Социально-экономические отношения

Конспекты лекций  Введение   Предмет и актуальность курса   Усложнение социально-экономических отношений современного общества затрудняет процессы адекватного и своевременного принятия решений и выбора стратегий. Возникает необходимость количественного анализа возникающих ситуаций. Такой анализ может осуществляться на базе экономических моделей, сконструированных на математическом языке. Особенно бурно это направление развивается вследствие доступности компьютеров и гибкости их применения. Экономические модели сегодня – рабочий инструмент анализа и прогноза социально-экономических процессов. В странах с развитой экономикой, а также в планетарном масштабе (ООН) в обязательном порядке при принятии решений используются количественные модели, анализирующие внутригосударственную и межгосударственную экономики, глобальные процессы развития общества, возможные последствия, сценарии развития. Модель – формальное описание объекта. Как правило, здесь формальным языком количественного описания объекта выступает математика. Учитывая сложность социально-экономических моделей, большой объем и разнообразие исходной информации, на практике обычно используются компьютеры для конкретных расчетов. Однако даже при наличии готовых программных пакетов, которые предлагаются на рынке для моделирования социально-экономических процессов, необходимо понимать структуру моделей, внутреннюю взаимосвязь параметров, возможности и ограничения в применении предлагаемых методов и программ. Настоящий курс дает возможность студентам освоить основы моделирования, изучить основные классические подходы конструирования социально-экономических моделей, самостоятельно построить и проанализировать некоторые из них. Знание в области экономического моделирования – необходимый стандарт современного специалиста, так или иначе связанного с социальными и экономическими проблемами. Можно сказать, что данный курс служит междисциплинарным мостом между классической математикой и экономикой в целях количественного анализа и прогноза социально-экономических ситуаций.   Взаимосвязь с другими дисциплинами   Прежде чем приступить к данному курсу, обучаемый должен освоить: 1) основы функционирования экономики (макроэкономика, микроэкономика); 2) математику. Поскольку базовая математическая подготовка обучаемого не всегда в полной мере соответствует вузовскому стандарту, в данном курсе используется минимальный математический аппарат. В тоже время сохранен уровень количественного описания, усилен понятийный аспект изложения, модели и примеры доведены до конкретного числового анализа. Знания, полученные после освоения настоящего курса, могут быть использованы при работе с экономическими прикладными пакетами программ на компьютере, при конструировании собственных моделей, в частности в дипломной и научных работах. Творческое освоение курса позволяет на практике проводить количественный анализ возникающих экономических проблем, исследовать возможные сценарии развития событий и их вероятности реализации, делать прогноз.   Примеры выполнения самостоятельных работ   Особенность данного курса заключается в том, что он содержит достаточное количество самостоятельных работ, которые необходимо выполнить письменно и предоставить преподавателю. Каждая самостоятельная работа – это небольшая количественная модель. Обучаемому присваивается номер N, который он получает вместе с методическим пособием. Именно это число используется при выполнении самостоятельной работы. Например, студент получил цифру 8,5, значит N = 8,5. Пусть в задании записано: количество продаваемых телевизоров Y зависит от цены р по следующей формуле: . Обучаемый подставляет N = 8,5 и получает конкретную зависимость объема реализации товара от цены для дальнейших расчетов. Все расчеты надо выполнять с точностью до двух знаков после запятой. Самостоятельные работы необходимо оформить письменно в тетради и сдать на проверку преподавателю. Условие каждой самостоятельной работы записывается полностью. Решение излагать ясно, по возможности давать экономическую интерпретацию. На обложке тетради необходимо указать наименование предмета, номер N, список тем сделанных самостоятельных работ, а также фамилию, имя, отчество, специальность, номер зачетной книжки учащегося, название учебного заведения.   Темы самостоятельных работ   1.      Построение графиков и качественный анализ экономических функций. 2.      Предельный анализ функции спроса. 3.      Оценка влияния вариации факторов на результаты исследований. 4.      Построение производственной функции Кобба-Дугласа. 5.      Предельный анализ производственной функции. 6.      Масштаб и экономическая эффективность производства. 7.      Оптимальное поведение фирмы на рынке. 8.      Межотраслевой баланс. 9.      Моделирование поведения потребителя на рынке. 10.    Паутинообразная модель. 11.    Простые операции на финансовом рынке. 12.    Имитационное моделирование методом Монте-Карло. 13.    Элементы системной динамики. 14.    Динамическая модель Солоу. 15.    Модель Лоренца. 1. Общие принципы моделирования   Понятие модели   Наиболее общее понятие модели (лат. Modulus – мера, образец) – мысленный или другой образ объекта, аналог. Ниже в качестве объекта выступает социально-экономический объект или процесс. Если такой объект описывать только мысленным образом, то часто такой образ будет “размыт”, в нем будут отсутствовать должная строгость и четкая структура. Такая мысленная модель с трудом “переваривает” количественные категории, может меняться в зависимости от времени, настроения. В науке модель – формальное описание объекта. Поскольку формальным языком выступает математика, то говорят об экономико-математическом моделировании. Такие модели более четкие в силу формализации, здесь внутренняя структура модели проверяется на непротиворечивость. Модель включает в себя количественные параметры; им (параметрам) можно придавать конкретные значения и сравнивать результаты моделирования с поведением изучаемого объекта. Это позволяет проверить модель на адекватность (соответствие, верное воспроизведение) изучаемому процессу или, по крайней мере, на правдоподобность. Такую модель легко реализовать как компьютерную модель. Особенно это целесообразно сделать, когда число входящих в конструкцию модели параметров много и (или) ее структура достаточно сложна. При всем многообразии подходов для построения экономико-математических моделей существуют общие принципы конструирования, которые изложены ниже.     Объект и модель   В любом случае построению модели предшествует изучение объекта, в данном случае (социально-) экономического процесса. Поэтому необходимы ясное понимание объекта исследования и внутренних взаимосвязей, четкое выделение определяющих параметров. Здесь главную роль играют достижения экономической науки. Безусловно, исследователь должен знать объект моделирования, обладать навыком, опытом, интуицией, соответствующей эрудицией и культурой. При построении моделей часто используют готовые соотношения и зависимости, например из рыночной экономики, имеющей более чем столетний опыт применения математических методов для анализа конкретных экономических процессов. В этом случае исследователь должен понимать границу применимости используемых уравнений для сохранения адекватности модели тем экономическим явлениям, которые исследуются. Отсюда видно, что модельер должен одновременно владеть экономикой и математическими методами. В социологии (лат. Societas – общество), науке об обществе как целостной системе, применить количественные методы сложнее, чем в экономике, поскольку возникают проблемы с введением определяющих параметров и способов количественного их измерения. Хотя и выделяется отдельная отрасль – социометрия, здесь успехи в области моделирования более скромны, чем в экономике. Экономика прошла длинный путь, чтобы выделить удобные определяющие параметры для количественного описания отдельных эффектов и механизмов более общих экономических процессов. Достигнуты определенные успехи, в частности в изучении равновесия и динамики рынка, теории производства и теории потребления. Как правило, экономические законы записываются в виде алгебраических (статика) или дифференциальных (динамика) соотношений. Таким образом, отметим важность следующей проблемы. Нужно понимать и четко представлять рамки применимости построенной социально-экономической модели в пространстве и во времени, когда модельная ситуация соответствует изучаемому процессу с нужной степенью: надежности и точности. Иначе модель и ее предполагаемые результаты можно возвести до абсолютной истины и придать им некий фатально-мистический смысл.     Параметры модели   Моделирование – это по существу схематизация изучаемого явления с помощью выделения основных факторов и их взаимосвязей, влияющих на изучаемый процесс, построения простых образов. Основа построения модели – правильный выбор основных параметров, что определяет в большей степени успех при схематизации явления. Единых правил тут нет. Надо хорошо знать объект моделирования, иметь необходимую практическую и теоретическую подготовку, то есть надо глубоко прочувствовать и проникнуть в суть закономерностей и внутренних связей реального объекта, что в итоге позволит упростить и формализовать процесс. Элементарные экономические взаимосвязи обычно задаются функциональной зависимостью. Это простейшие модели. Более глубокие исследования позволяют выводить законы. Под законами в науке понимаются фундаментальные взаимосвязи, полученные на основе наблюдений и (или) обработки реальных данных.     Пример модели, оценивающей выгоду высшего образования   Интерес к получению высшего образования, кроме престижа и социального статуса, имеет четкий экономический смысл. Проведем количественные оценки выгоды на основе следующей модели. Введем определяющие параметры: Е – плата за обучение за год, k – число лет учебы, откуда общая стоимость учебы равна kЕ. Пусть средний годовой доход работника без высшего образования равен Р, с высшим образование больше и равен Р + Р (здесь Р – приращение дохода за квалификацию). В течение k лет учебы студент недополучает сумму kР, которую зарабатывает его сверстник, пока идет процесс обучения. Обозначим t – число лет после окончания вуза, переменная величина. Суммарный доход специалиста с высшим образование с учетом затрат на учебу равен (P + ΔP)t – kE. В это же время доход сверстника без высшего образования Pk + Pt = (t + k)P. Из неравенства (P + ΔP)t – kE  (t + k)P найдем число лет после окончания вуза, когда образование начнет приносить доход. После простых преобразований имеем . Из формулы видно, что экономически выгодно заканчивать вуз быстрее. Данный пример затрагивает только финансовые аспекты. Модель можно усложнить, учитывая вероятность получения работы, инфляцию и другие показатели, например качество образования и его связь с уровнем дохода.     Размерные и безразмерные параметры   Численные значения выделенных параметров, как правило, зависят от того, в каких единицах они измеряются. Например, числовое значение фиксированной суммы денег в рублях, долларах или фунтах будет разное. Величина, которая зависит от принятых единиц измерения или от заданных масштабов, называется размерной, или именованной величиной. Такая зависимость от единиц измерения не всегда бывает удобной, поэтому используются также величины, значения которых не зависят от выбранных единиц измерения. Такие величины называются безразмерными. Ярким примером безразмерных величин в экономических моделях служат относительные величины, измеряемые по традиции и удобства в процентах. Так, если мы заработную плату менеджера увеличим на 20%, то рассчитанная новая заработная плата будет определяться только начальной и не будет зависеть от единиц измерения. Если начальную сумму в рублях увеличить на 20% и результат перевести в доллары, то полученная сумма будет также на 20% больше начальной в долларах. Пусть заработная плата менеджера в 3,7 раза больше заработной платы охранника. Это отношение не зависит от выбора системы измерения (марки, рубли, доллары), хотя каждая отдельная заработная плата будет менять свое численное значение. Таким образом, отношение заработных выплат является безразмерной величиной.     Проблемы измерений параметров   Для количественного анализа модели необходимо экзогенным (внешним) и эндогенным (внутренним) параметрам придать численные значения. Здесь возникает проблема измерения. Изначально экономика возникла на понятийном качественном уровне, который является фундаментом для перехода на количественный уровень – математическому моделированию. Процесс перехода от качественных характеристик к количественным есть не формальный процесс, а сочетание знания предмета исследования, интуиции и математических методов. Параметры, входящие в модель, должны быть измерены. Измерение – “узкое” место в экономических и особенно в социальных науках. Здесь методы и результаты легко поддаются справедливой критике с точки зрения точности и даже достоверности. Измерение (сбор данных) – это процесс познания, в котором путем эксперимента (наблюдений) данная величина сравнивается со значением, принятым за единицу сравнения. В социально-экономических науках лучше говорить о наблюдениях и сборе данных, чем об эксперименте, поскольку в последнем предполагается возможность повторить наблюдаемые условия многократно (например, лабораторный опыт). Таким образом, измерение ниже - это количественное выражение параметров объекта. В экономике принято различать два основных способа измерений по способу выбора показателя (единицы сравнения). 1.      Стоимостной показатель – наиболее универсальный показатель, связан с деньгами – стоимостной единицей сравнения. Например, трубы, электродвигатели оцениваются в рублях. Несмотря на универсальность этого показателя при его применении возникают проблемы, например при инфляции, с учетом ликвидности и т.д. 2.      Натуральный показатель составляет основу разработки материальных балансов. Например, трубы измеряются в погонных метрах, электродвигатели по суммарной мощности – в киловаттах. Такой подход удобен при комплектации изделия (1 кинескоп, 16 конденсаторов, 2 трансформатора и т.