Случайные величины

Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 57 Ëåêöèÿ 3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, å¼ ñâîéñòâà. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèÿ è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, èõ ñâîéñòâà. 3.1. Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Êðîìå ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé è âåðîÿòíîñòåé èõ ïîÿâëåíèÿ, â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íàñ îáû÷íî èíòåðåñóþò íåêîòîðûå âåëè÷èíû, ñâÿçàííûå ñî ñëó÷àéíûìè ñîáûòèÿìè è íàçûâàåìûå ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Òàê, â àçàðòíûõ èãðàõ, êðîìå âåðîÿòíîñòåé âûèãðûøà, îáû÷íî èíòåðåñóþòñÿ ðàçìåðîì âûèãðûøà. Îïðåäåëåíèå 3.1. Ñëó÷àéíîé íàçûâàþò âåëè÷èíó, êîòîðàÿ â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ïðèíèìàåò òî èëè èíîå çíà÷åíèå â çàâèñèìîñòè îò èñõîäà èñïûòàíèÿ. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû áóäåì èçîáðàæàòü ãðå÷åñêèìè áóêâàìè: ξ (êñè), ζ (äçåòà), η (ýòà), θ (òåòà) è ò.ä., à èõ âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ñòðî÷íûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè: x, y , z è ò.ä. Îïðåäåëåíèå 3.2. Äèñêðåòíîé íàçûâàþò ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò îòäåëüíûå çíà÷åíèÿ èç êîíå÷íîãî èëè áåñêîíå÷íîãî ñ÷¼òíîãî ìíîæåñòâà. Ò.å. âñå ýòè çíà÷åíèÿ ìîæíî ¾ïåðåñ÷èòàòü¿  ïîñòàâèòü èì â ñîîòâåòñòâèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ãîâîðÿò, ÷òî âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñîñòàâëÿþò åe ñïåêòð. Îïðåäåëåíèå 3.3. Íåïðåðûâíîé íàçûâàþò ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó êîòîðàÿ ìîæåò ïðèíèìàòü âñå çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî èëè áåñêîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà. ×èñëî âîçìîæíûõ çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû áåñêîíå÷íî. Ïðèìåðû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí: äèñêðåòíûõ:  ÷èñëî ïîïàäàíèé èëè ïðîìàõîâ â ñåðèè âûñòðåëîâ; 58 Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À.  ÷èñëî âûïàäåíèé ãåðáà èëè ðåøêè ïðè ïîäáðàñûâàíèè ìîíåòû;  ÷èñëî ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ ïðè n èñïûòàíèÿõ  è ò.ï.; • íåïðåðûâíûõ:  îòêëîíåíèå ðàçìåðà äåòàëè îò íîìèíàëüíîãî;  ðåñóðñ (âðåìÿ áåçîòêàçíîé ðàáîòû) ñèñòåìû;  ôèçè÷åñêèå ïàðàìåòðû ñèñòåìû (òåìïåðàòóðà, äàâëåíèå, âëàæíîñòü);  äëèíà òîðìîçíîãî ïóòè àâòîìîáèëÿ;  äàëüíîñòü ïîëåòà ñíàðÿäà;  ïðîäîëæèòåëüíîñòü æèçíè ÷åëîâåêà  è ò.ï. Îïðåäåëåíèå 3.4. Çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèå ìåæäó âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè ýòîé âåëè÷èíû è ñîîòâåòñòâóþùèìè èì âåðîÿòíîñòÿìè. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ  òàáëèöåé, â êîòîðîé ïåðå÷èñëåíû âñå çíà÷åíèÿ, ïðèíèìàåìûå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé è ñîîòâåòñòâóþùèå èì âåðîÿòíîñòè (ñì. òàáë. 3.1.) Òàáëèöà 3.1 Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ξ x1 x2 . . . xn p p1 p2 . . . pn  òàáëèöå 3.1 äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , ïðèíèìàþùåé n çíà÷åíèé x1 , . . . , xn , ïåðå÷èñëåíû âåðîÿòíîñòè pi = P {ξ = xi }. Òàêàÿ òàáëèöà íàçûâàåòñÿ ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ, à åe ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå  ìíîãîóãîëüíèêîì ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîñêîëüêó â äàííîì èñïûòàíèè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ îáÿçàòåëüíî ïðèíèìàåò îäíî èç ñâîèõ n çíà÷åíèé, ñîáûòèÿ ξ = x1 , ξ = x2 , . . . , ξ = xn îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé (2.1), ïîëó÷àåì, ÷òî ñóììà èõ âåðîÿòíîñòåé ðàâíà âåðîÿòíîñòè äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ, ò.å. 1: p1 + . . . + pn = 1. Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 59 Îïðåäåëåíèå 3.5. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñîáûòèÿ ξ = xi è η = yj ïðè ëþáûõ ñî÷åòàíèÿõ çíà÷åíèé i = 1, 2, · · · , k, j = 1, 2, · · · , n. 3.6. Ïðîèçâåäåíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íà ïîñòîÿííîå ÷èñëî α íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà αξ , ïðèíèìàþùàÿ âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ αxi ñ òåìè æå âåðîÿòíîñòÿìè, ñ êàêèìè ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ xi . Îïðåäåëåíèå 3.7. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ k (k  íàòóðàëüíîå ÷èñëî) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè xki è âåðîÿòíîñòÿìè âåðîÿòíîñòÿì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . P (xki ) = P (xi ), i = 1, n. Îïðåäåëåíèå 3.8. Ñóììîé (ðàçíîñòüþ) ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η áóäåò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ = ξ ± η , êîòîðàÿ ïðèíèìàåò âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ xi ± yj ñ âåðîÿòíîñòÿìè pij = P {(ξ = xi ) · P (η = yj )} = pi · p′j , i = 1, k, j = 1, n. Îïðåäåëåíèå 3.9. Ïðîèçâåäåíèåì íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η áóäåò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ = ξ · η âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ êîòîðîé ðàâíû ïðîèçâåäåíèÿì âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η  xi · yj , à ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè ïåðåìíîæàþòñÿ. Îïðåäåëåíèå Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ = ξ · η áóäåò èìåòü âèä ζ = ξη x1 y1 · · · P p1 p′1 · · · x1 yn · · · p1 p′n · · · xk y1 · · · pk p′1 · · · xk yn pk p′n Ïðèìåð 3.1. Ïðè áðîñàíèè ìîíåòû èãðîê ïîëó÷àåò 1$ ïðè âûïàäåíèè îðëà è ïëàòèò 1$ ïðè âûïàäåíèè ðåøêè. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ , ðàâíàÿ âûèãðûøó â îäíîé èãðå, çàäà¼òñÿ çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ: ξ 1 −1 p 0,5 0,5 Ïðèìåð íèÿ: 3.2. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà çàêîíîì ðàñïðåäåëå- ξ 1 2 5 10 p 0,1 0,3 0,2 60 Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Íàéòè îòñóòñòâóþùóþ âåðîÿòíîñòü. IÈç óñëîâèÿ 0,1 + p2 + 0,3 + 0,2 = 1 îïðåäåëÿåì: p2 = 0,4.J Îòâåò: p2 = 0,4. Èíîãäà óäîáíî èçîáðàçèòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàôè÷åñêè: ïî îñè àáñöèññ îòëîæèòü çíà÷åíèå xi , à ïî îñè îðäèíàò  ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè pi . Ïîëó÷åííûå òî÷êè ñîåäèíÿþò îòðåçêàìè ïðÿìûõ. Ïîëó÷èâøèéñÿ ãðàôèê íàçûâàåòñÿ ìíîãîóãîëüíèêîì âåðîÿòíîñòåé. Íà ðèñ. 11 èçîáðàæ¼í ìíîãîóãîëüíèê âåðîÿòíîñòåé äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èç ïðèìåðà 3.2. Ðèñ. 11. Ïðèìåð 3.2 Ïðèìåð 3.3. Äàíû äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η c çàäàíà çàêîíàìè ðàñïðåäåëåíèÿ: ξ 0 1 p 0,4 0,6 η 1 2 p 0,2 0,8 Îïðåäåëèòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû α = ξ + η è β = ξ · η . IÎïðåäåëÿåì çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû α. Ñóììèðóåì çíà÷åíèÿ ýòèõ âåëè÷èí, ïîëó÷àåì òðè çíà÷åíèÿ: α = {1, 2, 3}. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ α = 1 ðàâíà âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ T (ξ = 0) (η = T S 1) ⇒TP (α = 1) = P (ξ = 0) · P (η = 1) = 0,4 · 0,2 = 0,08. (η = 2) (ξ = 1) (η = 1) ⇒ P (α = 2) = 0,4 · 0,8 + 0,6 · 0,2 = 0,44. Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 61 Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ α = 3 ðàâíà âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ T (ξ = 1) (η = 2) ⇒ P (α = 3) = 0,6 · 0,8 = 0,48. Îïðåäåëÿåì çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû β . Óìíîæàåì çíà÷åíèÿ ýòèõ âåëè÷èí, ïîëó÷àåì òðè çíà÷åíèÿ: β = {0, 1, 2}. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ β =T0 ðàâíà âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ T S (ξ = 0) (η = 1) ξ = 0) (η = 2) ⇒ P (β = 0) = 0,4 · 0,8 + 0,6 · 0,2 = 0,4. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ β = 1 ðàâíà âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ T (ξ = 1) (η = 1) ⇒ P (β = 1) = 0,6 · 0,2 = 0,12. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ α = 2 ðàâíà âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ T (ξ = 1) (η = 2) ⇒ P (β = 3) = 0,6 · 0,8 = 0,48. Ïîëó÷èëè çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí α = ξ + η è β =ξ·η α 1 2 3 p 0,08 0,44 0,48 β 0 1 2 p 0,4 0,12 0,48 Îòìåòèì, ÷òî ñóììà âåðîÿòíîñòåé îáåèõ âåëè÷èí ðàâíà 1.J Êðîìå îäíîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èçó÷àþò òàêæå äâóìåðíûå, òð¼õìåðíûå è ìíîãîìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ðàññìîòðèì òî÷êó íà ïëîñêîñòè ñî ñëó÷àéíûìè êîîðäèíàòàìè (ξ; ζ). Âíà÷àëå ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà îáå ñîñòàâëÿþùèå  äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ò.å. ìíîæåñòâî èõ çíà÷åíèé êîíå÷íî èëè ñ÷¼òíî. Îïðåäåëåíèå 3.10. Çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ ïåðå÷åíü âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ýòîé âåëè÷èíû, ò.å. ïàð ÷èñåë (xi ; yj ), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, è èõ âåðîÿòíîñòåé pij = P {ξ = xi ; ζ = yi }. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàþò â âèäå òàáëèöû ñ äâîéíûì âõîäîì, â êîòîðîé óêàçûâàþò âñå çíà÷åíèÿ xi , yi , êîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü ξ è ζ è èõ âåðîÿòíîñòè pij . ζ y1 . . . yj ξ\ x1 p11 . . . p1j .. .. .. .. . . . . xi pi1 . . . pij .. .. .. .. . . . . xn pn1 . . . pnj ... ... .. . ym p1m .. . . . . pim .. .. . . . . . pnm 62 Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Òàê êàê ñîáûòèÿ {ξ = xi , ζ = yi }, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m ïîïàðíî íåñîâìåñòíû è â ñóììå äàþò äîñòîâåðíîå ñîáûòèå, ñóììà âñåõ âåðîÿòíîñòåé ðàâíà 1. Çíàÿ äâóìåðíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, ìîæíî íàéòè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé (íî íå íàîáîðîò). Íàïðèìåð, äëÿ ξ èìååì: P {ξ = xi } = P {ξ = xi , ζ = y1 } + P {ξ = xi , ζ = y2 } + . . . m P . . . + P {ξ = xi , ζ = ym } = pij = pi· . (3.1) j=1 Àíàëîãè÷íî äëÿ ζ ïîëó÷èì P {ζ = yi } = n X pij = p·j . (3.2) i=1 Èòàê, ñëîæèâ âåðîÿòíîñòè ïî ñòðîêàì è çàïèñàâ èõ â ïîñëåäíèé ñòîëáåö, ìû ïîëó÷èì ðàñïðåäåëåíèå ñîñòàâëÿþùåé ξ . Ñëîæèâ âåðîÿòíîñòè ïî ñòîëáöàì è çàïèñàâ èõ â ïîñëåäíþþ ñòðî÷êó, ìû ïîëó÷èì ðàñïðåäåëåíèå ñîñòàâëÿþùåé ζ . 3.2. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. 3.2.1. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò äèñêðåòíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó. Îäíàêî èíîãäà óäîáíåå õàðàêòåðèçîâàòü å¼ ñ ïîìîùüþ íåñêîëüêèõ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåò îäíî èç ñâîéñòâ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îäíîé èç òàêèõ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. 3.11. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì M (ξ) äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ñóììà ïðîèçâåäåíèé âñåõ å¼ çíà÷åíèé íà ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè: Îïðåäåëåíèå M (ξ) = x1 p1 + x2 p2 + . . . + xn pn . (3.3) 3.1. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ýòî âïîëíå îïðåäåë¼ííîå ÷èñëî. Çàìå÷àíèå 3.2. Åñëè y = g(x)  íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , ζ = g(ξ) òàêæå áóäåò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé è å¼ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: Çàìå÷àíèå M (g(ξ)) = g(x1 ) · p1 + · · · + g(xn ) · pn . Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 63 Ïðèìåð 3.4. Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èç ïðèìåðà 3.2 íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. ξ 1 2 5 10 p 0,1 0,4 0,3 0,2 IM (ξ) = 1 · 0,1 + 2 · 0,4 + 5 · 0,3 + 10 · 0,2 = 4,4.J Îòâåò: M (ξ) = 4,4. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòíîãî ñìûñëà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð. Ïðèìåð 3.5. Èç 10 îöåíîê äàííîãî ñòóäåíòà 7 òðîåê, 2 ÷åòâ¼ðêè è 1 ïÿòåðêà. Êàêîâà ñðåäíÿÿ îöåíêà äàííîãî ñòóäåíòà? IÏðîñòûå âû÷èñëåíèÿ äàþò ðåçóëüòàò: 7·3+2·4+1·5 = 3,4. 10 Çàïèñàâ ýòè âû÷èñëåíèÿ â âèäå 7 2 1 +4· +5· , 10 10 10 ïîëó÷èì, ÷òî ñðåäíÿÿ îöåíêà ðàâíà ñóììå ïðîèçâåäåíèé îöåíîê íà èõ îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó. Êàê îòìå÷àëîñü, ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà èñïûòàíèé îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ñòàáèëèçèðóåòñÿ âîêðóã âåðîÿòíîñòè. Èç ñêàçàííîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ñóììà ïðîèçâåäåíèé çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íà èõ ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè ðàâíà ñðåäíåìó çíà÷åíèþ ýòîé âåëè÷èíû.  ýòîì çàêëþ÷àåòñÿ âåðîÿòíîñòíûé ñìûñë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ: ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî ñðåäíåìó çíà÷åíèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.J 3,4 = 3 · 3.3. Ïðîèñõîæäåíèå òåðìèíà ¾ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå¿ îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî íà ðàííåì ýòàïå òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé â îñíîâíîì çàíèìàëàñü àçàðòíûìè èãðàìè è èãðîêà èíòåðåñîâàë ñðåäíèé îæèäàåìûé âûèãðûø. Çàìå÷àíèå Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. 1. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êîíñòàíòû ðàâíî êîíñòàíòå: M (C) = C. Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê êîíñòàíòà çàäà¼òñÿ ñëåäóþùèì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ: 64 Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. ξ C p 1 , å¼ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå î÷åâèäíî ðàâíî M (C) = C · 1 = C. 2. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü âûíîñèòñÿ çà çíàê ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ: M (C · ξ) = C · M (ξ). Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ  òàáëèöåé 3.1, òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Cξ , î÷åâèäíî, çàäà¼òñÿ ñëåäóþùåé òàáëèöåé: Cξ Cx1 Cx2 . . . Cxn p p1 p2 . . . pn è å¼ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî: M (Cξ) = Cx1 p1 +Cx2 p2 + . . .+Cxn pn = C(x1 p1 + . . .+xn pn ) = CM (ξ). (3.4) 3. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóììû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíî ñóììå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ýòèõ âåëè÷èí: M (ξ + ζ) = M (ξ) + M (ζ). (3.5) 3.4. Êàê ñëåäóåò èç ñâîéñòâ 1 è 3, M (ξ + C) = M (ξ) + C. Çàìå÷àíèå Çàìå÷àíèå 3.5. Ñâîéñòâà 2 è 3 ïîçâîëÿþò äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , . . . , ξn è ÷èñåë C1 , . . . , Cn íàïèñàòü: M (C1 ξ1 + . . . + Cn ξn ) = C1 M (ξ1 ) + . . . + Cn M (ξn ).  ÷àñòíîñòè: M (ξ − ζ) = M (ξ) − M (ζ). Äëÿ òîãî, ÷òîáû èìåòü âîçìîæíîñòü ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùåå ñâîéñòâî, äàäèì îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìûõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Îïðåäåëåíèå 3.12. Äâå äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è ζ íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè âåðîÿòíîñòè pij â çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ äâóìåðíîé äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ; ζ) ðàâíû ïðîèçâåäåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðîÿòíîñòåé îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñîñòàâëÿþùèõ: pij = pi· · p·j . Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 65 Êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé èç íèõ íå çàâèñèò îò çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ äðóãîé. Åñëè, íàïðèìåð, äâå íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è ζ èìåþò çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ, îïðåäåëÿåìûå òàáëèöàìè 3.2 è 3.3, òî èõ ïðîèçâåäåíèå áóäåò èìåòü ðàñïðåäåëåíèå, çàäàâàåìîå òàáëèöåé 3.4. ξ p Òàáëèöà 3.2 x1 x2 p1 p2 ζ p Òàáëèöà 3.3 y1 y2 g1 g2 ξ · ζ x1 y1 p p1 g 1 Òàáëèöà 3.4 x1 y2 x2 y1 x2 y2 p1 g 2 p2 g 1 p2 g 2 Äåéñòâèòåëüíî, â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 3.12, íàïðèìåð, äëÿ ïåðâîé âåðîÿòíîñòè èç òàáëèöû 3.4 èìååì: P {ξ · ζ = x1 y1 } = P {ξ = x1 , ζ = y1 } = P {ξ = x1 } · P {ζ = y1 } = p1 g1 . Òåïåðü ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ïîñëåäíåå ñâîéñòâî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ: 4. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé: M (ξ · ζ) = M (ξ) · M (ζ). Äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, çàäàâàåìûõ òàáëèöàìè 3.2, 3.3, 3.4, ñòóäåíòàì ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî. Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ äâóìåðíûõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ n-ìåðíîé äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû çàäàþò â âèäå òàáëèöû ñ n âõîäàìè, â êîòîðîé óêàçûâàþò çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé pi1 ,i2 ,··· ,in òîãî, ÷òî n-ìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ1 , ξ2 , · · · , ξn ) ïðèíÿë çíà÷åíèå (xi1 , xi2 , · · · , xin ), ãäå 66 Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. êàæäàÿ êîìïîíåíòà ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèå èç êîíå÷íîãî èëè ñ÷¼òíîãî ìíîæåñòâà. Çíàÿ n-ìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå pi1 ,i2 ,··· ,in ìîæíî ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé pi1 , pi2 , · · · , pin (îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî). 3.13. Íåçàâèñèìûìè íàçûâàþòñÿ n äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, åñëè âåðîÿòíîñòè pi1 ,i2 ,··· ,in ðàâíû ïðîèçâåäåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðîÿòíîñòåé îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñîñòàâëÿþùèõ: pi1 ,i2 ,··· ,in = pi1 · pi2 · . . . · pin . Îïðåäåëåíèå Èç ñâîéñòâà 4 ìîæíî ëåãêî âûâåñòè ñëåäóþùåå ñëåäñòâèå: Ñëåäñòâèå 3.1. Äëÿ n íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , . . . , ξn ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå èõ ïðîèçâåäåíèÿ ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé. M (ξ1 · . . . · ξn ) = M (ξ1 ) · . . . · M (ξn ). 3.2.2. Äèñïåðñèÿ. Ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàåìûå âåëè÷èíû ñëó÷àéíûå, êðîìå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ, ïîëåçíî áûëî áû çíàòü õàðàêòåðèñòèêó ñòåïåíè èõ ðàçáðîñà âîêðóã ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ.  êà÷åñòâå òàêîé õàðàêòåðèñòèêè íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü îòêëîíåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ξ − M (ξ), ò.ê. îíî ñëó÷àéíî.  ñðåäíåì ýòî îòêëîíåíèå ðàâíî íóëþ: M (ξ − M (ξ)) = M (ξ) − M (M (ξ)) = M (ξ) − M (ξ) = 0. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå õàðàêòåðèñòèêè ðàçáðîñà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû âîêðóã å¼ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ðàññìàòðèâàþò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 3.14. Äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà å¼ îòêëîíåíèÿ îò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ: D(ξ) = M (ξ − M (ξ))2 . (3.6)  ñîîòâåòñòâèè ñ çàìå÷àíèåì 3.2, äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû äèñïåðñèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: X D(ξ) = (xi − M (ξ))2 · pi . (3.7) i Èç îïðåäåëåíèÿ ÿñíî, ÷òî äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñàìà ÿâëÿåòñÿ íåñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Ïðèìåð ïåðñèþ. 67 3.6. Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èç ïðèìåðà 3.4 íàéòè äèñ- I ïðèìåðå 3.4 áûëî íàéäåíî å¼ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå: M (ξ) = 4,4. Ïî ôîðìóëå (3.7) îïðåäåëÿåì: D(ξ) = (1−4, 4)2 ·0,1+(2−4, 4)2 ·0,4+(5−4, 4)2 ·0,3+(10−4, 4)2 ·0,2 ≈ ≈ 9,84. Èíîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ äèñïåðñèè óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ äðóãîé ôîðìóëîé, êîòîðóþ âûâåäåì, ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ: D(ξ) = M (ξ 2 ) − (M (ξ))2 . (3.8) Äåéñòâèòåëüíî:
D(ξ) = M (ξ − M (ξ))2 = M ξ 2 − 2ξM (ξ) + (M (ξ))2 = = M (ξ 2 ) − 2M (ξ)M (ξ) + (M (ξ))2 = M (ξ 2 ) − (M (ξ))2 . Äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû âû÷èñëåíèå äèñïåðñèè ïî ôîðìóëå (3.8) ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ ñóììû: X D(ξ) = x2i pi − (M (ξ))2 . (3.9) i Ñàìîñòîÿòåëüíî óáåäèòåñü, ÷òî âû÷èñëåíèå ïî ôîðìóëå (3.9) â ïðèìåðå 3.6 äà¼ò òîò æå ðåçóëüòàò. Ïðèâåäåì ñâîéñòâà äèñïåðñèè. (1) D(ξ) > 0. Äåéñòâèòåëüíî, âñå ñëàãàåìûå â ôîðìóëå (3.7) íåîòðèöàòåëüíû. (2) D(C) = 0. Äåéñòâèòåëüíî: D(C) = M (C − M (C))2 = M (C − C)2 = = M (0) = 0 (3) D(C · ξ) = C 2 · D(ξ). Äîêàçàòåëüñòâî. D(C · ξ) = M (C · ξ − M (C · ξ))2 = M (C · ξ − C · M (ξ))2 =
2
= M C · (ξ − M (ξ)) = M C 2 · (ξ − M (ξ))2 = = C 2 · M (ξ − M (ξ))2 = C 2 · D(ξ). (4) Äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è ζ : D(ξ + ζ) = D(ξ) + D(ζ). Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ñâîéñòâà ïîëó÷èòñÿ èç îïðåäåëåíèÿ 3.14 68 Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. ïîñëå íåñëîæíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ïðîâåäèòå åãî ñàìîñòîÿòåëüíî. Ñëåäñòâèå 3.2. Äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí D(ξ − ζ) = D(ξ) + D(ζ). Äåéñòâèòåëüíî:
