Сопротивление материалов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» Сопротивление материалов (название дисциплины) Учебное пособие Красноярск 2008 2 УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПОДГОТОВЛЕНО В СООТВЕТСТВИИ С УЧЕБНОЙ ПРОГРАММОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ», СОСТАВЛЕННОЙ в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по укрупненной группе 150000 «Металлургия, машиностроение и металлообработка» Направления 150300.62 «Прикладная механика» Специальностей 150301.65 «Динамика и прочность машин» 150302.65 «Триботехника» Тексты лекций подготовили Фамилия И. О. Место работы Шатохина ЛюдСибирский федеральмила Петровна ный университет Богомаз Ирина Сибирский федеральВладимировна ный университет Мартынова Татьяна Петровна Федорова Елена Николаевна Козлов Владимир Игоревич Фадиенко Любовь Павловна Чернякова Наталья Александровна Белозерова Яна Юрьевна Буров Андрей Ефимович Сибирский федеральный университет Сибирский федеральный университет Сибирский федеральный университет Сибирский федеральный университет Сибирский федеральный университет Должность Подпись ПИ, к.т.н., доцент ИАС, профессор, к.ф-м.н., заведующая кафедрой ИАС, к.п.н., доцент ПИ, к.т.н., доцент ПИ, д.т.н., профессор ПИ, к.ф.-м.н., доцент ПИ, к.т.н., доцент Сибирский федеральный университет Сибирский федеральный университет ПИ, старший преподаватель ИНиГ, к.т.н., доцент 3 Содержание стр. Введение Модуль 1 Простое сопротивление Раздел 1 Введение Тема 1.1 Основные понятия Тема 1.2 Виды простого и сложного сопротивления Тема 1.3 Понятие о напряжённо-деформированном состоянии (НДС) Тема 1.4 Модель прочностной надёжности Раздел 2 Центральное растяжение (сжатие) прямого стержня Тема 2.1 Расчёты центрально растянутого (сжатого) прямого стержня Тема 2.2 Специальные расчёты статически неопределимых систем при растяжении (сжатии) Тема 2.3 Экспериментальное изучение механических характеристик материалов Тема 2.4 Экспериментальное исследование материалов при специальных воздействиях Раздел 3 Геометрические характеристики плоских сечений Тема 3.1 Основные определения и общие свойства геометрических характеристик Тема 3.2 Главные моменты инерции Раздел 4 Сдвиг и кручение Тема 4.1 Сдвиг Тема 4.2 Кручение Раздел 5 Плоский изгиб Тема 5.1 Расчёты балок на прочность и жёсткость Тема 5.2 Общий вид эпюр внутренних усилий при изгибе. Тема 5.3 Особенности расчета балок при изгибе Модуль 2 Сложное сопротивление Раздел 6. Основы теории напряженно-деформированного состояния Тема 6.1 Напряженное и деформированное состояние Тема 6.2 Экспериментальное определение напряжений и деформаций Тема 6.3 Теории прочности Раздел 7 Расчеты при сложном сопротивлении Тема 7.1 Косой изгиб Тема 7.2 Внецентренное растяжение (сжатие) Тема 7.3 Изгиб с кручением Тема 7.4 Расчет пространственного бруса в общем случае действия 6 6 6 19 20 23 26 26 52 56 67 78 78 88 99 99 109 135 135 178 183 198 198 198 212 221 232 232 243 251 260 4 сил Модуль 3 Упругие перемещения и расчет статически неопределимых систем Раздел 8 Энергетические методы определения перемещений в упругих системах Тема 8.1 Общие теоремы об упругих системах Тема 8.2 Общие методы определения перемещений Раздел 9 Статически неопределимые системы Тема 9.1 Основные понятия Тема 9.2 Методы расчета статически неопределимых систем Тема 9.3 Особенности применения метода сил Модуль 4 Расчеты при динамических воздействиях Раздел 10 Расчет движущихся с ускорением элементов конструкций Раздел 11 Удар Тема 11.1 Основы теории удара Тема 11.2 Расчеты на ударную нагрузку Раздел 12 Расчет на прочность при циклически меняющихся во времени напряжениях Тема 12.1 Усталость. Предел выносливости Тема 12.2 Коэффициент запаса при циклическом нагружении и методы его определения Модуль 5 Устойчивость и осесимметричные задачи прочности Раздел 13 Устойчивость Тема 13.1 Устойчивость центрально сжатого стержня Тема 13.2 Расчёты на устойчивость Тема 13.3 Продольно-поперечный изгиб Раздел 14 Осесимметричные задачи прочности Тема 14.1 Расчет тонкостенных осесимметричных оболочек Тема 14.2 Расчет толстостенных цилиндров Заключение Список литературы 274 274 274 286 299 299 302 325 335 335 343 343 347 351 351 362 369 369 369 380 389 392 392 399 407 408 5 ВВЕДЕНИЕ Учебное пособие по курсу лекций «Сопротивление материалов» составлено для бакалавров направления 150300.62 «Прикладная механика» и специалистов, обучающихся по образовательным программам: 150301.65 «Динамика и прочность машин», 150302.65 «Триботехника», а также для студентов других специальностей. Целью создания данного пособия является обеспечение базовой инженерной подготовки, включающей приобретение фундаментальных знаний в области расчетов элементов конструкций на прочность, жесткость, устойчивость и долговечность. Программой курса предусматривается изучение основных понятий простого и сложного сопротивления: метода сечений для определения внутренних усилий, деформаций, напряжений, условий прочности и жесткости. Достаточное внимание уделяется изучению характеристик механических свойств конструкционных материалов, процессов деформирования и разрушения, методов анализа напряженно-деформированного состояния элементов конструкций и условий накопления предельного состояния. Рассматриваются вопросы расчета упругих перемещений в статически определимых и статически неопределимых системах, основы расчетов элементов конструкций при статических и динамических нагрузках, в условиях циклически меняющихся во времени напряжениях, задачи устойчивости. Учебное пособие включает в себя курс лекций и электронные презентации курса. Лекционный курс состоит из 14 разделов, в конце которых приводится список вопросов для самоконтроля. При написании пособия использованы учебные издания крупнейших инженерных школ, работы таких выдающихся ученых в области прикладной механики как С.П. Тимошенко, В.И. Феодосьев и др., а также многолетний опыт преподавания «Сопротивления материалов» на кафедрах «Техническая механика» ИГУиРЭ СФУ и «Динамика и прочность машин» ПИ СФУ. Авторы пособия с благодарностью примут все пожелания и предложения по его совершенствованию. 6 Модуль 1 Простое сопротивление Раздел 1 Введение Тема 1.1 Основные понятия Цели и задачи учебной дисциплины «Сопротивление материалов» Сопротивление материалов (СМ) – инженерная дисциплина, являющаяся составной частью механики деформируемого твердого тела, изучающая основы методов расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций, сооружений и машин с учетом требований долговечности и экономичности. Основные положения СМ опираются на законы и теоремы общей механики и в первую очередь статики, без знания которых невозможно изучение курса. Но в отличие от теоретической механики, которая базируется на гипотезе об абсолютно твердом теле, в СМ рассматриваются деформируемые тела. Целью расчётов СМ является определение таких размеров конструкции, при которых сохраняется прочность, а деформации не превышают величин, допустимых по условиям нормальной эксплуатации. Изучение СМ имеет большое значение для инженерной подготовки, так как формирует фундамент грамотного проектирования и эксплуатации конструкций, является связующим звеном между теоретическими науками (теоретической механикой, математикой и др.) и конкретными техническими дисциплинами. Основными задачами СМ являются освоение теории и практических методов расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций и машин, необходимых как при изучении дальнейших дисциплин, так и в практической деятельности инженеров-механиков, ознакомление с современными подходами к расчету сложных систем, элементами рационального проектирования конструкций. Как уже отмечалось выше, к инженерным конструкциям предъявляются требования прочности, достаточной жесткости, устойчивости, долговечности. Прочность – способность элементов конструкций, деталей машин сопротивляться разрушению под действием приложенных внешних сил (нагрузок). Под разрушением твердых тел понимается либо разделение их на части (хрупкое разрушение), либо появление больших деформаций (пластическое разрушение) под действием механических нагрузок или напряжений, иногда в сочетании с термическими, коррозионными и др. воздействиями. Жесткость – способность элементов конструкций, деталей машин сопротивляться деформированию (изменению формы и размеров) в результате действия внешних сил. 7 Устойчивость – способность конструкций и их элементов сохранять под действием нагрузок начальную форму упругого равновесия. Долговечность – свойство объекта сохранять работоспособное состояние при установленной системе технического обслуживания и ремонта. Основным показателем долговечности является ресурс – продолжительность работы объекта (наработка) от начала его эксплуатации или ее возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние. Проведение расчетов на прочность, жесткость, устойчивость, долговечность, как правило, осуществляется на стадии проектирования конструкций и сооружений. Основные задачи сводятся: к установлению оптимальных размеров и форм элементов конструкций и деталей машин; к выбору конструкционных материалов, обеспечивающих надежную работу конструкции в течение заданного срока в соответствии с требованиями долговечности и с учетом реальных условий эксплуатации. Основное значение для решения этих задач имеет установление связи между силами, действующими на тело, и его деформациями. Данный вопрос является предметом механики деформируемого твердого тела (МДТТ), которая представляет собой комплекс технических дисциплин – сопротивление материалов, строительная механика, теории упругости, пластичности и ползучести, механика разрушения, экспериментальная механика. В этом комплексе СМ является основополагающей дисциплиной, без знания которой невозможно создание надежных инженерных конструкций и сооружений. Связь СМ с другими дисциплинами МДТТ и, в частности, СМ не является обособленной наукой, она тесно связана с общей механикой, математикой, физикой твердого тела, материаловедением и технологией металлов. К механике деформируемых твердых тел, кроме СМ и МР, относятся и другие дисциплины, такие, как математическая теория упругости, строительная механика машин и конструкций, теория инженерных сооружений, теории пластичности и ползучести и ряд других. Различие между СМ и этими дисциплинами заключается, в первую очередь, в подходе к решению задач. Математическая теория упругости изучает вопросы поведения деформируемых тел в более точной постановке. Поэтому при решении задач приходится во многих случаях обращаться к сложному математическому аппарату, что ограничивает возможности практического использования методов теории упругости, но при этом достигается большая полнота анализа изучаемых явлений. На этой основе выделяются, как самостоятельные ветви теории упругости – теории пластин, оболочек, стержневых систем. В рамках теорий пластичности и ползучести рассматриваются вопросы проч- 8 ности в условиях больших деформаций с учетом влияния повышенных температур. На основе общих положений СМ созданы новые разделы науки о прочности, имеющие конкретную практическую направленность. Сюда относятся строительная механика, теория надежности технических систем, теория прочности сварных конструкций, динамика и прочность инженерных систем и сооружений. Классификация конструкций по геометрическим параметрам При выборе расчетной схемы вводятся упрощения в геометрию реального объекта. Основной упрощающий прием заключается в приведении элементов конструкции к типовым геометрическим схемам (рис. 1.1). Брус – тело, у которого два размера малы по сравнению с третьим (длиной) (рис. 1.1, а). Плоская фигура, образованная путем рассечения бруса плоскостью, центр тяжести которой лежит на оси, а сама фигура ей перпендикулярна, называется поперечным сечением бруса. Продольная ось, таким образом, является геометрическим местом центров тяжести поперечных сечений, поэтому при переходе от реальной схемы к расчетной в большинстве случаев можно не вычерчивать брус полностью, а ограничиться изображением только оси. В зависимости от его формы различают брусья прямые и кривые. Среди прямых брусьев различают стержни, балки и валы. Примером кривого бруса может служить грузоподъемный крюк. Пластина – тело, ограниченное двумя плоскими поверхностями (рис.1.1, б), расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами – шириной и длиной (крышки резервуаров, перекрытия сооружений и т.д.). Рис. 1.1 Оболочка – тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями (рис. 1.1, в), расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами (тонкостенные резервуары, котлы, купола зданий, корпуса судов, обшивка фюзеляжа). Массив – тело (рис. 1.1, г), у которого все три размера одного порядка (фундаменты сооружений, подпорные стенки). В курсе СМ рассматриваются стержни и стержневые конструкции. Соединяя стержни между собой, можно получить так называемые стержневые конст- 9 рукции (рис. 1.2): фермы, если соединения являются шарнирными (1.2, а); рамы, если стержни соединены жестко (1.2, б). а б Рис. 1.2 Схематизация и классификация внешних нагрузок Внешними силами называются силы взаимодействия рассматриваемого элемента конструкции со связанными с ним телами, включая и внешнюю среду. Реакции связей могут рассматриваться как внешние силы. В процессе расчетной схематизации нагрузки классифицируют по разным признакам. По способу приложения нагрузки сводят к распределенным и сосредоченным силовым воздействием. Распределенные нагрузки (рис. 1.3) могут быть погонными [Н/м] (сила тяжести стержня принимается распределенной по длине стержня в силу малости двух других размеров), поверхностными [Н/м2] (давление ветра или воды на стенку) и объемными [Н/м3] (сила тяжести тела, сила инерции). В тех случаях, когда площадка контакта реальных тел пренебрежимо мала по сравнению с размерами нагружаемого элемента, вводят понятие сосредоточенной силы F [H] как равнодействующей давления по указанной площадке. Возможны и – моментные воздействия – в виде сосредоточенных моментов ⎡Н ⋅ м⎤ m [Н м] и моментов распределенных m ⎢ . ⎣ м ⎥⎦ Рис. 1.3 10 По характеру изменения в процессе приложения нагрузки делятся на статические, динамические и повторно – переменные. К статическим относятся нагрузки не изменяющиеся со временем (собственный вес) или меняющиеся настолько медленно, что вызываемые ими ускорения и силы инерции элементов пренебрежимо малы (снеговая нагрузка). Динамические нагрузки меняют свое значение, положение или направление в короткие промежутки времени (движущиеся нагрузки, ударные, сейсмические и др.), вызывая большие ускорения и силы инерции, что приводит к колебаниям конструкций и сооружений. Повторно-переменные нагрузки многократно (до нескольких миллионов раз) изменяют со временем значение или значение и знак. Разрушение материала под действием таких нагрузок называется усталостным (например, разрушение куска проволоки от многократного перегибания). По продолжительности действия нагрузки делят на постоянные и временные. К постоянным относятся нагрузки, действующие в течение всего времени существования конструкции или сооружения (вес несущих и ограждающих конструкций, вес и давление грунта). Временные нагрузки действуют на протяжении отдельных периодов эксплуатации или возведения объекта (от веса людей, материалов и оборудования; давления жидкостей и сыпучих материалов в сосудах и трубопроводах; атмосферные нагрузки – снеговая, ветровая, а также температурные, монтажные, сейсмические, взрывные, аварийные и др.). Опорные устройства и реактивные усилия Все многообразие существующих опорных устройств балок схематизируется в виде следующих трех основных типов опор: шарнирно-подвижная (рис. 1.4,а), в которой может возникать только одна составляющая реакция RA, направленная вдоль опорного стержня; шарнирно-неподвижная (рис. 1.4,б), в которой могут возникнуть две составляющие реакции – вертикальная RA и горизонтальная HA; защемление (рис. 1.4, в) (или иначе жесткое защемление или заделка), где могут быть три составляющие – вертикальная RA и горизонтальная HA реакции и опорный момент MA. Возможные направления реакций в опорах стержней показаны на рис. 1.4, б 11 или а или А RA А или б HA HA RA г в А MA RA Рис. 1.4 Основные типы связей Уравнения равновесия для нахождения реактивных и внутренних усилий. Внутренние усилия и метод сечений Внутренние силы представляют собой результат взаимодействия структурных частиц тела, обеспечивающих его целостность. Под действием внешних сил происходит изменение взаимного расположения частиц, т.е. тело деформируется. При этом возникают дополнительные внутренние силы, которые отражают сопротивление материала деформированию и разрушению. В курсе СМ принимают во внимание и определяют внутренние силы, которые возникают при нагружении тела внешними силами. Для определения внутренних сил применяется метод сечений. Пусть на брус действует система взаимно уравновешенных внешних сил F1, F2…Fn (1.5, а). Для определения внутренних сил производят последовательно четыре операции: 1. Рассекают брус в интересующем месте воображаемой плоскостью на две части (рис. 1.5, б); 2. Отбрасывают мысленно одну из образовавшихся частей (например, I); 3. Заменяют действие отброшенной части I на оставшуюся II внутренними силами f i (рис. 1.5, б). При этом имеют в виду, что внутренние силы согласно правилам теоретической механики могут быть приведены к центру тяжести и, таким образом заменены главным вектором R и главным моментом М (рис.1.5, в). Каждый из этих двух статических эквивалентов внутренних сил можно представить в виде трех составляющих по осям выбранных координат x, y, z. Направляя ось z по нормали к сечению, и располагая оси x, y в его плоскости (рис.1.5, в), получаем следующие шесть составляющих: N, Q x , Q y , Q z , M z , M x , M y , где: 12 N – продольная (нормальная) сила; Q x , Q y – поперечные силы вдоль осей х и у; M z – крутящий момент; M x , M y – изгибающие моменты относительно осей х и у. Эти компоненты главного вектора и главного момента называются внутренними силовыми факторами или усилиями (ВУ). Mz Рис. 1.5 4 Для определения внутренних усилий составляют уравнения равновесия всех сил, приложенных к оставшейся части II : ∑ Z = 0 , ∑ X = 0 , ∑ Y = 0 , ∑ m z =0, ∑ m x =0, ∑ m y =0. (1.1) Кроме проекций на соответствующую ось (или моментов относительно оси) всех внешних сил, приложенный к оставшейся (отсеченной) части, в каждое уравнение входит только одно неизвестное усилие. Из этих шести уравнений получают следующие выражения для внутренних усилий: 13 n N = ∑ Z (Fi )отс.ч. , i =1 n n Q x = ∑ X (Fi )отс.ч. , i =1 n n Q y = ∑ Y (Fi )отс.ч. ; i =1 n M z = ∑ m z (Fi )отс.ч. , M x = ∑ m x (Fi )отс.ч , M y = ∑ m y (Fi )отс.ч. i =1 i =1 (1. 2) i =1 Вычисляя внутренние усилия и моменты в сечении по формулам (1.2), следует иметь в виду: – что продольная сила N численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих на одну из частей (I или II) рассеченного бруса, на продольную ось z; Q x – то же на ось x; Q y – то же на ось y; – крутящий момент M z численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих на одну из частей (I или II) относительно оси бруса z; M x – то же относительно оси x; M y – то же относительно оси y. Таким образом, метод сечений позволяет найти все внутренние усилия и моменты в любом сечении бруса при действии любой нагрузки. Метод сечений является основным методом СМ. Чтобы лучше запомнить порядок действий, можно пользоваться правилом РОЗУ (аббревиатура из первых букв выделенных слов): Р – разрезают; О – отбрасывают; З – заменяют; У – уравновешивают. Каждому из внутренних усилий соответствует простой вид сопротивления (нагружения) бруса. Продольной силе N – растяжение или сжатие, поперечной силе Q x или Q y – сдвиг, крутящему моменту M z – кручение, а изгибающим моментам M x , M y – изгиб. При различных комбинациях простых видов нагружений (сжатие с изгибом, изгиб с кручением и др.) возникает сложное сопротивление (нагружение) бруса. Понятие о напряжении В различных сечениях тела внутренние силы в общем случае отличаются по величине и неравномерно распределены по сечению, при этом они являются непрерывными функциями точек тела. Мерой распределения внутренних сил по сечению является напряжение. Внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади в данной точке, называется напряжением. Рассмотрим отсеченную часть бруса. В окрестности точки К выделим элементарную площадку Δ A , в пределах которой равнодействующая внутренних 14 сил равна Δ R (некоторая часть главного вектора R ) (рис.1.6). Рис. 1.6 ΔR = pm представляет собой среднее напряжение на площадке Δ A . В пределе получаем Отношение ΔA ⎡ сила ⎤ ΔR , lim =p⎢ ⎥ Δ A→0 ΔA площадь ⎣ ⎦ где p –полное напряжение в точке K площади ΔА. В системе СИ напряжение выражается в паскалях Па=Н/м2 или мегапаскалях МПа=106 Па. Разложим вектор Δ R по осям координат на составляющие Δ N , Δ Qx , Δ Q y (рис. 1.5) и запишем выражения: ΔQx ΔN = τ xz , lim = σ z , lim Δ A→0 ΔA Δ A→0 ΔA ΔQ y lim = τ yz , Δ A→0 ΔA где σ z – нормальное напряжение; τ xz и τ yz – касательные напряжения. Тогда напряжение p можно рассматривать как полное напряжение в точке на данной площадке: p = σ 2z + τ 2xz + τ 2yz . (1.3) Но по разным направлениям площадок вблизи одной и той же точки напряжения будут иметь различные значения. Совокупность напряжений σ и τ , действующих по различным площадкам, проходящим через данную точку, 15 называется напряженным состоянием в этой точке. Вычисление напряжений является основой расчетов на прочность. Интегральные зависимости между внутренними силовыми факторами и напряжениями Пусть в некоторой точке бесконечно малой площадки dA выявлены напряжения σ z , τ xz , τ yz (рис. 1.7). Просуммировав напряжения по площадке dA , получим элементарные внутренние усилия: dQ x =τ xz dA, dN= σ z dA, dQ y =τ yx dA. Рис.1.7 Запишем моменты этих сил относительно осей координат: dM x = σ z dAy; dM y = σ z dAx; dM z = τ xz dAy −τ yz dAx. Просуммируем элементарные внутренние усилия и их моменты по площади сечения А: N = ∫ σ z dA, A Q x = ∫ τ xz dA, A Q y = ∫ τ yz dA, A ( ) (1.4) M x = ∫ σ z dA ⋅ y; M y = ∫ σ z dA ⋅ x; M z = ∫ τ xz ⋅ y − τ yz ⋅ x dA. A A A Выражения (1.4) называются интегральными уравнениями равновесия или 16 статическими уравнениями. Записанные статические уравнения не позволяют определить напряжения σ и τ , пока не установлен закон их распределения по сечению. Понятие о деформации и перемещении Изменение формы и размеров тела в результате внешнего воздействия (нагрузка, температура и другое) называется деформацией. Введем понятие линейной деформации как количественной меры изменения размеров в окрестности точки А. Проведем в недеформированном теле отрезок АВ длиной a (рис. 1.8). После деформации точки займут положение А1 и В1, и расстояние между ними станет ( a + Δ a ). Рис. 1.8 Векторы АА1 и ВВ1 – полные перемещения точек А и В. Δ a – абсолютная линейная деформация (линейное удлинение, линейное перемещение), Δa = ε – относительная линейная деформация или просто деформация. a lim a →0 Δa = ε AB . a Величина ε AB – относительная линейная деформация в точке А по направлению АВ (является малой, безразмерной величиной). Компоненты линейных деформаций в координатных осях обозначают – ε x , ε y , ε z ; компоненты полного перемещения точки – u , ν , w . Введем понятие угловой деформации. Изменение первоначально прямого угла ВАС (рис. 1.9) после приложения нагрузки, выраженное в радианах, представляет собой угловую деформацию или относительный сдвиг γ . 17 lim а →0, а1 →0 ( ∠ BAC − ∠ B1 A1C1 ) = γ ВАС , γ BAC – относительная угловая деформация в точке А в плоскости ВАС. Компоненты угловой деформации обозначают γxy, γzy, γzx. Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям для одной точки называется деформированным состоянием в этой точке. Рис. 1.9 Определение деформаций связано с расчетом на жесткость и выяснением законов распределения напряжений в брусе при различных нагружениях. Различают простые деформации – растяжение или сжатие, сдвиг, кручение, изгиб – и сложные, состоящие из двух и более простых деформаций. В зависимости от свойств материала и величины нагрузок деформации бывают упругие – полностью исчезающие после удаления нагрузок, и пластические или остаточные – неисчезающие, остающиеся после прекращения действия нагрузок. Основные допущения, гипотезы СМ Реальным объектом являются сооружения, конструкции, технические системы, машины, механизмы, детали. Приступая к расчету конструкций (реальный объект), необходимо установить, что является важным и что несущественно, рассмотрев реальные свойства материала, геометрические параметры конструкции, условия эксплуатации и др. факторы. По этим трем основным направлениям проводится схематизация реального объекта и выбор расчетной схемы. Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, с приложением действующих нагрузок носит название расчетной схемы. В процессе перехода от реального объекта к расчетной схеме конструктор решает своеобразную задачу на «оптимум». То есть путем минимального отступления от реального объекта надо максимально приблизить расчетную 18 схему к эффективному теоретическому методу решения данной задачи. Для одного объекта может быть несколько расчетных схем. За основную расчетную схему принимается наиболее оптимальная с точки зрения реализации того или иного метода расчета. При формировании расчётных схем в СМ реальные свойства конструкционных материалов, заменяются идеализированными свойствами деформирования с использованием допущений и гипотез. 1 Допущение о сплошности материала. Считается, что материал непрерывно заполняет объем элемента конструкции. Теория дискретного строения вещества не принимается во внимание. Понятие «сплошная среда» дает возможность использовать аппарат высшей математики и, прежде всего, аппарат непрерывных функций, а значит, дифференциальное и интегральное исчисление, т.к. перемещения, деформации и напряжения являются непрерывными функциями координат внутренних точек тела. 2 Допущение об однородности и изотропности. Свойство однородности означает, что весь объем материала обладает одинаковыми механическими свойствами. Изотропным называется материал, у которого характеристики свойств одинаковы во всех направлениях. В противном случае его называют анизотропным (дерево, стеклопластики). Свойства материала одинаковы во всех точках, а в каждой точке - во всех направлениях. 3 Допущение о малости деформаций (допущение об относительной жесткости материала). Предполагается, что деформации (изменение размеров и формы тела) малы по сравнению с размерами деформируемого тела. С допущением о малости деформаций тесно связан принцип начальных размеров: при составлении уравнений статики размеры элемента после нагружения считают такими же, как и до нагружения. 4 Допущение об упругости и линейной деформируемости материала. Упругость – свойство тела восстанавливать первоначальные размеры после снятия нагрузок. Тела предполагаются абсолютно упругими, при этом выполняется закон Гука, устанавливающий прямую пропорциональную зависимость между деформациями и нагрузками. Принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил является следствием двух последних допущений. Результат воздействия на тело системы сил равен сумме результатов воздействия тех же сил, прилагаемых к телу последовательно и в любом порядке. 19 Тема 1.2 Виды простого и сложного сопротивления Под простым сопротивлением бруса деформированию понимают такие нагружения, при которых в поперечных сечениях элементов конструкций возникает один силовой фактор (растяжение или сжатие, сдвиг, кручение, изгиб). Исключением является поперечный изгиб. Осевым (центральным) растяжением или сжатием называют такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила, обозначаемая N. На растяжение работают тросы, линии высоковольтных передач, винты и болты. Сжатие возникает в колоннах, поддерживающих перекрытия, в фабричной трубе, в кирС пичной кладке от собственного веса. Например, растяжение возникает в тросе ВС подъемника (рис. 1.10). Элементы фермы (жесткой конструкции из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами) могут быть растянутыми и сжатыми. Сдвиг – это такой случай нагружения, при котором в поперечном сечении возникает только поперечная сила Q . Рис.1.1 Q = ∫ τdA. (1.5) A Однородный чистый сдвиг можно получить нагружением пластины, захваченной в жесткие контурные шарнирно соединенные накладки (рис. 1.11, а). Рис. 1.11 Кручение – вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент, обозначаемый M z или M к . Кручению подвергаются валы двигателей, станков и машин, оси моторных вагонов и локомотивов, элементы пространственных конструкций. Изгиб – вид деформирования бруса, при котором в поперечном сечении возникает изгибающий момент. 20 Чистый изгиб имеет место, если в сечении возникает только изгибающий момент (рис. 1.12, а), поперечный изгиб – если одновременно с моментом возникает поперечная сила (рис. 1.12, б). Рис. 1.12 В реальных условиях элементы конструкций часто подвергаются воздействию различных комбинаций простых нагружений. Такие случаи называют сложным сопротивлением. Под сложным сопротивлением бруса деформированию понимают такие сочетания простых нагружений, когда в его сечениях одновременно возникают несколько внутренних силовых факторов. В основе расчетов на сложное сопротивление лежит принцип независимости действия сил, согласно которому напряжения и деформации, вызванные комбинацией силовых факторов, определяются как сумма (алгебраическая или геометрическая) напряжений и деформаций от каждого фактора в отдельности. Данный принцип применим во всех случаях, когда рассматриваются малые деформации в пределах справедливости закона Гука. К основным видам сложного сопротивления относятся косой изгиб, внецентренное сжатие (растяжение), изгиб с кручением. Тема 1.3 Понятие о напряжённо-деформированном состоянии (НДС) Тело нагружено системой внешних сил (рис. 1.13, а). Проведем сечение I–I через данную точку А. Под действием системы внешних сил на элементарных площадках сечения I–I могут возникать: Нормальные напряжения σ , если части тела 1 и 2 будут удаляться друг от друга; Касательные напряжения τ , если части 1 и 2 будут сдвигаться друг относительно друга; 21 σz Рис. 1.13 Нормальные и касательные напряжения, если будет одновременно иметь место сдвиг и отрыв (в этом случае появится полное напряжение P ). Выделим в окрестности рассматриваемой точки A элементарный объем материала в виде бесконечно малого элемента (БМЭ) – параллелепипеда. На его гранях действуют касательные и нормальные напряжения (рис. 1.13, б). Совокупность этих напряжений носит название тензора напряжений: σx Tн = τ xy τ xz τ yx σy τ yz τ zx τ zy σz Если поворачивать параллелепипед, то напряжения на его гранях будут изменяться. И в некотором положении касательные напряжения будут равны нулю: τ yx = τ xy = τ xz = τ zx = τ yz = τ zy = 0 . Площадки, на которых τ = 0, называются главными, а нормальные напряжения на этих площадках – главными напряжениями σ1 , σ 2 , σ 3 , при этом принимают σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 . В этом случае возникает объемное (трехосное) напряженное состояние (рис. 1.14, а). Если одно из главных напряжений равно нулю, то напряженное состояние (н.с.) называется плоским (двухосным) (рис. 1.14, б). Если равны нулю два главных напряжения, то напряженное состояние называется линейным (одноосным) (рис. 1.14, в). Линейное н.с. имеет место в стержнях, работающих на растяжение или сжатие, в некоторых точках стержня, работающего на изгиб или сложное сопро- 22 тивление. Рис. 1.14 Плоское н.с. имеет место при кручении, сдвиге, изгибе и сложном сопротивлении бруса. В условиях плоского н.с. работают элементы в виде пластин и оболочек (панели, перегородки, стенки и днища резервуаров, листовые конструкции). Объемное н.с. возникает в материале дорожного покрытия в месте давления колеса на плиту покрытия, в месте контакта колеса с поверхностью рельса, аналогично в грунтовом массиве. Рис. 1.15 Аналогично понятию тензора напряжений введем понятие тензора деформаций (рис. 1.15), который полностью определяет деформированное состояние в точке тела: ε x ε yx ε zx T Д = ε xy ε y ε zy ε xz ε yz ε z 23 ε xy = 1 1 γ xy , ε xz = γ xz , … 2 2 Сдвиговые деформации: γ yx = γ xy ; γ zy = γ yz ; γ xz = γ zx . Тема 1.4 Модель прочностной надежности Всё большее значение для современных конструкций приобретает на столько прочность, сколько надежность, т. е. способность конструкций сохранять свои показатели в течение требуемого периода времени. Допустимый срок службы конструкции, называемый ресурсом, указывается либо временем работы, либо числом циклов нагружений. Свойство конструкции сохранять свои качества в течение требуемого периода времени называют надежностью. Совместить понятия прочность и надежность конструкции можно с помощью прочностной надежности, под которой понимается отсутствие отказов, т. е. нарушений в работе конструкции в течение требуемого ресурса. Количественной характеристикой прочностной надежности используют вероятность A события и вероятность B разрушения: A= m , B = 1 − A. n (1.6) где m – число испытаний, при которых событие наблюдалось, n – общее число испытаний, например, A = 0,95 означает, что в течение ресурса из ста конструкций может отказать пять. Нахождение вероятности разрушения на стадии проектирования в настоящее время еще сложная задача. Качество конструкции сейчас оценивают запасом прочности, под которым понимается n= σ кр σ max ≥ [n] , (1.7) здесь σ кр – критическое значение параметра, нарушающее работоспособность (например, параметры коррозии, старения и др.), σmax – наибольшее значение этого параметра при работе конструкции, [n] – допустимое значение запаса, которое назначается, исходя из опыта эксплуатации, например, при случайных нагрузках [n ] = 3 − 5 . Модель прочностной надежности можно построить, если смоделировать (или схематизировать) свойства материала и формы конструкции, создать модель 24 (или схему) нагружения и разрушения. В итоге этих рассмотрений получают запас прочности (1.7) и вероятность разрушения (1.6). Реальное строение и три модели строения материалов В качестве конструкционных материалов в машиностроении используют металлы и сплавы, которые имеют кристаллические строения. К настоящему времени появление деформаций и разрушения металлов и сплавов хорошо объясняется с помощью дислокационной теории строения реального материала, но нужно отметить, что схематизация (или модель) реального материала должна отвечать задачам определенной отрасли науки, например, металловедение и детали машин имеют разные цели и методы исследования. В виду этого сформированы три вида моделей материала. Физической называют модель, когда схематизируется кристаллическое строение (рис. 1.16, а). Оно изображается в виде кристаллической решетки атомов. Такая схема нужна в физике твердого тела. а) б) Рис. 1.16 Модели строения материалов в) Инженерно-физическая модель (рис. 1.16, б) рассматривает сплавы металлов как совокупность зерен с различной ориентацией кристаллической решетки, которые образуются в процессе охлаждения и кристаллизации. Эта модель позволяет объяснить особенности материала и служить основой для изучения металлов и сплавов. Инженерная модель (рис. 1.16, в) это модель сплошной среды, при которой материал заполняет весь объем сплошным образом, без пустот и раковин. Она определяет свойства и служит для оценки прочности и жесткости конструкции в целом. Инженерная модель сплошной среды позволяет рассматривать тело как непрерывную среду и применять методы математического анализа, характеризовать упругость, пластичность и ползучесть материала. Контрольные вопросы к разделу 1. 1. Перечислите основные задачи предмета сопротивление материалов. 2. Что такое расчетная схема объекта? 25 3. Укажите геометрические признаки стержня, оболочки и массивного тела. 4. Что такое сосредоточенная сила, распределенная нагрузка и момент? 5. Какие типы опор вам известны? Какие перемещения они ограничивают? 6. Какие силы можно считать распределёнными по линии, сосредоточенными в точке? Приведите примеры. 7. Поясните суть метода сечений. 8. Дайте определение каждого из шести внутренних силовых факторов 9. Перечислите виды простого и сложного сопротивления стержня. 10. Дайте определение понятия «напряжения». Какие виды напряжения Вы знаете? 11. Поясните, что такое тензор напряжений, линейное, плоское и объемное напряженное состояния. 12. Что такое линейная и угловая деформация, тензор деформации? 13. Сформулируйте принцип независимости действия внешних сил. 14. Что такое упругое тело? 15. Назовите основные допущения и гипотезы СМ. 16. В чем состоит модель прочностной надежности? 17. Перечислите известные вам предельные состояния конструкций и приведите примеры 26 Раздел 2 Центральное растяжение (сжатие) прямого стержня Тема 2.1 Расчёты центрально растянутого (сжатого) прямого стержня Осевым (центральным) растяжением или сжатием называют такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникают только продольная сила N. Дифференциальная зависимость между q и N Построение эпюры продольных сил Рассмотрим стержень, нагруженный продольной распределенной нагрузкой, интенсивностью q (рис. 2.1, а). Выделим из стержня элемент длиной dz (рис. 2.1, б). На него будут действовать нагрузка q и продольные силы: в левом сечении – N, в правом – (N+dN), заменяющие действие отброшенных частей бруса, где dN – приращение продольной силы на участке dz. Рис. 2.1 Составим уравнение равновесия для выделенного элемента: ∑ Z = 0, − N + qdz + N + dN = 0 , откуда dN = −q. dz (2.1) Производная от продольной силы по длине бруса равна интенсивности распределенной нагрузки q. По знаку производной можно судить о росте или убывании функции. Если q > 0, то продольная сила убывает. Зависимость (2.1) используется при проверке правильности построения эпюры N . Продольная сила N в сечении численно равна алгебраической сумме проекций на ось Z всех внешних сил, включая и опорные реакции, действующие на отсеченную часть бруса, взятых со знаком плюс, если они направлены от сечения (растяжение), и минус – если к сечению (сжатие): N = ∑ Z (Fi )отс .ч . (2.2) 27 Знак продольной силы N определяется по схеме: растяжение – со знаком «+» (рис. 2.2, а), сжатие – со знаком «–» (рис. 2.2, б). Рис. 2.2 Пример 2.1. Для бруса (рис. 2.3, а) построить эпюру продольных сил N. Определим реакцию заделки. ∑ Z = 0, − H + q ⋅ 4 − F = 0, H = q ⋅ 4 − F = 2 ⋅ 4 − 3 = 5кH. Рис. 2.3 Разобьем брус на два участка, и, применив метод сечений, найдем продольные силы на каждом из них, рассматривая равновесие отсеченной части. Во избежание ошибки следует внутреннее усилие принимать всегда положительным (направлять от сечения). Участок I ∑ Z = 0, 0 ≤ z1 ≤ 2 м − N1 + F = 0, N1 = − F = −3 кН (const ). На первом участке продольная сила постоянна и отрицательна. 28 q Участок II 0 ≤ z2 ≤ 4 м ∑ Z = 0, − N 2 + qz 2 − F = 0, N 2 = + qz 2 − F . На этом участке продольная сила изменяется по линейному закону. N 2 = − F = −3 кН , при z2 = 0, при z2 = 4 м, N 2 = − F + q ⋅ 4 = 5 кН . По найденным значениям продольных сил на отдельных участках строим эпюру N (рис. 2.3, б). Примечание Для бруса, закрепленного с помощью заделки, для построения эпюры, не обязательно определение опорных реакций, если оставлять часть бруса, которая не закреплена. Знак усилия N , получаемый из решения, позволяет установить вид деформации – растяжение или сжатие. На участке I, где q = 0 , эпюра N – прямая, параллельная оси ( N = const ). На участке II, где q ≠ 0 , эпюра N – наклонная прямая (N изменяется по линейному закону). В сечениях, где приложены внешние силы, внутренняя сила меняется скачкообразно, причем размер скачка равен соответствующей внешней силе. Так, скачок на уровне заделки характеризует значение реакции (Н=5 кН), скачок на свободном конце – значение внешней силы (F=3 кН). Напряжения в поперечных сечениях стержня Вывод формул для напряжений в стержнях будем всегда проводить по приведенной ниже схеме: Статическая сторона задачи – запись интегральных уравнений равновесия; Геометрическая сторона задачи – изучение деформаций на основе опыта и гипотез; Физическая сторона задачи определяется законом Гука; Синтез – совместное решение полученных уравнений. Рассмотрим стержень, нагруженный силой F (рис. 2.4 а). Для произвольного сечения z (рис. 2.4, б) статическая сторона задачи выражается уравнением 29 N = ∫ σ dA, (2.3) A где А – площадь поперечного сечения бруса. Рассмотрим модель стержня (рис. 2.4, в), на боковой поверхности которого нанесена ортогональная сетка из продольных и поперечных линий. Рис. 2.4 После нагружения можно заметить, что поперечные линии смещаются вдоль продольной оси, оставаясь прямолинейными и перпендикулярными ей. Это подтверждает гипотезу плоских сечений Я. Бернулли: Сечения бруса, плоские и перпендикулярные его продольной оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси в процессе деформации. Продольные линии (волокна) удлиняются на одну и ту же величину Δ l (рис. 2.4, в), и их относительное удлинение одинаково. Геометрическая сторона задачи выражается уравнением ε= Δl = const . l (2.4) Физическая сторона задачи заключается в установлении зависимости деформаций от напряжений. При упругих деформациях эта зависимость линейна, и, как известно, называется законом Гука: ε= σ E или σ = ε E , (2.5) где E = const для однородных и изотропных материалов, следовательно, σ = const . Из уравнений (2.3-2.5) получаем N = ∫ σ dA = ∫ ε E dA = ε E ∫ dA = ε EA = σ A . A A (2.6) 30 Окончательно σ= N A . (2.7) В поперечном сечении бруса при растяжении (сжатии) возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади сечения (рис. 2.4, б). Формула (2.7) справедлива лишь для сечений, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки. При расчетах руководствуются принципом Сен-Венана, который можно изложить так: способ приложения внешних сил влияет на распределение напряжений только в области их приложения. Поэтому, нарушение равномерности распределения напряжений вблизи мест приложения нагрузки, носит местный характер. При расчетах эта часть стержня исключается из рассмотрения, что позволяет пользоваться формулой (2.7). Исследования показали, что равномерное распределение напряжений по площади сечения на основании (2.7), будет только в тех случаях, когда по длине стержня поперечные сечения постоянны. Резкие изменения поперечного сечения (отверстия, канавки) приводят к неравномерному распределению напряжений, вызывают концентрацию напряжений. При наличии ослабления в пластине (например, заклепочными отверстиями, рис. 3.6) следует вводить площадь нетто Anet = A − Aослаблен. . Рис. 2.5 На основе предположения об отсутствии концентрации напряжений по формуле (2.7) вычисляется среднее напряжение в ослабленном сечении пластины: σ= N . (2.8) Anet Например, для сечения а–а, пластины (рис. 2.5) Anet = (b − d ) × δ , где δ – размер пластины в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа. Напряжения в наклонных сечениях 31 Рассечем растянутый стержень плоскостью, наклоненной к поперечному сечению под углом α (рис. 2.6, а), и рассмотрим нижнюю часть стержня (рис. 2.6, б). Из условий ее равновесия следует, что напряжения p параллельны оси бруса, а внутренняя сила pАα , возникающая в сечении, равна F. Здесь Аα - площадь наклонного сечения равная Аα = А / cos α . Следовательно, pАα = F , откуда F F p= = cos α = σ cos α , Aα A где σ = F A – нормальное напряжение в поперечном сечении. Выделим малый элемент в наклонном сечении (рис. 2.6, а,б) и раскладывая р по нормали и касательной к сечению (рис. 2.6, в), находим σ α = p cos α и τα = p sin α . С учетом выражения для р получаем σ α = σ ⋅ cos 2 α , 1 τ α = σ ⋅ sin 2α. 2 (2.9) (2.10) Следовательно, при растяжении (сжатии) в наклонных сечениях возникают нормальные и касательные напряжения. Рис. 2.6 Из формул (2.9) и (2.10) следует: 1. В поперечных сечениях, т.е. когда α = 0 , имеем σ α = σ max = σ = N ; τ α = 0. A Нормальные напряжения в поперечных сечениях будут наибольшими, а касательные напряжения равны нулю. 32 2. В продольных сечениях, т.е. при α = 90o , нормальные и касательные напряжения равны нулю: σ α = 0; τ α = 0. Отсюда следует, что продольные слои не испытывают взаимного давления и взаимного сдвига при растяжении и сжатии. 3. На площадках, наклоненных под углом α = 450 , имеем τ α = τ max = σ , 2 σα = σ N = , 2 2A т.е. касательные напряжения будут максимальными, а нормальные напряжения будут им равными. Следует отметить, что на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по абсолютной величине. Действительно, по формуле (2.10) получаем: τ (α +90 ) = 1 2 σ ⋅ sin (2α + 180 0 ) = 1 2 σ ⋅ sin (− 2α ) = − o σ ⋅ sin 2α , 2 т.е. τα = −τ(α +90 ) . o (2.11) Формула (2.11) выражает закон парности касательных напряжений: на двух взаимно перпендикулярных площадках, составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены обе либо к ребру, либо от ребра. Этому можно дать наглядное толкование, если из растянутого стержня в окрестности некоторой точки выделить бесконечно малый прямоугольный элемент abcd (рис. 2.6, а), к граням которого приложены напряжения, заменяющие действия отброшенных частей тела (рис. 2.7). Касательные напряжения τ I и τ II должны быть такой величины и иметь такое направление, чтобы моменты их пар взаимно уравновешивались. Рис. 2.7 33 Причем для одной и той же точки напряжения различны в зависимости от ориентации секущей площадки. Условие прочности, три метода и три вида расчётов на прочность Основные задачи расчетов на прочность: определение оптимальных геометрических размеров элементов конструкций, обеспечивающих их прочность; определение несущей способности, т. е. установление допускаемых или предельных нагрузок, которые может выдержать конструкция, не разрушаясь; обеспечение способности конструкции удовлетворять заданным эксплуатационным требованиям. Для решения этих задач разработано три метода расчетов: Расчет по допускаемым напряжениям; Расчет по разрушающим (предельным) нагрузкам; Расчет по предельным состояниям. Расчет по допускаемым напряжениям Долгое время, начиная с учения Галилея, господствовало представление о предельной несущей способности конструкции, согласно которому расчет проводился по нагрузкам, соответствующим моменту разрушения. В 1826 г. Навье предложил метод расчета по нагрузкам, реально действующим в элементах конструкции. Метод основан на определении напряжений от действующих нагрузок и сопоставлении их с допускаемыми. Величина допускаемого напряжения должна составлять некоторую часть от величины напряжений, являющихся опасными (предельными) для материала при данных условиях его работы в конструкции. Опасными (предельными) напряжениями σlim , τlim называются напряжения от действия внешних сил, вызывающие потерю несущей способности конструкции, т.е. разрушение или возникновение больших деформаций (lim- опасное значение, от англ. limit). Допускаемыми [σ] , [τ] называются максимальные напряжения, безопасные для работы конструкции, детали. Действующие в деталях машин и элементов конструкций напряжения σ , τ называют эксплуатационными, в опасных поперечных сечениях они достигают максимальных значений σ max , τmax . Условие прочности по допускаемым напряжениям предполагает, что напряжение в опасном сечении бруса не должно превышать допускаемое: σ max ≤ [σ] , (2.12) 34 Допускаемые напряжения равны опасным напряжениям σlim , деленным на коэффициент запаса прочности n: [σ] = σ lim , n (2.13) Для хрупких материалов (бетон, чугун) за опасные напряжения принимают предел прочности σ lim = σ в . Тогда допускаемые напряжения: [σ ] р = σ в при растяжении nв [σ ] c = σ вc . при сжатии nв (2.14) Для пластичных материалов (низкоуглеродистые, низколегированные стали) за опасные напряжения принимают предел текучести σ lim = σ Т . Допускаемое напряжение: [σ ]= σ т . (2.15) nт Для бетона и железобетона коэффициент запаса по пределу прочности nв = 2 − 3,5 ; для древесины nв = 3,5 − 6 для строительной стали Ст3 коэффициент запаса по текучести nт = 1,5 . Коэффициент запаса прочности является обобщенным коэффициентом. Необходимость введения коэффициента запаса прочности и его уровни значения определяются: - статистическим разбросом экспериментального определения предела прочности и предела текучести; - невозможностью точно установить действующие нагрузки; - неточностью принятых методов расчета; - неточностью изготовления; - качеством металла; - долговечностью эксплуатации и ответственностью конструкции. Учет динамического и переменного характера нагрузок для машиностроительных деталей, неопределенность самих нагрузок и неясность их влияния на материал конструкций приводит к необходимости применения повышенных коэффициентов запаса прочности. Соответствующее условие прочности по допускаемым напряжениям для бруса, работающего на растяжение (сжатие): 35 σ max = N ≤ [σ] A , (2.16) где A – площадь сечения бруса (с учетом ослабления), N – продольная сила в опасном поперечном сечении бруса. Данное условие позволяет проводить три вида расчета на прочность: Проверка прочности (проверочный расчет). Проводят непосредственно по данной формуле (2.16). По известным N и A находят σ max и сравнивают его с [σ ]. Делают вывод: прочность обеспечена, либо прочность не обеспечена. Подбор сечения (проектный расчет). По заданным N и [σ ] устанавливают необходимую площадь сечения: A ≥ N [σ]. (2.17) Определение несущей способности. По известным A и [σ ] устанавливают значение допускаемой продольной силы: N доп ≤ [σ]A . (2.18) Расчет по допускаемым напряжениям ведется в пределах упругих деформаций. Применяется при проектировании деталей машин и механизмов. Продольная и поперечная деформация. Закон Гука. Упругие постоянные материала Английский ученый Роберт Гук в 1678 г. на основе экспериментов с проволокой и пружинами сформулировал закон “Ut tensio, sic vis”, т.е. “Каково удлинение, такова и сила”. В 1822 г. французский математик Луи Коши ввел понятия напряжение и деформация. В современном виде закон Гука формулируется так: Относительная продольная деформация прямо пропорциональна соответствующему нормальному напряжению ε= σ , E (2.19) где E – модуль продольной упругости (модуль Юнга), упругая постоянная материала, характеризующая жесткость материала при растяжении 36 (сжатии); определяется экспериментально, имеет размерность напряжения, например: для стали Е = 2×105 МПа, алюминиевых сплавов Е = 0,65×105 МПа, для резины E = 7,0 МПа, для дерева Е = 104 МПа, для бетона 0,2 ⋅ 105 МПа . Идею о модуле упругости впервые высказал в 1800 г. английский ученый Томас Юнг. Он же первый указал, что закон Гука справедлив только в пределах упругих деформаций материала. На рисунке 2.8, а дано графическое представление закона Гука. Установим геометрический смысл модуля упругости Е. Выберем точку В прямолинейного участка ОВ (рис. 2.10,а), координаты этой точки σ и ε . Рис. 2.8 Очевидно, их отношение (тангенс угла наклона линии ОВ к оси абсцисс) равно модулю продольной упругости : tqα = σ = E. ε Перейдем к определению деформаций стержня. Из формул (2.4) и (2.6) имеем: N Δl=ε l и ε = . EA Тогда абсолютное удлинение участка стержня длиной l при A = const и E = const будет равно Nl Δl = , (2.20) EA где EA - жесткость поперечного сечения при растяжении (сжатии). Формула (2.20) выражает закон Гука для абсолютной продольной деформации, ее называют формулой жесткости при растяжении и сжатии. Если на участке N z и Az переменны (рис. 2.8 б), то полное удлинение участка l получим, суммируя удлинения бесконечно малых участков dz: 37 l N ( z ) ⋅ dz Δl = ∫ 0 E ⋅ A( z ) . Для бруса, имеющего несколько участков: l N ( z ) ⋅ dz Δl = ∑ ∫ 0 E ⋅ A( z ) . (2.21) Удлинение, связанное с температурным воздействием: Δ l to = l ⋅ α ⋅ Δt , (2.22) где α – коэффициент температурного расширения материала; Δ t – изменение температуры. Растяжение (сжатие) сопровождается изменением поперечных размеров (рис. 2.9). Рис. 2.9 Абсолютная поперечная деформация определяется как разность размеров после деформации и до нее: Δa = a1 − a ; Δb = b1 − b . Относительная поперечная деформация для изотропных материалов по всем направлениям одинакова: ε ′ = Δa = Δb . a b Между поперечной и продольной относительными деформациями, которые всегда противоположны по знаку, в пределах закона Гука существует постоянное отношение: ν = ε′ ε или ε ′ = −νε , (2.23) где ν – коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) – 38 безразмерная величина, упругая постоянная материала, определяемая экспериментально. Для всех изотропных материалов ν = 0 ÷ 0,5. Для пробки ν ≈0; для каучука ν ≈ 0,5; для стали ν ≈ 0,3. Перемещения. Эпюра перемещений. Условие жесткости При растяжении (сжатии) поперечные сечения стержня перемещаются в продольном направлении; перемещения поперечных сечений – это следствие деформации. Перемещение сечения зависит от деформации не всего бруса, а лишь части между сечением и неподвижной заделкой. Например, перемещение сечения I-I (рис. 2.10 а) равно деформации заштрихованной части стержня: δ I −I = Δl AB + Δl BC , или δ I −I = δ B + Δl BC , (2.24) где Δ l AB = δ B – деформация участка АВ равная перемещению сечения В; Δ l BC – деформация участка ВС определяется по формулам (2.20) и (2.21). Но не всегда перемещения сечений какого-то участка непосредственно связаны с его деформацией. Например, по канату, прикрепленному к потолку, на некоторую высоту поднялся человек весом G (рис. 2.10 б). Растягивается (деформируется) только верхняя часть каната, нижняя не деформируется, но перемещается как твердое тело. I I Рис. 2.10 С учетом формулы (2.21) для перемещений сечения z можно записать: δz = ∫ z N ( z ) dz EA или dδ z 1 = N ( z) . dz EA (2.25) Анализируя (2.25), можно сформулировать следующие положения: На участке, где N ( z ) = const , перемещение δ z – меняется по линейному за- 39 кону; На участке, где N ( z ) – линейна, перемещение δ z – меняется по квадратичной параболе; Если N ( z ) > 0 , то перемещение δ z возрастает; N ( z ) < 0 , то перемещение δ z убывает; 4. В сечении, где N ( z ) = δ′z =0, перемещение δ z имеет экстремальное значение: δ z = δ экстрем. (максимум или минимум). На рис. 2.11 а, б, в показаны: канат под нагрузкой G, эпюра продольной силы и эпюра перемещений. Эпюру перемещений начинают строить от защемленного конца, вычисляя перемещения характерных сечений Рис. 2.11 I участок, 0 α C ( α M = 167 ⋅ 10 −7 1/град, α C = (100 − 130 ) ⋅ 10 −7 1/град), то продольная сила N C будет положительна, следовательно, стальные стержни растянуты, а медный – сжат. Температурные напряжения в стержнях будут равны соответственно: σM = N NM и σC = C . FM FC Понятие о монтажных напряжениях Рассмотрим случай возникновения монтажных напряжений, связанных с неточностью изготовления конструкции. Стальная конструкция состоит из трех стержней с площадями поперечных сечений F1 , F2 и F3 , концы которых прикреплены к двум абсолютно жестким плитам (рис. 2.24, а). Рис. 2.24 56 Все стержни должны были иметь одинаковую длину l , однако, стержень 1 был изготовлен на δ1 длиннее, а стержень 2 на δ 2 короче, чем по проекту (относительно стержня 3) (рис. 2.24, а). Заметим, что δ1 и δ 2 весьма малы по сравнению с длиной l . Из-за неточности при изготовлении возникают начальные (монтажные) напряжения. Определим эти напряжения. Предположим, что после монтажа конструкции нижняя плита заняла положение, показанное на рисунке, и все стержни оказались растянуты. Уравнение равновесия: ∑ Fy = N1 + N 2 + N 3 = 0 , (2.39) ∑ M A = − N 2 a − N 3 ( a + b) = 0 . (2.40) Для составления дополнительного уравнения рассмотрим удлинения стержней при монтаже. Из геометрического подобия ΔACE и ΔBCD имеем h1 (a + b ) = , h2 b при чем, исходя из условия, h1 = Δl1 − (Δl3 − δ1 ) , а h2 = Δl2 − (Δl3 + δ 2 ) . Тогда Δl1 + δ1 − Δl3 a + b . = Δl2 − δ 2 − Δl3 b (2.41) Nl N1l Nl , Δl2 = 2 и Δl3 = 3 . EF1 EF2 EF3 Подставив данные выражения в пропорцию 2.41 и затем, совместно решая уравнения 2.39 и 2.40, находим значения продольных напряжений в стержнях N1 , N 2 и N 3 (рис. 2.24, б), а далее и монтажные напряжения в стержнях σ1 , σ 2 и σ3 На практике такие конструкции могут наблюдаться, например, при создании напряжений в арматуре бетонных конструкциях; в дальнобойной артиллерии – предварительный натяг, который создает сжимающие напряжения во внутренней части ствола и так далее. Удлинения стержней Δl1 = Предельное состояние и расчет по несущей способности Метод основан на вычислении не напряжений, а нагрузки, которую может выдержать конструкция, не разрушаясь. Условие прочности предполагает, что максимальная действующая нагрузка 57 Fmax не должна превышать допускаемой нагрузки, полученной путем деления разрушающей нагрузки на коэффициент запаса прочности Fmax < [F ] = Fразр nB . (2.42) Значения n В принимаются, как и при расчете по допускаемым напряжениям для хрупкого материала. В случае пластичного материала критерием предельного состояния является потеря несущей способности в результате превращения конструкции в кинематически изменяемую за счет неограниченного роста пластических деформаций. Расчет ведется за пределом упругости с учетом пластических деформаций, где закон Гука не соблюдается. Принимается схематизированная диаграмма напряжений – диаграмма Прандтля с безграничной площадкой текучести (рис. 2.25). Расчет на прочность основан на вычислении предельной нагрузки Flim , которую находят с использованием уравнений предельного равновесия, поэтому он называется методом предельного равновесия. σт Рис. 2.25 Условие прочности по предельным нагрузкам имеет вид: Fmax < [F ] = Flim nт . . (2.43) Тема 2.3 Экспериментальное изучение механических характеристик материалов Испытание образцов различных материалов на растяжение Диаграммы растяжения При проектировании и расчетах на прочность и жесткость необходимо знать свойства материалов, сведения о которых можно получить путем механических испытаний на растяжение, сжатие, сдвиг, кручение и изгиб. 58 Для испытаний на статическое растяжение черных и цветных металлов и изделий из них согласно ГОСТ 1497-84 (ИСО 6892-84, СТ СЭВ 471-88) применяют цилиндрические образцы диаметром 3 мм и более, а также плоские (из листового материала) образцы толщиной 0,5 мм и более (рис. 2.26, а и б). Расчетная длина образца l0 = 5,65 А0 - для коротких образцов (у цилиндрических l0 d 0 = 5 ), где А0 - начальная площадь образца, и l0 = 11,3 А0 - для длинных (у цилиндрических l0 d 0 = 10 ). Согласно принципу Сен-Венана, напряженное состояние в рабочей части образца не зависит от способа приложения нагрузки к образцу и может считаться однородным. При одноосном растяжении в образце возникает однородное напряженное состояние, то есть во всех точках поперечного сечения рабочей части образца напряжение получается одинаковым и, независимо от того деформируется образец упруго или плаP стически, оно вычисляется по одной и той же формуле: σ = . А Выбор формы и размеров образца устанавливается возможностями изготовления, а также характеристиками испытательной машины. В целях экономии материала при массовых испытаниях целесообразно проводить испытания коротких образцов. Рис. 2.26 Испытание на растяжение проводят на специальных разрывных или универсальных машинах, создающих постепенно возрастающую нагрузку на образец. Машины снабжены устройством для автоматической записи диаграммы растяжений, т. е. графика зависимости между растягивающей силой P и удлинением образца Δ l . 