём суть метода исчерпывания при построении теории объёмов многогранников? 11. Интегральный подход к нахождению объёмов геометрических тел. 12. Нахождение объёмов с помощью принципа Кавальери и формулы Симпсона. 13. Каковы возможные подходы к построению теории площадей поверхностей тел вращения в школьном курсе? Тема 9. Особенности изучения стереометрии в средней школе. Методика первых уроков стереометрии. План. Структура курса стереометрии и его специфические особенности. Развитие пространственных представлений школьников на уроках стереометрии. Содержание лекции: I. Можно выделить следующие основные задачи, решаемые при изучении стереометрии: I. II. 1) развитие и закрепление содержательных линий, начатых в неполной средней школе; обобщение основных математических методов на случай пространства; 2) изучение основных свойств пространственных фигур; 3) овладение навыками изображения пространственных фигур на плоскости на основе свойств параллельного проектирования; 4) развитие логического мышления, пространственных представлений учащихся при решении задач и доказательстве теорем курса стереометрии. В изучении стереометрии в школе можно выделить два основных этапа: 1) Формирование первоначальных представлений о пространственных фигурах (1–9 классы); 28 2) Систематический курс стереометрии (10–11 классы). Систематический курс стереометрии, на изучение которого отводится приблизительно по 70 часов в десятом и одиннадцатом классах, предусматривает рассмотрение следующих тем: Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве. Координаты, векторы, геометрические преобразования в пространстве. Многогранники. Тема вращения. Площадь поверхностей и объем геометрических тел. Изображение пространственных фигур на плоскости. В действующих учебниках ставятся разные содержательные акценты при изучении стереометрии. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Учебник Атанасяна: материал различных по содержанию вопросов часто включается в одну главу (фузионизм). При этом наблюдается частая повторяемость материала, обращение к уже знакомым вопросам. Большое внимание, чем у Погорелова, уделяется векторам, движению к координатам. Учебник Погорелова: отличается четкой логической структурой, меньше внимания векторам и геометрическим преобразованиям. Это подспудно несет в себе опасность затушевывания естественных связей между темами. Выделим некоторые методические особенности изучения стереометрии. 1. Курс стереометрии полностью опирается на курс планиметрии. большинство задач курса сводятся к решению планиметрических задач, соответственно все недочеты, имевшие место при изучении планиметрии, ощущаются и при изучении стереометрии. Следовательно, для успешного изучения стереометрии учитель должен постоянно возвращаться к планиметрическому материалу; перед изучением той или иной теоремы необходимо повторять нужные планиметрические сведения. 2. В стереометрии принципиально другой подход к геометрическим построениям. Если при изучении планиметрии учащиеся пользуются чертежами, которые дают явные представления об изучаемом объекте, то в стереометрии нет чертежных инструментов, которые позволяют изобразить пространственные фигуры. Здесь мы имеем дело не с самим объектом, а лишь с его изображением. Каждая стереометрическая задача является одновременно задачей на построение изображения фигуры с помощью свойств параллельной проекции. Это требует от учащихся значительно больших усилий, чем их требуется при решении планиметрических задач. 3. В курсе стереометрии уделяется большое внимание логической стороне проводимых умозаключений; приходится обосновывать каждый свой вывод, четко устанавливая предпосылки. 29 4. Программа по стереометрии предполагает более быстрый темп прохождения материала, чем в планиметрии. При этом времени на решение задач требуется гораздо больше, соответственно более значительное место занимает самостоятельная работа школьников. Необходим тщательный подбор заданий на уроке – включать только самое необходимое. 5. Курс стереометрии строится аксиоматически. При изучении стереометрии необходимо решить две основные методические задачи: аксиоматики 1) переформулируются аксиомы планиметрии для пространства (некоторые должны быть с уточнениями). Здесь фактически под видом договоренности между учителем и учащимся вводится, как бы новая аксиома: В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. 2) добавляются новые специфические аксиомы пространства, которые на первых этапах изучения иллюстрируются с помощью моделей, стереометрического ящика, рисунка, геометрии классной комнаты. При этом появляется возможность более эффективного выявления учащимися сущности аксиоматики и ее роли в построении геометрии. II. Формирование пространственных представлений идет в несколько этапов и включает в себя: – умение представить по чертежу целостный образ геометрической фигуры, взаимное расположение ее элементов; – умение мысленно изменить положение фигуры – посмотреть с другой стороны; – умение мысленно расчленить фигуру, составить из нее новый объект; – умение изобразить фигуру на чертеже, адекватно отразив имеющиеся отношения; – умение представить фигуру на основе ее словесного описания и т.