Сопротивление материалов

Министерство Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий _____________________________________________________________________________ Академия гражданской защиты Кафедра механики и инженерной графики С.П. Монтвила СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Учебное пособие Химки – 2018 УДК 539.3/6(07) ББК 30.121 Автор: С.П. Монтвила, кандидат технических наук, доцент. Рецензенты: В.И. Булгаков, заведующий кафедрой физики АГЗ МЧС России, кандидат технических наук, доцент; В.А. Малышев, профессор кафедры эксплуатации транспортнотехнологических машин и комплексов АГЗ МЧС России, кандидат военных наук, профессор. Сопротивление материалов. Учебное пособие. – Химки: АГЗ МЧС России, 2018, 198 с., рис. 126, 3 табл., 10 библ. В учебном пособии в сравнительно сжатой форме освещены основные вопросы сопротивления материалов, отражающие современное состояние механики деформируемого твердого тела. Достаточно подробно изложены общие методы определения перемещений и метод сил, расчеты при действии повторных и ударных нагрузок. Приведены элементы теории безмоментных оболочек, дан ряд примеров решения задач. Пособие предназначено для студентов и курсантов Академии гражданской защиты МЧС России, обучающихся по направлению подготовки 23.03.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов». Оно также может быть использовано курсантами и студентами АГЗ, обучающимися по направлениям подготовки 56.05.04 «Управление персоналом», 23.03.01 «Техносферная безопасность» и 25.03.03 «Аэронавигация», при изучении раздела «Сопротивление материалов» дисциплины «Механика». © Академия гражданской защиты МЧС России, 2018 3 ВВЕДЕНИЕ При изучении теоретической механики рассматривалось взаимодействие и движение твердых тел, причем принималось, что все тела являются абсолютно твердыми. В отличие от теоретической механики, сопротивление материалов рассматривает задачи, в которых наиболее существенными являются свойства деформируемых тел, а законы их движения не только отступают на второй план, но в ряде случаев являются попросту несущественными. Поэтому сопротивление материалов рассматривается как раздел механики, называемый механикой деформируемых твердых тел. Все твердые тела в той или иной мере обладают свойствами прочности и жесткости, т. е. способны в определенных пределах воспринимать воздействие внешних сил без разрушения и без существенного изменения геометрических размеров. Сопротивление материалов – наука о прочности и жесткости элементов инженерных конструкций. Методами сопротивления материалов определяют необходимые, как говорят, надежные размеры элементов конструкций, оценивают несущую способность различных инженерных сооружений как в процессе нормальной эксплуатации, так и при чрезвычайных ситуациях природного или техногенного характера. Сопротивление материалов относится к фундаментальным дисциплинам общеинженерной подготовки специалиста с высшим техническим образованием. Эта дисциплина выполняет связующую роль между теоретическими науками (физикой, высшей математикой, теоретической механикой и др.) и специальными дисциплинами, в которых рассматриваются методы решения задач, возникающих при проектировании, эксплуатации и ремонте различных технических устройств. Практически все специальные дисциплины по подготовке инженеров требуют знания тех или иных разделов курса сопротивления материалов, так как создание и использование современной техники невозможно без анализа и оценки ее прочности, жесткости и надежности. В связи с этим данный курс (иногда в виде раздела дисциплины) входит в учебные планы всех специальностей (направлений подготовки), связанных с применением техники. Сопротивление материалов – наука инженерная. Для нее характерно использование приближенных методов, различных гипотез и допущений, опирающихся на опыт и экспериментальные исследования. Именно это позволяет получить практически приемлемые, сравнительно простые приемы расчета типовых, наиболее часто встречающихся элементов конструкций. 4 Вместе с тем, при этом возникает необходимость подтверждать работоспособность полученных методов путем сопоставления расчетных данных с экспериментом. Для успешного изучения сопротивления материалов нужны знания высшей математики, физики и теоретической механики. Основной базой является теоретическая механика и, в первую очередь, законы и теоремы статики, без знания которых изучение сопротивления материалов немыслимо. Настоящее учебное пособие представляет собой доработанный конспект лекций по одноименной дисциплине, читаемой студентам АГЗ, обучающимся по направлению 23.03.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов». 5 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 1.1. Основные понятия и задачи сопротивления материалов Сопротивление материалов – это наука о методах расчёта основных элементов конструкций на прочность, жёсткость и устойчивость. При изучении теоретической механики мы все тела считали абсолютно жёсткими, абсолютно твёрдыми. В действительности реальные тела под действием приложенных сил в той или иной степени деформируются и могут разрушаться. Под разрушением понимается полное нарушение целостности элемента конструкции, вследствие появления и развития трещин. Деформация – это изменение формы и размеров тела под действием приложенных сил. Если после снятия нагрузки форма и размеры тела полностью восстанавливаются, то такая деформация называется упругой, а если не восстанавливается – то пластической или остаточной. Как правило, возникновение пластических деформаций связано с нарушением нормальной работы конструкции и потому считается недопустимым. Под прочностью понимается способность конструкции воспринимать заданную нагрузку не разрушаясь и не получая остаточных деформаций. Деформации нагруженной конструкции обусловливают перемещения её отдельных точек. Так, например, балка, показанная на рис. 1.1, под действием силы Р будет изгибаться, ее точки получают вертикальные перемещения. Рис. 1.1 Допустим, что это вал, на котором закреплено зубчатое колесо. Если перемещения точки крепления колеса превысят некоторые значения, нормальная работа зубчатой пары нарушится, хотя вал достаточно прочен: при снятии нагрузки он полностью восстанавливает свою форму. В таких случаях говорят, что конструкция имеет недостаточную жёсткость. Жёсткость – это способность конструкции воспринимать нагрузки без существенного изменения размеров и формы. Устойчивость – это способность конструкции сохранять под нагрузкой первоначальную форму. 6 Оказывается, что длинные и сравнительно тонкие конструкции при сжатии могут начинать отклоняться от своей первоначальной формы (рис. 1.2), причём этот процесс происходит при незначительных приращениях нагрузки и носит лавинообразный характер. Потеря устойчивости приводит, как правило, к разрушению или к появлению недопустимых остаточных деформаций. Совершенство конструкции оценивают ее надёжностью и экономичностью. Важнейшие требования к технике – обеспечение надёжности при минимальной затрате материала – содержит в себе противоречие, поскольку повышение надёжности достигается чаще всего увеличением размеров элементов, в то время как экономия материала заставляет стремиться к уменьшению размеров. Сопротивление материалов помогает разрешить это противоречие за счёт того, что с помощью методов, разрабатываемых этой наукой, можно определить оптимальные размеры. Рис. 1.2 Сопротивление материалов включает в себя как аналитическую (математическую), так и опытную (экспериментальную) части, тесно связанные между собой. Экспериментальная часть имеет целью изучение механических свойств материалов и физических закономерностей, необходимых для теоретического рассмотрения решаемых задач, а также для проверки результатов теоретических выводов на опыте. В сопротивлении материалов исследование вопроса о прочности реального объекта начинается с выбора расчетной схемы. Приступая к расчету конструкции, следует, прежде всего, установить, что в данном случае является важным, а что несущественно. Реальный объект, освобождённый от несущественных особенностей, носит название расчётной схемы. Для одного и того же объекта может быть предложено несколько расчётных схем в зависимости от того, какая сторона явления интересует исследователя в данном конкретном случае. Критерием правильности расчётных схем является практика в широком смысле этого слова – работа конструкции в реальных условиях эксплуатации. Объектами исследования в сопротивлении материалов являются простые, типовые, наиболее часто встречающиеся элементы конструкций: брус, оболочка, массивное тело. Брусом (стержнем) называется элемент конструкции, длина которого значительно больше его поперечных размеров. Это, например, бревно, железобетонный столб, металлический пруток или уголок и др. (рис. 1.3а). 7 Брус характеризуется осью и поперечным сечением, которые взаимно перпендикулярны. Ось бруса – геометрическое место центров тяжести поперечных сечений. В зависимости от формы оси и поперечного сечения брусья бывают: – прямолинейные (ось – прямая линия) или криволинейные, плоские или пространственные; – с постоянным или переменным поперечным сечением. Рис. 1.3 Элемент конструкции, у которого длина и ширина во много раз превышают его толщину, называют оболочкой (рис. 1.3б). Геометрическое место точек, равноудалённых от внешней и внутренней поверхностей, называют серединной поверхностью. В зависимости от формы серединной поверхности различают – оболочки двойной кривизны (например, сферическая); – цилиндрические или конические оболочки (в одном из направлений сечения плоскостью даёт прямую линию); – пластины (серединная поверхность – плоскость). Массивным телом или массивом называют тело, все три размера которого незначительно отличаются друг от друга. Основной объект исследования в сопротивлении материалов – брус, так как разработка методов его расчёта в большинстве случаев сводится к решению одномерной задачи (все расчётные зависимости зависят от одной величины – длины). Объясняется это тем, что задача сопротивления материалов – создать сравнительно простые, так называемые инженерные методы расчёта, которые позволяют инженеру средней квалификации доводить расчёты прочности, жёсткости и устойчивости до численных результатов. Естественно это возможно лишь при использовании сравнительно простых математических 8 моделей (расчётных схем), получаемых при некоторой идеализации (некотором упрощении) реальных конструкций, за счёт ряда допущений. 1.2. Основные допущения В своей деятельности человек использует множество различных материалов. Это металлы и их сплавы, бетоны, пластмассы, композиционные материалы, дерево и др. Структура и свойства этих материалов весьма различны, полностью учесть в расчётах все реальные свойства материала не представляется возможным. Поэтому в сопротивлении материалов обычно пользуются некоторым условным материалом, наделённым определёнными идеализированными свойствами, т. е. принимают ряд допущений. Рассмотрим основные из них. 1. Материал однороден, его свойства любых, сколь угодно малых частиц, одинаковые. 2. Материал рассматривается как сплошная сфера, без пустот и трещин, конкретная структура (зернистость, волокнистость и др.) не учитывается. Это допущение необходимо для того, чтобы можно было использовать дифференциальное исчисление (бесконечно малые величины). 3. Материал изотропен, т. е. его физико-механические свойства по всем направлениям одинаковы. Если из большого объёма изотропного материала вырезать несколько образцов в разных направлениях (рис. 1.4), то свойства всех образцов будут одинаковы. Данное допущение справедливо для большинства металлов и их сплавов, пластмасс и практически неприемлемо для Рис. 1.4 композиционных материалов и дерева. 4. Материал обладает идеальной упругостью, т. е. после снятия нагрузки тело полностью восстанавливает свои формы и размеры. Рассматриваемые допущения относятся к схематизации свойств материала. Остальные допущения обусловлены особенностями деформаций и перемещений, в первую очередь их малостью по сравнению с геометрическими размерами тела. 5. При составлении уравнений равновесия можно не учитывать изменения в расположении сил, обусловленные деформациями конструкции (принцип начальных размеров). 9 Для пояснения этого принципа рассмотрим кронштейн (рис. 1.5), нагруженный силой Р. Усилия в стержнях зависят от углов  и  , которые известны для недеформированного состояния. После приложения силы Р стержни из-за деформаций изменяют свою длину, в результате углы  и  примут новые значения  1 и  1 . На основании принципа начальных размеров принимается, что 1   , 1   , 1   . 6. Перемещения точек тела прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения. Системы, обладающие таким свойством, принято называть линейнодеформируемыми, а само допущение – принцип Рис. 1.5 линейно-деформируемых систем. 7. Результат действия группы сил не зависит от последовательности нагружения ими конструкции и равен сумме результатов действия каждой из них в отдельности (принцип независимости действия сил или принцип суперпозиции). Допустим, что на стержень (рис. 1.6) действуют три силы: Р1, Р2 и Р3. Рис. 1.6 Под действием этих сил балка деформируется, точка К переместится на величину fк. Заданные силы могут быть приложены разными способами (все три одновременно, по одной и т. д.), однако независимо от этого результат будет одним и тем же. В соответствии с данным принципом полный прогиб fк, вызванный действием трёх сил fк = f1к + f2к + f3к, где fiк – прогиб точки К, вызванный i-й силой. Таковы основные допущения, принимаемые при решении большинства задач сопротивления материалов. Для решения ряда конкретных задач требуются некоторые дополнительные допущения, о которых будем говорить каждый раз в процессе постановки задачи. 10 1.3. Внутренние силы. Метод сечений. Внутренние силовые факторы Объект расчёта в сопротивлении материалов обычно рассматривается изолированно от окружающих его тел, действие же последних на него заменяют силами, которые принято называть внешними. Внешние силы могут быть объемными или поверхностными. Объёмные силы распределены по всему объёму тела и приложены к каждой его частице. Это силы веса, инерционные силы и др. Поверхностные силы приложены к участкам поверхности тела и характеризуют контактное взаимодействие рассматриваемого тела с окружающими объектами. Поверхностные силы могут быть: – сосредоточенными, когда поверхность контакта взаимодействия мала (колесо на рельсе, усилия в соединении деталей и др.); – распределёнными по площади (нагрузка на плотину со стороны воды, снеговая нагрузка на крышу, аэродинамическая нагрузка на крыло самолёта); – распределёнными по длине (обледеневший провод, нагрузка на балку перекрытия от плит и др.). К числу внешних сил относятся не только заданные (активные) силы, но и реакции связей, дополняющие систему сил до равновесной. Систему внешних сил – заданных и реакций связей – приложенных к рассматриваемому телу и составляющих уравновешенную систему сил называют нагрузкой. Внешние силы, действующие на тело, деформируют его. При деформации тела расстояния между его частицами изменяются, при этом возникают дополнительные силы взаимодействия – силы упругости, которые стремятся вернуть частицы в исходное положение. Эти дополнительные силы взаимодействия между частицами тела называют внутренними силами. Межмолекулярные силы взаимодействия между частицами твёрдого тела существуют и при отсутствии внешних сил, однако в недеформированном состоянии их равнодействующая равна нулю. При деформации тела происходит перегруппировка, упорядочивание этих сил, появляется их равнодействующая. С ростом нагрузки увеличиваются и внутренние силы. Однако внутренние силы ограничены по величине, с ростом нагрузки наступает момент, когда внутренние силы не могут уравновесить нагрузку, материал разрушается. Отсюда следует, что для оценки прочности необходимо уметь определять внутренние силы. 11 Для определения внутренних сил применяют метод сечений. Сущность этого метода рассмотрим на простом примере. Пусть на тело, имеющее форму бруса, действует уравновешенная система сил Р1 = 2кН; Р2 = 3кН; Р3 = 5кН (рис. 1.7). Для определения внутренних сил с помощью метода сечений проводятся последовательно четыре операции. 1. Рассекаем брус в интересующем нас сечении воображаемой плоскостью, перпендикулярной к оси бруса. 2. Отбрасываем одну из частей бруса. Можно отбрасывать любую часть, обычно оставляем для рассмотрения ту часть, на которую действует более простая система сил. Мы сначала отбросим правую часть. 3. Заменяем действие отброшенной части на оставшуюся внутренними силами, их равнодействующей. В конкретно рассматриваемом случае – продольной силой N. 4. Составляем уравнения равновесия оставленной части, из которых и находятся внутренние силы. В нашем случае условие равновесия F kx  0;  P3  N  0 ; N  P3  5 кН Из примера видно, что в методе сечений внутренние силы как бы переводятся в категорию внешних и затем определяются из условий равновесия. Если же взять для рассмотрения правую часть бруса и обозначить действующие на эту часть внутренние силы через N  , то получим  N   2  3  0; N   5Кн. N  N . Рис. 1.7 Полученный результат ещё раз подтверждает закон равенства действия и противодействия: силы взаимодействия двух частей бруса или внутренние силы на обеих частях бруса равны по величине и противоположны по направлению. Исходя из допущений оплошности и однородности материала, можно сделать вывод о том, что внутренние силы – это силы, распределённые по всей 12 поверхности поперечного сечения. В рассматриваемом примере мы определили равнодействующую распределённых внутренних сил, как иногда говорят, статический эквивалент внутренних сил. В общем случае нагружения, когда на рассматриваемую часть бруса действует произвольная пространственная система сил, распределённые по  сечению внутренние силы можно привести к главному вектору R и главному  M моменту , приложенным в центре тяжести сечения (рис. 1.8). Выберем систему координат Oxyz с началом в центре тяжести сечения и    0; m разложим R и M на составляющие, на три силы и три момента. Составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил называются внутренними силовыми факторами, действующими в сечении бруса, причём каждый из них имеет своё название: – N – продольная (нормальная) сила, вызывает растяжение или сжатие бруса; – Qx и Qy – поперечные силы в горизонтальной и в вертикальной плоскостях, вызывают сдвиг (срез); – Mx и My – изгибающие моменты в горизонтальной и в вертикальной плоскостях, вызывают изгиб бруса; – Мz – крутящий момент, вызывает закручивание бруса. Внутренние силовые факторы при заданных внешних силах можно определить из условия равновесия рассматриваемой части бруса. Если система внешних сил, действующая на рассматриваемую часть бруса, – произвольная пространственная, то тогда условий равновесия будет шесть:  Fkx  0 ;  Fky  0 ;  Fkz  0 ; m x y  0; m z  0. При более простых системах сил уравнений равновесия будет меньше. В рассмотренном нами примере таких условий было одно:  Fkx  0 . Рис. 1.8 Таким образом, внутренние силы – это силы, распределённые по всему поперечному сечению. Они дополняют систему внешних сил, действующих на рассматриваемую часть бруса, до равновесной. Суммарные характеристики внутренних сил – внутренние силовые факторы – можно определить методом сечений. 13 1.4. Напряжения, перемещения, деформации Чтобы характеризовать распределение внутренних сил по поперечному сечению, необходима какая-либо их количественная характеристика. Такой характеристикой является напряжение. Рассмотрим сечение некоторого тела (рис. 1.9). В окрестности точки К выделим элементарную площадку  S и пусть известно, что равнодействующая внутренних сил по этой площадке равна  R. Тогда среднее напряжение   p  R S , а истинное напряжение или cp Рис. 1.9 просто напряжение    R dR p  lim  . S  0 S dS (1.1) Как видно из данной формулы, напряжением в точке называется сила, приходящаяся на единицу площади, выделенной вокруг этой точки. Напряжение – величина векторная. Его размерность – сила на единицу площади. Направление вектора напряжения совпадает с направлением вектора внутренних сил в данной точке. Рис. 1.10  Вектор полного напряжения p может быть разложен на две составляющие (рис.1.10): – направленную вдоль нормали к сечению, называемую нормальным напряжением  ; 14 – лежащую в плоскости сечения и называемую касательным напряжением  . Касательное напряжение, в свою очередь, можно разложить на составляющие  x и координат. y, направленные вдоль соответствующих осей Очевидно, что   y2   x2 ; p   2   2 . (1.2) Разложение полного напряжения на нормальное и касательное имеет определённый физический смысл. Нормальное напряжение характеризует взаимный отрыв или взаимное сжатие частиц, а касательное напряжение – интенсивность взаимного сдвига. Напряжение – это по существу и есть внутренние силы. По их величине можно судить о прочности конструкции. Кроме того, существует взаимосвязь между напряжениями и внутренними силовыми факторами. Действительно, умножая напряжение  , x и y на элементарную площадь dS, мы получим элементарные внутренние силы dN    dS ; dQy =  y dS ; dQx =  x dS (рис. 1.11). Суммируя эти силы по всей площади поперечного сечения, получим составляющие главного вектора внутренних сил. N     dS ; Q y    y dS . Qx    x  dS ; S S (1.3) S Умножая каждую из элементарных сил на расстояния до соответствующей оси, получим элементарные моменты внутренних сил: dM z  dQx  y  dQ y  x   x  ydS   y  xdS  ( x  y   y  x)dS ; dM x  dN  y    ydS . dM y  dN  x    xdS ; Суммируя элементарные моменты по всей площади сечения, получаем составляющие главного момента внутренних сил: M z   ( x  y   y  x)dS ; S M y     xdS ; (1.4) S M x     y dS . S Обращаем внимание на то, что формулы (1.3) и (1.4) непригодны для вычисления внутренних силовых факторов, так как Рис. 1.11 напряжения  ,  z и  y можно найти только после того, как известны внутренние 15 силовые факторы. Последние находятся методом сечений и выражаются через внешние силы. Как мы уже отметили, все существующие в природе материалы при приложении к ним сил в той или иной степени меняют свою форму и размеры. Возьмём произвольное (не обязательно поперечное сечение) сечение тела, например, бруса, показанного на рис. 1.12а. Рис. 1.12 Отметим в этом сечении до приложения нагрузки линиями ОА и ОВ прямой угол (рис. 1.12б). После приложения нагрузки точки О, А и В займут другие положения, например O, A и B  . Рассмотрим основные величины, характеризующие изменение формы и размеров тела. Вектор АA – вектор полного перемещения точки А. Пусть до нагружения тела длина ОВ составляла d , а после нагружения – d  d . Величина d называется абсолютным удлинением, величина d  ОВ  (1.5) d – относительным удлинением или линейной деформацией в направлении ОB. Деформация в той же точке, но в другом направлении в общем случае будет другой (сторона ОА угла может, например, не удлиниться, а укоротиться). 16 Изменение первоначального прямого угла между отрезками ОА и ОВ после приложения нагрузки, выраженное в радианах, называется угловой деформацией или углом сдвига:  АОВ  АОВ  АОВ   1   2 . (1.6) Как линейные, так и угловые деформации для большинства материалов составляют тысячные доли, т.е. являются малыми величинами. Именно малость деформации служит обоснованием принципа начальных размеров и принципа независимости действия сил. 17 2. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ 2.1. Эпюры продольных сил Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только продольная сила, а все другие внутренние силовые факторы равны нулю. Для внутренних силовых факторов используются свои правила знаков, существенно отличающиеся от правил знаков для сил и моментов, используемых в теоретической механике. Объясняется это тем, что знак внутреннего силового фактора связывают не с направлением координатных осей, а с деформацией бруса. Так, продольная сила считается положительной, если она растягивает брус, и отрицательной – если сжимает (рис. 2.1). Рис. 2.1 Правило знаков для N можно сформулировать и следующим образом: нормальная сила, направленная от сечения, считается положительной, а направленная к сечению – отрицательной. Значения продольной силы в сечениях бруса определяются методом сечений. Из этого метода следует правило для её вычисления: продольная сила в рассматриваемом сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, на перпендикуляр к плоскости сечения (на ось бруса, если он прямой). График, показывающий изменение продольной силы по длине бруса, называют эпюрой. Эпюру продольных сил строят для того, чтобы её использовать при расчёте на прочность. Она обеспечивает большую наглядность, даёт возможность сразу найти наибольшее значение силы и положение сечения, в котором она возникает. Рекомендуется следующий алгоритм построения эпюры продольных сил. 1. Определяются реакции связей (эпюры можно строить только для брусьев, находящихся в равновесии). 2. Брус делится на участки. 3. В каждом из участков с помощью метода сечений вычисляются значения продольных сил. 4. Строится эпюра. 18 Более подробно порядок построения эпюр продольных сил рассмотрим на примере. Построим эпюру продольных сил для бруса, показанного на рис. 2.2. Рис. 2.2 Задачу будем решать в рекомендованной выше последовательности. 1. Реакции связей находим по правилам теоретической механики. Показываем реакцию на схеме (при данной системе внешних сил в заделке будет только горизонтальная составляющая реакции), выбираем направление оси z и составляем уравнение равновесия  Fkz  0 : RA - P3 - P2 + P1=0; RA = P3 +P2– P1= 80+230 – 120 = 190кН. Положительное значение реакции говорит о том, что мы «угадали» ее направление. 2. Разбиваем брус на участки. Границами участков являются: – места приложения сосредоточенных сил; – места изменения поперечного сечения бруса или места перелома оси; – границы участков с распределённой нагрузкой. В нашем примере участков будет три. 3. Применяем метод сечений. Мысленно разрезаем брус произвольно расположенным сечением на участке I, отбрасываем правую часть и рассматриваем только левую (рис. 2.2б). Действие отброшенной правой части 19 заменяем внутренней продольной силой N1, которая должна обеспечить равновесие левой части бруса. Так как значение N1 заранее неизвестно, считаем ее положительной,, и направляем от сечения. Тогда, из условия равновесия левой части бруса RA + N1 = 0, получаем: N1=–RA= –190 кН, причём значение силы N1 будет таким же в любом сечении, взятом на участке I. Знак «минус» означает, что сила N1 фактически направлена в противоположную сторону и сжимает брус, т. е. является отрицательной. Далее разрезаем мысленно брус произвольно расположенным сечением на участке II и рассматриваем левую часть бруса (рис. 2.2в). Слева от данного сечения на брус действуют силы RA и P3.Тогда, по правилу вычисления продольной силы, N2 = –RA+ P3 =–190 + 80= –110кН. Знаки слагаемых обусловлены тем, что сила RA направлена к рассматриваемому сечению (сжимает брус), а сила Р3 – от сечения и, следовательно, растягивает брус. Полученное значение продольной силы справедливо для любого сечения внутри второго участка бруса. Аналогично определяем продольную силу на третьем участке, однако здесь удобнее рассматривать не левую, а правую часть бруса (рис. 2.2г). По правилу для вычисления продольной силы N3 = P1 = 120 кН, так как на данную часть действует только одна внешняя сила Р1, которая растягивает рассматриваемый участок бруса. К аналогичному результату можно прийти, рассматривая левую часть бруса после мысленного его рассечения на участке III: N1 = –RA+ P3 + P2 = –190+ 80+ 230 =120 кН. 4. Для построения эпюры N проводится ось, которая должна быть параллельна оси бруса. Значения N откладываются в выбранном масштабе, причём положительные значения откладывают вверх, а отрицательные – вниз (рис. 2.2д). В местах приложения сосредоточенных сил эпюра делает «скачок», равный абсолютному значению приложенной силы. Это обстоятельство можно и нужно использовать для проверки правильности построения эпюр. Эпюра штрихуется линиями, перпендикулярными к оси эпюры. Штриховка имеет физический смысл: длина ординаты соответствует значению продольной силы в том сечении, от которого отходит линия штриховки. Около эпюры (слева или справа) обычно ставится её символ, в данном случае N, в круглой или прямоугольной рамке. Рядом с символом указывают единицы измерения продольной силы, в данном случае кН. 20 Построение эпюр внутренних силовых факторов является обязательным этапом расчёта конструкций на прочность. Именно на усилия, определяемые из эпюры N, необходимо рассчитать соответствующий участок бруса. Необходимо также чётко усвоить разницу между внешними силами и внутренними силовыми факторами. В рассмотренном нами примере одна из внешних сил Р2 = 230 кН. Однако, как следует из эпюры N, максимальное усилие, на которое необходимо рассчитывать брус, составляет только 190 кН, причём этот участок расположен далеко от места приложения силы Р2. Объясняется это тем, что внутренний силовой фактор – это обобщённый результат действия всех внешних сил и реакций связей, расположенных по одну сторону от сечения. Если в рассмотренном примере внешние силы P1 и P2 поменять местами, то максимальное значение продольной силы составит NIII = = –230 кН. 2.2. Напряжения и деформации при растяжении (сжатии). Закон Гука Ранее мы выяснили, что продольная сила, эпюры которой мы научились строить, есть не что иное, как равнодействующая нормальных напряжений, т. е. N    dS . (2.1) S Непосредственно из этого выражения напряжения определить нельзя, так как неизвестен закон их распределения по площади сечения. Для определения напряжений (для выявления закона распределения напряжений по сечению) используют гипотезу плоских сечений: сечения, плоские и перпендикулярные к оси бруса до его нагружения, остаются такими же и после нагружения. Эта гипотеза была предложена Я. Бернулли на основании ряда опытов и наблюдений. Из неё следует, что поперечные сечения в процессе растяжения перемещаются вдоль оси бруса (рис. 2.3), оставаясь параллельными самим себе. Если представить, что брус состоит из множества тонких изолированных брусьев, называемых волокнами, то все волокна будут деформироваться совершенно одинаково. А это возможно в том случае, если к ним приложены совершенно одинаковые силы. Иначе говоря, из гипотезы плоских сечений следует, что при растяжении (сжатии) напряжения во всех точках сечения одинаковы, т. е.  = const. Тогда N    dS   S  dS   S , т.е. S 𝜎 = 𝑁⁄𝑆. (2.2) 21 Рис. 2.3 Для нормальных напряжений принято такое же правило знаков, как и для продольной силы: растягивающие напряжения считаются положительными, сжимающие – отрицательными. Формула (2.2), полученная на основании гипотезы плоских сечений, приемлема лишь для сечений, достаточно удалённых от мест приложения сосредоточенных сил. Когда внешняя нагрузка приложена в виде распределённой нагрузки q (рис. 2.4б), тогда гипотеза плоских сечений выполняется строго во всех сечениях. Рис. 2.4 Если же нагрузка приложена в виде сосредоточенных сил, то вблизи мест их приложения сечения перестают быть плоскими и напряжения распределяются по сечению неравномерно (рис. 2.4а). По мере удаления от мест приложения сосредоточенных сил неравномерность распределения напряжений уменьшается и на удалении, примерно равном максимальному 22 размеру поперечного сечения, напряжения в сечении можно считать постоянными (рис. 2.2а). В этом состоит сущность принципа Сан-Венана, который можно сформулировать следующим образом: Распределение напряжений существенно зависит от способа приложения внешних сил лишь вблизи места нагружения. В частях бруса, достаточно удалённых от мест приложения сосредоточенных сил, распределение напряжений не зависит от способа их приложения. Неравномерное распределение напряжений по сечению имеет местотакже в местах резкого изменения формы и размеров поперечного сечения. Это явление называется концентрацией напряжений. Причинами, вызывающими концентрацию напряжений (концентраторами), могут служить отверстия, вырезы, ступенчатое изменение сечения и др. Концентрация напряжений носит явно выраженный местный характер. Основным показателем неравномерности напряжений является теоретический коэффициент концентрации напряжений KT   макс /  ном , где  макс – наибольшее местное напряжение;  ном – номинальное напряжение, т.е. напряжение, определённое без учёта концентрации. Значения коэффициента KT для различных концентраторов рассчитываются методами математической теории упругости и при расчётах в сопротивлении материалов используются как справочные величины. При растяжении бруса его длина  увеличивается на  , а поперечные размеры а и b уменьшаются соответственно на а и b (рис. 2.5). Рис. 2.5 На основании опытов установлено, что N   , ES где N – продольная сила;  – первоначальная длина; S – площадь поперечного сечения; Е – модуль упругости. (2.3) 23 Выражение (2.3) называется законом Гука по фамилии учёного, впервые открывшего этот закон в 1678 г. Закон Гука можно записать и в другом виде. После деления на  и замены N / S   , получаем    / Е или (2.4)   Е . Модуль упругости Е – это характеристика материала. Чем больше эта величина, тем меньше изменяется длина стержня при прочих равных условиях. Таким образом, модуль упругости Е характеризует сопротивляемость материала упругой деформации при растяжении или сжатии. Модуль упругости измеряется в единицах напряжения, т. е. Па, МПа и др. Значение модуля упругости материала определяется экспериментально и обычно приводится в справочных данных по характеристикам материалов. Для сталей Е = (1,95…2,1) 1011Па. Как уже упоминалось, величина 𝛥𝑙⁄𝑙 = 𝜀 называется продольной деформацией. По аналогии с продольной, вводится и понятие поперечной деформации a b a1  a b1  b      . a b a b При растяжении бруса его поперечные размеры уменьшаются. Поэтому поперечная деформация имеет противоположный знак по сравнению с продольной. Экспериментально доказано, что продольная и поперечная деформации пропорциональны друг другу. Их отношение для данного материала есть величина постоянная и носит название коэффициента Пуассона  :   .  (2.5) Значение коэффициента  для разных материалов изменяется в пределах от 0 до 0,5. Для пробкового дерева 𝜇 ≈ 0, для каучука и резины   0,5, для большинства металлов  = 0,26…0,32. Величины Е и  называют характеристиками упругости материала, они определяются опытным путём. Рассмотрим перемещения сечений бруса при растяжении или сжатии. Для бруса (рис. 2.6) заданы его длина  , площадь поперечного сечения S, модуль упругости E и растягивающая сила Р. Левый конец бруса закреплён и, следовательно, перемещаться не может. Что касается других сечений, то при действии силы Р они будут перемещаться вправо, причём для разных сечений это перемещение будет разным. Определим эти перемещения, обозначив их через u(z) =  (z). 24 Выделим из стержня двумя сечениями участок длиной dz. После приложения силы Р его длина увеличится на величину dz . Из определения dz деформации   следует, что dz  N P dz   dz  dz  dz  dz . E ES ES Для того, чтобы определить перемещение сечений бруса в сечении z, необходимо просуммировать все удлинения, т. е. взять интеграл x N P Nz dz  z . ES ES ES o u ( z )  ( z )   Как видно из полученного выражения, перемещения сечения являются линейной функцией координаты z, т.е. длины бруса. Для построения эпюры (графика) перемещений находим две точки: При z = 0 u(z) = 0, при z = l u(z )= Nℓ/ES. По полученным значениям строится эпюра перемещений u (рис. 2.6). Таким образом, при постоянных значениях N ,S и Е удлинение стержня определится по формуле 𝛥𝑙 = 𝑁𝑙⁄𝐸𝑆. Рис. 2.6 Если брус имеет несколько участков с различными постоянными значениями N, S и Е, то перемещения сечений находятся алгебраическим суммированием перемещений отдельных участков, начиная с неподвижной точки: u Ni  i . Ei Si (2.5) 25 Для участка бруса с переменным поперечным сечением S = S(z) и переменной по длине продольной силе N = N(z), удлинение участка бруса  N ( z) dz. S ( z ) Е o u     (2.6) При практических расчётах иногда удобно ввести понятие продольной жёсткости бруса с ЕS .  