Сопротивление материалов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Н.Я.ГОЛОВИНА ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА РАЗДЕЛ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» Учебное пособие для студентов высших учебных заведений направления подготовки бакалавров 23.03.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов» Тюмень 2015 УДК 539.3 ББК 30.121 Головина Н.Я. Прикладная механика. Раздел «Сопротивление материалов»: Учебное пособие для подготовки студентов высших бакалавров учебных 23.03.03 заведений «Эксплуатация направления транспортно- технологических машин и комплексов» Головина Н.Я.: Изд-во ТюмГНГУ, 2015. – 116 с. ISBN 978-5 Рецензенты: Профессор, доктор техн. наук В.Г.Соколов Профессор, кандидат техн. наук В.И.Кучерюк Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки бакалавров 131000 «Нефтегазовое дело». В пособии изложены основные понятия и методы сопротивления материалов. Рассмотрены простейшие виды деформаций и сложное сопротивление прямого бруса. Приведены примеры расчета типичных задач. Содержание пособия соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту дисциплины «Сопротивление материалов», являющейся разделом дисциплины базовой части профессионального цикла «Прикладная механика». © Тюменский государственный нефтегазовый университет, 2015 г. 2 Оглавление стр. Принятые обозначения основных величин и их единицы измерения Предисловие 1 Введение в курс 1.1 Основные понятия 1.2 Классификация сил 1.3 Метод сечений 1.4 Напряжения 1.5 Напряженное состояние в точке 1.6 Допущения, принятые в сопротивлении материалов 2 Растяжение и сжатие 2.1 Внутренние силовые факторы, напряжения при растяжении и сжатии 2.2 Правила построения эпюры внутреннего силовых факторов 2.3 Деформации при растяжении и сжатии 2.4 Закон Гука при растяжении (сжатии) 2.5 Статически неопределимые задачи 3 Испытания конструкционных материалов на растяжение и сжатие 3.1 Диаграмма растяжения 3.2 Три вида расчетов на прочность 4 Чистый сдвиг, смятие 4.1 Внутренние силовые факторы, напряжения при сдвиге 4.2 Деформации при сдвиге 4.3 Закон Гука при сдвиге 4.4 Смятие 5 Геометрические характеристики сечений 5.1 Статический момент площади 3 5 6 7 7 8 10 12 16 21 23 23 26 31 32 33 40 40 46 47 47 49 50 51 52 52 5.2 Полярный момент инерции 5.3 Осевой момент инерции 5.4 Теорема о параллельном переносе осей 6 Кручение 6.1 Внутренние силовые факторы при кручении 6.2 Напряжения и деформации при кручении 7 Прямой изгиб 7.1 Внутренние силовые факторы при изгибе 7.2 Нормальные напряжения при чистом изгибе 7.3 Касательные напряжения при поперечном изгибе 7.4 Дифференциальное уравнение упругой линии балки 7.5 Определение перемещений методом начальных параметров 8 Сложное сопротивление 8.1 Косой изгиб 8.2 Внецентренное растяжение (сжатие) 8.3 Гипотезы прочности 8.4 Изгиб с кручением 9 Устойчивость сжатых стержней 9.1 Формула Эйлера 9.2 Пределы применимости формулы Эйлера 9.3 Расчеты на устойчивость 10 Понятие об усталости материалов 10.1 Характеристики цикла 10.2 Факторы, влияющие на изменение предела выносливости 10.3 Основы расчета на усталость Приложения Литература 4 54 56 58 59 59 61 67 67 73 80 82 84 88 88 91 93 95 97 97 100 102 104 104 108 110 111 115 ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ ВЕЛИЧИН И ИХ ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ Обозначение Единица измерения А м2 Площадь поперечного сечения Р; F Н Сила (сосредоточенная) q Н/м; Н/м2 m Нм Сосредоточенный момент, пара сил Е Па Модуль продольной упругости G Па Модуль сдвига Ми Нм Момент изгибающий Мк Нм Момент крутящий N; Q Н Нормальная и поперечная силы S м3 Статический момент площади Iр м4 Полярный момент инерции I м4 Осевой момент инерции Wр м3 Полярный момент сопротивления W м3 Осевой момент сопротивления l м Длина бруса, балки а м Единичный отрезок длины участка бруса  Па Нормальное напряжение  Па Касательное напряжение  – Коэффициент Пуассона  – Гибкость стержня  – Коэффициент приведения длины стержня  рад Угол закручивания бруса α рад Угол поворота сечения при изгибе  рад Угол сдвига , ' – Название величины Интенсивность распределенной нагрузки Относительная деформации 5 продольная и поперечная ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие представляет собой конспект лекций по курсу «Сопротивление материалов», разработанный в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального направления подготовки образования бакалавров для 23.03.03 студентов «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов». В пособии изложены основные понятия и исходные положения сопротивления материалов, как науки. Представлены примеры решения практических задач методами сопротивления материалов. Рассмотрены простейшие виды деформаций и принципы расчета на прочность и жесткость. Приведены методы раскрытия статической неопределимости конструкций. Также рассмотрены различные сложные напряженные состояния бруса с решением вопроса о его прочности. Дается информация, необходимая для предотвращения потери устойчивости сжатых стержней. Приводятся общие сведения об усталостном разрушении и принцип расчета на усталость. Пособие приведено в соответствие с существующими стандартами, а буквенные обозначения физических величин соответствует Международному стандарту и рекомендациям. 6 1. ВВЕДЕНИЕ В КУРС 1.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ При проектировании любой машины или конструкции необходимо обеспечить ее работоспособность и надежность в течении всего срока эксплуатации. Безотказная работа конструкции, в первую очередь, гарантируется ее прочностью и жесткостью. Сопротивление материалов – это наука о прочности и деформируемости элементов конструкций. Прочностью называется способность элементов конструкции выдерживать заданную нагрузку, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций. Жёсткостью называется способность элементов конструкции сопротивляться образованию деформаций. Устойчивостью конструкции называется сохранять способность первоначальную форму элементов упругого равновесия. Основная задача сопротивления материалов – с помощью расчетов на прочность, жесткость и устойчивость, определить оптимальные размеры элементов конструкции. В сопротивлении материалов не рассматриваются реальные объекты с их индивидуальными особенностями. Изучаются расчетные схемы и типовые методы расчета. Выбор правильной расчетной схемы является важной задачей при проектировании. 7 1.2 КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ Вопросы прочности, жесткости и устойчивости будут решаться в зависимости от того, какие силы действуют на конструкцию в процессе эксплуатации. Внешние силы разделяют на активные и реактивные. Внешние активные силы принято называть нагрузками. В зависимости от того, как силы распределены по объему тела, силы делят на сосредоточенные и распределенные: Внешние силы Сосредоточенные силы Распределенные силы по линии по плоскости по объему Распределенные нагрузки могут быть распределены равномерно и неравномерно. Численно распределенная нагрузка характеризуется интенсивностью – q. Ниже приводится изображение сил, распределенных равномерно по прямой линии (рис.1) и по плоскости (рис.2). q (Н/м2) ql q (Н/м) l/2 l (м) qA Рис. 1 Рис. 2 8 А (м2) Равнодействующая для равномерно распределенной нагрузки численно определяется произведением интенсивности (q) на длину участка (l) или на площадь площадки (А), на которых эта нагрузка распределена. Точка приложения равнодействующей совпадает с центром тяжести участка либо площадки. В зависимости от характера воздействия силы бывают статическими и динамическими: Внешние силы Статические силы Динамические силы ударные повторно-переменные Статические силы не меняются с течением времени или меняются медленно и незначительно. Динамические силы характеризуются быстрым изменением во времени их значения, направления или места приложения. Между элементарными частицами ненагруженного тела присутствуют нагружении силы тела внутреннего внешними взаимодействия. силами, силы При внутреннего взаимодействия изменяют свое значение. Приращение внутренних сил взаимодействия между частицами нагруженного тела называют внутренними силовыми факторами, или внутренними силами. Решение вопросов прочности, жесткости и устойчивости будет связано с определением внутренних сил. Внутренние силы определяют с помощью метода сечений. 9 1.3 МЕТОД СЕЧЕНИЙ Метод сечений заключается в том, что тело мысленно разрезается на две части, любая из которых отбрасывается и взамен неё, к сечению оставленной части, прикладываются силы, действовавшие Оставленный со стороны участок отброшенной, рассматривается в до разрезания. равновесии под действием внешних и приложенных к сечению внутренних сил. Предположим, что нам нужно узнать, какие внутренние силы возникают в одном из сечений бруса (рис.3). Брус нагружен пространственной системой произвольно расположенных сил (общий случай нагружения). Согласно методу сечений, нужно выполнить следующие действия: 1. Провести секущую плоскость через интересующее нас поперечное сечение бруса (рис.3а). 2. Отбросить любой участок бруса, заменив его действие внутренними силами, которые в общем случае нагружения неравномерно распределены по сечению (рис.3б). Для удобства отброшен участок бруса, расположенный ближе к наблюдателю. 3. Привести внутренние силы к одному центру (центру тяжести поперечного сечения). Из теоретической механики знаем, что в результате приведения получим одну силу (Fгл) и одну пару сил (Mгл), произвольно пространстве (рис.3в). 10 сориентированные в F3 F3 F4 F4 F2 F1 б) а) Z Z F3 F3 Мгл Мz Qz F4 Fгл F4 л Y Y Qy N Мy X в) X Мх г) Рис. 3 4. Разложить силу Fгл на составляющие по осям X; Y и Z и пару сил Mгл на составляющие моменты относительно осей X; Y и Z. В результате получаем шесть составляющих, которые называются внутренними силовыми факторами (рис. 3г): N – нормальная сила; Qy; Qz – поперечные силы; Mx; My – изгибающие моменты (Ми); Mz – крутящий момент (Мк). 11 5. Чтобы определить численные значения этих внутренних силовых факторов, нужно составить уравнения равновесия. Для пространственной системы произвольно расположенных сил их шесть:   ΣX  N  Σ F x  0, ΣY  Qy  Σ F y  0 , ΣΖ  Qz  Σ F z  0 ,   ΣΜ x  M x  ΣΜ x F  0 , ΣΜ y  M y  ΣΜ y F   0 , ΣΜ z  M z  ΣΜ z F   0 , Решая эту систему уравнений можно определить значения всех внутренних силовых факторов. Отметим, что величина их зависит только от внешних сил. В зависимости от того, какие внутренние силовые факторы в сечении появляются, различают четыре основных вида деформаций: растяжение и сжатие; сдвиг; кручение; изгиб. Деформация называется чистой в том случае, если в сечении обнаруживается только один внутренний силовой фактор. Всякое более сложное нагруженное состояние можно рассматривать, как сочетание основных видов деформаций. 1.4 НАПРЯЖЕНИЯ Однако, зная величину внутренних сил, не всегда возможно судить о прочности элементов конструкции. 12 Например, рассмотрим два бруса, изображенные на 1 F рис. 4. Пусть оба бруса изготовлены из одного и 1 2 того F же нагружены материала и одинаковыми силами. Формы поперечных Рис. 4 сечений 2 одинаковы, а площади различны. Внутренние силы в сечениях 1 - 1 и 2 - 2 брусьев одинаковы, т.к. одинаковы внешние силы, нагружающие оба бруса. Но очевидно, что верхний брус более прочен. Такая ситуация связана с тем, что внутренние силы были представлены, как сосредоточенные в центре тяжести сечения. На самом деле внутренние силы распределены по площади поперечного сечения, а сосредоточенная в центре тяжести внутренняя сила есть равнодействующая этих распределенных сил. Т.к. равнодействующие оказались одинаковыми, а площади поперечных сечений, где они распределены, разные, то разной должна быть интенсивность распределения сил по сечению. Чем выше интенсивность внутренних сил, тем менее прочным будет брус. Напряжение – это интенсивность внутренней силы, возникающей в сечении. На примере уже рассмотренного бруса, показано, что в общем случае нагружения интенсивность в разных точках 13 поперечного сечения различна по численному значению и по направлению. Выделим в пределах поперечного сечения элементарную площадку dA (рис.5). Ввиду ее малости будем считать, что интенсивность внутренней силы в ее пределах остается постоянной. На рис. 6 эта площадка показана с большим увеличением. р F3 dA dA F4 dF Рис. 6 Рис. 5 Равнодействующая внутренних сил, интенсивность которых обозначена p и действующих на площадке dA – это элементарная сила dF : dF  p dA , p  Н   2  Па  м  dF , dA Напряжение есть величина векторная, имеющая такое же направление, как и элементарная сила. Покажем вектор напряжения на площадке dA (рис.7). В общем случае нагружения этот вектор может иметь любое направление в пространстве, поэтому удобнее будет разложить его на составляющие. 