D(ξ − ζ) = D ξ + (−1) · ξ = D(ξ) + (−1)2 · D(ξ) = D(ξ) + D(ζ). Ñâîéñòâî 4 ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ñóììó ëþáîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Âåðîÿòíîñòíûé ñìûñë äèñïåðñèè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíà õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü ðàññåÿíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îêîëî å¼ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ (ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ). Îäíàêî, åñëè ñðåäíåå çíà÷åíèå M (ξ) èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è ñàìà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, òî D(ξ) èìååò äðóãóþ ðàçìåðíîñòü, ðàâíóþ êâàäðàòó ðàçìåðíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ýòî íå âñåãäà óäîáíî, ïîýòîìó ââåëè äðóãóþ õàðàêòåðèñòèêó ðàññåÿíèÿ, èìåþùóþ òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è ñàìà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. 3.15. Ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàþò êâàäðàòíûé êîðåíü èç å¼ äèñïåðñèè: p σ(ξ) = D(ξ). (3.10) Îïðåäåëåíèå Çàìåòèì, ÷òî äèñïåðñèÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç σ(ξ) ïî ôîðìóëå: D(ξ) = σ 2 (ξ).  ïðèìåðå 3.6 áûëà íàéäåíà D(ξ) = 9, 84. Íàéä¼ì ñðåäíåå êâàäðà√ òè÷åñêîå îòêëîíåíèå ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: σ(ξ) = 9,84 ≈ 3,14. Ñâîéñòâà ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ: σ(ξ) > 0; σ(C) = 0; σ(Cξ) = |C| · σ(ξ); Äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è ζ : p 2 σ(ξ + ζ) = σ (ξ) + σ 2 (ζ). Òàê æå êàê è äèñïåðñèÿ, σ(ξ) õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü ðàññåÿíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îêîëî å¼ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ (ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ). Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè áîëåå îáùèõ ïîíÿòèé  ìîìåíòîâ k−ãî ïîðÿäêà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ êîòîðûìè ìû ïîçíàêîìèìñÿ íèæå. (1) (2) (3) (4) Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 69 3.2.3. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ  òàáëèöåé 3.1. Îäíàêî íàðÿäó ñ äèñêðåòíûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, ïðèíèìàþùèìè îòäåëüíûå çíà÷åíèÿ, ñóùåñòâóþò äðóãèå, ïðèíèìàþùèå âñå çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîãî ïðîìåæóòêà. Èõ íåâîçìîæíî çàäàòü ïåðå÷èñëåíèåì âñåõ ïðèíèìàåìûõ èìè çíà÷åíèé, ïîýòîìó áûë ïðåäëîæåí óíèâåðñàëüíûé ñïîñîá çàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïðèãîäíûé âî âñåõ ñëó÷àÿõ. 3.16. Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ξ ïðèíÿëà çíà÷åíèå ìåíüøåå x: F (x) = P {ξ < x}. (3.11) Îïðåäåëåíèå 3.7. Íàéòè F (x) è ïîñòðîèòü å¼ ãðàôèê äëÿ ñëó÷àéíîé ξ 1 2 5 10 âåëè÷èíû èç ïðèìåðà 3.2. p 0,1 0,4 0,3 0,2 Ïðèìåð IÏðîùå âñåãî ðåøèòü ýòó çàäà÷ó, íàõîäÿ çíà÷åíèå F (x) â îòäåëüíûõ òî÷êàõ ïî ôîðìóëå (3.11): F (0) = P {ξ < 0} = 0; F (0,5) = P {ξ < 0,5} = 0; F (1) = P {ξ < 1} = 0; F (2) = P {ξ < 2} = 0,1; F (1, 1) = P {ξ < 1, 1} = 0,1; F (1, 9) = P {ξ < 1, 9} = 0,1; F (2, 1) = P {ξ < 2, 1} = P {ξ = 1 èëè ξ = 2} = 0,1 + 0,4 = 0,5; F (4) = P {ξ < 4} = P {ξ = 1 èëè ξ = 2} = 0,1 + 0,4 = 0,5; F (5) = P {ξ < 5} = P {ξ = 1 èëè ξ = 2} = 0,1 + 0,4 = 0,5; F (6) = P {ξ < 6} = 0,1 + 0,4 + 0,3 = 0,8; F (9) = P {ξ < 9} = 0,1 + 0,4 + 0,3 = 0,8; F (10) = P {ξ < 10} = 0,1 + 0,4 + 0,3 = 0,8; è ò.ä. Ïîíÿòíî, ÷òî F(x) èìååò âèä íåïðåðûâíîé ñëåâà:       0,1 0,5 F (x) =   0,8    1 íåóáûâàþùåé ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè, ïðè ïðè ïðè ïðè ïðè ż ãðàôèê èçîáðàæåí íà ðèñ. 12.J x 6 1; 1 < x 6 2; 2 < x 6 5; 5 < x 6 10; 10 < x. 70 Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. y 1,0 0,8 0,5 0,1 1 2 5 10 x Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðèìåðà 3.7 Ðèñ. 12. Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. (1) (2) (3) (4) (5) 0 6 F (x) 6 1, F (−∞) = 0, F (+∞) = 1; P {x1 6 ξ < x2 } = F (x2 ) − F (x1 ); F (x) íå óáûâàåò; F (x) íåïðåðûâíà ñëåâà; Äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, çàäàâàåìîé òàáëèöåé 3.1, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòóïåí÷àòàÿ ñ ðàçðûâàìè â òî÷êàõ xi è âûñîòîé ñòóïåíåê ðàâíîé ñóììå âñåõ âåðîÿòíîñòåé çíà÷åíèé, íå ïðåâîñõîäÿùèõ äàííûõ (ñì. ðèñ. 12). Ñâîéñòâî 1 íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèÿ 3.16. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâà 2 çàïèøåì F (x2 ) = P {ξ < x2 } â âèäå ñóììû âåðîÿòíîñòåé íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé: F (x2 ) = P {ξ < x2 } = P {ξ < x1 èëè x1 6 ξ < x2 } = P {ξ < x1 }+ +P {x1 6 ξ < x2 } = F (x1 ) + P {x1 6 ξ < x2 } ⇐⇒ F (x2 ) = F (x1 )+ +P {x1 6 ξ < x2 } ⇐⇒ P {x1 6 ξ < x2 } = F (x2 ) − F (x1 ). Ñâîéñòâî 3 íåìåäëåííî âûòåêàåò èç òîëüêî ÷òî äîêàçàííîãî, ò.ê. äëÿ x2 > x1 ïîëó÷àåì: F (x2 ) − F (x1 ) = P {x1 6 ξ < x2 } > 0 =⇒ F (x2 ) > F (x1 ). Ñâîéñòâî 4 ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà. Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ F (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé ñëåâà â òî÷êå x, åñëè lim F (x) = F (a). x→a− Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 71 Êàê âèäíî èç ðèñ. 12, ýòî ñâîéñòâî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Äëÿ îñòàëüíûõ ðàññìîòðåííûõ â äàííîé êíèãå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îíî òàêæå áóäåò âûïîëíåíî, ò.ê. F (x) áóäåò íåïðåðûâíà. 3.3. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 3.17. Ôóíêöèÿ F (x) îáëàäàåò êóñî÷íî íåïðåðûâíîé ïðîèçâîäíîé, åñëè å¼ ïðîèçâîäíàÿ F ′ (x) íåïðåðûâíà âåçäå, êðîìå êîíå÷íîãî (èëè áåñêîíå÷íîãî ñ÷¼òíîãî) ìíîæåñòâà òî÷åê, â êîòîðûõ F ′ (x) ìîæåò èìåòü ðàçðûâû 1-ãî ðîäà. Îïðåäåëåíèå  ÷àñòíîñòè, åñëè ïðîèçâîäíàÿ F ′ (x) íåïðåðûâíà, òî îíà êóñî÷íî íåïðåðûâíà, ò.ê. ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ïóñòî. 3.18. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé, åñëè å¼ ôóíêöèÿ F (x) íåïðåðûâíà è îáëàäàåò êóñî÷íî íåïðåðûâíîé ïðîèçâîäíîé F ′ (x). Îïðåäåëåíèå Ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû : (1) (2) (3) (4) (5) 0 6 F (x) 6 1, F (−∞) = 0, F (+∞) = 1; P {x1 6 ξ < x2 } = F (x2 ) − F (x1 ); F (x) íå óáûâàåò; F (x) íåïðåðûâíà; P {ξ = a} = 0 äëÿ ëþáîãî ÷èñëà a. Äîêàçàòåëüñòâà ïåðâûõ 3 ñâîéñòâ äîñëîâíî ïîâòîðÿþò ïðèâåä¼ííûå â ïóíêòå 3.1. Ñâîéñòâî 4 ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ 3.17. Äîêàæåì ñâîéñòâî 5: P {a 6 ξ < a + ∆x} = F (a + ∆x) − F (a) ïðè ∆x > 0 â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîì 2. Îòñþäà, ïîëüçóÿñü ñâîéñòâîì 4, ïîëó÷àåì:
lim P {a 6 ξ < a+∆x} = lim F (a+∆x)−F (a) = F (a)−F (a) = 0. ∆x→0+ Íî ∆x→0+ lim P {a 6 ξ < a + ∆x} = P {a 6 ξ 6 a} = P {ξ = a}, îòêó- ∆x→0+ äà ïîëó÷àåì ñâîéñòâî 5: íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàåò êàæäîå ñâîå çíà÷åíèå ñ íóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ. Ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ â äàííîé êíèãå íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæåò èìåòü îäèí èç âèäîâ, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 13. 72 Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. F(x) F(x) 1 x1 x2 x1 x a b à F(x) 1 1 b x á F(x) a x2 x â x ã Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Ðèñ. 13. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 13,à ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ íóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç ïðîìåæóòêîâ, ëåæàùèõ ëåâåå òî÷êè a: P {x1 6 ξ < x2 } = = F (x2 ) − F (x1 ) = 0 − 0 = 0. Äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (ðèñ. 13,á) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ íóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç ïðîìåæóòêîâ, ëåæàùèõ ïðàâåå òî÷êè b: P {x1 6 ξ < x2 } = F (x2 ) − F (x1 ) = 1 − 1 = 0. Äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðèñ. 13,â íåíóëåâàÿ âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â çàäàííûé ïðîìåæóòîê áóäåò òîëüêî äëÿ ïðîìåæóòêîâ, ïðèíàäëåæàùèõ (a; b). 3.6. Ñâîéñòâî 2 îçíà÷àåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîïàëà â çàäàííûé ïðîìåæóòîê, ðàâíà ïðèðàùåíèþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íà ýòîì ïðîìåæóòêå: ÷åì áîëüøå âûðîñëà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, òåì áîëüøå ýòà âåðîÿòíîñòü. Ïðè÷¼ì äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íå èìååò çíà÷åíèÿ, ñòðîãîå èëè íåñòðîãîå ðàâåíñòâî, ò.ê. â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîì 5 ýòî íå èçìåíÿåò âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ïðîìåæóòîê. Çàìå÷àíèå Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 73 3.4. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ  ñîîòâåòñòâèè ñ òîëüêî ÷òî ñäåëàííûì çàìå÷àíèåì âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â çàäàííûé ïðîìåæóòîê çàâèñèò îò ñêîðîñòè ðîñòà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîýòîìó íåïðåðûâíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó çàäàþò, èñïîëüçóÿ ïðîèçâîäíóþ îò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 3.19. Ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f (x) (èëè äèôôåðåíöèàëüíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ) íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàþò ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ îò å¼ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ: f (x) = F ′ (x). (3.12) 3.7. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èìååò ñòóïåí÷àòóþ ôîðìó, äëÿ å¼ îïèñàíèÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðèìåíèìà. Çàìå÷àíèå Ñâîéñòâà ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ: (1) f (x) > 0; (2) f (−∞) = f (+∞) = 0; (3) f (x) êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ; Zx (4) F (x) = f (t)dt; −∞ Zx2 (5) P {x1 6 ξ < x2 } = Z+∞ f (x)dx = 1. (6) f (x)dx; x1 −∞ Ïåðâûå ÷åòûðå ñâîéñòâà ÿâëÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì îïðåäåëåíèÿ 3.18 è ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (äîêàæèòå èõ ñàìîñòîÿòåëüíî). Ñâîéñòâî 5 ÿâëÿåòñÿ ïî ñóòè èçâåñòíîé ôîðìóëîé Íüþòîíà  Ëåéáíèöà, ò.ê. F (x)  ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x): Zx2 P {x1 6 ξ < x2 } = F (x2 ) − F (x1 ) = f (x)dx. x1 74 Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Îòñþäà íåìåäëåííî âûòåêàåò ñâîéñòâî 6: Z+∞ f (x)dx = P {−∞ < ξ < +∞} = 1. −∞ Ñâîéñòâî 5 îçíà÷àåò, ÷òî ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè íàä ïðîìåæóòêîì [x1 ; x2 ) ïîä ãðàôèêîì f (x) ðàâíà âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â ýòîò ïðîìåæóòîê (ñì. ðèñ. 14). f(x) x1 x2 x Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â èíòåðâàë Ðèñ. 14. Åñëè x2 áëèçêî ê x1 , ïðîìåæóòîê ìàë è ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè ìîæíî çàìåíèòü ïëîùàäüþ ïðÿìîóãîëüíèêà. Ìû ïîëó÷èì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â èíòåðâàë (x; x + ∆x) ïðèáëèæ¼ííî ðàâíà f (x) · ∆x. Âåðîÿòíîñòíûé ñìûñë ïëîòíîñòè f (x) çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïëîòíîñòü f (x) íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíà âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â ìàëûé èíòåðâàë (x; x + ∆x), îòíåñ¼ííîé ê äëèíå ýòîãî èíòåðâàëà. Äëÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 13, ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ áóäóò èìåòü âèä, ïîêàçàííûé ðèñ. 15. Åñëè ξ  íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, çàäàííàÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f (x), è åñëè y = φ(x)  äèôôåðåíöèðóåìàÿ ñòðîãî ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ ( èëè ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ èëè ñòðîãî óáûâàþùàÿ), îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ êîòîðîé x = ψ(y), òî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ g(y) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì g(y) = f [ψ(y)] · |ψ ′ (y)|. (3.13) Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 75 f (x) f (x) x a x b à) á) f(x) f (x) a b x â) Ðèñ. 15. x ã) Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ 3.8. Ïëîòíîñòü íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ôîðìóëàìè:  C ïðè x ∈ [0; 4], f (x) = 0 ïðè x ∈ / [0; 4]. Ïðèìåð Íàéòè êîíñòàíòó C è âû÷èñëèòü P {0 < ξ < 3}. IÍà îñíîâàíèè ñâîéñòâà 6 ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ èìååì: Z4 1 Cdt = 1 =⇒ C · 4 = 1 =⇒ C = . 4  1/4 ïðè x ∈ [0; 4]; Òàêèì îáðàçîì f (x) = ïðè x ∈ / [0; 4]. Äàëåå íà îñíîâàíèè ñâîéñòâà 5 ïëîòíîñòè èìååì: R3 1 1 3 3 P {0 < ξ < 3} = dt = t = .J 4 0 4 0 4 1 3 Îòâåò: C = ; P {0 < ξ < 3} = . 4 4 76 Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 3.5. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Ðàñïðîñòðàíèì ïîíÿòèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè íà íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Äîïóñòèì, ÷òî íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò âñå çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîãî [a; b]. Ðàçîáü¼ì åãî íà n ìàëåíüêèõ îòðåçêîâ äëèíîé ∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn è âûáåðåì â êàæäîì èç íèõ ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Ci (i = 1, 2, . . . , n). Ñ÷èòàÿ, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî çíà÷åíèå Ci ñ âåðîÿòíîñòÿìè pi = f (Ci )∆xi (âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â i-é îòðåçîê), íàéäåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ýòîé äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: X Ci f (Ci )∆xi . i Ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ äëèíû íàèáîëüøåãî èç Zb ÷àñòíûõ îòðåçêîâ, ïîëó÷èì îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë xf (x)dx. a 3.20. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ: Îïðåäåëåíèå Z+∞ M (ξ) = xf (x)dx. (3.14) −∞ Çàìå÷àíèå 3.8. Åñëè η = φ(ξ)  íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîãî àðãóìåíòà ξ , ïðè÷¼ì âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ξ ïðèíàäëåæàò âñåé îñè Ox, òî Z+∞ φ(x) · f (x)dx, M (φ(ξ)) = (3.15) −∞ ãäå f (x)  ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ξ . Îïðåäåëåíèå äèñïåðñèè êàê ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ ïîëíîñòüþ ñîõðàíÿåòñÿ äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí:
2 D(ξ) = M ξ − M (ξ) . Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 77 Âû÷èñëåíèå äèñïåðñèè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ó÷¼òîì çàìå÷àíèÿ 3.8 ñëåäóåò âåñòè ïî ñëåäóþùåé ôîðìóëå: Z+∞ D(ξ) =
2 x − M (ξ) f (x)dx. (3.16) −∞ Âñå ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè, ïðèâåä¼ííûå â ïðåäûäóùåé äëÿ ÄÑÂ, ñîõðàíÿþòñÿ â ýòîì ñëó÷àå. Åñëè η = φ(ξ)  ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîãî àðãóìåíòà ξ , ïðè÷¼ì âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ξ ïðèíàäëåæàò âñåé îñè Ox, òî Z+∞
2 φ(x) − M (φ(x)) f (x)dx, (3.17) Z+∞ D(φ(ξ)) = φ2 (x)f (x) dx − M 2 (φ(ξ)). (3.18) D(φ(ξ)) = èëè −∞ −∞  ñâîéñòâå 4 ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, êîòîðîå áûëî ââåäåíî äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàñïðîñòðàíèòü ýòî ïîíÿòèå íà ïðîèçâîëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îïðåäåëèì äâóìåðíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó (ξ; ζ) êàê âåêòîð, êîîðäèíàòû êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ îäíîìåðíûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè è äëÿ êîòîðîãî îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x; y): F (x; y) = P {ξ < x; ζ < y}. Çäåñü îòìåòèì òîëüêî, ÷òî çíàÿ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x; y) äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ; ζ), ìîæíî ïîëó÷èòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé Fξ (x) è Fζ (y). Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî. Îïðåäåëåíèå 3.21. Äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è ζ íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x; y) äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ; ζ) ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ: F (x; y) = Fξ (x) · Fζ (y). 78 Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ââîäèòñÿ ïîíÿòèå íåçàâèñèìîñòè n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ÷åðåç èõ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ: F (x1 ; x2 ; . . . ; xn ) = Fξ1 (x1 ) · Fξ2 (x2 ) · . . . · Fξn (xn ), ãäå F (x1 ; x2 ; . . . ; xn ) = P (ξ1 < x1 ; ξ2 < x2 ; . . . ; ξn < xn ). Äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâ äèñïåðñèè äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íå áûëè ïðèâÿçàíû ê ôîðìóëå (3.3) è îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Òàê, íàïðèìåð, âû÷èñëåíèå äèñïåðñèè óäîáíåå ïðîâîäèòü ïî ôîðìóëå (3.8), êîòîðàÿ äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðèíèìàåò âèä: Z+∞