Жёсткость бруса численно равна силе, вызывающей удлинение (или укорочение) на единицу длины (один метр, один миллиметр и т. д.). Тогда удлинение стержня u    N / c. (2.7) 2.3. Диаграммы растяжения (сжатия) материалов При выборе материала для какой-либо конструкции необходимо знать его механические характеристики: прочность, модуль упругости, коэффициент Пуассона и др. Необходимые сведения о различных механических свойствах материалов получают экспериментально в процессе их испытаний на растяжение, сжатие, срез, кручение и изгиб. Наиболее распространёнными являются испытания на растяжение статической (медленно меняющейся) нагрузкой. Для них из испытуемого материала изготовляются стандартные образцы, т. е. образцы, имеющие вполне определённую форму и размеры. Применяются образцы с круглым и прямоугольным поперечным сечением нескольких типоразмеров. Образцы испытывают на разрывных машинах, которые нагружают их до разрушения. Обычно машины имеют диаграммный аппарат, который вычерчивает зависимость между растягивающей силой Р = N и удлинением образца  (рис. 2.7). Представленная здесь диаграмма характерна для малоуглеродистых сталей. Диаграмма имеет ряд характерных участков. В начале нагружения (до точки А с ординатой Рпц) удлинение  растёт прямо пропорционально нагрузке Р, чем подтверждается закон Гука. Поэтому участок ОА называют участком закона Гука. Далее пропорциональность между Р и  нарушается. При некотором значении силы Р = РТ образец удлиняется без увеличения нагрузки. Это явление называется текучестью материала, а горизонтальный участок диаграммы в окрестностях точки В – площадкой текучести. 26 Рис. 2.7 По окончании площадки текучести нагрузка на образец вновь начинает расти до максимального значения Рмакс. Если при достижении точки Е образец полностью разгрузить, то процесс разгрузки изобразится линией ЕК, параллельной участку ОА диаграммы. Следовательно, полное удлинение образца ОМ состоит из упругой деформации, соответствующей участку КМ и исчезающей в процессе снятия нагрузки, и пластической, соответствующей участку ОК:    ост   упр . Если теперь образец снова нагрузить, то окажется, что диаграмма пойдёт по кривой КЕСD. При этом можно считать, что мы испытываем образец, который не имеет площадки текучести, имеет больший линейный участок и меньшее удлинение. Следовательно, предварительное нагружение образца выше площадки текучести повышает его упругие свойства. Это явление называется наклёпом, а участок ВС диаграммы – участком упрочнения. До достижения максимальной нагрузки деформация всех участков образца проходит одинаково, его поперечные сечения несколько уменьшаются, однако остаются одинаковыми по всей длине. В точке С диаграммы на образце появляется местное сужение поперечного сечения (так называемая шейка), в результате чего нагрузка начинает уменьшаться, хотя истинные напряжения в образце продолжают расти. В точке D образец разрушается. Участок СD называют участком 27 местных деформаций. В момент разрыва образец имеет ярко выраженное утоньшение, т. е. шейку (рис. 2.8) Рис. 2.8 Некоторые пластичные материалы (медь, алюминий) не имеют ярко выраженной площадки текучести (рис. 2.9). Для большинства хрупких материалов диаграмма растяжения имеет вид, показанный на рис. 2.10. Их разрыв происходит при относительно малых удлинениях и без образования шейки. К таким материалам относятся стекло, титан. Рис. 2.9 Рис 2.11 Рис. 2.10 Рис. 2.12 Некоторые материалы, например, чугуны, не имеют линейного участка (рис. 2.11). При испытаниях на сжатие должны использоваться короткие образцы (ℓ/d ≈ 2), в противном случае происходит их искривление – потеря устойчивости. Образцы из пластичных материалов при сжатии довести до разрушения не удаётся, т. к. образец расплющивается и для разрушения не хватает мощности (усилия) машины. Диаграмма сжатия таких материалов имеет вид, показанный на рис. 2.12. 28 При испытании на сжатие хрупких материалов происходит их разрушение при незначительных удлинениях по наклонным или продольным плоскостям. Диаграмма сжатия таких материалов аналогична диаграмме, показанной на рис. 2.10. 2.4. Основные механические характеристики материалов Чтобы получить механические характеристики материала, диаграмму, полученную при испытаниях образца, необходимо перестроить в условную диаграмму растяжения в координатах  ,  , не зависящую от абсолютных размеров образца. Для этого все абсциссы необходимо разделить на рабочую длину образца  о , а ординаты – на площадь поперечного сечения недеформированного образца S o . Таким образом, условная диаграмма растяжения отличается от реальной только масштабом (рис. 2.13). Рис. 2.13 На рис. 2.13 отмечены основные характеристики прочности материала: 1. 𝜎пц = 𝑃пц ⁄𝑆0 – предел пропорциональности – наибольшее напряжение, при котором справедлив закон Гука (это конец линейного участка). 2. 𝜎Т = 𝑃Т ⁄𝑆0 – предел текучести – напряжение, при котором происходит рост пластических деформаций при практически постоянной нагрузке. 29 3. 𝜎в = 𝑃𝑚𝑎𝑥 ⁄𝑆0 – предел прочности (временное сопротивление) – это отношение максимальной нагрузки, которую выдерживает образец к начальной площади его поперечного сечения. 4. 𝜎𝑦 = 𝑃𝑦 ⁄𝑆0 – предел упругости – наибольшее напряжение, при котором в образце ещё не возникают остаточные деформации. Предел упругости существует независимо от предела пропорциональности. Он характеризует начало перехода от упругих деформаций к упругопластическим. Для большинства материалов σпц и σу незначительно отличаются друг от друга, поэтому обычно считают, что они практически совпадают. Помимо характеристик прочности по результатам испытаний на растяжение определяются и характеристики пластичности: 1. Относительное остаточное удлинение после разрыва     1 о  100 % , (2.8) o где  1 – рабочая длина образца после разрыва (рис. 2.14);  о – рабочая длина образца до нагружения. 2. Относительное остаточное сужение площади поперечного сечения при разрыве S S   о 1 100 % , (2.9) So где S1 – площадь наиболее тонкого места шейки, вычисляемое по диаметру d1 (рис. 2.14); Пластичностью называется способность материала получать большие остаточные деформации без разрушения. Свойство, противоположное пластичности, т. е. способность разрушаться без заметных остаточных деформаций, называется хрупкостью. Между пластичными и хрупкими материалами нет чёткой границы. Условно считают материалы хрупкими, если у них   l l0  5%, и пластичными, – если   5% . Для пластичных материалов, у которых нет чётко выраженной площадки текучести (рис. 2.15) определяют условный предел текучести 𝜎0,2 – это напряжение, при котором остаточная деформация образца  ост  0,002 (0,2 %). Для её определения на оси деформаций откладывают величину 0,002 и проводят прямую, параллельную начальному участку диаграммы (рис. 2.15). Ордината точки пересечения прямой и диаграммы дает численное значение условного предела текучести. 30 Условная диаграмма растяжения позволяет определять и модуль упругости. Так как из закона Гука 𝐸 = 𝜎⁄𝜀 то, как видно из рис. 2.15, Е  tg , (2.10) где  – угол наклона условной диаграммы на начальном прямолинейном участке. Рис. 2.14 У пластичных материалов определяемый при растяжении и сжатии, как правило, практически одинаковый, т. е.  ТР   ТС . Рис. 2.15 предел текучести, Что касается предела прочности при сжатии, то этой характеристики для пластичных материалов получить практически нельзя. У некоторых упругих материалов (чугуна, керамики, некоторых пластмасс) предел прочности при растяжении и сжатии существенно отличается (в 2…10 раз). Это необходимо учитывать при определении допускаемых напряжений. 2.5. Условие прочности при растяжении (сжатии). Допускаемые напряжения Наиболее распространенным методом расчёта деталей машин и элементов сооружений на прочность является расчёт по допускаемым напряжениям. В основу этого метода положено предположение, что 31 определяющим параметром надёжности конструкции является напряжение или, точнее говоря, напряжённое состояние в точке. Расчёт выполняется в следующем порядке. На основании анализа напряжённого состояния конструкции выявляется та точка конструкции, где возникают наибольшие напряжения. Расчётная величина напряжений сопоставляется с допустимой величиной напряжений для данного материала, полученной на основе предварительных лабораторных испытаний. Из сопоставления найденных расчётных напряжений и допускаемых напряжений делается заключение о прочности конструкции. Основой данного метода является предположение, что конструкция будет надёжно работать, если выполняется условие прочности  макс    (2.11) где  макс – наибольшее рабочее (расчётное, действующее) напряжение в одной из точек опасного сечения, определяемое расчётом;   – допускаемое напряжение, т.е. напряжение, которое допускается в материале конструкции или напряжение, при котором обеспечивается прочность. Как же определить допускаемое напряжение? Очевидно, что при работе конструкции не должно быть разрушения и остаточных деформаций. Это будет обеспечено, если для пластичных материалов напряжение будет меньше предела текучести (см. рис. 2.13), а для хрупких материалов – предела прочности. Поэтому [𝜎] = 𝜎пред ⁄𝑛,где 𝜎пред – предельное (опасное) напряжение; n – коэффициент запаса прочности. Из предыдущих рассуждений следует, что   пред   T  в для пластичных материалов; (2.12) для хрупких материалов. Коэффициент n всегда больше единицы, он уменьшает допускаемые напряжения по сравнению с предельными и, следовательно, создаёт некоторый запас прочности. Основными факторами, которые влияют на выбор значений n, являются: – точность определения действующих нагрузок и используемых методов расчёта; – степень однородности применяемого материала и изученность его свойств; – ответственность детали или последствия, к которым может привести её разрушение. 32 Значения   или n устанавливаются техническими условиями или нормами проектирования для каждой отрасли техники. Ориентировочные значение коэффициентов запаса прочности: n = =1,5…2,5 – для пластичных материалов; n = 2…4 – для хрупких материалов. Для материалов, неодинаково работающих на растяжение и на сжатие, допускаемые напряжения определяются для каждого вида деформации:  р   вр ; n  c   вc . n Иногда условие прочности при растяжении (сжатии) записывают в виде n   пред  max  n , (2.13) где n  – требуемый (нормативный) коэффициент запаса прочности. Иногда, с целью экономии материала, допускают некоторое превышение расчётных напряжений над допускаемыми, однако это превышение не должно превышать 3…5%. Перепишем условие прочности при растяжении-сжатии в виде: N  макс    . (2.14) S Это условие прочности связывает между собой нагрузки, геометрические данные конструкции и допускаемые напряжения, т.е. свойства материала. В зависимости от определяемых и заданных величин различают три вида расчётов. 1. Проверочный расчёт – заданы нагрузки, геометрия конструкции и допускаемые напряжения. Необходимо проверить, выполняется ли условие прочности. 2. Проектный расчёт – заданы нагрузки и материал (допускаемые напряжения). Требуется определить размеры сечения. 3. Определение допустимой нагрузки – заданы размеры сечения и допускаемые напряжения, требуется определить допускаемую нагрузку. 2.6. Работа внешних сил и потенциальная энергия деформации Внешние силы, приложенные к упругой конструкции за счёт перемещений точек их приложения, совершают работу А. При статическом нагружении можно пренебречь кинетической энергией движущихся частиц тела и считать, что вся работа А переходит в потенциальную энергию W деформации, т. е. что A  W . Потенциальная энергия при снятии нагрузок (внешних сил) может совершать работу, например, разогнать камень в рогатке до достаточно 33 большой скорости. Следовательно, упругое тело может служить аккумулятором энергии. Рассмотрим брус (рис. 2.16) длиной  и поперечным сечением S, растянутый силой Р. Для увеличения наглядности удлинение  бруса покажем в увеличенном масштабе, чтобы совместить его с графиком изменения силы. Рис. 2.16 При статическом (медленном) приложении силы её величина будет изменяться линейно от нуля в момент приложения, когда удлинение равно нулю, до своего конечного значения Р. Следовательно, работа внешней силы 1 А  Р, (2.15) 2 так как она равна площади заштрихованного треугольника на рис. 2.16. Формула (2.15) есть математическое выражение теоремы Клапейрона, справедливой для всех линейно-деформированных систем: работа силы, статически приложенной к линейно-деформированной системе, равна половине произведения конечного значения силы на конечное значение перемещения. Это теорема справедлива для любых видов деформации (сдвига, изгиба, кручения). Найдём теперь выражение для потенциальной энергии, которую принято выражать через внутренние силы. Для этого выделим элемент бруса длиной dz (рис. 2.16). Под действием внутренней силы N = P этот элемент увеличивает свою длину на величину Ndz dz  . ES Потенциальная энергия выделенного элемента будет равна работе внутренней силы 34 dW  1 1 Ndz N 2 dz , Ndz  N  2 2 ES 2 ES а потенциальная энергия всего бруса  N 2 dx W  . 2 ES o (2.16) Если N, Е и S – величины постоянные, то N 2 W . (2.17) 2 ES Для того чтобы исключить влияние размеров бруса и судить об энергоёмкости материала, вводится понятие удельной потенциальной энергии деформации W N 2 1   , V 2 ES S   где V  S   – объём бруса. По физическому смыслу удельная потенциальная энергия деформации – это энергия, накапливаемая в единице объёма материала. С учётом того, что 𝑁⁄𝑆 = 𝜎; 𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀, получаем: w  2   E    w   . 2E 2E 2 (2.18) В системе СИ единицей измерения энергии и работы является Джоуль – это работа, совершаемая силой 1 Н на перемещении 1 м. Следовательно, единицы измерения для удельной потенциальной энергии деформации – Дж/м3. Одним из самых энергоёмких материалов является резина, так как она допускает очень большие относительные удлинения (для резины   2 , в то время как для большинства металлов при работе в пределах упругости   0,001). Если к стержню (брусу) приложено несколько сил в разных его точках, то 1 А   Рi  i ; 2 W  N i2 i . 2Si Ei (2.19) При действии на стержень нескольких сил работа некоторых из них может быть отрицательной. Это имеет место в том случае, если направления действия силы и направление перемещения точки её приложения противоположны. Выражения для энергии деформации используются при определении перемещений в сложных упругих системах. 35 Применение условия на примере. прочности при растяжении-сжатии покажем Пример 2.1. К кронштейну, состоящему из двух стержней (рис. 2.17) крепится груз массой 4000 кг. Стержни изготовлены из материала ст. 2 с прочность стержней, если n =1,5.  Т  240 МПа. Проверить Рис. 2.17 Нагрузка на узел G  m  g  4000  9,81  39240H  39,24 кН . Для определения усилий в стержнях рассмотрим равновесие узла В (рис. 2.17б). Это система сходящихся сил, для неё можно составить два условия равновесия: F F кх 0 кy 0 o o   N1  cos 60  N 2  cos 45  0;  o o   N1  cos 30  N 2  cos 45  G  0. Решая полученную систему уравнений, получаем: N1  28,73 кН ; N 2  0,707 N1  20,31 кН . Определим площади поперечных сечений стержней d12 3,14  (0,016) 2 S1    2,01  10  4 м 2  2,01 см 2 ; 4 4 d 2 3,14  (0,013) 2 S2  2   1,33  10  4 м 2  1,33 см 2 . 4 4 Напряжения в стержнях 1  N1 28,73  103   142,9  106 Па  142,9 МПа ; S1 2,01  10  4 2  N 2 20,31  103   152,7  106 Па  152,7 МПа . 4 S 2 1,33  10 Фактические значения коэффициентов запаса прочности  240 T 240 106  1,57 > n  1,5 .   1,68 > n  1,5 ; n2  T  6  2 152,7  1 142,9 10 Поскольку фактические значения коэффициентов запаса прочности больше нормативного, то прочность стержней обеспечена. n1  36 3. НАПРЯЖЁННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 3.1. Виды напряжённых состояний. Главные площадки и главные напряжения Напряжённое состояние в данной точке тела характеризуется совокупностью нормальных и касательных напряжений, возникающих на множестве различно ориентированных площадок, которые можно провести через эту точку. При исследовании напряжённого состояния в районе исследуемой точки выделяют элементарный объем с размерами dx, dy, dz. Ввиду малости элемента считается, что напряжения на площадках постоянные и образуют уравновешенную систему сил (рис. 3.1). На невидимых сторонах элемента силы обычно не показывают, однако всегда подразумевается, что они есть. Естественно, что система сил, действующая на выделенный элемент, должна быть такова, чтобы элемент находился в равновесии. В общем случае нагружения бруса на трёх видимых гранях элемента действуют девять составляющих напряжений, называемых компонентами напряжённого состояния в точке (рис. 3.1). Касательные составляющие полного напряжения обозначаются двумя индексами. Первый из них указывает, какой из осей перпендикулярна площадка, второй – вдоль какой из осей направлены напряжения. Из девяти компонентов независимыми являются только шесть 𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 , 𝜎𝑧 , 𝜏𝑥𝑦 , 𝜏𝑥𝑧 , 𝜏𝑦𝑧. В этом можно убедиться, если рассмотреть Рис. 3.1 равновесие элемента. Так, например, из условия ∑ 𝑚𝑥 (𝐹𝑘 ) = 0 получаем: (3.1) 𝜏𝑧𝑦 ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝜏𝑦𝑧 ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0, или 𝜏𝑧𝑦 = 𝜏𝑦𝑧 . Аналогично можно получить, что (3.2) 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 ; 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 . Выражения (3.1) и (3.2) являются математическим выражением закона парности касательных напряжений: касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках, направление к общему ребру или от общего ребра, равны между собой. 37 Напряжённое состояние считается заданным (известным), если заданы нормальные и касательные напряжения на трёх взаимно перпендикулярных площадках. Можно доказать, что при любом нагружении тела существует такое положение элементарного куба, при котором на его гранях будут действовать только нормальные напряжения. Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называют главными площадками. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называют главными. Главные напряжения обозначают через 𝜎1 , 𝜎2 и 𝜎3 ,причём 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ 𝜎3 в алгебраическом смысле. Нормальные напряжения считаются положительными, если они растягивают материал, и отрицательными – если сжимают. Расставим индексы главных напряжений, показанных на рис. 3.3. Наибольшим в алгебраическом смысле будет напряжение +200 МПа, а наименьшим – –300 Мпа. Следовательно, эти напряжения и будут обозначаться соответственно 𝜎1 и 𝜎3 . Далеко не во всех случаях нагружения все три главных напряжения отличны от нуля. Так, например, при растяжении или сжатии главные напряжения действуют только на одной площадке, на двух других площадках напряжения будут отсутствовать. В зависимости от числа действующих главных напряжений различают три вида Рис. 3.2 напряжённого состояния: – линейное (одноосное) напряжённое состояние – одно из главных напряжений отлично от нуля (рис. 3.3а,б); – плоское (двухосное) напряжённое состояние – на одной из площадок напряжение равно нулю (рис. 3.3в,г); – объёмное (трёхосное) напряжённое состояние – все главные напряжения отличны от нуля. Рассматривая напряжённое состояние, мы будем решать две задачи: – зная главные напряжения определять нормальные и касательные напряжения на произвольно ориентированных площадках; – зная нормальные и касательные напряжения на перпендикулярных площадках (произвольно ориентированных) определить главные напряжения и их ориентацию. 38 𝜎1 ≥ 0; 𝜎2 = 𝜎3 = 0 𝜎3 ≤ 0; 𝜎1 = 𝜎2 = 0 𝜎1 ≥ 0; 𝜎2 > 0; 𝜎3 = 0 𝜎1 > 0; 𝜎2 = 0; 𝜎3 < 0 Рис 3. 3 3.2. Линейное напряжённое состояние Для определения нормальных и касательных напряжений на произвольной площадке, образующей с главной площадкой угол α, из элементарного куба, находящегося в линейном напряжённом состоянии, выделим сечением трёхгранную призму и рассмотрим её отдельно (рис. 3.4б). Нормальные и касательные напряжения на наклонной площадке будем обозначать 𝜎𝛼 и 𝜏𝛼 . Пусть площадь наклонной площадки будет S. Тогда площадь нижней поверхности призмы будет 𝑆 ∙ cos 𝛼. Введём оси t и n, направленные вдоль и перпендикулярно наклонному сечению. Рис. 3.4 Составим уравнение равновесия сил, действующих на рассматриваемую призму. ∑𝐹𝑘𝑛 = 0; 𝜎𝛼 ∙ 𝑆 − 𝜎1 ∙ 𝑆 ∙ cos 𝛼 ∙ cos 𝛼 = 0; ∑𝐹𝑘𝑡 = 0; 𝜏𝛼 ∙ 𝑆 − 𝜎1 ∙ 𝑆 ∙ cos 𝛼 ∙ sin 𝛼 = 0. Поскольку cos 𝛼 ∙ sin 𝛼 = 0,5 sin 2𝛼 , то 39 1 (3.3) 𝜎𝛼 = 𝜎1 ∙ cos 2 𝛼; 𝜏𝛼 = 𝜎1 ∙ sin 2𝛼. 2 Из формул (3.3) можно сделать следующие выводы: – нормальное напряжение на любой наклонной площадке меньше главного. Главные напряжения являются экстремальными (максимальными при растяжении, минимальными при сжатии) (𝜎𝛼𝑚𝑎𝑥 = 𝜎1 ); – максимальное касательное напряжение действует на площадке, наклонённой под углом 450 к главной площадке, и равно половине главного напряжения (𝜏𝛼𝑚𝑎𝑥 = 𝜎1 ⁄2 при 𝛼 = 𝜋⁄4). Если взять площадку β, перпендикулярную наклонной, то 𝜎𝛽 = 𝜎90+𝛼 = 𝜎1 sin2 𝛼; 1 𝜏𝛽 = 𝜏90+𝛼 = − sin 2𝛼. 2 Таким образом, если из материала, находящегося в линейном напряжённом состоянии, вырезать куб под некоторым углом к продольной оси, то на его четырёх гранях будут действовать и нормальные, и касательные напряжения (рис. 3.5). Рис. 3.5 3.3. Плоское напряжённое сечение Плоское напряжённое состояние имеет место при изгибе, сдвиге и кручении, поэтому это состояние рассмотрим несколько подробнее. Определим напряжения на наклонной площадке при плоском напряжённом состоянии. Для этого представим это состояние как сумму двух линейных состояний (рис. 3.6). Рис. 3.6 40 Тогда ′′ 𝜎𝛼 = 𝜎𝛼′ + 𝜎𝛼′′ ; 𝜏𝛼 = 𝜏𝛼′ + 𝜏𝛼. Используя формулы для линейного напряжённого состояния, имеем: 𝜎𝛼′ = 𝜎1 ∙ cos 2 𝛼 ; 𝜎𝛼′′ = 𝜎2 ∙ cos 2 (90 + 𝛼) = 𝜎2 ∙ sin2 𝛼 ; 1 1 1 𝜏𝛼′ = 𝜎1 ∙ sin 2𝛼 ; 𝜏𝛼′′ = 𝜎2 ∙ sin(180 + 2𝛼) = − 𝜎2 ∙ sin 2𝛼. 2 2 2 Таким образом 𝜎𝛼 = 𝜎1 ∙ cos 2 𝛼 + 𝜎2 ∙ sin2 𝛼 ; 𝜎1 − 𝜎2 (3.4) 𝜏𝛼 = ∙ sin 2𝛼 . 2 Найдём напряжения на площадке β, перпендикулярной к площадке α: 𝜎𝛽 = 𝜎(𝛼 + 90) = 𝜎1 ∙ sin2 𝛼 + 𝜎2 ∙ cos 2 𝛼; 𝜎1 − 𝜎2 (3.5) 𝜏𝛽 = 𝜏(𝛼 + 90) = − ∙ sin 2𝛼 . 2 Сложим напряжения 𝜎𝛼 и 𝜎𝛽 : 𝜎𝛼 + 𝜎𝛽 = 𝜎1 (sin2 𝛼 + cos 2 𝛼) + 𝜎2 (sin2 𝛼 + cos 2 𝛼) = 𝜎1 + 𝜎2 . Следовательно, для плоского напряжённого состояния сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках есть величина постоянная. Из выражений (3.4) и (3.5) следует, что 𝜏𝛼 = −𝜏𝛽 , что является следствием закона парности касательных напряжений. Формулам (3.4) и (3.5) можно придать геометрическую интерпретацию, геометрическое представление. Такая идея была предложена известным учёным в области механики О. Мором. 3.4. Прямой и обратный круги Мора С учётом того, что cos 2 𝛼 = (1 + cos 2𝛼)⁄2; sin2 𝛼 = (1 − cos 2𝛼)⁄2, выражения (3.4) и (3.5) можно переписать в виде 𝜎1 + 𝜎2 𝜎1 − 𝜎2 𝜎1 + 𝜎2 𝜎1 − 𝜎2 + ∙ cos 2𝛼 ; 𝜎𝛽 = + ∙ cos 2𝛼 ; 2 2 2 2 𝜎1 − 𝜎2 (3.6) 𝜏𝛼 = −𝜏𝛽 = ∙ sin 2𝛼. 2 В системе координат 𝜎 − 𝜏 эти зависимости представляют собой окружность (рис. 3.7) диаметром АВ = 𝜎1 − 𝜎2 . и центром С, удалённым от начала координат на расстояние ОС = (𝜎1 + 𝜎2 )/2. Проведём диаметр DαDβ под углом 2α к оси Oσ и из точек Dα и Dβ опустим перпендикуляры DαK и DβL. Как нетрудно убедиться, отрезок 𝜎𝛼 = 41 𝜎1 + 𝜎2 𝜎1 − 𝜎2 + ∙ cos 2𝛼 = 𝜎𝛼 , 2 2 𝑂𝐾 = 𝑂𝐶 + 𝑂𝐾 = 𝑂𝐶 + 𝐶𝐷𝛼 ∙ cos 2𝛼 = а отрезок 𝑂𝐿 = 𝑂𝐶 − 𝐶𝐿 = 𝑂𝐶 − 𝐶𝐷𝛽 ∙ cos 2𝛼 = Из рис. 3.7 также видно, что отрезок 𝜎1 + 𝜎2 𝜎1 − 𝜎2 + ∙ cos 2𝛼 = 𝜎𝛽 2 2 𝐷𝛼 𝐾 = 𝐷𝛽 𝐿 = 𝐶𝐷𝛼 ∙ sin 2𝛼 = 𝜎1 − 𝜎2 ∙ sin 2𝛼 = 𝜏𝛽 . 2 Рис. 3.7 Таким образом, построив круг Мора, легко определить напряжения σα, σβ, τα, τβ, причём из круга сразу видно, что 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎1 = 𝜎𝛼(𝛼=0) ; 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎2 = 𝜎𝛽(𝛼=0) ; 𝜎1 − 𝜎2 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜏𝛼(𝛼=45°)= . 2 Круг Мора, построенный по заданным главным напряжениям σ1 и σ2, называют прямым. С помощью круга Мора сравнительно просто решается и обратная задача: известны напряжения σα, σβ, τα= -τβ, необходимо найти σ1 и σ2, а также их положение относительно площадки с напряжениями σα. Данная задача решается следующим образом. На плоскости σ–τ наносятся точки Dα(σα, τ) и Dβ(σβ, -τ). Через эти точки, как через диаметр, проводится окружность с центром С на оси σ (рис. 3.8). Точки пересечения окружности с осью O и определяют главные напряжения σ1 и σ2. Получим формулы для их вычисления. Из рис. 3.8 следует, что 42 𝑂𝐶 = 𝜎𝛽 − 𝜎𝛼 𝑂𝐿 + 𝑂𝐾 𝜎𝛽 + 𝜎𝛼 = ; 𝐶𝐾 = 𝐿𝐶 = ; 𝐷𝛼 𝐾 = 𝜏. 2 2 2 Нетрудно убедиться, что главные напряжения 𝜎1,2 = 𝑂𝐶 ± 𝐷𝛼 𝐶. Рис. 3.8 Но 𝐷𝛼 𝐶 = 𝐶𝐴 = √𝐶𝐾 2 + 𝐷𝛼 𝐾 2 . С учётом приведенных выше выражений имеем: 𝜎𝛼 + 𝜎𝛽 (𝜎1 − 𝜎2 )2 𝜎𝛼 + 𝜎𝛽 √(𝜎1 − 𝜎2 ) + 4𝜏 2 ±√ + 𝜏2 = ± ; 2 4 2 2 1 (3.7) 𝜎1,2 = [𝜎𝛼 + 𝜎𝛽 ± √(𝜎1 − 𝜎2 ) + 4𝜏 2 ]. 2 Как известно, угол между направлениями главной и произвольно ориентированной площадок равен α. Его величину можно определять графически (см. рис. 3.8) или с помощью формулы: 2𝜏𝛼 (3.8) 𝑡𝑔2𝛼 = − . 𝜎𝛼 − 𝜎𝛽 При определении угла α необходимо учитывать знак касательных напряжений: они считаются положительными, если внешняя нормаль n для её совмещения с линией действия касательных напряжений поворачивается по часовой стрелке (рис. 3.9). Положительный угол, определяемый по формуле (3.8), откладывается от направления напряжений σα против хода часовой стрелки, отрицательный – по направлению хода часовой стрелки. 𝜎1,2 = 43 При определении положения главных площадок следует помнить, что напряжения σ1 проходят через квадрант, в котором сходятся стрелки касательных напряжений (рис. 3.10). Рис. 3.9 Рис. 3.10 3.5. Объёмное напряжённое состояние Для получения соотношений для объемного напряжённого состояния рассмотрим равновесие тетраэдра (рис. 3.11), по координатным граням которого действуют главные напряжения, а по наклонной площадке с нормалью υ – составляющие полного напряжения Xυ, Yυ, Zυ. Обозначим площадь наклонной грани dS, направляющие косинусы нормали cos(x,υ)=l; cos(y,υ)=m; cos(z,υ)=n . Проектируя силы, действующие на гранях тетраэдра, на ось Х, получим X υ dS-σ 1 (dS·l)=0, т.е. X υ =σ 1 l. Аналогично находим Y υ =σ 2 m; Z υ =σ 3 n. Нормальное напряжение на наклонной площадке συ=Xυl+Yυm+Zυn=σ1l2+ σ2m2+ σ3n2. Полное напряжение на наклонной площадке p υ 2 =σ υ 2 + τ υ 2 =X υ 2 + Y υ 2 + Z υ 2 , откуда касательное напряжение τ υ 2 = p υ 2 –σ υ 2 . Таким образом, если заданы главные напряжения, то легко находятся напряжения на наклонных площадках. На рис. 3.12 изображены три круга напряжений для данной точки. Каждый из кругов соответствует следующим парам главных напряжений: 𝜎1 ─𝜎2 , 𝜎2 ─ 𝜎3 𝜎1 ─ 𝜎3 . Точки этих окружностей своими 44 координатами дают нормальные и касательные напряжения на площадках, перпендикулярных к плоскостям 𝜎1 ─ 𝜎2 , 𝜎2 ─ 𝜎3 и 𝜎1 ─ 𝜎3 . На площадках общего положения напряжения 𝜎𝑣 и 𝜏𝑣 определяются координатами точек площади, заключённой между тремя окружностями. Рис. 3.11 Рис. 3. 12 Максимальные касательные напряжения в какой-либо точке тела при объёмном напряжённом состоянии 𝝉𝐦𝐚𝐱 = (𝛔𝟏 − 𝛔𝟑 )/𝟐. Что касается нормальных напряжений, то 𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝝈𝟏 , 𝝈𝒎𝒊𝒏 = 𝝈𝟑 . 3.6. Деформации при объёмном напряжённом состоянии. Обобщённый закон Гука Рассмотрим деформации элемента тела, выбрав этот элемент в виде прямоугольного параллелепипеда размерами а, b, и с (рис. 3.13). После нагружения параллелепипеда главными напряжениями 𝝈𝟏 , 𝝈𝟐 , 𝝈𝟑 ребра элемента изменяют свою длину и становятся равными 𝒂 + ∆𝒂, 𝒃 + ∆𝒃, 𝒄 + ∆𝒄. Величины ∆𝒂 ∆𝒃 ∆𝒄 𝜺𝟏 = ; 𝜺𝟐 = ; 𝜺𝟑 = 𝒂 𝒃 𝒄 представляют собой относительные удлинения в направлениях действия главных напряжений. Рис. 3.13 Применяя принцип суперпозиции, можно записать 𝜺𝟏 = 𝜀1′ + 𝜺′′𝟏 + 𝜺′′′ 𝟏, 45 где 𝜺′𝟏 = 𝝈𝟏 𝑬 , 𝜺′′ 𝟏 = −𝝁𝝈𝟐 𝑬 , 𝜺′′′ 𝟏 = −𝝁𝝈𝟑 𝑬 – деформации элемента в направлении оси Оx при действии на него соответственно только первого, только второго и только третьего главных напряжений. Сложив эти величины, получим: 𝝈𝟏 𝝁𝝈𝟐 𝝁𝝈𝟑 𝟏 𝜺𝟏 = − − = (𝝈𝟏 − 𝝁(𝝈𝟐 + 𝝈𝟑 )). 𝑬 𝑬 𝑬 𝑬 Аналогично можно вывести выражения для 𝜺𝟐 и 𝜺𝟑 . Окончательно получаем: 𝟏 𝜀1 = (𝝈𝟏 − 𝝁(𝝈𝟐 + 𝝈𝟑 )), 𝑬 𝟏 (𝟑. 𝟗) 𝜀2 = (𝝈𝟐 − 𝝁(𝝈𝟏 + 𝝈𝟑 )), 𝑬 𝟏 ε3 = (𝛔𝟑 − 𝛍(𝛔𝟏 + 𝛔𝟐 )). 𝐄 Формулы (3.9) называются обобщённым законом Гука и выражают зависимость между линейными деформациями и главными напряжениями. Рассмотрим теперь объёмную деформацию θ. До деформации элемент (рис. 3.13) занимал объём V0 = abc. В деформированном состоянии его объём ∆𝑎 ∆𝑏 ∆𝑐 V = (𝑎 + ∆𝑎)(𝑏 + ∆𝑏)(𝑐 + ∆𝑐) = 𝑎𝑏𝑐 (1 + ) (1 + ) (1 + ) = 𝑎 𝑏 𝑐 = 𝑎𝑏𝑐(1 + 𝜀1 )(1 + 𝜀2 )(1 + 𝜀3 ). Пренебрегая произведениями деформаций, получаем 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐(1 + 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 ). Тогда относительное изменение объёма (объёмная деформация) (V − V0 ) θ= = ε1 + ε2 + ε3 . V0 Выразив ε1 , ε2 , ε3 через главные напряжения при помощи (3.9), получим: 1 − 2𝜇 3(1 − 2𝜇) (σ1 + σ2 + σ3 ), или 𝜃 = 𝜃= 𝜎ср , (3.10) 𝐸 𝐸 где 𝜎ср = (σ1 + σ2 + σ3 )/3 – среднее напряжение для данного напряжённого состояния. 3.7. Энергия деформации при сложном напряжённом состоянии Выделим из нагруженного тела элемент в виде единичного куба, грани которого являются главными площадками (рис. 3.14), и определим удельную энергию деформации. При одноосном напряжённом состоянии – при простом растяжении- сжатии – удельная потенциальная энергия деформации 𝜎∙𝜀 w= . 2 46 Рис. 3.14 Используя принцип независимости действия сил, получаем, что при объёмном напряжённом состоянии 𝜎1 ∙ 𝜀1 𝜎2 ∙ 𝜀2 𝜎3 ∙ 𝜀3 w= + + . 2 2 2 Исключая деформации 𝜀1 , 𝜀2 , 𝜀3 с помощью обобщённого закона Гука, получаем: 1 2 [𝜎1 + 𝜎22 + 𝜎32 − 2𝜇(𝜎1 𝜎2 + 𝜎2 𝜎3 + 𝜎1 𝜎3 )]. 𝑤= (3.11) 2𝐸 При нагружении тела меняется как его объём, так и форма. Полную энергию деформации можно представить как сумму (3.12) 𝑤 = 𝑤𝑉 + 𝑤Ф , где 𝑤𝑉 – удельная энергия, обусловлена изменением объёма; wф – удельная энергия, затрачиваемая на изменение формы куба (энергия формоизменения). Нагруженный куб можно представить как сумму двух кубов. Первый из них (рис. 3.14) по всем граням нагружен одинаковыми напряжениями 𝜎ср . Ввиду полной симметрии нагружения куб будет менять только объём, оставаясь при этом кубом. Второй куб нагружен напряжениями 𝜎1 − 𝜎ср , 𝜎2 − 𝜎ср и 𝜎3 − 𝜎ср . Для второго куба среднее напряжение и, следовательно, объёмная деформация будет равна нулю (объём не меняется). Второй куб будет менять только форму. Определим энергию, обусловленную изменением объема первого куба. Из-за полной симметрии нагружения 3𝜎ср ∙ 𝜀ср 𝑤v = . 2 Воспользуемся полученной ранее формулой для относительного изменения объёма при нагружении куба по всем граням напряжениями σср: (1 − 2μ) 3(1 − 2𝜇) 𝜃 = 3𝜀ср = ∙ 𝜎ср или εср = σср . Е 𝐸 47 Следовательно, 3𝜎ср ∙ 𝜀ср 3 2 1 − 2𝜇 3 (𝜎1 +𝜎2 + 𝜎3 )2 1 − 2𝜇 𝑤𝑉 = = 𝜎ср = ∙ = 2 2 𝐸 2 9 𝐸 1 − 2𝜇 (𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 ).2 = 6𝐸 Тогда энергия формообразования 1+𝜇 2 [𝜎1 + 𝜎22 + 𝜎32 − 𝜎1 𝜎2 − 𝜎2 𝜎3 −𝜎1 𝜎3 )] . 𝑤ф = 𝑤 − 𝑤𝑉 = (3.13) 3𝐸 Для линейного напряжённого состояния (при 𝜎2 = 𝜎3 = 0) 1+𝜇 2 𝑤ф = 𝜎 . (3.14) 3𝐸 1 3.8. Понятие о сдвиге. Чистый сдвиг Ряд элементов соединений (заклепки, болты и др.) работают на срез (сдвиг) (рис. 3.15). Пусть имеем короткий стержень (рис. 3.16), нагруженный вертикальной силой Р. Применим метод сечений. Из равновесия правой части следует, что в сечении будет действовать поперечная сила Qy = Р, которая является результатом действия в сечении внутренних сил в виде касательных напряжений 𝜏𝑦 . Рис. 3.15 При расчётах на срез (сдвиг) принимают, что касательные напряжения по сечению распределяются равномерно. Следовательно, условие прочности при сдвиге принимает вид: 𝜏 = 𝑄⁄𝑆 ≤ [𝜏] , (3.15) где S – площадь поперечного сечения элемента, работающего на срез; [𝜏] – допускаемое касательное напряжение. Рис. 3. 16 48 При сдвиге слои материала стремятся сдвинуться один относительно другого, элемент материала получает угловую деформацию, прямые до деформации углы перестают быть таковыми (рис. 3.17). Опытами установлено, что при сдвиге справедливо соотношение 𝑃∙𝑎 ∆𝑎 = , (3.16) 𝐺∙𝑆 где G – модуль сдвига (модуль Юнга второго рода) – характеристика материала, показывающая, насколько материал сопротивляется сдвигу одного слоя материала относительно другого слоя (см. рис. 3.17). Рис. 3.17 Из рис. 3.17 видно, что 𝛥𝑎⁄𝑎 = 𝑡𝑔𝛾 = 𝛾; Кроме того 𝑃⁄𝑆 = 𝜏 . Следовательно, выражение (3.16) принимает вид: 𝜏 = 𝛾 ∙ 𝐺. Выражения 𝑃∙𝑎 ∆𝑎 = или 𝜏 = 𝛾 ∙ 𝐺 (3.17) 𝐺∙𝑆 называют законом Гука для сдвига. Рассмотрим важный для практики случай нагружения, при котором по четырём боковым граням куба действуют только касательные напряжения 𝜏 (рис. 3.18), а фронтальные грани свободны от напряжений. Такое нагружение элемента называют чистым сдвигом. Чистым сдвигом нагружается материал при кручении стержней, при изгибе и в ряде других случаев. Рис. 3.18 При чистом сдвиге 𝜎𝛼 = 0; 𝜎𝛽 = 0; 𝜏𝛼 = = 𝜏; 𝜏𝛽 = −𝜏, а главные напряжения: 1 2 𝜎1.2 = (𝜎𝛼 + 𝜎𝛽 ± √(𝜎𝛼 − 𝜎𝛽 ) + 4𝜏 2 ) = ±𝜏. 2 Определим угол α между направлениями 𝜎𝛼 и 𝜎1 : 2𝜏 2𝜏 𝑡𝑔2𝛼 = − = − = −∞. 𝜎𝛼 − 𝜎𝛽 49 Следовательно, 2𝛼 = − 𝜋⁄2 ; 𝛼 = − 𝜋⁄4 = −45°. Таким образом, чистый сдвиг можно так же представить, как плоское напряжённое состояние, когда на главных площадках действуют напряжения 𝜎1 = 𝜏 и 𝜎2 = −𝜏 (см. рис. 3.19). Рис. 3.19 3.9. Зависимость между упругими постоянными материала Упругие свойства материалов характеризуются тремя величинами: модулем упругости Е, модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона 𝜇. Для выяснения взаимосвязи между этими величинами рассмотрим элемент материала в виде квадратной пластины единичной толщины, находящийся в состоянии чистого сдвига (рис. 3.20). Сторона квадрата равна а. Под действием касательных напряжений квадрат ABCD превращается в ромб 𝐴 В1 𝐶1 𝐷, его диагональ длиной 𝑙 = АС = а√2 Рис .3 20 удлиняется на величину 𝛾 √2 ∆𝑙 = 𝐶1 𝐶 ′ = 𝐶𝐶1 ∙ cos (45° − ) = 𝐶𝐶1 cos 45° = ∆𝑎 . 2 2 В данном выражении мы использовали принцип начальных размеров – пренебрегли углом 𝛾/2 по сравнению с углом 45° . За счет удлинения диагонали материал получил линейную деформацию ∆ℓ ∆𝑎√2 𝑡𝑔𝛾 𝛾 𝜀= = = = . ℓ 2 2 2𝑎√2 В соответствии с законом Гука при сдвиге 𝜏 𝜏 𝛾= , поэтому 𝜀= . 𝐺 2𝐺 50 Воспользуемся обобщённым законом Гука для плоского напряжённого состояния – чистого сдвига. При этом, как известно, главные напряжения по модулю равны касательным напряжениям (𝜎1 = 𝜏, 𝜎3 = − 𝜏). При таком напряжённом состоянии 1 1 1+𝜇 𝜀1 = 𝜀3 = 𝜀 = (𝜎1 − 𝜇𝜎3 ) = (𝜏 − 𝜇𝜏) = 𝜏. 𝐸 𝐸 𝐸 Очевидно, что величина линейной деформации не должна зависеть от метода её вычисления, т.е. деформации должны быть одними и теми же. Следовательно, 1+𝜇 𝜏 (1 + 𝜇𝜏)2𝐺 = 𝐸. 𝜏= или 𝐸 2𝐺 Отсюда следует взаимосвязь между упругими постоянными материала: 𝐸 𝐺= . (3.18) 2(1 + 𝜇) Для сталей 𝜇 ≈ 0,25, 𝐸 = 2 ⋅ 1011 Па. Поэтому для сталей 2 ⋅ 1011 𝐺≈ = 8 ⋅ 1010 Па = 8 ⋅ 104 МПа. 2(1 + 0,25) 3.10. Основные теории (гипотезы) прочности При линейном напряжённом состоянии оценка прочности конструкции производится путём непосредственного сопоставления расчётных (рабочих, действующих) напряжений с допускаемыми, получаемыми путём испытаний материалов на растяжение или сжатие. А как поступать в случае сложного напряжённого состояния? Надежнее всего было бы поставить соответствующий эксперимент: создать трехосное напряжённое состояние с соответствующими реальному нагружению главными напряжениями 𝜎1 , 𝜎2 , 𝜎3 и их увеличивать пропорционально до тех пор, пока не появятся остаточные деформации или не произойдёт разрушение материала. Применим ли такой метод? Оказывается, что нет. Во-первых, практически не удаётся провести корректный эксперимент. Создать разные напряжения в разных направлениях очень сложно, пока нет испытательных машин, позволяющих создать любое напряжённое состояние. Вовторых, проводить таких экспериментов потребуется очень много, так как напряжённых состояний бесконечно много (имеется бесконечное множество сочетаний главных напряжений 𝜎1 , 𝜎2 и 𝜎3 ). Потому на практике приходится оценивать прочность при сложном напряжённом состоянии, располагая 51 сведениями о свойствах материала только при одноосном (линейном) напряжённом состоянии. При оценке прочности конструкции сложное напряжённое состояние заменяется эквивалентным (равноопасным) одноосным (линейным) напряжённым стоянием (рис. 3.21). Рис. 3.21 Напряжения при одноосном растяжении (сжатии), равноопасные заданному сложному напряжённому состоянию, называют эквивалентными напряжениями. Эквивалентные напряжения, соответствующие данному напряжённому состоянию, определяются расчётным путём на основе принятого критерия (признака, гипотезы) эквивалентности различных напряжённых состояний, т. е. 