14 Одну составляющую сориентируем перпендикулярно поперечному сечению ( σ ), вторую расположим в плоскости сечения ( ). F3 dA F4 σ τ р dF Рис. 7 Составляющая σ называется нормальным напряжением, составляющая  называется касательным напряжением. Зная величину составляющих можно определить полное напряжение в точке: pσ τ p  σ2  τ2 Точка (сечение, участок), где напряжение по модулю имеет максимальное значение, называется опасной. Для ответа на вопрос о прочности элемента конструкции необходимо определить положение опасного места, определить численное значение напряжения и сравнить это напряжение с тем, что может выдержать конструкции. 15 материал данного элемента 1.5 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ Напряженное состояние в точке характеризуется совокупностью нормальных и касательных напряжений для бесчисленного множества площадок, которые можно провести через данную точку. Исследовать напряженное состояние в данной точке – это значит получить зависимости, позволяющие определить напряжения, возникающие в любой проведенной через нее площадке. Для решения этой задачи выделим в окрестности исследуемой точки бесконечно малый элемент в форме куба. Его грани сориентируем параллельно координатным плоскостям. В общем случае нагружения на каждой грани куба возникают напряжения, которые можно разложить на три составляющие по осям координат (рис.8). y zy xy zx z образом, взаимно yx yz z Таким y xz трех перпендикулярных площадках x на имеем девять составляющих напряжений: x, y, x z, xy, xz, yx, yz, zx, zy. Для Рис. 8 этих составляющих принято следующее правило индексов: первый индекс указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке действия рассматриваемого напряжения, второй индекс указывает, какой оси параллельно данное напряжение. Для нормального напряжения принято указывать один индекс. Указанные девять 16 составляющих называют компонентами напряженного состояния в данной точке. Из условия равновесия выделенного элемента следует, что составляющие касательных напряжений, возникающих на двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные общему ребру этих площадок, равны по абсолютному значению, т.е.: xy= yx; yz= zy; zx=xz . Это закон парности касательных напряжений. Значит, из девяти компонентов независимы лишь шесть. Первое положение теории напряженного состояния: напряженное состояние в точке тела задано, если известны напряжения на любых трех проходящих через эту точку взаимно перпендикулярных площадках. Среди множества площадок, которые можно провести через исследуемую точку, имеются три взаимно перпендикулярные площадки, касательные напряжения на которых отсутствуют. Эти площадки и возникающие на них нормальные напряжения называют главными. Их обозначают 1, 2, 3. Индексы расставляют после того, как напряжения вычислены, так чтобы выполнялись неравенства: 1  2  3. В зависимости от значения главных напряжений классифицируем виды напряженного состояния. Если три главных напряжения отличны от нуля, то напряженное состояние называют объемным, пространственным или трехосным. 17 Если одно из главных напряжений равно нулю, то напряженное состояние называют плоским или двухосным. Если два главных напряжения равны нулю, то напряженное состояние называют линейным или одноосным. 2 2 2 1 1 1 3 3 а) в) 1 1=-3 г) 1 3 д) 1 3 б) 3 2 3 е) ж) з) Рис. 9 На рис. 9 показаны частные случаи напряженного состояния: а – трехосное растяжение; б – трехосное сжатие; в – трехосное смешанное напряженное состояние; г – двухосное растяжение; д – двухосное сжатие; е – двухосное смешанное напряженное состояние (чистый сдвиг); ж – одноосное растяжение; з – одноосное сжатие. Максимальное для данной точки касательное напряжение max возникает на площадке, параллельной вектору 2 и делящей 18 пополам прямой угол между площадками действия 1 и 2 (рис.10). Численно оно равно: τ max  σ1  σ 3 2 Предположим, 2 что в окрестности некоторой точки тела выделен элемент, 1 грани которого совпадают с главными площадками (рис.11а). Напряжения 1, 2, 3 3 на этих гранях известны. Ограничимся Рис. 10 определением нормальных и касательных напряжений для серии площадок, параллельных одному из главных напряжений. 2 1 dA α 1 v α α α α 3 а) б) t 2 Рис. 11 Серией или семейством площадок называется совокупность бесчисленного множества площадок, параллельных одной и той же оси или, что то же самое, перпендикулярных одной и той же плоскости. Проведем произвольную плоскость, параллельную вектору 3 (рис.11а). трехгранную Рассмотрим призму в (рис.11б) равновесии и возникающие на наклонной площадке. 19 получившуюся определим напряжения, Спроецируем все силы, действующие на призму, на оси t и v: Σv = σα dA – (σ1 dA cos α)cos α – (σ2 dA sin α)sin α = 0, σα = σ1cos2α + σ2sin2α. Σt = τα dA – (σ1 dA cos α)sin α + (σ2 dA sin α)cos α = 0, τα = (σ1 – σ2) sin α cos α = 0,5 (σ1 – σ2) sin 2α. Отметим, что напряжения, возникающие на площадках рассматриваемой серии, не зависят от главного напряжения, параллельного этим площадкам (в данном случае от σ3). Воспользовавшись формулами приведения можно получить: σα =0,5 (σ1 + σ2) + 0,5(σ1 – σ2) cos2α. Очевидно наибольшим значение σα будет при α = 0°, и минимальным при α = 90°: σα max = σ1 σα min = σ2 Следовательно, наибольшее и наименьшее нормальные напряжения для рассматриваемой серии площадок – это главные напряжения. Анализируя формулу для τα отметим, что максимальное касательное напряжение возникает на площадке, нормаль к которой составляет угол 45° с направлением σ1, т. е. τα max = τ12 = 0,5 (σ1 – σ2). В случае, если σ1 = σ2 ни на одной площадке исследуемой серии не возникает касательных напряжений, т.е. все площадки исследуемой серии главные. Если σ1 = σ2 = σ3, то для данной точки тела любая проходящая через нее площадка главная. 20 1.6 ДОПУЩЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ 1. Материал считается сплошным и однородным, т.е. его свойства не зависят от формы и размеров тела и одинаковы во всех его точках. 2. Материал обладает свойством идеальной изотропии, т.е. его свойства при испытании во всех направлениях одинаковы. 3. Материал обладает свойством идеальной упругости, т.е. абсолютно и сразу восстанавливает первоначальную форму и размеры после снятия нагрузки. 4. Напряжения в каждой точке элемента конструкции прямо пропорциональны деформациям в этой точке. Это допущение известно, как закон Гука, который справедлив для упругих деформаций. 5. Поперечные сечения, плоские до нагружения, остаются плоскими и после приложения нагрузки. Это допущение называется гипотезой Бернулли 6. Деформации элементов конструкций настолько малы, что можно не учитывать их влияния на изменение расстояний между линиями действия сил (рис.12). Приложим к брусу две активные силы F1 и F2. расстояние между линиями действия сил до нагружения было l. После приложения нагрузки брус прогибается, его длина остается прежней. Значит должно произойти некоторое смещение по 21 горизонтали точек приложения сил. Но из рисунка видно, что вертикальное перемещение точек А и В различно. F2 F1 l' l Рис. 12 Следовательно, и смещение по горизонтали этих точек будет разным. Если теперь измерить расстояние между линиями действия сил, то оно окажется отличным от первоначального: l  l'. Однако вертикальные перемещения оказываются настолько малым, что изменением расстояния между линиями действия сил будем пренебрегать. 7. Деформации, которые элемент конструкции получает от действия системы сил, равны сумме деформаций, получаемых от каждой силы в отдельности. Это допущение называется принципом независимости действия сил. 22 2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 2.1 ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ И НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ Растяжение и сжатие - это такой вид деформации, при котором в сечениях бруса возникают только нормальные силы. Нагрузим брус осевыми силами, растягивающими или сжимающими его (рис.13а). Определим внутренние силы, возникающие в сечении 1-1, используя метод сечений. Z 1 2 Р 2Р Х 2 1 а) Q N О б) Р Ми N Р 2Р в) Рис. 13 Для этого рассечем брус на две части. Отбросим ту часть, которая содержит заделку (если оставить её для рассмотрения в равновесии, то нужно будет сначала определить реактивные силы), и рассмотрим в равновесии оставленную часть (рис.13б). 23 Предположим, что в поперечном сечении появляются три внутренних силовых фактора, максимально возможные для плоского нагружения: N; Q; Mи. Составим уравнения равновесия для плоской системы произвольно расположенных сил: X=P–N=0 Z=Q=0  Мо = Mи = 0. Решая их, убеждаемся, что в сечении кроме силы N действительно нет никаких других внутренних силовых факторов. Отметим, что от точки приложения силы Р до точки приложения силы 2Р значения внутренних сил не изменятся. Проведем следующее сечение после точки приложения силы 2Р (рис.13в). Знаем, что в сечении появится только сила N. Составляем возможное уравнение равновесия:  Z = P – 2Р – N = 0, N = Р – 2Р = – Р. Рассмотренный пример позволяет сформулировать правило:  нормальная сила N численно равна алгебраической сумме внешних осевых сил, приложенных до рассматриваемого сечения. Чтобы определять нормальные силы остается сформулировать правило знаков:  сила N считается положительной при растяжении и отрицательной при сжатии. Правила знаков для внутренних силовых факторов здесь и в дальнейшем являются условными. 24 Выясним, какие напряжения появляются в сечении при растяжении и сжатии. Рассмотрим перемещения двух соседних сечений бруса при нагружении осевыми силами. Согласно гипотезе плоских сечений, все точки сечения получают одинаковое перемещение по нормали к сечению. Принимая во внимание закон Гука, легко понять, что напряжения в поперечных сечениях нормальные, равномерно распределенные по площади сечений (рис.14). P σ N А Рис. 14 Учитывая, что сила N является равнодействующей тех распределенных по сечению сил, интенсивность которых называется напряжением, определять напряжение будем по формуле: σ N A Для наглядности при решении задач в сопротивлении материалов, характер распределения внутренних сил, напряжений и перемещений, принято показывать графически. Такие графики называются эпюрами. Эпюры могут быть построены по длине бруса, по высоте и ширине поперечного сечения бруса. 25 2.2 ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ 1. Разделяют брус на участки, в пределах которых значения внутренних силовых факторов остаются постоянными, или их изменение подчиняется одному закону. 2. Определяют значения внутренних силовых факторов на каждом участке. 3. Проводят ось эпюры параллельно оси бруса. Ось эпюры это ось координат, задающая положение каждого сечения бруса. Ось, вдоль которой откладывают значения внутренних силовых факторов, перпендикулярна оси координат. 4. Выбирают масштаб, удобный для построения. 5. По определенным ранее значениям внутренних силовых факторов строят эпюру. 6. Указывают на эпюре числовые значения внутренних силовых факторов. 7. Если есть необходимость, указывают знак эпюры. Знак принято наносить на область эпюры, обведя его в кружек. 8. Наносят штриховку на область эпюры. Штриховые линии располагают перпендикулярно оси эпюры. При горизонтальном расположении бруса, положительные значения сил принято откладывать выше оси координат. При вертикальном расположении бруса, положительные значения сил откладывают справа от оси. 26 Пример 1. Ступенчатый брус нагружен осевыми силами (рис.15а). Требуется определить положение опасного участка бруса. Для решения задачи нужно построить эпюру нормальной силы N и эпюру напряжения σ. 2А а) а А Р 4Р а 2а 2уч 3уч 2Р 1уч 3P N X б) P 2P 3P/2А в) σ Р/2А 2P/А Рис. 15 Поделим брус на три участка с учетом точек приложения сил и изменения размеров поперечных сечений. Направление расчета от свободного конца в сторону заделки (справа налево). Определим значения нормальных сил на каждом участке: N1 = - 2P N2 = - 2P +P = - P N3 = - 2P + P + 4P = 3P 27 Ниже изображения бруса проводим ось и строим эпюру нормальной силы N (рис.15б). Выразим значения напряжений на каждом участке: N1  2 P  , A1 A N P , σ2  2  A2 2 A N 3P . σ3  3  A3 2 A σ1  Ниже эпюры нормальной силы N проводим новую ось, выбираем новый масштаб и строим эпюру напряжения σ (рис.15в). Анализируя эпюру напряжений, заключаем, что опасным будет первый участок бруса, т.