Конспект лекции
«Сопротивление материалов»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н.ТУПОЛЕВА Чистопольский филиал «Восток» Кафедра приборостроения СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Задачи к лекциям для квалификации 200100 – бакалавр техники и технологии Разработали: доцент А.В. Сачков, старший преподаватель А.В. Горелов Чистополь 2013 СОДЕРЖАНИЕ ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ.............................................. 3 Эпюры внутренних усилий при растяжении и сжатии ............................. 3 Расчет на прочность при растяжении и сжатии. Запас прочности ......... 4 СМЯТИЕ ................................................................................................................. 5 Деформация смятия. Условный расчет на прочность при смятии......... 5 СРЕЗ ......................................................................................................................... 6 Расчет на прочность при срезе........................................................................ 6 КРУЧЕНИЕ ............................................................................................................ 7 Эпюры внутренних моментов при кручении .............................................. 7 Расчет на прочность вала при кручении ...................................................... 9 ИЗГИБ ................................................................................................................... 11 Эпюры внутренних перерезывающих сил и изгибающих моментов при изгибе.......................................................................................................... 11 Расчет на прочность балки при изгибе ....................................................... 13 Определение прогиба и углов поворота сечения балки .......................... 14 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ .................................................................... 17 Расчет на прочность валов при совместном действии изгиба и кручения ............................................................................................................ 17 2 Лекция №2 ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ Эпюры внутренних усилий при растяжении и сжатии Пример 1 Задание. Болтовое соединение (рис. 2.1) нагружено осевой растягивающей силой Fa  1000 Н. В соединении болт М6 с наружным диаметром резьбы d  6 мм и внутренним диаметром резьбы d1  5,621 мм, затянут гайкой с моментом затяжки Tзат  720 Нмм. Принять приблизительно осевую силу затяжки болта Fзат  Tзат и 0,2d построить эпюру внутренней продольной силы болта. Рис. 2.1. Болтовое соединение Решение. Руководствуясь приведенной выше последовательностью, построим расчетную схему болта затянутого гайкой (рис. 2.2). Находим реакцию R в опоре из уравнения равновесия R  Fзат  Fa , Fзат  720  600 Н , 0,2  6 R  600  1000  1600 Н . Далее, под расчетной схемой построим нулевую линию параллельную детали. Разбиваем деталь на участки, в данном случае он один. Методом сечения рассекаем деталь на две части, отбрасываем левую часть и с учетом правила знаков записываем уравнение равновесия для внутренней силы N в 3 сечении. N  Fзат  Fa , N  1600 H . Строим эпюру (рис. 2.2). Рис. 2.2. Расчетная схема и эпюра растягивающей силы Лекция №4 Расчет на прочность при растяжении и сжатии. Запас прочности Пример 2 Задание. Рассчитать болт на прочность при растяжении. Необходимые данные взять из примера 1. Предположить, что болт сделан из стали 20. Пределы прочности для стали  т  260 МПа . Решение. Нормальное напряжение в детали при растяжении р  N 4 Fзат  , Sр d12 S р – площадь сечения. Подставляя исходные данные, находим р  4 1600  64,5 МПа . 