д. На I этапе на наглядной основе формируются предпосылки для создания целостного образа фигуры с выделением ее существенных признаков. На данном этапе учитель должен широко использовать модели, реальные объекты окружающего мира. После этого строится чертеж, который закрепляет рассмотрение соответствующей геометрической конфигурации. В конце I этапа и на II у школьников формируются образы фигур и их комбинаций, которые они могут представить себе в почти неизмененных условиях. Схема формирования пространственных представлений на I и II этапе следующая: Модель чертеж представление 30 На II этапе роль моделей несколько уменьшается, т. к. в противном случае у школьников будет тормозиться развитие способностей мысленно представлять себе особенности расположения фигуры и ее элементов. При построении чертежа на данных этапах учителю не следует сразу демонстрировать готовый чертеж, а стараться его выполнять постепенно вместе с учащимися с целью поэтапного восприятия или пространственных образов. III этап: – овладение умением оперировать образами в измененных условиях. Школьники сначала работают с основным чертежом, который однако часто не дает возможность увидеть особенности расположения фигуры с разных позиций. Поэтому чертеж, как правило, должен подкрепляться рассмотрением соответствующей модели. Демонстрация сопровождается специально подобранными вопросами. Например: Какие фигуры могут получиться при пересечении тетраэдра плоскости? Покажите на модели и чертеже различные случаи. Ответ обоснуйте. Схема формирования пространственных представлений на III этапе: чертеж модель представление. IV этап: Учащиеся должны конструировать стереометрические объекты самостоятельно на базе сформулированных ранее представлений. При этом не используется ни чертеж, ни заранее подготовленная модель, а можно лишь учителю задавать вопросы для уточнения расположения фигуры. Схема на IV этапе: представление чертеж. Вопросы для самопроверки. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Каковы основные задачи изучения курса стереометрии? Что составляет содержание школьного курса стереометрии? Перечислить основные методические особенности изучения курса стереометрии. Что означает выражение «формирование пространственных представлений школьников»? Какова схема формирования пространственных представлений на каждом из четырех этапов? Какие требования обычно предъявляются и геометрическим чертежам? Тема 10. Задачи на построение в курсе стереометрии. План. I. Методика решения задач на воображаемые построения. II.Построения на проекционном чертеже. Содержание лекции: I. Воображаемые построения (В.п.) – формально-логический метод построения в пространстве с отказом от реальных построений с помощью чертежных инструментов, осуществляются как бы мысленно; рисунок, их сопровождающий, носит чисто иллюстративный характер. 31 С математической точки зрения В.п. рассматриваются как задачи на доказательство существования фигур, определенных некоторым известными условиями. Само доказательство заключается в сведении процесса построения фигур (или их комбинаций) к конечному числу основных построений, которые определяются аксиоматически. При этом решение (доказательство) может сопровождаться, а может не сопровождаться рисунком. Учитель обращает внимание учащихся на ряд сложностей, возникающих при осуществлении построений в пространстве (нельзя построить плоскость, многогранник и т.д.). Поэтому необходимо точно условиться: что значит выполнить то или иное построение. Исходя из аксиом стереометрии, можно предположить возможность следующих основных построений в пространстве: 1) Плоскость может быть построена, если заданы следующие элементы, определяющие ее положение в пространстве: а) прямая и не лежащая на ней точка, б) две пересекающиеся прямые, в) две параллельные прямые, г) три точки, не лежащие на одной прямой. 2) Прямая в пространстве может быть построена как линия пересечения двух плоскостей. 3) Все планиметрические построения выполнимы в пространстве только на некоторой заданной плоскости. 