к. напряжения по абсолютному значению здесь максимальны. Пример 2. Брус нагружен не только сосредоточенными, но распределенными вдоль оси силами (рис.16а). Дано: Р - N (кН) + x 100 Р = 100 кН; q = 100 кН/м; 2а q а = 1 м; 1 уч x А – const. а Р 300 400 2 уч 500 а) Рис. 16 28 б) и Определить: положение опасного сечения бруса. Решение: Разделим брус на два участка, в пределах которых закон изменения силы N остается постоянным. Рассмотрим произвольно выбранное сечение на первом участке. Его положение задано координатой x. Координата сечения х привязана к началу свободного конца бруса. Выразим значение силы N1 в сечении с координатой х: N1 = – Р – q x. Сила N1 линейно зависит от координаты х. Графиком такой зависимости является прямая линия. Для ее построения достаточно определить две точки. Укажем границы изменения координаты х: 0  х 2а. Вычислим значения силы N1 в начале и в конце участка: х = 0; N1 = – Р = – 100 (кН), х = 2а; N1 = – Р – q2a = – 100 – 10021 = – 300 (кН). Переходим к расчету второго участка. Выберем произвольно сечение на этом участке. Укажем его координату х, привязав ее в начале бруса. Выразим значение силы N2 в сечении с координатой х: N2 = – Р – q x– Р. Сила N2 также линейно зависит от координаты х. Границы изменения координаты: 2а  х  3а, х = 2а; N1 = – Р – q2a – Р = – 400 (кН), х = 3а; N1 = – Р – q3a – Р = – 500 (кН). По полученным результатам строим эпюру (рис.16 б). 29 Опасное сечение в этой задаче можно указать без построения эпюры напряжений. Это возможно потому, что площадь поперечного сечения по всей длине бруса постоянная. Приняв во внимание формулу, по которой определяются напряжения при растяжении и сжатии, можно заметить, что эпюра напряжения  по форме будет такой же, как эпюра нормальной силы N. Значит опасным будет являться нижнее сечение бруса, где сила N имеет максимальное значение по модулю. При выполнении расчета на втором участке координату х можно было привязать не в начале бруса, а в начале второго участка. Тогда выражение для определения силы N2 оказалось бы другим, изменились бы границы изменения координаты х, а результат остался бы прежним. Принимая рассмотренных во внимание примерах, эпюры, можно построенные заметить в некоторые особенности: ˗ на участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра нормальной силы N имеет вид прямой линии, параллельной оси координат; ˗ в сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре нормальной силы N появляется скачек на величину этой силы; ˗ на участке, где действует распределенная нагрузка, эпюра нормальной силы N имеет вид прямой линии, наклонной к оси координат. 30 2.3 ДЕФОРМАЦИИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ При растяжении бруса его длина увеличивается. Объем материала остается прежним, значит, происходит уменьшение размера поперечного сечения. Принято различать продольную и поперечную деформации при растяжении и сжатии. На рис. 17 показана только продольная деформация бруса, первоначальная длина которого обозначена l. После приложения силы Р брус получает приращение длины Δl. P Δl l Рис. 17 Δl (м) – абсолютная продольная деформация бруса. Абсолютная первоначальной рассмотрев продольная длины бруса. перемещение деформация В этом зависит легко произвольного от убедиться, сечения, расположенного ближе к заделке. Более объективно деформации отражает относительная продольная деформация: ε Δl . l Относительное удлинение ε – безразмерная величина, может быть выражена в процентах:  Δl  ε%    100%  l  Напряжения и деформации связаны законом Гука. 31 2.4 ЗАКОН ГУКА ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ Нормальные напряжения прямо пропорциональны относительной продольной деформации: σ = Е ε. Здесь Е (Па) – модуль продольной упругости или модуль упругости первого рода. Значение модуля упругости зависит от свойств материала и является табличной характеристикой. Значения Е для некоторых материалов: Сталь ………………..(1,96….2,16)1011 Па, Чугун …………......…….(1,5....1,6)1011 Па. Для учебных расчетов принято считать: Естали = 2·1011 Па, Ечугуна = 1,5·1011 Па. Получим формулу для определения абсолютного удлинения: Δl  ε l  σl Nl  . E EA Эта формула позволяет определить удлинение одного участка бруса, в пределах которого материал, внутренняя сила и площадь поперечного сечения остаются неизменными. Для бруса, у которого N, E, A на разных участках имеют различные значения, полное алгебраическую удлинение сумму бруса удлинений отдельности: Δl = (Δli). 32 определяют, каждого участка как в Теперь охарактеризуем поперечные деформации (рис.18): Δd (м) – абсолютная поперечная деформация, зависящая от первоначальных размеров поперечного сечения. Р d d+Δd Р Рис. 18 Выразим относительную поперечную деформацию: ε  Отношение Δd . d относительной поперечной и продольной деформаций для данного материала есть величина постоянная, которая называется коэффициентом Пуассона:   .  Коэффициент Пуассона зависит только от материала и характеризует его упругие свойства. Для стали μ = 0,24…0,30, для чугуна μ = 0,23…0,27. 2.5 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ЗАДАЧИ Задачи, внутренние силовые факторы в которых не могут быть определены с помощью одних только уравнений статики, называют статически неопределимыми. Для их решения составляют дополнительно уравнения перемещений, число которых равно степени статической неопределимости. Степень 33 статической неопределимости равна числу лишних неизвестных в уравнениях статики. Рассмотрим пример Брус жестко заделан с двух сторон и нагружен одной осевой силой Р (рис.19а). Определить опасный участок бруса. Известны: сила Р, площадь сечения А, длины участков. Всего к брусу приложены три силы: одна активная Р и две реактивные RA и RВ. Без определения реактивных сил выразить значение нормальной силы N не удастся. Для определения реактивных сил составим уравнения равновесия. RA RA - N + Р/А 2a 1-й уч. Р Р a 2-й уч. 2Р/А RB RB б) а) в) Рис.19 Силы, приложенные к брусу, представляют собой систему осевых сил, для которой возможно составить только одно уравнение равновесия: RA – Р + RВ = 0. 34 Но в это уравнение входят две неизвестные реактивные силы. Из одного уравнения определить две неизвестные нельзя, следовательно, задача не может быть решена с помощью одних только уравнений статики. Это статически неопределимая задача. Степень статической неопределимости ее равна единице, т.к. лишней в уравнении статики является одна неизвестная. Чтобы решить задачу составим одно уравнение перемещений. Воспользуемся принципом освобождаемости и отбросим одну из заделок, заменив действие ее реактивной силой. Например, отбросим верхнюю заделку, приложив силу RА (рис.19б). Начав расчет сверху (от свободного конца), выразим полное удлинение бруса, а затем учтем, что удлинение бруса равно нулю (т.к. сверху и снизу брус жестко заделан). Решив полученное уравнение с одной неизвестной, определим силу RА. Составляем уравнение перемещений: Δ l  Δ l1  Δ l2  0 . Выразим удлинение каждого участка: Δ l1  R А 2a ; EA Δ l2  ( R А  P )a . EA Подставим в уравнение перемещений и решим его: R А 2a ( R А  P )a  0 EA EA RА  P 3 35 Теперь построим эпюру нормальной силы N, определив предварительно значения нормальных сил на участках (рис.19в): N1  RА  P , 3 N 2  RА  P   2P . 3 Опасным у этого бруса будет второй участок. Построение эпюры напряжения не требуется, т.к. площадь поперечных сечений по всей длине бруса одинакова. Проблема статической неопределимости возникает также в тех случаях, когда происходит изменение температуры конструкции. RB RA l Рис. 20 Допустим, что брус (рис.20) установлен при нормальной температуре. температуры После на установки произошло некоторое количество градусов изменение Δt. При нагревании материал расширяется, и брус стремится получить удлинение. Но жесткие заделки с двух сторон препятствуют этому удлинению. Возникают реактивные силы. Составим уравнение статики:  X= RA – RB = 0 36 Его решение доказывает только то, что реактивные силы равны друг другу, но чему они равны пока не ясно. RA = RB = R Уравнение перемещений в этом случае будет иметь вид: Δ lt  Δ l R  0 Температурное удлинение выразим по формуле, известной из физики: Δ lt  Δ t  α  l Здесь α – коэффициент линейного расширения материала. Изменение длины от действия реактивных сил согласно закону Гука: Δ lR   R l EA В результате уравнение перемещений принимает вид: Δt  α l  Rl 0 E A Решая это уравнение, выразим реактивную силу: R  Δt  α  E  A Температурные напряжения в сечении будут: σ  Δt  α  E Часто статически неопределимыми оказываются стержневые конструкции, в которых имеются лишние связи. Пример (рис.21) Недеформируемый брус ВС поддерживают два стержня, имеющие равные площади поперечного сечения А. Определить вертикальное перемещение точки приложения силы F. 37 Рассмотрим в равновесии брус ВС и выразим связь между усилиями в стержнях (рис.21а). Для этого будет достаточно составить и решить одно уравнение моментов относительно точки В: ΣМВ =N1·l + N2·l·cos45°– P·l = 0 N1 = P – N2·cos 45° Теперь покажем конструкцию в деформированном состоянии т. е. построим диаграмму перемещений (рис.21б) и выразим связь между деформациями: δс  Δl1  N 1a ; EA a 1 N1 В l А 45° А 2 N2 С Р а) с 45° l2 б) Рис. 21 Чтобы выразить δс (перемещение точки С) через удлинение второго стержня примем допущение о малости деформаций. Принято считать, что деформации настолько малы, что после нагружения угол наклона стержня 2 остается без изменения, 38 тогда выразить удлинение стержня 2 можно спроецировав точку С на новое положение стержня. Учтем, что: l2  a cos 45 δс  Δl2 N 2  l2 N2  a   cos 45 E  A  cos 45 E  A  cos 2 45 δс  N1  a N2  a  E  A E  A  cos 2 45 Тогда: Выразим δс: откуда: N1  N2 cos 2 45 N2 = 0,5·N1 Учтем связь между силами N1 и N2, тогда: N1 = P – 0,5N1·cos 45° N1 ≈ 0,74Р Тогда перемещение точки приложения силы будет равно: δс  Δ l1  N1  a 0 ,74 Р  а  EA ЕА Задача решена. Для решения статически неопределимых задач, независимо от вида деформации, всегда используются дополнительные уравнения перемещений. 39 3. ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ НА РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 3.1 ДИАГРАММА РАСТЯЖЕНИЯ Диаграмму растяжения вычерчивают в ходе следующего эксперимента. Образец из определенного материала закрепляют в Р Р Рис. 22 разрывной машине и нагружают растягивающей силой по схеме (рис.22). Силу постепенно увеличивают, и образец доводят до разрушения. В приборов, ходе эксперимента снимают фиксирующих значения внешней показания с силы Р и соответствующую ей новую длину бруса. Зная первоначальную длину бруса l и площадь его поперечного сечения A, а также имея данные эксперимента, выражают зависимость между напряжением σ и относительным удлинением ε. В указанных осях координат вычерчивают зависимость между этими характеристиками. Диаграммы индивидуальные растяжения разных особенности. материалов Рассмотрим растяжения низкоуглеродистой стали Ст3 (рис.23). 40 имеют диаграмму Пока сила, нагружающая брус, остается невелика, диаграмма имеет вид наклонной прямой линии 0-1. Значит в этой зоне зависимость между напряжением и деформацией подчинена закону Гука, справедливому для упругих деформаций.  (МПа) в 4 т уп пц а 2 1 3  (%) а’ a” ост Рис. 23 Максимальное напряжение, до которого справедлив закон Гука называется пределом пропорциональности - пц. Максимальное напряжение, до которого в образце не возникает остаточных деформаций, называется пределом упругости – σуп. Для большинства материалов числовые значения предела пропорциональности и предела упругости почти совпадают, поэтому можно принять, что закон Гука действует в зоне упругости. Продолжаем увеличивать силу Р и видим, что диаграмма становится криволинейной (1-2). Это значит, что начался процесс формирования пластических изменений в структуре материала. Дальше на диаграмме появляется площадка, параллельная оси деформаций (2-3). Она оформляется в тот момент, когда на поверхности образца появляются тонкие линии, расположенные 41 под углом 45 градусов к оси бруса. Эти линии называются линиями Чернова, по фамилии металлурга, впервые обнаружившего их. Появление их связано со сдвигом в кристаллах стали. Понятно, что в результате этого образец получит заметное удлинение и на диаграмме появится площадка, параллельная оси деформаций. Эта площадка называется площадкой текучести, а напряжение, при котором формируется площадка текучести, называется пределом текучести – σт. Если остановить эксперимент и прекратить увеличение силы, то образец перестает вытягиваться. Чтобы добиться дальнейшего результата по вытяжению образца, силу нужно увеличивать. Поэтому на следующем этапе нагружения у диаграммы есть вертикальная составляющая. Зона после площадки текучести называется зоной упрочнения (3-4). Такое название зона получила из-за того, что нагрузив образец до напряжения этой зоны, можно повысить прочностную характеристику материала. Если разгрузить образец из точки а диаграммы, то  (МПа) восстановление в происходить за счет упругих уп сил. Упругие силы материала а будет на диаграмме уже отражены участком  (%) 0' 0-1, поэтому восстановление образца будет происходить Рис. 24 42 по линии, параллельной этому участку. Видно, что при разгружении образец не возвращается к исходной длине. Имеются остаточные деформации ост. Если через некоторое время повторить наргужение образца, посчитав его новую длину за исходную, то новая диаграмма оказывается такой, как на рис. 24. До точки а новая диаграмма прямолинейна, т.е. зона упругих деформаций стала более высокой. Более высокая упругая зона свидетельствует о повышении прочности материала. Повышение упругих свойств материала в результате предварительного пластического деформирования называется наклепом. Наклеп широко распространен на практике. В результате наклепа материал становится более хрупким (на новой диаграмме отсутствует площадка текучести). В случае, если наклеп нежелателен, его можно устранить отжигом. К завершению зоны упрочнения на образце появляется местное сужение, называемое шейкой. В результате сопротивление образца падает и его разрыв происходит при напряжении, меньшем в. Напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, выдерживаемой образцом до разрушения, называется пределом сопротивлением) - прочности (или временным пч (в). Понятие предела прочности используют для материалов, разрушающихся без образования шейки. Понятие временное сопротивление используют для материалов, разрушающихся с образованием шейки. 43 Диаграмма растяжения для более пластичных материалов показана на рис. 25. Можно отметить невысокую зону упругих деформаций и отсутствие площадки текучести. Для таких материалов вводится понятие условного предела текучести 0,2 – напряжения, при котором относительное удлинение образца равно 0,2 %.  (МПа) п  (МПа)  0,2  (%)  (%) 0,2 Рис. 26 Рис. 25 На рис. 26 показана диаграмма растяжения для хрупкого материала. Здесь мы видим более высокую зону упругих деформаций и отсутствие площадки текучести. Основная прочностная характеристика пластичного материала – предел текучести (т), хрупкого – предел прочности (п). Для пластичных материалов, при испытании их на сжатие, предел текучести оказывается таким же, как и при растяжении. Хрупкие материалы имеют существенно разные прочностные характеристики при испытании их на растяжение и сжатие. Поэтому выполняя оценку прочности необходимо учитывать состояние материала и пользоваться двумя разными прочностными характеристиками. Принято обозначать (п)с и 44 (п)р – предел прочности при сжатии и растяжении хрупкого материала. Опытом установлено, что материал не может долго выдерживать напряжения близкие к предельным. Разрушение материала с учетом фактора времени называется ползучестью материала. Чтобы обеспечить работу элемента конструкции в течении назначенного ресурса времени, определяют допустимые напряжения. Допустимые напряжения определяют понижением предельных с учетом допустимого коэффициента запаса прочности - n: Напряжение, σ   σ т n - для пластичных материалов, σ   σ п n - для хрупких материалов. которое элемент конструкции может выдерживать в течении всего срока эксплуатации называется допустимым. Теперь понятно, что условием прочности будет являться выражение: σ - рабочее напряжение не должно превышать допустимого, или nn - рабочий коэффициент запаса прочности не должен быть меньше допустимого. Определяя оптимальные размеры элементов конструкций, нужно стремиться к тому, чтобы расхождение между допустимыми и рабочими характеристиками были минимальны. 45 3.2 ТРИ ВИДА РАСЧЕТОВ НА ПРОЧНОСТЬ 1. Проектировочный – сводится к определению размеров элементов конструкций. 2. Проверочный- сводится к определению максимального рабочего напряжения и сравнению его с допустимым. 3. Определение допустимой нагрузки – сводится к определению допустимого значения внутреннего силового фактора. Смысл расчетов на прочность не зависит от вида деформации. Для деформации растяжения и сжатия названные виды расчетов на прочность будут осуществляться по следующим выражениям: Проектировочный: А  N σ  Проверочный: σ N  σ  A Определение допускаемой нагрузки: N   A σ  В дальнейшем условия прочности для других видов деформаций будем записывать в форме проверочного расчета. 46 4. ЧИСТЫЙ СДВИГ 4.1 ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ И НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ СДВИГЕ Сдвигом называют такой вид деформации, при котором в сечении учитывают одну только поперечную силу Q. В качестве примера рассмотрим процесс резки ножницами стальной проволоки (рис.27а). Р а) Р Ми О б) Р N Q h Рис. 27 Разрушение будет происходить где-то между линиями действия сил. В этой зоне проведем секущую плоскость и определим, какие внутренние силовые факторы возникают в сечении. Сначала предположим максимально возможное количество сил в сечении (рис.27б). Для плоского нагружения их три: N, Q, Ми. Составим возможные уравнения равновесия: X = N = 0 Y = P – Q = 0 Мо = Ми – Рh = 0 47 Решая эти уравнения, получим: Q=Р Ми = P·h В сечении бруса обнаружены два силовых фактора, но моментом Ми можно пренебречь, т.к. плечо h ничтожно мало. Поперечная сила Q оказывается численно равной внешней поперечной силе, приложенной до рассматриваемого сечения. Выясним, какие напряжения в сечении появляются при сдвиге. Рассмотрим перемещения двух соседних сечений бруса при нагружении поперечными силами. Согласно гипотезе плоских сечений, все точки сечения получают одинаковое перемещение в плоскости сечения. Принимая во внимание закон Гука, легко понять, что напряжения в сечениях касательные, равномерно распределенные по площади сечений (рис.28). Р  Q Рис. 28 Учитывая, что сила Q является равнодействующей тех распределенных по сечению сил, интенсивность которых называется напряжением, определять их будем по формуле: 48 τ Q A Для деформации сдвига, строить эпюры внутренних сил и напряжений не актуально т.к. участок на котором эти силы появляются, очень мал и все сечения этого участка считаются равноопасными. Разрушение в результате деформации сдвига называется срезом для пластичных материалов и скалыванием для хрупких. Условие прочности при сдвиге: τ Допустимое Q  τ  A касательное напряжение определяют в зависимости от предела текучести материала. Например для крепежных изделий (болты, штифты, шпонки…): [τ]= (0,25…0,35)σт В случае если соединение осуществлено несколькими одинаковыми деталями, принимается, что все они нагружены одинаково. 4.2 ДЕФОРМАЦИИ ПРИ СДВИГЕ Рассмотрим небольшой участок бруса, работающего на сдвиг, выделенный вблизи заделки (рис.29). Все точки одного сечения имеют одинаковое линейное перемещение. Но линейное перемещение зависит от длины рассматриваемого участка бруса. 49 Выразим относительную деформацию, поделив полную линейную деформацию на длину рассматриваемого участка, и учтем, что деформации очень малы τ (для малого угла γ значение γ dy функции tg γ ≈ γ): dy  tg γ  γ . dx Угол γ называется углом сдвига, выражается в радианах. По смыслу dx угол Рис. 29 сдвига это относительная деформация сдвига. 4.3 ЗАКОН ГУКА ПРИ СДВИГЕ Касательные напряжения прямо пропорциональны углу сдвига: τ=Gγ Коэффициент пропорциональности G (Па) учитывает упругие свойства материала и называется модулем сдвига, или модулем упругости второго рода. Значения G для некоторых материалов: Сталь ………………..8,1·1010 Па Чугун ……………......4,5·1010 Па 50 4.4 СМЯТИЕ Расчеты на срез часто сопровождают расчетами на смятие. Опасность смятия возникает тогда, когда детали конструкции испытывают значительные сжимающие нагрузки, передаваемые по небольшим площадкам контакта. Например, в болтовых соединениях для предотвращения смятия под гайку и головку болта подкладывают шайбу. Принято считать, что напряжения на площадке контакта нормальные, равномерно распределенные по площадке контакта. Условие прочности при смятии: σ см  Часто смятие F  σ cм  Aсм наблюдается на боковой поверхности цилиндрического отверстия. Такая ситуация характерна для болтового или заклепочного соединения в том случае, если нагружающая сила сдвигает соединяемые детали по плоскости контакта. В случае если смятию подвержена цилиндрическая поверхность, то площадь смятия определяют условно равной диаметральной площади отверстия: Асм=Аусл= d·l где d – диаметр отверстия, l - длина отверстия. Смятие не является отдельным видом деформации, это поверхностный дефект. 51 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ Выполнение расчетов на прочность и жесткость связано с учетом не только механических свойств материалов, но и геометрических характеристик поперечных сечений брусьев – их размеров и формы. Поперечные сечения представляют собой плоские фигуры простого или сложного очертания. При растяжении – сжатии, сдвиге и смятии, для вычисления напряжений и деформаций, в качестве основной геометрической характеристики, используют площадь поперечного сечения. Это оправдано тем, что напряжения распределены по поперечному сечению равномерно. При кручении и изгибе распределение напряжений по сечению неравномерное и возникает необходимость учитывать форму и размеры поперечных сечений. Рассмотрим сечение произвольной формы, расположенное в плоскости, заданной осями XOY (рис.30). 5.1 СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ПЛОЩАДИ Статическим моментом площади относительно оси называют взятую по всей площади сумму произведений площадей элементарных площадок на расстояния их до оси (рис.30). 52 Y dA x S x   y dA A y ρ S y   x dA A X O Рис. 30 Единицы измерения статического момента площади – м3. Из теоретической механики известны формулы для определения координат центра тяжести плоской фигуры: xc    Ai xi   Ai yc    Ai yi   Ai Учтем, что выражения, стоящие в числителях в пределе при dA стремящемся к нулю будут представлять собой статические моменты площади. Тогда: S x  yc A S y  xc A Статический момент площади может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Статический момент площади относительно центральной оси равен нулю. 53 5.2 ПОЛЯРНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ Полярным моментом инерции называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до полюса. Поместим полюс в начало координат и укажем расстояние от него до элементарной площадки – ρ (рис.30). I p   ρ 2 dA А Единицы измерения полярного момента инерции – м4. Учитывать полярный момент инерции будет необходимо при изучении деформации кручения. Рассмотрим некоторые формы поперечных сечений и получим для них расчетные формулы. Сплошное круглое сечение Для круглого сечения (рис.31) выделим элементарную dA d площадку   кольца кольца d dA форме радиусом – ρ, dρ. тонкого толщина Площадь элементарной площадки: dA=2π ρ dρ Рис. 31 Тогда полярный момент инерции круга: d 2 d 2 2π ρ I p   ρ dA   ρ 2π ρ dρ  2π  ρ dρ  4 А 2 2 54 3 d 4 2 πd4   0 ,1 d 4 32 Кольцевое сечение Для dA кольцевого сечения элементарная площадка такая же, как сечения D  для сплошного и круглого площадь ее определяется: d dA=2π ρ dρ d Полярный момент инерции Рис. 32 кольца (рис.32): D 2 D 2 d 2 d 2 I p   ρ 2 dA   ρ 2 2π ρ dρ  2π  ρ 3 dρ  А 2π ρ 4 D 4 2  d 2 π ( D4  d 4 )   0 ,1( D 4  d 4 ) 32 Прямоугольное сечение Для прямоугольного сечения (рис.33) вывести математически формулу полярного h момента инерции классическом b Рис. 33 курсе невозможно. В сопротивления материалов она берется в готовом виде из теории упругости: I p  β b3h где β – коэффициент, учитывающий отношение большей стороны сечения h к меньшей b (Прил.4). 