Составление уравнений и исследование устойчивости линейных автоматических систем

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение города Москвы «Политехнический колледж им. Н.Н. Годовикова» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по профессиональному модулю Технология формирования систем автоматического управления типовых технологических процессов, средств измерений, несложных мехатронных устройств и систем для специальности 15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям) ЛЕКЦИЯ 3 Составление уравнений и исследование устойчивости линейных автоматических систем Составитель Е. В. Елисеева Москва 2018 1 Содержание Тема 1 Составление уравнений и передаточные функции автоматических систем…………………………………………………………………………… 3 Тема 2 Понятие об устойчивости линейных автоматических систем……… 9 Тема 3. Критерий устойчивости Гурвица…………………………….. ……..13 Тема 4 Критерий устойчивости Михайлова………………………………… 15 Тема 5 Критерий устойчивости Найквиста………………………………… 18 Тема 6 Исследование устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам……………………………………………………………… 26 2 ЛЕКЦИЯ 3 СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Тема 1. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Теоретическое исследование системы автоматического управления обычно начинается с составления дифференциальных уравнений, описывающих ее работу. Общим метод составления этих уравнений состоит в следующем. 1. Составляются дифференциальные уравнения для каждого элемента (устройства) системы (см. Гл. 2-6). 2. Производится линеаризация уравнений по методу, изложенному в параграфе 2.1 3. Совокупность линеаризованных дифференциальных уравнений решается совместно относительно какой-либо одной переменной, характеризующей состояние системы (обычно относительно управляемой величины или ошибки системы). В результате получается дифференциальное уравнение системы автоматического управления. Часто это дифференциальное уравнение составляется быстрее, проще и нагляднее с помощью аппарата передаточных функций по так называемой с т р у к т у р н о й с х е м е системы. Структурная схема графически показывает, из каких динамических звеньев состоит автоматическая система и как эти звенья действуют друг на друга. Звенья системы изображаются на структурной схеме в виде прямоугольников, внутри которых записываются соответствующие передаточные функции, а воздействие одного звена на другое обозначается стрелками. Пример: На рис. 7.1, а изображена функциональная схема фотоэлектрической системы слежения за движущейся целью. Отклонение цели от линии визирования воспринимается фотоэлементом ФЭ. Напряжение рассогласования u1 усиливается усилителем и подается на двигатель Д. Двигатель через редуктор вращает визит до совмещения цели с линией визирования. С выхода фотоэлемента одновременно с полезным сигналом u1 в систему поступает сигнал помехи uп, представляющий собой напряжение шумов фотоэлемента. 3 На структурной схеме системы (рис. 7.1,б) реальные элементы заменены соответствующими динамическими звеньями: фотоэлемент и редуктор – идеальными безынерционными, усилитель – апериодическим первого порядка, двигатель – интегрирующим с замедлением (см. Гл. 3-5). Структурная схема по существу представляет собой графическое изображение дифференциальных уравнений в виде соответствующих им передаточных функций. Для составления дифференциального уравнения системы автоматического управления по ее структурной схеме выполняются следующие операции. 1. Структурная схема системы преобразуется в простую одноконтурную схему, которая при наличии одного возмущающего воздействия может быть изображена так, как показано на рис. 7.2. Основными способами упрощения структурных схем являются эквивалентные преобразования, важнейшие правила которых приведены в таб. 7.1. 4 Т а б л и ц а 7.2 Правила эквивалентного преобразования структурных схем Правило Исходная схема Эквивалентная схема 1. Объединение последовательных звеньев 2. Объединение параллельных звеньев 3. Исключение неединичной обратной связи. 4. Перестановка точек суммирования 5. Передвижение точки суммирования с входа звена на его выход 6. Передвижение точки суммирования с выхода звена на его вход Справедливость правил 1-3 была в параграфе 2.4. Правила 4-6 совершенно очевидны. 