3,14  5,6212 Условие прочности выполняется 64,5 МПа  260 МПа . Пример 3 Задание. Определить запас прочности болта. Необходимые данные 4 взять из примера 2. Решение. Для детали запас прочности n 260  10,7 . 24,2 СМЯТИЕ Деформация смятия. Условный расчет на прочность при смятии Пример 4 Задание. На шпонку размерами b  h  l (2×2×6, мм) со стороны ступицы зубчатого колеса редуктора действует сила F  2T , которая d пытается провернуть колесо на валу редуктора, вызывая смятие на боковых поверхностях шпонки (рис. 4.1). Крутящий момент T  500 Нмм , диаметр d  6 мм , размер k  h  t1 , t1  1,2 мм . Рис. 4.1. Схема нагружения шпонки при смятии Сделать проверочный расчет шпонки на смятие. Материал шпонки сталь 30,  в  510 МПа . Решение. При смятии должно выполняться условие прочности  см   см , где  см  – предел прочности при смятии  см   0,8 в ,  см – нормальное напряжение в детали при смятии 5  см  F 2T 2T ,   S cм dlk dl h  t1  S cм – площадь поверхности смятия. Подставляя исходные данные, находим  см  2  500  34,7 МПа , 6  6  2  1,2  см   0,8  510  408 МПа , 34,7 МПа  408 МПа . Условие прочности выполняется. СРЕЗ Расчет на прочность при срезе Пример 5 Задание. На шпонку размерами b  h  l (2×2×6, мм) со стороны ступицы зубчатого колеса редуктора действует сила F  2T , которая d пытается провернуть колесо на валу редуктора, вызывая внутреннюю перерезывающую силу Q в сечении шпонки А – А (рис. 4.2). Рис. 4.2. Схема нагружения шпонки при срезе Сделать проверочный расчет шпонки на срез. Необходимые данные взять из примера 4. 6 Решение. При срезе должно выполняться условие прочности     – предел прочности при срезе    0,3 ,  ср   ср , где ср ср в  ср – касательное напряжение в детали при срезе  ср  Q F 2T   , S cр S cр dbl S cр – площадь срезаемого сечения (прямоугольного сечения в данном случае). Подставляя исходные данные, находим  ср  2  500  13,9 МПа , 626    0,3  510  153 МПа , ср 13,9 МПа  153 МПа . Условие прочности выполняется. Лекция №7 КРУЧЕНИЕ Эпюры внутренних моментов при кручении Пример 6 Задание. На выходной вал редуктора действует со стороны зубчатого зацепления сила Fn 56  180 Н (рис. 7.1), которая нагружает вал крутящим моментом T . 7 Рис. 7.1. Схема нагружения выходного вала в пространстве Окружная сила в зацеплении Ft 56  Fn 56 cos 20 , диаметр колеса  d 6  50 мм . Построить эпюру крутящего момента на валу. Решение. Руководствуясь приведенной выше последовательностью, построим расчетную схему вала (рис. 7.2). Крестиками покажем места приложения и снятия крутящего момента. Далее, под расчетной схемой построим нулевую линию параллельную детали. Разбиваем деталь на участки, в данном случае он один. Методом сечения рассекаем деталь на две части, отбрасываем левую часть и с учетом правила знаков записываем уравнение равновесия для крутящего момента T в сечении. T  Ft 56 d6 d  Fn56 cos 20  6 , 2 2 T  180 cos 20  Строим эпюру (рис. 7.2). 8 50  4288,6 Hмм 2 Рис. 7.2. Расчетная схема и эпюра крутящего момента Расчет на прочность вала при кручении Пример 7 Задание. На вал редуктора действуют две окружные силы со стороны зубчатого зацепления Ft12  20 Н и Ft 34 (рис. 7.3), которые нагружают вал крутящим моментом T . Рис. 7.3. Схема нагружения вала в пространстве Материал вала сталь со значением предела прочности при кручении    10 МПа . кр Построить эпюру крутящего момента и сделать проектировочный расчет вала, предположив, что в сечении вала действует 9 только крутящий момент. Диаметр колеса d1  50 мм . Решение. Построим расчетную схему вала (рис. 7.4). Методом сечения рассекаем вал на две части, отбрасываем левую часть и с учетом правила знаков записываем выражение для внутреннего момента в сечении. T  Ft12 T  20 d1 , 2 50  500 Нмм . 2 Строим эпюру (рис. 7.4). Рис. 7.4. Расчетная схема и эпюра крутящего момента Далее найдем d – диаметр вала d 3 d 3 T , 0,2  кр   500  6,3 мм . 