4) Сфера может быть построена, если задано положение ее центра и радиуса R. Выполнение всех остальных построений сводится к конечному числу основных. II. На проекционном чертеже точки и прямые задаются вместе со своими проекциями на некоторую плоскость, которую называют основной. Проекционные чертежи позволяют конструктивным средствами строить точки и линии пересечения изображаемых на нем фигур. Они имеют очень важное значение для развития пространственного воображения школьников. С проекционными чертежами рекомендуется ознакомить школьников в 10 классе при изучении параллельной проекции ее свойств. Здесь учитель подводит школьников к выводу о том, что фигуры на чертеже могут задаваться ее проекцией на проекционной плоскости. При чем, если точка или фигура совпадает со своей проекцией, то данная точка или фигура лежит на проекционной плоскости. Проекционный чертеж может быть иллюстрирован моделью параллелепипеда, где проекционная плоскость – это плоскость нижнего основания, направление проектирования определяется боковыми ребрами, а проекция верхнего основания – нижнее основание (см. рис.) 32 Основным видом стереометрических задач на построение на проекционном чертеже являются задачи на построение сечений многогранников. В школе рассматриваются два метода построения сечений: 1) метод следов; 2) метод внутреннего проектирования (Иногда используют их комбинацию). В соответствии с методом следов вначале строится след секущей плоскости на проекционной, а затем последовательно находятся линии пересечения секущей плоскости с гранями многогранника. Основным минусом этого метода является то, что след секущей плоскости может оказаться удаленным от основной части чертеже, следовательно, приходится уменьшать чертеж, что нежелательно. Метод внутреннего проектирования основывается на соответствии между точками сечения и точками основания многогранника. Все построения – внутри него, но сложнее объяснить логику построения, да и чертеж загроможден. Вопросы для самопроверки: 1) Что такое воображаемые построения? 2) Как с помощью основных построений в пространстве можно задавать плоскость, прямую, сферу? 3) Что понимается под проекционным чертежом? 4) Как можно определить, что такое изображение пространственной фигуры на проекционной плоскости? 5) Какие методы построения сечений фигур рассматриваются в школе? В чем их суть? Литература: 4, 6, 14, 16. Дополнительно: 1) «Математика в школе», №5 – 1991, с. 35-40. Г.И. Саранцев «Обучение решению задач на построение сечений многогранников». 2) Л.М. Лоповок «Изображение фигур в стереометрии» Преподавание геометрии в 9–10 кл. из серии «Библиотека учителя математики». Тема 11. Методика изучения координат, векторов и геометрических преобразований в пространстве в школьном курсе стереометрии. План. I. Роль и место материала в курсе стереометрии. II. Методические особенности его изучения. 33 Содержание лекции: Попытки введения более современных, чем традиционный синтетический, методов в курс стереометрии неоднократно предпринимались с конца 19 века в силу следующих соображений: 1) применение более современных методов позволяет существенно упростить и алгоритмизировать решение стереометрических задач и доказательство теорем. 2) необходимо было осовременить школьный курс стереометрии, приблизить его к насущным проблемам действительности. 3) большая прикладная значимость и многообразие межпредметных связей соответствующих разделов: векторы – в физике, координаты – в алгебре, геометрические преобразования – в картографии. В XX веке были созданы новые курсы геометрии, сориентированные на преимущественное использование алгебраического метода (геометрия Шоке), метода геометрических преобразований – учебное пособие Колмогорова, векторный метод – пособие под ред. Скопеца и др. Но введение в школу этих учебников не увенчались успехом из-за: 1) отрицательного влияния на развитие пространственных представлений школьников, их геометрической интуиции; 2) сложности перехода к новой аксиоматике (векторной или метрической); 3) не совсем достаточно удачного методического решения проблемы создания новых учебников, а также неподготовленности учителей к этому переходу. В силу указанных причин авторы действующих в настоящее время учебников попытались найти оптимальное сочетание традиционно-синтетических и более современных подходов. При этом координаты, векторы и преобразования стали рассматриваться скорее как объекты изучения, чем как мощные методы решения задач и доказательства теорем. Место данной темы в курсе стереометрии может быть различным: а) В начале курса. При этом существенно облегчаются доказательства многих теорем традиционных разделов. б) После рассмотрения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Основное применение в темах многогранниках и телах вращения. (Как в учебнике Погорелова и частично в учебнике Атанасяна). в) В конце курса стереометрии. При этом появляется возможность показа преимущества рассматриваемых методов перед традиционным при решении задач. Однако, как правило, здесь не хватает времени на вторичное прохождение материала и возникает опасность путаницы в понятиях. В учебнике А.В.Погорелова реализована следующая схема: координаты аппарат преобразование векторы аппарат 34 В учебнике Л.