2 D(ξ) = x2 f (x)dx − M (ξ) . (3.19) −∞ Íàðÿäó ñ äèñïåðñèåé, äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ðàçáðîñà íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îêîëî å¼ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå: p σ(ξ) = D(ξ). (3.20) Ïðèìåð 3.9. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèþ è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èç ( 1 ïðè x ∈ [0; 4], ïðèìåðà 3.8. f (x) = 4 0 ïðè x ∈ / [0; 4]. IÏî ôîðìóëå (3.14), ïîñêîëüêó ïëîòíîñòü f (x) îòëè÷íà îò íóëÿ 4 Z4 x2 1 xdx = = 2. òîëüêî ïðè x ∈ [0; 4], M (ξ) = 4 8 Ïî ôîðìóëå (3.19), ïîñêîëüêó ïëîòíîñòü f (x) îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî ïðè x ∈ [0; 4], ñ ó÷¼òîì M (X) = 2, íàéäåííîãî â ïðèìåðå 3.7, ïîëó÷àåì: 4 Z4 x3 16 4 2 1 2 D(ξ) = x · dx − (2) = −4= −4= . 4 12 3 3 r 4 2 Ïî ôîðìóëå (3.20) íàõîäèì σ(x): σ(ξ) = = √ ≈ 1,155.J 3 3 4 Îòâåò: M (ξ) = 2, D(ξ) = ≈ 1,333, σ(ξ) ≈ 1,155. 3 Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 79 3.6. Íà÷àëüíûå è öåíòðàëüíûå ìîìåíòû Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ÿâëÿþòñÿ áîëåå ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ñëåäóþùèõ áîëåå îáùèõ ïîíÿòèé  ìîìåíòîâ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. 3.22. Öåíòðàëüíûì ìîìåíòîì k -ãî ïîðÿäêà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ: h
k i µk = M ξ − M (ξ) . (3.21) Îïðåäåëåíèå Çàìåòèì, ÷òî öåíòðàëüíûé ìîìåíò ïåðâîãî ïîðÿäêà âñåãäà ðàâåí íóëþ, à âòîðîãî ïîðÿäêà åñòü äèñïåðñèÿ:

µ1 = M ξ − M (ξ) = M (ξ) − M M (ξ) = M (ξ) − M (ξ) = 0, h
2 i µ2 = M ξ − M (ξ) = σ2. 3.23. Íà÷àëüíûì ìîìåíòîì k -ãî ïîðÿäêà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ Îïðåäåëåíèå (3.22) νk = M (ξ k ). Íà÷àëüíûé ìîìåíò ïåðâîãî ïîðÿäêà ðàâåí ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ: ν1 = M (ξ). Ìåæäó íà÷àëüíûìè è öåíòðàëüíûìè ìîìåíòàìè ñóùåñòâóåò ñâÿçü: µ2 = ν2 − ν12 ,
2 ò.ê. D(ξ) = M (ξ 2 ) − M (ξ) , µ3 = ν3 − 3ν1 ν2 + 2ν13 . Äåéñòâèòåëüíî, ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ïîëó÷àåì: h 
3 i
2
3  3 2 µ3 = M ξ − M (ξ) = M ξ − 3ξ M (ξ) + 3ξ M (ξ) − M (ξ) = = M (ξ 3 − 3ξ 2 ν1 + 3ξν12 − ν13 ) = M (ξ 3 ) − 3ν1 M (ξ 2 ) + 3ν12 M (ξ) − ν13 = = ν3 − 3ν1 ν2 + 3ν1 ν1 − ν13 = ν3 − 3ν1 ν2 + 2ν13 . Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàþòñÿ îñòàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ: µ4 = ν4 − 4ν3 ν1 + 6ν2 ν12 − 3ν14 è ò.ä. Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê êîýôôèöèåíòû ðÿäà Òåéëîðà äàþò âñå áîëåå òî÷íîå ïðèáëèæåíèå äëÿ ôóíêöèè, ìîìåíòû ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû âñ¼ áîëåå òî÷íî îïðåäåëÿþò å¼ ðàñïðåäåëåíèå. 80 Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Îïðåäåëåíèå 3.24. Êîýôôèöèåíòîì àñèììåòðèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ: h
3 i M ξ − M (ξ) µ3 A = 3/2 = . p 3 µ2 D(ξ) Àñèììåòðèÿ ïîëîæèòåëüíà, åñëè ¾äëèííàÿ ÷àñòü¿ êðèâîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàñïîëîæåíà ñïðàâà îò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è îòðèöàòåëüíà, åñëè  ñëåâà (ñì. ðèñ. 16). (x) f (x) A>0 A<0 M (ξ) M (ξ) x Ðèñ. 16. Îïðåäåëåíèå íû ξ íàçûâàåòñÿ: x Àñèììåòðèÿ 3.25. Ýêñöåññîì ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷è- E= h µ4 −3= µ22 M ξ − M (ξ)
2 D(ξ)
4 i − 3. Äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ E = 0; åñëè E > 0, òî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò áîëåå âûñîêóþ è ¾îñòðóþ¿ âåðøèíó ïî ñðàâíåíèþ ñ êðèâîé Ãàóññà; åñëè E < 0, òî áîëåå íèçêóþ è ¾ïëîñêóþ¿ (ñì. ðèñ. 17) Âû÷èñëåíèå ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ÄÑÂ) ñ öåëûìè íåîòðèöàòåëüíûìè çíà÷åíèÿìè óäîáíåå ïðîèçâîäèòü ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé. Ïóñòü ÄÑ ξ çàäàíà çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ Òàáëèöà 3.5 ξ p p0 1 2 ... k ... p1 p2 . . . pk . . . Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 81 f(x) f(x) Область нормального распределения Область нормального распределения Ðèñ. 17. Ýêñöåññ 3.26. Ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé äëÿ ÄÑ ξ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ âèäà ∞ X φ(z) = pk · z k = p0 + p1 z + p2 z 2 + . . . , (3.23) Îïðåäåëåíèå k=0 ãäå z  ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð, 0 < z 6 1. Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ (3.23) ïðåäñòàâëÿåò ñòåïåííîé ðÿä êîýôôèöèåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ âåðîÿòíîñòè ÄÑ ξ . Äèôôåðåíöèðóþ (3.23) ïî z , ïîëó÷àåì ′ φ (z) = ∞ X k · pk · z k−1 . (3.24) k=0 Òîãäà çíà÷åíèå φ′ (1) ðàâíî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ ∞ X φ′ (1) = k · pk = M (ξ). k=0 Íàéä¼ì âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ ∞ X ′′ k(k − 1) · pk · z k−2 . φ (z) = k=0 φ′′ (1) = ∞ X k=0 k(k − 1) · pk = ∞ X k=0 k 2 · pk + ∞ X k=0 k · pk = ν 2 − ν 1 , 82 Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. ãäå ν2 è ν1  íà÷àëüíûå ìîìåíòû 2-ãî è 1-ãî ïîðÿäêîâ. D(ξ) = M (ξ 2 ) − M 2 (ξ) = ν2 − ν12 = (ν2 − ν1 ) + ν1 − ν12 = = φ′′ (1) + φ′ (1) − (φ′ (1))2 . D(ξ) = φ′′ (1) + φ′ (1) − (φ′ (1)) . 2 (3.25)