0,2 10 Исходя из конструктивных соображений (учтя, что вал будет находиться в подшипниках), увеличим полученное значение до целого числа, окончательно приняв d  7 мм . 10 Лекция №8 ИЗГИБ Эпюры внутренних перерезывающих сил и изгибающих моментов при изгибе Пример 8 Задание. На выходной вал редуктора (рис. 8.1) действует со стороны зубчатого зацепления сила Fn 56  60 Н , которая нагружает вал изгибающим моментом M и перерезывающей силой Q . Принять l1  2d , l 2  3d , d  6 мм – диаметр вала. Построить эпюры перерезывающей силы и изгибающего момента на валу. Недостающие данные взять из примера 6. Решение. Найдем l1 и l 2 l1  2d  2  6  12 мм , l 2  3d  3  6  18 мм . Построим расчетную схему выходного вала (рис. 8.1) с указанием опорных реакций. Делим вал на два участка. За участок принимаем отрезок вала между точками приложения активных и реактивных сил. Далее находим численные значения реакций опор. Для этого составляем уравнения равновесия для моментов. M A  0, RB l1  Fn56 l1  l 2   0 , RB  Fn56 l1  l 2  6012  18   150 Н , l1 12 MB  0, R Al1  Fn56 l 2  0 , RA  Fn56 l 2 60 18   90 Н . l1 12 Сделаем проверку. Сумма всех сил должна быть равна нулю. 11 RB  R A  Fn 56  150  90  60  0 . Построим эпюру перерезывающей силы. Методом сечения рассекаем вал на первом участке на две части, отбрасываем левую часть и с учетом правила знаков записываем выражение для внутренней силы в сечении на первом участке. QI  Fn56 , QI  60 Н . Затем рассекаем вал на две части на втором участке, отбрасываем левую часть и записываем выражение для внутренней силы в сечении на втором участке. QII  Fn56  RB , QII  60  150  90 Н . Строим эпюру согласно полученным значениям (рис. 8.1). Рис. 8.1. Расчетная схема и эпюры перерезывающей силы и изгибающего момента Построим эпюру изгибающего момента. Методом сечения рассекаем вал 12 на первом участке на две части, отбрасываем левую часть и с учетом правила знаков записываем выражение для изгибающего момента в сечении на первом участке. Изгибающий момент в сечении оставшейся части вала зависит от расстояния x1 между точкой приложения силы создающей момент и точкой сечения. M I   Fn56 x1 0  x1  l 2 , M I  0  x1  0 , M I  60 18  1080 Нм  x1  l 2  . Затем рассекаем вал на две части на втором участке, отбрасываем левую часть и записываем выражение для изгибающего момента в сечении на втором участке. Изгибающий момент в сечении оставшейся части вала зависит от расстояния x2 между точкой приложения силы создающей момент и точкой сечения. M II   Fn56 l 2  x2   RB x2 0  x2  l1 , M II  60 18  1080 Нм  x2  0  , M II  6018  12   150 12  0  x2  l1  . Строим эпюру согласно полученным значениям (рис. 8.1). Из эпюры видно, что опасное (наиболее нагруженное) сечение проходит через опору B. Лекция №10 Расчет на прочность балки при изгибе Пример 9 Задание. Сделать проверку вала на прочность при изгибе. Материал вала сталь 20  т  250 МПа . Недостающие данные взять из примера 8. Решение. Должно выполняться условие прочности  и max   и . Так как сталь 20 пластичный материал и ведет себя одинаково при растяжении и сжатии, то  и    т  250 МПа . 13 Максимальное нормальное напряжение в детали при изгибе  и max  М max M max ,  Wос 0,1d 3 Wос – осевой момент сопротивления сечения (круглого сечения в данном случае).  и max  M max 1080   50 МПа . 3 3 0,1d 0,1  6 50 МПа  250 МПа ,  и max   и . Условие прочности выполняется. Лекция №11 Определение прогиба и углов поворота сечения балки Пример 10 Определить прогибы и углы поворота поперечных сечений консольной балки длины l , показанной на рис. 11.1, под действием нагрузки F . Жесткость балки на изгиб EJ z . Построить эпюры внутренних силовых факторов. Рис. 11.1. Схема нагружения консольной балки Решение. Построим эпюры Q M z , по длине балки. Составляем расчетную схему (рис. 11.2). Делим балку на участки. В данном случае он один. Далее находим численные значения реакций опор M и R . Для этого составляем уравнения равновесия. 