С. Атанасяна: полигон векторы аппарат координаты преобразования (движения) В учебнике Л.С. Атанасяна наименьшее внимание преобразованиям, в учебнике А.В. Погорелова – векторам. уделено геометрическим II. Материал о координатах, векторах и преобразованиях в стереометрии подчеркнуть повторяет соответствующий планиметрический материал в действующих учебниках. При этом повторение планиметрии затруднено из-за недостатка времени. Следовательно, такое повторение целесообразно осуществлять в процессе ознакомления с соответствующими стереометрическими фактами и их доказательстве. Например, при выводе формулы расстояния между точками, как в планиметрии, так и в стереометрии строится прямоугольный треугольник и применяется теорема Пифагора. Таким образом, в стереометрии эти вопросы изучаются аналогично + этап сведения к планиметрическому аналогу. Поэтому можно использовать следующую методическую схему ее вида этой формулы: 1) Актуализация планиметрической формулы и идеи ее вывода. 2) При решении стереометрической задачи на интуитивном уровне записывается пространственный аналог. 3) Обсуждается возможность переноса идеи вывода планиметрической формулы на стереометрический факт. 4) Сведения пространственной конфигурации к плоскостной. 5) Осуществление доказательства по составленному плану: а) сведения к планиметрическому анализу; б) применение планиметрической идеи; 6)Закрепление доказательства в соответствии с известными этапами. В действующих учебниках рассматриваются по существу только основной аппарат метода координат и векторной алгебры. При этом возможности применения этих методов при решении содержательных стереометрических задач и задач из других разделов весьма незначительны, и это оказывает отрицательное воздействие на осознание сущности данных методов в целом. Учителю необходимо на материале стереометрии закрепить приобретенные ранее представления о существующих методах и их компонентах на основе использования системы специальных упражнений. 35 В конце изучения данной темы «Координаты, векторы, преобразования» целесообразно провести спаренный урок-семинар (лучше урок-практикум) по одновременному решению задач всеми методами и их сопоставительному анализу. При этом отдельным группам учеников может быть предложена задача, которую необходимо решить одним из методов (либо на уроке, либо как домашнее задание). В процессе обсуждения решения со всем классом выделяются критерии применимости того или иного метода в данной ситуации, а также его плюсы и минусы. На практике при решении содержательных стереометрических задач чаще приходится пользоваться более универсальным координатно-векторным методом. Его использование наглядно можно увидеть при решении следующей задачи: В треугольной пирамиде ДАВС плоские углы при вершине Д равны по 90 0. Боковые ребра ДА = 6, ДВ = 8, ДС = 24. точка М равноудалена от всех вершин пирамиды. Найти расстояние ДМ. (Решать самостоятельно). Вопросы для самопроверки: 1. Чем вызвана необходимость введения новых содержательных линий в школьный курс стереометрии? 2. Почему их введение в школьный курс завершилось неудачей? 3. Какие схемы изучения координат, векторов и геометрических преобразований реализованы в действующих учебниках? 4. Какую методическую схему введения фактов аналитической геометрии в пространстве целесообразно использовать в курсе стереометрии? 5. Как осуществить аналогию при изучении данного материала в курсе стереометрии с планиметрией? Тема 12. Изучение параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии. План. I. Роль и место данной темы в школьном курсе, цели ее изучения. II. Содержание материала. III.Некоторые методические рекомендации по изучению материала о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей. Содержание лекции: I. Изучение параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии может осуществляться в различной последовательности (сначала перпендикулярность, а затем параллельность и наоборот). В настоящее время их изучение в школе начинается с аффинной ее части – с параллельности. Это дает возможность пораньше познакомить учащихся с изображением пространственных фигур на плоскости, позволяет показать роль аксиом при изложении этого раздела, развивать конструктивные навыки учащихся в процессе решения позиционных задач. 