2. Определяются передаточные функции замкнутой системы по задающему и возмущающему (возмущающим) воздействиям. Передаточная функция замкнутой системы (позадающему воздействию) Ф(р) устанавливает связь между управляемой величиной системы у(t) и задающим воздействием g(t) при отсутствии возмущающего воздействия f(t). Для основной структурной схемы (рис. 7.2) в соответствии с правилами 1 и 3 эквивалентного преобразования она равна 5 Функция Называется п е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и е й р а з о м к н у т о й с и с т е м ы. Она имеет большое значение в теории автоматического управления и широко применяется для анализа и синтеза автоматических систем. Для получения предаточной функции разомкнутой системы W(p) достаточно разомкнуть образующуюся при этом цепь воздействий (вход и выход берутся в месте разрыва). В частном случае, когда передаточная функция цепи обратной связи равна единице Woc(p) = 1, формулы (7.2) и (7.1) принимают вид: Так для системы, структурная схема которая изображена на рис. 7.1,б, имеем: Передаточная функция замкнутой системы по во з м у щ е н и ю Фf(p) устанавливает связь между управляемой величиной y(t) и возмущающем воздействием f(t) при отсутствии задающего воздействия g(t). Определение этой предаточной функции упрощается, если возмущающее воздействие f(t) приведено к входу системы. Для этого в соответствии с правилами 6, 4, 3 и 1 эвивалентного преобразования (см. Табл. 7.1) основная структурная схема (рис. 7.2) светрывается так, как показано на рис. 7.3. В соответсвии с рис. 7.3 в, получим 6 В частности, для системы, структурная схема которой изображена на рис. 7.1,б, имеем 3. По передаточным функциям Ф(р) и Фt(p) составляется диференциальное уравнение замкнутой системы относительно управляемой величины y(t). Для этого из формулы (7.1) получим диференциальное уравнение замкнутой системы при отсутсвии возмущающего воздействия f(t): Из формулы (7.7) получим дифференциальное уравнение замкнутой системы при отсутствии задающего воздействия g(t): 7 При наличии как задающего, так и возмущающего воздействий в соответсвии с принципом суперпозиции получим полное дифференциальное уравнение замкнутой системы Если учесть, что передаточные функции Ф(р) и Фf(p) могут быть представлены в виде отношения полиномов от р: то дифференциальное уравнение (7.11) окончательно примет вид В частности, для системы, схема которой изображена на рис. 7.1, имеем: Из уравнения (7.11), положив в нем у=g-x, можно найти дифференциальное уравнение замкнутой системы относительно ошибки в виде Функция называется п е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и е й з а м к н у т о й с и с т е м ы п о о ш и б к е. Она устанавливает связь между ошибкой системы х(t) и задающим воздействием g(t) при отсутствии возмущающего воздействия f(t) Так, для системы, структурная схема которой изображена на рис. 7.1,в, получим 8 Тема 2. ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ. Одной из основных задач теории автоматического управления является изучение процесса изменения управления во времени под плиянием внешних воздействий (задающего или возмущающего). В гл. 1 было показано, что воздействия (точнее, их изменения) приводят к откронению кправляемой величины системы от установившегося состояния в другое. Такое измерение состояния системы сопровождается возникновением в ней переходного процесса. В общем случае значение управляемой величины системы y(t) в каждый момент времени может быть представлено в виде суммы установившейся Yуст(t) и переходной Уп(t) составляющих: Система автоматического управления считается устойчивой, если Уп(t) с течением времени стремится к нулю: Устойчивость системы в этом смысле часто называют асимптотической устойчивостью. Другие понятия устойчивости будут рассмотрены в параграфе 7.8, 10.1, 10.3. Изменение управляемой величины у(t) во времени может быть определено путем решения линейного дифференциального уравнения (7.12). Решение его можно записать в виде (7.16), если под Yуст(t) понимать частное решение уравнения (7.12), а под Yп(t) – общее решение соответствующего однородного уравнения: Решение уравнения (7.18) может быть представлено в виде суммы экспоненциальных членов: Где Сi – постоянные интегрирования; Pi – корни х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о у р а в н е н и я. 9 Условие устойчивости (7.17) будет выполнятся лишь в том случае, если каждая из экспоненциальных составляющих решения (7.19) с течением времени будет стремится