59 Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали На рис. 2.27 изображена диаграмма растяжения стали марки Ст 3 с содержанием углерода не более 0,22 %. Рассмотрим характерные участки и точки этой диаграммы, а также соответствующие им стадии деформирования образца. Рис. 2.27 Участок ОВ – зона пропорциональности. На этом участке зависимость между удлинением образца и силой носит линейный характер, таким образом, выполняется закон Гука. σ = Е ⋅ε , где E (МПа) – физическая константа материала, называемая модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода, характеризующая жесткость материала. Значения модуля упругости зависят от типа кристаллической решетки и межатомного взаимодействия и определяются экспериментально. Прямая пропорциональная зависимость между напряжением и деформацией сохраняется до напряжений, соответствующих пределу пропорциональности σ пц , который определяется делением соответствующей нагрузки на начальную площадь образца А0 : σпц = Pпц А0 Предел пропорциональности зависит от условно принятой степени приближения, с которой начальный участок диаграммы можно рассматривать как прямую. Степень отклонения кривой σ = f (ε ) от прямой σ = Е ⋅ ε определяют по величине угла, который составляет касательная к диаграмме с осью σ . В 60 пределах закона Гука тангенс этого угла определяется величиной 1 / E . Обычно считают, что если отношение σ = dε / dσ на 50 % больше, чем 1 / E , то предел пропорциональности достигнут. Упругие свойства материала сохраняются до напряжения, называемого пределом упругости. Под пределом упругости понимается такое наибольшее напряжение, до которого в образце еще отсутствуют пластические деформации. Для большинства материалов предел упругости совпадает с пределом пропорциональности и их определение во многом зависит от установленных требований точности. Обычно остаточную деформацию, соответствующую пределу упругости, принимают в пределах ε ост = (1...5) ⋅ 10 −5 , т.е. 0,001…0,005%. Соответственно этому допуску предел упругости обозначают σ 0,001или σ 0,005 . Участок ОС – зона упругости. Выше точки В диаграмма искривляется, закон Гука нарушается, деформации начинают расти быстрее роста напряжений. На этом участке в непосредственной близости от точки В находится точка С, соответствующая пределу упругости σ у : σу = Pу А0 . (2.44) Пределом упругости называется наибольшее напряжение, до которого остаточная деформация при разгрузке не обнаруживается. Для Ст 3 σ у =205 – 210 МПа, т. е. σпц и σ у незначительно отличаются, и обычно считают, что они практически совпадают. Участок DЕ – носит название площадки текучести. Наличие площадки текучести связано с развитием сдвигов в кристаллической решетке. При возникновении заметных пластических деформаций, поверхность образца покрывается системой тонких линий (полос скольжения). Эти линии, называемые линиями Людерса-Чернова (рис. 2.28), имеют преимущественное направление, составляющее с осью угол, близкий к 45°, и практически совпадают с плоскостями максимальных касательных напряжений. Рис. 2.28 Напряжение, при котором происходит деформирование образца без заметного увеличения нагрузки, называется пределом текучести. Стрелка силоизмерительного механизма на время останавливается, т.е. образец удлиняется при фактически постоянной нагрузке равной Pт . Соответствующее напряжение вычисляется по формуле: 61 σт = Pт . А0 (2.45) Для Ст 3 σ т = 220 ... 250 МПа. На полированном образце появляется сетка полос, наклоненных к оси образца под углом 450, Описанные явления вызывают изменение внутренней структуры металла, что приводит к его упрочнению. Участок ЕН – зона упрочнения. Диаграмма после зоны текучести снова становится криволинейной. Образец приобретает способность воспринимать возрастающие усилия до значения Pmax (точка Н на диаграмме), которое используется для определения временного сопротивления или условного предела прочности σ в : σв = Pmax . А0 (2.46) Временным сопротивлением (условным пределом прочности) называется напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, предшествующей разрушению образца. Для Ст 3 σ в = 370 – 470 МПа. Участок HL называется зоной местной текучести. После достижения усилия Pmax удлинение образца происходит на небольшом участке. Это ведет к образованию местного сужения в виде шейки (рис. 2.29) и падению силы до значения Pист , при котором происходит разрушение. Рис. 2.29 Образец разрушается с образованием чашечки на одной его части и выступа на другой (рис. 2.29). На дне чашечки, которое образовано поперечной трещиной, разрушение имеет характер отрыва в результате действия нормальных напряжений. Края же разрушаются вследствие сдвига в направлении наибольших касательных напряжений под углом около 450. Такое разрушение называют вязким (пластичным). Полное удлинение, полученное образцом пе- 62 ред разрушением, уменьшается после разрыва на упругую часть Δl y (рис. 2.27). Длина образца l1 после разрыва будет равна: l1 = l0 + Δl y , где Δl y – остаточное удлинение, l0 – первоначальная длина (рабочая). Рассмотренные напряжения – пределы пропорциональности σпц , упругости σ у , текучести σ т и прочности σ в (временное сопротивление) – называют характеристиками прочности материала. Разгрузка и повторное нагружение. Явление наклепа На стадии упрочнения (участок ЕН на рис. 2.28) материал деформируется упруго-пластически. Если из некоторой точки K , лежащей за пределом текучести, произвести разгрузку, то график пойдет по прямой KK1 , параллельной участку ОВ. Упругая часть удлинения Δl y = K1K 2 исчезает после снятия нагрузки. Рис. 2.28 Отрезок OK1 = Δ lост представляет собой остаточное удлинение, называемое пластическим. Следовательно, за пределом упругости полное удлинение образца состоит из двух частей – упругой и пластической: Δl = Δ lу + Δ lост . Если вновь нагружать образец, то диаграмма совпадет с линией разгрузки KK1 , а дальше пойдет по кривой KHL . Изучая диаграмму повторного нагружения K1 KHL , можно сделать вывод, что свойства металла изменились: – исчезла площадка текучести; – предел пропорциональности повысился и стал равным напряжению, до которого первоначально был растянут образец (точка K ); 63 – часть диаграммы, левее KK1 , оказалась отсеченной, и остаточное удлинение после разрыва будет меньше на Δ lост , т.е. материал стал как бы менее пластичным. Явление повышения упругих свойств материала в результате предварительной пластической деформации называется наклепом. Наклеп широко используют в технике (предварительной вытяжке подвергают цепи и канаты подъемных машин, некоторые виды арматуры железобетонных конструкций). В некоторых случаях он нежелателен, и его устраняют отжигом или удалением наклепанного материала. Относительное удлинение и сужение после разрыва. Характеристики пластичности материала Относительным удлинением εотн называют отношение в процентах приращения длины образца после разрыва к его первоначальной длине: ε отн = Δl l1 − l0 100% или ε отн = 0 100% , l0 l0 (2.47) Относительное поперечное сужение образца ψ отн определяется путем деления абсолютного уменьшения площади поперечного сечения в шейке на первоначальную площадь и выражается в процентах: ψ отн = А0 − А1 100% , А0 (2.48) где F1 – площадь поперечного сечения образца в месте разрыва. Для рассматриваемой стали εотн =23–27 %; ψ отн = 60–70 %. При статическом нагружении в зависимости от εотн материалы условно делят на пластичные и хрупкие, для первых εотн > 5 %. К пластичным относят низкоуглеродистую сталь, медь, свинец, сплавы алюминия, а к хрупким – чугун, высокоуглеродистую сталь, стекло, бетон, керамику керамику. Пластичность – свойство материала накапливать значительные остаточные деформации до разрушения. Это положительное свойство, оно играет большую роль в обеспечении безопасности и надежности строительных конструкций. Хрупкость – свойство материала разрушаться без образования заметных пластических деформаций. Относительное удлинение εотн и относительное поперечное сужение образца после разрыва ψ отн называют характеристиками пластичности материала. 64 Условная и истинная диаграмма. Характеристики упругости материала Диаграмма растяжения P = f (Δ l ) зависит от размеров образца. Для оценки свойств материала эту диаграмму перестраивают в координатах «напряжение – деформация»; все ординаты делят на первоначальную площадь σ = P A0 , а все абсциссы – на первоначальную рабочую длину ε = Δ l l0 . В результате получают диаграмму напряжений σ = f (ε ) (рис. 2.29), которая является условной, т. к. при ее построении не учитывается изменение значений площади сечения A в процессе испытания. Поэтому найденные ранее характеристики прочности являются условными. Рис. 2.29 Диаграмма напряжений, построенная с учетом сужения площади сечения и местного увеличения деформаций, называется диаграммой истинных напряжений (на рис. 2.29 она показана пунктиром). Напряжение, соответствующее точке L′ , называют истинным сопротивлением разрыву (истинным пределом прочности) σmax = σист = Pист , Аш (2.49) где Аш – площадь сечения в месте разрыва (шейки). Для Ст 3 истинное напряжение достигает 900–1000 МПа. Диаграммы истинных напряжений используются при проведении упругопластических расчётов. Условные диаграммы используют на практике для определения механических характеристик материалов, а также для определения модуля упругости E . Из рис. 2.29 имеем: 65 ⎛m E = tgα ⋅ ⎜⎜ σ ⎝ mε ⎞ σ ⎟⎟ = , ⎠ ε (2.50) где – mσ (Па/мм), mε (1/мм) – масштабы графика по оси ординат и абсцисс. Величины E , σпц , σ у называют упругими характеристиками материала. Диаграмма растяжения пластичных материалов, не имеющих площадки текучести Ярко выраженная площадка текучести присуща сталям, содержащим 0,1– 0,3 % углерода, латуни и некоторым видам бронзы. Для среднеуглеродистой стали на диаграмме нет площадки текучести. После упругого участка диаграмма получает закругление и затем сразу переходит в кривую, характеризующую стадию упрочнения (рис. 2.30). Рис. 2.30 При этом вводят условное понятие условного предела текучести – под ним понимают напряжение, при котором относительная остаточная деформация εост = 0,2 % и обозначают его σ 0, 2 . Отрезок ON =0,002 в масштабе диаграммы откладывают от точки О и проводят прямую, параллельную ОВ до пересечения в точке D, ордината которой равна σ 0, 2 . Аналогичная диаграмма – для низколегированной стали и алюминиевых сплавов. Диаграмма растяжения чугуна Диаграмма растяжения чугуна (рис. 2.31, а) является типичной для хрупких материалов. Отклонение от закона Гука наблюдается уже в начальной стадии нагружения, и модуль Е не является постоянной величиной. Принято 66 кривую заменять секущей ОВ и считать Е = const. Рис. 2.31 Процесс разрушения образца при растяжении происходит почти внезапно, при незначительных остаточных деформациях. Характер разрушения показан на рис. 2.31, б. Хрупкие материалы плохо сопротивляются растяжению. Для различных сортов чугуна предел прочности на растяжение σ в =120– 380 МПа. Испытание материалов на сжатие Испытание материалов на сжатие производят на образцах, имеющих вид цилиндров, высота которых равна их диаметру (обычно d = h = 20 мм). Результаты испытаний носят некоторый условный характер из-за наличия сил трения в опорных поверхностях образца. Для бетона, дерева применяют образцы в виде кубиков. Диаграмма сжатия малоуглеродистой стали Диаграмма сжатия почти полностью повторяет диаграмму растяжения (рис. 2.32, а). Пределы пропорциональности, упругости и текучести имеют те же значения, что и при растяжении. Углы наклона прямолинейных участков на обеих диаграммах одинаковы, значит, равны и модули E . Площадка текучести здесь выражена слабо. При дальнейшем нагружении развиваются значительные пластические деформации, образец принимает бочкообразную форму, а затем, не претерпевая разрушения, расплющивается (рис.2.32 в, г). Поэтому получить предел прочности не представляется возможным, и его условно принимают таким же, как при растяжении: σ враст = σ сж в . Пластичные материалы одинаково сопротивляются растяжению и сжатию. 67 Рис. 2.32 Образцы из других пластичных металлов (медь, алюминий) при сжатии деформируются так же, как стальной, и имеют аналогичную диаграмму. Диаграмма сжатия чугуна Диаграмма сжатия по виду напоминает диаграмму растяжения, однако ординаты ее в несколько раз больше, чем при растяжении (рис. 2.33, а). Образец принимает слегка бочкообразную форму (рис. 2.33, б). Когда нагрузка достигает наибольшего значения, на поверхности образца появляются трещины под углом примерно 45º к оси. Нагрузка резко падает, и диаграмма обрывается. Разрушение происходит от сдвигов по площадкам с наибольшими касательными Рис.2.33 напряжениями. Большинство хрупких материалов (бетон, камень) разрушается при сжатии так же, как чугун, и имеет подобную диаграмму. Хрупкие материалы сопротивляются сжатию значительно лучше, чем растяжению. Для серого чугуна предел прочности на сжатие σ сж в =560– 900 МПа, а на растяжение – σ враст =120–190 МПа, т.е. в 4–5 раз меньше. Диаграмма сжатия древесины При испытании дерева на сжатие приходится учитывать, что дерево является материалом анизотропным и по-разному сопротивляется деформированию вдоль и поперек волокон. Диаграммы сжатия вдоль волокон (кривая 1) и по- 68 перек (кривая 2) показаны на рис. 2.34, а. Рис. 2.34 При сжатии вдоль волокон древесина работает сначала упруго, затем упруго пластически. Разрушение происходит с образованием характерной складки (рис. 2.34, в) в результате потери местной устойчивости рядом волокон. При сжатии поперек волокон до небольшой нагрузки (точка В) существует линейная зависимость между силой и деформацией. Затем деформации сильно увеличиваются, а нагрузка растет незначительно. В результате образец спрессовывается – уплотняется (рис. 2.34, г). Разрушающая нагрузка определяется условно и соответствует сжатию образца на 1/3 высоты. Сопротивление древесины сжатию вдоль волокон в 8–10 раз больше, чем поперек. Тема 2.4 Экспериментальное исследование материалов при специальных воздействиях Влияние различных факторов на механические характеристики материалов Диапазон температур, в пределах которого реально работают конструкционные материалы, выходит далеко за рамки указанных нормальных условий. Есть конструкции, где материал находится под действием чрезвычайно высоких температур, как, например, в стенках камер воздушно-реактивных и ракетных двигателей. Имеются конструкции, где, напротив, рабочие температуры оказываются низкими. Это – элементы холодильных установок и резервуары, содержащие жидкие газы. В широких пределах изменяются также и скорости нагружения, и время действия внешних сил. Есть нагрузки, действующие годами, а есть такие, время действия которых исчисляется миллионными долями секунды. Понятно, что в зависимости от указанных обстоятельств механические свой- 69 ства материалов будут проявляться по-разному. Обобщающий анализ свойств материала с учетом температуры и фактора времени оказывается очень сложным и не укладывается в простые экспериментально полученные кривые, подобные диаграммам растяжения. Функциональная зависимость между четырьмя параметрами а, ε, температурой t 0 и временем t : f σ,ε,t 0 ,t = 0 , не является однозначной и содержит дифференциальные и интегральные соотношения входящих в нее величин. Так как в общем виде аналитическое или графическое описание указанной функции дать не удается, то влияние температуры и фактора времени рассматривают в настоящее время применительно к частным классам задач. Деление на классы осуществляют в основном по типу действующих внешних сил. Различают медленно, быстро и весьма быстро изменяющиеся нагрузки. ( ) Влияние скорости нагружения Диаграммы растяжения низкоуглеродистой стали Ст 3 при статическом нагружении (кривая 1) и повышенной скорости нагружения (кривая 2) показаны на рис. 2.35. Сравнение этих диаграмм показывает, что при быстром нагружении предел текучести и временное сопротивление стали σ В выше, а модуль E практически не изменился. σв σт Рис. 2.35 При нагружении с повышенными скоростями пластические деформации не успевают полностью развиться, и пластичный материал по своим свойствам приближается к хрупкому. Влияние температуры Если вести испытания на растяжение при различных температурах образца, оставаясь в пределах нормальных скоростей деформации -1 ( dε dt = 0,01 − 3 мин ), то можно в определенном интервале получить зависимость механических характеристик от температуры. Эта зависимость обу- 70 словлена температурным изменением внутрикристаллических и межкристаллических связей, а в некоторых случаях и структурными изменениями материала. При повышении температуры у большинства материалов механические характеристики прочности уменьшаются, а при понижении температуры увеличиваются. При отрицательных температурах у сталей увеличивается их хрупкость (хладноломкость). Характеристики пластичности с повышением температуры увеличиваются, а с понижением уменьшаются. При повышении температуры модуль упругости E существенно уменьшается, а коэффициент Пуассона ν незначительно увеличивается. В настоящее время созданы специальные сплавы и металлокерамические материалы, которые могут надежно работать при повышенных температурах (до 11000С). Влияние термической обработки Для изменения характеристик прочности и пластичности материалов их подвергают термообработке, которая состоит из определенных режимов нагревания и охлаждения, при которых меняется структура металлов. Отжиг применяют для снятия начальных внутренних напряжений, вызванных холодной обработкой. Сталь нагревают до определенной температуры, длительное время выдерживают, затем медленно охлаждают. Закалка – нагрев до определенной температуры и быстрое охлаждение в воде или масле. При этом характеристики прочности повышаются, пластичность падает. Отпуск стали применяют для увеличения ее пластичности после закалки. Для этого сталь нагревают с некоторой скоростью и выдерживают при определенной температуре. Влияние технологических факторов Литье способствует образованию различных дефектов (пустоты, раковины, включения), что приводит к снижению прочности металла. Прокатка меняет структуру металла и делает ее анизотропной: в направлении прокатки прочность значительно выше. Волочение представляет собой вытяжку с обжатием. Изделия, полученные таким способом – стальная проволока, стальные листы - обладают высокой прочностью. Другие способы механической обработки: токарная обработка, обдувка дробью, обкатка роликами и др. увеличивают прочностные свойства металлов. 71 Влияние радиоактивного облучения Влияние этого фактора на материал конструкции приводит к увеличению прочности и уменьшению характеристик их пластичности. Ползучесть материалов и релаксация напряжений Способность материалов деформироваться во времени при действии постоянных нагрузок называется ползучестью. Явление ползучести присуще таким материалам, как бетон, кирпич, полимеры и т.п. Металлы также обнаруживают это свойство, которое становится особенно заметным при высокой температуре, а в цветных металлах (свинце, меди и т. п.) – даже при комнатной. Фактор ползучести имеет существенное значение для работы конструкций. Например, напряжения в арматуре железобетонных изделий могут в процессе ползучести увеличиться в 2 – 2,5 раза, а перемещения в 3 – 4. Известны случаи, когда стальные котельные трубы разрушались под действием внутреннего давления вследствие ползучести материала. Частным проявлением ползучести является рост необратимых деформаций при постоянном напряжении. Это явление носит название последействия. Наглядной иллюстрацией последействия может служить наблюдаемое увеличение размеров диска и лопаток газовой турбины, находящихся под воздействием больших центробежных сил и высоких температур. Это увеличение размеров необратимо и проявляется обычно после многих часов работы двигателя. Другим частным проявлением свойств ползучести является релаксация – самопроизвольное изменение во времени напряжений при неизменной деформации. Релаксацию можно наблюдать, в частности, на примере ослабления затяжки болтовых соединений, работающих в условиях высоких температур. Ослабление плотности болтового соединения фланцев газопровода или цилиндра высокого давления паровой турбины может привести к утечке газа или пара, если периодически не возобновлять затяжку болтового соединения. Предел длительной прочности и предел ползучести Основными механическими характеристиками материала в условиях ползучести являются предел длительной прочности и предел ползучести. Пределом длительной прочности называется отношение нагрузки, при которой происходит разрушение растянутого образца через заданный промежуток времени, к первоначальной площади сечения. Таким образом, предел длительной прочности зависит от заданного промежутка времени до момента разрушения. Последний выбирается равным сроку службы детали и изменяется в пределах от десятков часов до сотен тысяч часов. Соответственно столь широкому диапазону изменения времени меняется 72 и предел длительной прочности. С увеличением времени он, естественно, падает. Пределом ползучести называется напряжение, при котором пластическая деформация за заданный промежуток времени достигает заданной величины. Как видим, для определения предела ползучести необходимо задать интервал времени (который определяется сроком службы детали) и интервал допустимых деформаций (который определяется условиями эксплуатации детали). Пределы длительной прочности и ползучести сильно зависят от температуры. С увеличением температуры они, очевидно, уменьшаются. Среди различных типов статических нагрузок особое место занимают периодически изменяющиеся, или циклические, нагрузки. Вопросы прочности материалов в условиях таких нагрузок составляют содержание специального раздела сопротивления материалов и связываются с понятиями выносливости, или усталости, материала. Анизотропные материалы В практике наряду с изотропными материалами, которые являются основным объектом рассмотрения сопротивления материалов, имеют место и анизотропные материалы, т. е. материалы, свойства которых в различных направлениях различны. Это относится как к характеристикам упругости (модулям упругости первого E и второго G рода), так и характеристикам предельного состояния (предел текучести σ Т , предел прочности σ В ). Анизотропия может быть начальной (исходной), существующей до процесса нагружения, или вторичной (деформационной), т. е. изменившейся, или заново возникшей в процессе деформации. Можно выделить три типа анизотропии механических свойств: кристаллографическая, технологическая и композиционная. Кристаллографическая анизотропия обусловлена кристаллическим строением металлов, что приводит к различию свойств, определяемых при разных углах между кристаллографическими плоскостями монокристаллов и направлением действия нагрузки. Кристаллографическая анизотропия наиболее явно выражена в монокристаллах. Строго говоря, все металлы на микроскопическом уровне являются анизотропными и то, что эта анизотропия не проявляется, как правило, при испытании образцов больших размеров, – результат осреднения свойств микрообъемов материала. Технологическая анизотропия обусловлена текстурой материалов, вызванной обработкой металлов и сплавов в процессе производства деталей или полуфабрикатов, такими, например, как прессование, волочение, пропитка и т. п. Композиционная анизотропия обусловлена строением композиционных материалов (сочетанием материалов матрицы и наполнителя), закладываемым в структуру в процессе их разработки и производства. Изучая напряженное и деформированное состояния анизотропных тел, вы- 73 званные какой-либо внешней нагрузкой, принимается ряд предположений и ограничений. Важнейшие из них сводятся к следующему: Тело является сплошным (сплошной средой), причем напряжения на любой площадке, внутри и на поверхности являются силами, отнесенными к единице площади. Иначе говоря, моментными напряжениями, пренебрегаем, как это делается в классической теории упругости. Связь между компонентами деформации и проекциями перемещения и их первыми производными по координатам является линейной, т.е. рассматриваются только малые деформации. Между компонентами напряжений и деформаций существуют линейные зависимости, т.е. материал следует обобщенному закону Гука, причем коэффициенты этих линейных зависимостей могут быть как постоянными (однородное тело), так и переменными функциями координат, непрерывными или прерывными (в случае неоднородного тела). 4. Начальные, т. е. существующие без внешней нагрузки, напряжения, в том числе и температурные, не учитываются. Таким образом, к изучению анизотропного тела подходят с позиций классической линейной теории упругости однородного или неоднородного тела. Изотропным в отношении упругих свойств называется тело, у которого эти свойства (упругое сопротивление) одинаковы для всех направлений, проведенных через данную точку; анизотропным называется тело с упругими свойствами, вообще различными для разных направлений, проведенных через данную точку. Направления, для которых упругие свойства (упругое сопротивление) одинаковы, называют упруго-эквивалентными. У изотропного тела упруго-эквивалентными являются все направления, проведенные через данную точку, а у анизотропного — не все, а только некоторые. В зависимости от структуры тело может быть изотропным или анизотропным и одновременно однородным или неоднородным. Заметим еще, что в разных средах можно различить два основных типа анизотропии: 1) прямолинейную и 2) криволинейную. Анизотропия свойств характерна для композиционных или гетерогенных материалов. Композиционные материалы Анизотропия композита является конструкционной, она закладывается специально для изготовления конструкций, в которых наиболее рационально ее использовать. Возможность управления свойствами вновь создаваемых материалов, особенно хорошо реализуемая при проектировании гибридных (армированных несколькими типами наполнителей) композитов, оказывает существенное влияние на совершенствование технологического проектирования. 74 Композит представляет собой неоднородный сплошной материал, состоящий из двух или более компонентов, среди которых можно выделить армирующие элементы, обеспечивающие необходимые механические характеристики материала, и матрицу (связующее), обеспечивающую совместную работу армирующих элементов. Механическое поведение композита определяется соотношением свойств армирующих элементов и матрицы, а также прочностью связи между ними. Эффективность и работоспособность материала зависят от правильного выбора исходных компонентов и технологии их совмещения, призванной обеспечить прочную связь между компонентами при сохранении их первоначальных характеристик. В результате совмещения армирующих элементов и матрицы образуется комплекс свойств композита, не только отражающий исходные характеристики его компонентов, но и включающий свойства, которыми изолированные компоненты не обладают. Например, наличие границ раздела между армирующими элементами и матрицей существенно повышает трещиностойкость материала, и в композитах, в отличие от металлов, повышение статической прочности приводит не к снижению, а, как правило, к повышению характеристик вязкости разрушения. Совместная работа разнородных материалов дает эффект, равносильный созданию нового материала, свойства которого и количественно и качественно отличаются от свойств каждого из его составляющих. Для композиционных конструкционных материалов характерны следующие признаки: - состав и форма компонентов материала определены заранее; - компоненты присутствуют в количествах, обеспечивающих заданные свойства материала; - материал является однородным в макромасштабе и неоднородным в микромасштабе (компоненты различаются по свойствам, между ними существует явная граница раздела). Композиционный материал состоит из матрицы и армирующего вещества. Матрицей могут быть металлы и их сплавы, органические и неорганические полимеры, керамика и другие материалы. Усиливающими или армирующими компонентами чаще всего являются тонкодисперсные порошкообразные частицы или волокнистые материалы различной природы: две группы композитов по армирующим компонентам: дисперсно-упрочненные и волокнистые. Они отличаются структурой и механизмом образования высокой прочности. Композиционные материалы нашли широкое применение в конструкциях и изделиях, когда требования по удельной прочности, жесткости и надежности довольно высоки, а их способность иметь заданные свойства в определенных направлениях дает выигрыш не только в весе, но и в технологии изготовления. Из композитов изготавливают различные резервуары и сосуды давления, обо- 75 лочки несущих конструкций самолетов, малотоннажных судов, ракет и вагонов, трубопроводы и стержни различного профиля, бытовые приборы и элементы к ним, и т.д. В машиностроении к конструкционным композиционным материалам относятся материалы, из которых изготавливаются конструкции и детали машин, воспринимающие механические нагрузки. Восприятие нагрузки делится по виду (растяжение, сжатие и т.д.), по характеру нагружения (статическое, динамическое), по действию окружающей среды. Перечисленные факторы определяют комплекс конструктивноэксплуатационных требований, предъявляемых к конструкционным композиционным материалам. Наиболее полное представление о материале в конструкции дают показатели механических свойств. Механические свойства оцениваются по нескольким видам показателей: показатели свойств материалов, определяющихся вне зависимости от конструктивных особенностей и характера службы изделия - стандартные испытания образцов на растяжение, сжатие и т.д. Характеристики эти используются для расчетов деталей машин при статических нагрузках в нормальных условиях; показатели конструкционной прочности, характеризующие их работу в условиях эксплуатации конкретного изделия - характеристики долговечности (усталостная прочность, износоустойчивость, коррозионная стойкость) и надежность материала в изделии (вязкость разрушения, энергия трещинообразования, живучесть при циклическом нагружении); требования по технологичности - возможность обеспечивать меньшую трудоемкость при изготовлении деталей и конструкций. Технологичность характеризуется способностью материала приобретать заданную форму при действии различных факторов (температуры, давления и др.), подвергаться механической обработке, соединяться различными методами (сварка, склеивание и т. д.). Различия в упругих, прочностных и других свойствах, присущие различным материалам, тесно связаны с их составом и структурой. Изменения в них отражаются на свойствах материала. Знание закономерностей, определяющих в материале наличие тех или иных физических, механических, теплофизических, технологических и иных свойств, позволяет рационально использовать существующие и создавать новые материалы. Армирующими элементами композиционных материалов являются тонкие непрерывные или короткие волокна (диаметром от 5 до 200 мкм). Армирование осуществляется либо этими волокнами, либо составленными из них нитями, жгутами, лентами и тканями с различным типом плетения. Волокна должны удовлетворять комплексу эксплуатационных и технологических требований. К первым относятся условия по прочности, жесткости, плотности и стабильности свойств в процессе эксплуатации. Технологичность 76 волокон определяет возможность создания высокопроизводительных процессов изготовления изделий на их основе. Одним из важнейших требований является совместимость материала волокон с материалом матицы. Пpи этом, совместимыми считаются компоненты, на границе котоpых возможно достижение пpочной связи, близкой к пpочности матpицы при условиях, обеспечивающих сохранение исходных свойств компонентов. Теоретическая прочность материалов σ Теор возрастает с увеличением модуля упругости Е и поверхностной энергии γ вещества и падает с увеличением расстояния между соседними атомными плоскостями а0: σ Теор = γE . a0 (2.51) Следовательно, высокопрочные тела должны иметь высокие модули упругости и поверхностную энергию, и возможно большее число атомов в единице объема. Этим требованиям удовлетворяют бериллий, бор, углерод, кремний, азот, кислород и алюминий. Наиболее прочные материалы всегда содержат один из этих элементов, а зачастую состоят только из них. Пи создании волокнистых композитов применяются высокопрочные стеклянные, углеводные, бойные и органические волокна, металлические поволоки, а также волокна и нитевидные кристаллы ряда каpбидов, оксидов, нитpидов и дpугих соединений. Свойства различных армирующих волокон приведены в таблице 2.1 Таблица 2.1 Материал волокна Сталь Стекло Ароматический полиамид Полиэтилен Углеродное высокопрочное Углеродное высокомодульное Оксид алюминия Карбид кремния Бор Прочность, ГПа Модуль упругости, ГПа Плотность, Диаметр, г см 3 мкм 2…3 3,5…4,6 200 72…110 7,8 2,5…2,9 3…25,80 3,8…5,5 120…185 1,43…1,47 10…12 2…3,5 50…125 меньше 1 30…35 3,6…7,2 300 1,8 5…10 2,5-3,25 500-800 1,8…2,2 5…10 2,2…2,4 3,1…4,0 3,45 385…420 410…450 400 3,95 2,7…3,4 2,6 10…25 100…140 100…200 Матрица обеспечивает монолитность композита, фиксирует форму изделия и взаимное расположение армирующих волокон, распределяет действующие напряжения по объему материала, обеспечивая равномерную нагрузку на ее 77 волокна и перераспределение при разрушении части волокон. Материал матицы определяет метод изготовления изделий из композитов, возможность выполнения конструкций заданных габаритов и формы, параметров технологического процесса. В табл. 2.2 для примера приведены физико-механические свойства полимерных матриц, используемых при создании углепластиков. Таблица 2.2 Параметр Предел прочности при растяжении, МПа Предел прочности при сжатии, МПа Модуль упругости, ГПа Плотность 3 10 −3 , кг м Теплостойкость, o C Относительное удлинение, % Объемная усадка, % Полиэфирные Фенолформальдегидные Эпоксидные Кремнийорганические Поламидные 30…70 40…70 50…100 25…50 90…95 80…150 100…125 90…160 60…100 250…280 2,8…3,8 7…11 2,4…4,2 6,8…10 3,2…5 1,2…1,35 1,2…1,3 1,3 1,35…1,40 1,41…1,4 3 50…80 140…180 130…150 250…280 250…320 1,0…5,0 0,4…0,5 2…9 0,3…0,5 1…2,5 5…10 15…25 1…5 15…20 15…20 Требования, предъявляемые к матицам разделяются на эксплуатационные и технологические. К эксплуатационным относятся требования, связанные с механическими и физико-химическими свойствами, обеспечивающими работоспособность композиции при действии различных эксплуатационных факторов. Контрольные вопросы к разделу 2 1. Дайте определение равновесного состояния стержня, называемого простым растяжением или сжатием. 2. Что такое принцип Сен-Венана? Дайте пояснение на конкретном примере. 3. Сформулируйте гипотезу плоских сечений Я. Бернулли. 4. Запишите дифференциальную и интегральную зависимости, связывающие нормальную силу с интенсивностью продольной распределенной нагрузки. 78 5. Как определяются напряжения в поперечных и наклонных сечениях бруса при растяжении (сжатии)? 6. Что такое продольная и поперечная деформации стержня (определения). 7. Поясните физический смысл модуля первого рода. 8. Сформулируйте закон Гука при растяжении (сжатии), выражающий связь между напряжением и деформацией, а также закон Гука для абсолютной продольной деформации. 9. Что называется коэффициентом поперечной деформации (коэффициентом Пуассона) и какие он может принимать предельные значения для конструкционных материалов? 10. Что называется допускаемым напряжением? Как оно выбирается для хрупких и пластичных материалов? 11. Как записываются условия прочности и жесткости при растяжении (сжатии) стержня? 12. Дайте определение статически определимых и неопределимых систем. 13. Что такое брус равного сопротивления? 14. Назовите характерные участки диаграммы растяжения образца из малоуглеродистой стали. Какие характерные точки различают на диаграмме растяжения. 15. Каким образом определяется предел текучести материала, если его диаграмма растяжения не имеет явно выраженной площадки текучести? 16. Как определяются характеристики пластичности материала при испытаниях на растяжение? 17. Как определяется потенциальная энергия при растяжении? 18. Что такое хрупкость? Перечислите хрупкие материалы. 19. В чем состоит особенность разрушения хрупких материалов при растяжении? Какой вид имеет диаграмма растяжения хрупких материалов? 20. Какой вид имеют диаграммы сжатия пластичных и хрупких материалов? 21. Каков характер разрушения при испытании на сжатие образцов из малоуглеродистой стали, чугуна? 22. Указать различие между диаграммами сжатия древесины вдоль и поперек волокон. 23. Какой материал называется анизотропным? Приведите примеры анизотропных материалов. 79 Раздел 3 Геометрические характеристики плоских сечений Тема 3.1 Основные определения и общие свойства геометрических характеристик Центр тяжести сечения. Статические моменты сечения При расчетах на прочность, жесткость и устойчивость используются геометрические характеристики поперечного сечения бруса: площадь, осевые и полярный моменты инерции, осевые и полярный моменты сопротивления. Кроме того, при расчетах касательных напряжений при изгибе используются статические моменты сечения. Статические моменты и центробежные моменты инерции играют также вспомогательную роль при определении перечисленных выше геометрических характеристик. Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение бруса), связанную с координатными осями Оx и Оy (рис. 3.1). Рис. 3.1. Выделим элемент площади dA с координатами х, у. Площадь сечения равна сумме элементарных площадок A = ∫ dA (3.1) A Статическим моментом сечения относительно данной оси называется взятая по всей его площади A сумма (интеграл) произведений элементарных площадок dA на их расстояния до этой оси. Статические моменты площади сечения относительно осей x и y определяются по формулам: S y = ∫ xdA, A S x = ∫ ydA . (3.2) A Статические моменты выражаются в см3, м3. В зависимости от знаков коор- 80 динат они могут принимать положительные значения, отрицательные и равные нулю. Пусть xc и yc – координаты центра тяжести фигуры (рис.3.1). На основании теоремы Вариньона (из курса теоретической механики) можно записать: S y = Axc , S x = Ayc , (3.3) где А – площадь фигуры. Оси, проходящие через центр тяжести, называется центральными. В этом случае xc = 0 и yc = 0, тогда S x = S y = 0 . Следовательно, статические моменты относительно центральных осей равны нулю. Если сечение имеет сложную форму и его можно разбить на простейшие составные части (прямоугольники, треугольники и т.п.), площади и положение центров тяжести которых известны, то статический момент площади всего сечения относительно любой оси (рис. 3.2) равен алгебраической сумме статических моментов сечения составляющих фигур относительно той же оси: S x = A1 y1 + A2 y2 + ... An y n = ∑ S xi ; S y = A1 x1 + A2 x2 + ... An xn = ∑ S yi ; (3.4) Рис.3.2 По формулам (3.3) и (3.4) легко найти координаты центра тяжести сложной фигуры: ∑ S xi S , yc = x = A A ∑ i (3.5) S y ∑ S yi xc = = . A ∑ Ai Для симметричных сечений определение положения центра тяжести значительно упрощается. При наличии двух или более осей симметрии (прямо- 81 угольник, двутавр, круг и т.д.) центром тяжести является точка пересечения этих осей. Если сечение имеет одну ось симметрии (швеллер, равнополочный уголок и т.д.), то для определения положения центра тяжести необходимо найти только одну координату – вдоль оси симметрии. Пример. Определить положение центра тяжести сечения, изображенного на рис. 3.3. Решение Сечение симметрично относительно оси у. Следовательно, центр тяжести С лежит на этой оси, т.е. координата хс=0, и остается найти координату ус. Все размеры показаны на рисунке указаны в сантиметрах. Рис.3.3 Разбиваем фигуру на два прямоугольника: первый – с центром тяжести С1 и площадью A1 = 6 ⋅ 2 = 12 см2. Второй – с центром тяжести С2 и площадью A2 = 8 ⋅ 3 = 24 см2. За вспомогательную ось принимаем центральную ось первого прямоугольника х1. Тогда статический момент его площади S1x1 = 0 . Статический момент площади второго прямоугольника согласно формулам (3.3) составляет S 2 x1 = A2 yc 2 = 24(8 / 2 + 2 / 2) = 24 ⋅ 5 = 120 см3. Координата центра тяжести всего сечения согласно формулам (3.5): 82 yc = ∑ Sx ∑A 1 = S1x1 + S2 x2 A1 + A2 = 0 + 120 = 3,33см. 12 + 24 Положительное значение свидетельствует о том, что центр тяжести С лежит выше оси х1. Примечание. Заметим, что точка С лежит на прямой С1С2 соединяющей центры тяжести прямоугольников, и разбивает ее на отрезки обратно пропорциональные площадям: A2 CC1 = A1 CC2 24 3,33 = = 2. 12 1,67 или Моменты инерции сечений Осевым моментом инерции сечения относительно данной оси называется взятая по всей его площади A сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний до этой оси. Осевые моменты инерции относительно осей х и у равны (рис. 3.4). Рис.3.4 J x = ∫ y 2 dA, J y = ∫ x 2 dA . A (3.6) A Пусть ρ – расстояние элементарной площади до точки О (рис. 3.4). Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей его площади A сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний ρ до этой точки. Следовательно J p = ∫ ρ 2 dA . (3.7) A 83 Как видно из рисунка 3.4: ρ 2 = x 2 + y 2 , тогда J ρ = ∫ ( x 2 + y 2 )dA = ∫ x 2 dA + ∫ y 2 dA = J у + J х ; A A A Следовательно, (3.8) Jρ = J x + J y. Полярный момент инерции J ρ равен сумме осевых моментов инерции J x и J y , взятых относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей x и y, проходящих через полюс О. Отметим, что осевые и полярные моменты инерции всегда положительны. Центробежным моментом инерции сечения относительно осей координат x и y называется взятая по всей его площади A сумма произведений элементарных площадок dA на их расстояния до этих осей: J xy = ∫ xydA . (3.9) A Моменты инерции выражаются в см4, м4. В зависимости от положения осей центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Так, например, центробежный момент сечения, показано на рис. 3.5 а, относительно осей х и у положителен, так как сечение расположено в первом квадрате и значения координат х и у всех элементов положительны, а следовательно, и ∫ xydA положительны. Рис.3.5 Центробежный момент сечения (рис.3.5, б) расположенного во втором квадрате будет иметь отрицательное значение, так как координаты у всех элементов положительны, а координаты х – отрицательны. Для фигуры симметричной, например, относительно оси у (рис.3.5, в), каждой 84 положительной величине xydA соответствует такая же отрицательная величина, по другую сторону от оси симметрии и их сумма по всей площади фигуры равна нулю. Таким образом, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю. Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными осями инерции. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют главными центральными осями. Моменты инерции простых фигур Вычислим моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей x и y, параллельных его сторонам (рис. 3.6). Рис.3.6 Выделим элементарную площадку в виде узкого прямоугольника dA = b ⋅ dy . Подставляя значение dA в формулу (3.6) и интегрируя, получим 2 J x = ∫ y dA = A h2 ∫y −h 2 2 h2 2 bdy = 2b ∫ y dy = 2b y3 3 h2 = 2b h3 24 = bh 3 12 По аналогии можно вычислить J y и окончательно формулы для осевых моментов инерции относительно центральных осей имеют вид: Jx = bh3 12 ; Jy = hb3 12 . (3.10) Для осей x1 и y1, проходящих через основание, изменяя пределы интегрирова- 85 ния, получаем: y3 2 2 2 J x = ∫ y dA = ∫ y bdy = b ∫ y dy = b 3 A h h J x1 = bh 3 3 ; J y1 = hb 3 h 3 h 3 bh 3 =b = 3 3 (3.11) Центробежный момент инерции J xy = 0 , т. к. оси x и y являются осями симметрии. Вычислим полярный момент инерции круга относительно его центра (рис. 3.7). Выделим бесконечно тонкое кольцо, площадь которого равна dA = 2πρ dρ . y Рис. 3.7 Подставляя значение dA в выражение (3.7) и интегрируя, получим πr 4 πd 4 . J ρ = ∫ ρ dA = 2π ∫ ρ dρ = = 2 32 A O 2 r 3 (3.12) На основании выражения J ρ = J x + J y и в силу симметрии получим осевые моменты инерции круга: 1 πr 4 πd 4 J x = J y = Jρ = = . 2 4 64 (3.13) Полярный момент инерции кольцевого сечения (рис. 3.8) найдем как разность моментов инерции большого круга диаметром D и малого круга диаметром d: πD 4 πd 4 πD 4 − = (1 − α 4 ) . Jρ = (3.14) 32 32 32 86 Рис. 3.8 Осевые моменты инерции кольца: Jx = J y = 1 πD 4 (1 − α 4 ) . Jρ = 2 64 (3.15) Найдем момент инерции треугольника относительно оси x1, проходящей через его основание (рис. 3.9). Рис. 3.9 Разбиваем площадь фигуры на элементарные полоски, параллельные данной оси. Ширина полоски, находящейся на расстоянии у от оси x1: b( y ) = b Тогда площадь полоски: (h − y ) = b⎛1 − y ⎞ . h ⎜ ⎝ ⎟ h⎠ 87 y dA = b( y )dy = b(1 − ) ⋅ dy . h Подставляя dA в формулу (3.6) и интегрируя, получим h y 2 bh3 . J x1 = ∫ y dA = ∫ b(1 − ) y dy = 12 h A O 2 Окончательно bh3 J x1 = 12 . (3.16) bh 3 = . 36 (3.17) Относительно центральной оси J xC Для прокатных профилей (двутавры, швеллеры, уголки и т.д.) моменты инерции и другие геометрические характеристики находят в сортаменте (таблицы прокатных профилей, поставляемых металлургическими заводами в соответствии с требованиями ГОСТов). Моменты сопротивления Такие геометрические характеристики, как осевые и полярные моменты сопротивления сечения, используются при расчетах элементов конструкций на прочность при изгибе и кручении соответственно. Осевые моменты сопротивления: Wx = Jу Jx , Wу = y max xmax (3.18) Wx,Wy характеризуют сопротивляемость балки изгибу, измеряются в см3, зависят от формы и размеров сечения. Моменты сопротивления простых фигур по формуле (3.18): прямоугольник (рис. 3.10, а) bh 2 hb 2 bh 3 12 bh 2 = ; Wx = , аналогично W y = . Wx = 6 h2 6 6 (3.19) 88 Рис.3.10 Круг (рис. 3.10, б) πd 4 64 πd 3 W y = Wx = = ≈ 0,1d 3 . d 2 32 (3.20) Кольцо (рис. 3.10, в) πD 4 πd 4 πD 4 d Jx = − = (1 − α 4 ), где α = ; 64 64 64 D 4 4 3 J πD (1 − α ) πD = (1 − α 4 ). Wx = x = 32 y max 64 ⋅ D 2 (3.21) Обращаем внимание на то, что момент сопротивления подобного сечения нельзя считать как разность W = W1 − W2 , поскольку это противоречит самоJx му понятию W x как отношению . y max Для прокатных профилей значения W x и W y приведены в таблицах сортамента. Полярные моменты сопротивления Геометрическая характеристика сечения, называемая полярным моментом сопротивления, см3 или м3определяется по формуле: Wρ = Jρ (3.22) ρ max Вычислим полярный момент сопротивления Wρ = По формулам (3.13) и (3.14) имеем: Jρ ρ max для круга и кольца. 89 πd 4 Jρ = 32 и πd 4 (1 − α 4 ) , Jρ = 32 (3.23) d – отношение внутреннего диаметра к наружному (рис. 3.8). D Тогда моменты сопротивления для сплошного круглого сечения: где α = πd 3 Wρ = = , d 2 16 Jρ (3.24) для кольцевого сечения: πD 3 Wρ = = (1 − α 4 ) . d 2 16 Jρ (3.25) Определение геометрических характеристик сложных сечений, в том числе, моментов инерции, проводится с использованием формул «параллельного переноса», которые приведены в теме 3.2. Тема 3.2 Главные моменты инерции Графическое представление моментов инерции. Понятие о радиусе и эллипсе инерции Предположим, что известны моменты инерции J x , J y и J xy относительно центральных осей бруса заданного сечения (рис. 3.11, а). Требуется определить положение главных осей инерции и величину главных моментов инерции. Для определенности построения примем J x > J y и J xy > 0 . 90 Рис. 3.11 В геометрической плоскости (рис. 3.11, б) строим точки Dx и D y , соответствующие моментам инерции относительно осей x и y . Абсциссы этих точек являются осевыми моментами инерции: OK x = J x , OK y = J y ; ординаты – центробежные моменты инерции J xy , причем K x D x = J xy , K y D y = − J xy . Так как обе точки принадлежат одному диаметру, то соединив их, получим центр инерции C , из которого описываем окружность радиуса ⎛ Jx − Jy СD x = СD y = ⎜⎜ ⎝ 2 2 ⎞ 2 ⎟⎟ + J xy , ⎠ Пересекающую ось абсцисс в точках A и B . Очевидно, что абсциссы этих точек ( OA и OB ) являются искомыми главными моментами инерции J u и Jv . Для определения направления главных осей построим фокус круга инерции. Для этого из точек Dx и D y проводим линии, соответственно параллельно указанным осям, до пересечения с кругом в точке M . Соединив затем фокус с точками A и B круга, получим направление главных осей u и v (рис. 3.11, б). Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции: 91 J x = ∫ y 2 dF = Fi x2 , (3.26) F где i x – радиус инерции относительно оси x . Как следует из формулы (3.26), радиус инерции относительно осей x и y соответственно будут равны ix = Jx и iy = F Jy F . Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции iu = Ju и iv = F Jv . F Построим на главных центральных осях инерции плоской фигуры эллипс с полуосями, равными главным радиусам инерции, откладывая при этом вдоль оси u отрезки, равные iv , а вдоль оси v – iu (рис. 3.12). Рис. 3.12 Такой эллипс, называется эллипсом инерции, где радиус инерции относительно любой центральной оси x определяется как перпендикуляр OA , опущенный из центра эллипса O на касательную к нему, параллельную оси x . 92 Для получения точки касания достаточно провести параллельно данной оси x любую хорду. Точка пересечения эллипса с линией, соединяющей центр O и середину хорды, является точкой касания. Измерив отрезок OA = i x , находим момент инерции по формуле (3.26). Моменты инерции относительно параллельных осей Пусть известны моменты инерции J x , J y , J xy для фигуры площадью А (рис. 3.13) относительно осей х и у (исходные оси). Требуется определить моменты инерции относительно новых осей х1 и у1 параллельных исходным. Рис.3.13 Координаты площадки dA в новой системе координат: y1 = y + a, x1 = x + в, Где а и b – расстояния между исходными и новыми осями. Пользуясь общими выражениями моментов инерции (3.6) и (3.9), находим J x1 = ∫ y1 2 dA = ∫ ( y + a ) 2 dA = ∫ y 2 dA + 2a ∫ ydA + a 2 ∫ dA . A A A A A Аналогично для момента инерции J y1 . Зависимость для центробежного момента относительно осей x1 и y1 примет вид: J x1 y1 = ∫ x1 y1 dA = ∫ ( x + b)( y + a )dA = ∫ xydA + a ∫ xdA + b ∫ ydA + ab ∫ dA. A A A A A A Тогда с учетом (3.1), (3.2), (3.6) и (3.9) получим формулы моментов инерции 93 относительно параллельных осей: J x1 = J x + 2aS x + a 2 A, J y1 = J y + 2bS y + b 2 A, (3.27) J x1 y1 = J xy + bS x + aS y + abA. Напомним, что в формулах (3.27) геометрические характеристики S x , S y , J x , J y и J xy известны и определены относительно исходных осей х, у. Если эти оси центральные, то S x = S y = 0 , и формулы (3.27) упрощаются: J x1 = J x + a 2 A, J y1 = J y + b 2 A, (3.28) J x1 y1 = J xy + abA. Формулы (3.28) называют формулами перехода от центральных осей к осям, параллельным им или коротко формулами «параллельного переноса». Из этих формул следуют следующие определения: • Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между этими осями. • Центробежный момент инерции относительно произвольных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту относительно центральных осей плюс произведение площади сечения на расстояния между осями. Отметим, что при вычислении моментов инерции по формулам (3.28) расстояния a и b cледует брать с учетом знака в системе координат x1 и y1, Из формул (3.28) следует: из семейства параллельных осей минимальный момент инерции будет относительно центральной оси. Формулы 3.28 часто применяют для вычисления моментов инерции сложных фигур. Зависимости между моментами инерции при повороте осей Пусть известны моменты инерции J x , J y , J xy произвольного сечения относительно осей x и y (рис. 3.14). 94 Рис. 3.14 Повернем оси x и y на угол α против часовой стрелки по отношению к исходным осям. Найдем моменты инерции относительно повернутых осей x1 и y1. Координаты элементарной площадки dA в новых осях: x1 = x cos α + y sin α , y1 = y cos α − x sin α . Найдем момент инерции относительно оси x1: J x1 = ∫ y1 2 dA = ∫ ( y cos α − x sin α) 2 dA = ∫ y 2 cos 2 αdA − A A A − ∫ 2 xy sin α cos αdA + ∫ x 2 sin 2 αdA. A A Аналогично для J y1 и с учетом формул (3.6) и (3.9) окончательно получим: J x1 = J x cos 2 α + J y sin 2 α − J xy sin 2α (3.29) J y1 = J x sin 2 α + J y cos 2 α + J xy sin 2α Складывая почленно формулы (3.29), определяем: J x1 + J y1 = J x + J y = const . (3.30) Cумма осевых моментов инерции относительно любой пары взаимно перпен- 95 дикулярных осей, проходящих через одно начало координат, есть величина постоянная. Для центробежного момента относительно осей x1 и y1: J x1 y1 = ∫ x1 y1 dA = ∫ ( x cos α + y sin α)( y cos α − x sin α)dA = A A = sin α cos α( ∫ y 2 dA − ∫ x 2 dA) + (cos 2 α − sin 2 α) ∫ xydA A A A или после преобразований: J x1 y1 = Jx − Jy 2 sin 2α + J xy cos 2α . (3.31) По формулам (3.29), (3.31) находят моменты инерции при повороте осей на угол α . Практический интерес представляет поворот осей вокруг центра тяжести. Главные оси и главные моменты инерции Из вышеприведенных формул следует, что при повороте осей моменты инерции изменяются, но сумма осевых моментов остается постоянной. Следовательно, если относительно одной оси значение момента инерции будет наибольшим, то относительно другой – наименьшим. В этом случае центробежный момент относительно осей оказывается равным нулю. Главными центральными осями называются оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции относительно данных осей обладают свойствами экстремальности и называются главными центральными моментами инерции. Относительно одной главной оси момент инерции имеет наименьшее значение – J min , относительно другой – наибольшее J max . Будем обозначать главные оси буквами u и v. Докажем приведенное утверждение. Пусть оси x и y – центральные оси несимметричного сечения (рис. 3.15). Определим положение главных осей путем поворота центральных осей на угол α 0 , при котором центробежный момент становится равным нулю. J x1 y1 = J uv = 0 . 96 Рис.3.15 Тогда по формуле (3.31) J x1 y1 = Jx −Jy 2 sin 2α o + J xy cos 2α o = 0. Откуда tg 2α o = − 2 J xy Jx − Jy . (3.32) Формула (3.32) определяет положение главных осей, где α 0 – угол, на который нужно повернуть центральные оси, чтобы они стали главными. Отрицательные углы α 0 откладываются по ходу часовой стрелки от оси x. Теперь покажем, что относительно главных осей осевые моменты инерции обладают свойством экстремальности. Вычислим производную от выражения J x1 (формула 3.29) и приравняем ее к нулю: dJ x1 dα ⎛ dJ x1 ⎜ ⎜ dα ⎝ = −2 J x cos α sin α + 2 J sin α cos α − 2 J xy cos 2α; ⎞ ⎟ = −( J x − J y ) sin 2α o − 2 J xy cos 2α o = 0. ⎟ ⎠ α =α o (3.33) Сравнивая выражения (3.29) и (3.27) устанавливаем, что dJ x1 dα = −2 J x1 y1 = 0 . Таким образом, производная dJ x1 dα обращается в нуль, когда J x1 y1 = 0 , а это значит, что экстремальные значения имеют моменты инерции относительно главных осей u и v. Тогда главные центральные моменты инерции определяются по формулам: 97 J u = J x cos 2 α o + J y sin 2 α o − J xy sin 2α o 2 2 J v = J x sin α o + J y cos α o − J xy sin 2α o . (3.34) Если сложить почленно формулы (3.34), очевидно, J u + J v = J x + J y = const . Если исключить из (3.34) угол α 0 , то получим более удобную формулу для главных центральных моментов инерции: max J min = Jx + Jy 2 ± 1 2 ( J x − J y ) 2 + 4 J xy . 2 (3.35) Знак «+» перед вторым слагаемым в (3.35) относится к J max , знак «–» – к J min . Полезно иметь в виду частные случаи: 1 Если фигура имеет две оси симметрии, то оси являются главными центральными осями. 2 Для правильных фигур – равносторонний треугольник, квадрат, круг и т.п., имеющих более двух осей симметрии, все центральные оси являются главными, а моменты инерции относительно них равны между собой. Умение находить положение главных центральных осей и вычислять J max и J min необходимо для определения плоскости наибольшей жесткости сечения (след которой совпадает с осью J min ) при расчетах на изгиб (Раздел 5). Общий порядок определения главных центральных моментов инерции Пусть требуется найти положение главных центральных осей и вычислить относительно них моменты инерции для плоского сечения, состоящего из швеллера и полосы (рис. 3.16): Рис. 3.16 98 1. Выбирают вспомогательные оси – проводят произвольную систему координат xOy. 2. Разбивают сечение на простые фигуры и по формулам (3.5) определяют положение центра тяжести С относительно выбранных вспомогательных осей. 3. Через точку С проводят центральные оси xc и yc параллельно осям простых фигур. 4. Находят моменты инерции простых фигур относительно собственных центральных осей, используя таблицы сортамента (таблицы прокатных профилей, поставляемых металлургическими заводами в соответствии с требованиями ГОСТов) или по формулам, приведенным выше (пункт «Моменты инерции простых фигур»). 5. Определяют моменты инерции простых фигур относительно центральных осей сечения, используя формулы параллельного переноса (3.28). 6. Определяют центральные моменты инерции всего сечения как сумму соответствующих моментов простых фигур, найденных в пункте 5. 7. Вычисляют угол α 0 по формуле (3.32) и, поворачивая оси xc и yc на угол α 0 , изображают главные оси u и v. 8. По формулам (3.34) вычисляют J max и J min . 9. Делают проверку: а) J xC + J yC = J max + J min ; б) J max > J xC > J yC > J min , если J xC > J yC ; в) J uv = J xC − J yC 2 ⋅ sin 2α 0 + J xC yC ⋅ cos 2α 0 = 0 . Контрольные вопросы к разделу 3 1. Что такое статический момент сечения? 2. Дайте определение центральной оси сечения. 3. Дайте определение центра тяжести сечения. 4. Что такое осевые моменты инерции сечения? 5. Что такое центробежный момент инерции сечения? 6. Что такое полярный момент инерции сечения? 7. Что такое главные оси инерции сечения? 8. Дайте определение главных моментов инерции сечения. 9. Дайте определение радиусов инерции сечения. 10. Чему равен статический момент инерции составного сечения? 11. Чему равны моменты инерции составного сечения? 99 12. Какова размерность статического момента сечения? 13. Чему равен статический момент сечения относительно центральной оси? 14. По каким формулам определяются координаты центра тяжести сечения? 15. Для каких сечений при определении центра тяжести достаточно найти только одну координату? 16. Какова размерность моментов инерции сечения? 17. Чему равна сумма осевых моментов инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей? 18. Чему равен осевой момент инерции прямоугольника и равнобедренного треугольника относительно центральной оси, параллельной их основанию? 19. Чему равны осевые моменты инерции круга и кольца относительно центральных осей? 20. Какие оси называются главными и какие главными центральными осями? 100 Раздел 4 Сдвиг и кручение Тема 4.1 Сдвиг Чистый сдвиг Сдвиг – это такой случай нагружения, при котором в поперечном сечении возникает только поперечная сила Q . Q = ∫ τdA. (4.1) A Однородный чистый сдвиг можно получить нагружением пластины, захваченной в жесткие контурные шарнирно соединенные накладки (рис. 4.1, а). Рис. 4.1 Анализ напряженного состояния при чистом сдвиге Для всех точек пластины касательные напряжения τ будут равны τ= Q , A (4.2) где Q – сдвигающая сила; A – площадь сечения пластины; а касательные напряжения τ принимаем равномерно распределенными по сечению. На гранях выделенного прямоугольного элемента возникают только касательные напряжения (рис. 4.2, б). Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом. Посмотрим, как при чистом сдвиге изменяются напряжения в зависимости от ориентации секущих площадок. Выделим трехгранную призму DCB (рис. 4.1) и рассмотрим ее в равновесии (рис. 4.2). 101 Рис. 4.2 На грани DС возникают как касательные, так и нормальные напряжения. Проецируем все силы, действующие на элемент, на оси n и t. σα ⋅ DC = τ ⋅ DB ⋅ sin α + τ ⋅ BC ⋅ cos α, τα ⋅ DC = τ ⋅ DB ⋅ cos α − τ ⋅ BC ⋅ sin α, где DB = DC ⋅ cos α и BC = DC ⋅ sin α , получаем σ α = τ ⋅ sin 2α, τ α = τ ⋅ cos 2α. (4.3) При α = 0 и α = 900 напряжения σ α = 0, τ α =τ. При α = ± 450 напряжения τ α = 0, σ α = ± τ. Следовательно, на гранях элемента, повернутого на 450, будут обнаружены только нормальные напряжения, причем на одной паре граней они растягивающие, на другой – сжимающие (рис. 4.3). Рис. 4.3 Чистый сдвиг может быть представлен как одновременное растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям. 102 Закон Гука при чистом сдвиге Рассмотрим деформацию элемента со стороной а, закрепив одну грань (рис. 4.4). τ Рис. 4.4 Малый угол γ , на который изменяется первоначально прямой угол, называется углом сдвига или относительным сдвигом. Величину абсолютного смещения грани Δ a называют абсолютным сдвигом. Учитывая малость γ , можно записать: Δa = γ ⋅ a или γ = Δa . a (4.4) Деформация сдвига характеризуется изменением углов элемента, длина ребер не меняется (рис. 4.3, а). Из опытов на кручение трубчатых образцов из пластичной стали получают диаграмму сдвига в координатах τ − γ (рис. 4.5). В пределах упругих деформаций справедлива линейная зависимость: закона Гука при сдвиге τ = γG , или γ = τ G , (4.5) где G – модуль упругости материала при сдвиге (Па). Для стали G = 8⋅104 МПа. 103 Рис. 4.5 Для изотропного материала между E , G и ν , характеризующими упругие свойства, существует зависимость G= E . 