д. …для производства телевизора). В социальных процессах процедура измерения часто более расплывчата, поскольку входящие в модель определяющие параметры имеют малую количественную определенность. Успех часто зависит от степени понимания и изученности объекта. В условиях большой неопределенности удобно использовать шкалы. Это инструмент измерений разной подробности от степени знаний. Рассмотрим три шкалы в порядке возрастания подробностей: Номинальная шкала: здесь параметр принимает два значения (принцип – да, нет). Например, четыре кандидата баллотируются на президентский пост. Первый – нет, второй – да, третий – нет, четвертый – нет. Это означает, что второй кандидат стал президентом. Ранжирная (порядковая) шкала: здесь параметры можно упорядочить в порядке возрастания. В примере с четырьмя кандидатами в президенты перенумеруем кандидатов в порядке, соответствующем набранному на выборах количеству голосов: 1)      второй; 2)      первый; 3)      четвертый; 4)      третий. Интервальная шкала: такая шкала соответствует приданию количественного значения рассматриваемому параметру. В данном случае нужно показать, сколько голосов набрал каждый кандидат, например, второй – 2355 тыс., первый – 2103 тыс., четвертый – 1211 тыс., третий – 427 тыс. голосов.     Классификация социально-экономических моделей   Существует много вариантов классификации моделей в зависимости от объекта исследования, методов анализа. (С подобными классификациями можно ознакомиться в учебниках по социологии и экономике.) Приведем довольно общий подход, основанный только на временных и пространственных масштабах изучаемого явления. Модели делят на статические (не зависящие от времени) и динамические (параметры такой модели – функции времени). Как правило, статические модели описывают баланс, равновесие системы и сводятся к системе алгебраических уравнений или имеют вид таблиц. Динамические модели часто называют прогностическими. Они описывают развитие процесса во времени и сводятся к анализу систем дифференциальных или рекуррентных соотношений. Динамические модели более богатые по содержанию по сравнению со статическими, но более сложные. Они разделяются по глубине временного прогноза на краткосрочные (оперативные), среднесрочные (тактические) и долгосрочные (стратегические). Аналогично физике, временные и пространственные масштабы взаимосвязаны через скорость проистекания процесса. Поэтому с учетом временной глубины прогноза можно поставить в соответствие микромоделирование (предприятие, рынок), макромоделирование (отрасль, страна, рынки) и глобальное моделирование (масштаб планеты). В последнем случае появляются новая проблема ограниченности ресурсов планеты, рост населения, и в центр внимания попадают экологические проблемы. Решить в какой-то степени экологические проблемы, значит продлить проживание и существование человечества на планете. Вполне вероятно, что решение социально-экономических экологических проблем станет центральной задачей человечества в ХХI веке.     2. Функции в социально-экономических исследованиях   Понятие функциональной зависимости   При изучении данного процесса на первом этапе выделяются определяющие параметры. Однако наблюдения и практика показывают, что параметры изменяются не зависимо друг от друга, а связаны между собой определённым образом. При моделировании эти связи формализуют в виде функциональной зависимости. Например, пусть Y – объём продаж товара, p – цена на этот товар. Функциональная зависимость записывается в виде Y = f(p), где p – независимая переменная (фактор, аргумент), Y – зависимая переменная (результат, функция). Функцию задают различными способами. Наиболее часто – в виде формул или таблиц, например:  или Y, тыс. шт. p, руб. 17,2 4,3 19,1 3,9 21,4 3,7     Примеры функциональной зависимости в экономическом моделировании   Рассмотрим примеры наиболее часто встречающихся функций. Производственная функция (функция выпуска) связывает объём выпускаемой продукции с потребляемыми ресурсами. Например, Y = Y(K, L); здесь Y – объём выпускаемой продукции, K – объём используемого капитала, L – количество единиц затрачиваемого труда (живой труд), который тоже может исчисляться в стоимостном выражении. В данном случае производственная функция (ПФ) называется двухфакторной, поскольку зависит от двух аргументов. На практике при моделировании отдельной отрасли, региона или страны часто используют ПФ следующего вида: Y = AKL1-, где параметры А, a – положительные, причем 0    1. Такая функция называется ПФ Кобби-Дугласа по имени американских математика Кобби и экономиста Дугласа, предложивших её использовать в 1928 году. Функция издержек показывает зависимость объёма затрат (издержек) от объёма выпускаемой продукции. Обычно полные затраты Z(Y) cепарируются на постоянные ZП = const, не зависящие от объёма выпускаемой продукции, и переменные затраты ZПер(Y), являющиеся функцией Y – объёма выпускаемой продукции. Например, для функции Z(Y) = aY2 + bY + c получаем ZП = c, ZПер(Y) = aY2 + bY. Функция спроса и предложения связывает величину спроса (предложения) на товар Yc от комплекса факторов (цена, количество, …и т.д.). Например, функция спроса Yc(p) = Ce-p (здесь C, β – положительные параметры, p – цена на товар) показывает, как спрос убывает с ростом цены. Функция предложения YП(p)является возрастающей, поскольку продавец заинтересован (в отличие от покупателя) в  росте цены. Например, YП(p) = Mp, где М – положительный параметр. Функция выручки (дохода) определяет полученный доход от объёма реализованного товара и цены за единицу этого товара. Таким образом, функция выручки W(YC, p) имеет вид: W(YC, p) = YCp. В частности, для заданной функции спроса имеем зависимость только от цены: W(p) = Cpe-p. Анализ этой формулы показывает, что существует оптимальная цена на товар, при которой выручка будет максимальна. При увеличении этой цены выручка упадёт вследствие уменьшения спроса, при уменьшении – из-за недополучения денег за каждую единицу продукции. Функция прибыли определяется как разность между функцией выручки и функцией издержек, Pr = W – Z. В случае конкретного вида формул получим: Pr(Y, p) = Cpe-p – (aY2 + bY + c). Функция полезности количественно в относительных единицах показывает потребительскую оценку (пользу) данного набора благ. Часто эту функцию используют в виде логарифмической зависимости. Пусть U = U(n) – функция полезности автомобиля в семье, где n – число автомобилей задано в виде U = ln(n + 1). Полезность данного автомобиля в семье равна U(1) = ln 2  0,69. Полезность двух автомобилей в семье равна U(2) = ln 3  1,10. Рассмотрим, во сколько раз первый приобретённый автомобиль приносит больше пользы семье, чем последующий. Приращение полезности от первого автомобиля 0,69 – 0 = 0,69, приращение полезности от второго приобретённого автомобиля 1,10 – 0,69 = 0,41, отсюда первый автомобиль полезнее второго в 0,69/0,41  1,7 раза. Легко подсчитать, что приращение полезности от третьего приобретённого автомобиля будет меньше, чем от второго.     Самостоятельная работа № 1 Построение графиков и качественный анализ экономических функций   Построить графики функций, единицы измерения условные: 1.    Функцию постоянных, переменных и полных издержек в одной системе координат Z(Y) = (1 + N)Y2 + 3Y + (N + 5). 2.    Функцию спроса и предложения (в одной системе координат) . 3.    Функцию выручки . Графически приближённо оценить цену, при которой выручка максимальна. Качественно описать поведение функции в зависимости от изменения фактора. Дать экономическую интерпретацию.     Элементы предельного анализа функции   Поведение функции y = f(x) исследуется в математике методами дифференциального исчисления. В социально-экономических исследованиях также широко применяется этот математический аппарат, и это направление носит название предельного анализа. В частности, здесь исследуются рост или убывание результата (функции) от изменения фактора, нахождения максимумов (минимумов) функции в задачах оптимизации. Рассмотрим для простоты функцию одной переменной y = f(x). Здесь, вообще говоря, функция и аргумент, размерные величины. Абсолютным приращением результата вследствие изменения фактора на величину x называется величина y = f(x + x) – f(x). Размерность абсолютного приращения совпадает с размерностью результата. Если при y > 0 абсолютное приращение положительно, то функция возрастающая, при y < 0 – убывающая. Не всегда в практических приложениях удобно пользоваться размерными величинами, поэтому удобно ввести безразмерные характеристики – относительные приращения результата и аргумента . Поскольку изменения часто меньше своей величины во много раз, то есть y << y, в социально-экономических приложениях широко используют понятие процентов (сотой части целого), умножая относительные приращения на 100. Отсюда получаем относительные изменения величин в процентах: . Средняя скорость изменения функции на интервале  характеризует, как быстро меняется результат при изменении аргумента. Производная функции  показывает скорость изменения функции в точке. Операция дифференцирования (нахождения производной) меняет размерность результата. Размерность  равна отношению размерности функции к размерности аргумента. В экономике и социологии это создаёт ряд неудобств, учитывая многообразие входящих в модели размерностей (рубли, число голосов на выборах, кВт – часы, тонны, кв. метры жилья…). Поэтому вводится понятие безразмерной производной, или эластичности. Средней эластичностью называется отношение относительного приращения функции к относительному приращению аргумента . Естественно, что эластичностью (мгновенной) называется величина . Эластичность имеет ясный экономический смысл. Она показывает, на сколько процентов изменится результат, если фактор изменить на один процент, поскольку . Классическую производную  в социально-экономических исследованиях интерпретируют так. Она показывает, насколько изменится результат, если аргумент изменить на 1 единицу, так как: Однако формально с математической точки зрения это выполняется только при линейных соотношениях, поскольку в общем случае:     Самостоятельная работа № 2 Предельный анализ функции спроса   Дана функция спроса в виде . Цена товара po = 0,2 ден. ед. Предполагается увеличить цену до p1 = 0,25 ден. ед. Рассчитать абсолютные и относительные приращения результата и фактора, средние и мгновенные скорости изменения объёма продаж, эластичность. Дать экономическую интерпретацию каждой рассчитанной характеристике, а также записать их размерности (считаем, что объём продаж измеряется в тыс. шт.). Напомним здесь также следующую табличную производную (eax) = aeax.     Взаимосвязь факторов. Элементы детерминированного факторного анализа   Социально-экономические модели сложны, результаты исследований зависят от многих факторов, причём эти факторы по-разному могут влиять на исследуемую функцию. Для простоты рассмотрим два фактора: y = f(x1, x2). При исследовании раздельного влияния факторов широко используется понятие дифференциала, или главной линейной части приращения функции. Напомним, что  В частности, при малых приращениях аргумента dy  y, то есть дифференциал показывает приближённое приращение результата. Понятно, что приращение результата только вследствие изменения первого фактора , второго фактора . К сожалению, вследствие приближённости формул в общем виде не выполняется свойство аддитивности, то есть y  y1 + y2. Здесь y = f(x1 + x1, x2 + x2) – f(x1, x2), y1 = f(x1 + x1, x2) – f(x1, x2), y2 = f(x1, x2 + x2) – f(x1, x2). Однако при малых значениях x1, x2 можно приближённо записать y  y1 + y2. Рассмотрим пример применения такого подхода. Пусть объём продаж Y зависит от потребительских качеств u и цены товара в следующем функциональном виде . На рынок поступает товар по цене p0 = 5 ден. ед. и c потребительскими качествами u0 = 7 отн. ед. Предлагается новый товар для замещения предыдущего, у которого потребительские качества выше, u1 = 9 отн. ед., но цена p1 = 6 ден. ед. Проанализировать ситуацию с помощью изложенного метода.   ,   Таким образом, Y  Y1 + Y2 = -4,16 + 5 = 0,94 больше нуля, значит, будет рост объёма продаж, несмотря на повышение цен. Точный расчёт показывает, что это действительно так, поскольку Y(p0, u0) = 41,59, Y(p1, u1) = 41,87 точное приращение объёма продаж 0,28. Расчёт частных дифференциалов показывает, какая зависимость от факторов – положительная или отрицательная: а также степень зависимости. В данном случае видно, что рост цены практически полностью перекрывает положительные потребительские качества. Продемонстрируем на примере очень простой метод цепных подстановок, используемый на практике. Основная идея метода состоит в разложении полного приращения функции на части. Пусть для функции y = f(x1, x2) начальные значения аргументов ; текущие . Тогда Из формулы видно, что приращение по первому аргументу берётся в конечной точке, а по второму – в начальной. Аргументы неравноправны. К сожалению, это не единственный недостаток. Данное разложение неоднозначно. Можно записать . Рассмотрим пример применения метода цепных подстановок для функции выручки W(p, Y) = pY1, где начальные значения аргументов p0 = 7 ден. ед./шт., Y0 = 50 тыс. шт. Текущее значение факторов p1 = 8 ден. ед./шт., Y1 = 55 тыс. шт. Ясно, что выручка выросла с W0 = 350 тыс. ден. ед. до W1 = 440 тыс. ден. ед. Определим раздельное влияние факторов – что сильнее повлияло на рост выручки, цена или объём продаж. Методом цепных подстановок получаем: Для обоих вариантов расчёта видно, что влияние роста объёма продаж на выручку больше, чем фактора цены. То же получается с использованием частных дифференциалов:     Самостоятельная работа № 3 Оценка влияния вариации факторов на результаты исследований   Выручка W = pY выросла за исследуемый период времени вследствие роста цен и объёма продаж, данные приведены в табл. 1. Таблица 1   Цена, ден. ед./шт. Объём продаж, тыс. шт. Начальное значение 120 + N 200 + 10N Текущее значение   Исследовать влияние факторов на результат дифференциальным методом (частные дифференциалы) и методом цепных подстановок (два способа). Сравнить и обсудить результаты. 