Совместный изгиб и кручение стержня

Совместные действия изгиба и кручения стержня На практике деформации кручения часто сопутствует изгиб. Как правило, при работе вал изгибается собственным весом, весом шкивов, давлением на зубья шестерен, натяжением ремней и т.д. Сочетание изгиба с кручением имеет место в пространственных рамах, коленчатых валах и других элементах конструкций. В предыдущих разделах рассматривались такие частные случаи сложного сопротивления (косой изгиб, внецентренное растяжение или сжатие), при которых в поперечных сечениях бруса возникали только нормальные напряжения, и, следовательно, имело место одноосное напряженное состояние. Это позволило при выводе расчетных формул использовать сечения произвольной формы. В случае изгиба с кручением от крутящего момента в поперечных сечениях бруса возникают касательные напряжения, которые рассчитываются по разному для круглых и прямоугольных брусьев. Вследствие этого, рассматривать расчет сечений произвольной формы не представляется возможным. Кручение с изгибом – частный случай сложного сопротивления, который может рассматриваться как сочетание чистого кручения и поперечного изгиба. Рис.7.28 Определение внутренних усилий и напряжений при кручении с изгибом Для определения внутренних усилий воспользуемся методом сечений: Обычно две составляющие поперечной силы (Qy, Qz) и изгибающего момента (My, Mz) приводят к их полным результирующим Заметим, что часто поперечной силой пренебрегают (для достаточно длинных валов) и рассматривают кручение с изгибом как совместное действие крутящего (Mx, Mкр, T) и изгибающего (Mи) моментов. Расчет валов круглого (кольцевого) поперечного сечения на кручение с изгибом Исследуем этот вид деформации стержня на примере расчета вала кругового (кольцевого) поперечного сечения на совместное действие изгиба и кручения (рис. 7.29). Рис.7.29 Примем следующий порядок расчета. 1. Разлагаем все внешние силы на составляющие P1x, P2x,..., Pnx и P1y, P2y,..., Pny. 2. Строим эпюры изгибающих моментов Mч и My. от этих групп сил. У кругового и кольцевого поперечного сечений все центральные оси главные, поэтому косого изгиба у вала вообще не может быть, следовательно, нет смысла в каждом сечении иметь два изгибающих момента Mx, и My, а целесообразно их заменить результирующим (суммарным) изгибающим моментом (рис.7.30) который вызывает прямой изгиб в плоскости его действия относительно нейтральной оси п— п, перпендикулярной вектору Мизг. Эпюра суммарного момента имеет пространственное очертание и поэтому неудобна для построения и анализа. Поскольку все направления у круга с точки зрения прочности равноценны, то обычно эпюру Мизг спрямляют, помещая все ординаты в одну (например, вертикальную) плоскость. Обратим внимание на то, что центральный участок этой эпюры является нелинейным. Рис.7.30 3. Строится эпюра крутящего момента Мz.. Эпюра крутящих моментов строится так же, как и при чистом кручении. 4. Находится опасное сечение вала. Опасное сечение вала будем искать, как и прежде, по эпюрам внутренних усилий. При построении эпюр внутренних усилий при кручении с изгибом необходимо иметь ввиду следующие правила: - эпюры крутящего момента Mx, а также эпюры составляющих поперечной силы Qy, Qz и изгибающего момента My, Mz строятся по той же процедуре, что и ранее; - результирующая поперечная сила Q может не лежать в плоскости действия результирующего изгибающего момента Mи, а потому между ними уже не будет соблюдаться зависимость Журавского (dM/dx=Q), а, следовательно, и правила проверки эпюр, введенные для плоского изгиба; - эпюра полного изгибающего момента будет прямой только на тех участках, где My и Mz ограничены прямыми с общей нулевой точкой, на участках, где такая общая точка отсутствует эпюра Mи будет описываться вогнутой кривой и строится по точкам (связано с тем, что вектор Mи в разных сечениях имеет различное направление). Опасное сечение при кручении с изгибом устанавливается из совместного анализа эпюр крутящего Mx и полного изгибающего Mи моментов. Если в сечении вала постоянного диаметра с наибольшим изгибающим моментом М действует наибольший крутящий момент Мкр, то это сечение является опасным. Если же такого явного совпадения нет, то опасным может оказаться сечение, в котором ни М ни Мкр не являются наибольшими. Еще больше осложняется задача при валах переменного диаметра; у таких валов наиболее опасным может оказаться такое сечение, в котором действуют значительно меньшие изгибающие и крутящие моменты, чем в других сечениях. В случаях, когда опасное сечение не может быть установлено непосредственно по эпюрам М и Мкр , необходимо проверить прочность вала в нескольких предположительно опасных сечениях. 