𝜎экв = 𝑓1 (𝜎1 , 𝜎2 , 𝜎3 ) или 𝜎экв = 𝑓2 (𝜎𝛼 , 𝜎𝛽 , 𝜎𝛾 , 𝜎𝛼𝛽 , 𝜎𝛽𝛾 , 𝜎𝛼𝛾 ). Гипотезы, указывающие равноопасность различных напряжённых состояний, называют гипотезами (теориями) прочности. Эквивалентные напряжения при оценке прочности сравниваются с допускаемыми напряжениями для одноосного напряжённого состояния. Рассмотрим основные теории прочности, в том числе и те, которые в настоящее время не используются и представляют интерес только с исторической точки зрения. Тем не менее, они позволяют лучше понять подход к определению эквивалентных напряжений. Первая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений) была предложена Галилеем в XVII веке. В соответствии с этой теорией разрушение материала происходит тогда, когда нормальные напряжения достигают опасного для данного материала значения. Условия прочности в соответствии с первой теорией имеют вид: а) при растяжении 𝜎экв𝐼 = 𝜎1 ≤ [𝜎]р ; (3.19а) б) при сжатии 𝜎экв𝐼 = |𝜎3 | ≤ [𝜎]𝑐 . (3.19б) 52 Как было установлено экспериментально, данная теория не дает надёжных результатов (особенно для пластинных материалов) и в настоящее время применяется редко. Вторая теория прочности (теория наибольших линейных деформаций) была предложена Мариотом и XVIII веке. В соответствии с второй теорией (гипотезой) прочности разрушение материала происходит тогда, когда линейная деформация достигает предельного для данного материала значения. Теоретической предпосылкой данной теории послужило то, что силы взаимодействия между атомами и молекулами зависят от расстояний между ними. Условием прочности при этом может служить соотношение 𝜀макс ≤ [𝜀]. При объёмном напряжённом состоянии 𝜀макс = 𝜀1 = [𝜎1 − 𝜇(𝜎2 + 𝜎3 )]/𝐸. При линейном напряженном состоянии εэкв = 𝜎экв ⁄𝐸 . Приравнивая деформации, получаем 𝜎экв𝐼𝐼 = [𝜎1 − 𝜇(𝜎2 + 𝜎3 )] ≤ [𝜎]. (3.20) По сравнению с первой вторая теория, как предполагали её авторы, является более точной, так как учитывает не только наибольшие по модулю, но и другие главные напряжения. Тем не менее в большинстве случаев она не находит экспериментального подтверждения и в настоящее время практически не применяется. Третья теория или теория наибольших касательных напряжений (Треска, Сан-Венн, 1868 г.). В соответствии с этой теорией разрушение материала происходит тогда, когда заданного уровня достигают максимальные касательные напряжения. Иными словами, напряжённые состояния равноопасны, если у них одинаковы максимальные касательные напряжения. Для сложного (плоского или объёмного) напряжённого состояния 𝜏𝑚𝑎𝑥 = (𝜎1 − 𝜎3 )/2), а для линейного τmax = σэкв /2. Приравнивая два предыдущих соотношения, получим 𝜎экв𝐼𝐼𝐼 = 𝜎1 − 𝜎3 ≤ [𝜎]. (3.21) В дальнейшем мы часто будем встречаться с так называемым упрощённым плоским напряжённым состоянием, при котором 𝜎𝛼 = 𝜎; 𝜎𝛽 = 0; 𝜏𝛼 = − 𝜏𝛽 = 𝜏. Такое напряжённое состояние имеет место при кручении, при изгибе и в других случаях. Для такого нагружения 1 1 2 𝜎1,3 = (𝜎𝛼 + 𝜎𝛽 ± √(𝜎𝛼 + 𝜎𝛽 ) + 4𝜏 2 ) = (𝜎 ± √𝜎 2 + 4𝜏 2 , 2 2 53 а 𝜎1 − 𝜎3 = √𝜎 2 + 4𝜏 2 . Следовательно, для такого напряженного состояния, 𝜎экв𝐼𝐼𝐼 = √𝜎 2 + 4𝜏 2 ≤ [σ]. (3.22) Третья теория прочности достаточно хорошо подтверждается экспериментами, особенно при оценке прочности пластичных материалов. В связи с этим она достаточно широко используется в практических расчётах. Третья теория прочности не лишена и недостатков. В ней, как видно из формулы (3.21) не учитывается величина 𝜎2 , хотя эти напряжения, надо полагать, оказывают какое-то влияние на прочность. Третья теория неприменима в случае трёхстороннего растяжения, когда 𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎3 = 𝜎. В этом случае σэквIII = 𝜎1 − 𝜎3 = 0 при любых значениях 𝜎. Тем не менее, при создании довольно больших всесторонних растягивающих напряжений, материал разрушается. Четвёртая теория прочности или энергетическая теория формоизменения (Губер 1904 г., Мизес 1913 г.). В соответствии с этой теорией разрушение материала наступает тогда, когда удельная энергия формообразования достигает заданного для данного материала предела. Условие прочности для этой теории имеет вид 𝑤Φ ≤ [𝑤Φ ]. Как было показано выше, при объёмном напряжённом состоянии 1+ 𝜇 2 (𝜎1 + 𝜎22 + 𝜎32 − 𝜎1 ∙ 𝜎2 − 𝜎1 ∙ 𝜎3 − 𝜎2 ∙ 𝜎3 ), 𝑤Φ = 3𝐸 а при линейном 1+ 𝜇 2 𝑊Φ = 𝜎 . 3𝐸 экв Таким образом σэквI𝑉 = √𝜎12 + 𝜎22 + 𝜎32 − 𝜎1 ∙ 𝜎2 − 𝜎1 ∙ 𝜎3 − 𝜎2 ∙ 𝜎3 ≤ [𝜎] (3.23) или (другая форма записи этой же формулы) 1 √(𝜎1 − 𝜎2 )2 + (𝜎1 − 𝜎3 )2 + (𝜎2 − 𝜎3 )2 ≤ [𝜎]. σэквI𝑉 = √2 Для упрощённого плоского напряженного состояния σэквI𝑉 = √𝜎 2 + 3𝜏 2 . ≤ [𝜎]. (3.24) Четвёртая теория, в отличие от третьей теории прочности, учитывает все три главных напряжения, однако по точности считается равноценной с третьей теорией. Она также не применима для анализа прочности при всестороннем растяжении. 54 Третья и четвертая теории прочности дают результаты, которые удовлетворительно сходятся с данными экспериментов для пластичных материалов (для которых 𝜎тр = 𝜎тс ). Для хрупких материалов, по-разному работающих на растяжение и сжатие, целесообразнее использовать теорию прочности Мора. Пятая теория прочности или теория прочности Мора (предложена в 1882 г.) получена в результате обработки имеющихся экспериментальных данных. В соответствии с этой теорией 𝜎экв 𝑉 = 𝜎1 − 𝜈𝜎3 ≤ [𝜎] , (3.25) где 𝜈 = 𝜎тр ⁄𝜎тс – для пластичных материалов; 𝜈 = 𝜎вр ⁄𝜎вс – для хрупких материалов Как видно из формулы (3.25), при 𝜈 = 1, что обычно имеет место для пластичных материалов, теория Мора совпадает с третьей теорией прочности. Для хрупких материалов, например, для бетона, у которого величина v мала (для бетона 𝜈 ≈ 0,1) теория Мора даёт результаты, близкие к результатам, получаемым по первой теории прочности. Рассмотренные выше теории прочности не являются единственными. Существуют также теории прочности Давыденкова-Фридмана, Ягна, Писаренко и Лебедева, Гольденблата-Кононова и др. Первых три из названных представляют собой модификации существующих теорий путём введения дополнительных факторов (одновременный учёт максимальных как нормальных, так и касательных напряжений, учёт неодинаковости работы материала на растяжение и сжатие и др.). Теория Гольденблата-Кононова используется для оценки прочности анизотропных материалов. 55 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ 4.1. Статические моменты сечений В сопротивлении материалов в основном используются поперечные сечения – это сечения, перпендикулярные к оси бруса или к серединной поверхности оболочки. Основными характеристиками сечений являются: – площадь сечения; – статические моменты сечения; – моменты инерции сечения; – радиус инерции сечения. Рассмотрим некоторое поперечное сечение бруса в системе координат Оxy (рис. 4.1). Выделим элементарную площадку dS  dy  dz с координатами x и y. Площадь сечения обычно находится как интеграл S   dхdy   dS . S (4.1) S Если сечение – сложная фигура, которую можно разбить на ряд простых фигур с площадями Si (прямоугольники, треугольники, круги и др.), то S   Si . Рис. 4.1 (4.2) Статическими моментами сечения относительно соответствующих осей называют взятые по всей площади сечения S интегралы S x   ydS ; S y   xdS . S S (4.3) Статические моменты имеют размерность – метр в третьей степени (м3). Если отождествить площадь сечения с силой, действующей перпендикулярно плоскости чертежа, то интегралы (4.3) можно рассматривать как сумму моментов некоторых сил относительно соответствующей оси. По известной теореме о моменте равнодействующей (теореме Вариньона) можно записать S x   ydS  Syc ; S y   xdS  S xc , S где S – площадь сечения (равнодействующая); S (4.4) 56 yc , xc – координаты центра тяжести сечения. Из формул (4.4) следуют выражения для определения координат центра тяжести сечения: S S yc  x ; xc  y . (4.5) S S Следовательно, статический момент сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения, равен нулю. Оси, проходящие через центр тяжести, называют центральными. Действительно, если ось Сx1 проходит через центр тяжести сечения (рис. 4.1), то часть слагаемых ydS будут положительными, а часть – отрицательными, их сумма будет равна нулю. Если сечение удаётся разбить на конечное число отдельных простых фигур, площади и координаты центров тяжести которых известны, то интегрирование удобнее заменить суммированием: S x   Si yi ; S   Si ; S y   Si xi . (4.6) Пример. 4.1. Определить координаты центра тяжести сечения, показанного на рис. 4.2. Размеры – в миллиметрах. Разобьём тавровое сечение на два прямоугольника. Систему координат выберем, как показано на рис. 4.2. Поскольку ось Oy является осью симметрии, то заранее известно, что Sy = 0 и xc = 0. Найдём координату yc. Определим площади и ординаты отдельных фигур, причём расчёт будем вести в сантиметрах. Тогда S1=12∙2 =24 cм2; y1=7 cм; S2=6∙2=12 cм2; y2=3 см; yc  S y S i i i  S1  y1  S 2  y2 24  7  12  3 168  36    5,67cм . S1  S 2 24  12 36 4.2. Моменты инерции сечений Осевыми моментами сечения относительно осей называют взятые по всей площади сечения S интегралы (рис. 4.3): I x   y 2 dS ; I y   x 2 dS . S (4.7) S Полярным моментом инерции сечения называют взятый по всей площади сечения интеграл I p    2 dS , (4.8) S где  – расстояние от элементарной площадки до точки, называемой полюсом, в нашем случае – до начала координат. 57 Рис. 4.2 Рис. 4.3 Осевые и полярный моменты инерции всегда положительны, так как y 2  0 : z  0 ,  2  0 . Размерность моментов инерции – м4. 2 Как видно из рис. 4.3,  2  x 2  y 2 . Следовательно I p   ( x 2  y 2 ) dS   x 2 dS   y 2 dS  I y  I x . S S (4.9) S Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки их пересечения (начала координат). Центробежным моментом инерции сечения относительно осей координат называют взятый по всей площади интеграл I xy   xydS . (4.10) S Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю, в зависимости от положения сечения относительно осей координат. Действительно, если вся площадь сечения находится в первом квадранте (рис. 4.4), то I xy  0 , так как для всех элементарных площадок y  0 и x  0 . Повернём оси координат на 90° или возьмём новые оси координат Оx1 y1 (рис. 4.4) так, чтобы сечение оказалось в 4-м квадранте. При этом новые координаты площадки dS будут y1   x ; x1  y. Поэтому центробежный момент в новой системе координат I y x   y1x1dS   y( x)dS   I xy . 1 1 S S 58 Следовательно, при повороте осей на 90° центробежный момент инерции меняет знак на обратный. Поскольку при повороте осей величина центробежного момента инерции меняется непрерывно, то при некотором угле поворота  о (см. рис. 4.4) она перейдёт через нулевое значение. Например, для осей 0uv, составляющих с осями Оxy угол  о , I uv  0 . Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен Рис. 4.4 нулю, называют главными. Если обе главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными. Осевые моменты инерции характеризуют сопротивляемость сечений к изгибу, которая тем больше, чем больше удалены элементарные площади от рассматриваемой оси. Центробежный момент характеризует симметричность расположения сечения относительно осей. Ось симметрии сечения и любая другая перпендикулярная ось образуют систему главных осей. Действительно, если ось Oy – ось симметрии (рис. 4.5), то каждой элементарной площадке с координатами y и x, найдётся другая, симметричная ей площадка с координатами y и (-x). Для этих двух площадок dI xy  yxdS  y( x)dS  0 , и, следовательно, I xy  0. Научимся определять осевые и полярные моменты инерции для некоторых простейших сечений. Прямоугольник со сторонами b и h (рис. 4.6). Пусть оси Oxy – главные центральные оси. Выделим на сечении элементарную площадку на расстоянии y от оси Оx шириной dy. Тогда dS  b  dy , а момент инерции h/2 h/2 by 3 I x   y 2 dS   y 2bdy  b  y 2 dy  3 S h / 2 h / 2 h/2 h / 2 b  h3 h3  bh3      . 3 8 8  12 Следовательно, для прямоугольника Ix  bh3 ; 12 Iy  hb3 . 12 (4.11) 59 Рис. 4.5 Рис. 4.6 Круг и кольцо. Возьмём круг диаметром D. Выделим в нём кольцо с радиусом  и толщиной d (рис. 4.7). Тогда dS  2d , а полярный момент инерции 2 4 D / 2 2 D 4 D 4 I p    dS    2 d  2   d     . 4 4 16 32 S 2 D/2 2 Таким образом, для круга D/2 3 D 4 Ip  . 32 (4.12) Для кольцевого сечения с диаметрами D и d D/2 D 4 d 4 D 4  d 4  D 4 3 4 I p   2 d    1   1  c .. 4   32 32 32 32 D d /2   Окончательно для кольцевого сечения  Ip   D 4 d  (1  c 4 ) ;  c   . 32 D  (4.13) Ранее мы доказали, что I p  I y  I x . В силу центральной симметрии круга Iy  Ix, 4 поэтому I y  I x  I p / 2  D 64 . Следовательно, для круга I y  I x  D 4 64 , (4.14) а для кольцевого сечения Рис. 4.7   πD 4 Iy  Ix  1  c4 .. 64 (4.15) 60 4.3. Моменты инерции относительно параллельных осей Установим зависимость между осевыми и центробежными моментами инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых является центральной. Пусть имеем сечение с центром С (рис. 4.8) с известными моментами инерции относительно центральных осей xCy. Требуется определить моменты инерции относительно осей O1x1 и O1y1, проходящих параллельно соответствующим центральным осям, и удалённых от них на расстояния b и a соответственно. Выделим на сечении элементарную площадку dS  dx  dy , удалённую от центральных осей на расстояния x и y. Координаты этой площадки в системе координат x1O1y1 y1 = y + b; x1 = x + a. Тогда 2 I x   y12 dS   ( y  b) dS   y 2 dS   2bydS   a 2 dS   y 2 dS  2b  ydS  b 2  dS . 1 S S S y Но 2 S S dS  I x ; S S  ydS  0 ;  dS  S . S S S Второе равенство вытекает из того, что ось Cx является центральной, относительно которой статический момент S x   ydS  0. S I x1  I x  b 2 S . Таким образом (4.16) Аналогично можно получить выражение I y1  I y  a 2 S. (4.17) Определим центробежный момент инерции сечения относительно новых осей. I x1 y1   x1 y1dS   ( x  a)( y  b)dS   yxdS  2b xdS  2a  yds  ab dS. S S S S Поскольку Сy и Cx – оси центральные, то I x y  I yx  abS. 1 1 S (4.18) Из выражений (4.16) и (4.17) вытекает, что из всех осевых моментов инерции, определённых относительно семейства параллельных осей, минимальным будет момент инерции относительно центральной оси. 4.4. Моменты инерции при повороте осей. Главные моменты инерции Имеем сечение (рис. 4.9), все моменты инерции которого относительно осей Оxy известны. Требуется определить моменты инерции этого же сечения 61 относительно осей Оx1y1, повёрнутых относительно осей Oxy на угол  . Оси Oxy не обязательно центральные. Координаты элементарной площадки dS сечения относительно осей Oy1x1 y1  y cos  x sin  ; x1  y sin   x cos . По определению осевого и центробежного моментов инерции 2 I x1   y12 dS   ( y cos   x sin  ) dS   y 2 cos 2 dS   2 yx cos   sin dS  S S S S   x 2 sin 2 dS  I x  cos2   I y sin 2   I xy sin 2 ; S I y1   x12 dS   ( y sin   x cos  ) 2 dS  I x sin 2   I y cos 2   I xy sin 2 ; S S I y x   ( y cos  x sin  )( y sin   x cos )dS   y 2 cos  sin dS  1 1 S S   x 2 sin  cosdS   yx cos2dS   yx sin 2dS  0,5I x sin 2  0,5I y sin 2  S S  I xy (cos   sin 2  )  0,5( I x  I y ) sin 2  I xy cos 2 . 2 Окончательно получаем: I x  I x  cos2   I y sin 2   I xy sin 2 ; 1 I y  I x sin 2   I y cos2   I xy sin 2 ; 1 I y z  0,5( I x  I y ) sin 2  I xy cos 2 . 1 Рис. 4.8 1 Рис. 4.9 Найдём сумму моментов инерции относительно осей Oy1 и Ox1: I x  I y  I x (cos2   sin 2  )  I y (sin 2   cos2  ) , 1 1 (4.19) 62 I x1  I y1  I x  I y  const , или (4.20) т. е. сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте осей сохраняет постоянное значение. Постоянство суммы моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей следует также из того, что I x  I y  I p . При повороте осей величина центробежного момента инерции изменяется и при некотором угле  o будет равной нулю, а оси Ox1 и Oy1 станут главными осями. Величину этого угла можно найти из условия, что при этом угле поворота осей центробежный момент инерции сечения будет равным нулю: I x1 y1  0,5( I x  I y ) sin 2 o  I xy cos 2 o  0 , tg 2 o   или 2 I xy Ix  I y (4.21) Данная формула позволяет определить положение главных осей, т. е. осей, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции имеют экстремальные значения (один из моментов инерции принимает максимальное значение, второй – минимальное). Характерной особенностью главных осей является то, что одна из них есть ось наибольшей жёсткости при изгибе, а другая – ось наименьшей жёсткости. Экстремальные значения моментов инерции сечения можно определить по формулам (4.19) при α = α0 или по формулам: 𝐼𝑚𝑎𝑥 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 2 2 ; √ = + ( ) + 𝐼𝑥𝑦 2 2 𝐼𝑚𝑖𝑛 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 2 2 . √ = − ( ) + 𝐼𝑥𝑦 2 2 Осевые моменты 𝐼𝑚𝑎𝑥 и 𝐼𝑚𝑖𝑛 называют главными моментами инерции. Если сечение имеет более двух осей симметрии, т. е. если выполняются условия I x  I y и I xy  0 , то для такой фигуры любая пара взаимно перпендикулярных осей являются главными (значение I x1 y1 при любом угле поворота равно нулю). Это круг, квадрат, правильный шестиугольник и др. 4.5. Радиусы инерции сечений Момент инерции сечения относительно какой-либо оси, на основании формулы среднего значения интеграла, можно представить в виде 63 произведения площади сечения на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции: 𝐼𝑥 = ∫ 𝑦 2 𝑑𝑆 = 𝑖𝑥2 ∫ 𝑑𝑆 = 𝑖𝑥2 𝑆, 𝑆 𝑆 где 𝑖𝑥 – радиус инерции сечения относительно оси Ox. Радиусы инерции представляют собой расстояния от осей до некоторых средних точек сечения, определяемые по формулам: 𝐼𝑥 𝑖𝑥 = √ ; 𝑆 𝐼𝑦 𝑖𝑦 = √ . 𝑆 Радиусы 𝑖𝑚𝑎𝑥 и 𝑖𝑚𝑖𝑛 , соответствующие главным моментам инерции сечения, называют главными радиусами инерции. Для прямоугольного сечения со сторонами b и h, показанного на рис. 4.6, 𝐼𝑥 𝑏ℎ3 ℎ 𝑖𝑥 = √ = √ = ; 𝑆 12𝑏ℎ 2√3 𝐼𝑦 ℎ𝑏 3 𝑏 𝑖𝑦 = √ = √ = . 𝑆 12𝑏ℎ 2√3 Для кругового сечения 𝜋𝐷4 4 𝐷 √ 𝑖𝑥 = 𝑖𝑦 = = . 64𝜋𝐷2 4 64 5. КРУЧЕНИЕ 5.1. Понятие о кручении. Эпюры крутящих моментов Кручение – это такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент Мz или Мк. Кручение вызывают пары сил, расположенные в плоскостях, перпендикулярных к оси бруса (рис. 5.1). Кручению подвергаются многие детали машин, в частности валы. В расчётах часто требуется найти крутящий (вращающий) момент, передаваемый на вал шкивом или зубчатым колесом. Этот момент зависит от передаваемой мощности N и частоты вращения 𝜔 вала. Как известно из теоретической механики, А = Мк ∙ 𝜑; N = Мк ∙ 𝜔, где А – работа; Мк – крутящий момент; φ – угол поворота вала. Следовательно 𝑁 𝑁 ∙ 30 𝑀 = = , к Рис. 5.1 𝜔 𝜋𝑛 где n – частота вращения в об/мин. Иногда требуется определить крутящий момент, приложенный к валу со стороны шкива через известные силы натяжения ветвей ремня (рис. 5.2). Тогда M = 0,5DT1 – 0,5DT2 = 0,5D(T1-T2), где D – диаметр шкива. Крутящие моменты в поперечных сечениях бруса определяются методом сечений. При построении эпюр применяется следующее правило знаков: момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он стремится повернуть сечение против хода часовой стрелки. Из метода сечений вытекает правило для вычисления крутящего момента: крутящий момент численно равен алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных на одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси, перпендикулярной плоскости сечения и проходящей Рис. 5.2 65 через его центр тяжести. Допустим, к валу через шкивы приложены моменты М1 = 2 кНм; М2 = =4 кНм; М3 = 9 кНм; М4 = 3к Нм (рис. 5.3). Построить эпюру крутящих моментов. При построении эпюр брус делится на участки, границами которых являются места приложения сосредоточенных моментов. Естественно, что сумма всех действующих на брус моментов должна равняться нулю, брус должен находиться в равновесии. Рис. 5.3 Вычислим крутящие моменты в сечениях вала. На участке 0 слева от сечения нет никаких внешних нагрузок, Мк0 = 0. В первом участке слева от сечения действует момент М1, причем если смотреть на вал слева, то момент М1 поворачивает сечение по ходу часовой стрелки. Следовательно МК𝐼 = −М1 = −2 кНм. Аналогично находим МК𝐼𝐼 = −М1 − М2 = −2 − 4 = −6 кНм. На третьем участке удобнее рассматривать равновесие правой части вала. Справа от сечения находится только момент М4, причём этот момент, если смотреть справа, поворачивает сечение против хода часовой стрелки, т. е. МК𝐼𝐼𝐼 = +М4 = 3 кНм. Правее правого шкива, на участке IV, справа от сечения нет внешних нагрузок, поэтому МК𝐼𝑉 = 0. Кстати, если мы рассмотрели бы равновесие левой части вала, то получили бы тот же результат МК𝐼𝑉 = −М1 − М2 + М3 − М4 = 0. При правильном построении эпюры (рис. 5.3) скачки должны быть равны величине приложенного в данном сечении крутящего момента. 66 Построение эпюр позволяет выявить опасное сечение. Если рассматриваемый вал имеет постоянное поперечное сечение, то опасным будет сечение, в котором значение Мк будет максимальным по модулю. Для нашего случая – этот участок II, где МКII = –6кНм. Необходимо ещё раз подчеркнуть, что прочностные расчёты ведутся не на максимальную внешнюю нагрузку (в нашем примере М3= 9 кНм), а на максимальное по модулю значение внутреннего силового фактора (в нашем случае МКII = 6 кНм). 5.2. Напряжения и деформации при кручении Вначале получим расчетные формулы для определения напряжений и деформаций стержней с круглым или трубчатым поперечным сечением. При кручении осесимметричного стержня в его поперечных сечениях возникают касательные напряжения τ, а сами сечения поворачиваются один относительно другого (вокруг оси стержня) на угол φ (рис. 5.4а). Рис. 5.4 Почему при кручении в сечениях действуют касательные напряжения? Напряжения в сечениях, как известно, уравновешивают действующие на оставленную часть бруса внешние нагрузки. Пусть на оставленную часть бруса (рис. 5.4б) действует внешняя нагрузка в виде момента Мк. Такой момент могут уравновешивать только касательные напряжения τ, действующие в плоскости сечения. Нормальные напряжения в сечении, каким бы образом они не распределялись, уравновесить крутящий момент не могут (они параллельны оси стержня и поэтому момент относительно оси создать не могут). Что касается касательных напряжений, то они, будучи везде перпендикулярными к радиусу сечения, создают элементарную силу τρdS, а её момент относительно оси Оz 𝑑𝑀к = 𝜏𝜌 𝑑𝑆 ∙ 𝜌, 67 где ρ – плечо силы τρdS относительно точки 0. Суммируя элементарные моменты по всей площади сечения, получим значение крутящего момента: 𝑀к = ∫ 𝜏𝜌 𝜌𝑑𝑆. (5.1) 𝑆 Выражение (5.1) для непосредственного вычисления напряжений непригодно, так как нам пока неизвестен закон распределения напряжений по сечению. При выводе расчетных формул для определения τρ и φ принимается ряд допущений. 1. Сечения, плоские и перпендикулярные к оси до деформации, остаются таковыми же и после деформации (справедлива гипотеза плоских сечений). 2. Прямые радиусы поперечного сечения после деформации кручения остаются прямыми. 3. Ось стержня при кручения остаётся прямой, расстояние между сечениями не меняется. Эти допущения (гипотезы) принимаются на основе экспериментальных исследований и наблюдений, их справедливость подтверждается точными решениями задач кручения методами теории упругости. Выделим из стержня трубчатый элемент – тонкостенный цилиндр – длиной dz, радиусом ρ и толщиной dρ (рис. 5.4в). Отмеченный на данном цилиндре прямоугольный фрагмент aвdc после деформации кручения принимает вид параллелограмма aв′d′c, он получает угловую деформацию γ. При этом одно сечение поворачивается относительно другого на угол dφ. Из треугольников овв′ и авв′ следует, что 𝑑𝜑 (5.2) 𝛾 ∙ 𝑑𝑧 = 𝜌𝑑𝜑 или 𝛾=𝜌 . 𝑑𝑧 Воспользуемся законом Гука для сдвига 𝜏 𝜏 =𝛾·𝐺 или 𝛾= , 𝐺 где G – модуль сдвига. Следовательно, 𝑑𝜑 . 𝑑𝑧 Подставим полученное значение для напряжений в формулу (5.1): 𝜏 =𝐺∙𝜌 𝑀к = ∫ 𝐺 ∙ 𝜌 ∙ 𝑆 𝑑𝜑 𝑑𝜑 𝑑𝜑 ∙ 𝜌 ∙ 𝑑𝑆 = 𝐺 ∫ 𝜌2 𝑑𝑆 = 𝐺 ∙𝐼 , 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑝 𝑆 где 𝐼𝑝 = ∫𝑆 𝜌2 𝑑𝑆 – полярный момент инерции сечения. Из формулы (5.4) найдем величину (5.3) (5.4) 68 𝑑𝜑 𝑀к (5.5) = 𝑑𝑧 𝐺𝐼р и подставим её в формулу (5.3) для τ: 𝑀к 𝑀к (5.6) 𝜏 =𝐺∙𝜌 = ∙ 𝜌. 𝐺 ∙ 𝐼𝑝 𝐼р Из формулы (5.6) следует, что касательные напряжения при кручении прямо пропорциональны величине крутящего момента в сечении и расстоянию рассматриваемой точки от оси симметрии, и обратно пропорциональны полярному моменту инерции сечения. Эпюры распределения напряжений по поперечному сечению в виде круга или кольца показаны на рис. 5.5. Максимальные напряжения действуют в точках сечения вблизи поверхности бруса∙ 𝑀к 𝐷 𝜏макс = ∙ . 𝐼р 2 Из выражения (5.5) следует, что 𝑀к (5.7) 𝑑𝜑 = 𝑑𝑧 𝐺𝐼р или, после интегрирования, ℓ 𝜑=∫ о 𝑀к 𝑑𝑧 , 𝐺𝐼р (5.8) где ℓ – расстояние между рассматриваемыми сечениями бруса; GIр – жёсткость на кручение. Рис. 5.5 Жёсткость на кручение (по аналогии с жёсткостью на растяжение ES) зависит от характеристик материала и геометрии поперечного сечения. Если крутящий момент и сечение постоянны по длине бруса, то 𝑀к ℓ (5.9) 𝜑= . 𝐺𝐼р 69 5.3. Расчёт валов на прочность и жёсткость Формула для определения максимальных напряжений при кручении стержня с осесимметричным поперечным сечением записывается в виде 𝑀к 𝜏макс = , 𝑊р где 𝑊р = 2𝐼𝑝 ⁄𝐷 = 𝐼𝑝 ⁄𝑅 – полярный момент сопротивления сечения. Для сплошного круглого сечения 2𝐼р 2𝜋𝐷4 𝜋𝐷3 3,14 3 𝑊р = = = = 𝐷 ≈ 0,2𝐷3 . 𝐷 32 ∙ 𝐷 16 16 Для трубчатого сечения с диаметрами D и d 2𝐼р 2𝜋𝐷4 (1 − 𝑐 4 ) 𝜋𝐷3 (1 − 𝑐 4 ) ≈ 0,2𝐷3 (1 − 𝑐 4 ). 𝑊р = = = 𝐷 32 ∙ 𝐷 16 Прочность бруса, работающего на кручение, считают обеспеченной, если наибольшие касательные напряжения, возникающие в его опасном сечении, не превышают допускаемых: 𝜏макс ≤ [𝜏к ], где [τк] – допускаемые напряжения на кручение. Обычно при практических расчётах допускается незначительное превышение расчётного напряжения 𝜏макс над допускаемым [τк] (до 5%). Как отмечалось ранее, наибольшие касательные напряжения возникают в точках сечения, наиболее удалённых от оси симметрии, где ρ = D/2. Следовательно, условие прочности при кручении принимает вид 𝑀к (5.10) 𝜏макс = ≤ [𝜏к ]. 𝑊р Опасным является сечение бруса, в котором максимальный крутящий момент (если сечение постоянно) или (при постоянном крутящем моменте) сечение, которое имеет минимальный полярный момент сопротивления. Допускаемые напряжения [τк] для пластичных материалов назначают в зависимости от предела текучести при сдвиге (кручении) 𝜏Т [𝜏к ] = , 𝑛 а для хрупких материалов – в зависимости от предела прочности 𝜏в [𝜏к ] = , 𝑛 где n – коэффициент запаса прочности. В практических расчётах обычно принимают для сталей [τк] = = (0,55…0,6)[σ], для чугуна [τк] = (0,7…0,8)[σ]. В большинстве случаев вал (брус, работающий на кручение) должен быть рассчитан не только на прочность, но и на жёсткость. 70 За меру жёсткости при кручении принимают относительный угол закручивания (угол закручивания вала единичной длины): 𝑑𝜑 𝑀к 𝜃= = . 𝑑𝑧 𝐺𝐼р Следовательно, условие жёсткости вала принимает вид 𝑀к (5.11) 𝜃= ≤ [𝜃], 𝐺𝐼р где [θ] – допускаемый угол закручивания. Величина [θ] зависит от назначения вала (от отрасли машиностроения, назначения машины) и, как правило, лежит в пределах (0,26…3,5)∙10-2 рад/м, что соответствует 0,15…2 град/м. Условия прочности (5.10) и жёсткости (5.11) позволяют проводить проектировочные расчёты (при заданном крутящем моменте и допускаемых напряжениях подобрать сечение вала), а также расчёты по определению допустимого крутящего момента (при заданном сечении и допускаемых напряжениях или допускаемом угле закручивания). При сплошном поперечном сечении, как видно из рис. 5.5, материал используется нерационально, так как центральная часть сечения «работает» слабо, поскольку напряжения там значительно меньше максимальных. Удаление материала из центральной части сечения приводит лишь к незначительной потере прочности. При равных площадях поперечного сечения вал с кольцевым сечением оказывается прочнее и жёстче. Иначе говоря, валы с кольцевым сечением являются более рациональными. Пример 5.1. В поперечном сечении вала действует крутящий момент Mк = 6 кНм. Допускаемые напряжения [τк]=50 МПа. Определить потребный диаметр для сплошного вала и вала с кольцевым сечением при с = 𝑑⁄𝐷 = 0,8. Определяем потребный момент сопротивления 𝑀к 6 ∙ 103 𝑊р ≥ = = 120 ∙ 10−6 м3 = 120 см3 . [𝜏к ] 50 ∙ 106 Полярный момент сопротивления полого вала 𝜋𝐷3 (1 − 𝑐 4 ), 𝑊р = 16 поэтому 3 𝐷𝑛 = √ 3 16𝑊р 16 ∙ 120 =√ = 10,1 см, 4 𝜋(1 − 𝑐 ) 3,14(1 − 0,84 ) 𝑑𝑛 = 𝑐𝐷𝑛 = 0,8 ∙ 10,1 = 8,1 см. Диаметр сплошного вала 3 16𝑊 3 16 ∙ 120 р 𝐷𝑐𝑛 = √ =√ = 8,5 см. 𝜋 3,14 71 Сравним теперь валы в весовом отношении. При одинаковом материале отношение весов равно отношению площадей поперечного сечения. Площадь сечения трубчатого вала 𝜋 𝜋𝐷2 3,14 ∙ 10,12 (1 − 𝑐 2 ) = (1 − 0,82 ) = 28,8 см2 . 𝑆𝑛 = (𝐷2 − 𝑑2 ) = 4 4 4 Площадь сечения сплошного вала 2 𝜋𝐷𝑐𝑛 3,14 ∙ 8,52 𝑆с𝑛 = = = 56,7 см. 4 4 Отношение весов (площадей поперечного сечения) при одинаковой прочности 𝑆𝑛 28,8 𝛼= = = 0,51. 𝑆𝑐𝑛 56,7 Следовательно, полый вал почти в два раза легче сплошного. В связи с этим там, где нет жёстких ограничений габаритных размеров, валы стремятся выполнять полыми. 5.4. Энергия деформации при кручении При кручении, как и при других видах деформации бруса, работа внешних сил, совершаемая на упругих перемещениях, расходуется на создание в деформированном стержне определённого запаса потенциальной энергии. Так, в стержне, показанном на рис. 5.6, крутящий момент Мк при повороте сечения на угол φ совершает работу 1 𝐴 = 𝑀к ∙ 𝜑. 2 Вырежем двумя поперечными сечениями элемент бруса длиной dz. При скручивании стержня одно сечение относительно другого поворачивается на угол dφ, крутящий момент совершает элементарную работу, переходящую в потенциальную энергию: 1 𝑑𝐴 = 𝑑𝑊 = 𝑀к 𝑑𝜑. 2 Но (см. формулу (5.7)) 𝑀к ∙ 𝑑𝑧 𝑑𝜑 = , 𝐺𝐼𝑃 поэтому 1 𝑀к2 𝑑𝑧 𝑑𝑊 = . 2 𝐺𝐼𝑃 Потенциальная энергия всего стержня ℓ 𝑊=∫ Рис. 5.6 𝑀к2 𝑑𝑧 . 2𝐺𝐼𝑃 При ступенчатом изменении сечения или крутящего момента, а также при произвольном изменении величин Мк и Iр 72 ℓ 𝑀к2 𝑑𝑧 𝑊 = ∑∫ . 2𝐺𝐼𝑃 (5.12) Выражение для вычисления потенциальной энергии используются при определении упругих перемещений. 5.5. Понятие о кручении некруглых стержней При кручении бруса с некруглым поперечным сечением эти сечения не остаются плоскими (они искривляются, депланируют), гипотезу плоских сечений для таких стержней применять нельзя. Поэтому задачу определения напряжений и деформаций при кручении стержней с не осесимметричным поперечным сечением необходимо решать более сложными методами, в курсе сопротивления материалов эта задача не рассматривается. Задача о кручении стержней некруглого сечения впервые была решена Сан-Венаном в 1855 г. Вследствие искривлений поперечных сечений напряжения вдоль линий, проведенных из центра тяжести сечений, меняется нелинейно. Так, например, при кручении стержня с прямоугольным сечением, картина распределения напряжений имеет вид, показанный на рис. 5.7. Оказывается, что максимальные касательные напряжения возникают у середины длинной стороны, а в угловых точках, наиболее удалённых от центра тяжести, – равны нулю. Для получения представления о характере распределения напряжений можно воспользоваться мембранной аналогией. Мембранная аналогия основана на том, что задача о кручении стержня с некруглым сечением (в том числе и с круглым сечением) сводится к такому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии упругой мембраны, натянутой на контур такого же очертания и нагруженной Рис. 5.7 равномерным давлением. Величина напряжений пропорциональна тангенсу угла 𝛼 наклона плёнки над данной точкой. Из рис. 5.8, где показан вид плёнки на прямоугольном поперечном сечении, видно, что у середины коротких сторон (сечение А-А) угол наклона плёнки и, следовательно, напряжения меньше, чем у середины длинных сторон. 73 Рис. 5.8 Основные формулы для расчёта стержней с некруглым поперечным сечением при их кручении оставлены аналогичными формулам для осесимметричных стержней. Так, максимальные касательные напряжения и угол закручивания вычисляются по формулам: 𝑀к 𝑀к ∙ ℓ 𝜏макс = ; 𝜑= , (5.13) 𝑊к 𝐺 ∙ 𝐼к где Wк – момент сопротивления при кручении (геометрическая характеристика прочности); Iк – момент инерции при кручении (геометрическая характеристика жёсткости). Величины Wк и Iк для различных сечений приводятся в справочниках. Так, например, для прямоугольного сечения 𝑊к = 𝛼ℎ𝑏 2 ; 𝐼к = 𝛽ℎ𝑏 3 , (5.14) где h и b – длины сторон сечения, причем b – короткая сторона; 𝛼 и 𝛽 – коэффициенты, зависящие от соотношения h/b (см. табл. 5.1) Следовательно, максимальные касательные напряжения при кручении стержня с прямоугольным поперечным сечением (у середины длинных сторон) 𝑀𝑧 𝜏𝑚𝑎𝑥 = . 𝛼ℎ𝑏 2 В середине коротких сторон касательные напряжения 𝜏1 несколько меньше, т. е. 𝜏1 = 𝜂𝜏𝑚𝑎𝑥 , где 𝜂 ≤ 1 – коэффициент, зависящий от соотношения сторон сечения (см. табл. 5.1). Для узких и длинных прямоугольников (при ℎ⁄𝑏 > 10), как видно из табл. 5.1 𝛼 = 𝛽 = 1⁄3. Таблица 5.1 Коэффициенты геометрических характеристик прямоугольного сечения h/b 1,0 1,5 1,75 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0 ∞ 𝛼 0,208 0,231 0,239 0,246 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 𝛽 0,141 0,196 0214 0,229 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 η 1,000 0,859 – 0,795 0,753 0,745 0,743 – 0,742 0,742 74 Для таких стержней 𝑊к = 𝑠𝑡 2 /3; 𝐼к = 𝑠𝑡 3 /3, где s – длина контура (периметр) тонкостенного сечения; t – толщина профиля (рис. 5.9). В современном машиностроении широко применяются тонкостенные стержни. Тонкостенными называют стержни, если толщина профиля t существенно меньше другого размера сечения (рис. 5.9). Тонкостенные профили могут иметь как замкнутый, так и открытый контур. В соответствии с мембранной аналогией, у стержней с замкнутым контуром напряжения по толщине постоянные (рис. 5.10а), а у стержней с открытым Рис. 5.9 контуром – по толщине меняются линейно (рис. 5.10б). Поскольку напряжения распределяются по-разному, то для стержней с замкнутым и с открытым контуром характеристики сечения определяются по- разному. Приведём эти формулы без вывода. Рис. 5.10 Для тонкостенных открытых профилей, составленных из n прямоугольных профилей со сторонами bi, hi каждый, момент инерции при кручении может быть определён по формуле 𝑛 ℎ 𝑏3 𝑖 𝑖 (5.15) 𝐼к = ∑ , 1 3 а момент сопротивления кручению 𝐼к 𝑊к = , (5.16) 𝑏𝑚𝑎𝑥 где 𝑏𝑚𝑎𝑥 – наибольшая из толщин профиля. Наибольшие касательные напряжения возникают в середине длинных сторон прямоугольника с наибольшей толщиной. 75 При расчёте на кручение стержней со стандартным прокатным профилем (уголок, швеллер, двутавр и др.) величина 𝐼к , определяемая по формуле (5.15), умножается на поправочный коэффициент 𝜖, имеющий значения: для уголка – 1,00; для швеллера –1,12; для тавра – 1,15; для двутавра – 1,20. Для закрытых профилей 𝑊к = 𝜔𝑡; 𝐼к = 𝜔2 𝑡⁄𝑠, (5.17) где 𝜔 =2S – удвоенная площадь, ограниченная средней линией контура (рис. 5.11). Стержни с замкнутым контуром на кручение работают значительно (на один-два порядка) лучше по сравнению со стержнями с открытым контуром. Пример 5.2. Сравнить касательные напряжения и угол закручивания трубы для двух случаев: – труба имеет замкнутый контур, r/t=20 (r – радиус средней линии, t – толщина стенки); – та же труба, разрезанная вдоль образующей (рис. 5.11). Рис. 5.11 Определим моменты сопротивления и инерции при кручении сечений с открытым и замкнутым контурами: 1 2 𝑊к.𝑜 = 2𝑛𝑟 ∙ 𝑡 2 = 𝜋𝑟𝑡 2 ; 𝑊к.з = 𝜔𝑡 = 2𝜋𝑟 2 𝑡. 3 3 2 𝐼к.𝑜 = 𝜋𝑟𝑡; 𝐼к.з = 2𝜋𝑟 3 𝑡. 3 Тогда максимальные напряжения при одинаковом крутящем моменте 3𝑀к 𝑀к 𝜏макс.о = ; 𝜏макс.з = , 2 2𝜋𝑟𝑡 2𝜋𝑟 2 𝑡 а их отношение 𝜏макс.о 3𝑀к 2𝜋𝑟 2 𝑡 𝑟 = = 3 = 3 ∙ 20 = 60. 2 𝜏макс.з 2𝜋𝑟𝑡 𝑀к 𝑡 При одинаковых Мк, G и ℓ 𝜑𝑜 𝐼к.з. 2𝜋𝑟 3 𝑡 ∙ 3 𝑟2 = = = 3 = 3 ∙ 202 = 1200. 𝜑з 𝐼к.о. 2𝜋𝑟𝑡 3 𝑡2 Пример наглядно подтверждает, что на кручение стержни с замкнутым контуром работают на два-три порядка лучше, чем аналогичные стержни с открытым контуром. 76 6. ИЗГИБ БРУСА 6.1. Виды изгиба Под изгибом понимается такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. С геометрической точки зрения изгиб характеризуется тем, что ось бруса, прямолинейная до деформации, при изгибе становится кривой линией. Для кривого бруса изгиб приводит к изменению первоначальной кривизны. Если изгибающий момент является единственным силовым фактором, то такой изгиб называют чистым. В общем случае нагружения бруса в его поперечных сечениях наряду с изгибающим моментом действует и поперечная сила. Такой случай называют поперечным изгибом. В данном разделе будем рассматривать только плоский изгиб, который реализуется, если: – все нагрузки, действующие на брус, лежат в одной плоскости П (рис. 6.1), называемой силовой; – силовая полость совпадает с одной из главных плоскостей бруса. Главной называют плоскость, проходящую через ось бруса и одну из главных центральных осей поперечного сечения (рис. 6.1). Рис. 6.1 Плоский изгиб иногда называют прямым. Поскольку при прямом изгибе все нагрузки расположены в одной плоскости, в дальнейшем вместо аксонометрии будем использовать упрощённый рисунок, показанный на рис. 6.1б. При плоском изгибе ось балки – плоская кривая, лежащая в силовой плоскости. Если при этом все внешние силы перпендикулярны оси бруса, их 77 проекции на оси Оz и Оx будут равны нулю. Равны нулю будут и моменты, относительно осей Ох и Оy. Поэтому в дальнейшем будем считать, что при плоском изгибе в сечениях бруса может быть только два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М (Qy и Мx). Изгиб, при котором в сечениях бруса действуют только М и Q называют поперечными (если быть более точным, то прямым поперечным). Если силовая плоскость не совпадает с главной плоскостью бруса, то изгиб называется косым. При таком изгибе ось изогнутого бруса не лежит в силовой плоскости. Брус изгибается «косо» в том смысле, что направления нагрузок и прогибов не совпадают. Такое явление имеет место при изгибе, допустим, равнобокового уголка, если сила действует не в плоскости симметрии (рис. 6.2а). Если же силовая плоскость совпадает с главной осью сечения, то направления силы и перемещения совпадают (рис. 6.2б). Рис. 6.2 Брус, работающий на изгиб, называют балкой. В зависимости от количества и расположения опор балки называют: – двухопорной или однопролётной (рис. 6.3а); – консолью или консольной балкой (рис. 6.3б); – двухопорной с консолью (рис. 6.3в); а) б) в) Рис. 6.3 6.2. Внутренние силовые факторы при изгибе, их взаимосвязь При построении эпюр внутренних силовых факторов, как и раньше, будем использовать метод сечений. Для определённости при построении эпюр Q и М необходимо установить правило знаков. 