Случайные величины

Тема «Случайные величины» Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно. Можно дать ещё одно определение случайной величины: случайной величиной называется величина, принимающая в результате испытания одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов, которые заранее не могут быть учтены. Примеры случайных величин: - число студентов на занятии; - количество детей родившихся за сутки; - время ожидания автобуса на остановке; - рост любого встреченного на улице человека. Случайные величины могут быть двух видов: дискретные и непрерывные. Дискретные случайные величины Определение. Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы). Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной. Случайная дискретная величина Х считается заданной, если указано множество значений, которые она может принимать и вероятности появления каждого из этих значений. Эти соотношения между возможными значениями хi и вероятностями их появления pi называются законом распределения случайной дискретной величины. Числовые характеристики дискретных случайных величин 1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности. С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Свойства математического ожидания 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин. 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин. Пример 1. Случайная величина Х задана законом распределения: Х -4 2 3 р 0,2 0,3 0,1 0,4 Найти М(2Х-5). Решение. М(2Х-5)=М(2Х) – М(5)= 2М(Х) – 5. Таким образом, необходимо найти М(Х) и подставить в последнюю формулу. М(Х)=-4⸳0,2 + 0⸳0,3 + 2⸳0,1 + 3⸳0,4 =-0,8+0+0,2+1,2=0,6. Тогда, М(2Х-5)= 2⸳0,6 – 5=1,2-5=-3,8. 2. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания. Доказательство. С учетом того, что математическое ожидание и квадрат математического ожидания – величины постоянные, можно записать: Таким образом, для вычисления дисперсии есть две формулы, результаты решения задачи по каждой из формул дает один и тот же результат. Приведем пример. Пример 2. Для рассмотренного примера закон распределения случайной величины имеет вид: 1 2 0,0625 0,375 0,5625 Найти дисперсию случайной величины. Математическое ожидание случайной величины равно: Возможные значения квадрата отклонения: Тогда 2,25 0,25 0,25 0,0625 0,375 0,5625 Дисперсия равна: . Однако, на практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, так как приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям. Поэтому применяется вторую формулу: 1 2 1 4 0,0625 0,375 0,5625 Свойства дисперсии 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. Пример 3. Случайная величина Х задана законом распределения (см. пример 1): Х -4 2 3 р 0,2 0,3 0,1 0,4 Найти D(2Х-5). Решение. D(2Х-5)=D(2Х)+D(5)=22D(Х) + 0=4D(Х). Таким образом, необходимо найти D(Х) и подставить в последнюю формулу, то есть умножить на 4. Воспользуемся формулой : М(Х)=-4⸳0,2 + 0⸳0,3 + 2⸳0,1 + 3⸳0,4 =-0,8+0+0,2+1,2=0,6; М(Х2)=(-4)2⸳0,2 + 02⸳0,3 + 22⸳0,1 + 32⸳0,4 =16⸳0,2 + 0⸳0,3 + 4⸳0,1 + 9⸳0,4=3,2+0+0,4+3,6=7,2; D(Х)=7,2 – 0,62=7,2 – 0,36=6,84. Тогда, D(2Х-5) =4D(Х)=4⸳6,84=27,36. 3. Среднее квадратическое отклонение Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии. . Приведем примеры на дискретные случайные величины. Пример 4. Идёт охота на дикого зверя с помощью ловушки. Вероятность попасть в ловушку для волка – 0.3, для медведя – 0.5, для лисы и зайца – 0.6. Найти закон распределения случайной величины Х - числа попавших в ловушку зверей. Решение. Случайная величина Х может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3 (в ловушку попал один зверь, два, три, ни одного). Рассчитаем вероятности по теоремам алгебры событий: р1=0,3; q1=0,7; р2=0,5; q2=0,5; р3=0,6; q3=0,4; р(х=0)=р1р2р3=0.7*0.5*0.4=0.14; р(х=1)=р1q2q3+q1p2q3+q1q2p3=0.41; Р(х=2)=0.36; Р(х=3)= 0.09. Тогда закон распределения имеет вид: х 1 2 3 p 0,14 0,41 0,36 0,09 Проверка: , 0,14+0,41+0,36+0,09=1. Пример 5. В книге кулинарных рецептов имеется 6 рецептов приготовления первого блюда, 