3. Моделирование производства. Производственная функция   Идеология построения модели   При изучении экономических процессов бывает выгодно не учитывать внутреннюю структуру производства. Гораздо проще получить отчётные данные по укрупнённым агрегированным экономическим показателям, например объем произведённого продукта Y, объем рабочей силы L (живой труд), объём основных фондов (капитал, накопленный труд) K. Особенно это удобно в макроэкономике, когда в качестве экономического агента при рассмотрении выступают отрасль или государство. Рассмотрим производство как процесс, в котором предприятие затрачивает ресурсы: здесь труд L (например, число рабочих, человеко-часов) и капитал К (основные фонды). В результате выпускается продукт, обозначим его объем через Y. Определим производственную функцию как функцию, определяющую связь между затраченными ресурсами и произведённым продуктом: Y = F(K, L). Удобство такого подхода – его простота, так как само производство здесь выступает как “чёрный ящик”, на входе которого ресурсы, на выходе - произведённый продукт. В зависимости от целей исследования в качестве Y может выступать валовой, конечный продукт, ВВП, ВНП, ВРП. Технология производства этого продукта – вне границ данного подхода.     Производственная функция   Конкретный вид производственной функции (ПФ) выбирается из компромисса правдоподобного описания экономических механизмов и математической простоты. Простейший вариант такой функции - линейная производственная функция (производственная функция с полным взаимозамещением ресурсов): Y = a1K + a2L, где a1, a2 – положительные константы. Линейная ПФ носит, скорее, учебный характер. Мультипликативная ПФ задается выражением Y = AKL. Здесь A называется коэффициентом нейтрального технического прогресса, ,  – коэффициенты эластичности по труду и капиталу. Если  +  = 1, то мультипликативная ПФ носит название функции Кобба-Дугласа, поскольку впервые такой подход был выработан в 1928 г. американцами – экономистом Дугласом и математиком Коббом. Авторы на основе статистических данных за 1899-1924 гг. по обрабатывающей промышленности США показана, что средняя производительность труда Y/L связана со средней фондовооруженостью K/L следующим соотношением: Y/L = 1,01(K/L)0,25, откуда производственная функция имеет следующий конкретный вид: Y = 1,01K0,25L0,25. Если  +  > 1, то выпуск растет быстрее затраченных ресурсов (растущая экономика), если  +  < 1, то потребление ресурсов неэффективно, в случае ПФ Кобба-Дугласа соблюдается пропорциональный рост на масштаб ресурса. Мультипликативная ПФ имеет ряд замечательных свойств, которые соответствуют реальной экономике. Из экономических соображений ясно, что чем больше труда L и чем больше затрачено капитала K, тем больше продукции на выходе. Математически это выглядит так: , . Экономический смысл этих неравенств – увеличение ресурса приводит к увеличению конечного продукта. Отсюда ясно, почему в приведенном примере константы положительны. В теории производства сформулирован закон убывающей предельной производительности. Суть его в том, что при монотонном увеличении ресурсов скорость роста объема продукции будет уменьшаться, то есть: , . В силу простоты подхода, результативности и удобства производственные функции привлекли широкое внимание экономистов. В прикладных исследованиях широко используется функция Кобба-Дугласа в виде Y = AKL, где A > 0,  +  = 1, 0    1, 0    1. Практическое построение ПФ осуществляется с помощью временного ряда выпуска и затрат методами эконометрики.     Элементы эконометрики   В экономике часто приходится иметь дело с большим объемом однородных числовых данных. Тогда трудно уловить тенденции поведения системы и сформулировать результаты. В этом случае удобно “сжать” информацию, для чего используются методы статистики. Наиболее простой подход – расчет средних величин (математического ожидания) и среднего квадратического отклонения относительно среднего значения. Например, дано множество чисел L1, L2, …Ln – временной ряд количества работников отрасли. Тогда соответственно: , . Функциональные зависимости строятся на основе метода наименьших квадратов. Существует большое количество прикладных эконометрических программ (STATGRAF, EVIEWS и т. д.), реализующих самые сложные теоретические модели. Рассмотрим пример построения ПФ Кобба-Дугласа, когда в простейшем случае приходится сравнивать пары величин и исследовать их линейную зависимость. Пусть заданы агрегированные основные показатели некоторой отрасли за четыре года (табл. 2). Таблица 2 Год Объем производства Y, млн ден. ед. Основные фонды K, млн ден. ед. Трудовые ресурсы L, тыс. человек 1990 1991 1992 1993 385 405 426 432 650 710 773 836 91 93 94 95   Параметры A, , входящие в функцию Кобба-Дугласа Y = AKL1-, найдем методом наименьших квадратов по данным табл. 2. Если обозначить то функцию Кобба-Дугласа можно переписать в логарифмах в линейном виде: , или y = c + x. Коэффициенты регрессии c,  в полученной линейной зависимости находим по следующим формулам: Здесь данные по xi, yi вводятся из табл. 3.     Таблица 3 Год 1990 1991 1992 1993 1,44 1,47 1,51 1,51 1,97 2,03 2,11 2,17   При построении данной таблицы следует учесть практический совет. В третьем столбце исходной таблицы желательно иметь величины меньшие, чем в первых двух столбцах. Тогда логарифмы будут положительны, что удобно при расчетах. Это легко реализовать правильным подбором единиц измерения размерной величины L. В данном примере получаем   0,24, ln  0,98, откуда Y  2,7K0,24L0,76. Отметим, что все входящие исходные величины размерные, поэтому при изменении единиц измерения изменятся рассчитываемые коэффициенты.     Самостоятельная работа № 4 Построение производственной функции Кобба-Дугласа   На основании представленных в табл. 4 данных построить ПФ типа Кобба-Дугласа. Сделать прогноз объема производства отрасли на 2000 год, если планируются увеличение основных фондов на 20% и одновременное уменьшение трудовых ресурсов на 5% относительно предыдущего года. Пусть заданы агрегированные основные показатели некоторой отрасли за четыре года (табл. 4). Таблица 4 Год Объем производства Y,млн ден. ед. Основные фонды K, млн ден. ед. Трудовые ресурсы L, тыс. человек 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 354 + 10N 363 + 10N 385 + 10N 405 + 10N 426 + 10N 433 + 10N 454 + 10N 650 710 773 836 888 890 913 91 93 94 95 95 95 96     Предельный анализ производственной функции   Одинаковое количество продукции можно получить, имея много рабочих на оборудованных рабочих местах, или меньшим количеством работников за счет больших капитальных затрат (более современное оборудование). Все возможные сочетания ресурсов для выпуска фиксированного количества продукта описываются кривой в плоскости (L, К), называемой изоквантой). Изокванта имеет следующую формулу: Y(L, K) = const. Например, изокванты для линейной ПФ Y(L, K) = 3K + 2L (рис. 1), где L = 5 тыс. рабочих, K = 20 млн ден. ед. строится так. Количество произведенной продукции – Y = 70 тыс. единиц. Уравнение изокванты и ее график имеют вид •       3K + 2L = 70.                         Рис. 1   Предельная производительность труда  показывает прирост продукта вследствие дополнительного роста трудовых ресурсов на одну единицу. Предельная производительность капиталовложений (фондоотдача)  означает прирост произведённого продукта вследствие дополнительного роста капиталовложений на одну единицу. Для приведенной выше линейной ПФ имеем Предельная норма замещения ресурсов (ПНЗ) количественно оценивает ситуацию, когда при постоянном выпуске продукции можно уменьшение числа работников компенсировать увеличением капиталовложений (оборудование) и наоборот, уменьшение основных фондов – увеличением трудовых ресурсов. Например, один и тот же объём бетона (Y = const) можно изготовить с помощью бетономешалки (увеличивая K) или, привлекая большее количество рабочих с лопатами (увеличивая L). Увеличение K приводит к уменьшению L и наоборот, то есть происходит замещение ресурсов. Математически это выглядит так. Предельная норма замещения трудовых ресурсов на основные фонды называется величиной Аналогично предельная норма замещения основных фондов на трудовые ресурсы называется величиной Ясно, что выполняется ПНЗКПНЗL = 1. Здесь обязательно Y = const, мы находимся на изокванте, значит, полный дифференциал равен нулю: , откуда и следуют вторые равенства в приведенных формулах. В безразмерном анализе при переходе к эластичностям для ПФ Кобба-Дугласа получаем: коэффициент эластичности по фондам  ; коэффициент эластичности по труду . В частном случае ПФ Кобба-Дугласа эластичность предельной нормы замещения ресурсов постоянна, причем эластичность .     Самостоятельная работа № 5 Предельный анализ производственной функции   Для построенной в самостоятельной работе 4 производственной функции рассчитать предельные производительности, предельные нормы замещения ресурсов в 1993 и 1999 годах, сделать сравнительный экономический анализ. При расчетах предположить, что ресурсы в исследуемом году заданы, объем производства вычисляется.     Масштаб и экономическая эффективность производства   Рассмотрим мультипликативную производственную функцию Y = AKL. Пусть Y0, K0, L0 – значения выпуска продукции, затрат фондов, затрат труда в базовый год. Текущее значение этих величин Y1, K1, L1. Индексы изменения характеристик обозначим: Для индексов ПФ можно записать  Относительное изменение объёмов производства IY обеспечивается экстенсивными факторами роста, то есть за счёт увеличения объёма (масштаба) ресурсов, а также интенсивными факторами, то есть за счёт увеличения эффективности использования ресурсов. Экстенсивный фактор роста определяется масштабом, который рассчитывается по формуле . Интенсивный фактор роста определяется экономической эффективностью по формуле Из формулы видно, что индекс роста производства является произведением экономической эффективности на масштаб производства: IY = EM.     Самостоятельная работа № 6 Масштаб и экономическая эффективность производства   Пусть ПФ имеет вид Y = 0,94K0,4+0,1NL0,8+0,1N. Для базового года K0 = 650 + 10N млн ден. ед., L0 = 90 + N тыс. человек. Для отчётного года K1 = 900 + 10N млн ден. ед., L1 = 120 + N тыс. человек. Подсчитать индексы изменения характеристик, масштаб и экономическую эффективность производства. Дать экономическую интерпретацию.   4. Модель поведения фирмы на рынке   В классической экономике поведение производителя моделируется на основе максимизации прибыли. Конечно, в реальной ситуации критерии поведения самые различные. В частности, важная задача любой продуктивно функционирующей производственной единицы – задача собственного самосохранения или, по-другому, устойчивости. В этом случае важно минимизировать или не превышать затраты в процессе деятельности, одновременно “стойко” воспринимать внешние возмущения. Таким образом, при изучении поведения экономического субъекта возникают задачи поиска экстремальных значений экономических функций – максимумов и минимумов.     Экстремумы (максимумы и минимумы) в экономике   Классические экономические модели, как правило, строятся на принципе рационального поведения производителя и потребителя и достижения между ними равновесия (компромисса). Производитель старается максимизировать свой доход, прибыль, минимизировать расходы. В свою очередь, потребитель стремится максимизировать свою полезность в рамках своего дохода (бюджета). В математике для функции y = f(x) необходимое и достаточное условие экстремума во внутренней точке выглядит так:   максимум:  – необходимость; d2f < 0 – достаточность минимум:  – необходимость; d2f > 0 – достаточность   Как правило, для экономической функции y = f(x) аргумент может принимать только неотрицательные значения, x  0, поэтому точка x = 0 является граничной и для нее вышеприведенные условия экстремума могут не выполняться. Для определенности рассмотрим условие локального максимума в точке x = 0. Из геометрических соображений легко сообразить, что условие максимума в рассматриваемой точке имеет вид df < 0|x=0. Объединяя необходимые условия локального максимума для внутренней и граничной точек, получим:  Эти уравнения называются условиями Куна-Таккера (одномерный случай). Рассмотрим пример. Объем спроса является функцией цены и имеет вид Yc = 10e-3p. Соответствующая функция дохода D = pYc = 10e-3p.Найдем максимум функций спроса и дохода при условии, что p  0. Для функции спроса , поэтому условие Куна-Таккера выполняется только в граничной точке p = 0. Таким образом, максимальный спрос на товар будет тогда, когда его будут раздавать бесплатно. Для функции дохода из уравнения  получаем . При p = 0 условие Куна-Таккера на максимум нарушается. Значит, наибольший доход фирма будет получать при цене . Выше этой цены доход будет падать вследствие уменьшения спроса, понижение цены также уменьшает доход. Все это изображено на рис. 2.   D – доход Yc – спроc                           Рис. 2     Поиск экстремума с учетом ограничений   В экономике постановка задачи оптимизации усложняется тем, что ресурсы для реализации проблемы, например финансы, время, число сотрудников, ограничены. Поэтому математическая постановка задачи сводится к поиску условного экстремума, то есть экстремума с учетом ограничений на аргументы. В этом случае используют метод Лагранжа, который состоит в следующем. Для функции двух переменных y = f(x1, x2) с ограничением F(x1, x2) = C поиск экстремума сводится к поиску экстремума без ограничений для функции Лагранжа трех переменных Lag (x1, x2, ) = f(x1, x2) –  [F(x1, x2) – C]. Здесь  – множитель Лагранжа, который имеет следующий экономический смысл. Значение множителя Лагранжа в экстремальной точке показывает, насколько изменится значение экстремума функции, если константу С увеличить на одну единицу. Как правило, константа С играет роль бюджета – запаса ресурса. Суть поиска экстремума можно интерпретировать следующим геометрическим аналогом для функции двух переменных. На рис. 3 эта функция изображается в виде поверхности, ограничение представляет собой “тропинку” на этой поверхности. Безусловный максимум – это вершина этой поверхности, которая не обязательно должна проходить через вершину. Все это изображено на рис. 3.                                           