36 Тема играет важную роль в процессе формирования пространственных представлений учащихся, обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности и перпендикулярности прямых. Основная цель изучения – дать учащимся систематические знания о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. II. Всю тему «параллельность в пространстве» можно разделить на 4 блока: 1) параллельность прямых в пространстве; 2) параллельность прямой и плоскости; 3) параллельность плоскостей в пространстве; 4) параллельная проекция и ее свойства. Изображение пространственных фигур на плоскости. Для новых трех блоков можно выделить общий план изучения: 1) определение; 2) признак; 3) вопрос существования и единственности; 4) свойства (для параллельных плоскостей). Всю тему «перпендикулярность в пространстве» можно условно разделить на три части: 1) перпендикулярность прямых в пространстве; 2) перпендикулярность прямой и плоскости; 3) перпендикулярность плоскостей. Содержание темы: 1) перпендикулярность прямых; 2) перпендикулярность прямой и плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости; перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной на плоскость; расстояние точки до плоскости, теоремы о параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости; 3) перпендикулярность плоскостей; теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей; расстояние от прямой до параллельной ей плоскости; расстояние между параллельными плоскостями. III. 1. При изучении взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве широко используются стереометрический ящик, геометрия «классной комнаты», «подручные» средства (журнал, книга, ручка, мел и т.д.), аналогия с планиметрией. 2.При изучении понятий данной темы можно придерживаться следующей методологической схемы: 1) формулировка определения учителем; 2) иллюстрация понятия на модели куба (параллелепипеда), геометрии «классной комнаты»; 3) логический анализ формулировки определения; 4) упражнения на распознавание понятия; приведение примеров из окружающей обстановки с соответствующим обоснованием. 3. При изучении теорем, выражающих признаки параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей, целесообразно придерживаться такой методической схемы: 1) мотивация изучения признака; 2) раскрытие содержания теоремы на стереометрическом ящике, на реальных объектах; 37 3) формулировка признака; 4) сообщение идеи доказательства, совместное составление плана доказательства; 5) оформление доказательства в соответствии с принятыми требованиями; 6) показ применимости признака на простейшей модели; 7) закрепление при решении задач. 4. Остановимся на роли задач перпендикулярности в пространстве. при изучении вопросов параллельности и Сначала, как известно, вводится – определяется перпендикулярность (параллельность), затем рассматривается вопрос о существовании такого расположения, тесно связанный с признаками перпендикулярности (параллельности) и конструктивными задачи, т.е. воображаемыми построениями перпендикулярных (параллельных) прямых и плоскостей. Эти построения весьма разнообразны. 5.Со второй половины темы «перпендикулярность в пространстве» акцент делается уже на практические стереометрические задачи. Это обусловлено тем, что введено понятие перпендикулярности, понятие «расстояние» и рассмотрена теорема о трех перпендикулярах, дающая основную конфигурацию – классический прямоугольный треугольник (перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной). Вопросы для самопроверки. 1. Какова основная цель изучения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии? 2. Какие блоки можно выделить в материале о параллельности прямых и плоскостей в пространстве, перпендикулярности прямых и плоскостей. 3. Какую методическую схему изучения понятий этой темы можно использовать? 4. Какую методическую схему можно предложить для изучения теорем, выражающих признаки параллельности (перпендикулярности) прямых и плоскостей? 5. Какие задачи преобладают в учебниках при изучении данной темы? Тема 13. Методика изучения многогранников, фигур вращения в школьном курсе стереометрии. План. I. Роль и место данного материала в школьном курсе. Цели его изучения. II. Содержание материала в действующих учебниках. III.Методические особенности изучения геометрических тел в школьном курсе. Содержание лекции: 38 I. Темы «Многогранники» и «Тела и вращения» являются центральными в курсе стереометрии средней школы. 1) В процессе их изучения систематизируются знания учащихся их планиметрии: о многоугольниках, окружностях и круге, вписанном и описанном многоугольниках и их основных свойствах, а также знания о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве из курса стереометрии 10-го класса. 2) В процессе изучения многогранников и тел вращения продолжается работа по дальнейшему развитию пространственных представлений и воображение учащихся. 3) Знакомство с многогранниками и телами вращения играет важную роль в подготовке учащихся к практической жизни, к труду (например, многие детали машин, приборов, архитектурные сооружения, предметы быта имеют форму тел вращения). 