2(1 + ν) (4.6) Перепишем (4.4) с учетом (4.5) и (4.2), получим закон Гука для абсолютного сдвига: Q⋅a Δa = , (4.7) G⋅A где G ⋅ A – жесткость бруса при сдвиге. Потенциальная энергия при чистом сдвиге Потенциальная энергия деформации рассматриваемого элемента равна работе касательных (сдвигающих) сил, приложенных к граням элемента: Q2a 1 W = U = Q ⋅ Δa = . 2 2GA (4.8) Объем элемента V, поэтому удельная потенциальная энергия: u= U Q2a Q 2a = = , V 2GA ⋅ a A 2GA2 a или с учетом (4.2) τ2 u= , 2G (4.9) 104 причем численно она равна площади треугольника на диаграмме сдвига (рис. 4.5). Понятие о срезе и смятии Срезом называют такой вид нагружения бруса, при котором в поперечном сечении возникает только поперечная сила Q. Деформация среза имеет место при действии на брус с противоположных сторон двух равных сил на близком расстоянии друг от друга (рис. 4.6, а). Рис. 4.6 Примером такого действия сил на брус может быть разрезание ножницами прутьев, полосы и т.п. Рассмотрим отсеченную часть I в равновесии (рис. 4.6, б), очевидно Q s = ∫ τ s dA. (4.10) A Принимая τ s равномерно распределенными по площади сечения A , будем иметь Q s = F = τ s ⋅ As , и условие прочности на срез принимает вид τs = Qs F = ≤ Rs ⋅ γ c , As As (4.11) где Q s – срезающая сила; As – площадь среза; R s – расчетное сопротивление материала срезу. Расчет на срез во многих случаях сопровождается расчетом на смятие. Смятие - это пластическая деформация, возникающая на поверхностях контакта. Условие прочности на смятие: σp = Np Ap ≤ Rp ⋅ γ c , (4.12) 105 где N p – расчетная сила смятия; Ap – площадь смятия; Rp – расчетное сопротивление материала смятию. Практические расчеты на срез и смятие Детали, служащие для соединения отдельных элементов машин или строительных конструкций – заклепки, штифты, болты и т.п., во многих случаях воспринимают нагрузки, перпендикулярные их продольной оси. В этом случае их рассчитывают на срез. На срез проверяют сварные швы (угловые), шпонки и деревянные врубки. Подробное изучение этих деталей и соединений производится в специальных курсах (детали машин, сварные, деревянные конструкции). В курсе СМ дается лишь самое элементарное представление о них, необходимое для выяснения методов расчета их на прочность. Расчеты носят условный характер и базируются на следующих допущениях: 1. В поперечном сечении возникает только поперечная сила Q. 2. Касательные напряжения τ распределены по площади сечения равномерно. Если соединение реализовано несколькими одинаковыми деталями (болтами и т. п.), то предполагается, что все они нагружены одинаково. Расчет заклепочных соединений Рассмотрим простейшие заклепочные соединения растянутых полос: внахлестку (рис. 4.7, а) и стыковое с помощью накладок (рис. 4.7, в). Чтобы проверить прочность этих соединений, надо представить все возможные случаи разрушения и для каждого записать условие прочности: 1. Срез заклепок; 2. Смятие заклепок; 3. Разрыв полос; 4. Срез полосы (выкалывание). 1. Срез заклепок происходит по сечениям m − k и m1 − k1 при взаимном сдвиге соединяемых полос под действием сил F (рис. 4.7, а). Заклепки могут срезаться по одной плоскости – это односрезные заклепки (рис. 4.7, а) или по двум и более плоскостям – это многосрезные заклепки (рис. 4.7, б). 106 Рис. 4.7 Условие прочности на срез имеет вид τs = Qs F = ≤ Rs ⋅ γ c , 2 A ∑ s n ⋅ ns ⋅ π d 4 (4.13) где Q s = F n – поперечная сила, приходящаяся на одну заклепку; ∑ As – суммарная площадь сечений, по которым срезается одна заклепка; n – число заклепок в нахлесточном соединении (рис. 4.7, а) или число заклепок, расположенных по одну сторону стыка с накладками (рис. 4.7, б); ns – число плоскостей среза одной заклепки; π d 2 4 – площадь среза одной заклепки; Rs – расчетное сопротивление материала заклепок срезу. Из условия (4.13) можно определить необходимый диаметр d заклепок, если задаться их числом: d≥ 4F , n ⋅ n s ⋅ π ⋅ Rc ⋅ γ c (4.14) или, задавшись диаметром заклепок, определить число заклепок: n≥ 4F n s ⋅ π ⋅ Rc ⋅ γ c ⋅ d 2 (4.15) 2. Смятие заклепок или полос происходит по поверхности их контакта (рис. 4.8, а). Фактическое распределение напряжений по этой поверхности весьма сложно. Поэтому ее условно заменяют проекцией поверхности контакта на диаметральную плоскость A p = t ⋅ d (рис. 4.8, б) и называют условной площа- дью смятия. 107 Рис. 4.8 Площадь смятия под средним листом A1 p = t1 ⋅ d , а под крайними листами A 2 p = t 2 ⋅ d (рис. 4.9, а). Смятие по этим площадям происходит в разных направлениях, но на каждую приходится одна и та же сила F . Поэтому за расчетную площадь надо принимать минимальную из указанных: A pmin = d ⋅ ∑ t min , (4.16) где ∑ tmin – наименьшая суммарная толщина листов, сминаемых в одном направлении. Условие прочности на смятие заклепок имеет вид σp = Np Ap min = F ≤ Rs ⋅ γ c n ⋅ d ⋅ ∑ tmin (4.17) где N p = F n – расчетная продольная сила, приходящаяся на одну заклепку; Rp – расчетное сопротивление материала соединяемых элементов смятию. На основании (4.17) получим: d≥ F n ⋅ ∑ t min R s ⋅ γ c . (4.18) Чтобы были удовлетворены условия прочности на срез и смятие, из двух найденных диаметров (4.14) и (4.18) следует взять больший, округлив его до стандартного значения. Примечание 1. Подобно заклепкам, на срез и смятие работают шарнирные болты в проушинах и болтовых соединениях обычного типа. Их расчет не отличается от расчета заклепочных соединений. 2. Иначе ведут себя высокопрочные болтовые соединения (применяемые в мостостроении). Их затягивают с помощью динамометрических клю- 108 чей до очень высоких растягивающих усилий, обеспечивающих очень плотное обжатие соединяемых частей, и силы трения между ними полностью воспринимают усилие, передающееся через соединение. Высокопрочные болты ни на срез, ни на смятие не работают. 3. Разрыв полос может произойти от растягивающих усилий по сечениям С-С, ослабленным заклепочными отверстиями (рис. 4.9, б). Рис. 4.9 Условие прочности на разрыв имеет вид σ= N F = ≤ R⋅γc , Anet (b − kd ) ⋅ t (4.19) где Anet = A − kdt – площадь опасного сечения полосы нетто; A = bt – площадь сечения брутто; k – количество отверстий в рассматриваемом сечении; t – толщина полосы; R – расчетное сопротивление материала полосы растяжению (сжатию). 4. Срез полосы (выкалывание) от центра отверстия до ее края (рис. 4.9, б). Расстояние l от центра первой заклепки до края полосы (рис. 4.9, а) принимают обычно равным удвоенному диаметру заклепки. При таком расстоянии прочность края полосы обеспечена, и специальный расчет не нужен. 109 Расчет на прочность соединений элементов деревянных конструкций Врубкой называется соединение элементов деревянных конструкций, в которых передача усилия от одного элемента к другому осуществляется путем плотного соприкасания примыкающих плоскостей. На рис. 4.10 показан пример лобовой врубки с одним зубом. Верхний, сжатый элемент упирается в специально устроенное гнездо в нижнем, растянутом. Скалывание дерева происходит вдоль волокон по площадке As . Рис. 4.10 Условие прочности на скалывание: τs = Q s N ⋅ cos α = ≤ R ⋅ γc , ls ⋅b As (4.20) где l s – длина площадки скалывания. Требуемую длину l s находят из условия (4.20). Смятие древесины происходит по площадке Ap . Условие прочности на смятие: σp = Np Ap = N ⋅ cos α ≤ R ⋅ γc , ho ⋅ b (4.21) где h0 – глубина врубки, которую находят из условия (4.21). При расчетах надо иметь в виду, что древесина, будучи материалом анизотропным, по–разному сопротивляется одним и тем же силовым воздействиям в зависимости от их направления по отношению к волокнам. 110 Тема 4.2 Кручение Основные понятия Кручение – вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент, обозначаемый M z или M к . Деформация кручения возникает при нагружении бруса парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны его продольной оси. Моменты этих пар будем называть скручивающими моментами и обозначать m (рис. 4.11). Рис. 4.11 Брус, работающий на кручение, называется валом. Кручению подвергаются валы двигателей, станков и машин, оси моторных вагонов и локомотивов, элементы пространственных конструкций. При расчете вала внешние скручивающие моменты могут быть выражены через мощность и угловую скорость (из курса теоретической механики) по формулам m= p ω или m = 9,55 p , n (4.22) где m [Н·м] – внешний скручивающий момент; P [Вт]– мощность; ω [рад/с] – угловая скорость; n – число об/мин. Если вал находится в состоянии покоя или равномерного вращения, то алгебраическая сумма всех скручивающих моментов равна нулю (рис. 4.11): m1 − m 2 + m3 − m 4 = 0 . (4.23) Задачи определения напряжений и деформаций при кручении методами СМ могут быть решены только для брусьев с круглыми сечениями, для брусьев с некруглыми сечениями такие задачи решаются методами теории упругости. Вычисление крутящих моментов. Построение эпюр 111 Если вал нагружен только двумя моментами, то из условия равновесия эти моменты всегда равны по величине и направлены в противоположные стороны (рис. 4.12, а). В других случаях крутящий момент определяют методом сечений. Вал рассекают плоскостью, мысленно отбрасывают одну часть, а ее действие на оставшуюся часть заменяют неизвестным крутящим моментом M к (рис. 4.12, б). Составляют уравнение равновесия для оставшейся левой части: ∑ mz = 0, ∑ miz + M к = 0, из которого и определяют значение момента: Mк = ∑ miz . (4.24) отс.ч. Крутящий момент, возникающий в произвольном сечении вала, численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к оставленной части. Рис. 4.12 Правило знаков: Условимся считать крутящий момент положительным, если внешний момент направлен против часовой стрелки при взгляде от сечения к любому концу вала. Тогда положительный крутящий момент (Mz) изображается по часовой стрелке (рис. 4.12, б). Например, для вала (рис. 4.12) крутящий момент в сечении I–I из равновесия: – левой части M z1 = m1 − m2 ; – правой части M z 2 = m4 − m3 . Оба эти значения равны между собой, что видно из равенства (4.23). 112 Заметим, что принятое правило знаков не имеет физического смысла. Оно необходимо при построении эпюр. Положительные значения M z будем откладывать вверх от базиса, отрицательные – вниз. Иногда на вал действует распределенная моментная нагрузка интенсивности mz (рис. 4.13, а). Вырежем малый элемент dz (рис. 4.13, б). б а Рис. 4.13 Действие левой и правой отброшенной части вала заменим крутящим моментом, причем справа он имеет приращение dM z . Составим уравнение равновесия: ∑ mz = 0 , M z − m z dz − ( M z + dM z ) = 0 , Откуда dM z = mz dz . (4.25) Производная крутящего момента по абсциссе сечения равна интенсивности распределенной моментной нагрузки. Пример. Построить эпюру крутящих моментов для вала (рис. 4.14, а). Скручивающие моменты изображены в виде двух кружочков: кружочек с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, а кружочек с крестиком - силу от наблюдателя. Решение: Разбиваем вал на два участка: I и II. I участок, 0 ≤ z1 ≤ 3a; M1 = лев. ∑ mi = m − mz1 ; (линейный закон) z1 = 0, M 1 = ma; z1 = 3a, M 1 = −2ma; 113 II участок 0 ≤ z 2 ≤ 2a; M2 = прав. ∑ mi = −2ma, (const ). По полученным значениям строим эпюру M z (рис. 4.14, б). Рис. 4.14 Для проверки используем зависимость (4.25). Вычислим первые производные на каждом участке: dM 1 dM 2 = 0. = −m , dz dz Отсюда следует, что на I участке должна действовать распределенная моментная нагрузка m , а на II она отсутствует (рис. 4.14, а). Напряжения при кручении круглого бруса Представление о характере деформации кручения можно получить, подвергая скручиванию модель бруса с нанесенной на его поверхность сеткой продольных и поперечных линий. После закручивания продольные линии превращаются в винтовые (рис. 4.15). Поперечные линии не искривляются, и расстояние между ними не меняется. Прямоугольники, образованные сеткой, перекашиваются за счет изменения первоначально прямого угла на малый угол γ . Брус радиусом r (рис. 4.16) скручивается моментом m . Образующая DL после кручения перейдет в положение DL′ . Сечение I–I повернется на угол ϕ , а сечение II–II на угол ϕ + dϕ . Следовательно, сечение II–II по отношению к I–I повернется на угол dϕ . 114 Рис. 4.15 Рис. 4.16 В результате наблюдений приходим к следующим гипотезам, на которых основана теория круглых валов: 1. Сечения, плоские до закручивания, остаются плоскими и после закручивания (гипотеза Бернулли); 2. Все радиусы данного сечения остаются прямыми и поворачиваются на один и тот же угол ϕ 1 (рис. 4.16), т.е. каждое сечение поворачивается вокруг оси z как жесткий тонкий диск; 3. Расстояния между сечениями не меняются, значит, продольные волокна не удлиняются и не укорачиваются, т.е. l = const . На основании принятых гипотез кручение круглого бруса можно представить как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом сечений друг относительно друга. Вследствие этого в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. Для их определения рассмотрим три стороны задачи. Статическая сторона задачи выражается интегральным уравнением равновесия: M z = ∫ τρdA , (4.26) A т.е. крутящий момент M z представляет собой результирующий момент внутренних касательных сил τ ⋅ dA , действующих на бесконечно малых площадках сечения (рис. 4.17): ρ – плечо элементарной силы относительно продольной оси точки О. 115 Рис. 4.17 Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Выделим из бруса элемент dz (рис. 4.16) и рассмотрим картину деформирования, приняв левое сечение условно неподвижным (рис. 4.18). Рис. 4.18 Радиус ОВ вместе с сечением поворачивается на угол dφ , а образующая CK произвольной точки K переходит в положение СК1, поворачиваясь на угол γ . Дуга KK1 = ρ ⋅ dϕ , а из треугольника СКК1 отрезок KK1 = γ ⋅ dz . Из равенства ρ ⋅ dϕ = γ ⋅ dz получим выражение угла сдвига на поверхности скручивания элемента, т.е. геометрическое уравнение, γ =ρ dϕ . dz Физическая сторона задачи определится законом Гука при сдвиге (4.5): (4.27) 116 γ= τ G или τ = γ ⋅ G . (4.28) Проведем синтез трех сторон задачи. Формула (4.28) с учетом (4.27) принимает вид τ = γ ⋅G = G ⋅ρ dϕ dz . (4.29) Подставляя (4.29) в (4.26), имеем: M z = ∫ Gρ A dϕ 2 dϕ ⋅ ρdA = G ∫ ρ dA , dz A dz (4.30) где интеграл ∫ ρ 2 dA = J ρ − полярный момент инерции сечения. A Из (4.30) следует: dϕ M z = . dz GJ ρ (4.31) С учетом (4.31) формула (4.29) принимает окончательный вид τ= Mz ⋅ρ. Jρ (4.32) По формуле (4.32) определяются касательные напряжения в любой точке поперечного сечения вала. По закону парности такие же касательные напряжения возникают в продольных сечениях (рис. 4.19, а), и прямоугольный элемент испытывает состояние чистого сдвига (рис. 4.19, б). Анализ формулы (4.32) показывает: 1. Касательные напряжения τ распределены вдоль радиуса по линейному закону (рис. 4.19); 2. В каждой точке напряжения τ перпендикулярны текущему радиусу; τ = 0 в центре круга ( ρ = 0); 3. 4. Максимальные напряжения возникают в крайних точках сечения: τ max = Mz ⋅ ρ max , Jρ (4.33) 117 Рис. 4.19 или τ max = где Wρ = Mz , Wρ (4.34) Jρ – геометрическая характеристика сечения, называемая полярρ max ным моментом сопротивления, см3 или м3. Общий вид эпюр крутящих моменты и углов закручивания вала Скручивающая нагрузка в общем виде. Кручение бруса возникает от воздействия сосредоточенных и распределённых моментов относительно его оси. Для удобства расчёта введём понятие унифицированной схемы ступенчатого вала: пусть в начале каждого грузового участка приложен сосредоточенный момент Мi , и по всему участку действует распределённый момента интенсивности mi. Например, на рис. 4.20 приведена унифицированная схема ступенчатого вала с двумя участками. Для моментов используем известное правило знаков: при взгляде от заделки внешние положительные моменты направлены против хода часовой стрелки, такое направление показано на схеме вала. Чтобы упорядочить расчёт реального вала, внешние моменты нужно задавать числами со знаком, как это будет выполнено ниже. Предлагаемая схема вала позволяет получить формулу для крутящих моментов и углов закручивания в общем виде, представить общий вид эпюр при кручении и хорошо демонстрирует их особенности. 118 Рис.4.20 Унифицированная схема 2-х ступенчатого вала Формула для вычисления крутящих моментов, общий вид их эпюр и закономерности. Значения внутренних крутящих моментов Мк вычисляем методом сечений, выполняя последовательно правило РОЗУ (Разрезать, Отбросить, Заменить, Уравновесить). Рассмотрим вычисление крутящих моментов для двухступенчатого вала, представленного на рис. 4.20. В текущем сечении 1-го участка изобразим внутренний крутящий момент Мк, действующий по часовой стрелке (это общепринятое положительное направление). Запишем уравнение равновесия отсечённой части при кручении: сумма моментов относительно оси вала равна нулю, т. е. ∑ мом z= 0. 1 1 M кр − m1 z1 − M1 = 0 , отсюда M кр = m1 z1 + M1 . 1 Вычислим значения M кр в начале участка (при z1=0) и в конце участка (при z1=l1). Получим 1 1 M кр (0) = M1 и M кр (l1 ) = M1 + m1l1 . Рассуждая аналогично для 2-го участка, получим в текущем сечении, удалённом от его начала на расстоянии z2, 119 1 M кр2 = M кр (l1 ) + M 2 + m2 z2 . В начале участка (при z2 = 0) и в конце (при z2 = l2) имеем M кр2 (0) = M1 (l1 ) + M 2 и M кр2 (l2 ) = M1 (l1 ) + M 2 + m2l2 . По этим значения построим эпюру Мк в общем виде (см. рис. 4.20). Она будет нарастающей от свободного края по линейному закону. По ней хорошо прослеживаются особенности эпюры крутящих моментов. Подставляя цифровые значения моментов реального вала, можно получить для него эпюру Мк. Для компактного представления изложенной методики вычисления крутящих моментов можно изобразить только один грузовой участок вала (рис. 4.21), это любой участок вала, который представляем по унифицированной схеме. Тогда запишем для крутящего момента общую формулу i M кр = MM i + mi zi (4.35) где MM i − значение крутящего момента в начале i-го участка. Можно сказать, что любой участок вала или одноступенчатый вал можно представить такой унифицированной схемой, как показано на рис. 4.21, и использовать одну и ту же формулу для крутящего момента (4.35). Рассмотрим пример вычисления крутящего момента (рис. 4.22). Здесь для левого вала M=1,2 кН·м, m= -8 кН·м /м Запишем крутящий момент по (4.35). Рис. 4.21 Унифицированная схема грузового участка ступенчатого вала 120 Получим M кр = 1,2 + ( −8) ⋅ z . Вычислим значения момента в начале и в конце вала: при z = 0 M кр = 1,2 кН·м, при z = 0,2 м M кр = −0,4 кН·м. Рис. 4.22 Эпюры крутящих моментов и углов закручивания Отложив полученные значения от базисной линии, проведём согласно с линейной функцией (4.35) прямую линию эпюры крутящих моментов. Формула для вычисления углов закручивания вала, общий вид их эпюр и закономерности. Для нахождения углов закручивания сечений нужен угол закручивания i-го участка Δϕi , который с учётом (4.35) принимает выражение li Δϕ i = ∫ i M кр G ⋅ JRi ( MM ⋅ l + m ⋅ l 2 ) . dz = i i G ⋅ JRi i 2 i (4.36) Реальный угол закручивания свободного края φ11 (это первое сечение на 1-м участке) является суммой угловых деформаций всех участков (рис. 4.25): i =n φ11= ∑ Δ φi. i =1 Записанные формулы позволяют вычислить углы закручивания любого сечения унифицированного вала (рис. 4.21) и построить эпюру углов закручивания ϕ, она будет нарастающей от заделки по кривой 2-го порядка. Подставляя цифровые значения моментов и размеры реального вала, можно получить углы закручивания и эпюры для реального вала. 121 Поясним вычисление углов закручивания на примере (см. рис. 4.24). Свободный край вала получил угловую деформацию, равную углу закручивания всего вала, который найдём по (4.36): ϕ11=Δϕ = 1 0,08 ⋅ (1,2 ⋅ 0,2 + ( −8) ⋅ 0,2 2 / 2) = . G ⋅ JR G ⋅ JRi Заметим, что наклонная прямая на эпюре Мк пересекает ось на расстоянии z0 от начала участка. В этом сечении Мк=0, а значение угла ϕ экстремально. Найдём величину z0 по (4.35): z0 = MM qi i = 12 = 0,15 , 80 и угловую деформацию всего участка z0 по (4.36): Δϕ0= ( MM ⋅ z i + mi ⋅ z0 2 2 ) G ⋅ JR = 1 0,09 ⋅ (1,2 ⋅ 0,15 + ( −8) ⋅ 0,152 / 2) = G ⋅ JR G ⋅ JRi . Значение экстремального угла ϕэ в сечении z=z0 равно разности ϕэ=ϕ11-Δϕ0= = 0,8 0,9 0,1 − =− G ⋅ J R G ⋅ JR G ⋅ JR Откладывая полученные значения, изобразим на рис. 4.23 для рассматриваемого вала эпюру ϕ. Подводя итог рассмотрения унифицированной схемы вала, можно отметить простоту вычислений и построения эпюр. Расчеты на прочность Полярный момент сопротивления для круга и кольца соответственно (рис. 4.20, а, б): πd 4 πd 4 Jρ = Jρ = (4.37) и (1 − α 4 ) , 32 32 d где α = . D 122 Рис. 4.23 Тогда моменты сопротивления для сплошного сечения (рис. 4.23, а): πd 3 Wρ = = , d 2 16 Jρ (4.38) для кольцевого сечения (рис. 4.23, б): πD 3 Wρ = = (1 − α 4 ) . d 2 16 Jρ (4.39) При проектировании валов машин и механизмов расчет ведется по допускаемым напряжениям: τ max = Mz ≤ [τ] , Wρ (4.40) где M z – нормативный крутящий момент без учета перегрузок; [τ ] – допускаемое напряжение материала. При подборе сечения вала из (4.40) выражают требуемый момент сопротивления: M Wρ = z , [τ] затем в соответствии с (4.38) или (4.39) находят требуемый диаметр, например, сплошного вала: d ≥3 16M z . π[τ] 123 Условия (4.37) и (4.40) позволяют решать три основные задачи прочности: проверка прочности, проектный расчет и определение несущей способности. Остановимся на сравнительной оценке валов сплошного и кольцевого (полого) сечения. Из эпюры τ для сплошного сечения (рис. 4.23, а) видно, что материал вблизи оси мало нагружен и удаление его снижает затраты материала, облегчает вес вала, при этом τmax возрастает незначительно. Если валы равнопрочны, то вес полого вала почти в два раза ниже веса сплошного. Это свидетельствует о рациональности применения полых валов, что широко используется в моторостроении. Определение углов закручивания. Расчет на жесткость Из соотношения (4.31) находим: dϕ = M z dz , GJ ρ (4.41) где GJ ρ – жесткость сечения при кручении. После интегрирования (4.41) получим взаимный угол закручивания двух сечений, расположенных на расстоянии l . l Mz dz . GJ ρ ϕ=∫ (4.42) Если на участке M z = const и GJ ρ = const , то после интегрирования получаем в радианах: M l ϕ= z . (4.43) GJ ρ Полный угол закручивания вала определяется суммированием по участкам. Для оценки жесткости вала используют относительный угол закручивания ( θ ), который является мерой деформации при кручении. Из (4.41) получаем: θ= Условие жесткости вала: Mz . GJ ρ (4.44) 124 θ= Mz ≤ [θ] GJ ρ (4.45) или θ max = M z 180 ⋅ ≤ [θ] , GJ ρ π (4.46) где θmax – наибольший относительный угол закручивания, рад/м; θ 0max – то же, град/м; [θ ] – допускаемый относительный угол закручивания, зависит от на- [ ] значения вала и обычно лежит в пределах θ 0 = 0,15 ... 2 град/м. Выражения (4.45) и (4.46) служат для непосредственной проверки жесткости вала, проектного расчета и определения допускаемого крутящего момента. При подборе сечения вала из (4.45) или (4.46) выражают момент инерции: Mz Jρ = , G[θ] затем с учетом (4.35) находят требуемый диаметр, например, сплошного сечения: 32M z d≥ . πG[θ] Из двух диаметров вала, полученных из условия прочности (4.40) и из условия жесткости (4.45), принимается большее значение. Потенциальная энергия при кручении Для определения характеристик прочности и изучения характера разрушения проводят испытания на кручение образцов из различных материалов. Для пластичных материалов диаграмма кручения подобна диаграмме растяжения (тема 2.3). Работа, затрачиваемая на кручение в пределах упругих деформаций, равна количеству потенциальной энергии, накопленной в брусе, и вычисляется как площадь треугольника на диаграмме кручения. W =U = С учетом (4.43) имеем: 1 M z ⋅ ϕ. 2 125 M z2 ⋅ l U= . 2GJ ρ (4.47) Анализ напряженного состояния и разрушения при кручении При кручении касательные напряжения τ возникают как в поперечных, так и в продольных сечениях, а элемент бруса испытывает чистый сдвиг. При чистом сдвиге по площадкам, наклоненным под 45º к оси бруса, действуют растягивающие и сжимающие нормальные напряжения σ (рис. 4.3.) Поэтому характер разрушения вала будет зависеть от способности материала сопротивляться действию τ и σ . Трещины разрушения деревянного вала ориентированы вдоль образующей, т.к. древесина плохо сопротивляется τ вдоль волокон (рис. 4.24, а). Если материал плохо сопротивляется растяжению (например, чугун), то трещины разрушения пойдут по винтовым линиям, касательные к которым образуют угол 45º с осью бруса (рис. 4.24, б). Рис. 4.24 Стальные валы разрушаются по поперечному сечению от касательных напряжений (рис. 4.24, в). Статически неопределимые задачи при кручении 126 Методику раскрытия статической неопределимости при решении задач на кручение разберем на примере статически неопределимого ступенчатого вала, нагруженного внешними скручивающими моментами. Пример 4.1 Стальной ступенчатый вал заданной конфигурации имеет жёсткие защемления с торцов. Известны внешние скручивающие моменты: M = 1,25 ml , m = 1,2 кН·м/м; длина l = 0,2 м. Требуется: Используя уравнение равновесия и уравнение перемещений, найти величины реактивных моментов, возникающих в жёстких заделках и построить эпюру крутящих моментов M к . Решение: 1. Нахождение реактивных моментов. Обозначим реактивные моменты, возникающие в жёстких заделках, как M A и M C (рис. 4.25, а). Их величины должны удовлетворять уравнению равновесия всего вала, которое при кручении записываем по (4.24) как M A − M + MC = 0 (4.48) Как видно, это уравнение содержит два неизвестных M A и M C , поэтому вал является статически неопределимым. Для нахождения M A и M C необходимо составить еще одно уравнение – уравнение перемещений. При кручении уравнение перемещений записывают через углы закручивания участков Δϕ . Данный вал состоит из двух участков, поэтому Δϕ 1 + Δϕ 2 = 0 , (4.49) где выражения (4.41) для Δϕ 1 и Δϕ 2 при M к = const по участку вала принимает вид M l Δϕ = к , (4.50) GI ρ где M к – крутящий момент на рассматриваемом участке; G – модуль упругости второго рода или модуль сдвига; I ρ – полярный момент инерции сечеπd4 , для кольцевого ния; l – длина участка вала. Для круглого сечения I ρ = 32 πd4 сечения I ρ = 1 − c 4 , где c = 0,5 – соотношение внутреннего и внешнего 32 диаметров. И так, величины реактивных моментов найдём, используя уравнение равновесия (4.48) и уравнение перемещений (4.49). ( ) 127 Для участков вала (рис. 4.25, б) из уравнения равновесия отсечённых частей вала найдём выражения крутящих моментов и запишем по (4.50) углы закручивания. M к1 = M A ; M к2 = M A − M ; Δϕ 1 = M к 1 ⋅ l1 GI ρ 1 = M к 2 ⋅ l 2 (M A − M ) ⋅ l M A ⋅ 2l = ; Δϕ 2 = . GI ρ 1 GI ρ 2 GI ρ 2 Рис. 4.25 128 Здесь полярные моменты инерции сечения участков принимают значения Iρ 1 = π d14 32 (1 − c ) = 4 π d4 32 (1 − c ); I 4 ρ 2 4 π d 24 π (0,7 d ) = = . 32 32 Подставляя найденные величины в (4.47), получим уравнение перемещений в виде M A ⋅ 2 l ⋅ 32 M A − M ⋅ l ⋅ 32 + = 0. 4 4 4 G ⋅ π⋅ d ⋅ 1− c G ⋅ π ⋅ (0,7 d ) ( ( ) ) Вычислим из этого уравнения реактивный момент M A . ( ) MA ⋅2 MA − M + = 0, 1 − c4 (0,7 )4 ( ( ) ) или 2,133 M A + 4,165 M A − M = 0 ,.. 6,298 M A − 4,165 M = 0 , отсюда MA = 4,165M = 0,661M = 0,661⋅1,25ml = 0,826ml = 0,826⋅1,2 ⋅103 ⋅ 0,2 = 198,4 Н⋅ м . 6,298 Второй реактивный момент можно не вычислять, его значение получится при построении эпюры крутящих моментов. 2. Построение эпюры крутящих моментов. Подставив найденный момент M A в выражения крутящих моментов по участкам, получим: M к1 = M A = 0,826 ml = 198,4 Н ⋅ м ; M к2 = M A − M = 0,826 ml − 1,25 ml = −0,424 ml = −0,424⋅1,2 ⋅103 ⋅ 0,2 = = −101,6 Н ⋅ м . Откладывая эти значения от базисной линии на рис. 4.25, в, построим эпюру крутящих моментов M к . Состояние текучести, понятие о разрушающем моменте и предельном состоянии Согласно условия прочности при кручении круглого вала наибольшие касательные напряжения τ max возникают у поверхности вала (рис. 4.26, а). 129 Рис. 4.26. Эпюры касательных напряжений Пусть крутящий момент M K увеличим до опасного значения M т (рис. 4.26, б), при котором τ max достигло предела текучести τ max = τ т . У поверхности вала, выполненного из пластичного материала начнется текучесть. Если и далее увеличивать момент, то текучесть распространится вглубь материала и при достижении разрушающего момента M Р текучесть охватит всё сечение вала (рис. 4.26, в). Вал достигнет своего предельного состояния, при котором всё сечение подвержено текучести материала и деформация закручивания растет с большой скоростью, вал исчерпает свою несущую способность. Найдем значение M р = ∫ τ т ⋅ ρdA = τ т ∫ ρdA = τ тWп , A (4.51) A где Wп = ∫ ρdA – пластический момент сопротивления при кручении. Для A круглого сечения выделим элементарную площадку dA в виде кольца толщикр ной dρ и вычислим для круглого сечения WП : WП кр ρ3 2 = ∫ ρ ⋅ 2πρdρ = 2π ∫ ρ dρ = 2π ⋅ 3 d 2 d 2 d 2 πd 3 = 12 (4.52) Сравним эту величину с полярным моментом сопротивления Wx кр πd 3 = . По16 πd 3 12 4 лучим увеличение момента сопротивления сечения в = = 1,333 раза. πd 3 16 3 Итак, разрушающий момент для кругло сечения равен M р кр = τ т ⋅ πd больше опасного значения M т = τ тWxкр = τ т ⋅ πd 3 16 в 1,333 раза. 3 12 и 130 Условие прочности по несущей способности Метод расчета, основанный на понятии разрушающего момента M р , назван расчетом по несущей способности, т. к. при достижении M n вал теряет несущую способность. Значение M р определяется формулой (4.51), при этом для круглого сплошного сечения Wп кр вычисляется по формуле (4.52), а для кольцевого сечения Wп кольца можем найти интегрированием от d вн 2 до d 2 . Расчет тонкостенных стержней открытого и закрытого профиля Тонкостенными называют стержни, длина которых значительно превышает размеры поперечного сечения (в 8–10 раз), а в поперечном сечение один размер значительно больше другого (габаритный размер l в 8–10 раз превышает толщину δ ) (рис. 4.27). Рис. 4.27. Примеры тонкостенных стержней Замечательное свойство таких конструкций в том, что при малом весе они имеют высокую жесткость и достаточную прочность. Благодаря этим показателям такие конструкции широко применяются в технике: элементы мостовых кранов, вагонов, оболочки самолетов, ракет, тележек и т. д. Основателями теории тонкостенных стержней можно считать С.П. Тимошенко, В.З. Власова. Тонкостенные стержневые конструкции имеют особую расчетную схему – схему тонкостенного стержня, который рассматривается как брус и при этом формулы сопротивления материалов для внутренних усилий и напряжений применимы для них. Но с другой стороны, в силу геометрических особенностей поперечные сечения имеют особые законы распределения напряжений и деформаций, отличные от классического бруса постоянного сечения и более близкие к теории оболочек. 131 Рассмотрим кручение стержня закрытого профиля (рис. 4.27, б). Толщина профиля может быть переменной по контуру (рис. 4.28, а). Рис. 4.28 Чтобы установить закон изменения касательных напряжений по толщине δ , выполняют эксперименты, например, используют метод пленочной (мембранной) аналогии либо метод жидкостной аналогии. Опытным путем установлено, что при кручении напряжения τ по толщине сечения постоянны и величина их зависит от толщины δ . Выделим часть стержня длиной по контуру dS и длиной вдоль оси dz . Воспользуемся уравнением равновесия: ∑ пр z = 0 : τ1 ⋅ δ1 ⋅ dz = τ2 ⋅ δ 2 ⋅ dz , τ1 ⋅ δ1 = τ2 ⋅ δ 2 = τ ⋅ δ = const . Так, в сечении 1–1 при толщине δ1 напряжения τ1 = const , в сечении 2–2 имеем τ2 < τ1 . Там, где толщина сечения δ max получим τmin , и наоборот минимальной толщине δ min соответствует максимальное касательное напряжение τ max . Тогда τmax ⋅ δ min = const (рис. 4.29). Рис. 4.29 Возьмем следующее уравнение равновесия стержня 132 ∑ mom z = 0 : M К = ∫ τ ⋅ δ ⋅ OA ⋅ dS , F M К = τ ⋅ δ ⋅ ∫ OA ⋅ dS = τ ⋅ δ ⋅ 2 A . * F где ∫ OA ⋅ dS дает удвоенную площадь A* , ограниченную средней линией. ТеF перь запишем наибольшие касательные напряжения τ max , возникающие при δ min : MК . (4.53) δ min ⋅ 2 F * Для получения угла закручивания воспользуемся потенциальной энергией. 1 τ2 Удельная энергия u = . В объеме материала стержня dz × dS × δ (рис. 2G 4.29). Имеем du = u ⋅ dz ⋅ dS ⋅ δ . Потенциальная энергия стержня U = ∫ ∫ du . Поτmax = l S сле подстановки u , получим l ⋅ τ2 ⋅ δ2 dS =∫ u= . 2G S δ (4.54) dS , которая является конδ S турным интегралом и вычисляется для заданного контура профиля. С другой стороны, энергия U может быть записана через внешний крутящий момент M = M К и угол закручивания ϕ : Здесь появилась геометрическая характеристика ∫ 1 U = M Кϕ. 2 Приравнивая выражения (4.53) и (4.54) и приняв τδ = для вычисления угла закручивания ϕ : ϕ= M К l dS . ⋅∫ 2GA* S δ Рассмотрим кручение открытого профиля (рис. 4.30). MК , получим формулу 2 A* 133 Рис. 4.30 Экспериментальным путем было получено, что распределение τ по высоте (толщине) сечения δ линейно. В случае конфигурации профиля, когда возможно развернуть его в длинный прямоугольник постоянной толщины (рис. 4.30, а), можно записать касательное напряжение τ max по теории кручения стержня прямоугольного сечения: τ max = При соотношении MК . α ∑ bδ 2 1 3M К b > 10 будет α = , тогда τ max = , а угол закручива2 δ 3 b δ ∑ 3M К l . G ∑ bδ3 Если толщина δ ≠ const по контуру профиля или сечение не развёртывается в прямоугольник (рис. 4.30, б), то необходимо распределить крутящий момент i M К по отдельным участкам толщины δi с моментом M К так, чтобы угол закручивания был бы один и тот же для всех участков. Тогда получим ния ϕ = n MК = ∑MК и MК i =1 i i Gbi δ3i = ⋅ϕ. 3l G n ⋅ ∑ bi δ3i и теперь можно записать формулу для нахождения 3l i=1 угла закручивания в этом случае: Отсюда M К = 134 ϕ= 3M К l n G ∑ bi δi 3 . (4.55) i =1 i i 3M К 3M К l ϕ = Для каждого участка толщиной δi получим τi = и . 2 3 bi δi Gbi δi i Выразив из формулы (4.55) величину M К и подставив в выражение для τi , получим τi = ϕG δi . l Для расчетов на прочность необходимо знать значение τ max , которое возникает при самой большой толщине δ max , поэтому τmax = ϕG δ max . l С учетом выражения (4.55), получим в окончательном виде формулу для нахождения максимального напряжения: τmax = 3M К n ∑ bi δi 3 δ max . i =1 Эта формула удобна для расчетов профиля с переменно толщиной стенки. Контрольные вопросы к разделу 4 1. Какой вид нагружения называется кручением? 2. Как определяется полный угол закручивания на участке длиною l ? 3. Что называется относительным углом закручивания? 4. На каких положениях основана теория кручения стержней, имеющих сплошное круглое или кольцевое сечение. 5. Какие напряжения возникают при кручении стержней и как они определяются? 6. Какой вид имеет эпюра касательных напряжений? 7. Существуют ли касательные напряжения в продольных сечениях стержня при его кручении? 135 8. Записать формулу для определения касательных напряжений при кручении стержня круглого поперечного сечения. 9. Что называется жесткостью сечения при кручении? 10. Записать условие прочности при кручении стержня. 11. Записать условие жесткости при кручении. В каких случаях его применяют? 12. Равен ли полярный момент сопротивления кольцевого сечения разности полярных моментов наружного и внутренних кругов? 13. Что называется полярным моментом сопротивления, в каких единицах он измеряется и чему равен (для круга и кольца). 14. Как разрушаются стальные и чугунные образцы при кручении? 15. Какие поперечные сечения стержня считают рациональными при кручении? 16. Укажите характер распределения напряжения в тонкостенном брусе открытого и закрытого профиля по толщине стенки. 17. В чем состоит закон парности касательных напряжений? 136 Раздел 5 Плоский изгиб Тема 5.1 Расчеты балок на прочность и жесткость Основные определения. Плоский изгиб Изгиб – такой вид деформирования бруса, при котором в поперечном сечении возникает изгибающий момент. Прямолинейный брус, работающий на изгиб, называют балкой. Изгиб вызывают силы, перпендикулярные продольной оси z, или пары сил, лежащие в плоскостях, проходящих через ось z (5.1, a). Сама ось z, прямолинейная до деформации, при изгибе становится кривой линией. При этом волокна, расположенные в выпуклой части изогнутой балки, растягиваются, а в вогнутой – сжимаются. Чистый изгиб имеет место, если в сечении возникает только изгибающий момент (рис. 5.1, а), поперечный изгиб – если одновременно с моментом возникает поперечная сила (рис. 5.1, б). Если все нагрузки располагаются в одной силовой плоскости, то изгиб является плоским (рис. 5.2, а), если нагрузки в разных продольных плоскостях, то изгиб будет пространственным (рис. 5.2, б). Рис. 5.1 Если силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей инерции (например, zOy), то изгиб является прямым (рис.5.1, а), если силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных плоскостей, то изгиб будет косым (рис. 5.2, б). Виды опор балок 137 Рассмотрим балки, поперечные сечения которых имеют вертикальную ось симметрии. Для того чтобы балка воспринимала нагрузку и передавала ее на другие части конструкции или на основание, она должна иметь опорные устройства. В зависимости от способа крепления различают три основных типа балок (рис. 5.2, а- в): 1. Двухопорная балка (одна опора - шарнирно-неподвижная, другая – шарнирно – подвижная; расстояние между опорами l называется пролетом балки). 2. Консоль (один конец жестко защемлен; длина балки a – вылет консоли). 3. Консольная балка (балка, свободно лежащая на двух опорах со свешивающимися концами – консолями). Балки составляют большую долю элементов конструкций – это балки перекрытий, пролетные строения кранов, валы и оси механизмов, крыло самолета и т.д. Рис. 5.2 Внутренние усилия в балках В случае прямого изгиба все нагрузки лежат в главной плоскости zOy (рис. 5.1, а), поэтому из шести суммарных внутренних силовых факторов отличными от нуля будут Qy и Mx. Для их определения статика дает два уравнения равновесия: ∑ y = 0 и ∑ mx = 0 Рассмотрим консоль (рис. 5.3, а). Для определения Qy и Mx в сечении z воспользуемся методом сечений (тема 1.1). 138 Рис.5.3 Уравнения равновесия для отсеченной (левой) части консоли (рис 5.3, б): ∑ Y (Fi )отс.ч. = 0 ; и F − q ⋅ z − Qy = 0 , Откуда Q y = F − qz . ∑ mx (Fi )отс.ч. = 0 ; c и − F ⋅ z + q ⋅ z ⋅ z 2 + Mx = 0, z Откуда M x = Fz − qz ⋅ . 2 Обобщая полученные результаты, приходим к следующим правилам: Поперечная сила Qу в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось y всех внешних сил, приложенных к отсеченной части: Q y = ∑ Y ( Fi ) ост.ч (5.1) Изгибающий момент M x в произвольном поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к отсеченной части относительно центра тяжести сечения (точка С): M y = ∑ mc ( Fi ) ост.ч (5.2) Правило знаков для Qy и Mx установим, исходя из направления внешних сил. Если внешняя сила стремится повернуть оставленную часть балки по ходу часовой стрелки относительно рассматриваемого сечения (рис. 5.4, в), то она вызывает положительную поперечную силу (и наоборот, рис. 5.4, г). 139 F Рис. 5.4 Для определения знака M x следует вообразить оставленную часть балки защемленной в проведенном сечении. Внешняя сила или внешний момент, изгибающий балку выпуклостью вниз (растянуты нижние волокна), вызывает положительный изгибающий момент (рис. 5.4, д). Если выпуклость обращена вверх (растянуты верхние волокна), то это соответствует отрицательному изгибающему моменту (рис. 5.4, е). При расчете балок строительных конструкций эпюру изгибающих моментов принято строить со стороны растянутых волокон, т.е. положительные ординаты откладывают вниз, а отрицательные - вверх от базисной линии. При расчетах элементов машиностроительных конструкций эпюру изгибающих моментов строят обычно со стороны сжатых волокон. Дифференциальные зависимости между внутренними усилиями и интенсивностью нагрузки Вырежем из балки (рис. 5.5, а) бесконечно малый элемент dz. Действие левой и правой отброшенных частей балки заменим внутренними усилиями Qy и M x , причем справа они имеют бесконечно малые приращения dQ и dM (рис. 7.6 б). Составим два уравнения равновесия: ∑ Y = 0; ( ) Q y − Q y + dQ y + q ⋅ dz = 0 . ∑ mc = 0; M x + Q y dz + qdz ⋅ dz / 2 − ( M x + dM x ) = 0. (5.3) (5.4) 140 Рис. 5.5 После преобразования уравнений находим дифференциальные зависимости. Из первого уравнения: qdz - dQ y = 0 , dQ y dz =q . (5.5) Производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки. Из второго слагаемого (5.4), пренебрегая величиной, второго порядка малости 2 q(dz ) 2 , имеем Q y dz − dM x = 0 , dM x = Qy . dz (5.6) Производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе. Сравнивая (5.5) и (5.6), получаем: d 2 M x dQy = = q. dz 2 dz (5.7) Полученные зависимости (5.5–5.7) действительны, если рассматривается часть балки левее сечения (если правее, то следует поставить минус). Эти зависимости используются при анализе различных вопросов, связанных с изгибом балок, в частности, при проверке правильности построения эпюр Qy и Мx. Поперечное усилие из (5.5) и изгибающий момент из (5.6) можно переписать следующим образом: 141 Q y = ∫ q dz , (5.8) M x = ∫ Q y dz . (5.9) l l Интегралы (5.8) и (5.9) есть площади соответственно эпюры внешней распределенной нагрузки q и эпюры поперечных сил Qy на рассматриваемом участке ℓ. Правила контроля и построения эпюр Q и М 1) На участках, где отсутствует равномерно распределенная нагрузка (q = 0): - эпюра М – наклонная прямая (М изменяется по линейному закону); - эпюра Q – прямая параллельная оси (Q = const). 2) На участках с равномерно распределенной нагрузкой (q=const): - эпюра М – квадратная парабола, обращенная выпуклостью в сторону действия нагрузки (построение на сжатом волокне) или вогнутостью в сторону действия нагрузки (построение на растянутом волокне); - эпюра Q – наклонная прямая (линейный закон). 3) На участках, где - М алгебраически возрастает слева направо, Q > 0; - М – убывает, Q < 0; - М = const; Q = 0 – чистый изгиб. 4) Если на некотором участке эпюра М имеет экстремум, то Q проходит нулевое значение. Если М – max, то Q от «+» к «-»; если М – min, то Q от «-» к «+». 5) В сечении под сосредоточенной силой: -на эпюре М наблюдается излом, острие которого обращено в сторону действия силы; - эпюра Q имеет скачок (по величине и направлению равный силе) 6) В сечении под сосредоточенным моментом: - эпюра М имеет скачок, равный значению момента; - эпюра Q – без изменений 7) На концевой шарнирной опоре, где нет внешней пары (m = 0), изгибающий момент М = 0. 8) Изменение М на участке z равно площади эпюры Q на этом участке (следует из выражения (5.9). 9) Изменение эпюры Q на некотором участке z равно площади эпюры q на этом участке (следует из 5.8). Примеры построения эпюр Q и Мх в простых балках 142 Пример 1. Так называемая балка-консоль, у которой один из торцов защемлен, свободен, подвергается воздействию внешней силы F (рис. 5.6). Построить эпюры Q и Мх. F M l F z F Q Q Q=0 M M Mx Fl M l z x Рис. 5.6 Рис. 5.7 Можно не определять опорную реакцию, если рассматривать нагрузку со стороны свободного конца балки. В нашем примере поперечная сила Q в произвольном сечении с координатой z равна силе F: Q=F, где F учитывается со знаком плюс, поскольку она стремиться вращать отсеченный участок балки по ходу часовой стрелки относительно центра тяжести сечения. Координата z не входит в формулу для Q, поэтому график - горизонтальная прямая (рис. 5.6). Ограничивая эпюру горизонтальной прямой, заполняем ее штриховкой по направлению отсчета ординат. Изгибающий момент Мх равен произведению силы F на плечо z: Мх= –Fz, (5.9) где принят знак минус вследствие того, что сила F, деформируя балку, вызывает выпуклость ее продольной оси. В формулу (5.9) для момента Мх входит z в первой степени. График функции Мх = f(z) – наклонная прямая. Чтобы ее провести, достаточно знать положение двух точек на границах балки: 1) при z = 0; Мх = 0, 2) при z = l; Мх = -Fl, где l - заданная длина балки. Строим эпюру Мх сверху, иначе говоря, со стороны растянутых волокон. 143 Пример 2. На балку-консоль действует сосредоточенный момент М, (рис. 5.7). Построить эпюры Q и Мх. Не находя реакции в заделке, опять, же рассматриваем нагрузку справа от произвольного сечения с координатой z. При этом Q = 0, поскольку справа от сечения есть только изгибающий момент М, а силы отсутствуют. Далее определяем: Мх=М, (5.10) где принят знак плюс, поскольку момент М стремится вызвать вогнутость продольной оси балки. Переменная величина z не входит в формулу (5.10) для Мх, поэтому график – горизонтальная прямая. Эпюра Мх пристроена снизу, со стороны растянутых волокон. Пример 3. На консольную балку приложена равномерно распределенная нагрузка q (рис. 5.8). Построить эпюры Q и Мх. Справа от сечения z нагрузка q действует на участке длиной z. Поэтому сила равна произведению q на z: Q = qz (5.11) q z l ql Q ql 2 à Рис.5.11 z1 R2 F R1 2 Mx â l l 2 2 F 2 Q F 2 Mx Fl 4 z2 144 Рис. 5.12. Здесь в правой части – знак плюс, поскольку сила qz стремиться вращать отсеченную часть балки по ходу часовой стрелки относительно центра тяжести проведенного сечения. В формуле (5.11) для Q присутствует z в первой степени, и график Q = f(z) - наклонная прямая. Надо искать положение двух точек на границах балки: 1) при z = 0; Q = 0, 2) при z = l; Q = ql. Изгибающий момент равен произведению силы qz на плечо z/2. В качестве плеча берется расстояние от сечения z до равнодействующей qz, приложенной посередине участка z. Итак, z z2 Мх= –qz = −q . 2 2 (5.12) Знак минус в правой части обусловлен тем, что сила qz вызывает выпуклость продольной оси балки. В формулу (5.12) для Мх переменная z находится в квадрате, поэтому график функции Мх = f(z) – квадратичная парабола. Она вогнута, что соответствует знаку производной dMx/dz. Экстремума нет, поэтому достаточно найти положения в двух точках на границах балки: 1) при z = 0; ql 2 Мх = 0, 2) при z = l Мх = – . 2 Важно отметить, что нет необходимости в поиске промежуточных точек квадратичной параболы, поскольку в расчетах балок на прочность заслуживает внимания только максимальное значение Мх. Пример 4. К балке на двух шарнирных опорах приложена внешняя сила F (рис. 5.12). Построить эпюры Q и Мх. В данном случае горизонтальная реакция на шарнирно неподвижной опоре равна нулю, поэтому она не показана на рисунке. Без поиска реакций R1 и R2 не обойтись. Найдем их из двух уравнений равновесия в моментах всех сил относительно точек a, b: 145 ΣМа(F) = 0, ΣМb(F) = 0, Отсюда R1 = R2 = F . 2 l R2l – F = 0; 2 l –Rl + F = 0 2 У балки два участка. Работая на первом участке, где 0 ≤ z1 ≤ нагрузки слева от сечения. При этом: Q = R1 = l , рассмотрим 2 F Fz , М х= R1z1= 2 2 График для Q – горизонтальная прямая, а для Мх – наклонная прямая. При построении эпюры Мх определяем положение двух точек на границах Fl l участка: 1) при z = 0; Мх = 0, 2) при z1= ; Мх= 2 2 Переходя ко второму участку, видим, что удобнее рассмотреть все силы справа от сечения z2: Q = –R2 = F , 2 Мх = R2z2= F z2 2 Чтобы провести наклонную прямую на эпюре Мх надо найти положение двух Fl l точек на границах второго участка: 1) при z2 = 0; Мх = 0, 2) при z2= ; Мх = . 2 4 Уточняем, что знаки плюс и минус в формулах для Q обусловлены уже известными правилами. Сила R1 стремится вращать отсеченный участок балки по ходу часовой стрелки относительно центра тяжести сечения z1, а R2 – против. Изгибающие моменты – положительные на обоих участках, поскольку точки приложения сил R1 и R2 в деформированном состоянии балки выше центров тяжести сечений, и обе силы вызывают вогнутость оси балки. Скачок на эпюре Q под силой F равен силе F. Пример 5. На балку с двумя шарнирными опорами действует сосредоточенный момент М (рис. 5.13). Необходимо построить эпюры Q и Мх. Определяем опорные реакции R1 и R2. Пишем два уравнения равновесия: ΣМа(F) = 0, R2l – М = 0, ΣМb(F)= 0, R1l – М = 0 146 Отсюда R1=R2= М l à R1 R2 M z1 â 2l 3 l 3 R2 â à z z2 q R1 ql l 2 l 2 Q Q M l M 3 Mx ql 2 Mx 2M 3 ql 2 8 Рис. 5.13 Рис. 5.14 Все процедуры, связанные с построением эпюр Q и Мх аналогичны тем, что рассматривались в примере 4. На левом участке балки имеем: Q= –R1= – при z1 = 0 Мх= 0, при z1 = М Мz , Мх= –R1z1 = – 1 1 . l l M l Мх = – . 3 3 На участке справа: Q = –R2 = – М , l Мх= R2z2= Mz 2 l 2 2 l Мх = М 3 3 Скачок на эпюре Мх в сечении, где приложен сосредоточенный момент М, соМ 2М , ав ставляет величину М. На самом деле, сверху видим Мх= , снизу – 3 3 сумме будет М. При z2 = 0 Мх = 0, при z2 = 147 Пример 6. При равномерно распределенной нагрузке q на балке с двумя шарнирными опорами (рис. 5.14) построить эпюры Q и Мх. Опорные реакции определяем из двух уравнений равновесия: l ΣМа(F) = 0, R2l –ql = 0, 2 l ΣМb(F ) =0, –R1l + ql = 0. 2 ql Отсюда R1=R2= . Заметим, что плечом силы ql является расстояние от опо2 ры до линии действия равнодействующей нагрузки q, это l/2. У балки один участок. Поперечная сила Q в сечении равна алгебраической сумме всех сил, приложенных по одну сторону от сечения: Q = R1 – qz= ql − qz. 2 (5.13) Вычитаемое qz учтено со знаком минус, поскольку нагрузка q на участке z стремиться вращать отсеченную часть балки против хода часовой стрелки относительно центра тяжести сечения. В формуле (5.13) для z находится в первой степени, поэтому график – наклонная прямая. Определяем положение точек на границах балки: ql ql при z = 0; Q = , при z =l; Q= − 2 2 Изгибающий момент в сечении равен сумме моментов всех сил, приложенных по одну сторону от сечения. qz 2 ql qz 2 = z− Мх =R1z– 2 2 2 Здесь qz есть сила, а ницах балки имеем: z – плечо. График Мх – квадратичная парабола. На гра2 при z = 0 и z = l Мх=0. Изгибающий момент будет максимальным посередине пролета: ql l q l 2 ql 2 l при z= Мх = . − ( ) = . 8 2 2 2 2 2 Через три найденных точки проводим параболу. Очевидно, что она выпуклая. 148 Чистый изгиб Рассмотрим балку (рис. 5.15, а), для которой построены эпюры Qy и Мx (рис. 5.15, б, в). В средней части балки возникает чистый изгиб (Qy = 0, Мx = const). Нанесем на боковой поверхности балки сетку ортогональных линий (рис. 5.16, а). Рис. 5.15 В результате деформирования на участке чистого изгиба (рис. 5.16, б) можно видеть: – продольные волокна искривляются по дуге окружности: одни – укорачиваются, другие - удлиняются; между ними есть слой волокон, которые не меняют своей длины – нейтральной слой (н.с.), линию его пересечения с плоскостью поперечного сечения называют нейтральной осью (н.о.); – расстояние между продольными волокнами не меняется; – поперечные сечения, оставаясь прямыми, поворачиваются на некоторый угол. Рис. 5.16 149 Эта картина деформирования позволяет принять следующие допущения: О ненадавливании продольных волокон друг на друга, т.е. каждое волокно находится в состоянии простого растяжения или сжатия, что сопровождается возникновением нормальных напряжений σ . О справедливости гипотезы Бернулли, т.е. сечения балки, плоские и нормальные к оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ее оси после деформации. Нормальные напряжения при изгибе Проведем сечение z (рис. 5.15, а) и в поперечном сечении покажем координатные оси (рис. 5.17), причем ось Оy совместим с силовой линией (линией пересечения силовой плоскости с плоскостью сечения). Рис. 5.17 При чистом изгибе в сечении балки возникает только изгибающий момент Мx , остальные внутренние усилия равны нулю (N = 0, Мy = 0 и т.д.). Следовательно, на площадке dА будет действовать только напряжение σ , для определения которого рассмотрим три стороны задачи. Статическая сторона задачи выражается интегральными уравнениями равновесия N = ∫ σ ⋅ dA = 0, (5.14) A M y = ∫ σ ⋅ xdA = 0, A (5.15) 150 M x = ∫ σ ⋅ ydA. (5.16) A Геометрическая сторона задачи (в основе лежит гипотеза плоских сечений). Выделим элемент dz (рис. 5.15, а) и рассмотрим его деформированное состояние, приняв левое сечение условно за неподвижное (рис. 5.18). В результате поворота правого сечения на угол dθ нижние волокна удлиняются, верхние - укорачиваются. Нейтральный слой отметим отрезком cd = dz = ρ dθ . Волокно ab = dz получит приращение длины на bb′ = y dθ . Относительное удлинение волокна ab равно bb ′ ydθ y =− , ε= =− ρd ρ ab где ρ – радиус кривизны нейтрального слоя (н.с.); y – расстояние от волокна до нейтрального слоя. Геометрическая сторона: y ε=− , ρ (5.17) т.е. деформация волокна пропорциональна его расстоянию до нейтрального слоя. Рис. 5.18 Физическая сторона задачи (выражается законом Гука) ε= σ или σ = ε E . E (5.18) Проведем синтез всех сторон. Из выражений (5.17) и (5.18) следует: 1 σ = Ey ⋅ . ρ Свяжем полученную формулу для напряжений σ = Ey ⋅ (5.19) 1 c внутренними усиρ лиями. Подставляя (5.19) в (5.14) и (5.15), определим положение нейтральной оси: Ey E N =∫ dA = 0 или y dA = 0. ∫ ρ ρ A A 151 E ≠ 0 , следовательно, ∫ ydA = 0 , т.е. S x =0 ρ A Интеграл представляет собой статический момент относительно нейтральной оси и равен нулю. Следовательно, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. Очевидно, что E ∫ ydA = 0 или ρA ∫ yxdA = 0, т.е. J xy = 0 . A Центробежный момент равен нулю, значит, оси x, y – главные центральные оси. Так как силовая линия совпадает с осью y, а нейтральная ось с другой главной осью x, следовательно, силовая линия и нейтральная ось взаимно перпендикулярны. Подставляя (5.19) в (5.16), найдем нормальные напряжения в сечение: Ey E ydA или M x = ∫ y 2 dA , ρA A ρ Mx = ∫ где ∫y 2 dA = J x . Находим кривизну нейтрального слоя: A 1 Mx = . ρ EJ x (5.20) Формулу (5.20) называют законом Гука при изгибе, а произведение EJx – жесткостью сечения при изгибе. 1 M 1 Подставляя = x (5.20) в σ = Ey ⋅ (5.19), находим ρ EJ x ρ σ= Mx ⋅y Jx (5.21) где у – расстояние от исследуемой точки до нейтральной оси. Получена искомая формула, которая позволяет вычислять нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения балки, при этом Мx и My удобнее брать по абсолютному значению, а знак σ устанавливать из характера деформирования балки. Пространственная эпюра σ изображена на рис. 5.19. 152 Рис. 5.19 Из анализа формулы (5.21) следует: Напряжения σ изменяются по высоте сечения линейно; По ширине сечения σ распределены равномерно (не зависят от координаты x); Напряжения σ = 0 при y = 0, т.е. на нейтральной оси; Напряжения максимальны там, где ymax , т.е. в точках наиболее удаленных от нейтральной оси; будем называть эти точки опасными. Mx ⋅ ymax , Jx M σ max = x , Wx σ max = или где Wx = Jx , ymax (5.22) (5.23) (5.24) здесь Wx – осевой момент сопротивления сечения, характеризует сопротивляемость балки изгибу, измеряется в см3, зависит от формы и размеров сечения. Определим осевые моменты сопротивления простых фигур по формуле (5.24): 153 прямоугольник (рис. 5.20, а) bh 3 12 bh 2 bh 2 hb 2 = ; Wx = , аналогично Wy = . Wx = h2 6 6 6 (5.25) Рис. 5.20 Круг (рис. 5.20, б) πd 4 64 πd 3 W y = Wx = = ≈ 0,1d 3 . d 2 32 (5.26) Кольцо (рис. 5.20, в) πD 4 πd 4 πD 4 Jx = − = (1 − α 4 ), 64 64 64 где α = d ; D Jx πD 4 (1 − α 4 ) πD 3 Wx = = = (1 − α 4 ). ymax 32 64 ⋅ D 2 (5.27) Обращаем внимание на то, что момент сопротивления подобного сечения нельзя считать как разность W = W1 − W2 , поскольку это противоречит самому J понятию о моменте сопротивления W x как об отношении x . ymax Для прокатных профилей значения W x и W y приведены в таблицах сортамента. Расчеты на прочность при чистом изгибе. Рациональные сечения балок 154 Балки из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (сталь), проектируются симметричными относительно оси x. Условие прочности для них имеет вид: по допускаемым напряжениям σ max = по предельным состояниям M max ≤ [σ] Wx M расч. σ расч. = Wx ≤ R ⋅ γc , (5.28) где M расч. – наибольший по абсолютному значению изгибающий момент от расчетных нагрузок; R – расчетное сопротивление материала балки растяжению (сжатию) при изгибе; [σ] – допускаемое напряжение. Условие (5.28) позволяет производить три вида расчета: Проверочный (непосредственно по указанному неравенству); Проектный (подбор сечения) Wx = M расч. [σ] и Wx = M расч. R ⋅ γс . Определение несущей способности (допускаемого изгибающего момента) M x max ≤ Wx ⋅ [σ] и М расч ≤ Wx ⋅ R ⋅ γ c . Характер распределения σ для симметричных сечений представлен на рис. 5.21, в. Эпюра σ Рис. 5.21 Из эпюры σ видно, что материал, расположенный у нейтральной оси, нагружен очень мало. В целях экономии и снижения веса балок следует выбирать 155 такие формы сечения, чтобы большая часть материала была удалена от нейтральной оси (рациональные формы). Наилучшим является двутавровое сечение (рис. 5.21, б). Менее выгодно прямоугольное сечение (рис. 5.21, а), особенно вытянутое вдоль нейтральной оси (рис. 5.22, б). Еще менее выгодно круговое сечение. Рис. 5.22 Полое сечение всегда выгоднее сплошного, равноценного по площади. Наиболее экономичными являются сечения, для которых с наименьшей затратой материала получается наибольшая величина момента сопротивления. Расход материала пропорционален площади сечения А, поэтому отношение W/А можно принять за критерий, оценивающий качество профиля. Рациональное расположение сечения имеет место, если силовая плоскость совпадает с плоскостью наибольшей жесткости (след ее совпадает с осью J min ). Для бруса (рис. 5.22, а) допускаемая нагрузка в три раза больше, чем для аналогичного бруса (рис. 5.22, б). Для балок из хрупких материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию, следует применять сечения несимметричные относительно нейтральной оси (тавровое, несимметричное двутавровое, П–образное). При этом целесообразно располагать сечение так, чтобы большая его часть сечения находилась в растянутой зоне (рис. 5.23). Рис. 5.23 156 При этом приходится отдельно проверять наибольшие напряжения в растянутой и сжатой зоне. Условие прочности (5.28) распадается на два: σ p max = σc max M x max yk ≤ [σ p ] Jx M = x max yL ≤ [σc ] Jx σ р расч. = и σ с расч. = M расч. Jx M расч. Jx y р ≤ Rр ⋅ γ c (5.29) yc ≤ Rc ⋅ γ c где y t и y c – расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных точек растянутой и сжатой зон; R р и Rc – расчетные сопротивления материала на [ ] растяжение и сжатие; σ p и [σ c ] – допускаемые напряжения на растяжение и сжатие. Потенциальная энергия деформации при чистом изгибе Работа статически приложенной силы в пределах упругих деформаций численно равна потенциальной энергии деформации. Работа изгибающего момента Мx при деформировании элемента dz (рис. 5.24) вычисляется как половина произведения момента на соответствующий угол поворота dθ . 1 dW = dU = M x dθ . (5.30) 2 Отрезок на нейтральной оси элемента dz = ρ dθ , отсюда: dθ = 1 dz ρ По формуле (5.20) Рис.5.24 тогда dθ = 1 Mx , = ρ EJ x Mx dz . Подставляя это выражение в (5.30), имеем: EJ x M x2 dz . dU = 2 EJ x Суммируя значения dU по всей длине балки, получим формулу потенциальной энергии при чистом изгибе: 157 M x2 dz . U = ∑∫ 2 EJ x (5.31) При вычислении U следует учитывать, что закон изменения Мx для отдельных участков различен. Поперечный изгиб балки Отличие поперечного изгиба от чистого При поперечном изгибе: В поперечном сечении балки одновременно с изгибающим моментом возникает поперечная сила (рис. 5.25, а, б). В поперечном сечении наряду с нормальными напряжениями возникают касательные напряжения τ (рис. 5.25, в) Qy = ∫ τ yz dA . (5.32) A В продольных сечениях (рис. 5.26, а) на основании закона парности появляются касательные напряжения τ yz , которые вызывают сдвиги отдельных волокон. Вследствие сдвигов волокон плоские сечения до деформации искривляются (рис. 5.26, б), принимая форму вытянутой буквы S, особенно в средней части балки, т.е. нарушается гипотеза плоских сечений. Рис. 5.25 158 Рис.5.26 Так как сдвиг волокон не изменяет их длины, то найденный при чистом изгибе закон распределения σ остается в силе, и при поперечном изгибе применяют ту же формулу (5.21) для вычисления нормальных напряжений. σ= Mx ⋅ y. Jx Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского Статически неопределимая задача по определению напряжений может стать определимой, если ввести гипотезы (предположения) о характере распределения касательных напряжений в поперечном сечении балки: касательные напряжения τ всюду параллельны Q; касательные напряжения τ равномерно распределены по ширине сечения (на уровне y). Отсечем верхнюю часть элемента балки dz, проведя горизонтальную плоскость на расстоянии y от нейтрального слоя (рис. 5.25, а). С правой стороны в каждой площадке dA напряжение больше на dσ (рис. 5.26), т.