78 Поперечная сила Q считается положительной, если она стремится повернуть рассматриваемую часть бруса относительно сечения по ходу часовой стрелки, а в противоположном случае – отрицательной (рис. 6.4а). Изгибающий момент М считается положительным, если при его действии сжимаются верхние волокна балки (рис. 6.4б). Рис.6.4 Объясняются такие правила тем, что знаки внутренних силовых факторов связывают с характером деформирования балки. Из метода сечений следуют правила вычисления Q и М. Поперечная сила в рассматриваемом сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на ось, перпендикулярную оси балки. Изгибающий момент в рассматриваемом сечении численно равен алгебраической сумме моментов всех сил и пар сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести сечения. Алгоритм (последовательность) построения эпюр Q и М: – определяются реакции опор; – балка делится на участки. Границами участков являются концы балки, сечения приложения сосредоточенных сил и моментов, границы приложения распределённых нагрузок, места резкого изменения поперечных сечений; – в каждом из участков приводится произвольное сечение, для которого записываются аналитические выражения для Q и М, как функции координаты z сечения; – вычисляются значения Q и М в характерных точках; – строятся эпюры Q и М. Примечание. Для жёстко защемлённой (консольной) балки эпюры Q и М можно строить без определения опорных реакций, но в этом случае всегда необходимо отбрасывать часть балки, которая примыкает к заделке. Построим эпюры Q и М для балки, показанной на рис. 6.5. Интенсивность распределённой нагрузки равна q, длина –  . 79 1. Определяем реакции опор RA и RB. Из условия симметрии балки следует, что RА = RB = q / 2 . Этот результат следует из уравнения моментов относительно, например, точки А: m A ( Fk )  0; RB    q     / 2  0; RB  q . 2 2. Делим балку на участки. Поскольку границы балки, границы распределённой нагрузки и места приложения сосредоточенных сил (RA, RВ) совпадают, то будет только один участок. 3. Проводим в произвольном месте участка сечение, удалённое от точки А Рис. 6.5 на расстояние z, значение которого может меняться от нуля до  ( z  0;  ) . Используя правила для вычисления Q и М, а также правила знаков, получаем: q z q q Q( z )  R A  qz   qz ; M ( z )  R A z  qz  z  z 2 . 2 2 2 2 4. Поперечная сила Q(z) вдоль оси балки меняется по линейному закону (зависит от координаты z в первой степени). Для построения эпюры достаточно вычислить значения поперечной силы в двух точках: q q q Q( z  0)  ; Q( z  )   q   . 2 2 2 Изгибающий момент меняется вдоль оси балки по закону параболы. Для построения эпюры необходимо, как минимум, три точки. q  q  2 q 2     ; M ( z  0)  0; M ( z   / 2)  2 2 2 4 8 q q M ( z  )       2  0. 2 2 5. По полученным данным строим эпюры (см. рис. 6.5). Рассматривая построенные эпюры Q и М, нетрудно подметить, что между ними существует определённая связь. Выясним, что это за взаимосвязь? Пусть балка (рис. 6.6а) нагружена произвольной распределённой нагрузкой q = f(z) и другими нагрузками. Выделим из балки участок длиной dz (рис. 6.6б). Действие отброшенных частей балки заменим внутренними силовыми факторами: в сечении z величинами Q и М, а в сечении z+ dz – Q+dQ и M+dM соответственно. Ввиду 80 малости длины dz нагрузку q на данном участке балки можно считать постоянной. Составим уравнение равновесия  Fky  0 : Q  qdz  Q  dQ  0, q из которого получаем: dQ . dz (6.1) Рис.6.6 Уравнение равновесия по моментам (относительно точки С) приводит к выражению: dz  M  Q  dz  q  dz   M  dM  0. 2 Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго порядка, получаем: dM Q (6.2) dz Из дифференциальных зависимостей можно получить и интегральные зависимости. Так как dМ = Qdz, а dQ = qdz, , то   M  M o   Qdz   M i , Q  Q0   qdz   Pi  0, , (6.3) где M и Мо, Q и Qо – соответственно значения изгибающих моментов и поперечных сил в конце и в начале участка;  – длина участка, на котором вычисляются значения изгибающего момента;  M i и ∑ 𝑃𝑖 – взятые с соответствующими знаками сосредоточенные моменты (пары сил) и сосредоточенные силы, приложенные на рассматриваемом участке. Дифференциальные и интегральные зависимости (6.1)…(6.3) являются мощным средством контроля правильности построения эпюр. Из них следуют следующие правила. 81 1. Если на некотором участке отсутствует распределённая нагрузка, то поперечная сила должна быть постоянной, а изгибающий момент – линейной функцией координаты z. 2. Если на некотором участке q = const, то Q – линейная, а М – квадратичная функция. 3. Если на некотором участке: – Q > 0, то момент должен возрастать (слева направо); – Q < 0, то момент должен убывать; – Q = 0, то момент постоянен (чистый изгиб). 4. Если на некотором участке балки поперечная сила, изменяясь непрерывно, проходит через нулевое значение, то в этом сечении изгибающий момент имеет экстремум (минимум или максимум). Для контроля за правильностью построения эпюр полезно знать ещё ряд правил, вытекающих из метода сечений. 5. В местах приложения сосредоточенных сил на эпюре Q должны быть скачки, по величине численно равные модулю приложенных сил. 6. В сечениях, где приложены сосредоточенные моменты (пары сил), на эпюрах М должны быть скачки, численно равные модулю сосредоточенного момента. 7. На разноимённые эпюры сосредоточенные силы и моменты влияния не оказывают (в месте приложения сосредоточенной силы нет скачка на эпюре М, а в местах приложения пар сил нет скачков на эпюре Q). 8. В сечении, совпадающем с жёсткой заделкой консольной балки, значения Q и М численно равны опорной реакции и реактивному моменту. 6.3. Нормальные напряжения при чистом изгибе Чистый изгиб можно реализовать в случае, если к свободному концу консольной балки приложить сосредоточенный момент (рис. 6.7а). Изгибающий момент, как следует из метода сечений, представляет собой результирующий момент элементарных внутренних сил  dS , возникающих на бесконечно малых площадках dS поперечного сечения и действующих на плече у (рис. 6.7б). Следовательно, M x   dM x   dSy   ydS . S S S (6.4) Формула (6.4) не позволяет определить нормальное напряжение (хотя  – единственное неизвестное в уравнении), так как нам неизвестен закон их распределения по сечению. Для решения этой задачи необходимо сделать 82 некоторые предположения о характере деформирования балки, т. е. принять ряд допущений: – поперечные сечения балки, бывшие плоскими и перпендикулярными к её оси до деформации, остаются таковыми же и после деформации; – продольные волокна не давят друг на друга (имеем одноосное напряжённое состояние); – материал балки идеально упругий, справедлив закон Гука. Рассмотрим участок балки, подверженный чистому изгибу (рис. 6.8а). Пусть балка деформируется так, что её верхние волокна удлиняются, а нижние а) б) Рис. 6.7 укорачиваются. Такое возможно только при появлении нормальных напряжений. При постепенном переходе от растянутых волокон к сжатым должен быть слой, который не меняет своей длины. Этот слой, на рисунке 6.8 – линия NN, называется нейтральным. Определим деформацию (относительное удлинение) волокна cd. Для этого проведём линию bb , параллельную линии ас. Тогда   bd bd   . o cb ab Из подобия треугольников аОb и bbd можно записать: b d ab  y  или где  – радиус кривизны балки. Следовательно, относительное расстояние у от нейтральной оси  bd y  , ab  удлинение bd y  , ab  волокон, удалённых на 83 Воспользуемся законом Гука:   E  E y  (6.5) Из формулы (6.5) видно, что при чистом изгибе нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону. Максимальные напряжения возникают в волокнах, наиболее удалённых от нейтральной оси (рис. 6.8б). Нейтральной осью называется линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью симметрии поперечного сечения. Для выяснения, где проходит нейтральная ось, воспользуемся условием, что при чистом изгибе продольная сила в любом сечении равна нулю. Тогда E E N   dS   ydS   ydS  0. S S  S Рис. 6.8 Интеграл  ydS – это статический момент сечения относительно S нейтральной оси. Он равен нулю, если ось, относительно которой вычисляется статический момент сечения, является центральной. Следовательно, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения, а радиус кривизны  является радиусом кривизны изогнутой оси балки. Однако радиус кривизны  нам пока неизвестен, поэтому его необходимо выразить через известные нам величины. Для этого значение напряжений подставим в формулу (6.4): E E M x   y ydS   y 2 dS . S S  84 Интеграл ∫𝑆 𝑦 2 𝑑𝑆 представляет собой момент инерции поперечного сечения относительно оси Ox. Следовательно, 𝐸 1 𝑀𝑥 𝑀𝑥 = 𝐼𝑥 , а кривизна оси бруса = . (6.6) 𝜌 𝜌 𝐸𝐼𝑥 Подставляя (6.6) в (6.5) получаем  M M Ey  Ey  x  x y ,  EI x I x или  Mx y. Ix (6.7) Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что при чистом изгибе гипотеза плоских сечений выполняется с высокой степенью точности, поэтому для чистого изгиба формула (6.7) даёт абсолютно точный результат. При поперечном изгибе, когда вследствие действия касательных напряжений появляются угловые деформации, поперечные сечения не остаются плоскими. Однако можно доказать, что появляющаяся при этом погрешность оказывается вполне приемлемой для инженерных расчётов. 6.4. Касательные напряжения при поперечном изгибе Касательные напряжения в поперечных сечениях балки обусловлены наличием поперечной силы. Действительно, если рассмотреть равновесие левой части балки (рис. 6.9б), то равновесие возможно только при наличии касательных напряжений  , так как нормальные напряжения в сечении уравновесить вертикальную силу не могут. Равнодействующая касательных напряжений и представляет собой поперечную силу, т. е. (6.8) Q     dS . S Если в поперечном сечении действуют касательные напряжения, то, в соответствии с законом парности, такие же напряжения действуют и в продольных сечениях балки (рис. 6.9в). Именно это обстоятельство используется при выводе формулы для расчёта касательных напряжений. Примем допущения: 1. Касательные напряжения во всех точках сечения параллельны поперечной силе. 2. Касательные напряжения по ширине балки постоянные. При поперечном изгибе (Q ≠ 0) изгибающий момент вдоль оси балки меняется (рис. 6.9а). Поэтому, если выделить сечениями 1 и 2 элемент балки длиной dz (см. рис. 6.9а), то изгибающие моменты и нормальные напряжения слева и справа элемента будут неодинаковыми (рис. 6.10а). 85 Продольным сечением, проведённым на расстоянии y от нейтральной оси, отделим верхнюю часть элемента и рассмотрим его равновесие (рис. 6.10б). Слева на выделенный элемент действует сила 𝑁1 = ∫ 𝜎𝑑𝑆 = ∫ 𝑆отс 𝑆отс 𝑀𝑥 𝑀𝑥 𝑀𝑥 ост ∙ 𝑦𝑑𝑆 = ∫ 𝑦𝑑𝑆 = 𝑆 , 𝐼𝑥 𝐼𝑥 𝐼𝑥 𝑥 𝑆отс где S отс – площадь отсечённой части сечения (рис.6.10в) S xотс – статический момент отсечённой части сечения относительно оси Оx. Рис. 6.9 Справа на рассматриваемый элемент действует большая сила N 2  N1  dN  M  dM отс  Sx . Ix При нагружении балки все её элементы находятся в равновесии, следовательно, на выделенный элемент действуют ещё какие-то силы. В сечениях a-c и b-d действуют касательные напряжения  , однако они проекции на ось Oz не дают. Равновесие обеспечивают касательные напряжения на грани c-d. В соответствии с законом парности касательных напряжений они направлены влево и «помогают» силе N1 . Составим сумму проекций всех сил на продольную ось балки, т. е. F kz N1    b  dz  N2  0, где b – ширина поперечного сечения. После подстановки значений N1 и N 2 получаем:  0; 86 M отс М  dM отс  S x    bdz   Sx  0 Iz Ix dM S xотс   . dz I x b или Рис. 6.10 dM  Q. dz Но, как известно Следовательно  Q  S zотс . I xb (6.9) Формула (6.9) называется формулой Журавского для определения касательных напряжений. Величины Q и Ix для данного сечения балки есть величины постоянные. Следовательно, касательные напряжения в сечении изменяются в соответствии с изменением статического момента отсечённой части сечения и ширины сечения b. Пример 6.1. Построить эпюру касательных напряжений для сечения балки с прямоугольным поперечным сечением, если в сечении действует поперечная сила Q (рис. 6.11). Так как для прямоугольного сечения b = const, то напряжения  будут пропорциональны величине S x отс . По определению S x отс – это статический момент относительно оси Оx площади сечения, находящейся выше линии y = const (на рис. 6.11 эта площадь заштрихована). По определению где S xотс  Sотс  yc , Sотс – площадь сечения, находящаяся выше линии y = const; yc – расстояние от оси Оx до центра тяжести площади Sотс . Из рис. 6.11 видно, что Sотс  b(h / 2  y); y c  (h / 2  y) / 2. 87 Следовательно, ℎ 1 ℎ 𝑏 ℎ2 𝑆𝑥отс = 𝑏 ( − 𝑦) ( + 𝑦) = ( − 𝑦 2 ). 2 2 2 2 4 Рис. 6.11 отс Вычислим значение S x y h/2 S xотс в зависимости от значения координаты y: h/4 3bh2/32 4bh2/32 -h/4 -h/2 3bh2/32 отс Эпюра значений S z показана на рис. 6.11б. По аналогичному закону (по квадратной параболе) изменяются по высоте сечения и значения касательных напряжений. Так, в середине сечения, где касательные напряжения максимальны, Q  S zотс Q 1 / 8bh 2 3 Q max   3   . Yz  b bh / 12 b 2 bh (6.10) Величина Q / bh представляет собой среднее значение напряжений в сечении (таковыми были бы касательные напряжения в сечении, если они были распределены по всей площади равномерно). Таким образом, из-за неравномерности распределения касательных напряжений по сечению, максимальные напряжения в 1,5 раза превышают средние. 6.5. Расчёты на прочность при изгибе При изгибе балок со сплошным поперечным сечением (прямоугольным, круглым и др.) касательные напряжения весьма малы, ими при проведении прочностных расчётов обычно пренебрегают. Действительно, для консольной балки (рис. 6.12) длиной , с прямоугольным поперечным сечением, как видно из эпюр внутренних силовых факторов, Qmax  P; ( M )max  P. 88 Следовательно, максимальные касательные и нормальные напряжения соответственно равны  max  М P h 6 P 3 P ymax  3   2 . ;  max  Ix 2 bh bh 12 2 bh Тогда отношение напряжений  max 6 P  2bh    4 .  max h bh 2  3P Для большинства балок ℓ / h ≥ 5…10, a σ / τ ≥ 20…40, поэтому касательными напряжениями в инженерных расчётах можно пренебречь, прочностной расчёт балок со сплошным поперечным сечением проводится только по нормальным напряжениям. Рис. 6.12 Для балок с постоянным поперечным сечением (мы рассматриваем только такие балки) опасным будет сечение, в котором действует максимальный по модулю изгибающий момент, т. е. опасное сечение определяется по эпюре изгибающих моментов. В опасном сечении максимальные нормальные напряжения возникают в точках, наиболее удалённых от нейтральной оси, где y = ymax. Таким образом M max M max M max  ,  max   ymax  I x / ymax Wx Ix где Wx  I x / ymax – осевой момент сопротивления или момент сопротивления при изгибе. Осевой момент сопротивления – характеристика поперечного сечения. Он характеризует прочность балки при изгибе, так как чем больше Wx , тем меньше  max и тем надёжнее будет работать балка. Определим осевой момент сопротивления для некоторых простых поперечных сечений: – для прямоугольника Ix  bh3 ; 12 ymax  h / 2; Wx  I x / ymax bh3 2 bh 2   ; 12h 6 – для круга диаметром D D 4 2 D 3 D 4 y  D / 2 ; Ix  ; Wx  I x / ymax   ; max 64 – для кольца с диаметрами D и d 64 D 32 89 4   1  d .  D4    Таким образом, условие прочности для балки со сплошным поперечным сечением принимает вид D 4  d 4  Ix  1 ; 64  D 4  ymax  D / 2; Wx  D 32 3  max   р M max Wz   . (6.11) Данное условие применимо для пластичных материалов, для которых   с   . Для балок из пластичных материалов целесообразно использовать сечения, симметричные относительно оси Ox (см. рис.6.13), так как при симметричном сечении как растягивающее, так и сжимающее напряжения имеют одинаковую величину. Рис. 6.13 Некоторые хрупкие материалы (чугун, бетон, текстолит) работают на сжатие значительно лучше, чем на растяжение, соответствующие допускаемые напряжения отличаются в несколько раз, т. е.   с /  р  2...10. Если балка из такого материала имеет симметричное поперечное сечение, то в качестве допускаемого напряжения необходимо выбрать   р , как меньшее по модулю. При этом материал в сжатой зоне будет явно недогружен, симметричные сечения таких балок не будут рациональными. Для балок из хрупких материалов рациональны несимметричные сечения (тавровые, П-образные и др.) (см. рис.6.14). Для таких балок необходимо использовать два условия прочности: – для растянутой зоны  р max  – для сжатой зоны  c max  M M max Ix max Ix y1    p ; y 2   c . (6.12) (6.13) 90 Рис. 6.14 Условия прочности (6.11)…(6.13) позволяют проводить три вида расчётов: – проверочный: зная М max ,Wи   , находятся  max и, сравнивая его значение с   , делается вывод о прочности рассматриваемой конструкции; – проектировочный: зная М max и   находится Wпотр , после чего, исходя из формы сечения, определяются его размеры; – определение допустимой нагрузки: зная Wz и   находится значение М max , после чего, используя схему нагружения балки, определяют допустимые нагрузки. Балки с не сплошным поперечным сечением (двутавр, швеллер и др.) называют тонкостенными. В тонкостенных балках, особенно если они короткие (  / h  10 ), пренебречь касательными напряжениями можно не всегда. На рис. 6.15 показаны эпюры нормальных и касательных напряжений в сечении двутавровой балки, а также характер нагружения элементарных объёмов материала в характерных точках сечения. Из этого рисунка следует, что во всех точках сечения балки, кроме точек на линиях a-b и c-d (где   0 ), материал находится в плоском упрощённом напряжённом состоянии, для оценки прочности необходимо использовать эквивалентные напряжения. Для такого напряжённого состояния применение третьей или четвёртой теории приводит к следующим условиям прочности:  эквIII   2  4 2    ;  эквIV '    3 2 2    . (6.14) Проверка прочности тонкостенных балок представляет собой достаточно сложную задачу, так как при этом приходится находить эквивалентные напряжения в нескольких точках сечения в нескольких сечениях ( так как сечения, где действует максимальный изгибающий момент, в общем случае не совпадают с сечениями, где действует максимальная поперечная сила). 91 Рис. 6.15 Как показывает опыт, расчётными точками для двутавровых балок чаще всего являются: – точка 1 сечения (рис.6.15) где М = Мmax; – точка 3 сечения, где Q = Qmax; – точка 2 сечения, где одновременно значительны M и Q. 6.6. Перемещения при изгибе. Уравнение упругой линии При изгибе балок центры тяжести их поперечных сечений получают линейные перемещения, а сами сечения поворачиваются относительно своих нейтральных осей. Таким образом, перемещение балок характеризуется прогибами у и углами поворота сечений  (рис. 6.16). Ввиду малости перемещений принимается, что прогибы перпендикулярны к недеформированной оси (считается, что точка А перемещается не по дуге АА’, а вдоль линии АА’’). Геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированной балки называют изогнутой осью или упругой линией. При прямом изгибе упругая линия – плоская кривая, лежащая в силовой плоскости. Из рис. 6.16 видно, что прогибы y(z) и углы поворота  ( z ) взаимосвязаны: dy( z ) , dz где y(z) – прогибы балки как функция координаты z. Для определения уравнения упругой линии воспользуемся полученной ранее зависимостью между кривизной оси балки и изгибающим моментом в сечении: 1⁄𝜌 = 𝑀𝑥 ⁄𝐸𝐼𝑥 . Из курса высшей математики известно следующее выражение для кривизны плоской кривой:   ( z )  y ( z )  92 1 y   1  ( y) 2   3/ 2 . Рис. 6.16 Ввиду малости упругих деформаций ( y( z )  tg    0,01) с достаточной для инженерных расчётов точностью можно принимать, что 1   y  d2y dz 2  Mx EI (6.15) Выражение (6.15) называют приближенным дифференциальным уравнением упругой линии. Его решение позволяет определить само уравнение упругой линии и, следовательно, определить прогибы и углы поворота сечений в любом месте деформированной балки. Для балок с постоянным поперечным сечением уравнение (6.15) обычно записывают в виде EI y  M x ( z). (6.16) Такая запись подчёркивает, что в правой части уравнения изгибающий момент должен быть записан как функция координаты z. Эти функции обычно записывают при построении эпюр изгибающих моментов. Проинтегрируем уравнение (6.16): EIy   M x ( z )dz  C1 EIy    M x ( z )dz dz  C1z C2 . где С1 и С2 – постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий (в зависимости от вида и расположения опор). Найденные значения прогибов и углов поворота сравниваются с соответствующими допустимыми значениями. Следовательно, условия жёсткости конструкции при изгибе имеют вид y  y ;     . (6.17) Пример 6.2. Определить прогиб и угол поворота концевого сечения консольной балки длиной  и жёсткостью EI (рис. 6.17), нагруженной в этом сечении силой P. 93 В точке А будет действовать реакция R A  P и реактивный момент M A   P . Следовательно, уравнение упругой линии будет иметь вид. EI y  M A  R A  z  P  Pz. (а) Рис. 6.17 Интегрируя выражение (а), получаем: EIy   Pz  P z2  C1; 2 z2 z3 EIy   P P  C1 z  C 2 . 2 6 (б) (в) Для рассматриваемой балки граничные условия имеют вид: – при z = 0 (в заделке) поворот невозможен,   y  0 ; – при z = 0 перемещение невозможно, поэтому y = 0.0 После подстановки граничных условий в уравнения (б) и (в) получаем: EIy(z 0)  0; 0  0  0  С1 ; EIy( z  0)  0; 0  0  0  0  С2 . Таким образом С1 = 0; С2 = 0, а решение уравнения (а) принимает вид: 2 3 z2 EIy   Pz  P ; EIy   P z  P z . 2 2 6 Для того, чтобы найти угол поворота и прогиб в конце балки, необходимо в полученные выражения подставить соответствующие значения z. При z   EIy   P 2  P 2 P 2  ; 2 2 EIy   P3 P3 P3   2 6 3 или   y   P 2 ; 2 EI y P3 . 3EI Знак «минус» означает, что поворот сечения происходит по ходу часовой стрелки (тангенс угла наклона касательной отрицательный), а перемещение концевого сечения – в сторону отрицательного направления оси Оy. 6.7. Потенциальная энергия деформации при изгибе При деформации упругих систем внешние силы на своих перемещениях совершают работу, которая при статическом приложении нагрузок переходит в потенциальную энергию деформированной системы. 94 Например, если балка (рис. 6.18) нагружена силой Р и моментом пары сил М, то работа внешних сил 1 1 𝐴 = 𝑃𝑦 + 𝑀𝜑. 2 2 Отметим, что при вычислении работы внешних сил принцип Рис. 6.18 независимости действия сил неприменим, так как здесь каждая из обобщённых сил умножается на перемещение, которое зависит от всех приложенных сил. Всвязи с этим потенциальную энергию деформации обычно вычисляют через внутренние силовые факторы. При прямом поперечном изгибе потенциальная энергия деформации балки является функцией двух внутренних силовых факторов: изгибающего момента и поперечной силы. Выделим элемент балки длиной dz (рис. 6.19), причём левый его конец будем считать условно неподвижным. Рис. 6.19 Нетрудно убедиться, что изгибающий момент совершает работу только за счёт поворота сечения, а поперечная сила – только за счёт вертикального перемещения. Следовательно, элементарную потенциальную энергию элемента можно рассматривать как сумму независимых работ каждого из силовых факторов: (6.18) 𝑑𝑊 = 𝑑𝑊(𝑀) + 𝑑𝑊(𝑄), где dW(M) – элементарная энергия деформация, обусловленная действием изгибающего момента; dW(Q) – элементарная энергия деформации, обусловленная действием поперечной силы. Вычислим отдельные составляющие энергии. Для этого представим элемент балки в деформированном состоянии (рис. 6.19б,в). По теореме Клапейрона 95 1 1 𝑑𝑊(𝑀) = 𝑀𝑑𝜑; 𝑑𝑊(𝑄) = 𝑄𝛾𝑑𝑧, 2 2 где γdz – перемещение силы Q за счет деформации сдвига; dφ – угол поворота сечения элемента балки. Как видно из рис. 6.19, 𝑑𝜑 = 𝑑𝑧⁄𝜌 = 𝑀𝑑𝑧⁄𝐸𝐼 . В соответствии с законом Гука при сдвиге 𝛾 = 𝑄⁄𝐺𝑆. Следовательно, 𝑀2 𝑑𝑧 𝑄2 𝑑𝑧 𝑑𝑊(𝑀) = ; 𝑑𝑊(𝑄) = . 2𝐸𝐼 2𝐺𝑆 Для определения энергии всей деформированной балки необходимо просуммировать энергию участков по всей длине балки. Поскольку законы изменения М и Q на различных участках балки различны, то интегрирование проводят по участкам, а результат складывают 𝑀2 𝑑𝑧 𝑄2 𝑑𝑧 𝑊(𝑀) = ∑ ∫ ; 𝑊(𝑄) = ∑ ∫ . 2𝐸𝐼 2𝐺𝑆 ℓ ℓ Выражение W(Q) получено для случая чистого сдвига, когда касательные напряжения по высоте балки постоянные. При поперечном изгибе, когда касательные напряжения по высоте сечения балки не постоянные, формула для определения энергии деформации, обусловленной поперечной силой, имеет вид 𝑄2 𝑑𝑧 𝑊(𝑄) = ∑ 𝑘 ∫ , 𝐺𝑆 ℓ где k – коэффициент,и т зависящий от формы поперечного сечения. Для балки с прямоугольным сечением k = 1,2, с круглым поперечным сечением – k = 1,18. С учетом сказанного, формула для вычисления энергии деформации балки при поперечном изгибе 𝑀2 𝑑𝑧 𝑄2 𝑑𝑧 𝑊 = ∑∫ + ∑𝑘∫ . 2𝐸𝐼 2𝐺𝑆 ℓ ℓ (6.19) В заключение отметим, что второе слагаемое в формуле (6.19) не превышает 2-3% от всей энергии деформации, а во многих случаях имеет еще меньшее значение. В связи с этим часто принимают, что при изгибе 𝑀2 𝑑𝑧 𝑊 = ∑∫ , 2𝐸𝐼 т. е. энергией деформации за счёт сдвига полностью пренебрегают. (6.20) 96 7. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 7.1. Общие положения Выше определялись перемещения сечений прямого стержня при растяжении, кручении и изгибе. Рассмотрим теперь общий случай нагружения, когда в поперечных сечениях могут одновременно возникать нормальные и поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты. Наиболее просто перемещения можно найти c помощью энергетического метода, в основу которого положен принцип возможных перемещений, являющийся одним из наиболее общих принципов механики. При энергетическом подходе стержень может быть не только прямым, но и криволинейным или состоять из ряда участков, образующих плоскую или пространственную систему. Рассматриваемый метод основан на условии равенства работы внешних сил, приложенных к конструкции, и потенциальной энергии деформации: 𝐴 = 𝑊, (7.1) где А – работа внешних сил, совершаемая на упругих перемещениям точек их приложения; W – потенциальная энергия деформации. Работа произвольной совокупности статически приложенных внешних сил, в соответствии с теоремой Клапейрона, равна полусумме произведений конечного значения каждой обобщённой силы Qi на конечное значение обобщённого перемещения 𝛿𝑖 по ее направлению: 𝑛 1 𝐴 = ∑ 𝑄𝑖 𝛿𝑖 . 2 (7.2) 𝑖=1 Силу и перемещение называют обобщёнными, если их произведение даёт работу. Примерами могут служить сила [H] и линейное перемещение [м], момент силы [Hм] и угол поворота [рад], давление [H/м2] и объём [м3] и др. При вычислении работы (энергии деформации) с помощью формулы (7.1) обобщённые силы умножаются на перемещения, обусловленные действием всей внешней нагрузки. Иначе говоря, принцип независимости действия внешних сил для вычисления энергии деформации неприменим. В связи с этим энергию деформации, как правило, определяют через внутренние силовые факторы. Объясняется это тем, что каждому из шести силовых факторов соответствуют такие перемещения, на которых ни один из остальных пяти работы не совершает. Так, под действием крутящего момента возникает угол поворота относительно продольной оси стержня. На этом угловом перемещении работа совершается только этим моментом. Линейное 97 вертикальное перемещение возникает вследствие действия силыQy, и только эта сила совершает работу на этом перемещении. Следовательно, потенциальную энергию элемента стержня можно рассматривать как сумму независимых работ каждого из шести силовых факторов, т. е. как сумму энергий растяжения, сдвига, изгиба и кручения: 𝑊 = 𝑊(𝑁) + 𝑊(𝑄𝑦 ) + 𝑊(𝑄𝑥 ) + 𝑊(𝑀𝑧 ) + 𝑊(𝑀𝑦 ) + 𝑊(𝑀𝑥 ). (7.3) Как уже отмечалось (см. разд. 6), не все слагаемые в выражении (7.3) являются равноценными. Для большинства встречающихся на практике систем, элементы которых работают на изгиб и кручение, три первых слагаемых оказываются существенно меньше трех последних. Иначе говоря, энергия растяжения и сдвига, как правило, значительно меньше энергии изгиба и кручения. Идею метода рассмотрим на примере. Пример 7.1. Определить прогиб концевого сечения консольной балки длиной l при приложении силы Р (рис. 7.1). На основании формул (7.1) и (7.2) имеем: 1 2𝑊 𝐴 = 𝑊 = 𝑃𝑓 или 𝑓 = , 2 𝑃 где f – искомый прогиб балки. Следовательно, если известна потенциальная энергия деформации, то легко находится искомое перемещение. Определим потенциальную энергию деформации балки, учитывая только энергию Рис. 7.1 изгиба. Изгибающий момент в произвольном сечении 𝑀(𝑧) = −𝑃𝑧. Поэтому ℓ ℓ ℓ (−𝑃𝑧)2 𝑀2 (𝑧)𝑑𝑧 𝑃2 𝑃 2 ℓ3 2 𝑊=∫ =∫ 𝑑𝑧 = ∫ 𝑧 𝑑𝑧 = . 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 6𝐸𝐼 Приравнивая выражения для работы и энергии, получаем: 1 𝑃 2 ℓ3 𝑃ℓ3 𝑃𝑓 = или𝑓 = . 2 6𝐸𝐼 3𝐸𝐼 Однако такой прямой метод, использованный в данном примере, применим не всегда, например, тогда, когда к упругому телу приложена система сил. 7.2. Теорема Кастильяно В основу определения перемещений стержня может быть положена теорема Кастильяно. 98 Рассмотрим упругое тело, нагруженное произвольной системой сил (𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑛 ) (рис. 7.2). После деформирования потенциальная энергия тела будет некоторой функцией приложенных сил: 𝑊 = 𝑊(𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑛 ). Дадим произвольной силе элементарное приращение dPn. В результате этого балка получит дополнительное перемещение, её потенциальная энергия возрастет и станет равной 𝜕𝑊 (𝑎) 𝑊1 = 𝑊 + 𝑑𝑃 𝜕𝑃𝑛 𝑛 Изменим теперь порядок приложения сил. Разгрузим полностью тело от внешних сил и Рис. 7.2 сначала приложим только силу dPn. Точка приложения этой силы получит перемещение d𝛿n. При этом сила dPn совершит работу, равную 1 𝑑𝐴 = 𝑑𝑃𝑛 ∙ 𝑑𝛿𝑛 . 2 Оставляя силу dPn, приложим всю внешнюю систему сил (Р1, Р2, ...Рn). При отсутствии силы dPn потенциальная энергия приняла бы значение W. Теперь энергия увеличится ещё на величину дополнительной работы 𝑑𝑃𝑛 ∙ 𝛿𝑛 , которую совершает сила dPn на перемещении 𝛿n. Коэффициент 1/2 в выражении дополнительной работы отсутствует ввиду того, что эта сила в процессе нагружения балки остаётся постоянной. Таким образом, при втором нагружении 1 𝑊2 = 𝑑𝑃𝑛 ∙ 𝑑𝛿𝑛 + 𝑊 + 𝑑𝑃𝑛 ∙ 𝛿𝑛 . (б) 2 Поскольку значение энергии не может зависеть от порядка приложения сил, то W1 = W2, или 𝜕𝑊 1 𝑊+ 𝑑𝑃𝑛 = 𝑑𝑃𝑛 ∙ 𝑑𝛿𝑛 + 𝑊 + 𝑑𝑃𝑛 ∙ 𝛿𝑛 . 𝜕𝑃𝑛 2 Пренебрегая величиной второго порядка малости (0,5𝑑𝑃𝑛 ∙ 𝑑𝛿𝑛 ), получаем математическое выражение теоремы Кастильяно 𝜕𝑊 𝛿𝑛 = , 𝜕𝑃𝑛 99 которая формулируется следующим образом: перемещение точки приложения обобщённой силы по направлению её действия равно частной производной от потенциальной энергии по этой силе. Отметим, что под перемещением здесь понимается как угловое, так и линейное перемещение, а под обобщённой силой – как сила, так и момент силы. Пример 7.2. Определить прогиб концевого сечения консольной балки длиной ℓ и нагруженной в конце силой Р (рис. 7.1). Для такой балки, как было получено ранее, 𝑃 2 ℓ3 𝑊= . 6𝐸𝐼 Следовательно 𝜕𝑊 2𝑃ℓ3 𝑃ℓ3 𝑓= = = . 𝜕𝑃 6𝐸𝐼 3𝐸𝐼 7.3. Интеграл Мора Теорема Кастильяно обладает тем недостатком, что даёт возможность найти перемещения только точек приложения внешних сил и только в направлении этих сил. На практике же возникает необходимость определять перемещения любых точек конструкций в любом направлении. Указанное затруднение преодолевается следующим образом. Если необходимо найти перемещение точки, в которой не приложены внешние силы, мы сами прикладываем в этой точке внешнюю (фиктивную) силу Ф в интересующем нас направлении и составляем выражение потенциальной энергии системы с учётом действия как заданных сил, так и силы Ф. Далее, используя теорему Кастильяно (дифференцируя выражение потенциальной энергии по силе Ф) получаем выражение для вычисления перемещения в заданном направлении. После этого, поскольку в действительности на систему действуют только заданные нагрузки, в этом выражении полагаем, что фиктивная сила равна нулю. Пусть необходимо найти вертикальное перемещение точки А балки, нагруженной произвольной системой внешних нагрузок (рис. 7.3). Приложим в этой точке фиктивную силу Ф. Тогда изгибающий момент в произвольном сечении балки будет равен сумме момента Мр, обусловленного всей внешней нагрузкой и изгибающего момента Мф, обусловленного действием фиктивной силы Ф: (7.4) 𝑀(𝑧) = 𝑀р (𝑧) + 𝑀ф (𝑧). Данная зависимость вытекает из принципа независимости действия сил. Второе слагаемое в выражении (7.4) представим в виде ̅1 (𝑧) ∙ Ф, (7.5) 𝑀ф (𝑧) = 𝑀 100 ̅1 (𝑧) – изгибающий момент в сечении z от единичной фиктивной силы где 𝑀 (от Ф = 1). Рис. 7.3 Такое представление момента от фиктивной нагрузки возможно ввиду того, что рассматриваемая система линейна, для такой системы внутренние силовые факторы, перемещения и деформации пропорциональные внешней нагрузке. Следовательно, ̅1 (𝑧) ∙ Ф, (7.6) 𝑀(𝑧) = 𝑀р (𝑧) + 𝑀 а потенциальная энергия деформированной системы (при учёте энергии, обусловленной только изгибающим моментом) ℓ ℓ 2 ̅1 (𝑧) ∙ Ф) (𝑀р (𝑧) + 𝑀 𝑀2 (𝑧) 𝑊 = ∑∫ 𝑑𝑧 = ∑ ∫ 𝑑𝑧 = 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 ℓ ℓ ℓ ̅1 (𝑧) ∙ Ф ̅12 (𝑧) ∙ Ф2 𝑀р2 2𝑀р (𝑧) ∙ 𝑀 𝑀 = ∑∫ 𝑑𝑧 + ∑ ∫ 𝑑𝑧 + ∑ ∫ 𝑑𝑧. 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 Перемещение точки А в направлении действия силы Ф, в соответствии с теоремой Кастильяно, ̅1 (𝑥) 𝑀р (𝑥)𝑀 𝜕𝑊 2𝑀12 (𝑥) ∙ Ф ∆= = ∑∫ 𝑑𝑧 + ∑ ∫ 𝑑𝑧. 𝜕Ф 𝐸𝐼 2𝐸𝐼 ℓ Но второе слагаемое последнего выражения равно нулю, так как в действительности в точке А внешние силы не действуют, т. е. Ф = 0. Окончательно перемещение точки приложения фиктивной обобщённой силы ℓ ∆= ∑ ∫ ̅1 (𝑧) 𝑀р (𝑧)𝑀 𝑑𝑧. 𝐸𝐼 (7.7) Формула (7.7) называется интегралом Мора. В этом интеграле Мр(z) – изгибающий момент, обусловленный всеми нагрузками (заданными силами и ̅1 (𝑧) – изгибающий момент в сечениях балки, реакциями опор); 𝑀 101 обусловленный действием фиктивной силы Ф = 1, приложенной в точке, перемещение которой мы хотим определить. Интеграл Мора имеет одинаковую форму и для определения линейных перемещений, и для определения углов поворота сечений. При определении ̅1 (𝑧) понимается изгибающий (крутящий) углов поворота под функцией 𝑀 момент, обусловленный действием соответствующего единичного момента, приложенного в сечении, угол поворота которого определяется. При выводе формулы (7.7) мы учитывали потенциальную энергию балки, обусловленную только действием изгибающего момента. В общем случае нагружения упругой системы потенциальная энергия обусловлена действием шести внутренних силовых факторов, поэтому в общем случае ℓ ℓ 𝑦 𝑦 ̅1 𝑄р 𝑄̅1 𝑁р 𝑁 ∆ = ∑∫ 𝑑𝑧 + ∑ ∫ 𝑘 𝑑𝑧 + 𝐸𝑆 𝐺𝑆 ℓ 𝑦 ℓ кр ̅ кр 𝑀р ∙ 𝑀 𝑄р𝑧 𝑄̅1𝑧 1 𝑑𝑧 + ∑ ∫ 𝑑𝑧 ∑𝑘 𝐺𝑆 𝐺𝐼р ℓ 𝑦 ̅1 𝑀р 𝑀 𝑀р𝑧 ∙ 𝑀1𝑧 + ∑∫ 𝑑𝑧 + ∑ ∫ 𝑑𝑧. 𝐸𝐼𝑦 𝐸𝐼𝑧 Вклад разных слагаемых интеграла Мора в упругие перемещения разный. При действии поперечного изгиба и кручения вкладом первых трёх слагаемых можно пренебречь. Если элементы конструкции работают только на растяжение – сжатие (что имеет место в фермах), то тогда необходимо ограничиться только первым членом интеграла. При определении перемещений сечений балок с помощью интеграла Мора: – используя схему балки и зная внешние нагрузки, определяются опорные реакции и записываются аналитические выражения для изгибающего момента Мр для каждого из участков балки; – к балке в сечении, перемещение (угол поворота) которого определяем, прикладывается фиктивная сила (фиктивный момент), равная (равный) единице; – считая фиктивную силу (момент) единственной внешней нагрузкой, определяются опорные реакции и записываются аналитические выражения для ̅1 для каждого участка балки; изгибающих моментов 𝑀 – вычисляется интеграл Мора. Пример 7.3. Определить угол поворота концевого сечения консольной балки длиной ℓ, нагруженной в этом сечении силой Р (рис. 7.4). Поскольку балка консольная, реакции опоры можно не определять. Балка имеет один участок, в котором 𝑀р (𝑧) = −𝑃 ∙ 𝑧. 102 Берём такую же балку и в концевом сечении прикладываем фиктивный единичный безразмерный изгибающий момент М = 1. ̅1 = +1. В произвольном сечении так нагруженной балки 𝑀 Следовательно ℓ ℓ ℓ ̅1 𝑀р 𝑀 (−𝑃 ∙ 𝑧) ∙ 1 𝑃 𝑃ℓ2 𝜑=∫ 𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑧 = − ∫ 𝑧𝑑𝑧 = − . 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝐸𝐼 2𝐸𝐼 Такой результат мы уже получали с использованием уравнения упругой линии балки. Знак «минус» означает, что под действием силы Р концевое сечение повернулось на величину Рℓ2 ⁄2𝐸𝐼 против часовой стрелки, т.е. в сторону, противоположную направлению единичного момента. Как видно из решения задачи, определение перемещения с помощью интеграла Мора сводится к вычислению интеграла от произведения двух функций (эпюр изгибающих моментов): Мр(z) и ̅1 (𝑧). Первую из эпюр называют 𝑀 грузовой, а вторую – единичной. При вычислении интеграла Мора обе зависимости (зависимости ̅1 (𝑧) ) должны быть Мр(z) и 𝑀 записаны в одной системе координат, что при нескольких участках балки может составить значительные трудности. Рис. 7.4 Для облегчения вычисления интеграла Мора существуют несколько более простых способов: Верещагина, Симпсона-Корнаухова и др. Мы в основном будем пользоваться способом Верещагина. 