14 M A  0, Fl  M  0 , M  Fl .  X  0, R  F  0, RF. Построим эпюру перерезывающей силы. Методом сечения рассекаем балку на участке на две части, отбрасываем левую часть и с учетом правила знаков записываем выражение для внутренней силы в сечении на первом участке. QI   F . Строим эпюру согласно полученным значениям (рис. 11.2). Рис. 11.2. Расчетная схема и эпюры перерезывающей силы и изгибающего момента консольной балки Построим эпюру изгибающего момента. Методом сечения рассекаем балку на две части, отбрасываем левую часть и с учетом правила знаков записываем выражение для изгибающего момента в сечении на первом участке. Изгибающий момент в сечении оставшейся части вала зависит от 15 расстояния x1 между точкой приложения силы создающей момент и точкой сечения. M I   Fx1 0  x1  l  , M I  0  x1  0 , M I   Fl  x1  l  . Строим эпюру согласно полученным значениям (рис. 11.2). Определим прогиб, используя дифференциальное уравнение упругой линии. С учетом направления оси y y' '  Интегрируя один раз, M z x  M I Fx .   EJ z EJ z EJ z получим выражение для угла поворота поперечных сечений Fx F F x2  x   y '    dx  C   C,  xdx  C   EJ z EJ z 2 EJ z где C – константа интегрирования, для ее определения воспользуемся сечениями, где мы заранее знаем значения  . Например, в точке A , l   0 . Таким образом F l2 l     C  0, EJ z 2 F l2 C . EJ z 2 Аналитическое выражение для угла поворота сечений имеет вид F x2 F l2 .  x     EJ z 2 EJ z 2 Интегрируя второй раз полученное выражение, определим прогибы балки 16  F x2  F x2 y  x       C dx  D    dx  C  dx  D  2 2 EJ EJ z z   F x3   Cx  D EJ z 6 Константу интегрирования D определяем из условия равенства нулю прогиба в точке A F l3 F l3 y l      D  0, EJ z 6 EJ z 2 F l3 D EJ z 3 Аналитическое выражение для прогиба примет вид F x3 F l2 F l3 .  yx    x EJ z 6 EJ z 2 EJ z 3 При x  0 прогиб будет максимален F l3 . y 0    EJ z 3 Знак минус означает, что балка прогибается в сторону противоположную положительному направлению оси y СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Лекция №13 Расчет на прочность валов при совместном действии изгиба и кручения Пример 11 Задание. На выходной вал редуктора действует со стороны зубчатого зацепления сила Fn 56 , которая нагружает вал изгибающим моментом M и перерезывающей силой Q и крутящим моментом T . Окружная сила в зацеплении Ft 56  Fn56 cos 20  . Диаметр колеса d 6  40 мм . Сделать 17 проверку на прочность выходного вала. Материал вала сталь со значением предела прочности  III   0,33  в ,  в  440 МПа . Недостающие данные 3,8 взять из примера 8. Решение. Так как вал испытывает сложное сопротивление (изгиб и кручение), воспользуемся для расчета теорией прочности. Примем в качестве расчетной четвертую теорию прочности, так как она наиболее полно и точно подтверждается экспериментами. Согласно этой теории 2 2  T   M   3       3 3 , 1 d , 2 d     По условию (из примера 8) Максимальный изгибающий момент M  1080 Нмм , d  6 мм ,    III   0,33  в  0,33 400  34,7 МПа . 3,8 3,8 Найдем крутящий момент T T  Ft 56 40 d d  Fn56 cos 20   60 cos 20   1127,6 Нмм . 2 2 2 Подставляя получим 2  эквIV 2  M   T     3     3  3  , 1 d , 2 d     2 2  1080   1127,6     3     67,4 МПа 3  3  , 1 6 , 2  6       эквIV   . Условие прочности не выполняется. Для выполнения условия прочности можно увеличить диаметр вала. Найдем безопасный диаметр вала из условия прочности. 18 2 2  M   T  d 6    3         , 1 , 2     2 2  1080   1127,6  6    3   7,3 мм   , 1 37 , 4 , 2 37 , 4     Исходя из конструктивных соображений (учтя, что вал будет находиться в подшипниках), увеличим полученное значение до целого числа, окончательно приняв d  8 мм . 19