к. изгибающий момент справа больше, чем слева, на величину dM x (рис. 5.25, б), тогда: M dσ = x ⋅ y1 . Jx 159 Рис. 5.26 Растягивающая сила N, действующая на отсеченную часть с правой стороны, больше, чем с левой, на величину dN = ∫ Aотс . где ∫ y dA = S 1 отс . x dσ dA = ∫ Aотс. dM x dM x ⋅ y1dA = ⋅ ∫ y1dA , Jx A Jx (5.33) отс . – статический момент отсеченной части относительно ней- Aотс . тральной оси x . Поэтому dN = dM x отс. Sx . Jx (5.34) Для того чтобы отсеченная часть элемента dz находилась в равновесии, в продольном сечении должны быть приложены касательные напряжения τ yz , которые создают касательную силу dT. По условию равновесия ∑ Z = 0 она должна быть равна силе dN: dT = dN . (5.35) Сдвигающая сила dT определяется по формуле dT = τ zy by dz , (5.36) где by – ширина сечения в той точке, где определяется касательное напряжение. По закону парности τ yz = τ zy = τ . 160 С учетом (5.34) и (5.36) выражение (5.35) перепишется: τ zy by dz = dM x отс. ⋅ Sx , Jx или τ= Поскольку dM x S xотс. ⋅ . dz by J x (5.37) dM x = Q y , окончательно имеем: dz Q y S xотс. τ= by J x (5.38) Формулу (5.38) называют формулой Журавского, который впервые установил наличие касательных напряжений при изгибе и показал, что в некоторых случаях разрушение балок происходит не от разрыва волокон, а от нарушения сопротивления сдвигу. Примечание. Принципиально безразлично, брать ли S xотс. заштрихованной части или всей остальной части сечения, т.к. по абсолютному значению они равны: их сумма дает статический момент всего сечения относительно оси x, который равен нулю. Анализ формулы Журавского Из формулы (5.38) видно, что распределение касательных напряжений по высоте сечения зависит от его формы, т.е. величины S xотс. by . Прямоугольное сечение Через произвольную точку К (рис. 5.27, а), отстоящую от нейтральной оси на расстоянии y, проведем сечение, параллельное оси x. Ширина сечения b y = b , момент инерции J x = bh 3 12 . 161 Эпюра τ Рис. 5.27 Площадь отсеченной части, расположенной выше сечения: h Aотс. = b( − y ) ; 2 координата ее центра тяжести: h ( − y) 1 h y1 = y + 2 = ( + y) ; 2 2 2 статический момент отсеченной части относительно нейтральной оси: b h2 S xотс. = y1 Aотс. = ( − y 2 ) . 2 4 (5.39) Подставляя полученные значения в (5.38): τ= Q y S xотс. by J x , имеем: Qy b 2 (h 2 4 − y 2 ) 6Q y 4 τ= = 3 (h 4 − y 2 ) . 3 b b h 12 bh (5.40) Формула (5.40) показывает, что касательные напряжения по высоте сечения изменяются по закону квадратной параболы (переменная y во второй степени). При y = ± h/2 в крайних волокнах τ = 0, а при y = 0 на уровне нейтральной оси τmax : 162 τ max = 3Q 3Q = . 2bh 2 A (5.41) На рисунке 5.27, б дан общий вид эпюры τ , знак напряжения τ не имеет принципиального значения, и его обычно не указывают. Двутавровое сечение Характерной особенностью этого сечения является резкое изменение ширины сечения при переходе от стенки к его полке. В основном поперечную силу воспринимает стенка. Максимальные касательные напряжения (в точках нейтральной оси) найдем из выражения τmax = Qy ⋅ S x max by ⋅ J x , (5.42) где S x max – статический момент полусечения относительно нейтральной оси (для прокатных двутавров берется в таблице сортамента, где обозначен Sx); by = δ 0 . В полках двутавра в каждой точке возникает два касательных напряжения: τ y и τ x (рис. 5.28). Для вычисления τ y нельзя пользоваться формулой (5.38), т.к. принятые гипотезы здесь оказываются неправильными. Это напряжение вычисляется по формулам теории упругости. Рис. 5.28 163 Практически τ y не влияют на прочность, т.к. τ y << τ x . Для определения τ x можно воспользоваться общей формулой (5.38); при этом Aотс. и y1 берутся так, как показано на рис. 5.28, тогда статический момент S xотс. = y1 Aотс. Вид эпюр τ x в полках и τ y в стенке показан на рисунке 5.28. Сопоставление наибольших нормальных и касательных напряжений при изгибе На рис. 5.29 изображены эпюры σ и τ для прямоугольного сечения, из которых видно: касательное напряжение τmax возникают в тех точках, где σ = 0 (на нейтральной оси); касательные напряжения τ = 0 в крайних точках сечения, где σ max . Пусть для балки прямоугольного сечения (рис. 5.30) длина l много больше высоты сечения h. Вычислим наибольшие напряжения по формулам (5.23) и (5.42), учитывая M max = Fl , Q y = F . σ max = M max Fl = 2 , Wx bh 6 τ max = τmax Рис. 5.29 3F . 2bh 164 Рис. 5.30 Возьмем их отношение: σ max 6 Fl 2 bh 4l = = . τ max bh 2 3 F h Следовательно, σ max >> τ max , т.е. нормальные напряжения значительно больше касательных. В прокатной и сварной двутавровой балке, имеющей сравнительно большую высоту, касательные напряжения могут быть значительны при условии, что длина балки невелика и загружена она большими сосредоточенными силами, приложенными близко к опорам. Расчеты на прочность при поперечном изгибе Условия прочности по касательным напряжениям: Метод допускаемых напряжений: τmax = Qmax S x max by J x ≤ [τ] , (5.43) где [τ] – допускаемое касательное напряжение Метод предельных состояний: τ расч. = Qрасч. S x by J x max ≤ Rs ⋅ γ c , (5.44) где τ расч. – максимальное касательное напряжение в опасном сечении балки; Qрасч. – наибольшая по абсолютному значению расчетная поперечная сила; S x max – статический момент половины сечения относительно нейтральной оси; 165 J x – момент инерции площади всего сечения; by - ширина сечения на уровне нейтральной оси; RS – расчетное сопротивление материала балки сдвигу; γ c – коэффициент условий работы балки. Неравенство (5.43) позволяет производить три вида расчета: 1. Проверка прочности (производится непосредственно по указанному неравенству). 2. Подбор ширины прямоугольного сечения балки (проектный расчет) осуществляется по формуле b≥ Qmax S x max J x [τ] и b≥ Qрасч. S x max J x Rs ⋅ γ c = 3 2Qрасч. Rs ⋅ γ c ⋅ h . (5.45) 3. Предельная поперечная сила (несущая способность) определяется из неравенства: J R ⋅ γ ⋅b J [τ]by и Q≤ x s c y . (5.46) Q≤ x Sx Sx max max Условия прочности по нормальным напряжениям σ= Mx max Wx ≤ [σ] и σ расч. = M расч. Wx ≤ R ⋅ γc . (5.47) Для балок сплошного сечения основным является расчет по нормальным напряжениям σ , расчет по касательным напряжениям τ носит вспомогательный характер. Для тонкостенных профилей, деревянных и клееных балок обязательно делается проверка по τ . Если условие (5.43 или 5.47) не удовлетворяется, то подбирают другое сечение. На (рис. 5.31) показаны эпюры σ и τ для двутаврового сечения. Эпюра τ н.о. Рис. 5.31 Эпюра σ 166 У точки К, в месте перехода от полки к стенке, нормальные напряжения σ к мало отличаются от σ max . Вместе с тем τк в стенке немногим менее τmax . Поэтому точку К нужно проверить на совместное действие σ и τ , что можно сделать, применив теории прочности. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балок и его интегрирование для определения перемещений В случае прямого изгиба ось балки искривляется в плоскости действия сил, центры тяжести сечений получают линейные перемещения, а сами сечения поворачиваются (рис. 5.32). Рис. 5.32 Искривленная ось балки называется изогнутой осью или упругой линией. Допущение о малости перемещений позволяет считать, что линейные перемещения – прогибы y, направлены перпендикулярно продольной оси z недеформированной балки. Наибольший прогиб называется стрелой прогиба и обозначается f . Согласно принятому направлению осей координат (рис. 5.32), положительным будем считать прогиб вверх, отрицательным – вниз. Угол θ , на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения. Он может быть определен как угол между касательной к упругой линии и осью z. Согласно геометрическому смыслу производной tg θ = dy/dz. В связи с малостью деформаций можно полагать tg θ ≈ θ , поэтому можно принять θ= dy dz (5.48) 167 Угол поворота сечения равен первой производной от прогиба по абсциссе сечения. Прогиб и угол поворота переменны по длине балки, т.е. зависят от абсциссы z. Уравнение вида y = f ( z ) называется уравнением упругой линии балки. Умение определять перемещения необходимо для расчетов на жесткость, при расчете статически неопределимых балок, при решении задач динамики. Деформация того или иного сечения балки определяется кривизной изогнутой оси (рис. 5.32), которая определяется формулой (5.20) 1 M ( z) = . ρ EJ x (5.49) Из дифференциальной геометрии зависимость между кривизной плоской кривой и координатами z и y выражается: 1 d 2 y dz 2 . =± ρ [1 + (dy dz ) 2 ]3 2 (5.50) Приравняв правые части (5.49) и (5.50), получим точное уравнение упругой линии балки. d 2 y dz 2 M ( z) = ± . EJ x [1 + (dy dz ) 2 ]3 2 (5.51) Интегрирование этого нелинейного уравнения сопряжено с большими трудностями. Так как допускаемый прогиб для балок составляет не более 1/200 пролета, то образующиеся при этом углы поворота много меньше 1, тогда 2 ⎛ dy ⎞ ⎛ dy ⎞ 1 + ⎜ ⎟ ≈ 1 , ( ⎜ ⎟ << 1 ), и выражение 5.51 примет вид ⎝ dz ⎠ ⎝ dz ⎠ d 2 y M ( z) = . dz 2 EJ x (5.52) Уравнение (5.52) будем называть приближенным дифференциальным уравнением упругой линии. Выбор знака в (5.51) определяется принятой системой координат. 168 Рис. 5.33 Для системы координат, выбранной на рис. 5.33, а,б, знаки изгибающих моментов и второй производной от прогиба совпадают. Таким образом, в (5.51) следует сохранить только «плюс». Для балки постоянной жесткости EJx = const уравнение (5.52) удобнее записать в виде EJ x y′′( z ) = M ( z ) . (5.53) С помощью (5.52) или (5.53) можно вычислять перемещения в балках при любых условиях нагружения. Углы поворота и прогибы находят последовательным интегрированием дифференциального уравнения упругой линии. После первого интегрирования получается уравнение углов поворота: EJ x y ′( z ) = EJ x θ( z ) = ∫ M ( z )dz + C . (5.54) После второго - уравнение прогибов: EJ x y( z ) = ∫ dz ∫ M ( z )dz + Cz + D , (5.55) где С и D – произвольные постоянные интегрирования; их значения определяют из граничных условий, т.е. условий опирания балки. Этот способ определения перемещений называют методом непосредственного интегрирования. Порядок определения перемещений методом непосредственного интегрирования Разбивают балку на участки и для каждого записывают выражение изгибающему моменту Мz. Для каждого участка составляют дифференциальное уравнение, подставляя 169 Мz в (5.53). Для каждого участка дифференциального уравнение (5.53) дважды интегрируют и получают общие выражения для угла поворота θ (5.54) и прогиба y (5.55). Из условий на опорах балки и на границах участков определяют постоянные интегрирования С и D и подставляют в уравнения (5.54) и (5.55). Определяют θ и у в нужном сечении, подставляя значения z в (5.53) и (5.55). Пример. Определить наибольший угол поворота и стрелу прогиба для консоли методом непосредственного интегрирования (рис. 5.34); EJ x = const. Решение. Помещаем начало координат О в заделке. Составляем аналитическое выражение изгибающего момента в сечении z: M ( z ) = −F ⋅ ( l − z ) . О Рис. 5.34 Делая подстановку в (5.53), получаем приближенное дифференциальное уравнение: EJ x y ′′( z ) = − F ⋅ ( l − z ) , (5.56) которое дважды интегрируем EJ x y ′( z ) = − F ⋅ (l ⋅ z − z 2 2) + C ; EJ x y ( z ) = − F ⋅ (l ⋅ z 2 2 − z 3 6) + C ⋅ z + D . (5.57) (5.58) Для определения постоянных интегрирования используем граничные условия в заделке: При z = 0 угол поворота y ′ = θ0 = 0 ; 170 При z = 0 прогиб y0 = 0 . Подставляя эти условия соответственно в (5.57) и (5.58), получим: EJ x θ 0 = C = 0 и EJ x y0 = D = 0 . (5.59) Откуда постоянные интегрирования С = 0, D = 0. Окончательно получаем следующие уравнения углов поворота и прогибов: EJ x y′( z ) = EJ x θ( z ) = − F ⋅ (l ⋅ z − z 2 2) , EJ x y ( z ) = − F ⋅ (l ⋅ z 2 2 − z 3 6) . (5.60) Очевидно, что наибольшие значения θ и y достигают на свободном конце. Положив z = l , из (5.60), найдем F ⋅ l2 F ⋅ l3 θ max = − , ymax = f = − . 2 EJ x 3EJ x Знак «минус» в выражении угла поворота показывает, что сечение поворачивается по часовой стрелке; знак «минус» y прогиба означает, что свободный конец опускается. Примечание. Из выражений (5.59) следует геометрический смысл постоянных интегрирования: они равны соответственно углу поворота и прогибу в начале координат, умноженному на EJx. Метод начальных параметров При интегрировании дифференциального уравнения появляются две произвольные постоянные. Если балка имеет n участков, то требуется составить n уравнений и определить 2n произвольных постоянных. Это весьма трудоемкая задача. Но если придерживаться определенных правил, то можно добиться равенства постоянных и при любом числе участков получить лишь две постоянные (5.59): C = EJ x θ 0 и D = EJ x y0 . Это равенство возможно только тогда, когда в уравнениях моментов при переходе от участка к участку повторяются все члены предыдущего участка, а вновь появляющиеся слагаемые обращаются в нуль на левых границах участков. Для обеспечения этих требований при составлении и интегрировании дифференциальных уравнений должны соблюдаться следующие условия: Необходимо выбирать единое начало координат на левом конце балки; При действии распределенной нагрузки, не доходящей до правого конца рас- 171 сматриваемого участка, продолжать ее до этого конца, уравновешивая противоположно направленной (компенсирующей) нагрузкой, которую показывают штриховыми линиями; Составлять выражения изгибающего момента М(z), учитывая нагрузки, расположенные левее рассматриваемого сечения, в том числе и реакции опор; Умножать момент внешней пары m на множитель (z – a)о, равный единице, где а - абсцисса точки приложения m ; Интегрировать уравнения на всех участках, не раскрывая скобок. В математике подобное решение дифференциальных уравнений связано с именем французского ученого О.Л. Коши (1789-1857). Рассмотрим произвольно нагруженную консоль (5.35), где a, b, c, d – абсциссы точек приложения соответствующих нагрузок. Балка имеет пять участков. Помещаем начало координат на левом конце балки. Продолжаем нагрузку q до правого конца и показываем компенсирующую. Составим выражение изгибающего момента на последнем участке с учетом условия 3: q ( z − c) 2 q( z − d ) 2 − . M ( z ) = m( z − a ) + F ( z − b ) + 2 2 o Рис. 5.35 Подставим его в дифференциальное уравнение (5.53). Вводя в знаменатель сомножитель равный единице, получим: F ( z − b )1 q ( z − c ) 2 q ( z − d ) 2 + − EJ x y ′′( z ) = m( z − a ) + 1 1⋅ 2 1⋅ 2 o Производим двукратное интегрирование: 172 EJ x y ′( z ) = m ( z − a )1 F ( z − b ) 2 q ( z − c ) 3 q ( z − d ) 3 + + − +C 1 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 m( z − a ) 2 F ( z − b) 3 q ( z − c ) 4 q ( z − d ) 4 EJ x y ( z ) = + + − +C⋅z+ D 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 (5.61) Постоянные C и D определяются из граничных условий в заделке: при z = l угол поворота y ′(l ) = 0 и прогиб y(l ) = 0 . Согласно геометрическому смыслу постоянных, установленному в примере, рассмотренном выше: D = EJ x y0 и C = EJ x θ 0 , (5.62) где θ0 и y0 – угол поворота и прогиб в начале координат, называемые в дальнейшем начальными параметрами. Подставляя выражения постоянных (5.62) в уравнения (5.61), располагая члены уравнений по возрастающим степеням z и применяя знак суммы для случая многократного повторения однотипных нагрузок, а также факториал в знаменателе, получим универсальные уравнения перемещений при изгибе: m( z − a)1 F ( z − b)2 q( z − c)3 q( z − d )3 EJx θ( z) = EJx θo + ∑ +∑ +∑ −∑ 1! 2! 3! 3! 2 3 m( z − a ) F ( z − b) +∑ + EJ x y ( z ) = EJ x yo + EJ x θ o ⋅ z + ∑ 1! 2! q( z − c) 4 q( z − d ) 4 +∑ −∑ . 3! 3! (5.63) (5.64) Из уравнения (5.63) определяют угол поворота θ ( z ) , из (5.64) – прогиб y ( z ) , где z – текущая координата. Определение θ и y в различных сечениях с помощью (5.63) и (5.64) носит название метод начальных параметров. Примечание: – уравнение углов поворота (5.63) можно получить дифференцированием уравнения (5.64), которое называют универсальное уравнение упругой линии балки. – полезно запомнить. Из метода сечений (раздел 1) следует, что при составлении выражения М(z) учитывают нагрузки, расположенные по одну сторону сечения z (в нашем случае слева), поэтому: • при составлении уравнения (5.64) следует учитывать все нагрузки и реакции опор, расположенные левее сечения, при этом выражения (z-a), (z-b)...(z-i) могут быть только положительными; 173 • нельзя включать ни одну нагрузку, приложенную правее сечения. В этом случае ( z − i ) <0, и такое слагаемое должно быть вычеркнуто из (5.64). Определение начальных параметров Начало координат совпадает с заделкой. Начальные параметры равны нулю. Начало координат совпадает с шарнирной опорой. Угол поворота в начале координат не равен нулю. θ 0 ≠ 0 , y0 = 0 . Для определения θ 0 имеем граничное условие на правой опоре: при z= l , Начало координат находится на свободном конце. Начальные параметры отличны от нуля. О θ o ≠ 0 , yo ≠ 0 . Начальные параметры находим из граничных условий на опорах: при z = а, yА = 0; при z = а+l, yВ = 0. Порядок расчета по методу начальных параметров Определяют опорные реакции и проставляют их на расчетной схеме. Выбирают единое начало координат на левом конце балки и выявляют, равны нулю начальные параметры или нет. Если нагрузка q не доходит до правого конца рассматриваемого участка, то ее продолжают и показывают компенсирующую. Записывают универсальное уравнение прогибов (5.64) обычно для последнего участка, учитывая силы левее рассматриваемого сечения. Слагаемые в урав- 174 нении имеют знак изгибающего момента. Дифференцируют уравнение (5.64) и получают уравнение углов поворота (5.63). Если начальные параметры не равны нулю, то их определяют из граничных условий. Подставляя в (5.63) и (5.64) соответствующее значение z, определяют θ и y в данном сечении. Пример 1. Определить перемещения свободного конца и сечения в середине консоли вылетом 2ℓ (рис. 5.36). 2 mA=2,5qℓ Рис. 5.36 Решение: Определяем реакции заделки: V A = 2 ql , m A = 2,5ql 2 . Помещаем начало координат на левом конце в заделке. Очевидно, начальные параметры равны нулю: y0 = 0 , θ 0 = 0 . Продолжаем нагрузку q до правого конца балки и прикладываем компенсирующую. Записываем для последнего участка (СВ) универсальное уравнение прогибов (5.64), учитывая силы, расположенные левее сечения z. 175 EJ x y ( z ) = − m( z − 0) 2 VA ( z − 0) 3 q( z − 0) 4 q( z − l) 4 + − + 2! 3! 4! 4! (а) Дифференцируя выражение а, получаем уравнение углов поворота: m( z − 0)1 VA ( z − 0) 2 q( z − 0) 3 q( z − l) 3 + − + . EJ x θ( z ) = − 1! 2! 3! 3! (б) Подставляя z = 2ℓ в (а) и (б), определяем прогиб и угол поворота на конце балки: 2,5ql 2 (2l − 0) 2 2ql(2l − 0) 3 q (2l − 0) 4 + − + EJ x y B = − 2 6 24 71ql 4 q (2l − l) 4 + =− ; 24 24 2,5ql 2 (2l − 0)1 2ql(2l − 0) 2 q (2l − 0)3 EJ xθ B = − + − + 1 2 6 q (2l − l)3 13ql3 + =− . 6 6 (в) (г) Окончательно из (в) и (г) получаем: 71ql 4 ; yB = − 24 EJ x 13ql 3 . θB = − 6 EJ x Подставляя z = l в (а) и (б) и учитывая силы левее точки С, находим прогиб и угол поворота в середине балки: 3 m(l − 0)2 VA(l − 0) q(l − 0)4 2,5ql2 ⋅ l2 2ql⋅ l3 ql4 23ql4 , + − =− + − =− EJx y(l) =− 2 6 24 2 6 24 24 2 m(l − 0)1 VA(l − 0) q(l − 0)3 2,5ql2 ⋅ l 2ql⋅ l2 ql3 5ql3 EJxθ (l) =− . + − =− + − =− 1 2 6 1 2 6 3 Окончательно из полученных выражений находим: 23ql4 ; yc = − 24 EJ x θc = − 5ql3 . 3EJ x 176 Прогибы получились отрицательные, следовательно, они направлены вниз (рис. 5.36). Углы поворота имеют знак «минус», т.е. поворот сечений В и С осуществляется по ходу часовой стрелки. Пример 2. Для двухопорной балки (рис. 5.37) определить прогиб сечения в середине пролета и угол поворота сечения А. Дано: m = 20 кН·м; ℓ = 6 м; Е = 2×105 МПа; Jx = 3460 см4. Решение: m Определяем опорные реакции: V A = V B = . l Рис. 5.37 Помещаем начало координат на левой шарнирной опоре А. Очевидно, что прогиб на опоре равен нулю, а угол поворота нет. Начальные параметры: y0 = 0 , θ 0 ≠ 0 . Балка имеет один участок. Записываем универсальное уравнение прогибов (5.59), учитывая силы левее сечения z. V ( z − 0)3 EJ x y( z ) = EJ xθo ⋅ z − A . 3 (а) Дифференцируя его, получаем уравнение углов поворота: V A ( z − 0) 2 . EJ x θ( z ) = EJ x θ 0 − 2 (б) По уравнению (а) найдем начальный параметр θ 0 из граничного условия на опоре В: при z = l , y = 0. 177 V (l − 0)3 EJ x y = EJ xθo ⋅ l − A . B 6 Откуда: V A (l − 0) 3 m ⋅ l EJ x θ 0 = , = 6⋅l 6 θ0 = m⋅l . 6 EJ x (в) (г) Подставляя в уравнение (а) выражение (в) и z = l /2, находим прогиб в середине пролета: m⋅l m l (1 2 − 0) 3 m ⋅ l 2 1 2− , EJ x yc = = 6 6 16 m ⋅ l2 20 ⋅103 ⋅ 62 yc = = = 6,5 ⋅10−3 м = 0,65 см . 16 EJ x 16 ⋅ 2 ⋅1011 ⋅ 3460 ⋅10−8 Прогиб yC направлен вверх. Угол поворота сечения А, совпадающего с началом координат, определим из выражения (г): θ A = θ0 = m⋅l 20 ⋅103 ⋅ 6 = = 0,0029рад = 0,165 o . 11 − 8 6 EJ x 6 ⋅ 2 ⋅10 ⋅ 3460 ⋅10 Поворот сечения А происходит против часовой стрелки. Расчет балок на жесткость В целях обеспечения нормальной эксплуатации строительных конструкций расчет изгибаемых элементов проводят не только по первой группе предельных состояний, но и по второй - на жесткость. Во избежание появления чрезмерных перемещений наибольший прогиб ymax = f не должен превышать предельно допустимого, устанавливаемого строительными нормами, т.е. должно выполняться условие жесткости: f ≤ [f ] , (5.65) 178 l l ÷ ) – допускаемый прогиб, указанный в долях пролета бал200 750 ки (задается СНиПом). Если жесткость недостаточна, то необходимо подобрать другое сечение из условия (5.65). Расчет на жесткость производят по нормативной нагрузке, т.е. без учета возможной перегрузки. где [ f ] = ( Тема 5.2 Общий вид эпюр внутренних усилий при изгибе Изгибающая нагрузка в общем виде, формулы для вычисления опорных реакций Изгиб балки происходит от нагрузки, перпендикулярной её продольной оси. Изобразим унифицированную схему консольной балки (рис. 5.38) и балки на двух опорах (рис. 5.39). Нагрузку представим в виде сосредоточенных сил Рi и моментов Мi, приложенных в начале каждого участка, а также распределенной нагрузкой по всей длине каждого участке интенсивности qi. За положительное принято направление нагрузки, вызывающее положительные изгибающие моменты. Балка может иметь n грузовых участков. В случае двухопорных балок вначале расчёта нужно найти опорные реакции RА и RВ. Из уравнений равновесия ∑ мом А = 0 и ∑ пр y= 0, которые принимают вид: P1(l1 + l2 +...+ ln )+P2(l2+l3+...+ln)+...+Pnln+ +q1l1(l1/2+l2 +...+ln)+q2l2(l2/2+l3+...+ln)+...+qnln2/2+ +M1+M2+...+Mn+RА(l1+l2+...+ln)=0, P1+P2+...+Pn+q1l1+q2l2+...+qnln+RА+RВ=0, 179 Рис. 5.38 Общий вид консольной балки 180 Рис. 5.39 Общий вид двухопорной балки Следует RA = − 1 i=n ∑ i =1 i =n i=n i=n ⎛ i =n ⎛ ⎞ i =n ⎛ ⎞⎞ 2 ⎜ ⋅ ⎜ ∑ M i + ∑ ⎜ Pi + q i ⋅ li ⋅ ∑ l i ⎟ − ∑ ⎜ q i ⋅ li / 2 ⋅ ∑ l i ⎟ ⎟⎟ , i =1 ⎝ i i ⎠ i =1 ⎝ ⎠⎠ l ⎝ i =1 i i =n R B = −∑ (Pi + q i ⋅ l i ) − R A i =1 Если величины RА и RВ получаем положительными, то они направлены вверх. Формулы для вычисления внутренних усилий (поперечных сил и изгибающих моментов), общий вид их эпюр и закономерности В расчётах на прочность необходимы эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Мx. Для компактного представления методики вычисления значений Qy и Мx используем i-й участок, который изобразим как отдельную консольную балку (рис.5.40), нагруженную на свободном краю сосредоточенной силой QQi и моментом MМi. По всей длине li покажем распределён- 181 ную нагрузку интенсивности qi. Cила QQi представляет собой сумму всех сил левее i-го участка и силы Рi: j =i QQi = j =i −1 ∑P + ∑q j j =1 j ⋅ lj . j =1 Момент MМi есть сумма моментов от нагрузки левее i-го участка относительно первого сечения i-го участка и момента Мi. j =i MM i = ∑ j =1 j = i − 1⎛ ∑ ⎜P ⋅ Mj + ⎜ j j =1 ⎝ ⎞ lk ⎟ + ⎟ ⎠ k =i −1 ∑ k= j j = i − 1⎛ ⎛ k =i −1 l j ⎞⎟ ⎞⎟ ⎜q l ⎜ lk + . ⎟⎟ ⎜ j j⎜ 2 ⎝ k = j +1 ⎠⎠ j =1 ⎝ ∑ ∑ Теперь нетрудно записать формулы для поперечных сил Qy и изгибающих моментов Мx в текущем сечении i-го участка (рис. 5.40), удалённом от начала участка на расстоянии zi: qi zi2 Qy = QQi + qi ⋅ zi , M x = MM i + QQi ⋅ zi + 2 (5.66) Подставляя значения нагрузок реальной балки, можно получить для неё по (5.66) значения Qy и Мx. Необходимо заметить, что при расчёте двухопорных балок нужно положить Р1=P1+RA. Этим сохраним унифицированную схему нагружения, возможность выделить i-й участок как отдельную балку и использовать (5.66) для всех балок. При унифицированном представлении можно изобразить общий вид эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов Мx, (для консольной см. рис. 5.38, для двухопорной балки − рис. 5.39). Подставляя значения нагрузок реальной балки, можно получить для неё эпюры. Выполним вычисление поперечных сил и изгибающих моментов на примере левой балки, изображённой на рис. 5.41. Здесь QQ = 1,2кН, MM = 0,2кН·м, q = -8кН/м, l = 0,2м, поэтому в текущем сечении балки по (5.66) Q y = 1,2 + ( −8) ⋅ z , M x = 0,2 + 1,2 ⋅ z + ( −8) ⋅ z 2 / 2 , при z = 0 Q y = 1,2 кН, M x = 0,2 кН·м; при z = 0,2 м Q y = −4 кН, M x = 0,36 кН·м. 182 Рис. 5.40 Общий вид i-го участка балки Рис. 5.41 Примеры эпюр поперечных сил и изгибающих моментов Откладывая от базисной линии на рис. 5.41 полученные значения, изобразим эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Мx. На эпюре Qy наклонная прямая пересекает базисную линию в сечении с абсциссой z0. В этом сечении Qy = 0, а изгибающий момент принимает экстремальное значение Мэкс, и нужно уточнить эпюру моментов. Вычислим по (5.66) значения z0.и Мэкс : z0= QQi / qi =1,2/8=0,15м, Мэкс= 0,2 + 1,2 ⋅ z0 + ( −8) ⋅ z0 2 / 2 =0,38кН·м. 183 Отложив это значение, изобразим перегиб на эпюре моментов (рис. 5.41), соответствующий пресечению наклонной линии на эпюре сил. Отметим особенности эпюр внутренних усилий, которые хорошо прослеживаются на унифицированной схеме балки. 1. В сечении, где приложена сосредоточенная сила P, на эпюре поперечной силы Q будет скачок по направлению этой силы и на её величину, а на эпюре моментов М – перелом, направленный в сторону действия силы, если эпюра М построена на растянутом волокне. 2. В сечении, где приложен сосредоточенный момент М, на эпюре поперечной силы Q нет изменений, а на эпюре моментов будет скачок на его величину, направленный вниз при взгляде «слева – направо» для положительного момента М. 3. Чем больше по величине поперечная сила Q, тем круче линия, ограничивающая эпюру моментов М. 4. На участке, где имеется распределённая нагрузка, поперечная сила Q изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по квадратичной зависимости (т.е., по кривой 2-го порядка, по параболе), причём тангенс угла наклона эпюры моментов равен Q. Эта особенность является хорошей демонстрацией теоремы Д.И Журавского: dM x dz = Qy , dQy dz = qy . Напомним, что угол наклона эпюры моментов – это угол между касательной к линии, ограничивающей эпюру моментов, и осью бруса. Тема 5.3 Особенности расчета балок при изгибе Балка равного сопротивления изгибу Балка равного сопротивления изгибу – это такая балка, для которой отношение изгибающего момента M x к осевому моменту сопротивления Wx остается постоянным по всей длине балки σ= Mx = const . Wx (5.67) Так как значение изгибающего момента M x изменяется вдоль балки, то для выполнения условия (5.67) необходимо, чтобы Wx ≠ const . Отметим, что закон изменения M x зависит от вида нагрузки, поэтому находить функцию Wx (z ) нужно для конкретной балки. 184 Пусть на консоль действует сосредоточенная сила P . Изгибающий момент будет M x = P ⋅ z , а напряжение тогда σ= Mx P⋅ z P = = кр = C , Wx Wx Wx где Wxкр – момент сопротивления круглого сечения B. Тогда Wx ( z ) = P⋅z C (5.68) и балка должна иметь такие размеры сечений, чтобы Wx (z ) была линейной функцией. Чаще всего принимают n = const и получают балку, представленную на рис. 5.42, б. P B b b0 P z A а) б) в) а) нагруженная балка; б) вид сверху; в) фронтальный вид Рис. 5.42 Переменная ширина изменяется по закону: b( z ) = b0 + b − b0 ⋅z. l Значение b0 определяют из условия среза свободного края балки, а величину b с помощью выражений (5.67) и (5.68). Консольная балка равного сопротивления изгибу находит применение при исследовании напряженно-деформированного состояния, т. к. она удобна для тарировки датчиков. 185 Рис. 5.43 Для других условий и нагрузок можно также найти закон изменения размеров сечения, чтобы соблюсти условие (5.67). Так, например, рессоры в виде положенных друг на друга пластин создают балку равного сопротивления изгибу, если уложены, как представлено на рис. 5.43. Упруго-пластический изгиб и расчёт по несущей способности Пусть к балке на 2-х опорах приложена сила P (рис. 5.44). Опасным является M сечение K , в котором σ max = max , т. к. напряжения σ по сечению изменяWx ются по линейному закону и σ max возникает в крайних (верхних и нижних) волокнах балки. Для условия прочности по несущей способности необходимо, чтобы σmax ≤ [σ] (рис. 5.45, а). Рассмотрим возможную работу балки при дальнейшем увеличении силы P . Рис. 5.44 186 Рис. 5.45 Сначала σmax = σ т возникнет в крайних волокнах (рис. 5.45, б), далее текучесть распространяется вглубь сечения и при возникновении σ т практически по всей высоте сечения (рис. 5.45, г), балка получает возможность резкого поворота своих частей вокруг точки K – это явление получило название «пластического шарнира». Вычислим изгибающий момент M пл , в момент образования пластического шарнира. M пл = ∫ σ т ⋅ ydA + Fсж ∫σ Fраст т ⎛ ⎞ ⋅ ydA = σ т ⎜⎜ ∫ ydA + ∫ ydA ⎟⎟ F ⎝F ⎠ сж = σ т (S x− + S x+ ), раст где S x− и S x+ – статические моменты частей сечения с положительным и отри- цательным напряжением σ т . Сумма (S x− + S x+ ) характеризует пластические качества сечения и является пластическим моментом сопротивления Wпл : (S − x + S x+ ) = Wпл . Например, для прямоугольного сечения пр Wпл = bh h bh h bh 2 ⋅ + ⋅ = , 2 4 2 4 4 при этом пр пр M пл = σ т ⋅ Wпл = σ т bh 2 . 4 Сравним M пл с опасной величиной момента, соответствующего опасному моменту метода допускаемых напряжений M т = σ т ⋅ Wx , пр для прямоугольника Wпл bh 2 4 = 2 = 1,5 , Wx bh 6 для круга это соотношение будет 1,7 , для двутавра – 1,15 . Видно, что полное исчерпание прочности балок происходит при образовании пластического шарнира и при этом разрушающие моменты существенно больше, чем по расчету по допускаемым напряжениям. Это состояние балки называется пре- 187 дельным состоянием и соответствующая ему нагрузка носит название предельной или разрушающей Pпр . Расчет по предельным нагрузкам более плотно использует несущую способность, поэтому экономически более выгодный. Этот способ расчета называется расчетом по несущей способности (или по предельному состоянию, или по разрушающим нагрузкам). Методика расчета предполагает отыскание предельной нагрузки Pпр через M xmax (согласно эпюре M x ) и далее расчет предельно допускаемой нагрузки [Pпр ]: [P ] = P[n] , пр пр где [n ] – нормативный коэффициент запаса прочности, который устанавливается таким образом, чтобы напряжения при предельнодопускаемых нагрузках были меньше предела текучести σ т . Схематизация диаграммы напряжений Расчет по несущей способности применим только для конструкций из пластичных материалов. Остановимся на диаграмме напряжений (рис. 5.46). σ B A σт≈σпц O ε Рис. 5.46. Диаграмма Прандтля Так как при расчете учитывается текучесть материала конструкции и несущая способность будет считаться исчерпанной, когда произошло течение всего поперечного сечения, то за площадкой текучести дальнейшие участки диаграммы теряют смысл и диаграмму изображают условно виде ломаной прямой OAB (рис. 5.46). Эта диаграмма получила название – диаграмма Прандтля (по имени предложившего её немецкого ученого). При этом материал называют идеально упруго-пластичным. 188 Балка на упругом основании Многие реальные конструкции (рельсы, резервуары, трубопровод, ленточный фундамент и др.) опираются нижней поверхностью на основания, которые не остаются жесткими, а деформируются. Для таких конструкций введена особая расчетная схема – балка на упругом основании (рис. 5.47). q балка z упругое основание r( z) Рис. 5.47 При нагрузки в упругом основании возникает непрерывно рассматриваемая реакция. Чаще всего основание считают вилклеровским (по имени ученого Э. Вилклера, предложившего эту схему), для которого реакция r в каждой точке основания пропорциональна прогибу v = v( z ) : r = k ⋅ v ⋅b, где b – ширина балки, k – коэффициент жесткости упругого основания (или коэффициент Постели), который определяется опытным путем, например, для рыхлого песка k = 1–5 МН/м3. При расчетах в качестве неизвестной принимается функция прогиба v( z ) , получив которую, определяют внутренние усилия M x и Q y по формулам d 2v( z ) M x = EJ ⋅ , dz 2 (5.69) d 3v ( z ) Q y = EJ ⋅ . dz 3 (5.70) Учитывая нагрузку q и реакцию r , запишем суммарную нагрузку в виде P = q − r . Известно, что интенсивность распределенной нагрузки и поперечная сила связаны дифференциалом: P= dQ y . dz 189 С учетом формул (5.69) и (5.70), получим выражение (EJ ⋅ v′′( z ) )″ = P = q − k ⋅ b ⋅ v( z ) (5.71) или при EJ = const v IV ( z ) + 4β 4 v( z ) = q , EJ kb . Уравнение (5.71) – это дифференциальное уравнение изгиба 4EJ балки на вилклеровском основании. Решением этого уравнения является сумма общего v1 и частного решения v2 : v = v1 + v2 . Общее решение выбираем из математического уравнения, а частное зависит от вида правой части уравнения (5.71). Постоянные определяются из граничных условий. На практике рассматривают расчеты бесконечной, полубесконечной и короткой балки. Также, существуют и другие модели основания. где β = 4 Остаточные напряжения Пусть балка нагружена до появления пластического шарнира (рис. 5.48). Рис. 5.48 В балке возникает момент M пл . Выясним, что происходит с напряжениями при снятии нагрузки с балки. Эффект снятия можно воспринимать как воз- 190 действие нагрузки противоположного знака, при которой дополнительно возникают напряжения σ сж = max M max σ тWпл = . Wx Wx Эти напряжения показаны на рис. 5.48, б. При снятии нагрузки исчезают упругие деформации и напряжения (рис. 5.48, б). Практически, происходит алгебраическое сложение напряжений (рис. 5.48, а и б) и в итоге получаем график напряжений (рис. 5.48, в). Эти напряжения называются остаточными. σ A = σ т + σсж = σ т + ост max σ тWпл (W − Wпл ) . = σт x Wx Wx Для прямоугольного сечения согласно этой формуле будем иметь: σ A ост = σт (bh 2 6 − bh 2 4 ) σт . = − 2 bh 2 6 Предельное состояние и условие прочности по несущей способности Условимся под предельным состоянием понимать момент исчерпания несущей способности конструкции. Здесь нужно заметить, что к настоящему времени в расчетной практике строительных конструкций (работы профессоров Н. Стрелецкого, А. Гордеева и др.) рассматриваются два других предельных состояния: по развитию чрезмерных деформаций и по раскрытию трещин. Выше шла речь о предельном состоянии статически определимых балок и приводилась общая методика расчета по несущей способности. Теперь рассмотрим статически неопределимые балки (рис. 5.49). Для такой балки нужно построить эпюру изгибающих моментов M x (рис. 5.49, а). 191 Рис. 5.49 Пусть наибольший по модулю изгибающий момент возникает в заделке A – M A . При увеличении нагрузки P этот момент достигнет значения M пр = σ тWпл и в сечении A возникнет пластический шарнир. Однако несущая способность балки еще не исчерпана. При дальнейшем увеличении нагрузки P пластический шарнир возникнет в сечении C и далее в сечении B. Наличие трех шарниров приведет к тому, что балка потеряет статическую неопределимость и превратится в механизм (геометрически изменяемую систему). Это и будет предельным состоянием, следовательно, в статически неопределимых балках необходимо возникновение k шарниров: k = c + 1 , где c – степень статической неопределимости. На эпюре моментов все «пики» равны значению M пл (рис. 5.49, б). Найдем приведенную нагрузку Pпр . Чтобы получить простую двух опорную балку, разложим эпюру M пр на две составляющие: прямоугольник с высотой равной M пл и треугольник с высотой 2M пл . P a(l − a ) M пл 2l Тогда 2 M пл = пр . , и отсюда выразим Pпр = l a (l − a ) P Условие прочности будет иметь вид P ≤ [Pпр ] = пр . [n] Балка составного сечения из разных материалов: нейтральная линия и формула для напряжений 192 Балка, изготовленная из нескольких различных материалов, называется композитной балкой. Примерами являются балки, изготовленные из двух различных металлов, которые соединены друг с другом таким образом, чтобы работать как единое целое (биметаллические балки), железобетонные балки, а также трехслойные. Поскольку при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими независимо от того, состоит ли балка из одного материала, замечаем, что в рассматриваемой балке деформации изменяются от верхней поверхности до нижней по линейному закону. На рис. 5.50 показано распределение этих деформаций. Для случая балки, которая изготовлена из двух различных материалов; поперечное сечение балки изображено на рис. 5.50, а. Сначала положение нейтральной оси поперечного сечения неизвестно, за исключением того случая, когда поперечное сечение обладает свойством двойной симметрии и когда нейтральная ось проходит на середине высоты балки. а) поперечное сечение; б) распределение деформаций; в) эпюра напряжений; г) приведенное сечение. Рис. 5.50. Балка, изготовленная из двух различных материалов Нормальные напряжения, возникающие в поперечном сечении, можно получить умножением деформаций на модуль упругости соответствующего материала. В примере, приведенном на рис. 5.50, предполагается, что два материала, отмеченные цифрами 1 и 2, имеют соответственно модули упругости E1 и E2 . Тогда, считая, что E2 > E1 , получаем эпюру напряжений, построенную на рис. 5.50, с. Нормальное напряжение σ x на произвольном расстоянии y от нейтральной оси для материалов 1 и 2 соответственно задается следующими выражениями: 193 σ x1 = χE1 y , σ x 2 = χE2 y (5.72) Положение нейтральной оси можно найти, заметив, что суммарная осевая сила, действующая в поперечном сечении, равна нулю, откуда имеем ∫σ x1 1 dA + ∫ σ x 2 dA = 0 , (5.73) 2 где очевидно, что первый интеграл берется по площади поперечного сечения материала 1, а второй интеграл по площади поперечного сечения материала 2. Заменяя в этом равенстве σ x1 и σ x 2 их выражениями (5.72), получаем E1 ∫ ydA + E2 ∫ ydA = 0 , 1 (5.74) 2 Это соотношение, которое в известном смысле представляется обобщением соотношения ∫ ydF = 0 , можно использовать для определения положения нейтральной оси балки, изображенной на рис. 5.50. Однако для балок, изготовленных из трех и более материалов, потребуется ввести в соотношение (5.73) дополнительные члены аналогичного вида. Использовать это соотношение нетрудно, заметив, что интегралы представляют собой статические моменты частей площади поперечного сечения относительно нейтральной оси. Соотношение между изгибающим моментом и напряжениями в балке: M = ∫ σ x ydA = ∫ σ x1 ydA + ∫ σ x 2 ydA = 1 2 = χE1 ∫ y dA + χE2 ∫ y dA = χ (E1 I 1 + E2 I 2 ), 2 1 2 (5.75) 2 где I1 и I 2 — соответственно моменты инерции площадей 1 и 2 относительно нейтральной оси. Отметим, что I = I1 + I 2 , где I – осевой момент инерции площади всего поперечного сечения. Из формул (5.73) и (5.75) получаем следующие представления для напряжений в балке как функций от изгибающего момента M : σ x1 = MyE1 , E1 I1 + E2 I 2 (5.76) σx2 = MyE2 . E1 I1 + E2 I 2 (5.77) 194 Первое выражение описывает распределение напряжений в материале 1, второе – в материале 2. Если E1 = E2 = E , то оба выражения упрощаются и сводятся к виду σ x = My I , как для балки из одного материала. Следующий пример, иллюстрирует расчет балки, изготовленной из различных материалов. Метод приведенного поперечного сечения Метод приведенного поперечного сечения дает удобную процедуру исследования балки, изготовленной из различных материалов. Процедура заключается в преобразовании поперечного сечения балки, различные части которой изготовлены из различных материалов, в эквивалентное поперечное сечение балки, состоящей из одного материала. Затем последнее, называемое приведенным поперечным сечением, исследуется обычным способом, как и в случае балки из одного материала. Для того чтобы быть эквивалентным поперечному сечению исходной балки, приведенное поперечное сечение должно иметь ту же нейтральную ось и ту же способность сопротивляться изгибающему моменту. Посмотрим, как находится приведенное поперечное сечение, и вернемся для этого к соотношению (5.74), которое определяет положение нейтральной оси. Разделив это соотношение на E1 и введя обозначение n = E2 E1 где n называется отношением модулей, получим ∫ ydA + ∫ yndA = 0 . 1 (5.78) 2 Отсюда следует, что положение нейтральной оси не изменится, если каждый элемент материала 2 площадью dA увеличится за счет коэффициента n при условии, что расстояние y для каждого такого элемента останется неизменным. Иначе говоря, поперечное сечение можно считать как бы состоящим из двух частей: из площади 1, которая остается прежней, и из площади 2, ширина которой умножается на n . Таким образом, получается новое поперечное сечение, полностью состоящее из одного материала, а именно из материала l. Приведенное поперечное сечение для балки (рис. 5.50, а) изображено на рис. 5.50, г. Часть сечения, занимаемая материалом 1, остается неизменной, а ширина части сечения, занимаемой материалом 2, увеличивается в n раз. (Заметим, что на рисунке принято n > 1 , но это не обязательно). Теперь приведенное поперечное сечение (рис. 1, г) уже можно считать целиком состоящим из материала 1. Нейтральная ось для приведенного поперечного сечения будет находиться там же, где и у исходной балки (рис. 5.50, а) — это следует из равенства (5.78). Кроме того, у приведенного сечения будет такая же, как и у исходного сечения, несущая способность по отношению к изгибающему мо- 195 менту (способность сопротивляться этому моменту). Указанное условие можно представить следующим образом. Для приведенного поперечного сечения справедливо соотношение σ x = χE1 y , откуда получаем M = ∫ σ x ydA = ∫ σ x ydA + ∫ σ x ydA = χE1 ∫ y 2 dA + χE2 ∫ y 2 dA = 1 2 = χ (E1 I 1 + E1nI 2 ) = χ (E1 I 1 + E2 I 2 ), 1 2 т. е. то же самое выражение, что и (5.75). Отсюда следует, что для исходной и для приведенной балок моменты одинаковы. Напряжения в приведенном поперечном сечении можно найти из обычной формулы для напряжений, поскольку балка состоит только из одного материала. Такие напряжения определяются выражением σ x1 = My , I пр (5.79) где I пр – момент инерции приведенного поперечного сечения относительно нейтральной оси ( I пр = I1 + nI 2 ). Выражения (5.79) и (5.76) совпадают; отсюда заключаем, что напряжения в материале 1 исходной балки являются такими же, как и полученные для приведенного поперечного сечения. Однако для материала 2 в исходной балке подобное утверждение будет неверным. Наоборот, сравнение выражений (5.79) и (5.77) показывает, что для получения напряжений в исходной балке нужно напряжения в приведенной балке умножить на n. Таким образом, из вышеизложенного следует, что поскольку приведенное поперечное сечение состоит из материала 1, то напряжения в материале 1 будут «истинными», но напряжения в той части балки, которая состоит из материала 2, следует преобразовать с помощью отношения модулей. Метод приведенных поперечных сечений может быть легко распространен на случай, когда имеется более двух материалов. Точно так же можно привести исходную балку к балке из материала с произвольной величиной E , в этом случае все части поперечного сечения исходной балки должны быть соответственно приведены к этому фиктивному материалу. Разумеется, более простым и привычным является приведение к одному из исходных материалов, выбранному произвольно. Контрольные вопросы к разделу 5 1. Какой вид деформации называется изгибом? 2. Дайте определения чистого и поперечного изгиба соответственно. 196 3. Поясните правило принятия знаков для изгибающего момента и поперечной силы. 4. Поясните суть основных дифференциальных соотношений теории изгиба. 5. Запишите формулу по определению нормальных напряжений, возникающих в поперечных сечениях при чистом и поперечном изгибе. 6. Запишите формулу Д.И. Журавского. 7. Поясните суть и предназначения метода начальных параметров. 8. Что такое главные центральные оси сечения и главные плоскости изгиба? 9. Какая геометрическая характеристика сечения является определяющим при оценке прочности балки по нормальным напряжениям при изгибе? 10. Где находятся опасные точки в поперечном сечении балки при чистом изгибе, поперечном изгибе? 11. Какая форма поперечного сечения балки при изгибе является рациональной и почему? 197 Модуль 2 Сложное сопротивление Раздел 6. Основы теории напряженно-деформированного состояния Тема 6.1 Напряженное и деформированное состояние. Полное, нормальное и касательное напряжения Интенсивность нормальных сил в рассматриваемой точке сечения называется нормальным напряжением σ , а интенсивность касательных сил – касательным напряжением τ . Полное напряжение p определяется (см. раздел 1, тема 1.1): p = σ2 + τ2 . (6.1) Линейное напряженное состояние Общие понятия о линейном, плоском и объемном напряженном состоянии см. раздел 1, тема 1.1. Линейное напряженное состояние реализуется при растяжении (сжатии) стержней (рис. 6.1). Напряжения в поперечном сечении N F = A A σ = σ1 = (6.2) Напряжения на наклонных площадках Aα и Aβ в соответствии с формулами 2.9, 2.10: σ α = σ1 cos 2 α ; σβ = σ1 sin 2 α τα = σ1 σ sin 2α ; τβ = − 1 sin 2α . 2 2 (6.3) (6.4) По закону парности касательных напряжений τ α =-τβ . Наибольшие касательo α = 45 ные напряжения: τ max = σ1 2 Главные напряжения: σ1 =σ; σ 2 =σ 3 = 0 198 Рис. 6.1 Напряжения на произвольной площадке при плоском НС. Главные площадки и главные напряжения При плоском напряженном состоянии на площадке α действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 6.2). Применяя принцип суперпозиции, на основании (6.3) и (6.4) имеем: σ α = σ1 ⋅ cos 2 α + σ 2 ⋅ sin 2 α, τα = σ1 − σ 2 ⋅ sin 2α. 2 (6.5) Рис. 6.2 Напряжения на площадке β = ( 900 − α ) , перпендикулярной площадке α , с учетом (6.5), будут определяться: σβ = σ1 ⋅ sin 2 α + σ 2 ⋅ cos 2 α, τβ = σ1 − σ 2 ⋅ sin 2α. 2 (6.6) Из данных формул следует: 1. Касательные напряжения достигают максимальных значений при α ± 450 и равны: 199 τ max = σ1 − σ 2 . 2 (6.7) 2.Складывая выражения для нормальных напряжений (формулы 6.5 и 6.6), получим: σ α +σβ = σ1 + σ 2 = const , т.е. сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках постоянна и равна сумме главных напряжений. 3. Сопоставляя (6.5) и (6.6), получим τ α = − τβ – закон парности касательных напряжений. При известных нормальных и касательных напряжениях по площадкам α и β могут быть установлены главные напряжения σ1 и σ 2 , имеющие экстремальную (наибольшую и наименьшую) величину: σ1,2 = σ α + σβ 2 ± 1 (σα − σβ ) 2 + 4τα2 2 (6.8) и направления главных напряжений tg2α o = − τα . σ α − σβ (6.9) Приведенные формулы связывают главные напряжения и напряжения по наклонным площадкам. В теории напряженного состояния различают две основные задачи: Прямая – по известным главным площадкам и действующим на них главным напряжениям требуется определить нормальные и касательные напряжения на наклонных площадках под углом α ; Обратная – по известным нормальным и касательным напряжениям, действующим на двух взаимно перпендикулярных площадках, найти главные напряжения и главные направления. Объемное напряженное состояние При действии σ1 , σ 2 , σ3 в точке возникает объемное напряженное состояние (рис. 6.3). Напряжения на площадках, параллельных одной из осей, определяются как для случая плоского напряженного состояния. 200 Рис. 6.3 Напряжения σ α , τ α на произвольной площадке определяются по формулам σα = σ1 ⋅ cos 2 α1 + σ2 ⋅ cos 2 α 2 + σ3 ⋅ cos 2 α 3 ; (6.10) τα = σ 12 ⋅ cos 2 α1 + σ22 ⋅ cos 2 α 2 + σ23 ⋅ cos 2 α3 − σα2 . Если нормаль к произвольной площадке образует одинаковые углы α1 =α 2 =α3 =α с направлениями σ1 , σ2 , σ3 , то площадка называется октаэдри- ческой. Для такой площадки cos 2 α = 1 3 , тогда: σ1 + σ 2 + σ3 = σcp 3 1 (σ1 − σ 2 ) 2 + (σ2 − σ3 ) 2 + (σ1 − σ3 ) 2 , = 3 α α = σокт = τα = τокт (6.11) где σокт , τ окт – октаэдрические напряжения. Величина, равная 3 τокт , называется интенсивностью напряжений. 2 σi = 3 1 (σ1 − σ2 ) 2 + (σ2 − σ3 ) 2 + (σ1 − σ3 ) 2 . τокт = 2 2 (6.12) Обобщенный закон Гука для изотропного материала В общем случае при объемном состоянии действие напряжений σ1 , σ2 , σ3 вызывает деформации в направлении этих напряжений (рис. 6.3). Данные деформации можно определить на основе принципа независимости действия сил как сумму деформаций по каждому из направлений. Продольная деформация в направлении σ1 от действия σ1 по закону Гука будет: 201 ε11 = Коэффициент Пуассона: ν= σ1 . E ε поп. . ε прод. Деформация ε 22 = σ 2 E – продольная деформация в направлении σ2 , тогда деформация ε 12 , т. е. по направлению σ1 от действия σ2 , будет поперечной по отношению к направлению σ 2 , и из уравнения Пуассона получим: − ε12 =ν , ε 22 отсюда ε12 = − Аналогично ε13 = − σ3 E σ2 E ν. ⋅ν. Полная относительная деформация ε1 в направлении σ1 получается в результате суммирования ε11 , ε12 , ε13 . 1 [σ1 − ν(σ 2 + σ3 )] ⎫⎪ E ⎪ 1 ⎪ ε 2 = [σ 2 − ν(σ1 + σ3 )]⎬ E ⎪ ⎪ 1 ε 3 = [σ3 − ν(σ1 + σ 2 )]⎪ E ⎭ ε1 = Формулы (6.13) – выражают обобщенный закон Гука, где ε 1 , ε 2 , ε (6.13) 3 - глав- ные деформации. При плоском напряженном состоянии σ3 = 0 , тогда ε1 = 1 1 ν ( σ1 − ν σ2 ) ; ε2 = ( σ2 − ν σ1 ) ; ε3 = − ( σ1 + σ2 ) . E E E (6.14) При линейном напряженном состоянии σ2 = σ3 = 0 ; σ1 = σ : ε1 = σ νσ νσ , ε2 = − , ε3 = − . E E E (6.15) 202 Обратная форма закона Гука Плоское напряженное состояние (н. с.) Перепишем уравнения (6.14) для ε1 и ε 2 и сложим левые и правые части: σ σ σ νσ ε1 = 1 − ν 2 ; νε 2 = ν 2 − ν 1 E E E E σ σ ε1 + νε 2 = 1 − ν 2 1 ; E E отсюда обратная форма закона Гука E ⎫ (ε1 + νε 2 ) ⎪ 2 ⎪ 1− ν ⎬ E (ε 2 + νε1 ) ⎪ σ2 = 2 1− ν ⎭⎪ σ1 = . (6.16) Линейное напряженное состояние (н.с.) σ1 = ε1E. (6.17) По формулам (6.16) и (6.17) можно найти главные напряжения через главные деформации. Тензор напряжений. Напряжения на произвольной площадке. Обобщенный закон Гука для произвольной площадки Рассмотрим элемент dxdydz (рис. 6.4). Полные напряжения на гранях представляют нормальными и касательными составляющими. Совокупность этих напряжений носит название тензора напряжений: σ x τ yx τ zx Tн = τ xy σ y τ zy . τ xz τ yz σ z 203 Рис. 6.4 Считаем, что нормальные напряжения вызывают линейные деформации ребер dx, dy, dz по направлениям x, y, z - ε x , ε y , ε z . Касательные напряжения вызывают изменения прямых углов, т.е. сдвиговые деформации: γ yx = γ xy ; γ zy = γ yz ; γ xz = γ zx . Тогда обобщенный закон Гука примет вид 1 ⎡σ x − ν ( σ y + σ z )⎤ ; ⎦ E⎣ 1 ε y = ⎡⎣σ y − ν ( σ x + σ z ) ⎤⎦ ; E 1 ε z = ⎡⎣σ z − ν ( σ x + σ y ) ⎤⎦ ; E εx = γ yx = γ xy = γ zy = γ yz = τ xy G τ yz ; ; G τ γ xz = γ zx = zx . G (6.18) Формулы (6.18) – обобщенный закон Гука для произвольной площадки. При плоском напряженном состоянии σ z = 0 (рис. 6.5). 1 ⎫ σ x − νσ y ) ⎪ ( E ⎪ 1 ε y = ( σ y − νσ x ) ⎪ ⎪ E ⎬ ν ε z = − ( σ x + σ y )⎪ ⎪ E ⎪ τ ⎪ γ yx = γ xy = xy G ⎭⎪ εx = Рис. 6.5 (6.19) 204 Изменение объема. Удельная потенциальная энергия упругой деформации Относительное изменение объема при объемном напряженном состоянии: θ= V − V0 , V0 где V0 = abc – объем до деформации; V – объем после деформации. Под действием σ1 , σ2 , σ3 стороны параллелепипеда получают удлинение Δa , Δb , Δc . Тогда V = (a + Δa )(b + Δb)(c + Δc) = a ⋅ b ⋅ c ⋅ (1 + Δa Δb Δc )(1 + )(1 + ) = a b c = V0 (1 + ε1 )(1 + ε 2 )(1 + ε3 ); θ= V0 (1 + ε1 )(1 + ε 2 )(1 + ε3 ) − V0 = (1 + ε1 )(1 + ε 2 )(1 + ε3 ) − 1 = V0 = 1 + ε1 + ε 2 + ε3 + ε1ε 2 + ε 2ε3 + ε1ε3 + ε1ε 2ε3 − 1. Так как ε1 , ε 2 , ε3 малы, то их произведениями пренебрегаем. Тогда объемная деформация будет равна сумме главных деформаций: θ ≈ ε1 + ε 2 + ε3 . (6.20) Если рассматривать средние значения деформаций и напряжений в виде εср = ε1 + ε 2 + ε3 σ + σ 2 + σ3 ; σср = 1 , 3 3 (6.21) действующих согласно (6.11) на октаэдрических площадках, получим: θ = 3εср . (6.22) Если в (6.20) и (6.21) подставить закон Гука (6.13), то можно объемную деформацию выразить через напряжения: 205 θ = 3εср = Тогда: εср = 1 − 2ν 1 − 2ν 3σср = (σ1 + σ2 + σ3 ) . E E θ 1 − 2ν 1 − 2ν = σcp . 3σср = 3 E3 E (6.23) По выражению (6.23) можно оценить предельное значение коэффициента Пуассона – коэффициента поперечной деформации. При положительных σср величина θ должна быть положительна, при отрицательных σср отрицательной должна быть и величина θ . Это возможно, когда: 1 − 2ν 1 ≥0→ν < . 2 E Потенциальная энергия деформации при простом растяжении: 1 σ2 . U = σε = 2 2E При объемном напряженном состоянии: 1 1 1 U = σ1ε1 + σ2ε 2 + σ3ε3 . 2 2 2 Подставим значения ε1 , ε 2 , ε3 по закону Гука (6.13): 1 ⎡⎣σ12 + σ 22 + σ32 − 2ν ( σ1σ2 + σ2σ3 + σ1σ3 ) ⎤⎦ . (6.24) 2E Уравнение (9.24) определяет полную потенциальную энергию, которая включает в себя энергии изменения объема U 0 и формы U φ тела: U= U = U0 + Uφ . Объемная деформация θ определяет только энергию изменения объема. Так как величина θ связана с εср и σср , то энергия изменения объема будет: 206 1 1 1 3 U 0 = σcp εcp + σcp εcp + σcpεcp = σcpεcp = 2 2 2 2 (6.25) = 3 (σ1 + σ2 + σ3 ) 1 − 2ν (σ1 + σ 2 + σ3 ) 1 − 2ν (σ1 + σ2 + σ3 ) 2 , = 2 3 3 3 6E E 1444 2444 εcp Если из общей энергии U вычесть энергию изменения объема U 0 , то получим энергию формоизменения: Uφ = U − U0 = 1− ν 2 (σ1 + σ22 + σ32 − σ1σ2 − σ2σ3 − σ1σ3 ) = 3E (6.26) = 1+ ν ⎡ 2 2 2 σ1 − σ2 ) + ( σ2 − σ3 ) + ( σ1 − σ3 ) ⎤ . ( ⎦ 6E ⎣ При простом растяжении σ2 = σ3 = 0 , U0 = 1 − 2ν 2 1+ ν 2 ⋅ σ1 ; U φ = ⋅ σ1 . 6E 6E (6.27) Чистый сдвиг: σ1 = τ , σ3 = −τ , σ2 = 0 . По (6.23) и 6.25) имеем: θ= 1 − 2ν 1 − 2ν 2 ( τ −τ +0 ) , U 0 = ( τ −τ +0 ) = 0 , 6E E т. е. при чистом сдвиге объем не меняется, и энергия изменения объема равна нулю. Следовательно, потенциальная энергия накапливается только за счет изменения формы (6.26): 1 + ν 2 τ2 6τ = U = Uф = , 6E 2G где G= E . 2(1 + ν) Анизотропия 207 В общем случае анизотропного линейно-упругого тела закон Гука можно представить в виде σij = Сijkl ⋅ εij (6.28) где σ ij - тензор напряжений, ε ij - тензор деформаций, тензор четвертого ранга С ijkl - тензор упругих постоянных. Подробно данный вопрос рассматривается в курсе «Теория упругости». Прямая задача при плоском напряженном состоянии. Круг Мора Аналитическое решение прямой задачи дается формулами (6.5). Графически σα , τα , σβ , τβ по известным σ1 , σ2 (рис. 6.6, а) определяются с помощью круга Мора (рис. 6.6, б). Круг Мора (круг напряжений) – геометрическое место точек, абсциссы и ординаты которых равны соответственно нормальным и касательным напряжениям, возникающим на площадках данной серии. τα Рис. 6.6 Серией площадок называют совокупность бесчисленного множества площадок, перпендикулярных одной и той же грани элементарного параллелепипеда. Порядок построения 1.На плоскости выбирается ось σ (ось абсцисс) параллельно 1–му главному напряжению. 2. Выбирается ось ординат – ось касательных напряжений τ . 3.На оси абсцисс откладываются главные напряжения σ1 , σ2 (с учетом их 208 знаков), и на разности этих напряжений, как на диаметре, строится круг напряжений (круг Мора). Точка В характеризует напряжения по вертикальным боковым граням параллелепипеда, изображенного на рис. 6.6, а, а точка А – по его горизонтальным граням. 4.Из точек В и А проводятся лучи параллельные нормалям к соответствующим граням, до пересечения с окружностью в точке К, называемой полюсом. Затем из точки К проводится луч, параллельный нормали nα ; точка пересечения луча с кругом M α определяет напряжения σα , τα на площадке α . 5. Из этой же точки проводится луч, параллельный нормали nβ, пересечение которого с кругом Мβ дает σβ и τβ (рис. 6.6, б). Из построений можно получить формулы 6.5: σα = ON α = OB − BN α = OB − M α B ⋅ sin α = = OB − ( AB ⋅ sin α) ⋅ sinα = σ1 − (σ1 − σ2 ) ⋅ sin α ⋅ sin α = = σ1 − σ1 ⋅ sin 2 α + σ2 ⋅ sin 2 α = σ1 ⋅ (1 − sin 2 α) + σ2 ⋅ sin 2 α; σα = σ1 ⋅ cos 2 α + α 2 sin 2 α. Аналогично для σβ : σβ = σ1 sin 2 α +σ 2 cos 2 α . τα = N α M α = M α B ⋅ cosα = ( AB ⋅ sin α) ⋅ cos = σ1 − σ2 ⋅ sin 2α . 2 Обратная задача. Определение главных напряжений с помощью круга Мора Известно σα , τα , σβ , τβ (рис. 6.7, а). Пусть σα > σβ ; τα > 0, τβ < 0 . Определить σ1 , σ2 . 1. Ось абсцисс параллельна большему из напряжений σα (рис. 6.7, б). 2. Ось касательных напряжений перпендикулярна оси нормальных напряжений. 3. На оси абсцисс откладываются σα , σβ (точки N α и Nβ ). 4. Из концов σα и σβ откладываются отрезки τα и τβ (точки M α и M β ), концы τα и τβ соединяются. 209 τα С Рис. 6.7 5. На линии, соединяющей концы τα и τβ , как на диаметре, строится круг Мора, который отсекает на оси абсцисс отрезки ОА и ОВ, равные σ1 и σ2 . 6. Из точек M α и M β проводят лучи параллельные нормалям к вертикальной и горизонтальной граням параллелепипеда до пересечения с окружностью в точке К (полюс круга). Направления σ1 и σ2 получатся, если точки А и В соединить с полюсом К круга Мора, имеющего координаты ( σβ и τα ). Из построений можно получить выражения для главных напряжений: σ 1 = OC + CB = OC + CM α = OC + CN α2 + N α M = σ 2 = OA = OC − AC = OC − CM α = σα + σβ 2 σ α + σβ 2 2 ⎛ σ − σβ ⎞ 2 + ⎜ α ⎟ +τα ; ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ σ − σβ ⎞ 2 − ⎜ α ⎟ + τα ; ⎝ 2 ⎠ Эллипсоид напряжений Интерпретация поверхности напряжений в виде эллипсоида была предложена Ламе (1795-1870). Координатные оси совместим с главными осями тензора напряжений для некоторой точки М. При таком положении касательные напряжения будут равны нулю, а нормальные равны главным σ1 , σ2 , σ3 . Уравнение эллипсоида напряжений (или эллипсоида Ламе) с полуосями, равными главным напряжениям σ1, σ2, σ3 имеет вид: 210 x12 σ 12 + x 22 σ 22 + x32 σ 32 (6.29) =1 Рис. 6.8 Поверхность эллипсоида представляет собой геометрическое место концов векторов напряжений pn на всем множестве площадок, проходящих через данную точку М. Выводы о напряженном состоянии: 1. Наибольшее напряжение в рассмотренной точке тела равно максимальному из трех главных напряжений в этой точке. 2. Если ни одно из трех главных напряжений не равно нулю, то векторы полных напряжений на всем множестве площадок, проходящих через данную точку тела, располагаются в объеме эллипсоида Ламе. Такое напряженное состояние в точке тела называется объемным или трехосным. В зависимости от знаков главных напряжений это есть растяжение или сжатие в направлении трех главных осей тензора. 3. Если одно из главных напряжений равно нулю, то эллипсоид превращается в эллипс, что соответствует плоскому или двухосному напряженному состоянию. 