55 5.3 ОСЕВОЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ Осевым моментом инерции называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до оси (рис.30): I x   y 2 dA , А I y   x 2 dA А Единицы измерения полярного момента инерции – м4. Учитывать осевой момент инерции будет необходимо при изучении деформации изгиба. Получим расчетные формулы для некоторых форм поперечных сечений. Прямоугольное сечение сечения dy прямоугольного (рис.34) y Для Y h/2 dA площадку dA в форме тонкой полоски X выделим элементарную h/2 шириной dy, параллельной оси X. Площадь элементарной площадки: dA=b dy b Рис. 34 Осевой момент инерции прямоугольника: h 2 h 2 I x   y dA   y b dy  b  y dy  2 А Осевой момент 2 h 2 h 2 инерции определяться: 56 2 h 3 2 by 3 h 2 относительно b h3  12 оси y буде b 2 b 2 I y   x dA   x h dx  h  x dx  2 2 b 2 А 2 b 2 b 3 2 hx 3 b 2 b3 h  12 Для квадрата со стороной b: b4 Ix  Iy  12 Для определения осевых моментов инерции круга и кольца рассмотрим следующее свойство моментов инерции. Из рис. 30 понятно, что ρ2 = x2 + y2, тогда: I p   ρ 2 dA   ( x 2  y 2 ) dA   x 2 dA   y 2 dA  I y  I x А A A A Таким образом, полярный момент инерции равен сумме двух осевых моментов инерции относительно осей, проходящих через выбранный полюс. С учетом этого свойства осевой момент инерции для: сплошного круглого сечения диаметром d: πd4 Ix  Iy    0 ,05d 4 2 64 Ip кольцевого сечения размером D × d: π( D 4  d 4 ) Ix  Iy    0 ,05( D 4  d 4 ) 2 64 Ip Для определения геометрических характеристик простых фигур используют расчетные формулы. Если фигура имеет сложное очертание, то она мысленно разбивается на простые. Производится вычисление геометрических характеристик каждой составляющей части, а затем учитывают все результаты. 57 5.4 ТЕОРЕМА О ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ Момент инерции относительно некоторой оси равен сумме центрального осевого момента инерции, относительно оси параллельной данной, и произведения площади фигуры на квадрат расстояния между осями. I x1  I x  a 2 A dA Рассмотрим  y C плоскую фигуру неопределенной x a y1 формы (рис. 35). Выразим x1 момент Рис. 35 осевой инерции относительно некоторой оси x1. Затем учтем, что: y1 = a + y, I x1   y12 dA   ( y  a )2 dA   ( y 2  2 ay  a 2 )dA  A A A   y 2 dA   2 ay dA   a 2 dA A A A Рассмотрим каждый интеграл по отдельности. 2  y dA  I x - это осевой момент инерции относительно A центральной оси x, т.е. центральный осевой момент инерции.  2ay dA  2a  y dA  2a S x  0 , т.к. Sx – это статический A момент A площади относительно центральной. 2 2 2  a dA  a  dA  a A A A Теорема доказана. 58 оси х, которая является 6. КРУЧЕНИЕ 6.1 ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ ПРИ КРУЧЕНИИ Кручением называется такой вид деформации, при котором в сечениях бруса появляется один только внутренний силовой фактор - крутящий момент (Мк). Деформацию кручения брус испытывает при нагружении его парами сил, расположенными в плоскостях поперечных сечений. Изобразить внешнюю скручивающую пару возможно тремя способами (рис.36). m m m  Рис. 36 Чтобы выяснить, чему оказывается равно значение крутящего момента в сечении, рассмотрим брус, нагруженный парами сил, расположенными в плоскостях поперечных сечений (рис.37). Начав расчет от свободного конца, проведем через некоторое сечение секущую плоскость. Отбросим часть, содержащую заделку, а оставленный участок рассмотрим в равновесии. 59 Из теоретической механики знаем, что уравновесить пару сил можно только парой.  Поэтому в 2m сечении добавим m   Мк m X Мк    m 2m X  Рис. 37 уравновешивающую пару (крутящий момент Мк). Составим возможное уравнение равновесия:  Мх = m –Мк = 0 Мк = m Следующую секущую плоскость проведем после сечения, в котором приложена пара сил 2m. Добавим в сечении крутящий момент, уравновешивающий действие двух внешних пар. Составим уравнение равновесия:  Мх = m – 2m – Мк = 0 Мк = m – 2m = – m Рассмотрев пример, убеждаемся, что при кручении кроме крутящего момента в сечении не появляются никакие другие внутренние силы. 60 Крутящий момент численно равен алгебраической сумме моментов внешних пар, приложенных до рассматриваемого сечения. Момент крутящий считается положительным, если при взгляде со стороны сечения на отсеченный участок, момент внешней пары направлен против хода часовой стрелки. 6.2 НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ КРУЧЕНИИ Выясним, какие напряжения в сечении появляются при кручении. Рассмотрим перемещения двух соседних сечений бруса при нагружении моментами относительно оси бруса. Каждое сечение стремиться повернуться в своей плоскости по отношению к соседнему. Учитывая это, приходим к выводу, что напряжения при кручении касательные, неравномерно распределенные по сечению. Знаем, что напряжение в каждой точке зависит от линейного перемещения, которое получает эта точка. Поэтому вначале охарактеризуем перемещения при кручении. Рассмотрим перемещение некоторой точки а, выбранной на поверхности бруса в торцевом сечении (рис.38). Ее линейное перемещение равно длине дуги аа'. Если рассмотреть точку b, расположенную ближе к оси закручивания, то очевидно, что ее линейное перемещение меньше и равно длине дуги bb'. Для различных точек одного сечения линейные перемещения зависят от расстояния до оси закручивания, а угловые перемещения 61 одинаковы. Значит, степень деформации бруса при кручении будем характеризовать рассматриваемого углом бруса φ – закручивания полный угол φ. Для закручивания, выраженный в радианах. c f e e' d' d а а' b' φ b ρ m r Рис. 38 Угол объективно закручивания зависит характеризует от длины деформацию бруса. при Более кручении относительный угол закручивания φ0 (рад/м): 0   l Выразим линейное перемещение точек а и b: аа'=φr bb'=φρ Точки одного сечения, расположенные на одинаковом расстоянии от оси закручивания имеют одинаковые линейные перемещения, значит и напряжения в этих точках будут 62 одинаковыми. Представим брус как совокупность очень тонких оболочек, состоящих из слоя волокон, расположенных на одинаковом расстоянии от оси закручивания, и рассмотрим элементарную площадку одного слоя. Для наглядности рассмотрим площадку сdef на поверхности бруса вблизи заделки. После скручивания бруса, площадка занимает положение сd'e'f. Видим, что выбранная площадка испытывает деформацию сдвига, значит для того, чтобы охарактеризовать напряжения можем воспользоваться законом Гука, справедливым при сдвиге. Выразим напряжение в точке а:  a   r  G r  G r aa  G  G 0 r l l Для точки b напряжение будет выражено аналогично:  b     G   G Полученные выражения  bb  G  G 0  l l позволяют показать характер распределения напряжений по сечению. Учтем, что зависимость напряжения от координаты ρ линейная. Максимальные напряжения получим на поверхности бруса, там, где ρ = ρmax = r. В центре сечения (там, где ρ = 0) напряжения равны нулю. Строим эпюры распределения напряжений по высоте и ширине сечения (рис.39). Еще раз отметим, что для точек, расположенных на одинаковом расстоянии от центра напряжения имеют одинаковые численные значения, но обратим внимание на то, что вектор напряжения в каждой точке расположен перпендикулярно радиусу. 63 Принимая во внимание закон распределения напряжений по сечению (рис. 39) делаем вывод, что наиболее рациональной формой сечения для бруса, работающего на кручение, будет кольцо. τ  ρ Рис. 39 Для того, чтобы получить формулу, удобную для вычисления напряжений при кручении, рассмотрим некоторое сечение бруса в котором возникает крутящий момент Мк (рис.40). Выберем в пределах сечения элементарную площадку dA так, чтобы можно было считать, что в ее пределах напряжения остаются постоянными по направлению и численному значению. Мк ρ dA dQ Рис. 40 Покажем равнодействующую dQ сил, распределенных по этой площадке. Ее численное значение: dQ = ρ dA 64 Момент в сечении Мк является результатом совместного действия всех элементарных сил, возникающих на каждой элементарной площадке, т.е.: М к    dQ      dA    G 0  dA  G 0   2 dA  G 0 I p А A A A Выразим отсюда φо: 0  Мк GI p Подставим это выражение в формулу для ρ:    G 0   Мк Ip При оценке прочности нужно учитывать максимальные напряжения:  max  G  0 r  М кr Ip Здесь: Ip (полярный момент инерции) – геометрическая характеристика сечения; r (радиус) – тоже геометрическая характеристика сечения. Отношение этих характеристик обозначим специальным символом: Wp  Ip r Wp – полярный момент сопротивления или момент сопротивления кручению, единицы измерения – м3. Окончательно условие прочности при кручении будет иметь вид: τ Мк  τ  Wp 65 Учитывая выражение, позволяющее определить значение относительного угла закручивания, запишем условие жесткости при кручении: 1800 М к 0    0   GI p Здесь: φ0o – допустимый относительный угол закручивания, выраженный в градусах. Абсолютный угол закручивания определим будет:  М кl GIp Для бруса, у которого Мк, G, Ip различны на разных участках, полный угол закручивания находят, как алгебраическую сумму углов закручивания каждого участка:   i Формулы, для определения полярных моментов сопротивления сечений различных форм. 1) сплошное круглое сечение, диаметром d: πd 3 Wр   0 ,2 d 3 16 2) кольцевое сечение, размером D×d:   π D4  d 4 D4  d 4 Wр   0 ,2 16 D D 3) прямоугольное сечение размером b×h: W р  αb 2 h где α – коэффициент, учитывающий отношение большей стороны сечения h к меньшей b (Прил. 4). 66 7. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ 7.1 ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ ПРИ ИЗГИБЕ Изгиб это такой вид деформации, при котором в сечениях бруса возникает изгибающий момент (Ми). Брус, работающий на изгиб принято называть балкой. Если в сечениях нет других внутренних силовых факторов кроме изгибающего момента, то деформация называется чистым изгибом. Если наряду с изгибающим моментом в сечениях появляется поперечная сила, то деформация называется поперечным изгибом. Рассмотрим два случая нагружения и выясним, в каком случае идет речь о чистом изгибе, а в каком о поперечном. На рис. 41 жестко заделанная балка нагруженная парой сил. m Рассмотрим произвольное сечение x с координатой х, и с помощью Q m О N Ми Рис. 41 метода сечений выясним, какие внутренние силовые факторы возникают в этом сечении. Составим уравнения равновесия: ΣХ = N = 0 ΣY = Q = 0 ΣMo = m – Mи = 0 67 Решая эти уравнения, видим, что в сечении возникает только изгибающий момент Mи – это деформация чистого изгиба. Mи = m На рис. 42 жестко заделанная балка нагружена поперечной силой. Также P рассмотрим произвольное с координатой х, и используя метод x Q P сечение О x N сечений, выясним какие внутренние силовые факторы возникают в этом сечении. Ми Составляем Рис. 42 уравнения равновесия: ΣХ = N = 0 ΣY = Q – Р = 0 ΣMo = Р х – Mи = 0 Решая уравнения равновесия, получим: Q=Р Mи = Р х В сечении возникает поперечная сила Q и изгибающий момент Mи – это деформация поперечного изгиба. Рассмотрев сформулировать данные правила, примеры, которым становится подчиняются внутренних силовых факторов при изгибе. 68 возможным значения Правила построения эпюр изгибающего момента Ми и поперечной силы Q 1. Поперечная сила Q в сечении численно равна алгебраической сумме внешних поперечных сил, приложенных до рассматриваемого сечения. 2. расчете Поперечная сила Q считается положительной при слева направо, если равнодействующая внешних поперечных сил, приложенных до сечения, направлена вверх и отрицательной, если равнодействующая направлена вниз. При расчете справа налево обратное правило знаков. R R иллюстрация Q R На рис. 43 приведена R этого правила знаков. Рис. 43 3. Изгибающий момент Ми в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных до рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести сечения. 4. Изгибающий момент Ми в сечении считается положительным, если сжатыми оказываются верхние волокна балки. m Сжатые волокна Растянутые волокна Рис. 44 69 m Правило знаков изгибающего момента сформулировано для балок, расположенных горизонтально. В общем случае это правило звучит так: эпюра изгибающего момента строится со стороны сжатых волокон. Рассмотрим пример, на котором отработаем правила построения эпюр. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, шарнирно закрепленной в точках А и В. К балке приложены сила Р, пара сил m и распределенная нагрузка интенсивностью q, как показано на рис. 45. Учтем, что при решении задач в общем виде используются следующие соотношения между силовыми характеристиками: m= Ра= qа2. Решение. Кроме перечисленных сил на балку действуют еще две реактивные силы RA и RB. Изображаем реактивные силы, предварительно направив их вверх. Определим их значения и знаки, составив уравнения равновесия (уравнения моментов относительно точек А и В): ΣM A  2m  RB 2a  P3a  qa 3a 0 2 3 3 Pa  qa 2  2m 5 2 RB   P 2a 4 a ΣM B  2m  R A 2a  Pa  qa  0 2 2 qa  Pa   2m 3 2 RA   P 2a 4 70 Реактивные силы имеют положительный знак, значит их направление, выбрано верно. RA  3P 4 RB  х 2m q х а) A х a a 1-й уч. 2-й уч. 3Р 4 3-й уч. Р Q Р 4 3m 4 в) P B a б) 5P 4 Ми m 5m 4 Рис.45 Так, как теперь нам известны значения всех сил, приложенных к балке, то расчет любого участка можно выполнять как слева направо, так и справа налево. Можно менять направление расчета в пределах решения одной задачи. Рассчитываем эпюру поперечной силы Q. Первый и второй участки рассчитаем слева направо. Q1  R А  3Р 4 Q2  R А - qx На втором участке поперечная сила находится в линейной зависимости от координаты сечения. Для построения эпюры укажем границы изменения координаты х: 0 ≤ х ≤ а, 71 при х = 0; Q2  R А  3Р 4 при х = а; Q2  R А - qa  - Р 4 Третий участок проще рассчитать, поменяв направление расчета (справа налево): Q3  Р . Строим эпюру Q (рис. 45б). Рассчитываем эпюру изгибающего момента Ми. Придерживаемся того же направления, что и при определении поперечных сил. Первый участок (слева направо): 0 ≤ х ≤ а М и1  RA x при х = 0; Mи1  0 при х = а; М и1  R A a  3 Pa 3m  4 4 Второй участок (слева направо): 0 ≤ х ≤ а М и 2  R A a  x   2m  qx x 2 при х = 0; M и 1  R A a  2m  3 Pa 3m 5m  2m   2m   4 4 4 при х = а; М и1 a 3 P 2a qa 2 3m m  R A 2a  2m  qa   2m    2m   m 2 4 2 2 2 На втором участке зависимость момента от координаты квадратичная, эпюра должна иметь вид параболы. Судя по знаку 72 слагаемого, задающего квадратичную зависимость, ветви параболы идут вниз. Третий участок (справа налево): 0 ≤ х ≤ а М и 3   Px при х = 0; Mи3  0 при х = а; М и3   Pa  m Строим эпюру Ми (рис.45в). При расчете жестко заделанных балок реактивные силы не определяют, но расчет ведут в одном направлении – от свободного конца в сторону заделки. 7.2 НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ Представим балку, как совокупность тонких продольных волокон. При прямом изгибе часть волокон оказываются в сжатом состоянии, часть в растянутом. Для балки на рис. 46 растянутыми оказались верхние волокна, а нижние сжаты. На границе между растянутыми и сжатыми волокнами должен находиться слой волокон, которые не изменяют своей длины, а растянутые волокна нейтральный слой Ми нейтральная ось Ми сжатые волокна Рис. 46 73 только искривляются. Этот слой называется нейтральным слоем (н.с.). Линия пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением балки называется нейтральной осью (н.о.). Так, как каждое отдельное волокно испытывает деформацию растяжения или сжатия, то в сечении каждого волокна напряжения нормальные. Так, как степень растяжения и сжатия разных волокон различна, то напряжения распределены по сечению неравномерно. 1 2 ds н. с. 1 а) 2 1 2 n' 90 н.с. o n y ds A B Ми Ми 1 ρ 2 б) О Рис. 47 Чтобы выяснить закон распределения напряжений по сечению и определить положение точек сечения, где напряжения 74 максимальны, рассмотрим два соседних сечения 1-1 и 2-2 балки и обозначим расстояние между ними ds (рис.47 а). Сообщаем балке деформацию чистого изгиба, нагрузив ее парами сил. Изображаем балку в деформированном состоянии (рис.47б). Расстояние между соседними сечениями ds остается неизменным только на нейтральном слое. Продолжим прямые, проходящие через сечения 1-1 и 2-2 (рис.47б), до их пересечения в точке О. Рассмотрим произвольный слой волокон, расположенный на расстоянии у от нейтрального слоя и покажем насколько изменилась его длина. Для этого проведем через точку В прямую параллельную сечению 1-1. Рассмотрим фигуры Вnn' и АОВ. Для удобства назовем их треугольниками. Треугольники Вnn' и АОВ подобны. ∆ Вnn' ~ ∆ АОВ На основании подобия треугольников запишем: nn Bn  AB OB nn y  ds ρ где ρ – радиус кривизны нейтрального слоя, nn' – абсолютное удлинение слоя волокон на расстоянии у от нейтрального слоя. Отношение в левой части – это относительное удлинение слоя волокон на расстоянии у от нейтрального слоя nn  εу ds 75 С помощью закона Гука при растяжении (сжатии) выразим напряжения для выбранного слоя волокон: у ρ Полученное выражение не может быть использовано для σ у  Еε у  Е практических расчетов, т.к. радиус кривизны нейтрального слоя заранее не известен. Но это выражение показывает, что напряжения находятся в линейной зависимости от координаты у. Построим эпюру распределения напряжений по высоте и ширине сечения (рис.48). Учтем, что максимальные напряжения будут возникать там, где у = уmax, а на нейтральной оси (там, где у = 0) напряжения будут равны нулю. По ширине сечения напряжения на меняются и остаются постоянными для волокон одного слоя. у  р у y н.о. с Рис.48 Учитывая то, как распределены напряжения по сечению балки, отметим, что наиболее рациональной формой поперечного сечения для стальной балки будет двутавр. Данные о геометрических характеристиках двутавровой балки по ГОСТ 8239-89 приведены в прил. 2. 76 Теперь выясним где располагается нейтральная ось и получим формулу, удобную для определения напряжений. Для m Y dA y X н.о. dF Z Рис. 49 этого рассмотрим балку, не пренебрегая размерами ее сечения (рис.49). В произвольном сечении балки, работающей на чистый изгиб, выберем элементарную площадку dA, в пределах которой напряжения остаются постоянными по величине и направлению. Элементарная сила dF на этой площадке равна: dF = y dA Составим два уравнения равновесия для этого участка балки: ΣZ = 0 ΣМх = 0 Сумма проекций сил на ось Z: 77 y E E ΣZ   dF   σ y dA   E dA   y dA  S н .о. ρ ρA ρ A A A Учтем, что результат может оказаться равным нулю, только если статический момент площади относительно нейтральной оси (Sн.о.) окажется равным нулю. Значит нейтральная ось является центральной, т.е. проходит через центр тяжести сечения. Сумма моментов всех сил относительно оси Х: ΣМ х  m   y dF  m  M и A y E E М и   y dF   уσ у dA   yE dA   y 2 dA  I x ρ ρA ρ A А A Выразим из последнего равенства радиус кривизны нейтрального слоя: ρ Подставив это EI x Mи выражение в формулу для определения напряжений, получим: σy  Ey M и y  ρ Ix Максимальными будут напряжения в наиболее удаленных от нейтральной оси точках сечения, т.е. там, где у = уmax. Введем обозначение осевого момента сопротивления: Wx  Ix y max Единицы измерения осевого момента сопротивления – м3. 78 Теперь формула для определения напряжений принимает вид: σ max  Ми Wx Индексы у напряжения и момента сопротивления дальше не будут указаны, т.к. изгиб возможен не только относительно оси х, но и относительно оси у и разумеется напряжения, при оценке прочности, определяются максимальные. С учетом всех обозначений, условие прочности при чистом изгибе имеет вид: σ Ми  σ  W Запишем без вывода формулы, для определения осевых моментов сопротивления сечений различных форм. 1. Прямоугольное сечение размером b×h: bh 2 W 6 2. Сплошное круглое сечение, диаметром d: πd 3 W  0 ,1d 3 32 3. Кольцевое сечение, размером D×d:   π D4  d 4 D4  d 4 W   0 ,1 32 D D 4. Двутавровое сечение: таблица (прил.2) 79 7.3 КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ При поперечном изгибе в сечении балки кроме изгибающего момента возникает еще и поперечная сила Q. Она является равнодействующей элементарных сил, действующих в плоскости поперечного сечения. Следовательно, в сечении возникают еще и касательные напряжения. Касательные напряжения изгиба определяются с помощью формулы Журавского. С учетом этой формулы условие прочности по касательным напряжениям при изгибе имеет вид: τ QS  τ  I н .о .  b где Q – поперечная сила в сечении; S – статический момент части площади сечения, отсекаемой слоем волокон, для которого определяются напряжения относительно нейтральной оси; Iн.о. – осевой момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси; b – ширина слоя волокон, для которого определяются напряжения. Вывод формулы Журавского в данном пособии не приводится. Покажем без вывода характер распределения касательных напряжений по высоте и ширине наиболее распространенных форм поперечных сечений, а также укажем максимальные значения касательных напряжений в этих сечениях (рис.50-52). 80 1) прямоугольное сечение: y y y max h τ max н.о. 3Q  2bh b Рис. 50 2) сплошное круглое сечение: y τ max 4Q  3πR 2 н.о . R y b y max Рис. 51 3) треугольное сечение: y 3Q ch н.о. y max h/2 h τ max  y b c Рис. 52 Расчет балок на прочность при поперечном изгибе обычно производят без учета касательных напряжений. Они оказываются на один или два порядка меньше нормальных напряжений. Если есть основания предполагать, что касательные напряжения могут 81 достигнуть значительной величины, то после проектировочного расчета по нормальным напряжениям проверяют прочность балки по касательным напряжениям. Проверочный расчет по касательным напряжениям выполняют для трех видов балок: 1) для коротких балок; 2) для узких балок; 3) для балок, плохо работающих на скалывание. 7.4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ УПРУГОЙ ЛИНИИ БАЛКИ При прямом изгибе сечения балки совершают линейное перемещение в плоскости изгиба и угловое перемещение относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба. Соответственно степень деформации при изгибе выражают с α х у Р1 Рис. 53 помощью двух характеристик: у – прогиб сечения и α – угол поворота сечения (рис.53). Ось балки, изогнутую под действием нагрузки, принято называть упругой линией балки. 82 Упругая линия балки есть плавная кривая, для которой радиус кривизны определяется по формуле высшей математики: ρ 1   у  3 2 2 у  Здесь у' и у'' – соответственно первая и вторая производные прогиба у по координате х. Причем у'=tg α, где α – угол между касательной к кривой линии в данной точке и осью х (т. е. угол поворота сечения). Учтем, что деформации малы и угол α принимает значения близкие к нулю. Тогда tg α ≈ 0 и (у')2 – пренебрежимо малая величина. Тогда: ρ Немного раньше 1 у нами было получено выражение, позволяющее определить радиус кривизны нейтрального слоя: ρ EI Mи Приравняем правые части этих выражений: 1 EI  у M и Запишем это выражение в следующем виде: у  Ми ЕI Это уравнение называется дифференциальным уравнением упругой линии балки. 83 С помощью этого уравнения возможно определить прогиб и угол поворота любого сечения балки. Для этого нужно выразить значение изгибающего момента в зависимости от координаты сечения. Для определения угла α это выражение интегрируют один раз, а для определения прогиба у его интегрируют дважды. Такой метод определения перемещений называется методом непосредственного интегрирования. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.5 ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ Рассмотрим балку постоянного сечения, нагруженную плоской системой сил (рис.54). Начало координат возьмем с левой стороны балки. На этом примере получим обобщенные уравнения прогибов и углов поворотов. x z Y z x z x z x z m z X z P 1 уч. z а z 2 уч. z b z c z z3 уч. z 4 уч. z d z Рис. 54 84 q 5 уч. z Составим дифференциальное уравнение упругой линии для каждого участка балки и выполним его двойное интегрирование. 1-й участок: EIy   0 , EIy   C1 , EIy  C1 x  D1 ; 2-й участок: EIy   m x  a  , EIy   m x  a   C2 , 2  x  a EIy  m C 3-й участок: 2 2x  D2 ; EIy   m x  a   P x  b , P x  b  EIy   m x  a    C3 , 2 2 3  x  a  P x  b  EIy  m   C3 x  D3 ; 2 6 2 4-й участок: q x  c  EIy   m x  a   P x  b   , 2 2 3 P x  b  q x  c  EIy   m x  a     C4 , 2 6 2 2 3 4  x  a  P x  b  q x  c  EIy  m   C 4 x  D4 . 2 6 24 Так, как упругая линия есть плавная кривая, то постоянные интегрирования, определенные по формулам соседних участков для сечений, находящихся на границах этих участков, будут равны и следовательно: C1= C2= C3= C4= C D1= D2= D3= D4= D 85 Обозначим начальные условия: α0 – угол поворота сечения в начале координат; у0 – прогиб в начале координат. Тогда при х = 0 получим: EIα0  C , EIy0  D . С учетом этого запишем обобщенные уравнения. Обобщенное уравнение углов поворотов сечений: P x  b  q x  c  EIα  EIα0  Σ mx  a   Σ Σ 2 6 2 3 Обобщенное уравнение прогибов: EIy  EIy0  EIα0 2  x  a xΣm 2 q x  c  P x  b  Σ Σ 6 24 3 4 Если распределенная нагрузка заканчивается не в конце балки, то ее нужно мысленно продолжить до конца, а на добавленном участке приложить нагрузку такой же интенсивности, но противоположной по направлению (рис.51 участок 5). Знаки слагаемых определяют по правилу знаков изгибающего момента. Для разных способов закрепления балки будем иметь разные начальные условия: 1) Балка с жесткой заделкой слева Начальные условия: α0 = 0, у0 = 0. 