к нулю. Пусть pi=ai – вещественный корень. Тогда составляющая с течением времени стремится к нулю, если ai<0, и неограниченно возрастает, если ai>0. Пусть комплексных сопряженных корней. Тогда сумма образует колебательную составляющую которая стремится к нулю лишь при ai<0. - пара составляющих , Таким образом, знаки вещественных частей коней характеристического уравнивания (7.20) полностью определяют устойчивость или неустойчивость линейной системы. Для устойчивости линейной автоматической системы необходимо и достаточно, чтобы вещестенные части всех корней характеристического уравневания были отрицательными. Это относится как к комплексным, так и к вещественным корням. Последние можно рассматривать как частный случай комплексных корней, у которых мнимая часть равна нулю. 10 Следует особо отметить, что факт устойчивости или неустойчивости целиком зависит только от структуры системы и численных значений ее параметров ( постоянных времени, коэффициентов передачи) не зависит от внешних воздействий g(t) и f(t). Это объясняется тем, что характер переходного процесса определяется только видом левой части дифференциального уравнения (7.12) и не зависит от вида правой части этого уравнения. Изобразим корни характеристического уравнения (7.20) графически на плоскости комплексных чисел, или р-плоскости (рис.7.4). На это плоскости по оси абсцисс откладывается вещественные части корней, а по оси ординатмнимые части. Используя понятие р-плоскости, можно сказать, что для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости (рис. 7.4,а). Если хотя бы один корень окажется в правой полуплоскости, система будет неустойчивой (рис. 7.4,б) Мнимая ось, таким образом, представляет собой г р а н и ц у у с т о й ч и в о с т и. Условимся, что система находитсся на а п е р и о д и ч е с к о й г р а н и ц е у с т о й ч и в о с т и, если в характеристическом уравнении имеется один нулевой корень а все остальные корни имеют отрицательные 11 вещественные части (рис. 7.4,в). В этом случае в выражении (7.19) составляющая с течением времени будет стремится не к нулю, а к постоянному значению . Очевидно, что при нулевой корень в урвынении (7.20) может появляться лишь при равенстве нулю свободного числа : an=0. Система находится на к о л е б а т е л ь н о й г р а н и ц е у с т о й ч и в о с т и, если в характеристическом уравнении имеется пара чисто мнимых корней , а все остальные корни имсеют отрицательные вещественные части (рис. 7.4,г). В этом случае сумма составляющих и в стстеме с течением времени будут устанавливаться незатухающие синусоидальные колебания с частотой . Таким образом, для суждения об устойчивости автоматической системы нет необходимости вычислять корни характеристического кравнения. Достаточно лишь выяснить, все ли они расположены слева от мнимой оси на р-плоскости. Правила, позволяющие судить об устойчивости системы без решения характеристического уравнения, в теории автоматического управления получили название к и т е р и е в у с т о й ч и в о с т и. Рассмотрим без доказательства основные из них. Приступая к исследованию устойчивости автоматической системы, полезно вначале убедиться, что выполняется н е о б х о д и м о е условие устойчивости. Для устойчивости системы необходимо (но недостаточно), чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными. Это означает, что если все коэффициенты положительны, система может быть устойчивой, но может быть и неустойчива или находится на границе устойчивости, т.е. является неработоспособной. Для систем первого и второго порядка необходимое условие устойчивости одновременно является и достаточным. Пример: Пусть характеристические уравнения имеют вид: В первом случае система заведомо неустойчива (коэффициент при меньше нуля). Во втором случае об устойчивости пока нельзя сказать ничего определенного; нужно продолжать исследование с помощью одного из критериев устойчивости. 12 Тема 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА Критерий Гурвица формулируется следующим образом. Для того чтобы все корни характеристического уравнения (7.20) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы при все определители Гурвица Каждый определитель имеет строк и столбцов. По диагонали от верхнего левого до правого нижнего угла выписываются коэффициенты характеристического уравнения по порядку от а1 до а . Каждый столбец дополняется вверх от диагонали коэффициентами с возврастающим индексом, а вниз – коэффициентами с убывающим индексом. На месте коэффициентом, индекс которых меньше нуля или больше Последний определитель следующим образом: пишутся нули. определяется через предпоследний Для уравнений, порядок которых можно привести более простую формулировку критерия Гурвица. Чтобы все корни характеристического уравнения критерия Гурвица. Чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещесвенные части, необходимо и достаточно, чтобы все уоэффициенты этого уравнения и определитель были положительными. Условия устойчивости, вытекающие из этой формулировки, приведены в табл.7.2. 13 Для уравнений, порядок которых пользоватся критерием Гурвица, как правило, нецелесообразно из-за громоздкости условий устойчивости. Признаком апериодической выполнение условия границы устойчивости является Колебательной границе устойчивости соответствует условие при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Пример 7.3. Исследуем устойчивость системы, характеристическое уравнение которой имеет вид (7.21): Система неустойчива, так как Пример 7.4. Исследуем устойчивость фотоэлектрической системы слежения, характеристическое уравнение которой согласно выражениям (7.13) имеет вид где Уравнение третьего порядка. Необходимое условие выполняется. Поэтому для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Или 14 Условие колебательной границы устойчивости имеет вид Условие аперисдической границы устойчивости К=0 в данном случае не имеет физического смысла. Из неравенства (7.26) видно, что инерционное запаздывание в усилителе и двигателе неблагоприятно влияет на устойчивость; чем больше Ту или Тм при заданном К, тем ближе система к колебательной границе устойчивости. Тема 4. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА. Этот критерий был сформулирован в 1936 году А.В.Михайловым. Рассмотрим отдельно левую часть характеристического уравнения (7.20), которая представляет собой характеристический полином. Подставим в этот полином чисто мнимое значение р=iw и получим характеристический комплекс где вещественная часть Х(w) содержит четные степени параметра w, а мнимая часть Y(w) – нечетные степени этого параметра. Если значение w менять непрерывно от 0 до , то вектор своим концом опишет к р и в у ю М и х а й л о в а (рис. 7.5). Пусть характеристический полином n-го порядка имеет корней с положительной вещественной частью и корней с отрицательной вещественной частью. Тогда результирующий угол поворота вектора вокруг начала координат определится по формуле 15 Очевидно, что для устойчивости системы достаточно, чтобы вектор необходимо и при изменении w от 0 до повернулся, нигде не обращаясь в ноль, на угол против часовой стрелки. Кривая Михайлова для устойчивых систем имеет плавную спиралевидную форму. Она начинается на оси абсцисс в точке аn, последовательности прохождения квадрантов, вследствие чего угол поворота вектора меньше, чем оказывается (рис. 7.6,б). Признаком наличияв характеристическом полиноме (7.27) одного нулевого корня является выполнение условия При этом кривая Михайлова начинается в начале координат (рис.7.6,в) и Признаком наличия в характеристическом полиноме (7.27) пары чисто мнимых корней являются прохождение кривой Михайлова при некотором значении через начало координат (рис.7.6,г). При этом 16 вещественная и мнимая части комплекса (7.28) одновременно обращаются в ноль: Эти признаки являются соответственно признаками апериодической и колебательной границ устойчивости, если бесконечно малой деформацией кривой Михайлова в окрестности начала координат можно удовлетворить услови. Устойчивости . При исследовании систем высокого порядка критерий Михайлова более удобен, чем критерий Гурвица. Кроме того, этот критерий широко применяется при построении областей устойчивости (параграф 7.7) и при исследовании нелинейных автоматических систем (параграф 10.4). Пример 7.5. Исследуем устойчивость системы, характеристический полином который имеет вид (7.21) Подставляем в характеристический характеристический комплекс. полином p=jw и находим Определяем вещественную и мнимую части: Находим корень уравнения При этом Следовательно, кривая Михайлова пересекает ось абсцисс в точке 4,5. Уравнение не имеет вещественных положительных корней. Следовательно, кривая Михайлова не имеет точек пересечения оси ординат. Примерных вид кривой изображен нв рис 7.7. Результирующий угол поворота вектор вокруг начала координат при изменении w от 0 до равен нулю. Система неустойчива. Определим число корней с положительной вещественной частью в характеристическом уравнении. Для этого из формулы (7.29) находим 17 Итак, в характеристическом уравнении исследуемой системы имеются два корня с положительной вещественной частью. Тема 5. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА В отличие от критериев Гурвица и Михайлова критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой автоматической системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы. Критерий Найквиста формулируется следующим образом. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы при изменении частоты w от 0 до охватывала точку на угол против часовой стрелки, где число корней с положительной вещественной частью в характеристическом уравнении разомкнутой системы (рис. 7.8,а). Если (т.е. разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывала точку (-1,j0) , как показано на рис. 7.8,б В ряде случаев, особенно при сложном очертании амплитуднофазовой характеристики, удобно применять следующую формулировку критерия Найквиста: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между числом переходов амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы через отрезок вещественной оси сверху вниз и снизу вверх при изменении частоты w от 18 была равна число корней с положительной вещественной частью в характеристики при w=0 или конец ее при , то считается, что она совершает полперехода. Признаком колебательной границы устойчивости служит прохождение амплитудно-фазовой характеристики через точку системы W(p) Передаточная функция разомкнутой определяется выражением (7.2). Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутый изложенным в параграф 2.3. системы строится по правилам, Характеристическое уравнение разомкнутой системы представляет собой приравненный нулю полином знаменателя предаточной функции разомкнутой системы W(p). Если в характеристическом уравнении разомкнутой системы имеются нулевые или чисто мнимые корни, то амплитудно-фазовая характеристика имеет разрыв непрерывности, что создает определенные затруднения при применении критерия Найквиста. где В(р) и С1(р) некоторые полиномы от р. Соответствующая ей частотная передаточная функция равна Из выражения (7.32) видно, что при и амплитудно-фазовая характеристика имеет разрыв непрервыности в точке Для получения определенности амплитудно-фазовая характеристика дополненяется другой бесконечно большого радиуса с центром в начале координат и раствором дуги, равным (пример 7.6 и рис. 7.9). Дуга проводится от уходящей в бесконечность ветви амплитудно-фазовой характеристики против часовой стрелки до пересечения с осью абсцисс и рассматривающая частоте Пусть в характеристическом уравнении разомкнутой системы имеются пара чисто мнимых корней а все остальные корни имеют положительные или отрицательные вещественные части. Передаточная функция разомкнутой системы в этом случае может быть записана в виде 19 Соответствующая ей частотная передаточная функция равна Из выражения (7.34) видно, что при амплитудная характеристика имеет разрыв непрерывности, а фаза совершает скачок на Для получения непрерывной кривой амплитудно-фазовая характеристика дополняется полуокруженостью бесконечно большого радиуса с центром в начале координат по часовой стрелке начиная от ветви, соответствующей меньшим частотам (пример 7.8 и рис. 7.12). Эта полуокруженость рассматривается как часть амплитудно-фазовой характеристики, соответствующая частоте Пример: Исследуем устойчивость фотоэлектрической системы слежения, передаточная функция разомкнутой системы которой (7.5) равна Характеристическое уравнение разомкнутой системы Имеет один нулевой (r=1) и два вещественных отрицательных корня По этому для устойчивости замкнутой системы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не должна охватывать точку Частотная передаточная функция равна Модуль ее И фаза 20 Нетрудно убедится, что при изменении w от 0 до модуль изменяется от до 0, а фаза от . Примерный вид амплитудно-фазовой характеристик изображен на рис. 7.9. Так как r=1, характеристики дополнены дугами бесконечно большого радиуса с раствором Характеристика 1 соответствует устойчивой замкнутой системе, характеристика 3 – замкнутой системе, находящейся на колебательной границе устойчивости. Пример 7.7. Исследуем устойчивость системы угловой стабилизации изображена на рис 7.10. на схеме обозначено: - передаточная функция датчика угла; передаточная функция датчика угловой скорости; передаточная функция управляемого объекта (ракеты). Согласно структурной схеме передаточная функция разомкнутой системы равна Где 21 Характеристическое уравнение разомкнутой системы Имеет один вещественный положительный и один вещественный отрицательный корень т.е. . Часто передаточная функция имеет вид Модуль ее И фаза Примерный вид амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы изображен на рис. 7.11. Характеристика 1 соответствует устойчивой замкнутой системе, так как она охватывает точку (-1,j0) на угол п против часовой стрелки; характеристика 2 соответствует неустойчивой системе. Пример 7.8. Исследуем устойчивость системы угловой стабилизации (рис 7.10), которая отличается от рассмотренной в примере 7.7 тем, что 22 передаточная функция рулевого привода а передаточная функция управляемого объекта Передаточная функция разомкнутой системы равна Характеристическое уравнение разомкнутой системы Имеет один вещественный отрицательный и пару чисто мнимых корней, т.е. Частотная передаточная функция, ее модуль и фаза имеют вид: Из этих выражений видно, что при модуль обращается в бесконечность, а фазы делает скачок на Примерный вид амплитуднофазовой характеристики изображен на рис. 7.12,а для случая устойчивой замкнутой системы и на рис 7.12,б для случая неустойчивости замкнутой системы. 23 Критерий Найквиста позволяет легко оценивать устойчивость автоматических систем, содержащих звенья с чистым запаздыванием (см. Гл. 2) Результирующая передаточная функция разомкнутой системы при наличии последовательно включенного звена с запаздыванием может быть найдена как произведение передаточной функции системы без запаздывания и передаточной функции звена с запаздыванием время запаздывания : где Частотная передаточная функция имеет вид Модуль ее И фаза Где модуль и фаза системы без запаздывания. Таким образом, влияние звена с запаздыванием проявляется только в появлении дополнительного фазового сдвига, что приводит к “закручиванию” амплитудно-фазовой характеристики по часовой стрелке (рис. 7.13). Это обстоятельство, как правило, ухудшает запас устойчивости 24 замкнутой системы и при некоторых значениях неустойчивой. может сделать ее Для определения критического значения времени запаздывания с точкой Где отметим на характеристике точку А, для которой (рис. 7.13). Из выражения (7.38) условие совпадения этой точки запишется следующим образом: чистота, соответствующая точке А. Отсюда критическое время запаздывания равно Заметим, что исследование устойчивости систем с запаздыванием с помощью критерия Михайлова и особенно с помощью критерия Гурвица встречает значительные трудности, так как характеристическое уравнение системы получается трансцендентным. Пример: Пусть передаточная функция разомкнутой системы с запаздыванием имеет вид Нетрудно убедиться, что данная система без запаздывания в замкнутом состоянии устойчива при любом значении коэффициента передачи Для 25 определения критического времени запаздывания по формуле (7.40) предварительно находим Значение частоты Учитывая, что При при котором модуль равен единице, равно: , получим замкнутая система становится неустойчивой. Если величина определяется свойствами системы и не может быть изменена, можно определить критическое значение коэффициента передачи Тема 6. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ ПО Критерий Найквиста может быть сформулирован и применительно к логарифмическима частотным характеристикам (ЛЧХ). Как известно (см. Параграф 2.3), при использованни логарифмических частотных характеристик отдельно строятся логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ) и логарифмическая фазовая характеристика (ЛФХ). ЛАХ разомкнутой системы строится по вы ражению Где частотная передаточная функция разомкнутой системы. Для построения ЛФХ вычисляется аргумент (фаза) частотной передаточной функции разомкнутой системы: Способы построения асимптотической ЛАХ и ЛФХ подробно рассмотрены в гл.2. 26 При оценке устойчивости замкнутой системы по ЛЧХ разомкнутой системы удобно использовать формулировку критерия Найквиста, основанную на подсчете разности переходов амплитудно-фазовой характеристики через отрезок вещественной оси (-1,-∞ ). 27