4. Если два главных напряжения равны нулю, то элемент превращается в отрезок прямой линии, расположенной на одной из главных осей тензора напряжений, что соответствует линейному или одноосному напряженному состоянию. Тема 6.2 Экспериментальное определение напряжений и деформаций Классификация экспериментальных методов 211 Для получения объективных характеристик материала необходимо соблюдать условие однородности напряженного состояния, т. е. необходимо обеспечить постоянство напряженного состояния для всех точек испытуемого образца. Это условие соблюдается, например, при растяжении, частично при сжатии короткого образца и при кручении тонкостенной трубки. Изменение свойств материала в этих испытаниях происходит одновременно во всем объеме образца и легко поддается количественной оценке. При кручении сплошных образцов, а также и при изгибе напряженное состояние является неоднородным. Качественные изменения свойств материала в отдельных точках не влекут за собой заметных изменений в характеристиках образца. Требование однородности напряженного состояния накладывает серьезные ограничения на результаты многих видов испытаний. В частности, до сих пор не удается провести объективные испытания в условиях однородного всестороннего растяжения. Это напряженное состояние можно создать пока только в отдельных точках образца, например в центре сплошного шара, быстро нагреваемого извне. Одним из видов механических испытаний являются технологические пробы, дающие не объективные, а только сравнительные характеристики свойств материала при строго регламентированных условиях испытания. Сюда относятся испытания на твердость, на ударную вязкость и некоторые другие. В некоторой мере к технологическим пробам могут быть отнесены также испытания на усталостную прочность. Кроме статических испытаний часто возникает необходимость проведения и динамических испытаний. Например, весьма распространены испытания приборов, работающих в условиях вибраций. Эти испытания проводят на специальных вибрационных столах при различных значениях частот и амплитуд. При таких испытаниях деформации и напряжения в вибрирующих деталях прибора обычно не замеряют. О прочности отдельных узлов судят только в случае их разрушения. В ряде случаев динамические испытания ведут с осциллографированием (записью) быстро изменяющихся деформаций, возникающих в наиболее опасных узлах. Существующие в настоящее время способы экспериментального исследования напряженных конструкций сводятся, так или иначе, к прямому определению деформаций, возникающих в испытуемом объекте. Напряжения определяют косвенно через деформации на основе закона Гука. В случае пластических деформаций напряжения при испытаниях конструкций обычно не определяют, а устанавливают только разрушающую нагрузку или то значение силы, при котором наблюдаются признаки возникновения пластических деформаций. Для замера деформаций применяют различные методы: определение деформаций при помощи приборов (тензометров) с механическим и электрическим 212 принципами замера; оптический и рентгенографический методы, метод муаровых полос, метод лаковых покрытий. Подробно остановимся на определении деформаций при помощи механических и электрических тензометров. Определение деформаций при помощи механических тензометров Принцип работы механического тензометра основан на замере расстояния между какими-либо двумя точками образца до и после нагружения. Первоначальное расстояние между двумя точками носит название базы тензометра l . Отношение приращения базы Δl к l дает значение среднего удлинения по направлению установки тензометра. Если деформированное состояние однородно, то в результате замера определяют точное значение искомой деформации, как это имеет место, например, при растяжении стержня (рис. 6.9, а). В случае, если деформация вдоль базы изменяется, то замеренное среднее значение ее будет тем ближе к местному истинному, чем меньше база тензометра (рис. 6.9, б). Рис. 6.9 При испытании материалов на растяжение, когда однородность деформации обеспечена, база ограничивается размерами образца. Обычно в этом случае база l имеет значения 50, 100, 150 и 200 мм. При испытании конструкций увеличение базы ограничено погрешностью, связанной с неоднородностью деформаций, а ее уменьшение определяется потерей точности вследствие инструментальных погрешностей. Как правило, база механических тензометров, применяемых при испытании конструкций, лежит в пределах 2–20 мм. Для точных замеров упругих удлинений при определении модуля упругости материала широко используется тензометр Мартенса с оптическим рычагом. 213 Тензометр состоит из жесткой планки, прижимаемой к образцу при помощи струбцины. Верхний нож остается планки неподвижным. В качестве второго ножа используется каленая призма, имеющая ромбовидное сечение. Длина диагонали призмы равна a . С призмой жестко связано зеркальце. На расстоянии L от зеркальца неподвижно устанавливается шкала. При удлинении образца зеркальце поворачивается, и наблюдатель через трубу производит отсчет по отраженной шкале. Увеличение, даваемое прибором, определяется отношением разности показаний по шкале в миллиметрах к значению Δl , измеренному также в миллиметрах. Угол поворота зеркальца α = Δl a . Разность отсчетов по шкале до и после нагружения в силу малости α равна h = L ⋅ 2α . Исключая угол α , находим коэффициент увеличения прибора i= h 2L = . Δl a Обычно у тензометра Мартенса шкалу (размер L ) выбирают так, что i ≈ 500 . Для исключения погрешностей, связанных с внецентренным растяжением образца и возможным его изгибом, практикуют установку сразу двух тензометров. Осреднение показаний двух приборов исключает влияние изгиба. Сдвоенный тензометр Мартенса неудобен тем, что требует сравнительно кропотливой работы при установке. Менее точными, но более удобными в употреблении являются хорошо зарекомендовавшие себя большебазные тензометры МИЛ и Бояршинова. Тензометр МИЛ имеет базу 100 мм и является шарнирно-рычажным. Это – сдвоенный тензометр, устанавливаемый на образце при помощи пружинного зажима. Нижняя опора является неподвижной, верхняя же представляет одно целое с рычагом. Перемещение нижнего конца этого рычага передается планке, а от нее – стрелке. При помощи винта имеется возможность приводить стрелку перед экспериментом в нулевое положение. Если деформации образца велики настолько, что стрелка выходит за пределы шкалы, тем же винтом можно вернуть ее в исходное положение и во время опыта. Увеличение тензометра МИЛ равно 500. В тензометре Бояршинова вместо механических шарниров применен упругий шарнир, состоящий из двух плоских пружин. Алюминиевые детали поворачиваются при растяжении образца относительно точки пересечения пружин. Упругий шарнир обладает тем преимуществом, что не имеет зоны застоя, которая характерна для обычных механических шарниров вследствие наличия сухого трения. Тензометр имеет два стальных каленых ножа, которыми он прижимается к образцу при помощи винтов. В момент установки прибор арретируется (запирается) при помощи штифта, соединяющего наглухо детали. Отсчет деформаций ведется при помощи индикаторов. 214 Тензометром Бояршинова можно производить отсчеты без перестановки шкалы в пределах деформаций, достигающих 4 %. Таким широким диапазоном измерения другие тензометры не обладают. База тензометра l = 50 мм, увеличение около 500. При замере деформации образцов, испытываемых на растяжение и сжатие, отлично зарекомендовал себя тензометр Лихарева с «гидравлическим рычагом». Основными частями этого тензометра являются металлические гофрированные коробки (сильфоны), образующие замкнутую полость, сообщающуюся с капилляром. Полость между сильфонами заполнена жидкостью. При удлинении образца объем полости увеличивается и уровень жидкости в капилляре понижается на h . Из условия неизменности объема жидкости, очевидно, ( πR 2 − πr 2 ) Δl = hF , где R , r – средний радиус большого и малого сильфона, соответственно; F – площадь сечения капилляра. Таким образом, увеличение тензометра равно π ( R 2 − r 2 ) F и зависит от размеров выбранных сильфонов и капилляра. Обычно коэффициент увеличения прибора около 2000. Тензометр на образце устанавливают с помощью винтов. Для изменения уровня жидкости в капилляре и для установки прибора на нуль служит винт. Наименьшая база прибора около 20 мм. Среди механических тензометров, применяемых не только при механических испытаниях материалов, но и при испытаниях конструкций, имеющих сравнительно малую базу, наиболее широкое распространенно в лабораторной практике получил шарнирнорычажный тензометр Гугенбергера с базой 20 мм и увеличением около 1000. Механические тензометры с меньшей базой не имеют широкого распространения и являются уникальными. Попытки отдельных исследователей внедрить такие тензометры в лабораторную практику успеха не имели, поскольку при испытании материалов более предпочтительными являются тензометры с большой базой, а при испытании конструкций тензометры заменяют проволочными датчиками сопротивления. Применение датчиков сопротивления При экспериментальных исследованиях напряженного состояния конструкций, а также в качестве преобразователей деформаций в различных измерительных устройствах широко применяются тензорезисторы. 215 Широкое распространение тензорезисторов объясняется тем, что они малоинерционны, позволяют дистанционно и во многих точках проводить измерения; способ установки их на исследуемую деталь не требует сложных приспособлений и не искажает поле деформаций исследуемой детали. Малые размеры и масса тензорезисторов позволяют размещать их в малодоступных местах и устанавливать на детали в период сборки конструкции. Тензорезисторы используют с современными многоканальными измерительноинформационными системами. Научно-технический прогресс в машиностроении и других областях промышленности привел к существенному усложнению задач и условий измерения деформаций конструкций: рабочие температуры от -269 до 1100 °С; длительные статические, динамические и ударные нагружения; измерение упругопластических деформаций в концентраторах напряжения и др. Тензометрирование натурных конструкций привело к необходимости повышения надежности и простоты установки тензорезисторов. Развитие динамометров и датчиков давления тензорезисторного типа потребовало создания тензорезисторов и методов их применения, обеспечивающих измерительным устройствам погрешность измерения до сотых долей процента. Для решения перечисленных задач разрабатываются и применяются различные типы приклеиваемых и привариваемых тензорезисторов (проволочные, фольговые и полупроводниковые). Принцип измерения деформаций с помощью тензорезисторов состоит в том, что при деформации изменяется его активное сопротивление. Эффект изменения удельного сопротивления металлического проводника под действием всестороннего сжатия (гидростатического давления) был обнаружен в 1856 г. лордом Кельвином и в 1881 г. О. Д. Хвольсоном. Однако пионерами применения этого эффекта для измерения деформаций являются Е. Е. Симмонс (Калифорнийский технологический институт) и Л. С. Руже (Массачусетский технологический институт), которые в 1938 г. изготовили и применили первые образцы приклеиваемого тензорезистора, являющегося прототипом широко распространенных во всем мире тензорезисторов различного назначения. В нашей стране тензорезисторы начали применяться в 40-х годах нашего столетия. Они практически полностью заменили механические тензометры, открыли новые возможности в исследовании прочности различных машиностроительных конструкций. Применение тензорезисторов в качестве вторичных преобразователей различных измерительных устройств обеспечивало последним необходимую точность и надежность при длительных испытаниях. В современном виде тензорезистор конструктивно представляет собой чувствительный элемент из тензочувствительного материала (проволоки, фольги и др.), закрепленный с помощью связующего (клея, цемента) на исследуемой детали. Для присоединения чувствительного элемента в электрическую цепь в тензорезисторе имеются выводные проводники. 216 Некоторые конструкции тензорезисторов для удобства установки имеют подложку, расположенную между чувствительным элементом и исследуемой деталью, а также защитный элемент, расположенный поверх чувствительного элемента. В технике испытания конструкций широкое распространение получили проволочные датчики сопротивления. Проволочный датчик представляет собой наклеенную на полоску бумаги тонкую зигзагообразно уложенную проволочку (рис. 6.10) толщиной 0,015– 0,030 мм. К концам проволочки сваркой либо пайкой присоединяются провода. Рис. 6.10 Датчик наклеивают на поверхность исследуемой детали так, чтобы размер базы l совпадал с направлением, в котором желательно замерить деформацию. При деформации объекта проволочка удлиняется (укорачивается) и сопротивление изменяется. Опыт показывает, что относительное изменение омического сопротивления проволоки ΔR R пропорционально ее удлинению, ΔR R = γ 0 ε где γ 0 – коэффициент тензочувствительности – безразмерная величина, зависящая от физических свойств материала. Для материалов, применяемых в датчиках сопротивления, значение γ 0 колеблется в пределах 2–3,5. Для константана, например, γ 0 = 2,0–2,1, для нихрома 2,1–2,3, для элинвара 3,2–3,5. У проволочного датчика вследствие закруглений на концах петель обнаруживается чувствительность не только к продольным, но и к поперечным деформациям, и ΔR = γε x + δε y , R 217 где ε x , ε y – удлинения в направлениях осей x и y (рис. 6.10), γ и δ – коэффициенты продольной и поперечной тензочувствительности датчика, определяемые путем тарировки. Значение γ вследствие наличия закруглений на концах петель оказывается несколько меньше коэффициента тензочувствительности проволоки γ 0 . По мере увеличения базы l разница между γ и γ 0 уменьшается и для обычно применяемых датчиков с базой l = 20 мм оказывается ничтожно малой. Того же порядка малую величину представляет собой и коэффициент δ . Для датчиков, имеющих малую базу ( l < 5 мм), значение δ соизмеримо с γ , и при подсчете напряжений коэффициент поперечной тензочувствительности следует принимать во внимание. При исследовании напряженного состояния в элементах сложной конструкции часто возникает необходимость делить не только значение, но и направление главных напряжений. В таком случае практикуют установку в исследуемой области сразу трех датчиков в направлениях, составляющих углы 45° (рис. 6.11), так называемой розетки датчиков. По трем замеренным удлинениям могут быть без труда определены главные удлинения и угол, определяющий положение главных осей. Делают это следующим образом: положим, заданы деформации по главным осям x и y . Абсолютное приращение длины AB , равно ∂v ∂u ds ⋅ cos ϕ + ds ⋅ sin ϕ , ∂s ∂s где u и v – перемещения по осям x и y . Относительное удлинение вдоль оси I составляет εI = ∂u ∂v cos ϕ + sin ϕ ∂s ∂s или εI = ∂u ∂v cos2 ϕ + sin 2 ϕ , ∂x ∂y 218 Рис. 6.11 откуда ε I = ε x cos 2 ϕ + ε y sin 2 ϕ . Для трех осей, совпадающих с осями датчиков в розетке, получим соответственно ε I = ε x cos 2 ϕ + ε y sin 2 ϕ ; ε II = ε x cos2 (ϕ + 450 ) + ε y sin 2 (ϕ + 450 ); ε III = ε x cos 2 (ϕ + 900 ) + ε y sin 2 (ϕ + 900 ), Откуда после несложных преобразований находим tg 2ϕ = ε I − 2ε II + ε III ; ε I − ε III εx = ε I + ε III 1 + 2 2 (ε I − ε III )2 + (ε I − 2ε II + ε III )2 ; εy = ε I − ε III 1 + 2 2 (ε I − ε III )2 + (ε I − 2ε II + ε III )2 . Таким образом, в общем случае получены выражения для определения значения и направления главных деформаций. 219 Главные деформации с равным успехом могут быть найдены и при помощи трех механических тензометров. В некоторых случаях практикуется определение главных осей при помощи лаковых покрытий с последующей установкой тензометров по главным направлениям. В современной технике эксперимента датчики сопротивления используют не только для замера деформаций. Во многих силоизмерительных устройствах их используют как чувствительные элементы, реагирующие на изменение внешних нагрузок. Для замера усилий датчики сопротивления наклеивают на деформируемый упругий элемент (стержень, вал), и по изменению сопротивления датчика судят о действующем усилии. Такой способ удобен тем, что позволяет весьма просто осуществить дистанционный замер, без введения сложных дополнительных устройств. При статических испытаниях датчик, наклеенный на поверхность исследуемой детали, включают в измерительный прибор по мостовой схеме с отсчетом показаний по гальванометру. Одно из четырех сопротивлений моста, например R1 , представляет собой сопротивление датчика. Остальные сопротивления подбираю так, чтобы при отсутствии удлинений детали (до начала опыта) мост был сбалансирован и сила тока в гальванометре iГ равнялась бы нулю. Протекающий через гальванометр ток будет пропорционален изменению сопротивления датчика и, следовательно, замеряемой деформации. Основной погрешностью датчиков сопротивления является температурная погрешность. При изменении температуры сопротивление датчика меняется весьма заметно. Например, для константанового датчика, наклеенного на поверхность стальной детали, при изменении температуры на 1° омическое сопротивление меняется так же, как при изменении напряжения в стальном образце, на 0,7 МПа. С тем чтобы компенсировать температурную погрешность, датчик R4 в мостовой схеме помещают без приклейки на датчике R1 и закрывают сверху теплоизолирующим материалом, например тонкой фетровой полоской. Температура обоих датчиков оказывается при этом одинаковой. Тогда одинаковым будет и температурное изменение сопротивлений указанных датчиков. Балансировка моста, следовательно, меняться не будет. Когда ведется исследование напряженного состояния сложной конструкции, имеется большое количество датчиков, с которых необходимо снять показания. Гальванометр и сопротивления R2 и R3 остаются при этом общими, а пары сопротивлений R1 , R4 каждой исследуемой точки включают в схему поочередно для снятия показаний. Чтобы избежать погрешностей из-за изменения напряжения питания непосредственно перед каждым отсчетом проводить балансировку моста при помощи переменного сопротивления. Описанный способ замера пригоден, только при статическом изменении нагрузки. При быстро протекающих процессах вводят специальную регистрирующую аппаратуру. Для записи деформаций применяют осциллографы, а в схему включают усилитель. 220 Тема 6.3 Теории прочности Хрупкое и пластичное разрушение В зависимости от величины характеристик прочности ( σ т , σв ) и пластичности δ, ψ, определяющих механические свойства, материалы делятся на пластичные и хрупкие. В зависимости от условий нагружения и испытаний один и тот же материал может находиться в различных механических состояниях: упругом, упруго-пластическом, пластическом и в состоянии разрушения. Предельное состояние материала как состояние разрушения может реализоваться как в пластичных материалах, так и в хрупких. Для пластичных материалов характерна следующая последовательность смены механических состояний: упругая стадия деформирования; пластическая стадия (накопление повреждений, пластическое течение); стадия разрушения (накопление повреждений и образование микротрещин; развитие магистральной трещины до разрушения по механизму среза). Для материалов, находящихся в хрупких состояниях, вторая стадия исключается, т.к. пластические деформации ограничены по величине и существенно локализованы, а разрушение происходит хрупко после развития магистральной трещины по механизму отрыва. Переход материала от упругой стадии деформирования к пластической описывается критериями пластичности, а от упругого деформирования к разрушению - критериями разрушения. Понятие о предельном состоянии материала В общем случае при объемном напряженном состоянии ( σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ) опасное предельное состояние материала возникает, когда некоторая функция главных напряжений F ( σ1 , σ 2 , σ3 ) достигнет своего предельного значения: F ( σ1 , σ 2 , σ3 ) = C , (6.30) где C - критерий предельного состояния. Уравнение (6.30) в зависимости от природы материала (пластичный, хрупкий) характеризует: - начало пластического течения, тогда C является критерием пластичности (текучести); - момент разрушения и C являются критерием разрушения. 221 Если выполняется условие F ( σ1 , σ2 , σ3 ) < C , (6.31) то материал, согласно критерию пластичности, не переходит в пластическое состояние, сохраняя упругие свойства, а, согласно критерию разрушения, в материале не образуется трещин, приводящих к разрушению. Условие (6.30) геометрически интерпретируется в трехмерном пространстве σ1 − σ 2 − σ3 поверхностью, ограничивающей область безопасных напряженных состояний с точки зрения наступления текучести или разрушения. Основные теории прочности Критерии пластичности. Критерий наибольших касательных напряжений. III теория прочности Пластическая деформация обусловлена сдвигами кристаллической решетки металла, приводящими к возникновению плоскостей скольжения – линии Людерса – Чернова. Предполагается, что критерий наступления пластического состояния связан с достижением некоторой функцией F ( σ1 , σ2 , σ3 ) величины наибольшего касательного напряжения τ max , т.е. F (σ1 , σ 2 , σ3 ) = C = τ max . (6.32) При объемном напряженном состоянии: τ max = σ1 − σ3 =C. 2 (6.33) С другой стороны, в условиях одноосного растяжения, при которых проводятся испытания по определению механических свойств материалов, предельное состояние наступления пластических деформаций опишется соотношением: σ 2 = σ 3= 0 ; σ 1 = σ т ; тогда τmax = σ т 2 = C , (6.34) где σ т – предел текучести при одноосном растяжении. Сопоставляя (6.33) и (6.34), получим условие пластичности в виде F (σ 1,σ 2,σ 3 )=σ 1 −σ 3 = σ т . (6.35) 222 Критерий наибольших касательных напряжений был предложен Ш. Кулоном (1773 г.), а в качестве условия пластичности Г. Треска (1868 г.) и впоследствии математически обоснован Сен-Венаном. Условие (6.35) не учитывает влияние среднего напряжения σ 2 на наступление пластического состояния, однако эксперименты Лоде (1926 г.) показали, что это влияние необходимо учитывать. Энергетический критерий. Критерий наибольших октаэдрических касательных напряжений. IV теория прочности Губер (1904 г.) и Генки (1924 г.) предположили, что критерий достижения пластического состояния должен быть связан с накопленной в единице объема удельной потенциальной энергией деформации, а именно с той ее частью, которая связана с энергией формоизменения U ф . Была исключена из рассмотрения энергия изменения объема U об , т.к. при всестороннем сжатии (σ 1= σ 2 = σ 3= −σ) пластические деформации не возникают, а потенциальная энергия деформации возрастает. Итак, когда энергия формоизменения U ф , соответствующая некоторой функции F ( σ1 , σ 2 , σ3 ) , достигнет предельного значения, наступает состояние текучести, т. е. F (σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ) = C = U ф . (6.36) При объёмном напряженном состоянии: Uф = [ ] 1+ ν (σ1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ3 ) 2 + (σ1 − σ3 ) 2 = C . (6.37) 6E При чистом сдвиге U 0 = 0 , и изменение потенциальной энергии деформации происходит только за счет энергии формоизменения U ф . При одноосном растяжении предельное состояние описывается соотношениями: σ1 = σ Т ; σ 2 = σ3 = 0; U ф = 2 Тогда условие пластичности будет в виде 1+ μ 2 σ =C. 6E Т (6.38) 223 F (σ1 , σ 2 , σ3 ) = 1 (σ1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ3 ) 2 + (σ1 − σ3 ) 2 = σ Т . 2 (6.39) Выражение для энергии формоизменения (6.37) с точностью до постоянного множителя совпадает с выражением для касательного октаэдрического напряжения: τокт = 1 (σ1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ3 ) 2 + (σ1 − σ3 ) 2 , 3 т. е. Uф = 3 1 +ν 2 τ окт . 2 E (6.40) (6.41) Поэтому Р. Мизес (1913 г.) в качестве критерия предельного состояния при наступлении условий текучести принял величину касательного напряжения на октаэдрической площадке C = τокт и с учетом того, что при осевом растяжении в предельном состоянии ( σ 1= σ Т , σ 2 = σ 3= 0 ): τ окт = 2 σ 3 Т получил аналогичное условие пластичности в форме уравнения (6.39). В условиях чистого сдвига ( σ1 = τ Т , σ2 = 0 , σ3 = −τ Т ) теория Треска–Сен– Венана (6.35) дает: τ Т σ Т = 0,5 , (6.42) а теория Губера – Мизеса (6.38): τТ σТ = 1 ≈ 0,577 . 3 (6.43) Для большинства конструкционных металлов соотношение (6.43) согласуется с результатами экспериментов лучше, чем (6.42). Наибольшее расхождение имеет место при чистом сдвиге – 15 %. Однако обе теории пластичности получили широкое распространение в практических расчетах. Критерии разрушения. Критерий максимальных нормальных напряжений. 224 I теория прочности Предельное состояние разрушения естественно связать с максимальным нормальным напряжением, т. е. F (σ1 , σ 2 , σ3 ) = C = σ max . (6.44) Согласно (6.44), разрушение произойдет в той точке тела, где величина σ max достигнет определенной для данного материала величины. При одноосном растяжении σ max = σ 1= σ ВР , σ 2 = σ 3= 0 , а при одноосном сжатии σ max = σ 3= σ ВС , σ 1= σ 2 = 0 , и тогда условие (6.44) примет вид F (σ1 ) = σ max = σ ВР − растяжение⎫⎪ ⎬, F (σ3 ) = σ max = σ ВС − сжатие ⎪⎭ (6.45) где σ ВР , σ ВС – пределы прочности материала при растяжении и сжатии. Критерий максимальных линейных деформаций. II теория прочности Предельное состояние разрушения при объёмном напряженном состоянии возникнет тогда, когда в данной точке тела максимальная линейная деформация достигнет определенной для данного материала величины. В данном случае переходят к функции деформаций, имеющей тот же смысл, что и F ( σ1 , σ2 , σ3 ) : F (ε1 , ε 2 , ε 3 ) = C = ε max . (6.46) При объемном напряженном состоянии: ε max = ε1 = 1 [σ1 − ν(σ 2 + σ3 )], E а при одноосном растяжении: ε max = отсюда получаем: σ1 σ ВР = , E E 225 F (σ1 , σ 2 , σ3 ) = σ1 − ν(σ 2 + σ3 ) = σ ВР . (6.47) Рассмотренные критерии разрушения подтверждаются на практике только для весьма хрупких материалов (стекло, мрамор, гипс) и используются в расчетах на прочность крайне редко. Эквивалентные напряжения При проведении расчетов на прочность необходимо знать, при каких значениях напряжений σ 1, σ 2, σ 3 функция F ( σ1 , σ2 , σ3 ) достигнет своего предельного значения. Для этого необходимы экспериментальные исследования предельного напряженного состояния. Однако комбинаций σ 1, σ 2, σ 3 может быть бесконечное множество, и провести экспериментальные исследования для всех случаев невозможно. Наиболее просто эта задача решается в случае линейного напряженного состояния, т. к. по результатам механических испытаний на осевое растяжение (сжатие) определяются σ Т и σ В . Поэтому заданное напряженное состояние (объемное или плоское) сводится к эквивалентному линейному напряженному состоянию, описываемому эквивалентным (расчетным, приведенным) напряжением и которое сопоставляется с предельным состоянием, определенным из эксперимента на осевое растяжение или сжатие (рис. 6.12). Рис.6.12 Эквивалентные напряжения - напряжения, которые следует создать в растянутом образце, чтобы его состояние было равноопасно с заданным напряженным состоянием. Для определения эквивалентных напряжений используют теории прочности. По результатам экспериментального определения опасных напряжений ( σ Т – для пластичных материалов; σ В – для хрупких и пластичных) устанавливаются допускаемые напряжения [σ] = σ 0 ; [σ] = n σТ nТ ; [σ] = σВ nВ , (6.48) 226 где n Т = 1,2 ... 2,0 − коэффициент запаса по пределу текучести σ Т , n В = 1,8 ... 3,0 − коэффициент запаса по пределу прочности σ В . Эквивалентные напряжения для рассмотренных теорий пластичности и разрушения и соответствующие условия прочности определяются формулами I σ экв = σ1 ≤ [σ]; II σ экв = σ1 − ν(σ 2 + σ3 ) ≤ [σ]; III σ экв = σ1 − σ3 ≤ [σ]; IV σ экв = (6.49) 1 (σ1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ3 ) 2 + (σ1 − σ3 ) 2 ≤ [σ]. 2 Объединенные теории прочности Теория прочности Мора Теория основана на предположении о том, что прочность при объемном напряженном состоянии не зависит от величины второго главного напряжения σ 2 . Тогда любое напряженное состояние можно представить одним кругом Мора, построенном на напряжениях σ 1 и σ 3 . Предельному напряженному состоянию соответствует предельный круг напряжений. Для различных напряженных состояний имеем семейство предельных кругов Мора. Огибающая кривая предельных кругов Мора зависит от свойств материала и является его механической характеристикой прочности (рис. 6.13). Рис. 6.13 Для точного построения огибающей требуется большое число экспериментов при различных напряженных состояниях, что трудно реализовать практически. На практике обычно проводят эксперименты при растяжении и сжатии, определяют опасные напряжения σ oр и σ oc . Огибающая заменяется касательной АВ к кругам Мора, построенным по результатам испытаний (рис. 6.14). Главный круг с напряжениями σ 1 и σ 2 касается прямой АВ. 227 C′ Рис. 6.14 Установим зависимость прочностных свойств материала от вида напряженного состояния. Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 следует: BB1 AB1 = CC1 AC1 . (6.50) Как видно из рис. 6.14: ( ) ( ) 1 σ oс − σ oр , 2 1 AB1 = σ oc + σ oр , 2 BB1 = [ ] [ ] 1 (σ 1 − σ 3 ) − σ oр 2 1 AC1 = σ oр − (σ 1 + σ 3 ) . 2 CC1 = Подставляя эти выражения в равенство (6.50), получим: σ oc − σ oр (σ 1 − σ 3 ) − σ oр , = σ oc + σ oр σ oр − (σ 1 + σ 3 ) σ oр σ = σ oр . или σ 1 − σ oc 3 Примем отношение опасных (предельных) напряжений при растяжении и сжатии: σ oр =μ, σ oc тогда получим: σ 1 − μσ 3 = σ oр . (6.51) 228 При этом для хрупких материалов вместо σ oр и σ oc берутся пределы прочности σ u , а для пластичных - пределы текучести σ Т . Соответствующие расчетные формулы условия прочности запишутся: По методу допускаемых напряжений: σ экв = σ 1 − μσ 3 ≤ [σ ]р , где μ= (6.52) [σ ]р . [σ ]c По методу предельных состояний: σ экв = σ1 − μσ3 ≤ R , (6.53) где R – расчетное сопротивление при растяжении. Данная теория описывает разрушение материалов, имеющих разное сопротивление растяжению и сжатию. F (σ1 , σ3 ) = σ1 − μσ3 = σ ВР ; μ = σ ВР σ ВС , где σ ВР , σ ВС – пределы прочности (временное сопротивление) при растяжении и сжатии. Теория дает хорошие результаты для хрупких материалов в случаях, когда круги Мора располагаются между кругами сжатия и растяжения. Критерий Писаренко-Лебедева Г. С. Писаренко и А. А. Лебедев, считая, что наступление предельного состояния обусловлено способностью материала оказывать сопротивление как касательным, так и нормальным напряжениям, предложили искать критерий прочности в виде инвариантных по отношению к напряженному состоянию функций касательных напряжений и максимального нормального напряжения. В этой связи в основу критериального уравнения положены IV и I теории прочности: IV I μσ экв + (1 − μ)σ экв ≤ [σ]p ; μτ экв + (1 − μ)σ max ≤ σ вр 229 μ= [σ ]p ; [σ ]c IV σ экв = 1 (σ1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ3 ) 2 + (σ1 − σ3 ) 2 = σi 2 (6.54) I σ экв = σ1 μσ1 + (1 − μ)σ1 ≤ [σ]р . Когда материал находится в пластичном состоянии [σ ]p = [σ ]c , μ = 1 , и ус- ловие (6.54) преобразуется в IV теорию прочности. Для хрупких материалов, когда μ = 0 , получаем I теорию прочности. Условие прочности (6.54) хорошо согласуется с данными экспериментов для широкого класса конструкционных материалов. Контрольные вопросы к разделу 6 1. Что называется напряженным состоянием в точке тела? 3. Какими компонентами напряжений характеризуется напряженное состояние в точке? Каково их число? 5. Какие площадки и напряжения называются главными? 6. Какое напряженное состояние в точке деформируемого тела называется линейным, плоским или объемным? 7. Как определяются напряжения на произвольной площадке при плоском напряженном состоянии? 8. Запишите обобщенный закон Гука для изотропного материала. 9. Какими компонентами деформаций характеризуется деформированное состояние в точке тела? 10. В чем состоит прямая и обратная задачи теории упругости? 11. Каким образом связаны между собой три упругие константы материала? 12. Как определяются главные напряжения и положения главных площадок при помощи круга Мора? 13. Что такое эллипсоид напряжений? 14. Охарактеризуйте основные экспериментальные методы определения напряжений и деформаций. 15. Поясните принцип действия механических тензометров, датчиков омического сопротивления. 16. Сформулируйте основные теории прочности. 17. Что такое эквивалентные напряжения? 230 Раздел 7 Расчеты при сложном сопротивлении Тема 7.1 Косой изгиб Основные понятия В предыдущих разделах курса СМ были рассмотрены простейшие виды нагружения бруса: осевое растяжение и сжатие, сдвиг, кручение и прямой изгиб. В реальных условиях элементы конструкций часто подвергаются воздействию различных комбинаций простых нагружений. Такие случаи называют сложным сопротивлением. Под сложным сопротивлением бруса деформированию понимают такие сочетания простых нагружений, когда в его сечениях одновременно возникают несколько внутренних силовых факторов. В основе расчетов на сложное сопротивление лежит принцип независимости действия сил, согласно которому напряжения и деформации, вызванные комбинацией силовых факторов, определяются как сумма (алгебраическая или геометрическая) напряжений и деформаций от каждого фактора в отдельности. Данный принцип применим во всех случаях, когда рассматриваются малые деформации в пределах справедливости закона Гука. Рассмотрим основные виды сложного сопротивления: косой изгиб, внецентренное сжатие (растяжение), изгиб с кручением. Плоский и пространственный косой изгиб В случае прямого изгиба силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей инерции, например – yOz (рис 7.1, а). При этом силовая линия (с.л.) и нейтральная линия (н.л.) взаимно перпендикулярны, а изогнутая ось балки лежит в силовой плоскости. Нормальные напряжения в случае прямого изгиба вычисляются по формулам σ= Mx ⋅y Jx и σ= Mx . Wx (7.1) Косой изгиб – вид нагружения бруса, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей сечения. При этом изогнутая ось балки – плоская кривая, не совпадающая с силовой плоскостью. Если косой изгиб вызван нагрузками, действующими в одной плоскости (силовой), то изгиб называют плоским (рис.7.1,б). Если нагрузки действуют в разных продольных плоскостях, то это сложный, или пространственный изгиб (рис. 7.1, в). Изогнутая ось балки – не плоская кривая. 231 Рис. 7.1 Плоский и сложный косой изгиб рассматривают как совокупность двух прямых изгибов, для чего нагрузки, лежащие в продольных плоскостях, раскладывают на составляющие, расположенные в главных плоскостях xОz и yОz. В поперечных сечениях бруса в общем случае возникают 4 внутренних силовых фактора: Qx , Q y , M x , M y . Проводя расчет на прочность при косом изгибе, обычно пренебрегают влиянием касательных напряжений. Примеры из инженерной практики Брус обрешетки кровли (рис. 7.2, а) нагружен по схеме косого изгиба. Вертикальная нагрузка F от веса кровли и собственного веса обрешетки наклонена к главной оси у под некоторым углом α . 232 Рис.7.2 Уголок, заделанный одним концом в стену (рис. 7.2, б), также нагружен по схеме косого изгиба, так как главные оси сечения – x и y – наклонены под некоторым углом α к погонной нагрузке q (это вес 1-го метра уголка). Подкрановая балка мостового крана (рис. 7.3, а) при торможении тележки с грузом испытывает косой изгиб вследствие отклонения груза G от вертикали на угол α (рис.7.3, б) . Рис. 7.3 Нормальные напряжения при косом изгибе Рассмотрим консольный брус, нагруженный силой F, направленной под углом α к главной оси Оу (рис. 7.4, а). Разложим эту силу на составляющие Fx и Fy по главным осям поперечного сечения: 233 Рис. 7.4 Fx = F ⋅ sin α ; Fy = F ⋅ cosα . Каждая из этих составляющих вызывает прямой изгиб бруса: Fy – в плоскости zОy, Fx – в плоскости zОx. Изгибающие моменты в произвольном сечении бруса (рис.7.4, б) находятся так: M x = Fy ⋅ z = F ⋅ z ⋅ cos α = M ⋅ cos α ; M y = Fx ⋅ z = F ⋅ z ⋅ sin α = M ⋅ sin α , 2 2 где M = M x + M y - полный изгибающий момент в плоскости действия силы F. Нормальные напряжения в сечении согласно принципу независимости действия сил определяются как сумма σ = σ Mx + σM y . С учетом (7.1) σ= M Mx y+ y x. Jx Jy (7.2) По формуле (7.2) определяются нормальные напряжения в любой точке сечения при косом изгибе. Причем моменты M x и M y , а также координаты х и у 234 исследуемой точки подставляют по абсолютному значению, а знаки слагаемых напряжений устанавливают исходя из характера деформирования бруса. Так, Fy вызывает изгиб, при котором верхние волокна растянуты, нижние сжаты, а действие Fx вызывает растяжение волокон правой части и сжатие левой части сечения. Соответствующие знаки напряжений σ M и σ M проставлены в координатных четвертях сечения (рис. 7.4, а). Например, для точки К первое слагаемое в формуле (7.2) следует взять со знаком (+), а второе – со знаком (–). В угловых точках сечения модули координат х и у имеют наибольшие значения, поэтому в них возникают максимальные напряжения: Y X σ max = M M x + Wx W y (7.3) y Наибольшее растягивающее напряжение будет в точке 1, наибольшее сжимающее – в точке 3 (рис. 7.4, а), т.к. слагаемые в формуле (7.3) для этих точек имеют одинаковые знаки. Преобразуем формулу (7.3): σ max Wx ⎞⎟ M пр 1 ⎛⎜ , Mx + My ⋅ = = + = Wx W y Wx ⎜⎝ W y ⎟⎠ Wx Mx My где M пр – приведенный момент: W M пр = M x + M y ⋅ x Wy (7.4) Нейтральная линия при косом изгибе Нейтральная линия является геометрическим местом точек сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю. Пусть текущие координаты одной из точек нейтральной линии (н.л.) будут х0 и у0. Тогда, применяя формулу (7.2), получим уравнение нейтральной линии: M M σ = x y0 + y x0 = 0 . Jx Jy Откуда 235 − y0 x0 = Jx M y ⋅ . Jy Mx (7.5) Данное уравнение является уравнением прямой, проходящей через начало координат. Равенство (7.5) удовлетворяется тогда, когда знаки х0 и у0 различны. Следовательно, нейтральная линия пройдет через II и IV четверти (рис. 7.5, а). Обозначим через β угол наклона нейтральной линии к оси Ох; учитывая, что х0 и у0 имеют разные знаки (рис. 7.5, а), имеем tg β = − y0 . x0 Рис. 7.5 С учетом этого перепишем выражение (7.5): tg β = Jx M y . ⋅ Jy Mx (7.6) Подставив в формулу (7.6) значения моментов из равенств (7.1), получим формулу для угла наклона нейтральной линии к оси Ох: tg β = Jx Jy tg α (7.7) Анализ формулы (7.7) позволяет сделать следующие выводы. 1. Если J x ≠ J y , то β ≠ α, следовательно, в отличие от прямого изгиба нейтральная линия при косом изгибе не перпендикулярна силовой линии. 236 Для сечений, у которых все центральные оси являются главными и моменты инерции равны J x = J y (круг, квадрат, правильный многоугольник и т.п.), изгиб всегда будет прямой. Расчет ведется по полному моменту M = 2 2 Mx + My . 2. Силовая и нейтральная линии при косом изгибе проходят через разные четверти сечения (рис. 7.5). 3. Углы α и β отсчитываются в одном направлении от осей Оу и Ох (в данном примере – по ходу часовой стрелки). Расчеты на прочность при косом изгибе Для расчета на прочность необходимо определить опасное сечение, а в нем – опасную точку, для которой записывается условие прочности. Определение опасного сечения При плоском косом изгибе (рис. 7.1, а) строят эпюру полного изгибающего момента М. По максимальному значению момента определяется положение опасного сечения. Для бруса (рис. 7.4, а, б) положение опасного сечения очевидно без построения эпюры (в заделке Mmax= F⋅ ℓ, где ℓ −длина балки). В случае пространственного изгиба эпюры моментов строят в двух главных плоскостях (рис. 7.6). Обычно сечения с наибольшими значениями M x и M y не совпадают. Поэтому по формуле (7.4) вычисляют приведенный момент Mпр для нескольких наиболее опасных сечений. Например, для сечения D : W M прD = M xD + M yD ⋅ x . Опасным будет то сечение, где Мпр имеет наибольшее Wy значение. Нахождение опасных точек Для сечения произвольной формы определяют положение нейтральной линии по формуле (7.7). Затем проводят касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии (рис. 7.5, б). Опасными являются точки 1 и 3, наиболее удаленные от нейтральной линии. Для бруса из хрупких материалов, имеющих различное сопротивление растяжению и сжатию, составляют два условия прочности. По допускаемых напряжениям: 237 σ р max = Mx Jx σ c max = y1 + Mx Jy My Jy y3 + x1 ≤ [σ p ] ; My Jy (7.8) x3 ≤ [σ c ] , где [σ p ], [σc ] – допускаемые напряжения на растяжение и сжатие. Рис. 7.6 По предельным состояниям: σ р расч = σ c расч My Мх y1 + x1 ≤ Rр ⋅ γ c ; Jx Jy My M = x y3 + x3 ≤ Rc ⋅ γ c , Jx Jy (7.9) где Мх и Му – расчетные изгибающие моменты в опасном сечении; Rр и Rc – расчетные сопротивления материала на растяжение и сжатие; γ c – коэффициент условий работы. 238 При расчете бруса из пластичного материала (Rр = Rc = R) используется одно из условий (7.8) и (7.9), которое соответствует большему по абсолютному значению напряжению. Для сечений с двумя осями симметрии и с выступающими углами (прямоугольник, двутавр, коробчатое сечение и т.п.) опасными будут угловые точки (рис. 7.5, а). Условия прочности согласно (7.3) запишутся в виде Mx M y + ≤ [σ ] ; Wx W y My M σ расч = x + ≤ R ⋅γc , Wx W y σ max = (7.10) где [σ ] – допускаемое напряжение; R – расчетное сопротивление материала растяжению и сжатию при изгибе (например, для строительных конструкций устанавливается согласно СНиП II- 23-81* по величине предела текучести и имеет обозначение Rт ). Для хрупкого материала опасной будет точка 1 (рис. 7.5, а), в которой возникает напряжение растяжения. Расчеты на прочность Проверочный расчет проводится по формулам (7.8 – 7.10). Допускаемое значение нагрузки при известных размерах поперечного сечения находят из условий прочности (7.8 – 7.10). Проектный расчет (подбор поперечного сечения) осуществить сложнее, т.к. в формулы входят две неизвестные характеристики Jx и Jy или Wx и Wy. В общем случае задаются размерами сечения и осуществляют проверку условий прочности. Если условие (7.9 или 7.10) не удовлетворяется, то размеры корректируют и проверяют снова. Для простых сечений (прямоугольник, двутавр), задавшись отношением n= Wx , пользуются формулой Wy σ max = 1 (M x + n ⋅ M y ) ≤ R ⋅ γ c , Wx (7.11) откуда с учетом (7.4) находят расчетное значение момента сопротивления Wx ≥ Mx + n⋅My R ⋅ γc = M пр R ⋅ γc . (7.12) 239 h , где h и b – высота и ширина сечения. Для b прокатных двутавров n = 6 ÷ 14 (см. сортамент). По найденному моменту сопротивления W x с использованием сортамента выбирают номер профиля и осуществляют проверку прочности по формуле (7.10). Для прямоугольного сечения n = Прогибы при косом изгибе Полный прогиб сечения (рис. 7.7) на основе принципа независимости действия сил, находят как геометрическую сумму прогибов в направлении главных осей по формуле 2 f = fx + fy 2 (7.13) Прогибы f x и f y в направлении главных осей прямо пропорциональны составляющим Fx = F⋅ sin α и Fy = F⋅ cos α и обратно пропорциональны жесткости при изгибе: Fy Fx fx = K ; fy = K , E⋅ Jy E ⋅ Jx где К – коэффициент, зависящий от размеров балки и положения нагрузки (его значение находятся из универсального уравнения метода начальных параметров). Обозначим через ϕ угол отклонения полного прогиба от главной оси Оy (рис. 7.7). Тогда tg ϕ = f x K ⋅ F ⋅ sin α K ⋅ F ⋅ cos α = : . fy E⋅Jy E ⋅ Jx Окончательно с учетом (7.6) имеем tg ϕ = Jx tg α = tg β , Jy (7.14) то есть ϕ = β , следовательно: 1) направление полного прогиба f перпендикулярно нейтральной линии и не совпадает с силовой линией (рис.7.7); 240 2) линия полного прогиба f отклоняется от силовой в сторону плоскости наименьшей жесткости. Чем больше разница между моментами инерции J x и J y , тем больше отклонение. Рис.7.7 Косой изгиб является наиболее опасной схемой нагружения для сечений, моменты инерции J x и J y которых значительно отличаются по величине, что приводит к возникновению больших напряжений и прогибов. Пример 7.1. Сравнить значения наибольших нормальных напряжений, возникающих при действии изгибающего момента М = 38,4 МН⋅м в прямоугольном сечении бруса с отношением длин сторон h / b = 6, в двух случаях: 1) изгибающий момент М действует в главной плоскости zОy; 2) плоскость момента М составляет с плоскостью zОy угол α = 3o (рис.7.8). Решение 1. В первом случае брус испытывает прямой изгиб. Напряжения равны (формула 7.1): σ ' max 38 , 4 ⋅ 10 6 M 5 = = = 1 ⋅ 10 МПа ; 384 ⋅ 10 − 6 Wx Wx = b ⋅ h2 = 384 см 3 . 6 2. При α = 3° имеет место косой изгиб. Напряжение вычисляем по формуле (7.3) : 241 ′′ σ max = где M x M y M ⋅ cosα M ⋅ sinα , + = + Wx W y Wx Wx 6 W Wx h = = 6 ⇒ Wy = x . 6 Wy b Тогда σ' 'max = Или M (cos α + 6 sin α ) = M (0,998 + 0,05 ⋅ 6) . Wx Wx σ ''max = 1,31⋅ σ 'max = 1,31 ⋅ 105 МПа. Ответ: При косом изгибе напряжения σ max больше, чем в случае прямого изгиба на 31%. Рис.7.8 Тема 7.2 Внецентренное растяжение (сжатие) Основные понятия и допущения. Практическая значимость расчетов при внецентренном растяжении (сжатии) Внецентренное растяжение (сжатие) – случай сложного нагружения бруса, когда линия действия растягивающей (сжимающей) силы F не совпадает с осью бруса, а имеет смещение – эксцентриситет (рис. 7.9). Рис. 7.9 242 Такая задача часто встречается при расчете опор мостов и колонн зданий. Внецентренное сжатие испытывает колонна промышленного здания от веса подкрановой балки F (рис. 7.10, а), башня передвижного рельсового крана (рис. 7.10, б) – от веса крана G, находящегося в точке С. Выводы данного подпункта базируются на следующих допущениях: - брус имеет большую жесткость, т.е. соблюдается принцип начальных размеров; длина бруса невелика по сравнению с поперечными размерами, а потому при действии сжимающей силы потеря устойчивости невозможна. Рис.7.10 Нормальные напряжения при внецентренном сжатии Пусть точка приложения силы F (силовая точка) имеет координаты x F и yF , отсчитанные относительно главных центральных осей инерции, см. рис. 7.11, а. Представим этот случай в виде простых нагружений, для чего в точке О приложим две равные и противоположные силы F ′ = F ′′ = F (рис. 7.11, б). Сила F ′ вызывает осевое сжатие, а силы F и F ′′ – чистый изгиб с моментом M0 = F⋅ e, который можно разложить на составляющие M x и M y . В произвольном сечении бруса возникают три внутренних силовых фактора (рис. 7.11, в): N = − F ; M x = ± F ⋅ y F ; M y = ± F ⋅ xF . (7.15) Таким образом, внецентренное сжатие можно представить как сочетание центрального сжатия и чистого косого изгиба. Из выражений (7.15) видно, что значение внутренних силовых факторов не зависит от положения сечения по длине бруса. Следовательно, для бруса постоянного поперечного сечения все сечения равноопасны. 243 Рис. 7.11 Нормальные напряжения в поперечном сечении согласно принципу независимости действия сил находят так: σ = σ N + σM + σM . X Y С учетом выражения (7.15) имеем формулу σ= M N Mx + y+ y x A Jx Jy (7.16) где х и у – координаты исследуемой точки. По формуле (7.16) можно установить напряжения в любой точке сечения, причем каждое слагаемое должно быть подставлено со своим знаком, определяемым по характеру деформирования бруса (рис. 7.11, в). Например, для точки К первое слагаемое в формуле (7.16) следует взять с «минусом», два других – с «плюсом». Иногда строят пространственную эпюру напряжений, при этом вычисляют напряжения в угловых точках (рис. 7.11, г). Очевидно, что линия, проведенная через нулевые точки, является нейтральной. Опасными будут точки 1 и 3, наиболее удаленные от нее. Преобразуем выражение (1.16), используя понятие радиусов инерции сечения: 244 Jx ix = A Jy ; iy = A . Отсюда J x = A ⋅ ix2 ; J y = A ⋅ i y2 . (7.17) Подставляя формулы (1.15) и (1.17) в формулу (1.16), получаем σ=− F⋅x F F⋅y y± ± x. 2 A A ⋅ ix A ⋅ i y2 F F Окончательно имеем: σ=± y y x x⎞ F ⎛⎜ + + 2 ⎟⎟ . 1 A ⎜⎝ ix2 iy ⎠ F (7.18) F По формуле (7.18) можно определять напряжения в любой точке сечения при внецентренном растяжении и сжатии. Знак «минус» перед формулой используется в том случае, если нагрузка F – сжимающая (рис. 7.9, а), а знак «плюс» – в том случае, если сила F – растягивающая (рис. 7.9, б). Координаты силовой точки ( x F и y F ) и исследуемой точки (х и у) следует подставлять с учетом знаков в системе координат. Нейтральная линия при внецентренном сжатии Для нахождения опасных точек сечения необходимо определить положение нейтральной линии (н.л). Приравняем к нулю правую часть выражения (7.18). Поскольку F ≠ 0, получим уравнение нейтральной линии: A 1+ xF x yF y + = 0. i y2 i x2 (7.19) Приведем его к виду x − i y2 y + xF − i x2 =1. yF 245 Это известное из курса аналитической геометрии уравнение прямой в отрезках: x y + = 1. ax a y Сопоставляя два последних уравнения, найдем координаты отрезков, отсекаемых нейтральной линией на осях координат (или уравнение нейтральной линии в отрезках): i 2y ix2 ax = − ; a y = − . xF yF (7.20) В рассматриваемом случае xF > 0 и yF > 0, тогда из формул (7.20) следует, что координаты отрезков a x < 0 и a y < 0 (рис. 7.12, а, б). Анализ формул (7.19) и (7.20) приводит к следующим выводам: 1) нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения (точку О); 2) нейтральная линия и силовая точка расположены по разные стороны от центра О; 3) нейтральная линия, пересекая сечение, делит его на две области: в одной возникают деформации сжатия, в другой - растяжения. Опасными являются точки 1 и 3, наиболее удаленные от нейтральной оси: наибольшее сжимающее напряжение будет в точке 1, наибольшее растягивающее – в точке 3 (рис. 7.12); Рис. 7.12 4) если сила F удаляется от центра тяжести (координаты xF и yF возрастают), то нейтральная линия приближается к нему, оставаясь параллельной первоначальному своему положению (и наоборот); 246 5) если сила F приложена в точке на оси Ох ( y F = 0), то нейтральная линия не пересекает ось Oy, а параллельна, ей, т.к. координата отрезка a y = ∞ (рис. 7.13): 2 2 i i =− = ∞; ay = − y y y F Рис.7.13 6) если сила приложена в центре (координаты силы x F =0 и y F = 0), то по формулам (7.20) получаем, что a x = ∞ и a y = ∞ . В этом случае имеем центральное сжатие с равномерным распределением сжимающих напряжений σ = − F A по всему сечению. Ядро сечения Ядро сечения – часть сечения вокруг центра тяжести, при расположении внутри которой продольной нагрузки в поперечных сечениях возникают напряжения одного знака. Пусть сжимающая сила F проходит точки 1, 2, 3 (рис. 7.13), тогда нейтральная линия занимает положения I-I, II-II, III-III и т.д. Наступит момент, когда нейтральная линия коснется контура сечения и займет, например, положение II-II, которому соответствует силовая точка 2. При этом в сечении во всех точках будут сжимающие напряжения. Если силу передвинуть за точку 2, то нейтральная линия пройдет внутри контура сечения и разделит его на 2 части: сжатую и растянутую. Таким образом, точка 2 является граничной точкой, за которой нельзя располагать продольную силу, если необходимо исключить возникновение в поперечном сечении растягивающих напряжений. Точно так же на прямых ОВ и ОС можно определить точки, которые обладают теми же свойствами, что и точка 2 (рис. 7.13). Соединив данные точки, получим контур ядра сечения. 247 При проектировании колонн из материалов, имеющих низкое сопротивление растяжению (например, из чугуна, бетона, камня, кирпичной кладки), важно заранее знать размеры ядра сечения и его форму. Для построения ядра сечения проводят несколько нейтральных линий, касательных к контуру сечения. По чертежу находят соответствующие координаты отрезков a x и a y , отсекаемых от осей координат, и по формулам, которые следуют из (7.20), определяют координаты граничных точек ядра сечения: i y2 xF = − ; ax ix2 yF = − ay . (7.21) Примеры построения ядра сечения Прямоугольное сечение со сторонами b и h (рис. 7.14). Рассмотрим четыре положения касательной, совмещенной со сторонами прямоугольника. Рис. 7.14 Для касательной I-I отрезки, отсекаемые на осях координат, равны a x = ∞ и a y = h/2. По формулам (7.21) имеем: i y2 xF = − = 0; ∞ 2 Jx 2 b h3 ix2 h =− =− =− . yF = − 2 h 12 b h 6 h⋅ A 2 Откладываем на оси Оу отрезок (- b / 6 ); получаем точку 1 ядра сечения. Аналогично находится точка 3. Повторяя рассуждения по отношению к касательным II-II и IV-IV, находим для точек 2 и 4 координаты yF = 0; xF = ±b / 6. Со- 248 единив найденные точки прямыми линиями, получим ядро сечения в виде ромба (рис. 7.14, а). Для сечения в виде круга радиусом R ядро сечения очерчено по окружности радиусом r (рис. 7.14, б). Ввиду того, что круг симметричен относительно центра, достаточно рассмотреть одно положение касательной: a x = - R. Тогда Jy π R4 R = = . xF = r = 2 4 A⋅ R 4πR R Для сечения, имеющего форму многоугольника, ядро сечения также будет многоугольником. Порядок расчета на прочность при внецентренном сжатии. Условие прочности 1. Определяют положение центра тяжести сечения и положение главных центральных осей. 2. Вычисляют моменты J x , J y и радиусы ix2 , i y2 инерции. 3. Определяют координаты силовой точки ( xF и y F ) относительно главных осей. 4. Находят положение нейтральной линии. 5. Находят опасные точки, наиболее удаленные от нейтральной линии. 6. Записывают условие прочности для опасных точек. 7. Проводят расчет на прочность для рассматриваемого бруса. Для бруса из хрупкого материала расчет на прочность ведется для точек 1 и 3 (рис. 7.12). Условия прочности имеют вид: По допускаемым напряжениям: σ c max = σ 1 = − F⎛ xF x1 yF y1 ⎞ 1 + + 2 ⎟ ≤ [σ c ] ; ⎜ A ⎜⎝ i y2 ix ⎟⎠ σ p max = σ 3 = − По предельным состояниям: F⎛ x x y y ⎞ ⎜⎜1 + F2 3 + F2 3 ⎟⎟ ≤ ⎡⎣σ p ⎤⎦ . A⎝ iy ix ⎠ (7.22) 249 σ с расч = σ 1 = − σ t расч F⎛ x x y y ⎞ ⎜⎜1 + F2 1 + F2 1 ⎟⎟ ≤ Rcγ c ; A⎝ iy ix ⎠ F⎛ x x y y ⎞ = σ 3 = − ⎜1 + F2 3 + F2 3 ⎟ ≤ Rtγ c . A ⎜⎝ iy ix ⎟⎠ (7.23) Для расчета бруса из пластичного материала используется одно из условий (7.22) и (7.23), которое соответствует наиболее удаленной точке. В случае внецентренного растяжения перед формулами (7.22) и (7.23) следует взять знак «плюс». Тема 7.3 Изгиб с кручением Основные понятия Совместное действие изгиба с кручением приходится учитывать при расчете валов машин и механизмов, а также осей трамвайных вагонов и моторных вагонов электропоезда. В строительной практике ему подвергаются элементы пространственных рам. Силы, действующие на вал (давление на зубья шестерен, натяжение ремней, собственный вес вала и шкивов), вызывают в поперечных сечениях вала внутренние усилия: Qx и Q y ; M x и M y ; M z = MK. Таким образом, в сечении одновременно возникают нормальные напряжения от изгиба в двух плоскостях и касательные от изгиба и кручения. Влиянием касательных напряжений от поперечных сил, как правило, пренебрегают, так как они значительно меньше касательных напряжений, вызванных кручением. Порядок расчета вала круглого сечения: 1. Приводят все силы к оси вала. 2. Раскладывают силы на вертикальные и горизонтальные составляющие. 3. Строят эпюры крутящих и изгибающих моментов M z , M x , и M y . 4. По эпюрам находят опасные сечения. 5. Записывают условие прочности для опасного сечения. 6. Проводят расчет на прочность. Расчеты на прочность при совместном действии изгиба с кручением ведут с применением теорий прочности (тема 6.3). При изучении изгиба с кручением можно выделить два этапа исследования: - определение опасного сечения бруса; 250 - нахождение опасной точки в нем и исследование напряженного состояния в этой точке. Определение опасного сечения вала На рис (7.15, а) показан вал, на вал насажены зубчатое колесо диаметром d1 и шкив ременной передачи диаметром d2. На зубчатое колесо действуют окружная Ft и радиальная Fr силы, на шкив – силы F1 и F2 натяжения ветвей ремня. Рис.7.15 Для составления расчетной схемы вала (рис. 7.15, б) все силы приводят к его оси. Используя теорему о параллельном переносе силы, изученную в курсе теоретической механики, при переносе силы Ft к оси вала добавляют скручивающую пару m1 (рис. 7.15, в); аналогично при переносе сил F1 и F2 получается пара m2 (рис. 7.15, г). При равномерном вращении вала m1 = m2. На основе расчетной схемы (рис. 7.15, б) определяют опорные реакции и строят эпюры моментов M z , M x и M y (рис. 7.15). Брус круглого сечения, у которого все оси являются главными, испытывает прямой изгиб под действием полного изгибающего момента M = M x2 + M y2 . Следовательно, опасным будет сечение, в котором одно- 251 временно возникают наибольшие крутящий M z и изгибающий М моменты. В рассматриваемом случае опасным будет сечение D под серединой шкива. Вид напряженного состояния Опасная точка. Рассмотрим сечение вала слева от точки D. Применив векторное изображение моментов, найдем положение силовой и нейтральной M линии (рис. 7.16, а) и построим эпюру нормальных напряжений σ = y (рис. Jx 7.16, б) от полного изгибающего момента М. Рис. 7.16 M z ⋅ ρ распределены вдоль люJρ бого радиуса по линейному закону и достигают максимального значения в точках контура сечения (рис. 7.16, б), т.е. на поверхности вала. Очевидно, опасными являются точки А и В пересечения контура сечения с силовой линией, в которых одновременно и нормальные напряжения от изгиба и касательные напряжения от кручения имеют наибольшие значения. Для пластичного материала точки А и В равноопасны, для хрупкого наиболее опасна точка А, в которой возникает растяжение. Напряженное состояние в опасной точке. На рис. 7.17 показан элемент, выделенный в окрестности точки А, и возникающие на его гранях напряжения σ и τ, равные своим максимальным значениям Касательные напряжения от кручения τ = Рис. 7.17 252 σ max M x2 + M y2 M = = W W ; τ max = Mz Mz = Wρ 2 W ; (7.24) πd3 где W = - осевой момент сопротивления сечения; 32 Wρ = πd 3 = 2W - полярный момент сопротивления. 16 В опасной точке А имеет место плоское напряженное состояние (рис. 7.17). Главные напряжения в опасной точке определяются по формуле σ1, 3 = σz + σ y 1 ± (σ z − σ y ) 2 + 4 τ 2 . 2 2 Подставляя σz = σ, σy = 0, находим σ 1 σ 2 + 4τ 2 , 2 2 σ 1 σ 3 = − σ 2 + 4τ 2 . 2 2 σ1 = + (7.25) Условие прочности для круглого поперечного сечения. Использование теорий прочности В строительных конструкциях используются низкоуглеродистые и низколегированные стали. Валы, как правило, изготовляют из среднеуглеродистой стали, механические свойства которой согласуются с III и IV теориями прочности. Для оценки прочности хрупких материалов используют теорию Мора. При проектировании валов машин и механизмов расчет ведется по допускаемым напряжениям от нормативных нагрузок. Условия прочности по различным теориям следующие: σ IIIэкв = σ1 − σ 3 ≤ [σ] ; 1 (σ1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ1 ) 2 ≤ [σ] ; 2 = σ1 − μσ3 ≤ [σ] σ IV = экв σ Мэкв С учетом выражений (7.25) формулы (7.26) примут вид: (7.26) 253 σ IIIэкв = σ 2 + 4 τ 2 ≤ [σ] ; σ IV σ 2 + 3 τ 2 ≤ [σ] ; экв = σ Мэкв = (7.27) 1− μ 1+ μ σ+ σ 2 + 4 τ 2 ≤ [σ] . 2 2 Подставив в формулы (7.27) выражения для напряжений (7.24), получим условия прочности: 1 W 1 = W σ IIIэкв = σ IV экв σ Мэкв = [ [ ] M 2 + M z2 ≤ [σ] ; M + 0,75 M 2 2 z (7.28) ] ≤ [σ] ; 1 ⎡1 − μ 1+ μ 2 2 ⎤ M M M + + z ⎥⎦ ≤ [σ] . 2 W ⎢⎣ 2 (7.29) Выражения в скобках называются приведенными моментами M пр . Тогда условия прочности (7.28) и (7.29) можно заменить одной формулой σ экв = М пр W = [σ] (7.30) где приведенный момент M пр по различным теориям прочности определяется следующими выражениями: М прIII = M x2 + M y2 + M z2 ; (7.31) M прIV = M x2 + M y2 + 0,75 M z2 ; M прM = (7.32) 1− μ 1+ μ M x2 + M y2 + M x2 + M y2 + M z2 . 2 2 Из выражения (7.30) находят момент сопротивления сечения, а затем – диаметр круглого вала : W≥ M пр [σ] ; d ≥3 32M пр π[σ] . (7.33) 254 Приведенные формулы также применимы к валам кольцевого сечения. Общий случай действия сил на брус круглого сечения. Расчет бруса с ломаной осью Кручение с растяжением (сжатием). Во всех точках поперечного сечения N возникают нормальные напряжения σ = . Напряженное состояние в опасA ной точке соответствует случаю, представленному на рис. 7.17. Применив формулы (7.25) и (7.27), получим 2 σ IIIэкв 2 ⎛M ⎞ ⎛N⎞ = ⎜ ⎟ + 4 ⎜⎜ z ⎟⎟ ≤ [σ] ; ⎝ A⎠ ⎝ Wρ ⎠ σ IV экв 2 ⎛M ⎞ ⎛N⎞ = ⎜ ⎟ + 3 ⎜⎜ z ⎟⎟ ≤ [σ]. ⎝ A⎠ ⎝ Wρ ⎠ (7.34) 2 (7.35) Изгиб с кручением и растяжением (сжатием). В этом случае наиболее опасной является точка пересечения контура сечения с силовой линией, см. рис. 7.16 б, в которой знаки напряжений от изгиба и осевого растяжения (сжатия) совпадают. Напряженное состояние соответствует рис. 7.17. Исходные напряжения для опасной точки определяются из зависимостей σ= N M + ; A W τ= Mz . Wρ Применив теории прочности, например третью (7.25), получают условие прочности 2 σ IIIэкв 2 ⎛M ⎞ ⎛N M ⎞ = ⎜ + ⎟ + 4 ⎜⎜ z ⎟⎟ ≤ [σ] . ⎝A W⎠ ⎝ Wρ ⎠ (7.36) Ось бруса представляет собой ломаную линию, каждый участок которой можно рассматривать как стержень. Чтобы построить эпюры для бруса, нужно построить их для каждого стержня. В поперечных сечениях могут возникнуть шесть внутренних силовых факторов: N , Q x , Q y , M x , M y , M z . С методикой построения эпюр познакомимся на примере бруса (рис. 7.18, а). 1. Брус разбивают на участки (стержни): I, II, III. 255 2. На каждом из них показывают систему координат Оxyz. При этом ось z должна совпадать с продольной осью рассматриваемого стержня и быть направлена к свободному концу бруса; оси x и y совмещают с плоскостью сечения. 3. При переходе к следующему участку оси координат поворачивают вокруг той из них, которая перпендикулярна к плоскости, образуемой этими смежными участками. 4. На каждом участке показывают характерные сечения (начало и конец участка). 5. При определении моментов Мх, Му, Мz начало координат размещают в первом характерном сечении, затем – во втором, перемещая его каждый раз от свободного конца в сторону защемления. 6. Для изгибающих моментов Мх и Му правило знаков не устанавливают, а эпюры изображают со стороны растянутых или сжатых волокон стержня в плоскости действия момента ( эпюру Мх – в плоскости yz; эпюру Му – в плоскости xz). 7. Для продольных сил N и крутящих моментов Mz сохраняют принятые ранее правила знаков. Эпюры N и Mz могут быть ориентированы как угодно, но ординаты откладывают по нормали к оси стержня. 