7.4. Способ Верещагина Пусть требуется вычислить определённый интеграл от произведения двух функций 𝑧2 𝐼 = ∫ 𝑀р ̅̅̅ 𝑀1 𝑑𝑧, 𝑧1 где 𝑀р – функция (грузовая эпюра), имеющая произвольное очертание, т. е. любая известная функция координаты z; 𝑀1 – линейная функция координаты z:𝑀1 = 𝑘𝑧 + 𝑏 (рис. 7.5). 103 Тогда интеграл I можно представить как сумму двух интегралов 𝑧2 𝑧2 𝑧2 𝐼 = ∫ 𝑀р (𝑘𝑧 + 𝑏) 𝑑𝑧 = 𝑘 ∫ 𝑀р 𝑧 𝑑𝑧 + 𝑏 ∫ 𝑀р 𝑑𝑧. 𝑧1 𝑧1 Как видно из рис. 7.5, 𝑧2 ∫ 𝑀р 𝑑𝑧 = 𝜔, (7.8) 𝑧1 (7.9) 𝑧1 где 𝜔 – площадь под функцией грузовой эпюры. Из рисунка также видно, что первый интеграл в выражении (7.8) представляет собой статический момент площади 𝜔 относительно оси Оy. Рис. 7.5 Как известно, статический момент любой площади численно равен произведению площади фигуры на координату её центра тяжести. Следовательно, 𝑧2 ∫ 𝑀р 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑆𝑦 (𝜔) = 𝜔 ∙ 𝑧𝑐 , (7.10) 𝑧1 где zс – координата центра тяжести площади 𝜔. С учётом сказанного 𝐼 = 𝑘𝜔𝑧𝑐 + 𝑏𝜔 = 𝜔(𝑘𝑧𝑐 + 𝑏) = 𝜔 ∙ 𝑦𝑐 , где ус – ордината единичной (линейной) эпюры под центром тяжести грузовой эпюры. Для определения перемещений интеграл I (результат перемножения эпюр) следует разделить на изгибную жёсткость EI. Тогда обобщённое перемещение способом Верещагина определяется по формуле: 𝑛 𝛥=∑ 𝑖=1 𝜔𝑖 𝑦𝑐𝑖 , 𝐸𝐼𝑖 (7.11) 104 где 𝜔i – площадь под грузовой эпюрой на i-м участке балки; уci – ордината единичной (линейной) эпюры, взятая под центром тяжести площади участка грузовой эпюры. Произведение 𝜔i∙ уi имеет свой знак: оно положительно, если обе эпюры ̅𝑖 ) находятся по одну сторону от оси балки, и отрицательно, если эпюры (𝑀р и 𝑀 находятся на разных сторонах оси. Для применения правила Верещагина необходимо уметь определять площадь различных фигур и координаты их центров тяжести. Как показывает опыт, любую площадь под грузовой эпюрой при рассматриваемых нами нагрузках можно разбить на три типа простейших фигур: прямоугольники, треугольники и параболические секторы (рис. 7.6). Рис.7.6 Пример 7.4. Определить линейное и угловое перемещение концевого сечения консольной балки длиной ℓ при нагружении её силой Р в этом сечении (рис. 7.7). Строим эпюру Мр от внешней силы Р. После этого в концевом сечении прикладываем ̅1 . Далее к единичную силу Р = 1. Считая эту силу единственной нагрузкой, строим эпюру 𝑀 такой же балке прикладываем единичный момент, направленный против часовой стрелки, и ̅2 (рис. 7.7). строим эпюру 𝑀 Определяем площадь грузовой эпюры 1 𝑃ℓ2 𝜔 = 𝑃∙ℓ∙ℓ= . 2 2 Так как zс = ℓ/3, то ордината в эпюре от единичной силы 𝑦𝐶1 = 2ℓ⁄3. 105 Ордината в единичной эпюре от единичного момента на протяжении всей балки постоянная и равна единице. Следовательно, 𝑦𝐶2 = 1. Таким образом, прогиб концевого сечения 𝑃ℓ2 2 ∙ ℓ 𝑃ℓ3 𝜔 ∙ 𝑦𝐶1 2 3 𝑓= = = . 𝐸𝐼 𝐸𝐼 3𝐸𝐼 Положительное значение прогиба говорит о том, что направление прогиба совпадает с направлением единичной силы. Аналогично вычисляем угол поворота сечения 𝑃ℓ2 Рис.7.7 ∙1 𝜔𝑦𝐶2 𝑃ℓ2 2 𝜑=− =− =− . 𝐸𝐼 𝐸𝐼 2𝐸𝐼 Знак «минус» перед произведением 𝜔 · 𝑦𝐶2 необходимо поставить потому, что грузовая эпюра находится ниже ̅р отрицателен), а оси балки (момент 𝑀 ̅2 единичная эпюра – выше (момент 𝑀 положителен). Знак «минус» означает, что сечение балки при её нагружении силой Р повернулось в сторону, противоположную направлению единичного момента. 7.5. Теорема о взаимности работ и перемещений Рассмотрим упругую систему, нагруженную двумя силами Р1 и Р2 (рис.7.8). В первом состоянии балка сначала нагружалась силой Р1, а потом силой Р2. Во втором состоянии нагружение осуществлялось в обратном порядке – сначала сила Р2, а потом сила Р1. Подсчитаем работу для обоих состояний. В первом состоянии сила Р1 на перемещении ∆11 совершает работу 𝑃1 ∙ ∆11 . 2 Уже к деформированной системе прикладывали силу Р2. Балка получает перемещения ∆22 и ∆12, при этом сила Р2 совершает работу 1 𝐴22 = 𝑃2 ∆22 , 2 а сила Р1 – работу 𝐴11 = Рис. 7.8 106 𝐴12 = 𝑃1 ∙ ∆12. Следовательно, в первом состоянии балка обладает энергией (силы совершают работу) 1 1 (7.12) 𝑊1 = 𝐴1 = 𝑃1 ∆11 + 𝑃2 ∆22 + 𝑃1 ∆12 . 2 2 Во втором состоянии внешние силы совершают работу 1 1 (7.13) 𝐴2 = 𝑃2 ∆22 + 𝑃1 ∆11 + 𝑃2 ∆21 . 2 2 Напомним, что обозначения перемещений следующие: первый индекс означает направление перемещения, а второй причину. Так обозначение ∆ 21 обозначает перемещение в направлении действия силы Р2 и обусловлено действием силы Р1. Так, как для линейно-деформируемых систем энергия не зависит от порядка приложения сил, то из равенства𝐴1 = 𝐴2 следует (7.14) 𝑃1 ∆12 = 𝑃2 ∆21 . Равенство (7.14) является математическим выражением теоремы о взаимности работ (теоремы Бетти): работа силы Р1 (первой группы сил) на перемещениях, вызванных силой Р2 (второй группой сил) равна работе силы Р2 на перемещениях, вызванных силой Р1. Допустим, что в выражении (7.14) Р 1= Р2= Р. Тогда (7.15) ∆12 = ∆21 , т . е. прогиб в точке 1, вызванный силой, приложенной в точке 2, равен прогибу точки 2, вызванному такой же силой, приложенной в точке 1. Данное утверждение называется теоремой Максвелла. Теорема может быть проиллюстрирована на примере балки, нагруженной поочерёдно в точках А и В (рис. 7.9): Рис. 7.9 В соответствии с теоремой Максвелла перемещение точки В, вызванное приложением силы Р в точке А, обязательно равно перемещению точки А при приложении такой же силы в точке В. 107 7.6. Перемещения, вызываемые действием температуры Допустим, что произвольный элемент стержня длиной dz нагрет внизу до температуры Тн, а вверху – до Тв (рис. 7.10). Считаем, что по высоте сечения температура меняется по линейному закону, тогда сечения будут перемещаться, оставаясь плоскими. Рис. 7.10 Удлинения нижних и верхних волокон элемента соответственно равны ∆𝑑𝑧н = 𝛼𝑇н 𝑑𝑧; ∆𝑑𝑧в = 𝛼𝑇в 𝑑𝑧, где α – коэффициент линейного температурного расширения материала. Удлинение волокон на оси стержня 𝑇н + 𝑇в ∆𝑑𝑧𝑐 = 𝛼 𝑑𝑧. 2 Взаимный угол поворота сечения, вызванный неравномерным нагревом элемента ∆𝑑𝑧н − ∆𝑑𝑧в 𝑇н − 𝑇в 𝑑𝜃𝑇 = 𝑡𝑔(𝑑𝜃𝑇 ) = =𝛼 𝑑𝑧, ℎ ℎ где h – высота сечения. Пусть требуется определить обобщённое перемещение произвольной точки К конструкции в любом направлении i–i, вызванное действием температуры. Для этого, в соответствии с методом Мора, необходимо в точке К приложить в соответствующем направлении единичную обобщённую силу ̅𝑖 и продольной 𝑋̅𝑖 = 1 и построить единичные эпюры изгибающего момента 𝑀 ̅𝑖 . Обобщённое перемещение в искомом направлении, обусловленное силы 𝑁 изменением температуры, определяется по формуле 𝑇 − 𝑇в 𝑇 + 𝑇в ̅𝑖 𝛼 н ̅𝑖 𝛼 н ∆𝑖𝑇 = ∑ ∫ 𝑀 𝑑𝑧 + ∑ ∫ 𝑁 𝑑𝑧. (7.16) ℎ 2 В фермах, когда в стержнях действуют только продольные усилия, формула для температурных перемещений принимает вид: ̅𝑖 𝛼𝑇𝑖 𝑙𝑖 , ∆𝑖𝑇 = ∑ 𝑁 108 где 𝑇𝑖 = (𝑇н + 𝑇в )/2 –температура на оси i-го стержня, постоянная по его ̅𝑖 – усилие в стержне от единичной силы; 𝑙𝑖 – длина i-го стержня. длине;𝑁 Суммирование проводят по всем стержням фермы. Напомним, что в статически определимых конструкциях температурные перемещения не приводят к появлению внутренних усилий N, Q и M в её элементах. В случае одновременного действия внешних нагрузок и температуры на плоские стержневые системы, упругие перемещения и температурные перемещения суммируются: ∆ 𝑖 = ∆𝑖𝑃 + ∆𝑖𝑇 = ∑ ∫ ̅𝑖 (𝑧) 𝑀р (𝑧)𝑀 𝑇 − 𝑇в ̅𝑖 𝛼 н 𝑑𝑧 + ∑ ∫ 𝑀 𝑑𝑧 + 𝐸𝐼 ℎ ̅𝑖 𝛼 +∑∫𝑁 𝑇н + 𝑇в 𝑑𝑧. 2 (7.17) Пример 7.5. Определить вертикальное и горизонтальное перемещения конца стальной балки (рис. 7.11а), вызванные неравномерным нагревом. Длина балки l = 2 м, высота сечения h = 10 см, 𝛼 = 118 ∙ 10−7 . Начальная температура балки 𝑇0 = 5 °𝐶, затем нижние волокна нагрели до температуры 55°С, а верхние охладили до температуры –5 °С. а) б) в) Рис. 7.11 Расчётные температуры волокон: 𝑇н = 55 − 5 = 50 °𝐶; 𝑇в = −5 − 5 = −10 °𝐶. Приложим к концу балки вертикальную и горизонтальную единичные силы ̅ 𝑋1 = 1 и ̅𝑋2 = 1 (рис. 7.11). Очевидно, что ̅1 = −(𝑙 − 𝑧); 𝑁 ̅1 = 0; 𝑀 ̅2 = 0; 𝑁 ̅2 = −1. 𝑀 На основании формулы (7.16), вертикальное перемещение 𝑙 𝑇н − 𝑇в 𝑇н − 𝑇в 𝑙 𝑇н − 𝑇в 2 ̅ ∆1𝑇 = ∫ 𝑀1 𝛼 𝑑𝑧 = −𝛼 ∫ (𝑙 − 𝑧)𝑑𝑧 = −𝛼 𝑙 . ℎ ℎ ℎ После постановки численных значений, получаем 109 50 − (−10) 2 2 = −1,42 ∙ 10−2 м = −1,42 см. 0,1 Аналогично получаем горизонтальное перемещение: 𝑙 𝑇 + 𝑇в 𝑇н + 𝑇в 50 + (−10) ̅2 𝛼 н ∆2𝑇 = ∫ 𝑁 𝑑𝑧 = −𝛼 𝑙 = −118 ∙ 10−7 2 = −0,047 см. 2 2 2 Знаки «минус» означают, что перемещения происходят навстречу единичным силам ̅ 𝑋1 = 1 и 𝑋̅2 = 1. ∆1𝑇 = −118 ∙ 10−7 110 8. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 8.1. Косой изгиб В общем случае нагружения бруса в его поперечных сечениях возникают продольная сила Nz, поперечные силы Qx и Qy, изгибающие моменты Mx и My и крутящий момент Mz. В предыдущих разделах были рассмотрены случаи, когда брус испытывал отдельно растяжение, сдвиг, изгиб или кручение. На практике часто встречаются случаи, когда в сечениях бруса одновременно действует несколько внутренних силовых факторов. Такие случаи называют сложным сопротивлением. Из множества возможных разновидностей сложного сопротивления наибольший практический интерес представляют косой изгиб, внецентренное растяжение-сжатие и изгиб с кручением. Изгиб называется косым, если плоскость действия изгибающего момента, возникающего в поперечном сечении бруса, не совпадает ни с одной из главных его плоскостей. Существует и другое определение косого изгиба. Косой изгиб – это вид деформации, который вызывается силами и парами сил, не лежащими в главных плоскостях балки. Косой изгиб может быть плоским или пространственным. При плоском косом изгибе все нагрузки расположены в одной силовой плоскости, т. е. существует общая для всего бруса силовая плоскость, не совпадающая с главными плоскостями бруса (рис. 8.1а). Рис. 8.1 При пространственном косом изгибе нагрузки, вызывающие изгиб, расположены в различных плоскостях (рис. 8.1б). При этом направление 111 изгибающего момента в различных сечениях бруса будет разным, упругая линия бруса в этом случае будет пространственной кривой. Пространственный косой изгиб иногда называют сложным изгибом. Косой изгиб всегда можно свести к двум прямым. Для этого нагрузки, действующие в произвольных плоскостях, необходимо разложить на составляющие, расположенные в главных плоскостях балки (рис. 8.2). От этих составляющих строятся эпюры внутренних силовых факторов, которых в общем случае косого изгиба будет четыре: Qy, Mx, Qx и My. По эпюрам Mx и My определяют опасные сечения. Это сечения, в которых действуют максимальные изгибающие моменты. В опасных точках опасных сечений касательные напряжения либо равны нулю, либо весьма малы по Рис. 8.2 сравнению с действующими там нормальными напряжениями, поэтому расчёты на прочность при косом изгибе обычно приводятся только по нормальным напряжениям. Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения бруса определяются как алгебраическая сумма нормальных напряжений от обоих изгибающих моментов, т. е. 𝜎 = 𝜎 ′ + 𝜎 ′′ = 𝜎𝑀𝑦 + 𝜎𝑀𝑧 . Рис. 8.3 Вычислим напряжения в некоторой точке А(x,y) произвольного поперечного сечения (рис. 8.3), в котором действуют изгибающие моменты Mx и My. Направления моментов выбраны таким образом, чтобы в первом квадранте они вызывали напряжение растяжения. Нормальные напряжения определим, используя принцип независимости действия сил. Напряжения от действия момента My 𝑀𝑦 𝜎𝐴′ = 𝜎𝑀𝑦 = 𝑥, 𝐼𝑦 112 а от действия момента Mx 𝜎𝐴′′ = 𝜎𝑀𝑥 = 𝑀𝑥 𝑦. 𝐼𝑥 Результирующие напряжения 𝜎𝐴 = 𝑀𝑦 𝑀𝑥 𝑥+ 𝑦. 𝐼𝑦 𝐼𝑥 (8.1) В общем случае 𝑀𝑦 𝑀𝑥 𝑥± 𝑦. (8.2) 𝐼𝑦 𝐼𝑥 Знаками ± здесь подчеркивается, что при вычислении напряжений удобнее значения моментов и координат точек брать по абсолютному значению, а знак слагаемому приписать в соответствии с характером деформации бруса. Для определения максимальных напряжений в сечении необходимо знать положение нейтральной линии, т. е. линии, на которой напряжения равны нулю. Координаты точек нулевой или нейтральной линии n-n обозначим через z0 и y0. При условии, что σ = 0, из (8.2) получим уравнение этой линии: 𝑀𝑦 𝑀𝑥 𝑥0 + 𝑦 =0 𝐼𝑦 𝐼𝑥 0 или 𝑀𝑦 𝐼𝑥 𝑦0 = − ∙ 𝑥 . 𝑀𝑥 𝐼𝑦 0 Данная формула показывает, что нейтральная линия – это прямая линия, проходящая через начало координат, а её наклон к оси Оx составляет 𝑀𝑦 𝐼𝑥 к = 𝑡𝑔𝜑 = − ∙ . (8.3) 𝑀𝑥 𝐼𝑦 Отношение My/Mx = tgβ представляет собой угол наклона вектора изгибающего момента к оси Оx или угол наклона силовой плоскости Р-Р к оси Оy (см. рис. 8.4). Следовательно, 𝐼𝑥 𝑡𝑔𝜑 = − 𝑡𝑔𝛽. (8.4) 𝐼𝑦 Из последней формулы следует, что угол наклона нулевой (нейтральной) линии зависит не только от направления силовой плоскости (tgβ), но и от соотношения главных центральных моментов инерции сечения. В отличие от прямого изгиба при косом изгибе нулевая (нейтральная) линия не перпендикулярна плоскости действия момента. Вследствие этого перемещения δ центров тяжести сечений, которые происходят по нормали к нейтральной оси, не совпадают с плоскостью действия момента. 𝜎=± 113 Рис. 8.4 Для сечений, у которых Ix = Iy (круг, квадрат, равносторонний шестиугольник и др.) косой изгиб невозможен, перемещения точек оси всегда совпадают с плоскостью действия момента. Максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удалённых от нейтральной оси. Для определения этих точек проводятся касательные к контуру, параллельные нейтральной оси (см. рис. 8.4). После этого определяются координаты точек К+ и К- (см. рис. 8.4) и записываются условия прочности 𝑀𝑦 𝑀𝑧 (8.5) 𝜎К−= | 𝑦к− | + | 𝑧к− | ≤ [𝜎]𝑐 ; 𝐼𝑧 𝐼𝑦 𝑀𝑦 𝑀𝑧 (8.6) 𝜎К+= 𝑦к+ + 𝑧 ≤ [𝜎]𝑝 . 𝐼𝑧 𝐼𝑦 к+ Рис. 8.5 Для брусьев из материала с [σ]р=[σ]с используется лишь одно из условий прочности. При этом рассматривается точка, в которой напряжения больше по абсолютному значению. Для сечений с двумя плоскостями симметрии (прямоугольник, двутавр) xк=x макс; ук = умакс (рис. 8.5). Для таких сечений условия прочности принимают вид 𝑀𝑥 𝑀𝑦 𝜎макс = + ≤ [𝜎]. (8.7) 𝑊𝑥 𝑊𝑦 114 Деформации при косом изгибе определяются как геометрическая сумма деформаций в главных плоскостях. Если fy и fx, φy и φx – прогибы вдоль осей и углы поворота относительно соответствующих осей, то прогиб f и угол поворота φ определяются по формулам 𝑓 = √𝑓𝑦2 + 𝑓𝑧2 ; 𝜑 = √𝜑𝑦2 + 𝜑𝑧2 . (8.8) Прогибы (перемещения) направлены по нормали к нейтральной оси и, как уже отмечалось, в общем случае не лежат в плоскости действия момента. При подборе сечений, когда в одном условии прочности имеются два неизвестных момента сопротивления, задаются отношением Wx/Wy = k. Тогда Wx = kWy. Для прямоугольного сечения со сторонами b и h 𝑏ℎ2 𝑘= 6 ℎ𝑏2 6 6𝑏ℎ2 ℎ = = , 6ℎ𝑏 2 𝑏 для двутавров k = 8…10, для швеллеров k = 6…8. 8.2. Внецентренное растяжение (сжатие) Внецентренным растяжением (сжатием) называется вид деформации, вызываемой силами, параллельными оси стержня, но не проходящими через его ось. Точка, через которую в сечении проходит продольная сила, называется полюсом силы. Рассмотрим стержень, испытывающий внецентренное растяжение (рис. 8.6) Рис. 8.6 115 Перенесём сначала силу Р параллельно самой себе в точку В на оси Оу, добавивив изгибающий момент 𝑀𝑦 = 𝑃𝑥𝑝 . После этого перенесем силу на ось балки, добавив изгибающий момент 𝑀𝑥 = 𝑃𝑦𝑝 . Таким образом, внецентренное растяжение равносильно сочетанию растяжения с косым изгибом или действию растяжения, а также чистого изгиба в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Применяя метод сечений нетрудно убедиться, что в любом сечении стержня продольная сила N = P, а изгибающие моменты – моментам Mx и My. Следовательно, при внецентренном растяжении (сжатии) бруса с постоянным поперечным сечением все сечения равноопасные. Нормальные напряжения в произвольном сечении бруса в произвольной точке (с координатами x, y) определяются как алгебраическая сумма напряжений, обусловленных нормальной силой N и моментами Mx и My: 𝜎 = 𝜎𝑁 + 𝜎𝑀𝑦 + 𝜎𝑀𝑥 или 𝑀𝑦 𝑁 𝑀𝑥 ± 𝑦± 𝑥. (8.9) 𝑆 𝐼𝑥 𝐼𝑦 Знаки ± здесь означают, что знак напряжений необходимо определять по виду деформации балки в интересующей нас точке. Характер распределения напряжений 𝜎𝑁 , 𝜎𝑀𝑦 , 𝜎𝑀𝑥 по сечению балки 𝜎=± показан на рис. 8.7. Для определения опасных точек сечения необходимо определить положение нейтральной линии. Для этого обозначим координаты этой линии xn и yn. Из уравнения (8.9) получаем: 𝑀𝑦 𝑁 𝑀𝑥 + 𝑦𝑛 + 𝑥 = 0. 𝑆 𝐼𝑥 𝐼𝑦 𝑛 Разделим уравнение на N/S и результат запишем в виде: 𝑦𝑛 𝑥𝑛 + 𝐼 ∙𝑁 𝐼𝑦 ∙𝑁 = 1. − 𝑥 − 𝑀 ∙𝑆 𝑥 𝑀𝑦 ∙𝑆 Это известное уравнение прямой в отрезках, которое в сокращённой записи имеет вид 𝑥𝑛 𝑦𝑛 + = 1, 𝑎𝑥 𝑎𝑦 где 𝑎𝑥 = − 𝐼𝑦 𝑁 𝑀𝑦 𝑆 и 𝑎𝑦 = − 𝐼𝑥 𝑁 𝑀𝑥 𝑆 – отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат (см. рис. 8.7). С учетом того, что 𝐼𝑦 𝐼𝑥 = 𝑖𝑥2 ; = 𝑖𝑦2 ; 𝑀𝑥 = 𝑃𝑦𝑝 ; 𝑀𝑦 = 𝑃𝑥𝑝 ; 𝑁 = 𝑃, 𝑆 𝑆 116 Рис. 8.7 уравнение нейтральной линии принимает вид: 𝑥𝑛 𝑦𝑛 + =1. (8.10) −𝑖𝑦2 ⁄𝑥𝑝 − 𝑖𝑥2 ⁄𝑦𝑝 Из формулы (8.10) видно, что отрезки 𝑎𝑥 и 𝑎𝑦 имеют знаки, противоположные знакам координат 𝑥𝑝 и 𝑦𝑝 точки приложения силы. Следовательно, нулевая линия n-n отсекает отрезки на осях в квадранте, противоположном квадранту приложения силы. Кроме того, из данной формулы следует, что положение нулевой линии не зависит от величины силы P, а зависит только от координат точки её приложения. Если координаты 𝑥𝑝 и 𝑦𝑝 увеличивают, то отрезки 𝑎𝑥 и 𝑎𝑦 уменьшаются и наоборот. Нейтральная линия может проходить внутри сечения, касаться контура сечения или проходить вне сечения. Если 𝑥𝑝 = 𝑦𝑝 = 0, то нулевая линия удаляется в бесконечность. После определения положения нейтральной оси определяются координаты наиболее удалённых от неё точек сечения К- и К+ и для них записываются условия прочности: 117 𝜎К+ = ± 𝑀𝑦 𝑁 𝑀𝑧 ± 𝑦к+ ± 𝑧 ≤ [𝜎]р , 𝑆 𝐼𝑧 𝐼𝑦 к+ (8.11) 𝑀𝑦 𝑁 𝑀𝑧 ± 𝑦к+ ± 𝑧 | ≤ [𝜎]𝑐 . 𝑆 𝐼𝑧 𝐼𝑦 к+ Для сечения с двумя осями симметрии условие прочности при внецентренном растяжении-сжатии принимает вид: 𝑁 𝑀𝑧 𝑀𝑦 𝜎к = ± ± ± ≤ [𝜎] . (8.12) 𝑆 𝑊𝑧 𝑊𝑦 Перемещения точек упругой оси балки при внецентренном растяжении (сжатии) находятся путём геометрического (векторного) суммирования перемещений вдоль каждой из трёх осей – осей Оz (за счет растяжения (сжатия)), Оу (за счет изгиба в вертикальной плоскости) и Оx (за счет изгиба в горизонтальной плоскости). 𝜎к− = |± 8.3. Изгиб с кручением валов круглого поперечного сечения В большинстве случаев валы зубчатых, ременных, фрикционных и цепных передач помимо кручения работают и на изгиб. Так, например, на зубчатое колесо редуктора (рис .8.8а) в общем случае действует радиальная Р1, окружная Р2 и осевая Р3 силы. После переноса их в центр колеса получаем, что под действием силы Р1 и момента Мв= Р3 r (r – радиус колеса) вал изгибается в вертикальной плоскости, под действием силы Р2 вал изгибается в горизонтальной плоскости, а под действием момента Мк = Р2 r он будет испытывать и кручение (рис.8.8б). Рис. 8.8 Рассмотрим вал (стержень с осесимметричным сечением), в сечениях которого действуют изгибающий момент Ми = Мx и крутящий момент Мк = Мz (рис. 8.9а). Вследствие изгиба в сечении действуют нормальные напряжения(рис. 8.9б). Наибольших по модулю значений нормальные напряжения достигают 118 Рис. 8.9 в точках 1 и 3 сечения, на нейтральной оси 2-4 изгибные напряжения равны нулю. Максимальные изгибные напряжения 𝑀𝑢 𝜎макс = , (8.13) 𝑊𝑥 где 𝑊𝑥 = 𝜋𝐷3 32 – осевой момент сопротивления сечения стержня. Из-за действия крутящего момента в сечении действуют и касательные напряжения, причём максимальные значения этих напряжений 𝑀к 𝜏макс = (8.14) 𝑊𝑃 будут на всех точках внешнего контура сечения. Напомним, что 𝑊р = 𝜋𝐷3 16 есть полярный момент сопротивления сечения. Следовательно, опасными точками сечения будут точки 1 и 3, где одновременно максимальны и нормальные, и касательные напряжения. Выделим в точке 3 (см. рис. 8.9) вала элементарный элемент в виде куба (рис. 8.10). На гранях, перпендикулярных к оси Oz действуют и нормальные 𝜎и , и касательные 𝜏к напряжения. По закону парности касательные напряжения будут действовать и на гранях продольных сечений. Что касается верхней и нижней граней, то там напряжений нет, так как нижняя грань является свободной поверхностью вала. Это так называемое упрощённое плоское напряжённое состояние, для которого 𝜎𝛼 = 𝜎и ; 𝜎𝛽 = 0; 𝜏𝛼 = −𝜏𝛽 = 𝜏. Так как материал вала, испытывающего изгиб с кручением, находится в сложном напряжённом состоянии, то прочность необходимо оценивать с использованием эквивалентных напряжений. Эквивалентные напряжения для данного вида нагружения в соответствии с третьей теорией прочности 119 Рис. 8.10 𝜎экв.𝐼𝐼𝐼 = √𝜎 2 + 4𝜏 2 ≤ [𝜎], а по четвёртой теории прочности (8.15) 𝜎экв.𝐼𝑉 = √𝜎 2 + 3𝜏 2 ≤ [𝜎]. (8.16) Подставим в первое из выражений значения нормальных и касательных напряжений и учтём, что Wp = 2Wz (рассматриваем только круглые и кольцевые сечения). Тогда 𝜎экв.𝐼𝐼𝐼 𝑀𝑥 2 𝑀к 2 𝑀𝑥2 𝑀к2 𝑀𝑥2 + 𝑀к2 √𝑀𝑢2 + 𝑀к2 = √( ) + 4 ( +4 =√ = . ) =√ 𝑊𝑥 2𝑊𝑥 𝑥 4𝑊𝑥2 𝑊𝑥2 𝑊𝑥 Величину √𝑀𝑧2 + 𝑀к2 называют эквивалентным или расчётным моментом: 𝑀𝑃𝐼𝐼𝐼 = 𝑀экв.𝐼𝐼𝐼 = √𝑀𝑢2 + 𝑀к2 . Тогда условие прочности вала (по третьей теории) принимает вид 𝑀экв.𝐼𝐼𝐼 𝜎экв.𝐼𝐼𝐼 = ≤ [𝜎]. 𝑊𝑥 Если применить IV теорию прочности, то получим формулы 𝜎экв.𝐼𝑉 = 𝑀экв.𝐼𝑉 ≤ [𝜎], 𝑊𝑥 𝑀экв.𝐼𝑉 = √𝑀𝑢2 + 0,75𝑀𝑧2 . В реальных условиях вал часто работает на изгиб как в вертикальной, так и в горизонтальной плоскостях. В этом случае под изгибающим моментом Mu понимается суммарный изгибающий момент 𝑀𝑢 = √𝑀в2 + 𝑀г2 = √𝑀𝑥2 + 𝑀𝑦2 , где Mв = Mx – изгибающий момент в вертикальной плоскости; Mг = Мy – изгибающий момент в горизонтальной плоскости. При решении задач по расчёту валов при совместном действии изгиба и кручения не всегда сразу ясно, в каком месте находится опасное сечение, т. е. в каком сечении вала расчётный (эквивалентный) момент будет максимальным. 120 Поэтому при решении задач данного типа рекомендуется следующая последовательность. 1. Выявляются внешние нагрузки, приложенные к оси вала. Силы, приложенные не к оси вала необходимо перенести на ось с добавлением соответствующего момента. Наклонные силы раскладываются на горизонтальные и вертикальные. 2. Строится эпюра крутящих моментов. 3. Определяются реакции от вертикальных сил и строится эпюра изгибающих моментов в вертикальной плоскости. 4. Определяются реакции от горизонтальных сил и строится эпюра изгибающих моментов в горизонтальной плоскости. 5. Строится эпюра суммарного изгибающего момента (по характерным точкам). 6.Строится эпюра или вычисляется ряд значений расчётного (эквивалентного) момента с целью выявления сечения с МРмакс. 7. Проводится прочностной (проверочный или проектировочный) расчёт. Пример 8.1. Требуется подобрать диаметр вала, размеры (в метрах) и нагрузки которого показаны на рис. 8.11. Использовать третью теорию прочности, допускаемое напряжение [σ] = 60 МПа. Поскольку внешние нагрузки приложены к оси вала и действуют в вертикальной и горизонтальной плоскостях, то сразу можно строить эпюру Мк. На участке АВ вала Мк=0,4кНм и является постоянной величиной. Далее определяем реакции от сил, действующих в вертикальной плоскости, т. е. от силы Рв = 2кН. Нетрудно убедиться, что RCB = 0,5 кН, а RDB = 1,5 кН, характер изменения изгибающего момента в вертикальной плоскости показан на рис. 8.11. Рассматривая нагружение вала в горизонтальной плоскости, находим RСГ = 3 кН, RDГ = 1 кН, эпюра изгибающего момента показан на рис. 8.11. Далее определяем значения суммарного изгибающего момента. Очевидно, что в точках С и D он равен нулю. В точке А 𝑀𝑢 = √𝑀в2 + 𝑀г2 = √0,12 + 0,62 = 0,61 кНм. В точке В 𝑀𝑢 = √𝑀в2 + 𝑀г2 = √0,32 + 0,22 = 0,36 кНм. На участке СА и BD эпюра Мu меняется линейно, а на участке АВ – по более сложной зависимости, однако максимума на участке нет (точнее, значения в середине участка не превышают большего из крайних значений). Имея эпюры Мu и Мк необходимо найти опасное сечение. Нетрудно убедиться, что это точка А, так как там действует максимальный изгибающий Мu и максимальный крутящий Мк моменты. Следовательно, расчётный (эквивалентный) момент по третьей теории прочности 𝑀экв.𝐼𝐼𝐼 = √𝑀𝑢2 + 𝑀к2 = √0,612 + 0,42 = 0,73 кНм. Из условия прочности 𝑀экв.𝐼𝐼𝐼 32𝑀экв.𝐼𝐼𝐼 𝜎экв.𝐼𝐼𝐼 = = ≤ [𝜎] 𝑊 𝜋𝐷3 121 следует, что Рис. 8.11 3 𝐷≥√ 32𝑀экв.𝐼𝐼𝐼 3 32 ∙ 0,73 ∙ 103 =√ = 5 ∙ 10−2 м = 5,0 см. 𝜋[𝜎] 3,14 ∙ 60 ∙ 106 Подчеркнём, что приведенные выше формулы справедливы только для валов с осесимметричным поперечным сечением (круглым или трубчатым). 122 9. РАСЧЁТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ. МЕТОД СИЛ 9.1. Классификация стержневых систем Под стержневой системой в сопротивлении материалов понимается всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму бруса. К стержневым системам относятся: – консольные, однопролетные и многопролётные балки; – фермы; – рамы. Если элементы конструкции работают в основном на растяжение или сжатие, то стержневая система называется фермой. Ферма состоит из прямых стержней, образующих треугольники (рис. 9.1). Место соединения двух или более стержней называется узлом. Нагрузки в фермах прикладываются только в узлах. При таком нагружении стержни фермы работают только на растяжение или сжатие, вследствие чего фермы достаточно выгодны в весовом отношении (по сравнению с балками, работающими на изгиб). Несмотря на то, что стержни в узлах соединяются, как правило, сваркой, в расчётных схемах ферм принимается, что соединение стержней шарнирное (рис. 9.1). Рама представляет собой брус с криволинейной осью либо ломаный брус, составленный из прямолинейных участков, жёстко соединённых между собой (рис .9.2). Жёсткие узлы, связывающие стержни рамы, обеспечивают неизменность углов между стержнями. Рис. 9.1 Рис. 9.2 В отличие от ферм, приспособленных только для восприятия сил, приложенных в узлах, рама может быть нагружена в любой точке и любым видом нагрузки (сосредоточенной силой, распределённой нагрузкой, парой 123 сил). Стержни рамы в общем случае нагружения работают на изгиб, кручение, сдвиг и растяжение-сжатие. Рамы и фермы могут быть плоскими или пространственными. В плоской раме или ферме оси всех элементов расположены в одной плоскости. В этой же плоскости действуют все внешние силы, включая и реакции опор. Если данные условия не выполняются, то такие фермы и рамы называются пространственными. В данном пособии рассматриваются только плоские стержневые системы, как достаточно широко распространённые и наиболее простые для расчётов. Балки, рамы и фермы принято делить на статически определимые и статически неопределимые. Под статически определимой понимается такая система, у которой все реакции опор могут быть определены при помощи уравнений равновесия, а затем, используя метод сечений, могут быть найдены все внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении. Под статически неопределённой системой понимается такая система, для которой реакции и все внутренние силовые факторы не могут быть определены только с помощью метода сечений и уравнений равновесия. Примеры статически определимой и статически неопределимой балок показаны на рис. 9.3. Более подробно причины появления статически неопределимых конструкций и методы их расчёта рассматриваются ниже. Рис. 9.3 9.2. Расчет статически определимых ферм Пусть ферма содержит У узлов, Сф стержней собственно фермы и С𝜊 опорных стержней. Тогда общее число неизвестных усилий при расчёте фермы будет С = Сф + С𝜊 . Для каждого из узлов фермы, в которых сходятся искомые усилия, можно составить по два уравнения равновесия, т. е. 2У уравнений. Следовательно, ферма будет статически определимая, если выполняется условие С = Сф + С𝜊 = 2У. (9.1) При определении числа опорных стержней необходимо исходить из того, что шарнирно-подвижная опора соответствует одному опорному стержню, 124 шарнирно-неподвижная – двум, а жёсткое защемление – трем опорным стержням (рис. 9.4) Рис. 9.4 Расчёт фермы включает: – определение реакции опор; – расчёт усилий, действующих в стержнях фермы; – прочностные расчёты (оценка прочности, подбор сечений или определение допустимой нагрузки); – расчёт упругих перемещений узлов фермы. Реакции опор (усилия в опорных стержнях) определяются, используя условия равновесия фермы как твердого тела. При этом целесообразно использовать такую форму записи условий равновесия плоской системы сил, при которой каждое из уравнений содержит только одно неизвестное. После определения реакций они приравниваются активным внешним силам. Внутренние усилия в стержнях фермы определяются при помощи метода сечений. Существует две основных разновидности метода сечений для расчёта усилий в стержнях фермы: – метод вырезания узлов; – метод сечений (метод Риттера) Метод вырезания узлов целесообразно использовать в случаях, когда необходимо определять усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов фермы. Расчёт начинается с узла, в котором сходится не более двух стержней, внутренние усилия в которых неизвестны. Для последующих узлов нагрузкой служат не только внешние силы, но и ранее найденные усилия в стержнях, примыкающих к данному узлу. Методику расчёта усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов покажем на примере. Пусть имеется ферма (рис. 9.5а), нагружена двумя активными силами P и 2P. Для применения рассматриваемого метода необходимо предварительно определить опорные реакции XA, YA и RB. Уравнения равновесия для определения реакций принимают вид: ∑ 𝐹𝑘𝑥 = 0; 𝑃 − 𝑋𝐴 = 0; 𝑋𝐴 = 𝑃; 125 ∑ 𝑚𝐴 (𝐹𝑘 ) = 0; −𝑃 ∙ 𝑎 + 2𝑃 ∙ 3𝑎 + 𝑅𝐵 ∙ 4𝑎 = 0; 𝑅𝐵 = 7𝑃⁄4; ∑ 𝑚𝐵 (𝐹𝑘 ) = 0; −𝑌𝐴 ∙ 4𝑎 − 𝑃𝑎 + 2𝑃 ∙ 𝑎 = 0; 𝑌𝐴 = 𝑃⁄4. Расчёт начнём с узла А, так как в этом узле сходятся только два стержня – 1 и 2. Изобразим узел отдельно (рис. 9.5б). Неизвестные усилия N1 и N2 направим вдоль стержней от узла, т. е. будем считать, что стержни растягиваются. Для полученной системы сходящихся сил можно составить два уравнения равновесия ∑𝐹𝑘𝑥 = 0; ∑𝐹𝑘𝑦 = 0. Рис. 9.5 Составим эти уравнения: 𝑁2 + 𝑁1 ∙ cos 𝛼 − 𝑋𝐴 = 0; 𝑌𝐴 + 𝑁1 ∙ sin 𝛼 = 0. Из второго уравнения следует, что 𝑌𝐴 𝑃 𝑁1 = − = = −0,353 𝑃. sin 𝛼 4 ∙ 𝑠𝑖𝑛45° Подставляя это значение в первое уравнение, получаем: 𝑁2 = −𝑁1 ∙ cos 𝛼 + 𝑋𝐴 = −(−0,353 𝑃) ∙ 0,707 + P = 1,25P. Из решения следует, что стержень 1 работает на сжатие, а стержень 2 – на растяжение. Из решения также следует, что при α→0 или α→180˚ усилия 126 в стержнях становятся бесконечно большими по величине. Поэтому в фермах углы между стержнями обычно лежат в промежутке 30° < 𝛼 < 150°. Далее переходим к рассмотрению равновесия узла C (рис. 9.4в). Усилие N1 мы направили к узлу, так как стержень 1, работая на сжатие, толкает узел С вправо вверх. Это действительное направление усилия N1, поэтому его в дальнейшем нужно считать положительным. Для изображенной системы сил справедливы уравнения равновесия 𝑁1 ∙ cos 𝛼 + 𝑁4 + 𝑁3 ∙ cos 𝛼 + 𝑃 = 0 ; 𝑁1 ∙ sin 𝛼 − 𝑁3 ∙ sin 𝛼 = 0. Решая уравнения, получаем: 𝑁3 = 𝑁1 = 0,353 𝑃; 𝑁4 = −(𝑁1 + 𝑁3 )𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑃 = −1,5𝑃, т. е. третий стержень растягивается, а четвёртый работает на сжатие. Зная усилия N3 и N4, можно рассмотреть равновесие узла E или D. Это позволит определить усилия N5 и N6 и переходить к следующим узлам. Равновесие последнего узла рассматривается с целью проверки правильности расчёта усилий (под действием сил N6, N7 и RB узел В должен находиться в равновесии). Метод сечений (метод Риттера) целесообразно использовать тогда, когда необходимо определить усилия в отдельных стержнях фермы. В этом случае проводится сквозное сечение фермы таким образом, чтобы рассечь интересующий нас стержень. Неизвестные в стержнях усилия направляются от узлов (рис. 9.5а). Условия равновесия рассматриваемой части фермы при этом составляются таким образом, чтобы в каждое из уравнений входило только одно неизвестное усилие. Это достигается соответствующим выбором точек (точек Риттера или моментных точек) при составлении уравнений равновесия по моментам и направления оси при составлении уравнений по проекциям сил. Так, для определения усилия N4 необходимо составить сумму моментов всех сил, приложенных к правой части фермы, относительно узла Е (точки пересечения линий действия неизвестных сил N2 и N3): 𝑁4 ∙ 𝑎 − 2𝑃2 ∙ 𝑎 + 𝑅𝐵 ∙ 2𝑎 = 0. Отсюда 𝑁4 = 2𝑃 − 2𝑅𝐵 = 2𝑃 − 3,5𝑃 = −1,5𝑃. Для определения усилия N2 необходимо составлять уравнения моментов относительно точки С – точки пересечения сил N3 и N4 и т. д. Если при использовании метода сечений два из пересечённых стержней параллельны, то для определения усилия в третьем стержне необходимо использовать условия равенства нулю суммы проекций всех сил, действующих на рассматриваемую часть фермы, на ось, перпендикулярную двум 127 параллельным стержням. В рассматриваемом примере, для определения усилия N3, следует использовать условие равновесия ∑ 𝐹𝑘𝑦 = 0; 𝑅𝐵 − 2𝑃 + 𝑁3 𝑐𝑜𝑠45° = 0. Следовательно, 𝑁3 = (2𝑃 − 𝑅𝐵 )⁄𝑐𝑜𝑠45° = 0,353𝑃 . Зная усилия в стержнях, можно проверить их прочность, определить потребные площади их поперечных сечений или (используя связь между усилиями в стержнях и внешними силами) определить допустимую внешнюю нагрузку. Сжатые стержни, кроме того, должны проверяться и на устойчивость. Перемещения узлов ферм под действием внешних сил определяются с помощью интеграла Мора. После определения усилий во всех стержнях от внешней нагрузки, в том узле, перемещение которого определяется, прикладывается единичная сила 𝑃̅ = 1. Направление силы 𝑃̅ = 1 должно совпадать с направлением искомого перемещения. После этого производится ̅𝑖 в стержнях от единичной силы. Тогда перемещение расчёт усилий 𝑁 ̅𝑖 ℓ𝑖 ∑ 𝑁𝑝𝑖 𝑁 𝛿= , (9.2) 𝐸𝑆 где 𝑁𝑃𝑖 – усилие в i-м стержне от внешней нагрузки; ̅ ᵢ – усилие в i-м стержне от 𝑃̅ = 1; 𝑁 ℓ𝑖 – длина i-го стержня. При необходимости определить полное перемещение узла фермы, направление которого заранее неизвестно, сначала находится вертикальное перемещение, потом горизонтальное. Полное перемещение находится как геометрическая сумма вертикального δy и горизонтального δх перемещений: 𝛿 = √𝛿𝑥2 + 𝛿𝑦2 . 9.3. Особенности расчёта статически определимых рам Плоская рама представляет собой брус с криволинейной осью или ломаный брус, составленный из прямолинейных участков, жёстко связанных между собой. Статически определимая рама не должна иметь жестких замкнутых контуров и быть закреплена на основании не более чем тремя опорными стержнями (рис. 9.6) При нагружении рамы внешними нагрузками (активными силами и реакциями) в ее поперечных сечениях в общем случае действуют три внутренних силовых фактора: изгибающий момент М, поперечная сила Q 128 и нормальная (растягивающая или сжимающая) сила N. Иными словами, стержни плоских рам работают на изгиб, сдвиг и растяжение или сжатие. Расчёт рам включает: – определение опорных реакций; – построение эпюр M, Q и N; – определение опасного сечения; – прочностные расчеты; – расчет упругих перемещений. Реакции в опорах рам определяются таким же образом, как и в опорах ферм. Рис. 9.6 Определение внутренних силовых факторов (построение эпюр M, Q и N) в стержнях рам производится методом сечений. В соответствии с этим методом: – нормальная сила равна алгебраической сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, на ось бруса или (для криволинейных стержней) на нормаль к поперечному сечению; – поперечная сила равна алгебраической сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, на ось, перпендикулярную к оси стержня; – изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов всех сил и пар сил, расположенных по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести сечения. Значения M, Q и N можно определить и путём приведения всех нагрузок, действующих по одну сторону от сечения, к центру рассматриваемого сечения. Перенеся все нагрузки к сечению с добавлением соответствующих моментов, мы получаем момент и силу. Полученный таким образом момент равен изгибающему моменту, проекция силы на ось рамы даёт нормальную силу, а проекция силы на нормаль к оси – поперечную силу. 129 В рамах значения изгибающего момента откладываются со стороны сжатого волокна, а знак обычно не ставят. Поперечная сила считается положительной, если поворачивает рассматриваемую часть рамы относительно сечения по направлению хода часовой стрелки, положительная нормальная сила растягивает стержень, т.е. данный участок рамы. Методику построения эпюр M, Q и N для рамы рассмотрим на примере. Пример 9.1. Построить эпюры M, Q и N для рамы, схема, размеры и нагружение которой показаны на рис. 9.7. Рис 9.7 Реакции в опоре рамы можно не определять, так как это консольная рама. На участке ВС рамы эпюры можно строить как для обычной балки. Поперечная сила на участке Q(z) = q∙z, т.е. изменяется линейно от нуля в точке С до значения q∙a в точке В, причем поперечная сила положительна. Нормальная сила на данном участке тождественно равна нулю, а изгибающий момент сжимает нижние волокна стержня и изменяется по закону параболы М = qz2/2. Ордината момента в точке B равна q∙a2/2. На участке ВА рамы изгибающий момент в любом сечении будет постоянным, так как плечо внешней нагрузки R = q∙a (равнодействующей распределенной нагрузки) равно а/2 и остаётся одинаковым для любого сечения вертикального стержня. Следовательно, в любом сечении вертикального стержня 𝑞 ∙ 𝑎2 𝑎 𝑀 = 𝑅 ∙ ⁄2 = . 2 Нормальная сила N на этом участке также постоянная и равна равнодействующей R= =q∙a, а поперечная сила равна нулю, так как на ось, перпендикулярную к оси стержня (на горизонталь), проекция силы R=q∙a равна нулю. Проверка прочности рамы обычно производится только по нормальным напряжениям, обусловленным изгибом и растяжением-сжатием. Касательные напряжения в рамах обычно невелики, ими просто пренебрегают. Следовательно, условие прочности для рам имеет вид М𝑥 𝑁 𝜎макс = ± ± ≤ [𝜎], (9.3) 𝑊𝑥 𝑆 где Mx – изгибающий момент, действующий в плоскости рамы; Wx – осевой момент сопротивления поперечного сечения рамы; S – площадь поперечного сечения рамы. 130 Проверке подлежат несколько сечений, где действуют значительные изгибающие моменты и нормальные силы. В рассматриваемом примере все сечения на участке АВ равноопасны, так как там действует максимальный изгибающий момент М = qa2/2 и сжимающая сила N = -qa. В эпюрах внутренних силовых факторов на рамах появляются некоторые особенности, не характерные для эпюр на прямолинейных балках. Так, например, на эпюрах появляются скачки даже в местах, где нет приложенных сосредоточенных сил. Эти особенности связаны с переломами оси стержней. Для проверки правильности построения эпюр на рамах используется рассмотрение равновесия узлов рамы как по силам, Рис 9.8 так и по моментам. Так, например, узел В рамы находится в равновесии как по моментам (рис. 9.8а), так и по силам (рис. 9.8б). Перемещения сечений рамы при их упругих деформациях вычисляются с помощью интеграла Мора. При этом перемещениями, обусловленными сдвигом и растяжением-сжатием рамы, можно пренебречь. Следовательно, линейное перемещение ̅1𝑖 𝑀𝑝𝑖 𝑀 𝛿 = ∑∫ 𝑑𝑧, 𝐸𝐼 а угол поворота сечения ̅2𝑖 𝑀𝑝𝒾 ∙ 𝑀 𝜑 = ∑∫ 𝑑𝑧. 𝐸𝐼 При применении способа Верещагина перемещения сечений рамы находятся по формулам: 𝜔𝑝𝑖 ∙ 𝑦𝑐𝑖 𝜔𝑝𝒾 ∙ 𝑦𝑐𝑖 𝛿=∑ ; 𝜑=∑ . (9.4) 𝛦𝐼 𝐸𝐼 Пример 9.2. Определить вертикальное и горизонтальное перемещения рассмотренной выше рамы, а также угол поворота концевого сечения. Жёсткость обоих стержней одинакова и равна EI. Эпюры от внешней нагрузки (учитываем лишь изгибающие моменты) были построены ранее. Построим эпюры от сил 𝑃̅в = 1; 𝑃̅г = 1 и ̅̅̅ 𝑀 = 1, приложенных в интересующем нас сечении (рис. 9.9). Так как единичные эпюры линейны, воспользуемся способом Верещагина. Вычислим площади под грузовой эпюрой. Их будет три: треугольник 𝜔1, сектор 𝜔2 и прямоугольник 𝜔3 : 1 𝑞 ∙ 𝑎2 𝑞𝑎3 𝑞𝑎3 𝑞𝑎2 𝑞𝑎3 𝜔1 = ∙𝑎 = ; 𝜔2 = ; 𝜔3 = ∙𝑎 = . 2 2 4 12 2 2 131 Ординаты единичных эпюр под центрами тяжести площадей грузовой эпюры 2 𝑎 𝑦𝐶1 = 𝑎; 𝑦𝐶2 = ; 𝑦𝐶3 = 𝑎; 3 2 𝑎 ′ ′ ′ 𝑦𝐶1 = 0; 𝑦𝐶2 = 0; 𝑦𝐶3 = ; 2 ′′ ′′ ′′ 𝑦𝐶1 = 1; 𝑦𝐶2 = 1; 𝑦𝐶3 = 1. Рис. 9.9 Следовательно, вертикальное перемещение 1 𝑞 ∙ 𝑎3 2 𝑞 ∙ 𝑎3 𝑎 𝑞𝑎3 𝑞𝑎4 15 5 𝑞𝑎4 ƒв = ( ∙ ⁄3 𝑎 − ∙ + ∙ 𝑎) = = ; 𝐸𝐼 4 12 2 2 𝐸𝐼 24 8 𝐸𝐼 горизонтальное перемещение 1 𝑞𝑎3 𝑞𝑎3 𝑞𝑎3 𝑎 𝑞𝑎4 ƒг = ( ∙0− ∙0+ ∙ )= 𝐸𝐼 4 12 2 2 4𝐸𝐼 и угол поворота сечения 1 𝑞𝑎3 𝑞𝑎3 𝑞𝑎3 𝑞𝑎3 1 1 1 𝑞𝑎3 8 2 𝑞𝑎3 𝜑= ( ∙1− ∙1+ ∙ 1) = ( − + )= = . 𝐸𝐼 4 12 2 𝐸𝐼 4 12 2 𝐸𝐼 12 3 𝐸𝐼 9.4. Расчёт статически неопределимых систем 9.4.1. Основные понятия Конструкция называется статически неопределимой, если используя уравнения равновесия статики и метод сечений невозможно определить реакции опор и (или) построить эпюры всех внутренних силовых факторов. Статическая неопределимость стержневых систем обусловлена количеством связей. Под связью понимаются ограничения, обусловливающие определённые положения точек стержневой системы на плоскости или в пространстве. Связи делят на внешние и внутренние. Внешняя связь – это связь конструкции с основанием (землёй) или другими телами. Усилия во внешних связях – это опорные реакции. Внешние связи бывают необходимыми и дополнительными («лишними»). 132 Необходимые внешние связи обращают тело в геометрически неизменяемую систему, т. е. тело, перемещения точек которого возможно только за счет деформации его элементов. Всякая связь сверх необходимой делает систему статически неопределимой. Так балка, показанная на рис. 9.9а, имеет только необходимые связи. Что касается балки, показанной на рис. 9.9б, то она имеет «лишнюю» связь и, следовательно, является статически неопределимой. Рис.9.10 Внутренние связи обеспечивают соединение одной части стержневой системы с другой. Усилия во внутренних связях являются внутренними усилиями, они всегда двусторонние. Внутренние связи также бывают необходимыми и дополнительными. Внутренние связи рассмотрим на примере образования фермы. Пусть имеем шарнирный четырёхзвенник, неподвижность звена АВ которого обеспечивается тремя стержнями (внешними связями) (рис. 9.11). Четырёхзвенник является геометрически изменяемой системой (параллелограммным механизмом) из-за недостаточного количества внутренних связей. Установим раскос АС, который в данном случае является необходимой внутренней связью После этого ферма способна воспринимать внешние нагрузки, она стала геометрически неизменяемой и статически определимой. Если же в данной ферме установить раскос ВD, то эта внутренняя связь будет Рис. 9.11 дополнительной («лишней»), ферма становится статически неопределимой. Действительно, любое поперечное сечение (см. рис. 9.11) приводит к появлению четырёх неизвестных внутренних усилий, а уравнений равновесия для отсеченной части можно составить только три. Количество «лишних» внешних и внутренних связей соответствует числу (степени) статической неопределимости стержневой системы. 133 9.4.2. Степень статической неопределимости Степенью статической неопределимости называется разность между числом неизвестных (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом уравнений статики, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы. В зависимости от этого числа системы бывают один, два, три … n раз статически неопределимые. Рассмотрим методику определения степени статической неопределимости для различных плоских стержневых систем. Степень статической неопределимости будем обозначать буквой Л, так как число статической неопределимости – это число «лишних» внутренних и внешних связей. Балки. Внутренние связи в балках отсутствуют, поэтому для балок Л = 3Т + 2Н + 1П – Ш – 3, (9.5) где Т – число жёстких защемлений; Н – число шарнирно-неподвижных опор; П – число шарнирно-подвижных опор; Ш – число промежуточных шарниров. Числа перед буквами Т, Н и П соответствуют числу неизвестных (числу опорных стержней), обусловленных каждым типом опоры. Промежуточный шарнир, как известно из курса теоретической механики, позволяет разделить балку на две части и рассматривать их отдельно. При этом появляются два новых неизвестных, но при этом можно составить три дополнительных условия равновесия. Следовательно, каждый промежуточный шарнир в балке снижает степень статической неопределимости на единицу. Определим степень статической неопределимости для балки, показанной на рис. 9.11. В соответствии с формулой (9.5), Рис. 9.12 Л = 3 · 1 + 2 · 1 + 1 · 1 – 1 – 3 = 2, т. е. данная балка является дважды статически неопределимой. Фермы могут быть статически неопределимы как за счёт внутренних, так и за счёт внешних «лишних» связей. Для фермы Л =С – 2У = С0+Сф – 2У, (9.6) 134 где С – общее число стержней, включая и опорные; С0 – число опорных стержней; Сф – число стержней фермы. Для фермы, показанной на рис. 9.12, СО = 3; Сф = 11; С = 14; У = 6. Следовательно, Л = 3 + 11 – 2 · 6 = 14 – 12 = 2, т. е. ферма является дважды статически неопределима. Эта неопределимость обусловлена «лишними» внутренними связями. Если убрать с каждой половины фермы по одному раскосу (например, стержни 2 и 8), то она станет Рис. 9.13 статически определимой. Рамы, как и фермы, могут быть статически неопределимыми как внешним, так и внутренним образом. Внутренняя статическая неопределимость обусловлена наличием замкнутых контуров. Действительно, если рама имеет замкнутый контур (рис. 9.14), то после применения метода сечений на левую часть будут действовать шесть неизвестных силовых факторов (NA, NB, QA, QB, MA и MB), а уравнений равновесия для этой части можно составить только три. Рис. 9.14 Следовательно, каждый замкнутый контур рамы имеет три «лишних» внутренних связи. Таким образом, для рам Л = 3К + СО – Ш – 3, (9.7) где К – число замкнутых контуров; С0 – число опорных стержней; Ш – число шарниров (число дополнительных уравнений равновесия, которые можно составить за счёт наличия промежуточных шарниров). 135 Шарниры в рамах могут соединять несколько стержней. Шарнир, соединяющий три стержня, можно представить как два изолированных шарнира, шарнир, соединяющий четыре стержня, – как три изолированных и т. д. (рис. 9.15). Рис. 9.15 Следовательно, Рис. 9.7 Рис. 9.16 Ш = 1Ш2 + 2Ш3 + 3Ш4 + …, где Ш2 – число шарниров, соединяющих два стержня; Ш3 – число шарниров, соединяющих три стержня и т. д. Для рамы, показанной на рис. 9.16, К = 2; С0 = 5; Ш = 2Ш3 = 2·2 = 4. Следовательно, Л = 3 · 2 + 5 – 4 – 3 = 4. Таким образом, данная ферма является четырежды статически неопределима, причём, дважды за счёт внешних связей и дважды за счёт внутренних связей. 9.4.3. Канонические уравнения метода сил Существует несколько методов прочностных и жёсткостных расчётов (раскрытия) статически неопределимых систем. Наиболее простым и широко применяемым является метод сил. Сущность метода сил заключается в том, что заданная статически неопределимая конструкция освобождается от дополнительных внешних и внутренних связей, а их действия заменяются неизвестными пока силами или моментами. Величина этих сил и моментов в процессе решения подбирается так, чтобы деформации преобразованной системы соответствовали (удовлетворяли) тем ограничениям, которые накладывались на исходную конструкцию отброшенными связями. 136 Сущность метода поясним на простейшем примере одиножды статически неопределимой балки (рис. 9.17). Уберём опорный стержень в конце балки и заменим его неизвестной пока силой Х1. Рис. 9.17 Заданная и преобразованная системы будут эквивалентны, если деформации балки будут одинаковы. Рассмотрим перемещение конца балки, где была «лишняя» связь. Его можно рассматривать как сумму перемещения ∆11, вызванного неизвестной силой Х1, и перемещения ∆1Р , обусловленного действием заданной силы P: ∆1 = ∆1Р + ∆11 . Но в заданной системе перемещение конца балки невозможно, так как там есть опора. Следовательно, ∆1 = ∆1Р + ∆11 = 0. (9.8) Перемещение ∆11 пропорционально силе Х1, т.е. ∆11 = 𝛿 11 ∙ Х1, (9.9) где 𝛿 11 – перемещение балки в направлении силы Х1 под действием единичной силы (при Х1 = 1). С учетом сказанного формулу (9.8) можно переписать в виде 𝛿11 ∙ Х1 + ∆1Р = 0. Отсюда Х1 = − ∆1Р ⁄𝛿11 . (9.10) Величина ∆1Р зависит как от внешних нагрузок, так и от жесткости конструкции (балки). Величина 𝛿11 является характеристикой только размеров и жёсткости конструкции. Обе эти величины определяются, например, методом Мора. После определения неизвестной силы Х1 преобразованная система превращается в статически определимую балку, нагруженную заданной внешней нагрузкой Р и уже известной силой Х1. 137 Рассмотрим более общую методику расчёта статически неопределимых конструкций. Пусть имеем n раз статически неопределимую стержневую систему. Исходная n раз неопределимая конструкция называется заданной системой. Освободим заданную систему от «лишних» связей, заменив их действие неизвестными пока обобщёнными силами Х1, Х2, Х3 … Хn. Освобождённая от дополнительных связей заданная система называется основной системой. Теперь остаётся подобрать значения неизвестных силовых факторов (обобщённых сил) таким образом, чтобы заданная и основная системы были эквивалентными. Заданная и основная системы считаются эквивалентными, если они деформируются одинаково. Уравнения равновесия статики позволяют определить усилия только в необходимых связях, обеспечивающих геометрическую неизменяемость основной системы. Для нахождения значений неизвестных обобщенных сил Х1, Х2…Хn составляются дополнительные уравнения, называемые уравнениями совместимости деформаций. Для обеспечения эквивалентности заданной и основной систем необходимо, чтобы перемещения в основной системе, вызванные внешней нагрузкой и «лишними» неизвестными в направлениях отброшенных связей, были равны нулю. Эти условия можно представить в виде: ∆1 = ∆1,(𝑋1,𝑋2,𝑋3 ,…𝑋𝑛 ,𝑃) = ∆11 + ∆12 + ∆13 + ⋯ + ∆1𝑛 + ∆1𝑃 = 0; ∆2 = ∆2,(𝑋1 ,𝑋2,𝑋3 ,…𝑋𝑛 ,𝑃) = ∆21 + ∆22 + ∆23 + ⋯ + ∆2𝑛 + ∆2𝑃 = 0; (9.11) ……………………………………………………………………………… ∆𝑛 = ∆𝑛(𝑋1,𝑋2 ,…𝑋𝑛 ,𝑃) = ∆𝑛1 + ∆𝑛2 + ∆𝑛3 + ⋯ + ∆𝑛𝑛 + ∆𝑛𝑃 = 0, где ∆𝑖 (i =1,2,….n) – полное перемещение конструкции в направлении i-го неизвестного в месте его приложения; ∆𝑖𝑘 (k =1,2,….n) – перемещение конструкции в направлении i-го неизвестного от действия неизвестного Xk.; ∆𝑖𝑝 – перемещение точки приложения i-ого неизвестного в направлении его действия от действия системы внешних сил. Система уравнений (9.11) написана на основе принципа независимости действия сил. Перемещения от неизвестных обобщённых сил удобно представить в виде ∆𝑖𝑘 = 𝛿𝑖𝑘 ∙ 𝑋𝑘 , (9.12) где 𝛿𝑖𝑘 – перемещение точки приложения обобщенной силы Хi под действием силы Xk, равной единице. Нетрудно убедиться, что коэффициенты 𝛿𝑖𝑘 характеризуют жёсткость (податливость) рассматриваемой системы. 138 С учётом выражения (9.12) система (9.11) принимает вид: 𝛿11 ∙ 𝑋1 + 𝛿12 ∙ 𝑋2 + 𝛿13 ∙ 𝑋3 + ⋯ + 𝛿1𝑛 ∙ 𝑋𝑛 + ∆1𝑃 = 0; 𝛿21 ∙ 𝑋1 + 𝛿22 ∙ 𝑋2 + 𝛿23 ∙ 𝑋3 + ⋯ + 𝛿2𝑛 ∙ 𝑋𝑛 + ∆1𝑃 = 0; ………………………………………………………………… (9.13) 𝛿𝑛1 ∙ 𝑋1 + 𝛿𝑛2 ∙ 𝑋2 + 𝛿𝑛3 ∙ 𝑋3 + ⋯ + 𝛿𝑛𝑛 ∙ 𝑋𝑛 + ∆𝑛𝑃 = 0. Система (9.13) называется системой канонических уравнений метода сил. Такое название объясняется тем, что система уравнений для всех статически неопределимых систем записывается по одному правилу (канону). Число уравнений всегда совпадает со степенью статической неопределимости системы. В тех случаях, когда кроме внешних нагрузок нужно учесть и влияние температуры, свободные (грузовые) члены канонических уравнений должны представлять собой перемещения в основной системе не только от заданных нагрузок, но и от изменения температуры: 𝛿11 ∙ 𝑋1 + 𝛿12 ∙ 𝑋2 + 𝛿13 ∙ 𝑋3 + ⋯ + 𝛿1𝑛 ∙ 𝑋𝑛 + ∆1𝑃 + ∆1𝑇 = 0; 𝛿21 ∙ 𝑋1 + 𝛿22 ∙ 𝑋2 + 𝛿23 ∙ 𝑋3 + ⋯ + 𝛿2𝑛 ∙ 𝑋𝑛 + ∆2𝑃 + ∆2𝑇 = 0; ……………………………………………………………………… (9.14) 𝛿𝑛1 ∙ 𝑋1 + 𝛿𝑛2 ∙ 𝑋2 + 𝛿𝑛3 ∙ 𝑋3 + ⋯ + 𝛿𝑛𝑛 ∙ 𝑋𝑛 + ∆𝑛𝑃 + ∆𝑛𝑇 = 0, где ∆𝑖𝑇 – перемещения в основной системе по направлению силы 𝑋𝑖 , вызванные изменением температуры (см раздел 7). После определения значений обобщённых сил Х1, Х2, … Хn их можно рассматривать как дополнительные внешние нагрузки, приложенные наряду с заданными внешними нагрузками к основной системе. Иначе говоря, основная система, нагруженная заданными внешними силами и найденными из системы канонических уравнений «лишними» неизвестными Х1, Х2, … Хn, полностью эквивалентна заданной системе. Дальнейший её расчёт ведётся по методам расчёта статически определимых конструкций. 9.4.4. Основные этапы расчёта Расчёт статически неопределимых систем производится в следующей последовательности. 1. Определяется степень статической неопределимости рассматриваемой системы. 2. Выбирается основная система. 3. Записывается система канонических уравнений метода сил. 4. Определяются коэффициенты канонических уравнений. 5. Вычисляются значения «лишних» неизвестных. 139 6. Строятся эпюры внутренних силовых факторов для рассматриваемой системы. 7. Проводится проверка правильности решения. 8. Проводятся прочностные и (или) жёсткостные расчёты. Остановимся более подробно на каждом из этапов расчёта. 1. Определение степени статической неопределимости производится по формулам (9.5)…(9.7). Этот этап трудностей, как правило, не вызывает. 2. Выбор основной системы является важным этапом решения статически неопределимой задачи. Основная система должна быть, во-первых, статически определимая и, во-вторых, геометрически неизменяемая Она получается из заданной статически неопределимой системы путём отбрасывания «лишних» связей и заменой их неизвестными усилиями X1, X2, X3 … Xn. Преобразование заданной системы в основную достигается: – отбрасыванием дополнительных опорных связей; – заменой одного вида опоры другим, включающей меньшее количество стержней; – введением дополнительных (отсутствующих в заданной системе) шарниров; – рассечением отдельных стержней. При рассечении стержня неизвестные обобщённые силы должны прикладываться к обеим частям и иметь противоположные направления. Для одной и той же заданной системы можно выбрать несколько основных систем (рис. 9.18б…д). От оптимального выбора основной системы в значительной степени зависит объём вычислений. При удачном выборе основной системы канонические уравнения упрощается за счёт того, что часть коэффициентов этих уравнений получаются равными нулю. Если отбрасываемая «лишняя» связь препятствует линейному перемещению данной точки конструкции, то она заменяется неизвестной силой, а если препятствует угловому перемещению – то неизвестным моментом. Если заданная система симметрична, то и основную систему целесообразно сохранить симметричной (наиболее удачным из четырёх вариантов основной системы, показанных на рис. 9.18, следует признать вариант г). 3. Записываются канонические уравнения метода сил. Этот этап, как правило, затруднений не вызывает. Число уравнений должно быть равным числу отбрасываемых связей. 140 Рис. 9.18 4. Определение коэффициентов канонических уравнений является наиболее сложным и трудоёмким этапом решения. Поскольку по физическому смыслу каждое из канонических уравнений представляет собой сумму перемещений точки приложения i-го неизвестного усилия, то коэффициенты уравнений – это перемещения. Перемещения (коэффициенты канонических уравнений) ∆𝑖𝑃 и 𝛿𝑖𝑘 чаще всего определяют по методу Мора или способом Верещагина. При этом для балок и плоских рам влиянием поперечных и продольных сил обычно пренебрегают и учитывают лишь изгибающие моменты. Для определения коэффициентов канонических уравнений предварительно необходимо построить эпюры изгибающих моментов в основной системе отдельно от заданной нагрузки (грузовая эпюра) и от каждой единичной силы: X1 = 1; X2 = 1;….Xn = 1 (единичные эпюры). Ординаты ̅1 , 𝑀 ̅2 , 𝑀 ̅𝑛 (рис. 9.19) соответствующих эпюр обозначают через 𝑀𝑃 , 𝑀 Тогда 𝑙𝑀 𝑀 𝑙𝑀 ̅ ̅𝑖 𝑀 ̅𝑗 𝑝 𝑖 ∆𝑖𝑝 = ∫ 𝑑𝑧; 𝛿𝑖𝑗 = ∫ 𝑑𝑧. (9.15) 𝐸𝐼 𝐸𝐼 Коэффициенты 𝛿𝒾𝑗 называются единичными коэффициентами при неизвестных, члены ∆𝒾𝑝 – грузовыми членами канонических уравнений. 141 Единичные коэффициенты, имеющие одинаковые индексы, называют главными коэффициентами канонических уравнений, а имеющие разные индексы (𝑖 ≠ 𝑗) – побочными. Главные коэффициенты могут быть только положительными. Что касается побочных коэффициентов, то они могут быть положительными или отрицательными, а также равными нулю. На основании теоремы о взаимности перемещений 𝛿𝑖𝑗 = 𝛿𝑗𝑖 . Для конструкций, состоящих из нескольких стержней с различными жёсткостями, формулы (9.15) принимают вид: 𝑘 𝑙𝑀 𝑀 𝑘 𝑙𝑀 ̅ ̅𝑖 𝑀 ̅𝑗 𝑝 𝑖 ∆𝑖𝑝 = ∑ ∫ 𝑑𝑧; 𝛿𝑖𝑗 = ∑ ∫ 𝑑𝑧 , (9.16) 1 0 𝐸𝐼𝑘 1 0 𝐸𝐼𝑘 где k – количество стержней в рассматриваемой конструкции; 𝐸𝐼𝑘 – жёсткость на изгиб k-го стержня. При применении способа Верещагина коэффициенты канонических уравнений метода сил вычисляются по формулам 𝛿𝑖𝑗 = ∑ 𝑘 𝜔 ̅𝑖 𝑦𝑐𝑗 𝜔𝑝 𝑦𝑐𝑖 ; ∆𝑖𝑝 = ∑ , 𝐸𝐼 𝐸𝐼 (9.17) 𝑘 где 𝜔 ̅𝑖 , 𝜔𝑝 – площади соответственно единичной и грузовой эпюр; 𝑦𝑐𝑖 , 𝑦𝑐𝑗 – ордината соответствующей единичной эпюры, взятая под центром тяжести единичной или грузовой эпюры. Определим некоторые перемещения (коэффициенты канонических уравнений) для трижды статически неопределимой рамы, показанной на рис. 9.18. Выбранная основная система, а также грузовая и единичные эпюры представлены на рис. 9.19. ̅1 перемножить Для определения коэффициента 𝛿11 необходимо эпюру 𝑀 саму на себя. Применим способ Верещагина. Площади двух треугольников, образующих эту эпюру, 1 1 𝜔 ̅1 = 𝜔 ̅ 2 = ∙ ℓ ∙ ℓ = ℓ2 , 2 2 а ординаты в этой же эпюре под центрами тяжести треугольников 𝑦𝑐1 = 𝑦𝑐2 = 2ℓ⁄3. Тогда 1 1 1 2 2 1 2 2 ℓ3 1 1 2ℓ3 𝛿11 = (𝜔 ̅ 𝑦 +𝜔 ̅2 𝑦𝑐2 ) = ( ℓ ∙ ℓ + ℓ ∙ ℓ) = ( + ) = . 𝐸𝐼 1 𝑐1 𝐸𝐼 2 3 2 3 𝐸𝐼 3 3 3𝐸𝐼 Полученное значение означает, что расстояние между разрезанными частями стержня при приложении в месте разреза единичных продольных сил будет составлять 2ℓ3 ⁄3𝐸𝐼. Найдём грузовой член ∆1𝑝 . Для этого необходимо перемножить эпюры Мр ̅1 на вертикальных частях рамы (на горизонтальном стержне эпюра 𝑀 ̅1 и 𝑀 142 ̅1 под равна нулю).Вычислим площади под эпюрами Мp и ординаты эпюры 𝑀 центрами тяжести прямоугольников грузовой эпюры: 𝑞𝑎2 ℓ 𝜔1 = 𝜔2 = ∙ ℓ; 𝑦𝑐1 = 𝑦𝑐2 = . 2 2 Следовательно. 1 1 𝑞𝑎2 ℓ ℓ 𝑞𝑎2 ℓ ℓ 𝑞𝑎2 ℓ2 ∆1𝑝 = (𝜔1 ∙ 𝑦𝑐1 + 𝜔2 ∙ 𝑦𝑐2 ) = ∙ − ∙ )=− . (− 𝐸𝐼 𝐸𝑌 2 2 2 2 2𝐸𝐼 Произведения 𝜔𝑖 𝑦𝑐𝑖 берутся со знаками «минус» потому, что грузовая и единичная эпюры имеют разные знаки (расположены справа и слева от оси вертикальных стержней рамы). Физический смысл этого коэффициента состоит в том, то под действием внешней нагрузки места разреза стержня сблизились на величину 𝑞𝑎2 ℓ2 ⁄2𝐸𝐼, а их перемещение противоположно направлению сил Х1=1. Аналогично определяются и другие коэффициенты канонических уравнений метода сил. 5. Численные значения неизвестных обобщённых сил X1, X2, X3 Xn получают путём решения системы уравнений типа (9.13) после постановки в нее численных значений всех необходимых коэффициентов. Если некоторые значения Хi получаются отрицательными, то их направление необходимо изменить на противоположное. 6. Строятся эпюры внутренних силовых факторов в сечениях заданной конструкции. После определения значений Х1, Х2, … Хn их можно рассматривать как дополнительные внешние нагрузки, приложенные к основной системе. Поэтому определение реакции и построение эпюр внутренних силовых факторов проводится обычным образом. Иногда окончательные эпюры внутренних усилий M, Q и N удобно ̅1 , 𝑀 ̅2 , … . 𝑀 ̅𝑛 , строить методом сложения эпюр 𝑀𝑝 , 𝑄𝑝 и 𝑁𝑝 c эпюрами 𝑀 предварительно умноженными на значения X1, X2, X3 … Xn: ̅1 𝑋1 + 𝑀 ̅2 𝑋2 + ∙∙∙ +𝑀 ̅𝑛 𝑋𝑛 + 𝑀𝑝 ; 𝑀=𝑀 𝑄 = 𝑄̅1 𝑋1 + 𝑄̅2 𝑋2 + ∙∙∙ +𝑄̅𝑛 𝑋𝑛 + 𝑄𝑝 ; ̅1 𝑋1 + 𝑁 ̅2 𝑋2 + ∙∙∙ +𝑁 ̅𝑛 𝑋𝑛 + 𝑁𝑝 . 𝑁=𝑁 7. Проверка правильности решения. Основным способом проверки правильности решения является кинематическая проверка. Она сводится к вычислению интегралов Мора ℓ ̅𝑖 𝑀𝑀 ∆𝑖 = ∑ ∫ 𝑑𝑧, 0 𝐸𝐼𝑖 143 которые, в случае правильного решения всех этапов задачи, должны быть равны нулю. Физический смысл кинематической проверки состоит в том, что перемещения конструкции в местах отброшенных связей должны отсутствовать. 8. Прочностные и жёсткостные расчёты производятся с использованием условий прочности и жесткости для статически определимых конструкций (балок, ферм или рам). Рис. 9.19 Пример 9.3. Построить эпюры Q и M для балки, показанной на рис 9.20а. 1. Степень статической неопределимости Л = 3 ∙ 1 + 1 − 3 = 1. 2. В качестве основной системы выберем консольную балку, отброшенную опору заменим вертикальной неизвестной силой Х1 (рис. 9.20б) 3. Для один раз статически неопределимой системы уравнение метода сил принимает вид: 𝛿11 ∙ 𝑋1 + ∆1𝑝 = 0. 4.Для определения коэффициентов уравнения построим для основной системы эпюры ̅ 𝑀𝑝 и 𝑀1 Первая из них – квадратная парабола, вторая – наклонная прямая (рис. 9.19в,г). ̅1 саму на себя. При этом площадь под Коэффициент 𝛿11 найдём переложив эпюру 𝑀 эпюрой и ордината под центром тяжести этой площади 1 ℓ2 2 𝜔1 = ℓ ∙ ℓ = , 𝑦𝑐1 = ℓ. 2 2 3 Следовательно 1 1 ℓ2 2 ℓ3 𝛿11 = 𝜔1 ∙ 𝑦𝑐1 = ∙ ℓ= . 𝐸𝐼 𝐸𝐼 2 3 3𝐸𝐼 144 Для определения коэффициента ∆1р грузовую эпюру представим в виде разности площадей треугольника 𝜔1 и параболического сектора 𝜔2 : 1 𝑞ℓ2 𝑞ℓ3 𝑞𝑙 3 𝜔1 = ∙ℓ= ; 𝜔2 = . 2 2 4 12 ̅1 под центрами тяжести соответствующих площадей Ординаты эпюры 𝑀 2 1 𝑦с1 = ℓ; 𝑦с2 = ℓ. 3 2 Тогда 1 1 𝑞ℓ3 2 𝑞ℓ3 1 𝑞ℓ4 ∆1𝑝 = (−𝜔1 ∙ 𝑦𝑐1 + 𝜔2 𝑦𝑐2 ) = (− ∙ ℓ+ ∙ ℓ) = − . 𝐸𝐼 𝐸𝐼 4 3 12 2 8𝐸𝐼 5. Из канонического уравнения следует, что ∆1𝑝 𝑞ℓ4 3𝐸𝐼 3 𝑋1 = − = = 𝑞ℓ. 𝛿11 8𝐸𝐼 ℓ3 8 6. Для построения окончательных эпюр приложим найденную силу 𝑋1 к основной системе(рис.9. 21а). Следовательно, Рис. 9.20 3 Рис. 9.21 3 5 𝑄(𝑧) = − 8 𝑞ℓ + 𝑞𝑧; 𝑄(𝑧=0) = − 8 𝑞ℓ; 𝑄(𝑥=ℓ) = 8 𝑞ℓ; 3 𝑞𝑧 2 9 𝑞ℓ2 2 𝑀(𝑧) = 𝑞ℓ𝑧 − ; 𝑀(𝑧=0) = 0; 𝑀(𝑧=3ℓ) = 𝑞ℓ ; 𝑀(𝑧=ℓ) = − . 8 2 128 8 8 Эпюры Q и M показаны на рис. 9.21б,в. 145 7. Для проверки правильности решения задачи, выполним кинематическую проверку: найдём перемещение конца балки над действием суммарной нагрузки. Для этого эпюру 𝑀 разобьем на две фигуры (треугольник и сектор) с площадями 1 𝑞ℓ2 𝑞ℓ3 𝑞ℓ3 ∙ℓ= ; 𝜔2 = 2 8 16 12 и построим единичную эпюру (рис. 9.21г). При этом ординаты этой эпюры под центрами тяжести треугольника и сектора будут 2 1 𝑦с1 = ℓ; 𝑦с2 = ℓ. 3 2 𝜔1 = Следовательно, перемещение конца балки 1 1 𝑞ℓ3 2 𝑞ℓ3 1 (−𝜔1 𝑦𝑐1 + 𝜔2 𝑦𝑐2 ) = (− ∙ ℓ+ ∙ ℓ) = 0. 𝐸𝐼 𝐸𝐼 16 3 12 2 Отсутствие вертикального перемещения конца балки свидетельствует о правильности решения задачи. ∆1 = 9.4.5. Определение перемещений в статически неопределимых системах При определении перемещений в статически неопределимых системах, как правило, используют метод Мора. Для применения формулы Мора ̅ ̅ 𝑀∙𝑀 𝑁∙𝑁 𝑄 ∙ 𝑄̅ ∆𝑖 = ∑ ∫ 𝑑𝑧 + ∑ ∫ 𝑑𝑧 + ∑ ∫ 𝑑𝑧 𝐸𝐼 𝐸𝑆 𝐺𝑆 в начале необходимо раскрыть статическую неопределимость и построить окончательные эпюры внутренних силовых факторов 𝑀, 𝑁 и 𝑄. Кроме того, ̅ 𝑁 ̅ и 𝑄̅ от единичной обобщенной силы, необходимы и единичные эпюры 𝑀 соответствующей искомому перемещению. Если при этом единичную нагрузку прикладывать непосредственно к заданной статически неопределимой конструкции, то для построения единичных эпюр вновь придется решать статически неопределимую задачу. Однако этого можно избежать, если учесть, что исходная статически неопределимая система и основная статически определимая, нагруженная заданными силами и найденными лишними неизвестными, полностью тождественны по условиям работы. Поэтому, определяя какие-либо перемещения, мы вправе прикладывать единичную нагрузку к основной статически определимой системе. Последняя может быть выбрана по любому возможному варианту (может отличаться от основной системы, с помощью которой строились эпюры окончательные эпюры внутренних силовых факторов). 146 9.5. Понятие о расчётах по несущей способности При расчётах конструкции по допускаемым напряжениям опасным считается такое её состояние, при котором наибольшие напряжения хотя бы в одной точке материала достигают опасной величины (предела текучести). Состояние всей остальной массы материала во внимание не принимается. Величина нагрузки FТ, при которой максимальное напряжение достигает предела текучести, называют опасной нагрузкой. При данном методе расчёта допускаемая нагрузка 𝐹Т [𝐹] = , (9.18 ) [𝑛] где [𝑛] – нормативный коэффициент запаса прочности. При нагрузке FТ, как правило, еще не происходит полное исчерпание несущей способности конструкции, поскольку напряжения равны пределу текучести 𝜎Т лишь в ограниченной зоне площади сечения, либо не во всех конструктивных элементах стержневой конструкции. Следовательно, при расчётах по допускаемым напряжениям несущие способности конструкции используются не полностью. В связи с этим недостатком метода расчёта по допускаемым напряжениям был предложен метод расчета по предельному состоянию. Под предельным состоянием конструкции понимают такое её состояние, при котором она теряет способность сопротивляться внешним воздействиям или перестаёт удовлетворять другим эксплуатационным требованиям. Различают три вида предельных состояний: – по несущей способности – когда исчерпывается способность воспринимать возрастающие нагрузки; – по деформациям – когда упругие или пластичные деформации достигают допускаемых значений; – по образованию или раскрытию трещин. Наиболее часто применяется метод расчета по несущей способности. Он применяется в основном при проектировании различных сооружений. Нагрузка 𝐹пр , при которой конструкция уже не может отвечать своему предназначению (т. е. теряет несущую способность), называется предельной нагрузкой. По аналогии с допускаемой нагрузкой вводится понятие предельно допускаемой (рабочей) нагрузки: 𝐹пр [𝐹]пр = . (9.19) [𝑛] 147 Нормативные коэффициенты [𝑛] при разных методах расчёта в общем случае могут быть разными. Предельно допустимая нагрузка, как правило, больше допускаемой, подсчитанной с тем же коэффициентом запаса, т. е.[𝐹]пр ≥ [𝐹]. Метод расчёта по несущей способности применим только для конструкций из пластичных материалов, которые на диаграммах растяжениясжатия или чистого сдвига имеют площадки текучести. Для упрощения расчета реальная диаграмма растяжения или сжатия схематизируется двумя линейными участками (участками ОА и АВ, см. рис. 9.22), причем длина горизонтального участка не ограничивается. Следовательно, в расчётах принимается, что при достижении предела текучести материал не упрочняется, а является идеально пластичным. Такая идеализированная диаграмма растяжения материала носит название диаграммы Прандтля. Сущность метода расчета по несущей способности поясним на примере определения предельной нагрузки для статически определимой двухопорной балки длиной ℓ, нагруженной в середине пролета сосредоточенной силой F (рис. 9.23) Балка имеет прямоугольное поперечное сечение с размерами b и h. Рис. 9.22 При расчёте по допускаемым напряжениям допускаемую нагрузку найдём из условия прочности 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑚𝑎𝑥 = ≤ [𝜎]. 𝑊 Для рассматриваемой балки 𝑀𝑚𝑎𝑥 Рис. 9.23 𝐹ℓ 𝜎т 𝑏ℎ2 = ; [𝜎] = ; 𝑊= . [𝑛] 4 6 Следовательно, при расчёте по методу допускаемых напряжений 2 𝑏ℎ2 𝜎т [𝐹] = ∙ (9.20) . 3 ℓ[𝑛] Для определения предельно допускаемой нагрузки рассмотрим поведение балки по мере увеличения силы F (рис. 9.23) 148 При росте величины силы F. напряжения в сечениях балки будут увеличиваться и при F = FТ в крайних волокнах достигнут значения σ = σт (см. рис. 9.24). Несмотря на это можно считать, что практически во всем сечении действуют только упругие деформации. При дальнейшем увеличении силы деформации в крайних волокнах будут увеличиваться, однако напряжения, в соответствии с диаграммой Прандтля, в крайних волокнах расти не будут, в верхней и нижней частях поперечного сечения появляются зоны так называемых пластических деформаций. Несмотря на это, балка ещё способна воспринимать возрастающую нагрузку. Рис. 9.23 По мере роста нагрузки зоны пластических деформаций будут расширяться до тех пор, пока во всём поперечном сечении напряжения не станут равными пределу текучести. При этом несущая способность будет исчерпана, при 𝐹 ≥ 𝐹пр деформации балки будут неограниченно расти без дальнейшего увеличения нагрузки. Такое состояние балки называется пластическим шарниром. Определим изгибающий момент, который создают действующие в пластическом шарнире напряжения. Очевидно, что этот момент соответствует предельной нагрузке, обозначим его через Мпр.: 𝑀пр ℎ/2 ℎ/2 ℎ/2 𝑏ℎ2 = 2 ∫ 𝜎т 𝑦𝑑𝑠 = 2𝜎т ∫ 𝑦𝑏𝑑𝑦 = 2𝑏𝜎т ∫ 𝑦𝑑𝑦 = 𝜎. 4 т Если учесть, что 𝑀пр = 𝐹пр ∙ ℓ , 4 149 то 𝑏ℎ2 𝜎т 𝐹пр = , ℓ а предельно допускаемая (рабочая) нагрузка, определяемая по методу несущей способности 𝐹пр 𝑏ℎ2 𝜎т [𝐹]пр = = . (9.21) [𝑛] ℓ[𝑛] Из сравнения формул (9.20) и (9.21) следует, что при одинаковом коэффициенте запаса допускаемая нагрузка, определенная по методу допускаемых напряжений, в 1,5 раза меньше рабочей нагрузки, определяемой по методу несущей способности. Выигрыш в нагрузке зависит от вида деформации, характеристик поперечного сечения, схемы конструкции и т. д. Наиболее значительный выигрыш в допустимых нагрузках получается для статически неопределимых систем, которые имеют несколько путей передачи нагрузок. Как уже отмечалось, наиболее часто метод расчёта по несущей способности применяют в конструкциях, где нагрузка практически постоянная, т. е. в зданиях, мостах и других сооружениях. Для расчётов деталей механизмов и машин, нагрузки которых имеют, как правило, знакопеременный характер, данный метод не применяется. 150 10. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ 10.1. Понятие об устойчивости сжатых стержней В ряде случаев соблюдение условий прочности и жёсткости еще не гарантирует способность конструкций надёжно выполнять предназначенные им функции. Поэтому наряду с оценкой прочности и жёсткости необходим ещё и анализ устойчивости конструкций. Сжатые тонкие стержни, тонкостенные оболочки под действием внешнего давления, тонкостенные балки при их изгибе и некоторые другие конструкции в определённых условиях могут терять устойчивость, т. е. существенно изменить свою первоначальную форму. В сопротивлении материалов обычно рассматривается только наиболее простая задача об устойчивости центрально-сжатых стержней Рассмотрим достаточно длинный тонкий стержень, сжатый продольной силой 𝑃 (рис. 10.1). Пусть под действием случайной боковой силы Q стержень отклонился от прямолинейного состояния, его точки получили перемещения y. После прекращения действия силы Q в сечениях стержня будут действовать: – момент 𝑀возм = 𝑓(𝑃, 𝑦), стремящийся увеличить прогибы стержня; – момент упругих сил 𝑀упр = 𝑓(𝐸𝐼, 𝜌), стремящийся вернуть стержень в исходное состояние (𝜌 – радиус кривизны оси стержня). Очевидно, что поведение стержня будет зависеть от соотРис. 10.1 ношения моментов Мупр и Мвозм. Здесь возможны три случая. 1. При Мупр > Мвозм после снятия внешнего воздействия стержень возвращается в исходное состояние, его положение устойчиво. Это имеет место, если сила P меньше некоторого значения. 151 2. При Мупр = Мвозм стержень будет занимать положение безразличного равновесия. Если он был прямой, то останется прямым, если его несколько искривить, то он будет оставаться в искривленном состоянии. Сжимающая сила, при которой стержень находится в состоянии безразличного равновесия, называется критической Pкр. 3. При Мупр < Мвозм первоначальные прогибы будут возрастать вплоть до достижения значительных остаточных деформаций или разрушения стержня. Такое состояние имеет место при Р > Pкр. Таким образом стержень при сжатии может представлять устойчивую систему, находиться в состоянии безразличного равновесия или быть неустойчивым. Вид равновесия стержня зависит от величины сжимающей нагрузки. Явление резкого увеличения прогибов (выпучивания) при сжимающем осевом усилии называется потерей устойчивости стержня. Изгиб стержня, связанный с потерей устойчивости прямолинейной формы равновесия, называется продольным изгибом. При работе конструкции потеря устойчивости недопустима, так как даже при незначительном превышении нагрузкой критического значения возникают недопустимо большие прогибы и напряжения. Следовательно, критическое состояние сжатого стержня необходимо рассматривать как предельное. Для обеспечения нормальной работы конструкции рабочая (допускаемая) сжимающая сила должна быть значительно меньше критической. 𝑃раб = [𝑃] = 𝑃кр /𝑛𝑦 , (10.1) где 𝑃кр – критическое значение сжимающей нагрузки; 𝑛𝑦 – коэффициент запаса устойчивости. Численное значение коэффициента 𝑛𝑦 задаётся в нормативных документах. Таким образом, для выполнения расчетов на устойчивость необходимо уметь определять критическую силу. 10.2. Формула Эйлера, пределы её применения Определим значение критической силы для стержня с шарнирно закрепленными концами. Площадь поперечного сечения S, главные моменты инерции сечения Ix и Iy и длина стержня l известны. Будем считать, что под действием критической силы Pкр стержень занимает слегка искривленное положение безразличного равновесия (рис. 10.2). Искривленную ось стержня отнесём к системе координат Оyz. При выводе формулы примем допущения: 152 Рис. 10.2 – прогибы оси малы по сравнению с длинной стержня; – напряжения от сжатия и изгиба стержня не превышают предела пропорциональности. При данных допущениях справедливо уравнение упругой линии изогнутого стержня: 𝐸𝐼𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑦 ′′ = 𝑀(𝑧), (10.2) где 𝐼𝑚𝑖𝑛 – наименьший момент инерции сечения. Допустим, что шарниры сферические и стержень может искривляться в любом направлении. Очевидно, что искривление стержня будет происходить в направлении оси, момент инерции относительно которой будет максимальным. Считаем, что деформация происходит в плоскости чертежа. При рассматриваемом деформировании 𝑀(𝑧) = −𝑃кр ∙ 𝑦, так как при положительных прогибах момент отрицательный и наоборот. Следовательно, дифференциальное уравнение изогнутой оси имеет вид: 𝐸𝐼𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑦 ′′ + 𝑃кр ∙ 𝑦 = 0 (10.3) или 𝑦 ′′ + 𝑘 2 𝑦 = 0, (10.4) где 𝑘 2 = 𝑃кр ⁄𝐸𝐼𝑚𝑖𝑛 . Уравнение (10.4) – однородное дифференциальное уравнение, решением которого, как известно, является гармоническая функция 𝑦 = 𝐴 sin 𝑘𝑧 + 𝐵 cos 𝑘𝑧. (10.5) Постоянные интегрирования А и В должны удовлетворять граничным условиям: при 𝑧 = 0; 𝑦 = 0; при 𝑧 = 𝑙; 𝑦 = 0. Здесь l – длина стержня. Из первого условия 0= 𝐴∙0+𝐵 следует, что 𝐵 = 0. Второе граничное условие приводит к выражению (10.6) 𝐴 sin 𝑘𝑙 = 0. Выражение (10.6) будет справедливо в случаях, когда или А = 0,или sin 𝑘𝑙 = 0. Если допустить, что А = 0 то у ≡ 0. Это решение соответствует одной из возможных форм равновесия сжатого стержня, а именно – прямолинейной 153 форме. Нас же интересует случай, при котором возможна другая форма равновесия – криволинейная. Так как 𝐴 ≠ 0, то при искривленной форме стержня должно выполняться равенство: sin 𝑘𝑙 = 0. Данное равенство выполняется, если: 𝑘𝑙 = 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, … Решение 𝑘𝑙 = 0 не удовлетворяет условию задачи. следовательно, 𝑘𝑙 = 𝑛𝜋, где n – любое целое число. Так как 𝑘 2 = 𝜋 2 𝑛2 ⁄𝑙 2 = 𝑃кр ⁄𝐸𝐼𝑚𝑖𝑛 . то 𝜋 2 𝑛2 𝐸𝐼𝑚𝑖𝑛 𝑃кр = . 𝑙2 Практическое значение имеет минимальное значение критической силы, соответствующее n=1: 𝜋 2 𝐸𝐼𝑚𝑖𝑛 𝑃кр = . (10.7) 𝑙2 Эта формула называется формулой Эйлера. Возвращаясь к уравнению (10.6), получим уравнение изогнутой оси при малых деформациях 𝜋𝑛𝑧 𝑦 = А sin , 𝑙 т. е. в общем случае изогнутая ось стержня представляет собой синусоиду, имеющую n полуволн Минимальной критической силе соответствует синусоида с одной полуволной, т. е. 𝜋𝑧 𝑦 = 𝐴 sin . 𝑙 Формула (10.7) получена для шарнирного опирания обоих концов стержня. Для определения критической силы при произвольном опирании концов стержня вводится понятие приведённой длины 𝑙пр = 𝑙 ∙ 𝜇, где l – фактическая длина стержня; 𝜇 – коэффициент приведения длины. Приведённая длина может быть истолкована как некоторая условная длина шарнирно опёртого стержня, имеющего такую же критическую силу, как и заданный стержень. Значения коэффициента 𝜇 получают при решении дифференциального уравнения упругой оси стержня при соответствующих граничных условиях. 154 C достаточной точностью можно считать, что коэффициент приведения длины обратно пропорционален числу полуволн синусоиды, которое образует ось стержня после потери устойчивости (см. табл.10.1). Таблица 10.1 К определению коэффициента приведения длины Число Схема опирания концов стержня полу 𝜇 волн 1 1 0,5 2 1,5 0,7 2 0,5 При использовании приведённой длины формула Эйлера 𝜋 2 𝐸𝐼𝑚𝑖𝑛 𝑃кр = (10.8) (𝜇𝑙)2 применима для стержней с любыми условиями опирания концов. При сжатии стержня с критической силой в его поперечных сечениях возникают критические напряжения. 2 𝑃кр 𝜋 2 𝐸𝐼𝑚𝑖𝑛 𝜋 2 𝐸𝑖𝑚𝑖𝑛 𝜋 2𝐸 𝜋 2𝐸 𝜎кр = = = = 22 2 = 2 , (10.9) (𝜇𝑙)2 𝑆 (𝜇𝑙)2 ∙ 𝑆 𝜆 𝜇 𝑙 ⁄𝑖𝑚𝑖𝑛 𝐼 где 𝑖𝑚𝑖𝑛 = √ 𝑚𝑖𝑛 – минимальный радиус инерции сечения; 𝑆 𝜆 = 𝜇𝑙 ⁄𝑖𝑚𝑖𝑛 – гибкость стержня. Гибкость стержня – это безразмерная характеристика стержня. Она зависит от длины стержня, условий его закрепления, а также от формы и размеров поперечного сечения. Наряду с модулем упругости, гибкость полностью определяет критические напряжения и, следовательно, величину критической силы, которую способен выдержать стержень. 155 Чем больше гибкость стержня, тем меньше критические напряжения. Формулу (10.9) часто называют гиперболой Эйлера. Интересно отметить, что критические напряжения и, следовательно, критическая сила не зависят от характеристик прочности материала. Так, например, стержень из обычной малоуглеродистой стали с пределом прочности 𝜎в = 400 МПа и из высоколегированной стали с пределом прочности 𝜎в = 1600 МПа при одинаковых размерах и условиях закрепления имеют одинаковую критическую силу. Формула Эйлера получена при условии, что 𝜋 2Е 𝜎кр = ≤ 𝜎пц . (10.10) 𝜆 Однако возможность применения формулы Эйлера часто связывают не с напряжениями, а с гибкостью стержня. Напряжения будут меньше предела пропорциональности, если гибкость будет больше некоторой величины, называемой предельной гибкостью. Е 𝜆 ≥ 𝜆пред = 𝜋√ . 𝜎пц Обратим внимание на то, что гибкость стержня – это характеристика стержня, зависящая от его условий опирания, площади и формы поперечного сечения. Предельная гибкость – это характеристика только материала. Таким образом, формула Эйлера применима лишь в тех случаях, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости для материала, из которого он изготовлен. В качестве примера вычислим значение 𝜆пред для низкоуглеродистой стали Ст. 3, имеющей Е = 2 ∙ 1011 Па и 𝜎пц = 200 ∙ 106 Па: 𝜆пред = 3,14√2 ∙ 1011 /200 ∙ 106 ≈ 100. При практических расчетах обычно находят фактическую гибкость стержня. Если при этом 𝜆 ≥ 𝜆пред , то используют формулу Эйлера. Если же 𝜆 < 𝜆пред , то приходится применять другие методы расчета. 10.3. Определение критических нагрузок за пределами упругости Теоретические решения задачи об устойчивости стержней за пределами пропорциональности достаточно сложны и не привели к простым и надежным результатам. Это объясняется случайным характером упругопластического деформирования, который нельзя описать однозначной математической зависимостью. В связи с этим, для определения критических напряжений при 156 гибкости стержня меньше предельной, используют эмпирические формулы, полученные в результате обработки большого количества опытных данных. На рис. 10.3 выделена область значений критических напряжений в зависимости от гибкости стержня, полученных экспериментально. На этом рисунке видно, что при 𝜆 ≥ 𝜆пред результаты опытов хорошо совпадают с результатами расчетов по формуле (гиперболе) Эйлера. Рис. 10.3 Для определения критических напряжений при 𝜆 < 𝜆пред используется ряд эмпирических формул, представляющих собой линейные, квадратичные и другие зависимости критических напряжений от гибкости стержня. Наиболее часто применяется простая (линейная) эмпирическая формула, предложенная Ф. С. Ясинским: 𝜎кр = 𝑎 − 𝑏𝜆, (10.11) где a и b – константы, имеющие размерность напряжений и зависящие от материала стержня. Так, для малоуглеродистой стали Ст.3 a = 310 МПа, b = =1,14 МПа, для дерева a = 24,3 МПа, b = 0,194 МПа. При некотором значении гибкости (обозначим его 𝜆0 ) величина 𝜎кр , вычисленная по формуле (10.11), становится равной предельному напряжению при сжатии (для пластичных материалов 𝜎кр = 𝜎Т , а для хрупких – 𝜎кр = 𝜎в ). Это означает, что при 𝜆 ≤ 𝜆о явление потери устойчивости перестает быть 157 определяющим фактором, основную роль начинает играть прочность материала. В зависимости от гибкости различают стержни малой (𝜆 ≤ 𝜆0 ), средней (𝜆о < 𝜆 < 𝜆пред ) и большой (𝜆 ≥ 𝜆пред ) гибкости. Таким образом, на полном графике критических напряжений (рис. 10.3) можно выделить три характерных участка. 1. Стержни малой гибкости не теряют устойчивость, их разрушение происходит вследствие общего сжатия. Опасными (критическими) напряжениями для таких стержней следует считать предел текучести или предел прочности, т. е. при 𝜆 ≤ 𝜆0 𝜎кр = 𝜎Т (𝜎кр = 𝜎в ). 2. Для стержней средней гибкости критические напряжения 𝜎т > 𝜎кр > 𝜎пц , они вычисляются по формуле Ясинского: 𝜎кр = 𝑎 − 𝑏λ. 3. Для стержней большой гибкости критические напряжения не превышают предел пропорциональности материала и определяются по формуле Эйлера: 𝜋 2Е 𝜎кр = 2 . 𝜆 10.4. Расчеты на устойчивость с помощью коэффициента продольного изгиба Наряду с расчетами по формуле Эйлера и эмпирическим зависимостям в инженерной практике широко распространены расчеты на устойчивость, по форме аналогичные расчету на простое сжатие. При этом условие устойчивости конструкции записывается в виде: 𝜎 = 𝑃⁄𝑆 ≤ [𝜎]𝑦 , где [𝜎]𝑦 = 𝜎кр ⁄𝑛𝑦 – допускаемое напряжение при расчете на устойчивость. Обычно [𝜎]𝑦 принимают как некоторую часть основного допускаемого напряжения на сжатие для данного материала: [𝜎]𝑦 = 𝜑[𝜎]𝑐 . Здесь 𝜑 ≤ 1 − коэффициент снижения основного допускаемого напряжения на сжатие или коэффициент продольного изгиба; [𝜎]𝑐 – основное допускаемое напряжение на сжатие. Как известно (см. раздел 2), [𝜎]𝑐 = 𝜎пред ⁄𝑛. Так как [𝜎]𝑦 = 𝜑[𝜎]𝑐 = 𝜑 𝜎пред ⁄𝑛 = 𝜎кр ⁄𝑛𝑦 , то 158 𝜎кр ∙ 𝑛 . (10.12) 𝜎пред ∙ 𝑛𝑦 Значения коэффициента φ зависят от материала стержня и от его гибкости. Для ряда материалов, используемых в строительных конструкциях, значения этих коэффициентов включены в строительные нормы и правила (СНиП) в качестве нормативного документа. В связи с этим расчет по коэффициенту φ называют также расчетом по нормам строительного проектирования. Значения коэффициентов φ для некоторых материалов приведены в табл. 10.2. При проведении расчетов для промежуточных значений гибкости допускается линейная интерполяция. Таблица 10.2 Коэффициенты продольного изгиба Материал 𝜑= λ Ст.3 Ст.5 АМг6 Д16Т Чугун Дерево 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 1,00 0,99 0,97 0,95 0,92 0,89 0,86 0,81 0,75 0,69 0,60 0,52 0,45 0,40 0,36 0,32 0,29 0,26 0,23 0,21 0,19 1,00 0,98 0,95 0,92 0,89 0,86 0,82 0,76 0,70 0,62 0,51 0,43 0,38 0,32 0,28 0,26 0,24 0,21 0,19 0,17 0,16 1,00 0,973 0,946 0,89 0,77 0,64 0,543 0,458 0,387 0,322 0,28 0,243 0,213 0,183 0,162 0,148 1,00 0,999 0,998 0,835 0,70 0,568 0,455 0,353 0,269 0,212 0,172 0,143 0,119 0,101 0,087 0,076 1,00 0,97 0.91 0,81 0,69 0,57 0,44 0,34 0,26 0,20 0,16 1,00 0,99 0,97 0,93 0,87 0,80 0,71 0,61 0,49 0,38 0,31 0,25 0,22 0,18 0,16 0,14 0,12 0,11 0,10 0,09 0,08 159 При выполнении расчетов на устойчивость с помощью коэффициентов φ основная расчетная зависимость (условие устойчивости) имеет вид: 𝜎 = 𝑃⁄𝑆 ≤ 𝜑[𝜎]𝑐 . (10.13) Расчет сжатого стержня по формуле (10.13) внешне подобен расчету на растяжение-сжатие, но фактически это расчет на устойчивость, гарантирующий работу стержня с коэффициентом запаса устойчивости, предусмотренным при определении значений φ. Достоинство рассматриваемого метода расчета заключается в его универсальности, поскольку он применим для всех значений гибкости, указанных в таблице коэффициентов φ, т. е. независимо от области применимости формулы Эйлера. Расчет с помощью коэффициента продольного изгиба, как и другие прочностные расчеты, может быть проверочным, проектным или определением допустимой нагрузки. При проведении проверочного расчета: – используя данные о геометрии и условиях закрепления концов стержня, вычисляется его гибкость 𝜆; – по найденному значению 𝜆 определяется величина коэффициента φ; – проверяется, выполнено ли условие устойчивости по формуле 𝜎 = 𝑃⁄𝑆бр ≤ 𝜑 ∙ [𝜎]𝑐 , (10.14) где 𝑆бр – площадь поперечного сечения брутто (без учета местных ослаблений, так как они практически не влияют на устойчивость). Аналогично определяется допустимая (рабочая) нагрузка: – вычисляется гибкость 𝜆 стержня; – определяется значение коэффициента φ; – находится допустимая сжимающая сила [𝑃] = 𝜑 ∙ [𝜎]𝑐 ∙ 𝑆бр . (10.15) При проектном расчете (определении размеров поперечного сечения) необходимо применять метод последовательных приближений, так как в начале расчета значение коэффициента φ, зависящего от гибкости и, следовательно, от размеров поперечного сечения, неизвестно. Алгоритм решения задачи при этом следующий: – задаемся значением коэффициента 𝜑1 первого приближения (например, 𝜑1 = 0,5); – вычисляем потребную площадь сечения 𝑆1 = 𝑃⁄(𝜑1 ∙ [𝜎]𝑐 ); – зная форму и площадь сечения, находим 𝐼𝑚𝑖𝑛1 , 𝑖𝑚𝑖𝑛1 и гибкость 𝜆1 первого приближения; – определяем фактическое значение коэффициента продольного изгиба 𝜑1‘ , соответствующее гибкости 𝜆1 ; 160 – если значение 𝜑1‘ существенно (более чем на 5%) отличается от 𝜑1 , то необходимо выполнять второе приближение, принимая 𝜑2 = (𝜑1 + 𝜑1‘ )⁄2 и выполняя все перечисленные выше операции; – при 𝜑к ≈ 𝜑к‘ (к – количество приближений) проверяется выполнение условия устойчивости 𝜎 = 𝑃⁄𝑆к ≤ 𝜑к‘ [𝜎]𝑐 , (10.16) которое должно выполняться с заданной точностью (например, 5 %). Недогрузка более чем 5 % также не допускается. 161 11. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК 11.1. Основные понятия. Уравнение Лапласа В различных областях техники широко применяются такие детали и элементы конструкций, которые с точки зрения расчета на прочность и жесткость могут быть отнесены к тонким оболочкам. Это цистерны, водонапорные резервуары, газовые балконы, купола зданий и др. Оболочкой называется тело, ограниченное двумя в общем случае криволинейными поверхностями, расстояние между которыми существенно меньше других размеров тела. Существует и другое определение. Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше двух других (длины и ширины). Геометрическое место точек, равно удалённых от обеих поверхностей оболочки, называется серединной поверхностью. Оболочки принято классифицировать по различным признакам. Они бывают: – с постоянной или переменной толщиной; – гладкие или ребристые (с подкреплениями); – тонкостенные или толстостенные. Тонкостенными называют оболочки, если их толщина весьма мала по сравнению с ее радиусами кривизны. При нагружении оболочек возможны два случая напряженного состояния. 1. Нагружение и конструкция оболочки таковы, что нормальные и касательные напряжения остаются постоянными по толщине (рис. 11.1а). В этом случае нормальные напряжения дают равнодействующие Ny и Nх, а касательные усилия – равнодействующие Qx и Qy, которые действуют в серединной плоскости. 2. Нагружение и конструкция оболочки таковы, что нормальные и касательные напряжения не постоянны по толщине, однако меняются по толщине по линейному закону (рис. 11.1б). В этом случае система нормальных напряжений 𝜎𝑦 сводится к продольной (нормальной) силе Ny и изгибающему моменту Mx, система нормальных напряжений σ𝓍 – к продольной силе Nx и изгибающему моменту М𝓎, касательные напряжения τ𝓍𝓎 к крутящему моменту М𝓍𝓎, касательные напряжения τ𝓎𝓏 к поперечной силе 𝑄𝓏 и т. д. Иными словами, во втором случае нагружения в сечении оболочки действуют несколько внутренних силовых 162 факторов, причем некоторые из них представляют собой изгибающий и крутящий моменты. Если при нагружении оболочки в каждой ее точке (на гранях элементарного объема) действуют только усилия N𝓍, и Ny, расположенные в серединной плоскости (нормальные напряжения постоянны по толщине), то напряжённое состояние называется безмоментным. Такое состояние имеет место в осесимметричных тонкостенных оболочках при осесимметричной нагрузке. а) б) Рис. 11.1 В общем случае нагружения оболочки, когда в ее сечениях действуют и силы, и моменты, напряженное состояние называется моментным. Из сказанного вытекает, что для оболочек существуют две теории расчета: моментная и безмоментная. В нашем курсе рассматривается только безмоментная теория расчета, как наиболее простая, однако дающая хорошие результаты при расчетах осесимметричных тонкостенных оболочек (оболочек вращения). Рассмотрим осесимметричную оболочку толщиной h. Обозначим через 𝜌m радиус кривизны дуги меридиального сечения (рис. 11.2а), а через 𝜌т – второй главный радиус, т. е. радиус кривизны окружного сечения, перпендикулярного к дуге меридиана. Этот радиус всегда равен отрезку нормали между серединной поверхностью в рассматриваемой точке и осью симметрии оболочки. Радиусы 𝜌m и 𝜌т в общем случае зависят от выбранной точки оболочки. Двумя парами меридиональных и нормальных конических сечений (рис. 11.2а) выделим из оболочки элемент с размерами dx и dy. Будем считать, что внутри оболочки имеется избыточное давление 𝑝, выделенный элемент нагружен силой 𝑝dxdy . Равновесие выделенного элемента обеспечивается за счет действующих в сечениях напряжений. Напряжения, действующие на горизонтальных 163 сечениях, обозначим через σm (они направлены вдоль меридиана), напряжения, действующие в вертикальных сечениях (в сечениях по меридиану) – через 𝜎т . Напряжения σm называют меридиональными, напряжения 𝜎т – окружными (кольцевыми, широтными). Рассмотрим равновесие выделенного элемента. Для этого спроектируем все силы на нормаль n, проходящую через центр элемента (см. рис. 11.2б, 11.3) В результате получим 𝑑𝜃 𝑑𝜑 𝑝𝑑𝑥𝑑𝑦 − 2𝜎𝑚 ℎ ∙ 𝑑𝑥 ∙ sin − 2𝜎т ℎ ∙ 𝑑𝑦 sin = 0. (11.1) 2 2 Рис. 11.2. Для малых углов 𝑑𝜑 𝑑𝜑 sin = ; 2 2 Кроме того sin 𝑑𝜃 𝑑Ѳ = . 2 2 (11.2) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ; 𝑑𝜃 = . 𝜌т 𝜌𝑚 выражений уравнение равновесия принимает вид: 𝑑𝜑 = С учетом последних (11.3) элемента 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝜎т ℎ𝑑𝑦 = 0. 𝜌𝑚 𝜌т Разделив данное уравнение на hdxdy, получаем: 𝑝𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝜎𝑚 ℎ𝑑𝑥 Рис. 11.3. 𝜎𝑚 𝜎т 𝑝 + = . 𝜌𝑚 𝜌т ℎ (11.4) 164 Выражение (11.4) называется уравнением Лапласа для безмоментных оболочек. Оно используется для расчета напряжений в стенках тонкостенных осесимметричных резервуаров. Уравнение Лапласа содержит два неизвестных, поэтому для определения σm и 𝜎т необходимо использовать еще и условие равновесия части оболочки, отсеченной поверхностью, перпендикулярной меридианам. Если в оболочке находится газ, то величину давления считают постоянной во всех точках поверхности оболочки. Для резервуаров, заполненных жидкостью, давление 𝑝 зависит от высоты столба жидкости, находящейся выше рассматриваемого сечения. 11.2. Напряжения в оболочках, условия их прочности Рассмотрим применение формулы Лапласа для расчета осесимметричных оболочек, нагруженных внутренним избыточным давлением p. Сферическая оболочка. В силу центральной симметрии 𝜌𝑚 = 𝜌т = 𝑅, где R – радиус сферической оболочки. Кроме того, из условий полной симметрии следует, что 𝜎𝑚 = 𝜎т = 𝜎 Следовательно, для рассматриваемой оболочки уравнение Лапласа принимает вид: 𝜎 𝜎 𝑝 2𝜎 𝑝 + = или = . 𝑅 𝑅 ℎ 𝑅 ℎ Таким образом, напряжения в сечениях сферической оболочки, обусловленные действием внутреннего давления p, 𝑝𝑅 𝑝𝐷 𝜎= = , (11.5) 2ℎ 4ℎ где D – диаметр оболочки. Если из оболочки вблизи внутренней поверхности выделить элементарный объем (рис. 11.4), то на его боковых гранях будут действовать напряжения 𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎, а на нижней и верхней гранях – напряжение σ3, равное давлению газа. Так как |𝜎3 | = 𝑝, а 𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎 = 𝑝𝑅⁄2ℎ, то для тонкостенных оболочек, у которых отношение h/R мало, 𝜎 ≫ 𝑝. В связи с этим напряжением σ3 пренебрегают, его принимают равным нулю. При таком допущении материал тонкостенных оболочек находится в плоском напряженном состоянии, прочность оболочек необходимо оценивать по эквивалентным напряжениям. 165 Рис. 11.4 Для сферической оболочки 𝑝𝑅 ; 𝜎3 = 0, 2ℎ поэтому условие ее прочности (по третьей теории) принимает вид: 𝑝𝑅 𝜎экв𝐼𝐼𝐼 = 𝜎1 − 𝜎3 = ≤ [𝜎]. (11.6) 2ℎ К такому же результату приводит для сферической оболочки и четвертая (энергетическая) теория прочности: 𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎 экв𝐼𝑉 = √𝜎12 + 𝜎22 − 𝜎1 𝜎2 = 𝜎 = 𝑝𝑅 ≤ [𝜎]. 2ℎ (11.7) Цилиндрическая оболочка. Пусть имеется цилиндрическая оболочка радиуса R, внутри которой находится газ с избыточным давлением p (рис. 11.5). а) б) Рис. 11.5 Для цилиндрической оболочки 𝜌𝑚 = ∞ ; 𝜌т = 𝑅, поэтому уравнение Лапласа принимает вид: 𝑝𝑅 𝑝𝐷 𝜎т = = . ℎ 2ℎ в) 166 Для определения меридионального напряжения рассмотрим равновесие правой части оболочки (рис. 11.5б). Сумма проекций всех сил на ось оболочки приводит к уравнению −𝜎𝑚 ∙ 2𝜋𝑅 ∙ ℎ + 𝑝𝜋𝑅2 = 0, из которого определяем σm: 𝑝𝑅 𝑝𝐷 (11.8) 𝜎𝑚 = = . 2ℎ 4ℎ В цилиндрической оболочке окружные напряжения в два раза больше меридиональных и в два раза больше напряжений в сферической оболочке с таким же давлением и радиусом кривизны. Так как в цилиндрической оболочке 𝑝𝑅 𝑝𝑅 𝜎1 = 𝜎т = ; 𝜎2 = 𝜎𝑚 = ; 𝜎3 = 0, ℎ 2ℎ то условия прочности цилиндрической оболочки принимают вид: 𝑝𝑅 𝜎экв𝐼𝐼𝐼 = 𝜎1 − 𝜎3 = ≤ [𝜎], (11.9) ℎ 𝑝𝑅 √3 𝜎экв𝐼𝑉 = √𝜎12 + 𝜎22 − 𝜎1 𝜎2 = 𝜎1 = 0,866 ≤ [𝜎]. 2 ℎ Коническая оболочка. Для конической оболочки (рис. 11.6) 𝓇 𝜌𝑚 = ∞; 𝜌т = . cos 𝛼 Следовательно 𝜎т 𝑝 𝑝𝓇 𝓇 = ; 𝜎 = . т ℎ ℎ ∙ cos 𝛼 cos 𝛼 Из условия равновесия отсеченной части оболочки 𝜎𝑚 ∙ cos 𝛼 ∙ 2𝜋𝓇ℎ = 𝑝𝜋𝓇 2 находим меридиональные напряжения 𝑝𝓇 𝜎𝑚 = . 2ℎ ∙ cos 𝛼 Как и для цилиндрической оболочки, для конической оболочки 𝜎т = 2𝜎𝑚 , причем при постоянной толщине оболочки напряжения растут по мере удаления от вершины конуса. Условия прочности конической оболочки аналогичны условиям прочности цилиндрической оболочки (необходимо заменить R на 𝓇/cos𝛼). Полученные формулы для Рис. 11.6 определения напряжений и условия 167 прочности справедливы для оболочек, меридиональное сечение которых не имеет изломов. В местах излома меридиальных сечений напряжения не уравновешивают друг друга, для обеспечения прочности необходимо устанавливать усиливающие кольца (рис. 11.7). Изучение методов расчета так называемых составных оболочек выходит за рамки нашего курса. Рис. 11.7 168 12. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ 12.1. Усталость и выносливость материала Многочисленные опыты и анализ причин поломок различных деталей машин позволили установить, что при переменных нагрузках разрушение деталей происходит при напряжениях, значительно меньше предела прочности, а в ряде случаев и предела текучести материала. Механизм разрушения металлов при переменных нагрузках связан со структурной их неоднородностью, заключающейся в наличии различных случайных включений (так называемых дефектов кристаллической решетки), в случайном характере размеров, ориентации и очертаний отдельных зерен и т. п. Вследствие указанной неоднородности при напряжениях, даже не превосходящих предела пропорциональности, в отдельных, неблагоприятно ориентированных и ослабленных кристаллах, возникают пластические деформации. В случае постоянных напряжений подобные повреждения не опасны, они занимают ничтожную долю поперечного сечения. При многократном нагружении это приводит к появлению микротрещин. Если же напряжения переменны во времени, то количество таких микротрещин по мере повторения нагружений возрастает, происходит их слияние и образование макротрещин. Появление макротрещин в свою очередь вызывает концентрацию напряжений, размеры трещины постепенно возрастают. Когда трещина достигает значительных размеров, реальная площадь поперечного сечения значительно уменьшается, происходит окончательное разрушение детали. Процесс постепенного накопления повреждений, под действием переменных напряжений, приводящий к образованию трещины и к разрушению детали, называется усталостью материала. Свойство материала противостоять усталости называется выносливостью. Большинство ученых и инженеров в XIX веке предполагали, что под влиянием переменных напряжений изменяется структура материала, он становится хрупким. Это предполагаемое изменение структуры материала было названо «усталостью». И хотя в дальнейшем точка зрения на причины разрушения материала изменилась, сам термин сохранился. Теоретический анализ усталостной прочности связан с большими трудностями. Дело в том, что природа усталостного разрушения обусловлена особенностями молекулярного строения вещества. Поэтому схема сплошной среды, которая успешно применяется в большинстве задач сопротивления 169 материалов, в этой области не применима. Для создания достаточно стройной теории усталостной прочности необходимо проникнуть в особенности строения кристаллов и межкристаллических связей. В настоящее время знания строения материалов не позволяют создать надежные методы расчета. В связи с этим методы расчета на усталостную прочность в настоящее время основаны на систематизации экспериментальных данных. 12.2. Цикл напряжений, его параметры Причиной появления переменных напряжений в конструкции, как правило, является периодичность рабочего процесса в механизмах и машинах, а также вращение нагруженных деталей. Так, например, если нагружена ось (рис. 12.1а) вращается с угловой скоростью ω, то какая-то точка сечения поочередно оказывается то в растянутой (нижней), то в сжатой (верхней) половине сечения. Изменение напряжений во времени можно изобразить с помощью графика в координатах t – σ. Обычно предполагают, что закон изменения напряжений во времени характеризуется кривой, имеющей вид синусоиды (рис. 12.1б). Рис.12.1 Рис. 12.2 Если на вращающуюся ось помимо поперечной нагрузки будет действовать и растягивающая сила, не зависящая от времени, то график изменения напряжений будет иметь вид, показанный на рис. 12.2. Совокупность всех значений напряжений за время одного периода называется циклом напряжений. Продолжительность одного цикла напряжений называется периодом Т цикла. 170 Наибольшее по алгебраическому значению напряжение цикла называют максимальным σmax, а наименьшее – минимальным σmin (рис. 12.3) Отношение минимального напряжения цикла к максимальному называют коэффициентом асимметрии цикла напряжений R: 𝜎𝑚𝑖𝑛 𝑅= . 𝜎𝑚𝑎𝑥 Рис. 12.3 Циклы, у которых коэффициенты асимметрии одинаковы, называются подобными. Любой цикл можно также характеризовать его средним напряжением 𝜎𝑚𝑎𝑥 + 𝜎𝑚𝑖𝑛 𝜎𝑚 = 2 (12.1) и амплитудой напряжений 𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛 (12.2) 𝜎𝑎 = . 2 Из (12.1) и (12.2) следует что (12.3) 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑚 + 𝜎𝑎 ; 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎𝑚 − 𝜎𝑎 . Рассмотрим наиболее характерные циклы. Симметричный цикл (рис. 12.4). Для такого цикла характерны следующие соотношения: 𝜎𝑚𝑖𝑛 𝜎𝑚𝑎𝑥 = −𝜎𝑚𝑖𝑛 ; 𝑅 = = −1; 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑚𝑎𝑥 + 𝜎𝑚𝑖𝑛 𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛 𝜎𝑚 = = 0; 𝜎𝑎 = = 𝜎𝑚𝑎𝑥 . 2 2 Пульсирующий (отнулевой) цикл (рис. 12.5). Основным признаком отнулевого цикла является то, что его или минимальные, или максимальные напряжения равны нулю. Для данного цикла 𝜎𝑚𝑖𝑛 𝜎𝑚𝑎𝑥 + 0 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑚𝑎𝑥 − 0 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝑅= = 0; 𝜎𝑚 = = ; 𝜎𝑎 = = . 𝜎𝑚𝑎𝑥 2 2 2 2 171 Циклы напряжений могут быть самыми различными и иметь различные значения коэффициента асимметрии. Постоянная нагрузка может рассматриваться как частный случай периодической с коэффициентом асимметрии R = 1. Любой асимметричный цикл можно рассматривать как сумму симметричного цикла и постоянного напряжения. Рис. 12.4 Рис. 12.5 Иногда помимо коэффициента асимметрии цикла вводят характеристику цикла 𝜎𝑎 𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛 1 − 𝑅 𝜌= = = . 𝜎𝑚 𝜎𝑚𝑎𝑥 + 𝜎𝑚𝑖𝑛 1 + 𝑅 Величины σmax, σmin, σa, σm, R (ϱ) называются параметрами цикла переменных напряжений. Каждый цикл полностью характеризуется двумя любыми из пяти основных параметров. В случае переменных касательных напряжений остаются в силе все приведенные выше термины и соотношения с заменой σ на 𝜏. Как показывают эксперименты, закон изменения напряжений во времени (синусоидальный, пилообразный, в виде прямоугольных импульсов и др.) практически не оказывает влияния на сопротивление усталости, существенны лишь максимальные и минимальные напряжения цикла. Точно так же несущественно влияние частоты изменения напряжений. В итоге для оценки усталостной прочности достаточно знать только 𝜎𝑚𝑎𝑥 , 𝜎𝑚𝑖𝑛 ( или 𝜎𝑚 , 𝜎𝑎 ) и число циклов N. 12.3. Кривая усталости. Предел выносливости Способность материала воспринимать многократное действие переменных напряжений от заданной нагрузки без разрушения называют сопротивлением усталости. Наибольшее напряжение, при котором материал, не разрушаясь, выдерживает определенное число циклов, устанавливают опытным 172 путем. Для этого проводят многочисленные испытания материалов на усталость, для чего разработано много различных типов испытательных машин. Наиболее распространены испытания на одноосное напряженное состояние, создаваемое изгибом при симметричном цикле напряжений. Задавая образцам, различные значения напряжений (σ1 , σ2 , σ3 и σ4, рис. 12.6), определяют число циклов N, необходимое для доведения образца до разрушения. При этом на каждом уровне нагружения испытаниям подвергают несколько образцов, поскольку неизбежен большой разброс в значениях N. Полученную совокупность экспериментальных данных обрабатывают методами математической статистики и строят кривую в координатах 𝜎𝑚𝑎𝑥 – N, называемую кривой усталости (рис. 12.6). Полученная кривая вначале резко идет вниз, а затем становится все более пологой, асимптотически приближаясь к горизонтальной прямой, т. е. при каких-то напряжениях σmax цикла образцы, несмотря на длительность испытания, не проявляют склонности к разрушению. Значит, при некотором числе циклов испытания образцов можно прекратить. Опыт испытания стальных образцов при нормальной температуре показывает, что если образец не разрушился до 107 циклов, то он практически никогда не разрушится. Рис. 12.6 Рис. 12.7 Число циклов, до которого ведется испытание, называют базой испытаний (базовым числом циклов) и обозначают 𝑁0 . Для сталей 𝑁0 ≈ 107 . Однако для некоторых материалов не удается установить такое число циклов, выдержав которое образец не разрушился бы в дальнейшем. Поэтому в подобных случаях базу испытаний увеличивают, например, для цветных металлов и закаленных до высокой твердости сталей 𝑁0 ≈ 108 . Если изготовить из того же материала другую серию образцов и подвергнуть ее испытанию на усталость при каком-либо асимметричном цикле (например, отнулевом), то соответствующая кривая усталости расположится выше полученной при симметричном цикле (рис. 12.7). Следовательно, 173 симметричный цикл является наиболее опасным с точки зрения усталостной прочности. Усталостные кривые позволяют определить основную характеристику сопротивляемости материала циклическим нагрузкам – предел выносливости. Наибольшее максимальное напряжение цикла, при котором еще не происходит усталостное разрушение до базы испытаний, называют пределом выносливости и обозначают 𝜎𝑅 (рис. 12.8). Здесь индекс R указывает значение коэффициента асимметрии цикла. Например, предел выносливости при симметричном цикле обозначают 𝜎−1 , а при отнулевом цикле – 𝜎0 . Наименьший предел выносливости получается при симметричном цикле; для всех других циклов предел выносливости 𝜎𝑅 лежит в интервале между σ−1 и пределом прочности σв . В справочной литературе обычно приводятся значения предела выносливости при симметричном и пульсирующем циклах σ-1 и σ0. Для расчета деталей, не предназначенных на длительный срок службы, вводят понятие ограниченного предела выносливости, обозначаемого 𝜎𝑅𝑁 (рис. 12.7). Под ограниченным пределом выносливости понимают максимальные напряжения цикла, нагруженный которыми образец выдерживает без разрушения заданное число N циклов (𝑁 < 𝑁0 ). На основании экспериментов установлено, что кривая усталости до базового числа циклов описывается уравнением 𝜎 𝑚 ∙ 𝑁 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, где m = 6 – для сталей; m = 9 – для алюминиевых сплавов. Следовательно, для ограниченного предела выносливости справедливо соотношение: 𝑚 𝜎𝑅𝑁 ∙ 𝑁 = 𝜎𝑅𝑚 ∙ 𝑁0 . Отсюда 𝑚 𝜎𝑅𝑁 = 𝜎𝑅 √𝑁0 /𝑁 = 𝜎𝑅 ∙ 𝐾𝐿𝜎 , где 𝐾𝐿𝜎 = 𝑚√𝑁0 /𝑁 – коэффициент долговечности. Когда число N больше базового числа циклов N0, коэффициент долговечности необходимо принять за единицу, так как по определению предел выносливости – это напряжения, при которых образец выдерживает сколько угодно большое число циклов. 12.4. Основные факторы, влияющие на предел выносливости Многочисленными опытами установлено, что предел выносливости зависит не только от свойств материала, из которого изготовлена рассматриваемая деталь, вида нагружения, характера цикла нагружения, 174 но и от конкретных особенностей детали: ее формы, размеров, качества изготовления и способов поверхностного упрочнения. Испытания на выносливость обычно проводят на лабораторных образцах диаметром 5 ... 10 мм, имеющих в пределах рабочей части цилиндрическую форму, поверхность образцов, как правило, шлифуется. Чтобы определить предел выносливости для рассчитываемой детали, надо знать, какое влияние оказывают на него различные факторы. Кратко рассмотрим влияние на предел выносливости концентрации напряжений, абсолютных размеров, состояния поверхности детали и поверхностного упрочнения. Концентрация напряжений. Снижение предела выносливости за счет наличия тех или иных концентраторов напряжений (выточек, отверстий, шпоночных канавок, прессовых посадок и т. д.) учитывается эффективным (действительным) коэффициентом концентрации напряжений, обозначаемым K σ для нормальных и K τ для касательных напряжений. Эффективный коэффициент концентрации напряжений представляет собой отношение предела выносливости образца без концентрации напряжений к пределу выносливости образца тех же размеров, но с концентратором напряжений 𝜎−1 𝜏−1 𝐾𝜎 = ; 𝐾𝜏 = . (12.4) 𝜎−1𝐾 𝜏−1𝐾 Некоторые ориентировочные данные по 𝐾𝜎 и 𝐾𝜏 при изгибе и кручении приведены в табл. 12.1. Влияние абсолютных размеров детали. Снижение предела выносливости с ростом абсолютных размеров детали обусловлено тем, что при этом материал становится менее однородным, возрастает вероятность появления различных внутренних дефектов. Это явление носит название масштабного эффекта (масштабного фактора). Влияние размеров детали учитывается коэффициентом масштабного фактора 𝜎−1𝑀 𝜏−1𝑀 𝐾𝑑𝜎 = ; 𝐾𝑑𝜏 = , (12.5) 𝜎−1 𝜏−1 где 𝜎−1𝑀 – предел выносливости детали больших (реальных) размеров; 𝜎−1 – предел выносливости образцов диаметром 7 . . . 10 мм. Значения коэффициента масштабного фактора зависят от материала детали, ее размеров, вида деформации, наличия концентраторов напряжений и приводятся в справочной литературе. Влияние состояния поверхности детали. Усталостные трещины, как правило, начинаются от поверхности детали. Поэтому состояние поверхностного слоя оказывает существенное влияние на прочность при 175 переменных напряжениях. Риски от механической обработки, повреждения поверхности и т. п. играют роль концентраторов напряжений и могут вызвать Таблица 12.1 Эффективные коэффициенты концентраций напряжений Kσ Kτ 𝜎в , МПа Фактор концентрации напряжений ≤ 700 ≥1000 ≤ 700 ≥1000 Галтель при r/d=0,02 2,5 3,5 1,8 2,1 (D/d=1,25…2) 0,06 1,85 2 1,4 1,43 0,10 1,8 1,6 1,25 1,35 Выточка при r/d 0,02 (t = r) 0,06 0,10 1,9 1,8 1,7 2,35 2 1,85 1,4 1,35 1,25 1,7 1,65 1,5 Поперечное отверстие при a/d=0,05…0,25 Шпоночный паз Шлицы 1,7 1,9 1,65 1,8 Прессовая посадка при p ≥ 20 МПа (без мер, уменьшающих концентрацию) Резьба 1,9 1,7 2 1,75 3 1,4 При расчёте внутреннему диаметру принимать Kσ = Kτ = 1 2,4 3,6 1,8 2 1,7 1,8 1,5 2,4 1,2 по можно 2,5 Примечание. При наличии нескольких концентраторов напряжений в одном сечении в расчёт принимается тот, у которого больше 𝐾𝜎 или 𝐾𝜏 весьма значительное снижение предела выносливости. Особенно неблагоприятное влияние оказывает коррозия поверхности. Влияние качества поверхности детали на предел выносливости учитывают с помощью коэффициента шероховатости поверхности 𝜎−1П 𝜏−1П 𝐾𝐹𝜎 = ; 𝐾𝐹𝜏 = , (12.6) 𝜎−1 𝜏−1 где σ−1П – предел выносливости образцов с заданным состоянием поверхности; σ−1 – предел выносливости образцов со шлифованной поверхностью. Влияние поверхностного упрочнения. Для повышения предела выносливости деталей широко используют различные виды упрочнения их поверхностей. Повышение прочности поверхностного слоя достигается 176 наклепом при дробеструйной обработке или обкаткой роликами, поверхностной закалкой и химико-термической обработкой (цементацией, нитроцементацией, азотированием). Поверхностная обработка создает двоякий эффект. Во-первых, повышается прочность поверхностного слоя, но сохраняется вязкость нижележащих слоев, а, во-вторых, в поверхностном слое создаются остаточные сжимающие напряжения, препятствующие образованию трещин. Влияние данного фактора учитывается коэффициентом влияния поверхностного упрочнения 𝜎−1𝑦 𝜏−1𝑦 𝐾𝑉𝜎 = ; 𝐾𝑉𝜏 = , 𝜎−1 𝜏−1 где σ−1y – предел выносливости упрочненных образцов; σ−1 – предел выносливости стандартных (неупрочненных) образцов. Совместное влияние всех факторов учитывают коэффициентом снижения предела выносливости деталей: 𝐾𝜎 1 1 𝐾𝜏 1 1 (12.7) 𝐾𝜎𝐷 = ( + − 1) ∙ 𝐾𝜏𝐷 = ( + − 1) ∙ . 𝐾𝑑𝜎 𝐾𝐹𝜎 𝐾𝑉𝜎 𝐾𝑑𝜏 𝐾𝐹𝜏 𝐾𝑉𝜏 Для деталей без поверхностного упрочнения ряд авторов рекомендует коэффициент 𝐾𝜎𝐷 определять следующим образом: 𝐾𝜎𝐷 = 𝐾𝜎 ⁄𝐾𝑑𝜎 𝐾𝐹𝜎 . (12.7𝑎) Таким образом, предел выносливости детали при симметричном цикле определяется формулой 𝜎−1д = 𝜎−1 ⁄𝐾𝜎𝐷 . 12.5. Диаграмма предельных амплитуд Для оценки усталостной прочности различных деталей необходимо установить зависимость предела выносливости от характера цикла напряжений. С этой целью из исследуемого материала изготавливают несколько серий совершенно одинаковых образцов, каждую из которых подвергают испытаниям на усталость при цикле с некоторым заданным коэффициентом асимметрии. Например, первая серия образцов испытана при R= –1(σm = 0), по результатам испытаний построена кривая усталости и определено значение предела выносливости 𝜎−1 . Вторая серия образцов испытана при R = –0,5; третья – при R = 0. По результатам испытаний, так же как и в первом случае, построены кривые усталости и определены пределы выносливости. Кроме того, будем считать известным значение предела прочности σв. Его можно для общности рассуждения рассматривать как предел выносливости при R = +1. По полученным данным легко построить диаграмму, т. е. зависимость предельных амплитуд 𝜎𝑎 от принятых средних напряжений цикла 𝜎𝑚 . Примерный характер такой диаграммы, называемой диаграммой предельных 177 амплитуд, для циклов со средними растягивающими напряжениями (𝜎𝑚 > 0) показан на рис. 12.8. Каждая точка кривой ABC диаграммы характеризует какой-то конкретный цикл. Точка А соответствует пределу выносливости при симметричном цикле (𝜎𝑚 = 0; 𝜎𝑎 = 𝜎−1 ); точка С – пределу прочности при растяжении (𝜎𝑚 = 𝜎в ; 𝜎𝑎 = 0); точка В – пределу выносливости при отнулевом цикле (𝜎𝑚 = 𝜎0 /2; 𝜎𝑎 = 𝜎0 /2). Область АBСО соответствует циклам напряжений, безопасным в отношении усталостных разрушений. Рис. 12.8 Однако для пластичных материалов предельное напряжение цикла пред пред пред не должно превышать предела текучести, т. е. 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑎 + 𝜎𝑚 ≤ 𝜎𝑇 . Поэтому из области АСО надо выделить зону, соответствующую циклам с максимальными напряжениями, меньшими предела текучести. Для этого проведем прямую ЕD, отсекающую на осях координат отрезки, равные пределу текучести 𝜎Т (рис. 12.8). Область ALDO является областью, соответствующей безопасным циклам, при которых нет как усталостного разрушения, так и недопустимых остаточных деформаций. 12.6. Запас усталостной прочности и его определение Построенная по экспериментальным данным диаграмма предельных амплитуд позволяет графически определить коэффициент запаса усталостной прочности для рассматриваемого образца из данного материала. Пусть деталь 178 нагружается циклом со средним напряжением σm и амплитудой σa. На диаграмме предельных амплитуд (рис. 12.8) этому циклу соответствует точка М. Проведем из начала координат луч через точку М. Точки этого луча соответствуют подобным циклам, так как для них характеристика 𝜌 = 𝜎𝑎 ⁄𝜎𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (12.8) Цикл, изображенный точкой L, – предельный; напряжение этого цикла, определяемое как сумма абсциссы и ординаты точки L, равно пределу пред пред пред выносливости σmax = σR = σa + σm . Аналогично для заданного цикла максимальное напряжение равно сумме абсциссы и ординаты точки М, т.е. σmax = σa + σm . При условии подобия заданного и предельного циклов, коэффициент запаса усталостной прочности пред пред пред 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑎 + 𝜎𝑚 𝑂𝐿 𝑆𝜎 = = = 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑎 + 𝜎𝑚 𝑂𝑀 определяется на основе измерения соответствующих отрезков. Однако изложенный графоаналитический способ определения коэффициента запаса практически невыполним. Построение диаграммы предельных амплитуд – чрезвычайно трудоемкая и дорогостоящая операция. Поэтому на практике возникает необходимость замены действительных диаграмм упрощенными (схематизированными). Общепринятой является схематизация, при которой кривая АВ (рис. 12.8) заменяется прямой, проходящей через точки 𝐴(0, 𝜎−1 ) и 𝐵(𝜎0 ⁄2, 𝜎0 ⁄2) (схематизация Серенсена-Кинасошвили). Второй прямой, ограничивающей область безопасных циклов, является линия DE, обеспечивающая условие пред σmax ≤ σT . Применение схематизированной диаграммы предельных амплитуд (рис. 12.9) позволяет весьма просто получить формулу для определения коэффициента запаса усталостной прочности при любом цикле напряжений. В рассматриваемом случае по схематизированной диаграмме 𝑆𝜎 = 𝑂𝐿 / 𝑂𝑀. Проведем через точку М прямую A1 M, параллельную прямой АВ. Из подобия треугольников OAL и OA1 M следует, что 𝑆𝜎 = 𝑂𝐿⁄ОМ = 𝑂𝐴⁄𝑂𝐴1 (а) Из рисунка видно, что 𝑂𝐴 = 𝜎−1 ; 𝑂𝐴1 = 𝜎𝑎 + 𝜎𝑚 𝑡𝑔𝛾. Подставив полученные значения в равенство (а) и обозначив 𝑡𝑔𝛾 = Ѱ𝜎 , получим 𝜎−1 𝑆𝜎 = . (б) 𝜎𝑎 + 𝜓𝜎 𝜎𝑚 179 В случае переменных касательных напряжений 𝜏−1 𝑆𝜏 = (в) 𝜏𝑎 + 𝜓𝜏 𝜏𝑚 Величины 𝜓𝜎 и 𝜓𝜏 называются коэффициентами чувствительности к асимметрии циклов напряжений и, как видно из рис. 12.9, находятся по формулам 𝜎−1 − 𝜎0 ⁄2 2𝜎−1 − 𝜎0 2𝜏−1 − 𝜏 (12.9) 𝜓𝜎 = 𝑡𝑔𝛾 = = ; 𝜓𝜏 = . 𝜎0 ⁄2 𝜎0 𝜏0 При определении коэффициента запаса для конкретной детали надо учесть влияние на её выносливость рассмотренных ранее факторов (концентраторов напряжений, масштабного фактора, состояния поверхности) с помощью коэффициента снижения предела выносливости 𝐾𝜎𝐷 (𝐾𝜏𝐷 ). Это достигается тем, что в формуле (б) предел выносливости материала заменяется пределом выносливости детали. Тогда 𝜎−1 𝑆𝜎 = . 𝐾𝜎𝐷 (𝜎𝑎 + 𝜓𝜎 𝜎𝑚 ) Рис 12.9 Опыты показывают, что величина 𝐾𝜎𝐷 (𝐾𝜏𝐷 ) определяется только переменной составляющей цикла напряжений и практически не зависит от величины среднего напряжения. В связи с этим окончательные формулы для определения коэффициентов запаса при расчетах на усталость принимают вид: – при одноосном состоянии, создаваемом при изгибе 𝜎−1 (12.10) 𝑆𝜎 = ; 𝐾𝜎𝐷 𝜎𝑎 + 𝜓𝜎 𝜎𝑚 180 – при растяжении-сжатии 𝑆𝜎 = 𝜎−1𝑝 ; 𝐾𝜎𝐷 𝜎𝑎 + 𝜓𝜎 𝜎𝑚 (12.11) – при чистом сдвиге 𝜏−1 (12.12) . 𝐾𝜏𝐷 𝜏𝑎 + 𝜓𝜏 𝜏𝑚 При циклах с отрицательным средним напряжением (𝜎𝑚 < 0) следует принимать 𝜓𝜎 = 0. Все рассмотренные до сих пор вопросы усталостной прочности относились к случаю одноосного напряженного состояния (растяжение-сжатие, чистый изгиб) или чистого сдвига. Для наиболее часто встречающегося на практике упрощенного плоского напряженного состояния, когда одновременно действуют переменные и нормальные, и касательные напряжения, общепринятой является эмпирическая формула Гафа-Полларда 1 1 1 𝑆𝜎 𝑆𝜏 = + или 𝑆 = (12.13) 𝑆 2 𝑆𝜎2 𝑆𝜏2 √𝑆𝜎2 + 𝑆𝜏2 𝑆𝜏 = где S – искомый запас усталостной прочности; Sσ – запас усталостной прочности в предположении, что нет сдвига (τ = 0); Sτ – запас по касательным напряжениям, установленный в предположении, что σ = 0. Приведенная формула применима не только в случае синфазного изменения σ и τ, но и при таких циклах, когда максимумы σ и τ достигаются неодновременно. При некоторых коэффициентах асимметрии цикла (на рис. 12.9 это область OLD) коэффициент запаса по отношению к пределу текучести может оказаться меньше, чем по отношению к пределу выносливости. Поэтому помимо проверки на усталость обычно выполняют расчет и на статическую прочность. Запас прочности по пределу текучести Sσт = σт ⁄σmax ; Sτт = τт ⁄τmax . (12.14) При плоском напряженном состоянии предварительно определяются эквивалентные напряжения (например, по IV теории прочности) σэквIV = √σ2max + 3τ2max , а затем находится коэффициент запаса Sσт = σт ⁄σэквIV . Рис. 12.10 Пример 12.1. Определить коэффициент запаса в опасном сечении вала с кольцевой выточкой (рис. 12.10). Материал – углеродистая сталь, σв = 500 МПа; σт = 300 МПа; σ−1 = 220 МПа; 181 τв = 260 МПа; τт = 160 МПа; τ−1= 120 МПа. Поверхность шлифована. Действующие переменные во времени моменты равны: Mmax = 5 кНм, Mmin = –1 кНм; Mкma x= 2 кНм, Mкmin= – 0,5 кНм. Размеры: D = 110 мм, d = 90 мм, r = 10 мм. Момент сопротивления изгибу W = 0,1d3 = 0,1 ∙ 93 = 73 см3 , а полярный момент сопротивления Wp = 2W = 2 ∙ 73 = 146 cм3 . Напряжения в опасном сечении: σmax = Mmax ⁄W = 5 ∙ 10−3 ⁄73 ∙ 10−6 = 68,5 ∙ 106 Па = 68,5 МПа; σmin = Mmin ⁄W = −1 ∙ 103 ⁄73 ∙ 10−6 = −13,7 МПа; τmax = Mкmax ⁄ Wp = 2 ∙ 103 ⁄146 ∙ 10−6 = 13,7 МПа; τmin = Mкmin ⁄ Wp = −0,5 ∙ 103 ⁄146 ∙ 10−6 = −3,5 МПа. Находим средние напряжения и амплитуды циклов: σm = σmax + σmin ⁄2 = 68,5 − 13,7⁄2 = 27,4 МПа; σа = σmax − σmin ⁄2 = 68,5 + 13,7⁄2 = 41,1 МПа; τm = τmax − τmin ⁄2 = 13,7 − 3,5⁄2 = 5,1 МПа; τa = τmax − τmin ⁄2 = 13,7 + 3,5⁄2 = 8,6 МПа. По справочным данным находим[8]: – эффективные коэффициенты концентрации напряжений K σ = 1,62 ; K τ = 1,37; – масштабные факторы K dσ = K dτ = 0,72; – факторы шероховатости поверхности K Fσ = K Fτ = 0,93; – коэффициенты чувствительности к асимметрии циклов Ψσ = 0,10; Ψτ = 0,05. Тогда общие коэффициенты снижения предела выносливости вала при симметричном цикле K σD = K σ ⁄K dσ K Fσ = 1,62⁄0,72 ∙ 0,93 = 2,42; K τD = K τ ⁄K dτ K Fτ = 1,37⁄0,72 ∙ 0,93 = 2,04. Коэффициент запаса усталостной прочности по нормальным напряжениям σ−1 220 Sσ = = = 2,15, K σD σa + ᴪσ σm 2,42 ∙ 41,1 + 0,10 ∙ 27,4 а по касательным напряжениям τ−1 120 Sτ = = = 6,74. K τD τa + ᴪτ τm 2,04 ∙ 8,6 + 0,05 ∙ 5,1 Общий коэффициент запаса усталостной прочности Sσ Sτ 2,15 ∙ 6,74 S= = = 2,0. √Sσ2 + Sτ2 √2,152 + 6,742 Эквивалентные напряжения по IV теории прочности σэквIV = √σ2max + 3τ2max = √68, 52 + 3 ∙ 13, 72 = 72,5 МПа. Вычисляем коэффициент запаса по пределу текучести ST = σт ⁄ σэквIV = 300⁄72,5 = 4,1. Этот коэффициент запаса значительно выше, чем по усталостному разрушению, и, следовательно, последнее опаснее, чем возникновение текучести. 182 13. ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ 13.1. Основные понятия До сих пор рассматривалось только статическое действие нагрузки на конструкцию, т. е. предполагалось, что каждая сила, приложенная к конструкции, непрерывно и медленно возрастает от нуля до своего конечного значения, а потом остается постоянной. При таком медленном процессе нагружения силы инерции ничтожно малы, а внутренние усилия нарастают столь же медленно, и поэтому в любое мгновение существует равновесие между внешними и внутренними силами. В действительности же гораздо чаще приходится иметь дело с силами, изменяющими свою величину, положение или направление в короткие промежутки времени. Такие нагрузки называются динамическими. К числу их относятся, например, ударные воздействия на колеса подвески и корпус автомашины или трактора при их движении по неровной поверхности; силы, возникающие в частях конструкции, движущихся ускоренно (детали двигателей, элементы конструкции самолетов и т. п.); ударное действие взрывной волны; вибрационные нагрузки и т. д. Расчет на динамическую нагрузку существенно усложняется по сравнению с расчетом на нагрузку, прикладываемую статически. Причина заключается в более сложных методах определения усилий и напряжений, а также механических характеристик материалов, работающих в условиях динамического нагружения. Рассмотрим три простейшие динамические задачи: расчет конструкций, движущихся с ускорением, расчет простых систем на действие вибрационной нагрузки и расчет на действие удара. 13.2. Расчеты на действие сил инерции Для расчета на прочность деталей, движущихся с ускорением, используют известный из теоретической механики принцип Даламбера, согласно которому всякое движущееся тело можно считать находящимся в состоянии мгновенного равновесия, если к действующим на него внешним силам добавить силы инерции. Силой инерции называют силу, равную произведению массы точки на ее ускорение и направленную противоположно ускорению. Силы инерции являются фиктивными силами, если мы рассматриваем движение в неподвижной системе координат. 183 Расчеты рассмотрим на конкретных примерах. Пример 13.1. Груз G поднимается с ускорением а (рис. 13.1). Найти усилие в канате, пренебрегая его массой. Выделим груз G, разрезав канат. На груз действуют: – сила тяжести G = mg, где g – ускорение силы тяжести, m - масса груза; – сила натяжения каната Т; – сила инерции Ри = –mа. Составим уравнение Σ𝐹𝑘𝑦 = 0: 𝑇 − 𝐺 − 𝑃и = 0. (13.1) и С учетом значений G и 𝑃 , получим: Т - mg - mа = 0, или Т = G (1 + а/g). (13.2) Выражение (13.2) перепишем в виде (13.3) Т = 𝑘𝜕 𝐺, где kд= 1+ а/g – динамический коэффициент. Таким образом, усилие, действующее на конструкцию, движущуюся с ускорением, равно усилию от статической нагрузки, умноженному на динамический коэффициент. Рис. 13.1 Пример 13.2. Определить продольные силы и перемещения сечений вращающегося стержня (рис. 13.2). Площадь поперечного сечения S, масса m, модуль упругости Е, плотность материала стержня 𝜌, длина l и угловая скорость 𝜔 вращения известны. На расстоянии ζ от оси вращения выделим элемент стержня длиной d 𝜉. Его масса 2 𝑑𝑚 = 𝑆𝜌𝑑𝜉, а ускорение 𝑎 = 𝜔 𝜉. Тогда сила инерции, действующая на данный элемент 𝑑𝑃и = 𝑑𝑚 ∙ 𝜔2 𝜉 = 𝑆𝜌𝑑𝜉 ∙ 𝜔2 𝜉, а продольная сила в сечении 𝜉 𝜄 𝜄 𝑆𝜌𝜔2 (𝜄2 − 𝜉 2 ) 𝑁(𝜉) = ∫ 𝑑𝑃и = ∫ 𝑆𝜌𝜔2 𝜉𝑑𝜉 = = ; 2 𝜉 𝜉 Максимальное значение продольной силы будет при 𝜉 = 0 и примет значение 𝑆𝜌𝜔2 𝑙 2 𝑁𝑚𝑎𝑥 = = 𝑚𝜔2 𝑙⁄2. 2 На расстоянии Ѱ от оси вращения выделим элемент стержня длиной d 𝜓. При вращении он растягивается силой N(𝜓) и удлиняется на величину 𝑁(𝜓)𝑑𝜓 𝑑𝜆 = . 𝐸𝑆 Перемещение произвольного сечения, удаленного от оси вращения на расстояние 𝜓, Ѱ 𝜓 𝑁(𝜓)𝑑𝜓 𝑑𝜓 𝜆(𝜓) = ∫ = ∫ 𝑆𝜌𝜔2 (𝑙 2 − 𝜓2 ) = 𝐸𝑆 𝐸𝑆 Рис.13.2 = 2 3⁄ 𝜌𝜔2 (𝑙 2 Ѱ − 2𝐸 𝜓3 3 ) . При 𝜓 = 𝑙 𝜆𝑚𝑎𝑥 = 𝜌𝜔 𝑙 3𝐸 . Эпюры продольной силы N и перемещений сечений 𝜆 показаны на рис. 13.2. 184 Пример 13.3. Найти напряжения в тонком кольце радиуса R (рис. 13.3а), равномерно вращающемся вокруг оси, перпендикулярной его плоскости. Интенсивность равномерно распределенной инерционной нагрузки по длине кольца q = 𝑆𝜌𝜔2 𝑅, где S – площадь поперечного сечения кольца; 𝜌 – плотность материала; 𝜔 – угловая скорость вращения. Рассекая кольцо по диаметру, заменим действие нижней половины двумя растягивающими силами Р (рис. 13.3б). Нагрузка, приходящаяся на элемент дуги длиной ds = Rd𝜑, будет qds = qRd𝜑. Приравняв нулю сумму проекций всех сил, приложенных к полукольцу на ось, параллельную силам Р, получим 𝜋 2 𝜋 − 2 2𝑃 − ∫ Рис. 13.3 + 𝑞𝑅𝑑𝜑 cos 𝜑 = 0. После интегрирования получаем, что 2Р=2qR. Растягивающая сила P = qR = 𝑆𝜌𝜔2 𝑅 2, а растягивающие напряжения 𝑃 𝑆𝜌𝜔2 𝑅 2 𝜎= = = 𝜌𝜔2 𝑅 2 . 𝑆 𝑆 13.3. Колебания простейших упругих систем Колебания упругих систем и соответствующие динамические перемещения и напряжения имеют большую практическую важность. Из курса теоретической механики известно, что всякое упругое тело или система тел, после вывода их из состояния равновесия, способны совершать свободные колебания. Эти колебания сразу после возникновения (например, при ударе) могут иметь весьма большие амплитуды. В дальнейшем свободные колебания затухают. Тем не менее при всяком инженерном расчете необходимо определять частоты свободных колебаний упругих систем, так как они существенно влияют на амплитуды вынужденных колебаний. Ограничиваясь рассмотрением только малых колебаний упругих систем около положения равновесия, будем считать, что между динамическими перемещениями и соответствующей нагрузкой существует прямая пропорциональность. Рассмотрим свободные колебания систем с одной степенью свободы, т. е. систем, у которых перемещения всех точек в любой момент времени t можно выразить через перемещения одной точки. Вот примеры таких систем: 1) Невесомая балка (рис. 13.4а), несущая один сосредоточенный груз (массу). При любом отклонении массы в главной плоскости от положения равновесия прогибы балки полностью определяются величиной прогиба под грузом. 185 Под этот случай приближенно подойдет и реальная весомая балка с одним грузом, если ее собственная масса значительно меньше, чем масса груза. Балка, несущая n сосредоточенных грузов, имеет n степеней свободы, а балка с распределенной массой – бесконечное множество степеней свободы. 2) Невесомая пружина с грузом (рис.13.4б). Перемещения всех точек пружины можно выразить через перемещения груза. 3) Невесомый вал (рис. 13.4в), Рис. 13.4 закрепленный на одном конце и несущий массивный шкив или же вал с двумя шкивами. Углы поворота всех сечений вала полностью определяются через угол поворота шкива. Уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы, (например, колебаний груза на балке (рис. 13.4а)), записывается в виде d2y/dt2 + k2y = 0, (13.4) где y – отклонение массы от положения равновесия; 𝑘 = √𝑐/𝑚 – круговая частота свободных колебаний (число колебаний за 2𝜋 секунд). Здесь c – жесткость системы, т.е. сила, вызывающая отклонение от положения равновесия, равное единице длины; m – масса колеблющегося груза. Преобразуем выражение частоты, для чего обозначим перемещение массы m от приложенной к ней единичной силы через 𝛿 (рис. 13.5а). Данная величина характеризует податливость упругой системы, она обратно пропорциональна жесткости (с = 1/𝛿). Тогда k = √1/(𝑚𝛿). (13.5) Вместо массы колеблющегося груза иногда удобнее рассматривать его вес P = mg. В этом случае формула для определения частоты свободных колебаний принимает вид: 𝒈 𝒌=√ . (𝟏𝟑. 𝟔) 𝑷𝜹 Знаменатель выражения под корнем равен статическому перемещению упругой системы от силы P, обозначим его через yст. (рис. 13.5б). Окончательно получаем: 𝒌=√ 𝒈 . 𝑦𝑐𝑚 (13.7) 186 Рис. 13.5 Формула (13.7) пригодна для определения частоты свободных колебаний любой системы с одной степенью свободы независимо от вида совершаемых ею колебаний — линейных, угловых и т. п. Вычисление частоты сводится к вычислению статического перемещения системы под действием веса колеблющегося груза. Переходим к вычислению амплитуд вынужденных колебаний под действием периодической силы 𝑄(𝑡) = 𝑄0 𝑠𝑖𝑛 𝑝𝑡, (13.8) где р – частота изменения нагрузки. Под действием такой нагрузки система совершает вынужденные колебания, уравнение которых имеет вид: 𝑑2𝑦 𝑄0 2 + 𝑘 𝑦 = sin 𝑝𝑡. (13.9) 𝑑𝑡 2 𝑚 Решение данного уравнения представляет собой сумму свободных колебаний с частотой k и вынужденных колебаний с частотой p. Практическое значение имеют только вынужденные колебания, так как свободные с течением времени затухают. Обозначая 𝑞 = 𝑄0 /𝑚, запишем закон движения массы m при установившихся вынужденных колебаниях 𝑞 𝑦= 2 sin 𝑝𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑝𝑡, 𝑘 − 𝑝2 где 𝐴 = 𝑞⁄(𝑘 2 − 𝑝2 ) амплитуда вынужденных колебаний. Преобразуем последнее выражение: 𝑞 1 𝑄0 1 1 𝐴= 2 = 𝑚𝛿 ; 𝐴 = 𝑄 𝛿 . 𝑝 2 𝑝 2 𝑝 2 𝑘 𝑚 |1 − (𝑘) | |1 − (𝑘) | |1 − (𝑘) | Амплитуда А имеет смысл динамического перемещения под действием периодической нагрузки Q (t). Произведение 𝑄0 𝛿 = ∆𝒄𝒎 представляет собой статическое перемещение системы, которое получилось бы от статического приложения силы 𝑄0 . Таким образом, можно записать 1 𝑦дин = ∆𝒄𝒎 = 𝑘𝜕 ∆𝒄𝒎 . (13.10) 𝑝 2 |1 − ( ) | 𝑘 187 Здесь 𝑝 2 𝑘𝜕 = |1 − ( ) | (13.11) 𝑘 – динамический коэффициент (коэффициент динамичности) при вынужденных колебаниях. Следовательно, амплитуда вынужденных колебаний зависит не только от величины нагрузки и жесткости системы, но и от соотношения между частотами нагрузки и свободных колебаний системы. На рис. 13.6 показан график зависимости 𝑘𝜕 от отношения этих частот. Из графика видно, что: а) при весьма малой частоте нагрузки амплитуда равна статическому перемещению (𝑘𝜕 ≅ 1); б) при приближении к совпадению частот (р ≈k) амплитуды существенно возрастают. Это случай резонанса, представляющий особую опасность для конструкции; в) при весьма большой частоте нагрузки (по сравнению с частотой свободных колебаний) амплитуда стремится к нулю, т.е. система под действием высокочастотной нагрузки практически не совершает колебаний. В системах с одной степенью свободы динамический коэффициент (13.11) может быть использован и для вычисления напряжений при вынужденных колебаниях с помощью следующих формул: 𝜎𝜕ин = 𝑘𝜕 𝜎𝑐𝑚 ; 𝜏дин = 𝑘𝜕 𝜏𝑐𝑚 , (13.12) где 𝜎𝑐𝑚 , 𝜏𝑐𝑚 – соответственно нормальные и касательные напряжения в конструкции при статическом приложении силы 𝑄0 . Очевидно, крайне нецелесообразно допускать эксплуатацию конструкций в зоне резонанса, так как обеспечение прочности при этом потребует значительного перерасхода Рис. 13.6 материала. Необходимо добиваться исключения самой возможности резонанса путем изменения либо частоты нагрузки, либо частоты свободных колебаний (отстройка от резонанса). Изменения последней возможно за счёт изменения как массы, так и жесткости конструкции. Запретной резонансной зоной следует считать область значений 𝑝⁄𝑘 = 0,75 … 1,20, что соответствует значениям 𝑘𝜕 > 2,5. Пример 13.4. Посредине длины двутавровой балки №27 (I = 5010 см4, W = 371 см3), имеющей пролет 𝑙 = 4 м, установлен неуравновешенный двигатель весом Р = 35 кН, совершающий 550 об/мин (рис. 13.7). Двигатель дaeт вертикальную составляющую центробежной силы, меняющуюся по закону синуса с амплитудой 𝑄0 = 6 кН. Найти 188 амплитуду вынужденных колебаний, наибольшие динамические напряжения, а также наибольшие и наименьшие напряжения в балке с учетом веса двигателя. Находим статические прогибы посредине пролета от сил Р и 𝑄0 : 𝑃𝑙 3 35 ∙ 103 ∙ 43 ∙ 102 𝑦𝑐𝑚 = = = 0,466 см; 48𝐸𝐼 48 ∙ 2 ∙ 105 ∙ 106 ∙ 5010 ∙ 10−8 𝑄0 𝑙 3 6 ∙ 103 ∙ 43 ∙ 102 ∆𝑐𝑚 = = = 0,080 см. 48𝐸𝐼 48 ∙ 2 ∙ 105 ∙ 106 ∙ 5010 ∙ 108 Частоту свободных колебаний найдем по формуле (13.7): k=√ g 981 рад =√ = 45,9 . 𝑦𝑐𝑚 0,466 с Круговая частота нагрузки 𝜋𝑛 3,14 ∙ 550 = = 57,6 рад/с. 30 30 По (13.11) находим динамический коэффициент 1 1 𝑘𝜕 = = = 1,74. 2 p 57,6 2 |1 − (k) | |1 − (45,9) | 𝑝= Амплитуда вынужденных колебаний 𝑦дин = 𝐴 = 𝑘𝜕 ∆𝑐𝑚 = 1,74 ∙ 0,080 = 0,14 см. Найдем наибольшие напряжения. Максимальный изгибающий момент от веса двигателя М = Рl/4 = 35 ∙4/4 = 35 кНм, а соответствующие ему напряжения 𝜎 = М/𝑊 = 35 ∙ 103 /(371 ∙ 10−6 ∙ 106 ) = 94,3 МПа. Найдем напряжения от вибрационной нагрузки, ведя расчет по формуле (13.12): 𝜎𝑐𝑚 = 𝑄0 𝑙⁄4𝑊 = 3 = 6 ∙ 10 ∙ 4/(371 ∙ 10−6 ∙ 106 ) = 16,2 МПа, 𝜎дин = 𝑘𝜕 𝜎𝑐𝑚 = 1,74 ∙ 16,2 = 28,2 МПа. Таким образом, напряжения в нижней точке сечения балки изменяются в следующих пределах: 𝑚𝑖𝑛 𝜎 = 𝜎 − 𝜎дин = 94,3 − 28,2 = 66,1 мПа; 𝑚𝑎𝑥 𝜎 = 𝜎 + 𝜎дин = 94,3 + 28,2 = 122,5 МПа. Поскольку отношение р/к = 57,6/45,9 = 1,25, работа системы происходит вне запретной резонансной зоны (рис. 13.6), отстройку от резонанса производить не требуется. Рис. 13.7 13.4. Расчеты на действие удара Удар возникает при падении одного тела на другое, вследствие чего возникает ударная нагрузка, которая прикладывается за очень короткий промежуток времени. Скорость ударяющего груза изменяется за весьма короткий промежуток времени от некоторого конечного значения до нуля. Когда скорость становится равной нулю, деформация конструкции (бруса) и 189 напряжения, возникающие в ней, достигают своих наибольших значений. Затем происходят затухающие колебания системы и груза. Через некоторое время устанавливается состояние статического равновесия, при котором деформации конструкции и напряжения в ней равны деформациям и напряжениям, возникающим при статическом приложении веса упавшего груза. Система, подвергающаяся удару, может испытывать различные виды деформации: сжатие (рис. 13.8а), изгиб (рис. 13.8б), кручение с изгибом (рис. 13.8в) и др. Целью расчета конструкции на удар является определение наибольших деформаций и напряжений, возникающих в результате удара. В общем виде расчеты на удар достаточно сложны. Практически обычно пользуются приближенной теорией, полученной при следующих допущениях: – материал конструкции работает в пределах упругих деформаций; – работа сил тяжести падающего груза полностью переходит в потенциальную энергию деформации конструкции; – масса конструкции (бруса) на первом этапе расчета не учитывается; – удар считается абсолютно неупругим; – направление перемещений при ударе считается совпадающим с направлением удара. Рассмотрим свободное падение груза Р на конструкцию с высоты h. Скорость его падения перед ударом будет 𝑉 = √2𝑔ℎ. Под действием удара конструкция деформируется, точка удара перемещается на расстояние yд (рис. 13.8). При этом полная работа падающего груза равна 𝐴 = 𝑃(ℎ + 𝑦д ), (13.13) где уд – перемещение, вызванное ударной нагрузкой. Согласно теореме Клапейрона, потенциальная энергия деформированной ударом конструкции 𝑃д ∙ 𝑦д (13.14) 𝑊= , 2 где 𝑃д – «динамическая» сила, т. е. сила, приложение которой к конструкции вызывает перемещение 𝑦д . Для конструкции, которая деформируется по линейному закону 𝑃д (13.15) 𝑦д = , или 𝑃д = с𝑦д , 𝑐 где 𝑐 – коэффициент жесткости упругой системы (численно равный силе, вызывающей единичное перемещение). Следовательно, с ∙ 𝑦д2 (13.16) 𝑊= 2 190 Приравняем работу А потенциальной энергии W: Рис. 13.8 𝑐𝑦д2 𝑃(ℎ + 𝑦д ) = . (13.17) 2 Умножим выражение (13.17) на множитель 2/с. Так как P/c = ycт, то данная формула принимает вид: 𝑦д2 − 2𝑦ст уд − 2уст ℎ = 0. Решение этого квадратного уравнения дает уд = уст + √у2ст + 2уст ∙ ℎ. Уравнение (13.18) можно переписать иначе уд = уст (1 + √1 + (13.18) 2ℎ ). уст Величину, стоящую в скобках, называют динамическим коэффициентом и обозначают 𝐾𝑑 : 𝐾𝑑 = 1 + √1 + 2ℎ . уст (13.19) Итак, для определения наибольших перемещений, напряжений и внутренних силовых факторов при действии удара надо найти эти величины при статическом действии силы Р на конструкцию и затем умножить их на 𝐾𝑑 . Следовательно, у𝑑 = уст К𝑑 ; (13.20) 𝜎𝑑 = 𝜎ст К𝑑; 𝑀𝑑 = 𝑀ст К𝑑 . 191 Из формулы (13.19) видно, что 𝐾𝑑 возрастает с ростом высоты падения h. При достаточно большой высоте h падения груза по сравнению со статической деформацией уст в формуле (13.19) единицы можно опустить. В этом случае 2ℎ К𝑔 ≅ √ . уст (13.21) В другом частном случае, при h = 0, 𝐾𝑑 = 2. Это значит, что при внезапном приложении нагрузки деформации конструкции и напряжения в ней вдвое больше, чем при статическом действии той же нагрузки. В полученных выше формулах не учтена масса конструкции, которая испытывает удар. Поэтому эти формулы дают завышенные значения искомых величин. Массу конструкции можно учесть, если принять ее сосредоточенной в точке удара. Обозначим через m массу ударяющего тела, через М – массу конструкции (бруса) и через V – скорость массы m перед ударом. Количество движения рассматриваемой системы перед ударом равно mV. После соударения массы m и М приобретают общую скорость V1, количество движения рассматриваемой системы будет (m+M)V1. По закону сохранения количества движения mV = (m+M)V1. Поэтому 𝑚𝑉 𝑉1 = . 𝑚+𝑀 Кинетическая энергия конструкции после удара будет (𝑚 + 𝑀)𝑉12 (𝑚 + 𝑀)𝑚2 𝑉 2 𝑚𝑉 2 1 = = . 2 2(𝑚 + 𝑀)2 2 1+𝑀 𝑚 Без учёта массы конструкции кинетическая энергия рассматриваемой системы была 𝑚𝑉 2 ⁄2. Следовательно, в предыдущий вывод вместо величин 𝑉 2 или ℎ = 𝑉 2 ⁄2𝑔 нужно подставить величины 𝑉2 𝑉2 𝑉2 ℎ или ℎ = = = . 𝑀 2𝑔 2𝑔 (1 + 𝑀 ) 1 + 𝑀 1+ 𝑚 𝑚 𝑚 В таком случае формула (13.19) запишется так: К𝑔 = 1 + √1 + 2ℎ 1 ∙ , уст (1 + 𝑀 ) (13.22) 𝑚 В действительности масса ударяемой конструкции не сосредоточена в точке удара, как это было предположено при выводе формулы (13.22), а распределена по всему объему. Следовательно, амортизирующее действие массы конструкции будет меньше. Формула для определения коэффициента 𝐾𝑑 будет: 192 𝐾𝑑 = 1 + √1 + 2ℎ 1 ∙ , уст (1 + 𝑘 𝑄𝑜 ) (13.22а) 𝑃 где Qо – вес ударяемой конструкции; P – вес падающего груза; k – коэффициент приведения массы. Для определения коэффициента приведения массы необходимо знать уравнение упругой линии деформированной ударом конструкции. При расчетах балок с постоянным поперечным сечением обычно принимают: – k = 0,33 при продольном ударе; – k = 0,24 для случая удара по концу консоли; – k = 17/35 для удара в середину пролета двухопорной балки. Пример 13.5. На середину пролета стальной двутавровой балки № 22а падает с высоты h = 10 см груз Р = 1000 Н (рис. 13.9). Определить наибольшее динамическое напряжение в балке, если модуль упругости материала Е = 2,1 106 МПа Рис. 13.9 Для двутавра № 22а из справочника находим: 𝐼𝑥 = 2790 см4 ; 𝑊𝑥 = 254 см3 . Статический прогиб 𝑃ℓ3 1000 ∙ 23 𝑦ст = = = 2,48 ∙ 10−5 м = 0.00288 см. 48𝐸𝐼𝑥 48 ∙ 2.1 ∙ 1011 ∙ 2790 ∙ 10−8 Динамический прогиб 𝑦𝑔 = 𝑦ст 𝐾𝑑 = 𝑦ст (1 + √1 + 2ℎ 2 ∙ 10 ) = 0,00288 (1 + √1 + ) = 0,242см. 𝑦ст 0,00288 Динамическое напряжение 𝜎𝑔 = 𝜎ст ∙ 𝐾𝑑 = 𝑃ℓ 1000 ∙ 2 2 ∙ 10 𝐾𝑑 = (1 + √1 + ) = 168МПа. −6 4𝑊𝑥 4 ∙ 254 ∙ 10 0,00288 Пример 13.6. На стальную двутавровую балку № 30 длиной 3 м посередине пролета с высоты h = 0,15 м падает груз весом Р = 1000 Н (рис. 13.10). Определить максимальные прогиб и напряжение без учета и с учетом массы балки. Е = 2,1∙106 МПа. 1. Без учета массы. Для двутавра № 30 находим: 𝐼𝑥 = 7080 см4 ; 𝑊𝑥 = 472 см3 . Масса одного метра балки 𝑞 = 36,5 кг⁄м, вес всей балки 𝑄0 = 𝑞 ∙ 𝑙 ∙ 𝑔 = 36,5 ∙ 3 ∙ 9,81 = 1074 Н. 193 Рис.13.10 Статический прогиб 1000 ∙ 23 = 3,78 ∙ 10−5 м = 0,00378 см. 48 ∙ 2,1 ∙ 1011 ∙ 7080 ∙ 10−8 Динамический коэффициент 𝑦ст = К𝑔 = 1 + √1 + 2ℎ 2 ∙ 15 = 1 + √1 + = 90,5 𝑦ст 0,00378 Динамически прогиб 𝑦𝑔 = 𝑉ст 𝐾𝑔 = 0,00378 ∙ 90,5 = 0,342см. Динамическое напряжение 𝑃ℓ 1000 ∙ 3 𝜎𝑔 = 𝜎ст ∙ 𝐾𝑔 = 𝐾𝑔 = ∙ 90,5 = 1,6 ∙ 106 ∙ 90,5 = 145 МПа. 4𝑊𝑥 4 ∙ 472 ∙ 10−6 2.Решение с учетом массы. Коэффициент динамичности определяем по формуле (13.22а): К𝑔 = 1 + √1 + 2ℎ 1 2 ∙ 15 ∙ = 1 + 1 + = 73. √ 17 1074 𝑦ст (1 + 17 ∙ 𝑄𝑜 ) 0,00378 (1 + ∙ ) 35 𝑃 35 1000 Динамический прогиб 𝑦𝑔 = 𝑦ст 𝐾𝑔 = 0,00378 ∙ 73 = 0,276см. Динамическое напряжение 𝜎𝑔 = 𝜎ст ∙ 𝐾𝑔 = 1,6 ∙ 106 ∙ 73 = 116 МПа. Как видно из результатов расчета, учет массы ударяемой конструкции позволяет существенно уточнить фактическое нагружение конструкции . 194 ЛИТЕРАТУРА 1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа, 2008. – 560 с. 2. Вольмир А.С., Григорьев Ю.П., Марьин В.А. и др. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов. – М.: Издательство МАИ, 1997. – 352 с. 3. Ицкович Г.М. Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа, 1998. – 368 с. 4. Константинов И. А., Лапин В. В., Лапина И. И. Строительная механика: учебник. – М.: Проспект, 2011. – 432 с. 5. Минин Л.С., Хроматов В.Е., Самсонов Ю.П. Расчетные и тестовые задачи по сопротивлению материалов. – М.: Высшая школа, 2003. – 229 с. 6. Петрухин Г.Г. Техническая механика. Часть 2. Сопротивление материалов. – Новогорск: АГЗ, 2000. – 160 с. 7. Семин М. И. Основы сопротивления материалов. – М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2004. – 255 с. 8. Сопротивление материалов / Под ред. Писаренко Г. С. – 5-е изд. – Киев: Выща школа, 1986. –775 с. 9. Сопротивление материалов /Н. А. Костенко, С. В. Балясникова, Ю. Э. Волошановская и др.; Под ред. Н. А. Костенко. – М.: Высшая школа, 2007. – 488 с. 10. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 592 с. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 3 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ .................................................................................... 5 1.1. Основные понятия и задачи сопротивления материалов ......................... 5 1.2. Основные допущения .................................................................................. 8 1.3. Внутренние силы. Метод сечений. Внутренние силовые факторы ........ 10 1.4. Напряжения, перемещения, деформации .................................................. 13 2. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ ................................................... 17 2.1. Эпюры продольных сил ............................................................................... 17 2.2. Напряжения и деформации при растяжении (сжатии). Закон Гука ........ 20 2.3. Диаграммы растяжения (сжатия) материалов ........................................... 25 2.4. Основные механические характеристики материалов ............................. 28 2.5. Условие прочности при растяжении (сжатии). Допускаемые напряжения .................................................................................. 30 2.6. Работа внешних сил и потенциальная энергия деформации ................... 32 3. НАПРЯЖЁННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ...... 36 3.1. Виды напряжённых состояний. Главные площадки и главные напряжения ........................................................................................ 36 3.2. Линейное напряжённое состояние ............................................................. 38 3.3. Плоское напряжённое состояние ................................................................ 39 3.4. Прямой и обратный круги Мора ................................................................. 40 3.5. Объемное напряжённое состояние ............................................................. 43 3.6. Деформации при объёмном напряжённом состоянии. Обобщённый закон Гука..................................................................................... 44 3.7. Энергия деформации при сложном напряжённом состоянии ................. 45 3.8. Понятие о сдвиге. Чистый сдвиг ................................................................ 47 3.9. Зависимость между упругими постоянными материала .......................... 49 3.10. Основные теории (гипотезы) прочности ................................................. 50 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ ................................ 55 4.1. Статические моменты сечений ................................................................... 55 4.2. Моменты инерции сечений ......................................................................... 56 4.3. Моменты инерции относительно параллельных осей .............................. 60 4.4. Моменты инерции при повороте осей. Главные моменты инерции ....... 60 4.5. Радиусы инерции сечений ........................................................................... 62 5. КРУЧЕНИЕ .......................................................................................................... 64 5.1. Понятие о кручении. Эпюры крутящих моментов ................................... 64 5.2. Напряжения и деформации при кручении ................................................. 66 5.3. Расчёт валов на прочность и жёсткость ..................................................... 69 5.4. Энергия деформации при кручении ........................................................... 71 5.5. Понятие о кручении некруглых стержней ................................................. 72 6. ИЗГИБ БРУСА ..................................................................................................... 76 6.1. Виды изгиба .................................................................................................. 76 6.2. Внутренние силовые факторы при изгибе, их взаимосвязь .................... 77 6.3. Нормальные напряжения при чистом изгибе ............................................ 81 6.4. Касательные напряжения при поперечном изгибе ................................... 84 6.5. Расчёты на прочность при изгибе ............................................................... 87 6.6. Перемещения при изгибе. Уравнение упругой линии ............................. 91 6.7. Потенциальная энергия деформации при изгибе ..................................... 93 7. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ............. 96 7.1. Общие положения ........................................................................................ 96 7.2. Теорема Кастильяно ..................................................................................... 97 7.3. Интеграл Мора .............................................................................................. 99 7.4. Способ Верещагина...................................................................................... 102 7.5. Теорема о взаимности работ и перемещений ............................................ 105 7.6. Перемещения, вызываемые действием температуры............................... 107 8. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ....................................................................... 110 8.1. Косой изгиб ................................................................................................... 110 8.2. Внецентренное растяжение (сжатие) ......................................................... 114 8.3. Изгиб с кручением валов круглого поперечного сечения ....................... 117 9. РАСЧЁТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ. МЕТОД СИЛ ........................................ 122 9.1. Классификация стержневых систем ........................................................... 122 9.2. Расчет статически определимых ферм....................................................... 123 9.3. Особенности расчета статически определимых рам ................................ 127 9.4. Расчёт статически неопределимых систем ................................................ 131 9.4.1. Основные понятия ................................................................................. 131 9.4.2. Степень статической неопределимости .............................................. 133 9.4.3. Канонические уравнения метода сил .................................................. 135 9.4.4. Основные этапы расчёта....................................................................... 138 9.4.5. Определение перемещений в статически неопределимых системах ............................................................................... 145 9.5. Понятие о расчётах по несущей способности ........................................... 146 10. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ................................................... 150 10.1. Понятие об устойчивости сжатых стержней ........................................... 150 10.2. Формула Эйлера, пределы её применения .............................................. 151 10.3. Определение критических нагрузок за пределами упругости .............. 155 10.4. Расчёты на устойчивость с помощью коэффициента продольного изгиба .... 157 11. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК ..................................................... 161 11.1. Основные понятия. Уравнение Лапласа .................................................. 161 11.2. Напряжения в оболочках, условия их прочности ................................... 164 12. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ ...................................... 168 12.1. Усталость и выносливость материала ...................................................... 168 12.2. Цикл напряжений, его параметры ............................................................ 169 12.3. Кривая усталости. Предел выносливости ................................................ 171 12.4. Основные факторы, влияющие на предел выносливости ...................... 173 12.5. Диаграмма предельных амплитуд ............................................................ 176 12.6. Запас усталостной прочности и его определение ................................... 177 13. ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ................ 182 13.1. Основные понятия ...................................................................................... 182 13.2. Расчеты на действие сил инерции ............................................................ 182 13.3. Колебания простейших упругих систем .................................................. 184 13.4. Расчеты на действие удара ........................................................................ 188 ЛИТЕРАТУРА ......................................................................................................... 194