Рис. 3   Поиск экстремума для функции Лагранжа сводится к решению следующей системы уравнений относительно неизвестных x1, x2, :     Поведение предприятия на рынке   Покажем, как результирующие показатели деятельности производства связаны с ценой p выпускаемого продукта Y. Предприятие составляет свой производственный план таким образом, чтобы максимизировать прибыль. Пусть p – цена единицы выпускаемой продукции Y, w – заработная плата, q – цена единицы капитального ресурса K. Тогда доход предприятия равен pY, а необходимые затраты на выпуск продукции, или функция затрат, имеет вид wL + qK. Отсюда математическое выражение для максимизации прибыли P имеет вид P = PY – (WL + QK)  MAX. Из необходимых условий поиска экстремума получаем следующую систему Отсюда предельная производительность труда  предельная производительность капитала  предельная норма замещения труда капиталом ПНЗ = w/p. Для определенности ниже возьмем конкретный вид ПФ в виде функции Кобба-Дугласа. В этом случае система имеет вид: Отсюда следует, что для получения максимальной прибыли отношение трудовых и капитальных ресурсов фиксировано и рассчитывается по следующей формуле Из приведенных уравнений видно, что в экономике важна не номинальная заработная плата W, реальная заработная плата , поскольку стоимость ресурсов входит в уравнения в виде комбинаций  и . Здесь можно упомянуть известный мысленный эксперимент Рикардо. Если на равновесном рынке одновременно увеличить заработную плату и цену на товар в два раза, то равновесие не изменится.     Поведение фирмы при заданных ограничениях на затраты   В реальной ситуации трудовые, финансовые (временные и т.д.) ресурсы лимитированы, максимизация результатов производства ограничивается дополнительными связями на аргументы производственной функции L, K, которые формально задают ограничения на издержки в производственном процессе. Пусть Z – заданные постоянные суммарные издержки производства, причем фирма выделяет постоянные инвестиции C на покрытие издержек: wL + qK = Z = C = const (изокоста – линия постоянных издержек). Задача максимизации выпуска продукции при заданных ограничениях на издержки будет иметь вид: F(K, L) = AKL1-  max. Отсюда функция Лагранжа Lag(K, L, ) = AKL1- – (wL + qK – C)  max. Поиск максимума свелся к решению системы уравнений относительно неизвестных K, L, : В данном случае капитальные и трудовые ресурсы, максимизирующие выпуск, должны быть равны K =  L = . Из последних формул видно, что отношение ресурсов удовлетворяет условию максимума прибыли. Таким образом, в данном случае решения задачи по максимизации прибыли и максимизации выпуска при заданных ограничениях совпадают. Возможный максимальный выпуск продукции будет соответствовать Y = A. Если издержки увеличить на одну единицу, то максимальный выпуск увеличится на значение  = . Таким образом, приведенные формулы позволяют так распределить ресурсы, чтобы выпуск продукции был максимально возможным при заданных ограничениях.     Связь цены выпуска продукции  и предельных издержек   При исследовании структуры издержек (затрат) разделяют затраты постоянные (не зависящие от выпуска) и переменные (являющиеся функцией объема выпуска). Характерное свойство переменных затрат – нет выпуска, нет этого вида затрат. В простейшем линейном случае функция затрат имеет вид Z = Zпост.+ Zпер.= Zпост.+ zY Здесь Zпост., z – положительные константы. В экономике используются также понятия средних затрат (CZ) на единицу продукции, то есть . Если рассмотреть издержки как функцию от Y, то можно ввести понятие предельных затрат в виде . Для линейного случая предельные затраты равны z. Предельные затраты показывают, на сколько вырастут переменные затраты, если производство продукции увеличить на единицу. Поведение предприятия определяется мотивом максимизации прибыли. В данном случае прибыль равна P = Yp – (Zпост + zY)  max. Откуда из  следует, что p = z. Это означает, что при оптимальном поведении производителя цена выпуска продукции равна предельным издержкам производства.     Реакция функции предложения на изменение внешних условий   Рассмотрим, как будет изменяться функция предложения (выпуска продукции), если будет изменяться один из определяющих параметров. Считается, что при изменении одного параметра остальные неизменны и принимают оптимальные значения. 1)   Реакция на изменение заработной платы: рост заработной платы на w приводит к уменьшению производства на величину . 2)   Реакция на изменение цены на фонды: рост цены на фонды q приводит к уменьшению объема производства на величину . 3)   Реакция на выделение дополнительных ресурсов: дополнительные ресурсы инвестиции C приводят к росту производства на величину . Поскольку рост цены выпуска p предопределяет возможности роста инвестиций в производство, то отсюда следует тенденция возрастание объемов производства при росте цены.     Практический пример расчета оптимального распределения ресурсов внутри фирмы   Метод Лагранжа поиска условного экстремума достаточно универсален и позволяет решать задачи оптимизации ресурсов внутри предприятия. Для конкретности здесь рассмотрим численный пример. Пусть фирма имеет два предприятия, каждое из которых выпускает свой вид продукции Y1 и Y2. Для простоты считаем, что капиталовложения уже сделаны (фиксированы). В фирме работает фиксированное число рабочих, для конкретности  = 700 человек, которых нужно распределить на два завода. Заработная плата на обоих заводах одинакова. Если обозначить число рабочих на первом предприятии L1, на втором L2, то выполняется L1 + L2 = . Пусть производственные функции первого и второго предприятий имеют вид Y1 = 150L10,8, Y2 = 90L20,8, а рыночная стоимость продукции заводов соответственно равны p1 = 10 ден. ед./шт., p2 = 15 ден. ед./шт. Ставится задача: как распределить рабочих по предприятиям, чтобы максимизировать доход, то есть P1Y1 + p2Y2  max. Решение задачи произведем с помощью метода Лагранжа поиска условного экстремума. Нужно найти экстремум функции дохода D(Y1, Y2) = p1Y1 + p2Y2  1500L10,8 + 1350L20,8 при ограничении L1 + L2 = 700 человек. Функция Лагранжа имеет вид Lag(L1, L2, ) = 1500L10,8 + 1350L20,8 – (L1 + L2 – 700), где  – множитель Лагранжа. Экстремум определяется из следующей системы уравнений: , Исключая , получим . Возведя в пятую степень первое уравнение, получим линейную систему уравнений. Отсюда получаем: число рабочих на первом предприятии L1  440 рабочих. Число рабочих на втором предприятии L2 260,   355 ден. ед./рабочий, максимальный доход D  310 788 ден. ед.            В данном примере, строго говоря, мы нашли экстремум функции, а не максимум. Формально нужно проверить, что в точке максимума вторая производная меньше нуля. Практически достаточно подсчитать в близкой к экстремуму точке значение функции и сравнить его с ранее рассчитанным.     Самостоятельная работа № 7 Оптимальное поведение фирмы на рынке   Производственная функция фирмы, выпускающая линолеум, имеет вид Y = (100+10N)KL1- . Здесь [Y] – сотни мм, [K] – тыс. ден. ед., [L] – сотня рабочих (сот. р.). Стоимость ресурсов  q = 10 тыс. ден. ед./тыс. ден. ед. Издержки производства ограничений суммой C = (1000 + 100N) тыс. ден. ед. 1.    Найти максимальный выпуск продукции, оптимальное количество рабочих и стоимость капитальных фондов. 2.    Построить график изокванты и изокосты. Отметить оптимально точку. 3.    Оценить, как изменится выпуск продукции, если: а) увеличить заработную плату на 8%; б) уменьшить цену на фонды в два раза; в) ввести дополнительные инвестиции в производство в количестве (50 + N) тыс. ден. ед.     5. Модель межотраслевого баланса   Модель межотраслевого баланса (interindustry analysis), или метод затраты-выпуск (input-output analysis, или I/O analysis), разработана В.В.Леонтьевым, американцем, выходцем из России. Метод на практике был продемонстрирован в 30-е годы нашего столетия на примере экономики США и затем получил широкое применение для анализа и прогноза взаимодействия экономик отраслей, стран и континентов. В настоящее время существуют обобщения модели на нестационарный нелинейный случай. Классическая модель затраты-выпуск – линейная и статическая, ее суть – учет линейных взаимосвязей между различными отраслями (странами). Ниже будем рассматривать именно такую модель.     Основные понятия   Рассмотрим простейший пример для введения основных определений. Пусть экономика состоит из одной отрасли, например сельского хозяйства, производящего монопродукт – овес. При производстве овса используются лошади как механическая энергия. Общее количество собранного с поля овса обозначим через Х. Эта величина называется валовым продуктом и характеризует промышленные возможности данной отрасли. Часть валового продукта расходуется на корм лошадей, это промежуточные расходы Х1. Оставшийся конечный продукт Y поступает на рынок для продажи. Это можно изобразить схематически (рис. 4):                                                                                    Y (на рынок)           Рис. 4        Уравнение баланса имеет вид X = X1 + Y. Экономическая особенность этого уравнения заключается в том, что общие затраты отрасли относятся на производство X, а доход формируется за счет меньшего количества продукта Y. Поэтому себестоимость будет формироваться с учетом промежуточных затрат. В модели считается, что промежуточные затраты пропорциональны валовому продукту, то есть используется линейное приближение. Если отрасль будет производить в два раза больше овса, будет засеяно в два раза больше площадей, удвоится количество лошадей и удвоится потребление овса ими, отсюда X1  X. Это позволяет ввести коэффициент прямых затрат а по следующей формуле: a = X1/X. Этот коэффициент показывает относительную долю промежуточных расходов, 0  а  1. Причем а, близкое к нулю, характеризует современную развитую технологию; а, близкое к единице, – наоборот. Считают, что если коэффициент прямых затрат больше 1, то экономика не продуктивна (не имеет смысла). Уравнение баланса с учетом сказанного можно переписать так: X = aX + Y. В рыночной экономике объем производства определяется спросом, поэтому Y задано, а X надо рассчитать. Валовой продукт рассчитывается по формуле X = (1-a)-1Y. Введем коэффициент полных затрат b по формуле b = (1-a)-1, отсюда X = bY. Поскольку Х = bY, то легко придать экономический смысл этому коэффициенту. Если стоит задача выпустить одну единицу конечного продукта на рынок, необходимо произвести b единиц валового продукта. Связь между коэффициентом полных и прямых затрат можно представить в следующем виде: где использована формула для суммы сходящейся геометрической прогрессии при а < 1. Отсюда видно, что b >1. По-другому коэффициент полных затрат называется коэффициентом Леонтьева. Рассмотрим, как связаны трудовые затраты и себестоимость продукта. Пусть l – прямые затраты труда на единицу валового продукта. Для производства объема Х необходим труд в объеме L = lX. С учетом уравнения баланса можно записать L = lX = l b Y = lпY, где ln = lb – полные затраты труда. Ясно, что полные затраты труда характеризуют количество труда на единицу конечного продукта и всегда больше прямых ln > l. В простом случае равновесного рынка в ряде экономических теорий считается, что рыночная стоимость продукта равна полным трудовым затратам. Если w – заработная плата за единицу труда, p – стоимость единицы продукта на рынке, тогда имеет место следующее уравнение pY = wlX = wlbY. С учетом уравнения баланса получим формулу для расчета стоимости продукта на равновесном рынке p = wln.     Численный пример   Пусть рыночный заказ на продукт равен 100 т овса. В отрасли 20% произведенного продукта расходуется на внутреннее потребление. Заработная плата за одну единицу продукта равна 30 ден. ед. Определить объем валового продукта и стоимость 1 т овса, если прямые трудовые затраты 5 ед. труда. По приведенным формулам получаем: a = 0,2; Y = 100 т овса; w = 30 ден. ед./ед. труда; X = bY = 125 т овса; l = 5 ед. труда/т овса; ln = 51,25 = 6,25 ед. труда/т овса; p = wln = 187,5 ден. ед./т овса.     Модель затраты-выпуск   Рассмотрим простой пример экономики, состоящей из двух отраслей – сельского хозяйства (с/х) и промышленности. В процессе своего производства с/х продукция, валовой продукт которой обозначим через Х1, частично используется на внутренние нужды. Также для внутренних нужд с/х используется часть валового продукта промышленности Х2. Таким образом, процесс производства сам по себе потребляет часть с/х продукции и промышленной продукции, причем на рынок поступает только оставшаяся доля валового продукта. Эта доля называется конечным продуктом. Запишем это в виде таблицы, суть которой – отразить связь между отраслями (табл. 5). Таблица 5     C/X Промышленность Валовой продукт Конечный продукт С/Х X11 X12 X1 Y1 Промышленность X21 X22 X2 Y2 Доход D1 D2       В этой таблице достаточно задать межотраслевые потоки Xij (Х12 – количество с/х продукции, используемой для производства валового продукта Х2промышленной продукции) и объем валового продукта Xi. Конечный продукт и доход легко подсчитать из уравнений баланса, на которых сейчас остановимся. Строки данной таблицы характеризуют баланс выпуска продукции данной отрасли в виде валовой продукт = промежуточные затраты + конечный продукт. Это выглядит так: Например, здесь X11 и X12 – объемы затрат с/х и промышленной продукции для производства валового объема X1 с/х продукции, Y1 – конечный c/х продукт (чистый выход продукции на рынок к потребителю). В табл. 5 показана структура затрат данной отрасли, для которой можно записать уравнение баланса затрат: расход отрасли = промежуточные затраты + доход. Для с/х отрасли имеем X1 = (X11 + X21) + D1. Из этого уравнения видно, что доход с/х D1 определяется валовым выходом продукции X1 за минусом расходов на покупку промежуточных ресурсов в процессе производства с/х продукции. Для столбцов и строк табл. 5 в сумме выполняются балансовые тождества: выпуск отрасли = расход отрасли. Этот баланс имеет вид Xi = (Xi1 + Xi2) + Yi = (X1i + X2i) + Di. В табл. 5 соблюдается также следующий баланс по строкам и столбцам: суммарный конечный продукт = суммарный доход, или Y1 + Y2 = D1 + D2. Используем линейное приближение модели, когда расходы пропорциональны объему произведенной продукции. Поскольку Xij – количество продукта i-й отрасли, затрачиваемого для производства валового продукта Xj в j-й отрасли, то удобно ввести коэффициенты aij = Xij/Xj – коэффициенты прямых затрат. Отметим, что эти коэффициенты безразмерные, то есть не зависят от единиц измерения производимого товара. Они также называются технологическими коэффициентами. С учетом введенных коэффициентов прямых затрат таблицу межотраслевого баланса можно представить в следующем виде (табл. 6) Таблица 6 in out с/х Промышленность Х Y c/х а11 а12 Х1 Y1 Пром-сть а21 а22 Х2 Y2   Уравнения баланса перепишем в виде Теперь используем аппарат линейной алгебры. Запишем уравнения баланса в матричной форме. Обозначим: Mатрица А =  – матрица прямых затрат (технологическая матрица). Вектор столбец  – валовой продукт отраслей. Bектор столбец  – конечный продукт отраслей. В матричной форме уравнение баланса имеет вид , его можно переписать: или                                          Здесь E – единичная матрица, матрица B = (bij) = (E – A)-1 называется матрицей полных материальных затрат или матрицей Леонтьева. Уравнение баланса определяет валовой продукт по известным априори коэффициентам прямых затрат (или коэффициентам полных затрат) и объему конечного продукта. В практических приложениях это соотношение чрезвычайно полезно. Рынок дает заказ на объем конечного продукта, матрицы A и Bопределяются технологией, откуда по данному уравнению легко рассчитать вектор валового продукта, то есть объем работы для каждой отрасли.     Экономический смысл матрицы полных затрат   Матрица А и ее коэффициенты имеют ясный экономический смысл из определения. Обсудим, какой экономический смысл имеют коэффициенты bij. Рассмотрим матрицу полных затрат в уравнении для расчета валового продукта . Пусть “рыночный заказ” на конечный продукт , то есть на рынок попадает только одна единица первого продукта, в данном случае сельского хозяйства. Промышленность работает только на обеспечение выпуска одной единицы с/х продукции, сама промышленность конечный продукт не производит Y2 = 0. Тогда из уравнения баланса имеем Таким образом, первый столбец матрицы полных затрат равен величине валового продукта, необходимого для производства одной единицы конечного продукта (отрасли, находящейся в первой строке матрицы прямых затрат А, в данном случае сельского хозяйства). Аналогично, если конечный продукт имеет вид то есть на рынок выпускается только 1 единица промышленной продукции, то Второй столбец матрицы полных затрат показывает величину валового продукта, необходимого для производства одной единицы конечного продукта второй отрасли. Из этих рассуждений видно, что bij  0, bii  1, иначе экономика непродуктивна.     Численный пример   Пусть двухотраслевая экономика представлена следующим образом (табл. 7). Таблица 7   с/х пром-сть Х Y с/х 20 45 200 135 пром-сть 40 75 300 185   Найти технологическую матрицу и матрицу Леонтьева. . Для нахождения матрицы B используем следующую процедуру: 1 шаг: ; 2 шаг: det(E – A) =  = 0,90,75 – (0,20,15) = 0,645  0; 3 шаг: Найдем матрицу (E – A)-1 по формулам линейной алгебры через алгебраические дополнения к матрице (E – A). Обозначим их через Cij. Тогда . По уравнению баланса непосредственной проверкой легко убедится, что выполняется: X = B  Y или . Пусть на следующий период времени сделан прогноз – емкость рынка по первой отрасли увеличивается на 10%, а по второму рынку – на 20%. Сделаем оценку валового продукта. Новый вектор конечного продукта будет: . Новый вектор валового продукта имеет следующую оценку: . Таким образом, валовой продукт первой отрасли должен возрасти на 12,2%, а второй – на 18,6%.       Учет трудовых ресурсов   Рассмотрим двухотраслевую экономику. Пусть  – вектор-строка коэффициентов прямых трудовых затрат. Здесь li – количество труда, необходимого в отрасли i для производства одной единицы валового продукта. Количество труда в i-й отрасли на производство Xi валового продукта равно liXi. С учетом всей экономики, взаимосвязей отраслей наиболее интересен вопрос – сколько труда необходимо всего для производства одной единицы конечного продукта. Ответ на этот вопрос дает столбец матрицы В, его экономическое содержание. Полные трудозатраты равны:  l1b11 + l2b21 = lп1 – для первой отрасли (с/х),  l1b12 + l2b22 = l п2 – для второй отрасли (промышленность). Или в векторно-матричной форме: Вектор  (lп1, lп2) называется вектором полных трудозатрат. Коэффициент lпi полных трудозатрат имеет следующий экономический смысл: это количество труда для производства одной единицы конечного продукта i-й отрасли с учетом взаимодействия всех отраслей.     Численный пример   Продолжим рассмотрение предыдущего численного примера двухотраслевой экономики. Пусть трудозатраты в с/х на производство продукта X1 = 200 составят L1 = 400, а аналогичные затраты в промышленности L2 = 900. Тогда вектор коэффициентов прямых трудозатрат Рассчитаем вектор коэффициентов полных трудозатрат: . Непосредственно можно проверить, что выполняется баланс: Вектор коэффициентов полных трудозатрат больше по каждой компоненте вектора коэффициентов прямых трудозатрат.     Модель трудовой теории стоимости   Следуя Рикардо и К.Марксу, стоимость продукта определяется полными трудовыми затратами. Математически это означает, что стоимость pi единицы конечного продукта Yi пропорциональна lпi, или вектор стоимостей (p1; p2) пропорционален вектору полных трудовых затрат  (lп1; lп2). В этом случае теория трудовой стоимости дает равновесный рынок в том смысле, что для любого выпуска конечного продукта Y на рынке можно добиться нулевого баланса между объемом заработной платы и произведенной конечной продукции в стоимостном выражении: 1. Стоимость всей конечной продукции равна = Y1p1 + Y2p2 . 2. Объем всей заработной платы равен W = w lп1Y1 + wlп2Y2. Здесь w – стоимость одной единицы труда. Из условия равновесия рынка имеем уравнение баланса Y1p1 + Y2p2 = wlп1Y1 + wlп2Y2. Отсюда видно, что коэффициент пропорциональности w есть просто заработная плата за единицу труда. Этот баланс соблюдается для любого вектора конечного продукта Y. Из условия равновесия рынка можно записать (полная стоимость конечного продукта Y) = = (полная выплата заработной платы). Имеем в этом случае соответственно в векторной форме: откуда Для двухотраслевой модели пусть (р1, р2) – вектор стоимостей на единичный вектор конечного продукта Y = . Тогда полная стоимость произведенного продукта       Численный пример   Рассчитаем стоимость на сельскохозяйственную и промышленную продукцию, если стоимость единицы труда w = 5 ден. ед. в обеих отраслях. Тогда вектор цен   5( 3,26; 4,50) = (16,3; 22,5). Непосредственной проверкой легко убедится, что полная стоимость проданной продукции равна всей выплаченной заработной плате, то есть wlX = pY. Пусть в сельском хозяйстве вследствие технического прогресса прямые трудозатраты уменьшились наполовину. Оценим, как это повлияет на стоимость продукции во второй отрасли. Имеем:  ; . Таким образом, во второй отрасли стоимость уменьшилась на 0,08 ден. ед., в первой отрасли – на 1,17 ден. ед.     Самостоятельная работа № 8 Межотраслевой баланс   Представлены следующие данные по отраслям (табл. 8). Таблица 8 Отрасль Отрасль I II III X Y I 300 + 20N 250 + 10N 200 + 10N   700 + 20N II 210 + 10N 100 + 20N 50 800 + 30N   III   45 + N 55 400 + 10N 100 + 10N Затраты труда в отрасли Li   1700   1100   500           Считаем, что заработная плата во всех отраслях одинакова и равна 7 ден. ед. за единицу труда. 1.     Найти недостающие величины в таблице. 2.     Найти коэффициенты прямых затрат, построить технологическую матрицу. 3.     Построить вектор коэффициентов прямых трудозатрат. 4.     Построить матрицу Леонтьева. 5.     По уравнению баланса рассчитать вектор валового продукта и сравнить с таблицей. 6.     Рассчитать вектор коэффициентов полных трудовых затрат. 7.     Рассчитать вектор стоимостей. 8.     Пусть заданы следующие темпы роста конечного продукта: по первой отрасли рост на 20%, по второй отрасли уменьшение (падение) на 10%, по третьей отрасли – рост на 40%. Считая технологическую матрицу неизменной, сделать экономический анализ, проведя количественную оценку изменений векторов валового продукта, стоимости.   6. Моделирование потребления   Потребитель – один из важнейших элементов социально-экономической системы. Главная проблема при моделировании поведения потребителя – определить, в каких объемах приобретаются различные товары и услуги при известных ценах, потребительских свойствах и доходе. Вопрос о том, почему при прочих равных условиях один индивид тратит деньги на покупку одних, а не других товаров, решается в теории потребления. По-видимому, модель потребления в современном виде сформулировал Вальрас. Первая математическая модель строилась на основе экономической теории маржинализма (marginal – предельный). Основа теории – принцип рационального поведения потребителя с целью оптимизации своего благосостояния. Математически это выражается в возможности количественной оценки различных стратегий потребления с помощью функции полезности. Поэтому конкретный товар (услуга) характеризуется двумя количественными величинами: ценой и полезностью. Модель потребления предполагает введение четких количественных оценок – меру цены и меру полезности. Деньги как мера цены – общепринятая категория. Обсудим меру полезности.     Функция полезности   Одно из положений, на которых строится понятие полезности, – принцип ограниченности ресурсов (раньше он назывался принципом редкости). Чем меньше ресурса (товара), тем больше отношение цена/полезность. Формально можно записать: цена ~ (степень ограниченности ресурсов)(полезность). Эту зависимость легко самостоятельно проанализировать на примере золота и воды. Высокая ограниченность золота увеличивает цену, низкая редкость воды – уменьшает. Следующий принцип – принцип убывающей полезности. Например, каждый последующий холодильник в семье менее полезен, чем предыдущий. Формализуем поведение потребителя на рынке, введем функцию полезности. Эта функция приписывает всякому набору товаров число – “полезность”, которое определяет предпочтение данной покупки перед другой. Безусловно, что существование этой функции – гипотеза, но, судя по успехам в практическом применении математической экономики, – удачная. Для простоты рассмотрим покупку двух товаров – Y1, Y2. На рынке двух товаров, где задана функция полезности U(Y1, Y2), мы всегда можем сравнить два набора покупок: Y11, Y21 – первый набор покупок, Y12, Y22 – второй набор покупок. Полезность первого набора , второго – . Поскольку функция определяет количество полезности, то имеется отношение предпочтения одного набора покупок перед другим, то есть либо U1 = U2, либо U1 > U2, либо U1 < U2. Полезность наборов покупок может быть одинакова, либо один набор полезнее другого. Поскольку из экономических соображений ясно, что чем больше данного товара , тем больше полезность, значит,  Одновременно U1 > 0, т.к. считается, что производство выпускает только полезный товар. Закон убывающей полезности количественно выражается так: , то есть из него следует, что вторая производная U должна быть меньше нуля.   Пример функции полезности   Наиболее простое предположение при конкретном построении функции полезности следующее – абсолютный рост полезности пропорционален относительному росту количества товара. Тогда или . Здесь a – положительная константа пропорциональности. Формально единица в знаменателе добавлена для того, чтобы U(0) = 0. Для удобства можно считать, что сделана замена переменной Y + 1 = Y и U = alnY. Если количество единиц товара велико, то Y и Y практически неразличимы. С учетом замечаний функция полезности для двух товаров имеет вид U = a1lnY1 + a2lnY2. Здесь a1, a2 – положительные константы.     Предельный анализ   Предельный анализ функции полезности делается по аналогии с производственной функцией. Функция U характеризует полезность от приобретения благ в количестве Y1, Y2. Чем больше численное значение U, тем выгоднее приобретение. Ясно, что весь набор закупок, при котором выполняется U(Y1, Y2) = const, одинаково полезен и не имеет преимущества друг перед другом. Кривая, описываемая этим уравнением, называется кривой безразличия. Предельной полезностью (marginal utility) товара Y называется скорость роста функции полезности при увеличении потребления этого блага. Таким образом, предельной полезностью ППy называется величина ППy = . Из экономических соображений всегда имеем ППy > 0. Предельная норма замещения (marginal rate of substitution) характеризует уменьшение количества одного товара при одновременном росте другого, причем сохраняется неизменной полезность набора покупки Y1, Y2. Пусть объем первого продукта уменьшился на -dY1, одновременно увеличим потребление второго блага на +dY2 таким образом, чтобы полезность покупки не изменилась, U = const. Предельная норма замещения первого товара вторым определяется следующей формулой ПНЗy = при U = const . Поскольку U = const, полный дифференциал функции полезности равен нулю, , откуда следует ПНЗy=ППy1 / ППy2. Величина ПНЗy характеризует увеличение второго блага за счет уменьшения первого, то есть замещение одного блага другим при сохранении данного уровня полезности.     Оптимальный набор покупок при заданном бюджетном ограничении   Потребитель выходит на рынок, имея финансовые ограничения, определяемые доходом. Пусть этот доход равен С, а рыночные цены первого и второго товаров соответственно р1 и р2. Для приобретения товаров Y1 и Y2 необходимо потратить p1Y1 + p2Y2 из своего дохода. Потребитель не может купить товаров больше, чем позволяют его финансовые способности. Если он тратит все деньги на покупки, то это ограничение математически записывается так: p1Y1 + p2Y2 = C. При этих ограничениях потребитель хочет получить максимальную полезность от своих покупок. Таким образом, имеем следующую задачу на поиск экстремума: при ограничении: p1Y1 + p2Y2 = C. В данном случае надо построить функцию Лагранжа для нахождения локального экстремума Lag(Y1, Y2, ) = U(Y1, Y2) – (p1Y1 + p2Y2 – C). Необходимые условия локального экстремума записываются так: Приведем конкретные расчеты для логарифмической функции полезности. Имеем Lag = a1lnY1 + a2lnY2 – (p1Y1 + p2Y2 – C). Решая систему уравнений получим следующее решение, которое соответствует оптимальному набору покупок:   Строго говоря, здесь найден экстремум. Для того чтобы показать, что получен именно максимум, нужно подсчитать вторую производную функции и убедиться, что эта производная меньше нуля. При практических расчетах можно просто оценить значение функции в близкой к экстремуму точке и сравнить оба значения. Таким образом, полезность и цена при заданном бюджете однозначно определили структуру закупок. Рассмотрим свойства оптимальной структуры закупок.     Простые следствия оптимального поведения   В простейшем случае, когда на рынке два товара с одинаковыми ценами и полезностями, покупатель формально не может различить товары с точки зрения количественных параметров. Однако из полученных формул следует, что покупатель не будет метаться как “буриданов осел” между одинаковыми товарами, решение его однозначно. Половина бюджета расходуется на один товар, половина – на другой. При а1 = а2, р1 = р2, получаем: Экономически выгодно потреблять оба товара в равном объеме. Это означает, что уменьшение одного в пользу увеличения другого блага приводит к убыванию функции полезности. Это является содержанием закона Госсена. Важное следствие следует также в случае, когда полезность (потребительские свойства) одного товара по каким-то причинам растет при прочих равных условиях. Пусть для определенности это первый товар, тогда рост полезности можно задать, заменяя параметр на a1 + . Получим новый набор закупок:   Из этих формул видно, что Y1 увеличилось, а Y2 уменьшилось. Произошел эффект замещения – покупатель отдал предпочтение первому товару Y1 в ущерб покупки второго товара Y2. Эффект замещения называется эффектом Слуцкого-Хикса.     Модель Слуцкого   Рассмотрим, как будет изменяться спрос, если изменится цена товара, например вследствие инфляции. Рост цены товара нужно компенсировать ростом бюджета (заработной платы) таким образом, чтобы полезность покупки оставалась постоянной. Максимальная полезность покупки будет иметь вид: Поскольку полезность вследствие компенсации роста цен и возрастание бюджета должны оставаться постоянными, то есть u* = const, значит Для простоты считаем, что изменяется цена только первого товара, тогда связь между изменением бюджета и ростом цен выглядит так:  при u* = const, В изменившихся ценах на рынке новый оптимальный набор покупок будет иметь вид: Ясно, что конкретный вид функции полезности определит аналитическую структуру функции спроса . Под спросом понимается потенциальная возможность купить данный объем товара в зависимости от цены, финансовых возможностей или других факторов. В частности, если , то есть с ростом благосостояния потребление товара растет, то товар называется ценным. Если , то есть рост цен на один товар предполагает увеличение потребления другого, то товары называются взаимозаменяемыми (растительное и сливочное масла). Если выполняется , то товары взаимодополняемы (бензин и автомобили). Здесь рассмотрен классический случай. В действительности реальная экономика сложнее, разные товары обладают разными потребительскими свойствами. Например, потребление соли практически не зависит от цены. Возможны эффекты, связанные со специфической ситуацией. Так, при ухудшении экономического положения населения потребление основных продуктов (например, хлеб, картошка) растет с увеличением цены. Это явление в экономике называется эффектом Гиффена. При улучшении экономического положения населения отмечается уменьшение расходов на малоценные товары первой необходимости (эффект Энгеля).   Самостоятельная работа № 9 Моделирование поведения потребителя на рынке Функция полезности потребителя имеет следующий конкретный вид: При заданном доходе С и при ценах товаров p1, p2 оптимальный набор покупок определяется следующими функциями спроса: Множитель Лагранжа . Для модели Слуцкого при постоянной полезности формула для расчета увеличения дохода для компенсации инфляции имеет вид  при u = const. Новый набор товаров после изменения цены следующий: Рассчитать при A = 100 + 10N,  p1 = 5 ден. ед./ед. p2 = 10 ден. ед./ед. следующее: 1)   Оптимальный набор товаров при бюджете (доходе): C = 200 + 10N ден. ед. 2)   Значение функции полезности для оптимального набора. Построить график кривой безразличия. 3)   Оценить, на сколько увеличится значение функции полезности, если бюджет будет увеличен на одну ден. ед. 4)   Найти норму замещения второго товара первым в оптимальной точке. 5)   Пусть цена первого товара выросла на 20%. Рассчитать, на сколько нужно увеличить доход, чтобы полезность потребления осталась постоянной. 6)   Найти новые функции спроса при изменившейся цене. Дать экономическую интерпретацию каждому результату. 7. Паутинообразная модель рынка   Паутинообразная модель установления равновесной цены между производителем и потребителем основана на предположении, что изменение цены зависит от разности спроса и предложения: если на рынке дефицит, спрос выше предложения и цена возрастает, в противоположном случае – убывает. В модели также важно, что эластичность функции предложения от цены положительная, а эластичность функции спроса от цены отрицательная. Это означает, что предприниматель увеличивает объем предложения товара на рынке, если цена растет, а покупатель наоборот уменьшает объем покупок при росте цен. Рассматривается рынок одного товара, время считается дискретным.     Паутинообразная модель   Принципиальная особенность при описании рынка – это явный или не явный учет временного сдвига между производством и потреблением. Процесс установления равновесной цены происходит не единообразно, а как приспособление во времени с учетом обратных связей, в котором происходит согласование цен и объемов продукции между производителем и потребителем. Паутинообразная модель – одна из простых и ясных моделей для описания процедуры нахождения равновесного объёма производства и потребления товаров и их цен. Известно, что функция спроса на товар Yc(p) является убывающей функцией цены. В тоже время функция предложения Yп(p) – монотонно возрастающая функция цены. Состояние равновесия характеризуется равенством спроса и предложения: Yc(p*) = Yп(p*). Причем это уравнение в силу свойств функций имеет единственное решение: p = p*, как показано на рис. 5.                       Рис. 5   Процесс “нащупывания” равновесной цены заключается в следующем. Пусть в начальный момент времени цена предложения выше равновесной. Тогда спрос уменьшается, объем продаж тоже, что приводит к уменьшению предложения товара и снижению цены. Рассмотрим аналитический вариант модели.   Аналитический вариант паутинообразной модели   Для простоты изложим линейный случай. Пусть объём производства и предложения товара Yп = kпp – линейная функция цены, kп > 0. Соответственно имеем линейную функцию спроса товара от цены р, Yс = – kсp, здесь постоянные , kc также положительны (рис. 6).                           Рис. 6   Легко подсчитать равновесные цену и объём товара из уравнения Yc = Yп, откуда Однако в действительности предложение на рынке всегда отстаёт от спроса, то есть производство запаздывает на изменение требований рынка. С увеличением цены спрос падает, с уменьшением - возрастает. Если обозначить t – данный момент времени, t – 1 – предыдущий момент времени, то выполняется Yп(t) = Yс(t – 1). Рассмотрим рекуррентный процесс нахождения равновесной цены в паутинообразной модели. Пусть производитель предложил новый товар Yп по начальной цене р(0) = p0, причем она не совпадает с равновесной. Рассмотрим процесс нащупывания цены во времени аналитически. Введем для удобства обозначение . Поскольку цена удовлетворяет следующему рекуррентному соотношению  а начальная цена задана, то получаем: р(1) = /kп – p0; p(2) = /kп(1 – ) + 2p0; р(3) =/kп(1 –  + 2) – 3p0; ... р(t) = /kп(1 –  + 2 –…+ (-1)t-1t-1) + (-1)tpt. Из этих соотношений видно, что при  > 1 ряд расходится к бесконечности, при  < 1 – сходится к равновесной цене p* не зависимо от того, как была выбрана начальная цена. При  = 1 цена принимает ограниченные значения, периодически больше и меньше равновесного значения p*. Таким образом, несложный математический анализ показывает три варианта поведения модели. При kс /kп < 1 процесс сходится к равновесной цене и объему товара. При kс/kп > 1 процесс расходящийся, устойчивости рынка нет; и наконец, при kс = kп имеем регулярное колебание цен вокруг равновесной (рис. 7).                                             Рис. 7   Экономическая интерпретация kп > kс, когда рынок имеет устойчивую цену, означает, что . Таким образом, чувствительность объёма предложения от цены за предыдущий период должна превышать скорость изменения объёма спроса от цены в данный момент. Поскольку kс пропорциональна эластичности спроса по цене, kп пропорциональна эластичности объема производства от p, тогда для устойчивости рынка соответствующая эластичность объема производства должна превышать эластичность потребителя вблизи точки равновесия. Паутинообразная модель динамики рынка показывает процесс приспособления равновесных цен и объёма продукции, а также условий, при которых это равновесное состояние существует. Невооружённым глазом видно, что модель в таком виде вряд ли применима для практического расчета цены на рынке. Главное ее назначение – ясное качественное объяснение причинно-следственных связей и механизмов приспособления между производителем и потребителем через рынок.     Самостоятельная работа № 10 Паутинообразная модель рынка   Даны два рынка: Рынок № 1 – рынок джинсов:  = 125 + N, kп = 7 + N ден. ед., kс = 10 + N ден.eд. Рынок № 2 – рынок макарон:  = 200 + N, kп = 12 + N ден. ед., kс = 7 + N ден.eд. На основе линейной паутинообразной модели для данных рынков сделать следующее: 1.     Рассчитать равновесные цену и объем продаж. 2.     Сделать прогноз цен на 4 временных шага для первого рынка, на 8 шагов – для второго. 3.     Построить график, демонстрирующий паутинообразную модель. 4.     Исследовать на сходимость рынков, сделать экономический анализ рынков. Начальная цена выбирается на обоих рынках таким образом, чтобы она превышала равновесную на 30%.             8. Моделирование на финансовом рынке   Классическая теория рынка, где взаимодействуют производители и потребители, представляет собой стационарную балансную модель, ее следствием является нахождение равновесия экономической системы. Две основные концепции условия равновесия на рынке с неполной занятостью (с наличием безработицы) – модель Кейнса и модель Фридмена. Основная идеология модели Кейнса (30-е годы 20-го века) состоит в том, что государство имеет рычаги воздействия на товарный рынок и должно корректировать свободную конкуренцию для достижения разумного равновесия. Фридмен (70-е годы) предложил монетаристский подход, суть которого в том, что вмешательство государства должно осуществляться только через финансовый рынок. Оба подхода действуют в разных ситуациях, в любом случае денежно-кредитная политика – сильный рычаг рыночного воздействия. Так государство контролирует объем выпускаемой денежной массы, норму банковского процента, выпуск государственных ценных бумаг, норму обязательных резервов и т.д.   Простые финансовые операции   Финансовая операция – предоставление в долг суммы с возвратом через некоторое время бόльшей суммы с учетом банковского процента. В этой операции функционирует важная деталь – обязательно присутствует параметр время. Рассмотрим, как в моделях учитывается тот факт, что суммы вкладываются в данный момент времени, а ожидаемая прибыль будет получена в некотором отдаленном будущем. Если положить в банк сумму А под норму процента i (i = банковский процент/100%), то эта сумма будет расти по сложным процентам и за n лет составит S = А(1 + i)n. Рассмотрим численный пример. Пусть А = 200 ден. ед. Эта сумма пролежала 5 лет и 200 дней под 20% годовых. Норма процента i = 0,2. Через пять лет будет сумма S5 = 200(1 + 0,2)5 = 497,7 ден. ед. Теперь на эту сумму за 200 дней еще “набегают” проценты и S = S5 (1 + 0,2) = 552,2 ден. ед. Обычно в банке применяется приближенная формула S  А(1 + i)5,55 = 550,1 ден. ед. (Почему приближенная формула дает заниженные оценки?) Но если ожидаемая сумма дохода через n лет равна S, то ее эквивалентная сумма на сегодня будет составлять A = S/(1 + i)n. Приведение денежной суммы к текущему моменту времени называется операцией дисконтирования, а величину 1/(1 + i) называют дисконтирующим множителем, или просто дисконтом. Таким образом, дисконтирование – определение современной цены денег (обратная операция компаундинг – операция определения цены денег в будущем). В частности, если ожидаемый доход через n лет вследствие вложенных сегодня инвестиций K равен D, то прибыль P рассчитывается так: P = D/(1 + i)n – K. Здесь рентабельность инвестиций определяется знаком и величиной P. Из этой формулы видно, что чем больше норма процента, тем менее выгодно делать инвестиции в производство, так как  < 0. Банковский процент – рычаг воздействия на объем инвестиций. Выше при расчетах предполагалось, что интервал начисления процентов – один год, и форма начисления происходит по сложным процентам. Это означает, что начисление процентов происходит после каждого года к сумме долга. Если интервал начисления будет уменьшаться, то сумма будет нарастать быстрее (увеличится эффективность финансовой операции). Рассмотрим это на примере: пусть сумма А = 200 ден. ед. пролежала в банке 5 лет под 40% годовых. Тогда i = 0,4. Если интервал начисления один год, тогда S = 200(1 + 0,4)5 = 1075,65 ден. ед. При условии, что интервал начисления один квартал, тогда количество начислений в четыре раза больше 5*4, а процент начисления в четыре раза меньше 0,4/4, отсюда S = 200(1 + 0,4/4)5*4 = 1345,50 ден. ед. Если интервал начисления один месяц, то расчетная формула и финансовые результаты будут иметь вид S = 200(1 + 0,4/12)5*12 = 1430,40 ден. ед. Можно уменьшать интервал начисления до одного дня, часа и т.д., в пределе получим формулу для непрерывного начисления процентов: . В нашем примере получим по формуле S = 200e0,4*5 = 1477,81 ден. ед. Это максимальная схема начисления за данный период с заданными банковскими процентами. Дальнейшим развитием операций на финансовом рынке являются аннуитеты (серии равновеликих платежей с равными временными интервалами), учет инфляции и т.д., что подробно рассматривается в финансовом анализе.   Объем денежной массы на финансовом рынке   Государство может регулировать рынки с помощью выпуска заданного объема денежной массы М. Решение проблемы, какой объем денежной массы Мнеобходим, происходит по следующей схеме. Один из важных параметров при этом – скорость оборота денежной массы на рынке. Введем параметр  – временной лаг l. Лаг l – это период времени между получением денег и их расходованием. Таким образом, лаг равен l = (время получения денег) – (время траты). Чтобы продемонстрировать, как временной лаг влияет на объем денежной массы, приведем простой пример. Пусть дано три рынка, на каждом по одному работнику, каждый из них получает одинаковую заработную плату – 3600 ден. ед. в год. Пусть первый работник ежедневно получает зарплату 10 ден. ед. и ежедневно ее полностью тратит. В этом случае количество денег на рынке – 10 ден. ед. Второй работник получает зарплату ежемесячно – 300 ден. ед., расходует за месяц полностью. Необходимое количество денежной массы на втором рынке – 300 ден. ед. В случае, если зарплата выплачивается раз в год в размере 3600 ден. ед., которые расходуются за данный год, тогда на третьем рынке объем денежной массы должен быть равен годовой зарплате работника. Здесь годовая зарплата во всех трех случаях одинаковая, одинаковый средний расход денег в день – 10 ден. ед., но вследствие замедления оборота денег их объем на рынках увеличивается. Временной лаг в первом случае – одни сутки, во втором – один месяц, в третьем случае – год. Этот пример показывает, что объем денег определяется не только количеством продукта Y и его ценой p, то есть общей стоимостью покупок pY, но и скоростью обращения денег на рынке. Равновесие на классическом рынке определяет объем денежной массы М, которая вычисляется по формуле М = lpY. Если это уравнение записать в виде p = M/lY, тогда видно, что при фиксированных объеме производимого продукта и скорости обращения денег на рынке легко получить инфляцию – рост цен р за счет увеличения денежной массы М. Кроме конечного продукта, на рынке государство продает другой товар – государственные ценные бумаги. Объем ценных бумаг Q на рынке в теории Кейнса зависит от нормы банковского процента i( < 0). В этом случае M = lpY + Q(i). Таким образом можно воздействовать на товарный рынок Y параметрами финансового рынка M, Q, i. В долгосрочной рыночной перспективе спрос и предложение объёма денег утрачивают связь с банковским процентом. Этот эффект независимости долгосрочного денежного рынка от банковского процента называется эффектом Фишера. Для длительного периода времени приращение объёма денег должно контролировать приращение цен Δр и объёма продукции ΔY. Таким образом, математически это можно записать так: M + ΔM  l(Y + ΔY)(p + Δp). Эта зависимость позволяет поддержать устойчивое неинфляционное состояние. В приведенной зависимости не учитываются изменения на фондовом рынке (объем ценных бумаг на рынке постоянен). Проблема контроля над массой безналичных денег на рынке решается государством с помощью нормы обязательных резервов (НОР). НОР показывает сумму, которую коммерческий банк не имеет права давать взаймы и должен держать на счете в центральном банке. НОР определяет объем безналичной денежной массы на рынке. Иначе можно увеличивать количество безналичных денег на рынке неограниченно. Обозначим r – норма обязательного резерва. Если НОР соответствует 20%, то r = 0,2. Пусть М – денежная масса наличных денег, которую выпустил центральный банк. На эту сумму совершается покупка, и эти деньги попадают в коммерческий банк. Банк дает кредит в размере M(1 – r), а оставшуюся часть rMв соответствии с требованием НОР передает в центральный банк. На рынке на сумму M(1 – r) совершается следующая сделка. Эта сумма снова попадает в коммерческий банк (возможно, в другой). С этой суммы НОР = M(1 –r)r передается в центральный банк, а оставшаяся сумма M(1 – r) снова поступает на рынок. Этот процесс изображен в табл. 9. Таблица 9 Время Рынок Коммерческий банк Резерв ЦБ 1 M M(1 – r) Mr 2 M(1 – r) M(1 – r)2 Mr(1 – r) 3 M(1 – r)2 M(1 – r)3 Mr(1 – r)2 … … … … t M(1 – r)(t-1) M(1 – r)t Mr(1 –r)(t-1)   В итоге, вместо первоначальной суммы М наличных денег на рынке будут совершены покупки на следующую сумму: M + M(1 – r) + M(1 – r) +.... = M[1 + (1 –r) + (1 – r) + (1 – r) +...] = (1/r)М. Таким образом, объем денег увеличился в 1/r раз. Например, при НОР = 20% имеем пятикратное увеличение денежной массы. Величина 1/r называется финансовым мультипликатором.   Самостоятельная работа № 11 Простые операции на финансовом рынке   Первоначальный вклад в банк составил (500 + 10N) ден. ед. Начисление производится под (30 + N)% годовых. Рассчитать, какую сумму получит вкладчик через 4 года, если: 1.     Начисления производятся ежегодно. 2.     Начисления производятся ежеквартально. 3.     Начисления производятся еженедельно. 4.     Начисления производятся ежедневно. 5.     Производится непрерывное начисление процентов. Прокомментировать связь между результатом финансовой операции и интервалом начисления процентов.   9. Имитационное моделирование   Усложнение социально-экономической жизни общества приводит к постановке проблем, которые трудно, а часто невозможно сформулировать на четком математическом языке формул, графиков, уравнений. В то же время сложно однозначно определить единую целевую функцию, поскольку множество часто противоречивых целей переплетаются в единый узел и их одновременное достижение принципиально невозможно. В таком случае, когда отсутствуют четкие количественные выражения и единая целевая функция, успешно используются методы имитационного моделирования. Имитационное (imitatio – подражание) моделирование – это замена изучаемого объекта его модельным аналогом, как правило, на компьютере. Это позволяет на основе анализа и прогноза различных ситуаций и сценариев развития событий выбрать наиболее подходящую стратегию управления. При изучении социально-экономических процессов подобный подход особенно важен, поскольку в реальной экономике эксперимент поставить дорого и сложно, кроме того, такая попытка может иметь необратимые катастрофические последствия. Методы имитационного моделирования базируются на совокупности многих наук, прежде всего математики, теории вероятностей, теории алгоритмов, системной динамики. Ниже на практических примерах будем осваивать два подхода: 1)    метод Монте-Карло; 2)    метод системной динамики. Принципиальное значение при имитационном моделировании имеет компьютерная реализация модели, поскольку, как правило, каждый сценарий развития исследуемого процесса многократно повторяется для дальнейшей статистической обработки и выявления устойчивых закономерностей, не зависящих от единичной случайной генерации.     Основная идея метода Монте-Карло   Реальные экономические процессы, как правило, включают в себя параметры, имеющие стохастическую природу. Такие случайные величины в реальной жизни можно имитировать с помощью различных устройств, например монеты (бросок: “орел” – да, “решка” – нет), кубика, рулетки. Поскольку моделирование предполагает многократное генерирование случайных чисел, то удобно это делать на компьютере, который выступает в качестве экспериментальной установки, позволяющей в интерактивном режиме исследовать социально-экономический процесс, рассчитать возможные сценарии развития, проверить выдвигаемые гипотезы. Случайные параметры задаются с помощью встроенного в компьютер датчика псевдослучайных чисел. Такой датчик встроен также в калькуляторы, содержащие функции (инженерный калькулятор). Операция обращения к датчику случайных чисел называется RND (random – сделанный наугад, случайный). При обращении к операции RND вырабатывается случайное число, равномерно распределенное на отрезке [0; 1]. В теории показано, что с помощью операции RND и математических операций можно получить любое распределение случайной величины. Рассмотрим применение этого метода на примере конкретной модели.     Пример модели учета временных затрат организации рыбного промысла   Рассмотрим простую учебную модель. Пусть фирма, имеющая одно рыболовное судно, планирует оценить временные затраты для выполнения определенной работы, например проведение пяти рыбопромысловых рейсов. Будем считать, что временной процесс организации рыбного промысла делится на три этапа, причем все три этапа зависят от случайных факторов. Первый этап – это время получения разрешения (лицензии) на лов морепродукции. Обозначим его t1. Второй этап – это готовность судна выйти в рейс. Обозначим этот параметр t2. Он принимает два значения – “да” – судно готово; “нет” – судно не готово выйти в рейс. Считаем, что если судно не готово выйти в рейс, то лицензия пропадает (переходит к другому заказчику) и судовладелец снова идет получать лицензию и ожидает время t1. Третий этап характеризует длительность рейса и в модели обозначается параметром t3. После того, как временной процесс разделен формально на три этапа, обратимся к реальным данным, чтобы проводить дальнейшие исследования. Для этого считаем, что располагаем экономической информацией за предыдущие периоды времени. Для простоты считаем, что процесс лова стационарен во времени. Учет сезонности внесет в модель усложнения, но принципиально подход не изменится. Пусть минимальный шаг по времени – одна неделя. В каждой конкретной модели степень точности и детализации зависит от целей исследования и качества исходных данных. Предположим, что была произведена обработка 100 случаев оформления разрешения и количества рейсов. Результаты представлены в виде таблиц 10-12. Таблица 10 Первый этап: t1 – недели 1 2 3 4 Число случаев 10 20 30 20 20 Вероятность pi 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2   Таблица 11 Второй этап: Готовность судна Да Нет Число случаев 90 10 Вероятность pi 0,9 0,1   Таблица 12 Третий этап: t3 – недели 3 5 Число случаев 40 60 Вероятность pi 0,4 0,6   На основе табл. 10-12 построим функции распределения случайных величин t1, t2, t3. Для компьютерной реализации перечисленных случайных величин методом Монте-Карло используем датчик RND,   [0; 1]. В результате табл. 10-12 преобразуются к следующему виду:   Таблица 10а t1 – недели Вероятность pi Функция распределения F() Случайное число 1 1 2 3 4 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2 0,1 0,3 0,6 0,8 1,0 0   < 0,1 0,1   < 0,3 0,3   < 0,6 0,6   < 0,8 0,8    1   Таблица 11а Готовность судна Вероятность pi Функция распределения F() Случайное число 2 Да Нет 0,9 0,1 0,9 1,0 0   < 0,9 0,9    1   Таблица 12а t3 – недели Вероятность pi Функция распределения F() Случайное число 3 3 5 0,4 0,6 0,4 1,0 0   < 0,4 0,4    1   Теперь проведем единичный процесс реализации имитационной модели, используя калькулятор с встроенной операцией RND. Результаты моделирования представлены в табл. 13. Таблица 13 Лицензия 1, t1 2, готовность наличие судна 3, t3 1 t1 Текущее время 2 Да/Нет 3 t3 Начало рейса Конец рейса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,654 0,132 0,042 0,975 0,919 0,119 0,742 0,078 0,802 0,018 0,418 0,613 3 1 4 4 1 3 4 2 3 3 4 4 8 12 13 16 16 20 20 22 25 0,442 Судно Судно 0,440 0,153 Судно Судно Судно 0,448 Судно Судно 0,523 Да В рейсе В рейсе Да Да В рейсе В рейсе В рейсе Да В рейсе В рейсе Да 0,179     0,126 0,526       0,305     0,307 3     3 5       3     3 3     8 12       20     25 6     11 17       23     28   Проведем анализ результатов. Для проведения 5 рейсов было затрачено 28 недель, судно непосредственно в море провело 17 недель, 11 недель прошли у пирса в ожидании лицензии. Технических отказов в данной реализации не наблюдалось. Во время рейса было “упущено” 7 лицензий.     Самостоятельная работа № 12 Имитационное моделирование методом Монте-Карло   Рассмотреть рыболовную фирму, которая планирует купить судно. Существует три варианта покупки судна – нового, подержанного и старого. Для нового судна готовность выхода в рейс 90%, то есть этот случай полностью соответствует приведенному выше примеру. Для подержанного судна эта характеристика равна 60%, а для старого – 20%. Остальные параметры модели совпадают с приведенным примером. Провести единичные модельные эксперименты для каждого типа судна. Результаты представить в виде таблиц на период 3 рейсов. Сделать сравнительный экономический анализ временных затрат.     Элементы системной динамики   Социально-экономическая система состоит из множества составных частей (элементов), которые связаны между собой и образуют определенную целостность. Начиная с 50-х годов в экономике пропагандируется научно-методологическое направление, которое получило название системный анализ. Суть системного анализа – рассмотреть изучаемый объект как систему. Если параметры объекта изменяются во времени, то система называется динамической. В этом случае принято говорить о системной динамике. В силу сложности рассматриваемого объекта параметры системы взаимосвязаны, между ними существует обратная связь. Математическую идею системной динамики можно представить так: рассчитать на следующем шаге по времени значение параметра модели yi(t) за период tв зависимости от предыдущего шага по следующей классической  схеме: yi(t + t) = yi(t) + [производство yi]t – [диссипация yi]t, где производство и диссипация свойства yi происходят за период времени [t; t + t], причем эти характеристики зависят от других параметров модели и порождают цепочку логически взаимосвязанных уравнений. В системной динамике приняты также следующие термины: yi(t) – называют фондами, [производство yi] – входным фондовым потоком, [диссипацию yi] – выходным фондовым потоком. Поскольку некоторые зависимости между фондами и потоками носят стохастический характер, модель одновременно может включать в себя метод Монте-Карло для имитации случайных процессов. То есть при моделировании могут успешно сосуществовать несколько подходов и методов.     Системный анализ на примере простейшей модели   Приведем учебную модель, преследующую цель только продемонстрировать суть подхода. Рассмотрим глобальную модель развития, зависящую от трех факторов (фондов) – количества населения N, объема производства Y, состояния природной среды P. P – это интегральный агрегированный параметр, характеризующий объем загрязнения среды и уменьшение невосполнимых ресурсов (например, нефти). Рост Р приводит к ухудшению условий для развития производства и увеличения населения. Пусть шаг во времени t = 1, тогда время принимает дискретные значения 0, 1, 2, …, к,... Обозначим Nk, Yk, Pk – значения факторов в момент времени t = k. Считаем, что динамический процесс зависит от параметра , который характеризует долю потребления населением произведенной продукции. Таким образом, в модели Yk произведенной продукции идет на потребление, (1 – )Yk продукции расходуется на защиту окружающей среды, здесь 0    1. Ясно, что в крайних случаях при   1 “все проедается”, при   0 производственный продукт вкладывается в охрану природы. Модельное уравнение динамики народонаселения имеет вид: Nk+1 = Nk(1 + 1(Yk-1 – 2Рk-1)). Здесь “производство” населения пропорционально потребленному продукту Yk-1 (уровню жизни) в предыдущий период. “Диссипация” населения пропорциональна уровню загрязнения Рk-1. Коэффициенты пропорциональности i везде постоянные, и i = 0,1 везде ниже в конкретных расчетах. Модельное уравнение изменения объема производства имеет вид Yk+1 = Yk + [3Nk + Yi] – 4Рk. Здесь рост объема производства зависит от постоянной части Yi вследствие технического прогресса, а также пропорционален количеству населения (объем трудовых ресурсов). Замедление объема производства возникает из-за деградации природной среды. Модельное уравнение для расчета агрегированного параметра деградации среды Р имеет вид: Pk+1 = Pk + 5Yk – 6(1 – )Yk. Здесь рост загрязнения пропорционален объему производства, а уменьшение воздействия на среду обеспечивается расходами на ее защиту. Пусть все i = 0,1, Yi = 0,1. Начальные условия N0 = 1, Y0 = 1, P0 = 1. Известно также, что Y-1 = 0,95, P-1 = 0,95. Уравнения примут вид   Проведем сценарные расчеты прогноза N, Y, P в зависимости от уровня потребления  на три временных шага: 1-й сценарий:  = 0,5. Тогда уравнение для первого шага имеет вид: Продолжая процесс, получим следующие результаты (табл. 14). Таблица 14   -1 1 2 3 Nk – 1 1,038 1,080 1,128 Yk 0,95 1 1,100 1,199 1,297 Pk 0,95 1 1,050 1,105 1,165   2-й сценарий:  = 1. Этот случай соответствует обществу потребления. В этом случае расчеты представлены в табл. 15. Таблица 15   -1 1 2 3 Nk – 1 1,086 1,184 1,301 Yk 0,95 1 1,100 1,199 1,296 Pk 0,95 1 1,100 1,21 1,330   3-й сценарий:  = 0. В третьем сценарии  = 0 соответствует победе “зеленого движения”. Результаты представлены в виде табл. 16: Таблица 16   -1 1 2 3 Nk – 1 0,991 0,981  0,971 Yk 0,95 1 1,100 1,199 1,297 Pk 0,95 1 1 1 1   Экономический анализ, который заключается в сравнении сценариев, верен только в рамках предположений, заключенных в модель. Построенная модель ведет себя следующим образом: уровень потребления сильно влияет на динамику народонаселения и изменяется от +30% до уменьшения в третьем сценарии на 3%. Степень деградации среды также может значительно изменяться от того, как будет распределяться произведенный продукт. Динамика изменения произведенного продукта слабо зависит от варьируемого параметра и больше зависит от Y – постоянной части роста вследствие технического прогресса. Напоминаем, что данный анализ носит модельный характер. В реальных исследованиях модель необходимо адаптировать к жизненной ситуации, используя реальные данные и эконометрические методы.     Самостоятельная работа № 13 Элементы системной динамики   1. Сделать прогноз на 5 временных шагов на основе модели, приведенной выше в качестве примера. Считаем, что изменены начальные условия следующим образом: N0 = 1 + N10-1, Y0 = 1 + N10-1, P0 = 1 + N10-1, Y-1 = 0,9Y0, P-1 = 0,9P0. (В формулах N – индивидуальный номер студента.) 2. Рассмотреть три сценария: когда население потребляет 20, 60 и 90% производимого продукта. Расчеты представить в виде таблиц и графиков. Провести сравнительный экономический анализ. Сделать относительные оценки изменения параметров.       10. Динамические модели экономики   Рассмотрим простейшие модели, учитывающие временные изменения параметров. Такие модели служат элементарной основой для построения сложных систем, которые требуют серьезного системного анализа, в результате чего можно прогнозировать поведение, исследовать устойчивость на внешние возмущения, выбрать стратегии развития и эксплуатации. Напомним, что построенная математическая модель – это не цель, а средство изучения реального объекта.     Модель Мальтуса   Наблюдения за жизнью популяции, в частности за численностью населения L(t), во времени показывает, что в определенных условиях простейшая зависимость –скорость роста популяции – пропорциональна численности популяции; тогда  или .   Здесь r – мальтузианский параметр популяции. Экономический смысл этого параметра следующий: за время  численность популяции увеличиться в eраз. Решение данного  дифференциального уравнения L(t) = L0ert. Таким образом, в идеале рост популяции происходит в геометрической прогрессии. Дискретный аналог модели Мальтуса имеет вид L(t + Δt) = L(t) + rL(t)Δt. В приведенной модели рост популяции бесконечен. В действительности рост ограничен так называемой емкостью среды E. В этом случае дискретный аналог модели имеет вид а дифференциальный В последнем случае динамика популяции описывается следующим выражением: Анализ этого решения показывает, что в итоге (t  ) начальная численность L0 населения достигнет емкости среди E.     Модель типа “хищник – жертва”   Математическая модель “хищник – жертва” – классическая для изучения взаимодействия популяций. Ее называют моделью типа Лоттке-Вольтерра. Представленный ниже пример может быть полезен для анализа социально-экономических процессов. Пусть L(t) – количество хищников (хозяев), X(t) – количество жертв (пища для хозяев). В простейшем случае динамика жертв обеспечивается балансом собственного воспроизведения с мальтузианским коэффициентом r и скоростью потребления V(x). Функция скорости потребления V(x), как правило, имеет S-образный вид с горизонтальной асимптотой (насыщением) D. Хищники убывают вследствие смертности m, а возрастают пропорционально скорости потребления жертв. Модельная система имеет вид: где g – КПД переработки пищи. Исследование системы показывает, что динамика развития происходит в виде стационарных колебаний численности обеих сторон около окрестности равновесия. Динамика стабильна, когда комбинация параметров  будет больше некоторого критического значения.     Модель экономического роста Солоу   Базовая односекторная модель Солоу служит теоретической основой изучения долговременных тенденций экономического развития макроэкономических параметров. Модель считается замкнутой. Здесь вся выпускаемая продукция делится на потребление и инвестиции в экономику. Главное её достоинство – простое аналитическое решение и наличие стационарной траектории – экспоненциального роста во времени экономических показателей таким образом, чтобы относительные показатели не изменялись во времени. Пусть для определенности объем производства задается производственной функцией Кобба-Дугласа Y = AKL1-. Считаем, что рост рабочей силы вследствие роста населения происходит по модели Мальтуса, то есть L = L0ert. Произведенный продукт частично потребляется в объеме cY, 0 < c < 1, где c – коэффициент, называемой нормой потребления. Остальная часть производственного продукта (1 – c)Y идет на восстановление капитальных фондов, которые имеют естественный износ с коэффициентом пропорциональности . Отсюда имеем K = -Kt + (1 – c)Yt или . Приведенные уравнения позволяют при заданных начальных условиях – численности населения L0 и объеме капитала K0 в фиксированный момент времени – рассчитать эти характеристики и выпуск Y как функции времени. Приведенная модель обладает одним очень ценным свойством. Если ввести относительные экономические показатели (нормировать на единицу труда), то есть:  – фондовооруженность одной единицы труда;  – производительность труда. Тогда уравнения модели можно переписать так:   Начальные условия примут вид . Приведенная система имеет стационарное решение (то есть решение при ). Стационарное решение удовлетворяет системе двух алгебраических уравнений относительно неизвестных : . Решение приведенной системы имеет вид: Из решения видно, что стационарное (устойчивое) развитие происходит в лучших условиях, если: 1)   хорошие производственные показатели (А – растет,   1); 2)   рост населения разумный (r – уменьшается); 3)   отношение к производственным фондам бережное ( –уменьшается); 4)   потребление разумное (с – уменьшается). В скобках указанны направления изменения параметров, обеспечивающие рост производительности труда и фондовооруженности. Поскольку мы живем в обществе потребления, то возникает вопрос, какое возможно максимальное потребление произведенного продукта cy, чтобы одновременно обеспечить стационарное (устойчивое) развитие. Среднедушевое стационарное потребление . Из последнего выражения видно, что среднедушевое потребление можно оптимизировать по с, если будет выполняться следующее: . Максимум этой функции достигается в точке . Таким образом, максимальное устойчивое потребление обеспечивается в случае, если норма потребления равна эластичности объема производства по труду. Поэтому из данной модели следует, что потребляет больше тот, у кого выше производительность труда (при прочих равных условиях).     Самостоятельная работа № 14 Динамическая модель Солоу   1. При заданных ниже параметрах экономической системы найти стационарную траекторию развития при условии, что норма потребления оптимальна: , . 2. Считая, что в начальный момент времени L0 = 1000 + 100N, K0 = 2000 + 200N, построить графики Y(t), K(t), L(t) на три года вперед. 3. Пусть норма потребления увеличиться на 20% по отношению к оптимальной. Подсчитать, на сколько процентов уменьшится объем потребленного продукта.   11. Модель Лоренца   Одна из причин, по которой государство вмешивается и регулирует рыночные отношения, это попытка воплощения социальной справедливости – выравнивание уровня благосостояния семей. Один из подходов количественной оценки этого показателя – модель Лоренца. Положительное свойство модели – определяющие параметры измеряются в безразмерных единицах. Это позволяет сравнивать равномерность распределения доходов стран с разным населением и благосостоянием, например Индию и Швейцарию.     Построение модели Процедура построения модели следующая: 1 шаг. Все население (семьи) “выстраиваем” в порядке возрастания доходов. Первая семья самая бедная, затем богаче и т.д. – до самой богатой. 2 шаг. Все упорядоченное множество семей делим на равные части, например на децили (процент – сотая часть целого, дециль – десятая часть целого – 10%, квинтиль – пятая часть целого, квота – четвертая часть целого – 25%). Если обозначить суммарные доходы i-го дециля Di, то естественно выполняется Di ≤ Dj, при i > j, причем самое бедное население в первом дециле, самое богатое – в десятом. 3 шаг. Пусть суммарный доход всего населения равен D. Естественно, что D = ∑Di (i = 1…10). Тогда доля общего дохода в процентах, которое получает первый дециль, равен . Доля общего дохода, который получают первые два дециля населения, рассчитывается по следующей формуле: . Продолжая эту процедуру для трех, четырех и т.д. децилей, получим Ясно, что m10 = 100%. Экономическая интерпретация этой процедуры следующая: mk показывает, какую часть в процентах от общего дохода всего населения получают семьи, входящие в первые k децилей. На рис. 8 кривая mi как функция относительной доли семей будет иметь вид:                               Рис. 8   Здесь надо отметить, что кривая всегда будет расположена в треугольнике ОВА и иметь вид натянутого лука (1), который экономисты называют луком Лоренца. Причем если доходы распределены равномерно между всеми семьями общества, то кривая примет форму прямой ОА не натянутого лука. В другом крайнем случае, когда все население практически ничего не получает, а доход сосредоточен у узкого круга семей (одной семьи), то лук будет максимально “натянут” и кривая приблизится к ломаной ОВА. Промежуточный случай изображен на рис. 8, кривая (1). Важным точечным показателем равномерности распределения доходов является величина . Если доходы распределены равномерно, то γ = 1, чем больше неравномерность тем γ больше. Так, для России этот показатель оценивается примерно так: γ ≈ 30÷40 (без учета доходов в теневой экономике), в экономически развитых, политически устойчивых странах этот показатель ниже. Интегральным показателем является коэффициент Джинни, который равен отношению площади под кривой Лоренца к площади треугольника ОАВ. Ясно, что этот коэффициент изменяется от нуля до единицы, и чем больше, тем равномернее распределены доходы.     Численный пример построения модели Лоренца   Рассмотрим общество, состоящее из трех социальных слоев – рабочих, крестьян, чиновников. Данные по доходам и количеству семей приведены в табл. 17. Таблица 17 Социальный слой Количество, тыс. семей Доход, ден. ед. Рабочие 5 200 Крестьяне 3 100 Чиновники 2 500   Из данной таблицы видно, что общество состоит из 10 тыс. семей, их общий суммарный доход равен: D = 5200 + 3100 + 2500 = 2300 тыс. ден. ед. 1 шаг. Упорядочим общество в порядке возрастания доходов, тогда табл. 18 примет следующий вид. Таблица 18 Социальный слой Количество, тыс. семей Доход, ден. ед. Крестьяне 3 100 Чиновники 2 500 Рабочие 5 200   2 шаг. Для простоты и наглядности в данном примере разделим общество на четыре части – квоты по 2,5 тыс. семей (табл. 19). Таблица 19 1-я квота 2,5 тыс. крестьян D1 = 2,5100 = 250 тыс. ден. ед. 2-я квота 0,5 тыс. крестьян +  2 тыс. рабочих D2 = 0,5100 + 2200 = 450 тыс. ден. ед. 3-я квота 2,5 тыс. рабочих D3 = 500 тыс. ден. ед. 4-я квота 0,5 тыс. рабочих +  2 тыс. чиновников D4 = 1100 тыс. ден. ед.   В данном обществе . (Если провести анализ на уровне децилей, тогда .) 3 шаг. Рассчитаем mk. Получаем, %: m1 = 10,87; m2 = 30,43; m3 = 52,17; m4 = 100. Полученные расчеты соответствуют кривой (1) на рис. 8. Проведем следующий экономический сценарий на основе данной модели. Пусть суммарный доход общества в ожидаемой перспективе увеличится на 20%, то есть на 460 тыс. ден. ед. Рассмотрим два сценария распределения дополнительных доходов: 1-й сценарий: всем социальным слоям повысить доход на 20%. 2-й сценарий: всем социальным слоям повысить доход на равную величину – 46 ден. единиц. Тогда получим следующие данные (табл. 20). Таблица 20 Социальный слой Количество, тыс. семей Доход, ден. ед. 1-й сценарий Доход, ден. ед. 2-й сценарий Рабочие 5 240 246 Крестьяне 3 120 146 Чиновники 2 600 546   Построив модель Лоренца для обоих сценариев и сравнив с базовым, получим, что в первом случае кривая совпадает с кривой (1) на рис. 8, то есть степень правомерности распределения доходов остается прежней. Во втором сценарии кривая Лоренца будет более пологой, кривая (2) на том же рисунке. Это означает, что второй сценарий выравнивает доходы между семьями. Во втором сценарии имеем, %: m1 = 13,22; m2 = 33,70; m3 = 60,00; m4 = 100;  = 3,3.   Самостоятельная работа № 15 Модель Лоренца   1. Проанализировать на основе модели Лоренца общество, параметры которого заданы в табл. 21. Таблица 21 Социальный слой Численность,  тыс. семей Доходы,  ден. ед. Преподаватели Студенты Рабочие Служащие Врачи Чиновники Крестьяне Пенсионеры 2 8 11 9 4 7 3 6 200 + N 100 – N 280 + N 360 – N 195 + N 610 – N 95 + N 82 – N 2. Построить модель Лоренца, деля общество на децили. 3. Посчитать γ, средневзвешенный доход (среднее арифметическое) и средний доход, рассчитанный по медиане (доход семьи, расположенной в середине упорядоченного общества). 4. Рассчитать сценарий, когда всем семьям увеличен доход на 105 ден. единиц. 5. Построить все кривые в одной системе координат. Провести сравнительный экономический анализ.