8. Поперечные силы Qx и Qy в сечении считают положительными, если их направления совпадают с положительными направлениями осей x и y. При вычислении моментов следует иметь в виду, что: - момент силы относительно оси равен нулю, если: а) сила параллельна оси; б) линия действия силы пересекает ось; - если линия действия силы и ось скрещиваются под прямым углом, то момент равен произведению силы на кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью. Построение эпюр начинаем с участка АВ (рис.7.18). Проводя мысленно сечение, каждый раз будем «отбрасывать» часть бруса с защемлением. Решение необходимо сопровождать краткими записями для всех участков. Для M x и M y полезно в скобках указывать растянутые волокна (верхние, правые, передние и т.п.). Знаки для M x и M y можно вводить произвольно; только в случае необходимости надо записать соответствующее уравнение. Участок АВ: 0 ≤ z ≤ a N=0; Mx = Qx = 0; M y = 0; Qy = -qz (0; -qa); M z = 0. q z2 ⎛ q a2 ⎞ ⎟ ⎜ 0; 2 ⎝ 2 ⎠ ; 256 Участок ВС: 0 ≤ z ≤ а N=0; M x = qa ⋅ z (0; qa2); Qx = - F; M y = F ⋅ z (0; Fa); q a2 Mz = − . 2 Q y = -qa; Участок CD: 0 ≤ z ≤ 2a N = - qa; M x = qa2; Q x = - F; qa 2 q a2 q a2 My = + 2 Fz ( ; + 2F a ); 2 2 2 Q y = 0; M z = Fa. По найденным значениям, см. рис. 7.18, построены эпюры внутренних усилий: продольной силы N; поперечной силы в двух плоскостях Qx и Qy; изгибающих моментов Mx и My, крутящего момента Mz, совмещенные на одном чертеже. Пример 7.2. Для бруса круглого поперечного сечения (рис. 7.18, а) определить диаметр из условия прочности по III– й теории прочности при следующих данных: F = 10 Kн; q = 30 Kн/м; [σ] = 160 МПа; a = 0,5 м. Решение. Из эпюр внутренних усилий (рис. 7.18, б, в, г) следует, что опасным является сечение D в защемлении, где: M x = qa 2 = 30 ⋅ 0,5 Kн ⋅ м; q a2 30 ⋅ 0,5 2 My = + 2F ⋅ a = + 2 ⋅ 10 ⋅ 0,5 = 13,75 Kн ⋅ м ; 2 2 M z = F ⋅ a = 10 ⋅ 0,5 = 5 Kн ⋅ м; N = q a = 30 ⋅ 0,5 = 15 Kн. Полный изгибающий момент в опасном сечении M = M x2 + M y2 = 15,66 Kн ⋅ м . 257 Рис. 7.18 Приведенный момент по III теории M III пр = M 2 + M z2 = 16 ,44 Kн ⋅ м. По формуле (7.33) определяем диаметр круглого поперечного сечения : 32 ⋅ M пр = π [σ ] III d ≥ 3 3 32 ⋅ 16 , 44 ⋅ 10 3 = 1 , 01 ⋅ 10 3 ,14 ⋅ 160 ⋅ 10 6 −1 м = 10 ,1 см . 258 Вычислим геометрические характеристики сечения: πd2 πd3 πd3 2 3 = 80,07 см ; Wu = = 101,1 см ; Wρ = = 202,2 см 3 . A= 4 32 16 Сделаем проверочный расчет с учетом продольной силы. Согласно формуле (7.36) напряжение в опасной точке D III σ экв 2 2 ⎛ 15 ⋅ 103 ⎛ 5 ⋅ 103 ⎞ 15,66 ⋅ 103 ⎞ = ⎜ + = 164, 4 МПa. ⎟ + 4⎜ −4 −6 ⎟ 101,1 ⋅ 10−6 ⎠ ⎝ 80,07 ⋅ 10 ⎝ 202,2 ⋅ 10 ⎠ Сравнив расчетное σ экв = 164,4 МПа и допускаемое [σ] = 160 МПа напряжения получаем, что III III σ экв > [σ] . Определим перенапряжение: III σ экв −⎡σ ⎤ ⎣ [σ ] ⎦ = 164 − 160 ⋅ 100% = 2,74% < 3% , 160 что допустимо. Ответ: необходимый диаметр бруса d ≥ 10,1 см. Тема 7.4 Расчет пространственного бруса в общем случае действия сил Построение эпюр внутренних силовых факторов в прямолинейных и криволинейных элементах пространственного бруса Рассмотрим некоторые этапы расчета на примере пространственного бруса, изображенного на рисунке 7.19. Внутренние усилия изменяются по грузовым участкам бруса, поэтому нужно «разбить» брус на участки. Для рассматриваемого бруса можно выделить четыре участка нагружения. Выполним нумерацию участков со стороны свободного конца, так как при наличии заделки вычисление внутренних усилий удобно начинать от свободного края. Подробнее остановимся на выборе системы координат (рис. 7.20). Коротко данный вопрос уже был рассмотрен в теме 7.3. Ось z всегда направляем вдоль оси бруса, оси x и y совпадают с главными центральными осями рас- 259 сматриваемого сечения. Рекомендуется пользоваться правой системой координат, для которой существует правило направления осей: положительное направление осей xi и yi таково, что ось xi вращается до оси yi против часовой стрелки при наблюдении с положительного направления оси zi ; ось yi до оси zi вращается против часовой стрелки при взгляде с оси xi и т. д. При переходе с одного стержня на другой поворот систем координат происходит вокруг той оси, которая перпендикулярна плоскости этих стержней. Например, переход от 3-го стержня к 4-му совершается поворотом вокруг оси y3 . Так как вычисление внутренних усилий будем вести от свободного края, начало системы координат на 1-м стержне помещаем на свободный край, на 2-м и последующих стержнях – в начало соответствующего стержня. Рис. 7.19 Пространственный ломаный брус Рис. 7.20 Система координат Перейдём к составлению выражений внутренних силовых факторов (т.е. внутренних усилий, в дальнейшем будем писать коротко – ВУ) по участкам. При нахождении ВУ необходимо помнить их название и положительное направление (рис. 7.21). N – продольная сила, которая положительна, если вызывает растяжение. Q x и Q y – поперечные силы, они положительны, если их вектора вращают отсечённую часть по часовой стрелке. M x и M y – изгибающие моменты, которые положительны, если увеличивают кривизну стержня. M k – крутящий момент, который при положительном направлении поворачивает поперечное сечение бруса по часовой стрелке (при взгляде на сечение). 260 Вычисление внутренних усилий производится известным универсальным методом сечений, который выполняется по правилу РОЗУ и применяется для любых конструкций (см. тема 1.1). Использовать метод сечений можно по-разному. Это зависит от типа системы, вида нагружения и навыка расчётчика. Рассмотрим одну из методик применения данного метода. Она представляет собой непосредственное рассмотрение отсечённых частей целой системы, при котором пространственная система сохраняет свое пространственное изображение. Рис. 7.21. Внутренние усилия в поперечном сечении бруса В рассматриваемой раме, имеющей четыре грузовых участка, получим четыре отсечённые части. Так как рама консольного типа, то значения внутренних усилий здесь удобно определять, рассматривая равновесие той части, которая примыкает к свободному краю. Тогда получаем отсечённые части, представленные на рис. 7.22. Уравнения равновесия записываем как для пространственной системы в следующем виде: ⎧∑ пр x = 0, ⎪⎪ ⎨∑ пр y = 0, ⎪ ⎪⎩∑ пр z = 0, ∑ mom x = 0, ∑ mom y = 0 , ∑ mom z = 0. (7.37) Для удобства можно в сечении изображать только те ВУ, которые заведомо не равны нулю. Уравнения (7.37) определяют функции сил N , Q x и Q y , моментов M x , M y и M k . По этим функциям вычисляют значения внутренних усилий в характерных сечениях. Эти значения используют для построения эпюр N , Qx , Q y , M x , M y и M k . Необходимо помнить, что функции, полученные по уравнениям (7.37), показывают законы изменения ВУ и предопределяют вид графика на эпюре этого усилия. 261 Напомним, что между поперечными силами Qx , Qy и изгибающими моментами M x , M y существует дифференциальная зависимость, которая для прямолинейных брусьев имеет вид dM x = Qy , dz dM y = Qx , dz (7.38) а для криволинейных dM x = Qy , ds (7.39) где дифференциал дуги ds = R ⋅ dϕ . Рассмотренную методику часто называют расчётом по грузовым участкам. Рис. 7.22. Схемы отсечённых частей пространственного бруса 262 Рис. 7.22 Окончание Условия равновесия отсеченной части криволинейного стержня при пространственном нагружении нужно записывать по уравнениям (7.37). Они показывают, что в текущем сечении стержня должны возникать как изгибающий M x , так и крутящий M k моменты (рис. 7.23, а). Но восприятие такого пространственного изображения отсечённой части криволинейного стержня весьма затруднительно. Можно получить более простую картину изображения этих моментов в виде плоского отображения, если представлять изгибающий M x и крутящий M k 263 r r r моменты вектор-моментами M x и M k . Как известно, вектор-момент M – это вектор, перпендикулярный плоскости M и направленный в ту сторону, откуда можно видеть вращение моментом M против движения часовой стрелки (рис. 7.23, б). а б в Рис. 7.23. Отсеченная часть криволинейного стержня при пространственном нагружении Использование вектор-моментов дает возможность отсечённую часть изображать плоской картиной видом сверху, а моменты M x и M k – в виде век- r r M M торов x и k , направленных по осям x и z согласно правилу направлеr ния вектор-момента. Получается, что вектор M x лежит на оси x , а вектор r M k – на оси z (рис. 7.23, в). Теперь для вычисления значений моментов M x и M k можно использовать уравнения плоской системы сил ⎧∑ пр z = 0, ⎪⎪ ⎨∑ пр x = 0, ⎪ ⎪⎩∑ mom 0 = 0. (7.40) Использование уравнений плоской системы значительно упрощает расчёт. 264 В табл. 7.1 записаны выражения сил N и Q x , моментов M y , полученные по уравнениям (7.40) для двух типов плоского нагружения, изображены также эпюры этих усилий. Таблица 7.1 Плоское нагружение криволинейного стержня Схема нагружения 0 ≤ ϕ≤π 0 ≤ ϕ≤π Схема отсечённой части и внутренние усилия N = − P ⋅ cos ϕ Qx = P ⋅ sin ϕ M y = PR ⋅ (1 − cos ϕ) N = P ⋅ sin ϕ Qx = P ⋅ cos ϕ M y = PR ⋅ sin ϕ Эпюры N , Q x , M y 265 Значения моментов определяются с учётом их знака, однако на прочность знак изгибающего момента решающего влияния не имеет. Поэтому на эпюрах изгибающих моментов M x и M y , которые строят в плоскости их действия, принято откладывать значения либо только со стороны сжатых, либо только со стороны растянутых волокон, при этом знак момента не ставят. Условимся строить эпюры со стороны растянутых волокон. Эпюры поперечных сил Qx , Qy строят в плоскости их действия, и знаки условились не ставить. Эпюры продольных сил N и крутящих моментов M k можно откладывать как по оси x , так и по оси y (чаще по оси y ), исходя из соображений наибольшей наглядности чертежа. На эпюре N обязательно ставить знаки. На эпюрах M k знаки можно не ставить. Подбор размеров поперечных сечений. Проверка на прочность Эпюры ВУ позволяют констатировать вид сопротивления стержней. Стержни могут находится в состоянии косого изгиба, испытывать растяжение-сжатие, кручение и поперечный изгиб в двух плоскостях. Каждое усилие вызывает появление напряжений, показанных для круглого сечения в табл. 7.2, т.е. в стержнях могут действовать напряжения от всех шести силовых факторов. В этом случае необходимо оценить влияние на прочность как нормальных, так и касательных напряжений. Это возможно лишь с помощью теорий (или гипотез) прочности. Общеизвестно, что для стального бруса, как бруса из пластичного материала, рекомендуют пользоваться третьей или четвёртой теориями прочности; для выполнения расчётов составлена таблица 7.3, в которой представлен обзорный материал по этим теориям. Напомним, что рассуждения верны в пределах упругих деформаций, при которых справедлив принцип суперпозиции, то есть напряжения и деформации, возникающие от ряда внутренних усилий равны алгебраической сумме напряжений и деформаций от каждого усилия в отдельности. Поэтому использование векторной алгебры для касательных и нормальных напряжений, занесённых в табл. 7.2, позволило получить указанные в табл. 7.3 формулы касательных и нормальных напряжений. При неизвестных размерах сечения неизвестны и площадь, и моменты инерции, которые входят в формулы этих напряжений (см. табл. 7.3). В результате получаем громоздкие записи для эквивалентных напряжений по теориям IV III прочности σ экв и σэкв , не позволяющим получить удобно решаемое условие. Кроме того, при неизвестных размерах сечения нет возможности сравнить нормальные напряжения, возникающие отдельно от продольных сил N и изгибающих моментов M x , M y , и также касательные напряжения τ от поперечных сил Qx и Q y и крутящих моментов M k . 266 Таблица 7.2 Напряжения от внутренних усилий Вид внутреннего усилия Напряжения σ= N N F – продольная сила σ= Mx ⋅y Jx M x – изгибающий момент σ= My Jy ⋅x M y – изгибающий момент τ= Mk Mк ⋅r Jρ – крутящий момент τ= Q y ⋅ S xотс by ⋅ J x Q y – поперечная сила τ= Qx – поперечная сила Qx ⋅ S yотс bx ⋅ J y Эпюры напряжений 267 Таблица 7.3 Формулы для пластичного материала по III и IV теориям прочности Вид напряжённого состояния (НС) в сечениях рамы при наличии всех ВУ Рабочее НС (напряжения от ВУ НС в главных площадках в точках поперечного сечения) τ = τQx + τQy + τMk , σ=σN +σMx +σMy , ( ) ( ) ( ) 2 2 τ= τQx + τQy + τMk σ= σ2 = 0 2 , My N Mx + ⋅y+ ⋅x F Jx Jy III теория прочности, теория наибольших касательных напряжений IV теория прочности, теория потенциальной энергии изменения формы Критерий прочности σ1,3 = σ 1 2 ± σ + 4 τ2 2 2 τmax = σ1 − σ3 [σ] ≤ 2 2 Условие прочности III σэкв = σ 2 + 4 τ2 ≤ [ σ ] Критерий прочности 2 2 2 ⎞ 1+μ 2 1+μ ⎛σ1 +σ2 +σ3 + σ uф = ⎜ ⎟≤ 3E ⎜⎝ +σ1 ⋅σ2 +σ3 ⋅σ2 +σ1 ⋅σ3 ⎟⎠ 3E Условие прочности IV σэкв = σ2 + 3τ2 ≤ [ σ] Эти трудности в расчётной практике пространственных рам преодолевают следующим образом: используют методику расчётов на прочность, которая основана на том факте, что в большинстве рам нормальное напряжение от действия продольной силы и касательные напряжения от действия поперечных сил значительно меньше, чем от изгибающих и крутящих моментов соответственно. Тогда при подборе размеров круглого сечения будем учитывать только три силовых фактора: M x , M y и M k , распределение напряжений от которых представлено в табл. 7.4. Это даёт возможность записать с учётом Wx = Wy следующие напряжения в опасной точке К опасного сечения 268 σ = σ M x ,M y = Mx My Mx + My + = Wx Wy Wx , τ = τM к = Mк Mк = . Wρ 2 ⋅Wx Подставив эти выражения σ и τ в эквивалентные напряжения по теориям III IV прочности σ экв и σэкв , указанные в табл. 7.3, получим более простые условия прочности, которые представлены в табл. 7.4. Эти условия и служат для подбора размеров круглых сечений пространственного бруса. Таблица 7.4 Расчётные формулы для круглого бруса M исум – изгибающий суммарный момент в опасном сечении круглого стержсум ня, M и = M x2 + M y2 , Mk – крутящий момент в том же сечении стержня Эпюры нормальных и касательных напряжений в опасном сечении круглого стержня: σ= My Jy ⋅x+ Mk Mx ⋅ρ ⋅y, τ= Wρ Jx Вид НС в опасной точке К, σ = σmax = Mx My Mx + My + = Wx Wy Wx τ = τmax = Mk Mk = Wρ 2 ⋅Wx Условие прочности по III теории прочности для круглого стержня Условие прочности по IV теории прочности для круглого стержня σ σ III экв IV экв III M экв = = W M x2 + M y2 + M л2 W ≤ [σ] IV M x2 + M y2 + 0,75 ⋅ Mk2 Mэкв = = ≤ [σ] W W 269 Далее после подбора размеров обязательна проверка прочности при учёте всех внутренних усилий, в том числе продольных и поперечных сил. Эта проверка наиболее актуальна для коротких элементов конструкций, в которых моменты, как правило, вызывают или меньшие напряжения, чем продольные и поперечные силы, или соизмеримые с ними. Определение перемещений и построение деформированной оси бруса Для определения линейных и угловых перемещений в любых плоских и пространственных системах, состоящих из шарнирно или жёстко соединенных прямых или кривых брусьев, универсальным способом является метод Мора (подробно см. тема 8.2). По этому методу для вычислений составляют специальное единичное состояние. Так, при определении линейного перемещения необходимо: освободить систему от заданных нагрузок и по направлению искомого перемещения приложить безразмерную единичную силу (силу, равную единице). А при определении углового перемещения в том сечении, поворот которого требуется найти, прикладывают в плоскости искомого поворота момент, равный безразмерной единице (единичный момент). Система, нагруженная силой, равной единице, или моментом равным единице, и есть единичное состояние. А система, нагруженная заданной нагрузкой, есть грузовое состояние. Искомое перемещение вычисляют по интегралу Мора, которое для рам имеет вид Δ=∫ l где Mp ⋅M EJ dz + ∫ l M kр ⋅ M k EJ ρ dz , , (7.41) M p , M kр – функции грузовых изгибающих и крутящих моментов; M , M k – функции единичных изгибающих и крутящих моментов. В случаях, когда ось бруса прямолинейна и жёсткость поперечного сечения в пределах отдельных участков постоянна, интеграл Мора целесообразно вычислять графо–аналитическим методом, применяя правило Верещагина, которое основано на том факте, что в прямолинейных стержнях единичные эпюры линейны. По этому правилу значение интеграла Мора (7.41) для каждого участка вычисляется как произведение площади одной эпюры изгибающих моментов на значение момента из другой (обязательно линейной), которое взято под центром тяжести первой, делённое на жёсткость поперечного сечения данного участка. Таким образом, при применении правила Верещагина вычисление перемещения ведётся по формуле 270 Δ=∑ ωi ⋅ ηci , ( EJ x )i (7.42) где ωi – площадь первой эпюры изгибающих моментов; ηci – значение момента, взятое из линейной эпюры изгибающих моментов и соответствующее центру тяжести первой; ( EJ x )i – жесткость поперечного сечения данного участка бруса. Очевидно, что в случаях, когда на данном участке обе эпюры линейны, совершенно безразлично, на какой из них брать площадь и на какой ординату. Произведение ωi ⋅ ηci считается положительным, если часть эпюры, имеющая площадь ωi , и соответствующая ордината ηci расположены по одну сторону от оси бруса. Вычисление перемещений по формуле (7.42) называют способом Верещагина, а вычисление произведения ωi ⋅ ηci – перемножением эпюр. Для кривого бруса, как известно, правило Верещагина неприменимо, так как ни одна из эпюр не будет линейной, поэтому в курсовом проекте для первого стержня перемещение определяем только интегралом Мора по (7.41), в котоl ром ds = Rd ϕ = 1 d ϕ . При составлении выражений изгибающих моментов ис2 пользуем полярные координаты, фиксируя положение произвольного сечения углом ϕ . Для прямолинейных стержней вычисление перемещений целесообразно выполнять способом Верещагина по (7.42), перемножая полученные ранее эпюры изгибающих и крутящих моментов от заданной нагрузки (грузовые) на соответствующие единичные эпюры M i , которые необходимо построить. Если грузовые и единичные эпюры расположены с разных сторон от нулевой линии (от оси бруса), то при перемножении эпюр ставим знак минус. Отрицательное значение перемещения означает, что это сечение смещается по направлению, противоположному взятого единичного усилия. По найденным перемещениям строят деформированную ось брус. Контрольные вопросы к разделу 7 1. Что такое сложное сопротивление? 2. Дайте определение косого изгиба. 3. Чем косой изгиб отличается от прямого изгиба? 4. Какой вид деформации называется внецентренным сжатием или растяжением? 5. Что такое ядро сечения? Поясните практическую значимость его нахождения. 271 6. Дайте определение нейтральной линии. Как проходит нейтральная линия при косом изгибе, внецентренном растяжении (сжатии)? 7. Что такое главные центральные оси сечения и главные плоскости изгиба? 8. Где находятся опасные точки в поперечном сечении балки при косом изгибе и при внецентральном сжатии или растяжении? 9. Какие гипотезы прочности используются при расчетах на изгиб с кручением? 10. Назовите внутренние силовые факторы, возникающие в сечении элемента конструкции в общем случае нагружения. 11. Как определяются напряжения от внутренних усилий в случае косого изгиба, внецентренного растяжения (сжатия), изгиба с кручением? 12. Поясните, как вычисляются перемещения в пространственных системах в случае общего нагружения. 272 Раздел 8 Энергетические перемещений в упругих системах методы определения Тема 8.1 Общие теоремы об упругих системах Потенциальная энергия упругой деформации Энергетический метод представляет собой универсальный способ определения перемещений упругих систем. Он основан на применении закона сохранения энергии и принципа возможных перемещений. К упругим системам относятся балки, рамы, фермы и т.п., которые соответствуют следующим условиям: - линейно-деформируемые системы (материал подчиняется закону Гука); - материал идеально упругий; - наибольшие напряжения в системах не превышают предела пропорциональности σ max < σ пц ; - применимость принципа начальных размеров; - применимость принципа независимости действия сил. Будем рассматривать только статическое нагружение упругих систем, при котором нагрузка возрастает постепенно и таким образом, что ускорениями элементов системы можно пренебречь. При нагружении деформируемых систем имеет место преобразование потенциальной энергии одного вида в другой. Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформации через U, а потенциальную энергию внешних нагрузок через U F . Закон сохранения потенциальной энергии имеет вид U F =U. (8.1) Мерой энергии, превратившейся в другой вид, является величина работы, произведенной силами, действующими на конструкцию. Тогда величина UF измеряется положительной работой этих нагрузок. Накоплению потенциальной энергии деформации U соответствует отрицательная работа внутренних сил упругого сопротивления (если учесть их направление по отношению к деформации, вызванной внешними силами). Заменив в формуле (8.1) величины U и U F численно равными им значениями работ (− W ) и W F , получим иную формулировку этого закона W F = −W , или WF +W = 0 . (8.2) 273 Из равенства (8.2) следует, что при перемещениях точек системы без нарушения равновесия сумма работ всех сил, приложенных к точкам тела, равна нулю. Обобщенные силы и обобщенные перемещения Каждому виду нагрузки соответствует свое перемещение, на котором она производит работу. Сосредоточенной силе соответствует линейное перемещение, сосредоточенному моменту – угловое перемещение. Чтобы наши рассуждения и выводы носили общий характер, введем понятие обобщенной силы. Под обобщенной силой F понимается любое силовое воздействие. Перемещение Δ, на котором она совершает работу, называют обобщенным перемещением. Условимся обобщенные перемещения (как линейные, так и угловые) обозначать символом Δ с двумя индексами – Δ iF : - первый (буква или номер) определяет точку или направление перемещения; - второй – причину, вызвавшую его. Для обозначения полного перемещения, вызванного несколькими усилиями, при знаке Δ сохраняется только первый индекс. Например, перемещение Δ F точки приложения силы F по направлению ее линии действия (рис. 8.1), вызванное этой же силой Δ FF , силой Q - Δ FQ и парой сил m - Δ Fm , запишется в виде суммы этих перемещений Δ F = Δ FF + Δ Fm + Δ FQ . Перемещение, вызванное единичной силой F = 1 или единичным моментом M = 1, будем обозначать символом δ . При обозначении единичных нагрузок принято вводить черту над соответствующей буквой. Единичные нагрузки считаются безразмерными величинами. Рис. 8.1 Если единичная сила F = 1 (рис. 8.2, а) вызвала перемещение δ 11 , то на основании принципа независимости действия сил полное перемещение, вызванное силой F (рис. 8.2, б): Δ F = F ⋅ δ 11 . (8.3) 274 Рис. 8.2 Если нагрузка обозначается с числовыми индексами, то буквенные индексы при Δ и δ заменяются соответствующими числами ( Δ 11 , Δ 12 , ... ). Работа внешних сил Перемещение сечения по направлению действия силы, вызванное самой силой, называется действительным перемещением. Вычислим работу обобщенной силы F, статически возрастающей до своего конечного значения (рис. 8.3, а), на действительном перемещении Δ . График зависимости между силой F и перемещением Δ представляет собой наклонную прямую (рис. 8.3, б). Рис. 8.3 Работа силы F численно равна площади заштрихованного треугольника (рис. 8.3, б): 1 W = F ⋅ Δ. (8.4) 2 Таким образом, действительная работа при статическом действии обобщенной силы на упругую систему равна половине произведения конечного значения силы на конечное значение обобщенного перемещения по ее направлению (теорема Клайперона). Работа совокупности статически приложенных сил вычисляется по формуле W= 1 n ∑ Fi ⋅ Δ i . 2 i =1 (8.5) Работа внутренних сил на действительных перемещениях 275 Двумя смежными сечениями выделим из стержня элемент длиной dz (рис. 8.4, а). В случае плоского изгиба действие удаленных частей стержня на оставленный элемент заменяется тремя внутренними усилиями: изгибающим моментом М, продольной силой N и поперечной силой Q . Воспользуемся принципом независимости действия сил и вычислим раздельно элементарную работу каждого внутреннего усилия. Рис. 8.4 Продольные силы вызывают взаимные осевые перемещения сечений (рис. 8.4, б), величина которых равна удлинению (укорочению) элемента: Δdz = N ⋅ dz . E⋅A Элементарная работа продольной силы на перемещении Δdz (8.4) запишется в виде: 1 N 2 dz dWN = − N ⋅ Δdz = − . 2 2E ⋅ A Изгибающие моменты вызывают взаимный поворот поперечных сечений элемента на угол dθ (рис. 8.4, в): dθ = dz ρ = M ⋅ dz E⋅J , 1 M – кривизна оси стержня. = ρ EJ Элементарная работа изгибающего момента на угловом перемещении dθ равна: 1 M 2 dz . dW M = − M ⋅ dθ = − 2 2 EJ где dz – длина нейтрального слоя; 276 Поперечные силы вызывают взаимный сдвиг поперечных сечений элемента. Элементарная работа поперечной силы при деформациях сдвига: Q 2 dz , dWQ = η 2GA где G – модуль упругости материала при сдвиге; η − безразмерный коэффициент, который отражает неравномерность распределения касательных напряжений по высоте поперечного сечения и зависит от его формы. Например, для прямоугольного сечения он равен 6 5 , для круглого – 10 9 . Таким образом, элементарная работа внутренних сил при деформациях бесконечно малого элемента стержня равна dW = dW M M 2 dz N 2 dz Q 2 dz + dW + dW = − − −η ⋅ . N Q 2 EJ 2 EA 2GA Интегрируя это выражение по длине каждого стержня и производя суммирование по всем стержням, получим формулу для определения полной работы внутренних сил на действительных перемещениях: M 2 dz N 2 dz Q 2 dz −∑ ∫ − ∑ ∫η . W = −∑ ∫ 2 EJ 2 EA 2 GA l l l (8.6) Работа сил на возможных перемещениях Перемещения по направлению силы, не зависящие от ее величины, называют возможными перемещениями. Работа сил при возможных перемещениях называется возможной, или виртуальной. Рассмотрим два состояния балки при последовательном нагружении ее двумя силами (рис. 8.5): - при первом на балку действует сила F1 (рис. 8.5, а); - при втором на балку, нагруженную силой F1 , начинает действовать сила F 2 , при увеличении которой сила F1 остается постоянной (рис. 8.5, б). Линейные перемещения точки приложения F1 по направлению линии ее действия обозначим так: Δ 11 – действительное перемещение сечения по направлению линии действия силы F1 от действия самой силы F1 ; 277 Δ 12 – возможное перемещение того же сечения по направлению линии действия F1 от действия силы F 2 . Рис. 8.5 График зависимости между силой F1 и возможным перемещением Δ 12 представляет собой горизонтальную прямую (рис. 8.5, в). Площадь заштрихованного прямоугольника численно равна возможной работе силы F1 при перемещении, вызванном силой F 2 : W 12 = F1 ⋅ Δ 12 . (8.7) По формуле (8.7) вычисляется возможная работа сил первого состояния на перемещениях, вызванных силами второго состояния. В формуле (8.7) отсутствует множитель 1 , присутствовавший в формуле (8.4) для расчета дейст2 вительной работы. В случае действия нескольких обобщенных сил Win = ∑ Fi ⋅ Δin , (8.8) где Win – возможная работа сил i − го состояния на перемещениях, вызванных силами состояния n. Возможная работа внутренних сил Рассмотрим два состояния элемента стержня длиной dz под действием продольных сил (рис. 8.6): - первое состояние - на элемент действуют силы N 1 (рис. 8.6, а); - второе - элемент действуют силы N 2 (рис. 8.6, б). 278 Рис.8.6 Продольные силы N 2 второго состояния (рис. 8.6, б) вызывают удлинение элемента N ⋅dz . ( Δd z )2 = 2 E⋅A Возможная работа сил N 1 первого состояния при этом перемещении, см. формулу (8.7), равна dW N = − N 1 (Δ dz )2 = − 1 N 1 N 2 dz E⋅A Рассмотрим два состояния элемента dz под действием изгибающих моментов (рис. 8.7): - при первом на элемент действуют моменты M 1 (рис. 8.7, а); - при втором на элемент действуют моменты M 2 (рис. 8.7, б). Рис. 8.7 Взаимный угол поворота граней элемента, вызванного моментами M 2 (рис. 8.7, б): M dz (dθ) 2 = 2 . E⋅J Возможная работа изгибающего момента M 1 при этом перемещении: 279 dW M = − M 1 (dθ) 2 = − M1M 2dz 1 E⋅J . Рассуждая аналогично, запишем возможную работу поперечной силы Q1 первого состояния при деформациях сдвига, вызванных силами Q 2 : dW Q = −η 1 Q 1 Q 2 dz GA . Таким образом, возможная работа внутренних сил при деформациях бесконечно малого элемента равна dW12 = dW M + dW N + dW Q = − 1 1 1 M1M 2 dz E⋅J − N1 N 2 d z E⋅A −η Q1 Q 2 dz GA . Интегрируя это выражение по длине каждого стержня, произведя суммирование по всем стержням, получим формулу для полной возможной работы внутренних сил: M i M nd z N N dz Q Q dz − ∑ ∫ i n − ∑ ∫η i n . E⋅J GA l l E⋅A l Win = −∑ ∫ (8.9) По формуле (8.9) вычисляется полная возможная работа внутренних сил i − го состояния на перемещениях, вызванных силами состояния n. Принцип возможных перемещений Известный из механики принцип возможных перемещений применительно к упругим системам формулируется следующим образом. Если система находится в равновесии под действием приложенной нагрузки, то сумма работ внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях точек системы равна нулю, т.е. ∑ Fi Δ in + Win = 0, или ∑ Fi Δ in = −Win , (8.10) где ∑ Fi Δin − возможная работа внешних сил; Win – возможная работа внутренних сил. Подставив в уравнение (8.10) выражения для возможной работы внутренних сил (8.9), получим 280 ∑ Fi Δin = ∑ ∫ l M i M n dz E⋅J +∑ ∫ Ni N nd z l E⋅A + ∑ ∫η l Qi Qn dz GA . (8.11) Уравнение (8.11) выражает принцип возможных перемещений для плоской стержневой системы. Теоремы о взаимности перемещений и работ Рассмотрим балку в двух состояниях. В первом балка нагружена обобщенной силой F1 (рис. 8.8, а). Внутренние усилия в сечениях обозначим M 1 , N 1 , Q1 , перемещения точек – Δ 11 , Δ 21 , … , Δ i1 . Во втором состоянии балка нагружена силой F1 (рис. 8.8, б). Внутренние усилия M 2 , N 2 , Q 2 ; перемещения точек Δ 12 , Δ 22 , … , Δ i 2 . Рис. 8.8 В качестве возможного перемещения для первого состояния возьмем Δ 12 , для второго – Δ 21 . Применим принцип возможных перемещений. На основании формулы (8.11) получим соответственно для первого и второго состояния F1 ⋅ Δ12 = ∑ ∫ l F2 ⋅ Δ 21 = ∑ ∫ l M 1M 2 dz N N dz Q Q dz +∑ ∫ 1 2 + ∑ ∫ 1 2 , E⋅J E⋅A G⋅ A l l M 2 M 1dz N N dz Q Q dz + ∑∫ 2 1 + ∑∫ 1 2 . E⋅J E⋅A G⋅ A l l Так как правые части полученных выражений равны, то равны и левые части: F1 ⋅ Δ 12 = F 2 ⋅ Δ 21 . (8.12) 281 Выражение (8.12) носит название теоремы о взаимности работ (теоремы Бетти): возможная работа сил состояния 1 при перемещениях состояния 2 равна работе сил состояния 2 на перемещениях состояния 1. Пусть в обоих состояниях балки (рис. 8.8) приложено по одной единичной силе F1 = 1 и F2 = 1 . Обозначим перемещения, вызванные единичными нагрузками, δ 12 и δ 21 . На основании теоремы Бетти получим F1 ⋅ δ 12 = F 2 ⋅ δ 21 или δ 12 = δ 21 . (8.13) В общем случае действия любых единичных сил δ in = δ ni . Равенство (8.13) носит название теоремы о взаимности перемещений (теоремы Максвелла): перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному действием первой силы. Потенциальная энергия деформации в общем случае нагружения Рассмотрим общий случай нагружения бруса, когда в поперечных сечениях могут возникать одновременно нормальные и поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты. Кроме того, полагаем, что брус может быть не только прямым, но может иметь малую кривизну. Решение поставленной задачи необходимо не только для выяснения величины самих перемещений и оценки жесткости конструкции. На основе определения перемещений создаются общие методы определения внутренних силовых факторов в статически неопределимых системах. Наиболее просто находятся перемещения при помощи энергетических соотношений на основе общего выражения потенциальной энергии деформации нагруженного бруса. Определение потенциальной энергии предшествует анализ внутренних силовых факторов, возникающих в брусе. Этот анализ производится при помощи метода сечений и завершается построением эпюр M x , M у , M к и N , Qx , Q y . В общем случае нагружения, потенциальная энергия элемента может рассматриваться как сумма независимых работ каждого из шести силовых факторов, т.е. как сумма энергий кручения, изгиба, растяжения и сдвига. dU = dU M к + dU M x + dU M y + dU N + dU Q x + dU Q y или (8.14) 282 2 Q y2 dz Qx2 dz M к2 dz M x2 dz M y dz N 2 dz + + + + kx + ky dU = 2GJ ρ 2 EJ x 2 EJ y 2 EF 2GF 2GF (8.15) Чтобы получить потенциальную энергию всего бруса, это выражение следует проинтегрировать по длине бруса. Теорема Кастильяно В основу определения перемещений бруса может быть положена теорема Кастильяно. Частная производная от потенциальной энергии деформации системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы: ∂U = δn . ∂Pn (8.16) Поясним эту формулировку. Перемещение точки приложения силы по направлению силы надо понимать как проекцию на направление силы полного перемещения этой точки (см.выше). Рассмотрим упругое тело, нагруженное произвольными силами. Пусть потенциальная энергия деформации равно U . Одной из сил Pn дадим приращение dPn . Тогда потенциальная энергия U ∂U ∂U ⋅ dPn и примет вид U + ⋅ dPn . ∂Pn ∂Pn Теперь приложим к упругому телу силу dPn . В точке приложения этой силы 1 возникнет малое перемещение dδ n . Работа этой силы dPn ⋅ dδ n . Приложим 2 получит соответствующее приращение всю систему внешних сил. Потенциальная энергия изменится на величину дополнительной работы dPn ⋅ δ n . В итоге получим 1 U + dPn ⋅ δ n + dPn ⋅ dδ n . 2 Рассматривая два этих случая: δn = ∂U . ∂Pn В этом выражении силу Pn можно рассматривать как некоторый силовой фактор или обобщенную силу. Тогда величина δ n должна рассматриваться 283 как обобщенное перемещение, т.е. такой геометрический параметр, на котором обобщенная сила Pn совершает работу. Рассмотрим применение теоремы Кастильяно на конкретных примерах. Пример 8.1 Определить при помощи теоремы Кастилиано угол поворота правого торца стержня (рис. 8.9), нагруженного моментом M . M l Рис. 8.9 Внутренняя потенциальная энергия стержня при кручении, согласно выражеl M K2 dz нию (4.47), равна U = ∫ . Так как M K = M , а жесткость предполагается 0 2GJ K M 2l dU M неизменной, то U = . Дифференцируя по M , находим ϕ = = , 2GJ K dM GJ K что совпадает с известным выражением для угла закручивания. Пример 8.2. Определить прогиб консоли (рис. 8.10), нагруженной на конце силой P . z P l Рис. 8.10 M x2 dz . На расстоянии z от 2 EJ x P 2l 3 конца M x = − Pz . При постоянной жесткости EJ x получаем U = . Пере6 EJ x l Потенциальная энергия стержня при изгибе U = ∫ Pl 3 ∂U мещение точки приложения силы Pδ = = . Это значение прогиба ∂P 3EJ x может быть получено методом интегрирования упругой линии стержня. Тема 8.2 Общие методы определения перемещений 284 Формула Мора для вычисления перемещений Дана произвольная плоская стержневая система, находящаяся под действием произвольных нагрузок (рис. 8.11, а). Пусть требуется определить перемещение в точке К по направлению (i–i). Обозначим это искомое, т.е. действительное, перемещение Δ iF . Рис. 8.11 Рассмотрим два состояния заданной системы. В первом на нее действует заданная нагрузка (рис. 8.11, а). Назовем состояние системы под действием заданных нагрузок грузовым, или действительным. Внутренние усилия в сечениях грузового состояния обозначим M F , N F и QF Введем единичное, или вспомогательное, состояние (рис. 8.11, б), представляющее собой заданную систему, нагруженную лишь одной единичной силой Fi = 1, в данной точке К по направлению искомого перемещения Δ iF . Внутренние усилия в сечениях единичного состояния обозначим M , N и Q . Применим принцип возможных перемещений для единичного состояния, принимая в качестве возможного действительное перемещение заданной системы Δ iF . На основании формулы (8.11) получаем формулу для искомого перемещения: . ΔiF = ∑ ∫ l MiM F E⋅J dz + ∑ ∫ l Ni N F E⋅A dz + ∑ ∫η l QiQ F G⋅ A dz . (8.17) Формулу (8.17) называют формулой Максвелла – Мора, а вычисление перемещений по ней часто называют методом Мора. В этой формуле следующие обозначения: M i , N i , Qi – внутренние усилия от единичного момента или силы в произвольном сечении единичного состояния; 285 M F , N F , Q F – внутренние усилия от заданных нагрузок в том же сечении грузового состояния. Отметим, что в общем случае нагружения системы формула (8.17) содержит 6 интегралов (по числу внутренних усилий в поперечных сечениях стержня). При расчете плоских систем, работающих в основном на изгиб (продольные и сдвиговые деформации малы), формула (8.17) принимает вид ΔiF = ∑ ∫ l MiM F E⋅J dz. (8.18) Для систем, стержни которых работают на растяжение или сжатие (например, для ферм), в формуле (8.17) сохраняется лишь член, содержащий продольные силы: ΔiF = ∑ ∫ l Ni N F E⋅A dz. (8.19) Формула (8.19) носит название формулы Максвелла. Она была получена в 1864 г. английским физиком Дж. Максвеллом для ферм и независимо от него вновь получена и обобщена немецким ученым О. Мором в 1874 г. Порядок вычисления перемещений по методу Мора Вычисление перемещений по методу Мора для систем, работающих на изгиб, ведут в следующем порядке: строят вспомогательную (единичную) систему, которую нагружают единичной нагрузкой в точке, в которой требуется определить перемещение; при вычислении линейного перемещения в заданном направлении прикладывают единичную силу, при вычислении углового – единичный момент; для каждого участка системы записывают выражения внутренних моментов в произвольном сечении грузовой ( M F ) и единичной ( M i ) систем; найденные выражения моментов M F , M i подставляют в правую часть формулы (8.18) и интегрированием по участкам в пределах всей системы определяют искомое перемещение Δ iF ; если Δ iF положительно, то перемещение совпадает с направлением единичной силы, а если отрицательно, то оно противоположно этому направлению. Для систем, работающих на растяжение или сжатие, записывают выражение продольных сил N F и Ni и подставляют его в формулу (8.19). 286 Пример 8.3. Определить прогиб концевого сечения В и угол поворота среднего сечения С консоли (рис. 8.12, а и рис. 8.13, а). Решение. Определение прогиба. Строим единичную систему (рис. 8.12, б). К балке, освобожденной от нагрузки, прикладываем в точке В по направлению искомого перемещения силу, равную единице. Составляем аналитические выражения изгибающих моментов от заданной и единичной нагрузки. На участке АВ ( 0 ≤ z ≤ l ) qz 2 ; от заданной нагрузки MF = − 2 от единичной нагрузки M1 = −1⋅ z. Рис. 8.12 Подставляем эти выражения в формулу (8.18) и находим прогиб сечения В: ΔB = ∫ l l l 1 qz 2 1 qz 3 ql 4 dz = (− ) ⋅ ( − z )d z = dz = . E⋅J E ⋅ J ∫0 2 E ⋅ J ∫0 2 8E ⋅ J M F M1 Положительное значение свидетельствует о том, что направление прогиба и единичной силы совпадают (прогиб – вниз). Определение угла поворота. Строим единичную систему (рис. 8.13, б), прикладывая в точке С единичный момент. Разбиваем балку на два участка (8.13, б ). Составляем выражение изгибающих моментов от заданной нагрузки и единичного момента по участкам: участок ВС ( 0 ≤ z ≤ l ): qz2 MF =− , M 2 = 0; 2 участок СА ( 0 ≤ z ≤ l ): MF =− ( ql +z 2 2 ) 2 , M 2 = 1. 287 Рис. 8.13 Применив формулу (8.18) находим угол поворота сечения С: θC = ∑ ∫ l ( l ⎛ ⎡l l 2 1 ⎢ 2 ⎛ qz 2 ⎞ ⎜ q⋅ 2 + z dz = ⎜− ⎟ ⋅0 d z + ∫ ⎜ − E⋅J E ⋅ J ⎢ ∫0 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2 0 ⎜ ⎢ ⎝ ⎣ MF M2 =− q 2E ⋅ J l 2 ∫ (l 2 + z ) =− 2 dz = − q ⋅ 2E ⋅ J ( ( ) l +z 2 ) 3 l ) 2 ⎤ ⎞ ⎥ ⎟ ⎟ ⋅ 1d z ⎥ = ⎟ ⎥ ⎠ ⎦ 2 = 3 3 3 q l3 7ql . −l =− 3 24 2E ⋅ J 48E ⋅ J Знак «минус» указывает на то, что поворот осуществляется в сторону, противоположную направлению момента, т.е. против хода часовой стрелки. Способ Верещагина Техника определения перемещений может быть значительно упрощена с помощью специального графоаналитического приема для вычисления интегралов, входящих в формулу Максвелла-Мора (8.17) ∫ M i M F d z. (8.20) l Метод был предложен в 1925 г. студентом Московского института инженеров железнодорожного транспорта А.К. Верещагиным и поэтому называется методом Верещагина (методом перемножения эпюр). Вычислим интеграл (8.20) для случая, когда эпюра от действующих нагрузок (грузовая эпюра) имеет произвольное очертание (нелинейное), а эпюра от единичных факторов – линейное (рис. 8.14). 288 Рис. 8.14 Обозначим через ω F площадь грузовой эпюры M F ; через M C – ординату единичной эпюры под центром тяжести площади ω F . Очевидно, что выражение M F ⋅ dz = dω F представляет собой малый элемент площади эпюры M F , а ордината единичной эпюры в этом сечении M i = tg α ⋅ z , где α – угол наклона эпюры к оси абсцисс. Тогда искомый интеграл можно представить так: ∫ M i M F d z = ∫ tg α ⋅ z ⋅ dω F l l = tg α ∫ z d ω F . (8.21) l Интеграл в правой части равенства (8.21) представляет собой статический момент площади эпюры M F относительно оси О-О: ∫ z dω F = ω F ⋅ zC , l где z C – абсцисса центра тяжести грузовой эпюры M F . В этом случае ∫ M i M F d z = ω F ⋅ z C tg α . l 289 Так как z C tg α = M C , то окончательно искомый интеграл: ∫ M i M F d z = wF ⋅ M C . (8.22) l Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади эпюры произвольного очертания на расположенную под ее центром тяжести ординату линейной эпюры. Тогда из формулы (8.18) получится математическое выражение способа Верещагина Δ iF = ∑ ωF ⋅M C E⋅J , (8.23) где ΔiF – искомое перемещение (прогиб или угол поворота); ω F – площадь эпюры изгибающего момента от заданной нагрузки, M c − ордината эпюры изгибающего момента от единичной нагрузки под центром тяжести площади ωF . Применение способа Верещагина для вычисления перемещений Вычисление перемещений по способу Верещагина производится в следующем порядке: Строят эпюры изгибающих моментов: M F – для грузового состояния; M i – для единичного состояния. Разбивают эпюры M F и M i на участки так, чтобы единичная эпюра на каждом участке была прямолинейна. Вычисляют по участкам площади ω F грузовой эпюры M F . Находят на единичной эпюре ординаты M вующей площади ω F . C под центром тяжести соответст- Вычисляют на каждом участке произведение ( ω F ⋅ M формулу (8.23), находят искомое перемещение Δ iF . C ) и, подставив его в Если стержни работают на растяжение или сжатие, то строят эпюры продольных сил N F и N C . Расчетная формула в этом случае – 290 Δ iF = ∑ ωF ⋅ NC E⋅A . (8.24) Рекомендации по применению способа Верещагина ордината M C обязательно берется на прямолинейной эпюре; если одна из эпюр криволинейна, а другая – ломаная, последнюю разбивают на участки, в пределах которых она линейна (рис. 8.13, а); Рис. 8.15 если обе эпюры линейны, то безразлично, на которой из них брать площадь, а на которой – ординату, т.е. вместо ( ω F ⋅ M C ) можно взять (ω ⋅ M F ) , см. C рис. 8.15, б; сложные эпюры изгибающих моментов могут быть разбиты на простейшие фигуры. Для некоторых из них в табл. 8.1 приведены значения площадей и координаты центров тяжести. Таблица 8.1 Вид нагружения Характер эпюры изгибающих моментов Высота эпюры Площадь эпюры h=m ω = hl Координата центра тяжести zc = 1 2 291 1 2 2 zc = l 3 1 3 3 zc = l 4 2 3 1 zc = l 2 h = Fl ω = hl ql 2 h= 2 ω = hl ql 2 h= 8 ω = hl Формулы для перемножения эпюр Используя прием разбиения сложных эпюр, можно получить формулы для их перемножения, т. е. для вычисления ( ωF ⋅ MC ). Формула для перемножения прямолинейных трапеций. Если перемножаемые эпюры имеют вид линейных трапеций (рис. 8.16, а), то одну из них можно разбить на два треугольника. Умножив площади каждого из треугольников на ординату под его центром тяжести из другой эпюры, получим ω F ⋅ M C = ω1 ⋅ M C + ω 2 ⋅ M C = 1 2 a l ⎛ 2c d ⎞ b l ⎛ c 2 d ⎞ + ⎟+ ⎜ ⎜ + ⎟. 2 ⎝ 3 3⎠ 2 ⎝3 3 ⎠ 292 Рис. 8.16 После преобразований выводим формулу ωF ⋅ M C = l 6 ( 2 a c + 2b d + a d + bc ) , (8.25) где l – длина участка. В скобках формулы произведения ( a ⋅ c ) левых ординат обеих эпюр и ( b ⋅ d ) правых ординат берутся с коэффициентом, равным двум, а произведения ( a ⋅ d ) и ( b ⋅ c ) ординат, расположенных с разных сторон, – с коэффициентом, равным единице. С помощью формулы (8.25) можно перемножать знакопеременные эпюры. Например, произведение эпюр, показанных на рис. 8.16, б, равно ωF M C = l 6 ( 2 a c − 2b d + a d − bc ) . Формула (8.25) применима и тогда, когда одна или обе перемножаемые эпюры имеют вид треугольника. В этих случаях треугольник рассматривается как трапеция с одной крайней ординатой, равной нулю. Формула Симпсона. Если одна из эпюр (рис. 8.17, а) имеет вид параболической трапеции, то ее можно разбить на линейную трапецию и параболический сегмент (от равномерно распределенной нагрузки q). Результат перемножения эпюр таков: ωF M C = l 6 (a c + b d + 4 f g ) . (8.26) 293 Рис. 8.17 В скобках формулы − сумма произведений крайних ординат обеих эпюр с учетверенным произведением средних ординат a + b gl 2 f = + 2 8 и g= c+d 2 , gl 2 = h – средняя ордината параболического сегмента (см. табл. 8.1). где 8 Для случая, показанного на рис. 8.17, б, когда парабола обращена выпуклоa + b gl 2 стью в другую сторону, при вычислении средней ординаты ( f = ) − 2 8 следует взять знак «минус». В заключение отметим: - метод Верещагина целесообразно применять, если ось участка (балки или рамы) прямолинейна и жесткость поперечных сечений по длине участка постоянна; - если жесткость непрерывно меняется по длине участка, то перемещение должно определяться непосредственным вычислением интеграла Мора (правило сохраняет силу при расчете бруса малой кривизны). Пример 8.3. Определить прогиб концевого сечения консоли (рис. 8.18, а). Решение. Строим грузовую эпюру изгибающих моментов M F , (рис. 8.18, б. Для получения единичной схемы прикладываем в точке В балки, освобожденной от нагрузки, единичную силу и строим эпюру M (рис. 8.18, в). 294 Рис. 8.18 Замечаем, что грузовая эпюра очерчена вогнутой квадратной параболой, а единичная – линейна на всем протяжении. Используя способ Верещагина, в расчет принимаем площадь эпюры M F , а ординату M C берем с эпюры M . Согласно табл. 8.1, площадь эпюры составляет 1 1 gl 2 gl 3 ωF = h ⋅l = ⋅l = 3 3 2 6 Ордината единичной эпюры, соответствующая центру тяжести ω F − 3 MC = l . 4 Искомое перемещение находим на основе формулы (8.23): ΔB = ωF ⋅ M C E⋅J l ⎛ ql 3 3 ⎞ ql 4 . = ⋅ l ⎟= ⎜ E ⋅ J ⎜⎝ 6 4 ⎟⎠ 8E ⋅ J Положительное значение указывает на то, что прогиб направлен в сторону действия единичной силы, т.е. вниз. Пример 2.3. Определить прогиб сечения D консоли (рис. 8.19, а). 295 Рис. 8.19 Решение. Строим грузовую эпюру изгибающих моментов M F (рис. 8.18, б). Для построения единичной схемы освобождаем консоль от нагрузки и в направлении искомого перемещения прикладываем в точке D единичную силу. Строим эпюру M (рис. 8.19, в). Анализируем эпюры M F и M по участкам. На участке AD грузовая эпюра линейна, а единичная эпюра имеет нулевое значение. Следовательно, результат перемножения этих эпюр равен нулю. На участке DB обе эпюры линейны. Для перемножения этих эпюр воспользуемся формулой трапеций (8.25): ωF M C = l 6 (2 ⋅ a ⋅ c + 2 ⋅ b ⋅ d + a ⋅ d + c ⋅ b) . Левые ординаты эпюр: a = 0,3 ⋅ F ⋅ l ; c = 0 . Правые ординаты: b = −0,2 ⋅ F ⋅ l ; d = −0,5 ⋅ l . В результате перемножения эпюр получим, что ωF ⋅ M C = 0,5l l ( 2 ⋅ 0,2F l ⋅ 0,5l − 0,3F ⋅ l ⋅ 0,5l ) = 0,0042F l 2 . 6 Искомый прогиб: ΔD = 1 0,0042F l 2 ωF ⋅ M C = . E⋅J E⋅J 296 Положительное значение указывает на то, что прогиб направлен в сторону действия единичной силы, т.е. вниз. Контрольные вопросы к разделу 8 1. Сформулируйте теорему Клапейрона. 2. В чем состоит принцип возможных перемещений для деформируемых систем? 3. Как определяются взаимные перемещения отдельных точек или сечений элементов конструкций? 4. Как определяется потенциальная энергия деформации в общем случае нагружения? 5. Приведите пример применения теоремы Кастильяно. 6. Что такое грузовое и единичное состояния? 7. В каких случаях по направлению искомого перемещения в системе прикладывается единичная сосредоточенная сила, в каких – сосредоточенный момент? 8. В чем состоит метод Мора? 9. Опишите порядок вычисления перемещений с использованием интеграла Мора. 10. В чем суть способа Верещагина для определения перемещений? 297 Раздел 9 Статически неопределимые системы Тема 9.1 Основные понятия Плоская система. Связи. Необходимые и лишние связи К плоским системам относятся такие системы, у которых все стержни и действующая на них нагрузка лежат в одной плоскости. Отдельные элементы системы соединяются либо жестко, либо податливо (рис. 9.1). Рис. 9.1 По кинематическим свойствам все стержневые системы делятся на кинематически неизменяемые (неподвижные), кинематически изменяемые (подвижные) и мгновенно изменяемые. По статическим свойствам системы делятся на статически определимые и статически неопределимые. Опорные устройства и внутренние связи накладывают ограничения на перемещения системы и в зависимости от их количества и расположения определяют тип системы. Кинематически неизменяемой называется система, в которой перемещение точек, или элементов, возможно только за счет деформации стержней (рис. 9.1, 9.2). Рис. 9.2 298 Минимальное число связей, обеспечивающее кинематическую неизменяемость системы, называют необходимыми связями. Для плоской системы, имеющей три степени свободы, необходимое число связей равно трем. Системы, в которых все усилия, возникающие при нагружении, можно определить используя только уравнения статического равновесия, называются статически определимыми (рис. 9.1, 9.2). Если число наложенных связей меньше необходимого (меньше трех), то система будет изменяемой (получит подвижность). При этом перемещение элементов происходит без деформации стержней. Такие системы называются механизмами (рис. 9.3). Рис. 9.3 Если необходимые связи наложены так, что линии их действия пересекаются в одной точке (рис. 9.4, а) или параллельны друг другу (рис. 9.4, б), такие системы называются мгновенно изменяемыми. F Рис. 9.4 Конструкции должны быть кинематически неизменяемыми, т.к. изменяемые системы не способны сопротивляться нагрузкам. По различным соображениям на конструкцию могут быть наложены дополнительные, конструктивно оправданные связи, но в смысле обеспечения неподвижности системы они являются лишними. «Лишняя» связь − это избыточная связь по отношению к связям необходимым для обеспечения кинематической неизменяемости. 299 Степень статической неопределимости. Замкнутый контур, учет врезанных шарниров Стержневая система, на которую наложены «лишние» связи, называется статически неопределимой системой (СНС). Степень статической неопределимости равна числу лишних связей. На рис. 9.5 показаны статически неопределимые системы: балка, на которую наложена одна «лишняя» связь, показана на рис. 9.5, а; рама с тремя лишними связями – на рис 9.5, б. Рама в виде замкнутого контура (рис. 9.5, в), если судить по количеству внешних связей, статически определима. Однако если разрезать контур сплошным сечением, мы снимем шесть связей (рис. 9.5, г), только три из которых вычислим из трех уравнений равновесия. Следовательно, замкнутый контур три раза статически неопределим внутренним образом. Рис. 9.5 Таким образом, система может быть внешним (рис. 9.5, а, б) и внутренним (рис. 9.5, в) образом статически неопределимой. Врезание шарнира на ось стержня (рис. 9.6, а) обращает в нуль изгибающий момент в данном сечении; следовательно, снижает степень статической неопределимости на единицу. Такой шарнир называется одиночным. Рис.9.6 Шарнир, включенный в узел, в котором сходится n стержней (рис. 9.6, б), снижает степень статической неопределимости на величину ( n − 1). 300 Для плоских конструкций степень статической неопределимости определяется по формуле S = C + 3K − Ш − 3 , (9.1) где S – степень статической неопределимости; С – число внешних связей, наложенных на систему; К – число замкнутых контуров; Ш – число одиночных шарниров; 3 – три уравнения равновесия для плоской системы. Для рамы, изображенной на рис. 9.7, степень статической неопределимости равна 4-м: S = 6 + 3 ⋅ 1 − 2 − 3 = 4 Рис. 9.7 Тема 9.2 Методы расчета статически неопределимых систем Метод сил Для решения СНС необходимы дополнительные уравнения. В зависимости от подхода к их составлению существуют различные методы расчета СНС. Наиболее распространенным является метод сил. Сущность его заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от «лишних» связей, а их действие заменяется неизвестными усилиями. Для вновь полученной системы составляются уравнения совместности деформаций, отражающие фактическое отсутствие перемещений в направлении «отброшенных» связей. Неизвестными в полученных уравнениях являются усилия, отражающие воздействие «лишних» связей. Отсюда и название: «метод сил». Независимо от вида деформации уравнения перемещений имеют одинаковую структуру, удобную для применения ЭВМ. С помощью этого метода решаются задачи, требующие учета, наряду с силовыми воздействиями, влияния изменения температуры и отклонений в размерах конструкций при их изготовлении. 301 Канонические уравнения метода сил Вычисление усилий в статически неопределимой системе связано с необходимостью составления дополнительных уравнений – уравнений перемещений системы. Смысл этих уравнений заключается в том, что суммарные перемещения в эквивалентной системе, вызванные внешней нагрузкой и «лишними» неизвестными усилиями X i , должны быть равны нулю по каждому из направлений Xi . Например, для эквивалентной системы (рис. 9.8, в) нужно приравнять нулю полное перемещение точки В по первому X 1 и второму X 2 направлениям: (9.2) Δ1 = 0, Δ 2 = 0 1 2 Рис. 9.8 Перемещение точки В по направлению X 1 согласно принципу независимости действия сил складывается из перемещений по первому направлению от X 1 – Δ 1 X , от X 2 – Δ 1 X и от нагрузки – Δ 1F . Перемещение точки В по направле1 2 нию X 2 находится аналогично. Тогда условия (9.2) можно записать так: ⎧Δ 1 = Δ 1 X + Δ 1 X + Δ 1F = 0; ⎪ 1 2 ⎨ ⎪⎩Δ 2 = Δ 2 X 1 + Δ 2 X 2 + Δ 2 F = 0. Перемещения от X 1 и X 2 удобно представить в виде Δ 1 X = δ 11 ⋅ X 1 ; Δ 1 X = δ 12 ⋅ X 2 ; 1 2 Δ 2 X = δ 21 ⋅ X 1 ; Δ 2 X = δ 22 ⋅ X 2 , 1 2 (9.3) 302 где δ 11 , δ 12 – перемещения в основной системе по направлению X 1 ; δ 21 , δ 22 – перемещения в основной системе по направлению X 2 , вызванные единичными значениями неизвестных X 1 = 1 и X 2 = 1 (рис. 9.9, а, б). Итак, система (9.3) запишется ⎧⎪δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + Δ 1F = 0; ⎨ ⎪⎩δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + Δ 2 F = 0. (9.4) Рис. 9.9 Система линейных алгебраических уравнений (9.4) носит название системы канонических уравнений метода сил (уравнения записываются по одному правилу, или канону). Число уравнений совпадает со степенью статической неопределимости системы. Для системы 1 раз статически неопределимой каноническое уравнение имеет вид δ 11 ⋅ X 1 + Δ 1F = 0 . (9.5) Для системы n раз статически неопределимой канонические уравнения имеют следующий вид: δ 11 ⋅ X 1 + δ 12 ⋅ X 2 + L + δ 1n ⋅ X n + Δ 1F = 0; δ 21 ⋅ X 1 + δ 22 ⋅ X 2 + L + δ 2 n ⋅ X n + Δ 2 F = 0; (9.6) δ n1 ⋅ X 1 + δ n 2 ⋅ X 2 + L + δ nn ⋅ X n + Δ nF = 0. В тех случаях, когда кроме внешних нагрузок нужно учесть влияние температуры, порядок расчета остается прежним. Свободные члены канонических уравнений при этом представляют собой перемещения в основной системе не только от заданных нагрузок, но и от изменения температуры: 303 δ 11 ⋅ X 1 + δ 12 ⋅ X 2 + L + δi n ⋅ X n + Δ i F + Δ i t = 0, (9.7) где Δ i t − перемещение в основной системе, вызванное изменением температуры и направленное в сторону действия силы X i . Единичные перемещения, имеющие одинаковые индексы ( δii ), называют главными коэффициентами, а единичные перемещения, имеющие разные индексы ( δik ), побочными. Свободный член уравнения Δ i F представляет собой перемещение под влиянием внешних нагрузок (грузовое перемещение). Первый индекс означает направление перемещения, второй − дает указание на причину, вызвавшую его. Перемещения δik и Δ i F определяют по методу Мора или способу Верещагина. При этом для балок и рам строят эпюры изгибающих моментов от единичных неизвестных и нагрузок в основной статически определимой системе. Для шарнирно-стержневых систем, в которых стержни воспринимают осевую нагрузку, строят эпюры продольных сил. На основании теоремы о взаимности перемещений имеем δik = δ ki . (9.8) Решая канонические уравнения (9.6), находят значения неизвестных усилий X 1 , X 2 , ..., X n . По ним и величинам внешних нагрузок строят эпюры внутренних силовых факторов в элементах системы. Процесс вычисления X i называют раскрытием статической неопределимости. Порядок расчета статически неопределимых систем по методу сил 1. Устанавливают степень статической неопределимости, т.е. число «лишних» связей. 2. Выбирают основную систему. Удалив «лишние» связи, заменяют исходную систему статически определимой (без внешних нагрузок). 3. Составляют эквивалентную систему. Нагружают основную систему заданной нагрузкой и «лишними» неизвестными, заменяющими действие удаленных связей. 4. Составляют систему канонических уравнений. Число уравнений равно степени статической неопределимости. Каждое уравнение выражает условие, в соответствии с которым полные перемещения точек основной системы, возникающие в направлениях неизвестных усилий X 1 , X 2 , ..., X n под воздействием их и заданной нагрузки, равны нулю. 304 5. Строят единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов. Для этого основную систему поочередно нагружают единичными неизвестными ( X 1 = 1 , X 2 = 1 ,…, X n = 1) и от каждого из них строят единичные эпюры моментов ( M 1 , M 2 ,…, M n ). Затем основную систему нагружают заданной нагрузкой и строят грузовую эпюру M F . 6. Вычисляют коэффициенты канонических уравнений. Перемножением единичных эпюр находят все коэффициенты δik , имея в виду (9.8). Перемножением единичных эпюр и грузовой эпюры вычисляют значения грузовых членов Δ i F уравнений. 7. Решают систему канонических уравнений и устанавливают значения неизвестных X 1 , X 2 , ..., X n . 8. Строят окончательную (суммарную) эпюру изгибающих моментов М и других внутренних силовых факторов. Построение эпюр можно вести двумя способами: - обычным способом для основной статически определимой системы, нагруженной внешней нагрузкой и найденными усилиями X 1 , X 2 , ..., X n ; - методом сложения эпюры M F с эпюрами M 1 , M 2 ,…, M n , предварительно умноженными на значения X 1 , X 2 , ..., X n : M = M 1 ⋅ X 1 + M2 ⋅ X 2 +L+ M F . 9. Проверяют статическим или деформационным способами правильность построения эпюр. Статическая проверка заключается в исследовании равновесия системы в целом, ее узлов и отдельных частей. Сущность деформационной проверки основана на том, что суммарное перемещение в направлении любой жесткой связи должно быть равно нулю. Пример 9.1. Для рамы (рис. 9.10, а) раскрыть статическую неопределимость и построить эпюры внутренних усилий, если высота рамы – 2а, а длина ригеля – а. Рис. 9.10 305 Решение 1. Определяем степень статической неопределимости по формуле (9.1): S = 5 + 3⋅0 − 0 − 3 = 2. Рама два раза статически неопределима. 2. Выбираем основную систему путем удаления опоры В (рис. 9.10, б). 3. Загрузив основную систему нагрузкой « q » и «лишними» неизвестными X 1 и X 2 , переходим к эквивалентной системе (рис. 9.10, в). 4. Составляем систему канонических уравнений метода сил (9.4). 5. Строим единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов. Для этого основную систему поочередно нагружаем единичными силами X 1 = 1 и X 2 = 1 , затем – заданной нагрузкой. Далее строим эпюры M 1 , M 2 и M F (рис. 9.11, а-в). Рис. 9.11 6. Вычисляем коэффициенты канонических уравнений перемножением эпюр по правилу Верещагина. Для вычисления δ 11 умножаем эпюру M 1 на M 1 (саму на себя): 3 1 ⎛1 2 ⎞ 8a δ 11 = . ⎜ ⋅ 2 a ⋅ 2 a ⋅ ⋅ 2a ⎟ = 3 EJ ⎝ 2 ⎠ 3EJ Для вычисления δ 22 умножаем эпюру M 2 на M 2 : δ 22 3 1 ⎛1 2 ⎞ 7a = . ⎜ ⋅ a ⋅ a ⋅ ⋅ a + a ⋅ 2a ⋅ a ⎟ = EJ ⎝ 2 3 ⎠ 3EJ Для вычисления δ 21 и δ 21 умножаем эпюру M 1 на M 2 : 306 δ 12 = δ 21 3 1 ⎛1 ⎞ 2a = . ⎜ ⋅ 2a ⋅ 2a ⋅ a ⎟ = EJ ⎝ 2 ⎠ EJ Свободные члены уравнений найдем поочередным перемножением эпюры M F на M 1 и M 2 соответственно: 2⎞ 4 ⎛1 qa qa ⎜ ⋅ 2a ⋅ 2a ⋅ ⎟=− Δ 1F ; ⎜2 ⎟ 2 EJ ⎝ ⎠ 4 ⎞ qa 2 3 qa 2 1 ⎛⎜ 1 ⎟ = − 9qa . =− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ a a a a 2 ⎟ EJ ⎜⎝ 3 8 EJ 2 4 2 ⎠ 1 =− EJ Δ 2F 7. Подставляем найденные коэффициенты в канонические уравнения (9.4) и решаем их относительно неизвестных X 1 и X 2 : ⎧ 8a 3 2a 3 qa 4 =0; X + X − ⎪ ⎪ 3EJ 1 EJ 2 EJ ⎨ 3 3 4 ⎪ 2a X + 7 a X − 9qa = 0. ⎪⎩ EJ 1 3EJ 2 8 EJ (9.4, а) Упрощаем систему уравнений (9.4, а), сократив ее на a3 : EJ ⎧⎪8 X 1 + 6 X 2 = 3qa ; ⎨ ⎪⎩48 X 1 + 56 X 2 = 27 qa. (9.4, б) Решив систему уравнений (9.4, б), находим значения X 1 и X 2 : X 1 = 0,0375qa ; X 2 = 0,45qa . 