86 2) Балка на шарнирных опорах Начальные условия: α0 ≠ 0, у0 = 0. Для определения α0 нужно составить уравнение прогибов для сечения над вторым шарниром и приравнять его нулю. Для такой балки в сечении с максимальным прогибом α = 0. 3) Балка с консолью слева: Начальные условия: α0 ≠ 0, у0 ≠ 0. Для определения α0 и у0 нужно составить два уравнения прогибов для двух сечений над шарнирами и приравнять их нулю. Максимальный прогиб называют стрелой прогиба и обозначают – f. Условие жесткости для балок: ymax  f   f , αmax  α . Значения допустимой стрелы прогиба задают в долях пролета, допустимого угла поворота сечения в долях радиана. Для определения перемещений при изгибе используются и другие методы решения, которые в данном пособии не приводятся. 87 8. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Сложным сопротивлением называют различные сочетания основных деформаций. При этом, определяя напряжения и деформации, используют принцип независимости действия сил. В практике наиболее распространены такие виды сложного сопротивления бруса, как косой изгиб, внецентренное растяжение (сжатие), изгиб с кручением. 8.1 КОСОЙ ИЗГИБ Изгиб, при котором плоскость действия нагрузок не совпадает с одной из главных осей сечения, называется косым (рис.55). l Рy Рy Рz Y α Y Р Р Рz Z Z а) б) Рис. 55 Рассмотрим брус, нагруженный силой F, как показано на рис. 55а. Разложим силу на две составляющие: Рy и Рz. Рy = Р sin α Рz = Р cos α 88 На основании принципа независимости действия сил, оценим действие каждой силы в отдельности, а затем суммируем результаты. Сила Рy вызывает поперечный изгиб в горизонтальной плоскости. Максимальный момент в заделке: Миz = Рy l = Р l sin α Сила Рz вызывает поперечный изгиб в вертикальной плоскости. Максимальный момент в заделке: Миy = Рz l = Р l cos α Покажем опасное сечение (рис.55б) и проанализируем характер распределения напряжений в нем. Напряжение в точке В с координатами (y; z) от действия сил Рy и Рz: σ Рy   M иz y Iz σ Рz   M иy z Iy Суммарное нормальное напряжение в точке В: σ В  σ Рy  σ Рz   M иz y M иy z Рly sin α Рlz cos α     Iz Iy Iz Iy  y sin α z cos α     Рl    I  I y  z  На рис. 56 показаны эпюры напряжений от каждой составляющей. растяжения Очевидно, будут что возникать напряжения сжатия в точке D. 89 максимальное в точке С, напряжение максимальные σ С  σ Рy  σ Рz  M иz M иy  Wz Wy σ D  σ Рy  σ Рz   M иz M иy  Wz Wy Определим положение нейтральной оси. Так как на нейтральной оси напряжения равны нулю, то ее уравнение имеет вид: y sin α z cos α  0 Iz Iy где y, z – текущие координаты точек нейтральной оси. σFz Нейтральная ось σFy С B y z β α F D σC σB Рис. 56 Из уравнения видно, что нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. Определим угол β, который нейтральная ось составляет с осью y: tg   I  z   y  tg  y  Iz  90 Из этого равенства видно, что если Iy ≠ Iz , то β ≠ α и нейтральная ось не перпендикулярна линии действия силы P. 8.2 ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) Внецентренным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, когда брус нагружен продольной силой, приложенной не в центре поперечного сечения. Рассмотрим пример внецентренного сжатия силой Р бруса прямоугольного поперечного сечения (рис.57). Расстояние е называется эксцентриситетом. е P′ P P″ Рис. 57 Приложим в центре тяжести сечения уравновешенную систему сил (Р′; Р″), причем Р″=Р′=Р. Систему трех сил (Р; Р′; Р″) будем рассматривать, как силу Р′ приложенную в центре тяжести и пару сил (Р; Р″) с моментом m = Pe. 91 Согласно принципу независимости действия сил внецентренное сжатие будем рассматривать, как сочетание центрального сжатия и чистого изгиба. Все сечения бруса являются равноопасными. Значит остается определить в какой точке сечения напряжения максимальны. Для этого изобразим некоторое сечение и эпюры распределения напряжений в нем (рис.58). Численно напряжения определим: σс   Р А σи   Ми W Суммарное напряжение будет определяться по формуле: h σ Σ  σс  σи   e Р Ми  А W Максимальные напряжения суммарные будут напряжениями сжатия: b σ Σ max   σc – + – – σи Р Ми  А W В строительных конструкциях бывает необходимо обеспечить отсутствие в сечении напряжений σƩ растяжения. Это возможно выполнении неравенства: Рис. 58 σс  σи 92 при Р Pe  А W Для бруса прямоугольного сечения предельное значение эксцентриситета: е W h  A 6 В случае внецентренного растяжения расчеты производят по тем же формулам с учетом изменения знаков. Рассматривая деформации косого изгиба и внецентренного растяжения (сжатия), видим, что в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения, которые в каждой точке можно было складывать алгебраически. В случае сочетания изгиба с кручением в сечениях будут появляться нормальные напряжения изгиба и касательные напряжения кручения, которые суммировать нельзя. В этом случае максимальное напряжение определяют с помощью гипотез прочности. 8.3 ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ Гипотезы прочности – это научные предположения о том, по какой причине возникает предельное напряженное состояние материала при сочетании основных деформаций. При выполнении расчета на прочность при сочетании основных деформаций определяют эквивалентное напряжение. Эквивалентным напряжением 93 называется такое условное напряжение при одноосном растяжении, которое равноопасно заданному случаю сочетания основных деформаций. На основании гипотез прочности выводят формулы для вычисления эквивалентного напряжения, которое затем сравнивают с допустимым напряжением при растяжении: σ экв  σ р  1. Гипотеза наибольших касательных напряжений (третья теория прочности): опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения достигают предельной величины. Согласно этой гипотезе эквивалентное напряжение определяют по формуле: σ экв  σ 2  4 τ 2 Эта гипотеза применима для пластичных материалов 2. Гипотеза Мора (четвертая теория прочности): опасное состояние материала наступает тогда, когда на некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений. Формула для вычисления эквивалентного напряжения: σ экв  где k  1 k 1 k σ σ 2  4τ 2 2 2 σ  p σ c  Гипотеза применима и для пластичных и для хрупких материалов. 94 3. Энергетическая гипотеза (пятая теория прочности): опасное состояние материала в данной точке наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения для этой точки достигает предельной величины. Эквивалентное напряжение определяют по формуле: σ экв  σ 2  3 τ 2 Эта гипотеза применима для пластичных материалов. 8.4 ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ Сочетание изгиба с кручением испытывают валы, передающие вращающий момент. При расчете принято учитывать касательные напряжения кручения и нормальные напряжения изгиба и пренебрегать касательными напряжениями изгиба. τ Мк Wp σ Mи W Валы имеют круглую или кольцевую форму поперечного сечения. Для этих геометрических форм Wp=2W Согласно третьей гипотезе прочности: 2 σ экв 2  Мк   Ми  2 2     σ  4τ    4    W W    p М и2  М к2  Ми   Мк      4   W  2W  W  2 2 95 Введем обозначение эквивалентного момента: М экв  М и2  М к2 Тогда условие прочности для валов круглой или кольцевой формы поперечного сечения: σ экв  М экв  σ  W Если принять во внимание энергетическую гипотезу: 2 σ экв 2 М   Ми  2 2  σ  3τ     3 к   W   2W p  М и2  0 ,75М к2  Ми  3  Мк    .      W 4 2 W W     2 2 Значение эквивалентного момента здесь: М экв  М и2  0 ,75М к2 Любые другие варианты сложных напряженных состояний элементов конструкций могут быть исследованы аналогично, т.е. путем разложения на основные виды деформаций. 96 9. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ 9.1 ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА Форма равновесия упругой системы является устойчивой, если, будучи выведенной из состояния равновесия небольшой силой, система после прекращения действия этой силы возвращается в исходное состояние. Р Ркр Нагрузки, при которых происходит потеря устойчивости, критическими, а называют соответствующие напряжения – критическими напряжениями. В этом пособии будет рассмотрена потеря устойчивости длинного тонкого стержня, нагруженного центрально приложенной сжимающей силой. Такой Рис. 59 случай потери устойчивости принято называть продольным изгибом. Например, стержень на рис. 59 нагружен силой Р, увеличивающей свое значение. При некотором значении силы Р = Ркр стержень изгибается, т.е теряет устойчивость. Для того, чтобы выяснить от чего зависит значение Ркр и узнать, как ее определить, рассмотрим пример на рис. 60. Стержень закреплен снизу с помощью неподвижного, а сверху с помощью подвижного шарнира. 97 Запишем дифференциальное уравнение упругой линии балки: d 2 y Mи  EI dx 2 Изгибающий момент в сечении с координатой x равен: Ми = – Ркр y Вопрос о знаке является условным, здесь выбрано следующее правило знаков: положительным будем считать момент силы в том случае, если она увеличивает кривизну упругой линии. В нашем случае сила Р кривизну уменьшает. X X Ркр Р С учетом значения момента: d 2 y  Pкр y  2 EI dx l Введем обозначение: P k2  EI y x Подставив k2 получим: d2y  k2y  0 2 dx Y а) б) Рис. 60 Решение этого уравнения имеет вид: y(x)=A cos kx + B sin kx Постоянные интегрирования А и В определяются из граничных условий; y = 0 при x = 0, следовательно 98 А = 0, y = 0 при x = l, следовательно B sin kl = 0. Постоянная В не может быть равна нулю, т.к. нас интересует значение силы Р, при котором ось бруса не является прямолинейной. Чтобы выполнялось последнее условие необходимо принять sin kl = 0. Учитывая чему равно значение k, запишем: l P    0 sin  EI   P l  nπ EI где n = 1, 2, 3, … . Наименьшее значение силы Р, отличное от нуля получим при n = 1. Значение n = 0 не принимаем, т.к. тогда Р = 0, что не соответствует условию. Тогда: π 2 EI Pкр  2 l Это формула Эйлера, позволяющая определить значение критической силы Ркр. Искривление происходит в плоскости наименьшей жесткости, поэтому в формуле Эйлера нужно учитывать наименьший осевой момент инерции сечения. Формула Эйлера получена на примере стержня, шарнирно закрепленного по концам. В этом случае изогнутая ось представляет собой полуволну синусоиды. 99 При других способах закрепления концов стержня форма изогнутой оси оказывается другой, но любую новую форму можно выразить с учетом числа полуволн. Учитывается это с помощью коэффициента приведения длины μ. Некоторые значения коэффициента приведения длины μ указаны на рис. 61. Р μ=1 Р Р μ=2 μ=2 Р Р μ=0,5 μ=0,7 Рис. 61 С учетом уточнений формула Эйлера имеет вид: Pкр  где произведение π 2 EI min  μ l 2 μl называется приведенной длиной стержня. 9.2 ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА Вывод формулы Эйлера основан на законе Гука, который справедлив до тех пор, пока напряжения не превосходят предела пропорциональности. Поэтому формула Эйлера применима не 100 всегда. Для определения предела применимости формулы определим критическое напряжение: σ кр  Ркр А  π 2 EI min μ l  2 A  σ пц Введем понятие наименьшего радиуса инерции (ед. изм. м): I min A imin  С учетом этого ведем понятие гибкости стержня (безразмерная): λ μl imin Окончательно получаем условие применимости формулы Эйлера: σ кр π2Е  2  σ пц λ Следовательно, формула Эйлера применима для стержней, у которых: λ π2Е σ пц Выражение, стоящее в правой части неравенства называют предельной гибкостью λпред. Так для стали Ст3 пц = 200 МПа, Е = 2105 МПа, тогда: λпред 3 ,14 2  2  10 11   100 6 200  10 Для стержней из низкоуглеродистой стали формула Эйлера применима, если их гибкость λпред  100. 101 В случае, если гибкость меньше предельной пользуются эмпирической формулой Ясинского: кр = а – bλ где a и b – табличные коэффициенты, зависящие от материала. Например, для стали Ст3 при гибкостях λ = 40…100 можно принять: а = 310 МПа; b = 1,14 МПа кр Прямая Ясинского т пц Гипербола Эйлера λ Малые λ (λ < 40) Средние λ (40≤λ<100) Большие λ (λ  100) Рис. 62 При гибкостях λ < 40 продольный изгиб не происходит, и стержень рассчитывают на простое сжатие. На рис. 62 представлена обобщенная диаграмма предельного состояния сжимаемого бруса в зависимости от его гибкости. 9.3 РАСЧЕТЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ Для сжатых стержней кроме условия прочности должно выполняться также и условие устойчивости: σ Р  σ у  А 102 где у - допустимое напряжение при расчете на устойчивость: σ   σn  кр у у где nу - коэффициент запаса устойчивости. Выразим связь между у и  с помощью коэффициента продольного изгиба φ: [σу]=[σ] Коэффициент φ выбирается по таблице в зависимости от материала стержня и его гибкости. Три вида расчетов на устойчивость 1. Проверочный – сводится к определению коэффициента запаса устойчивости и сравнению его с допустимым: nу  2. Ркр Р    nу Проектировочный требуемого значения – сводится минимального к момента поперечного сечения стержня: I min  3. Pn у ( μ l )2 π2E Определение допустимой нагрузки: P  Pкр n  у 103 определению инерции 10. ПОНЯТИЕ ОБ УСТАЛОСТИ МАТЕРИАЛОВ Многие детали машин работают в условиях переменных во времени напряжений. Такие детали, как валы и вращающиеся оси при работе испытывают циклически изменяющиеся напряжения. Практикой установлено, что основной вид разрушения валов и осей быстроходных машин носит усталостный характер. 10.1 ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИКЛА Совокупность последовательных значений переменных напряжений за один период процесса их изменения называется циклом. Время однократной смены напряжений называется периодом Т. Цикл характеризуется максимальным σmax, минимальным σmin и средним σm напряжениями, амплитудой цикла σa, коэффициентом асимметрии цикла Rσ (рис.63). σ(τ) σmax σm σmin σa Т t Рис. 63. График изменения напряжений во времени (асимметричный цикл R  ( 1; 0 ) 104 σm  σ max  σ min 2 σa  σ max  σ min 2 Rσ  σ min σ max Цикл изменения напряжений может быть симметричным (рис.64), асимметричным (рис.63) и отнулевым (рис.65). σ(τ) t Рис. 64. График изменения напряжений во времени (симметричный цикл R  1 ) σ(τ) t Рис. 65. График изменения напряжений во времени (отнулевой или пульсирующий цикл R  0 ) Переменные напряжения возникают в осях вагонов, рельсах, рессорах, валах машин, зубьях колес и многих других случаях. Под действием переменных напряжений в материале возникает микротрещина, которая под действием повторяющихся напряжений растет в глубь изделия. Края трещины трутся друг о друга, и трещина быстро увеличивается. Поперечное сечение детали уменьшается, и в определенный момент случайный толчок или удар вызывает разрушение. 105 Появление трещин под действием переменных напряжений называют усталостным разрушением. Усталостью называют процесс накопления повреждений в материале под действием повторно-переменных напряжений. Характерный вид усталостных разрушений — трещины и часть поверхности блестящая в изломе. Такой характер излома вызван многократным нажатием, зашлифованностью частей детали. Опыт показывает, что усталостное разрушение происходит при напряжениях ниже предела прочности, а часто и ниже предела текучести. Способность материала противостоять усталостным разрушениям зависит от времени действия нагрузки и от цикла напряжений. Симметричный цикл более опасен. Опытным путем установлено, что существует максимальное напряжение, при котором материал выдерживает, не разрушаясь, значительное число циклов. Наибольшее (максимальное) напряжение цикла, при котором не происходит усталостного разрушения образца из данного материала после любого большого числа циклов, называют пределом выносливости. Для определения предела выносливости изготавливают серию одинаковых образцов и проводят испытания при симметричном цикле изгиба. Образцы имеют цилиндрическую форму, гладкую поверхность (полированную) и плавные переходы. Образцы устанавливают на испытательную машину и нагружают так, чтобы напряжение составляло примерно 80% от 106 предела прочности. После некоторого числа циклов N образец разрушается. Фиксируют максимальное напряжение и число σ σ1 1 σ 12 1 1 σ3 σ10 – предел выносливости σ1… 1 σ10 N Рис. 60. Кривая усталости циклов до разрушения. Испытания повторяют, постепенно снижая нагрузку на каждый следующий образец и фиксируя число циклов до разрушения образцов. По результатам испытаний строят график зависимости между максимальным напряжением и числом циклов нагружений до разрушения. График называют кривой усталости (рис.4). Для стали и чугуна установлено, что если образец выдерживает число циклов N=107, то опасности разрушения вследствии усталости не возникает и он сможет выдержать неограниченное число циклов нагружений. Предел выносливости обозначают:  при асимметричном цикле: σR  при симметричном цикле: σ-1  при отнулевом цикле: σ0 107 Предел выносливости при растяжении и кручении определяют из эмпирических формул по известному пределу выносливости при изгибе при симметричном цикле:  при растяжении: σ-1р ≈ (0,7…0,9) σ-1  при кручении: τ-1 ≈ 0,58 σ-1 Если не известны значения пределов выносливости при изгибе, то они могут быть определены следующим образом:  для углеродистой стали: σ-1≈0,43 σв  для легированной стали: σ-1≈0,35 σв+ 120 МПа  для серого чугуна: σ-1≈0,45 (σв)р 10.2 ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ИЗМЕНЕНИЕ ПРЕДЕЛА ВЫНОСЛИВОСТИ 1.Концентрация напряжений. В местах, где имеются резкие изменения размеров, отверстия, резьба, острые углы, возникают большие местные напряжения (концентрация напряжений). В этих местах возникают усталостные трещины, трещины разрастаются, и это приводит к разрушению детали. Местные напряжения значительно выше возникающих в гладких напряжений учитывается номинальных деталях. с Влияние помощью коэффициента концентрации напряжений: Кσ  σ 1 σ  1к Кτ  108 τ 1 τ  1к напряжений, концентрации эффективного σ-1; τ-1 – предел выносливости образца без концентратора напряжения; σ-1к; τ-1к – предел выносливости такого же образца, но с концентратором напряжения; 2. Размеры детали. В деталях больших размеров возможны внутренняя неоднородность, инородные включения, незаметные микротрещины. Влияние размеров учитывается масштабным фактором: К мσ  σ 1 σ 1 м К мτ  τ 1 τ 1 м σ-1; τ-1 – предел выносливости образца диаметром 7-10 мм; σ-1м; τ-1м – предел выносливости образца большего размера; 3. Характер обработки поверхности. Поверхность может быть шероховатой, покрытой следами от резца, т. е. ослабленной, а может быть усиленной специальными методами упрочнения: азотированием, поверхностной закалкой, цементацией. Состояние поверхности учитывается с помощью коэффициента качества поверхности: К пσ  σ 1 σ 1п К пτ  τ 1 τ 1п σ-1; τ-1 – предел выносливости образца с полированной поверхностью; σ-1м; τ-1м – предел выносливости образца с заданным состоянием поверхности; Общий коэффициент снижения предела выносливости при симметричном цикле: 109 К σ д  К σ  К м σ  К пσ К τд  К τ  К мτ  К пτ Тогда предел выносливости реальной детали: σ 1д  10.3 ОСНОВЫ σ 1 К σд τ  1д  РАСЧЕТА НА τ 1 К τд ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ (НА УСТАЛОСТЬ) Расчеты по нормальным и касательным напряжениям проводятся аналогично. Расчетные коэффициенты выбираются по специальным таблицам. При расчетах определяют запасы прочности по нормальным и касательным напряжениям. Запас прочности: n   1д  max n   1д  max Полученные запасы прочности сравнивают с допускаемыми значениями. Представленный расчет является проверочным и проводится при конструировании детали. n  n 110 ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1 ЗНАЧЕНИЯ МОДУЛЕЙ УПРУГОСТИ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ E – модуль продольной упругости G – модуль сдвига µ – коэффициент Пуассона Материал E, МПа G, МПа µ 1,13–1,57 4,4 0,23–0,27 1,52 – – Углеродистые стали 1,96–2,06 7,85–7,94 0,24–0,28 Легированные стали 2,06–2,16 7,85–7,94 0,25–0,30 Вольфрам 4,12 16,3 0,26 Медь прокатная 1,08 3,92 0,31–0,34 Бронза марганцовистая катаная 1,08 3,92 0,35 Латунь холоднотянутая 0,89–0,97 3,43–3,63 0,32–0,42 Дюралюминий катаный 0,7 2,65 – Лед 0,1 0,67–0,29 – Стекло 0,55 2,16 0,25 Гранит 0,48 – – Мрамор 0,55 – – Кирпичная кладка 0,026–0,029 – – Бетон при прочности 20 МПа 0,178–0,228 Чугун серый, белый Ковкий чугун Дерево вдоль волокон 0,16–0,18 0,1–0,12 0,1–0,12 – 0,005–0,01 – – Каучук 0,00008 – 0,47 Текстолит 0,06–0,1 – – Дерево поперек волокон 111 Приложение 2 ДВУТАВРЫ СТАЛЬНЫЕ ОРЯЧЕКАТАНЫЕ СОРТАМЕНТ ГОСТ 8239-89 I — момент инерции W — момент сопротивления S — статический момент полусечения i — радиус инерции Справочные значения для осей Масса 1 м, кг 10 100 55 4,5 7,2 7,0 2,5 12,0 9,46 198 39,7 4,06 23,0 17,9 6,49 1,22 12 120 64 4,8 7,3 7,5 3,0 14,7 11,50 350 58,4 4,88 33,7 27,9 8,72 1,38 14 140 73 4,9 7,5 8,0 3,0 17,4 13,70 572 81,7 5,73 46,8 41,9 11,50 1,55 16 160 81 5,0 7,8 8,5 3,5 20,2 15,90 873 109,0 6,57 62,3 58,6 14,50 1,70 18 180 90 5,1 8,1 9,0 3,5 23,4 18,40 1290 143,0 7,42 81,4 82,6 18,40 1,88 20 200 100 5,2 8,4 9,5 4,0 26,8 21,00 1840 184,0 8,28 104,0 115,0 23,10 2,07 22 220 110 5,4 8,7 10,0 4,0 30,6 24, 00 2550 232,0 9,13 131,0 157,0 28,60 2,27 24 240 115 5,6 9,5 10,5 4,0 34,8 27,30 3460 289,0 9,97 163, 0 198,0 34,50 2,37 27 270 125 6,0 9,8 11,0 4,5 40,2 31,50 5010 371,0 11,20 210,0 260,0 41,50 2,54 30 300 135 6,5 10,2 12,0 5,0 46,5 36,50 7080 472,0 12,30 268,0 337,0 49,90 2,69 33 330 140 7,0 11.2 13,0 5,0 53,8 42,20 9840 597,0 13,50 339,0 419,0 59,90 2,79 36 360 145 7,5 12,3 1 4,0 6,0 61,9 48,60 13380 743,0 14,70 423,0 516,0 71,10 2,89 40 400 155 8,3 13,0 15,0 6,0 72,6 57,00 19062 953,0 16,20 545,0 667,0 86,10 3,03 45 450 160 9,0 14,2 16,0 7,0 84,7 66,50 27696 1231,0 18,10 708,0 808,0 101,00 3,09 50 500 170 10,0 15,2 17,0 7,0 100,0 78,50 39727 1589,0 19,90 919,0 1 043,0 123,00 3,23 55 550 180 11,0 16,5 18,0 7,0 118,0 92,60 55962 2035,0 21,80 1181,0 1356,0 151,00 3,39 60 600 190 12,0 17,8 20,0 8,0 138,0 108,00 76806 2560,0 23,60 1491,0 1725,0 182, 00 3,54 Номер двутавра Площадь поперечного сечения, см2 Размеры R h b s t r не более мм 112 X–X Y–Y I x, см4 Wx, см3 ix, см S x, см3 I y, см4 Wy , см 3 iy , см Приложение 3 ПРОЧНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕКОТОРЫХ Ι Механические свойства Марка Предел Временное стали текучести сопротивление σТ , МПа σВ , МПа 08 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 200 210 230 250 280 300 320 340 360 380 390 410 420 330 340 380 420 460 500 540 580 610 640 660 690 710 Группа стали Группа стали МАРОК СТАЛЕЙ И ЧУГУНОВ ΙΙ ΙΙΙ Механические свойства Марка Предел Временное стали текучести сопротивление σТ , МПа σВ , МПа 70 75 80 85 15Г 20Г 25Г 30Г 35Г 40Г 45Г 50Г 60Г 430 900 950 1000 250 280 300 320 340 360 480 400 420 Механические свойства Временное Временное при растяжении (σВ)р , МПа при сжатии (σВ)с , МПа 120 150 180 210 240 280 320 350 380 500 550 700 750 850 1000 1100 1200 1300 Марка чугуна сопротивление сопротивление СЧ 12-28 СЧ 15-32 СЧ 18-36 СЧ 21-40 СЧ 24-44 СЧ 28-48 СЧ 32-52 СЧ 35-56 СЧ 38-60 113 730 1100 1100 1150 420 460 500 550 570 600 630 660 710 Приложение 4 ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ α, β и γ ДЛЯ РАСЧЕТА НА КРУЧЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ Отношение большей стороны h сечения к меньшей b Коэффициент 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0 0,208 0,231 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 α 0,141 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 β 1,000 0,859 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 γ 114 ЛИТЕРАТУРА 1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. – М.: Высшая школа, 2003. – 560 с. 2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов / Учеб. для вузов – М.: Высшая школа, 1989. – 624с. 3. Ицкович Г.М. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов.– М.: Высшая школа, 2001. – 368 с. 4. Ицкович Г.М. и др. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов – М.: Высшая школа, 2001. – 592 с. 5. Миролюбов И.Н., Алмаметов Ф.З., Курицын Н.А. и др. Сопротивление материалов: Пособие к решению задач. – СПб.: Лань, 2007. – 512 с. 6. Сборник задач по сопротивлению материалов: Учеб. пособие. / Под ред. Л.К. Паршина – СПб.: Лань, 2008. – 432 с. 7. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов / Учеб. для вузов.– М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 589 с. 115 Головина Наталья Яковлевна Теоретическая и прикладная механика. Раздел «Сопротивление материалов»: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений направления подготовки бакалавров 23.03.03 «Эксплуатация транспортнотехнологических машин и комплексов» Головина Н.Я.: Изд-во ТюмГНГУ, 2015. – 116 с. Подписано к печати Бум. писч. № 1 Заказ № Уч. изд. л. Формат А5 Усл. печ. л. 7,25 Отпечатано на RISO GR 3750 Тираж 200 экз. ________________________________________________________________ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 625000, г. Тюмень, ул. Володарского, 38 Отпечатано отделом оперативной полиграфии издательства «Нефтегазовый университет» 625000, г. Тюмень, ул. Володарского, 38 116