4) Дальнейшие развитие получает при изучении этого материала логическое мышление учащихся (вводится много новых понятий, теорем) Основная цель – дать учащимся систематические сведения об основных видах многогранников, познакомить с простейшими телами вращения и их свойствами. II. Тему «Многогранники» можно разделить на следующие части: 1. Многогранник. Элементы многогранника. Выпуклый многогранник. 2. Призмы. Параллелепипеды. 3. Пирамиды. Усеченные пирамиды. 4. Правильные многогранники. 5. Объемы многогранников. Последовательность изложения и место этих вопросов в действующих учебниках А.В. Погорелова и Л.С. Атанасяна (раздел о сечениях.). Весь круг вопросов по теме «Тела вращения» можно условно разделить на 2 группы: 1. Цилиндр и конус: а) определение, поверхность, симметрия, касательная плоскость, сечение осевое и перпендикулярное оси, вписанные и описанные многогранники; б) объем; в) площадь боковой поверхности. 2. Шар и сфера: а) определение, симметрия, сечение, касательная плоскость; б) объем шара; в) площадь сферы. III. Рассмотрим некоторые методические особенности изучения геометрических тел в школьном курсе стереометрии: 1. Изучение данного материала начинается с введения понятия многогранника. Существуют различные подходы к его определению. Чаще многогранник трактуется как ограниченное геометрическое тело с определенными характерными свойствами (Погорелов, Клопский, Скопец; Александров и др.). (Например, в учебнике А.В. Погорелова – многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.) В учебнике Атанасяна многогранник рассматривается как поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Правда, в дальнейшем добавлено, что «тело, ограниченное многогранником, часто называют также многогранником». Руководясь принципом педагогической целесообразности, понятие многогранника можно вводить без предварительного введения формально-логических определений понятий «геометрического тела», «поверхности», считая их интуитивно ясными для учащихся из их опыта и наглядных представлений. 2.Изложение материала о каждом геометрическом теле осуществляется по единому плану: 39 1) Определение, сопутствующие элементы и некоторые простейшие свойства, вытекающие сразу из определения. 2) Через построение изображения тела показывается его существование. (Предупреждать возможные ошибки в изображениях пространственных фигур). 3) Рассматриваются сечения многогранника или тела вращения (начинать с наглядных пособий, кодограмм). 4) Частные виды, их свойства и классификация (для многогранников). 5) Рассмотрение площади поверхности и объема данного тела. 3. При изучении большинства вопросов необходима постоянная актуализация ранее изученного материала, широкое использование пространственно-плоскостного аналога. Например, свойства параллелограмма – свойства прямоугольника – объем прямоугольного параллелепипеда и т.д. параллелепипеда, площадь 4. Широко используются модели геометрических тел и другие средства наглядности. Легко организовать работу учащихся по их изготовлению во внеурочное время. Помимо положительного влияния на усвоение курса математики такая работа содействует развитию творческих способностей учащихся, расширяет кругозор, содействует повышению эффективности урока. К 11 классу уже нельзя злоупотреблять демонстрацией наглядных пособий. 5. Большинство задач по данным темам – вычислительного характера, решение которых сводится к последовательному решению цикла элементарных планиметрических задач. Активно используются свойства треугольника, четырехугольника, комбинации треугольников с окружностью. Можно выделить следующие виды задач: – на нахождение элементов геометрических тел (длин отрезков, углов) – построение сечений геометрических тел и нахождение площади сечения. – нахождение площадей поверхностей и объемов многогранников и тел вращения. 6. Наиболее сложным является материал (задачи) о комбинациях многогранников и тел вращения. Теоретический материал в основном рассматриваются на наглядно-интуитивном уровне, не ставится задача обучения школьников построению изображения комбинаций. Поэтому необходимо больше использовать готовые чертежи той или иной комбинации и соответствующие модели. На основе их анализа учащиеся должны уметь выделять необходимые для решения сечения данной комбинации и строить их на «выносном» чертеже. Часто вместо комбинаций геометрических тел получаем на таком чертеже известные планиметрические комбинации (треугольник вписанный или описанный около окружности, прямоугольник вписанный или описанный около окружности и т.д.) Вопросы для самопроверки. 1. Какова роль материала о геометрических телах в школьном курсе геометрии? 2. Основная цель изучения этого материала. 3. Какие вопросы рассматриваются в действующих школьных учебниках? 4. Какие подходы к определению понятия «многогранник» можно выделить? 5. По какому единому плану осуществляется изложение материала о каждом геометрическом теле? 40 6. Выделить основные виды задач, имеющиеся в школьных учебниках по данной теме? 41