4 – второго блюда. Пять раз подряд выписывают наудачу взятые рецепты. Случайная величина Х – число рецептов первых блюд. Составить закон распределения величины Х, найти математическое ожидание и дисперсию. Решение. Случайная величина Х может принимать значения Х=1, 2, 3, 4, 5. Для расчета вероятностей применим классическое определение вероятности (p(A)=m/n) и формулы комбинаторики: п=; , ; , ; , ; , ; , . Закон распределения имеет вид: X 1 2 3 4 5 р 6/252 60/252 120/252 60/252 6/252 Вычислим числовые характеристики: М(Х)=1⸳+2⸳+3⸳+4⸳+5⸳==; М(Х2)= 12⸳+22⸳+32⸳+42⸳+52⸳==; D(Х) =; . Законы распределения дискретной случайной величины Определение. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически. Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения. Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице. Наиболее распространенными видами распределения дискретной случайной величины являются биноминальное, геометрическое и показательное. 1. Биноминальный закон распределения Случайная величина Х имеет биноминальное распределение, если она принимает целочисленные значения от 0 до п с вероятностями, вычисляемыми по формуле Бернулли pn(m)= p m q n-m. Краткая запись: Х ~ Bi(n, p). Вычислим числовые характеристики биноминально распределенной случайной величины, т.е. математическое ожидание и дисперсию. М(Х)= Последняя сумма равна 1, так как состоит из ряда распределения Bi(n-1; p), поэтому М(Х)=np. D(X)= = =np(1-p)=npq. Таким образом, у биноминально распределенной величины M(X)=np и D(X)=npq. Пример 6. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятности числа попаданий и построить многоугольник распределения. Решение. В данной задаче случайная величина Х – это количество попаданий. Эта величина принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Имеет место схема Бернулли, поэтому случайная величина Х имеет биноминальное распределение. Рассчитаем вероятности для каждого значения случайной величины: ; ; . Аналогично, , , . Закон распределения случайной величины имеет вид: Х 1 2 3 4 5 р 0,07776 0,2592 0,3456 0,2304 0,0768 0,01024 Округлять вероятности нельзя, так как нарушится закон: . Проверка: 0,07776+0,2592+0,3456+0,2304+0,0768+0,01024=1. Представим графически зависимость числа попаданий от их вероятностей. При построении многоугольника распределения надо помнить, что соединение полученных точек носит условный характер. В промежутках между значениями случайной величины вероятность не принимает никакого значения. Точки соединены только для наглядности. Найдем числовые характеристики данной случайной величины по формулам: M(X)=np, D(X)=npq, . Таким образом, M(X)=5⸳0,4=2; D(X)=5⸳0,4⸳0,6=1,2; . Пример 7. В партии 10% нестандартных деталей. Наугад отобраны 4 детали. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины – числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник полученного распределения. Решение: Вероятность появления нестандартной детали в каждом случае равна 0,1. Найдем вероятности того, что среди отобранных деталей: 1) Вообще нет нестандартных. 2) Одна нестандартная. 3) Две нестандартные детали. 4) Три нестандартные детали. 5) Четыре нестандартных детали. Построим многоугольник распределения. Пример 8. Две игральные кости одновременно бросают 2 раза. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины – числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях. Решение: Каждая игральная кость имеет три варианта четных очков – 2, 4 и 6 из шести возможных, таким образом, вероятность выпадения четного числа очков на одной кости равна 0,5. Вероятность одновременного выпадения четных очков на двух костях равна 0,25. Вероятность того, что при двух испытаниях оба раза выпали четные очки на обеих костях, равна: Вероятность того, что при двух испытаниях один раз выпали четные очки на обеих костях: Вероятность того, что при двух испытаниях ни одного раза не выпаде четного числа очков на обеих костях: . Пример 9. Длительной проверкой качества стандартных деталей установлено, что 75% деталей не имеют дефектов. Составить биноминальное распределение числа пригодных деталей из взятых наудачу 6 деталей. Найти числовые характеристики данной случайной величины. Решение. Из условия задачи Х ~ Bi (6; 0,75). Составим ряд распределения: Проверим выполнение основного свойства ряда распределения: . Свойство выполнено. М(Х)=6·0,75=4,5; D(X)=6·0,75·0,25=1,125. Пример 10. Вероятность нормального расхода электроэнергии в некотором районе города равна 0,6. а) Составить закон распределения случайной величины Х – числа дней нормального расхода электроэнергии в ближайшие 4 дня; б) найти интегральную функцию распределения случайной величины Х и построить ее график; в) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение Х. Решение. а) Число дней расхода электроэнергии Х – это дискретная случайная величина. Ее возможные значения по условию х1=0, х2=1, х3=2, х4=3, х5=4. Вероятность каждого возможного значения найдем по формуле Бернулли: р1=р4(0)= р2=р4(1)= р3=р4(2)= р4=р4(3)= р5=р4(4)= Теперь составим ряд распределения xi 1 2 3 4 Pi 0,0256 0,1536 0,3456 0,3456 0,1296 и построим многоугольник распределения б) Рассмотрим интервал х(-; 0]. Событие Х х для этого интервала является невозможным, так как нет ни одного отрицательного значения Х. Следовательно, р1(Х х)=0. На следующем интервале х(0;1] для Х х имеем Х=0. Вероятность этого события равна 0,0256; р2(Х х)=0,0256. На интервале х(1;2] Х может принимать значения Х=0 и Х=1. Следовательно, р3(Х х)=0,0256 + 0,1536=0,1792. Аналогично, р4(Х х)=0,0256 + 0,1536 + 0,3456=0,5248; р5(Х х)=0,0256 + 0,1536 + 0,3456 + 0,3456= 0,8704 и р6(Х х)=0,0256 + 0,1536 + 0,3456 + 0,3456 + 0,1296=1. Таким образом, интегральная функция распределения F(x) имеет вид: F(x)= Построим график этой функции в) Математическое ожидание числа дней нормального расхода электроэнергии найдем по формуле М(Х)=х1·р1 + х2·р2 +…+ хn·рn , т.е М(Х)=0·0,0256 + 1·0,1536 + 2·0,3456 + 3·0,3456 + 4·0,1296=2,4. Дисперсию вычисляем по формуле D(Х)=М[X-M(X)]2: D(X)=(0-2,4)2·0,0256 + (1-2,4)2·0,1536 + (2-2,4)2·0,3456 + (3-2,4)2·0,3456 + (4-2,4)2·0,1296=0,96. Среднее квадратичное отклонение: Числовые характеристики можно вычислить по формулам биноминально распределенной величины M(X)=np, D(X)=npq, . Таким образом, M(X)=4⸳0,6=2,4; D(X)=4⸳0,6⸳0,4=0,96; . 2. Распределение Пуассона (Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик). Случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром а (а>0), если эта величина принимает значения k=0, 1, 2, … с вероятностями, которые вычисляются по формуле Пуассона Краткая запись: Х ~ П(а). Если X ~ П(а), то М(Х)=а и D(Х)=а. Пример 11. Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Пусть – число изделий второго сорта в данной выборке. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины . Выбор каждого из 1000 изделий можно считать независимым испытанием, в котором вероятность появления изделия первого сорта одинакова и равна р = 0,04. Таким образом, закон распределения может считаться биноминальным. . 3. Геометрическое распределение Случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает целые положительные значения k=0, 1, 2,… с вероятностями Краткая запись: Х ~ G(p). Вероятности образуют геометрическую прогрессию, отсюда и название «геометрическое распределение». Просуммировав бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, легко убедиться, что . Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей геометрическое распределение. = В скобках стоит производная геометрической прогрессии со знаменателем (1-p). Итак, если X ~ G(p), то Пример 12. Найти вероятность того, что при подбрасывании симметричной игральной кости шестерка первый раз появится при третьем подбрасывании. Решение. Обозначим Х – число подбрасываний игральной кости до первого появления шестерки. Ясно, что Х ~ G(). Искомая вероятность – это вероятность того, что случайная величина Х примет значение, равное двум, т.е. Вычислим числовые характеристики данной случайной величины Х: