Состав задач подсистемы ТЭП

3.1.1.1. Назначение подсистемы ТЭП Назначение подсистемы технико-экономического планирования (ТЭП) – определение такой производственной программы и технико-экономических показателей деятельности предприятия, которые максимизирют прибыль предприятия за счет наилучшего соответствия общественным потребностям, а также производственным возможностям и ресурсам предприятия. Состав задач подсистемы ТЭП, их взаимосвязи можно представить в виде следующей  схемы (рис.3.1.). Рис.3.1. Состав задач подсистемы ТЭП 3.1.1.2. Перечень задач подсистемы ТЭП Основной задачей, решаемой в рамках ТЭП, является задача определения оптимальной производственной программы деятельности предприятия, которая в первую очередь содержит общий объём и номенклатуру планируемой к выпуску продукции. Наряду с основной задачей в комплекс задач подсистемы ТЭП входят следующие задачи, тесно связанные между собой: - расчет производственной мощности на план выпуска продукции; - расчет численности основных производственных рабочих и фонда заработной платы (ФЗП); - расчет загрузки оборудования; - расчет себестоимости продукции по основным статьям затрат; - расчет основных фондов и оборотных средств; - определение номенклатуры новых видов продукции и новых технологий; - распределение  товарной продукции и полуфабрикатов по цехам предприятия и некоторые другие задачи. Подсистема ТЭП дает контрольные цифры, которые определяют исходные данные и ограничения в остальных подсистемах АСУП, и поэтому от качества решения задач подсистемы ТЭП в значительной степени зависит не только эффективность функционирования АСУП в целом, но возможность выполнения плана предприятием. Все это предъявляет высокие требования к математическому обеспечению подсистемы, которое должно содержать эффективные методы оптимального планирования. 3.1.2. Постановка задачи объемного планирования производства. Подходы к решению 3.1.2.1. Переменные задачи определения оптимальной производственной программы В большинстве случаев задача формирования оптимальной производственной программы предприятия сводится к задаче объёмного планирования производства и может быть в наиболее общем случае сформулирована следующим образом. Требуется найти: 1.    Набор видов продукции из возможной номенклатуры, выпускаемой данным предприятием (i=1,...,n) и объём выпуска каждого из них {Ni}. 2.    Количество и состав приобретаемого оборудования {Mj}, j=1,...,m. 3.    Размеры партий продукции по технологическим операциям {Pis}, i=1,...,n, s=1,...,wi (wi – количество  технологических операций для i-го вида продукции), которые обеспечат максимум прибыли от реализации продукции. 3.1.2.2. Целевая функция задачи определения оптимальной производственной программы Прибыль от реализации продукции можно записать в виде: Здесь A1 - стоимость реализованной продукции где Ci - стоимость единицы i-той продукции; A2 - затраты на покупку материалов и комплектующих изделий где Зi - затраты на покупку материалов для единицы i-ой продукции; A3 - затраты на заработную плату основных производственных рабочих где Цi – заработная плата основных производственных рабочих при выпуске единицы продукции i-го типа; A4 - зарплата наладчиков станков на другой тип продукции где Ц’is – заработная плата наладчиков при переналадке оборудования, на котором выполняется s-ая операция для продукции i-го типа. A5 - затраты на покупку нового оборудования где Mj - количество приобретаемого оборудования j-ого типа, Dj - стоимость единицы оборудования j-ого типа, Fj - коэффициент амортизационных отчислений по j-той группе. 3.1.2.3. Ограничения задачи определения оптимальной производственной программы На переменные в целевой функции накладываются следующие ограничения: i-го типа. 1.    На объём выпускаемой продукции: где Ni* - регламентированный минимальный объём и Ni** - прогнозируемый спрос на продукцию i-го типа. 2.  На фонд времени работы оборудования: где Mj*- количество имеющихся единиц основного оборудования в j-той группе, Mj - количество приобретённого оборудования j-той группы, Фj - фонд времени работы единицы оборудования j-той группы, tij - длительность обработки i-го изделия на оборудовании j-той группы с учетом переналадок. 3.    На финансовые возможности для покупки оборудования: где D* - фонд развития предприятия. 4.    На оборотные средства предприятия для покупки материалов и комплектующих изделий: где З* - фонд оборотных средств, отпускаемых на покупные ингредиенты 5.    На фонд заработной платы: где H - фонд зарплаты. 6.    На максимальный размер партии: где  - максимально возможный размер партии. {Ni},{Pis} – положительные величины, а для предприятий с дискретным характером производства – целые. {Mj} – положительные целые числа. 3.1.2.4. Подходы к решению задачи определения оптимальной производственной программы Критерий эффективности задачи относится к классу нелинейных функций высокой размерности. Решение задач оптимизации с таким критерием представляет в общем случае большие трудности. Существует два основных пути решения проблемы: 1)   использование специальных методов нелинейного программирования для задач средней размерности; 2)   декомпозиция исходной модели на подмодели. При втором подходе данная модель разбивается на 2 части: - линейную Ф1, в которой определяется оптимальный план {Ni} и количество закупаемого оборудования {Mj}; - нелинейную Ф2, в которой определяется оптимальный размер партий по технологическим операциям {Pis}. 3.1.2.5. Линейная часть математической модели задачи определения оптимальной производственной программы Для согласования критериев обеих частей введем дополнительные переменные: Tj – ожидаемое время переналадок j-той группы оборудования, h – фонд заработной платы рабочим-наладчикам. Тогда обе задачи будут иметь следующий вид. Первая задача: при следующих ограничениях: а) по номенклатуре: б) по фонду времени j-ой группы оборудования: здесь – длительность обработки i-го изделия на оборудовании j-той группы без учета переналадок, Tj – суммарная длительность переналадок оборудования j-той группы. в) по фонду развития: г) по затратам на покупные ингредиенты: д) по фонду заработной платы основным рабочим (без наладчиков):   3.1.2.6. Нелинейная часть математической модели задачи определения оптимальной производственной программы Вторая задача: при следующих ограничениях: а) на время переналадки: где wij – количество операций для i-ой детали, выполняемой на j-ой группе оборудования, tik - длительность переналадки j-ой группы оборудования на k-ую операцию для i-го изделия. б) на фонд заработной платы рабочим-наладчикам: в) на максимальный размер партии: Значения Tj и h определяются по итерационной процедуре до совпадения этих величин в обеих моделях с требуемой точностью. Первая задача решается с использованием методов линейного программирования, вторая – нелинейного программирования. 3.2.1. Матричная форма модели межцехового баланса производства 3.2.1.1. Схема матричной балансовой модели производства Установление масштабов производства, правильный выбор связей между производственными цехами, определение пропорций производства решаются на основе балансового метода, балансовых моделей. Сущность данного метода заключается в увязке объема и структуры тех или иных потребностей производства с материальными, трудовыми, финансовыми и другими видами ресурсов предприятия. Модели межцехового баланса производства и распределения продукции в рамках предприятия в натуральном или стоимостном выражении имеют матричную форму и называются матричными балансовыми моделями или моделями Леонтьева. Схема матричной балансовой модели для n цехов в стоимостном выражении выглядит следующим образом (табл. 3.1.).                                 Таблица 3.1. Схема балансовой модели Каждому цеху соответствует отдельная строка и столбец матрицы размером n x n. Информация о межцеховых потоках содержится в элементах этой матрицы. Так элемент матрицы xij показывает годовые затраты продукции цеха i, использованные на производство продукции в j-ом цехе. Например, если i-ый цех – это цех горячей прокатки, j-ый – цех холодной прокатки, то элемент xij обозначает, сколько горячекатаного подката в стоимостном выражении потреблено за год цехом холодной прокатки. Каждая i-ая строка баланса определяет количество поставок из i-го цеха всем остальным цехам производства, т. е. отражает межцеховые поставки, идущие на обеспечение производственных цехов предприятия. Каждый j-ый столбец в этой матрице отображает поставки, которые получает j-ый цех от всех остальных цехов, т. е. описывает потребление продукции (или, другими словами, производственные затраты цехов). Диагональные элементы – это продукция цеха, используемая им самим на собственные нужды. Суммы  по  строкам  и по столбцам  образуют  n+1 –ый  столбец  и n+1 -ую строку. На их пересечении записывается сумма производственного потребления всех цехов. Эта часть схемы называется 1-ым разделом (или 1-ым квадрантом) межцехового баланса. 3.2.1.2. Связь между валовым выпуском, конечной продукцией и условно-чистой продукцией цехов в балансовой модели производства Во втором разделе (квадранте) записываются значения конечного продукта и значения валовых суммарных выпусков продукции цехов xi, которые равны В n+1 – ой строке 2-го раздела стоят суммы, обозначающие конечный и валовой продукты предприятия соответственно. В 3 – ем разделе, который расположен под 1 – ым, отражается структура условно-чистой продукции каждого цеха zj. Она состоит, с одной стороны, из суммы оплаты труда kj и прибыли lj данного цеха, а, с другой стороны, равна разности между их валовым продуктом и производственными затратами: При разложении валового продукта во 2 –ом разделе на конечный и промежуточный продукт, а в 3 –ем разделе на условно-чистую продукцию и производственные затраты можно вывести следующее соотношение:  или, что равнозначно: Это означает, что конечный продукт равен условно-чистой продукции производства. 3.2.1.3. Статическая модель межцехового баланса На основании взаимосвязи данных показателей статическую модель межцехового баланса можно записать следующим образом:        где:   aij- коэффициенты прямых затрат, представляющие собой затраты продукции i-го цеха, необходимые для производства единицы валовой продукции j-го цеха. Данную систему можно записать в виде: Это выражение называется моделью Леонтьева. Здесь сумма представляет собой промежуточный продукт i –го цеха. В векторно-матричной форме модель примет вид   где A – матрица прямых затрат (или технологическая матрица) размерностью n x n. 3.2.2. Показатели прямых и косвенных материальных затрат 3.2.2.1. Свойства матрицы коэффициентов прямых затрат Основной задачей планирования является нахождение по заданному вектору конечной продукции и известной технологической матрице валовых выпусков каждого цеха и величин межцеховых поставок. Для решения этой задачи перепишем матричную форму модели Леонтьева где I – единичная матрица. Отметим некоторые свойства матрицы коэффициентов прямых затрат A межцехового баланса, которые имеют большое значение для получения решения: Докажем это. Выражение (3.1) можно переписать как В числителе записаны производственные затраты j-го цеха, т.е. продукция других цехов в стоимостном выражении, которую данный цех использовал у себя. В знаменателе – валовой объем продукции j-го цеха, который может быть либо больше производственных затрат на величину конечной продукции, либо равен им, если yj = 0. Что и требовалось доказать. 2) Диагональные элементы aii < 1 3) Все элементы матрицы неотрицательные  aij ≥ 0 Если выполняются указанные условия, и существует неотрицательный вектор X0, такой что X0 > AX0, то матрица A называется продуктивной, т.е. производство, с которым она связана, способно обеспечить некоторый положительный выпуск продукции по всей номенклатуре. 3.2.2.2. Решение статической модели межцехового баланса Из продуктивности матрицы A следует, что: 1)    существует обратная матрица   и решение системы уравнений  можно найти в виде: причём оно будет единственным и неотрицательным при любом Y > 0. 2) Матричный ряд сходится к величине  Обозначим обратную матрицу   через B и назовем её матрицей коэффициентов полных затрат. Тогда решение системы уравнений (3.2) можно переписать в виде: 3.2.2.3. Понятие коэффициентов полных затрат Элементы матрицы B bij показывают, какое количество продукции i-го цеха надо произвести, чтобы получить единицу конечной продукции j-го цеха (1 –ое определение). При этом в отличие от коэффициентов прямых затрат aij, которые характеризуют непосредственные затраты продукции i –го цеха на производство единицы валовой продукции j –го цеха, они также учитывают и косвенные затраты. Смысл их таков. Например, для изготовления автомобиля необходимо иметь уголь, листовую сталь, колеса и т. п. Всё это непосредственно используется при производстве автомобиля (прямые затраты). Но при производстве листовой стали, в свою очередь, необходимы затраты угля. Эти прямые затраты при производстве листовой стали являются косвенными затратами 1 –го порядка при изготовлении автомобиля… Если идти дальше, то для листовой стали требуются слябы, электроэнергия и т.п., на получение которых тоже необходимы затраты угля. Эти затраты являются прямыми для получения слябов и электроэнергии, косвенными 1 –го порядка для производства листовой стали и косвенными 2 –го порядка для изготовления автомобилей. Приведенную схему косвенных затрат можно продолжить и далее, образуя косвенные затраты более высоких порядков. 3.2.2.4. Второе определение коэффициентов полных затрат Введение понятия косвенных затрат позволяет дать 2 -ое определение коэффициентов полных затрат, которое формулируется так: Коэффициентами полных затрат i –го цеха называется сумма прямых затрат aij и косвенных затрат продукции i –го цеха через все k –ые продукты на всех предыдущих стадиях производства, которые необходимы для получения единицы конечной продукции j –го цеха (2 –ое определение). Обозначим эти коэффициенты через cij, тогда где –косвенные затраты k –го порядка, которые определяются следующим образом: При  используя выражения (3.3), данную формулу можно представить в виде: где A - прямые затраты, AC - косвенные затраты всех порядков. Учитывая, что: Учитывая 2 –ое следствие продуктивности матрицы коэффициентов прямых затрат, получаем: Таким образом, коэффициенты cij отвечают на вопрос, каковы полные производственные затраты i-ой продукции на изготовление единицы продукции j. Коэффициенты bij показывают, каков должен быть полный выпуск i-ой продукции, необходимый для получения единицы конечной продукции j, т.е. коэффициенты bij включают полные производственные затраты cij и ещё единицу конечной продукции (если i = j), которую также нужно произвести. 3.2.3.Баланс труда 3.2.3.1. Коэффициенты прямых затрат труда на производство Основными показателями балансов труда являются коэффициенты прямых затрат труда на производство единицы продукции tj. Математическая модель межцехового баланса затрат труда на предприятии выглядит так: где yt – затраты труда в непроизводственной сфере; xt – общая величина необходимых затрат труда (общая потребность в рабочей силе или необходимый фонд времени). Через коэффициенты прямых затрат труда данное выражение можно записать как: 3.2.3.2. Коэффициенты полных затрат труда на производство Используя аналогично материальным коэффициентам bij, коэффициенты полных затрат труда Tj можно переписать математическую модель межцехового баланса затрат труда в виде: Вектор T может быть найден как Здесь B и bij – матрица коэффициентов полных материальных затрат и ее элементы, t – вектор прямых затрат труда. Отсюда следует, что затраты труда в производственной сфере можно записать как: 3.3.1. Задача с последовательной обработкой изделий 3.3.1.1. Классификация задач оптимальной загрузки оборудования Одной из основных задач, решаемых в рамках подсистемы технико-экономического планирования АСУП, является задача оптимальной загрузки оборудования. Иногда ее называют задачей распределения производственной программы между однородными цехами, группами оборудования или производственными участками. Целью решения задачи является в большинстве случаев максимизировать прибыль или минимизировать затраты на производство заданного объема продукции при ограниченных возможностях технологического оборудования. Обычно решению данной задачи предшествует расчет оптимальной производственной программы предприятия на плановый период, где должны быть определены оптимальные объем и номенклатура выпускаемой продукции. Однако, в некоторых случаях определение максимально возможного объема выпускаемой продукции исходя из мощностей оборудования, может осуществляться в рамках задачи о загрузке. Рассмотрим эту задачу более подробно. Задача может быть сформулирована в 3-х различных постановках: –задача с последовательной обработкой изделий, –задача с параллельной обработкой изделий, –задача со смешанной обработкой, которая представляет собой комбинацию первых двух задач. 3.3.1.2. Математическая модель задачи загрузки оборудования с последовательной обработкой Задача с последовательной обработкой обычно имеет следующую формулировку. Предприятие выпускает n видов изделий, каждое из которых проходит последовательную обработку на оборудовании m типов. Длительности технологических операций при изготовлении каждого вида изделий на каждом типе оборудования составляет aij единиц времени (i=1,...,n; j=1,...,m). Фонд рабочего времени оборудования составляет bj единиц времени. Требуется составить такой план загрузки оборудования, при котором предприятие получит максимальную прибыль. В соответствии с этой задачей каждое изделие в процессе обработки проходит последовательно все типы оборудования, следовательно, план загрузки легко можно будет найти, если мы определим оптимальную производственную программу предприятия. Таким образом, в данном случае задачи поиска оптимальных объемов производства и плана загрузки оборудования  решаются одновременно. После определения объемов производства xi соответствующий план загрузки оборудования определяется следующим образом: где yij – длительность работы оборудования j-го типа по производству изделий i-го вида. Для поиска оптимальной производственной программы составим математическую модель задачи. Искомыми переменными задачи являются объёмы xi. В качестве критерия оптимальности (целевой функции) можно выбрать максимизацию прибыли, либо в некоторых случаях минимизацию затрат на изготовление продукции: Решение задачи должно удовлетворять следующим ограничениям: 1.    на фонд рабочего времени оборудования 2.    на объем выпускаемой продукции 3.  на неотрицательность переменных 3.3.1.3. Учет незавершенного производства в задаче загрузки оборудования с последовательной обработкой Для учета незавершенного производства необходимо ввести двухмерную переменную xij, которая будет показывать объем производства изделий i-го вида на оборудовании j-го типа. При этом предполагается, что часть продукции после обработки на оборудовании j-го типа может скапливаться на промежуточном складе, образуя объемы незавершенного производства: Математическая модель задачи  будет иметь в этом случае следующий вид. За критерий оптимальности опять можно выбрать максимизацию прибыли: где xim – объёмы производства изделий i-го вида на последнем m-ом оборудовании в линейной цепочке производственных агрегатов. Ограничения задачи: 1.   на фонд рабочего времени оборудования 2.    на объем выпускаемой продукции 3. на объемы складов где Lj – объем промежуточного склада после оборудования j-го типа (j=1,…,m-1). Считается, что начальное состояние склада нулевое. 4.На неотрицательность переменных 3.3.2. Задача с параллельной обработкой изделий 3.3.2.1. Математическая модель задачи загрузки оборудования с параллельной обработкой Задача с параллельной обработкой обычно формулируется следующим образом. Предприятие располагает m типами взаимозаменяемого оборудования, на котором может выпускаться n видов изделий. Длительность изготовления изделия i-го вида (i=1,...,n) на j-ом типе оборудования (j=1,...,m) составляет aij единиц времени. Фонд рабочего времени оборудования составляет bj единиц времени. Известна производственная программа предприятия, в соответствии с которой предприятие должно произвести не менее d*i и не более d**i изделий i-го вида. Изготовление изделия i-го вида на оборудовании j-го типа требует от предприятия затрат в объеме gij единиц. Необходимо составить такой план загрузки оборудования, при котором суммарные затраты были бы минимальными. В данной задаче для изготовления каждого изделия требуется один из типов оборудования и в отличие от предыдущей задачи маршрут изготовления изделий заранее неизвестен. Математическая модель задачи будет иметь следующий вид. Искомыми неизвестными являются  yij – продолжительность работы оборудования j-го типа по изготовлению изделий i-го вида. Для определения объёмов производства изделий на каждом типе оборудования xij необходимо выполнить следующие вычисления: Критерием оптимальности будет минимизация затрат на изготовление продукции. Если известна отпускная цена выпускаемых изделий ci, то более корректным будет выбор в качестве критерия оптимальности максимизацию прибыли предприятия. Решение задачи должно удовлетворять следующим ограничениям: 1. на фонд рабочего времени оборудования 2. на объем выпуска продукции на всем оборудовании 3. на неотрицательность переменных 3.3.3. Задача со смешанной обработкой изделий 3.3.3.1. Математическая модель задачи загрузки оборудования со смешанной обработкой Однако на подавляющем большинстве предприятий для производства изделий требуется несколько последовательных операций, выполняемых на разнотипных группах оборудования. Каждая группа обычно содержит несколько взаимозаменяемых единиц оборудования. К примеру, в цехе холодной прокатки для производства автолиста используются травильные агрегаты, колпаковые печи, агрегаты резки и т.д., причем травильных агрегатов два, колпаковых печей несколько десятков, агрегатов резки около десяти. Для таких предприятий наиболее подходящей является смешанная задача, которую можно сформулировать следующим образом. Предприятие производит n видов изделий. Для производства i-го вида изделия требуется mi групп оборудования. Каждая j-ая группа оборудования состоит из lj типов взаимозаменяемого оборудования. Длительность обработки i-го изделия на оборудовании k-го типа из j-ой группы составляет aijk единиц времени (i=1,...,n; j=1,...,mi; k=1,...,lj). Фонд рабочего времени оборудования k-го типа из j-ой группы составляет bjk. Обработка изделия i-го вида на оборудовании k-го типа из j-ой группы требует от предприятия затрат в объеме gijk единиц. Отпускная цена выпускаемых изделий ci. Необходимо составить такой план загрузки оборудования, при котором суммарная прибыль будет максимальной. Математическую модель задачи построим следующим образом. Обозначим за xijk – количество изделий i-го типа, прошедших обработку на k-ом типе оборудования j-ой группы. План загрузки оборудования определяется как: где zijk – длительность работы оборудования k-го типа из j-ой группы по обработке изделий i-го вида. Так как производственная программа предприятия неизвестна, введем переменную yi, которая будет обозначать оптимальный выпуск изделий i-го вида.   Дальнейшие построения необходимо проводить для двух случаев: отсутствия или наличия незавершенного производства, т.е. образования некоторого запаса полуфабрикатов после отдельных операций. Если незавершенное производство отсутствует, тогда критерий оптимальности в виде максимизации прибыли можно записать: Решение задачи должно удовлетворять следующим ограничениям: 1.   на фонд рабочего времени оборудования 2.    на отсутствие незавершенного производства 3.    на объем выпускаемой продукции 4.   на неотрицательность переменных В случае наличия незавершенного производства критерий оптимальности можно записать в виде (3.4), а группу ограничений (3.5) в виде неравенства: 3.3.3.2. Первый этап решения задачи загрузки оборудования со смешанной обработкой Предложенные математические модели являются довольно сложными, имеют большое количество переменных и ограничений. Для упрощения вычислений можно решить эту задачу в два этапа. На первом этапе решается задача с последовательной обработкой и определяется оптимальный объем выпуска продукции yi. Математическая модель этой задачи имеет следующий вид: На переменные наложены следующие ограничения: 3. Здесь и – приведенные значения затрат и длительности обработки изделия i-го вида на j-ой группе оборудования, которые определяются по следующим формулам: Однако так как bijk заранее неизвестны, то расчеты по данным формулам можно заменить расчетами по более простым приближенным формулам: 3.3.3.3. Второй этап решения задачи загрузки оборудования со смешанной обработкой На втором этапе решается max{mi} задач с параллельной обработкой и определяется xijk и продолжительность работы оборудования zijk (i =1,…n; j = 1,…,mi; k = 1,…lj). Математическую модель задачи для конкретной j-ой группы оборудования можно записать следующим образом: Необходимо отметить, что обычно учитывается возможность образования незавершенного производства (3.6). Для решения всех описанных задач из-за линейности их математических моделей обычно применяются методы линейного программирования, например, модифицированный симплекс-метод. Возможно, также применение динамического программирования при отсутствии ограничений типа больше или равно. Лекция 3.4. Задача распределения производственной программы по календарным периодам страница 1 3.4.1. Распределение производственной программы при длительности производственного цикла меньше интервала планирования 3.4.1.1. Переменные и целевые функции задачи распределения производственной программы при длительности производственного цикла меньше интервала планирования Пусть в результате решения задачи оптимизации годовой производственной программы предприятия получен оптимальный годовой выпуск продукции всех цехов: Ni, i=1,...,n. Необходимо определить объемы выпуска продукции каждого вида во всех t-ых интервалах планирования xit, где t=1,...,T. Количество интервалов планирования может быть 2 (полугодие), 4 (квартал), 12 (месяц) или любое другое главное, чтобы цикл производства был меньше этого интервала. Кроме того, известны: фонд времени работы каждой группы оборудования в каждый интервал Bjt, где j=1,...,m; m – количество групп оборудования, участвующих в производстве продукции; запасы ресурсов всех видов в каждом интервале Qlt, где l=1,...,L; L – общее количество видов ресурсов (сырья и материалов), используемых при производстве продукции; трудоемкости изготовления продукции i-го вида на j-ой группе оборудования τij (можно вместо трудоемкости использовать производительность aij); нормы расхода ресурсов каждого вида на изготовление единицы продукции разных видов gil. Для усложнения задачи предположим, что известны объемы ресурсов, которые должны быть обязательно израсходованы в каждый t-ый интервал qlt, а также минимальные размеры партий продукции dit, обязательные к выпуску в каждом интервале. Критерием оптимальности в данной задаче может являться: 1. Максимизация серийности изготовления продукции Лекция 3.4. Задача распределения производственной программы по календарным периодам страница 2 3.4.2. Распределение производственной программы при длительности производственного цикла больше периода планирования 3.4.2.1. Переменные задачи распределения производственной программы при длительности производственного цикла больше интервала планирования В случае если длительность производственного цикла изготовления продукции θi больше длительности интервала планирования ∆t, то в одном и том же плановом интервале однотипные изделия могут находиться на различных этапах изготовления. Данное положение иллюстрируется графиком на рис.3.2. Здесь θi=3, T=2, ∆t=1. Предполагается, что длительность производственного цикла изготовления i-ой продукции θi кратна длительности интервала планирования  ∆t = ti - ti-1 и измеряется в количестве ∆t, входящих в θi, т.е. в количестве этапов. На графике k – номер этапа изготовления изделия, отсчитанный от конца производственного цикла. Обычно в такой задаче требуется найти, во-первых, объемы готовой продукции, выпускаемые в каждом интервале планирования xit, где i=1,...,n, t=1,...,T, n – количество видов продукции, T – плановый период (обычно 2, 4 или 12, в первом случае интервалом планирования является полугодие, во втором – квартал, в третьем – месяц). Во-вторых, объемы продукции, задаваемые в производство в каждый интервал планирования zit. Если не учитывать потери при производстве продукции, то  В соответствии с этой формулой для полноценного планирования необходимо определить также объемы изделий, задаваемых в производство в предплановые периоды, т.е. продукцию, переходящую с предыдущего планового периода, zit, где t=-θi+T,...,0, в нашем случае t=[-1,0]. А также объемы готовой продукции, выпускаемой в послеплановые периоды, т.е. переходящую в следующий плановый период, xit, где t=T+1,...,T+θi-1, в нашем случае t=[3,4].  3.4.2.2. Критерии максимизации загрузки оборудования в первые интервалы и минимизации суммы взвешенных перегрузок задачи распределения производственной программы при длительности производственного цикла больше интервала планирования Простейшим критерием для такой задачи может служить критерий максимизации загрузки оборудования в первые интервалы планирования: Здесь bjt – загрузка оборудования j-го типа в t-ый интервал планирования (т.е. фактическая длительность работы каждой группы оборудования в каждый интервал планирования), t – номер интервала планирования. Обозначим через τijk – трудоемкость (длительность) изготовления продукции i-го вида на j-ой группе оборудования на k-ом этапе его изготовления. Тогда длительность работы оборудования j-го типа на производство i-го изделия в t-ый интервал (см. график на рис.3.2) равна: В общем случае загрузка оборудования j-го типа в t-ый интервал планирования bjt (т.е. фактическая длительность работы каждой группы оборудования в каждый интервал планирования) равна Так как при распределении годовой производственной программы по отдельным плановым интервалам может возникнуть перегрузка или недогрузка оборудования в отдельные интервалы планирования, то наиболее часто в задачах такого типа стараются минимизировать локальные перегрузки и недогрузки. Таким образом, модели должны быть построены так, чтобы допускали некоторую перегрузку оборудования. Введем дополнительные переменные ynjt, где j=1,...,m, t=1,...,T, m – количество групп оборудования. Данная переменная обозначает перегрузку оборудования j-го типа в t-ый интервал планирования. Обычно переменные, обозначающие недогрузку оборудования, не вводят, так как уменьшение перегрузок автоматически приводит к уменьшению недогрузок. В качестве критерия оптимальности можно предложить минимизацию суммы взвешенных перегрузок: где рij – штрафные коэффициенты для перегрузок каждого j-го вида оборудования в каждый интервал планирования. 3.4.2.3. Ограничения задачи распределения производственной программы при длительности производственного цикла больше интервала планирования Введем следующие обозначения во многом аналогичные предыдущей задаче: gilk – норма расхода ресурса (сырья или материалов) l-го вида на производство единицы i-ой продукции на k-ом этапе изготовления, qlt и Qlt – объемы ресурсов всех видов, которые должны быть обязательно израсходованы в каждый t-ый интервал планирования и запасы ресурсов в каждый интервал, Bjt – фонд времени работы каждой группы оборудования в каждый интервал планирования. Ограничения задачи с данными обозначениями можно записать следующим образом: Здесь dit и Ni, как и в первой задаче, минимальные размеры партий продукции обязательные к выпуску в каждом интервале планирования, в том числе и в послеплановые периоды, и годовой выпуск продукции каждого вида; г) на перегрузку оборудования: Здесь Bnjt – абсолютные значения максимально допустимых значений перегрузки оборудования в разные интервалы планирования. Часто данное ограничение записывают по-другому: где α – относительное значение перегрузки в долях от фонда времени (например, 0.05 или 0.1); д) , Два замечания: 1) В ограничениях могут быть учтены изделия, имеющие короткий цикл изготовления, т.е. меньше одного интервала планирования. Тогда, например, в ограничении по пропускной способности оборудования фактическая длительность работы каждой группы оборудования в каждый интервал времени (3.8) будет равна: где n1 и n-n1 – количество изделий с коротким и длительным циклом изготовления соответственно. Аналогично должны быть исправлены ограничения по ресурсам (3.9, 3.10). Ограничения на выпуск продукции (3.11) должны быть записаны следующим образом: 2) Для упрощения задачи можно предположить, что нормы расхода ресурсов и длительности изготовления изделий не зависят от этапа изготовления, тогда у параметров qilk и τijk исчезнет индекс k. 3.4.2.4 Особенности математической модели задачи распределения производственной программы при длительности производственного цикла больше интервала планирования с критерием равномерности загрузки оборудования Рассмотрим критерий, обеспечивающий равномерность загрузки оборудования. Обозначим через vjt = bjt/Bjt – относительную загрузку j-ой группы оборудования в t-ом интервале. Здесь bjt – фактическая загрузка оборудования. Переменная vjt может быть как больше единицы (это означает перегрузку оборудования), так и меньше единицы (что означает недогрузку). Для обеспечения равномерности загрузки оборудования необходимо удовлетворить следующий минимаксный критерий: Наряду с ограничениями (3.13) в данной задаче учитываются ограничения по ресурсам (3.9), (3.10) и по выпуску продукции (3.11, 3.12). Однако более работоспособной является модель, когда при той же целевой функции (3.14) вводятся неограниченные по знаку переменные yjt, обозначающие отклонение загрузки как в сторону перегрузки (yjt > 0), так и в сторону недогрузки (yjt < 0) j-го оборудования в t-ом интервале планирования: В отличие от первой задачи данная решается сразу для всех интервалов планирования, но также методами линейного программирования