8. Для основной системы, нагруженной внешней нагрузкой и найденными усилиями X 1 и X 2 (рис. 3.15 а), вычисляем опорные реакции: H A = 0,0375 ⋅ qa, V A = 0,55 ⋅ qa, mA = 0,025 ⋅ qa 2 . Далее строим эпюры N, Q и М (рис. 9.12, б-г) обычным способом. 307 Рис. 9.12 Окончательную (суммарную) эпюру моментов М (рис. 9.12, г) можно построить, умножив ординаты единичных эпюр M 1 , M 2 на найденные значения X 1 и X 2 и сложив полученные результаты в характерных точках с грузовой эпюрой M F , т.е. исходя из равенства M = M1 ⋅ X1 + M 2 ⋅ X 2 + M F . (9.9) Например, момент в сечении С – середина ригеля (рис. 3.15 а): a qa 2 a qa 2 M C = 0⋅ X1 + ⋅ X 2 − = 0 + ⋅ 0,45 ⋅ qa − = 0,1 ⋅ qa 2 . 2 8 2 8 Аналогично вычислим изгибающий момент для других точек рамы. 9. Проведем проверку решения СНС Статическая проверка Проверим условия равновесия всей рамы в целом, ее узлов и отдельных, произвольно выделенных частей. Все условия равновесия должны тождественно соблюдаться. Составим уравнение равновесия рамы (рис. 9.13, а): ∑m D = −0,025 ⋅ qa 2 + 0,0375 ⋅ qa ⋅ a − 0,5 ⋅ qa 2 + 0,375 ⋅ qa ⋅ a + 0,45 ⋅ qa ⋅ a = 0 . Вырежем узел Е (рис. 9.13, б). Действие отброшенных частей рамы заменим внутренними силовыми факторами, величины которых возьмем непосредственно из окончательных эпюр (рис. 9.13, в-д). 308 Рис. 9.13 Условия равновесия узла Е: ∑ X = 0,0375 ⋅ qa − 0,0375 ⋅ qa = 0; ∑ Y = 0,45 ⋅ qa − 0,45 ⋅ qa = 0; ∑ M = 0,05 ⋅ qa 2 − 0,05 ⋅ qa 2 = 0. Таким образом, все условия равновесия удовлетворяются. Но статическая проверка не гарантирует правильности решения задачи, т.к. условия равновесия могут удовлетворяться и при неверно найденных значениях неизвестных. Деформационная проверка Эта проверка является обобщающей, т.е. по ней можно сделать заключение о правильности решения СНС. При деформационной проверке вычисляют перемещения в определенных точках системы, значения перемещений которых известны, например, равны нулю. Т.к. в заданной СНС перемещение по направлению любой «лишней» связи равно нулю, то произведение окончательной эпюры изгибающих моментов М на эпюру моментов любого i-го состояния основной системы должно равняться нулю. В качестве основной системы i-го состояния лучше всего выбрать отличную от принятой при расчете. 309 Проведем деформационную проверку для рамы (рис. 9.14, а). Окончательная эпюра моментов М показана на рис. 9.14, б. Основная система i-го состояния показана на рис. 9.14, в. Рис. 9.14 Вычислим угол поворота в точке А; он должен равняться нулю, т.к. в заданной раме (рис. 9. 14, а) в точке А жесткая заделка. Определив опорные реакции, построим единичную эпюру моментов M от единичного момента M = 1 , действующего по направлению искомого перемещения (рис. 9.14, г). Перемножив эту эпюру с окончательной эпюрой М (рис. 9.14, б) получим следующий результат: ( ) ( 1 ⎡a 2a 2 2 ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + − 0,025 ⋅ qa 2 + , 05 qa 4 , 5 , 1 qa ⎢ EJ ⎣ 6 6 1 ⎛⎜ 1,5 ⋅ qa 3 0,075 ⋅ qa 3 ⎞⎟ + 4 ⋅ 0,0125 ⋅ qa 2 + 0,05 ⋅ qa 2 = − +, ⎟= EJ ⎜⎝ 6 3 ⎠ θA = )] qa 3 ⎛ 1,5 1,5 ⎞ = + ⎟ = 0. ⎜− EJ ⎝ 6 6 ⎠ Деформационная проверка удовлетворяется. Следовательно, задача решена верно. Использование прямой и обратной симметрии в рамах для раскрытия статической неопределимости Рассмотрим симметричную в геометрическом отношении раму (рис. 9.15). Ее правая часть может рассматриваться как зеркальное отображение левой относительно оси симметрии. При расчете таких рам можно упростить решение задачи и уменьшить число неизвестных X 1 , X 2 , ..., X n . 310 Симметричной называется нагрузка, при которой все внешние силы, приложенные к правой части рамы, являются зеркальным отображением сил, приложенных к левой части (рис. 9.15, а). Кососимметричной называется нагрузка, при которой силы, приложенные к правой части, также являются зеркальным отображением сил, приложенных к левой половине, но противоположны им по знаку (рис. 9.15, б). Аналогично классифицируются и внутренние силовые факторы, см. рис. 9.15, в: X 1 и X 2 – симметричные; X 3 – кососимметричные. Рамы (рис. 9.15, а, б) три раза статически неопределимы. Основную систему выбираем путем рассечения рамы по оси симметрии (рис. 9.15, в). Рис. 9.15 Канонические уравнения метода сил: ⎧δ X + δ X + δ X + Δ = 0; 12 2 13 3 1F ⎪⎪ 11 1 ⎨δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + Δ2F = 0; ⎪ ⎪⎩δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + Δ3F = 0. (9.10) Физический смысл первого уравнения состоит в том, что горизонтальное смещение концов разрезанного ригеля рамы в результате всех воздействий равно нулю; второго уравнения – в том, что взаимный угол поворота концов ригеля отсутствует; третьего – в том, что вертикальное смещение концов ригеля равно нулю. Рассмотрим раму с симметричной нагрузкой (рис. 9.15, а). Для определения коэффициентов канонических уравнений построим эпюры изгибающих моментов (рис. 9.16). 311 Рис. 9.16 Заметим, что коэффициенты, один индекс которых принадлежит симметричному, а другой – кососимметричному фактору, обращаются в нуль: δ 13 = δ 31 = 0, δ 23 = δ 32 = 0, Δ 3 F = 0 . Тогда канонические уравнения (9.10) примут вид: ⎧δ X + δ X + Δ = 0; 12 2 1F ⎪⎪ 11 1 ⎨δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + Δ 2 F = 0; ⎪ ⎪⎩δ 33 X 3 = 0 → X 3 = 0. (9.11) Таким образом, для симметричной системы при действии симметричной нагрузки кососимметричные неизвестные в плоскости симметрии равны нулю ( X 3 = 0 ). Рассмотрим раму с кососимметричной нагрузкой (рис. 9.15, б). Эпюры представлены на рис. 9.17. Рис. 9.17 При перемножении эпюр обращаются в нуль следующие коэффициенты: δ 13 = δ 31 = 0; δ 23 = δ 32 = 0; Δ 1F = 0; Δ 2 F = 0. 312 Система уравнений (9.10) принимает вид: ⎧δ X + δ X = 0; 12 2 ⎪⎪ 11 1 ⎨δ 21 X 1 + δ 22 X 2 = 0; ⎪ ⎪⎩δ 33 X 3 + Δ 3 F = 0. (9.12) Из первых двух уравнений имеем X 1 = 0 ; X 2 = 0 . Итак, для симметричной системы при действии кососимметричной нагрузки симметричные неизвестные в плоскости симметрии равны нулю ( X 1 = 0 ; X 2 = 0 ). Таким образом, при расчете рамы c симметричной нагрузкой нужно составить и решить систему двух уравнений (9.11), рамы с кососимметричной нагрузкой – одно уравнение (9.12) с одним неизвестным. Метод перемещений При расчете методом сил за лишние неизвестные принимаются усилия в лишних связях (силы, моменты). После определения лишних неизвестных легко могут быть найдены внутренние усилия в произвольном сечении и перемещения (прогибы и углы поворота) в любой точке конструкции. Следовательно, при расчете методом сил сначала находят усилия, а потом уже перемещения. Задачу можно решить другим способом. Сначала найти перемещения, а потом установить соответствующие им распределения усилий. Именно так поступают при расчете статически неопределимых систем методом перемещений. За неизвестные при расчете методом перемещений принимаются углы поворота узлов и их линейные перемещения. Первоначально необходимо установить общее число неизвестных величин, подлежащих определению. Общее число неизвестных n будет равно сумме неизвестных углов поворота узлов n у и неизвестных линейных перемещений узлов n л : n = n y + nл . (9.13) Число неизвестных углов поворота равно числу «жестких» узлов. «Жестким» считается такой узел, в котором концы двух из сходящихся в нем стержней жестко связаны между собой. При подсчете жестких узлов не включаются узлы, угловые перемещения которых заданы, то есть жесткие закрепления (заделка). 313 При определении числа линейных неизвестных смещений необходимо заменить схему данной статически неопределимой системы шарнирной схемой путем введения полных шарниров во все узлы и опорные закрепления. Перемещения всех узлов такой системы не являются независимыми, так как смещения одного из них может вызвать смещения ряда других узлов. Необходимо выделить из них независимые перемещения. Число независимых линейных смещений узлов системы равно числу стержней, которое необходимо ввести в шарнирную схему сооружения, чтобы превратить ее в геометрически неизменяемую. При расчете методом перемещений система расчленяется на ряд однопролетных статически неопределимых балок. Это достигается введением в нее дополнительных связей. Получаемая в результате этого система называется основной системой метода перемещений. Сравним основные системы метода перемещений и метода сил (рис. 9.18, а). Для определения основной системы методом сил проведем разрез по шарниру, этим удалив две связи. Основная система метода сил получается в виде двух балок (одной прямой и одной ломаной), заделанных одним концом. Эта система статически определима (рис. 9.18, б). Основная система метода перемещений получаем следующим образом. Вводим в систему две дополнительные связи: одну, препятствующую повороту жесткого узла, а другую препятствующую линейным смещениям узлов 1 и 2 (рис. 9.19). Рис. 9.18 Рис. 9.19 Основную систему метода перемещений, представляющую собой заданную систему с наложенными на нее связями, препятствующими повороту и смещению узлов, можно назвать кинематически определимой. Общее число неизвестных метода перемещений называют степенью кинематической неопределимости заданной системы. В статическом отношении основная система метода перемещений отличается от заданной тем, что в ней возможно появление реактивных моментов во введенных заделках и реактивных усилий в добавленных стержнях. Для получения основной системы метода перемещений необходимо: 314 1. во все жесткие узлы заданной системы ввести заделки, препятствующие повороту узлов; 2. ввести в заданную систему стержни, препятствующие линейным смещениям узлов. Перейдем к детальному изучению элементов, из которых состоит основная система метода перемещений, т.е. к изучению однопролетной статически неопределимой балки. Рассмотрим построение методом сил эпюр изгибающих моментов в балке постоянной жесткости с одним защемленным и другим шарнирно опертым концом (рис. 9.20, а) для нескольких характерных случаев внешнего воздействия. Рис. 9.20 В качестве основной системы метода сил возьмем консольную (рис. 9.20, б) балку (с одним защемленным и другим свободным концом). Лишним неизвестным будет реакция подвижной опоры X 1 = RB . При любом внешнем воздействии m значение X 1 можно найти из уравнения X 1 ⋅ δ11 + Δ1m = 0 . (9.14) Умножением эпюры M 1 (рис. 9.20, в) на эпюру же M 1 найдем величину δ11 , не зависящую от внешнего воздействия: 1 ⎡1 2 ⎤ l3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅l = . l l EJ ⎢⎣ 2 3 ⎥⎦ 3EJ Рассмотрим различные случаи внешнего воздействия на эту балку (рис. 9.21, а, 9.22, а). δ11 = 315 Рис. 9.21 Рис. 9.22 1. Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 9.21, а). Умножив эпюру M q (рис. 9.21, б) на M 1 (рис. 9.21, в), определим Δ1q : Δ1q 1 = EJ ⎡ 1 ⎛ − ql 2 ⎞ 3 ⎤ ql 4 ⎜ ⎟ ⎢ ⋅⎜ ⎟ ⋅ l ⋅ 4 l ⎥ = − 8 EJ . ⎢⎣ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ Решив уравнение (9.14), найдем X1 = − Δ1q δ11 = 3ql = RB . 8 Реакция опоры A R A = ql − R B = 5ql . 8 Опорный момент в заделке A балки AB получим, просуммировав момент в этом сечении от нагрузки с моментом от X 1 (рис. 9.21, в): ql 2 ql 2 + X1 ⋅ l = − . MA = − 2 8 2. Балка нагружена сосредоточенной силой P (рис. 9.22, а). Перемещение Δ1 p получим, умножив M p (рис. 9.22, б) на эпюру M 1 (рис. 9.22, в): Δ1 p Pu 2 l3 P ⋅ u 2l2 ⎛ 2 ⎞ (3 − u ) . =− ⋅ l⎜ u + v ⎟ = − 2 EJ 6 EJ ⎝3 ⎠ 316 Решив уравнение (9.14), найдем реакцию опоры B : Pu 2 (3 − u ) . X 1 = RB = 2 Реакция опоры A RA = P − RB = ( ) Pv 3 − v2 . 2 Опорный момент M A = − Pul + Pu 2 l (3 − u ) = − Plv (1 − v 2 ) . 2 2 3. Перемещение заделки на величину Δ по направлению, перпендикулярному к оси стержня AB . Эпюры изгибающих моментов в основной системе от смещения не будет, но перемещения по направлению X 1 будет равно Δ1Δ = Δ . Из уравнения (9.14) найдем X1 = − Δ1Δ δ11 =− 3EJ ⋅ Δ . l3 Опорные реакции и опорный момент будут: RB = X 1 = − RA = − X1 = MA =− 3EJΔ l3 3EJΔ l3 3EJΔ l2 ; ; . 4. Поворот заделки на угол ϕ . Перемещение по направлению X 1 от поворота заделки в основной системе Δ1ϕ = −ϕ ⋅ l . Из уравнения (9.14) найдем 317 x1 = 3EJϕ l2 . Опорные реакции и опорный момент будут равны: RB = X 1 = 3EJϕ l2 ; RA = − X1 = − MA = 3EJϕ . l 3EJϕ l2 ; Канонические уравнения метода перемещений Первоначально установим общие положения, на основании которых можно составить систему уравнений, необходимую для определения неизвестных углов поворота и линейных перемещений узлов. Для этого сопоставим заданную систему с основной системой метода перемещений (рис. 9.23, а, б). Рис. 9.23 Основная отличается от заданной наличием дополнительных связей, препятствующих угловым и линейным перемещениям узлов, и появлением реактивных моментов во введенных заделках и реактивных сил в добавленных стержнях. Реактивные моменты и силы можно обратить в нуль, если повернуть заделки на углы, равные действительным поворотам узлов, и сместить узлы так, чтобы линейные перемещения также были равны действительным, т.е. возникающим в заданной системе. После этого деформация основной системы и усилия в ней будут равны деформациям и усилиям заданной системы. Отрицание реактивных усилий (сил или моментов) во введенных заделках и стержнях основной системы, т.е. отрицание реактивных усилий по направ- 318 лениям неизвестных перемещений, лежит в основе уравнений метода перемещений. Коротко уравнения метода перемещений можно представить так: R1 = 0 , R2 = 0 , R3 = 0 , ……, Rn = 0 . Здесь R1 , R2 , R3 , …, Rn – реактивные моменты во введенных заделках и реактивные усилия в добавленных стержнях (в основной системе), возникающих от действия нагрузки, поворотов узлов и их линейных смещений. Индексы у реакций соответствуют индексам неизвестных. Число уравнений всегда равняется числу введенных заделок и стержней, а следовательно, и числу неизвестных перемещений. Уравнения метода перемещений – статические, это уравнения равновесия. Представим в развернутой форме первое уравнение метода перемещений ( R1 = 0 ) для основной системы (рис. 9.23, б). Для этого реактивный момент R1 заменим суммой R1 = R1P + R11 + R12 . Второй индекс у обозначений реакций указывает на то воздействие, которое является причиной появления реакции. R1P – реактивный момент введенной заделки от действия внешних нагрузок. Второй индекс указывает на то воздействие, которое является причиной появления реакции. R11 – реактивный момент в заделке от поворота этой же заделки на угол z1 . R12 – реактивный момент в заделке от линейного смещения узлов 1 и 2 на величину z2 . Два последних момента можно заменить следующими выражениями: R11 = z1 ⋅ r11 R12 = z2 ⋅ r12 r11 – реактивный момент в заделке от поворота этой же заделки на угол z1 = 1 . r12 – реактивный момент во введенной заделке от смещения по горизонтали узла второго на величину z2 = 1. После замены: ⎧ z1 ⋅ r11 + z 2 ⋅ r12 + R1P = 0; ⎨ ⎩ z1 ⋅ r21 + z 2 ⋅ r22 + R2 P = 0. Для определения коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений необходимо предварительно построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от нагрузки и от единичных неизвестных перемещений (по направлениям введенных закреплений). Построение их производится с помощью данных приведенных в таблице 9.1. 319 Схема Таблица 9.1 Величина реакции Величина момента ( ) − Pl v 1 − v2 2 Pl 2 MC = u v (3 − u ) 2 MA = MA = − ql 8 MA = 3EJ l MA = Схема 2 − 3EJ l2 ( ) Pv 3 − v2 2 Pu 2 (3 − u ) RB = 2 RA = 5ql 8 3ql RB = 8 RA = RA = − RB = − 3EJ l2 RA = − RB = 3EJ l3 Продолжение таблицы 9.1 Величина момента Величина реакции 320 M A = uv 2 Pl 2 M B = u vPl 2 2 M C = 2u v Pl − ql 2 M A = −M B = 12 4 EJ l 2 EJ MB = l MA = M A = MB = − 6 EJ l2 RA = v 2 (1 + 2u )P RB = u 2 (1 + 2v )P RA = RB = ql 2 RA = − RB = − 6 EJ l2 RA = − RB = 12 EJ l3 Многопролетные неразрезные балки. Уравнения 3-х моментов Многопролетной балкой называется балка, опирающаяся на такое количество опор, которое превышает число независимых уравнений статического равновесия (рис. 9.24, а). Такие балки не имеют промежуточных шарниров, при удалении которых балка разъединилась бы на отдельные части. За лишние неизвестные выбираются изгибающие моменты в сечениях неразрезной балки над опорами (опорные моменты). Уравнение деформаций, служащее для отыскания опорных моментов, называется уравнением трех моментов. Теоретически это уравнение основывается 321 на методе сил, который модифицируется врезанием шарниров над опорами и состоит в определении изгибающих моментов. Строится грузовая эпюра и эпюра единичных изгибающих моментов над врезанными шарнирами. По эпюрам определялись перемещения и трансформировались в уравнение трёх моментов. Балка должна быть постоянного сечения. Рассмотрим неразрезную балку постоянного сечения, все опоры которой расположены на одном уровне (рис. 9.24, а). Рис. 9.24 Освободим балку от внутренних связей путем постановки шарниров в сечениях балки над промежуточными опорами. Основная система будет представлять собой ряд самостоятельных статически определимых балок на двух шарнирных опорах с опорными изгибающими моментами и внешними нагрузками в пролетах. Возникающие в местах разреза поперечные силы в расчет не принимаются, т. к. воспринимаются опорами, над которыми сделан разрез. Лишними неизвестными являются изгибающие моменты над промежуточными опорами. Запишем каноническое уравнение, выражающее условие равенства нулю перемещения по направлению неизвестных моментов M i (рис. 9.24, б): 322 K + M i −1 ⋅ δ i ,i −1 + M i ⋅ δ i ,i + M i +1 ⋅ δ i ,i +1 + K + Δ ip = 0 . (9.15) Каждое уравнение содержит независимо от степени статической неопределимости системы не более трех неизвестных моментов и распространяется в пределах двух прилегающих пролетов. Определим коэффициенты уравнения (9.15), используя способ Верещагина и пользуясь построенными эпюрами единичных и грузового изгибающих моментов (рис. 9.24, в): δ i , i −1 = δi,i = 1 EJ i δ i ,i +1 = Δ ip = 1 EJ i li ⎡ li 1 ⎤ ⎢1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 1⎥ = 6 EJ ; ⎦ ⎣ i 2li 2li +1 1 ⎡ li +1 2 ⎤ ⎡ li 2 ⎤ ⎢1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 1⎥ + EJ ⎢1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 1⎥ = 6 EJ + 6 EJ ; ⎦ ⎦ ⎣ i +1 ⎣ i i +1 l 1 ⎡ li +1 1 ⎤ ⋅ ⋅1⎥ = i +1 ; 1⋅ ⎢ EJ i +1 ⎣ 2 3 ⎦ 6 EJ i +1 1 1 ⋅ ωi ⋅ y i + ⋅ ωi +1 ⋅ yi +1 ; EJ i EJ i +1 где yi = b ai , yi +1 = i +1 . li li +1 Окончательно получаем уравнения (9.15) в виде: M i −1 ⋅ ⎛l 6ω a 6ω b li l ⎞ l + 2 M i ⋅ ⎜⎜ i + i +1 ⎟⎟ + M i +1 ⋅ i +1 = − i i − i +1 i +1 . Ji J i +1 li J i li +1 J i +1 ⎝ J i J i +1 ⎠ Порядок расчета. 1. Определяется степень статической неопределимости балки. 2. Составляется расчетная схема неразрезной балки. Основную систему образуют врезанием в балку шарниров над промежуточными опорами. Если какой-либо конец балки защемлен, то со стороны этого конца к балке добавляется пролет длиной равной нулю. 3. Нумеруют опоры и пролеты так, чтобы номер пролета совпадал с номером правой опоры (при нумерации слева направо). 4. Для каждого пролета балки (как для простой балки на двух опорах) строится эпюра изгибающих моментов от заданной внешней нагрузки. 323 5. Составляется уравнение трех моментов для каждой промежуточной опоры балки. 6. Путем совместного решения уравнений трех моментов определяются значения опорных моментов. 7. Для каждого пролета балки строятся эпюры Q и M как для однопролетной балки, загруженной заданной нагрузкой и опорными моментами: M i − M i −1 ⋅ x, li M − M i −1 , Q = Q0 + i li M = M 0 + M i −1 + где M 0 , Q 0 – соответственно изгибающий момент и поперечная сила в сечении, вычисленные только от действия нагрузки на данном пролете. 8. Определяются опорные реакции неразрезной балки Di = Qi , i +1 − Qi , i . Опорная реакция равна разности поперечных сил, действующих в сечениях, расположенных справа и слева от опоры. Тема 9.3 Особенности применения метода сил Раскрытие статической неопределимости в шарнирно-стержневых системах Задачу раскрытия статической неопределимости в шарнирно-стержневых системах рассмотрим на конкретном примере. Пример 9.2. Абсолютно жесткий брус ВD закреплен с помощью шарнирной опоры и двух стальных стержней (тяг) одинаковой длины, см. рис. 3.25, а. Определить усилия в стержнях для двух вариантов: 1) площади поперечных сечений стержней одинаковы, т.е. A1 = A 2 = A ; площадь сечения первого стержня в два раза больше, чем второго, 2) т.е. A 2 = A , A1 = 2 A 2 . Рис. 9.25 324 Решение Для 1-го варианта 1. Определяем степень статической неопределимости: S = 4 − 3 = 1 . Система один раз статически неопределима. 2. Выбираем основную и эквивалентную системы (рис. 9.25, б, в). Основную систему получаем, разорвав первый стержень у нижнего конца, в точке Н (стержень не «отбрасываем»). За лишнюю неизвестную принимаем внутреннее усилие в стержне X 1 , которое является взаимным. 3. Записываем каноническое уравнение метода сил: δ 11 ⋅ X 1 + Δ 1F = 0 , (9.16) где X 1 − усилие в первом стержне; δ 11 − взаимное смещение конца стержня и бруса от X 1= 1 ; Δ 1F − взаимное смещение конца стержня и бруса от заданной нагрузки. Смысл записанного уравнения в том, что взаимное смещение разорванного стержня относительно жесткого бруса равно нулю. 4. Определяем коэффициенты канонического уравнения. Для этого рассматриваем основную систему, нагруженную заданной силой F, затем − единичным неизвестным усилием X 1= 1 , рис. 9.26. Рис. 9.26 При расчете усилия во втором стержне уравнения равновесия для бруса ВD примут вид: - для грузового состояния, см. рис. 9.26, а, – ∑m D = 0; F ⋅ 3a − N 2 F ⋅ a = 0; N 2 F = 3F (растяжение); - для единичного состояния, см. рис. 9.26, б, – 325 ∑m D = 0; − X 1 ⋅ 2a − N 2 ⋅ a = 0; N 2 = −2 (сжатие). Строим эпюры продольных сил для стержней N F и N 1 (рис. 9.26, а, б). Вычисляем коэффициенты δ 11 и Δ 1F перемножением эпюр. Эпюру N 1 умножаем «саму на себя»: δ 11 = l ⋅ 1 ⋅ 1 l ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) 5l EA + EA = EA . Эпюру N 1 умножаем на эпюру N F . Δ1F = l ⋅ 3F ⋅ ( −2 ) EA =− 6 Fl . EA 5. Решаем каноническое уравнение (9.16) относительно X 1 : X1 = − Δi F δ 11 = 6 Fl = 1,2F . 5l Усилие во втором стержне найдем исходя из равенства N 2 = N 2 ⋅ X 1 + N 2 F ; N 2 = (−2) ⋅ 1, 2 F + 3F = 0,6 F . Ответ: стержни работают на растяжение, и усилия в них N 1 = 1,2 F , N 2 = 0,6 F . Для 2-го варианта Если жесткость первого стержня увеличить в два раза, то изменится коэффициент δ 11 : ⎛ 1 ⎞ 1 9l δ 11 = ⎜ . ⋅ 1 ⋅ l ⋅ 1⎟ + (2 ⋅ l ⋅ 2) = 2 AE ⎝ 2 AE ⎠ EA Тогда X1 = − Δi F δ 11 = 6 F l ⋅ 2EA = 1,33F ; EA ⋅ 9l N 2 = ( −2 ) ⋅ 1 ,33 F + 3 F = 0 ,33 F 326 Ответ: Усилия в стержнях N 1 = 1,33F ; N 2 = 0,33F . Сравнив значения усилий, найденные в обоих вариантах, замечаем, что при увеличении жесткости первого стержня усилие в нем растет, а усилие во втором стержне уменьшается. Таким образом, первая особенность статически неопределимых систем состоит в том, что чем выше жесткость элемента, тем большую часть прилагаемой нагрузки он способен воспринять. Эта особенность позволяет регулировать усилия в статически неопределимых системах, изменяя жесткость стержней конструкции. Расчет статически неопределимых систем при температурном воздействии При нагревании на Δ t o стержня, заделанного одним концом (рис. 9.27, а), в нем не возникнут напряжения, т.к. правый конец стержня свободно перемещается на величину Δl t = α ⋅ Δ t ⋅l , (9.17) где α − коэффициент температурного расширения материала. Рис. 9.27 Если стержень заделан обоими концами в неподатливые стены (рис. 9.27, б), то при повышении температуры он удлиняется и оказывает давление на заделки, в которых возникнут реакции. При этом стержень будет испытывать сжатие. Пример 9.3. Определить усилия и напряжения в стержнях системы (рис. 9.28, а), возникающие за счет повышения температуры на Δ t o С. 327 Рис. 9.28 Решение Усилия в стержнях до нагревания равны нулю, т.к. нагрузка отсутствовала. При росте температуры стержни не могут свободно удлиняться, т.к. связаны с брусом. В них возникают усилия N1t и N 2t . Система один раз статически неопределима: S = 4 − 3 = 1 . На рис. 9.28, б показана основная система. Каноническое уравнение метода сил δ 11 ⋅ X 1 + Δ1t = 0 , (9.18) где X 1 − продольное усилие, возникающее в первом стержне за счет повышения температуры на Δ t o С; δ 11 − взаимное смещение конца первого стержня и жесткого бруса в X 1= 1 ; Δ1t − взаимное смещение конца первого стержня и жесткого бруса за счет повышения температуры. Коэффициент δ 11 определяем, умножая эпюру N 1 «саму на себя» по способу Верещагина (рис. 9.28, в): δ 11 = 1 5l . ( 1 ⋅ l ) ⋅ 1 + ( −2l ) ⋅ ( −2 )] = [ EA EA Площади единичной эпюры продольных сил (рис. 9.28, в) обозначим ω1 = l ⋅ 1, ω 2 = −l ⋅ 2 или ωi = l ⋅ Ni . Формулу для расчета температурного перемещения Δ1t выведем, используя интеграл Мора, который преобразуем в конечную сумму, т.к. продольная сила по длине каждого стержня постоянна. Для грузового перемещения N ⋅l ΔiF = ∑ F ⋅ Ni . EA 328 Первый множитель является удлинением стержня l от силового (температурного) воздействия. Заменим его температурным удлинением, согласно формуле (9.17), тогда последнее уравнение примет вид Δit = ∑ (α Δ t ⋅ l ⋅ Ni ) = ∑α Δ t ⋅ ω Ni , (9.19) где ω N – площадь единичной эпюры продольных сил. Окончательно i Δ it = αΔt ⋅ ∑ ω N . i Для данного примера: ( (3.20) ) Δ1t = α Δ t ⋅ ω1 + ω 2 = α Δ t ⋅ (l − 2l ) = −α Δ t ⋅ l . Подставляя полученное значение Δ1t в уравнение (9.18) и решая его, находим усилие: X 1 = N1t = − Δ1t α Δ t ⋅ l ⋅ EA = = 0,2α Δ t ⋅ EA (стержень «1» растянут), δ 11 5l N 2t = N 2 ⋅ X 1 = (−2) X 1 = −0,4αΔt ⋅ EA (стержень «2» сжат). Соответствующие температурные напряжения в стержнях: σ1t = N1t A = 0,2α Δ t ⋅ E ; σ 2t = N 2t A = −0,4α Δ t ⋅ E . Вторая особенность статически неопределимых систем состоит в том, что усилия в их элементах зависят от температуры. Изменение температуры всей системы или отдельных стержней приводит к появлению так называемых температурных напряжений. Примечание. В случае одновременного силового и температурного воздействия задачу можно решить путем наложения обоих независимых решений. Действительно, каноническое уравнение имеет вид δ 11 ⋅ X 1 + Δ 1F + Δ1t = 0; откуда X1 = − Δ 1F + Δ1t δ 11 = −( X 1 F + X 1 t ) . 329 Влияние неточности изготовления элементов конструкций на усилия в них При изготовлении сооружений нельзя обеспечить абсолютно точного соблюдения размеров их частей и элементов. Если мы имеем дело со статически определимой системой, то такие неточности не вызовут никаких напряжений в ней. Например, если стержень ВС (рис. 9.29, а) будет сделан немного короче, чем предполагается по чертежу, то это приведет при сборке к легкому искажению треугольника ВСD. При отсутствии нагрузки усилия в стержнях будут равны нулю. Рис. 9.29 Иначе поведет себя статически неопределимая конструкция, состоящая из трех стержней (рис. 9.29, б), при сборке которой было обнаружено, что средний стержень короче, чем положено по норме, на СС0 = Δ. После принудительного соединения стержней в точке С1 в стержнях появятся усилия: растягивающее – в среднем; сжимающие – в крайних. Напряжения, возникающие при сборке, называют начальными, или монтажными. Если после сборки к узлу С (рис. 9.29, б) приложить силу F вертикально вниз, то сжатые стержни будут разгружаться, а средний дополнительно растянется. Искусственное создание напряжений, противоположных по знаку напряжениям от внешней нагрузки, позволяет собирать экономичные конструкции. Этот прием, носящий название предварительного напряжения, широко используется при возведении металлических и железобетонных конструкций. Пример 9.4. В системе (рис. 9.30, а) длина первого стержня меньше проектной длины на величину Δ. Определить усилия в стержнях после сборки конструкции. 330 Рис. 9.30 Решение После принудительной сборки в стержнях появятся усилия, а система станет один раз статически неопределимой, см. рис. 9.30, б: S = 4 − 3 = 1 . Основная система и лишняя неизвестная X 1 изображены на рис. 9.30, в, а единичная эпюра N 1 , соответствующая X 1 = 1 – на рис. 9.30, г. Каноническое уравнение имеет вид δ 11 ⋅ X 1 = Δ , (9.21) где X 1 – усилие, возникающее в первом стержне, при сборке. Смысл уравнения (9.21) заключается в том, что для соединения первого стержня с брусом перемещение, вызванное лишней неизвестной X 1 по направлению самой неизвестной X 1 , должно быть равно величине зазора Δ. Для определения δ 11 умножаем эпюру N 1 (рис. 9.30, г) на N 1 : δ 11 = l ⋅ 1 ⋅ 1 l ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) 5l EA Из уравнения (9.21) находим, что + EA = EA . 331 X 1 = N1 = Δ Δ ⋅ EA (стержень «1» растянут); = δ 11 5l N2 = N2 ⋅ X1 = − 2 Δ ⋅ EA (стержень «2» сжат). 5l Таким образом, в результате принудительной сборки первый стержень будет растянут, а второй − сжат. Особенности статически неопределимых систем Статически неопределимые системы (СНС) обладают определенными преимуществами по сравнению со статически определимыми системами (СОС), см. рис. 9.31. Сравнив значения наибольших прогибов и изгибающих моментов в статически определимой (рис. 9.31, а) и статически неопределимой балке (рис. 9.31, б), можно сделать следующие выводы: 1) СНС обладают большей жесткостью; 2) их несущая способность значительно выше; 3) в СОС распределение усилий не зависит от жесткости ее элементов. Рис. 9.31 Повышение жесткости отдельных элементов СНС всегда приводит к увеличению усилий в них и обычно к уменьшению усилий в остальных элементах; 332 зная законы распределения усилий, можно облегчить собственный вес балки в пролете, перемещая материал к опорам; 4) наличие «лишних» связей в СНС повышает их надежность; 5) усилия в элементах СОС возникают только от действия внешней нагрузки (включая собственный вес конструкции); в элементах же СНС усилия могут возникать и при отсутствии внешней нагрузки (в результате изменения температуры, смещения опорных закреплений, неточности изготовления отдельных элементов конструкций). Следует обратить внимание на то, что статическая неопределимость есть свойство самой системы, не зависящее от нагрузки. Контрольные вопросы к разделу 9 1. Какие системы называются статически неопределимыми? 2. Что понимают под степенью статической неопределимости? 3. Сколько раз статически неопределим замкнутый контур? 4. Что называется основной системой? 5. Что называется эквивалентной системой? 6. Какой вид имеют канонические уравнения метода сил? 7. Чем определяется число уравнений, записываемых для заданной системы? 8. В чем заключается геометрический смысл коэффициентов при неизвестных в каноническом уравнении? 9. Каким образом определяют коэффициенты при неизвестном и свободный член канонических уравнений? 10. Какие существуют способы построения суммарной (окончательной) эпюры изгибающих моментов? 11. В каком порядке производится расчет статически неопределимых систем? 12. Как, используя свойства симметрии, можно облегчить решение задачи при раскрытии статической неопределимости? 13. Какие неизвестные внутренние силовые факторы называются симметричными, а какие кососимметричными? 14. Как производится деформационная (кинематическая) проверка окончательной (суммарной) эпюры изгибающих моментов? 15. Как производится определение перемещений в статически неопределимых системах? 333 Модуль 4 Расчеты при динамических воздействиях Раздел 10 Расчет движущихся с ускорением элементов конструкций Понятие о динамическом нагружении В предыдущих разделах были рассмотрены расчеты стержней на действие статических нагрузок. Статические нагрузки постоянны во времени или изменяются настолько медленно, что возникающие при этом силы инерции малы и ими можно пренебречь. Динамические нагрузки характеризуются большой скоростью их приложения, в результате чего элементы конструкции получают значительные ускорения. Возникающие при этом силы инерции необходимо учитывать в расчете. К динамическим относятся следующие нагрузки: возникающие при движении тела с ускорением (силы инерции); ударные; вибрационные; повторно-переменные. Динамический расчет Расчет конструкций с учетом сил инерции называют динамическим. Он основан на использовании известного из теоретической механики принципа Даламбера, согласно которому всякое движущееся тело можно считать находящимся в состоянии мгновенного равновесия, если к действующим на него внешним силам добавить силу инерции. Величина силы инерции Fi равна произведению массы m тела на его ускорение а и направлена в сторону, противоположную ускорению: Fi = − m ⋅ a . (10.1) С помощью принципа Даламбера любая динамическая задача по форме решения сводится к статической − составлению уравнений равновесия. С силами инерции в свою очередь связаны дополнительные напряжения и деформации. В общем случае динамическая нагрузка представляет собой очень сложное воздействие на сооружение. В курсе сопротивления материалов рассматривают лишь простейшие задачи, применяя ряд вспомогательных гипотез, упрощающих расчет. При решении задач влияние динамической нагрузки Fd учитывают с помощью динамического коэффициента K d . Динамические напряжения и пере- 334 мещения находят путем умножения статических напряжений и перемещений, от действия статических нагрузок Fst , на динамический коэффициент: σ d = K d ⋅ σ st ; Δ d = K d ⋅ Δ st ; Fd = K d ⋅ Fst . (10.2) Величина коэффициента K d зависит от вида нагрузки, размеров, массы, жесткости сооружения и ряда других факторов. Условие прочности при динамическом нагружении имеет вид σ d = K d ⋅ σ st ≤ R ⋅ γ c . (10.3) При этом коэффициент K d должен быть предварительно найден в итоге решения соответствующей задачи, примеры которых рассмотрены ниже. Учет сил инерции. Динамический коэффициент Осевая инерционная нагрузка Рассмотрим определение динамических усилий, возникающих в тросе при подъеме груза весом G с ускорением а (рис. 10.1, а). Если груз неподвижен, то в произвольном сечении троса z возникает статическое усилие от веса груза и троса, определяемое исходя из условия равновесия нижней отсеченной части: N st = G + q ⋅ z, (10.4) где q = γ ⋅ A – погонный вес троса; γ – объемный вес материала; А – площадь сечения троса. При подъеме груза с ускорением а к отсеченной части, по принципу Даламбера, должна быть приложена сила инерции Fi , направленная вдоль оси троса (рис. 10.1, б) в сторону, противоположную ускорению. Суммарная сила инерции на основании формулы (10.1) равна Fi = где g − ускорение силы тяжести. G+q⋅z g ⋅ a, 335 а б Рис. 10.1 Значение динамического усилия определяется равенством N d = (G + q ⋅ z ) + ⎛ G+q⋅z a⎞ ⋅ a = (G + q ⋅ z )⎜⎜1 + ⎟⎟, g g⎠ ⎝ или с учетом формулы (10.4) ⎛ a⎞ N d = N st ⎜⎜1 + ⎟⎟ . g⎠ ⎝ Выражение в скобках характеризует отличие динамического усилия в тросе от статического, т.е. динамический коэффициент находится так: Kd = Nd a =1+ . N st g Отношение динамического значения усилия, напряжения или перемещения к соответствующему его статическому значению называется динамическим коэффициентом. Тогда динамическое усилие и напряжение в тросе определяются так: N d = K d ⋅ N st ; σ d = Nd = K d ⋅ σ st . A (10.5) Величина динамического коэффициента при поступательном движении троса с ускорением определяется выражением: 336 Kd =1+ a . g (10.6) Таким образом, при подъеме груза с ускорением динамическое напряжение в тросе может в несколько раз превысить статическое. Если груз опускать с ускорением а, то в формуле (10.6) надо поставить знак «минус». При свободном падении груза a = − g ; поэтому натяжение в тросе равно нулю. Трос следует за падающим грузом без натяжения. Поперечная инерционная нагрузка Рассмотрим определение динамических усилий и напряжений, возникающих в балке при подъеме ее с ускорением а (рис. 10.2). Рис. 10.2 До начала подъема в сечении В балки, подвешенной на стропах, возникает наибольший по величине статический изгибающий момент M st q st ⋅ l 2 = , 18 где qst (Н/м) – интенсивность распределения веса балки по ее длине. При подъеме с ускорением возникают равномерно распределенные по длине балки инерционные силы, направленные противоположно ускорению qi = q st ⋅ a. g 337 Тогда динамическая нагрузка qd равна сумме статической и инерционных нагрузок: ⎛ a⎞ q d = q st + q i = ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⋅ q st = K d ⋅ q st . g⎠ ⎝ Таким образом, в случае поперечной инерционной нагрузки величина динамического коэффициента также определяется выражением (10.6). С учетом этого наибольшие значения динамического изгибающего момента и динамического напряжения могут быть найдены по формулам M d = K d ⋅ M st ; σ d = Md M = K d ⋅ st = K d ⋅ σ st , W W (10.7) где W – момент сопротивления поперечного сечения балки. Следовательно, при поступательном движении стержня с ускорением определение напряжений и перемещений сводится к установлению статических напряжений и перемещений, вычислению динамического коэффициента. Расчет обода маховика При первом приближении обод маховика можно рассматривать как тонкое кольцо, вращающееся равномерно вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω = const . Точки кольца движутся с ускорением a n = ω 2 ⋅ r , которое направлено к центру вращения. В этом случае кольцо (рис. 10.3, а) нагружено равномерно распределенной по окружности инерционной радиальной нагрузкой. а б Рис. 10.3 Если кольцо в поперечном сечении имеет площадь А, удельный вес материала равен γ , то вес единицы длины кольца равен γ ⋅ A , а интенсивность соответствующей центробежной силы инерции составляет 338 γA 2 γ A υ2 ω r0 = ⋅ , qi = g g r0 где υ = ω ⋅ r0 – окружная скорость точек осевой линии кольца. Вырежем двумя радиальными сечениями под углом dθ элемент кольца (рис. 10.3, б). Равнодействующая инерционной нагрузки, распределенной по дуге элемента такова: dFi = q i ⋅ r0 ⋅ dθ. Влияние отброшенной части кольца заменим усилием N d = σ d ⋅ A , допуская в силу тонкости кольца, что напряжения равномерно распределены по сечению. Запишем уравнение равновесия для отсеченной части – сумму проекций всех сил на центральный радиус: q i ⋅ r0 ⋅ dθ − 2σ d ⋅ A ⋅ sin dθ = 0. 2 Подставив выражение интенсивности qi и учтя, что угол dθ 2 бесконечно мал, получим уравнение γ A υ2 dθ ⋅ ⋅ r0 ⋅ dθ − 2σ d ⋅ A ⋅ = 0. g r0 2 После упрощений найдём динамическое напряжение и запишем условие прочности: γυ 2 (10.8) σd = ≤ [σ]. g Таким образом, можно установить допускаемую окружную скорость для различных материалов, из которых изготавливаются маховики, шкивы, барабаны и другие вращающиеся детали: g [ σ] . γ Детали машин и механизмов рассчитывают на прочность по значениям допускаемого напряжения [σ] . υ≤ 339 Пример 10.1. Стальная балка квадратного поперечного сечения площадью 1×1 см2, несущая на концах С и В грузы весом G = 60 Н, опускается на тросе с постоянной скоростью υ = 2,4 м/с (рис. 10.4, а). В результате торможения скорость опускания в течение 0,5 с. равномерно уменьшилась в три раза. Требуется определить напряжение в тросе, наибольшее напряжение в балке, прогибы концов балки. а б в Рис. 10.4 Решение Определяем динамический коэффициент. Трос и балка движутся равнозамедленно с ускорением a= 2,4 − 0,8 = 3,2 м/с 2 . 0,5 Вектор ускорения направлен противоположно движению, т.е. вверх, а возникшие силы инерции Fi направлены вниз. Динамический коэффициент согласно формуле (10.6) таков: Kd =1+ a 3,2 =1+ = 1,326. 9,8 g Определение напряжения в тросе. π d 2 3,14 ⋅ 2 2 Площадь сечения A = = = 3,14 мм 2 , 4 4 N st = 2G . статическое усилие 340 Динамическое напряжение в тросе согласно формуле (10.5): σ d = K d ⋅ σ st = K d ⋅ N st 2 ⋅ 60 = 1,326 ⋅ = 50,7 МПа. A 3,14 ⋅ 10 −6 Находим напряжения в балке. Построим эпюру изгибающих моментов (10.4, б). Наибольший по величине статический изгибающий момент M st = G ⋅ 0,25 = 15 Н⋅м. Динамическое напряжение в балке согласно формуле (10.7): σ d = K d ⋅ σ st = K d ⋅ M st 15 ⋅ 6 = 1,326 ⋅ 3 = 119,3 МПа. W 1 ⋅ 10 −6 Устанавливаем прогибы. Концы балки С и В относительно точки присоединения троса прогнутся вниз, то есть каждая половина балки представляет собой консоль. Построим единичную эпюру M (рис. 10.4, в) и перемножим ее с грузовой эпюрой M x по правилу Верещагина. Статический прогиб: y st = 1 E⋅J 2 0,3125 ⋅ 12 ⎞ ⎛1 = 0,188 см. ⎜ ⋅ 15 ⋅ 0,25 ⋅ ⋅ 0,25 ⎟ = 3 ⎝2 ⎠ 2 ⋅ 1011 ⋅ 10 −8 ⋅ 14 Динамический прогиб концов балки: y d = K d ⋅ y st = 1,326 ⋅ 0,188 = 0,249 см. Ответ: Наибольшие напряжения в тросе σ d = 50,7 σ d = 119,3 МПа ; прогибы концов балки y d = 0,249 см. МПа, в балке Контрольные вопросы к разделу 10 1. Дайте определения предмета статической и динамической теории механических систем. 2. Перечислите примеры динамических нагрузок. 3. В чем состоит принцип Даламбера? 4. Объясните особенности расчетов при динамическом нагружения по сравнению со статическим. 341 Раздел 11 Удар Тема 11.1 Основы теории удара Ударное действие нагрузки Под ударной понимается нагрузка, при которой скорости деформирования взаимодействующих тел, меняются за короткий промежуток времени. Сила удара достигает большой величины, например, при действии кузнечного молота на кусок металла, ударе падающего груза при забивке свай, воздействии колеса локомотива на рельс при перекатывании через стык и др. Время соударения измеряется в тысячных или миллионных долях секунды. Следовательно, телу, подверженному удару, со стороны ударяемого тела передается большое ускорение, направленное в сторону, обратную движению. Возникающее между телами силовое динамическое взаимодействие Gd (сила удара) равно силе инерции ударяющего тела Gd = G g ⋅ a, где G – вес ударяющего тела; а – ускорение. Однако, найти величину Gd по этой формуле практически невозможно, так как время удара, в течение которого происходит падение скорости до нуля, и ускорение практически нельзя определить. Вообще, время контакта соударяющихся тел состоит из двух фаз: фаза сближения за счет местных контактных деформаций и фаза их упругого отталкивания, после которой может возникнуть отскок и вторичный удар падающего тела. Научные основы теории удара связаны с изучением местных деформаций в окрестности контакта, с анализом волнового распространения деформаций в упругом теле и представляются достаточно сложной задачей. В инженерной практике используется приближенная теория удара, основанная на законе сохранения энергии. При этом принимается ряд упрощающих допущений. В зависимости от вида деформации, которую испытывает стержневая конструкция различают: продольный удар (рис. 11.1, а), поперечный (рис. 11.1, б) и скручивающий удар на участке АВ (рис. 11.1, в). Ударное кручение чаще всего происходит при торможении быстродействующих валов, несущих маховики. 342 а б в Рис. 11.1 Основные допущения технической теории удара Для упрощения расчетов в приближенной теорию удара вводится ряд допущений: Предполагается, что в ударяемом теле (системе) возникают только упругие деформации и справедлив закон Гука. Упругая система, воспринимающая удар, рассматривается как невесомая. Удар считается мгновенным и неупругим (после соударения груз не отскакивает от к ударяемой системы и при деформировании перемещается вместе с ней). Работа силы тяжести ударяющего груза полностью переходит в потенциальную энергию деформации упругой системы, воспринимающей удар. Формула для расчета динамического коэффициента Рассмотрим продольный удар, когда груз весом G, падающий с высоты h, ударяет по упругому стержню (рис.11.2). При статическом приложении груза происходит сжатие на Δst . Если груз падает с некоторой высоты, то, ударяя по стержню, создает в нем сжатие Δd > Δst . Отличие деформации при ударном действии нагрузки по сравнению с деформацией при статическом приложении той же нагрузки может быть охарактеризовано динамическим коэффициентом Рис. 11.2 Kd = Δd . Δst Для линейно-деформируемой системы можно записать (11.1) 343 Gd Gst = Δd , Δst где Gst – статическая нагрузка, равная весу падающего груза G. Откуда Gd = G ⋅ Δd . Δst (11.2) Для определения K d воспользуемся законом сохранения энергии. Пренебрегая потерями энергии можно записать Т =U. (11.3) Изменение кинетической энергии Т падающего груза численно равно работе, совершенной им при падении и деформировании стержня (рис. 11.2): Т = G (h + Δd ). (11.4) Потенциальную энергию деформации упругого стержня, накопленную за счет энергии, потерянной грузом, с учетом выражения (11.2) можно найти так: 1 1 Δ2 U = Gd ⋅ Δ d = G d . (11.5) 2 2 Δ st На основании формул (11.4) и (11.5) получим 1 Δ2d G (h + Δ d ) = G . 2 Δ st Приведем это выражение к квадратному уравнению относительно Δ d : Δ2d − 2Δ d ⋅ Δ st − 2h ⋅ Δ st = 0. Решение этого квадратного уравнения дает значение Δ d : Δ d = Δ st + Δ2st + 2h ⋅ Δ st . (11.6) Второй корень квадратного уравнения со знаком минус перед радикалом не соответствует физическому смыслу рассматриваемой задачи. 344 Выражение (11.6) можно представить в виде ⎛ 2h ⎞⎟ Δ d = Δ st ⎜1 + 1 + . ⎜ ⎟ Δ st ⎝ ⎠ и сопоставив с формулой (11.1) вывести выражение для динамического коэффициента при ударном нагружении: Kd = 1 + 1 + 2h Δ st , (11.7) здесь h – высота падения груза, Δst – перемещение точки соударения от условной статической силы, равной весу падающего груза. Если учесть, что скорость падения груза в момент подлета к балке υ = 2 g h , откуда h = υ 2 2g , то коэффициент динамичности можно записать и так: v2 . Kd = 1 + 1 + g ⋅ Δ st (11.8) Когда высота падения груза h значительно больше Δ st , то для определения K d можно пользоваться упрощенной формулой 2h Kd = . (11.9) Δ st Рис. 11.3 Если высота падения груза равна нулю h = 0 , то K d = 2 . Такое нагружение называется внезапным. Физически этот случай можно представить, если на нити подвесить груз, чтобы он касался балки (рис 11.3), но не давил на нее, и если нить мгновенно рассечь, то сила тяжести груза всей своей величиной внезапно передастся балке. Тема 11.2 Расчеты на ударную нагрузку Расчеты стержней при ударном действии нагрузки Определение перемещений и напряжений при ударе сводится к определению перемещений и напряжений, вызванных статически приложенной силой, 345 равной весу падающего груза, и к вычислению динамического коэффициента (11.7). Расчетные формулы имеют вид Δ d = K d ⋅ Δ st ; σ d = K d ⋅ σ st . (11.20) Все приведенные формулы верны как в случае продольного удара (сжимающего и растягивающего), так и при поперечном ударе (изгиб балки). Различие состоит лишь в зависимостях, используемых для вычисления статических напряжений и перемещений. Изложенная приближенная теория расчета на удар имеет определенные пределы применения. Так, если 2h Δ st ≤ 100 то ошибка расчета не превышает 10%. Если масса ударяемой конструкции значительна, то ею нельзя пренебречь. Ее учитывают с помощью безразмерного коэффициента β < 1, называемого коэффициентом приведения массы ударяемого тела к точке удара. Величина динамического коэффициента упругой системы с приведенной массой определяется по формуле Kd = 1 + 1 + 2h P⎞ ⎛ Δst ⎜ 1 + β ⎟ G⎠ ⎝ , (11.21) где Р – вес ударяемой конструкции (вес приведенной массы − β Р ). Из формулы (11.21) видно, что чем больше ударяемая масса, тем меньше динамический коэффициент. Анализируя формулы (11.7) – (11.9) и (11.21) можно прийти к следующим выводам: пренебрежение массой ударяемой конструкции при расчете повышает величину динамического коэффициента, т.е. идет в запас прочности; динамический коэффициент тем меньше, чем больше статическое перемещение Δ st в точке удара. Таким образом, K d снижается при уменьшении жесткости упругой системы. Поэтому для смягчения ударов устанавливаются резиновые прокладки между машиной и фундаментом, а также широко применяются различного типа пружины и рессоры, обладающие значительной податливостью (небольшой жесткостью). Величина осевой силы N, при которой происходит сжатие λ пружины на единицу длины, называется жесткостью пружины 346 c= N λ . (11.22) динамические напряжения тем меньше, чем больше объем ударяемого стержня, т.е. чем больше «энергоемкость» стержня. Для стержня постоянного сечения в случае продольного удара напряжения равны σ d ≈ σ st 2h Δ st = G2 2h E A A 2 Gl = G E 2h V , (11.23) G Gl ; Δ st = ; V = A ⋅ l − объем стержня. A EA Формула (11.23) наглядно показывает влияние объема стержня на его прочность при ударе: чем больше объем, тем меньше напряжение. Стержни с одинаковым поперечным сечением (рис. 11.3), равнопрочные при статическом нагружении, могут резко отличаться друг от друга по прочности при динамическом воздействии. При прочих равных условиях более длинный стержень (рис. 11.3, а), имеющий больший объем, будет прочнее короткого (рис. 11.3, б). а б где σ st = Рис. 11.3 Пример 11.1 Стальной ступенчатый стержень (рис. 11.4) подвергается действию удара при дении груза весом G = 4 кH с высоты h = 6 Площадь сечения стержня A = 2 см2, длина l = 5 м. Требуется: ределить величину наибольшего нормального пряжения в стержне; памм. опна- Рис. 11.4 347 найти наибольшие напряжения в стержне, если на кольцевой выступ В для смягчения удара поместить цилиндрическую винтовую пружину, жесткость которой c = 2,5 ⋅ 10 3 кH/м. Решение. Проведём расчет при статическом нагружении. Пусть груз G прикладывается в точке В статически. Наибольшие статические напряжения σ st и статическое удлинение Δst стержня равны соответственно: σ st = G A = 4 ⋅ 10 3 2 ⋅ 10 −4 = 20 МПа , G⋅ l G⋅ l 3 ⋅ 4 ⋅ 10 3 ⋅ 5 2 2 = 3G ⋅ l = Δ st = + = 0,375 мм , E ⋅ A 2 E ⋅ A 4 E ⋅ A 4 ⋅ 2 ⋅ 1011 ⋅ 2 ⋅ 10 −4 где модуль упругости E=2·1011 МПа. Динамический расчет 1. Когда груз падает с высоты h, то динамический коэффициент K d и наибольшее динамическое напряжение равны 2h 2⋅6 Kd = 1 + 1 + =1+ 1+ = 6,74, Δ st 0,375 σ d = K d ⋅ σ st = 6,74 ⋅ 20 = 135 МПа. 2. При наличии пружины между грузом и выступом статическая деформация Δst упругой системы (стержня Δ cst и пружины λ = G c ) Δ st = Δ cst + λ = 0,375 + 4 ⋅ 10 3 2,5 ⋅ 10 3 = 1,975 мм. n В этом случае динамический коэффициент K d и динамическое напряжение n σ d таковы: K dn = 1 + 1 + 2h Δ st = 1+ 1+ 2⋅6 1,975 = 3,66 ; σ nd = K dn ⋅ σ st = 3,66 ⋅ 20 = 73,2 МПа . Как видим, включение пружины между выступом и грузом существенно (почти в 2 раза) снизило динамическое напряжение в стержне при падении 348 груза. В данном случае пружина явилась тем амортизатором, который часто применяют в технике для смягчения ударов, а, следовательно, и уменьшения динамических напряжений. Контрольные вопросы к разделу 11 1. Какое явление называется ударом? 2. Какие допущения используются при решении практических задач и при определении динамического коэффициента при вертикальном ударе? 3. Запишите формулу коэффициента динамичности при ударе. Объясните влияние на коэффициент величины массы падающего тела и ударяемой системы. 349 Раздел 12 Расчет на прочность меняющихся во времени напряжениях при циклически Тема 12.1 Усталость. Предел выносливости Многие детали машин (вагонные оси, валы, рессоры, лопатки турбин и т.п.) и элементы конструкций (мосты, трубопроводы, каркасы промышленных зданий и т.д.) в процессе эксплуатации испытывают периодические многократно повторяющиеся нагрузки. Cуточные и сезонные изменения температуры, ветровые и снеговые нагрузки также приводят к периодическим изменениям усилий и напряжений. Несмотря на отсутствие значительных инерционных сил, такие нагрузки можно отнести к динамическим. Переменные напряжения возникают при многократном изгибе стержня в одну и другую сторону (рис. 12.1). При этом волокна стержня оказываются попеременно то в растянутой, то в сжатой зоне. При определенном числе перегибов наступает разрушение. Опыты показывают, что переменные напряжения могут привести к разрушению конструкции при значениях, намного меньших, чем предел текучести и временное сопротивление материала. Такое разрушение принято называть усталостным. Рис. 12.1 После разрушения на поверхности излома обнаруживаются обычно две ярко выраженные зоны (рис. 12.2). Одна – матовая, мелкозернистого характера, другая – с блестящей крупнозернистой структурой, носящей признаки хрупкого разрушения. В начале XIX в. зародилась гипотеза о том, что при действии многократных периодических нагрузок металл устает и становится более хрупким. Позднее было установлено, что изменение структуры и механических характеристик свойств материалов под действием переменных напряжений является одним из сопутствующих факторов, но термин усталость сохранился. 350 1 Рис. 12.2 Одной из причин усталостного разрушения принято считать образование и развитие трещин. Механизм процесса усталостного разрушения связан со структурной неоднородностью (случайные вариации размеров, очертаний отдельных зерен металла, различные включения, дефекты кристаллической решетки и т.п.). Вблизи различных дефектов зарождаются микротрещины, которые под действием переменных напряжений растут, соединяются и образуют макротрещины. В результате развития трещины сечение ослабляется и это приводит к внезапному хрупкому разрушению материала. До 80% всех поломок деталей машин происходит по причине усталости материалов. Процесс постепенного накопления повреждений материала при действии переменных напряжений, приводящий к изменению его свойств, образованию и развитию трещин и разрушению, называют усталостью (согласно ГОСТ 23207-78). Свойство материала противостоять усталости называется выносливостью. Виды циклов напряжений. Параметры цикла Рассмотрим возникновение переменных напряжений на примере работы вращающейся оси вагона, см. рис. 12.3. Вес вагона (сила F ) вызывает прогиб оси. Эпюра изгибающих моментов изображена на рис. 12.3. При вращении оси вагона точка К контура поперечного сечения (рис. 12.4) оказывается попеременно в зонах растяжения и сжатия. Закон изменения нормальных напряжений в точке К в зависимости от времени t выражается формулой σ= M Mr sin α . y= J J 351 Рис. 12.3 При равномерном вращении угол α = ω t , где ω – угловая скорость вращения оси. Следовательно, σ = σ max sin ωt. (12.1) Наибольшее растягивающее напряжение σ max в точке К будет тогда, когда она займет положение точки 2. Наибольшее сжимающее напряжение σ min – возникнет тогда, когда точка К займет положение точки 4. Когда точка К попадет на нейтральную ось (положение точек 1 и 3), напряжеРис. 12.4 ние в ней будет равно нулю ( σ = 0 ). По уравнению (12.1) построен график, изображенный на рис. 12.5. Напряжения изменяются во времени периодически: через определенный промежуток времени Т (период) они проходят одно и то же значение, причем характер изменения напряжений в начальной и конечной точках периода одинаков. Изменение напряжений за один период называется циклом напряжений. В приведенном примере и на рис. 12.5 рассмотрен так называемый симметричный цикл. У симметричного цикла σ max и σ min равны между собой, но противоположны по знаку. 352 Рис. 12.5 Рис. 12.6 Если к вращающемуся валу приложить дополнительную продольную растягивающую силу постоянной величины, то к напряжениям (12.1) добавится N среднее постоянное напряжение цикла σ m = . Тогда напряжение в точке A будет меняться, например по закону, изображенному на рис. 12.6. Такой цикл носит название асимметричного ( σmax ≠ σmin ). Если знаки σ max и σ min одинаковы, цикл называется знакопостоянным, если различны – знакопеременным. В том случае, если значение σmax или σ min равно нулю, цикл называется пульсирующим, или отнулевым (рис. 12.7). Любой цикл характеризуется двумя параметрами: σm = σmax + σmin 2 и σa = σ max − σ min , 2 (12.2) где σ m – среднее постоянное напряжение цикла; σ a – амплитуда цикла (наибольшее значение переменной составляющей цикла напряжений). 353 Рис. 12.7 Отношение σ min к σmax называется коэффициентом асимметрии цикла: σ R = min . (12.3) σ max Для пульсирующего цикла R = 0 , а для симметричного R = −1 . Циклы, имеющие одинаковое значение коэффициента R , называются подобными. Размахом напряжений называют разность σ max − σ min = 2σ a . (12.4) Основной характеристикой выносливости материала является кривая усталости, получаемая экспериментальным путем. По кривой усталости определяется значение предела выносливости – характеристики механических свойств материалов, позволяющей количественно оценить сопротивление усталости образца. Максимальное по абсолютному значению напряжение цикла, которое не вызывает разрушения образца при неограниченно большом числе циклов, называется пределом выносливости σ R . При симметричном цикле σ R , имеет наименьшее значение и обозначается σ −1 . Для опытного определения величины σ −1 используются специальные машины, в которых вращающийся образец круглого сечения подвергается чистому изгибу. Из испытываемого материала изготавливают не менее десяти одинаковых образцов. Задавшись различными значениями напряжения σmax , определяют число N циклов, необходимых для каждого образца до разрушения. По результатам испытания строят кривую усталости (кривую Веллера) или кривую выносливости ( σ max − N ), см. рис. 12.8. Она имеет горизонтальную асимптоту, ордината которой равна пределу выносливости σ −1 . Кривые усталости также могут строиться в логарифмических lg σ − lg N и полулога- 354 рифмических lg σ − lN , σ − lg N координатах, где σ – напряжение σ max , σ min или σ a ; N – число циклов до разрушения. σNR а б Рис. 12.8 Опыты показали, что если стальной образец не разрушается при числе циклов, равном N = 10 7 , то он не разрушается и при большем их числе. Поэтому испытание образцов прекращается при N = 10 7 . Это число циклов называется базой испытания. Кривые выносливости для цветных металлов не имеют горизонтальных асимптот. Поэтому для них база испытания увеличивается до N = 10 8 циклов и устанавливается предел ограниченной выносливости. Чтобы иметь представление о порядке величин числа циклов заметим, что вагонная ось на пути от Москвы до Владивостока испытывает около 3⋅10 6 циклов. 355 Основной тип кривой усталости – кривая с четко выраженным горизонтальным участком (рис. 12.8, б). При этом выявляется физический предел усталости (выносливости). Кривые такого типа характерны для черных металлов и титана. Кривые усталости с асимптотическим приближением правой ветви к горизонтали (рис. 12.8, а) характерны для цветных металлов, а также для черных металлов (в случае влияния коррозионной среды). При этом выявляется условный предел выносливости σ NR для определенной базы испытания. Испытания на выносливость при растяжении, сжатии и кручении требуют более сложного оборудования и поэтому проводятся редко. Соответствующие пределы выносливости определяют по известному пределу выносливости при изгибе в условиях симметричного цикла нагружения по эмпирическим соотношениям: растяжение σ −p1 ≈ 0,28 σ в ; изгиб кручение τ −1 σ и−1 ≅ 0,4 σ в ; ≅ 0,22 σ в . (12.5) Факторы, влияющие на усталостную прочность материала Концентрация напряжений Явление повышения напряжений по сравнению с номинальными т.е. вычисленными по обычным формулам, называется концентрацией напряжений, а их причина, – концентратором напряжений. К концентраторам напряжений относится резкое изменение размеров сечений детали (выточки, надрезы, отверстия, шпоночные пазы, и др.). Зона распространения повышенных напряжений носит локальный характер, т.е. ограничивается небольшой областью, непосредственно прилегающей к очагу концентрации. Например, при растяжении полосы с отверстием (рис. 12.9) закон равномерного распределения напряжений вблизи отверстий нарушается. У края отверстия появляется пик напряжений. Основным показателем повышения напряжения в непосредственной близости к концентраторам напряжений служит теоретический коэффициент концентрации напряжений, который равен отношению максимального нормального напряжения в зоне концентрации к номинальному: Рис. 12.9 356 ασ = σ max τ , α τ = max . σ ном τ ном (12.6) Однако при действии переменных напряжений различные материалы поразному реагируют на наличие одного и того же концентратора, т.е. обладают различной чувствительностью к концентрации напряжений. Поэтому вводят так называемый эффективный коэффициент K σ , K τ концентрации напряжений: Kσ = σ −1 , σ −1k Kτ = τ −1 , τ −1k (12.7) где σ−1 , τ −1 – предел выносливости образца без учёта концентрации напряжений при симметричном цикле; σ −1k , τ−1k – предел выносливости образца с учётом концентрации напряжений при изгибе и кручении соответственно. Числовое значение K σ , K τ можно определить по результатам усталостных испытаний. При отсутствии экспериментальных данных можно воспользоваться формулой K σ = 1 + q σ (α σ − 1), K τ = 1 + q τ (α τ − 1), где q σ − коэффициент чувствительности металла к концентрации напряжений. Чем выше прочность стали, тем больше коэффициент чувствительности. Для высокопрочных сталей q σ ≅ 1 . Для углеродистых сталей он становится равным 0,6 ÷ 0,8 q σ . Чугун малочувствителен к концентрации q σ = 0 . Масштабный фактор Опытным путем установлено, что с увеличением размеров поперечных сечений предел выносливости падает. Так, например, предел выносливости образца диаметром 7 мм из стали, идущей на изготовление вагонных осей равен σ −1 = 230 МПа, а предел выносливости вагонной оси диаметром 170 мм – σ −1 = 120 МПа. Это объясняется тем, что в образцах с большим объемом материала содержится большее количество дефектов (раковины, неметаллические включения и т.