5. После установления опасного сечения вала в нем находят опасные точки. В сечении возникают одновременно нормальные напряжения от изгибающего момента и касательные напряжения от крутящего момента и поперечной силы. В валах круглого сечения, длина которых во много раз больше диаметра, величины наибольших касательных напряжений от поперечной силы относительно невелики и при расчете прочности валов на совместное действие изгиба и кручения не учитываются. Наибольшие напряжения изгиба возникают в точках k и k/, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 7.31), где Wизг — момент сопротивления при изгибе. В этих же точках имеют место и наибольшие касательные напряжения кручения где Wр — момент сопротивления при кручении. Рис.7.31 Как видно из рис. 7.31, в данном случае имеет место плоское напряженное состояние и расчет на прочность должен вестись по одной из гипотез прочности. Для пластичных материалов применяют гипотезу наибольших касательных напряжений (III) или энергетическую гипотезу (IV). Условие прочности по III гипотезе записывается в виде В рассматриваемом случае или где - эквивалентный момент по третьей гипотезе прочности. Условие прочности по IV гипотезе прочности записывается в виде В рассматриваемом случае или где - эквивалентный момент по четвертой гипотезе прочности. Для хрупких материалов может быть использована гипотеза прочности Мора, которая для пластичных материалов приводится к третьей гипотезе, а для очень хрупких – к первой гипотезе Аналогичный расчет проводится и для кольцевого сечения. Пример 12. Стальной вал круглого поперечного сечения передает мощность N=14,7 кВт при угловой скорости =10,5 рад/с. Величина наибольшего изгибающего момента, действующего на вал Mи=1,5 кНм. Исходя из условий прочности по III и IV теориям прочности, определить необходимый диаметр вала, если =80 МПа. Решение. Условие прочности при одновременном действии изгиба и кручения по III гипотезе прочности Находим величину передаваемого валом крутящего момента Эквивалентный момент по третьей гипотезе прочности равен а диаметр вала или =63,5 мм. Условие прочности при одновременном действии изгиба и кручения по IV гипотезе прочности Эквивалентный момент по четвертой гипотезе прочности равен а диаметр вала или =62,3 мм. Таким образом, расчет по энергетической теории прочности дал более экономичный размер сечения, чем по критерию наибольших касательных напряжений. Пример 13. Рассмотрим вал, нагруженный так, как это показано на рис. 7.31.1,а. Вал передает от левого конца к зубчатому колесу, диаметром d = 1/3 м, мощность P = 15 кВт при частоте вращения n = 382 об/мин. Следует из условия прочности рассчитать необходимый диаметр вала. Принять [σ] = 80 МПа. Рис.7.31.1 Решение. 1. Для решения этой задачи необходимо в первую очередь составить расчетную схему вала. Приведем силу F к точке С на оси вала. Для этого заменим силу F системой сил ей эквивалентной: силой F, приложенной к оси вала, и парой сил с моментом M1 = F(d/2), действующим в плоскости зубчатого колеса. Далее освободим вал в точках А и В от опор (подшипников), заменив их реакциями в горизонтальной ( вала (рис. 7.31.1, б). ) и вертикальной ( ) плоскостях. В результате получаем расчетную схему 2. Исходя из того, что вал передает мощность P = 15 кВт при частоте вращения n соответствующей угловой скорости ω = πn/30, находим вращательный момент M0, приложенный к левому концу вала: Из равенства M0 = M1 = Fd/2 находим касательную силу F: Следовательно, радиальная сила 0,4F = 900 H. 3. Находим реакции опор, воспользовавшись симметричным их расположением относительно зубчатого колеса 4. Осуществляем построение эпюр моментов в трех взаимно перпендикулярных плоскостях: YOZ, XOY, XOZ. На участке от левого конца до зубчатого колеса вал скручивается моментами M0 и M1. Следовательно, в любом сечении на этом участке крутящий момент Mк = |M0| = |M1| = 375 H∙м. Следовательно, эпюра Mк имеет вид прямой (const), показанной на рис. 7.31.1,в. В плоскости XOY под действием сил вал изгибается на участке между опорами А и В. В сечениях, проходящих через эти точки, изгибающие моменты равны нулю, а наибольшего значения изгибающий момент Mz (вращение момент осуществляет относительно оси OZ) достигает в сечении, совпадающим со средней плоскостью зубчатого колеса Эпюра Mz изображена на рис. 7.31.1,г. В плоскости XOZ вал изгибается на том же участке под действием сил . Наибольший изгибающий момент (рис. 7.31.1,д) имеет место в том же сечении, что и Mzmax: 5. Рассчитываем эквивалентный момент, используя третью гипотезу прочности, в опасном сечении вала, проходящего через точку С: 6. Из условия прочности (45), полагая σэ = [σ], находим требуемый момент сопротивления сечения вала: По значению Wи определяем диаметр вала по формуле: