Собственные значения и собственные векторы матрицы

Собственные значения и собственные векторы матрицы Определение. Число называется собственным значением квадратной матрицы А порядка n, если можно подобрать такой ненулевой n-мерный вектор ⃗ , что выполняется равенство ⃗ ⃗. Множество всех собственных значений матрицы А совпадает с множеством | всех решений уравнения | , которое называется характеристическим уравнением матрицы А. Пример. Найти собственные значения матрицы ( ). Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы А. Так как ( ) ( ) ( ), то | | | | . Следовательно, характеристическое уравнение матрицы А имеет вид: . Раскладывая левуючасть уравнения на множители, получим , ( ) , ( ) ( )( ) ( ) , ( )( ( ) ) , ( )( ) , или Следовательно, матрица А имеет два собственных значения: , . Ответ: , Определение. Ненулевой вектор ⃗ называется собственным вектором квадратной матрицы А, принадлежащим её собственному значению , если выполняется равенство ⃗ ⃗ . Множество всех собственных векторов матрицы А, принадлежащих её собственному значению , совпадает с множеством всех ненулевых реше)⃗ ⃗ . Множество решений ний однородной системы линейных уравнений ( этой системы обозначают ( ). Пример. Найти собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы 1 1  1 A 1  0 0 0 0  1 1 1 . 0 1 0  1 0 1  Решение: | 0: 1) Собственные значения матрицы найдём из уравнения | 0  1 0 0 0  1 0 0 0  1        1 1 1  1 1 1 1  0 1 0 0  1 . A E      1 0 1 0 0 0 1 0  1 1 0        1 1 1 1 1        1 1 1 A  E  (1  ) 0 1 0  (1  )  (1  ) 3  (1  ) , 1 1     (1  )  (1  ) 3  (1  )  0, 1  1, 2  0, 2  2. а) 1 2) Собственные векторы найдём из системы уравнений ( 1  0 0 0 0   1 1 1   . A  1E   1 0 0 0   1    0 0 0 0  x1   0       1 1 1   x 2   0   1 0 0 0  x    0  ,   3     0 1 0 0  x 4   0   x1  x3  x 4  0,   x1  0,  x  0;  2  x1  0,   x 2  0, x   x . 3  4 Следовательно, б) 2 A(1)  C (0;0;1;1). 1 2 )⃗ ⃗. 1 0 0 0   1 1 1 1 . A  2E   1 0 1 0   1 1    1 0 0 0  x1   0       1 1 1 1   x 2   0   1 0 1 0  x    0  ,   3     0 1 0 1  x 4   0   x1  0,  x  x  x  x  0,  1 2 3 4   x1  x3  0,  x2  x 4  0;  x1  0,   x3  0, x   x .  4 2 Следовательно, а) 3 A(0)  C (0;1;0;1). 2  1 0 0 0     1 1 1 1  . A  3E   1 0 1 0    1  1     1 0 0 0  x1   0        1  1 1 1  x2   0   1 0  1 0  x    0  ,   3     0 1 0  1 x4   0   x1  0,  x  x  x  x  0,  1 2 3 4   x1  x3  0,  x2  x4  0;  x1  x3  0,   x4  x2 . Следовательно, A(2)  C (0;1;0;1). Ответ: A(1)  C (0;0;1;1) , A(0)  C (0;1;0;1) A(2)  C (0;1;0;1) . 3