п.) и локальных повреждений, что снижает предел выносливости. Снижение предела выносливости при увеличении размеров деталей и элементов конструкций учитывается введением масштабного коэффициента 357 βM = σ −1 , σ −1М (12.8) где σ −1 – предел выносливости образцов диаметром 6…12 мм; σ −1М – предел выносливости образцов больших размеров. На рис. 12.10 представлены кривые зависимости коэффициента β M для стали от диаметра детали (первая кривая – для углеродной стали, вторая – для легированной. Рис. 12.10 Учитывается масштабный фактор введением коэффициентов K dσ = σ −1d τ , K dτ = −1d , σ −1 τ −1 (12.9) где σ −1d , τ−1d - предел выносливости при изгибе и кручении гладких лабораторных образцов диаметром d. Он учитывает степень влияния абсолютный размеров поперечного сечения образца на предел выносливости. Качество поверхности детали В большинстве деталей усталостное разрушение начинается с поверхности. Снижение предела выносливости тем больше, чем грубее поверхностная обработка детали, создающая дополнительные места концентрации напряжений. Снижение предела выносливости в этом случае учитывается введением коэффициента качества чистоты обработки поверхности: 358 K Fσ = σ −1п τ , K Fτ = −1п , σ −1 τ −1 (12.10) где σ −1п , τ−1п – предел выносливости образца с полированной поверхностью при изгибу и кручении; σ−1 , τ −1 – предел выносливости такого же образца с заданным состоянием поверхности. На рис. 12.11 даны значения коэффициента β п в зависимости от состояния поверхности детали (1 – полирование; 2 – шлифование; 3 –тонкое точение; 4 – грубое точение; 5 – наличие окалины). K Fσ σв Рис. 12.11 В случае кручения K Fτ принимают равным K Fτ = 0,575K Fτ + 0,425 . (12.11) Как видим, снижение предела выносливости тем больше, чем грубее поверхностная обработка детали, причем это снижение более значительно для материалов с высоким пределом прочности. Поэтому наиболее важные детали механизмов и машин подвергают специальной поверхностной обработке – поверхностному упрочнению. Усталостная прочность повышается при повышении чистоты поверхности, что достигается применением операций полирования, шлифования, цементации, обработки токами высокой частоты, обработках роликами и др. Это повышение оценивается коэффициентом KV = σ−1Д упр σ−1Д , (12.12) 359 где σ −1Д упр и σ−1Д - пределы выносливости соответственно упрочненной и неупрочненной детали. Чем выше уровень концентрации напряжений, тем эффект упрочнения возрастает, а увеличением размеров детали уменьшается. Методы упрочнения приводят к повышению пределов выносливости в 2-3 раза и более, вследствие чего являются мощным средством повышения надежности и долговечности машин при одновременном снижении их массы. Еще один не маловажный фактор, влияющий на предел выносливости – анизотропия материала, учитывается коэффициентом K A , которую рассматривают, если главное напряжение σ при изгибе и растяжении-сжатии направлено перпендикулярно направлению прокатки материала. В табл. 12.1 приведены значения K A в зависимости от σ в материала. Таблица 12.1 Значения коэффициента анизотропии материала σ в , МПа σ в ≤ 600 600 < σ в ≤ 900 900 < σ в ≤ 1200 σ в >1200 KA 0,9 0,86 0,83 0,80 Внешняя среда Усталостная прочность зависит от среды, в которой эксплуатируется деталь. Коррозионная среда (вода, соленая вода, кислоты, пары) резко снижает усталостную прочность. В некоторых случаях спад предела выносливости достигает 70-80%. Применение защитных покрытий поверхности (окраска, металлизация, азотирование, цементация и др.) уменьшает эффект действия коррозионной среды. Высокие температуры уменьшают, а низкие несколько повышают усталостную прочность. Радиационное облучение снижает предел выносливости в результате повышения хрупкости материалов. Комплексный учет, перечисленных выше факторов, согласно (12.7)(12.12) оценивается коэффициентом снижения предела выносливости при растяжении сжатии ⎛ K ⎞ 1 1 ; K = ⎜⎜ σ + − 1⎟⎟ ⎝ K dσ K Fσ ⎠ KV K A (12.13) 360 при кручении ⎛ K ⎞ 1 1 K = ⎜⎜ τ + − 1⎟⎟ . K K K Fτ ⎝ dτ ⎠ V (12.14) Таким образом, предел выносливости детали с учетом выше перечисленных факторов определяется σ −1Д = σ −1 . K (12.15) Значения σ−1Д обычно в 2-6 (и более) раз меньше, чем характеризующее только свойства материала значение предела выносливости σ −1 гладких лабораторных образцов. Тема 12.2 Коэффициент запаса при циклическом нагружении и методы его определения Для расчета элементов машин и сооружений необходимо располагать данными о пределе выносливости при различных циклах. Поэтому проводят испытания и при асимметричных циклах. По результатам испытаний строят диаграмму предельных напряжений (диаграмму Хея), характеризующую зависимость между величиной среднего напряжения σ m и амплитудного значения σ a предельного цикла. Каждая пара напряжений ( σ m − σ a ), определяющая предельный цикл, изображается некоторой точкой на диаграмме (рис. 12.12). Все эти точки в общем случае располагаются на кривой АСВ, которая на оси ординат отсекает отрезок, равный пределу выносливости симметричного цикла σ −1 (при этом цикле σ m = 0 ), а на оси абсцисс – отрезок, равный временному сопротивлению σ в . В этом случае действуют напряжения постоянные во времени, σ max = σ min = σ в = σ +1 . Точка С (с координатами σ m = σ a = σ 0 2 ) соответствует пределу выносливости σ0 при отнулевом цикле. Рассмотрим вопрос об использовании построенной диаграммы. Пусть заданному циклу соответствует точка N (с координатами σ m и σ a ). Очевидно, что любая другая точка, лежащая на том же луче, соответствует циклу, подобному данному. Все циклы, изображаемые точками отрезка ОМ, безопасны в отношении усталостного разрушения. При этом цикл, изображаемый точкой М 361 является для заданного коэффициента асимметрии – предельным. Предельным циклом называется такой, у которого максимальное напряжение равно пределу выносливости. σт σ т σв Рис. 12.12 Максимальное напряжение этого цикла, определяемое как сумма абсциссы и ординаты точки М, равно пределу выносливости: M M σ R = σ max = σm + σ aM . Аналогично для заданного цикла (точка N): N σ max = σ mN + σ aN . Считая, что заданный цикл и предельный подобны, находим значение коэффициента K R запаса усталостной прочности: KR = M σ max N σ max . (12.16) Для деталей из пластичных материалов является опасным не только усталостное разрушение, но и переход за предел текучести σ т . Поэтому из диаграммы надо исключить ту область, где σ max > σ т . Для этого надо провести под углом 45º прямую LD, отсекающую на осях координат отрезки, равные 362 пределу текучести σ т . Тогда циклы, безопасные как в отношении усталостного разрушения, так и в отношении возникновения текучести, изображаются точками области ОАDL, где σ max < σ R и σ max < σ т . σт σ т σв Рис. 12.13 Опытное построение диаграммы предельных амплитуд представляет собой довольно трудоемкую задачу, в связи с чем часто идут по пути ее схематизации. Например, диаграмма Серенсена-Кинасошвили (рис. 12.13) строится по опытным данным для симметричного цикла σ −1 и для постоянных во времени σ т и σ в . За диаграмму предельных амплитуд принимается ломаная АСL. Серенсен С.В. и Кинасошвили Р.С. предложили вычислять коэффициент запаса прочности по следующей зависимости: nσ = σ −1 , Kσ a + ψσ m где ψ – коэффициент влияния асимметрии цикла на предельную амплитуду. Запас выносливости при совместном кручении и изгибе Рассмотрим напряженное состояние возникающее в стержне, например при совместном действии изгиба и кручения при растяжении (сжатии) и кручения. Пусть напряжения σ и τ изменяются по симметричному циклу синфазно и синхронно (т.е. с одинаковой фазой и частотой). Для получения условий предельного состояния, как при статическом нагружении используется критерий прочности (текучести). Например, по критерию максимальных каса- 363 тельных напряжений эквивалентная амплитуда нормальных напряжений вычисляется: σ экв = σ 2ар + 4τ 2ар = σ −1Д , (12.17) где σ экв – амплитуда эквивалентного симметричного цикла при разрушении; σ ар и τ ар – предельные значения амплитуд нормальных и касательных напряжений (по усталостному разрушению). Для лучшего приближения к опытным данным используют уточненный критерий максимальных касательных напряжений: σ экв = σ 2ар + γ 2 τ 2ар = σ −1Д , γ = σ -1Д τ -1Д (12.18) В случае пропорционального нагружения σ ар = nσ a , τ ар = nτ a . Тогда коэффициент запаса прочности при одновременном действии нормальных и касательных напряжений находят из выражения σ −1Д n= ⎛ σ -1Д σ a2 + ⎜ ⎜τ ⎝ -1Д 2 . (12.19) ⎞ 2 ⎟ τa ⎟ ⎠ Вводя отдельно коэффициенты запаса прочности отдельно по нормальным n σ = σ −1Д σ a и касательным n τ = τ −1Д τ a напряжениям, получим 1 n2 = 1 + n σ2 1 n τ2 или n= nσ nτ n σ2 + n τ2 . (12.20) Формулы (12.17)-(12.20) распространяются также на случай асимметричных циклов и несинхронного и несинфазного изменения напряжений. Модели усталостного и малоциклового разрушения Различают две основные разновидности усталостного разрушения: 364 1. Малоцикловая усталость возникает при максимальных напряжениях, превышающих предел текучести материала, и сопровождается знакопеременным пластическим деформированием объема материала большего по сравнению с размерами структурных составляющих (зерен, пор, включений). Число циклов до образования заметной трещины (0,5-1 мм) зависит в основном от величины пластической деформации детали в каждом цикле и от способности материала сопротивляться малоцикловому разрушению; для стальных конструкций он не превышает 104. Явление малоцикловой усталости знакомо всем, кто ломал проволоку, пластически деформируя ее в разные стороны. Характер разрушения при этом виде усталости зависит от способности материала к накоплению пластических деформаций при циклическом деформировании. 2. Многоцикловая усталость имеет месть при напряжениях значительно ниже предела текучести ( σ max < 0,6σ т ). В этом случае в макрообъеме материал деформируется упруго (его свойства с вполне удовлетворительной точностью описываются законом Гука σ = Eε ). Однако большинство реальных материалов имеют сложную многокомпонентную структуру (зерна, поры, межзеренные прослойки, неметаллические включения в стали и т.п.). При упругом деформировании достаточно большого объема в микрообъемах происходит локальное знакопеременное пластическое деформирование, которое называют микропластическим. Его многократное повторение приводит к ослаблению сечения и затем к внезапному долому деталей. Продолжительность стадии многоцикловой усталости к моменту зарождения магистральной усталостной макротрещины для стальных конструкций превышает 105-106 циклов. Граница между малоцикловой и многоцикловой усталостью не является четко выраженной. В тех случаях, когда пластическая деформация в макрообъеме отлична от нуля в каждом цикле, но малая по сравнению с упругой, условия зарождения трещины зависят и от упругой и от пластической деформации. Это – переходная зона между малоцикловой и многоцикловой усталостью. Если остаточная деформация не меняется во всех циклах, то материал называют циклически стабильным. Увеличение остаточных деформаций и рост суммарной пластической деформации характерны для циклически разупрочняющихся материалов. Циклически упрочняющимся материалам свойственны уменьшение остаточной деформации от цикла к циклу и стремление суммарной пластической деформации к некоторому пределу. Проблема малоцикловой усталости весьма актуальна для строительных конструкций, поскольку в них почти всегда имеются концентраторы напряжений, способствующие развитию местных пластических деформаций. Одним из способов повышения сопротивления элементов конструкций малоцикловому усталостному разрушению является изготовление их из циклически упрочняющихся материалов. Контрольные вопросы к разделу 12 365 1. Какие процессы называются усталостью? 2. Поясните свойство материалов называемое выносливостью. 3. Поясните суть коэффициента асимметрии цикла. 4. Какие нагрузки называются циклическими? 5. Перечислите основные факторы оказывающие влияние на усталостную прочность образцов. 6. Дайте определение коэффициента запаса усталостной прочности. 7. Зависит ли диаграмма усталостной прочности от вида напряженного состояния изделия? 8. Что вы понимаете под термином «коэффициент концентрации напряжений»? 9. Что вы понимаете под термином «коэффициент качества обработки поверхности изделия»? 10. Что Вы понимаете под термином «коэффициент масштабного фактора»? 366 Раздел 13 Устойчивость Тема 13.1 Устойчивость центрально сжатого стержня Понятие об устойчивости При проектировании конструкций наряду с анализом прочности и жесткости проводится анализ их устойчивости. Устойчивость конструкции − способность конструкции сохранять начальную форму упругого равновесия под нагрузкой. Существует три вида равновесия тел: устойчивое, безразличное и неустойчивое. Равновесие называют устойчивым, если после малого отклонения от исходного положения тело возвращается в это положение при устранении воздействия; безразличным – когда тело, будучи отклонено, остается в равновесии и в новом положении, являющееся устойчивым; неустойчивым – когда тело при малом отклонении не возвращается в исходное положение, а удаляется от него. Простейшая иллюстрация этих понятий изображена на рис. 13.1. Равновесие шарика, лежащего на дне вогнутой сферы (рис. 13.1, а), является устойчивым, на плоскости (рис. 13.1, б) – безразличным, на вершине выпуклой сферы (рис. 13.1, в) – неустойчивым. а б в Рис. 13.1 Рассмотренный пример об устойчивости положения шарика относится к задачам механики абсолютно твердого тела, в которых вид равновесия не зависит от значения действующих на тело сил. В механике деформируемого твердого тела вид равновесия зависит от величины приложенной к телу нагрузки. При этом решается задача об устойчивости формы упругого равновесия. Рассмотрим равновесие прямого гибкого стержня, нагруженного центрально приложенной сжимающей силой F (рис. 13.2). В зависимости от величины силы стержень может иметь прямолинейную или искривленную формы равновесия. 367 а б в Рис. 13.2 Пока величина силы F меньше некоторого критического значения Fcr , стержень сохраняет исходную прямолинейную форму равновесия (рис. 13.2, а). Если верхний конец слегка отклонить, а затем отпустить, то после ряда колебаний стержень возвратится в первоначальное прямолинейное состояние. Таким образом, при F < Fcr прямолинейная форма равновесия стержня является устойчивой. Когда сила достигнет критического значения F = Fcr , стержень придет в состояние безразличного равновесия. Если теперь слегка отклонить стержень, а затем отпустить его, то он останется в изогнутом состоянии (штриховая линия на рис. 13.2, б). Таким образом, при F = Fcr прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой. Происходит раздвоение (бифуркация) форм равновесия, т.е. наряду с прямолинейной возможна промежуточная искривленная форма равновесия. При F > Fcr условие равновесия нарушается, что приводит к потере устойчивости стержнем. Наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой и заменяется другой (изгибной) формой равновесия, называется критической силой. На практике неустойчивые формы равновесия существовать не могут из-за неизбежного наличия факторов, которые способствуют начальному нарушению равновесной формы тела (начальная кривизна, внецентренность положения нагрузки). Поэтому описанный эксперимент носит воображаемый характер. Продольный изгиб. Потеря устойчивости Приложение к стержню продольной силы, даже незначительно превышающей Fcr , приводит к потере устойчивости первоначальной прямолинейной формы 368 равновесия, а стержень изгибается. Это явление называется продольным изгибом (рис. 13.2, в). Появление продольного изгиба опасно тем, что происходит очень быстрое нарастание прогиба, и стержень теряет устойчивость. Это приводит, как правило, к разрушению конструкции либо к появлению недопустимых пластических деформаций, что делает стержень непригодным к работе. Опасность потери устойчивости особенно велика для тонкостенных элементов конструкций типа стержней, пластин и оболочек. Потеря устойчивости сжатых элементов − наиболее часто встречающаяся причина обрушений инженерных сооружений. Особенно опасный характер придает разрушениям их внезапность. В курсе сопротивления материалов рассматривается только одна задача об устойчивости прямолинейных сжатых стержней. Более сложные случаи рассматриваются в специальном курсе «Устойчивость». Для обеспечения безопасности конструкций и сооружений необходимо, чтобы удовлетворялось условие устойчивости: F≤ Fcr , K (13.1) где F – рабочая нагрузка, Fcr – критическая нагрузка, К – коэффициент запаса по устойчивости, который зависит от назначения стержня и его материала. Так, для стальных стержней принимают K = 1 ,5 ÷ 3 ; для чугунных K = 5 ; для деревянных K = 3 . Таким образом, при расчете на устойчивость критическая нагрузка подобна разрушающей нагрузке при расчете на прочность. Важно подчеркнуть, что потеря устойчивости может произойти при напряжениях, значительно меньших тех, которые допустимы с точки зрения прочности конструкции. На рис. 13.3 показаны случаи потери устойчивости различными упругими системами. а б в Рис. 13.3 369 На раму (рис. 13.3, а) действуют силы, которые вызывают центральное сжатие в стойках. Как только силы F превысят Fcr , рама мгновенно изогнется, узлы сместятся в сторону, произойдет потеря устойчивости. Кольцо (рис. 13.3, б), находящееся под действием равномерного внешнего давления, при потере устойчивости превращается в эллипс. Балка (рис. 13.3, в), работающая на изгиб в вертикальной плоскости, при потере устойчивости плоской формы изгиба испытывает дополнительный изгиб в горизонтальной плоскости и кручение. Формула Эйлера для критической силы центрально сжатого стержня Постановка задачи. Определить критическую силу для центрально сжатого стержня, шарнирно опертого по концам (рис. 13.4), при которой возможно равновесие стержня с изогнутой осью. Л. Эйлер рассмотрел эту задачу при малых деформациях и при условии, что в стержне отсутствуют начальные несовершенства, т.е. его ось – прямая линия, а материал однородный. Предположим, что напряжения изгиба в результате действия Fcr не превышают предела пропорциональности σ ПЦ , т.е. материал следует закону Гука. При малых прогибах справедливо приближенное уравнение упругой линии 1 d 2v M . (13.2) ≈ = ρ d z2 E J Рис. 13.4 Абсолютное значение изгибающего момента в произвольном сечении стержня M = F ⋅ ν , тогда дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня имеет вид d 2v Fv = − (13.3) . d z2 EJ Знак «минус» поставлен потому, что независимо от выбора положительно1 го направления оси Оу знаки кривизны и прогиба ν будут противопоρ ложны. Введя обозначение F = k2, EJ представим уравнение (13.3) в виде (13.4) 370 v' '+ k 2 v = 0. (13.5) Интеграл дифференциального уравнения (13.5) имеет вид v = C sin kz + D cos kz . (13.6) Произвольные постоянные C и D определяются из граничных условий: при z = 0 , ν = 0 ; при z = l , ν = 0 . Из первого условия следует, что D = 0 . Тогда уравнение оси изогнутого стержня (13.6) примет вид v = C sin kz. (13.7) Используя второе граничное условие, получим C sin kl = 0. (13.8) Из этого равенства следует, что либо C = 0 , либо sin kl = 0 . В случае, если C = 0 , прогибы во всех сечениях стержня равны нулю, что противоречит исходному предположению задачи. Во втором случае из равенства sin kl = 0 получим nπ k l = n π, или k = , (13.9) l где n = 1 , 2 , 3 , ... Тогда из выражения (13.4) с учетом (13.9) получим формулу для сжимающей силы: n 2 π2 E J F= . (13.10) l2 Как видно из формулы 13.10, в зависимости от величины числа n сжимающая сила F, при которой возникает криволинейная форма равновесия стержня, может принимать целый ряд значений. Для инженерных расчетов практический интерес представляет наименьшее значение силы. Полагая, что, n = 1 и имея в виду, что продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жесткости, получим формулу π2 E J min Fcr = . l2 (13.11) 371 Формула (13.11) впервые была получена в 1744 г. выдающимся математиком Леонардо Эйлером и называется формулой Эйлера. Подставив (13.9) в (13.7), имеем v = C sin а nπ ⋅ z. l б (13.12) в Рис. 13.5 Таким образом, стержень изгибается по n полуволнам синусоиды (рис. 13.5), где С – амплитуда синусоиды (наибольший прогиб), которая оказывается неопределенной, что является следствием использования приближенного уравнения (13.2). Критической силе ( n = 1 ) соответствует синусоида с одной полуволной (рис. 13.5, а). Все формы равновесия (рис 13.5, б, в), кроме n = 1 , неустойчивы. Но они могут быть реализованы, если в точках перегиба упругой линии В и В’ поставлены дополнительные шарнирные опоры. Влияние способов закрепления стержня на величину критической силы Формула Эйлера (13.11) получена для стержня, шарнирно опертого по концам. Для других случаев закрепления концов необходимо проводить расчеты аналогично тому, как это было сделано выше. Результаты показывают, что во всех случаях (рис. 13.6) критическую силу можно определять по обобщенной формуле π2 E J Fcr = , (13.13) (μ l) 2 372 где μ – коэффициент приведения, зависящий от способа закрепления концов стержня; l – фактическая длина; l 0 = μ ⋅ l 0 – приведенная длина стержня. Длина ( l 0 = μ ⋅ l ) представляет собой длину полуволны между точками перегиба В и В’ изогнутой оси стержня, в которых изгибающие моменты равны нулю. Во всех случаях значение коэффициента приведения μ определяется путем простого сопоставления изогнутого стержня с длиной полуволны синусоиды при шарнирном закреплении (рис. 13.6, а). • Консольный стержень длиной l (рис. 13.6, б) можно рассматривать как половину воображаемого шарнирно опертого по концам стержня длиной l 0 = 2 ⋅ l , т.е. μ = 2 . а б в г д Рис. 13.6 • Для стержня (рис. 13.6, в) длина полуволны составляет l 0 = 0,7 ⋅ l , т.е. μ = 0,7 . • Для стержня с двумя защемлениями (рис. 13.6, г) длина полуволны между точками перегиба составляет половину длины стержня, т.е. l 0 = 0,5 ⋅ l , и μ = 0,5 . Заметим, что верхний конец стержня защемлен по отношению к изгибным деформациям, но свободно смещается в вертикальном направлении (скользит по направляющим). Итак, коэффициент μ может быть найден исходя из геометрических аналогий. Если концы стержня закреплены так, что приведенная длина l 0 оказывается одинаковой для обеих главных плоскостей, то при вычислении Fcr следует брать наименьший момент инерции поперечного сечения (см. формулу 13.11). 373 Если же закрепление концов стержня в плоскостях xOz и yOz таково, что коэффициенты приведенной длины различны и равны μ1 и μ 2 , то критическая сила определяется как меньшая из двух возможных в главных плоскостях: π2 E J y π2 E J x F1 = и F2 = . (13.14) (μ1l) 2 (μ 2 l) 2 Критическое напряжение. Гибкость стержня. Пределы применимости формулы Эйлера Нормальное напряжение σ cr в поперечном сечении сжатого стержня, вызываемое критической силой называется критическим напряжением. С учетом выражения (13.13) π2 E π2 E J Fcr = σcr = = 2 , A (μ l) 2 A ⎛ μ l ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ i ⎠ где i = (13.15) J A − радиус инерции поперечного сечения. Введем обозначение λ= μ⋅l i (13.16) где λ – гибкость стержня, безразмерная геометрическая характеристика, определяемая размерами стержня и способом его закрепления. Окончательно формула для критического напряжения выглядит так π2 E σcr = 2 . λ (13.17) При выводе формулы Эйлера была использована зависимость (13.2), полученная на основе закона Гука. Отсюда следует, что формула Эйлера справедлива лишь в пределах применимости закона Гука, т.е. при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня: π2 E σ cr = 2 ≤ σ пц . (13.18) λ Отсюда значение гибкости, которое соответствует этому условию, составляет: λ ≥ π E σ пц . (13.19) 374 Величину, стоящую в правой части этого неравенства, обозначим и назовем предельной гибкостью: λ пред = π E σ пц . (13.20) Предельная гибкость зависит только от механических свойств материала и имеет постоянное значение. Для стали марки ВСт3 при E = 2,06 ⋅ 105 МПа и σ пц = 200 ÷ 210 МПа по формуле (13.20) находим по λ пред ≈ 100 ; для древесины сосны и ели (при E = 10 ГПа и σ пц = 20 МПа) λ пред =70. Тогда условие применимости формулы Эйлера имеет вид λ ≥ λ пред , (13.21) т.е. формула Эйлера применима только к упругим стержням, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости для материала, из которого он изготовлен. Стержни, для которых выполняется условие (13.21) называются стержнями большой гибкости. Понятие о потери устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности. Формула Ясинского Формула Эйлера применима при λ ≥ λ пред , т.е. только в случае упругих стержней. Для стержней с гибкостью меньше предельной λ пред , она дает завышенные значения критической силы. Поэтому использование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом упругости, является недопустимым. Теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности сложно, поэтому обычно пользуются эмпирическими формулами, полученными в результате обработки большого количества опытных данных. Наиболее простой является линейная зависимость, предложенная в начале ХХ века немецким ученым Л. Тетмаером и независимо от него профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинским: σ cr = a − b ⋅ λ (13.22) где a и b – эмпирические коэффициенты, зависящие от материала стержня и имеющие размерность напряжения. Например, для стали марки Ст3 их значения таковы: a = 310 МПа, b = 1,14 МПа. Для чугуна пользуются параболической зависимостью σ cr = a − bλ + cλ2 . 375 Соответствующая критическая сила по формуле Ясинского находится так: (13.23) Fcr = A(a − b ⋅ λ) . Условие применимости формулы Ясинского Формулой Ясинского (13.22) можно пользоваться при условии, что значение σcr , вычисленное по этой формуле, не превышает предела σ т текучести для пластичного материала и предел σ ВС прочности при сжатии для хрупкого материала. Обозначим в формуле (13.22) через λ 0 значение гибкости, при котором σ cr = σ т для пластичного материала и σ cr = σ ВС для хрупкого материала. Тогда условие применимости формулы Ясинского можно записать в виде λ 0 ≤ λ < λ пред . (13.24) Стержни, для которых выполняется условие (13.24), называются стержнями средней гибкости. Для стали марки ВСт3 с параметрами σ пц = 200 МПа, σ т = 240 МПа по формуле (13.22) получим λ 0 ≈ 60 . Стержни, у которых λ < λ 0 , называются стержнями малой гибкости. Они могут разрушиться не в результате потери устойчивости, а при центральном сжатии. Для них критическое напряжение считается постоянным: σ cr = σ т , или σ cr = σ ВС . Диаграмма критических напряжений В зависимости от гибкости сжатые стержни делятся на три категории: Стержни большой гибкости ( λ ≥ λ пред ), для которых расчет ве1. дется по формуле Эйлера (см. формулы 13.13 и 13.17). В системе координат π2 E σ cr − λ зависимость σ cr = 2 может быть представлена гиперболической криλ вой. Стержни средней гибкости ( λ 0 ≤ λ ≤ λ пред ) рассчитываются на ус2. тойчивость по эмпирической формуле Ясинского (13.22). Для них зависимость линейна: σ cr = a − b ⋅ λ . 3. Стержни малой гибкости ( λ < λ 0 ) рассчитываются не на устойчивость, а на прочность. Для них значение σ cr постоянно ( σ т или σ ВС ). На рис. 13.7 показана диаграмма зависимости критических напряжений от гибкости сжатого стержня для стали Ст3, которая состоит из трех частей: гиперболы Эйлера АВ при λ ≥ 100 ; наклонной прямой Ясинского ВС при 60 ≤ λ < 100 ; 376 - горизонтальной прямой CD при λ 0 < 60 . σт σпц σт Рис. 13.7 График показывает, что по мере возрастания гибкости критическое напряжение стремится к нулю. При гибкости λ > 100 стержень теряет устойчивость в упругой стадии. Для значений λ < 100 пунктирной линией показано продолжение гиперболы Эйлера в области ее неприменимости (за пределом упругости). Из графика видно, что для стержней средней и малой гибкости формула Эйлера дает сильно завышенные значения критических напряжений. При гибкости 60 < λ < 100 стержень теряет устойчивость в упругопластической стадии (наклонная прямая ВС). Горизонтальная прямая CD соответствует напряжению, равному пределу текучести. Применение формул Эйлера и Ясинского позволяет решать задачи устойчивости сжатых стержней на всем интервале значений гибкостей, которые встречаются на практике. Тема 13.2 Расчёты на устойчивость Расчёт стержней на продольный изгиб Расчеты стержней на устойчивость рассмотрим на примерах. Пример 13.1. Стальной стержень круглого трубчатого сечения D = 10 см и d = 7 см при длине l = 3,2 м имеет шарнирно закрепленные концы (рис. 13.8). Определить величину допускаемого сжимающего усилия F, если требуемый коэффициент запаса устойчивости K = 3 . Материал стержня – сталь марки ВСт3 с пределом пропорциональности σ пц = 210 МПа и модулем упругости E = 2 ⋅105 МПа. 377 Решение. Величину допускаемой силы F найдем исходя из условия F устойчивости (13.1) F ≤ cr , предварительно вычислив K критическую силу Fcr , формулу для которой выберем в зависимости от гибкости стержня. Порядок расчета 1. Определяем геометрические характеристики поперечного сечения стержня: - площадь сечения: πD 2 π⋅ 10 2 2 (1 − α ) = (1 − 0,7 2 ) = 40 см 2 , где α = d . А= D 4 4 - осевой момент инерции сечения относительно любой оси J= 4 πD 4 (1 − α 4 ) = π ⋅ 10 (1 − 0,7 4 ) = 373 см 4 . 64 64 Рис. 13.8 - радиус инерции сечения i= J 373 = = 3,05 см. A 40 2. Устанавливаем гибкость стержня и выбираем формулу для критической силы. μ ⋅ l 1 ⋅ 320 λ= = = 105 . i 3,05 Предельная гибкость для материала стержня λ пред = π E 2,1 ⋅10 5 = 3,14 = 100. σ пц 210 Т. к. λ = 105 > λ пред = 100 , то следует взять формулу Эйлера. 3. Находим величину критической силы Fcr = π 2 E J 3,14 2 ⋅ 2,1 ⋅ 1011 ⋅ 373 ⋅ 10 −8 = = 754 кН. (μ ⋅ l) 2 (1 ⋅ 3,2) 2 378 4. Вычисляем значение допускаемой силы: F≤ Fcr 754 = = 251 кН. К 3 Ответ: Допускаемое значение сжимающей силы F ≤ 251 кН. Пример 13.2. Двутавровый стержень № 14, имеющий длину l = 1,8 м, нагружен продольной сжимающей силой F = 200 кН. Один конец стержня оперт шарнирно, другой защемлен (рис. 13.9). Определить величину коэффициента запаса устойчивости К. Материал стержня − сталь; предельная гибкость λ пред = 100 , коэффициенты a = 310 МПа, b = 1,14 МПа. Решение Величину коэффициента запаса устойчивости найF дем, используя условие устойчивости F ≤ cr по K F формуле K = cr , предварительно вычислив значеF ние критической силы Fcr , формулу для которой выберем в зависимости от гибкости стержня. Рис. 13.9 Порядок расчета 1. Определим геометрические характеристики поперечного сечения. Из сортамента прокатной стали для двутавра № 14 имеем: A = 17,4 см2; ix = 5,73 см; i y = 1,55 см. Очевидно, что потеря устойчивости произойдет в плоскости наименьшей жесткости, поэтому при вычислении гибкости следует взять imin = iy . Гибкость стержня: λ= μ ⋅ l 0,7 ⋅ 180 = = 81,3. imin 1,55 2. Найдём критическую силу. Гибкость стержня λ = 81,3 < λ пред = 100 , поэтому воспользуемся эмпирической формулой Ясинского: Fcr = A (a − bλ )17,4 ⋅ 10 −4 (310 − 1,14 ⋅ 81,3) ⋅ 10 6 = 378 кН. 3. Найдем величину коэффициента запаса устойчивости: 379 K= Fcr 378 = = 1,89. F 200 Ответ: Коэффициент запаса устойчивости стержня K = 1,89 , что находится в пределах рекомендуемых значений. Принципы рационального проектирования сжатых стержней В основе рационального проектирования сжатых стержней лежат два принципа: равноустойчивость и экономичность. Для обеспечения равноустойчивости сжатого стержня необходимо, чтобы гибкости в главных плоскостях были равны, т.е. λx = λy . (13.25) Для этого при проектировании сечений стержней нужно стремиться к равенству главных моментов инерции: J max ≈ J min (или imax ≈ imin ). Нерационально применять такие формы сечений, у которых максимальный и минимальный моменты инерции значительно отличаются друг от друга (например, прямоугольное, двутавровое). Однако, для стержней подобных сечений можно добиться равноустойчивости в главных плоскостях λ x ≈ λ y , если их по-разному закрепить в этих плоскостях (рис. 13.10). Исходя из условия (13.25) можно найти рациональное соотношение между радиусами инерции и размерами сечения ix μ y = , iy μ x (13.26) где μ x и μ y – коэффициенты приведения длины в плоскостях xOz и yOz. Например, для стойки (рис. 13.10) ix μ y 2 = = = 2,86 . i y μ x 0,7 380 Рис. 13.10 Для прямоугольного сечения радиусы инерции ix = Jx h = ; A 12 iy = ix = Jx h ; = A 12 iy = Jx b = ; A 12 Jy A = b . 12 ix h = = 2,86, тогда рациональное соотношение между размерами iy b таково: h = 2,86 b . С позиции затрат материала (экономический фактор) сечение тем оптимальнее, чем больше его минимальный момент инерции J min (или imin ) при одной и той же площади А. Этого можно добиться концентрацией материала по периферии сечения, т.е. проектируя сечение полым. Указанным требованиям (равноустойчивости и экономичности) удовлетворяет тонкостенное трубчатое сечение, а также коробчатые тонкостенные сечения. Однако при проектировании необходимо предусмотреть постановку диафрагм (ребер жесткости), которые препятствуют короблению стенок. Полые сечения рационально компоновать из прокатных профилей (рис. 13.11) и полосовой стали, соединяемых по всей длине сваркой. В этих случаях хотя и не удается в точности выдержать условие (13.25), тем не менее при рациональном расположении сечения добиваются более оптимального экономичного решения. Поэтому 381 б а Рис. 13.11 Расчеты на устойчивость по коэффициенту уменьшения допускаемых напряжений При расчете сжатых стержней на прочность требовалось выполнение условия F (13.27) σ = ≤ [σ] A При потере устойчивости сжатого стержня напряжения в его поперечных сечениях становятся равными критическим. Поэтому необходимо ввести в расчет коэффициент запаса устойчивости К по отношению к критическим напряжениям, тогда условие устойчивости таково: σ= F σ cr ≤ . A K (13.28) Коэффициент запаса устойчивости принимается несколько большим коэффициента запаса прочности. Это объясняется невозможностью точного учета случайных факторов, снижающих величину критической силы (эксцентриситеты, начальная кривизна стержня). Возьмем отношение правых частей выражений (13.27) и (13.28) и обозначим через ϕ : σ ϕ = cr . K [σ] Отсюда σ cr = ϕ ⋅ [σ] . K (13.29) 382 Тогда с учетом (13.29) условие устойчивости при расчете по методу предельных состояний таково: σ= F ≤ ϕ ⋅ R ⋅ γc . A (13.30) где ϕ – коэффициент, уменьшающий расчетное сопротивление материала сжатию R и называемый коэффициентом продольного изгиба. Он всегда меньше единицы и зависит от материала и гибкости стержня. Значения ϕ приводятся в виде таблиц в нормах проектирования (СНиП). В табл. 13.1 приведены значения коэффициента ϕ для стали. Условие (13.30) позволяет производить три вида расчета аналогичные расчетам на прочность: П 1. роверка устойчивости выполняется непосредственно по формуле (13.30) при известных величинах сжимающей нагрузки, расчетного сопротивления материала R, площади сечения А, длины стержня l и способах его закрепления, благодаря чему определяется гибкость λ и, по табл. 13.1, коэффициент ϕ . 2. О пределение несущей способности проводится по известным размерам сечения стержня, его длине, способам закрепления и расчетному сопротивлению материала: F ≤ ϕ ⋅ R ⋅ γ c ⋅ A. (13.31) 3. П одбор сечения осуществляется по заданной нагрузке, расчетному сопротивлению материала R, известной длине стержня, способам закрепления его концов и выбранной форме поперечного сечения: A≥ F . ϕ ⋅ R ⋅ γc (13.32) В это неравенство входят две неизвестные А и ϕ , которые нельзя выразить одну через другую. Поэтому подбор выполняется методом последовательных приближений. При этом задаются величиной коэффициента φ. Обычно в первом приближении принимают ϕ = 0,5 ÷ 0,6 и находят площадь сечения А по формуле (13.32), затем радиус инерции i, гибкость стержня λ и соответствующее ей действительное значение ϕ′ (по табл. 13.2). Если вели1 1 чины ϕ1 и ϕ существенно отличаются друг от друга, то существенно будут отличаться действительное напряжение в стойке σ = F A и допускаемое ' 1 383 R ⋅ ϕ′ . Поэтому расчет нужно продолжить. Во втором приближении принимают ϕ +ϕ ' ϕ = . (13.33) 2 1 1 1 2 Последующие приближения делают аналогично. Сечение считают подобранным удовлетворительно, если σ и R ⋅ ϕ′ отличаются не более, чем на 5%. Если в состав сечения входит прокатный профиль, то сходимость обычно имеет место лишь на первых итерациях. Затем, в виду дискретности сортаментного набора, наступает этап скачкообразных изменений, поэтому на заключительных стадиях подбора сечения необходимо осуществить проверку устойчивости для некоторых ближайших прокатных профилей. В этом случае недонапряжение может оказаться и более 5%. Таблица 13.1 Коэффициенты ϕ продольного изгиба центрально сжатых стержней по СНиП 11-23-81 Сталь с расчетным Сталь с расчетным Гибкость Гибкость сопротивлением сопротивлением λ λ R = 200 МПа R = 200 МПа 10 0,988 120 0,479 20 0,967 130 0,425 30 0,939 140 0,376 40 0,906 150 0,328 50 0,869 160 0,290 60 0,827 170 0,259 70 0,782 180 0,233 80 0,734 190 0,210 90 0,665 200 0,191 100 0,599 210 0,174 110 0,537 220 0,160 Пример 13.3. Стальной стержень коробчатого сечения (рис. 13.12), имеющий длину l = 4,5 м, сжат продольной силой F = 200 кН. Определить размер b поперечного сечения стержня. Расчет вести с помощью коэффициента продольного изгиба ϕ . Расчетное сопротивление материала R = 210 МПа, коэффициент условий работы γ c = 0,9 . 384 Решение Запишем условие устойчивости: σ= F ≤ ϕ ⋅ R ⋅ γc , A откуда необходимая площадь поперечного сечения стержня равна F A≥ . ϕ ⋅ R ⋅ γc В этой формуле две неизвестных величины – площадь сечения А и коэффициент продольного изгиба ϕ . Поэтому решать задачу будем методом последовательных приближений, задаваясь величиной коэффициента ϕ . Порядок расчета 1. Выразим геометрические характеристики поперечного сечения и гибкость стержня через размер b. A = b 2 − (0,7 b) 2 = 0,51b 2 , Рис. 13.12 тогда размер сечения b = A . 0,51 Момент инерции и радиус инерции относительно главных осей: b 4 (0,7 b) 4 J= − = 0,063b 4 , 12 12 i= JX 0,063b 4 = = 0,35 b . A 0,51b 2 μ ⋅ l 0,5 ⋅ 450 643 = = . i b 0,35 ⋅ b 2. Необходимую площадь сечения А и размер b найдем путем последовательных приближений. Первое приближение. Задаем ϕ1 = 0,5 , тогда Гибкость стержня: λ = 385 A1 ≥ F 200 ⋅ 10 3 = = 21,2 см 2 , 2 ϕ ⋅ R ⋅ γ c 0,5 ⋅ 210 ⋅ 10 ⋅ 0,9 A1 21,2 = = 6,44 см. 0,51 0,51 b1 = При этом гибкость стержня такова: λ1 = 643 643 = = 100 . b1 6,44 По табл. 13.1 для гибкости λ = 100 найдем ϕ′ = 0,599 . Коэффициенты ϕ и ϕ′ существенно отличаются друг от друга, следовательно, выбор неудачен. Действительно, расчетное напряжение в стержне: 1 1 1 σ= F 200 ⋅ 10 3 = = 94,3 МПа. A1 21,2 ⋅ 10 −4 Допускаемое напряжение на устойчивость: ϕ′ ⋅ R ⋅ γ c = 0,599 ⋅ 210 ⋅ 0,9 = 113,2 МПа. 1 Недогрузка составляет 113,2 − 94,3 ⋅ 100% = 16,7% > 5%, следовательно, нужно уменьшить площадь. 113,2 Второе приближение. Принимаем ϕ + ϕ′ 0,5 + 0,599 ϕ2 = = = 0,55. 2 2 1 1 200 ⋅ 10 3 Повторим расчет: A2 ≥ = 19,24 см 2 ; 2 0,55 ⋅ 210 ⋅ 10 ⋅ 0,9 b2 = A2 19,24 = = 6,14 см. 0,51 0,51 643 = 104,7. 6,14 Используя линейную интерполяцию, по табл. 13.2 находим, что Гибкость стержня равна λ 2 = 386 ϕ′ = 0,599 − 2 0,599 − 0,537 ⋅ (104,7 − 100) = 0,569. 10 Проверим выполнение условия устойчивости: 200 ⋅ 10 3 σ= = 104 МПа < ϕ′2 ⋅ R ⋅ γ c = 0,569 ⋅ 210 ⋅ 0,9 = 107,5МПа. 19,24 ⋅ 10 −4 Условие устойчивости выполняется, недогрузка составляет 3,3%. Ответ: окончательно принимаем площадь сечения A = 19,24 см2 и размер b = 6,14 см. Тема 13.3 Продольно-поперечный изгиб Рассмотрим нагружение прямого стержня продольной силой и системой поперечных сил. Такой вид нагружения принято называть продольнопоперечным изгибом. При составлении дифференциального уравнения упругой линии изгибающий момент может рассматриваться как сумма момента поперечных сил M П и момента продольной силы Py . При этом, поскольку прогибы считаются малыми, момент M П зависит в явном виде только от z и не зависит ни от y , ни от продольной силы P : EJy ′′ = − Py + M П . (13.34) Дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид y ′′ + k 2 y = MП , EJ (13.35) откуда y = C1 sin kz + C2 cos kz + y ∗ , где y ∗ – частное решение уравнения (13.35), зависящее от функции M П , т.е. от вида поперечной нагрузки. 387 Рис. 13.13 Например, для двухопорной равномерно загруженной балки (рис. 13.13) имеем ql qz 2 EJy ′′ = z − − Py . 2 2 Тогда q q ⎛ 2 ⎞ + lz − z 2 ⎟ y ′′ + k 2 y = (lz − z 2 ) , y ∗ = 2 ⎜ 2 2 EJ 2 EJk ⎝ k ⎠ и, следовательно, q ⎛ 2 ⎞ y = C1 sin kz + C2 cos kz + + lz − z 2 ⎟ . 2 ⎜ 2 2 EJk ⎝ k ⎠ Постоянные C1 и C2 подбираются с таким расчетом, чтобы прогиб y при z = 0 и z = l обращался в нуль. В итоге sin kz q ⎡ k2 ⎤ − (1 − cos kl ) + 1 − cos kz + (lz − z 2 )⎥ . y= 4 ⎢ sin kl 2 EJk ⎣ ⎦ Изгибающий момент M = EJy ′′ = q k2 sin kz ⎡ ⎤ ⎢⎣(1 − cos kl ) sin kl + cos kz − 1⎥⎦ . Наибольший изгибающий момент имеет место при z = M max = q 1 − cos(kl / 2) . k 2 cos(kl / 2) l : 2 (13.36) 388 Контрольные вопросы к разделу 13 1. Дайте определение критического состояния системы. 2. Что такое потеря устойчивости системы? 3. Какие величины внешних сил называются критическими? 4. В чем заключается суть задачи Эйлера? 5. Какие закономерности обнаруживаются между различными формами потери устойчивости систем? 6. Зависит ли величина критических значений внешних сил от характера закрепления стержня? 7. От каких факторов зависит гибкость стержней? 8. Назовите пределы применимости формулы Эйлера. 9. В каких случаях используется формула Ясинского? 10. Поясните алгоритм расчета на устойчивость по коэффициенту уменьшения допускаемых напряжений. 11. Назовите основные принципы рационального проектирования сжатых стержней. 12. Какой вид нагружения называется продольно-поперечным изгибом? 389 Раздел 14 Осесимметричные задачи прочности Тема 14.1 Расчет тонкостенных осесимметричных оболочек Геометрия оболочек вращения К категории оболочек относятся элементы конструкций, у которых один из размеров, их толщина, значительно меньше двух других. В виде оболочек изготавливают, например, емкости для хранения нефтепродуктов, ресиверы для сжатого воздуха и газов. Распространение оболочек в технике – широкое. Обращаясь к расчетам оболочки, введем основные понятия: 1) Срединная поверхность – это геометрическое место точек, равноудаленных от внешней и внутренней поверхности. Для цилиндра радиус срединной поверхности R1 равен среднеарифметическому значению радиусов внешней и внутренней поверхности: R1=(Rвнешн..+Rвнутр.)/2 Оболочки будем называть осесимметричными, если срединные 2) поверхности являются поверхностями вращения. Примеры: параболическая (рис.14.1), сферическая, цилиндрическая и коническая оболочки. dS1 dS 2 Рис. 14.1. Парабалоид с указанием главных кривизн и дуг dS1 и dS2 на бесконечно малом участке 3) Радиусы главных кривизн – это два радиуса в двух ортогональных сечениях оболочки, когда один из них – максимальный, другой – минимальный. Для цилиндра R1=R, R2=∞, а для среды R1= R2=R. 4) Два главных напряжения σ1 и σ2 будем называть окружным и меридиальным. Третьим главным напряжением, действующим по нормали к срединной поверхности, пренебрегаем, поскольку оно намного меньше двух других, по крайней мере, на порядок. 390 Универсальное уравнение для расчета напряжений Точность инженерных расчетов напряжений достаточная, если положить, что толщина стенки оболочки много меньше радиусов кривизн, и стенка не работает на изгиб. Напряжения σ1 и σ2 не меняются по толщине оболочки. В задаче о напряжениях можно обойтись уравнениями равновесия. Универсальным уравнением для оболочек различной конфигурации является уравнение в проекциях всех сил на нормальную ось Z, действующих на элементарном участке оболочки (рис. 14.2). Силы здесь подставлены как произведения внутреннего давления q, напряжений σ1, σ2 на соответствующую площадь поверхности. Итак, ΣF=0, qdS1 dS2 – 2σ1hdS2sin dα 2 – 2σ2dS1sin dβ 2 =0. (14.1) dα dα dβ dβ ≈ , sin ≈ , то уравнение (14.1) 2 2 2 2 после преобразования приводится к виду Поскольку dS=R1dα, dS2=R1dα, sin σ1 σ 2 q = . = R1 R2 h (14.2) Это уравнение было предложено известным математиком и физиком Лапласом и носит его имя. o1 hdS 2 o2hdS1 dS1 z qdS1dS2 o 2hdS1 dS 2 h R1 d d o1 hdS 2 R2 Рис. 14 2. Силы на элементарном участке оболочки Перейдем к конкретным примерам расчета напряжений в оболочках. 391 Примеры расчета напряжений в оболочках Сферическая оболочка Радиусы главных кривизн в этом случае – одинаковые и равны радиусу кривизны сферы: R1=R2=R. Также очевидно, что равны между собой напряжения σ1 и σ2. Уравнение Лапласа приобретает вид σ1 σ 1 q + = R R h (14.3) Отсюда qR 2h σ1 = σ 2 = (14.4) Имея в виду, что третье главное напряжение σ3=0, запишем условие прочности по гипотезе наибольших касательных напряжений: qR σэкв.= σ1 – σ2 = 2h ≤ [σ] (14.5) По энергетической гипотезе тот же результат: σ экв. = qR 1 [(σ1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ1 ) 2 ] = ≤ [σ]. 2 2h (14.6) Цилиндрическая оболочка Подстановка значений радиусов главных кривизн (R1=R, R2=∞) в уравнение Лапласа (14.2) приводит к выражению: σ1 R + σ2 ∞ = q h . (14.7) Отсюда σ1 = qR h , (14.8) поскольку σ2/∞ = 0. Для поиска второго главного напряжения σ2 составим дополнительное уравнение равновесия для отсеченной части оболочки (рис. 14.3). 392 R1 h q o1 o2 o2 o1 o2 q Рис. 14.3. Геометрия и напряжения в цилиндрической оболочке Напрашивается уравнение в проекциях всех сил на продольную ось оболочки: –qπR2 + σ2h · 2πR = 0, (14.9) где первая величина – сила, действующая на днище, а πR2 - площадь днища; вторая величина – сила, соответствующая напряжению σ2 , а h·2πR – площадь поперечного сечения. Из уравнения (14.9) следует: qR σ2 = (14.10) 2h Условие прочности по гипотезе наибольших касательных напряжений имеет вид σэкв.= σ1 – σ3 = qR h ≤ [σ], (14.11) где σ3 = 0. По энергетической гипотезе получаем другой результат: σ экв. = 1 2 [(σ1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ1 ) 2 ] = 3qR 2h ≤ [σ] (14.12) 393 R1 l o2 z sin 2 q 2 o2 q z Рис. 14.4. Геометрия и напряжения в конической оболочке Значения σ1 и σ2 зависимы от удаления сечения от вершины конуса. Вводя координату Z сечения, находим γ R1 =ztg , R2 =∞. 2 (14.13) Подготовка R1 и R2 в уравнение Лапласа приводит к выражению: σ1 γ Rtg 2 + σ2 q = . ∞ h (14.14) Опять же, имея в виду, что σ2/∞ =0, получаем: qRtg σ1 = h γ 2. (14.15) Для поиска σ2 необходимо дополнительное уравнение равновесия. Напрашивается уравнение в проекциях всех сил на ось конуса: γ γ γ –q·π(zsin )2+σ2h·2πz·sin cos =0, 2 2 2 (14.16) 394 где первая величина – вертикальная составляющая силы от давления q, а γ γ zsin – радиус круга в поперечном сечении; а 2πzsin – длина окружности в 2 2 сечении с координатой z. Выражаем σ2 из уравнения (14.16) : qztg σ2= 2h γ 2. (14.17) Опасная зона располагается в сечении при z=l: qltg σ1,max = h γ 2, σ 2,max= qltg h γ 2. (14.18) Условие прочности по гипотезе наибольших касательных напряжений имеет вид: (при σ3=0) qltg σэкв = σ1–σ3 = h γ 2 ≤ [σ]. (14.19) По энергетической теории гипотезе: σэкв= 1 [(σ1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ1 ) 2 ] = 2 3qltg 2h γ 2 (14.20) Результаты вычислений σэкв по двум популярным гипотезам для цилиндрической и конической оболочек отличаются на 30%. Прогибы оболочек Расчет прогиба рассмотрим на примере цилиндрической оболочки. Обратимся к рис. 14.5, где сплошной прерывистой линией показаны сечения срединной поверхности в исходном и деформированном состоянии. Через w обозначен прогиб; а соответствующая ему деформация волокон в окружном направлении может быть найдена как отношение приращения длины к первоначальной длине: 395 2π( R + w ) − 2πR w = . R 2πR (14.21) R ε1= q w Рис. 14.5. Поперечные сечения срединной поверхности цилиндрической оболочки в исходном и деформированном состоянии С другой стороны ε1 связана с напряжениями σ1 и σ2. Пусть оболочка закреплена между двумя неподвижными стенками, тогда σ=0, а σ1–Еε1. Отсюда ε1= σ1 Е = qR . Eh (14.22) Приравнивая правые части формул (14.20) и (14.22), получаем: qR 2 . w= Eh R w (14.23) 1 Рис. 14.6. Продольный разрез срединной поверхности цилиндрической оболочки в исходном и деформированном состоянии 396 В защемленных торцах оболочки (рис. 14.6) w=0 и полную картину деформированного состояния раскрывает только моментная теория, которую не рассматриваем. Надо сказать, что использование приближенных формул для σ1, σ2 и w, полученных ранее, в практических расчетах, как правило, не вносит существенных напряженностей, поскольку только в узких зонах краевого эффекта типа 1 (рис. 14.6) могут развиваться пластические деформации. Оболочка в целом не теряет несущей способности. Вдали от этих зон вполне правомерны формулы для σ1,σ2 и w, получены по безмоментной теории. Тема 14.2 Расчет толстостенных цилиндров Основные уравнения толстенных цилиндров Цилиндр с радиусами R1 и R2 внутренней и внешней поверхностей подвергается воздействию внутреннего и внешнего давления q1, q2 (рис.14.7). Задача о напряжениях в окрестности точки А с координатой r- статически неопределимая и начнем с уравнения деформаций. Перемещения пограничных точек А и В бесконечно малого отрезка АВ длиной dr, ориентированного в радиальном направлении (рис.14.7), составляют u и u+du. Новая длина отрезка А1В1=(dr-u)+(u+du)=dr+du (14.24) Деформация εr есть отношение εr= А1 В1 − АВ АВ R1 = (dr + du ) − dr du или εr= dr dr R2 q1 q2 du u+ u A1 r A (14.25) B dr Рис.14.7. Толстостенный цилиндр и схема перемещений B1 397 Деформация в окружном направлении εt определяется через разность длин окружностей, проведенных через точки А и А1: εt= 2π(r + u ) − 2πr 2πr = u . r (14.26) Учитывая, что rεt=u, получаем: d ( rεt ) du d ( rε t ) = , или − ε r=0. dr dr dr (14.27) Здесь две неизвестные величины, поэтому составим второе уравнение в проекциях всех сил, действующих на бесконечно малый элемент трубы, на ось x (рис. 14.8): dα (σr+dσr)(r+dr)dα·dz – σrrdαdz – 2σtdr·dzsin =0 2 oz d x dz ot o r + do r or ot o z dr r Рис.14.8. Силы, действующие на малый элемент цилиндра. Поскольку sin dα dα ≈ , то после преобразований получаем: 2 2 d ( rσ r ) dr − σ t =0 (14.28) Подстановка εr, εt в уравнение (14.27) по формулам закона Гука εr= приводит к выражению σ σ σ σ r σt σ μ – μ z , εt= t − μ r – μ z E E E E E E (14.29) 398 d ( rσ t ) dr –μ d ( rσ r ) dr −μ d ( rσ z ) dr − σ r + μσ t + μσ z = 0. (14.30) Принимая во внимание, что d ( rσ r ) dt = σt , σz=const, преобразуем уравнение (14.30): d ( rσ t ) – σr=0. dr (14.31) Складывая и вычитая почленно уравнения (14.28) и (14.31), получаем: d [r (σ r + σ t )] dr d [(r (σ r − σ t )] − (σ r + σ t ) = 0, dr +(σr – σt)=0 (14.32) Поскольку d [r (σ r + σ t )] dr =(σr + σt)+r (σ r + σ t ) d [r (σ r − σ t )] d (σ r − σ t ) , =(σr – σt)+r , (14.33) dt dr dt то вместо (14.32) будут: d (σ r + σ t ) dr =0, d (σ r − σ t ) dr =– 2(σ r − σ t ). r (14.24) После интегрирования имеем: σr+σt=2A, σr–σt= 2В , r2 (14.25) где 2А и 2В – постоянные интегрирования. Из системы двух уравнений (14.25) следует: σr=А+ В В , σ . =A– t r2 r2 (14.26) 399 Постоянные А и В надлежит искать из граничных условий. Далее находим перемещение u из уравнения (14.26), подставив туда значение εt из уравнения (14.29), а напряжения – из формул (14.26): u= 1 1 [ A(1 − μ )r − B (1 + μ ) − μσ z r ] . E r (14.27) Расчет напряжений и перемещений в толстостенном цилиндре Цилиндр под воздействием внутреннего давления. Одна из важнейших для практики задач сводится к расчету гидроцилиндров в приводах машин. Здесь q1=q, q2=0, σz=0. Граничные условия: 1) при r=R1, σr=-q, 2) при r=R2 σr=0. Отсюда В В А+ 2 = –q, А+ 2 =0. (14.28) R1 R2 Неизвестные А и В определяются по формулам: А= qR12 , 2 В= – R22 − R1 qR12 R22 (14.29) R22 − R12 Итак, σr= – σt = qR12 R −R 2 2 2 1 [( qR12 R −R 2 2 2 1 [( R2 2 ) –1] r R2 2 ) +1] r (14.30) o t,max R2 or q q ot R1 Рис.14.9. Эпюры напряжений для цилиндра при внутреннем давлении 400 Эпюры σr и σt показаны на рис. 14.9. Окружное напряжение σt приобретает максимальное значение при r =R1: σt,max= q ( R22 + R12 ) R22 − R12 . (14.31) Формулы для перемещений можно получить подстановкой А и В в выражение (14.27): u= qR12 E ( R22 − R12 ) [(1 − μ )r = (1 + μ ) R22 r ] (14.32) В заключение обратимся к условию прочности. Надо сказать, что σ1=σt,max., σ2=0, σ3= – q. При этом по гипотезе наибольших касательных напряжений σэ=σ1–σ3= q ( R22 + R12 ) ( R22 − R12 ) +q. (14.33) Таким образом, σэ= 2qR22 R22 − R12 ≤ [σ]. (14.34) Цилиндр под действием внешнего давления В этом случае q1=0, q2=q, σz=0. В отличие от предыдущей задачи надо поменять местами R1 и R2 в граничных условиях для определения постоянных интегрирования А и В: 1) при r=R1 σr=0, 2) при r=R2 σr= – q. Нетрудно понять, что при этом поменяются местами R1 и R2 в конечных формулах для напряжений и перемещений: qR22 R1 2 σr= – 2 [1– ( ) ]; R2 − R12 r σt = – u= – qR22 R −R 2 2 2 1 [1+( qR22 Е ( R22 − R12 ) R1 2 ) ], r [(1 − μ )r + (1 + μ ) (14.35) R12 r ] 401 q or R1 R2 ot q o t,max Рис. 14.10. Эпюры напряжений для цилиндра при внешнем давлении Эпюры окружных σt и σr напряжений показаны на рис. 14.10. Максимальное по абсолютной величине окружное напряжение имеет место при r=R1: 2qR22 . (14.36) |σt,max|= 2 R2 − R12 Обращаясь к условию прочности, следует положить σ1=0, σ2=0, σ3= –|σt,max|. По гипотезе наибольших касательных напряжений σэ=σ1–σ3= 2qR22 R22 − R12 ≤ [σ]. (14.37) Расчет составных цилиндров Рассмотрим конструкцию, где цилиндр с радиусами R1 и R3, запрессован с натягом вовнутрь второго цилиндра. При этом внешний радиус второго цилиндра R2, а внутренний радиус меньше R3 на малую величину ∆ (рис. 14.11). Как показано на рис. 14.11, в и с, на внутренний цилиндр действует внешнее давление qk, а на внешний – внутренне давление той же величины. При этом сумма абсолютных величин перемещений в точках контакта составляет величину натяга ∆. Поскольку для внешнего цилиндра u2>0, а для внутреннего – u1<0, то u2 – u1=∆. (14.38) 402 R2 o t,2 R1 R3 or qê ot R1 R3 qê o t,1 a) b) R2 R3 qê c) Рис. 14.11 Составной цилиндр Заменяя в формуле (14.35) r и R2 на R3, находим: u1= − qk R32 E ( R32 − R12 ) [(1 − μ ) R3 +(1+ μ) R12 R3 ], (14.39) где qk – давление в зоне контакта цилиндров. Для перемещений u2 точек контакта, принадлежащих внешнему цилиндру, надо применить формулу перемещений в случае внутреннего давления. Итак, меняя в формуле (14.32) R1 и r на R3, получаем: u2= qk R32 E ( R22 − R32 ) [(1 − μ ) R3 + (1 + μ ) R22 R3 ]. (14.40) После подстановки u1 и u2 в уравнение (14.38) разрешим его относительно qk: 403 qk = ЕΔ( R32 − R12 )( R22 − R32 ) 2 R32 ( R22 − R12 ) (14.41) Далее определяются напряжения σ2 и σt по уже известным формулам. Для внутреннего цилиндра следует поменять R2 и R3 в формулах (14.35): 2 qk R32 ⎛R ⎞ σr= − 2 [1 − ⎜ 1 ⎟ ], 2 R3 − R1 ⎝ r ⎠ (14.42) 2 qR32 ⎛R ⎞ σt = 2 [1 + ⎜ 1 ⎟ ]. 2 R3 − R1 ⎝ r ⎠ Для внешнего цилиндра, который подвергается внутреннему давлению, подлежит замене R1 на R3: qk R32 2 ⎛R ⎞ σr= − 2 [⎜ 2 ⎟ − 1], 2 R2 − R3 ⎝ r ⎠ qk R32 (14.43) 2 ⎛ R2 ⎞ σt = − 2 [ ⎜ ⎟ + 1], R2 − R32 ⎝ r ⎠ Эпюры напряжений σr и σt показаны на рис. 14.11. Контрольные вопросы к разделу 14 1.Какие геометрические формы называются пластинами и оболочками? 2. Назовите универсальное уравнение для расчета напряжений в тонкостенных оболочках различной конфигурации 3. В чем состоят особенности расчета сферической оболочки? 4. Назовите основные уравнения, которые используются при расчетах толстостенных цилиндров? 5. Укажите положения опасных площадок, принадлежащих цилиндрическому телу при действии внутреннего и внешнего давления соответственно. 404 Список литературы 1. Александров, А.В. Сопротивление материалов. / А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин; Ред. А.В. Александров. Учебник – М.: Высшая школа, 2003. – 560 с. 2. Дарков, А.В. Сопротивление материалов. / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро. Учеб. для студентов втузов – М.: Высшая школа, 1989. – 622 с. 3. Богомаз, И.В. Сопротивление материалов. Часть I / И.В. Богомаз, В.В. Москвичев, Т.П. Мартынова. Учебник СМ, ч.1 (Гриф УМО) – Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов РФ по образованию в области строительства в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению 6535500 «Строительство». – Москва: Изд. АСВ, 2008. – 167с. 4. Богомаз, И.В. Сопротивление материалов. Часть II. / И.В. Богомаз, В.В. Москвичев, Т.П. Мартынова. Учебник СМ, ч.2 (Гриф УМО) - Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов РФ по образованию в области строительства в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению 6535500 «Строительство». – Москва: Изд. АСВ, 2008. – 187с. 5. Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов. / В. И. Феодосьев. Учебник в 8-ми т. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. – 589 с. 6. Писаренко, Г.С. Справочник по сопротивлению материалов. / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. Научное издание. – Киев: Наукова думка, 1988. – 734 с. 7. Тимошенко, С.П. Механика материалов, / С.П. Тимошенко, Дж. Гере. Учебник для вузов. – СПб.: Лань, 2002. – 669 с. 8. Сопротивление материалов: лабораторный практикум: Учеб. пособие для вузов/ А.С. Вольмир, Ю.П. Григорьев, В.А. Марьин, А.И. Станкевич. – М.: Дрофа, 2004. – 352 с. 9. Ицкович, Г.М. Сопротивление материалов. / Г.М. Ицкович. Учебник. – М.: Высшая школа, 2001. – 368 с. 10. Ицкович, Г. М. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов. / Г. М. Ицкович, Л. С. Минин, А. И. Винокуров ; ред. : Л. С. Минин. Учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 2001. – 592 с. 11. Сопротивление материалов. Расчет пространственного бруса: учеб. пособие по курсовому проектированию. / И.А. Зырянов, С.И. Трошин, Е.Н. Федорова, Л.П. Шатохина; ред. Л.П. Шатохина. – Красноярск: Сиб. фед. ун-т; Политехн. ин-т, 2007. – 104 с. 12. Сопротивление материалов: учеб. пособие/ ред. Н.А. Костенко.– М.: Высшая школа, 2000. – 432 с. 13. Саргсян, А. Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности: Основы теории с примерами расчетов. / А. Е. Саргсян. – М.: Высшая школа, 2000. – 286 с. 405 14. Батаев, А.А. Композиционные материалы: строение, получение, применение: Учебник / А. А. Батаев, В. А. Батаев. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. – 384 с. 15. Работнов, Ю.Н. Механика деформированного твердого тела. / Ю.Н. Работнов. – М.: Наука, 1988. – 712 с. 16. Александров, А. В. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для вузов / А. А. Александров, В. Д. Потапов. – М.: Высшая школа, 1990. – 370 с. 17. Жуковец, Н.И. Механические испытания металлов. / Н.И Жуковец – М.: Высшая школа, 1986. – 199 с. 18. Неразрушающий контроль и диагностика: справочник / В.В. Клюев, Ф.Р. Соснин, А. В. Ковалев и др.; под ред. В.В. Клюев. – М.: Машиностроение, 2005. 656с. 19. Биргер, И.А. Сопротивление материалов /И.А. Биргер, Р.Р. Мавлютов. – Москва: Наука, 1994. 20. Дайчик, М.Л. Методы и средства натурной тензометрии. Справочник. / М.Д. Дайчик, Н.И. Пригоровский, Г.Х. Хуршудов. –М.: Машиностроение, 1989. – 240 с.: ил. 21. Костин, П.П. Физико-механические испытания металлов, сплавов и неметаллических материалов / П.П. Костин. – М.: Машиностроение, 1990. – 256 с. 22. Пригоровский Н.И. Методы и средства определения полей деформаций и напряжений / Н.И. Пригоровский. М.: Машиностроение, 1983. – 248 с. 23. Композиционные материалы: Справочник / В. В. Васильев, В. Д. Протасов, В. В. Болотин и др.; Под общ. ред. В. В. Васильева, Ю. М. Тарнопольского. – М.: Машиностроение, 1990.– 512 с. Композиционные материалы: Справочник / В. В. Васильев, В. Д. Протасов, В. В. Болотин и др.; Под общ. ред. В. В. Васильева, Ю. М. Тарнопольского. – М.: Машиностроение, 1990.– 512 с.